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CALCUL ALGEBRIQUE | ANALYSE FONCTIONNELLE | CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL | 
SUITES ET SERIES | CALCUL VECTORIEL | ALGEBRE LINEAIRE | CALCUL TENSORIEL | TOPOLOGIE

La topologie (du grec : discours du lieu) est un domaine extrêment vaste des mathématiques dont il est difficile de définir avec exactitude l'objet dont elle fait l'étude. Ce que nous pouvons dire dans un premier temps, c'est que la topologie est très intimement liée à la théorie des ensembles, à l'analyse fonctionnelle, aux suites et séries, au calcul intégral et différentiel, au calcul vectoriel, à la géométrie et encore beaucoup d'autres domaines.

L'origine de la topologie semble provenir des problèmes qu'ont posé les progrès de l'analyse fonctionnelle dans l'étude des fonctions continues, de leur dérivabilité, de leurs limites en un point (fini ou non), de l'existence d'extremums, etc... dans des espaces de dimensions supérieures (au fait, implicitement la topologie à pour objectif de créer des outils qui permettent facilement d'étudier les propriétés des fonctions dans toutes les dimensions). Tout ces concepts, demandaient pour le mathématicien une définition rigoureuse de l'idée intuitive de proximité, tout particulièrement lors d'opérations sur ces fonctions. Mais la continuité n'est pas un concept exclusif de l'analyse fonctionnelle, elle se retrouve en géométrie dans ses transformations, voire ses déformations - les figures pouvant être considérées comme des ensembles ouverts ou fermés de points.

Voici cependant un essai de définition de la topologie que nous pourrons toujours compléter :

Définition : La topologie s'intéresse aux propriétés "morphologiques" des ensembles, par l'intermédiaire de l'étude des relations entre leurs différents éléments (la distance entre deux objets d'un ensemble est un exemple), indépendamment de leur "forme" ou de leur "taille", c'est-à-dire indépendamment des propriétés quantitatives des ensembles. Intuitivement, (mais ce n'est qu'un cas particulier), deux "objets" sont topologiquement équivalents s'il est possible de passer de l'un à l'autre par "déformation élastique", sans déchirure ni recollement.

Remarques :

R1. Nous pensons que la topologie devrait être introduite dans le cursus scolaire dès le moment où l'étudiant a de solides connaissances en théorie des ensembles, calcul vectoriel, algèbre linéaire, calcul tensoriel et géométrie différentielle.  Ce n'est effectivement qu'à ce moment que le niveau de l'étudiant permet à celui-ci de comprendre toute la subtilité, l'utilité et les répercussions majeures des développements et définitions qui vont suivre.

R2. Nous orientons volontairement le contenu de ce chapitre pour le physicien théoricien. Ce que nous voulons dire par là, c'est que suite à des définitions, nous ne donnerons pas des petits exemples d'applications avec démonstration (sauf sur demande) s'il y en a aucun qui s'applique de façon subtile au contenu du présent site.

R3. Souvent les personnes qui commenent à étudier la topologie sont frappées par le fait qu'il y ait autant de définitions dans un seul domaine (ce qui gâche, il est vrai, un peu la beauté mathématique de la topologie). Ils prennent alors pleinement conscience de la citation d'Erdös : "les mathématiciens sont des gens qui font des définitions avec du café...".

ESPACE TOPOLOGIQUE

Soit un ensemble non vide . Une "topologie" sur  est une famille  de sous-ensembles ouverts (nous définirons cela un peu plus loin) de  telle que les axiomes suivants soient vérifiés :

A1. et

A2.  implique

A3.  implique

Définition : étant donné une telle famille , nous appelons , ou plus précisément le couple un "espace topologique".

Remarque : le couple  forme un "espace de Hausdorf" si de plus la propriété suivante (axiome d'Hausdorff) est vérifiée :

Remarque : Un exemple bien connu d'espace topologique est muni de ses intervalles ouvers, c'est-à-dire les intervalles .

