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CALCUL ALGEBRIQUE | ANALYSE FONCTIONNELLE | CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL | 
SUITES ET SERIES | CALCUL VECTORIEL | ALGEBRE LINEAIRE | CALCUL TENSORIEL | TOPOLOGIE

Des notions physiques telles que la force ou la vitesse sont caractérisées par une direction, un sens et une intensité. Ce triple caractère est mis en évidence par les flèches. Celles-ci sont à l'origine de la notion de vecteur et en constituent l'exemple le plus suggestif. Bien que leur nature soit essentiellement géométrique, c'est leur aptitude à se lier les unes aux autres, donc leur comportement algébrique, qui retiendra principalement notre attention. Partagé en classes d'équivalence et muni de deux opérations appelées addition et multiplication par un scalaire, l'ensemble qu'elles forment représente le modèle classique d'un espace vectoriel. Un de nos premiers objectifs est la description détaillée de ce modèle.

Remarques : 

R1. Avant de lire ce qui va suivre, nous conseillons au lecteur d'avoir au moins parcouru en diagonale le chapitre traitant de la théorie des ensembles dans la section d'arithmétique. Nous y définissons ce qu'est un "espace vectoriel" en utilisant les outils de la théorie des ensembles. Ce concept bien que non indispensable vaut la peine quand même de s'y attarder pour voir comment deux domaines des mathématiques s'intriquent.

R2. L'analyse vectorielle contient beaucoup de termes techniques et de définitions qu'il faut apprendre par coeur (nous comprenons les raisonnements mais devons apprendre par coeur la terminologie). Ce travail est pénible mais malheureusement nécessaire (l'auteur de ces pages connaîte le problème...)

Notion de flèche

Nous désignerons par l'espace ordinaire de la géométrie élémentaire et par ses points. Nous appellerons "flèche" tout segment de droite orienté (dans l'espace). La flèche d'origine et d'extrémité sera notée ou abrégé par une lettre unique choisie arbitrairement tel que . Nous considérerons comme évident que toute flèche est caractérisée par sa direction, son sens, son intensité ou grandeur et ainsi que son origine.

Ensemble des vecteurs

Définitions :

D1. nous disons que deux flèches sont "équivalentes" si elles ont la même direction, le même sens et la même intensité. 

D2. nous disons que deux flèches sont "colinéaires" si elles ont seulement la même direction

Partageons l'ensemble des flèches en classes d'équivalence : deux flèches appartiennent à une même classe si et seulement si elles sont équivalentes. Nous dirons que chacune de ces classes est un vecteur. Rangeons, en outre , les flèches dégénérées (c'est-à-dire de la forme ) en une classe distinguée que nous appellerons "vecteur nul" et noterons . 

L'ensemble des vecteurs sera lui désigné par . Il faut souligner que les éléments de sont des classes de flèches et non pas des flèches individuelles. Il est cependant clair qu'une flèche quelconque suffit cependant à déterminer la classe à laquelle elle appartient et il est donc naturel de l'appeler "représentant de la classe" ou du vecteur.

Traçons le représentant d'un vecteur  à partir de l'extrémité d'un représentant d'un vecteur  . La flèche dont l'origine est celle du représentant de  et l'extrémité celle du représentant de  détermine un vecteur que nous noterons . L'opération qui associe à tout couple de vecteurs leur somme s'appelle "addition vectorielle".

A l'aide d'une figure, il est facile de montrer que l'opération d'addition vectorielle est associative et commutative, autrement dit, que:

et

Il est en outre évident que le vecteur nul est l'élément neutre de l'addition vectorielle, autrement dit, que:

 et

où  désigne le vecteur opposé de , c'est-à-dire le vecteur dont les représentants ont la même direction et la même intensité que ceux de , mais le sens opposé.

L'opération inverse de l'addition vectorielle est la soustraction vectorielle. Soustraire un vecteur revient à addition le vecteur opposé.

Remarques: 

R1. l'addition s'étend, par récurrence, au cas d'une famille finie quelconque de vecteurs. En vertu de l'associativité, ces additions successives peuvent être effectuées dans n'importe quel ordre, ce qui justifie l'écriture sans parenthèses.

R2. la multiplication entre deux vecteurs est un concept qui n'existe pas. Par contre, comme nous le verrons un peu plus loin, nous pouvons multiplier les vecteurs par certaines propriétés d'autres vecteurs que nous appelons la "norme" et encore d'autres petites choses...

Multiplication par un scalaire

Le vecteur  appelé "produit du nombre  par ", est défini de la manière suivante: 

Prenons une flèche représentative  de  et construisons un flèche de même direction, de même sens ou de sens opposé, suivant que  est positif ou négatif, et d'intensité  fois l'intensité de la flèche initiale; la flèche ainsi obtenue est un représentant du vecteur ; si  ou , nous posons . 

L'opération qui consiste à effectuer le produit d'un nombre par un vecteur est appelé "multiplication par un scalaire".

Nous vérifions aisément que la multiplication par un scalaire est associative et distributive par rapport à l'addition numérique vectorielle, autrement dit que:

Espace Vectoriel

Nous appelons "espace vectoriel" un ensemble d'éléments désignés par  et appelés "vecteurs", muni d'une "structure algébrique vectorielle" définie par la donnée de l'addition (soustraction) vectorielle et la multiplication par un scalaire. Ces deux opérations satisfaisant les lois associativité, de commutativité, de distributivité, d'élément neutre et d'opposé comme nous l'avons déjà vu en théorie des ensembles.

Remarque : muni de ces deux opérations, un espace vectoriel est dit "vectorialisé".

Pour tout entier positif , désignera l'ensemble des n-uplets de nombres disposés en colonne :

et est à l'évidence muni d'une structure d'espace vectoriel. Les vecteurs de cet espace seront appelés "vecteur-colonnes". Il seront souvent désignés plus brièvement par :

ou encore plus simplement par : 

Le nombre est parfois appelé "terme" ou "composante d'indice de ".

Combinaisons linéaires

Dorénavant, sauf mention explicite du contraire, les vecteurs seront les éléments d'un espace vectoriel .

Nous appelons "combinaison linéaire" des vecteurs  tout vecteur de la forme :

ou  sont des nombres appelés "coefficients de la combinaison linéaire".

Le vecteur nul est combinaison linéaire de  avec tous les coefficients égaux à zéro. Nous parlons dès lors de "combinaison linéaire triviale".

Nous appelons "combinaison convexe", toute combinaison linéaire dont les coefficients sont non négatifs et de somme égale à 1. L'ensemble des combinaisons convexes de deux points et d'un espace ponctuel  (ayant un origine) est le segment de droite et . Pour s'en rendre compte, il suffit d'écrire:

de faire varier  de 0 à 1 et de constater que tous les points du segment sont ainsi obtenu.

Si le vecteur  est combinaison linéaire des vecteurs  et chacun de ces vecteurs est combinaison linéaire des vecteurs , alors  est combinaison linéaire de .

Sous-espaces vectoriels

Nous appelons "sous-espace vectoriel de " tout sous-ensemble de qui est lui-même un espace vectoriel pour les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire définies dans .

Un sous-espace vectoriel, en tant qu'espace vectoriel, ne peut être vide puisqu'il comprend au moins un vecteur, à savoir son vecteur nul, celui-ci étant d'ailleurs forcément le vecteur nul de . En outre, en même temps que les vecteurs  et (s'il en contient d'autres que le vecteur nul), il comprend également toutes leurs combinaisons linéaires .  

Inversement, nous voyons aussitôt que tout sous-ensemble jouissant de ces propriétés est un sous-espace vectoriel. Nous avons ainsi établi la proposition suivante :

Un sous ensemble de est un sous-espace vectoriel de si et seulement si est non vide et  appartient à pour tout couple  de vecteurs de et tout couple .

Familles Génératrices

Il en découle que si nous avons une famille de vecteurs  l'ensemble des combinaisons linéaires de  peut être un sous-espace vectoriel de , plus précisément le plus petit sous-espace vectoriel de comprenant .

Les vecteurs  qui satisfont à la condition ci-dessus sont appelés "générateurs" de et la famille , famille génératrice de . Nous disons aussi que ces vecteurs ou cette famille engendrent .

Remarque : le sous-espace vectoriel engendré par un vecteur non nul est formé de tous les multiples de ce vecteur. Nous appelons un tel sous-espace "droite vectorielle". Un sous-espace vectoriel engendré par deux vecteurs non multiples l'un de l'autre est appelé "plan vectoriel".

Dépendances et indépendances linéaires

Ce qui va suivre est très important en physique nous conseillons donc au futur physicien de prendre vraiment le temps de bien lire les développements qui vont suivre.

Si  sont trois vecteurs de  dont les représentants ne sont pas parallèles à un même plan (par convention une flèche d'intensité nulle est parallèle à tout plan), alors tout vecteur  de peut s'écrire de manière unique sous la forme :

où sont des nombres.

En particulier, la seule possibilité d'obtenir le vecteur nul comme combinaison linéaire de  est d'attribuer la valeur triviale 0 à .

Réciproquement, si pour trois vecteurs  de  la relation : 

implique , aucun des vecteurs ne peut être combinaison linéaire des deux autres, autrement dit, leurs représentants ne sont pas parallèles à un même plan.

Sur la base de ces observations, nous allons étendre la notion d'absence de parallélisme à un même plan au cas d'un nombre quelconque de vecteurs d'un espace vectoriel .

Nous disons que les vecteurs  sont "linéairement indépendants" si la relation : 

implique nécessairement , autrement dit, si la combinaison linéaire triviale est la seule combinaison linéaire de  qui soit nulle. Dans le cas contraire, nous disons que les vecteurs  sont "linéairement dépendants".

Si l'attention est fixée sur la famille  plutôt que sur les termes dont elle est constituée, nous disons que celle-ci est "libre" ou "liée" suivant que les vecteurs  sont linéairement indépendants ou dépendants.

Bases d'un espace vectoriel

Définition : nous disons qu'une famille finie de vecteurs est une base de si et seulement si :

1. elle est libre

2. elle engendre .

D'après cette définition, toute famille libre  est une base du sous-espace vectoriel qu'elle engendre.

Pour qu'une famille de vecteurs  soit une base de , il faut et il suffit que tout vecteur  de s'exprime de manière unique sous la forme d'une combinaison linéaire des vecteurs :

La relation ci-dessus est appelée "décomposition de suivant la base " où les coefficients  sont appelés "composantes de  dans cette base". En présence d'une base, tout vecteur est donc entièrement déterminé par ses composantes.

Proposition:

Si  sont les composantes de  et  celles de , alors:

sont les composantes de .

En d'autres termes, additionner deux vecteurs revient à additionner leurs composantes et multiplier un vecteur par un scalaire revient évidemment à multiplier ses composantes par ce même scalaire. La base est donc un outil important car elle permet d'effectuer les opérations sur les vecteur au moyen d'opération sur les nombres. 

Exemple crucial : les vecteur colonnes de :

forment un base que nous appelons "base canonique" de (nous travaillerons dans les espaces complexes dans un autre chapitre).

ANGLES DIRECTEURS

Il est clair, qu'un seul angle ne peut décrire la direction d'un vecteur dans l'espace. Nous utilisons alors la notion "d'angles directeurs". Il s'agit de mesurer l'angle du vecteur  par rapport à chacun des axes positifs de la base :

Si : 

alors:

Les valeurs :

sont appelées les "cosinus directeurs" de .

Les 3 angles mentionnées ne sont pas complètements indépendants. En effet, 2 suffisent pour déterminer complètement la direction d'un vecteur dans l'espace, le troisième pouvant se déduire la relation suivante (obtenue à partir du calcul de la norme du vecteur, concept que nous verrons un peu plus loin):

De plus, les cosinus directeurs sont les composantes scalaires d'un vecteur de norme unitaire  ayant la même direction que :

DIMENSIONS D'UN ESPACE VECTORIEL

Nous disons que est de "dimension finie" s'il est engendré par une famille finie de vecteurs. Dans le cas contraire, on dit que est de "dimension "infinie" (nous aborderons ce type d'espaces dans un autre chapitre). Tout espace vectoriel de dimension finie et non réduit au vecteur nul admet une base. En fait, de tout famille génératrice d'un tel espace on peut extraire un base.

La dimension d'un espace vectoriel est notée:

Tout espace vectoriel de dimension finie non nulle peut être mis en correspondance biunivoque (c'est-à-dire en bijection) avec . Il suffit de choisir une base de et de faire correspondre à tout vecteur  de le vecteur-colonne dont les termes sont les composantes de  dans la base choisie (c'est du bla bla de mathématicien mais ce sera utile quand nous aborderons des espaces plus complexes) :

Cette correspondance conserve les opération d'addition et de multiplication par un scalaire que nous avons déjà vues; en d'autres termes, elle permet d'effectuer les opérations sur les vecteurs par des opérations sur les nombres. 

