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L'ingénierie est l'ensemble des pratiques consistant à appliquer les résultats des sciences exactes et de la recherche fondamentale à des problèmes concrets, industriels ou quotidiens. (Larousse)

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-12-31 17:59:46 | {oUUID 1.801}
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

La météorologie est l'étude des phénomènes atmosphériques tels les nuages, les dépressions et les précipitations pour comprendre comment ils se forment et évoluent. C'est une discipline qui traite principalement de la mécanique des fluides appliquée à l'air mais qui fait usage de différentes autres branches de la physique et de la chimie. Elle permet donc d'établir des prévisions météorologiques en s'appuyant sur des modèles mathématiques à court comme à relativement long terme. Elle est également appliquée pour la prévision de la qualité de l'air, pour les changements climatiques et pour l'étude dans plusieurs domaines de l'activité humaine (construction, trafic aérien, etc.)

La météorologie est liée à une grande quantité de variables dont il serait très difficile de faire une liste même non exhaustive... Cependant sur notre planète Terre, un facteur important à ne pas négliger est celui constitué par les surfaces océaniques et leur dynamique intrinsèque dont nous tenterons de présenter au travers d’une étude mathématique sommaire quelques-unes de leurs propriétés.

Ce chapitre est une introduction générale de base au domaine des applications techniques de la thermodynamique et de la mécanique des fluides. Il permettra au lecteur de se familiariser avec le langage et certaines méthodes de calculs fondamentales utilisées par les ingénieurs de cette branche. Bien sûr, il faut compléter cette étude par des travaux pratiques en laboratoire.

HORIZON VISUEL

Étudions d'abord un petit sujet sympathique faisant souvent débat lors des vacances ou plus sérieusement... Dans certains logiciels de météorologie, il est demandé de saisir la distance de l'horizon visuel lors de mesures de température et pression... or celle-ci est difficile à déterminer par très beau temps lorsque nous sommes en hauteur.

Pour cela, considérons la Terre de rayon R et un point de perspective de hauteur h par rapport au niveau de la mer que nous noterons A. La question est de savoir à quelle distance se trouve le point C donné par définition par la tangente AC qui est simplement la ligne d'horizon.

Figure: 69.1 - Configuration de l'expérience...

Le lecteur observera déjà que l'étude va principalement faire appel à de la trigonométrie et de la géométrie élémentaire.

L'angle  est un angle droit. En effet, une droite tangente en un point d'un cercle est perpendiculaire au rayon en ce point. Le triangle OCA est donc rectangle en C.

Nous avons donc:

  (69.1)

Or, nous avons . D'où nous déduisons:

  (69.2)

La distance AC est la distance à vol d'oiseau entre le point de vue (belvédère) et le bateau que nous observons sur l'horizon. La distance qui nous intéresse cependant ici est BC: c'est la distance que nous devrions parcourir à l'altitude 0 pour rejoindre l'autre bateau.

Dans la suite, nous poserons .

Lorsque l'angle varie de 0° à 360° (tour complet), nous décrivons toute la circonférence de la Terre, c'est-à-dire puisque la Terre est supposée être ronde.

Utilisation de la règle de trois:

Si un angle de 360° correspond à une distance de longueur alors un angle de correspond à une distance:

  (69.3)

Or, nous avons vu précédemment que:

  (69.4)

D'où, finalement:

  (69.5)

Avec , nous trouvons (h doit être exprimé en kilomètres):

  (69.6)

Nous avons alors dans le vide, dans un paysage sans obstacles... la table suivante:

DIRECTION DES VENTS

Nous allons démontrer mathématiquement maintenant quelque chose de tout à fait intuitif: que les vents se déplacent des hautes vers les basses pressions (c'est bête comme ça mais il faut tout de même le montrer).

Nous savons (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus) que la force de pression s'exerçant sur une surface S est normale à cette surface et vaut sous forme scalaire .

Pour une parcelle d'air de volume  la force de pression totale selon la direction x vaut alors:

  (69.7)

De plus, nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (69.8)

Donc:

  (69.9)

La force de pression massique est donc:

  (69.10)

Nous pouvons faire le même calcul selon y. Finalement, la force de pression horizontale massique sera donnée par:

  (69.11)

Ainsi, la force de pression (massique ou non) est opposée au gradient horizontal. La transmission de l'information (de la force) se fait à la vitesse du son pour cette équation (ce qui explique la vitesse des appels d'air dans votre maison ou appartement et la force pouvant faire claquer les portes ou fenêtre).

Elle est donc:

- Dirigée des hautes vers les basses pressions, perpendiculaire aux isobares

- Inversement proportionnelle à l'écartement des isobares.

Si nous relevons les valeurs de la pression atmosphérique en différents points du globe et que nous relions  entre eux les points de pression identique, nous obtenons une série de courbes, appelées "isobares". Le vent est directement déterminé par ce relief atmosphérique, puisque c'est un déplacement d'air entre des hautes vers les basses pressions.

La vitesse du vent est donc fixée par le gradient de pression: autrement dit, si la pression atmosphérique varie rapidement avec la distance, le vent soufflera fort, tandis qu'il sera faible dans un "marais" barométrique où cette pression reste quasiment inchangée sur de grandes distances. En résumé, plus les isobares sont rapprochées, plus le vent soufflera fort.

Les isobares sont traditionnellement indiquées par un pas de 5 millibars sur les cartes météo tel que le montre l'exemple ci-dessous:

Figure: 69.2 - Représentation typique des isobares (sur une dépression)

Ensuite, les météorologues ont défini empiriquement (c'est sympathique pour la culture générale) une unité de mesure des vents qui n'est qu'une correspondance entre la force du vent et la distance séparant 2 isobares (5 en 5 [mb]):

MODÈLE ATMOSPHÉRIQUE EXPONENTIEL

Considérons que l'atmosphère est un fluide parfait dans un champ de gravité. Alors à partir de la relation du théorème de Bernoulli suivante, démontrée dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus (fluide statique):

  (69.12)

Il vient alors:

  (69.13)

Ainsi, pour connaître la variation de pression avec l'altitude dans l'atmosphère ou la profondeur dans l'océan, nous avons pris comme hypothèse "l'équilibre hydrostatique", soit que la variation de pression avec la hauteur/profondeur est proportionnelle à la gravité et à la densité du fluide.

Ceci n'est bien évidemment pas valide dans le cas de mouvements rapides de convection, comme dans les orages, mais se vérifie assez bien dans les mouvements plus lents et à grande échelle: l'échelle synoptique.

Nous allons alors combiner cette dernière relation avec une équation d'état, par exemple celle du gaz parfait à la température T et de densité  dont les particules constituantes ont pour masse m. Nous avons donc l'équation des gaz parfaits (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus):

  (69.14)

avec pour rappel P est la pression exprimée en Pascals, V le volume exprimé en mètres cubes, R qui est la constante des gaz parfaits, T la température exprimée en Kelvins, n le nombre de moles, k est la constante de Boltzmann, la densité de particules, m la masse totale des particules.

Dans le cas isotherme (par exemple dans la stratosphère Terrestre, au-dessus de 10 [km] d'altitude où la température est quasi constante autour de -55 degrés Celsius), l'intégration s'effectue facilement:

  (69.15)

Donc, à une pression donnée, le gradient vertical de pression est inversement proportionnel à la température.

Considérons maintenant la relation suivante:

  (69.16)

En utilisant l'exponentielle:

  (69.17)

La pression décroit donc exponentiellement avec l'altitude.  étant la pression au niveau du sol.

Revenons aussi à la relation:

  (69.18)

Elle peut bien évidemment aussi s'écrire sous la forme:

  (69.19)

qui nous dit que la distance z entre les surfaces isobares est directement proportionnelle à la température.

Voyons également une autre approche courante. Repartons pour cela de la relation démontrée plus haut mais pour une masse m de 1 kilo:

  (69.20)

et notons cette relation sous la forme suivante:

  (69.21)

Rappelons que (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (69.22)

Donc:

  (69.23)

et supposons maintenant que la variation de température est linéaire dans l'atmosphère (ce qui n'est pas loin de la vérité pour les 10 à 20 premiers kilomètres de l'atmosphère) tel que:

  (69.24)

avec  qui est le gradient de température en [°K/m].

Figure: 69.3 - Profil type de la température et de la pression sur Terre (fin 20ème siècle)

Nous avons alors:

  (69.25)

Soit:

  (69.26)

Ce qui donne:

  (69.27)

Après simplification:

  (69.28)

Soit:

  (69.29)

Soit écrit de manière plus esthétique:

  (69.30)

Un bon exemple d'application courant de cette relation est les planeurs et les deltaplanes. Ceux-ci attendent de la météo que celle-ci leur communique l'altitude de l'isotherme du zéro degré lors de ses bulletins. Ils en déduisent alors le gradient de température par mètre. Pour ces sportifs, une bonne condition est d'avoir un gradient de 1 [°C] pour 100 mètres. Il est dès lors aisé avec la relation précédente de calculer la pression à une altitude de 2'000 mètres et d'en déduire le gradient de pression qui leur permet d'utiliser certains ascendants pour leurs exercices de voltige.

MODÈLE ATMOSPHÉRIQUE ADIABATIQUE

Le gradient thermique adiabatique est, dans l'atmosphère terrestre, la variation de température de l'air avec l'altitude (autrement dit le gradient de la température de l'air), qui ne dépend que de la pression atmosphérique, c'est-à-dire:

- Sans considération d'échange de chaleur avec l'environnement (autres masses d'air, relief)

- Sans considération de condensation (formation de nuages) ni de précipitation.

Ce concept a une grande importance en météorologie, ainsi qu'en navigation aérienne et maritime.

Nous avons démontré dans le chapitre de Thermodynamique la loi de Laplace (satisfaite que sous certaines conditions!):

  (69.31)

avec le coefficient de Laplace:

  (69.32)

Soit sous forme massique:

  (69.33)

Nous pouvons en prendre le logarithme:

  (69.34)

Or en prenant la différentielle logarithmique:

  (69.35)

Nous avons alors (relation que nous retrouverons dans le chapitre de Musique Mathématiques):

  (69.36)

Nous aurions aussi pu trouver ce résultat directement à partir de la relation démontrée dans le chapitre de Thermodynamique:

  (69.37)

En prenant aussi la différentielle logarithmique de loi des gaz parfaits où n est le nombre de moles:

  (69.38)

Mais sous la forme massique pour une mole:

  (69.39)

où  est donc la masse molaire, nous avons:

  (69.40)

Soit:

  (69.41)

Nous obtenons alors:

  (69.42)

Soit:

  (69.43)

Utilisons la relation démontrée plus haut:

  (69.44)

Il vient alors:

  (69.45)

Nous avons donc une atmosphère à gradient thermique constant et négatif (la température diminue de manière linéaire avec l'altitude):

  (69.46)

La dernière forme utilisant la masse molaire étant plus pratique car elle permet de caractériser le milieu étudié. À remarquer que c'est un modèle qui semble très très bien marcher pour une altitude de 0 à 90 [km] sur la planète Vénus mais nettement moins bien pour la planète Terre.

Nous avons alors par exemple pour la Terre (donc tout en sachant que le modèle n'est pas très bien adapté) ,  et le coefficient adiabatique pour l'air , et sa masse molaire .

Soit:

  (69.47)

ce qui correspond à l'idée courante (un degré pour 100 mètres).

ÉQUATION HYPSOMÉTRIQUE

Nous avons donc pour l'équilibre hydrostatique:

  (69.48)

où n est le nombre de moles par kilogramme.

Nous pouvons intégrer cette relation si nous connaissons T en fonction de P ou z. La mesure directe de P dans la pratique est plus facile (les altimètres simples sont en fait des baromètres).

Nous pouvons alors séparer les variables:

  (69.49)

En intégrant entre deux niveaux a et b:

  (69.50)

Puisque:

  (69.51)

Ensuite pour continuer nous allons utiliser une astuce. Nous allons définir la température moyenne par la relation:

  (69.52)

Ce qui nous permet alors d'écrire:

  (69.53)

Soit:

  (69.54)

où autrement écrit:

  (69.55)

Les deux relations encadrées sont appelées chacune respectivement "équation hypsométrique" (du grec "hypso" pour "hauteur"):

  (69.56)

Remarque: En météorologie,  est posé comme étant égal à 0 au niveau de la mer où la pression  est supposée connue. Ainsi, nous avons trois paramètres libres. En en connaissant deux sur les trois, il est facile de déterminer le troisième.

À l'armée, par exemple, les ballons-sondes donnent la température et la hauteur du ballon et les militaires au sol mesurent  et . Ensuite toutes ces informations sont communiquées aux chars d'assaut qui peuvent calculer la pression  à différentes hauteurs et donc l'influence de celle-ci sur la trajectoire de leurs obus... via la différence de force.

BALLON-SONDE

Un joli petit exemple intéressant d'application des mathématiques appliquées au génie météo est l'étude des fameux ballons-sondes et particulièrement la caractéristique de leur volume en fonction de l'altitude qui est souvent sujet à débat dans des groupes de discussion lorsque personne n'y formalise le problème une bonne fois pour toute. Vous aurez donc compris que c'est ce que nous allons étudier ici et surtout nous allons tenter de déterminer le diamètre théorique de ceux-ci à une altitude donnée.

L'énoncé du problème souvent débattu est le suivant:

Un ballon-sonde en PVC (Polyvinyl-Chloride) de masse m sert à emmener à haute altitude un appareillage en vue d'effectuer des mesures. L'enveloppe du ballon contient n moles de gaz parfait d'hydrogène  ayant donc une masse molaire de:

  (69.57)

L'atmosphère sera assimilée à un gaz parfait, de masse molaire moyenne:

  (69.58)

aux C.N.T.P. (Conditions Normales de Température et de Pression).

Nous voulons d'abord chercher quelle est la force ascensionnelle   ressentie par le ballon?

Ensuite, nous voulons évaluer la quantité de matière minimale  assurant le décollage de celui-ci pour une masse totale (ballon compris!) de 2.6 [Kg]. puis le volume  correspondant, à l'altitude de départ.

Rappelons deux choses pour résoudre déjà ce premier point:

1. Tout corps plongé dans un liquide (ou un gaz) subit une force vers le haut égale au poids du volume qu'il déplace (force d'Archimède) selon la relation démontrée dans le chapitre de Mécanique des milieux continus:

  (69.59)

2. Tout gaz parfait ayant une masse en grammes égale à la masse molaire occupe selon la loi des gaz parfaits un volume de 22.4 [L] à 273.15 [K] et à une pression de 1 [atm] comme nous l'avons démontré dans le chapitre de Chimie Thermique. Ce qui donne aux C.N.T.P:

  (69.60)

Donc pour que le ballon flotte à hauteur constante (sans monter mais sans tomber aussi...) avec juste la quantité  d'hydrogène suffisante, il faut donc d'après le principe d'Archimède que le volume d'air qu'il déplace ait un poids égal à la masse totale du ballon et de la sonde, soit 2.6 [Kg] dans notre cas!

Donc puisque 22 [L] d'air pèsent environ 29 grammes, il faut que le volume soit tel qu'il déplace 2.6 [Kg] d'air. Soit en faisant une simple règle de trois:

  (69.61)

Donc si le ballon est sphérique, cela donne un rayon de:

  (69.62)

Soit un diamètre d'environ 1.56 [m] au sol. Ce qui est conforme à la réalité!

Il nous faut encore déterminer le nombre de moles d'hydrogène. Il vient immédiatement:

  (69.63)

Maintenant que nous connaissons le nombre de moles dans le ballon, si nous connaissons la température et la pression à une hauteur de 22'000 [m] (altitude type d'un petit ballon-sonde) il ne nous reste qu'à appliquer la loi des gaz parfaits pour connaître le volume à cette altitude donné alors par la relation démontrée dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus:

  (69.64)

ainsi à 22'000 [m] d'altitude, nous avons environ selon les tables disponibles sur Internet:

  (69.65)

Mais au fait le rayonnement solaire est environ 30% plus élevé à cette altitude et le ballon est considéré comme un système adiabatique (sans échange de chaleur) et ne restitue donc pas la puissance emmagasinée à l'environnement extérieur. Nous considérons alors que la température est au moins 30% plus élevée ce qui nous donne comme chiffres:

  (69.66)

Nous avons donc:

  (69.67)

Nous aurions pu également utiliser (hypothèse adiabatique oblige!) la relation de Boyle-Mariotte (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus) pour arriver au même résultat:

  (69.68)

Ce qui donne un rayon d'environ 2.33 [m] (diamètre donc d'environ 4.6 [m]) au lieu des 0.78 [m] au sol! Soit une augmentation du diamètre d'environ 300%. Il est plus important cependant de s'intéresser à l'augmentation de la surface pour déterminer les forces de contraintes élastiques sur le PVC. Nous avons donc avant:

  (69.69)

et après:

  (69.70)

Soit une augmentation de la surface d'environ 1'000% alors qu'un élastomère-type (dont le PVC fait partie) ne résiste pas à une variation relative de 500%!!! Il est donc beaucoup plus aisé de comprendre sous le point de vue de la surface, pourquoi le ballon ne résiste pas à une augmentation du diamètre d'environ 300%.

Par ailleurs si nous appliquons de manière un peu abusive la loi de Hook au ballon (cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus), avec le module de Young du PVC qui est compris entre  (source Wikipédia):

  (69.71)

nous avons:

  (69.72)

Ce qui est conforme aux données des tables numériques qui donnent une valeur limite inférieure élastique de 50 [MPa] et une limite supérieure de 80 [MPa] pour le PVC (source Wikipédia). Il nous est alors possible de calculer la hauteur minimale et maximale théorique que le ballon peut atteindre.

Ainsi pour la hauteur minimale, nous écrivons d'abord:

  (69.73)

Ce qui correspond alors à un rayon final de:

  (69.74)

Ce qui correspond à un volume de:

  (69.75)

En appliquant Boyle-Mariotte:

  (69.76)

qui est une pression correspondante à une hauteur d'environ 18'000 [m] selon les mesures expérimentales (www.engineeringtoolbox.com) et c'est effectivement une hauteur à laquelle certains rares ballons en PVC éclatent.

Maintenant faisons de même avec la hauteur maximale:

  (69.77)

Ce qui correspond alors à un rayon final de:

  (69.78)

Ce qui correspond à un volume de:

  (69.79)

En appliquant Boyle-Mariotte:

  (69.80)

qui est une pression correspondant à une hauteur d'environ 24'000 [m] selon les mesures expérimentales et c'est effectivement une hauteur à laquelle les ballons en PVC les plus hauts éclatent.

CYCLOGENÈSE ET ANTICYCLOGENÈSE

L'essentiel de la masse atmosphérique est contenu dans les 20 premiers kilomètres d'altitude, si bien que la météorologie à grande échelle se déroule sur une mince coquille sphérique (assimilable à de la mécanique des fluides bidimensionnelle).

Le moteur de la circulation atmosphérique dans les tropiques est le réchauffement solaire. À cause de l'inclinaison de 23.5 degrés de l'axe de rotation de la Terre, le Soleil n'est jamais plus qu'à quelques dixièmes de degré du zénith à midi tout au long de l'année dans les tropiques, ce qui donne un maximum de réchauffement autour de l'équateur géographique.

Il faut donc distinguer la circulation au voisinage des tropiques, caractérisée par de forts mouvements verticaux, dus aux convections thermiques, et la circulation des latitudes moyennes, faites quasiment que de mouvements horizontaux:

Figure: 69.4 - Schéma simplifié de la circulation des vents sur Terre

Supposons un moment que nous arrêtions complètement le mouvement de l'air dans l'atmosphère relativement à la surface de la planète, et que nous le laissions ensuite recommencer à tourner d'Ouest en Est (de gauche à droite sur les images) partir du repos. La force du gradient de pression pousse l'air à se mouvoir des régions de haute pression vers les régions de basse pression (appel du vide). Ces mouvements de convections sont appelés des "cellules de Hadley".

Toutefois, dès que le mouvement s'amorce la force de Coriolis (due à la rotation de la Terre) dévie donc les vents Nord-Sud en direction de l'Ouest et les vents Sud-Nord vers l'Est pour un observateur se situant au pôle Nord. Nous observons dès lors la formation de cyclones tournants dans le sens contraire des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord et inversement dans l'hémisphère Sud (à cause de la direction du vecteur dans cette partie de l'hémisphère).

Plus la vitesse de l'air augmente, plus la force de Coriolis augmente de concert en accentuant la déviation. Éventuellement la force de Coriolis atteint une valeur égale et opposée à celle de la force du gradient de pression, produisant ainsi un écoulement d'une vitesse constante (sans accélération), parallèle aux isobares définissant ainsi la limite géométrique de la cellule de Hadley. C'est ce que nous appelons"l'équilibre géostrophique". En pratique, l'écoulement en dehors des tropiques est presque toujours en quasi-équilibre géostrophique.

En l'absence d'observations de vent, les météorologues peuvent estimer la force du vent en un point donné en mesurant sur une carte d'analyse météo le gradient de pression et la latitude. L'approximation géostrophique est purement diagnostique. Elle n'a pas de valeur prédictive, car son équation ne contient aucun terme de changement.

Dans les tropiques, où la force de Coriolis est de plus en plus faible jusqu'à être nulle à l'équateur, ce sont d'autres forces, comme la force centrifuge, qui viennent équilibrer la force de gradient de pression.

C'est ce que nous allons démontrer ici mathématiquement à l'aide de la mécanique des milieux continus (fluides) et la mécanique classique (voir chapitres correspondants).

Nous savons que dans notre système intervient donc les forces de pression (gradient), les forces centrifuges, les forces de pesanteur (gravité). Forces auxquelles il ne faut pas oublier d'ajouter la force (implicitement: l'accélération) de Coriolis interne au système (sous-entendu le cyclone) de pulsation  (cf. chapitre de Mécanique Classique):

  (69.81)

et la force (implicitement: l'accélération) de Coriolis par unité de masse de fluide (la raison de ce choix d'unité paraîtra évidente quelques paragraphes plus loin) relativement à la pulsation  de la Terre:

  (69.82)

Ainsi, comme nous le savons (cf. chapitre de Mécanique Classique), la force de Coriolis va tendre à dévier tout mouvement descendant vers la droite (Est) dans l'hémisphère Nord et tout mouvement montant vers la gauche (Ouest) dans l'hémisphère Sud (selon que l'on se place dans la direction du fluide en mouvement selon la figure précédente).

C'est ainsi que l'air à la base des cellules de Hadley, voyageant à basse altitude du tropique vers l'équateur sera dévié vers l'Ouest pour donner les Alizés de vents d'Est.

Nous avons par ailleurs démontré dans le chapitre de mécanique des milieux continus une forme particulière de l'équation d'Euler de 2ème forme qui était:

  (69.83)

Remaniée, cette relation s'écrit aussi:

  (69.84)

Or, nous avions aussi démontré que:

  (69.85)

Il vient dans le référentiel Terrestre:

  (69.86)

Il s'agit donc de l'équation définissant la pression à l'intérieur du fluide considéré comme isolé. À cette relation, il faut donc encore soustraire les forces de pression de Coriolis dues au référentiel géocentrique pour obtenir la dynamique du système "cyclone":

  (69.87)

Ce qui donne finalement:

  (69.88)

Soit sous forme condensée traditionnelle:

  (69.89)

Représentons maintenant la Terre dans une tranche Nord-Sud:

Figure: 69.5 - Tranche Nord-Sud de la Terre

Si nous agrandissons la repère lié au cyclone et y translatons le vecteur pulsation de la Terre, nous avons:

Figure: 69.6 - Repère lié au cyclone avec la pulsation plane

Soit:

  (69.90)

Nous avons donc:

  (69.91)

Comme nous étudions les mouvements (quasi) horizontaux dans l'atmosphère à cette latitude, nous pouvons considérer que les particules de fluide sont assujetties à demeurer dans le plan horizontal . Les composantes de la force de Coriolis pour un mouvement plan sont alors ():

  (69.92)

où f est appelé "paramètre de Coriolis". Donc la force de Coriolis en océanographie et en météorologie est traditionnellement notée:

  (69.93)

Le nombre f, positif dans l'hémisphère Nord, négatif dans l'hémisphère Sud, varie de 0 à 1.458 aux pôles alors que la force est de l'ordre du millième de Newton pour les masses de fluide (courants océaniques) et du même ordre de grandeur (car la vitesse compense la faible densité) pour les gaz (courants atmosphériques).

Nous appliquons maintenant l'approximation de l'équilibre géostrophique, c'est-à-dire que nous considérons que l'air est animé d'un mouvement rectiligne uniforme (vent géostrophique), en d'autres termes, nous négligeons l'action de la force centrifuge due à la rotation du tourbillon devant celle de la force de Coriolis due à la rotation de la Terre, ce qui revient à supposer que:

  (69.94)

avec R étant le rayon du tourbillon et  sa pulsation. Puisque (cf. chapitre de Mécanique Classique):

  (69.95)

cette dernière inégalité devient:

  (69.96)

où:

  (69.97)

est appelé le "nombre de Rossby" et n'a pas de dimensions.

Remarque: Pour les moyennes latitudes (), l'expérience et les mesures donnent  et . La valeur limite pour laquelle  est . Pour une échelle supérieure, comme c'est le cas pour les cyclones où , nous sommes donc proche de l'équilibre géostrophique. Pour une échelle inférieure, Coriolis est négligeable et le vent est accéléré des hautes vers les basses pressions.

Le nombre de Rossby représente donc le rapport entre les forces d'inerties et les forces dues à la rotation qui caractérisent le mouvement d'un fluide dans un repère tournant.

Ainsi, nous pouvons faire la différence entre un écoulement géophysique à fort nombre de Rossby ou à faible nombre de Rossby. Si le nombre de Rossby est très supérieur à l'unité, alors les forces de Coriolis dues par exemple à la rotation terrestre sont négligeables devant l'inertie de l'écoulement. Dans le cas contraire d'un nombre de Rossby très inférieur à l'unité, les forces de Coriolis dominent le mouvement du fluide.

Ainsi, si on se rapproche de l'équateur, f tendant vers 0 le nombre de Rossby devient très grand et aux pôles il devient respectivement très faible.

Dans le cadre de cette approximation, notre équation d'Euler peut alors s'écrire sous la forme:

  (69.98)

et puisque nous nous intéressons qu'au plan horizontal de l'atmosphère cela ce simplifie encore plus sous la forme:

  (69.99)

Soit totalement sous forme vectorielle développée et en reprenant la majuscule P pour la pression comme il est d'usage en météorologie:

  (69.100)

Il vient ainsi que:

  (69.101)

soit:

  (69.102)

Donc sous forme conventionnelle:

  (69.103)

La norme étant donnée par:

  (69.104)

Soit:

  (69.105)

relation qui est appelée "équation des vents (géostrophiques)".

Quatre scénarios sont à considérer:

1. Nous sommes dans l'hémisphère Nord et donc f est positif. Supposons que dP/dR soit positif, la pression augmente alors en s'éloignant du centre du tourbillon (qui lui est donc un minimum de basse pression). Dès lors v est positif et nous avons un tourbillon appelé "dépression" dans l'hémisphère Nord. Ainsi, le fluide (le vent) souffle autour de la dépression dans le sens antihoraire (vers l'Ouest) dans l'hémisphère Nord.

Définitions:

D1. Une "dépression" (ou "basse pression") est une zone où la pression atmosphérique diminue horizontalement vers un centre de basse pression, c'est-à-dire un minimum local de pression.

D2. Les systèmes atmosphériques intenses à circulation autour d'un centre fermé de basse pression (comme un aspirateur cela attire les nuages d'où le fait que les cyclones sont visibles sur des photos satellites) reçoivent systématiquement le terme plus général de "cyclone" ou de "cyclone tropical".

2. Nous sommes toujours dans l'hémisphère Nord et donc f est positif. Supposons que dP/dR soit cette fois négatif, la pression diminue alors en s'éloignant du centre du tourbillon (qui lui est donc un maximum de haute pression). Dès lors v est négatif et nous avons un tourbillon appelé "haute pression" dans l'hémisphère Nord. Ainsi, le fluide (le vent) souffle autour de la haute pression dans le sens horaire (vers l'Est) dans l'hémisphère Nord.

Définitions:

D1. Une "haute pression" est une zone où la pression atmosphérique augmente horizontalement vers un centre de haute pression, c'est-à-dire un maximum local de pression.

D2. Les systèmes atmosphériques intenses à circulation autour d'un centre fermé de haute pression (comme un ventilateur cela rejette et disperse les nuages d'où le fait que les anticyclones ne sont pas visibles de manière simple sur les photos satellites) reçoivent systématiquement le terme plus général de "anticyclone".

3. Nous sommes toujours dans l'hémisphère Sud et donc f est négatif. Supposons que dP/dR soit positif, la pression augmente alors en s'éloignant du centre du tourbillon. Dès lors v est négatif et nous avons un tourbillon appelé "haute pression" (ou "anticyclone") dans l'hémisphère Sud. Ainsi, le fluide (le vent) souffle autour de la haute pression mais dans le sens antihoraire (vers l'Ouest) dans l'hémisphère Sud.

4. Nous sommes toujours dans l'hémisphère Sud et donc f est négatif. Supposons que dP/dR soit négatif, la pression diminue alors en s'éloignant du centre du tourbillon. Dès lors v est positif et nous avons un tourbillon appelé "basse pression" (ou "cyclone") dans l'hémisphère Sud. Ainsi, le fluide (le vent) souffle autour de la basse pression dans le sens horaire (vers l'Est) dans l'hémisphère Sud.

Voici un exemple d'une image de dépression (anticyclone) et haute pression (cyclone) dans l'hémisphère Nord tel que le représentent les professionnels de la météorologie:

Figure: 69.7 - Basse pression et haute pression

Nous pouvons effectivement observer que la dépression (D) tourne dans le sens antihoraire et la haute pression (A) dans le sens horaire (et inversement dans l'hémisphère Sud).

MARÉES

Parmi les phénomènes de la nature, la marée est l'un des plus majestueux par son ampleur et par sa puissance, l'un des plus surprenants par sa régularité et par la discrétion de ses causes. On comprend sans peine non seulement qu'il se soit imposé à l'attention des navigateurs mais encore qu'il ait, depuis la plus lointaine antiquité, suscité les recherches des savants les plus émérites.

Pour aborder le sujet des marées de manière simple, nous pouvons partir d'un constat logique: Si l'attraction lunaire était identique en chaque point de la Terre, il n'y aurait pas de marées. Il faut donc aborder l'étude des marées sur les différences de forces. L'influence de la Lune sur la marée est appelée "composante diurne".

PREMIÈRE APPROCHE

Considérons pour l'étude naïve du phénomène une masse d'eau m à l'équateur et aux pôles. Nous allons calculer la force d'attraction sur cette masse par rapport au centre de la Terre et en prenant en compte l'influence de la Lune de masse .

Figure: 69.8 - Configuration Terre-Lune pour l'étude des marées

Commençons par calculer la force  à l'équateur au point le plus proche de la Lune relativement à la figure ci-dessus.

Nous avons alors:

  (69.106)

en considérant que  et en notant la "force de marée statique":

  (69.107)

Une application numérique pour une masse m de 1 [Kg] donne:

  (69.108)

Sous forme vectorielle nous avons bien évidemment:

  (69.109)

Comme la distance Terre-Lune atteint environ 60 rayons terrestres, l'intensité de l'accélération varie à peu près linéairement (...) le long de la portion terrestre d'une droite passant par le centre de la Lune. C'est notamment le cas pour le segment qui relie les deux points antipodaux A et C de la figure ci-dessus. Nous pouvons donc écrire, O désignant le centre de la Terre:

  (69.110)

Nous devons maintenant séparer les deux contributions de la Lune.

- La force  qui s'applique sur le centre de masse G  est donc uniforme à la planète par construction. C'est cette force qui est responsable de la révolution de notre planète autour du centre de masse commun aux deux astres.

- Le terme résiduel  se superpose et prend des valeurs opposées aux antipodes. Elle est responsable des marées (en première approximation dans ce modèle simpliste).

Ainsi, la force due à la Lune est de signe opposé sur l'horizontale. Nous avons alors deux marées (lunaires) par jour à des lieux antipodaux:

- Celle de la Lune qui attire (de ce côté-ci de la Terre)

- Celle de la Lune qui repousse (du côté opposé de la Terre)

Soit sous forme schématique (sans aucun respect des proportions réelles):

Figure: 69.9 - Lieux antipodaux des marées

Si l'on considérait la surface de la Terre comme parfaitement sphérique et recouverte d'eau, elle prendrait alors la forme d'une ellipsoïde dont l'axe serait dirigé vers l'astre générant la marée. Nous observerions alors des marées dont les pleines et basses mers auraient lieu deux fois par jour et toujours à la même heure. Nous appelons cette situation la "marée statique" et le modèle correspondant "modèle statique des marées".

Il convient de préciser que le jeu subtil entre la rotation de la Terre et la Lune produit des frottements gigantesques au niveau des masses d'eau qui ont pour effet de ralentir la vitesse de rotation de la Terre d'environ 1 seconde tous les mille ans.

DEUXIÈME APPROCHE

Pour la deuxième approche, qui vaut la peine d'être vue pour la culture générale et aussi parce qu'elle présente un autre aspect intéressant de l'explication de l'attraction entre deux astres, considérons le schéma suivant:

Figure: 69.10 - Approche schématique de l'approche

Nous avons démontré dans le chapitre de Trigonométrie le théorème du cosinus (formule d'Al-Kashi) qui nous donne:

  (69.111)

d'où le potentiel gravitationnel (cf. chapitre d'Astronomie):

  (69.112)

Mais:

  (69.113)

et le potentiel gravitationnel est de la forme:

  (69.114)

que nous pouvons développer en série de Maclaurin (cf. chapitre Suites Et Séries) jusqu'à l'ordre 2:

  (69.115)

Le potentiel gravitationnel devient alors:

  (69.116)

Si nous ne gardons que les termes de puissance 1 et 2 en r/a, il reste:

  (69.117)

Le premier terme du potentiel est :

  (69.118)

C'est le potentiel pour , c'est-à-dire le potentiel crée par la Lune au centre de la Terre.
Ce terme ne contient aucune variable, il est constant et donc son gradient est nul, il ne donne lieu à aucune force puisque:

  (69.119)

Le deuxième terme:

  (69.120)

contient les deux variables r et . Son gradient ne sera pas nul. Il va générer une force de gravitation que nous allons calculer, mais en utilisant une astuce.

Puisque:

  (69.121)

Il vient:

  (69.122)

Dès lors, le gradient en coordonnées cartésiennes se réduit pour la masse dm se situant au point A à:

  (69.123)

Donc tous les éléments de la Terre subissent de la part de la Lune des forces parallèles (selon l'axe X seulement) dirigées vers la Lune. La masse totale de la Terre est la somme de toutes ces masses et la force totale que subit la Terre de la part de la Lune est la somme des forces élémentaires. Donc:

  (69.124)

et donc la force totale est seulement selon l'axe X et est donnée par:

  (69.125)

Cette force est la même que si toute la masse de la Terre était concentrée au centre T

et si toute la masse de la Lune était concentrée au centre L. La Lune subit de la part de la Terre la même force de sens contraire, c'est le principe des actions mutuelles. C'est cette dernière qui oblige la Lune à tourner autour de la Terre.

Le troisième terme est celui responsable des marées:

  (69.126)

La force dérivant du gradient en coordonnées polaires étant donnée par:

  (69.127)

Donc, la composante radiale de la force est:

  (69.128)

la composante orthoradiale:

  (69.129)

Donc:

  (69.130)

Pour une masse m d'eau, la force de marée est:

  (69.131)

Pour , la composante orthoradiale  s'annule. Nous avons alors pour ces trois angles:

  (69.132)

Pour  la force est uniquement radiale:

  (69.133)

Le signe de cette force est positif et il est dirigé vers la Lune. Pour  la force est aussi uniquement radiale et on retombe sur la même expression:

  (69.134)

Donc, l'amplitude est la même pour l'angle .

Par contre, si le lecteur se rappelle que pour revenir en composantes cartésiennes  nous avons:

  (69.135)

Nous voyons alors que pour , la force est orientée dans le sens positif de l'axe X  puisque x sera positif (mais nulle selon Y). Il y a donc une marée dans la direction de la Lune (intuitif)

Nous voyons aussi que pour , la force est orientée dans le sens négatif de l'axe X puisque x sera négatif (mais nulle selon Y). Il y a donc une marée dans la direction opposée à la Lune (contre intuitif).

Pour , la composante x est nulle et la composante radiale sera:

  (69.136)

et elle est dirigée vers le centre de la Terre puisque:

  (69.137)

Nous voyons alors que pour   la force est orientée dans le sens positif de l'axe Y  puisque y sera positif (mais nulle selon X). Nous voyons aussi que pour , la force est orientée dans le sens négatif de l'axe Y puisque y sera négatif (mais nulle selon x).

En réalité, les marées sont beaucoup plus complexes que le modèle ci-dessus (excentricité de l'orbite lunaire, superposition de la marée diurne, orbite lunaire, alignement Lune-Soleil, inclinaison du plan de l'orbite de la Lune, équinoxes, etc.). Voici une superbe animation de l'élévation de la surface des océans en mètre, sur 1 cycle de marée, calculée à partir d'un modèle plus élaboré:

Figure: 69.11 - Complexité réelle des marées sur Terre (source: Wikipédia)

Outre la marée diurne due à l'attraction de la Lune, il faut compter en plus sur une marée due à la force centrifuge du mouvement de la Terre et de la Lune autour de leur centre de masse (mais cela dépend des latitudes, du relief et de plein d'autres paramètres objectivement car sur certains endroits de la planète il n'y a qu'une seule marée par jour). Effectivement, la Terre et la Lune tournent autour du centre de masse qui définit l'orbite de couple Terre-Lune (les échelles ne sont pas respectées):

Figure: 69.12 - Principe des marées superposées aux marées diurne

et nous ferons l'impasse sur les marées d'équinoxes et autres... jusqu'à ce jour...

ÉQUATION DE LORENZ

La "convection libre" ou "convection naturelle" est le régime d'écoulement obtenu lorsque nous chauffons un fluide sans qu'il n'y ait d'écoulement extérieur imposé. C'est le cas des mouvements de convections de l'atmosphère (gaz chauds dans gaz froids), des mouvements de convections de la roche en fusion responsable de la tectonique des plaques, des mouvements de l'eau chaude sous pression dans les geysers et de bien d'autres phénomènes...

Ces écoulements sont inexplicables si nous ne couplons pas les équations de la dynamique et de la thermodynamique!

Nous allons dans ce contexte établir le fameux système des équations de Lorenz au prix cependant de nombreuses approximations et hypothèses afin de simplifier au maximum les calculs et les outils mathématiques utilisés (car à l'époque du développement du modèle les ordinateurs n'étaient pas ce qu'ils sont aujourd'hui).

Nous montrerons ainsi dans le cadre de la convection (une des dynamiques importante de notre atmosphère) que les équations qui déterminent certains paramètres du mouvement sont très sensibles aux conditions initiales ce qui a pour but de montrer la difficulté de la prévision à plus ou moins long terme avec des modèles théoriques déterministes (raison pour laquelle en météorologie il est fait usage de nos jours de la méthode des éléments finis).

A priori, la densité  est fonction de la température et de la pression par la loi d'état des gaz parfaits (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus). Il est donc naturel de penser que si nous chauffons une paroi, la température du fluide environnant augmente par diffusion. La stratification de pression s'en trouve changée, le gradient de pression crée le mouvement.

Dans tous les chapitres du site, nous avons jusqu'à présent négligé toute variation de . Mais le découplage n'est plus valable ici puisque c'est le chauffage qui provoque le mouvement. Nous allons donc permettre une variation de la densité avec le chauffage en supposant cependant que cette perturbation est petite. Il faut donc réintroduire une variation de  autour d'une position d'équilibre: le repos. En revanche la viscosité sera supposée constante.

Soit donc un fluide au repos et à la température  au loin, il est en présence d'une paroi chauffée à la température. Pour obtenir la dépendance de , rappelons les coefficients thermo-élastiques classiques (cf. chapitre de Thermodynamique):

- Coefficient de compressibilité (ou de dilatation suivant l'écriture en termes de densité) isobare:

  (69.138)

- Coefficient de compressibilité isotherme:

  (69.139)

En admettant maintenant que la densité est principalement reliée à la température (pour faire simple) nous pouvons écrire (cette hypothèse marche bien pour les fluides mais pas trop... pour les gaz!!):

  (69.140)

En utilisant la forme générale du développement de Taylor (cf. chapitre de Suites et Séries):

  (69.141)

Nous avons alors c'est une approche à la façon ingénieur...:

  (69.142)

Soit:

  (69.143)

où  est donc un coefficient sans dimensions (comme ...) plus facilement mesurable expérimentalement.

L'équation de continuité (cf. chapitre de Thermodynamique) ou de bilan de masse:

  (69.144)

devient alors:

  (69.145)

au premier ordre en . De plus, nous avons montré dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus que si le fluide est incompressible:

  (69.146)

Retenons qu'en première approximation le fluide est incompressible. Il ne reste alors que:

  (69.147)

Comme nous souhaitons étudier un écoulement en présence de gravité, il serait judicieux de poser:

  (69.148)

et donc de ne s'intéresser qu'aux variations autour de la position d'équilibre hydrostatique ( est sans dimensions!). Nous avons démontré toujours dans le même chapitre de Mécanique des Milieux continus que dans le cas du fluide incompressible avec viscosité, l'équation d'Euler de 1^ère forme (équation du mouvement):

  (69.149)

Intéressons-nous dans un premier temps aux deux termes:

  (69.150)

qui s'écrivent selon l'axe Z:

  (69.151)

Lorsqu'il y a mouvement, la projection suivant Z fait donc apparaître:

  (69.152)

que nous récrivons alors:

  (69.153)

Soit:

  (69.154)

puisque:

  (69.155)

Il vient:

  (69.156)

Il reste donc une force de flottabilité dirigée vers le haut.

La variation de la densité en fonction de la température dans le produit  de la relation:

  (69.157)

sera négligée  car nous nous restreindrons au cas où la vitesse est petite. Nous avons alors en réintroduisant la viscosité...:

  (69.158)

et nous avons la dérivée particulaire (cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus):

  (69.159)

soit aussi une autre relation utile:

  (69.160)

Nous avons alors comme expression de la densité de force:

  (69.161)

Pour continuer, nous allons chercher à déterminer la loi d'énergie de l'équation de comportement démontrée dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus:

  (69.162)

pour qu'elle rende également compte de la relation entre les contraintes et les caractéristiques thermodynamiques du fluide, comme le flux de chaleur et la température. Nous allons le faire en caractérisant la diffusion de l'énergie dans le milieu due aux effets (supposés découplés) de la viscosité du fluide et de la conduction thermique du fluide.

Nous réécrivons cette relation avec de nouvelles constantes et une autre notation pour la divergence:

  (69.163)

où  sont dans ce contexte appelés les "coefficients de Lamé".

Nous avons aussi démontré dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus la relation:

  (69.164)

Soit:

  (69.165)

Ce qui donne:

  (69.166)

Notons l'énergie totale comme:

  (69.167)

où e est l'énergie interne massique du fluide (rapportée donc à une unité de masse de fluide). Or la variation instantanée d'énergie interne du fluide est égale à l'apport d'une puissance mécanique et de l'apport de chaleur (selon ce qui a été vu dans le chapitre de Thermodynamique):

  (69.168)

où P donne la puissance des efforts extérieurs au système donnée forcément par la force du champ de potentiel environnant et des forces mécaniques données par le tenseur des contraintes uniquement (nous sommes toujours dans la situation d'un fluide parfait...). Soit:

  (69.169)

et en utilisant le théorème d'Ostrogradsky (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

  (69.170)

ce qui a bien les unités d'une puissance et nous avons bien:

  (69.171)

Pour la puissance chaleur  c'est très facile aussi grâce aux développements que nous avions fait dans le chapitre de Thermodynamique où nous avons obtenu l'équation de la chaleur:

  (69.172)

Soit:

  (69.173)

Nous avons finalement:

  (69.174)

Donc tout cela nous donne alors l'équation de l'énergie d'un fluide:

  (69.175)

Soit:

  (69.176)

et comme (cf. chapitre de Thermodynamique) le flux de chaleur suit la loi de Fourier:

  (69.177)

Nous avons alors:

  (69.178)

Soit en utilisant la définition du laplacien d'un champ scalaire:

  [1]
  (69.179)

Maintenant, en faisant le produit scalaire de:

  (69.180)

avec la vitesse  nous obtenons le bilan de l'énergie cinétique:

 [2]
  (69.181)

En soustrayant [2] de [1], nous obtenons une relation locale de l'énergie interne spécifique e:

  (69.182)

Or, nous avons aussi (dérivation d'un produit):

  (69.183)

Soit:

  (69.184)

Effectivement:

  (69.185)

Nous avons donc:

  (69.186)

et comme le tenseur  est symétrique:

  (69.187)

Nous avons donc:

  (69.188)

Ce qui est parfois noté:

  (69.189)

où  est appelé "tenseur des taux de déformation" et  représente le produit doublement contracté du tenseur des contraintes et du tenseur des taux de déformation.

Nous avons montré dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus:

  (69.190)

où:

  (69.191)

Ainsi, il est simple de différencier forces normales et forces tangentielles. Bref pour en revenir à l'équation de l'énergie:

  (69.192)

Nous avons donc:

  (69.193)

Mais dans notre cas:

  (69.194)

Soit:

  (69.195)

Mais nous avons:

  (69.196)

Nous avons donc:

  (69.197)

Soit sous forme technique et condensée:

  (69.198)

Il est clair qu'au niveau de l'entropie, nous avons:

  (69.199)

Nous avons aussi:

  (69.200)

Soit réduit au rapport massique:

  (69.201)

La variation temporelle donnant:

  (69.202)

Or, nous avons l'équation de continuité (cf. chapitre de Thermodynamique):

  (69.203)

Ce qui nous donne finalement:

  (69.204)

ou autrement écrit:

  (69.205)

Injectée dans:

  (69.206)

Cela donne:

  (69.207)

Si nous considérons le gradient de vitesse comme étant très faible (quasi-statique) nous pouvons alors écrire l'approximation:

  (69.208)

Maintenant donnons l'expression de l'entropie (différentielle totale exacte) en fonction des paramètres de température et de pression seuls:

  (69.209)

soit sous forme massique:

  (69.210)

Or nous avons démontré dans le chapitre de Thermodynamique la relation suivante:

  (69.211)

soit sous forme massique:

  (69.212)

Ce qui nous donne:

  (69.213)

Or, nous avons démontré avec dans le chapitre de Thermodynamique une des relations de Maxwell:

  (69.214)

soit sous forme massique:

  (69.215)

d'où:

  (69.216)

Soit:

  (69.217)

Soit notre relation:

  (69.218)

peut alors s'écrire:

  (69.219)

Si nous admettons que la variation de la densité avec la température est faible, nous avons alors à l'échelle atmosphérique :

  (69.220)

et en se rappelant que:

  (69.221)

Il vient finalement:

  (69.222)

Nous avons maintenant deux équations importantes:

  (69.223)

Soit: 

  (69.224)

Examinons maintenant rapidement le problème de Rayleigh-Bénard qui consiste en deux plaques limitant un fluide une étant plus chauffée que l'autre.

Nous pouvons alors observer des rouleaux longitudinaux parallèles dans un film de fluide visqueux (huile de silicone) maintenus entre deux plaques à une température chaude en bas et froide en haut. Voici une photo de ces rouleaux vus de côtés:

Figure: 69.13 - Rouleaux de convection de Rayleigh-Bénard (instabilité)

vue de dessus:

Figure: 69.14 - Instabilités de Rayleigh-Bénard vues du dessus

Il s'agit d'un problème de convection naturelle: le fluide chauffé en bas se dilate et remonte entraînée par la force d'Archimède, arrivé en haut il se refroidit et retombe. C'est ce mouvement qu'il faut expliquer qui est similaire à celui de l'atmosphère terrestre

Nous remarquons également que les mouvements de convection se font approximativement selon un tore (voir la photo vue de côté). Nous pouvons tirer parti de cette symétrie pour simplifier l'analyse.

Considérons donc une boucle verticale de fluide circulant à vitesse constante (donc sans trop de turbulences...):

Figure: 69.15 - Boucle verticale de fluide avec gradient

La configuration sera imposée comme étant la suivante:

Figure: 69.16 - Configuration imposée pour le modèle théorique

où  est la température moyenne du fluide (attention: ne pas oublier que ce n'est pas une grandeur extensive!) et où nous avons indiqué respectivement les températures à l'intérieur du tore et à l'extérieur (soit de l'environnement) qui peuvent toutes varier en fonction du temps.

Nous voyons que la différence de température est de  entre le haut et le bas et de  entre la droite et la gauche.

Nous posons que la température varie linéairement avec la hauteur (ce qui bien évidemment est faux dans un modèle atmosphérique...):

  (69.225)

Nous remarquons qu'il possible de paramétrer la température le long de l'intérieur du tore avec la relation suivante (équation paramétrique du cercle):

  (69.226)

Nous avons alors conformément au schéma:

  (69.227)

Ceci étant posé, revenons à:

  (69.228)

Nous allons passer ce système en coordonnées polaire correspondant le mieux à la géométrie de notre problème. Rappelons d'abord que dans terme:

  (69.229)

l'opérateur différentiel  est la divergence. Or, nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel que celui-ci s'écrivait alors en coordonnées polaires:

  (69.230)

Or, si nous nous basons sur l'hypothèse que dans le volume du tore, la vitesse ne varie ni en fonction de l'angle, ni à l'intérieur du tore (donc ne varie pas selon le rayon r) alors en coordonnées polaires:

  (69.231)

Nous avons alors:

  (69.232)

Nous allons réduire l'analyse à une seule dimension qui sera celle comme quoi le phénomène ne dépend que de l'angle. Nous avons alors en coordonnées polaires et en explicitant tous les termes:

  (69.233)

où nous avons fait par la même occasion la projection selon l'axe z tel que:

  (69.234)

Le coefficient différentiel du dernier terme va nous embêter. Nous le remplaçons par un coefficient que nous supposerons constant et qui s'oppose au mouvement tel que nous ayons:

  (69.235)

Ou plus explicitement:

  (69.236)

Nous intégrons maintenant l'ensemble sur l'entier de la boucle en fonction de . Nous avons alors:

  (69.237)

Nous avons alors le terme pression qui disparaît, car il n'y a pas de gradient de pression au long de la boucle. Ainsi:

  (69.238)

Nous avons ensuite (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (69.239)

et:

  (69.240)

Il nous reste donc:

  (69.241)

Soit:

  (69.242)

Nous voyons dans cette équation que le mouvement est piloté par la différence de température horizontale .

Maintenant, revenons sur:

  (69.243)

Si nous négligeons les forces tangentielles à l'intérieur de fluide, nous avons alors:

  (69.244)

où D est le coefficient de diffusion thermique (cf. chapitre de Thermodynamique).

En coordonnées polaires cela se réduit à:

  (69.245)

et nous allons aussi faire une autre approximation:

  (69.246)

Et nous avons les deux relations:

  (69.247)

En soustrayant:

  (69.248)

Soit:

  (69.249)

et encore:

  (69.250)

Soit:

  (69.251)

Après dérivation:

  (69.252)

Nous regroupons les termes:

  (69.253)

Nous avons alors les trois équations différentielles suivantes qui gouvernent la dynamique du système:

  (69.254)

Nous terminons les multiples simplifications en posant...:

Ce qui nous donne:

  (69.255)

En remettant cela au propre:

  (69.256)

Maintenant, introduisons les variables sans dimensions suivantes:

  (69.257)

où nous pouvons assimiler:

- X à la vitesse adimensionnelle

- Y à la différence adimensionnelle de température entre courants ascendants et descendants

- Z à la déviation adimensionnelle de l'équilibre de convection.

Nous avons alors effectivement:

  (69.258)

Soit:

  (69.259)

De manière encore plus condensée et traditionnelle:

  (69.260)

où nous avons:

  (69.261)

ce qui correspond au "nombre de Prandtl" et:

  (69.262)

ce qui est assimilé au "nombre de Rayleigh".

Ce système de trois équations est essentiellement le même que celui du célèbre système de Lorenz. À une différence près, le système de Lorenz (réel) contient un facteur b dans la dernière équation (ce qui change peu de toute façon le résultat puisque l'on obtient quand même un attracteur étrange au bout du compte comme nous allons de suite le voir):

  (69.263)

Pr, Re et b sont strictement positifs, et on pose souvent  où le nombre de Prandtl correspond à la valeur de l'eau.

Les équations de Lorenz décrivent les phénomènes de convection d'un fluide idéal à deux dimensions, dans un réservoir chauffé par le bas.

Nous voyons par cette démonstration que contrairement aux dires non démontrés sur Internet que:

1. Le système n'est de loin pas simple mathématiquement et est très approximatif

2. Qu'il existe des systèmes vraiment plus simples et eux aussi chaotiques (cf. chapitre de Dynamique des Populations).

L'intérêt des équations de Lorenz réside cependant dans la sensibilité aux conditions initiales et à la convergence des variables adimensionnelles.

Voyons un exemple avec Maple 4.00b:

>with(DEtools):
>lorenz:=diff(x(t),t) = 10*(y(t)-x(t)),diff(y(t),t) = 28*x(t)-y(t)-x(t)*z(t),diff(z(t),t) = x(t)*y(t)-8/3*z(t);
>DEplot3d({lorenz}, [x(t),y(t),z(t)], t=0..100, stepsize=0.01, [[x(0)=10, y(0)=10, z(0)=10]], orientation=[-35,75], linecolor = t, thickness = 1);

Ce qui donne pour les 100 premières unités de temps adimensionnel:

Figure: 69.17 - Espace des phases du système des équations de Lorenz

Ou pour les dix premières unités de temps adimensionnel:

Figure: 69.18 - Espace des phases du système des équations de Lorenz

Bon jusque-là on s'en rend compte que les paramètres adimensionnels tournent autour de deux points que nous appelons les "attracteurs étranges".

Définition: Dans l'étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble-limite) est un ensemble, une courbe ou un espace vers lequel un système évolue de façon irréversible en l'absence de perturbations.

Maintenant toujours pour les mêmes valeurs du temps adimensionnel, nous prenons , soit un changement relativement faible des conditions initiales. Nous avons alors:

Figure: 69.19 - Petite variation dans les conditions initiales

Nous remarquons donc que le phénomène n'est plus vraiment semblable.

Considérons par exemple la variable x en prenant comme condition initiale   puis  soit une légère variation de 0.01 sur la valeur de .

Soit dans Maple 4.00b:

>DEplot({lorenz}, [x(t), y(t), z(t)], t=0..15, stepsize = 0.01, [[x(0)=10, y(0)=10, z(0)=10],[x(0)=10, y(0)=10.01, z(0)=10]], scene = [t,x], linecolor = [blue,green], thickness = 1);

Figure: 69.20 - Analyse de la variable adimensionnée x pour une faible variation des C.I.

Nous voyons que le système se décale assez rapidement du modèle initial alors qu'au début il reste identique mais la forme globale reste.

Autre chose... suivant les paramètres le système peut converger. Effectivement, en changeant le facteur 28 par la valeur 22 nous avons par exemple (convergence à gauche):

Figure: 69.21 - Convergence du système

ou avec la valeur 19 le résultat est encore plus trivial:

Figure: 69.22 - Convergence directe

ou encore avec une valeur proche de 1:

Figure: 69.23 - Encore plus rapide

On remarque un dernier cas intéressant, c'est que si le nombre de Prandtl vaut 1 alors le système est stable:

Figure: 69.24 - Stabilité du système

Cette sensibilité aux conditions initiales, ainsi que la forme de l'attracteur étrange de Lorenz a amené les météorologues à faire une métaphore avec la phrase suivante: le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas? (en taisant la dissipation de l'erreur dû aux échelles considérées...).

D'où la dénomination par la suite de "effet Papillon" pour l'étude de l'attracteur de Lorenz appelé aussi dans le domaine le "papillon de Lorenz".

VAGUES

Quand on se retrouve sur un bateau, le mouvement de l'eau rend beaucoup de personnes malades. C'est aussi le cas quand on se trouve dans la galère de calculer ce type de mouvement... En effet, les vagues dans l'eau ne sont ni des ondes transversales, ni des ondes longitudinales. Elles sont un peu des deux. Les particules d'eau décrivent des cercles ou des ellipses, dans un plan vertical parallèle au déplacement de la vague. Le gros problème est qu'une des conditions limites se trouve à la surface de l'eau et que l'on ne sait pas où se trouve cette surface. C'est précisément une des inconnues.

Le problème est assez ardu pour que ce calcul ne figure pas dans les ouvrages de physique générale ou spécialisés francophones. Nous avons alors tenté de l'inclure ici en simplifiant énormément et en ne gardant que les cas les plus simples. Le calcul qui suit peut être pris comme exemple de la façon comme les physiciens se simplifient la vie en faisant des approximations et aussi comme exemple magistral d'un phénomène banal mais complexe à modéliser.

Nous ne calculerons pas l'équation d'onde. Nous devons calculer le mouvement des particules depuis la surface jusqu'au fond de l'eau, puisque le mouvement s'étend jusqu'au fond. Mais comme les particules décrivent des ellipses, il faut au moins deux variables par point: il nous faut un champ vectoriel. Nous calculerons donc le champ vectoriel des vitesses des particules, mais nous ne le calculerons pas directement. Ce que nous allons trouver, c'est un potentiel scalaire de vitesses dont le gradient sera le champ vectoriel de vitesses.

Un dernier mot sur les ondes que nous allons calculer. Ces ondes s'appellent "ondes de gravité", parce que c'est le poids de l'eau qui sert de force de restitution pour faire descendre les sommets et remonter les creux.

Je tiens à remercier Monsieur Louis Peralta pour sa maîtrise mathématique et sa pédagogie sans qui ces développements passionnants n'auraient jamais pu être présentés sur le site web. Je lui suis redevable, avec son accord, d'un copier/coller de 99% de son support de cours.

Nous allons faire des calculs dans le cas le plus simple: des ondes dans un canal rectiligne de section rectangulaire et de largeur et profondeur constante. Ceci réduit les dimensions du problème à deux (puisque la troisième à un profil identique de vague quel que soit l'endroit où l'on se positionne en largeur): la profondeur et la direction d'avance des vagues. Bien entendu, nous négligerons la friction sur le fond ou les parois du canal et... bien d'autres choses.

Le système de coordonnées choisi est alors:

- x horizontal, positif dans le sens d'avancement des vagues (sens de la longueur du canal)

- y horizontal dans le sens perpendiculaire à l'avancement des vagues (sens de la largeur du canal). Encore une fois, aucune variable ne dépendra de y pour les raisons déjà susmentionnées

- z vertical et positif vers le haut. Le zéro étant choisi à la surface de l'eau non perturbée. Sous l'eau, z sera donc négatif. La profondeur du canal étant h, le fond de l'eau se trouvera alors à

Maintenant, rappelons que nous avons démontré après de très longs développements dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus, que si le fluide est incompressible (divergence du champ vectoriel des vitesses est donc nul ) et que la viscosité dynamique l'est aussi, nous avons alors l'équation d'Euler de 1^ère forme:

  (69.264)

car U est pour rappel le potentiel scalaire du champ gravitationnel.

Ce que nous écrirons explicitement sous la forme suivante dans le cas de notre étude des vagues:

  (69.265)

Avant de continuer, nous allons changer la forme du terme  qui est une dérivée totale et non partielle. Examinons une des deux composantes (x ou z) de ce terme. Prenons la composante x du vecteur vitesse et utilisons ce que nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral (nous avons omis la composante y puisque le système n'en dépend pas):

  (69.266)

Nous avons dans notre situation:

  (69.267)

Il vient alors:

  (69.268)

Le premier terme  est un terme linéaire, par contre les trois autres sont des termes quadratiques (car ils comportent le produit d'une vitesse par la dérivée d'une vitesse) qui sont une infection dans tous les calculs formels. Nous allons donc limiter nos calculs aux cas où ces termes quadratiques sont négligeables devant les termes linéaires (ce qui signifie implicitement la vitesse doit varier très peu sinon quoi cette hypothèse n'est plus valable). Avec cette restriction, nous avons alors:

  (69.269)

Nous pouvons alors écrire:

  (69.270)

Nous allons rajouter une restriction supplémentaire à nos calculs. Cette restriction consiste à imposer que le rotationnel de la vitesse est nul:

  (69.271)

Cela revient à dire, comme nous l'avons vu dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus, qu'il n'y a pas de tourbillons dans l'eau. Nous avions déjà imposé que la vitesse était nulle dans le sens des y, ce qui empêche les tourbillons verticaux (axe de rotation vertical). Maintenant nous éliminons la possibilité de tourbillons avec l'axe de rotation horizontal. Ce n'est pas, en fait, une trop grande restriction, nous savons qu'un objet abandonné aux vagues ne tourne pas sur lui-même à moins d'être pris dans des rouleaux. Dans les cas que nous allons calculer, les amplitudes sont limitées, nous sommes dans le cas linéaire et, surtout, pas dans celui des rouleaux.

Nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel que lorsque le rotationnel d'une variable vectorielle est nul, la variable peut être exprimée comme le gradient d'un potentiel scalaire:

  (69.272)

Il vient alors que nous pouvons écrire:

  (69.273)

Nous avons alors:

  (69.274)

Ce qui peut s'écrire:

  (69.275)

Cette équation tient lieu d'équation d'onde, même si elle ne décrit pas directement la position ou la vitesse des particules. Une fois résolue l'équation et la fonction  trouvée, nous pourrons déduire les vitesses:

  (69.276)

Il ne faudra pas oublier que puisque la divergence du champ vectoriel des vitesses est nul:

  (69.277)

donc le laplacien scalaire de  est nul:

  (69.278)

Soit:

  (69.279)

avec .

La solution doit satisfaire des conditions limites. La plus évidente est que la vitesse verticale doit être nulle au fond de l'eau.

  (69.280)

Pour trouver les conditions limites à la surface, nous allons définir la variable  qui est égale au déplacement vertical d'une particule d'eau située à la surface de l'eau dont la position d'équilibre (en absence de vagues) est x (à ne pas confondre avec l'autre x!). La hauteur de la surface de l'eau, mesurée par référence au niveau de l'eau sans vague, sera donnée donc par . Ainsi, la vitesse verticale  à la surface de l'eau sera:

  (69.281)

C'est une astuce très subtile et pas évidente du tout à anticiper!

À la surface, nous pouvons considérer que la pression p est toujours égale à la pression atmosphérique pour toutes les positions en x et en . Dès lors, à priori rien ne changera si la pression atmosphérique change, et il est plus commode de la considérer nulle. Avec ceci, l'équation:

  (69.282)

Devient:

  (69.283)

Dont nous déduisons:

  (69.284)

Si nous nous plaçons à la surface, ce qui correspond à , la relation précédente devient:

  (69.285)

et en dérivant cette dernière relation par rapport au temps, nous obtenons:

  (69.286)

puis en utilisant la relation démontrée juste plus haut:

  (69.287)

Il vient:

  (69.288)

Résumons les conditions que le potentiel scalaire  doit satisfaire:

  (69.289)

Nous allons chercher seulement des solutions du type séparable (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). C'est-à-dire que , qui est une fonction de x, z et t pourra s'écrire comme le produit de trois fonctions qui dépendent, chacune, d'une seule variable. De plus, nous travaillerons seulement en régime sinusoïdal (une intuition... de l'observation du réel) et en utilisant le formalisme des phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire). Dès lors, nous avons:

  (69.290)

Comme d'habitude, nous retiendrons seulement la partie réelle des phaseurs des solutions à la fin. Calculons les deuxièmes dérivées partielles par rapport à x et z:

  (69.291)

L'équation suivante:

  (69.292)

nous dit que sous la surface, ces deux expressions sont égales au signe près:

  (69.293)

d'où nous déduisons:

  (69.294)

 ne peut être qu'une constante, car les deux côtés de l'expression dépendent de variables indépendantes (ce qui est très astucieux comme observation!). Cette constante peut prendre, en principe, n'importe quelle valeur réelle ou complexe.

Ce qui nous donne le système de deux équations différentielles indépendantes du deuxième ordre:

  (69.295)

Il s'agit donc d'un système d'équations différentielles linéaire d'ordre 2 indépendantes, quasiment identique à celui résolu dans le chapitre de Thermodynamique lorsque nous avons étudié l'équation de la chaleur.

Ceci étant dit, nous ne connaissons pas le signe de la constante . Ce que nous savons d'après ce que nous avons étudié dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral c'est que si b est positif alors la solution de l'équation différentielle en z:

  (69.296)

aura des solutions harmoniques. Ce qui serait très surprenant... et contre intuitif avec ce que nous observons dans la réalité. Donc nous allons imposer  négatif et dès lors nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que nous aurons en adoptant à peu près les mêmes écritures:

  (69.297)

où nous avons le discriminant de la deuxième équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) qui vaut:

  (69.298)

Donc en d'autres termes:

  (69.299)

Il vient alors:

  (69.300)

et le discriminant de la première équation différentielle sera purement complexe:

  (69.301)

et donc peut s'écrire:

  (69.302)

Notre système se simplifie alors encore plus:

  (69.303)

Si nous considérons l'avance (déphasage) nulle nous avons:

  (69.304)

Puisque:

  (69.305)

Nous avons:

  (69.306)

Donc dans la deuxième parenthèse, nous avons simplement deux vagues qui vont dans des sens opposés. Gardons-en qu'une des deux pour simplifier l'analyse (peu importe laquelle!):

  (69.307)

Pour déterminer les constantes, nous allons utiliser la condition limite donnée plus haut:

  (69.308)

ce qui nous donne dans le cas présent:

  (69.309)

Alors évidemment nous n'allons pas simplifier totalement de manière à avoir K étant nul sinon cela ne correspondrait pas avec la réalité. Par contre, nous allons simplifier de la manière suivante:

  (69.310)

ce qui impose dans le cas non trivial que:

  (69.311)

Nous pouvons donc choisir ce que nous voulons, mais si nous souhaitons nous simplifier la vie en anticipant ce qui va venir... il vaudrait mieux prendre le choix suivant:

  (69.312)

Dès lors:

  (69.313)

Ainsi, il vient:

  (69.314)

En utilisant les fonctions hyperboliques (cf. chapitre de Trigonométrie) nous avons:

  (69.315)

Nous allons continuer à tenter de déterminer les constantes en utilisant la deuxième condition limite:

  (69.316)

Il vient alors (pour la dérivée du cosinus hyperbolique voir le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (69.317)

et en posant donc :

  (69.318)

et en simplifiant:

  (69.319)

ou autrement écrit:

  (69.320)

En se rappelant que (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire):

  (69.321)

La relation antéprécédente n'a pas à ma connaissance de solutions permettant d'exprimer directement la vitesse de phase à partir d'une expression analytique (elle est donc transcendante) fonction de la profondeur h et de la fréquence (implicitement la pulsation) de la vague sans passer un développement de Maclaurin (cf. chapitre de Suites Et Séries) de la tangente hyperbolique pour de petites valeurs de kh telles que:

  (69.322)

d'où nous tirons donc lorsque la profondeur et k aussi sont petits en faisant une simplification élémentaire de la relation précédente:

  (69.323)

Relation qui est appelée "formule de Lagrange". Par exemple, pour un tsunami, les longueurs d'onde sont immenses (de l'ordre de la centaine de kilomètres) donc le produit hk est petit (de l'ordre de 0.25 dans les océans).

Si au contraire la profondeur h est très grande ainsi que k nous avons alors en développant en série de Taylor (cf. chapitre de Suites Et Séries):

  (69.324)

d'où nous tirons alors aussi après une simplification élémentaire:

  (69.325)

Relation qui est appelée "formule de Newton".

Cependant nous pouvons résoudre numériquement la relation:

  (69.326)

et nous avons alors:

Figure: 69.25 - Espace des phases du système des équations de Lorenz Source: LPFR

Nous pouvons en observant ce graphique comprendre pourquoi les vagues se brisent (flux supercritique). Effectivement, puisque la vitesse de phase pour une période donnée augmente en fonction de la profondeur h, la partie supérieure de la vague va plus vite que la partie inférieure et finit donc pas s'effondrer faute de support. La partie supercritique de la vague est destructrice dans le cas des tsunamis car elle l'eau est accélérée dans sa chute par la gravité.

Il en découle aussi que les plus grandes vagues rattrapent les petites et que leurs amplitudes se superposent sur une certaine distance. Nous déterminerons plus loin la fonction reliant l'amplitude de la vague à la distance.

Revenons maintenant sur:

  (69.327)

en ne conservant que la partie réelle:

  (69.328)

Rappelons que nous avons vu au début:

  (69.329)

Pour obtenir Z il faut donc dériver la relation antéprécédente par rapport à z, puis intégrer le résultat par rapport au temps.

La dérivée donne donc:

  (69.330)

Soit:

  (69.331)

La primitive donne:

  (69.332)

Soit:

  (69.333)

Or nous avons vu au début de notre étude qu'en nous plaçant en  nous avions donc en surface:

  (69.334)

et en notant R l'amplitude de la vague:

  (69.335)

Avec ceci le déplacement vertical Z devient:

  (69.336)

et en se rappelant que le potentiel de vitesses est donné par:

  (69.337)

Nous avons avec cette nouvelle constante R:

  (69.338)

La vitesse horizontale d'une particule d'eau sera alors:

  (69.339)

et le déplacement horizontal sera l'intégrale de la relation précédente par rapport au temps:

  (69.340)

Soit:

  (69.341)

et à la surface en :

  (69.342)

PROFONDEUR DES VAGUES

Il est maintenant intéressant de calculer la profondeur de pénétration de la vague. En effet, nous savons par vécu que les vagues se font sentir de moins en mois à mesure que l'on s'enfonce dans l'eau.

Rappelons que nous avons donc:

  (69.343)

qui correspond au déplacement vertical de la vague. Si:

  (69.344)

où nous considérerons que la longueur d'onde des vagues est petite et que la profondeur h du milieu dans lequel elles se propagent est grande.

Nous avons alors:

  (69.345)

et:

  (69.346)

et nous voyons que pour que cette approximation soit satisfaite, il faut que:

  (69.347)

Donc pour que la suite des calculs soit valable, nous imposerons de petites valeurs de z (donc près de la surface).

Dès lors:

  (69.348)

Sans oublier que   (donc z est négatif pour rappel!). L'amplitude des mouvements diminue donc exponentiellement dans ces conditions avec la profondeur. Le lecteur pourra par contre vérifier que pour certaines valeurs de kh petites, nous avons:

  (69.349)

ce qui montre les limites du modèle avec cette approche.

AMPLITUDE DES VAGUES

Pour l'amplitude du mouvement horizontal la situation est la même. C'est-à-dire pour:

  (69.350)

où nous considérerons que la longueur d'onde des vagues est petite et que la profondeur h du milieu dans lequel elles se propagent est grande.

Comme nous avons:

  (69.351)

il vient alors:

  (69.352)

où pour rappel, nous avons toujours  et que ce modèle n'est valable que près de la surface.

Donc pour ces deux approximations, nous avons alors lorsque z est petit en valeur absolue par rapport à h (donc en eau peu profonde):

  (69.353)

Ainsi, nous pouvons observer que pour le cas de  et en eau peu profonde (pour z petit), les particules d'eau décrivent un mouvement circulaire (puisque les deux composantes Z et X ont même amplitude).

Par contre, dans le cas général, nous avons:

  (69.354)

Les amplitudes ne sont dès lors plus les mêmes et les mouvements sont alors elliptiques.

- Dynamics of the Atmosphere (A course in Theoretical Meterology),W. Zdunkowski + A. Bott, Éditions Cambridge, ISBN10: 052100666X (738 pages)- Imprimé en 2003

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