Définition : si nous notons un espace topologique, désignant les ouverts (voir plus loin la définition d'un "ouvert") de , une "base", au sens topologique, de est une partie de telle que tout ouvert soit réunion d'ouverts de .

espace metrique et Distance

Définition : un "espace métrique" noté ou encore  est par définition un ensemble  muni d'une application , appelée "distance" ou "métrique", qui satisfait les axiomes suivants:

A1.   (positivité)

A2.  (séparation)

A3.  (nullité sur la diagonale)

A4.  (inégalité triangulaire)

Remarques : 

R1. Certains lecteurs verront de suite que certaines de ces propriétés ont déjà été vues et démontrées dans d'autres chapitre de site lors de l'étude des distance entre poins fonctionnels et lors de l'étude des normes (inégalité triangulaire démontrée dans le chapitre de calcul vectoriel - la symétrie, la nullité, la positivité, la séparation et la symétrie dans le chapitre d'analyse fonctionelle).

R2. Un espace métrique sera en général noté ou bien . Nous pouvons également le noter simplement si la distance ne peut être confondue.

La fonction distance de est donc notée habituellement dans le plus général qui soit en mathématique :

Remarques : 

R1. Si nous n'imposons pas la propriété P2., nous disons que est une "semi-distance" sur .

R2. Si nous autorisons une semi-distance à prendre la valeur , nous préférons dire que est un "écart"

R3. Si une distance  vérifie la propriété , propriété plus contraignante que l'inégalité triangulaire dans certains espaces, nous disons que  est "ultra-métrique"

Voyons quelques exemples importants de distance :

E1. Si nous prenons pour  le plan, ou bien l'espace à trois dimensions de la géométrie euclidienne et une unité de longueur, la "distance" au sens usuel du terme est bien une distance au sens des 5 axiomes précédemment cités. Dans ces espaces, les trois points  satisfont comme nous l'avons démontré en calcul vectoriel et comme il l'est intuitivement que :

avec les autres inégalités obtenues par permutation circulaire de . Ces inégalités sont bien connues par exemple entre les longueurs des côtés d'un triangle.

E2. Si nous prenons ,  et que nous dotons  d'une structure d'espace vectoriel euclidienne (et non pas non-euclidienne) et que nous prenons deux points :

 dans

La distance est donnée nous le savons par (nous avons déjà démontré cela en analyse fonctionnelle et calcul vectoriel) :

qui satisfait aux 5 axiomes de la distance. Nous pouvons prendre (c'est une propriété intéressante pour la culture générale), que toute relation de la forme :

est aussi une distance dans (sans démonstration). Les mathématiciens font encore plus fort en généralisant encore plus (la démonstration à peu d'intérêt pour l'instant) cette dernière relation (en prenant en compte la définition même de la distance) sous la forme :

Qui est appelée "distance hölderienne".

Au même titre pour l'inégalité triangulaire, donnée par (voir chapitre de calcul vectoriel) :

La généralisation, de par la vérification de l'existance de la distance de hölderienne, nous donne la vraie "inégalité de Minkowski" :

Dans le cas particulier avec , nous avons bien évidemment :

qui est la distance usuelle sur .

E3. Si nous prenons , nous considérerons la distance :

Ainsi, si  et  nous avons le module qui de même manière que la norme dans , forme une distance :

E4. Considérons aussi  un ensemble arbitraire. Posons :

 si  et  si

DISTANCES EQUIVALENTES

Parfois, deux distances différentes  et  sur un même ensemble  sont assez ressemblantes pour que les espaces métriques liés  possèdent les mêmes propriétés pour certains objets mathématiques définis par   d'une part, par . Il existe plusieurs notions de ressemblances dont voici une première (avant les autres qui nécessitent des outils mathématiques que nous n'avons pas encore définis) :

Définition : soient  et deux distances sur un même ensemble ,  et  sont dites "équivalentes" s'il existe deux constantes réelles  telles que 

soit avec  :

FonctionS LipschitziennES

Relativement aux définitions, précédentes, nous pouvons maintenant énoncer quelques propriétés supplémentaires aux fonctions telles que nous les avions énoncées dans la théorie des ensemble :

Soient  et des espaces métriques, et soit  une fonction. Nous définissons les propriétés suivantes :

P1. Nous disons que est une "isométrie" si :

P2. Nous disons que deux espaces métriques sont "isométriques" s'il existe une isométrie surjective de l'un sur l'autre

P3.  est dite "lipchitzienne" de constante (ou : "de rapport")  s'il existe  tel que :

Si , nous disons que  est "contractante" (ou : est une "contraction"), et si , nous disons que  est strictement contractante.

P4. Toute fonction  lipchitzienne est uniformément continue (voir plus loin voir plus loin le concept "d'uniforme continue") si elle vérifie :

avec  et  (la réciproque n'est pas vraie : toute fonction uniformément continue n'est pas nécessairement continue).

Remarques :

R1. Une isométrie est toujours injective car :

mais elle n'est pas en général surjective.

Ensembles ouverts et fermés

Définition: Considérons un ensemble muni d’une distance . Un sous-ensemble de est dit "ouvert" si, pour chaque élément de , il existe une distance non nulle pour laquelle tous les éléments de dont la distance à cet élément est inférieure à , appartiennent à , ce qui ce traduit en langage mathématique :

ouvert de

Remarque : le symbole / signifie "satisfait le propriété"

Cette définition peut sembler complexe mais en fait, sa signification concrète est plus simple qu’il n’y paraît. En fait, selon cette définition, un ensemble ouvert dans un espace topologique n’est rien d’autre qu’un ensemble de points contiguës et sans bords.

L’absence de bord découle de la condition . En effet, en raisonnant par l’absurde, si un ensemble ouvert avait un bord, alors pour chaque point situé sur celui-ci (le bord) il serait toujours possible de trouver un point n’appartenant pas à aussi proche que l’on veut de lui. Il s’ensuit que la distance nécessaire devient donc nulle.

Définitions : 

D1. Un sous-ensemble "fermé" est un "ouvert avec bord".

D2. Un "voisinage" d'un point de est une partie de contenant un ouvert contenant ce point.

La définition d’un ensemble ouvert peut être simplifiée en introduisant une notion supplémentaire, celle de "boule ouverte" :

BOULES

Soit un élément de . 

Définition: une "boule ouverte de centre et de rayon "  (ou :  "boule métrique de rayon centrée en ") est le sous-ensemble de tous les points de dont la distance à est inférieure à , ce que nous écrivons :

Un ensemble ouvert peut également être défini comme un ensemble pour lequel il est possible de définir une boule ouverte en chaque point.

Remarques : 

R2. Les ouverts ainsi définis, forment ce que nous appelons une "topologie induite" par la distance ou aussi "topologie métrique".

R3. Nous appelons une "couverture ouverte" de , un ensemble d’ouverts de dont la réunion est .

Définition : une "boule fermée" est similaire à une boule ouverte mais diffère dans le sens que nous y incluons les éléments situés à la distance du centre :

Remarques : pour  les inclusions  sont des conséquences directes de la définition de boule ouvert et fermeé.

Définition : une "sphère" est donnée par :

Remarque : puisque par définition, , les boules ouvertes et fermées ne sont pas vides car elle contiennet au moins leur centre. Par contre, une sphère peut être vide.

Voyons un exemple intéressant de tout cela : avec  nous avons vu dans les exemples précédents que nous pouvions définir différentes distances. Pour les distinguer, nous les notons :

Alors, dans les boules fermées de centre et de rayon unité équivalentes aux trois formuations précédentes, ont la forme suivante (rappel :  dans cet exemple) :

PARTIES

Maintenant que nous avons défini les concepts de boules, nous pouvons enfin définir rigoureusement les concepts d'intervalles ouverts et fermées (qui dans un espace à plus d'une dimension sont nommées "parties") dont nous avons fait si souvent usage en analyse fonctionnelle et calcul intégral et différentiel.

Définition : Soit  un espace métrique. Nous disons qu'une partie  de  est "bornée" s'il existe une boule fermée  telle que :

Compte tenu de la remarque précédente sur les inclusions des boules, il est claire que nous pouvons remplacer l'adjectif "fermée" par "ouverte". De plus l'inégalité triangulaire entraîne que le caractère borné de  ne dépend pas du choix de  (avec un  il suffit de remplacer  par ).

D1. Soit un ensemble et un espace métrique. Si est un ensemble, nous disons qu'une fonction est bornée si son image  est bornée.

D2. Soit un espace métrique, et soit  une partie non vide de . Pour tout  nous notons  et nous appelons "distance de à ", le nombre réel positif non nul :

Nous prolongeons la notion en posant :

Remarque : si le lecteur à bien compris la définition du concept de "parties" il remarquera qu'il n'existe pas nécessairement toujours un  tel que . En conséquence, nous écrivons trivialement :

De plus, si un tel  existe, il n'est bien évidemment pas nécessairement unique.

Remarque : il convient peut être de rappeler que cette distance satisfait également les 5 axiomes des distances.

D3. Soit  un espace métrique, et soit  une partie de . Nous appelons "adhérence" de  et notons le sous-ensemble de  défini par :

En particulier, puisque  , nous avons , et puisque  , nous avons : .

Remarques :

R1. Tout élément de l'ensemble  est dit "point adhérent" à

R2. Nous disons qu'une partie de  est "fermée" si elle est égale à son adhérence

R3. Nous disons qu'une partie  de est "ouverte" si son complémentaire par rapport à  :

Il s'ensuite que (de par les définitions) :

 est ouverte

Propriétés :

P1. (triviale) Si  et  vérifient , nous avons :

P2. (triviale) Pour tout , tout  :

Corollaire de P2. (trivial) :

Si pour tout  nous avons , , nous avons :

BOULES GÉNÉRALISÉES

La notion de distance d'un point à un ensemble permet d'étendre les notions de boule et de sphère.

Définitions :

D1. Soit  et soit un . Nous appelons "boule ouverte généralisée"  de centre  et de rayon , l'ensemble suivant :

Respectivement "boule fermée généralisée":

Respectivement "sphère généralisée" :

D1. Soit , une espace métrique et soient  deux parties non vides de . Nous notons  et appelons "gap" (qui signifie "écartement" ou "espacement" en français) de  à , le nombre réel supérieur ou égal à zéro :

Remarque : l'inégalité triangulaire n'est pas valide dans le cadre des gap (ceci étant également valable). Il suffit pour le démontrer, d'un seul et unique exemple qui contredirait l'inégalité.

Exemple : Dans  prenons  nous avons alors :

Il y a donc bien contradiction.

DIAMÈTRE

Définition : Soit  un espace métrique et soit  une partie non vide de . Nous notons  et nous appelons "diamètre" de , le nombre réel positif non nul :

Tout partie non vide  d'un espace métrique vérifiant sera dite "bornée".

Remarque : Nous considérons la partie vide  comme un borné de diamètre

Si l'espace métrique  tout entier est borné, nous disons que "la distance est bornée". Par exemple, la distance discrète est bornée, la distance usuelle sur  ne l'est pas.

Propriétés :

P1. (triviale)ou

P2. (triviale)

P3. De par la définition du diamètre :

Exemple : pour il suffit pour se convaincre de prendre la distance discrète. Ainsi, dans un espace métrique où nous prenons avec , nous avons  (c'est un cas intéressant car complètement contre-intuitif).

P4. Nous avons

Exemple : Dans  prenons , nous avons alors (infériorité stricte triviale):

P5.  est borné si et seulement si

Définition : Nous appelons "excès de Hausdorff" de  sur  :

Remarque : nous avons en général et ces quantités peuvent ne pas être finies.

VARIETES

Nous introduisons maintenant les "variétés". Ce sont des espaces topologiques qui sont "localement comme " (notre espace par exemple..).

Définitions :

D1. Une "variété topologique de dimension " est un espace de Hausdorff tel que pour tout il existe un voisinage ouvert avec , un voisinage ouvert  et un homéomorphisme :

D2. Un "homéomorphisme" entre deux espaces est une bijection continue dont l'inverse est également continu.

D3. Les couples  sont appelés des "cartes", étant le "domaine de la carte" et  "l'application de coordonnées". Au lieu de "carte nous disons parfois aussi "système de coordonnées"

Remarque : nous noterons par  la dimension d'une variété topologique. Ainsi :

D4. Soit une variété topologique de dimension . Une famille  de cartes de  est appelée un "atlas" si pour tout , il existe une carte  telle que .

Remarque : notons que si  sont deux cartes de  telles que (ne vérifiant pas l'axiome de Hausdorff) , alors l'application de changement de cartes :

est un homéomorphisme.

Définitions :

D1. Une "variété différentiable" est un espace topologique où les applications  sont des fonctions de classe .

D2. Un "difféomorphisme" est une application  où sont des domaines ouverts de  et si est un homéomorphisme et en plus si  et  sont différentiables.

Remarque : "différentiable" dans ce contexte signifiera toujours différentiable de classe

VARIETES differentiables

Définitions :

D1 .Soit une variété topologique  (pour simplifier l'écriture), deux cartes  de sont "compatibles" (plus précisément, compatibles de classe ), si l'une des deux propriétés suivantes est vérifiée :

P1.  et l'application de changement de cartes est un difféomorphisme

P2.

Un atlas  de  est différentiable si toutes les cartes de  sont compatibles entre elles.

D2. Une "variété différentiable" est un couple où  est une variété topologique et  un atlas différentiable de .