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CALCUL ALGEBRIQUE | ANALYSE FONCTIONNELLE | CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL | 
SUITES ET SERIES | ANALYSE VECTORIELLE | CALCUL TENSORIEL |

L'étude des divers phénomènes de la nature et la résolution de divers problèmes techniques et par conséquent de mathématiques, nous amènent souvent à considérer la variation d'une grandeur en corrélation avec la variation d'une autre ou de plusieurs autres grandeurs. Pour étudier ces variations, de nombreux outils sont à la disposition de tout à chacun :

- L'ingénieur phyisicien a par exemple fréquemment recours à la représentation graphique (système d'axes cartésien, polaire, logarithmique... concepts sur lesquels nous reviendros plus en détail) pour déterminer la relation (ou "loi") mathématique qui lient les différentes grandeurs entre elles. Certes ce genre de méthode est (parfois...) esthétique mais les étudiants savent bien combien il est pénible en laboratoire de devoir porter des points sur une feuille de papier ou à l'ordinateur. C'est malheureusement une étape nécessaire (mais dont il faudrait éviter de faire une utilisation abusive) pour comprendre comment nos prédecesseurs travaillaient et ont obtenu les résultats qui nous aident aujourd'hui dans nos avancées en physique théorique.

- Le mathématicien et le phyisicien théoricien ont habituellement horreur d'avoir recours aux méthodes papier-crayon-gribouillage. Quoiqu'il en soit, le rôle du mathématicien où du physicien est de développer de nouvelles théories à l'aide d'axiomes ou de principes mathématiques ce qui ne devrait nécessiter aucunement le recours à la représention graphique et à l'accès aux mesures expérimentales qui y sont souvent rattachées.

Représentations

Nous allons voir dans ce qui va suivre, dans un premier temps, comment représenter différentes grandeurs liées de façon tabulaire et graphique (eh oui! il faut bien car cela aide à comprendre) et ensuite comment analyser mathématiquement les propriétés de ces représentations uniquement à l'aide d'outils mathématiques abstraits.

Remarque: quand nous définisons la notion de "fonction", nous admettons parfois qu'à chaque valeur de prise dans un certain domaine correspond non pas une valeur , mais plusieurs ou même une infinité. Dans ce cas, la fonction est dite "multivalente", tandis que la fonction précédemment définie est dite "univalente".

REPRESENTATION TABULAIRE

Parmi le mode de représentation visuel des fonctions (nous nous restreignons dans un premier à l'étude d'une fonction bivalente), la plus intuitive et la plus ancienne est celle où nous disposons dans la colonne ou la ligne d'un tableau de façon ordonnée les valeurs de la variable indépendante  et les valeurs correspondantes, dites "variables transformées" de la fonction dans une autre colonne ou ligne alignée. 

Telles sont par exemple, les tables des fonctions trigonométriques, les tables logarithmiques, etc. et au cours de l'étude expérimentale de certains phénomènes des tables qui expriment la dépendance fonctionnelle existant entre des grandeurs physiques mesurées tel que les relevés de la température de l'air enregistrés dans une station météorologique durant une journée.

Bien évidemment, ce concept est généralisable à toute fonction multivalente quelque soit son ensemble de définition.

Cependant, cette méthode elle est laborieuse et ne permet pas de voir directement le comportement de la fonction et donc une analyse visuelle simple et intéressante de ses propriétés. Elle a pour avantage quand même de ne pas nécessites d'outils spéciaux ou de connaissances mathématiques poussées.

REPRESENTATION graphique

Les nombres naturels, relatifs, réels ou purement complexes peuvent tous êtres représentés le plus simplement du monde par des points sur un axe numérique (ligne droite) infini. 

Pour ce faire, nous choisissons sur cet axe: 

1. un point appelé "origine"

2. un sens positif, que nous indiquons par une "flèche horizontale"

3. une unité de mesure (représenté habituellement par un petit trait vertical : la "graduation")

Tel que :

Le plus souvent nous disposons (par tradition) l'axe horizontalement et choisissons la direction de gauche à droite.

