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CALCUL ALGEBRIQUE | ANALYSE FONCTIONNELLE | CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL | 
SUITES ET SERIES | CALCUL VECTORIEL | ALGEBRE LINEAIRE | CALCUL TENSORIEL | TOPOLOGIE

Nous avons étudié dans le chapitre de calcul algébrique comment déterminer l'intersection (si elle existe) de l'équation de deux droites (nous pouvons étendre le problème bien évidemment à plus de deux) dans données par :

 et

où .

En cherchant donc la valeur de  pour laquelle :

Ainsi nous pouvions écrire :

Cependant, il existe une autre manière de présenter le problème comme nous l'avons vu en algorithmique. Effectivement, nous pouvons écrire le problème sous la forme d'un "bloc" d'équations :

et comme nous cherchons , nous avons :

Cette écriture s'appelle comme nous l'avons présenté dans le chapitre d'algorithmique (section analyse numérique) un "système linéaire" que nous pouvons résoudre par en soustrayant ou en addition les lignes entre elles, ce qui nous donne :

et nous voyons que nous retombons sur la solution :

il y donc deux manière de présenter un problème d'intersection de droites :

1. sous forme d'équation

2. sous forme de système

Nous allons nous intéresser dans ce chapitre à la deuxième méthode qui nous permettre à l'aide des outils vus dans le chapitre de calcul vectoriel de résoudre les intersection non plus d'une ou plusieurs droites mais d'une ou plusieurs droits, plans, hyperplans dans respectivement .

Nous appelons donc "système linéaire", ou simplement système, toute famille d'équations de la forme :

où chaque ligne représente l'équation d'une droite, plan ou hyperplan (voir le chapitre de géométrie chapitre pour la détermination de l'équation d'un hyperplan) et  les "coefficients du système",  les "coefficients du second membre" et les  les "inconnues du système".

Si les coefficients du second membre sont tous nuls, nous disons que le système est "homogène". Nous appelons "système homogène associé" au système, ce même système que nous obtenons en substituant des zéros au coefficient du second membre.

Rappels :

- L'équation d'une droite (voir chapitre d'analyse fonctionnelle) est donnée par :

en posant .

- L'équation d'un plan  (voir chapitre de géométrie spatiale dans la section de géométrie) est donnée par :

en posant .

- L'équation d'un hyperplan est très facilement (si vous ne voyez pas comment faites le nous savoir nous le préciseront) généralisable à partir de la démonstration de celle du plan et nous obtenons ainsi :

en posant

Nous écrivons souvent un système linéaire sous la forme condensée suivante :

Une écriture encore plus condensée sera introduite plus tard.

Nous appelons "solution du système" tout -uplet  tel que :

Résoudre un système signifie trouver l'ensemble des solutions de ce système. Deux systèmes à  inconnues sont dits "équivalents" si toute solution de l'un est solution de l'autre, autrement dit, s'ils admettent le même ensemble de solutions. Nous disons parfois que les équations d'un système sont "compatibles" ou "incompatibles", suivant que ce système admet au moins une solution ou n'en admet aucune.

Nous pouvons également donner bien sûr une interprétation géométrique à ces systèmes. Supposons que les premiers membres des équations du système soient non nuls. Alors, nous savons que chacune de ces équations représente un hyperplan d'un espace affine (voir le chapitre de calcul vectoriel) de dimension . Par conséquent, l'ensemble des solutions du système, regardé comme ensemble de -uplets de coordonnées, représente une intersection finie d'hyperplans.

Pour la méthode de résolution "classique" de ces systèmes, nous renvoyons le lecteur au chapitre traitant des algorithmes dans la section d'analyse numérique.

MATRICES

Nous appelons "matrice" à et lignes et colonnes, ou "matrice de type " (le premier terme correspond toujours aux lignes et le second aux colonnes, pour s'en souvenir il existe un bon moyen mnémotechnique : le président LinColn – abréviation de Ligne et Colonne…), tout tableau de nombres :

Nous désignons souvent une matrice de type plus brièvement par :

ou simplement par .

Le nombre  est appelé "terme d'indices ". L'indice  étant appelé "indice de ligne" et l'indice  "indice de colonne".

Lorsque , nous disons que  est une "matrice carrée" d'ordre . Dans ce cas, les termes  sont appelées "termes diagonaux".

Nous appelons également une matrice à une seule ligne "matrice-ligne" et une matrice à une seule colonne "matrice-colonne". Il est claire qu'une matrice colonne n'est rient d'autre qu'un "vecteur-colonne". Par la suite, les lignes d'une matrice seront assimilées à des matrices-lignes et les colonnes à des matrices-colonnes.

L'intérêt de la notion de matrice apparaître tout au long des textes qui vont suivre mais la raison d'être immédiate de cette notion est simplement de permettre à certaines familles finies de nombres d'être conçues sous la forme d'un tableau rectangulaire.

Nous assignerons aux matrices des symboles propres, à savoir les lettre latines majuscules :  et aux matrices-colonnes des symboles à savoir les lettres minuscules vectorielles ; nous les appellerons d'ailleurs indifféremment matrices-colonnes ou vecteurs-colonnes.

Nous appelons "matrice nulle", et nous la notons , toute matrice dont chaque terme est nul. Les matrices-colonnes sont également désignées par le symbole vectoriel : .

Nous appelons "matrice unité d'ordre ", et nous notons , ou simplement , la matrice carrée d'ordre  :

Nous verrons plus loin que la matrice nulle joue le rôle d'élément neutre de l'addition matricielle et la matrice unité d'élément neutre de la multiplication matricielle.

Nous allons maintenant revenir brièvement sur la définition de "rang d'une famille finie" que nous avons vu en calcul vectoriel.

Rappel : nous appelons "rang" d'une famille de vecteurs la dimension du sous-espace vectoriel de qu'elle engendre.

Ainsi, soit  les colonnes d'une matrice , nous appelons "rang de ", et nous notons , le rang de la famille .

Dans un langage un peu plus familier (…) le rang d'une matrice est donné par le nombre de matrice-colonnes qui ne peuvent s'exprimer par la combinaison et la multiplication par un scalaire d'autres matrices-colonnes de la même matrice.

Remarque : s'il a y des difficultés à déterminer le rang d'une matrice il existe un technique "d'échelonnage" des matrices que nous allons voir plus tard qui permet d'effectuer ce travail très rapidement.

Nous appelons "matrice associée au système" :

l'être mathématique défini par :

c'est-à-dire la matrice  dont les termes sont les coefficients du système. Nous appelons "matrice du second membre du système linéaire", ou simplement "second membre du système", la matrice-colonne  dont les termes sont les coefficients du second membre de ce système. Nous appelons également "matrice augmentée associée au système" la matrice obtenue de  en ajoutant comme -ième colonne.

Si nous considérons maintenant un système de matrice associée  et de second membre . Désignons toujours par  les colonnes de . Le système s'écrit alors de manière équivalent sous la forme d'une équation vectorielle linéaire :

Maintenons rappelons un théorème que nous avons vu en calcul vectoriel : pour que le rang d'une famille de vecteurs  soit égal au rang de la famille augmentée , il faut et il suffit que le vecteur  soit combinaison linéaire des vecteurs .

Il s'ensuit que notre système linéaire sous forme vectorielle admet au moins une solution  si le rang de la famille  est égal au rang de la famille augmentée  et cette solution est unique si et seulement si le rang de la famille  est .

Ainsi, pour qu'un système linéaire de matrice associée  et de second membre  admette au moins une solution, il faut et il suffit que le rang de  soit égal au rang de la matrice augmentée . Si cette condition est remplie, le système admet une seule solution si et seulement le rand de  est égal au nombre d'inconnues autrement dit, les colonnes de  sont linéairement indépendantes.

Nous disons qu'une matrice est "échelonnée" si ses lignes satisfont aux deux conditions suivantes :

C1. Tout ligne nulle n'est suivie que de lignes nulles

C2. L'indice de colonne du premier terme non nul de toute linge non nulle est supérieur à l'indice de colonne du premier terme non nul de la linge qui la précède.

Une matrice échelonnée non nulle est donc de la forme :

où  et  sont des termes non nuls. Bien entendu, les lignes nulles terminales peuvent manquer.

Remarque : il est évident que les matrices nulles et les matrices unités sont échelonnées.

Les colonnes d'indice  d'une matrice échelonnée sont clairement linéairement indépendantes. Envisagées comme des vecteurs-colonnes de , elles forment donc une base de cet espace vectoriel. En considérant les autres colonnes également comme des vecteurs-colonnes de , nous en déduisons qu'elles sont nécessairement combinaison linéaire de celles d'indice  et donc que le rang de la matrice échelonnée est .

Nous noterons que  est aussi le nombre de lignes non nulles la matrice échelonnée et également le rang de la famille des lignes de cette matrice, puisque les lignes non nulles sont dès lors manifestement indépendantes.

Nous pouvons dès lors nous autoriser un certain nombre d'opérations élémentaires (supplémentaires) sur les lignes des matrices qui nous seront fort utiles et ce, sans changer son rang :

P1. Nous pouvons permuter les lignes.

Remarque : la matrice est juste une représentation graphique esthétique d'un système linéaire. Ainsi, permuter deux lignes ne change aucunement le système.

P2. Multiplier une ligne par un scalaire non nul

Remarque : cela ne changeant en rien l'indépendance linéaire des vecteurs-lignes.

P3. Additionner à une ligne, un multiple d'une autre

Remarque : la ligne additionnée disparaîtra au profit de la nouvelle qui est indépendante de toutes les (anciennes) autres. Le système reste ainsi linéairement indépendant.

Toute matrice peut être transformée en matrice échelonnée par une suite finie d'opérations de type P1, P2, P3. C'est cette technique que nous utilisons dans le chapitre traitant des algorithmes pour résoudre les systèmes linéaires.

Il est donc évident que les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice ne modifient pas le rang de la famille des lignes de cette matrice. Or, nous avons observé que le rang de la famille des lignes d'une matrice échelonnée est égal au rang de la famille des colonnes, c'est-à-dire au rang de cette matrice. Nous en concluons que le rang de n'importe quelle matrice de type est également le rang de la famille des lignes de cette matrice.

Comme corollaire de cette conclusion, il apparaît que :

Lors de la résolution de système linéaires de  équations à  inconnues il apparaît, comme nous l'avons déjà fait remarquer tout au début de ce chapitre, qu'il doit y avoir au moins un nombre égal d'équations ou d'inconnues ou plus rigoureusement : le nombre d'inconnues doit être inférieur ou égal aux nombre d'équations tel que :