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CALCUL ALGEBRIQUE | ANALYSE FONCTIONNELLE | CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL | 
SUITES ET SERIES | CALCUL VECTORIEL | ALGEBRE LINEAIRE | CALCUL TENSORIEL | TOPOLOGIE

Les suites et séries ont une très grande importante dans les mathématiques pures c'est la raison pour laquelle nous y consacrons un chapitre entier. Il conviendra cependant de la part du lecteur de ne pas confondre dans ce qui va suivre le concept de "suite" de celui de "série" qui tout en étant similaires sur le fond ne s'analysement mathématique pas de la même manière.

Remarque : les auteurs du site ne sont pas des "fans" du sujet donc si vous avez l'âme mathématique et que vous vous sentez prête à rédiger un document sur le sujet n'hésitez pas à nous le faire parvenir. Tout contribution est toujours la bienvenue.

SUITES

Définitions : 

D1. Des nombres (en suite) sont en "progression arithmétique" ou en "si la différence de deux termes consécutifs est constante.

D2. Des nombres (en suite) sont en "progression géométrique" si le rapport de deux termes consécutifs est constant.

D3. Des nombres (en suite) sont en "progression harmonique" si les inverses sont en progression arithmétique. 

Dès lors, une "suite" est arithmétique, géométrique, harmonique si ses termes sont respectivement en progression arithmétique, géométrique, harmonique et est la moyenne arithmétique, géométrique, harmonique de et si les nombres sont en progression arithmétique, géométrique, harmonique.

SUITES ARITHMETIQUES

Nous dions que des nombres ou que les "termes" d'une progression forment une "progression" ou "suite  arithmétique" lorsque leurs valeurs numériques différent d'une valeur appelée la "raison" de la suite.

Ainsi, la suite:

est une suite arithmétique de raison .

La progression:

est une suite arithmétique de raison , etc.

SUITES HARMONIQUES

Nous disons que des nombres forment une "suite harmonique" lorsque leurs inverses sont en progression arithmétique. Nous représentons cette progression par :

 désignant des termes en progression arithmétique de raison ; d'ailleurs, nous supposerons, dans ce qui suit, qu'il n'y a aucun dénominateur nul.

En partageant cette série en groupes renfermant successivement termes, nous observons que chacun de ceux-ci est plus grand que le dernier de son groupe:

et que la somme des termes de chaque groupe est plus grande que 1/2 . La somme des termes de la série augment donc indéfiniment; nous disons alors que la série est "divergente" (nous reviendrons plus en détail sur ces concepts de convergence et divergence lors de.

Plus généralement, la somme des termes d'une progression harmonique indéfinie est divergente. En effet, pour un terme quelconque, on a:

en désignant par p l'entier plus grand que , les termes de la progression sont respectivement, à partir de ce terme, plus petits que le quotient par des termes:

de la série harmonique.

SUITES GEOMETRIQUES

Une "suite géométrique" est une suite de nombres tels que chacun d'eux est égal au précédent multiplié par un nombre constant que nous appelons la "raison" de la progression. Nous désignerons par:

Nous avons les propriétés suivantes (sans démonstration pour l'instant... faute de temps et d'intérêt) :

P1. Le quotient de deux termes de la progression est une puissance de la raison dont l'exposant égale la différence des rangs des deux termes (simple rapport de termes de puissance)

P2. Si nous multiplions ou divisons terme à terme deux suites géométriques, nous obtenons une troisième suite géométrique dont la raison égale le produit ou le quotient des raisons des progressions données (simple opération avec les raisons des deux séries d'origine).

P3. Le produit de deux termes équidistants des extrêmes égale le produit compris dans l'intervalle entre ces termes et les extrêmes (relisez plusieurs fois au besoin).

P4. Le carré du produit des termes d'une progression géométrique égale le produit des extrêmes élevé à une puissance dont l'exposant est égal au nombre des termes. Sous forme mathématique cela donne (représente l'extrême inférieure,  l'extrême supérieure et le produit de tous les termes de la séire) :

,

Il existe cependant quelques suites particulières qui ont des propriétés particulières que nous retrouvons très fréquemment en mathématique ou physique théorique. Sans trop entrer dans les détails, voici une petite liste (non exhaustive de ces dernières) :

SUITE DE CAUCHY

Il est souvent intéressant pour le mathématicien, autant que pour le physicien, de connaître les propriétés d'une suite ayant une type de progression donnée. La propriété la plus importante étant la limite vers laquelle elle tend.

Définition: soit  un espace métrique (voir le chapitre de topologie), nous disons que la suite:

converge vers  si par définition :

.

Nous disons également par définition que la suite  d'éléments de  est une "suite de Cauchy" si :

Il est clair alors que toute suite convergent est une suite de Cauchy (bon il y a quelques subtilités auxquelles nous ne ferons pas référence pour l'instant).

Remarque : ce critère facilite certaines démonstrations car il permet de montrer l'existence d'une limite sans faire intervenir sa valeur, en général inconnue.

SUITE DE FIBONACCI

Si nous calculons une suite de nombres commençant par 0 et 1, de telle sorte que chaque terme soit égale à la somme des deux précédents, nous pouvons former la suite:

par conséquent, si nous désignons les différents termes par :

nous avons la loi de formation:

Le physicien a souvent besoin pour résoudre simplement et formelement des problèmes, d'approximer certains "termes" (voir théorie de la démonstration) de ses équations. Pour cela, il utilisera la théorie des séries. 

Il existe, une quantité phénomènale de séries et de théories gravitant autour de ces dernières, mais nous nous citerons en particulier les séries de Taylor (utilisées un peu partout), séries de Fourier (théorie du signal et en mécanique ondulatoire) et les séries ou fonctions de Bessel (physique nucléaire) dont nous ferons une étude ici.

Définition : soit donnée une suite numérique infinie :

L'expression :

est appelée "série numérique".

Définition : La somme partielle des  premiers termes de la série est appelée "somme partielle " :

Si la limite suivante existe et est finie :

nous l'appelons la "somme de la série" et nous disons que la "série converge" (elle est donc de Cauchy). Cependant, si la limite n'existe pas, nous disons que la "série diverge" et n'a pas de somme (pour plus de détails voir le  sous-chapitre plus loin traitant des critères de convergence).

SERIES DE GAUSS

Les séries arithmétiques de Gauss sont  l'expression de la somme de premiers entiers non nuls élevés à une puissance donnée sous une forme condensée. L'application de cette forme condensée de série à une utilité pratique en physique lorsque l'on souhait simplifier l'expression de certains résultats.

Gauss avait trouvé une méthode séduisante en 1786 pour déterminer cette expression lorsqu'il avait 9 ans (...):

En simplifiant, nous trouvons facilement:

pour .

Nous pouvons continuer ainsi pour des ordres supérieurs (nous les présentons non en tant qu'exercices mais parce que ces relations sont utiles!):

Calculons maintenant la somme des  premiers carrés (toujours non nuls). Posons:

nous savons que (binôme de Newton):

nous pouvons donc écrire et ajouter membre à membre les  égalités suivantes:

Avec quelques manipulations algébriques élémentaires:

d'où:

Finalement:

Terminons avec 

la somme des  premiers cubes (non nuls). Le principe étant le même que précédemment, nous posons:

Nous savons que (binôme de Newton):

nous obtenons en faisant varier  de 1 à ,  relations que nous pouvons ajouter membre à membre:

en isolant , nous obtenons la relation de la somme des cubes:

Evidemment, nous pouvons continuer ainsi longtemps mais à partir du certaine valeur de l'élévation de la puissance les choses se compliquent un petit peu (de plus, la méthode est un peu longue). Ainsi, un des membre de la famille des Bernoulli (c'était une famille de mathématiciens assez doués...) a montré une relation générale fonctionnant pour n'importe quelle puissance en définissant ce que l'on appelle le "polynôme de Bernoulli". Personnellement, bien que cette méthode fonctionne très bien, nous n'avons pas souhaité la présenter ici, excepté si un lecteur nous en fait la demande.

SERIES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN

Soit un polynôme :

Nous avons trivialement pour ce dernier :

Soit maintenant la dérivée du polynôme  :

donc :

et ainsi de suite avec  tel que :

Il s'ensuit que :

Donc finalement notre polynôme peut s'écrire :

relation que l'on appelle "série de MacLaurin limitée" ou tout simplement.

En appliquant maintenant le même raisonnement mais en centrant le polynôme sur la valeur , nous avons :

et ainsi le développement précédent devient :

qui n'est d'autre que l'expression générale d'un polynôme exprimé sous une forme dite de "série de Taylor limitée".

Ainsi, certaines fonctions  pouvant être approximées par un polynôme  autour d'une valeur  peuvent êtres exprimées sous la forme d'un polynôme tel que :

reste de lagrange

Il peut y avoir un intérêt à connaître l'erreur d'approximation du polynôme  par rapport à la fonction  . Définissons ainsi un "reste" , tel que :

La fonction  est appelée "reste de Lagrange".

Théorème : Soit  une fonction  dérivable sur un intervalle qui contient . Pour une valeur  de l'intervalle, différente de , il existe un nombre  situé entre  et  tel que :

Démonstration : Soit une fonction  définie pour une variable  définie dans l'intervalle considéré et définie par :

avec bien sûr :

Nous voyons que tel que  s'annule bien pour les valeurs :

Dérivons maintenant , nous trouvons :

Après simplification :

Selon le théorème de Rolle (voir chapitre de calcul différentiel et intégral), nous devons trouver une valeur  pour lequel la dérivée  s'annule. Donc :

 Nous pouvons simplifier l'équation par  et nous trouvons pour maximum de :

Nous voyons que plus le polynôme est de degré élevé, plus il approxime la fonction  avec exactitude. Que se passe-t-il lorsque  ?

Théorème : Supposons que  admette des dérives de tout ordre (ce que l'on note ) pour toutes les valeur d'un intervalle quelconque contenant  et soit  le reste de Lagrange de  en . Si, quel que soit  dans l'intervalle :

alors  est exactement représentée par  sur l'intervalle.

Démonstration : elle découle simplement de l'expression de  lorsque

Le polynôme :

est appelé "polynôme de Taylor" ou "série de Taylor". Si , il est appelé "polynôme de MacLaurin" ou "série de MacLaurin".

SEries de Fourier

ou sous une forme plus compacte :

Supposons que l’intégrale de la fonction du premier membre de cette égalité soit égale à la somme des intégrales des termes de la série ci-dessus. Ceci aura lieu, par exemple, si nous supposons que la série trigonométrique proposée converge absolument, c'est-à-dire que converge la série numérique suivante (de par la propriété bornée des fonctions trigonométriques) :

La série :

est alors majorable et peut être intégrée terme à terme de 0 à (où ) ce qui nous permet de déterminer les différents coefficients de Fourier. Mais avant de commencer exposons les intégrales suivantes qui nous seront utiles par la suite (si le lecteur souhaite le développement des ces intégrales, nous le feront) :

La série du second membre de l’égalité est majorable, étant donné que ses termes ne sont pas supérieurs en valeurs absolues aux termes de la série positive convergente. Nous peuvons donc l’intégrer terme à terme sur tout segment borné de 0 à :

La série du second membre de l'égalité est majorable, étant donné que ses termes ne sont pas supérieurs en valeurs absolues aux termes de la série positivie convergente. Nous pouvons donc l'intégrer terme à terme sur tout segement borné de 0 à :.

et :

Le théorème de Fourier montre que toute fonction périodique continue peut être approchée par une somme infinie de fonctions trigonométriques (sinus ou cosinus) consistant en une fonction fondamentale et ses harmoniques.

SERIES DE BESSEL

Les fonctions de Bessel sont très utiles dans de nombreux domaines de pointe de la physique faisant intervenir des équations différentielles délicates à résoudre. Les domaines dans lesquelles nous les trouvons le plus souvent sont la calorimétrie (conduction de la chaleur), la physique nucléaire (physique de réacteurs), et la mécanique des fluides. 

Ces séries sont cependant très peu détaillées dans les écoles universitaires et il est souvent du rôle de l'élève de chercher les compléments d'informations dont il a besoin sur le sujet dans la bibliothèque de son école. Nous avons voulu présenter  ici les développements permettant d'éviter cette démarche tout en restant chez soi devant son ordinateur (de plus les livres sur le sujet sont assez rares...).

Remarque préalable : nous parlons habituellement par abus de langage des "fonctions de Bessel" au lieu des "séries de Bessel"

Il existe une quantité non négligeable de fonctions de Bessel mais nous allons nous restreindre à l'étude de celles qui sont les plus utilisées en physique.

FONCTION DE BESSEL D'ORDRE ZERO

La fonction connue sous le nom de "fonction de Bessel d'ordre zéro", notée est définie par la série de puissances:

C'est lors de l'étude des propriétés de dérivation et d'intégration que Bessel a trouvé que cette série de puissance est une solution à une équation différentielle que l'on retrouve assez fréquemment en physique. C'est pourquoi elle porte son nom.

Si  représente le terme de la série, nous voyons aisément que:

qui tend vers zéro quand , quelque soit la valeur de . Cela a pour conséquence que la série converge pour toutes les valeurs de . Comme il s'agit d'une série de puissance positive, la fonction  et toutes ces dérivées sont continues pour toutes valeurs de , réelles ou complexes.

FONCTION DE BESSEL D'ORDRE N

La fonction , connue sous le nom de "fonction de Bessel d'ordre ", est définie, lorsque est un entier positif, par la série de puissance:

qui converge pour toutes valeurs de , réelles ou complexes.

En particulier, pour  nous avons :

et quand :

Nous pouvons noter que  est une fonction paire de quand est paire, et impaire quand est impaire (voir le chapitre d'analyse fonctionnelle pour voir ce qu'est une fonction paire ou impaire).

En dérivant la fonction et en comparant le résultat avec la série , nous voyons sans trop de peine que:

Nous trouvons également sans trop de difficulté, la relation suivante:

En utilisant le fait que :

et en l'incluant dans la précédente relation, nous trouvons :

ou écrit autrement:

 est donc une solution de l'équation différentielle du second ordre :

ou écrit autrement :

ou encore :

Une solution à une équation Bessel qui n'est pas un multiple de  est appelée "fonction de Bessel du seconde type". Supposons que est une telle fonction et posons ; alors d'après la relation:

nous avons:

 et

En multipliant la première relation  par  et la seconde par et après soustraction, nous obtenons :

nous avons donc également:

nous pouvons donc écrire:

effectivement car si nous développons, nous trouvons :

Pour que l'égalité :

soit satisfaite, nous avons:

En divisant par , nous avons :

ce qui est équivalent à :

de suite, par intégration il vient :

où est une constante. Consécutivement nous avons, puisque :

où rappelons-le, et sont des constantes, et si  n'est pas un multiple de par définition.

Si dans la dernière relation,  est remplacé par son expression en termes de série nous avons:

dès lors :

consécutivement si nous posons :

où  est une fonction de Bessel particulière du second type appelée "fonction de Bessel-Neumann du second type d'ordre nul".

Identiquement au fait que  quand , l'équation  à cause du terme quand est petit tend vers  quand .

Finalement, il vient de ce que nous avons vu précédemment que  et sont des solutions indépendantes de l'équation différentielle :

La solution générale étant donc :

où , sont des constantes arbitraires et  afin que soit réel.

Si nous remplacons par , où est une constante, l'équation différentielle devient :

en multipliant le tout par , nous trouvons la forme générale de l'équation différentielle:

dont la solution générale est:

où  afin que soit réel quand .

Au fait, les fonctions de Bessel viennent des solutions de l'équation différentielle étudiée précédemment solutionnées par la méthode de Frobenius. Posons:

et faisons la substitution :

en substituant dans , nous obtenons

Choisissons maintenant les afin de satisfaire l'équation différentielle tel que:

Dès lors, à moins que  soit un entier négatif, nous avons:

En substituant ces valeurs dans la relation , nous obtenons :

dès lors:

si nous posons  dans l'avant-dernière relation, nous obtenons :

CRITERES DE CONVERGENCE

Lorsque nous étudions une série, l'une des questions fondamentales est celle de la convergence ou de la divergence de cette série.

Si une série converge, son terme général tend vers zéro lorsque  tend vers l'infini :

Ce critère est nécessaire mais non suffisant pour établir la convergence d'une série. Par contre, si ce critère n'est pas rempli, on est absolument sûr que la série converge.

Trois méthodes sont proposées pour approfondir le critère de convergence :

1. Le test de l'intégrale

2. La règle d'Alembert

3. La règle de Cauchy

Dans les paragraphes suivants, nous admettrons des séries à terme positifs. Le cas de la série alternée sera vu ultérieurement.

TEST DE L'INTEGRALE

Soit la série à termes positifs non croissants :

c'est-à-dire :

et soit une fonction continue non croissante telle que :

nous pouvons alors affirmer que :

1. Si l'intégrale :

converge, la série converge également.

2. Si l'intégrale :

diverge, la série diverge également.

Remarques : en aucun cas l'intégrale ne donne la valeur de la somme de la série ! Le test de l'intégrale donne simplement une indication sur la convergence de la série. Avant de faire le test de l'intégrale, il est important de vérifier que les termes de la série soient strictement décroissants afin de remplir la condition .

REGLE D'ALEMBERT

Si dans une série à termes positifs :

le rapport  (assimilable à une fonction prise en son entier) a une limite finie  lorsque  :

1. Si , la série converge

2. Si , la série diverge

3. Si  on ne peut rien dire

et nous définissons le rayon de convergence comme :

REGLE DE CAUCHY

Si dans une série à termes positifs :

la quantité  a une limite finie  lorsque  telle que :

avec à nouveau les mêmes considération que pour la règle d'Alembert :

1. Si , la série converge

2. Si , la série diverge

3. Si  on ne peut rien dire

THEOREME DE LEIBNIZ

Nous avons considéré jusqu'à présent des séries à termes positifs. Nous allons considérer dans cette partie des séries dont les termes sont alternés, c'est-à-dire des séries de la forme :

Si dans une série alternée les termes vont en décroissant  :

et si :

alors la série converge, sa somme est positive et n'est pas supérieure au premier terme.

Si  est la somme de la série et  une somme partielle, alors :

Remarque : il est important de vérifier que les valeurs absolues des termes de la série soient strictement décroissants afin de remplir la condition précédente.

CONVERGENCE ABSOLUE

Définition : une série à termes variables est dite absolument convergent si la série formée avec la valeur absolue de ses termes converge :

Si une série alternée de termes est absolument convergente, la série absolue qui en découle converge aussi.

Nous pouvons généraliser la règle d'Alembert au cas des séries à termes quelconques :

Ainsi, le rapport   a une limite finie  lorsque pour  nous avons :

THEOREME DU POINT FIXE

Le théorème du point fixe n'est pas vraiment utile en physique (imlicitement il est indispensable mais les phyisiciens utilisent souvent des outils mathématiques dont les propriétés ont déjà été validées au préalable par des mathématiciens), cependant nous le retrouvons en théorie du chaos (les vortex, tourbillons, etc...) et aussi implicitement dans la théorie des fractals. Nous ne saurions donc que recommander au lecteur de prendre le temps de lire et de comprendre les explications qui vont suivre.

Soit , un espace métrique complet et soit  une application strictement contractante de constante (voir chapitre de topologie), alors il existe un unique point  tel que .  est alors dit le "point fixe" de . De plus si nous notons par :

l'image de par le n-ième itéré de , nous avons alors : 

et la vitesse de convergence peut d'ailleur être estimée par :

Démonstration : soit  nous considérons la suite  définie comme ci-dessus. Nous allons d'abord montrer que cette suite est une suite de Cauchy (voir plus haut sur la présente page ce qu'est une suite de Cauchy). 

En appliquant l'inégalité triangulaire (voir le chapitre d'analyse vectorielle) plusieurs fois nous avons :

Or :

donc :

pour finir :

c'est-à-dire que dans un premier temps  est bien une suite de Cauchy.

 étant un espace complet nous avons que   converge, et nous posons  

A présent, nous vérifions que  est bien un point fixe de . En effet  est uniformément continue (car lipschitzienne - voir le chapitre de topologie) donc à fortiori continue ainsi:

Il reste à vérifier que  est l'unique point fixe (du coup nous aurons démontré que  ne dépend pas du choix de ). Supposons que nous ayons aussi  alors :

Une estimation de la vitesse de convergence est donnée par:

est continue par rapport à chacune des variables donc:

et les limites préservent les inégalités (non strictes) donc: