Nous pouvons parfois avoir à résoudre (et non à simplifier) un "système d'équations". Qu'est-ce que c'est ? : C'est un ensemble d'au moins 2 équations à résoudre (et non à simplifier). La particularité du système ?  : L'ensemble des solutions du système est l'intersection des solutions de toutes les équations à résoudre. Quelle est leur utilité ? : Elle est sans fin, ces systèmes permettent de résoudre des problèmes faisant intervenir des applications des mathématiques à d'autres domaines. A cause de la variété illimitée des applications, il est difficiele d'établir des règles précises pour trouver des solutions. La marche à suivre que voici peut-être utile pour autant bien sûr que le problème puiss être formulé sous forme d'équations :

1. Si le problème est posé par écrit, le lire plusieurs fois soigneusement, réfléchir aux faits donnés ainsi qu'à la quantité d'inconnues à trouver (résumer l'énonce sur une feuille de papier est souvent plus qu'utile pour les gros problèmes).

2. Choisir une lettre qui représente la quantité inconnue. C'est l'un des pas décisifs dans la recherche de la solution. Des phrases contenant des mots comme : trouver, quoi, combien, où, quand ; devraient vous renseigner sur la quantité inconnue

3. Faire éventuellement un dessin (de tête ou sur papier) avec des légendes

4. Dresser une liste des faits connus et des relations concernant les quantités inconnues. Une relation peut être décrite par une équation dans laquelle apparaissent d'un seul ou des deux côtés du signe égal des énoncés écrits à la place des lettres ou des nombres.

5. Après avoir analyse la liste de l'étape 4, formuler une équation qui décrive précisement ce qui est énoncé avec des mots.

6. Résoudre l'équation formulée à l'étape 5.

7. Contrôler les solutions obtenues à l'étape 6 en se reportant à l'énoncé de départ du problème. Vérifier que la solution concorde avec les conditions de l'énoncé.

La méthode résolution des systèmes d'équations sont traités en détails dans le chapitre traitant des algorithmes dans la section d'analyse numérique du site (vous y verrez la méthode) et également dans le chapitre d'algèbre linéaire de la présente section (vous comprendez pour la méthode est telle qu'elle est).

INEQUATIONS

Précédemment nous avons vu q'une équation était une égalité composée de différents calculs avec différents termes (dont au moins une "inconnue" ou "un chiffre abstrait" ), et que "résoudre" une équation revenait à calculer la valeur de l'inconnue de l'égalité, alors que la "simplifier" revenait à minimiser mathématiquement le nombre de termes (en factorisant ou autre..) et que développer revenait à mettre à plat tous les termes.

Pourquoi avons-nous besoin de rappeler la définition d'une équation ? Tout simplement parce que pour l'inéquation, c'est la même système. La différence ? Si l'équation est une égalité, l'inéquation est une inégalité : comme l'équation, l'inéquation est composée de différents calculs avec différents termes reliés entre eux par des opérateurs quelconques, dont au moins une inconnue.

Différence entre égalité et inégalité:

- Egalité : nous savons qu'elle est symbolisée par le signe =

- Inégalité : l'inégalité est l'utilisation des symboles de relation d'ordre symbolisée par les signes .

Rappelons les signes que nous pouvons rencontrer dans une inéquation sont :

 : se lit "strictement inférieur à "ou "strictement plus petit que". Dans ce cas, la valeur butoire numérique n'est pas comprise dans le domaine des valeurs solutions de l'inéquation et nous représentons alors le domaine avec un crochet ouvert : ]....

 : se lit "strictement supérieur à" ou "strictement plus grand que". Dans ce cas, la valeur butoire numérique n'est également pas comprise dans le domaine des valeurs solutions de l'inéquation et nous représentons alors le domaine avec un crochet fermé : [....

 : se lit "inférieur ou égal à "ou "plus petit ou égal à". Dans ce cas, la valeur butoire numérique est comprise dans le domaine des valeurs solutions de l'inéquation et nous représentons alors le domaine avec un crochet fermé : [....

 : se lit "supérieur ou égal à "ou "plus grand ou égal à" . Dans ce cas, la valeur butoire numérique est également comprise dans le domaine des valeurs solutions de l'inéquation et nous représentons alors le domaine avec un crochet fermé : [....

Nous renvoyons le lecteur au début de ce chapitre où nous avions définit la manière d'écrire des domaines de définition.

L'objectif des inéquations est la plupart du temps (excepté le côté esthétique) d'avoir au moins parmi l'ensemble des termes une valeur numérique qui permet de définir le domaine de solution (des tous les termes abstraits de l'inéquation) qui satisfont l'inéquation.

Il existe plusieurs façon de représent les domaines de définition des variables qui satisfont à l'inéquation. Nous allons voir un travers un petit exemples quelles sont ces possibilités :

Soit une inéquation linéaire (du premier degré) en à une seule inconnue à laquelle nous imposons un contrainte particulière arbitraire pour l'exemple (évidemment l'expression peut contenir plus de termes...) :

nous avons dans l'inéquation ci-dessus déjà simplifié tous les termes qui étaient superflus.

Résoudre l'inégalité revient à chercher la valeur de inférieure à 2. Bien sûr, il n'existe pas un seule solution dans  mais un ensemble de solutions et c'est cela même le principe des inéquations.

Pour résoudre l'inéquation, nous observons d'abord le type d'inégalité imposée ("stricte" ou "ou égal"). Ensuite, dans les petites classes (et pas seulement parfois…) nous représentons l'ensemble  par un tableau tel que :

-	0	+
...................	......|......	...................

Nous savons intuitivement que la solution de notre inéquation regroupe toutes les valeurs inférieures à 2 (2 exclu des solutions) et ce jusqu'à -. Nous écrivons alors cet "intervalle" ou "domaine" :

Ensuite, nous pouvons représenter graphiquement l'ensemble des solutions (cela aide à comprendre et prépare l'étudiant à la résolution de systèmes d'équations et d'inéquation et aux variations de fonctions). Pour cela, nous reprenons le modèle de schéma du système numérique, et y plaçons notre notre valeur butoir (nous n'en avons qu'une dans cet exemple mais parfois il peut y en avoir plusieurs du au fait qu'il y un singularité ou des racines pour certaines valeurs du domaine de définition), soit 2 :

-	0	2	+
...................	......|......	......|......	...................

et enfin, nous délimitons au stylo de couleur (…) l'ensemble des solutions de - à 2 exclu :

-	0	2	+
...................	......|......	......[......	...................

A la valeur 2, nous n'oublions pas de marquer le signe ....[ pour montrer que cette valeur est exclue des solutions. Et voilà, le tour est joué et le concept est extrapolable a des inéquation beaucoup plus complexes.

Remarques : 

R1. parfois au lieu de représenter les tableaux comme nous l'avons fait, certains professeurs (c'est un choix complétement artistique) demandent à leur élèves d'hachurer les cases du tableau et d'y dessiner de petits ronds, ou encore se servent de petites flèches, ou encore de dessinger le graphique des fonctions de l'inéquation (cette dernière méthode est certes esthétique mais prend du temps..).

R2. dans le cadre d'inéquations de degré supérieur à 1, il faut (voir plus loin ce que cela signifie exactement) d'abord déterminer les racines de l'inéquation qui permettent de déterminer les intervalles et ensuite par essais successifs, déterminer quels intervalles sont à rejeter ou a conserver.

Nous pouvons également (au même titre que les équations) parfois avoir à résoudre un "système d'inéquations". Qu'est-ce que c'est ? : C'est un ensemble d'au moins 2 inéquations à résoudre. La particularité du système ?  : L'ensemble des solutions du système est l'intersection des solutions des toutes les inéquations à résoudre.

Autrement dit, la méthode est la même que la précédente, à la différence que notre tableau (représentant les domaines de solutions) comportera une ligne supplémentaire par inéquation supplémentaire dans le système plus une ligne de synthèse qui est la projection des domaines de solutions possibles du système.

Ainsi, un système à  inéquations aura un tableau récapitulatif à  lignes.

Mathématiquement, les domaines (car il peuvent y en avoir plusieurs qui sont disjoints) peuvent s'écrire comme un ensemble des domaines :

Les systèmes d'inéquations sont très fréquents dans beaucoup de problèmes de la mathématique, physique, économétrie, etc… Il est donc important de s'entraîner à les résoudre pendant vos études avec l'aide de votre professeur.

IDENTITES REMARQUABLES

Les identités remarquables sont des "formules magiques", qui nous servent le plus souvent pour la factorisation ou la résolution d'équations algébriques.

Rappelons certaines notions qui ont déjà été vues dans le chapitre de théorie des ensembles de la section d'arithmétique (nous supposons le concept d'élément neutre conne puisque déjà défini) :

Commutativité : 

 et

Associativité : 

 et

Distributivité : 

Les mêmes observations sont valables avec l'opération de soustraction bien évidemment dans les domaines de définition adéquats.

Nous pouvons vérifier avec des valeurs numériques (en remplaçant chaque nombre abstrait par un nombre choisi au hasard), ou par distribution (ce serait mieux, ainsi vous êtes sûr d'avoir compris ce dont quoi nous parlions), que les identités algébriques suivantes sont vérifiées (ce sont les plus connues) :

Remarque: nous pouvons très bien poser que   où nous avons bien évidemment posé que (nous faisons un "abstrait d'abstraction" ou plus couramment : un "changement de variable"...)

Nous pouvons remarquer que pour calculer le développement de , nous utilisons le développement de , c'est-à-dire calculé avec la valeur précédente de .

Nous remarquons : et

P1. Les puissances de  décroissent de  à 0 (, donc il n'est pas noté dans le dernier terme)

P2. Les puissances de  croissent de 0 à  (, donc il n'est pas noté dans le dernier terme)

P3. Dans chaque terme, la somme des puissances de  et  est égal à

Les coefficients binomiaux peuvent êtres obtenus par le "triangle de Pascal".

Dont chaque élément est donné par (voir le chapitre traitants des probabilités et statistiques dans la section d'arithmétique pour l'origine mathématique de cette relation):

avec .

Nous pouvons alors facilement vérifier que:

Pour ce qui est des identités remarquables avec des valeurs négatives, il est inutile d'apprendre par coeur l'emplacement du signe "-". Il suffit de faire un changement de variable et une fois le développement fait de refaire le changement de variable dans l'autre sens. Exemple :

et ainsi de suite pour toute puissance .

Nous pouvons bien sûr mélanger les genres tels que (fameux exemple particulier) :

et quelques relations remarquables pratiques supplémentaires qui sont souvent utilisées dans les petites classes pour les exercices :

et autre cas très fréquent que l'on résout par essais successifs lorsque le professeur donne le polynôme à décomposer (si quelqu'un connait un méthode directe nous sommes preneurs) :

Bien sûr, il y en a encore un beaucoup plus grand nombre de relations utiles (dont une partie découlent d'une généralisation de celle présentées ci-dessus) que le lecteur découvrira par ses propres raisonnements et en fonction de sa pratique.

Remarques : 

R1. il est bien sûr possible de multiplier des polynômes entre eux et de distribuer les termes multiplicatifs. Inversement, il est souvent demané aux élèves des petites classes de faire la procédure inverse ("factoriser" ou "décomposer" un polynôme) afin qu'ils s'habituent à la manipulation des identités remarquables. Décomposer en un produit de facteurs est une opération importante en mathématiques, puisqu'il est ainsi possible de réduire l'étude d'expressions compliquées à l'étude de plusieurs expressions plus simples.

R2. un polynôme ayant ses coefficients dans un ensemble de nombres est dit "premier" ou "irréductible" sur , s'il est de degré positif, et s'il ne peut pas être écrit comme un produit de deux polynômes eux-mêmes irréductibles de degré positif à coefficients aussi dans .

POLYNOMES ALGEBRIQUES

Nous appelons polynôme algébrique une fonction de degré qui s'écrit:

ou de façon plus condensée par :

Remarque : le en indice du est parfois omis car explicitement défini dans l'énoncé.

Nous nommons "racine" ou "zéro de polynôme", la ou les valeurs  telles que  à la condition qu'au moins un des  avec soit non nul.

Si le polynôme admet une ou plusieurs racines nous pouvons alors factoriser ce dernier sous la forme:

Les identités algébriques sont des exemples de types particuliers de fonctions polynomiales. Considérons une constante et une variable et :

Nous voyons que si nous posons :

nous retrouvons :

EQUATIONS DIOPHANTIENNES

Polynômes de degré 1

Soit :

Si  alors le polynôme admet une unique racine :

tel que .

Remarques: 

R1. il faut toujours prendre l'habitude de vérifier l'existence de la solution dans l'équation d'origine pour s'assurer de la validation du domaine de définition de la solution. Effectivement, il existe des solutions aux développement de résolution d'une équation qui ne vérifient pas l'équation d'origine et c'est ce que nous nommons des "solutions étrangères" ou encore "racines étrangères".

R2. si les coefficients du polynômes de degré 1 sont tous réels alors la racine est réelle.

R3. Si un des coefficients est complexe alors la racine est nécessairement complexe.

R4. Si les deux coefficients sont complexes, alors la racine est soit complexe soit réelle.

Polynômes de degré 2

Soit : 

Si  alors une des racines satisfera:

Il peut donc y avoir deux racines que l'on note :

tel que et où nous définissons un nouveau terme appelé "déterminant" qui allège souvent les écritures : 

Remarque importante: il faut aussi toujours prendre l'habitude de vérifier l'existence de la solution dans l'équation d'origine pour s'assurer de la validation du domaine de définition de la solution au cas où la solution serait "étrangère".

Si le polynôme du deuxième degré en comporte deux racines, nous pouvons alors factoriser de manière irréductible :

Nous démontrons, à partir de l'expression des racines, sans trop de peine les relations dites "de Viète":

 et

Remarques : 

R1. si le polynôme n'admet pas de zéro et ne se décompose pas en un produit de facteurs réels du premier degré mais de facteurs complexes. Ainsi (il est nécessaire d'avoir lu la partie traitant des nombres complexes dans le chapitre des nombres de la section d'arithmétique du site) :

et nous savons que nous pouvons écrire tout nombre complexe sous une forme condensée (formule d'Euler) et comme les racines complexes d'un polynôme du second degré sont conjugées (nous connaissons ce terme) nous avons :

où (rappel)  est le module des racines complexes (module égal pour les deux racines) et  l'argument des racines complexes (égales en valeur absolue).

R2. si alors le polynôme possède une seule solution qui est bien évidemment :

R3. si alors le polynôme possède deux solution définies par les relations générales que nous avons déjà données précédemment.

Evidemment de ce qui a été vu jusqu'à maintenant on en tire que si un polynôme admet une ou plusieurs racines alors ce même polynôme est divisible par .

Il existe un polynôme de degré deux dont la solution est fameuse de par le monde. Ce nombre est appelé la "divine proportion" et se retrouve en architecture, esthétique ou encore en phyllotaxie (c'est-à-dire dans la disposition des feuilles autour de la tige des plantes). 

Ce nombre vaut:

et appartient à l'ensemble des nombres irrationnels car il ne peut pas s'écrire sous forme de fraction entière, mais c'est un nombre algébrique puisqu'il est la solution positive de l'équation:

POLYNÔMES DE DEGRE 3

Bien que rare à résoudre en physique théorique ou lors de ses études, la résolution d'un polynôme du 3^ème degré est assez récréative et montre un bon exemple d'un raisonnement mathématique déjà mature (nous devons ces développements à Scipione del Ferro et Jérome Cardan mathématiciens du XVIème siècle…).

Soit l'équation :

avec les coefficients tous dans  (pour commencer…). Dans un premier temps, le lecteur pourra voir que les raisonnements que nous avons appliqués pour les polynômes de degrés inférieurs coincent rapidement (excepté pour des cas particuliers simplistes bien sûr…).

Nous allons contourner le problème par des changements de variables subtils mais tout à fait justifiés.

Ainsi, rien ne nous empêche de poser que :

et que en divisant le polynôme de degré 3 par  d'écrire :

En regroupant les termes de même ordre :

et posons (rien, mais alors absolument rien ne nous l'interdit) :

où (1) est connu si et seulement si  est connu et où sont de tout façon connus.

Le polynôme :

étant de degré impair, il admet comme permet de le constater tout tracé visuel d'un tel polynôme à coefficient réels aux moins un racine réelle, appelée "racine certaine" (vérifiez vous verrez bien par une représentation graphique d'un polynôme de degré impair que cela est trivial).

Maintenant, nous faisons un autre changement de variable (nous en avons tout à fait le droit) subtil :  en imposant la condition que doivent êtres tels que (rien ne nous empêche d'imposer une telle contrainte) et nous alors :

Dès lors nous avons :

Nous pouvons très bien faire une analogie entre les deux relations (1') et (2') et les relations de Viète que nous avions obtenues pour le polynôme de degré 2 qui rappelons le étaient :

 et  

à la différence que nous avons maintenant (nous adoptons une autre notation pour ces racines intermédiaires)  et  ce qui nous donne pour le polynôme  en imposant (toujours par analogie)  une nouvelle équation :

dont  sont les racines.

Cette dernière équation à pour discriminant :

Prenons maintenant le cas par cas :

- Si , l'équation en admet deux solutions  dont la somme va nous donner indirectement la valeur de  puisque par définition  et  et . Nous voyons que nous avons tous les ingrédients pour trouver la première racine de l'équation initiale qui sera la racine certaine. Ainsi :

comme  et que les racine supérieurs sont cubiques nous avons nécessairement  si tous les coefficient de l'équation originale sont bien dans .

- Si , nous le savons, l'équation en  admet une racine double et puisque le discrimant comporte une puissance carrée de cela signifie nécessairement que est négatif.

Le polynôme  admet donc luis aussi une racine double et de même pour l'équation d'origine. Nous avons vu par ailleurs que pour un polynôme du second degré si le discriminant est nul les racines sont :

alors par analogie :

- Si   nous devons à nouveau utiliser les nombres complexes comme nous l'avons fait lors de notre étude du polynôme de degré 3. Ainsi, nous savons que l'équation en  admet deux solutions complexes telles que :

et à nouveau comme les racines sont conjuguées nous pouvons écrire sous la forme condensé :

et comme :

nous avons donc :

Comme  sont conjugués, nous avons nécessairement .

Polynômes CYCLOTOMIQUES

Si est un entier naturel, nous appelons "polynôme cyclotomique" ce que nous notons traditionnellement  et définissons comme étant le produit de tous les monômes en  où  est un racine primitive n-ième de l'unité de .

Ainsi, l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité est l'ensemble:

qui est un groupe cyclique (voir la théorie des ensembles dans la section d'arithmétique du site).

Nous appelons alors "racine primitive n-ième de l'unité" ou "R.P.N." tout élément de ce groupe l'engendrant.

De plus les éléments de  sont du type  avec . Nous pouvons même écrire :

Un petit exemple de polynôme cyclotomique:

Les racines quatrième de l'unité sont 1, -1, et (autrement dit chacun de ces nombres mis à la puissance 4 donne 1). Elle forment le groupe  et celui-ci peut-être engendré que par et .

Donc un polynôme cyclotomique est le produit de facteurs qui s'écrit:

avec et étant premier par rapport à .