Le point représente très fréquemment le nombre zéro mais nous pourrions très bien choisir de mettre l'origine ailleurs. 

Il est évident que le fait que les ensembles de nombres dont nous avons parlé soient ordonnés implique que tout nombre est représenté par un seul point de l'axe numérique. Ainsi, deux nombre réels distincts correspondent deux points différents de l'axe numérique.

Ainsi, il existe une correspondance biunivoque entre tous les nombres et tous les points de l'axe numérique (dans le cas des nombres réels ou complexes, il correspond non pas un nombre à chaque graduation mais un nombre à chaque point de l'axe). Ainsi, à chaque nombre correspond un point ou une graduation unique et inversement à chaque point ou graduation correspond un seul nombre dont il est l'image. Rappelons que c'est une : correspondance biunivoque (concept que nous avons déjà défini en théorie des ensembles).

Dans le cas, toujours, d'une fonction bivalente, nous pouvons à chaque  valeur de la variable reportée sur un axe horizontal (appelé "axe des abscisses" ou "axe des ") faire correspondre sa valeur au travers de sa fonction :

reportée sur un axe vertical (appelé "axe des ordonnées" ou "axe des ") qui passe par le croisement défini par l'origine tel que (exemple arbitraire) :

L'ensemble des points du plan noté  ou encore (cette dernière notation étant plus rare), dont les abscisses représentent par tradition les valeurs de la variable indépendante et les ordonnées les valeurs correspondantes de la fonction, est appelé "graphique" de cette fonction.

Dans le cas d'une représentation par un système de coordonnées rectangulaire (cartésien, polaire ou logarithmique) comme la figure ci-dessus, nous pouvons observer que l'ensemble du plan des coordonnées est séparé en quatre surfaces que nous avons pour habitude d'appeler "quadrants".

Remarques : 

R1. lorsque nous souhaitons mettre en évidemence un point particuler de la fonction représentée, nous y dessinons un petit rond tel que présenté ci-dessus.

R2. pour résoudre les équations polynomiales du second degré, il est fréquent dans les petites classes que le professeur demande en plus à ses élèves d'une expression algébrique des racines de :

données par, rappelons-le :

une résolution graphique où les deux racines (dans le cas où il y en a deux distinctes) sont données par l'intersection de la parabole avec l'axe des ordoonées (bien sûr si l'équation n'a pas de solutions, il n'y a pas d'intersection...) :

La représentation graphique étant généralisable aux équations polynomiales du 3ème, 4ème et 5ème degré (nous démontrerons bien plus loin, à l'aide de la théorie de Galois qu'il n'est pas possible d'obtenir un expression algébrique des racines d'une équation polynômiale du 5ème degré et supérieur).

R3. lorsque nous avons besoin pour une raison quelconque de calculer (restreignons nous pour l'instant au plan) la distance entre deux points, il convient d'applique le théorème de pythagore (démontré dans la section de géométrie) tel que soit trois points sur un plan dans lequel a été défini un repère tel que présenté ci-dessous :

Si et  (comme sur la figure ci-dessus), les points  sont les sommets d'un triangle rectangle. Par application du théorème de Pythagore :

Sur la figure, nous voyons que :

 et  

Puisque , nous pouvons écrire :

Si , nous nous retrouvons avec une relation appelée "norme" (ou plus simplement aussi : distance) dans le cadre de l'étude de l'analyse vectoriel (voir le chapitre qui y est consacré)..

Bien évidemment, si nous considérons deux points , nous pouvons déterminer si un troisième point est sur la médiatrice (voir la section de géométrie) des deux premiers et qu'il suffit pour cela que bien évidemment (par définition même de la médiatrice) :

Comme  sont connus, nous pouvons facilement exprimer une expression analytique (ou également "fonction") de la médiatrice du type :

où sont des constantes et où tout point qui satisfait cette relation, qui est en l'occurrence l'équation d'une droite, se trouve sur la médiatrice.

R4. Toute fonction du type :

avec  est l'équation analytique d'un droite de pente  et d'ordonnée à l'origine (quand )

Si :

la droite est horizontale et inversement, si :

la droite est une verticale.

R5. Si nous considérons à nouveau deux points qui définissent un segment de droite, nous avons bien évidemment le point milieu qui est donné par :

Bien évidemment, dans le cas d'une fonction trivalente (tri-dimensionnelle), le principe reste le même à la différence que le nombre de quadrants double. Par exemple :

.

Cette méthode de représentation et d'analyse d'une fonction était longue à mettre en place mais avec l'aide des ordinateurs ce problème est en ce XXI ème siècle assez bien résolu. Cependant, bien que cette méthode permette visuellement et rapidement de déduire certaines propriétés de la fonction (et outre le fait qu'elle donne parfois de jolies figures) à pour désavantage d'être limité a 1, 2 ou 3 dimensions à cause de nos propres limites humaines de perception.

PROPRIETES DES GRAPHIQUES

P1. Le graphique est dit "symétrique par rapport à l'axe des ordonnées" si le changement de  en  ne modifie pas l'équation tel que :

P2. Le graphique est dit "symétrique par rapport à l'axe des abscisses" si le changement de  en  ne modifie pas l'équation tel que :

P3. Le graphique est dit "symétrique par rapport à l'origine" si le changement simultané de  en  et de en ne modifie pas l'équation tel que :

P4. Soit une fonction , si nous ajoutons une constante à cette fonction tel que nous écrivions : 

Alors le graphique de est déplacé ou "translaté" verticalement vers le haut d'une distance tel que :

et inversement si mais que :

alors le graphique est bien évidemment translaté verticalement vers le bas.

Nous pouvons aussi envisager des translation horizontales de graphiques. Précisement, si , alors est translaté horizontalement vers la droite si nous écrivons :

et inversement, translaté horizontalement vers la gauche, si nous écrivons :

Pour étirer ou comprimer verticalement un graphique, il suffit de multiplier la fonction par une constante et respectivement ou tel que :

et pour étirer ou comprimer horitzontalement un graphique, il suffit de même, de multiplier la fonction par une constante et respectivement ou tel que :

Remarque : tranlater, étirer, comprimer un graphique ou lui faire subit une symétrie c'est le transformer. Le graphique résultant de ces transformations est appelé le "transformé" du graphique de départ.

REPRESENTATION analytique

Le mode de représentation analytique est de loin le plus utilisé et consiste à représenter toute fonction en une "expression analytique" qui est la notation mathématique symbolique et abstraite de l'ensemble des opérations mathématiques connues que l'on doit appliquer dans un certain ordre à des nombres et des lettres exprimant des grandeurs constantes ou variables que nous cherchons à analyser.

Remarquons que par ensemble des opérations mathématiques connues, nous envisageons non seulement les opérations mathématiques vues dans la section arithmétique (addition, soustraction, extraction de la racine, etc.) mais également toutes les opération qui seront définies au fur et à mesure dans le présent site internet.

Si la dépendance fonctionnelle  (dans le cas particulier et simpliste d'un fonction bivalente) est telle que est une expression analytique, nous disons alors que la fonction " de " est "donnée analytiquement". Voici quelques exemples d'expressions analytiques:

, ,

Remarque : lorsque nous avons déterminer l'équation de la médiatrice, nous avons obtenu une expression analytique de la droite visuelle qui l'a caractérise sous la forme d'une fonction du type :

qui rappelons-le, est donc l'équation d'une droite (ou plus simplement : une "équation linéaire") sur un plan dont si deux points sont connus, la pente est donnée par le rapport de l'accroissement vertical sur l'acroissement horizontal tel que :

Une application sympathique et triviale consiste à démontrer que deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente. Ainsi, soit deux droites données par les équations :

Les droites se coupent en un point  si et seulement si les valeurs de sont égales pour un certain , c'est-à-dire :

La dernière équation peut être résolue par rapport à  si et seulement si . Nous avons donc montré que les droites  se coupent si et seulement si . Donc, elles ne se coupent pas (elles sont parallèles) si et seulement si .

De façon assez simple en appliquant le théorème de Pythagore, il n'est pas compliqué de déterminer que l'équation d'un cercle de centre à pour équation (nous avons pour habitude en mathématique de ne pas expliciter pour l'équation du cercle ainsi, l'équation de ce dernier est visuellement beaucoup plus esthétique et parlante) 

Dans ces exemples les fonctions sont exprimées analytiquement par une seule formule (nous appelons "formule" l'égalité entre deux expressions analytiques) qui définit dans un même temps le "domaine naturel de définition" des fonctions.

Définition : le "domaine naturel de définition" d'une fonction donnée par une expression analytique est l'ensemble des valeurs pour lesquelles l'expression du membre droit a une valeur bien déterminée.

Par exemple, la fonction :

est définie pour toutes les valeurs de , excepté la valeur  où nous avons une singularité (division par zéro).

Remarque : il existe une infinité de fonction et nous ne pouvons toutes les exposer ici, cependant nous en rencontrerons plus d'un milier sur l'ensemble du site et cela devrait amplement suffire à se faire une idée de leur étude.

FONCTIONS

Définitions :

D1. Nous disons que est une fonction de et nous écrirons , etc., si à chaque valeur de la variable appartenant à un certain domaine de définition (ensemble) , correspond une valeur de la variable dans un autre domaine de définition (ensemble) . Ce que nous notons dans le cas d'une fonction univalente :

La variable est appelée "variable indépendante" ou "variable d'entrée" et "variable dépendante". 

La dépendance entre les variables et s'appelle une "dépendance fonctionnelle". La lettre , qui entre dans la notation symbolique de la dépendance fonctionnelle, indique qu'il faut appliquer certaines opérations à pour obtenir la valeur correspondant . Nous écrivons parfois  au lieu de ; dans ce cas la lettre exprime en même temps la valeur de la fonction et le symbole des opérations appliquées à .

Remarque : comme nous l'avons vu lors de notre étude de la théorie des ensembles, une application (ou fonction) peut-être injective, bijective ou surjective. Il convient donc que le lecteur dont ces notions ne sont pas connues aille en priorité lire ces définitions.

D2. L'ensemble des valeurs pour lesquelles la valeur de la fonction est donnée par la fonction est appelé "domaine d'existence" de la fonction (ou domaine de définition de la fonction).

D3. La fonction  est dite "croissante" si à une plus grande valeur de la variable indépendante correspond une plus grande valeur de la fonction (de l'image). Nous définissons de manière analogue mais inverse la fonction "décroissante". Une fonction "constante" est une fonction pour laquelle à toute valeur de la variable indépendante correspond toujours une même image constante.

D4. La fonction  est dit "périodique" s'il existe un nombre constant  tel que la valeur de la fonction ne change pas quand nous ajoutons (ou l'on retranche) le nombre à la variable indépendante tel que: . La plus petite constante satisfaisant à cette condition est appelée "période" de la fonction. Elle est fréquemment notée en physique.

D6. En calcul différentiel et intégral, l'expression :

avec est d'un intéret particulier. Nous l'appellons un "quotient d'accroissement" (nous reviendrons beaucoup plus en détail sur ce sujet lors de notre étude du calcul différentiel et intégral).

D7.  Nous utilisons certaines propriétés des fonctions pour faciliter leur représentation graphique. En particulier, une fonction est dite "paire" si pour tout dans son domaine de définition. Une fonction est dite "impaire" si pour tout dans son domaine de définition.

D8. De façon générale, si  et  sont des fonctions quelconques, nous utilisons la terminologie et les notations données dans le tableau suivant suivant :

Terminologie	Valeur de la fonction
Somme
Différence
Produit
Quotient

Les domaines de définition de , , sont l'intersection des domaines de définition de et de , c'est-à-dire les nombres qui sont communs aux deux domaines de définition. Le domaine de définition de est quant à lui le sous-ensemble de comprenant tous les de tels que .

D9. Soit une fonction de et une fonction de la variable , alors dépend alors de et nous avons ce que nous appelle une "fonction composée" et que nous notons:

ou

Pour la dernière notation, il faut lire "rond " et ne pas confondre le "rond" avec la notation du produit scalaire que nous verrons en analyse vectorielle.

ILe domaine de définition  de la fonction composée est soit identique au domaine tout entier de définition de la fonction , soit à la partie de ce domaine dans laquelle les valeurs de sont telles que les valeurs correspondantes  appartiennent au domaine de définition de cette fonction.

Le principe de fonction composée peut être appliquée non seulement une fois, mais un nombre arbitraire de fois.

Si ne dépend pas d'une autre variable (ou qu'elle n'est pas elle même une fonction composée), on dit alors que est une "fonction élémentaire".

Les principales fonctions élémentaires sont des fonctions dont l'expression analytique est l'une des suivantes:

1. La "fonction puissance" : 

où  est un nombre positif différent de 1.

2. La "fonction exponentielle" : 

où  est un nombre positif différent de 1.

3. La "fonction logarithmique" : 

où la base du logarithme est un nombre positif différent de l'unité (cette fonction sera définie rigoureusement un peu plus loin)

Remarque : les fonctions exponentielles et logarithmiques sont appelées parfois des "fonctions transcendantes"

4. Les "fonctions trigonométriques" :

...

Remarque : nous avons déjà défini rigoureusement ces fonctions dans le chapitre traitant de la trigonométrie.

5. Les "fonctions polynomiales" : 

où sont des nombres constants appelés coefficients; est un entier positif que nous appelons "degré du polynôme". Il est évident que cette fonction est définie pour toutes les valeurs de , c'est-à-dire qu'elle est définie dans un intervalle infini.

6. Les "fractions rationnelles" : 

7. Les "fonctions algébriques" sont définies par le fait que la fonction est le résultat d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division, de variables élevées à une puissance rationnelle non entière.

LIMITE ET CONTINUITE DES FONCTIONS

Nous allons considérer maintenant des variables ordonnées d'un type spécial, que nous définissons par la relation "la variable tend vers une limite". Dans la suite de ce cours, la notion de limite d'une variable va jouer un rôle fondamental, étant intimement liée aux notions de base de l'analyse mathématique, la dérivée, l'intégrale, etc.

Définition: Le nombre  est appelé la "limite" de la grandeur variable , si, pour tout nombre arbitrairement petit , nous pouvons indiquer une valeur de la variable telle que toutes les valeurs conséquentes de la variable vérifient l'inégalité :

Si le nombre  est la limite de la variable , nous disons que " tend vers la limite ".

Nous pouvons définir également la notion de limite en partant de considérations géométriques (cela peut aider à mieux comprendre... quoique pas toujours...) :

Le nombre constant  est la limite de la variable , si pour tout voisinage donné, aussi petit qu'il soit, de centre  et de rayon , nous pouvons trouver un valeur telle que tous les points correspondant aux valeurs suivantes de la variable appartiennent à ce voisinage (notions que nous avons défini précédemment). Géométriquement nous représentons cela ainsi:

Remarque: Il est trivial que la limite d'une grandeur constante est égale à cette constante, puisque l'inégalité  est toujours satisfaite pour  arbitraire.

Il découle également de la définition de la limite qu'une grandeur variable ne peut pas avoir n'importe comment deux limites. En effet, si  et  avec , doit satisfaire simultanément aux deux inégalités suivantes :

 et

pour  arbitrairement choisi. Mais si nous faisons une représentation géométrique identique à la précédente, nous voyons assez aisément que cela est impossible si :

Il ne faut également pas s'imaginer que chaque variable doit nécessairement avoir une limite.

Définition: La variable tend vers l'infini, si pour chaque nombre positif donné nous indiquons une valeur de à partir de laquelle toutes les valeurs conséquentes (suivantes) de la variable vérifient l'inégalité .

Nous pouvons vérifier ce genre de cas dans les suites arithmétiques, géométriques, ou harmoniques où chaque terme de la progression est une valeur que prend la variable .

La variable "tend vers plus l'infini", ou  si pour  arbitraire, à partir d'une certaine valeur, toutes les valeurs conséquentes de la variable vérifient l'inégalité . C'est typiquement le genre de considération que nous avons pour des progressions divergentes vers l'infini ou à partir d'un certain terme de valeur égale à tous les termes suivant sont supérieurs à .

La variable tend vers moins l'infini ou  si pour  arbitraire, à partir d'une certaine valeur, toutes les valeurs suivantes de la variable vérifient l'inégalité .

Définition: Soit  une fonction définie dans un voisinage du point  ou en certains points de ce voisinage. La fonction  tend vers la limite    lorsque tendant vers , si pour chaque nombre positif  , aussi petit qu'il soit, nous pouvons indiquer un nombre positif  tel que tous les différents de et vérifiant l'inégalité  satisfont également :

L'inégalité  permet d'exprimer le "côté" ou le "sens" depuis lequel nous venons avec notre . Car sur le système d'axe représentant des valeurs ordonnées, nous pouvons, pour une valeur donnée, venir de sa gauche ou de sa droite pour se rapprocher d'elle (imaginez-vous au besoin, un bus qui peut venir depuis un côté ou un autre de la route tant que la distance qui le sépare à l'arrêt qui nous intéresse est inférieur à ).

Si est la limite de la fonction  quand , nous écrivons alors sur ce site en tout les cas:

Pour définir le côté depuis lequel nous venons en appliquant la limite, nous utilisons une notation particulière (rappelons que cela permet de connaître de quel côté de la route vient notre bus).

Ainsi, si tend vers la limite  quand tend vers un nombre  en ne prenant que des valeurs plus petites que , nous écrirons alors:

(remarquez le petit – en indice) et nous appellerons  la "limite à gauche" de la fonction  au point (car rappelez vous que l'axe des ordonnées va de  à , donc les "petites valeurs" par rapport à une valeur donnée, se trouvent à gauche). Si prend des valeurs plus grande que , nous écrirons alors:

(remarquez le petit + en indice) et nous appellerons  la "limite à droite" de la fonction au point .

Définition: la fonction tend vers la limite quand  si pour chaque nombre positif   aussi petit qu'il soit on peut indiquer un nombre positif N tel que pour toutes les valeurs de vérifiant l'inégalité , l'inégalité

Exemple:

Montrons que (nous supposons le résultat connu pour l'instant): 

Il faut démontrer que, quel que soit , l'inégalité  sera satisfaite dès que , où est défini par le choix de . L'inégalité précédente est évidemment équivalente à , qui est satisfait si nous avons :

Nous admettons que l'exemple et la méthode sont discutables mais nous verrons plus tard les outils mathématiques adéquats pour arriver rigoureusement, sans magouilles et hypothèses de départ, au résultat obtenu précédemment.

La signification des symboles  et , rend évidente celle des expressions :

" tend vers quand " et " tend vers quand "

que nous notons symboliquement par:

et

Nous avons étudié le cas où la fonction tend vers une certaine limite quand  ou . Considérons maintenant le cas où la fonction  tend vers l'infini quand la variable varie d'une certaine manière.

Définition : La fonction  tend vers l'infini quand , autrement dit est infiniment grande quand , si pour chaque nombre positif , aussi grand qu'il soit, nous pouvons trouver un nombre  tel que pour touets les valeurs de différentes de  et vérifiant la condition , l'inégalité  est satisfaite.

Si  tend vers l'infini quand , on écrit:

Si  tend vers l'infini quand , en ne prenant que des valeur positives ou que des valeurs négatives, on écrit respectivement :

et 

Si la fonction  tend vers l'infini quand  on écrit:

et en particulier, on peut avoir:

, , ,

Il peut arriver que la fonction  ne tende ni vers une limite finie, ni vers l'infini quand  (par exemple ), la fonction est alors dite "bornée".

Définition: La fonction  est dite "bornée" dans le domaine de définition de la variable , s'il existe un nombre positif tel que pour toutes les valeurs de x appartenant à ce domaine, l'inégalité  est vérifiée. Si un tel nombre n'existe pas, on dit que la fonction  n'est pas bornée dans ce domaine.

Remarques :

R1. Lorsque la limite d'une fonction tends vers une constante quand , alors la représentation graphique de cette fonction nous amène à dessiner une droite horizontale que nous appelons "asymptote horizontale" et dont l'équation est :

R2. Lorsque la limite d'une fonction tends vers quand , alors la représentation graphique de cette fonction nous amène à dessiner une droite verticale que nous appelons "asymptote verticale" et dont l'équation est :

R3. Lorsque la limite d'une fonction est égale à une valeur ni infinie, ni finie (asymptote ni horizontale, ni verticale) quand , alors la représentation graphique de cette fonction nous amène à dessiner une autre asymptote donnée par l'équation d'une droite que nous appelons "asymptote oblique" et dont l'équation est du type :

Nous n'avons pas étudier ce gendre d'asymptotes pour l'instant car elles nécessitent si nous désirons nous passer d'une représentationg graphique du calcul différentiel que nous verrons au chapitre suivante.

Logarithmes

Nous avons longuement hésité à mettre la définition des logarithmes dans le chapitre traitant du calcul algébrique. Après un moment de réflexion, nous avons décidé qu'il valait mieux la mettre ici car pour bien la comprendre, il faut avoir connaissance des concepts de limite, domaine de définition et fonction exponentille. Nous espérons que notre choix vous conviendra au mieux.

Soit la fonction exponentielle (bijective) de base quelconque , où notée :

pour laquelle il correspond à  chaque nombre réel , exactement un nombre positif (l'ensemble image de la fonction est dans ) tel que les règles de calcul des puissances soient applicables (voir le chapitre traitant du calcul algébrique).

Nous savons que pour une telle fonction, que si , alors est croissante et positive dans , et si , alors est décroissante et positive dans . 

Remarques : 

R1. si , lorsque décroit par valeurs négatives, le graphique de tend vers l'axe des . Ainsi, l'axe des tend est une asymptote horizontale. Lorsque croît par valeurs positives, le graphique montre rapidement. Ce type de variation est caractéristique de la "loi de croissance exponentielle" et est quelque fois appelée "fonction de croissance". Si , lorsque croît, le graphique tend asymptotiquement vers l'axe des . Ce type de variation est connue sous le nom de "décroissance exponentielle".

R2. en étudiant , nous exclusons le cas et . Notons que si , alors n'est pas un nombre réel pour de nombreuses valeurs de (nous rappelons que l'ensemble image est contraint à ). Si , n'est pas défini. Enfin, si , alors pour tout et le graphique de est une droite horizontale.

Puisque la fonction exponentielle est bijective alors il existe une fonction réciproque et appelée "fonction logarithme" de base notée :

Et donc :

 si et seulement si

En considérant  comme un exposant, nous avons les propriétés suivantes :

Propriétés	Jusitification

Remarques : 

R1. le mot "logarithme" signifie "nombre du logos", "logos" signifiant "raison" ou "rapport".

R2. les fonctions logarithme et exponentielle sont définies par leur base (le nombre ). Lorsqu'on utilise un base de puissance de 10 (10, 100, 1000,…) on parle alors de "système vulgaire" car ils ont pour logarithme des nombres entiers successifs. 

R3. la partie entière du logarithme s'appelle "la caractéristique".

Il existe deux types de logarithmes que l'on retrouve presque exclusivement en mathématiques et physique  le logarithme en base dix et le logarithme en base (ce dernier est fréquemment appelé "logarithme naturel" ou plus exactement pour des raisons historiques justifiées "logarithme népérien"). Historiquement, c'est à John Napier (1550-1617) dont le nom latinisé est "Neper" que l'on doit l'étude des logarithmes et le nom aux "logarithmes néperien".

En base 10: 

 

abusivement noté .

base (eulérienne) : 

 

historiquement notée  (le "n" signifiant "népérien")

En français pour la fonction logarithmique en base 10 il faut pour calculer se poser la question suivante : à quelle puissance  doit on élever 10 pour obtenir ?

Formellement, cela consiste à résoudre l'équation:  ou sinon avec étant connu et donc  .

Pour la fonction logarithmique en base eulérienne (ou dite également "base nepérienne") il faut pour calculer se poser aussi la question suivante : à quelle puissance  devons nous élever le nombre pour obtenir ?

Formellement, cela consiste à résoudre l'équation :  ou sinon avec étant connu et donc .

Mais quel est donc ce nombre "eulérien" ? Pourquoi le retrouve-t-on si souvent en physique et en mathématiques? D'abord déterminons l'origine de sa valeur :

Pour cela, il nous faut déterminer la limite de :

avec et quand .

L'intérêt que nous avons à poser le problème ainsi c'est que s'il nous faisons tendre la fonction écrite précédemment tend vers et cette fonction a pour propriété particulière de pouvoir se calculer plus ou moins facilement pour des raisons historiques à l'aide du binôme de Newton.

Donc d'après le développement du binôme de Newton nous pouvons écrire :

Ce développement, est similaire au développement de Taylor de certaines fonctions pour des cas particulier de valeurs de développement (d'où la raisons pour laquelle nous retrouvons ce nombre eulérien dans beaucoup de d'endroits que nous découvrirons au fur et à mesure).

En effectuant certaines transformations algébriques évidentes, nous trouvons:

Nous voyons de cette dernière égalité que la fonction est croissante quand  croît. En effet, quand nous passons de la valeur  à la valeur  chaque terme de cette somme augmente:

, etc.

Montrons que la grandeur variable  est bornée. En remarquant que , , etc. on obtient donc:

D'autre part:

Nous pouvons donc écrire l'inégalité:

Les termes soulignés constituent une progression géométrique de raison  et dont le premier terme est 1. Par suite:

Par conséquent nous avons :

 

Nous avons donc prouvé que la fonction est bornée.

La limite tend donc vers le nombre dont la valeur est 

Nous pouvons alors définir la "fonction exponentielle naturelle" (réciproque de la fonction logarithme néperienne) définie par :

Le nombre et la fonction qui permet de le déterminer sont très utiles. Nous les retrouvons dans tous les domaines de la mathémtique et de la physique.

Les logarithmes ont plusieurs propriétés. Les voici (nous nous référons à une base donnée):

Si nous posons  et  nous avons donc :

Si nous avons le cas particulier alors:

Cherchons à exprimer  sous une forme différente. Posons ce qui nous amène au développement:

Cherchons à exprimer maintenant  avec sous un forme différente. Posons :

ce qui nous amène à:

Il y a une relation assez utilisée en physique relativement aux changements de bases logarithmiques. La première relation est triviale et découle des propriétés algébriques des logarithmes:

La seconde relation:

est un peu moins triviale et nécessite peut-être une démonstration.

Nous avons d'abord les équations équivalentes (de la première relation ci-dessus):

et

et nous procédons comme suit:

Ce qui nous amène finalement à: