Sciences.ch (optique ondulatoire)

Dans ce chapitre seront dégagés certains éléments qui ont conduit au développement de la mécanique quantique. Effectivement, la mécanique quantique est née, en premier lieu, d'une étude attentive de la nature de la lumière. Bien que cette science nouvelle se soit développée au début du 20ème siècle, les considérations qui l'ont guidée alors sont incontestablement le résultat de 25 siècles de maturation. Au fond, c'est à une longue histoire de la lumière pleine de controverses à laquelle la mécanique quantique apporte enfin au 20ème siècle une magistrale conclusion.

PRINCIPE D'HUYGENS

Huygens visualisait la propagation de la lumière comme résultant d'un processus de génération d'ondelettes sphériques en chaque point atteint par un front d'onde, ondelettes dont la somme donnait le champ en propagation. En traçant la tangente aux fronts d'onde des ondelettes à un instant donné, on obtenait le front d'onde de l'onde totale à ce même instant.

Nous rappelons qu'une surface d'onde ou "front d'onde" (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) est le lieu des points du milieu atteints par le mouvement ondulatoire au même instant. La perturbation a donc même phase en tout point d'une surface d'onde. Pour une onde plane, par exemple, la perturbation s'exprime par (nous l'avons démontré dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire):

qui donne donc l'expression de la propagation de la perturbation pour laquelle la "surface d'onde" est le lieu des points où la phase

a même valeur à un instant donné. La surface d'onde est donnée en conséquence par l'équation:

Huygens, a donné une méthode imagée de représentation du passage d'une surface d'onde à une autre dans le cas où l'onde est supposée résulter du mouvement des particules constituant le milieu matériel. Ainsi, si nous considérons la surface d'onde S ci-dessous:

Quand le mouvement ondulatoire atteint cette surface, chaque particule a,b,c,... de la surface devient à son tour une source d'ondes, émettant des ondes secondaires (indiquées par les petits demi-cercles) qui atteignent la couche suivante de particules du milieu. Ces particules sont mises en mouvement et forment la nouvelle surface d'onde S ' et ainsi de suite... Ainsi, Huygens avait une conception ondulatoire de la lumière, mais il ne considérait pas la nature périodique de l'onde, ce qui ne lui permettait pas d'introduire la notion de couleur de la lumière; de plus, selon son principe, une onde se propageant en sens inverse à celui de l'onde incidente devrait aussi se manifester, ce qui n'est pas le cas dans un matériau homogène.

L'intuition d'Huygens est cependant proche de la réalité, comme le montrera Fresnel dans sa théorie de la diffraction. Il faudra cependant attendre Kirchhoff, qui introduira un facteur d'inclinaison (oblicité) dans la théorie, pour obtenir une explication de l'absence d'onde se propageant vers l'arrière (le temps venu nous rédigerons les développements y relatifs).

Comme sur la figure précédents tous les "points correspondants"

.sont équidistants, par le principe d'Huygens, l'intervalle de temps entre les points correspondants de deux surfaces d'onde est le même pour tout couple de points correspondants.

Si nous notons les vitesses de propagation des rayons incidents R₁, R₂ par v₁ et respectivement v₂, nous avons:

- Lorsque l'onde se propage dans un milieu homogène, les rayons lumineux doivent être rectilignes et les surfaces d'onde rester parallèles.

- Lorsque l'onde change de milieu, les distances entre deux paires de points correspondants varient d'un milieu à l'autre, si les vitesses de propagation sont différentes.

Montrons que ce principe permet de retrouver la loi de Descartes-Snellius que nous avons déjà démontrée dans le chapitre d'Optique Géométrique, ce qui assure a priori que le principe d'Huygens reste valide dans le cadre de l'optique géométrique.

et nous retrouvons donc bien la loi de Descartes-Snellius telle que nous l'avions obtenue dans le chapitre d'Optique Géométrique:

DIFFRACTION DE FRAUNHOFER

Du point de vue de l'optique géométrique, un faisceau lumineux est un cylindre de section

qui rassemble un grand nombre de rayons parallèles. Il est donc supposé rectiligne lorsqu'il est défini dans un milieu homogène.

L'émittance énergétique

du faisceau ne varie que si une lentille (ou un autre dispositif) fait varier sa section

ou si le milieu absorbe de l'énergie.

Le faisceau lumineux "éclate" quand un obstacle ne laisse passer qu'une partie

de sa section.

Le principe d'Huygens montre que ce sont les bords de l'obstacle qui engendrent cette diffraction.

Le phénomène est général mais n'est bien observable que si le rapport

est très grand. L étant la longueur des bords. Cette condition est nécessaire pour que l'intensité de la partie non diffractée du faisceau ne masque pas l'effet.

D1. Nous parlons de "diffraction de Fraunhofer" lorsque, comme supposé précédemment, les rayons lumineux incidents sont parallèles et le phénomène observé à relativement grande distance de l'écran.

D2. Nous parlons de "diffraction de Fresnel" lorsque les rayons incidents forment un faisceau divergent, en provenance d'une source ponctuelle ou si nous observons le phénomène à faible distance.

Considérons un cas générique et le plus répandu dans les laboratoires de physique qui est la diffraction par une fente rectangulaire étroite:

Pour cela, nous considérons que le faisceau incident, perpendiculaire à la fente, présente un front d'onde électromagnétique plane et périodique, et donné par:

CAS D'UNE FENTE RECTANGULAIRE

La largeur e de la fente est orientée selon l'axe y, sa hauteur h (paramètre que l'on ne peut pas représenter dans la figure puisqu'il s'agit d'une vue du dessus) est supposée très grande afin de pouvoir négliger l'effet des extrémités.

Suivant le principe d'Huygens, le front de l'onde plane, délimité par la fente, constitue une multitude de sources

, de largeur dy, qui émettent, en phase, des ondelettes sphériques décrites par leur vecteur champ associé:

Considérons maintenant un point d'observation P, à une distance R de la source (assimilée à la fente). Nous avons vu lors de l'étude des sources d'émission de type sphérique (cf. chapitre d'Électrodynamique) que leur amplitude diminuait de manière inversement proportionnelle à la distance telle que:

Or, les ondelettes, chacune suivant le point de la fente auquel elle est assimilée, ne vont pas toutes parcourir la même distance R mais une distance propre r. Cependant, si R est suffisamment éloigné de la fente, nous nous permettrons d'approximer:

reste encore le terme périodique

où nous posons

. Or, nous avons pour valeurs extrêmales:

Ces valeurs extrêmales correspondant respectivement, à l'avance et au retard des fonctions d'onde décrivant la propagation des ondelettes aux extrémités de la fente.

Effectivement, il suffit de voir la figure ci-dessous, en considérant donc

et ainsi:

Ainsi, en plaçant l'origine de la coordonnée y au milieu de la fente, nous avons:

Donc les différentes ondelettes sont déphasées et produisent ainsi des interférences.

Définition: En mécanique ondulatoire, on parle "d'interférences" lorsque deux ondes de même type se chevauchent. Ce phénomène se rencontre souvent en optique avec les ondes lumineuses, mais il apparaît également avec les ondes sonores.

L'onde diffractée dans la direction de

, est alors donnée par la somme de toutes les contributions:

Sachant que (relations trigonométriques explicitées suite à la demande d'un lecteur):

Nous avions démontré dans le chapitre d'Électrodynamique que l'énergie (in extenso l'intensité) d'une onde électromagnétique était donnée (dans le vide) par la valeur scalaire moyenne du vecteur de Poynting:

Nous avons donc en considérant que le champ magnétique et électrique sont proportionnels au terme:

qui est l'émittance lumineuse émise dans la direction

et où nous avons posé:

Si nous introduisons le sinus cardinal que nous avons déjà rencontré lors de notre étude des transformées de Fourier dans le chapitre sur les Suites et Séries nous avons alors l'écriture de la relation précédente qui se trouve nettement condensée:

Dont nous pouvons avoir une forme générique tracée avec Maple 4.00b en utilisant:

Donc nous pouvons obtenir le même résultat en prenant le module au carré de la transformée de Fourier d'un signal monochromatique au travers d'une fenêtre rectangulaire. Ainsi, il semble possible d'étudier les phénomènes de diffraction en utilisant la transformée de Fourier et ce domaine se nomme "l'optique de Fourier".

Voici une représentation graphique du rapport

pour différentes valeurs du rapport

De part et d'autre de la frange centrale, il y en a d'autres, plus étroites et disposées symétriquement. Leur intensité diminue très rapidement selon le terme prépondérant au dénominateur:

Entre les franges, se trouvent des zones d'obscurité qui sont le siège d'interférences destructives. Leur position est donnée par la condition:

Ainsi, la largeur angulaire de la frange centrale est le double de la valeur angulaire obtenue pour le premier minimum:

Puisque l'émittance énergétique diminue très rapidement, seules les premières franges (pour lesquelles

) sont observables. Il reste:

Nous aurions facilement pu obtenir une approximation convenable de ce résultat, en considérant que l'intensité est maximale lorsque:

Remarque: Un résultat remarquable de l'expérience de Fraunhofer est qu'elle remet en question la vision corpusculaire de la lumière telle que nous l'avions au 19ème siècle.

Effectivement, beaucoup d'expériences telle que la projection de l'ombre d'un objet sur un mur semblait bien montrer que la lumière était tel un corpuscule ne traversant pas la matière et étant stoppée net par tout obstacle que ce soit en son centre ou en ses bords (il faut attirer votre attention sur les "bords" en particulier).

Or, l'expérience de Fraunhofer ainsi qu'en particulier celle de Fresnel en ce qui concerne les bords (nous la verrons plus loin car elle est mathématiquement plus délicate à aborder), montrent bien que la lumière semble pouvoir se comporter non pas comme un simple corpuscule mais bien comme une onde (à partir du principe de d'Huygens que nous avons utilisé pour nos développements) tel que nous l'ont montré les développements précédents qui expliquent parfaitement bien les résultats expérimentaux des diffractions de Fraunhofer.

Mais alors pourquoi garder le modèle corpusculaire de la lumière? Tout simplement pour d'autres résultats expérimentaux et théoriques parmi lesquels les plus connus sont l'effet photo-électrique ou la diffraction Compton (cf. chapitre de Physique Nucléaire) qui s'expliquent théoriquement à merveille si ce n'est parfaitement avec un modèle corpusculaire de la lumière (et certaines autres particules de dimension, charge, spin, etc. donné).

Au fait, comme nous le verrons dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire, c'est le physicien De Broglie qui va mettre définitivement un terme à cette dualité paradoxale en reliant à l'aide des outils de la mécanique relativiste et physique quantique ondulatoire les deux aspects mathématiquement.

POUVOIR DE RÉSOLUTION

Selon le critère du physicien anglais Lord Rayleigh: le "pouvoir de résolution" (ou "pouvoir séparateur angulaire") d'une fente, est l'angle

entre deux rayons lumineux de longueur d'onde

, issus de deux sources ponctuelles

, éloignées, dont les figures de diffractions sont séparées telles que le premier zéro de la figure de diffraction se trouve à la place du maximum de l'autre:

Ce concept est énormément utilisé en photographie, astronomie, radioastronomie, etc. Il convient donc d'y porter une attention toute particulière!

Et si nous prenons le cas où

, nous retrouvons la relation disponible dans de nombreux ouvrages sans démonstration:

Donc le pouvoir séparateur angulaire est proportionnel au rapport de la longueur d'onde à l'épaisseur de la fente. Évidemment dans la pratique le but est d'avoir soit:

1. Une valeur d'angle

la plus grande possible pour que les objets (deux source dans le cas présent) ne se confondent pas et l'image et que les images soient bien distinctes.

2. Une valeur d'angle

la plus petite possible pour que l'objet unique observé (une seule source) n'ait pas une image floue. C'est une raison pour laquelle de nombreux ouvrages de vulgarisation disent qu'il faut avoir une longueur d'onde plus petite que celle de l'objet observé pour que celui-ci soit obervable (donc pas trop flou!).

Pour augmenter le pouvoir de résolution, il faut donc soit travailler à une longueur
d'onde plus courte soit augmenter l'épaisseur de la fente de l'instrument et comme la longueur d'onde est souvent imposée par le sujet d'expérience, il est naturel de vouloir de faire varier e.

Si la lumière qui passe à travers une fente forme une image sur un écran, et que l'image est observée au microscope par exemple, il est impossible, quel que soit le grandissement du microscope, d'observer plus de détails dans l'image qu'il n'est permis par le pouvoir de résolution de la fente. Il faut tenir compte de ces considérations dans la conception des instruments d'optique.

CAS D'UN RÉSEAU DE FENTES RECTANGULAIRES

Considérons maintenant un réseau de N fentes étroites de largeur equation

, de hauteur equation

et distantes de d. Un unique faisceau incident éclaire toutes les fentes.

Remarque: L'étude de ce modèle va nous permettre de comprendre en partie comment fonctionne le prisme et le fonctionnement des goniomètres utilisés en astronomie pour l'analyse du spectre ainsi que la diffraction par rayons X par un réseau d'atomes (donc l'importance est non négligeable).

Figure: 40.6 - Principe de base du réseau de diffraction à fentes rectangulaires

Nous voyons sur le schéma ci-dessus que pour certaines directions

, la distance equation

est telle que des interférences constructives ou destructives se réalisent.

Posons que le réseau est placé dans le plan YZ et que la direction du faisceau se fait selon l'axe X. Plaçons-nous en un point d'observation P situé dans le plan XY. Selon les propriétés des ondes électromagnétiques (cf. chapitre d'Électrodynamique), le vecteur champ électrique equation

de l'onde émise par la i-ème fente est perpendiculaire à la direction d'observation et peut s'exprimer par:

Dans une direction equation

quelconque, les ondes issues de deux fentes adjacentes sont déphasées de equation

(où d est la valeur du pas entre 2 fentes) et au point P d'observation, le champ électrique résultant est donné par la somme des contributions de chaque fente avec son equation

décalage propre. D'où:

Nous pouvons maintenant représenter

en utilisant les phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) dans l'espace des phases tel que:

Ce qui donne graphiquement pour le deuxième terme contenant la variable de sommation j pour une distance R fixe:

Nous voyons que les equation

mis bout à bout forment un polygone régulier, inscrit dans un cercle de rayon:

La norme du champ électrique résultant étant égale à la corde définie par l'angle:

L'énergie lumineuse (in extenso l'intensité) émise dans la direction equation

étant proportionnelle au carré du champ électrique (cf. chapitre d'Électrodynamique), nous avons alors pour les interférences destructives ou constructives:

Nous substituons maintenant equation

par l'expression trouvée lors de notre étude plus haut de la diffraction par une seule fente:

Ainsi, nous obtenons pour l'addition des effets d'interférences et de diffraction:

Bien que cette relation semble compliquée, tous ses paramètres n'ont pas la même importance pratique. En effet, considérons la fonction:

Bien que le terme B fasse diverger la relation pour

, la règle de l'Hospital (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) nous donne que:

Il en résulte que pour

et donc des valeurs nulles de A et de B, la fonction

présente des énormes pics de hauteur:

Vu leur grande amplitude, les pics principaux sont ceux que l'on observe expérimentalement le plus facilement. Ainsi, la position angulaire des maxima de la fonction

est donnée par:

Le pic d'ordre m est centré sur la valeur équivalente equation

qui annule le numérateur et le dénominateur de cette fraction tel que:

Ainsi, un réseau dont nous connaissons la valeur d du pas peut être utilisé pour mesurer la longueur d'onde

d'une lumière incidente inconnue.

Cependant, si la lumière incidente est polychromatique (typiquement pour les observations astronomiques), la relation précédente nous donne pour une longueur d'onde donnée la position des franges d'interférences. Ainsi, un astronome faisant passer de la lumière polychromatique de son télescope par un réseau diffraction peut faire une analyse spectroscopique de la lumière.

La relation nous donne également que pour des valeurs fixes de m et d, plus

est grand, plus l'angle equation

l'est aussi dans un intervalle compris entre

. Ainsi, les raies spectrales résultant de l'incidence d'un faisceau polychromatique montrent un spectre allant du violet (faible longueur d'onde donc petit angle) au rouge (grande longueur d'onde donc grand angle).

Au moyen d'un goniomètre, nous mesurons les angles

des pics principaux d'ordre m, pour le plus grand nombre possible de valeurs de m. Nous en déduisons equation

de la pente du graphique:

Puisque l'argument de cette fonction augmente de

entre deux pics successifs (parmi tous les pics principaux et secondaires), il vaut

à l'endroit du pic d'ordre m (pic principal donc) et doit parcourir

radians supplémentaires pour atteindre le pied du pic.

La distance angulaire equation

entre le sommet et le pied du pic principal est donc donnée par:

Mais dès le premier ordre, nous avons equation

. La différence des deux sinus donne (cf. chapitre de Trigonométrie):

Un développement de Maclaurin (cf. chapitre des Suites Et Séries) de equation

donne lorsque l'on prend le premier terme du développement equation

Il est clair que deux raies superposées seront vues comme distinctes si elles sont séparées d'une distance angulaire égale à leur largeur angulaire. L'expression:

établit qu'à deux positions angulaires correspondent deux longueurs d'onde. Nous pouvons donc donner la séparation de deux raies par

au lieu de

Le pouvoir de résolution R d'un réseau représente sa capacité de séparer deux raies spectrales de longueurs d'onde

voisines tel que:

Nous voyons que le pouvoir de résolution augmente proportionnellement à l'ordre de diffraction. Cette relation est très importante en spectrographie pour l'astronomie. Nous pouvons ainsi calculer quel doit être le nombre minimum N de lignes que doit comporer un réseau capable de séparer deux longueurs d'onde dans un spectre d'ordre m donné.

FENTES DE YOUNG

Selon le principe de la dualité onde-corpuscule, la lumière se comporte à la fois comme une onde et comme un corpuscule (particule matérielle). C'est la résolution de problèmes comme ceux du corps noir (cf . chapitre de Thermodynamique), de l'effet photoélectrique (cf. chapitre de Physique Nucléaire) ou encore celui de l'effet Compton (cf. chapitre de Physique Nucléaire) qui a révélé l'existence de cette dualité.

Mais nous allons nous maintenant étudier la manière la plus flagrante mettant en évidence l'aspect ondulatoire de la matière à l'échelle atomique à l'aide de l'expérience des fentes de Young. Nous allons aborder celle-ci de manière simplifiée comme un cas particulier du réseau de fentes rectangulaires mais ayant l'avantage de mettre expérimentalement en évidence de manière aisée le comportement dual et probabiliste de la matière à l'échelle atomique.

Soit une source de lumière S, qui rayonne une onde monochromatique

de longueur d'onde

à travers deux fentes

percées dans un obstacle opaque à la lumière, comme le montre la figure ci-dessous:

Remarque: L'intérêt du dispositif est qu'il permet de produire deux sources de lumières cohérentes. C'est-à-dire deux sources dont la différence de phase est constante tout au long de l'expérience.

L'onde

donnera après son passage à travers les fentes

, comme nous l'avons déjà vu, naissance à deux ondes "filles"

de même pulsation

qui emprunteront respectivement les chemins

et qui iront interférer au point M de l'écran E.

Si l'interférence en M est constructive, ce point sera alors situé sur une frange brillante et si l'interférence en M est destructive, il sera sur une frange obscure. Pour observer cela, écrivons d'abord l'onde résultante au point M :

dans laquelle nous avons en termes de phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire):

où A est l'amplitude, k est le vecteur d'onde et t représente la variable temps comme nous l'avons déjà étudié en détail dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire.

Maintenant, faisons un changement de variable (histoire de ne pas avoir à trimbaler de longues exponentielles):

Remarque: Nous verrons plus loin qu'au fait

Pour le calcul de l'intensité au point M, nous allons prendre la norme complexe (module) de

ce qui s'écrit donc comme le produit du complexe et de son conjugué:

Remarque: Ce calcul est très important, car l'analogie avec la physique quantique ondulatoire est très forte à ce niveau et similaire au calcul de l'amplitude de probabilité (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).

Remarque: C'est ici que trivialement nous voyons que

Maintenant, il nous faut calculer

en fonction de z pour savoir ce que nous observons sur l'écran E.

Figure: 40.9 - Agrandissement et situation particulière de l'expérience de Young

Cette relation révèle que l'intensité I présente des minima (franges obscures) et maxima (franges brillantes) distribués selon la direction z de manière périodique. Cela ne nous étonne pas plus que cela pour l'instant car cela découle du cas plus général étudié plus haut.

Il convient cependant de préciser que les calculs précédents montrent que l'intensité des franges est partout égale. Or nous observons expérimentalement (voir la figure ci-dessus) que leur intensité diminue lorsqu'on s'éloigne du centre de l'écran. Comme nous l'avons déjà vu, deux phénomènes sont à l'origine de cette observation:

Premièrement, les fentes ont une certaine largeur, ce qui implique un phénomène de diffraction. En effet, une lumière envoyée sur un petit trou n'en ressort pas de façon isotrope. Cela se traduit par le fait que la lumière est majoritairement dirigée vers l'avant. Cet effet se répercute sur la figure observée après les fentes de Young: l'intensité des franges décroît au fur et à mesure que l'on s'éloigne du centre.

Le second phénomène à prendre en compte est le fait que les ondes émises en

sont des ondes sphériques, c'est-à-dire que leur amplitude décroît au fur-et-à-mesure qu'elles avancent. Ainsi l'amplitude de

ne sera pas la même au point M.

Donc nos calculs restent approximatifs par rapport à l'étude que nous avions faite du réseau de fentes rectangulaires mais c'est ainsi que l'expérience des fentes de Young est présentée dans les écoles et cela suffit à mettre en évidence le résultat principal.

L'expérience originelle de Thomas Young peut donc être interprétée en utilisant les simples lois de Fresnel comme nous l'avons fait avec le réseau de fentes. Ce qui met en évidence le caractère ondulatoire de la lumière. Mais cette expérience a par la suite été raffinée, notamment faisant en sorte que la source S émette un quantum à la fois. Par exemple, on peut à l'heure actuelle émettre des photons ou des électrons ou encore des atomes un par un. Ceux-ci sont détectés un par un sur l'écran placé après les fentes de Young. Nous observons alors que ces impacts forment petit à petit la figure d'interférences. Selon des lois classiques concernant les trajectoires de ces corpuscules, il est impossible d'interpréter ce phénomène!!! D'où l'intérêt de l'étude théorique et expérimentale des fentes de Young.

De gauche à droite et de haut en bas, voici les motifs obtenus en accumulant 10, 300, 2'000 et 6'000 électrons avec un flux de 10 électrons/seconde (la même expérience avec le même résultat a été reproduit avec des neutrons et des atomes!). L'accumulation des électrons finit par constituer des franges d'interférence ce qui est assez déroutant a priori!

Nous reviendrons sur ce phénomène crucial dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire pour en dire un peu plus.

POLARISATION DE LA LUMIÈRE

Ce n'est qu'au 19ème siècle que l'on découvrit la polarisation de la lumière (nous allons de suite expliquer de quoi il s'agit). Cependant, à l'époque de Newton, on connaissait déjà un phénomène dû à la polarisation: l'existence de cristaux dits "cristaux biréfringents" (tel le spath d'Islande) qui ont la propriété de réfracter un seul rayon en deux rayons distincts (aujourd'hui nous savons que les deux rayons réfractés par un tel cristal sont polarisés).

Pour comprendre ce qu'est la "polarisation de la lumière", revenons au cas d'une onde se propageant sur une corde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire). Une telle onde peut le faire dans un plan vertical (droite) aussi bien que dans un plan horizontal (gauche) ou dans tous les plans intermédiaires:

Figure: 40.12 - Représentation imagée du concept de polarisation de la lumière

Dans les deux cas, nous disons que l'onde est "polarisée linéairement", ce qui signifie que les oscillations se font uniquement et toujours dans le même plan, appelé "plan de polarisation". Une telle onde peut passer à travers une fente verticale si elle est polarisée verticalement, une onde polarisée horizontalement ne le pourra pas.

Rappel: nous avons vu dans le chapitre d'Électrodynamique que pour les ondes électromagnétiques, le champ électrique

oscille (du moins pour la solution standard des équations de Maxwell) et est orthogonal à la direction de propagation.

Le vecteur champ électrique

d'une onde peut être décomposé en deux composantes perpendiculaires l'une à l'autre,

si l'onde se propage dans la direction z et transportant chacune la moitié de l'intensité de l'onde. Ces deux composantes changent à tout moment lorsque

varie. Le résultat à tout instant est un champ horizontal total et un champ vertical total.

tourne autour de la direction de propagation avec son extrémité décrivant un cercle, nous disons alors que l'onde est "polarisée circulairement":

reste alors constant en module mais tourne tout en progressant, effectuant un tour complet pour chaque parcours égal à une longueur d'onde.

Remarque: La lumière n'est pas forcément polarisée ! Chaque atome émet un train d'ondes qui dure moins d'un cent-millionième de seconde (ces trains d'ondes sont parfaitement expliqués par la propagation de la particule libre en physique quantique avec les transformées de Fourier), et toutes ces ondes n'ont aucune corrélation de phase ou d'orientation. Le champ résultant en une position donnée de l'espace, est la somme géométrique de tous ces trains d'ondes: il change constamment.

Ainsi, la lumière naturelle est un mélange aléatoire et très rapidement variable d'ondes linéairement polarisées dans toutes les directions. En regardant vers la source, nous observons un champ

, résultant qui oscille dans une certaine direction durant une fraction de période puis saute brusquement à une nouvelle direction aléatoire tout en restant perpendiculaire à la direction de propagation:

Cette introduction ayant été faite, passons à quelque chose d'un peu plus formel:

Nous avions donc vu en électrodynamique qu'une onde plane progressive monochromatique (même si physiquement elle n'existe pas...) se propageant dans le vide était composée d'un champ

et d'un champ magnétique

et était caractérisée par sa pulsation

, son amplitude en champ électrique

et en champ magnétique

et sa direction de propagation donnée par un vecteur unitaire equation

au choix selon l'orientation du repère choisi.

Nous avons vu également que ces ondes possèdent des propriétés structurelles remarquables, en particulier:

sont transverses, c'est-à-dire que leur direction est en tout point et à tout instant orthogonale à la direction de propagation (théorème de Malus). Ceci, permettant de définir un plan d'onde, plan généré par les deux directions de

- Les normes de ces deux vecteurs sont reliées par equation

, où

est la vitesse de la lumière dans le vide (c'est ce rapport immense entre le champ magnétique et le champ électrique d'une onde électromagnétique qui fait que les développements présentés plus loin se font de préférence par rapport à la composante

de l'onde).

- Enfin, ces deux vecteurs sont orthogonaux entre eux, et le trièdre equation

est un trièdre orthogonal direct.

où nous avons choisi le repère tel que l'onde se propage selon la direction equation

. De plus, nous avions montré que le champ électrique est une fonction d'onde trigonométrique donnée à l'arbitraire de phase près par:

Plaçons-nous maintenant dans une base (x, y, z). L'expression la plus générale du champ électrique d'une onde plane progressive monochromatique se propageant selon equation

peut être décomposée selon deux composantes:

En choisissant une autre origine des temps, nous pouvons toujours nous ramener à écrire:

Remarque: Le choix d'écrire equation

plutôt que

nous sera utile plus tard pour l'utilisation des relations trigonométriques remarquables et nous permettra de trouver l'équation d'une ellipse (patience... ce n'est plus très loin).

En utilisant les phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) ces dernières relations peuvent se ramener à:

Cependant, pour décrire ce champ, et donc l'ensemble de l'onde, il est commode de se placer dans le plan equation

et de décrire l'évolution du vecteur

dans ce plan. C'est ce que nous allons faire par la suite. Ceci revient en fait à choisir une origine des coordonnées selon z. Dans ce cas, nous pouvons écrire:

Mais la polarisation la plus générale est décrite par un vecteur complexe normalisé à l'unité dans un espace à deux dimensions de composantes:

POLARISATION LINÉAIRE

Définition: Nous disons qu'une onde est "polarisée linéairement" lorsque

Remarque: Relativement à un diagramme que nous verrons plus loin il convient de prendre en compte que lorsqu'une composante est positive l'autre l'est aussi et inversement.

ce qui signifie que le champ garde une direction fixe. D'où le fait que nous parlions d'onde polarisée linéairement.

Remarque: Relativement à un diagramme que nous verrons plus loin il convient de prendre en compte que lorsqu'une composante est positive l'autre est négative et inversement.

ce qui signifie aussi que le champ garde une direction fixe. D'où le fait que nous parlions également d'onde polarisée linéairement.

POLARISATION ELLIPTIQUE

en tout point similaire à la forme générale des coniques que nous avons dans le chapitre de Géométrique Analytique:

Dans ce cas, l'extrémité de

décrit donc une ellipse et nous parlons dès lors naturellement de "polarisation elliptique".

Suivant la valeur de equation

, cette ellipse peut être parcourue dans un sens ou dans l'autre. Pour déterminer ce sens, dérivons l'expression du champ:

par rapport au temps et plaçons-nous à equation

toujours dans le même plan d'onde en equation

- Si

l'ellipse est parcourue dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre) comme le montre la figure plus loin. Nous disons alors que la polarisation est "elliptique gauche directe".

- Si

l'ellipse est parcourue dans le sens direct aussi (inverse des aiguilles d'une montre) comme le montre la figure plus loin. Nous disons alors que la polarisation est "elliptique droite directe".

- Si

l'ellipse est parcourue dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre). Nous disons alors que la polarisation est "elliptique droite indirecte".

- Si

l'ellipse est parcourue dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) comme le montre la figure plus loin. Nous disons alors que la polarisation est "elliptique gauche indirecte".

POLARISATION CIRCULAIRE

qui est l'équation d'un cercle de rayon equation

, le sens étant toujours donné par le signe du sinus:

POLARISATION NATURELLE

Nous pouvons considérer l'émission d'une source comme une succession d'ondes planes progressives monochromatiques dont l'expression sera donc:

Ces trains d'ondes sont donc dans un état de polarisation particulier. Cependant, cet état varie aléatoirement d'un train d'onde à l'autre, et ceci en un temps très court par rapport au temps d'intégration des détecteurs. Ceux-ci ne verront donc pas de polarisation particulière, et le champ

n'aura pas de direction particulière.

Nous parlons dès lors de "lumière non polarisée". Si nous superposons cette lumière à une onde polarisée, nous obtenons ce que nous appelons une "polarisation partielle".

Finalement, nous pouvons résumer tout ce que nous avons vu jusqu'à maintenant par la figure suivante où nous avons:

Nous pouvons représenter cela de manière animée avec Maple 4.00b (nous n'avons pas mis le *.gif ci-dessous afin de ne pas trop charger le document...) et les commandes suivantes:

> with (plots):
> Ex:=1;Ey:=1;phi:=Pi/4;k:=1;omega:=1;
> animate3d([x,a*Ex*cos(omega*t-k*x),a*Ey*cos(omega*t-k*x-phi)],a=0..1,x=-10..10,t=0..2*Pi,frames=15,grid=[35,35],style=patchnogrid,axes=boxed);

Il est bien entendu possible de modifier les paramètres. Par exemple,

donne une polarisation circulaire,

donne une polarisation rectiligne comme nous l'avons montré plus haut.

Nous pouvons aussi remettre la figure de Wikipédia qui résume aussi très bien le sujet:

LOI DE MALUS

Pour polariser de la lumière, le physicien fera usage de polariseurs. Nous n'entrerons pas ici (car ce n'est pas dans le cadre de l'optique ondulatoire) dans les détails des propriétés atomiques ou moléculaires de la matière qui sont la cause de la polarisation de la lumière transmise.

Pour nos besoins, nous allons nous restreindre à un polariseur qui polarise une lumière incidente de manière linéaire selon l'axe x (la composante equation

étant dès lors nulle). Il vient dès lors:

Or, nous avons vu dans le chapitre traitant des équations de Maxwell (cf. chapitre d'Électrodynamique) que:

Pour étudier de façon quantitative la polarisation, nous allons nous servir d'un ensemble polariseur/analyseur. Nous faisons d'abord passer la lumière dans un polariseur dont l'axe fait un angle

avec l'axe x, puis dans un second polariseur, appelé "analyseur", dont l'axe fait un angle

avec le même axe (voir figure ci-dessous) avec:

À la sortie de l'analyseur, le champ électrique

s'obtient en projetant la lumière polarisée linéairement

obtenue à la sortie du polaroïd:

sur

(ce qui signifie: projection=produit scalaire, pour obtenir un vecteur on multiplie par le vecteur sur lequel on projette):

dans le cas particulier de la polarisation linéaire bien sûr. Nous réutiliserons ce résultat en cryptographie quantique (cf. chapitre de Cryptographie).

COHÉRENCE ET INTERFÉRENCE

Nous allons maintenant voir quelles sont les conditions nécessaires à ce que des ondes planes interférent entre elles. Ces développements permettent de comprendre bien des choses sur la vision du monde qui nous entoure via notre oeil (surtout pourquoi l'ensemble des ondes reçues par nos rétines ne se mélangent pas et donc les couleurs non plus!).

Considérons deux ondes planes

de pulsations

, de vecteurs d'onde

se propageant toutes deux parallèlement à l'axe

Nous notons

les amplitudes complexes des deux ondes et nous nous intéressons à l'intensité moyenne observée en un point O pris comme origine des coordonnées:

Calculons maintenant l'intensité instantanée au point O qui sera notée J(t). Comme l'intensité moyenne I est proportionnelle au carré de l'amplitude, nous supposerons qu'il en sera de même pour l'intensité instantanée. Ce qui nous amène à calculer la somme des parties réelles des amplitudes des deux ondes:

Pour calculer l'intensité moyenne, nous allons choisir une approche expérimentale. L'intensité moyenne sur le temps de pose

du détecteur (électronique ou biologique) sera donc donnée par:

I est donc la somme des moyennes des quatre termes intervenant dans J(t). En lumière visible (cas de notre oeil), les fréquences sont de l'ordre de

et les temps de pose des détecteurs varient entre la milliseconde et la seconde.

contient alors typiquement

périodes de

Examinons l'effet sur la valeur moyenne de chacun des termes de J(t) en rappelant d'abord la relation (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire):

1. Nous avons en utilisant les intégrales usuelles démontrées dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral, la valorisation suivante de l'intégrande sur un grand nombre de périodes:

Calcul que l'on note traditionnellement et très abusivement sous la forme condensée suivante:

Nous pouvons estimer que sur un grand nombre de périodes (temps d'ouverture du détecteur), c'est cette moyenne qui sera mesurée (en l'occurrence c'est celle-ci!).

Or, la moyenne d'un cosinus et d'un sinus sur une période est nulle. Donc si le détecteur fait une mesure sur un temps d'exposition supérieur à

, soit sur un grand nombre de périodes, nous aurons:

4. Pour le quatrième terme c'est encore différent dans l'approximation expérimentale. Effectivement:

Or,

. Donc le détecteur n'a pas le temps de mesurer l'intensité moyenne sur une période entière en première approximation puisque:

et que cette valeur est beaucoup beaucoup plus grande dans le spectre du visible que le temps d'ouverture/échantillonnage de l'oeil qui est lui de 0.1 [s].

Si les pulsations

sont égales (ou pratiquement égales), c'est alors l'interférence entre deux ondes planes monochromatiques. L'intensité moyenne s'écrit alors:

L'intensité mutuelle est non nulle et nous disons alors qu'il y a cohérence. Dans le cas contraire, si les deux pulsations sont très différentes, la moyenne

est nulle et nous avons alors:

Le terme d'interférences a disparu, l'intensité moyenne est la somme des intensités moyennes des deux ondes. Nous disons dans ce cas que les deux ondes sont incohérentes entre elles.

Quand nous savons que l'oeil interprète l'intensité pour former les perceptions des objets nous comprenons pourquoi deux objets de deux couleurs différentes ne forment pas une perception correspondant à un mélange des deux couleurs car même si dans le spectre du visible, les pulsations sont presque égales, leur déphasage en un point donné de l'espace est rarement nul tel que:

et ce d'autant plus que le déphasage n'est pas constant dans le temps et que la moyenne de déphasages fait que le troisième terme s'annule. On ne peut donc pas interférer de manière simple des ondes planes de sources différentes. Par contre, lorsque la source est identique nous retrouvons ce que font nos écrans avec les trois couleurs primaires RVB.

Lorsque

est un multiple de

, I est maximale (interférence constructive). Lorsque

est de la forme

, I est minimale. Nous avons alors une interférence destructive.

Remarque: Lors de la composition de plusieurs ondes, nous pouvons toujours considérer qu'il y a interférence. Toutefois, nous appelons "conditions d'interférences" des conditions d'observation de ces interférences, in extenso des conditions pour que le résultat de leur composition soit suffisamment stable pour être observé. Il est d'usage de parler de visibilité, ce qui restreint à la seule observation par l'oeil (humain).

Nous avons vu pour l'oeil que la fréquence temps d'échantillonnage est de

. Sachant que la lumière visible à une fréquence de

, la fréquence doit donc être stabilisée par la source pendant:

ce qui matériellement est impossible sauf à ce que la source soit la même. Nous en déduisons que pour que des interférences soient visibles à l'oeil, les sources doivent être synchrones à mieux que

ce qui en pratique amène à ne considérer que des sources absolument synchronisées sur une source unique.

Dans le modèle précédent, nous avons par ailleurs négligé le fait qu'une onde réelle est limitée dans le temps. Un photon est représenté par un paquet d'onde limité. Soit T sa durée, il aura une longueur

dans le vide ou dans l'air que nous appelons "longueur de cohérence temporelle".

Un rayonnement donné est donc une superposition d'une succession de trains d'ondes dont la longueur moyenne est

, les trains d'ondes successifs n'ont pas de relation de phases entre eux: ils ne peuvent pas interférer.

LASER

L'apport conceptuel d'Albert Einstein à l'interaction lumière-matière est essentiel. Son approche, qui a consisté à introduire la notion d'absorption et d'émission stimulée du rayonnement, est à l'origine du processus d'émission LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) utilisé dans de très nombreux domaines comme: la lecture/écriture de disques optiques, transmission de données entre satellites, pointeurs de conférences, appareils de mesure de précision (télémétrie, anémométrie), chirurgie (oeil, épilation, gyrométrie, découpe ou soudure industrielle, micro-usinage, amorçage de réactions nucléaires (LASER Méga Joule), prototypage (imprimantes 3D), nettoyage de surfaces (ablation/décapage LASER), analyse de structures, refroidissement, etc.

En analysant les conditions d'équilibre thermique dans l'interaction du rayonnement électromagnétique avec la matière, Einstein a compris que la prise en compte de l'émission spontanée permet seulement de trouver la loi de répartition de Wien. En revanche la loi de Planck ne peut être obtenue que si nous postulons l'existence d'un processus d'émission stimulée. C'est en cela que les travaux d'Einstein contiennent en germe le développement des sources de rayonnement électromagnétique cohérentes.

En effet, les premières démonstrations d'une émission cohérente de rayonnement ont associé les spécialistes en physique atomique à ceux de l'électromagnétisme. Ceci a donné naissance au MASER (Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation).

C'est l'évolution de cet outil aux multiples facettes et la réponse qu'il a sur apporter à des problèmes posés qui ont contribué au développement de l'optoélectronique, de l'optronique et de la biophotonique.

Remarque: J'ai longuement hésité à mettre les développements de base du LASER dans le chapitre de Mécanique Statistique, de Thermodynamique ou d'Électrodynamique. Comme dans mon entourage privé la majorité des gens (non scientifiques) associaient le LASER à de l'optique, j'ai pensé plus judicieux de mettre les développements dans le présent chapitre d'Optique Ondulatoire.

Nous allons, comme le fît Einstein, montrer par l'absurde que considérer uniquement absorption stimulée et l'émission spontanée sont insuffisants pour retrouver la loi de Planck démontrée dans le chapitre de Thermodynamique (loi qui décrit la densité de radiation à l'équilibre dans une cavité de dimension finie):

Représentons donc schématique ce que sont l'absorption stimulée et l'émission spontanée en faisant abstraction de la notation des niveaux d'énergie telle qu'utilisée dans les chapitres de Physique Quantique Corpusculaire, de Physique Quantique Ondulatoire et Chimie Quantique:

Dans notre expérience imaginaire,

atomes se répartissent selon les populations

respectivement sur deux niveaux d'énergie

Nous observons une absorption résonnante du rayonnement électromagnétique lorsque la fréquence v du rayonnement est égale à la différence d'énergie entre les deux niveau considérés. L'énergie émise ou absorbée est alors liée à la relation:

Le taux d'absorption dépend évidemment de la densité spectrale d'énergie du champ électromagnétique incident

, de la population

du niveau inférieur et enfin il est probablement proportionnel à un facteur

qui traduirait les propriétés du système atomique. Sous ces hypothèses, nous sommes amenés à écrire naturellement:

Au phénomène d'absorption résonnante stimulée, se superpose le fait qu'un système excité revient à son état initial avec un temps caractéristique: la durée de vie de l'état excité. Le taux de désexcitation est proportionnel à la population du niveau supérieur de la transition tel que cela nous amène à écrire:

en interaction avec le rayonnement se traduit par la condition cinétique (il s'agit de dériver par rapport au temps l'expression précédente):

En y injectant les relations précédentes de manière judicieuse, nous obtenons:

Soit (si nous retrouvons la loi de Planck, nos hypothèses pour l'expérience imaginaire seront alors vérifiées):

La population des niveaux à l'équilibre thermodynamique suit une loi de distribution de Maxwell-Boltzmann (cf. chapitre de Statistique):

Or, nous voyons bien que nous n'arriverons jamais à retomber sur la loi de Planck:

avec nos hypothèses. Certes, en choisissant bien la constante, nous retombons sur la loi de Wien (cf. chapitre de Thermodynamique) mais elle comporte dès lors les problèmes que nous lui connaissons déjà.

Donc, pour obtenir la loi de Planck il doit nous manquer quelque chose ou que l'approche est totalement fausse! Pour rester simple... si nous observons longuement le résultat obtenu, nous observons que nous pourrions éventuellement nous en sortir si la relation découlant de la conservation du nombre d'atomes avait un terme en plus (en réalité, il suffit de partir de la loi de Planck et faire les développements à l'envers: ingénierie inverse). C'est l'idée géniale qu'à eu Albert Einstein et qui a permis l'essor du LASER.

Supposons dès lors qu'en plus de l'émission et l'absorption spontanée, nous ayons le concept "d'émission stimulée" qui est vraiment non intuitif (mais qui apparaît lorsque les développements sont fait à l'envers):

Donc, dans l'émission spontanée, le photon peut être émis dans n'importe quelle direction. Dans l'émission stimulée, on reconnaît (figure) deux photons dans la même direction, le photon incident qui provoque l'émission et le photon émis. Par des procédés de filtrage, il est alors possible d'obtenir un faisceau monochromatique qui peut être utilisé pour le transport d'énergie, d'information ou de mesure.

Donc en présence d'un rayonnement de même fréquence que celle de la transition, le système présente une certaine probabilité d'être désexcité pour retrouver son état fondamental ou initial:

Pour un système en équilibre thermique, le niveau le plus bas d'une transition est toujours plus peuplé que le niveau supérieur. En conséquence, le milieu se comporte comme un absorbant en présence d'un rayonnement incident de même fréquence que celle de la transition entre les deux états. En revanche, si cet équilibre est modifié en sorte que le niveau supérieur soit nettement plus peuplé que le niveau inférieur, le système favorise le processus d'émission stimulée. Nous obtenons ainsi un mécanisme d'amplification optique, qui est associé à l'inversion de population réalisée par l'intermédiaire d'une technique appelée "pompage optique".

Il est à indiquer que les LASER peuvent être constitués de mélanges gazeux, de liquides dopés par des terres rares, des matériaux semi-conducteurs (diodes LASER), des cristaux ou des verres dopés par des ions actifs.

Signalons encore qu'à travers ce modèle, Einstein a été le premier à introduire les probabilités dans la physique quantique en 1916. Ce qui amena Max Born dix ans plus tard à avancer une interprétation probabiliste de la fonction d'onde de Schrödinger (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).