Remarque : nous disons alors que et  sont "isomorphes" ou que la correspondance est un isomorphisme (voir théorie des ensembles).

PROLONGEMENT D'UNE FAMILLE LIBRE

Soit une famille libre et  une famille génératrice de . Si  n'est pas une base de , nous peuvons extraire une sous-famille  de  de telle manière que la famille soit une base de .

Remarque : une telle étude à son utilité lors de passage d'espace mathématique ayant des propriétés données à un autre espace ayant des propriétés mathématiques différentes.

Démonstration:

H1. Nous supposons qu'au moins un des vecteurs  n'est pas combinaison linéaire des vecteurs , sinon engendrerait et serait donc une base possible de . Notons ce vecteur . La famille est alors une famille libre. En effet, la relation : 

implique alors tout d'abord que , autrement  serait combinaison linéaire des vecteurs , et ensuite , puisque les vecteurs  sont linéairement indépendants. 

Si la famille  engendre , elle est une base possible de et le théroème est démontré. Dans le cas contraire, le même raisonnement nous assure l'existence d'un autre vecteur …. Si la nouvelle famille en découlant n'est pas un base de , alors le procédé d'extraction de vecteurs  de  se poursuit. Lorsqu'il s'arrête, nous aurons obtenu un "prolongement" de  en une famille libre engendrant , c'est-à-dire une base de .

Il en retourne un corollaire:

Tout espace vectoriel de dimension finie et non réduit au vecteur nul admet une base. En fait, de toute famille génératrice d'un tel espace, nous pouvons donc extraire une base.

RANG D'UNE FAMILLE FINIE

Définitions : nous appelons "rang" d'une famille de vecteurs la dimension du sous-espace vectoriel de qu'elle engendre.

Proposition: le rang d'une famille de vecteurs est inférieur ou égal à . Il est égal à si et seulement si cette famille est libre.

Démonstration: écartons le cas trivial où le rang de la famille  est nul. D'après le corollaire vu précédemment, nous pouvons alors extraire de cette famille une base du sous-espace vectoriel qu'elle engendre. Le rang est donc inférieur ou égal à suivant que  est une famille liée ou non.

SOMMES DIRECTES

Définition : nous disons que la somme de deux sous-espaces vectoriel et de est "directe" si . Dans ce cas, nous la notons :

De la somme directe nous pouvons introduire la notion de "sous-espace complémentaire":

Supposons que soit de dimension finie. Pour tout sous-espace vectoriel de , il existe un sous-espace vectoriel (non unique) de tel que soit somme directe de et . Nous disons alors que est un "sous-espace complémentaire" de dans .

Démonstration:

Ecartons d'abord les cas triviaux où et . Le sous-espace vectoriel admet une base , où est inférieur à la dimension de . Par le théorème du prolongement d'une famille libre, cette base peut se prolonger en une base de . Soit le sous-espace vectoriel engendré par la famille . Si  est un vecteur quelconque de , alors , où est un vecteur de et un vecteur de . En outre,  car aucun vecteur, excepté le vecteur nul, ne peut être combinaison linéaire des vecteurs  et des vecteurs . Nous en concluons donc que : .

ESPACE AFFINE

L'espace de la géométrie élémentaire est à la fois usuel et la source de la notion "d'espace affine" que nous allons introduire. 

Cet espace est associé à "l'espace vectoriel" géométrique par la correspondance entre flèches et vecteurs étudiés jusqu'ici ! La définition suivante ne fait que mettre en évidence les traits dominants de cette correspondance :

Soit un ensemble non vide d'éléments que nous appellerons "points" et désignerons par les lettres ; soit en outre un espace vectoriel. Supposons qu'à tout couple de points corresponde un vecteur noté . Nous disons alors que que est un "espace affine" d'espace directeur (ou dit simplement abusivement de "direction") si les conditions suivantes sont satisfaites :

C1. Pour tout point fixé, la correspondance entre couples et vecteurs  est biunivoque, autrement dit, pour tout vecteur  il existe un point et un seul tel que .

C2. Pour tout triplet de points ,  (relation de Chasles)

C3. Si est un point et  un vecteur, pour exprimer que est l'unique point tel que , nous écrivons:

Bien qu'un peu abusive, cette écriture est comme à l'usage et suggère bien le sens de l'opération qu'elle désigne.

Les propriétés suivantes découlent directement des la définition d'espace affine :

P1.

P2. Pour tout point ,, . Cela résulte de la condition  dans le cas où nous avon .

P3. . Il suffit de poser  dans la condition .

P4. Règle du parallélogramme : 

Soit un parallélogramme de sommets (dans le sens des aiguilles d'un montre)  et arrêtes . Nous avons : 

si et seulement si :

En effet, d'après la condition :

nous avons :

Précédemment, nous avons vu ce qui faisait qu'un espace pouvait être muni d'une structure d'espace vectoriel (nous avons vu que nous disons que ce dernier était dès lors "vectorialisé"). Dans le cas général d'un espace affine , le procédé est le même :

Nous choisissons un point quelconque de . La correspondance entre couples et vecteurs de l'espace directeur étant alors biunivoque nous définissons l'addition de points et la multiplication d'un point par un scalaire par les opérations correspondantes sur les vecteurs de . Muni de ces deux opérations, devient un espace vectoriel, appelé "vectorialisé de relativement à ". Nous désignerons cet espace par  et appellerons "l'origine".

Vu la manière dont les opérations ont été définies, il résulte que  est isomorphe à l'espace directeur :

Toutefois, cet isomorphisme dépend du choix de l'origine et en pratique cette origine est choisie sur la base de données inhérentes aux problèmes posés. Par exemple, si une transformation affine admet un point invariant (qui ne bouge pas), il y a avantage a choisir ce point comme origine.

Remarques:

R1. Lorsque nous parlons de dimension d'un espace affine, nous parlons de la dimension de son espace directeur.

R2. L'espace de la géométrie élémentaire est un espace affine. En effet, sa direction est l'espace géométrique et les conditions de définition d'un espace affine sont satisfaites. Il faut bien noter qu'au couple de points est associé le vecteur  et non pas la flèche . En fait, la flèche pouvant être identifiée au couple de points, nous voyons que ce que postule la définition d'un espace affine n'est rien d'autre qu'une forme abstraite de correspondance entre flèches et vecteurs.

R3. Tout espace vectoriel peut être considéré comme un espace affine de direction lui-même si au couple de vecteurs  est associé le vecteur . En effet, les conditions de définition d'un espace affine sont dès lors satisfaites.

ESPACE VECTORIEL EUCLIDIEN

Avant de définir ce qu'est un espace vectoriel, nous allons au préalable définir quelques outils mathématiques et quelques concepts.

Nous pouvons, en choisissant une unité de longueur, mesurer l'intensité de chaque flèche, autrement dit, déterminer sa longueur. Nous pouvons aussi mesurer l'écart angulaire de deux flèches (ou vecteurs) quelconques d'origine commune (non nécessairement distinctes) en prenant comme unité de mesure d'angle par exemple le radian. La mesure de cet écart est alors un nombre compris entre 0 et , appelé "angle" des deux flèches. Si les deux flèches ont même direction et même sens, leur angle est nul et si elles ont même direction et sens opposé, ce même angle est .

Les flèches représentatives d'un même vecteur  ont toutes la même longueur. Nous désignerons cette longeur par la notation:

et l'appellerons "norme" de . Il est clair que la longeur d'un vecteur est nulle si et seulement si sa norme est nulle. Nous dirons qu'un vecteur est unitaire si sa norme est 1. 

Si  est un vecteur non nul :

est un vecteur unitaire colinéaire (nécessairement) à  dont la norme est égale à l'unité et que nous notons .

Nous appelerons "angle des vecteurs non nuls  et " l'angle de deux flèches d'origine commune représentant l'une  et l'autre .

PRODUIT SCALAIRE

Définition: l'espace vectoriel euclidien, est un espace vectoriel possédant une opération particulière, "le produit scalaire" que nous noterons (notation spécifique à ce site Internet):

Remarques : 

R1. Nous trouvons dans certains ouvrages (pour info) la notation  ou encore que nous ne souhaitons pas utiliser car un peu trop proche du formalisme de Dirac utilisé en mécanique quantique (nous souhaitons éviter les futures confusions).

R2. Le produit scalaire à une importance énorme dans l'ensemble du domaine des mathématiques et de la physique, ainsi nous le retrouvons dans le calcul différentiel et intégral, en topologie, en mécanique quantique en analyse du signale etc... il convient donc de bien comprendre ce qui va suivre.

R3. Le produit scalaire peut être vu comme une projection de la longueur d'un vecteur sur la longueur d'un autre

Ce produit scalaire possède les propriétés suivantes (dont la plupart découlent de la définition même du produit scalaire):

P1. Commutativité :

P2. Associativité :

P3. Distributivité :

P4. Si

P5.  et  si

P6.

Seule cette dernière propriété nécessite une démonstration (de plus un des résultats de la démonstration nous servira à démontrer une autre propriété très important du produit scalaire):

Soit :

qui constitue la "projection orthogonale" du vecteur sur le normalisaiton à l'unité du vecteur .

A l'aide du produit scalaire, le vecteur peut être exprimé autrement il suffit de de prendre : 

et de l'introduire dans avec les vecteur adéquats pour obtenir :

Cette expressions vaut également dans le cas où  est nul, à condition d'admettre que la projection orthogonale de vecteur nul est nul. La norme de  s'écrit :

Si  est unitaire, les relations de projections précédentes se simplifient et deviennet :

 et 

Par des considérations géométriques élémentaires, il est facile de se rendre compte que :

 et

Si nous revenons maintenant à la démonstration de :

Nous avons si :

d'après la définition la propriété de la projection orthogonale :

Définitions : 

D1. L'espace vectoriel est dit "proprement euclidien" si

D2. Nous dissons que les vecteurs  et  sont "orthogonaux" s'ils sont non nuls et que leur produit scalaire est nul (leur angle est égal à ).

Une base de est dite "orthonomormale" si les vecteurs  sont orthogonaux deux à deux et unitaires (donc constituant une famille libre).

Par le raisonnement géométrique, nous voyons que tout vecteur est la somme de ses projections orthogonales sur les vecteurs d'une base orthonormale, autrement dit, si  est une base orthonormale:

Cette décomposition s'obtient également par la propriété de P6 du produit scalaire. En effet,  étant les composantes de  :

puisque  et  de même :

 et

Soit  et  les composantes respectives des vecteurs  et  dans un base orthonormale canonique nous pouvons écrire le produit scalaire sous la forme :

de la propriété P6 du produit scalaire :

en utilisant la propriété P1 et à nouveau P6 :

Ce qui nous donne finalement la décomposition :

INEGALITE DE CAUCHY-SCHWARZ

La relation:

s'écrit également trivialement sous la forme suivante si nous utilisons la notion de norme et la définition du produit scalaire :

Si les deux vecteurs  et  sont orthogonaux, nous retrouvons le résultat d'un théorème fameux: le théorème de Phytagore.

Effectivement, dès lors nous avons . Ce qui nous donne:

Cette relation est très importante en physique-mathématique. Il faut s'en souvenir !

Nous appelons également "inégalité de Cauchy-Schwarz" l'inégalité, valable pour tout choix des vecteurs  et  la relation :

Démonstration : dans le cas particulier où   et  sont des vecteurs de et le produit scalaire est défini, cette inégalité est évidente, puisque . Dans le cas général, elle nécessite une preuve. Si  est nul, les deux membres de l'inégalité sont nuls et l'inégalité devient au fait une égalité. Si  n'est pas nul, posons:

et écrivons (le premier et troisième terme du membre gauche de l'égalité s'annulent) :

Comme  est la projection orthogonale de  sur ,  est aussi orthogonal à , donc à , ce qui nous permet d'appliquer le théorème de pythagore au second membre de la relation précédente et d'obtenir :

Dès lors, l'inégalité suivante :

vérifie l'inégalité puisque le second terme est au carré donc nécessairement positif ou nul.

Lorsque est , l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit avec les composantes des vecteurs :

Dans le cas particulier où  elle devient:

ou encore:

ce qui montre que le carré de la moyenne arithmétique est inférieur ou égal à la moyenne arithmétique des carrés. Ce résultat est très important pour l'étude des statistiques.

INEGALITE DE TRIANGULAIRE

En majorant  par  (à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwartz) et en mettant ceci dans la relation établie déjà précédement:

Nous obtenons

ce qui entraîne la fameuse "inégalité triangulaire" (très utile dans l'étude des suites et séries pour l'étude des convergences ainsi qu'en topologie) :

Remarque : la généralisation de cette inégalité relativement aux propriétés des normes telles que nous le verrons en topologie, donne ce que nous appelons "l'inégalité de Minkowski".

et en procédant de même (par les mêmes raisonnements) nous obtenons :

En vertu de la propriété du cosinus et de l'inégalité de Cauchy-Schwartz , nous pouvons écrire:

relation que nous retrouvons également dans l'étude des statistiques.

PRODUIT VECTORIEL

Le produit vectoriel de deux vecteurs est une opération propre à la dimension 3. Pour l'introduire, il faut préalablement orienter l'espace destiné à le recevoir. L'orientation étant définie au moyen de la notion de "déterminant", nous commencerons par une brève introduction à l'étude de cette notion. Cette étude sera reprise plus tard dans le détail lors de l'analyse des systèmes linéaires dans le chapitre d'algèbre matricielle.

Nous appelons "déterminant" des vecteurs-colonnes de :

et nous notons:

le nombre (produit soustrait en croix) :

Nous appelons déterminant des vecteurs-colonnes de :

et nous notons :

le nombre :

La fonction qui associe à tout couple de vecteurs-colonnes de  (à tout triplet de vecteurs-colonnes de ) son déterminant est appelé "déterminant d'ordre 2 (respectivement d'ordre 3)".

Le déterminant a comme propriété d'être multiplié par –1 si l'un de ses vecteurs colonnes est remplacé par son opposé ou si deux de ses vecteurs-colonnes sont échangés (la vérification étant simple nous nous abstiendrons de la démonstration, sauf sur demande). En plus, le déterminant est non nul si et seulement si ses vecteurs-colonnes sont linéairement indépendants (la démonstration se trouve un dizaine de lignes plus bas).

Nous appelons "déterminant de passage" d'une base  à une base  le déterminant :

où les  sont les comosantes du vecteur  dans la base .

Nous définissons l'orientation de l'espace vectoriel par le choix d'une de ses bases. Ce choix étant fait, nous disons que est "orienté" ou "doté d'une orientation". Soit  la base définissant l'orientation de . Nous disons alors qu'une base  est "directe" ou "positivement orientée" si le déterminant de la matrice de passage est positive et "indirecte" ou "négativement orientée" si ce même déterminant est négatif.

Remarque : nous reviendrons plus en détail sur  ces notions lors de l'étude de l'algèbre linéaire.

Définition : soit  et  les composantes respectives des vecteurs  et  dans la base orthonormale . Nous appelons "produite vectoriel" de  et , et nous notons:

le vecteur :

ou plus communément écrit :

La i-ème composante  est le déterminant des deux colonnes:

privées de leur i-ème terme, le deuxième déterminant étant cependant pris avec la signe "-":

Truc mnémotechnique : il suffit de se rappeler du premier terme seulement et ensuite d'incrément de 1 chaque indicie pour chaque nouveau terme sachant que lorsque nous arrivons à 3 il faut recommencer à 1.

Cas particuliers:

Le produit vectoriel jouit des propriétés suivantes:

P1.  (antisymétrie)

P2.  (linéarité)

P3.  si et seulement si  et  sont linéairement dépendants.

P4. Le produit vectoriel n'est pas associatif

Démonstrations :

Les deux premières propriétés découlent directement de la définition et la propirété P4 se vérifié aisément en développant les composantes et en comparant les résultant obtenus.

Démontrons la troisième propriété :

Soient deux vecteurs  et . Si les deux vecteurs sont linéairement dépendants alors il existe  tel que nous puissions écrire:

Si nous développons le produit vectoriel de deux vecteurs dépendants à un facteur  près, nous obtenons:

Il va sans dire que le résultat ci-dessus est égal au vecteur nul .

Si nous supposons maintenant que les deux vecteurs  et  sont linéairement indépendants et non nuls, nous pouvons démontrer que le produit vectoriel est:

1. orthogonal (perpendiculaire) à  et

2. de norme , où  est l'angle entre  et

Démontrons la première propriété (dont la validité est de première importance en physique) :

ce qui montre bien que le vecteur  est perpendiculaire au vecteur résultant du produit vectoriel entre  et !

Il nous faut encore démontrer la deuxième propriété (dont la validité est elle aussi de première importance en physique) :

Soit le carré de la norme du produit vectoriel . D'après la définition du produit vectoriel nous avons:

Donc finalement:

Nous remarquerons que dans le cas où est l'espace vectoriel géométrique, la norme du produit vectoriel représente l'aire du parallélogramme construit sur des représentants  et  d'origine commune.

Si  et  sont linéairement indépendants, le triplet  et donc aussi le triplet  sont directs.

En effet, étant les composantes de  (dans la base ), le déterminant de passage de  à  (par exemple) s'écrit:

Ce déterminant est donc positif, puisqu'au moins un des  n'est pas nul, d'après la troisième propriété d'indépendance linéaire du produit vectoriel.

PRODUIT MIXTE

Nous pouvons étendre la définition du produit vectoriel à une autre type d'outil mathématique que nous appelons le "produit mixte" : 

Définition : nous appelons "produit mixte" des vecteurs  le double produit :

Abrégé :

D'après ce que nous avons vu lors de la définition du produit scalaire et vectoriel , le produit mixte peut également s'écrire :

Nous remarquerons que dans le cas où  est l'espace vectoriel géométrique , le produit mixte symbole le volume (orienté) du parallélépipède, construit sur des représentants  d'origine commune.

Remarque : il est assez trivial que le produit mixte est un extension à 3 dimension du produit vectoriel qui représente rappelons-le, la surface du  parallélogramme.

De par les propriétés de commutativité du produit scalaire, nous avons :

et le lecteur vérifier sans aucune peine (nous le ferons s'il y a demande) en développant les composantes que :

Le produit mixte jouit également des propriétés que le lecteur ne devrait avoir aucun mal à vérifier en développant les composantes (mis à part P3 qui découle des propriétés du produit scalaire et vectoriel) :

P1.

P2.

P3.  si et seulement si  sont linéairement indépendants

Voici encore quelques identités vectorielle d'utilité pratique lorsque, par exemple, nous étudierons plus loin les opérateur différentiels scalaires et vectoriels (à nouveau la démonstration ne devrait pas faire difficulté au lecteur car il s'agit de vérifier l'égalité par développement des composantes) :

P1.

P2.

P3.

ESPACE VECTORIEL FONCTIONNEL

Soit l'ensemble des fonctions réelles -fois dérivables  dans l'intervalle fermé . Nous désignerons les éléments de cet ensemble par les lettres  

La valeur de  au point  sera bien évidemment notée . Dire que équivaudra  donc à dire que : . De manière abrégée, nous écrirons , le signe  indiquant ainsi que les deux membres sont égaux pour tout   de l'intervalle .

Considérons les deux opérations suivantes :

-  définie par la formule

-  définie par la formule

Ces deux opérations satisfont à toutes les conditions des vecteurs d'un espace vectoriel que nous avons déjà définies au début de ce chapitre (associativité, commutativité, vecteur nul, vecteur opposé, distributivité, élément neutre) et munissent donc  d'une structure d'espace vectoriel. Le vecteur nul de cet espace étant bien évidemment la fonction nulle et l'opposé de  étant la fonction .

Il est intéressant de constater que  en tant qu'espace vectoriel est une généralisation  de  au cas continu. Nous pouvons en effet concevoir tout vecteur  de  sous la forme d'une fonction réelle définie dans l'ensemble : la valeur de cette fonction au point  est tout simplement .

Remarque : Les polynômes de degré  et à une inconnue forment aussi un exemple d'espace vectoriel fonctionnel de dimension (à chaque coefficient du polynôme correspond une composante du vecteur).

Le champ d'application privilégié de la théorie abstraite du produit scalaire est constitué par les espaces vectoriels fonctionnels. Nous appelons ainsi aussi produit scalaire canonique dans  l'opération définie par la relation :

Cette opération définit bien un produit scalaire, ces les propriétés de ce dernier sont vérifiées et, en outre, l'intégrale :

SYSTEMES DE COORDONNES

Nous allons aborder ici, l'aspect des changements de coordonnées des composantes de vecteurs. Ce type de transformation à un fort potentiel en physique (ainsi qu'en mathématique) lorsque nous souhaitons simplifier l'étude de systèmes physiques dont les équations deviennent plus facilement manipulables dans d'autres système de coordonnées.

Bien que nous soyons dans un chapitre et une section de mathématiques du site, nous nous permettrons dans ce qui va suivre de faire une liaison directe avec la physique pour ce qui concerne les expressions de la vitesse et de l'accélération dans différentes systèmes de coordonnées.

SYSTEME DE COORDONNES CARTESIENNES

Nous ne souhaitons pas trop nous attarder sur ce système car il est bien connu de tout le monde habituellement. Rappelons cependant que la plupart du temps, en physique, les systèmes cartésiens dans lequels nous travaillons sont  (deux dimensions spatiales),  (trois dimensions spatiales) voir ou  (trois dimensions spatiales et une temporelle) lorsque nous travaillons en relativité.

Les systèmes cartésiens sont représentés par des vecteurs de base orthonormés (dans le sens qu'ils sont linéairement indépendant et de norme unité) qui forment une base pré-euclidienne (base euclidienne dans laquelle nous avons défini le produit scalaire).

Dans  (cas le plus fréquent), il y a trois vecteurs de base notés traditionnellement:

Dans ce système, la position d'un point (repérable par un vecteur ) est défini par le triplet de nombre noté (en calcul tensoriel):

et en physique plus conventionellement:

où habituellement la coordonnée ( ) représente le haut (la verticale), la coordonnée ( ) la profondeur et la coordonnée ( ) la longueur (évidemment ces choix sont complétement arbitraires).

Ce point peut être repéré par un vecteur noté arbitrairement  dans la base  par la relation (utilisant la notation tensorielle):

En physique, si nous travaillons avec des coordonnées, c'est toujours pour pouvoir déterminer l'emplacement d'un élément. Or, comme nous le verrons plus rigoureusement en mécanique analytique, le physicien travaille avec les notions suivantes (chaque élément dépendant souvent du temps):

- Position:

- Vitesse:

- Accélération:

Maintenant voyons comment s'expriment ces différentes notions dans des systèmes telles que les coordonnnées sphériques, cylindriques et polaires.

SYSTEME DE COORDONNES SPHERIQUES

Le choix de commencer avec ce système de coordonnées n'est pas un hasard. Il a pour avantage d'être une généralisation des systèmes cylindriques et polaires dont nous en retrouverons plus facilement les expressions de la position, de la vitesse et de l'accélération .

Nous représentons traditionnellement un système à coordonnées sphérique de la façon suivante:

Nous voyons très bien si nous connaissons bien les relations trigonométriques élémentaires (voir le chapitre du même dans la section de géométrie) que nous avons les transformations:

et inversement:

Maintenant il nous faut trouver les expressions qui relient les vecteurs de la base sphérique que nous choisissons de noter  (au lieu de  comme cela ce fait traditionnellement) avec les vecteurs de la base cartésienne . Nous avons, comme nous pouvons le voir sur le schéma ci-dessus:

Pour des besoins ultérieurs, déterminons les différentielles partielles de chacune des ces coordonnées:

Nous allons également utiliser plus tard (pour l'étude des opérateurs vectoriels) la variation  exprimée en coordonnées sphériques:

Pour exprimer la vitesse et l'accélération en coordonnées sphériques, nous aurons également besoin des dérivées par rapport au temps:

Donc si nous faisons maintenant un peu de physique, nous avons:

ce qui nous amène à (nous aurons besoin de cette relation en astrophysique) :

Pour l'accélération nous obtenons (exactement dans la même démarche que pour déterminer l'expression de la vitesse):

SYSTEME DE COORDONNES CYLINDRIQUES

Le système de coordonnées cylindriques (très utile dans l'étude des système à mouvements hélicoïdaux) est assez semblable à celui des coordonnées sphériques puisqu'il peut être vu comme une tranche de la sphère. Soit le schéma:

il vient sans peine qu'en coordonnées polaires (à un changement de notation près par rapport au schéma ci-dessus):

et inversement:

Maintenant il nous faut trouver les expressions qui relient les vecteurs de la base polaire que nous choisisson de noter  (au lieu de  comme cela ce fait traditionnellement) avec les vecteurs de la base cartésienne . Nous avons, identiquement à ce que nous avons fait pour les coordonnées sphériques:

Pour des besoins ultérieurs, déterminons les différentielles partielles de chacune des ces coordonnées:

Nous allons également utiliser plus tard (pour l'étude des opérateurs vectoriels) la variation  exprimée en coordonnées cylindriques:

Pour exprimer la vitesse et l'accélération en coordonnées sphériques, nous aurons également besoin des dérivées par rapport au temps:

Donc si nous faisons maintenant un peu de physique, nous avons (rappellons que la composante est indépendante des autres composantes cylindriques):

ce qui nous amène à:

Pour l'accélération nous obtenons (exactement dans la même démarche que pour déterminer l'expression de la vitesse):

SYSTEME DE COORDONNES POLAIRES

Le système de coordonnées polaires est très semblable à celui des coordonnées cylindriques puisqu'il peut être vu comme un retranchement d'une dimension (la hauteur) du système cylindrique.

Ainsi, il vient sans peine qu'en coordonnées polaires:

et inversement:

Maintenant il nous faut trouver les expressions qui relient les vecteurs de la base polaire que je choisis de noter  (au lieu de  comme cela ce fait traditionnellement) avec les vecteurs de la base cartésienne . On a, identiquement à ce que l'on a fait pour les coordonnées sphériques:

Pour des besoins ultérieurs, déterminons les différentielles partielles de chacune des ces coordonnées:

Nous allons également utiliser plus tard (pour l'étude des opérateurs vectoriels) la variation  exprimée en coordonnées cylindriques:

Pour exprimer la vitesse et l'accélération en coordonnées sphériques, nous aurons également besoin des dérivées par rapport au temps:

Donc si nous faisons maintenant un peu de physique, nous avons:

ce qui nous amène à:

où le premier terme est la composante radiale de la vitesse et le second la composante tangentielle de la vitesse (angulaire).

Pour l'accélération nous obtenons (exactement dans la même démarche que pour déterminer l'expression de la vitesse):

où le premier terme est l'accélération radiale, le second l'accélération centripète, le troisième l'accélération tangentielle et le quatrième l'accélération de Coriolis.

OPERATEURS DIFFERENTIELS scalaires et vectoriels

Un champ scalaire, vectoriel ou tensoriel, dans un volume , est une application qui, à tout point  de ce volume , associe une grandeur scalaire, vectorielle ou tensorielle. Ainsi, l'application qui, à tout point  de , de coordonnées spatiales associe la valeur scalaire est un champs scalaire dans .

En chaque point d'un volume traversé par un fluide en mouvement, le vecteur qui coïncide à chaque instant avec la vitesse de la particule changeante qui passe en ce point à ce même instant définit un champ vectoriel 3D, éventuellement variable dans le temps. Les champs ainsi définis constituent un outil mathématique de base dans l'ensemble de la physique.

Lorsque nous représentons graphiquement un champ scalaire, l'ensemble des points continus de valeur égale constituent ce que l'on appelle des "isolignes" ou plus couramment "courbes de niveau".

GRADIENT D'UN CHAMP SCALAIRE

Soit un champ scalaire tridimensionnel , où et et sont les coordonnées cartésiennes d’un point M de l'espace. Lorsque se déplace dans l'espace selon le vecteur  de composantes , et , le champ scalaire varie de selon la différentielle totale:

A partir de cette relation, nous pouvons définir l'opérateur "gradient" d'un champ scalaire tel que:

où est un terme vectoriel appelé le "gradient du champ scalaire ". Pour condenser l'écriture, nous utilisons parfois le symbole  nommé le "nabla du champ scalaire ".

A partir de la définition et de la différentielle totale, nous obtenons

Ce qui nous amène à poser que:

et donc que finalement en coordonnées cartésiennes:

Finalement nous voyons que le gradient d'un champ scalaire est le champ vectoriel dont les composantes en chaque point sont les trois dérivées du champ scalaire  par rapport aux trois coordonnées spatiales, notées ici .

La variation de  pour un déplacement  est donc le produit scalaire de  par le gradient du champ . Or, un déplacement infinitésimal effectué le long d'une isoligne, du champ scalaire tridimensionnel n'engendre aucune variation  de . Le produit scalaire évoqué est donc nul dans ce cas, ce qui implique que et  sont perpendiculaires.

En considérant cette fois un déplacement perpendiculaire aux isolignes, nous montrons facilement que le vecteur gradient de  est dirigé depuis les faibles valeurs de  vers les fortes valeurs de . Son module étant d'autant plus grand que  varie rapidement au voisinage du point considéré.

Par sa direction, son sens et son module, le vecteur gradient d'un champ en un point comporte donc des indications sur la manière dont varie le champ autour de ce point.

Remarque : la condition nécessaire et suffisante pour qu'un champ de vecteurs soit le gradient d'un champ scalaire  est que ce champ vectoriel soit irrationnel (voir plus loin l'opérateur "rotationnel d'un champ vectoriel").

Après avoir défini le gradient en coordonnées cartésiennes nous devons nous intéresser à l'expression de cet opérateur dans d'autres systèmes de coordonnées. Il est fréquent en physique d'avoir à utiliser les coordonnées cylindriques, polaires et sphériques pour simplifier l'étude formelle de systèmes physiques. Ainsi, si nous faisons référence à notre étude des systèmes de coordonnées, nous avons (rappel) d'abord en coordonnées polaires:

Or, avec la définition du gradient en coordonnées cartésiennes, nous avons en coordonnées polaires la définition suivante:

Si nous exprimons la différentielle totale de  nous obtenons les relations suivantes:

Ce qui nous permet d'obtenir la relation:

ce qui donne:

et nous impose:

Ainsi le gradient en coordonnées polaires s'exprime comme:

Occupons nous maintenant de l'expression du gradient en coordonnées cylindriques. Rappellons que lors de l'étude des différents systèmes de coordonnées nous avons obtenu pour les coordonnées cylindriques:

Donc nous savons déjà que l'expression du gradient en coordonnées cylindriques sera identique à celle en coordonnées polaires à l'exception de l'ajout de la composante verticale indépendante des autres coordonnées. Ainsi, nous obtenons en coordonnées cylindriques:

Occupons nous maintenant de l'expression du gradient en coordonnées sphériques. Rappellons que lors de l'étude des différents systèmes de coordonnées nous avons obtenu pour les coordonnées sphériques:

Or, avec la définition du gradient en coordonnées cartésiennes, nous avons en coordonnées sphériques la définition suivante:

Si nous exprimons la différentielle totale de  nous obtenons les relations suivantes:

Ce qui nous permet d'obtenir la relation (nous utilisons maintenant la notation qui use du l'opérateur "nabla"):

La relation:

Nous impose:

Ainsi le gradient en coordonnées sphériques s'exprime comme:

Nous avons donc finalement vu toutes les expressions du gradient dans les systèmes cartésiens, polaires, cylindriques et sphériques.

GRADIENT D'UN CHAMP DE VECTEURS

Le gradient d'un champ vectoriel  est le champ dit "tensoriel" défini par les 9 relations suivantes en coordonnées cartésiennes:

Par les 4 relations suivantes en coordonnées polaires:

Par les 9 relations suivantes en coordonnées cylindriques:

Par les 9 relations suivantes en coordonnées sphériques:

On définit l'opérteur divergence par la relation suivante (la notation tensorielle a été utilisée afin d'abréger l'écriture) dans un espace à n dimensions:

Ainsi, en coordonnées cartésiennes, on obtient:

Si la divergence d’un champ de vecteurs est identiquement nulle en tous les points d’un repère Eulérien, l’intégrale triple du flux de ce champs à travers un volume V sera:

Il en résulte que le flux de ce champ de vecteurs à travers les bords du volume est nul, c’est-à-dire que le flux entrant compense le flux sortant. On dit qu’un tel champ de vecteurs de divergence nulle présente un flux conservatif.

Il est très facile d'otenir l'expression de la divergence en d'autres systèmes de coordonnées. Le fait que nous ayons déterminé le gradient dans différents systèmes nous permet très rapidement d'écrire que la divergence en coordonnées polaires s'exprime par la relation:

en coordonnées cylindriques par la relation (on ajoute la composante verticale indépendante):

en coordonnées sphériques par la relation:

L'expression de ce rotationnel est très simple à obtenir dans d'autres système de coordonnées une fois le gradient connu dans tous les systèmes couramments utilisés. Ainsi, en coordonnées cylindriques (le rotationnel en coordonnées polaires n'est pas définissable), nous avons:

et en coordonnées sphériques:

LAPLACIEN D'UN CHAMP SCALAIRE

Le Laplacien d’un champ scalaire est le champ scalaire qui mesure la différence entre la valeur de la fonction en un point et sa moyenne autour de ce point. 

Cet opérateur s'obtient à partir de la divergence du gradient et on le note (écriture tensorielle):

Le Laplacien est nul, ou assez petit, lorsque la fonction varie sans à-coup. Les fonctions vérifiant l’équation de Laplace  sont dites "harmoniques".

Le Laplacien d'un champ scalaire en dans d'autres systèmes de coordonnées est un peu plus long à développer. Il existe plusieurs méthodes et parmi celles existantes j'ai choisi celles dont le type de raisonnement et les outils utilisés semblaient pertinants. Il est intéressant d'aborder différentes stratégies mais biens sûr il existe des méthodes plus simples que celle présentée ci-dessous.

Soit le Laplacien en coordonnées cartésiennes dans d'un champ scalaire :

Pour déterminer cette expression en coordonnées polaires,  nous allons utiliser la différentielle totale et la règle de chaîne en coordonnées polaires:

donc pour une dérivée seconde:

or, nous avons pour les coordonnées polaires:

 et

d'où:

 et

 et

d'où:

et compte tenu que les dérivées partielles secondes sont continues, alors les dérivées croisées sont égales:

Donc:

De façon similaire, on aura:

d'où l'expression du Laplacien en coordonnées polaires:

Dans le cas d'extension aux coordonnées cylindriques, on aura, puisque la troisième coordonné ne change pas:

Pour trouver l'expression du Laplacien en coordonnées sphériques, nous allons utiliser l'intuition du physicien et les notions de similitude.

Nous allons tout d'abord nous aider de la figure ci-dessus pour savoir de quoi l'on parle:

Les relations entre coordonnées cartésiennes et sphérique sont données par les relations:

Nous allons considérer maintenant les similitudes suivantes:

Coordonnées cylindriques:  et

Coordonnées sphériques:  et

Construisons un tableau de correspondance:

L'objectif est de jouer avec cette correspondance avec d'abord le Laplacien en coordonnées cylindriques où l'on a soustrait des deux côtés de l'égalité le terme . Ainsi:

utilisons le tableau de correspondance et on obtient:

Le deuxième terme de l'égalité de cette dernière relation est l'équivalent sphérique du terme #1 du Laplacien en coordonnées cylindriques:

Maintenant examinons le terme #2:

Identiquement lorsque l'on a déterminé la relation:

nous obtenons:

avec:

 et

ce qui nous permet d'écrire:

si l'on joue encore avec le tableau de correspondance, nous avons:

on divise cette relation des deux côtés par  et ainsi nous obtenons:

Nous avons donc ci-dessus l'équivalent sphérique du terme #2 du Laplacien en coordonnes cylindrique:

Le terme #3 est très simple à déterminer. On remplace  par  afin d'obtenir:

En rassemblant tous les termes obtenus précédemment, nous obtenons enfin la forme étendue du Laplacien en coordonnées sphériques si utilisé en physique:

on peut raccourcir cette expression et factorisant les termes:

Laplacien d'un champ vectoriel

Le Laplacien d'un champ vectoriel est le champ vectoriel défini par (notation tensorielle):

dont les composantes sont les Laplacien des composantes.

Ainsi, en coordonnées cartésiennes:

Le Laplacien d'un champ de vecteurs en d'autres systèmes de coordonnées est assez simple à obtenir à partir de la connaissance du Laplacien d'un champ scalaire dans ces mêmes coordonnées. Ainsi, en coordonnées polaire, on a pour le Laplacien d'un champ vectoriel la relation suivante:

et en coordonnées cylindriques:

et finalement en coordonnées sphérique:

PROPRIETEs

Les opérateurs différentiels scalaires et vectoriel ont des propriétés très simples que l'on retrouve très souvent en physique.

Voyons d'abord les relations qui n'ont aucun sens (au cas où vous tomberiez dessus sans faire exprès...):

  ou

le rotationnel d'une divergence n'existe pas puisque l'opérateur rotationnel s'applique à un champ vectoriel alors que la divergence est un scalaire.

 ou

le rotationnel d'un laplacien scalaire n'existe pas puisque l'opérateur rotationnel s'applique à un champ vectoriel alors que par construction, le laplacien est un scalaire.

Voyons maintenant les propriétés remarquables (sans démonstrations car trop simple - cependant si vous en avez besoin car vous n'y arrivez pas seul, n'hésitez pas à nous contacter, nous compléterons):

- Par construction le laplacien scalaire est la divergence du gradient du champ.

- La divergence du rotationnel d'un champ est toujours nulle.

 ou

- Le rotationnel d'un champ est égal au gradient de la divergence de ce champ moins son Laplacien vectoriel.

 ou

- La multiplication de l'opérateur nabla par le produit scalaire de deux vecteurs est égal à... (voir ci-dessous), qui donne une relation très utile en mécanique des fluides:

- Le produit scalaire du rotationnel d'un vecteur est la différence des opérateurs commutés tel que: