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CALCUL ALGEBRIQUE | ANALYSE FONCTIONNELLE | CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL | 
SUITES ET SERIES | CALCUL VECTORIEL | ALGEBRE LINEAIRE | CALCUL TENSORIEL | TOPOLOGIE

Le calcul vectoriel classique est une technique simple et efficace qui s'adapte parfaitement à l'étude des propriétés mécaniques et physiques de la matière dans l'espace euclidien à trois dimensions. Cependant, dans de nombreux domaines de la physique, il apparaît des grandeurs expérimentales qui ne peuvent plus être facilement représentées par de simples vecteurs-colonnes d'espaces vectoriels euclidiens. C'est le cas par exemple en mécanique des milieux continus, fluides ou solides, en électromagnétisme, relativité générale, etc.

Ainsi, dès la fin du 19^ème siècle, l'analyse des forces qui s'exercent à l'intérieur d'un milieu continu à conduit à mettre en évidence des grandeurs physique caractérisées par neuf nombres  représentant les forces de pression ou de tension internes. La représentation de ces grandeurs nécessita l'introduction d'un nouvel être mathématique qui fut appelé "tenseur", par référence à son origine physique (au fait, il s'agit de matrice sur lesquelles nous définissons des opérations mathématiques propres au domaine de la physique). Par la suite, à partir de 1900, ce furent R. Ricci et T. Lévi-Civita qui développèrent le calcul tensoriel; puis l'étude des tenseurs permit un approfondissement de la théorie des espaces vectoriels et contribua au développement de la géométrie différentielle.

Le calcul tensoriel à également pour avantage de se libérer de tous les systèmes de coordonnées et leurs formes sont ainsi invariantes (énorme allégement des calculs). Il n'y a plus alors à se préoccuper dans quel référentiel il convient de travailler et cela, est très intéressant en relativité générale (bien que nous puissions reformuler toute la physique sous forme tensorielle, nous nous en abstiendrons tant que cela ne sera pas strictement nécessaire).

Nous conseillons vivement au lecteur de bien maîtriser les bases du calcul vectoriel et de l'algèbre linéaire comme elles ont été présentées auparavant, avant de s'attaquer au calcul tensoriel. Si le lecteur à déjà parcouru l'étude des équations de Navier-Stokes (mécanique des milieux continus) ceci constituera un petit avantage avant de parcourir ce qui va suivre.

Nous ne ferons que très peu d'exemples pratique dans cette section. Effectivement les exemples viendront lorsque nous étudierons la mécanique des milieux continus, la relativité générale, etc...

Notation indicielle

Nous utilisons par la suite des symboles mathématiques: coordonnées, composantes de vecteurs et tenseurs, éléments de matrice, etc., dont le nombre, dans chaque catégorie, est grand ou indéterminé. Pour distinguer les divers symboles d'une catégorie nous emploions des indices. Par exemple, au lieu des variables traditionnelles nous utiliserons éventuellement les grandeurs (comme nous l'avons déjà fait en algèbre linéaire). Cette notation devient indispensable lorsque nous avons des variables en nombre indéterminé.

Ainsi, si nous avons a variables, nous les noterons :

Nous utilisons également des indices supérieurs, selon les besoins; par exemple, . Afin d'éviter toute confusion avec l'écriture des puissances, la quantité  à la puissance sera écrite . Lorsque le contexte écarte tout risque d'ambiguïté, l'utilisation des parenthèses n'est cependant pas fondamentalement nécessaire.

En calcul tensoriel il existe une convention de sommation qui consiste à utiliser le fait que l'indice répété, ici l'indice , va devenir lui-même l'indication de la sommation. Nous écrivons alors, avec cette convention :

ce qui permet de condenser relativement bien les écritures.

Ainsi, pour représenter le système linéaire :

Nous écrirons (remarquez bien comment s'écrivent les composants de la matrice associée) : 

en spécifiant que c'est pour  .

Nous voiyons sur cet exemple, combien la convention de sommation permet une écriture condensée et donc puissante.

La convention de sommation s'étend à tous les symboles mathématiques comportant des indices répétés. Ainsi la décomposition d'un vecteur  sur une base  s'écrit pour dès lors :

En résumé, tout expression qui comporte un indice deux fois répété représente une somme sur toutes les valeurs possibles de l'indice répété.

Sommation sur plusieurs indices

La convention de sommation s'étend au cas où figurent plusieurs indices dits "muets" dans un même monôme. Soit par exemple, la quantité , celle-ci représente la somme suivante pour et prenant les valeurs de 1 à 2:

Ainsi, nous voyons facilement qu'un expression avec deux indices de sommation qui prennent respectivement les valeurs comportera  termes; s'il y a trois indices, de sommation etc.

Il faut faire cependant attention aux substitutions avec ce genre de notation car si nous supposons que nous avons la relation:

 avec

Pour obtenir l'expression de uniquement en fonction des variables , nous ne pouvons pas écrire : 

car cela ne revient pas à la même expression après développement puisque les indices muets sont systématiquement sommés de manières identiques et rigides (nous laissons au lecteur le soin de faire ce petit exercice de style).

Symbole de Kronecker

Un symbole introduit par le mathématicien Kronecker, est le suivant:

Ce symbole est appelé "symbole de Kronecker". Il permet avantageusement d'écrire, par exemple, le produit scalaire de deux vecteurs et , de norme unité et orthogonaux entre eux, sous la forme:

Lors d'une sommation portant sur deux indices muets, le symbole de Kronecker annule tous les termes où les indices ont des valeurs différentes. Par exemple:

Nous retrouverons ce symbole dans de nombreux exemples de physique théorique (mécanique quantique ondulatoire, mécanique quantique des champs, relativité générale, mécanique des fluides, etc..)

Symboles d'antisymétrie

Une autre symbole fort utile est le "symbole d'antisymétrie" que nous retrouverons fréquemment en relativité générale. Dans le cas où prennent l'une des valeurs le symbole d'antisymétrie aura les valeurs définies suivantes:

- , si deux quelconques des indices ont une valeur identique

- , si les indices sont dans l'ordre 1, 2, 3 ou proviennent d'un nombre pair de permutations des indices par rapport à l'ordre initial des indices.

- , si les indices sont dans un ordre qui provient d'un nombre impair de permutations par rapport à l'ordre initial des indices.

En utilisant ce symbole, un déterminant d'ordre deux (voir algèbre linéaire) s'écrit alors sous la forme avantageuse :

Voyons maintenant des applications concrètes cette notation indicielle en reprenant l'exemple du changement de base que nous avons déjà vu en calcul vectoriel :

Soient deux bases  et d'un espace vectoriel euclidien . Chaque vecteur d'une base peut être décomposé sur l'autre base sous la forme d'une application linéaire (matrice de changement de base) :

   et  

où nous utilisons bien évidemment la convention de sommation pour

Rappel : la matrice de changement de base (ou de "transformation) doit avoir autant de colonnes que le vecteur de base n'a de lignes (dimensions). Petit exemple à trois dimensions:

et il est évident qu'îl est fort plus sympathique d'écrire cela sous la forme :

Un vecteur quelconque  de  peut être décomposé (nous l'avons déjà vu) sur chaque base de sous la forme: 

Si nous cherchons les relations entre les composantes  et  il suffit de reprendre les relations de changement de base et nous avons alors (cela revient à faire de l'agèblre linéaire):

De suite par l'unicité de la décomposition d'un vecteur sur une base, nous pouvons égaler les coefficients des vecteurs de base et nous obtenons (il faut prendre garde a ré-arranger à nouveau l'ordre des termes que la multiplication matricielle n'est pas commutative comme nous le savons déjà) :

 et

Il vient également la relation triviale (voir l'algèbre linéaire) : 

Quant au produit scalaire les résultats obtenus avec la notation indicielle sont forts intéressants et extrêmement puissants. Nous avons déjà défini le produit scalaire en calcul vectoriel mais voyons comment l'on manipule ce dernier avec la notation indicielle:

Considérons un espace vectoriel euclidien  rapporté à une base quelconque . Les vecteurs s'écrivent sur cette base (nous le savons déjà): 

,

Le produit scalaire relativement à ses propriétés et à la notation indicielle s'écrit alors:

avec évidemment: 

et pour satisfaire la propriété de commutativité du produit scalaire (voir le chapitre de calcul vectoriel) nous devons évidemment avoir l'égalité .

Remarque: lorsque les vecteurs de base forment un espace vectoriel orthogonal (pas nécessairement orthonormé) alors les quantités:

sont nulles si . Le produit scalaire de deux vecteurs et se réduit alors à:

ou encore à :

METRIQUE ET SIGNATURE

Comme nous l'avons vu en calcul vectoriel, le produit scalaire d'un vecteur  peut permettre de définir la notion de norme d'un vecteur (et le concept de distance).

Rappellons que nous avons par définition la norme d'un vecteur qui est donnée par:

où les nombres  définissent en quelque sorte une "mesure" des vecteurs; nous disons alors dans le langage du calcul tensoriel qu'ils constituent la "métrique" de l'espace vectoriel choisi.

Dans l'espace de la géométrie classique, la norme est un nombre qui est toujours strictement positif et qui ne devient nul que si le vecteur mesuré est égal à zéro. Par contre, l'expression précédente de la norme d'un vecteur, peut être éventuellement négative pour des nombres  quelconques (espaces complexes par exemple). Nous pouvons donc distinguer deux genres d'espaces vectoriels pré-euclidiens (espace euclidien dans lequel nous avons défini le produit scalaire) selon que la norme est positive ou non. Cependant lorsqu'en physique théorique nous souhaitons faire l'analogisme avec une structure d'espace vectoriel il faut que la condition :

soit satisfaite (peut être écrit comme une matrice, rien ne nos l'empêche). 

Explications: nous savons que le produit scalaire doit satisfaire à la propriété de commutativité telle que:

D'autre part, si pour tout non nul nous avons :

cela implique  (c'est une des propriétés de la norme que nous avons vu en calcul vectoriel). Nous pouvons alors écrire:

Nous nous  retrouve ici simplement avec un système de équations à inconnues (ne devant admettre par hypothèse que la solution ), il faut et il suffit pour cela que le déterminant du système, noté , du système soit différent de zéro (voir le chapitre d'algèbre linaire); nous devons donc avoir:

C'est une des conditions pour qu'une expression assimilable à une norme sous une écriture tensorielle forme dans le cadre d'une théorie physique un espace vectoriel des états du système !!

Remarque : le nombre de signes + et – se trouvant dans l'expression du produit scalaire constitue une caractéristique d'un espace vectoriel donné ; elle est appelée la "signature de l'espace vectoriel" .

Jusqu'à maintenant nous avons écrit les indices muets arbitrairement en exposant ou en indice selon notre vouloir. Cependant, cela n'est pas toujours autorisé et parfois le fait qu'un indice muet soit en exposant ou en indice à une signification bien particulière. Ceci constitue souvent la difficulté lors de l'étude de certains théorèmes, car si nous n'étudions pas ceux-là depuis le début, nous ne savons pas vraiment comme interpréter la position des indices muets. Il faut donc être extrêmement prudent à ce niveau.

Pour un espace vectoriel euclidien  rapporté à une base quelconque , le produit scalaire d'un vecteur  par un vecteur de sa base s'écrit:

Donc :

Cette relation est de première importance en physique théorique et en calcul tensoriel. Il est important de s'en souvenir pour lorsque nous étudierons la contraction des indices plus tard (vous pouvez observer dans la relation précédente que nous avons "abaissé" l'indice des composantes du membre doit de l'égalité).

Ces produits scalaires notés , s'appellent les composantes "covariantes", dans la base , du vecteur . Ces composantes sont donc définies par: 

Remarque : cela constitue une projection d'un vecteur sur un des vecteurs de la base

Elles seront notées au moyen d'indices inférieurs !!! Nous verrons par la suite que ces composantes s'introduisent naturellement pour certains vecteur de la physique, par exemple le vecteur gradient. D'autre part, la notion de composante covariante est essentielle pour les tenseurs.

Remarque: les vecteurs de base ont toujours les indices notés en bas car ils sont leurs propres composantes covariantes (ils se projettent sur eux-mêmes par produit scalaire).

Inversement, les composantes "contravariantes" (autrement dit les "composantes non projetées") peuvent être calculées en résolvant, par rapport aux inconnues , le système de équations de :

Les relations précédentes montrent que les composantes covariantes  sont liées aux composantes  classiques. Pour les distinguer, ces dernières sont appelées les composantes "contravariantes" du vecteur .  Les composantes contravariantes sont donc des nombres  tels que: 

Elles seront indiquées au moyen d'indices supérieurs !! L'étude des changements de base permettra de justifier encore plus l'appellation des différentes composantes.

Dans une base orthonormée canonique (cas très particulier), les composantes covariantes et contravariantes sont identiques puisque nous avons effectivement :

Remarque : nous voyons ci-dessus, que l'écriture incéssante d'indice muets en exposants ou en indice peut parfois amener à certaines confusiosn et à des maux de tête sérieux (c'est la plus grande difficulté du calcul tensoriel à notre avis).

OPERATIONS DANS LES BASES

l'intérêt du physicien pour le calcul tensoriel, est le passage de paramètres d'une base à une autre pour des raisons données (souvent dans le but soit de simplifier l'étude de problèmes ou simplement parce que les états étudiés dépendant - ou peuvent dépendre - de la géométrie de l'espace dont il est question). Il convient donc d'introduire les principaux outils qui y sont relatifs.

METHODE D'ORTHOGONALISATION DE SCHMIDT

La méthode dite d'orthogonalisation de Schmidt (dite également de "Grahm-Schmidt") permet le calcul effectif d'une base orthogonale pour tout espace vectoriel pré-euclidien (nous aurions pu présenter cette méthode dans le chapitre de calcul vectoriel mais il nous semblait plus intéressant de la présenter dans le cas général et esthétique du calcul tensoriel).

Pour cela, considérons un ensemble de vecteurs linéairement indépendants  de  et supposons que l'on ait pour chaque vecteur le produit scalaire (la norme) :

Cherchons vecteurs  orthogonaux entre eux. Partons pour cela de  et cherchons  orthogonal à  sous la forme:

Le coefficient  se calcule en écrivant la relation d'orthogonalité:

Nous en déduisons sans trop de peine:

La paramètre  étant déterminé, nous obtenons le vecteur  qui est orthogonal à  et non nul puisque le système  est linéairement indépendant.

Le vecteur  est cherché sous la forme:

Les deux relations d'orthogonalité:  et , permettent le calcul des coefficients  et . Nous obtenons:

;

ce qui détermine le vecteur , orthogonal à  et , et non nul puisque le système  est indépendant. En continuant le même type de calcul, nous obtenons de proche en proche un système de vecteurs  orthogonaux entre eux et dont aucun n'est nul

Dans le cas où certains vecteurs seraient tels que (leur norme est nulle), nous remplaçons  par , en choisissant un vecteur  de telle sorte que nous obtenions .

Nous en déduisons donc que tout espace vectoriel pré-euclidien admet des bases orthogonales!

Ce système de calcul des bases est de première importance, il permet par exemple d'étudier des systèmes physiques à partir d'un référentiel pré-euclidien dont les propriétés changent dans le temps. Ce qui est par exemple typique de la relativité générale (pour donner l'exemple le plus impressionnant…)

CHANGEMENTS DE BASE

Soient deux bases  et  d'un espace vectoriel . Chaque vecteur d'une base peut être décomposé sur l'autre base sous la forme suivante (nous l'avons déjà déjé démontré):

  et  

Un vecteur  de  peut être décomposé sur chaque base sous la forme:

et nous avons aussi déjà démontré que:

   et   

Nous remarquons que les relations de transformation des composantes contravariantes sont le contraire des vecteurs de base, les grandeurs et s'échangeant, d'où l'origine de l'appellation "contra"-"variantes" de ces composantes.

Soient   et  les composantes contravariantes du vecteur  respectivement sur les bases  et . Remplaçons les vecteurs de base, exprimés par les relations:

 et

dans l'expression de définition des composantes covariantes, il vient:

d'où la relation entre les composantes covariantes dans chaque base:

Nous obtenons de même:

Nous remarquons que les composantes covariantes se transforment comme les vecteurs de bases, d'où l'appellation de ces composantes.

BASES RECIPROQUES

Soit une base quelconque  d'un espace vectoriel euclidien . Par définition, vecteurs  qui vérifient les relations suivantes:

sont appelés les "vecteurs réciproques" des vecteurs . Ils seront notés avec des indices supérieurs. Par définition, chaque vecteur réciproque  se doit donc d'être orthogonal à tous les vecteur , sauf pour .

Montrons que les vecteurs réciproques  d'une base donnée  sont linéairement indépendants. Pour cela, il faut montrer qu'une combinaison linéaire  donne un vecteur nul, si et seulement si chaque coefficient  est nul.

Soit  un vecteur quelconque de . Multiplions scalairement par  la combinaison linéaire précédente , on obtient:

Cette dernière égalité devant être vérifiée quels que soient les , il est nécessaire que chaque  soit nul et ainsi les vecteurs  sont donc linéairement indépendants (fallait déjà avoir l'idée de procéder ainsi n'est-ce pas?).

Le système de vecteurs réciproques forme donc une base appelée la "base réciproque" de l'espace vectoriel .

Exemple (d'habitude nous nous opposons aux exemples mais ici les implications sont intéressantes):

Soit trois vecteurs  formant une base (non nécessairement orthonormée) d'un espace vectoriel euclidien. Nous décidons de noter :

où, rappelons-le, le symbole  représente le produit vectoriel (au cas oùi il y aurait un petit oubli...). Les vecteurs suivants:

vérifient la relation  et constituent le système réciproque des vecteurs . En cristallographie, ces vecteurs constituent ce que nous appelons "l'espace de Fourier associé".

TENSEURS EUCLIDIENS

La généralisation de la notion de vecteur nous a conduit à l'étude des espaces vectoriels à dimensions. Les tenseurs sont également des vecteurs de dimension quelconque mais qui possèdent des propriétés supplémentaires par rapport aux vecteurs.

Pour le physicien théoricien, le calcul tensoriel s'intéresse en premier lieu à la manière dont les composantes des tenseurs se transforment lors d'un changement de base des espaces vectoriels dont ils sont issus. Nous commencerons donc à étudier ces propriétés vis-à-vis des changements de base (car c'est le cas le plus intéressant).

Un tenseur est, en pratique, souvent uniquement défini et utilisé sous la forme de ses composantes. Ces dernières peuvent être exprimées sous forme covariante ou contravariante comme pour tout vecteur. Mais un nouveau type de composantes va apparaître pour les tenseurs, ce sont les "composantes mixtes". Ces trois types de composantes constituent des décompositions des tenseurs euclidiens sur des bases différentes.

TENSEUR FONDAMENTAL

Au cours de la théorie vu précédemment, nous avons utilisé les quantités , définies à partir du produit scalaire des vecteurs de base  d'un espace vectoriel pré-euclidien  à dimensions, par:

Ces  quantités constituent les composantes covariantes d'un tenseur appelé le "tenseur fondamental" ou "tenseur métrique".

Etudions comment varient les quantités  lorsque nous effectuons un changement de base :

Soit  une autre base liée à la précédente par les relations connues:

   et   

Substituant la relation  dans l'expression de , il vient (nous changeons les indices comme il se doit lors d'une substitution):

Dans la nouvelle base , les produits scalaires des vecteurs de base sont donc des quantités telles que:

Nous avons donc finalement pour l'expression des composantes covariantes  lors d'un changement de base:

Identiquement nous avons :

De manière générale, une suite de  quantités qui se transforment, lors d'un changement de base de , selon les deux relations précédentes, à savoir:

   et   

constituent, par définition, les "composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux" (à deux indices) sur .

Nous pouvons ainsi manipuler des quantités exprimant les propriétés intrinsèques des bases comme des tenseurs normaux !

PRODUIT TENSORIEL DE DEUX VECTEURS

Considérons un espace vectoriel euclidien  de base  et soient deux vecteurs de :

     et  

Formons les produits deux à deux des composantes contravariantes  et , soit:

Nous obtenons ainsi  quantités qui constituent également les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux appelé "le produit tensoriel du vecteur  par le vecteur ". 

Remarque : nous pouvons construire des produits tensoriels d'ordre trois (donc avec termes) tels que :

Etudions les propriétés de changement de base de ces composantes. Utilisons pour cela les relations de changement de base des composantes contravariantes d'un vecteur, à savoir:

 et  

Remplaçons dans la relation  les composantes  et  par leur expression de changement de base, il vient:

Les quantités  sont les nouvelles composantes:

La formule de transformation des  quantités  lors d'un changement de base de  est donc finalement (très similaire au tenseur métrique):

Une telle relation de changement de base caractérise les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux. Inversement, nous obtenons :

Les quantités  constituent donc les "composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux".

Nous pouvons former de même les produits deux à deux des composantes covariantes  et  des vecteurs  et  soit:

Les formules de changement de base des composantes covariantes des vecteurs sont données par les relations suivantes que nous avons déjà démontrées précédemment:

 et  

Substituant la première relation dans le produit , il vient:

C'est la relation de changement de base des composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux. On vérifie que l'on a:

Identiquement nous avons bien évidemment:  puisque .

Les quantités  constituent donc les "composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux".

Formons à présent quantités en multipliant deux à deux les composantes covariantes du vecteur  par les composantes contravariantes de , nous obtenons :

Effectuons un changement de base dans cette dernière relation en tenant compte des expressions   et , on obtient:

Cette relation de changement de base caractérise les "composantes mixtes" d'un tenseur d'ordre deux. Inversement, on peut vérifier que l'on a:

Ces composantes mixtes constituent également des composantes du produit tensoriel de  par , selon une certaines base.

De manière générale, une suite de  quantités  qui se transforment, lors d'un changement de base de , selon les relations établies juste précédemment constituent donc, par définition, les "composantes mixtes d'un tenseur d'ordre deux".

ESPACES TENSORIELS

Au cours de l'étude précédente, nous avons utilisé des systèmes de  nombres, crées à partir d'un espace vectoriel . Lorsque ces nombres vérifient certaines relations de changement de base, nous avons appelé ces grandeurs, par définition, les "composantes d'un tenseur".

Nous avons vu que toute combinaison linéaire de ces composantes constitue les composantes d'autres tenseurs. Nous pouvons donc additionner entre elles les composantes des tenseurs ainsi que les multiplier par des scalaires, pour obtenir d'autres composantes de tenseurs. Ces propriétés d'addition et de multiplication font que nous allons pouvoir utiliser ces grandeurs tensorielles comme composantes de vecteurs.

D'un point de vue pratique, nous pourrions nous contenter de définir les tenseurs à partir des relations de transformation de leurs composantes lors d'un changement de base. C'est ce qui est souvent fait en physique. Cependant, la définition des tenseurs sous forme de vecteurs conduit à une meilleure compréhension de leurs propriétés et les rattache à la théorie générale des vecteurs.

Pour préciser comment nous définissons un tenseur sur une base, étudions le cas particulier d'un produit tensoriel de deux vecteurs constitués par des triplets de nombres. Considérons l'espace vectoriel euclidien  dont les vecteurs sont des triplets de nombre de la forme: . La base orthonormée canonique de  est formée de trois vecteurs :

avec (jolie façon d'écrire la chose n'est-il pas...).

Des vecteurs de  permettent de former les neuf quantités  que nous avons appelées "les composantes du produit tensoriel" des vecteurs  et .

Si nous effectuons tous les produits tensoriels possibles entre vecteurs de , nous obtenons des suites de neuf nombres qui peuvent servir à définir le vecteur suivant :

Remarque : nous voyons de suite avec la relation précédente que le produit tensoriel n'est dès lors pas commutatif.

éléments d'un espace vectoriel  à neuf dimensions, ayant pour éléments tous les multiplets formés de neuf nombres.

Ces vecteurs peuvent être décomposés, par exemple, sur une base canonique orthonormée :

avec .

Si nous renumérotons les quantités  selon la place qu'elle occupent dans l'expression de , soit:

avec et , les vecteurs  s'écrivent alors:

et constituent un exemple de tenseur d'ordre deux (évidemment on peut généraliser la démarche).

En quoi ces tenseurs  diffèrent-ils des vecteurs ordinaires ? Ils sont certes identiques à certains vecteurs de  mais ils ont été formés à partir des vecteurs de  et  de . Pour rappeler ce fait, nous les notons :

et ils sont appelés "produits tensoriels d'ordre deux" des vecteurs  et . Le symbole  est donc défini de la manière dont nous avons formé les quantités  et l'ordre dans lequel nous les avons classées pour former le vecteur .

Pour rappeler la dépendance entre une quantité  et le vecteur de base  auquel il est affecté, renumérotons ces vecteurs en mettant à la place de l'indice les deux indices et , relatifs aux composantes, soit:

Ce dernier peut très bien être noté sous la forme:

Les vecteurs  constituent donc une base de  qui est appelée la "base associée". 

Nous rappelons également que le produit tensoriel est non-commutatif (il est vraiment important de s'en rappeler)! Autrement dit :

Les relations précédentes nous permettent finalement d'écrire le produit tensoriel des vecteurs  et  sous la forme:

L'espace vectoriel  est doté d'une structure plus précise que celle de simple espace vectoriel de dimension neuf lorsque nous définissons les produits tensoriels  comme constituant la base de . Nous disons que  est doté d'une "structure de produit tensoriel" ce qui nous amène à noter cet espace  ou encore .

Le produit tensoriel à plusieurs propriétés dont il est facile de démontrer la validité:

- Distributivité, à gauche et à droite, par rapport à l'addition des vecteurs:

- Associativité avec la multiplication par une grandeur scalaire:

En tant qu'élément d'un espace , un tenseur  est un vecteur de la forme générale:

Etudions ses propriétés vis-à-vis d'un changement de base de  tel que:

 et

Lors d'un tel changement, la base  associée à  devient une autre base  associée à , à savoir:

Par suite, le prdouit tensoriel  a pour composantes dans la nouvelle base:

Soit donc :

Nous avons les propriétés suivantes :

P1. Distributivité, à gauche et à droite, par rapport à l'addition des vecteurs :

La démonstration de ces propriétés est simple content de la définition du produit tensoriel. Nous avons par exemple :

P2. Associativité avec la multiplication par une grandeur scalaire :

Nous avons en effet :

P3. Lorsque nous choisissons une base dans chacun des espaces vectoriels  pour ,  pour , les  éléments de  que nous notons  forment également une base de .

Remarque : en pratique, nous avons souvent à utiliser des tenseurs formés à partir de veteurs appartenant à des espaces vectoriels identiques .

Nous pouvons bien évidemment généraliser le produit tensoriel à un nombre quelconque de vecteurs. De proche en proche, compte tenu de la propriété P1, nous pouvons considérer  vecteurs  appartenant chacun à des espaces vectoriels différents . Si nous avons :

nous pouvons former le produit tensoriel :

avec .

appartenant à l'espace vectoriel , espace qui est muni d'une structure de produit tensoriel. Les éléments de cet espace constituent par définition des tenseurs d'ordre .

Afin d'unifier la classification, les espace vectoriels élémentaires, qui ne peuvent êtres munis d'une structure de produit tensoriel, peuvent êtres considérés comme ayant pour éléments des tenseurs d'ordre un. En général, nous appellons ces éléments des "vecteurs", réservant le nom de "tenseurs" à des éléments d'espaces tensoriels d'ordre égal ou supérieur à deux !

Il est assez évident et nous ne ferons pas la démonstration (excepté s'il y a une demande) que nous pouvons redéfinir absolument tous les concepts (base, décomposition sur une base, base réciproque, produit scalaire, produit tensoriel) que nous avons vu jusqu'à maintenant en considérant les tenseurs d'ordre deux commes des vecteurs (il faudrait donc que nous re-écrivions tout ce qui est déjà écrit ci-dessus... ce qui est inutile).

Il est aussi tout à fait possible de réiterer toutes ces définitions pour des tenseurs d'ordre supérieurs et ainsi généraliser le concept d'espace tensoriel pour toutes les dimensions.

De ces considérations, nous pouvons énoncer le "critère de tensorialité":

Pour qu'une suite de quantités, rapportées à une base d'un espace vectoriel , puisse être considérée comme les composantes d'un tenseur, il faut et il suffit que ces quantités soit liées entre elles, dans deux bases différentes de , par les relations de transformation des composantes.

COMBINAISONS LINEAIRES DE TENSEURS

Nous pouvons former d'autres tenseurs en combinant entre elles les composantes de différents produits tensoriels définis à l'aide des vecteurs d'un même espace vectoriel. Considérons par exemple les composantes contravariantes des produits tensoriels des vecteurs  et :

Formons les quantités suivantes:

Les  quantités  vérifient également les formules générales de changement de base. Nous avons en effet, en substituant les relations de transformation des composantes contravariantes d'un produit tensoriel dans l'expression précédente :

Les  quantités de , vérifiant la relation de changement de base, constituent donc également des composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre deux. 

CONTRACTION DES INDICES

Considérons le produit tensoriel mixte de deux vecteurs  et  de composantes respectives contravariantes  et covariantes . Les composantes mixtes du produit tensoriel  de ces deux vecteurs, sont:

Effectuons l'addition des différentes composantes du tenseur   telle que , soit:

Nous obtenons ainsi l'expression du produit scalaire des vecteurs  et ; la quantité  est un scalaire ou tenseur d'ordre zéro. Une telle addition sur des indices de variance différente constitue, par définition, l'opération de "contraction des indices" du tenseur . Cette opération a permis de passer d'un tenseur d'ordre deux à un tenseur d'ordre zéro; le tenseur  a été amputé d'une covariance et d'une contravariance.

Prenons également l'exemple d'un tenseur  dont les composantes mixtes sont (attention... il ne s'agit pas d'une matrice tridimensionnelle mais simplement de l'indication que les composantes de ce tenseurs s'expriment à partir de trois autres variables). Considérons certaines de ses composantes telles que , à savoir les quantités  et effectuons l'addition de ces dernières; nous obtenons:

Ces nouvelles quantités  forment les composantes d'un tenseur  d'ordre un (donc un vecteur). Les quantités  constituent des "composantes contractées" du tenseur et satisfont bien évidemment aux relations de changement de base (sur demande nous pouvons faire la démonstration mais sachez qu'elle est similaire à celle que nous avions faite pour les vecteurs). Nous sommes ainsi passé d'un tenseur d'ordre trois à un tenseur d'ordre un.

Si nous partons de l'expression des composantes contravariantes ou covariantes d'un tenseur, nous pouvons abaisser l'un des indices par multiplication de  ou (métrique diagonale unitaire et à signature positive : de type canonique) et sommation, afin d'obtenir des composantes mixtes sur lesquelles nous pouvons ensuite effectuer les opérations de contraction.

Considérons un tenseur euclidien de composantes contravariantes . Ecrivons les composantes mixtes de  en abaissant à la position covariante l'indice (cela revient donc à exprimer les composantes d'un des vecteurs implicites en composantes covariantes). Alors:

Effectivement, rappelons que :

Maintenant que nous avons un tenseur à composantes, mixtes, nous pouvons très bien contracter les indices. Choisissons par exemple l'indice  et effectuons la contraction avec l'indice , posons (nous nous intéressans alors plus qu'à certains termes particuliers), il vient:

Nous obtenons donc après abaissement de l'indice et contraction, un tenseur d'ordre . 

Remarque : par suite de la symétrie des quantités  (produit scalaire est commutatif) ce dernier tenseur est identique à celui que nous obtiendrons en abaissant à la position covariante l'indice  puis en effectuant la contraction avec l'indice :

De manière générale, la contraction d'un tenseur permet donc de former un tenseur d'ordre  à partir d'un tenseur d'ordre . Nous pouvons naturellement répéter l'opération de contraction. Ainsi, un tenseur pair, , deviendra un scalaire après contractions et un tenseur d'ordre impair, , deviendra un vecteur.

Nous pouvons étendre après cette définition de la contraction des indices, le critère de tensorialité. Nous avons vu jusqu'à maintenant, deux manières de reconnaître le caractère tensoriel d'une suite de quantités :

- la première consiste à démontrer que ces quantités sont formées par le produit tensoriel de composantes de vecteurs ou par une somme de produits tensoriel

- le deuxième consiste à étudier la manière dont ces quantités se transforment lors d'un changement de base et à vérifier la conformité des relations de transformation.

- la troisième et nouvelle amène à poser que pour qu'un ensemble de  quantités, comportant indices supérieurs et indices inférieurs soit tensoriel, il faut et il suffit que leur produit complètement contracté par les composantes contravariantes de  vecteurs quelconques et les composantes covariantes de  vecteurs quelconques, soit une quantité (la norme au fait...) qui demeure invariante par changement de base.

TENSEURS PARTICULIERS

Nous pouvons être confrontés en physique théorique à des tenseurs qui ont des propriétés intéressantes. Afin d'éviter de faire un travail redondant au cas par cas, nous allons énumérer et démontrer les différentes propriétés existantes et parler de leurs possibles implications.

TENSEUR SYMETRIQUE

Considérons un tenseur   d'ordre deux contravariantes . Supposons que, suivant une base , toutes ces composantes satisfassent aux relations:

Sur une autre base , liée à la précédente par les relations de transformation connues, les nouvelles composantes de  vérifient la relation:

Nous voyons que la propriété  est donc une caractéristique intrinsèque du tenseur , indépendante de la base ! Nous disons alors que le tenseur est "symétrique".

La propriété de symétrie se vérifie également pour les composantes covariantes d'un tenseur symétrique puisque nous avons:

Réciproquement, la symétrie des composantes covariantes entraîne celle des composantes contravariantes.

Pour des tenseurs d'ordre plus élevé, la symétrie peut être partielle, portant sur deux indices covariants ou deux indices contravariants. Ainsi, un tenseur d'ordre quatre, de composantes mixtes  peut être également symétrique en  et  , par exemple, soit:

Nous vérifions, de même que ci-dessus, qu'une telle propriété est intrinsèque.

Un tenseur est dit "complètement symétrique" si toute transposition de deux indices de même variance, change la composante correspondante en elle-même. Par exemple, pour un tenseur d'ordre trois , complètement symétrique, nous avons les composantes suivantes qui sont égales entre elles:

Des exemples de tenseurs compléments symétriques sont le tenseur des contraintes  que nous verrons lors de notre étude des équations de Navier-Stokes en mécanique des fluides et les tenseurs des transformation relativistes de Lorentz que nous verrons en mécanique relativiste. Ces tenseurs sont alors dits aussi "totalement invariants" (sous-entendu par changement de base).

Nous pouvons également (curiosité intéressante) obtenir une représentation géométrique des valeurs des composantes d'un tenseur symétrique d'ordre deux. Pour cela, considérons dans l'espace géométrique ordinaire des coordonnées , l'équation suivante:

où, rappelons-le, peut-être vu comme un produit tensoriel avec  et où les  sont des coefficients réels donnés. Supposons que ces coefficients soient tels que:

L'équation précédente s'écrit alors:

Nous retrouvons ici l'équation d'une surface de second degré ou quadrique similaire à celle du plan que nous avons vue en géométrie plane. Nous savons que par extension à la troisième dimension que ces surfaces sont des ellipsoïdes ou hyperboloïdes, selon les valeurs des quantités .

Etudions comment se transforment les quantités  lorsque nous effectue un changement de coordonnées tel que :

et  

L'équation de la quadrique s'écrit dans ce nouveau système de coordonnées:

d'où l'expression des coefficients dans le nouveau système d'axes:

Les coefficients  se transforment donc comme les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre deux. Réciproquement, si les quantités  sont les composantes d'un tenseur symétrique, ces composantes définissent les coefficients d'une quadrique. Il existe donc une certaine équivalence entre un tenseur symétrique et les coefficients d'une quadrique. Nous dirons que l'équation de la quadrique est la "quadrique représentative" du tenseur symétrique.

Nous savons de par notre étude des quadriques en géométrie plane (en étendant cela au cas tri-dimensionnel) que nous pouvons toujours trouver un système de coordonnées par rapport auquel l'équation d'une quadrique prend une forme plus simple:

Dans ce cas, les vecteurs de base sont portés par les axes principaux de la quadrique. Dans ce système de coordonnées, les composantes du tenseur  se réduisent à:

et  pour les autres composantes. Les quantités  sont appelées les "composantes principales" du tenseur .

Si les quantités  sont positives, la surface est une ellipsoïde, si deux quantités sont strictement positives et la troisième strictement négative, nous avons un hyperboloïde à une nappe, si deux quantités sont strictement négatives et la troisième positive, nous avons un hyperboloïde à deux nappes (pour plus d'information voir le chapitre de géométrie spatiale sur les coniques).

La comparaison de l'expression de la quadrique obtenue précédemment avec l'équation classique:

où sont les demi-axes d'un ellipsoïde montre que nous avons :

TENSEUR ANTI-SYMETRIQUE

Lorsque les composantes contravariantes  d'un tenseur d'ordre deux, vérifient les relations:

nous disons que le tenseur est "anti-symétrique". C'est une propriété intrinsèque du tenseur qui se démontre comme pour les tenseurs symétriques, au signe "-" près. Un tenseur anti-symétrique doit bien évidemment satisfaire au fait que ces composantes diagonales soient nulles tel que:

Si les composantes contravariantes d'un tenseur sont anti-symétriques, ses composantes covariantes le sont également.

Un tenseur  sera partiellement antisymétrique si nous avons par exemple:

Il sera complètement antisymétrique si toute transposition d'indice de même variance change la composante correspondante en son opposée.

Tout tenseurs  peut être mis sous la forme d'une somme d'un tenseur symétrique et d'un tenseur antisymétrique. Nous avons en effet:

Le premier terme de la somme ci-dessus est un tenseur symétrique et le second, un tenseur antisymétrique.

Considérons maintenant deux vecteurs  et   d'un espace vectoriel . Formons les quantités anti-symétriques suivantes (nous y trouvons deux produits tensoriels):

où nous voyons immédiatement que les composantes  sont celles d'un tenseur antisymétrique .

La décomposition du vecteur  dans la base  s'écrit:

Le tenseur  (noté ainsi en analogie avec le produit vectoriel pour ) est appelé le "produit extérieur" des vecteurs  et . Nous disons encore que ce tenseur est un "bi-vecteur".

Le produit extérieur est donc un tenseur anti-symétrique qui vérifie les propriétés suivantes:

P1. anticommutativité: , il en résulte:

P2. distributivité à gauche et à droite pour l'addition vectorielle:

P3. associativité pour la multiplication par un scalaire:

P4. les produits extérieurs:

constituent une base de l'ensemble des bi-vecteurs. Démonstration:

Un tenseur antisymétrique  d'ordre deux, élément de , peut s'écrire sous la forme:

Echangeant, dans la dernière somme de la relation ci-dessus, le nom des indices et en tenant compte que , nous obtenons :

Les éléments:

sont linéairement indépendants puisque les vecteurs  le sont également. Ces éléments constituent donc une base sur laquelle les tenseurs anti-symétriques peuvent êtres décomposés.

Le nombre de vecteurs  distinguables est égal au nombre de combinaisons de vecteurs pris deux à deux et distinguables parmi  tel que:

Effectivement parmi les  composantes,  composantes sont nulles et les  autres composantes ont des valeurs opposées deux à deux. Nous pouvons donc considérer que la moitié de ces dernières suffit a caractériser le tenseur.

Dans le cadre du produit tensoriel où nous avons:

le nombres de composantes distinguables est également de  et elles sont appelées "composantes strictes".

Nous remarquons que pour , le nombre de composantes strictes du produit extérieur de deux vecteurs est aussi égal à trois. Ceci permet de former avec les composantes du bivecteur, les composantes d'un produit vectoriel .

Ainsi, un produit vectoriel n'existe donc que pour un sous-espace de bi-vecteurs dont le nombre de dimension est égal à 3 et dont les pré-images sont des tenseurs anti-symétriques.

Si toutes ces conditions sont satisfaites, nous disons que le vecteur   constitue le "tenseur adjoint" du tenseur .

TENSEUR FONDAMENTAL

Nous avons vu au début de notre étude du calcul tensoriel la définition des composantes covariantes  du tenseur fondamental, à savoir :

Ces quantités interviennent, nous le savonse, dans l'expression du produit scalaire de deux vecteur  et , de composantes contravariantes  et  , donné par la relation:

Utilisons le critère général de tensorialité pour mettre en évidence le caractère tensoriel des . L'expression précédente est un produit complètement contracté des quantités  avec les composantes contravariantes  d'un  tenseur arbitraire. Comme le produit scalaire est une quantité invariante (en l'occurence un scalaire) par rapport aux changements de base, il en résulte que les  quantités  sont les composantes covariantes d'un tenseur.

Ce tenseur est de plus symétrique par suite de la propriété symétrie du produit scalaire des vecteurs de base tel que:

Nous avons de même pour les composantes contravariantes du tenseur fondamental :

Si nous notons  les composantes mixtes du tenseur fondamental à lui même:

avec évidemment ldans la base canonique :

COORDONNEES CURVILIGNES

Les notions classiques de système de coordonnées peuvent être généralisées à des espaces ponctuels (voir le chapitre traitant des principes de la mécanique classique) à  dimensions. Nous appelons "système de coordonnées" dans  (espace ponctuel à  dimensions donc), tout mode de définition d'un point  dans le système considéré.

Pour un système donné de coordonnées (cartésiennes, sphériques, cylindriques, polaires…), nous appelons "ligne coordonnée" le "lieu" des points  lorsqu'une seule coordonnée varie, les autres étant égales à des constantes.

Etudions tout d'abord la généralisation d'un système de coordonnées relatives à un repère fixe (nous conseillons vivement au lecteur d'avoir lu au préalable la partie traitant des systèmes de coordonnées dans le chapitre de calcul vectoriel et la partie traitant du formalisme lagrangien dans le chapitre des principes de la mécanique).

Considérons un espace ponctuel  et un repère  de cet espace. Soit  les coordonnées rectilignes d'un point  de  par rapport à ce repère. Un système de coordonnées quelconque , , est obtenu en se donnant  fonctions arbitraires  des paramètres , telles que:

Nous supposerons par la suite que les  fonctions satisfont aux trois propriétés suivantes:

P1. Elles sont de classe supérieur ou égal à  (dérivables au moins deux fois pour les besoins de la physique). Cette hypothèse implique, en tout point où elle est satisfaite, que nous avons la permutabilité des dérivations (par rapport aux deux dérivations):

P2. Ces fonctions sont telles que nous pouvons résoudre le système des  équations de changement de système de coordonnées par rapport aux variables  et les exprimer en fonction des , soit:

toujours avec .

P3. Lorsque les variables  varient dans un domaine , les variables  varient dans un domaine . Le jacobien des fonctions , défini par:

sera supposé différent de zéro dans le domaine  ainsi que le jacobien  des fonctions  qui est l'inverse du jacobien . Si les jacobiens existent, ils sont non nuls comme conséquence en première lieu de la deuxième propriété ci-dessus et implicitement de la première.

Si nous fixons  paramètres en faisant varier un seul paramètre,  par exemple, nous obtenons les coordonnées  d'un ensemble de points  de  qui constituent une "ligne coordonnée". En général, les lignes coordonnées ne sont pas des droites mais des courbes; ces coordonnées  sont appelées pour cette raison des "coordonnées curvilignes". En un point  de  se croisent d'ailleurs  lignes coordonnées.

Nous démontrons en mécanique analytique, lors de l'étude des espaces ponctuels, que les dérivées et les différentielles d'un vecteur  de  sont indépendantes du point  d'un repère donné. Si  est rapporté à un système de coordonnées curvilignes , nous écrivons :

Soient maintenant  les coordonnées curvilignes du point   par rapport à une repère cartésien . Dans ce repère, nous avons bien évidemment :

où les coordonnées cartésiennes sont des fonctions .

Le vecteur  a donc pour expression:

A partir des composantes  du vecteur , nous pouvons former un déterminant  qui est précisément le jacobien des fonctions  que nous avions défini précédemment.  Puisque ce déterminant est différent de zéro (du moins imposé tel quel), il en résulte que les  vecteurs  sont linéairement indépendants.

Ces  vecteurs, définis par la relation:

sont appelées la "base naturelle" au point   de l'espace vectoriel . Il sont colinéaires aux tangentes des  lignes coordonnées qui se coupent au point  où ils sont définis.

Nous n'insisterons pas sur le fait évident qu'à tout système de coordonnées curvilignes sont associées des repères naturels dont les bases sont exprimées par ses mêmes coordonnées (voir le chapitre de calcul vectoriel).

Associons au point  de   un repère formé par le point et par les vecteurs de la base naturelle. Ce repère est appelé le "repère naturel" en  du système de coordonnées . Il sera noté:

 ou 

La différentielles du vecteur  s'exprime alors sous la forme:

Les quantités  constituent les composantes contravariantes du vecteur  dans le repère naturel  du système de coordonnées .

Considérons maintenant deux systèmes quelconques de coordonnées curvilignes  et  , liées entre elles par les relations:

où les fonctions  sont supposées plusieurs fois continuement dérivables par rapport aux  et de même pour les fonctions  par rapport aux coordonnées . Lorsque nous passons d'un  système de coordonnées à un autre, nous disons que nous effectuons un "changement de coordonnées curvilignes".

Nous avons vu en relativité générale que la carré de la distance  entre deux points  et  infiniment proches est donnée par le relation:

où les  sont les composantes du vecteur , rapportées à un repère fixe d'un espace ponctuel . Lorsque cet espace est rapporté à un système de coordonnées curvilignes , nous avons vu que la relation:

montre que le vecteur   a pour composantes contravariantes les quantités  par rapport au repère naturel . Le carré de la distance  s'écrit alors dans le repère naturel:

où les quantités  sont les composantes du tenseur fondamental ou du tenseur métrique définies à l'aide d'une base naturelle. L'expression précédente s'appelle "l'élément linéaire de l'espace ponctuel " ou encore la "métrique" de cet espace.

Les vecteurs  du repère naturel varient en général d'un point un autre. C'est le cas, par exemple, des coordonnées sphériques dont les quantités (nous le démontrerons de suite après) sont variables !!

Une courbe  de  peut être définie par la donnée des coordonnées curvilignes  du lieu des points  en fonction d'un paramètre . La distance élémentaire  sur cette courbe   s'écrit alors:

REPERE NATUREL EN COORDONNEES SPHERIQUES

Déterminons la base naturelle de l'espace vectoriel  associé à l'espace ponctuel  de la géométrie ordinaire, en coordonnées sphériques. Ecrivons l'expression des vecteurs  dans un repère cartésien fixe  qui sont par définition (voir le chapitre de calcul vectoriel pour plus de détails) :

Les vecteurs des la base naturelle étant donnés par:

Nous avons ainsi :

La dérivée de  par rapport à  donne le vecteur :

La dérivée par rapport à  donne le vecteur :

Ces trois vecteurs sont orthogonaux entre eux ainsi que nous le vérifonse aisément en effectuant les produits scalaires . Lorsqu'il en est ainsi, nous disons que les coordonnées sont des coordonnées "curvilignes orthogonales".

Ces vecteurs ne sont cependant pas tous normés, puisque nous avons:

Le repère naturel, en coordonnées sphériques, est donc formé par des vecteurs variables en direction en en module en chaque point de . Les quantités  constituent un exemple de tenseur métrique attaché à chacun des points  de l'espace .

L'élément linéaire du plan est donné par (les détails des calculs peuvent êtres trouvés dans le chapitre traitant de la mécanique relativiste – en particulier la partie concernant la relativité générale):

REPERE NATUREL EN COORDONNEES POLAIRES

Déterminons la base naturelle de l'espace vectoriel  associé à l'espace ponctuel  de la géométrie ordinaire, en coordonnées polaires. Ecrivons l'expression des vecteurs  dans un repère fixe cartésien  qui sont par définition (voir le chapitre d'analyse vectorielle pour plus de détails):

Les vecteurs des la base naturelle étant donnés par:

Nous avons:

La dérivée de  par rapport à  donne le vecteur :

Ces deux vecteurs sont orthogonaux entre eux ainsi que nous le vérifions aisément en effectuant les produits scalaires .

Nous avons:

L'élément linéaire du plan est donné par (les détails des calculs peuvent êtres trouvés dans le chapitre traitant de la mécanique relativiste – en particulier la partie concernant la relativité générale):

REPERE NATUREL EN COORDONNEES CYLINDRIQUES

Déterminons la base naturelle de l'espace vectoriel  associé à l'espace ponctuel  de la géométrie ordinaire, en coordonnées cylindriques. Ecrivons l'expression des vecteurs  dans un repère fixe cartésien  qui sont par définition (voir le chapitre d'analyse vectorielle pour plus de détails):

Les vecteurs des la base naturelle étant donnés par:

Nous avons:

La dérivée de  par rapport à  donne le vecteur :

et enfin:

Ces trois vecteurs sont orthogonaux entre eux ainsi qu'on le vérifie aisément en effectuant les produits scalaires .

Nous avons:

L'élément linéaire du plan est donné par (les détails des calculs peuvent êtres trouvés dans le chapitre traitant de la mécanique relativiste – en particulier la partie concernant la relativité générale):

SYMBOLES DE CHRISTOFFEL

L'étude des champs de tenseurs constitue, pour le physicien, l'essentiel de l'analyse tensorielle. Le tenseur générique  de ce champ est une fonction du point et nous le notons: 

Si le tenseur  est une fonction seulement de , le champ considéré est appelé un "champ fixe". Si  est, en outre, une fonction d'un ou plusieurs paramètres  autres que les coordonnées de , nous disons alors que ce champ est variable et nous le notons :

Les différentes opérations algébriques sur les tenseurs  associés à un même point ne soulèvent pas de difficulté particulière. La dérivée de  par rapport à un paramètre  conduit à utiliser les résultats classiques relatifs à la dérivation des vecteurs.

Cependant, une difficulté apparaît lorsque nous cherchons à calculer la dérivée d'un tenseur  par rapport aux coordonnées curvilignes. En effet, les composantes du tenseur sont définies en chaque point  par rapport à un repère naturel qui varie d'un point à un autre. 

Par suite, le calcul de la variation élémentaire : 

lorsque nous passons d'un point  à un point infiniment voisin  ne peut se faire que si nous avons recours à une même base. Pour pouvoir comparer l'un à l'autre les tenseur  et , nous sommes amenés à étudier comment varie un repère naturel, pour un système de coordonnées donné, lorsque nous passons d'un point  au point infiniment voisin .

Pour un système de coordonnée curvilignes  donné d'un espace ponctuel  un problème fondamental de l'analyse tensorielle consiste donc à déterminer, par rapport au repère naturel  au point , le repère naturel  au point infiniment voisin .

D'une part, le point  sera parfaitement défini par rapport à  si nous déterminons le vecteur  tel que . Pour des coordonnées curvilignes , la décomposition d'un vecteur élémentaire  est donnée par la relation que nous avons  démontré précédemment:

Les quantités  étant les composantes contravariantes du vecteur  sur la base naturelle .

D'autre part, les vecteurs  vont pouvoir être déterminés en calculant les variations élémentaire  des vecteurs , par rapport au repère naturel , lorsque nous passons de  en ; nous avons alors:

Le calcul des vecteurs  reste alors le problème essentiel à résoudre. Nous allons tout d'abord étudier un exemple de ce type de calcul en coordonnées sphériques.

Pour cela, reprenons l'expression des vecteurs  de la base naturelle en coordonnées sphériques, soit:

Les vecteurs de base  du repère fixe cartésien étant constants en module et en direction, la différentielle du vecteur  s'écrit:

Nous remarquons que les termes entre parenthèses représentent respectivement les vecteurs  et , d'où:

Nous calculons de même, en différentiant les vecteurs :

Avec:

nous avons:

Donc finalement:

Et:

Après quelques opérations algébriques élémentaires et très pertinentes (…), nous arrivons à:

Les différentielles  sont ainsi décomposées sur la base naturelle . Si nous notons , les composantes contravariantes du vecteur , celui-ci s'écrit (nous changeons les lettres d'indices):

Les composantes  des vecteurs  sont des formes différentielles (combinaisons linéaires de différentielles). Nous avons, par exemple:

Si nous notons de manière générale  les coordonnées sphériques, nous avons:

Les différentielles des coordonnées sont alors notées:

et les composantes  s'écrivent alors de manière générale:

où les quantités  sont des fonctions de  qui vont être explicitement obtenues en identifiant chaque composante . Par exemple, la composante  s'écrit avec la notations de la relation précédente:

Identifiant les coefficients des différentielles, il vient:

En procédant de même avec les neuf composantes , nous obtenons les vingt sept termes . Pour un système de coordonnées curvilignes quelconques, ces quantités  sont appelées les "symboles de Christoffel de deuxième espèce".

Ainsi, pour un espace ponctuel  et un système de coordonnées curvilignes  quelconque, la différentielle  des vecteurs  de la base naturelle s'écrit sur cette base:

Nous venons de voir, sur l'exemple des coordonnées sphériques, qu'un calcul direct permet, par identification, d'obtenir explicitement les quantités . Nous allons voir que nous pouvons également obtenir l'expression de ces quantités en fonction des composantes .

Le calcul des quantités  en fonction des  va nous amener à introduire d'autres symboles de Christoffel. Pour cela, écrivons les composantes covariantes, notées , des différentielles , soit:

Les composantes covariantes sont également des combinaisons linéaires des différentielles  que nous pouvons écrire sous la forme:

Les quantités  sont appelées les "symboles de Christoffel de première espèce".

Nous voyons très bien en parcourant à nouveau la définition du symbole de Christoffel que :

et donc que :

Puisque les composantes covariantes sont liées aux composantes contravariantes par les relations (contraction des indices) :

nous obtenons l'expression liant les symboles de Christoffel de chaque espèse:

Inversement:

Remarque: diverses notations sont utilisées pour représenter les symboles de Christoffel. Les plus usuelles sont les suivantes:

- Symboles de première espèce:

- Symboles de deuxième espèce:

Considérons maintenant un espace ponctuel  et soit un élément linéaire  donné de cet espace:

Partant de:

nous obtenons par différentiation:

L'expression des différentielles  nous donne:

L'expression  représente la composante covariante  du vecteur  soit compte tenu des composantes contravariantes en fonction des symboles de Christoffel:

substituant la relation  dans l'expression précédente, nous obtenons alors :

La différentielle  s'écrit alors :

D'autre part, la différentielle de la fonction  s'écrit également :

d'où en identifient les coefficients des différentielles  dans ces deux dernières expressions :

Comme nous avons :

Nous pouvons écrire l'avant dernière relation :

puis en effectuant une permutation circulaire sur les indices, nous obtenons :

En effectuant la somme :

et en retranchant :

En simplifiant il vient :

d'où :

C'est l'expression des symboles de Christoffel de première espèce en fonction des dérivées partielles des composantes  du tenseur fondamental. Nous obtenons ceux de deuxième espèce à partir de la relation :

Les deux dernières expressions encadrées permettent le calcul effectif des symboles de Christoffel pour une métrique donnée (d'où un énorme gain en calculs). Lorsque les quantités  sont données à priori, nous pouvons ainsi étudier les propriétés de l'espace ponctuel défini par la donne de cette métrique, ce qui est le cas des espaces de Riemann que nous verrons plus loin.