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Postulats d'Euclide

Après avoir défini les notions de point, de ligne, de droite (ligne qui est également placée entre ses points), d'angle, de cercle, etc., de droites parallèles (qui prolongées indéfiniment d'un côté ou de l'autre ne se rencontrent pas), Euclide pose les fameux postulats dont le cinquième est resté LE postulat d'Euclide, souvent dit "axiome (ou postulat) des parallèles":

1. Etant donnés deux points A et B, il existe une droite passant par A et B

2. Tout segment [AB] est prolongeable en une droite passant par A et B (compte tenu du premier postulat, elle est unique)

3. Pour tout point A et tout point B distinct de A, on peut décrire un cercle de centre A passant par B

4. Tous les angles droits sont égaux entre eux

5. Par un point extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette droite.

Gauss et Riemann ont développé des mathématiques fonctionnelles dans des géométries ou l'axiome des parallès n'est pas vérifié. Ainsi, ont été crées la géométrie de Gauss et Riemannienne que l'on retrouve entre autres dans la Relativité Générale. Mais nous verrons tout cela bien plus loin.

Théorème de Pythagore

Soit un carré (4 angles droit)  dans lequel est inscrit un autre carré, déterminer la surface du carré inscrit à partir des triangles rectangles résultants de l'espace vide.

La surface du carré blanc est par définition de la surface:

Pour avoir la surface du carré gris on peut soustraire au carré blanc la surface des 4 triangles rectangles (d'un surface de moitié de celle d'un quadrilatère de même longueur et hauteur), chacun de surface:

La surface du carré blanc est donc finalement:

Le résultat obtenu étant équivalent au carré des côtés de la surface grise, on a:

C'est au chinois Tchao Kiung K'ing (2ème siècle) que l'on doit cette démonstration.

Théorème de THALES

Lemme 1: triangles de même surface

Soit la figure:

Nous avons:

 est un rectangle car ses côtés sont parallèles deux à deux et il a au moins deux angles droits. Donc ses côtés opposés ont même longueur: .

 est la hauteur relative à  dans le triangle  et  est la hauteur relative à  dans le triangle .

La surface du triangle ne dépend que de la longueur du côté et de la longueur de la hauteur relative à ce côté. Pour les deux triangles  et , ces longueurs sont égales, donc ils ont la même surface.

Conclusion: si deux triangles ont un côté commun et si les troisièmes sommets sont une parallèle à ce côté comme, alors ils ont la même surface.

Lemme 2: rapports égaux

Soit le rapport de proportions (calcul proportionnel ou produit en croix):

alors:

Si , alors  (nous ajoutons un même nombre positif ou négatif aux deux membres). D'où après factorisation:

Et en appliquant inversement la règle des produits en croix:

Exposons maintenant le théorème de Thalès:

Soit la figure:

Avec:

Nous avons montré précédemment que si deux triangles ont un côté commun et si les troisièmes sommets son sur une parallèle, alors ils ont la même surface. Donc les triangles  et  ont la même surface.

En ajoutant à chacune de ces deux surfaces celle du triangle , nous obtenons que les triangles  et  ont la même surface.

Nous en déduisons que en utilisant le rapport en croix:

Soit  la hauteur issue de  dans le triangle  et  la hauteur issue de  dans le triangle :

 et

Conclusion:

Soit la figure:

Les triangles  et  ont la même surface (lemme 1) ainsi que les triangles  et .

d'où:

 et

De la même manière dans les triangles  et , nous obtenons:

D'après le lemme 2, si:

alors:

Donc finalement en reprenant tous les résultats obtenus: