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CALCUL ALGEBRIQUE | ANALYSE FONCTIONNELLE | CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL | 
SUITES ET SERIES | CALCUL VECTORIEL | ALGEBRE LINEAIRE | CALCUL TENSORIEL | TOPOLOGIE

Le calcul différentiel est un des domaines les plus passionnants de la mathématique, et il existe une littérature considérable sur le sujet. Les résultats retrouvent des implications dans tous les domaines de la physique, de l'informatique, de l'électronique, de la chimie, biologie et de la mathématique elle-même.

Les mathématiciens ont rédigé une telle quantité de théorèmes sur le sujet que la validation de certains est délicate car certains à eux-seuls nécessiteraient la vie d'un homme pour être parcourus (c'est un problème que la communauté des mathématiciens reconnait) et vérifiés (ce qui fait que personne ne les vérifie...).

Ce constat fait, nous avons choisi de ne présenter ici que les points absolument nécessaires à la compréhensions des outils fondamentaux du physicien et du mathématicien (niveau licence à peu près). Les puristes nous excuseront donc pour l'instant de ne pas présenter certains théorèmes qui peuvent leur sembler indispensables mais que nous rédigerons une fois le temps venu...

Nous allons principalement étudier dans ce qui va suivre ce que les mathématiciens aiment bien préciser (et ils ont raison) : les cas généraux des  fonctions réelles à une variable réelle. Les fonctions plus complexes (à plusieurs variables réelles ou complexes, continues ou discrètes) viendront une fois cette partie terminée. 

Remarque : Nous ne nous atterderons pas à démontrer les dérivées et primitives de toutes les fonctions car comme il y a une infinité de fonctions possibles, il y a également une infinité de dérivées et de primitives. C'est le rôle des professeurs dans les instituts scolaires d'entraîner les élèves à appliquer et à comprendre le raisonnement de dérivation et d'intégration par des applications sur des fonctions connues (l'internet ne remplacera très probablement jamais l'école à ce niveau).

CALCUL DIFFÉRENTIEL

Soit une fonction réelle à une variable réelle (nous nous limitons à ce cas de figure pour l'instant et étudierons les dérivées partielles dans des espaces à un nombre de dimensions quelconques plus loin) continue au moins dans un intervalle où se situe . 

Définition : nous appelons "pente moyenne" le rapport de la projection orthogonale de deux points de la fonction sur l'axe des abscisses et des ordonnées tel que :

Remarque : signifiant "un delta" exprime le fait que nous sous-entendons une différence d'une même quantité.

Définition : nous appelons "nombre dérivé en " ou "pente instantanée" ou encore "dérivée première", la limite quand  tend vers 0 (si elle existe) du rapport de la projection orthogonale de deux points infiniment proches de la fonction sur l'axe des abscisses et des ordonnées tel que :

Une interprétation graphique donne que est le coefficient directeur (autrement dit la "pente instantanée") de la tangente au point d'abscisse .

Remarque : signifiant "un différentiel" exprime le fait que nous sous-entendons une différence infiniment petite d'une même quantité.

Définition: soit  une fonction définie sur une intervalle  et dérivable en tout point  de , la fonction qui à tout réel  de  associe le nombre  est appelée "fonction dérivée de sur " et est notée .

Remarque : au niveau des notations les physiciens adoptent suivant leur humeur différentes notations possibles pour les dérivées. Ainsi, considérons la fonction réelle à une variable , vous trouvez dans la littérature ainsi que dans le présent site les notations suivantes pour la "dérivée première" :

ou encore en considérant implicitement que  est fonction de (ceci permet d'allèger un petit peu la tailles des développements) :

Définitions : nous appelons "la différentielle d'une fonction " respectivement la "différentielle d'une variable " la relation donnée par :

 respectivement

DERIVEES USUELLES

Nous allons démontrer ici les dérivées les plus fréquentes que l'on puisse rencontrer en physique théorique et mathématique. La liste et pour l'instant non exhaustive mais les démonstration étant généralisées, elles peuvent s'appliquer à un grand nombre de cas.

- Dérivée de

Partons d'abord d'un cas particulier, la dérivée de :

Soit donc  un réel quelconque fixé, alors:

Le nombre dérivé en  de la fonction cube est donc .

Nous pouvons généraliser ce résultat pour tout entier naturel  positif ou négatif  et nous allons voir que la fonction  définie sur  par  est dérivable et que sa dérivée  est définie par .

Ainsi, nous avons (quelques exemples peuvent êtres utiles pour comprendre la portée de ce résultat):

Nous voyons donc qu'en ayant déterminé la dérivée d'une fonction de la forme , nous avons également déterminée toute fonction qui est mise cette forme tel que:

 et

Cependant, les fonctions:

ne sont pas dérivables en puisque la fonction n'y est plus définie (division par zéro). De plus, en ce qui concerne la fonction comportant la racine (puissance non entière), la dérivée n'est pas définie dans .

Cependant, le résultat précédent donne un résultat intéressant pour les fonctions constantes telle que:

il n'est alors pas difficile de déterminer la dérivée qui vaut simplement:

Donc la dérivée de toute fonction constante est nulle (il est important de se souvenir de ce résultat que nous étudierons les propriétés des intégrales) !!!

Soit donc  un réel quelconque fixé, alors (attention! il est utile de connaître les relations trigonométriques remarquables que nous démontrons dans le chapitre de trigonométrie dans la section de géométrie):

Puisque:

Effectivement, rappelons que la fonction  est assimilable (visuellement et mathématiquement) à une droite de fonction  au voisinage de .

Donc pour résumer:

- Dérivée de la fonction

Soit donc  un réel quelconque fixé, alors (attention! il est utile de connaître les relations trigonométriques remarquables que nous démontrons dans le chapitre de trigonométrie dans la section de géométrie):

Donc pour résumer:

- Dérivée de la fonction :

La dérivée de la fonction  est égale à , c'est-à-dire si :

 alors

Démonstration : si est l'accroissement de la fonction pour un accroissement correspondant de la variable , alors :

et nous pouvons écrire :

Multiplions et divisons par  l'expression figurant dans le membre droit de la dernière égalité :

Désignons la quantité  par . Il est évident que  quand tend vers zéro pour un donné. Par conséquent :

Or, nous retrouvons ici une autre provenance historique de la constante d'Euler (voir le chapitre d'analyse fonctionnelle) où :

Ainsi :

Une cas particulier important est le cas où . Nous avons alors :

- Dérivée d'une somme de fonctions

Soient  et  deux fonctions. La fonction somme  est dérivable sur tout intervalle où  et  sont dérivables, sa dérivée est la fonction s' somme des fonctions dérivées  et  de  et .

Ce résultat se généralise pour une somme d'un nombre quelconque fixé de fonctions.

Démonstration:

Soit  un réel fixé et  et  deux fonctions définies et dérivables en :

Donc la dérivée d'une somme est la somme des dérivées.

- Dérivée d'un produit de fonction

Soient  et  deux fonctions.  La fonction produit  est dérivable sur tout intervalle où  et  sont dérivables, sa dérivée est la fonction  telle que .

Démonstration:

Soit  un réel fixé et  et  deux fonctions définies et dérivables en a:

Nous rajoutons à cette dernière relation deux termes dont la somme est nulle tel que:

- Dérivée d'une fonction composée

Soit la fonction composée  de deux fonctions  et  dérivables, la première en , la seconde en , la fonction dérivée  est définie par , c'est-à-dire :

Démonstration:

Soit  un réel fixé et  une fonction définie et dérivable en  et  une fonction définie et dérivable en :

posons , nous avons alors:

continuons notre développement précédent:

- Dérivée d'une fonction réciproque

Si la fonction  est continue, strictement monotone sur un intervalle , dérivable sur  , alors la fonction réciproque   est dérivable sur l'intervalle  et admet pour fonction dérivée:

En effet, nous pouvons écrire:

C’est-à-dire (application identité):

 Par application de la dérivation des fonctions composées:

d'où:

Pour une variable , nous poserons pour la dérivée de la fonction réciproque:

- Dérivée de la fonction

En utilisant le résultat précédent de la fonction réciproque, nous pouvons calculer la dérivée de la fonction :

- Dérivée de la fonction

En utilisant le résultat précédent de la fonction réciproque, nous pouvons calculer la dérivée de la fonction :

- Dérivée d'un quotient de deux fonctions

La fonction  est dérivable sur tout intervalle où les fonctions  et  sont dérivable et où la fonction  est non nulle et:

Démonstration:

La fonction  peut être considérée comme le produit de deux fonctions: la fonction  et la fonction . Une produit de deux fonctions est dérivable si chacune d'elle est dérivable, il faut donc que la fonction  soit dérivable et que la fonction  soit également dérivable ce qui est le cas quand  est dérivable non nulle.

CALCUL INTEGRAL

Nous allons aborder ici les principes élémentaires et de base du calcul intégral. La suite viendra en fonction du temps qui est la disposition des responsables du site.

INTEGRALE INDEFINIE

Nous avons étudié précédemment, le problème suivant : étant donnée une fonction , trouver sa dérivée, c'est-à-dire la fonction .

Définition : nous disons que la fonction  est une "primitive" de la fonction  sur le segment , si en tout point de ce segment nous avons l'égalité .

Théorème : si  et  sont deux primitives de la fonction sur le segment , leur différence est une constante (ce théorème est très important en physique pour ce qui est de l'étude de ce que nous appelons les "conditions initiales").

Démonstration : Nous avons en vertu de la définition de la primitive :

pour .

Posons :

Nous pouvons écrire :

Il vient donc de ce que nous avons vu pendant notre étude des dérivées que .

Nous avons alors :

Il résulte de ce théorème que si nous connaissons une primitive quelconque  de la fonction , toute autre primitive de cette fonction sera de la forme :

Définition : nous appelons "intégrale indéfinie" de la fonction  et nous notons :

tout expression de la forme  où  est une primitive de . Ainsi, par convention d'écriture :

si et seulement si .

Dans ce contexte, est également appelée "fonction à intégrer" et , "fonction sous le signe somme".

Géométriquement, nous pouvons considérer l'intégrale indéfinie comme un ensemble (famille) de courbes telles que nous passons de l'une à l'autre en effectuant une translation dans le sens positif ou négatif de l'axe des ordonnés.

Voici quelques propriétés triviales de l'intégration qu'il est bon de se rappeler (si cela ne vous semble pas évident, contactez-nous et nous le détaillerons) :

P1. La dérivée d'une intégrale indéfinie est égale à la fonction à intégrer :

P2. La différentielle d'une intégrale indéfinie est égale à l'expression sous le signe somme :

P3. L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une certaine fonction est égale à la somme de cette fonction et d'une constante arbitraire :

P4. L'intégrale indéfinie de la somme (ou soustraction) algébrique de deux ou plusieurs fonctions est égale à la somme algébrique de leurs intégrales :

Démonstration :

D'après P1 nous avons :

Vérifions s'il en est de même avec le membre de droite (nous supposons connues les propriétés des dérivées que nous avons démontrées au début de ce chapitre) :

P5. Nous pouvons sortir un facteur constant de sous le signe somme, c'est-à-dire :

Nous justifions cette égalité en dérivant les deux membres (et d'après les propriétés des dérivées) :

P6. Nous pouvons sortire un facteur constant de l'argument de la fonction intégrée (plutôt rarement utilisée) :

En effet, en dérivant les deux membres de l'égalité nous avons d'après les propriétés des dérivées :

P7. L'intégration d'une fonction dont l'argument est sommé (ou soustrait) algébriquement est la primitive de l'argument sommé (respectivement soustrait) :

Cette propriété ce démontre également identiquement à la précédente à l'aide des propriétés des dérivées.

P8. La combinaison des propriétés P6 et P7 nous permettent  d'écrire :

INTEGRATION PAR changements de variable

Voici un théorème important. Lorsque nous ne pouvons facilement déterminer la primitive d'une fonction donnée, nous pouvons nous débrouiller par un changement de variable astucieux (parfois même très subtile) à contourner la difficulté. Cela ne marche pas à tous les coups (car certaines fonctions ne sont pas intégrables formellement) mais il vaut la peine d'essayer avant d'avoir recours à l'ordinateur (de plus, c'est plus esthétique comme méthode).

A nouveau, nous ne donnons que la forme générale de la méthode. C'est le rôle des professeurs dans les écoles d'entraîner les élèves à comprendre et maîtriser ce genre techniques. De plus, les chapitres traitant des sciences exactes sur le site (physique, informatique, astrophysique, chimie, …) regorgent d'exemples utilisant cette technique et servent ainsi implicitement d'exercices de style.

Soit à calculer l'intégrale (non bornée pour l'instant):

bien que nous ne sachions pas calculer directement la primitive de cette fonction  (en tout cas nous imaginons être dans une telle situation) nous savons (d'une manière ou d'une autre) qu'elle existe (nous ne traitons pas encore des intégrales impropres à ce niveau).

La technique consiste alors dans cette intégrale à effectuer le changement de variable :

où est une fonction continue ainsi que sa dérivée, et admettant une fonction inverse. Alors , démontrons que dans ce cas l'égalité :

est satisfaite.

Nous sous-entendons ici que la variable  sera remplacée après intégration du membre droit par son expression en fonction de . Pour justifier l'égalité en ce sens, il suffit de montrer que les deux quantités considérées dont chacune n'est définie qu'à une constant arbitraire près ont la même dérivée par rapport à . La dérivée du membre gauche est :

Nous dérivons le membre droit par rapport à  en tenant compte que  est une fonction de . Nous savons que :

Nous avons par conséquent :

Les dérivées par rapport à  des deux membres de l'égalité de départ sont donc égales (c.q.f.d).

Bien évidemment, la fonction doit être choisie de manière à ce que nous sachions calculer l'intégrale indéfinie figurant à droite de l'égalité.

Remarque : il est parfois préférable de choisir le changement de variable sous la forme  au lieu de  car cela à une large tendance à simplifier la longueur de l'équation au lieu de l'allonger.

INTEGRATION PAR PARTIES

Lorsque nous cherchons à effectuer des intégrations, il est fréquent que nous ayons à utiliseer un outil (ou méthode de calcul) appelé "intégration par parties". Voici la démonstration de la validité de ce dernier.

Soit deux applications de classe  (dérivables fois) de  dans , alors:

Démonstration par récurrence sur : nous supposons la formule vraie pour  et nous la démontrons pour :

Pour  nous retrouvons la formule bien connue:

PRIMITIVES USUELLES

Il exise en mathématique et en physique un grand nombre de primitives ou de fonctions définies sur des intégrales que nosu retrouvons assez fréquemment (mais pas exclusivement). Comme dans n'importe quel formulaire, nous vous proposons les primitives connues mais avec les démonstrations. 

Cependant, nous omettrons les primitives qui découlent déjà des dérivées que nous avons démontrées dans le sous-chapitre précédent traitant du calcul différentiel.

Soit:

avec . Nous avons:

Or cette dernière intégrale se résout par parties:

Donc:

Que l'on retrouve plus fréquemment dans la littérature sous la forme:

Identiquement au développement suivant, nous avons pour (le signe change):

la relation suivante:

Vous pourrez trouver une application de ces deux primitives dans le modèle cosmologique newtonien de l'univers dans le chapitre d'astrophysique à la section de mécanique analytique.

FONCTION DE DIRAC

La fonction de Dirac ou "fonction delta" joue un rôle pratique très important aussi bien en électronique et informatique qu'en mécanique quantique ondulatoire et mécanique quantique des champs (cela permet de discrétiser un continuum). Pour l'introduire simplement, considérons la fonction définie par:

La représentation de  est un rectangle de largeur  , de hauteur  et de surface unité. La fonction de Dirac peut être considérée comme la limite, lorsque  de la fonction . On a donc:

avec:

où  est un nombre plus grand que 0 aussi petit que nous le voulons. Pour une fonction  continue en  on a:

Par extension nous avons :

et pour une fonction  continue en :

Il est alors assez aisé de définir la fonction de Dirac dans l'espace à 3 dimensions par:

Fonction Gamma d'Euler

Nous définissons la fonction Gamma d'Euler (intégrale Eulérienne de deuxième espèce) par l'intégrale suivante:

avec  (entiers naturels nul non compris).

Remarque : nous avons déjà rencontré cette intégrale et certaines de ses propriétés lors de notre étude la fonction de distribution bêta en probabilités et statistiques (voir la section d'arithmétique).

Cette fonction est intéressante si nous l'écrivosn sous la forme suivante:

Intégrons par partie cette dernière fonction:

Comme la fonction exponentielle décroît beaucoup plus vite que  nous avons :

 il en découle: