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ÉLECTROSTATIQUE | MAGNÉTOSTATIQUE | ÉLECTRODYNAMIQUE | ÉLECTROCINÉTIQUE
OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE | OPTIQUE ONDULATOIRE

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2015-09-06 16:34:40 | {oUUID 1.778}
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

L'optique est l'étude de la fraction de l'énergie rayonnante sensible à la rétine, c'est-à-dire la "lumière" ou dit de manière plus générale: les "ondes électromagnétiques" (cf. chapitre d'Électrodynamique) et ce dans une large bande de fréquence qui ne se limite pas (suivant les cas étudiés) à la lumière visible!

Nous avons choisi sur ce site de scinder l'étude de l'optique en trois parties: la photométrie (voir plus bas), l'optique géométrique (le présent chapitre) et l'optique ondulatoire (prochain chapitre).

1. La "photométrie" s'occupe de la partie des définitions des grandeurs relatives aux propriétés énergétiques des ondes électromagnétiques relativement à la sensibilité visuelle.

2. "L'optique géométrique" où nous décrivons la propagation de la lumière dans les milieux transparents sans faire intervenir la nature même de la lumière. Il s'agit d'une partie de la physique présentant l'avantage de ne pas demander d'outils mathématiques compliqués, mais de beaucoup de bon sens géométrique...

3. "L'optique ondulatoire" où les phénomènes lumineux sont interprétés en tenant compte de la nature de la lumière. Celle-ci est considérée comme une onde électromagnétique d'une longueur d'onde donnée définissant sa couleur (grandeur subjective comme nous le verrons plus loin).

Dans certaines expériences, nous devons cependant considérer la lumière comme un phénomène corpusculaire (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) nous la supposons alors constituée de particules, les "photons", dont l'énergie est proportionnelle à la fréquence lumineuse selon la loi de Planck (pas celle de la thermodynamique... l'autre).

Pour des raisons de cohérence, comme nous en avons déjà fait mention, nous avons choisi de mettre la photométrie dans le chapitre d'Optique Géométrique (ici même donc...).

Avant de commencer à étudier l'aspect mathématique de l'optique géométrique, il nous a semblé judicieux d'éclaircir certaines zones floues du domaine de l'optique qui sont rarement bien précisées voire même pas traitées du tout dans les ouvrages sur le sujet. Ainsi, nous allons d'abord présenter ce qu'est une source ou une absence de lumière et ensuite comment les couleurs sont vues et traitées par l'être humain.

SOURCES ET OMBRES

L'expérience nous enseigne que dans un milieu homogène et transparent la lumière se propage en ligne droite et que celle-ci provient toujours de "sources lumineuses":

Certains objets sont lumineux par eux-mêmes (Soleil, flammes). Les autres objets ne sont généralement pas visibles dans l'obscurité (absence de lumière) mais s'ils sont éclairés ils renvoient tout ou partie de la lumière dans toutes les directions (voir le chapitre d'Électrodynamique et de physique quantique corpusculaire) et se comportent donc dès lors comme des sources lumineuses.

Nous définissons:

D1. Une "source ponctuelle" comme étant un seul "point lumineux"

D2. Une "source étendue" comme un ensemble de sources ponctuelles

D3. Un "rayon lumineux" comme toute droite suivant laquelle se propage la lumière

D4. Un "faisceau lumineux" comme un ensemble de rayons lumineux

D5. Le "diamètre apparent" comme étant l'angle, généralement petit, sous lequel nous voyons une des dimensions de l'objet (angle exprimé en radians).

La lumière traverse le vide sans subir d'altération. C'est ainsi que la lumière du Soleil, avant d'atteindre la limite de l'atmosphère terrestre, traverse d'immenses espaces vides sans subir de transformations.

Sur Terre, entre un objet lumineux et l'oeil qui voit cet objet, la lumière traverse une certaine épaisseur d'air. L'objet demeure visible dans d'autres gaz, ou bien à travers une lame de verre, de mica, de cellophane..., ou bien encore à travers une couche d'eau, d'alcool, de glycérine... de tels corps constituent des "milieux transparents".

La plupart des corps ne se laissent pas traverser par la lumière. Placés entre l'oeil et un objet lumineux, ils suppriment la vision de cet objet: nous disons alors qu'ils sont "corps opaques".

En fait, aucune substance n'est parfaitement transparente et la propagation dans un milieu transparent s'accompagne toujours d'un affaiblissement. Ce phénomène d'absorption dépend de la nature du milieu et augmente avec l'épaisseur de substance traversée. C'est ainsi que l'eau, même très pure, est opaque sous une épaisseur d'une centaine de mètres. Aussi les grands fonds marins ne reçoivent-ils jamais de lumière solaire.

Il arrive que certains corps, dits "corps translucides", laissent filtrer de la lumière sans permettre à l'oeil d'identifier l'objet lumineux qui l'émet. Tels sont le verre dépoli, le verre strié, la porcelaine mince, le papier huilé...

Dans un espace sombre, l'oeil situé hors du trajet de la lumière, aperçoit ce trajet grâce aux fines particules solides (poussières, fumée de tabac, brouillard,...) en suspension dans l'air. Ces particules éclairées diffusent la lumière qu'elles reçoivent, devenant autant de points lumineux qui matérialisent le volume traversé par la lumière. L'observation familière montre que ces volumes lumineux paraissent toujours limités par des lignes droites.

Nous pouvons dès lors appliquer le théorème des rapports de Thalès à certains phénomènes lumineux. Ainsi, imaginons l'expérience suivante:

Nous réalisons des sources de dimensions assez faibles pour que nous puissions les considérer comme des sources ponctuelles (c'est-à-dire des points lumineux).

Soit S une telle source ponctuelle de lumière. Considérons le volume que la source S illumine à travers une ouverture dans un diaphragme se situant dans la trajectoire de la lumière à la distance d. Si nous notons AB le diamètre circulaire de cette ouverture du diaphragme K et que nous coupons la trajectoire lumineuse par un écran E, parallèle à K et à distance D de la source, nous observerions que la partie éclairée se limite à un cercle A'B'.

Figure: 39.1 - Application du théorème de Thalès sur des sources ponctuelles

Si nous pouvions mesurer les diamètres AB et A'B' des deux cercles, ainsi que leurs distances d et D à la source, nous trouverions qu'ils satisfont au théorème des rapports de Thalès et ainsi que:

  (39.1)

C'est également la preuve que le volume lumineux est effectivement limité par des droites issues de S et s'appuyant sur le bord de l'ouverture du diaphragme.

Ces faits d'observation et d'expérience élémentaires suggèrent l'hypothèse suivante:

Dans un milieu transparent homogène (rappelons qu'un milieu est homogène quand tous ses éléments de volume possèdent les mêmes propriétés), la lumière provenant d'un point lumineux se propage suivant des lignes droites issues de ce point. Ces droites sont appelées des "rayons lumineux".

Si nous revenons à la figure précédente, l'ensemble des rayons lumineux contenus dans le cône défini par la source S et le diaphragme K constitue un "faisceau lumineux".

1. La lumière se propageant ici à partir de S, nous disons que les rayons "divergent" ou encore que le faisceau est un "faisceau divergent".

2. Quand une source ponctuelle est à l'infini (comme l'est pratiquement une étoile, par exemple), les rayons qui en partent sont parallèles et les faisceaux qu'ils forment sont appelés "faisceaux parallèles", ou encore "faisceaux cylindriques".

3. À l'aide d'une lentille convergente (une loupe, par exemple), nous verrons qu'il est possible de changer les directions de rayons issus d'une source ponctuelle et de les faire concourir en un point S'. Un tel ensemble de rayons constitue alors un "faisceau convergent".

Un faisceau lumineux très étroit prend le nom de "pinceau lumineux". Par exemple, les rayons allant d'un point lumineux à l'oeil forment toujours un pinceau lumineux très délié, parce que la distance du point observé à l'oeil est nécessairement grande, comparée au diamètre de la pupille.

Si nous revenons à notre expérience avec le diaphragme: si nous diminuons l'ouverture de ce dernier qui limite un pinceau de rayons lumineux, nous observons (lorsque le diamètre est réduit à moins de quelques dixièmes de millimètre) que la trace du pinceau sur un écran E, au lieu de s'amenuiser, s'agrandit au contraire, preuve que la lumière parvient maintenant en des points situés hors du cône SA'B'.

Tout se passe comme si la très petite ouverture AB devenait elle-même une source ponctuelle: nous disons que la lumière se "diffracte". Nous reviendrons plus tard sur cette propriété de la lumière car il s'agit d'une étude mathématique assez élaborée (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) et donc complexe à manipuler mais cependant fort intéressante.

Considérons maintenant une source ponctuelle de lumière. Entre la source et un écran E, interposons un corps opaque de forme quelconque. Conformément à l'hypothèse de la propagation rectiligne, nous observons un "cône d'ombre" limité par les rayons qui s'appuient sur le contour du corps interposé.

La région non éclairée du corps opaque est "l'ombre propre", celle qui correspond sur l'écran est "l'ombre portée".

Si la source de lumière est étendue, l'ombre portée et l'ombre propre n'ont plus leurs contours nettement délimités. Leurs bords s'entourent d'une zone intermédiaire que l'on appelle la "pénombre".

COULEUR

Définition: Nous nommons "couleur" la perception d'une excitation lumineuse suite à un processus neurophotochimique par l'oeil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes lumineuses avec une (ou des) amplitude(s) donnée(s).

De par le fait que la partie sensible de la rétine de l'oeil humain est composée d'éléments appelés "cônes" sensibles chacun à un petit intervalle correspondant respectivement au rouge (via la molécule d'erythrolabe), au vert (via la molécule de chlorolabe) et au bleu (via la molécule de cyanolabe), nous pouvons créer n'importe quelle couleur en additionnant ces trois couleurs de base appelées "couleurs fondamentales additives" (ou "couleurs primaires additives"). Cela s'appelle la "synthèse additive" des couleurs.

L'association française de normalisation (AFNOR) a défini au 20ème siècle le principe de trivariance visuelle de la manière suivante: Un rayonnement de couleurs quelconques peut être produit visuellement à l'identique par le mélange algébrique, en proportions définies de manière unique, des flux lumineux de trois rayonnements qui peuvent être arbitrairement choisis, sous réserve qu'aucun d'entre eux ne puisse être reproduit par un mélange des deux autres.

Dans ce qui suit, nous noterons le rouge (R), le vert (V), le bleu (B), le blanc (W), le noir (N).

Il est clair que vu les fréquences du spectre visible ce ne sera pas demain qu'avec les matériaux connus au début du 21ème siècle que nous allons construire des antennes ou paraboles capables d'émettre à de telles fréquences! Déjà que 120 [GHz] c'est un exploit alors 500 [THz] demain...

Il faut savoir que jusqu'en 1800 on ne savait pas si les couleurs se limitaient ou non à celles visibles par l'oeil humain. Ce fut avec l'apparition des thermomètres à mercure suffisamment sensibles et précis, que l'astronome Herschel en plaça un devant un spectre lumineux et trouva qu'en le promenant d'une bande de couleur à l'autre, du violet au rouge, la température s'élevait. À sa grande surprise, elle continua de s'élever lorsqu'il laissa accidentellement le thermomètre à un deux centimètres au-delà de la zone de la lumière rouge. Herschel avait détecté une lumière invisible à l'oeil humain, qualifiée plus tard de rayonnement infrarouge.

Un exemple magistral et pédagogique de ce que l'on peut voir dans les différents spectres est la nébuleuse du Crabe qui est un rémanent de supernova résultant de l'explosion d'une supernova historique (SN 1054) observée par plusieurs astronomes chinois de la dynastie Song de juillet 1054 à avril 1056:

Figure: 39.2 - SN 1054 respectivement (de gauche à droite) en ondes radio, infrarouge, visible et rayons X

En pointant trois faisceaux lumineux (R, V et B) au même endroit, nous pouvons obtenir (au fait il serait plus rigoureux de dire "percevoir" car ceci est propre seulement à certains mammifères trichromates) de la lumière blanche. Nous disons alors que le blanc (dans le sens humain du terme) est la somme des trois couleurs fondamentales additives (rappelons qu'au fait le blanc est rigoureusement la somme de toutes les couleurs du spectre - donc que le blanc est constitué d'un spectre lumineux continu). Toutes les couleurs imaginables sont obtenues en variant l'intensité de chacun des trois faisceaux. Le noir est obtenu quand nous n'envoyons aucune lumière du tout.

Par exemple, si nous additionnons (dans le sens théorique du terme: avec des composants de couleurs infiniment petits et transparents...) juste du rouge et du vert, nous obtenons du jaune (J), si nous additionnons du rouge et du bleu, nous obtenons du Magenta (M), si nous additionnons du vert et du bleu, on obtient du Cyan (C). Nous pouvons donc résumer cela par les équations suivantes:

  (39.2)

Ces trois couleurs (J, M, C) obtenues en additionnant deux couleurs fondamentales additives sont appelées "couleurs secondaires additives".

Schéma de la synthèse additive:

Figure: 39.3 - Représentation de la synthèse additive

L'existence de ces trois types de pigments dans les photorécepteurs des cônes sert de base physiologique au "modèle trichromatique" ou de "trivariance visuelle".

Définition: Une couleur est dite "couleur complémentaire" d'une autre si elles donnent du blanc quand on les additionne. Par exemple, le jaune est la couleur complémentaire du bleu:

  (39.3)

À l'opposé de la synthèse additive, il existe la "synthèse soustractive des couleurs": c'est celle dont nous parlons quand nous enlevons de la couleur à une couleur de base. C'est par exemple le cas de l'encre ou des filtres colorés (dans le sens où il y a un support de base dont il faut traiter la couleur).

Pour comprendre de quoi il s'agit, posons un filtre rouge sur un rétroprojecteur. La lumière projetée sera rouge. Nous remarquons donc que le filtre a enlevé de la couleur à la lumière blanche: W est devenu R mais comme W = RVB, cela veut dire que le filtre rouge a enlevé les couleurs VB  à la lumière blanche du rétroprojecteur. Avec le même raisonnement, nous comprenons qu'un filtre V soustrait les couleurs RB et un filtre B soustrait RV.

Si nous empilons deux filtres de couleurs fondamentales différentes: par exemple, un filtre R et un filtre V, nous n'obtiendrons rien du tout, autrement dit, du N. En effet, le filtre R ne laisse passer que la lumière rouge et le filtre V soustrait cette couleur (ainsi que le B). Il ne reste donc plus aucune couleur, autrement dit du N.

Nous remarquons donc que les filtres R, V et B ne permettent pas de synthétiser différentes couleurs par soustraction puisque nous obtenons du noir dès que nous en superposons deux différents. Ce qui est très embêtant lorsque le support concerné est du papier et que l'objectif est d'imprimer quelque chose de coloré.

Il est donc plus utile d'utiliser les filtres jaunes, magenta et cyan (J, M, et C) des couleurs additives secondaires. En effet, un filtre J laisse passer du jaune, c'est-à-dire RV. Il ne soustrait donc que le B à la lumière blanche d'origine. Selon le même principe, un filtre M soustrait V et un filtre C soustrait R.

Nous remarquons alors que la superposition de deux filtres de ces couleurs secondaires donne une nouvelle couleur sur un support existant. Nous pouvons ainsi synthétiser n'importe quelle couleur en variant l'intensité de chacun des trois filtres (J, M et C) que nous superposons (sur le rétroprojecteur ou le papier par exemple). Nous appelons ces trois couleurs les "couleurs fondamentales soustractives".

Schéma de la synthèse soustractive:

Figure: 39.4 - Représentation de la synthèse soustractive

Exemples:

E1. Un écran de télévision ou d'ordinateur fonctionne sur le principe de la synthèse additive des couleurs. En effet, en regardant l'écran à la loupe, on peut se rendre compte qu'il est rempli de petits groupes de trois luminophores (zone brillante quand on l'excite) R, V et B. Ces luminophores sont tellement proches que quand ils s'allument ensemble, ils donnent l'impression de se confondre et on perçoit uniquement la synthèse additive des trois pixels. Par exemple, sur un écran de télévision entièrement rouge, seuls les luminophores rouges brillent. Par contre, si l'écran vire au jaune, cela veut dire que les luminophores verts brillent en même temps que les rouges.

E2. À l'opposé de la télévision, nous trouvons les procédés d'imprimerie qui fonctionnent en synthèse soustractive. En effet, la feuille est blanche et il faut lui enlever des couleurs pour obtenir celle que nous désirons. La technique est la même que celle des filtres: les encres contiennent des pigments qui filtrent certaines couleurs. En utilisant des encres J, M et C, nous pouvons obtenir toutes les couleurs du spectre visible. Toutefois, les pigments ne sont pas parfaits et le noir est très difficile à obtenir (surcharge d'encre et teinte plutôt brun foncée). Nous avons donc recours au noir comme quatrième couleur. Ce système s'appelle "l'impression en quadrichromie". Il est utilisé par exemple par la plupart des imprimantes couleurs et dans les rotatives de journaux.

Il est intéressant maintenant de s'intéresser aux phénomènes qui superposent les deux concepts (si nous pouvons dire...). Ainsi, un système qui projette de la couleur selon le système RVB additif ou soustractif peut lui-même être éclairé par un système équivalent. Il en résulte ainsi une superposition d'effets.

Ainsi, quand nous parlons de la couleur des objets, nous nous référons normalement à l'aspect qu'ils ont quand ils sont éclairés par de la lumière blanche.

Exemple:

Une tomate rouge, absorbe une partie de la lumière blanche W (VB) et diffuse le reste (R). C'est pour cela qu'elle nous apparaît rouge quand on l'éclaire avec de la lumière blanche. Un citron, lui, apparaît jaune car il absorbe le bleu de la lumière blanche W et diffuse le reste (RV).... Mais qu'en est-il d'une tomate éclairée par une lumière bleue? À quoi ressemble le citron si nous l'éclairons en rouge?

Nous pouvons répondre en raisonnant comme suit: comme la tomate absorbe VB et donc intrinsèquement le bleu (B), il ne reste donc rien. Elle apparaît alors noire. Quant au citron, comme il absorbe le bleu (B) et diffuse la lumière R+V alors si nous l'éclairons seulement avec du rouge R il ne diffusera que du rouge et apparaîtra donc rouge.

PHOTOMÉTRIE

La matière est capable d'émettre, de transmettre et/ou d'absorber de l'énergie électromagnétique. Plusieurs facteurs caractérisent ce rayonnement tels que: sa gamme spectrale, son intensité, sa direction ainsi que certaines propriétés intrinsèques à la matière. La photométrie se propose de rechercher les grandeurs qui lui sont spécifiques ainsi que les lois qui les régissent.

Nous reconnaissons deux types de photométrie: la "photométrie énergétique" et la "photométrie visuelle". Dans ce qui va suivre, nous nous en tiendrons principalement à la photométrie énergétique qui trait plus généralement de l'énergie transportée par un rayonnement électromagnétique, quelle que soit sa longueur d'onde.

Au préalable, nous devons  spécifier les conditions dans lesquelles nous allons définir les nouvelles grandeurs. Nous admettrons donc les hypothèses suivantes:

H1. Le rayonnement se propage dans un milieu transparent pour toutes les intensités, les longueurs d'onde et leur polarisation.

H2. La propagation s'effectue suivant des angles solides (cf. chapitre de Trigonométrie). Nous écartons ainsi la propagation selon des rayons parallèles.

H3. La surface élémentaire dS d'étude est suffisamment petite pour que les rayonnements de ses points soient identiques mais pas trop petits pour éviter des phénomènes comme la diffraction.

FLUX ÉNERGÉTIQUE

Définition: Le "flux énergétique" d'une source de rayonnement est la puissance qu'elle rayonne. Le flux  se mesure en Watts [W] (soit des joules par seconde [J/s]) et il découle dès lors que pour une source qui rayonne une énergie (non nécessairement constante), nous avons:

  (39.4)

Dans certains domaines professionnels le flux énergétique s'exprime en unités photométriques comme étant le "Lumen" noté [lm] ou en unités photoniques comme un nombre de photons par seconde: . Raison pour laquelle, lorsque vous achetez des écrans ou lampes dans certains magasins, les unités ne sont pas les mêmes d'une marque à l'autre.

LOI DE BEER-LAMBERT

Si l'absorption et la diffusion d'un milieu peuvent être considérées comme proportionnelles à l'épaisseur dz de matière traversée, la variation de flux pourra s'écrire:

  (39.5)

dans cette expression est le flux incident et   est le "coefficient d'atténuation linéique" qui est fonction de la fréquence du rayonnement.

Nous aurons donc une simple équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (39.6)

qui est la "loi de Beer-Lambert" (qui peut aussi s'exprimer à partir de l'intensité lumineuse que nous définirons de suite après).

Ordres de grandeur: Atmosphère ; , Verre (BK7) , ...

Il existe de nombreuses autres formulations de la loi de Beer-Lambert dont une assez utilisée en physique nucléaire (voir chapitre du même nom) dans le cadre de la radioprotection. Voyons de quoi il s'agit:

Considérons un flux de particules frappant perpendiculairement la surface d'un matériau d'épaisseur dz et de densité atomique N (). Si nous considérons les particules frappant une surface S, ces dernières peuvent théoriquement rencontrer atomes cibles dans cette couche. Le nombre de particules interagissant sera proportionnel à l'intensité fois ce nombre, et nous avons:

  (39.7)

Si nous admettons maintenant que les centres de diffusion sont les électrons et non pas les atomes cibles, alors il faut remplacer N par où avec Z étant le nombre d'électrons interagissant par atome cible. D'où:

  (39.8)

En identifiant avec la première formulation de la loi de Beer-Lambert, nous voyons que joue le même rôle que:

et   (39.9)

Et dans l'hypothèse où l'électron constitue une "sphère d'action" présentant une surface frontale , étant le rayon de cette sphère, alors:

  (39.10)

et nous avons pour le rayon de la sphère d'action de l'électron:

  (39.11)

INTENSITÉ LUMINEUSE

Pour décrire le flux énergétique  d'une source, il faut commencer par le mesurer. Le capteur utilisé (thermocouple, bolomètre, cellule photoélectrique, oeil ou autres) ne peut recevoir qu'une partie: celle qui arrive dans l'angle solide  défini par sa section.

Définition: "L'intensité lumineuse" ou "intensité énergétique" I d'une source ponctuelle est le flux rayonné  dans l'unité d'angle solide  centré autour d'une direction  d'émission:

  (39.12)

L'intensité lumineuse est exprimée dans certains domaines professionnels en unités photométriques en "Candela" [Cd] ou en unités photoniques en  (rappelons que les stéradians n'ont pas d'unité au même titre que les radians). Raison pour laquelle, lorsque vous achetez des écrans ou lampes dans certains magasins, les unités ne sont pas les mêmes d'une marque à l'autre.

Par comparaison (car cela aide), une unité de Candela est équivalent à l'intensité d'une source dans une direction donnée, qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540.1012 [Hz] (ce qui correspond approximativement à la fréquence à laquelle l'oeil est le plus sensible), et dont le flux lumineux (ou intensité) dans cette direction est 1/683 [W] par stéradian.

ÉMITTANCE ÉNERGÉTIQUE

Définition: "L'émittance énergétique", "excitance" ou encore "éclairement" M d'une source est le flux énergétique rayonné (puissance) par unité de surface dS en [W/m²] dans toutes les directions de l'espace extérieur à la source et dépend des propriétés physico-chimiques de la surface émettrice:

  (39.13)

Elle est souvent assimilée dans le vocabulaire courant à la "luminosité" d'une source de lumière ce qui porte parfois à confusion avec le concept d'intensité lumineuse.

L'émittance énergétique est exprimée dans de nombreux domaines professionnels en unités photométriques appelée "Lux" [lx] ou encore en unités photoniques ou pire encore... en [lm/m²]. Par exemple quand vous achetez une voiture, les feux de croisement sont indiqués comme valant environ ~20 [lx].

Attention à ne pas confondre l'émittance énergétique avec le flux énergétique!!!

Si la source est ponctuelle et son rayonnement isotrope, sa direction n'est pas à prendre en considération. Dans le cas de ladite sphère de rayon r, l'émittance a alors pour expression:

  (39.14)

Dans le cas précédent de la sphère, un élément dS de la surface sphérique reçoit perpendiculairement le rayonnement. En toute généralité, une surface élémentaire peut être inclinée par rapport à la direction du rayonnement avec un angle . Ainsi, nous devons projeter la surface sur la perpendiculaire du rayonnement en utilisant les raisonnements élémentaires de la trigonométrie:

  (39.15)

C'est cette projection qui explique les saisons sur la Terre: la surface balayée par l'émittance à peu près constante et isotrope du soleil (considéré comme une source ponctuelle) est maximale à l'équateur (surface perpendiculaire) et donc implique un flux supérieur par rapport à ce que reçoit une latitude supérieure ou inférieure pour laquelle la projection perpendiculaire de la surface concernée est plus petite que celle à l'équateur pour une émittance identique.

LUMINANCE ÉNERGÉTIQUE

Soit une source non ponctuelle dont l'émittance énergétique M est connue en tout point. Un élément dS de la surface de ce genre de source sera par définition de l'intensité pas nécessairement isotrope et donc plus lumineux (puissant) lorsque l'on l'observe colinéairement au vecteur .

L'intensité énergétique I qu'il rayonne dans une direction, formant un angle , avec la normale à la surface d'émission est toujours inférieure à celle rayonnée dans la direction du vecteur . Ainsi par simple application des règles trigonométriques, nous obtenons la définition de la "luminance" (ou "radiance"):

  (39.16)

exprimée dans certains domaines, en unités photométriques en "Nits"  ou en unités photoniques en

Nous pouvons aussi écrire:

  (39.17)

qui nous donne l'intensité énergétique que rayonne une source de luminance L dans une direction donnée.

Jean-Henri Lambert (1728-1777) a observé que l'intensité énergétique de certaines sources (parmi toutes les types de sources imaginables...) anisotropes diminue comme le cosinus de l'angle , autour de la direction perpendiculaire à la surface de la source:

  (39.18)

Cette variation de l'intensité est observée lorsque nous mesurons l'énergie thermique rayonnée par un orifice percé dans un four (ce qui nous ramène au corps noir), isolé thermiquement et dont la température interne est supérieure à la température externe. Dans ce contexte, l'orifice est appelé un "émetteur Lambert" et ne balaye un espace que de  stéradians.

LOI DE LAMBERT

Une source obéit à la loi de Lambert si sa luminance énergétique est la même dans toutes les directions, c'est-à-dire que son intensité est isotrope et donc indépendante de l'angle .

Nous avons alors:

  (39.19)

Calculons l'émittance d'un émetteur Lambert:

Nous avons donc par définition même de la propriété d'un émetteur Lambert:

  (39.20)

et nous avons:

  (39.21)

Or nous avons démontré dans le chapitre de Trigonométrie, qu'un angle solide élémentaire était donné par:

  (39.22)

Ce qui nous amène à écrire en utilisant les relations démontrées dans le chapitre de Trigonométrie:

  (39.23)

L'émittance valant:

  (39.24)

Ce résultat est important pour l'étude du rayonnement du corps noir, puisque la valeur de la luminance mesurée par un capteur permet de déduire l'émittance M, donc le flux énergétique de la source:

  (39.25)

LOI DE KIRCHHOFF

Tout corps irradié par une source énergétique voit le flux énergétique incident se répartir selon trois termes intuitifs:

  (39.26)

où:

-  est le flux énergétique géométrique réfléchi ou diffusé

-  est le flux énergétique qui traverse le corps sans interactions (transparence intégrale)

-  est absorbé et transformé sous d'autres formes d'énergie

Les trois coefficients appelés respectivement "facteur de réflexion" , "facteur de transmission" et "facteur d'absorption" , dépendent de la longueur d'onde  de la lumière incidente et de la température du corps récepteur.

Pour chaque objet, nous avons bien évidemment:

  (39.27)

qui est l'expression de la "loi de Kirchhoff simple" (contrairement à la version différentielle) en photométrie.

DÉCOMPOSITION SPECTRALE

De ce qui vient d'être dit, il découle que toutes les grandeurs définies précédemment peuvent être rapportées à leur décomposition spectrale en longueur d'onde. Ceci résulte du principe de superposition: tout rayonnement peut être traité comme la superposition de rayonnements monochromatiques.

Ainsi, nous définissons:

  (39.28)

et de même:

  (39.29)

Nous aurons un grand besoin de la densité de l'émittance lors de l'étude du corps noir dans le chapitre de Thermodynamique de la section de Mécanique. Rappelez-vous uniquement que nous avons en unités S.I. sur le principe de décomposition (et inversement superposition) spectrale: 

  (39.30)

LOI DE RÉFRACTION

Pierre de Fermat proposa que les rayons lumineux (ondes électromagnétiques) répondaient à un principe très général selon lequel le chemin emprunté par la lumière pour se rendre d'un point donné à un autre était celui pour lequel le temps de parcours était minimum (en fait un extremum qui peut être un minimum ou un maximum). Cette proposition, appelée "principe de Fermat", à la base de l'optique géométrique s'appuie sur le principe de moindre action (principe que nous avons déjà introduit dans le chapitre de Mécanique Analytique) ce que nous démontrerons plus loin.

Avant de commencer les développements, donnons quelques définitions importantes donc certaines sont basées sur la figure ci-dessous:

Figure: 39.5 - Vocabulaire pour l'étude de l'optique géométrique

Définitions:

D1. Un "milieu réfringent" est un milieu qui cause la déviation d'un rayon lumineux incident.

D2. Le "rayon incident" est le rayon lumineux qui se propageant dans un milieu 1, passe totalement ou partiellement dans un milieu réfringent 2, le reste étant absorbé ou partiellement réfléchi.

D3. "L'angle d'incidence", parfois noté i, est l'angle par lequel le rayon incident pénètre dans le milieu réfringent.

D4. Le "rayon partiellement ou totalement réfléchi" est la partie du rayon lumineux qui ayant rencontré l'interface séparant le milieu de propagation du milieu réfringent, continue son parcours dans le milieu de propagation.

D5. "L'angle de réflexion", parfois noté r_x ou simplement r s'il n'y a pas de confusion possible, est l'angle par lequel le rayon est réfléchi par rapport au plan représentant l'interface entre le milieu de propagation et lui-même. Nous démontrerons que les angles incidents et réfléchis sont égaux en valeurs absolues.

D6. Le "rayon partiellement ou totalement réfracté" est la partie du rayon lumineux qui ayant rencontré l'interface séparant le milieu de propagation du milieu réfringent, continue son parcours dans le milieu réfringent.

D7. "L'angle de réfraction", parfois noté r_c ou simplement r s'il n'y a pas de confusion possible, est l'angle par lequel le rayon est réfracté par rapport au plan représentant l'interface entre le milieu de propagation et le milieu réfringent. Les angles incidents et réfractés sont liés par une relation que nous démontrerons plus loin.

D8. "L'indice de réfraction absolu" d'un milieu à une longueur d'onde donnée (et donc de fréquence v) mesure le facteur de réduction de la vitesse de phase de la lumière dans le milieu par rapport au vide (la plus grande qui soit) et est donné en toute généralité par la "loi de Cauchy" (la seule démonstration mathématique que j'ai eu entre les mains à ce jour partait des équations de Maxwell et tenait sur environ 3 pages A4, mais elle était basée sur tellement de bricolages successifs que l'on va passer outre et admettre qu'elle ne peut être établie qu'expérimentalement):

  (39.31)

où A et B sont des constantes établies expérimentalement. Nous pouvons remarquer à travers la loi de Cauchy que l'indice de réfraction absolu diminue lorsque la longueur d'onde augmente (in extenso lorsque la fréquence diminue).

Tous les matériaux possèdent un indice de réfraction absolu, d'une valeur positive et supérieure à 1. Plus un milieu est dense, plus la vitesse de phase de la lumière est ralentie, plus l'indice de réfraction absolu est élevé.

Considérons (voir figure ci-dessous) maintenant deux milieux et d'indices de réfraction respectifs n et m (implicitement dépendant de la longueur d'onde) et dont la surface de contact est plane. Prenons deux points A et B situés respectivement dans le milieu d'indice n (le point A) et dans le milieu d'indice m (le point B).

Considérons le chemin de la lumière allant de A à B. Le principe de Fermat nous enseigne que le chemin emprunté par la lumière est tel que le temps mis pour le parcourir est minimum. Nous nous proposons dans un premier temps d'appliquer une méthode classique pour calculer le chemin du rayon lumineux et dans un second temps, nous montrerons que le principe de Fermat peut être énoncé comme un principe variationnel.

Choisissons un repère qui simplifie le problème: faisons passer l'axe des abscisses par le plan de contact des deux milieux et l'axe des ordonnées par le point B. Dans un tel repère, les points A et B ont les coordonnées suivantes: .

Appelons , le point où le rayon lumineux traverse la surface de contact entre les deux milieux. Le temps T mis pas la lumière pour aller de A à B est alors:

  (39.32)

où:

 et     (39.33)

sont les vitesses de phase de la lumière dans les milieux et . 

Nous pouvons observer sur la figure ci-dessus que les rayons incidents sont réfractés de l'autre côté de l'axe perpendiculaire à l'interface. Ceci est une caractéristique type des matériaux ayant un indice de réfraction absolu positif. Mais il est possible physiquement de construire depuis les années 1990 des "métamatériaux" composites artificiels à indice de réfraction absolu négatif.

L'écriture des deux relations précédentes:

   et     (39.34)

se justifie par le fait que nous pouvons nous permettre de faire l'hypothèse que la vitesse de phase de la lumière ne croît pas en traversant un corps dense mais se voit divisée par un facteur donné dépendant du milieu qu'elle traverse. Pour s'en convaincre, il suffit d'imaginer un cas absurde où la lumière traverserait sans perte de vitesse un corps de densité infinie!

En développant les valeurs de AM et MB nous obtenons la dépendance suivante de T en fonction de la position x de M:

  (39.35)

Selon le principe de Fermat, le chemin emprunté par la lumière est celui pour lequel T est minimum. L'extremum de T(x) est atteint lorsque sa dérivée par rapport à x est nulle.

  (39.36)

Notons que:

 et   (39.37)

où pour rappel, r est "l'angle de réfraction" (à ne pas confondre avec "l'angle de réflexion"!) et i "l'angle d'incidence"

de la lumière allant de A à B. 

La condition d'un temps extremum mis par la lumière s'exprime alors:

  (39.38)

D'où nous tirons la relation, connue sous le nom de "loi de Snell-Descartes" (qui n'est plus une loi puisque démontrée):

  (39.39)

Il suffit que les angles d'incidence et de réfraction remplissent cette condition pour que le chemin parcouru par la lumière soit effectivement celui qui prend le moins de temps.

Nous notons plus fréquemment la loi de Snell-Descartes en physique de la manière suivante:

  (39.40)

où  est "l'indice de réfraction relatif" du milieu 2 par rapport au milieu 1 qui ont respectivement leur propre "indice de réfraction absolu" . Ainsi, nous voyons bien à travers cette relation que l'angle incident est en valeur absolue obligatoirement égal à l'angle réfléchi.

Étudions maintenant la relation entre l'indice de réfraction relatif et la vitesse de phase de la lumière dans les différents milieux qu'elle traverse:

Un rayon lumineux relie deux points  et situés de part et d'autre de S. Ce rayon n'est pas représenté dans la figure. Ne sont tracés que trajets situés de part et d'autre du rayon qui réalise l'extremum (nous nous basons sur l'étude du trajet maximum maintenant). Par hypothèse, ils sont extrêmement proches, si bien que la distance  est très faible:

  (39.41)

Nous admettons qu'ils correspondent au même temps de parcours.

Figure: 39.6 - Figure permettant de mettre en relation vitesse de phase et indice de réfraction

Puisque les deux trajets sont très proches, nous pouvons admettre l'égalité des distances  et  d'une part,  et  de l'autre. Ainsi, par hypothèse:

  (39.42)

Mais, sous la même hypothèse:

  (39.43)

si bien que:

  (39.44)

La "loi de la réfraction" s'énonce finalement en général:

  (39.45)

Quant à l'angle de réflexion, comme nous l'avons déjà précisé, celui-ci reste donc égal à l'angle d'incidence si la surface de réflexion est parfaitement régulière et plate.

Le principe de Fermat présente donc d'évidentes similitudes avec le principe de moindre action en cela qu'il consiste en un principe du minimum. Bien qu'une description rigoureuse de la lumière nécessite l'introduction de la physique quantique, il est toutefois possible de l'appréhender par le biais de la mécanique analytique et de lui appliquer, sous certaines conditions, le principe de moindre action. Nous allons montrer que nous retrouvons ainsi le principe de Fermat. 

Les calculs que nous allons présenter, introduisent de nombreuses hypothèses hasardeuses mais en tout état de cause, ce procédé doit être considéré comme une approximation. À noter que le principe de Fermat procède lui aussi d'une même approximation que nous pouvons qualifier de "limite classique".

Imaginons que la lumière est composée de "grains" matériels. Il faut alors admettre que ces grains obéissent à des propriétés physiques plutôt singulières: leur masse est nulle puisque selon la description classique, les rayons lumineux ne sont pas déviés par le champ gravitationnel. Cette absence de masse les rend donc insensibles au champ gravitationnel terrestre (attention ! nous sommes dans une description "classique").

Écrivons l'action pour l'un de ces grains de lumière:

  (39.47)

Or, en supposant que le seul champ de potentiel V présent est celui qui dérive du champ gravitationnel et que nous admettons la lumière comme y étant insensible (nous savons en relativité générale que cela est faux mais nous avons précisé tout à l'heure que nous ferions des approximations!), il s'ensuit que l'action de la lumière peut s'écrire:

  (39.48)

Or, aucune force ne s'applique sur la lumière, par conséquent l'énergie cinétique T est une constante du mouvement. Appliquons le principe variationnel de moindre action:

  (39.49)

D'où nous tirons:

  (39.50)

Cette équation signifie que le temps mis par la lumière le long de sa trajectoire est minimum (ou plus généralement, est un extremum). Nous retrouvons le principe de Fermat. Nous avons donc montré, qu'à la limite classique et sous certaines hypothèses, le principe de Fermat découle directement du principe de moindre action.

EFFET TCHERENKOV (CERENKOV)

Nous avons vu dans les paragraphes précédents l'hypothèse (relativement intuitive) que la vitesse de phase de propagation de la lumière dans un milieu d'indice de réfraction absolu n n'était pas égale à c mais toujours inférieure en écrivant cela:

  (39.51)

L'effet Tcherenkov est (basiquement) un phénomène similaire à une onde de choc (en acoustique), produisant un flash de lumière, et qui a lieu sur le trajet d'une particule chargée se déplaçant dans un milieu avec une vitesse de phase supérieure à la vitesse de la lumière du milieu (l'explication rigoureuse sort du cadre d'étude de ce site de par sa complexité de traitement!).

Effectivement, rappelons d'abord que nous avons vu dans le chapitre d'Électrodynamique que toute particule chargée en mouvement émettait une radiation électromagnétique. Ensuite, nous avons vu dans les paragraphes précédents que la vitesse de la lumière dans un milieu donné dépendait de l'indice de réfraction absolu de ce milieu (hypothèse qui se vérifie par la justesse expérimentale des développements théoriques qui en découlent).

Nous avons donc deux données de bases. La vitesse de la particule chargée qui peut s'écrire sous la forme suivante avec les notations relativistes:

  (39.52)

et la vitesse de phase de la lumière dans un milieu avec un indice de réfraction absolu donné:

  (39.53)

Il est facile de voir que pour obtenir  il faut avoir:

  (39.54)

Soit:

  (39.55)

Certains auteurs préfèrent comparer la distance parcourue par la lumière par rapport à celle parcourue par la particule. Il vient ainsi:

  (39.56)

Et donc pour que la particule parcoure des distances égales à celles de  la lumière dans le même temps il faut que . Au-delà, apparaît l'effet Tcherenkov.

FORMULES DE DESCARTES

Nous avons discuté précédemment certains phénomènes qui se produisent lorsqu'un front d'onde passe d'un milieu à un autre dans lequel la propagation est différente. Non seulement nous avons analysé ce que devient le front d'onde, mais encore nous avons introduit le concept de "rayon" qui est particulièrement utile pour les constructions géométriques. Nous nous proposons maintenant d'approfondir les phénomènes de réfraction et de réflexion d'un point de vue géométrique en utilisant le concept de rayon comme l'outil permettant de décrire les processus qui prennent place aux surfaces de discontinuité de la propagation. Nous admettrons également que les processus se limitent à des réflexions et réfractions, aucune autre modification n'affectant les surfaces d'onde.

Ce traitement géométrique est correct tant que les surfaces et les discontinuités rencontrées par l'onde au cours de sa propagation sont très grandes devant la longueur d'onde. Tant que cette condition est remplie, le traitement s'applique aussi bien aux ondes lumineuses, acoustiques (en particulier ultrasonores - très hautes fréquences), sismiques, etc.

Nous commençons par considérer la réflexion des ondes sur une surface sphérique. Nous devons d'abord établir certaines définitions. Le centre de courbure C (cf. chapitre de Géométrie Différentielle) est le centre de la surface sphérique de la figure ci-dessous et le sommet O est le pôle de la calotte sphérique.

Définition: La droite passant par O et C est appelée "axe optique".

Si nous prenons O pour origine des coordonnées, toutes les quantités mesurées à droite de O seront prises comme positives, toutes celles à gauche comme négatives!!!

Figure: 39.7 - Représentation du concept d'axe optique

Supposons que le point P soit une source d'ondes sphériques. Le rayon donne par réflexion le rayon et, comme les angles d'incidence et de réflexion sont égaux par rapport à la perpendiculaire AC de la surface (comme nous l'avons déjà fait remarquer lors de notre étude de la réfraction), nous voyons sur la figure que:

et   (39.57)

d'où:

  (39.58)

En admettant que les angles et sont très petits, c'est-à-dire que les rayons sont "para-axiaux" et que la source est très distante ou que le détecteur est très petit par rapport à la source, nous pouvons écrire avec une bonne approximation avec un développement de Maclaurin (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) pour de petits angles:

  (39.59)

En substituant ces valeurs approximatives de et dans , nous obtenons:

  (39.60)

qui est la "formule de Descartes pour la réflexion sur une surface sphérique concave". Elle implique, dans l'approximation utilisée pour l'établir, que pour tous les rayons incidents passant par P passeront par Q après réflexion sur la surface. Nous pouvons alors dire que Q est "l'image de l'objet" P.

Dans le cas particulier où le rayon incident est parallèle à l'axe optique, ce qui équivaut à placer l'objet à une très grande distance de la lentille, nous avons . La formule de Descartes pour la réflexion sur une surface sphérique concave devient alors:

  (39.61)

et l'image se forme au point F appelé "foyer", et sa distance de la lentille donnée par:

  (39.62)

est appelée "distance focale". Nous obtenons aussi le rapport r/2 si nous faisons tendre q vers l'infini.

La relation obtenue précédemment est également valable pour une surface convexe. Effectivement, il suffit de tirer les traits représentant les rayons lumineux au-delà de la surface concave pour voir que l'objet d'étude est le même à une symétrie près:

Figure: 39.8 - Principe de l'extension à une surface convexe

La seule différence entre la surface concave et convexe tient au fait que dans le cas de la surface convexe, l'image de l'objet réfléchi apparaît comme s'il semblait être derrière la surface (à l'équivalent du point P). Ceci nous amène à définir la terminologie suivante:

Définitions:

D1. Une "image virtuelle" est un terme utilisé en optique pour désigner toute image qui se forme avant la face de sortie d'un instrument d'optique (dans le sens de parcours de la lumière) et ne peut donc pas être visualisée sur un écran. Pour une lentille mince convergente un objet placé entre le foyer objet et le centre optique de la lentille donnera une image virtuelle droite. C'est notamment le cas d'un système optique utilisé comme loupe, qui permet d'obtenir une image agrandie de l'objet observé à travers la lentille.

D2. Une "image réelle" est un terme utilisé en optique pour désigner toute image qui se forme après la face de sortie d'un instrument d'optique (dans le sens de parcours de la lumière). Pour une lentille mince convergente un objet placé après le foyer objet de la lentille donnera une image réelle.

Par contre, pour le miroir parabolique tous les rayons convergent vers le foyer du miroir où est concentrée l'énergie lumineuse reçue par le miroir. Réciproquement, nous plaçons le filament d'une lampe au foyer d'un miroir parabolique pour obtenir des projecteurs de grande portée (typhique des phares ne possédant pas de lentille de Fresnel). Nous donnons aussi une forme parabolique aux antennes de réception des ondes hertziennes. Pour la télévision diffusée par des satellites comme on travaille en ondes centimétriques (fréquence de quelques GHz) une distance focale de l'ordre du mètre est convenable pour l'antenne (in extenso cela s'applique aux télescopes et radiotélescopes).

Figure: 39.9 - Représentation du concept de stigmatisme

L'idée pour démontrer que le foyer de la parabole est le point stigmatique rigoureux est la suivante:

Reprenons le schéma que nous avons utilisé lors de notre étude des coniques dans le chapitre de Géométrie Analytique:

Figure: 39.10 - Schéma général des propriétés de la parabole

Nous y avons rajouté le point qui est la projection orthogonale du point M (point d'incidence du rayon lumineux) ainsi que la tangente à la parabole au point M. Si nous arrivons à démontrer que la tangente à M est la médiatrice du segment , alors nous démontrons également que l'angle d'incidence et de réflexion sont bien égaux.

Prenons l'équation:

  (39.63)

d'une parabole de paramètre h (cf. chapitre de Géométrie Analytique) rapportée à un repère principal . Le foyer a donc pour coordonnées et la directrice a pour équation:

  (39.64)

Nous obtenons l'équation de la tangente en par la dérivée en ce même point (attention... rappelez-vous de l'orientation particulière de la parabole!):

  (39.65)

Ce qui s'écrit encore:

  (39.66)

et en sachant que:

  (39.67)

nous obtenons donc l'équation de la tangente:

  (39.68)

Un des vecteurs directeurs de la tangente est donc alors (cf. chapitre de Géométrie Analytique):

  (39.69)

où dans le cas d'une parabole, p est égal à h.

D'autre part, nous avons (cela se vérifie facilement en posant ):

et   (39.70)

Nous avons donc le produit scalaire:

  (39.71)

comme les vecteurs et ont même norme d'après la définition de la parabole, nous en déduisons que le vecteur (directeur de la tangente) dirige la bissectrice de l'angle des vecteurs et et donc par extension que la tangente à M est bien la médiatrice de .

Avant d'étudier le grandissement des lentilles convexes sphériques, intéressons nous de manière générale à la définition de ce qu'est un grandissement. Considérons d'abord la figure suivante:

Figure: 39.11 - Principe de base du grandissement

où pour rappel le centre de courbure C (cf. chapitre de Géométrie Différentielle) est le centre de courbure de la surface sphérique de la figure ci-dessous et le sommet O est le pôle de la calotte sphérique.

Ainsi, le "grandissement" M d'un système optique quelconque est défini comme le rapport de la grandeur de l'image ab à celle de l'objet réel AB, c'est-à-dire:

  (39.72)

Nous voyons d'après la figure ci-dessus que:

  (39.73)

Nous avons donc, en tant compte de ce que :

  (39.74)

d'où:

  (39.75)

Faisons maintenant une étude équivalente à celle effectuée précédemment, ayant les mêmes propriétés de symétrie et les défauts, mais sur les "dioptres sphériques" (résultats intéressants pour ce qui est de l'étude de l'oeil). Les résultats vont être utiles avant d'aborder la lentille convexe sphérique (la loupe traditionnelle).

Nous allons donc considérer la réfraction au passage d'une surface sphérique séparant deux milieux d'indices de réfraction absolus et (voir figure ci-dessous).

Figure: 39.12 - Concept de dioptre sphérique

où pour rappel le centre de courbure C (cf. chapitre de Géométrie Différentielle) est le centre de la surface sphérique de la figure ci-dessous et le sommet O est le pôle de la calotte sphérique.

Les éléments géométriques fondamentaux sont les mêmes que ceux définis pour les surfaces sphériques. Nous considérons donc dans un premier temps un dioptre concave et observant que la "distance objet" est située à l'opposé des autres points, nous devons opter pour une convention de signe pour mettre cette observation en évidence dans les équations. Ainsi, q sera défini comme une valeur négative.

Un rayon incident tel que PA est réfracté suivant AQ et coupe donc l'axe optique en Q. Nous observons sur la figure que:

et   (39.76)

Nous avons d'après la loi de Snell-Descartes:

et nous admettrons comme pour les surfaces sphériques que les rayons sont peu inclinés. Dans ces conditions les angles et sont très petits et nous pouvons écrire à l'aide des développements en série de Maclaurin (cf. chapitre Suites et Séries):

et   (39.77)

de sorte que la loi de Snell-Descartes s'écrit:

  (39.78)

D'après la figure, nous pouvons faire les approximations:

  (39.79)

de sorte qu'en substituant dans l'approximation de la loi de Snell-Descartes nous trouvons après simplification élémentaire:

  (39.80)

d'où pour une surface concave:

  (39.81)

qui constitue la "formule de Descartes pour la réfraction au passage d'une surface sphérique" où q est donc un nombre négatif (puisque à gauche de l'origine O).

Bien que la dernière relation ait été démontrée dans le cas d'une surface concave, elle reste valable pour une surface convexe en tenant compte alors de ce que r est négatif à son tour et dès lors:

  (39.82)

où q est toujours négatif (puisque à gauche de l'origine O).

Le "foyer objet" appelé également "premier point focal" d'une surface sphérique réfringente est la position d'un point objet de l'axe optique tel que les rayons réfractés soient parallèles à l'axe optique, ce qui revient à former l'image du point à l'infini, où .

La distance de l'objet à la surface sphérique est appelée alors "distance focale objet", et nous la désignons par . En posant et . Nous avons alors pour le cas concave:

  (39.83)

La distance focale est positive et le système dit "convergent" quand le foyer objet est réel, placé devant la surface sphérique. Quand le foyer objet est virtuel la distance focale est négative et le système est dit "divergent".

De même, si les rayons incidents sont parallèles à l'axe optique, ce qui revient à avoir un objet très éloigné de la surface sphérique , les rayons réfractés passent par un point de l'axe optique appelé "foyer image" ou "second point focal" (avec à nouveau les mêmes problèmes de stigmatisme).

Dans ce cas la distance de la surface sphérique à l'image est appelée "distance focale image" et nous la désignons par . En posant et nous avons alors pour le cas concave:

  (39.84)

En mélangeant les deux relations précédentes, nous avons le résultat utile dans la pratique:

  (39.85)

Ainsi, si nous connaissons l'indice de réfraction relatif et l'une des distances focales, nous pouvons en déduire l'autre. Ou encore (et nous pouvons bien évidemment faire enocre d'autres combinaisons):

  (39.86)

Maintenant intéressons-nous au type de surfaces réfléchissantes et réfractantes que nous attendons: les lentilles!

Une lentille est donc par définition un milieu transparent limité par deux surfaces courbes (généralement sphériques), bien que l'une des faces d'une lentille puisse être plane. Une onde incidente subit donc deux réfractions à la traversée de la lentille. Admettons pour simplifier que les milieux de part et d'autre de la lentille soient identiques et leur indice de réfraction absolu égal à 1 (l'air ou le vide par exemple). Nous ne considérerons également que des lentilles minces, c'est-à-dire dont l'épaisseur est très petite devant les rayons de courbure:

Figure: 39.13 - Représentation d'une lentille

L'axe optique est la droite déterminée par les deux centres . Nous cherchons à déterminer une relation qui lie la position de P et Q à partir de paramètres physiques facilement mesurables!

Nous considérerons pour l'analyse que l'image formée après réfraction sur la première surface est l'objet pour la réfraction sur la seconde surface.

Considérons le rayon incident PA passant par P. Au passage de la première surface, le rayon incident est réfracté suivant le rayon AB et continue virtuellement jusqu'à Q' conformément au comportement d'une surface sphérique convexe. Il nous faut donc appliquer la relation démontrée plus haut pour le dioptre convexe:

  (39.87)

En B le rayon subit une deuxième réfraction et devient le rayon BQ conformément au comportement d'une surface sphérique concave. Nous pouvons imaginer que le rayon incident en B provient d'un point P' virtuel (non représentable sur la figure ci-dessus) se trouvant sur l'axe optique et plongé dans le matériau virtuellement étendu vers la droite de la lentille (c'est le côté difficile de cette démonstration... il faut se l'imaginer!).

Il nous faut donc appliquer la relation démontrée plus haut pour le dioptre concave mais en prenant garde cette fois-ci à l'ordre des indices de réfraction absolus (piège subtil!) et en imaginant que le point:

  (39.88)

Comme nous considérons que la lentille est entourée d'air (indice de réfraction unitaire), nous avons alors:

  (39.89)

Nous allons faire maintenant l'hypothèse que l'épaisseur de la lentille tend vers zéro. En d'autres termes que ses deux rayons de courbure tendent vers l'infini. Nous avons alors:

  (39.90)

En identifiant terme à terme et en se rappelant que ce qui est à gauche de l'origine est négatif, nous avons alors:

  (39.91)

tout en faisant subtilement abstraction des deux autres termes... (on comprend aisément pourquoi cette démonstration est souvent omise dans la littérature...).

Dès lors, les deux relations antéprécédentes deviennent:

  (39.92)

En sommant il vient au final:

  (39.93)

et qui est souvent notée sous la forme suivante, appelée "première formule de Descartes pour les lentilles minces" ou "équation des lentilles minces":

  (39.94)

Tout en prenant bien garde à réadapter la schématique:

Figure: 39.14 - Lentille mince épurée avec la notation traditionnelle

En écrivant cette équation, il convient d'appliquer à la convention des signes que nous avons fixée, c'est-à-dire que les rayons sont positifs pour une surface concave et négatifs pour une surface convexe, vue du côté sur lequel la lumière vient frapper la lentille. Ainsi, si les deux rayons sont les mêmes, nous avons:

  (39.95)

Le terme à droite de l'équation des lentilles minces est une constante propre uniquement aux caractéristiques physiques de la lentille qu'il d'usage d'appeller "puissance dioptrique" et dont l'unité est le "dioptre" et de noter:

  (39.96)

Le point O dans la figure précédente, est choisi de façon à coïncider avec le "centre optique" de la lentille. Le centre optique a pour propriété d'être un point tel que tout rayon passant par lui sort parallèlement à la direction du rayon incident!! C'est une propriété importante car tout point d'un objet se situant d'un côté de la lentille (peu importe lequel par symétrie) va émettre de la lumière dont certains rayons vont passer par le centre optique. Ce qui permet donc d'avoir des triangles semblables à gauche et à droite de l'axe de symétrie de la lentille et d'appliquer Thalès (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) pour calculer le grandissement.

Pour montrer qu'un tel point existe, considérons, dans la lentille ci-dessous (à symétrie horizontale et verticale):

Figure: 39.15 - Figure représentant la propriété du centre optique d'une lentille

Considérons les deux rayons de courbure parallèles générateurs des dioptres (éléments de la lentille sphérique mince) choisis tels que les plans tangents correspondants et sont par construction aussi parallèles.

Pour le rayon , dont la direction est telle qu'il se réfracte suivant , le rayon émergent est et parallèle à de par la symétrie horizontale de la lentille. Ainsi, les triangles et étant semblables quels que soient les "rayons générateurs", nous voyons ainsi que la position du centre optique O est satisfaite par la relation:

  (39.97)

et existe donc indépendamment des rayons générateurs.

Comme dans le cas d'un simple dioptre, le "foyer objet" , ou "premier point focal d'une lentille" est la position de l'objet pour laquelle les rayons émergent parallèlement à l'axe optique () après avoir traversé la lentille. La distance de la lentille au foyer objet est alors appelée "distance focale objet" nous la désignons dans la pratique souvent par la lettre f.

Figure: 39.16 - Premier point focal (source) est ici à gauche de la lentille

En posant alors et dans l'équation des lentilles minces sphériques:

nous obtenons la distance focale objet sous la forme suivante appelée "longueur focale de la lentille":

  (39.98)

De même dans le cas d'un simple dioptre, le "foyer image" , ou "deuxième point focal d'une lentille" est l'endroit où convergent les rayons lumineux après avoir traversé la lentille mais qui étaient avant la lentille parallèles entre eux et avec l'axe optique (). Ainsi, étant donné la symétrie centrale des lentilles minces sphériques il suffit de façon imaginaire d'inverse la photo précédente pour visualiser le concept:

Figure: 39.17 - Deuxième point focal (cible) est ici à droite de la lentille

La distance de la lentille au foyer image est alors appelée "distance focale image" nous la désignons dans la pratique par la même lettre f car par symétrie de la lentille mince, de la lentille, en posant et nous avons:

  (39.99)

Par conséquent, dans une lentille mince les deux foyers sont placés symétriquement de chaque côté!

Donc comme dans les deux l'inverse de la focale est égale à la puissance dioptrique (indépendant de p et q) rien ne nous empêche alors d'écrire l'équation des lentilles minces comme on l'a retrouve souvent dans les livres scolaires:

  (39.100)

Sous cette forme on l'appelle alors "l'équation des opticiens" ou encore "équation des lunetiers". Sous la forme simple suivante qui ne fait pas apparaître les propriétés physique de la lentille (et qui est souvent la relation vue dans les petites classes raison pour laquelle il semblerait qu'elle ait un nom différent):

  (39.101)

on l'appelle "équation de conjugaison" ou "deuxième formule de Descartes pour les lentilles minces".

Par ailleurs, si la distance focale est positive, et donc respectivement la puissance dioptrique aussi, alors la lentille est dite "lentille convergente":

Figure: 39.18 - Exemples de lentilles convergentes (biconvexe, plan-convexe, convexe ménisque)

si la distance focale est négative, et donc respectivement la puissance dioptrique aussi, elle est dite "lentille divergente":

Figure: 39.19 - Exemples de lentilles divergentes (biconcave, plan-concave, concave ménisque)

Signalons aussi les représentations techniques traditionnelles suivantes:

Figure: 39.20 - Symboles techniques lentille convergente/divergente

Revenons maintenant sur la définition du grandissement pour tout système optique qui était naturellement pour rappel le rapport de la grandeur de l'image (réelle ou virtuelle) ab à celle de l'objet réel AB, c'est-à-dire:

  (39.102)

Donc dans le cas d'une lentille sphérique mince symétrique dont les rayons passent par le centre optique nous obtenons des rayons qui décrivent des triangles semblables de chaque côté de l'axe de symétrie de la lentille mince sphérique nous avons alors en appliquant Thalès:

  (39.103)

Soit le même résultat que celui obtenu déjà plus haut.

Exemple:

Les deux faces d'une lentille biconvexe ont un rayon de 3 [cm]. L'indice du matériau la lentille est de 1.52. Un objet de 1.80 [m] de hauteur est placé à 14 [m] de la lentille (peut importe que cela soit à gauche ou à droite de la lentille puisqu'elle est supposée biconvexe et donc symétrique). Alors la puissance dioptrique de la lentille est d'abord:

  (39.104)

Ce qui est déjà bien une valeur positive et donne donc une focale (image ou objet peu importe de par la symétrie de la lentille mince sphérique!) d'environ 28.84 centimètres (donc il vaut mieux avoir une appareil photo avec un téléobjectif dans le cas présent). Nous remarquons, au vu de la valeur de la focale (foyer), que l'objet se trouve au-delà de la focale. La position de l'image sera donnée par:

  (39.105)

Soit:

  (39.106)

Donc l'image se trouve à environ 29.42 centimètres elle est aussi au-delà de la focale et sera par définition appelée "image réelle" inversée. Le grandissement sera lui de:

  (39.107)

La grandeur de l'image réelle inversée sera donc en q de:

  (39.108)

Soit environ 3.78 centimètres.

Nous avons donc:

  (39.109)

Si nous voulons un grandissement (un zoom), nous devons donc avoir:

  (39.110)

Soit:

  (39.111)

Soit trivialement:

  (39.112)

Enfin:

  (39.113)

Donc pour qu'il y ait grandissement (grossissement) il faut donc que l'objet réel se situe entre le centre de courbure et l'axe vertical de symétrie de la lentille convergente.

À toutes fins utiles, indiquons la figure suivante:

Figure: 39.21 - Lentille plan-courbe pleine

et donc une lentille plan-courbe pleine, comme un miroir parabolique, a la propriété de rendre parallèles les rayons partis de son foyer; elle produit par réfraction l'effet que le miroir parabolique produit par réflexion.

Fresnel inventa une lentille que l'on voit dans de nombreux phares et qui permet d'obtenir le même résultat avec moins de matière:

Figure: 39.22 - Lentille de Fresnel (réelle dans le coin en bas à gauche et schémas de principe à droite)

Faisons un peu de biologie pour clore...:

Le cristallin de l'oeil pouvant se déformer sous l'effet de certains muscles, constitue une lentille à focale variable permettant d'accommoder la vision des objets à distance variable. La distance du centre optique à la rétine étant fixe, le seul moyen de voir clairement des objets situés à des distances différentes est de modifier la distance focale. Dans son état ordinaire, le cristallin a une configuration assez plate, avec un grand rayon de courbure (il a alors une grande distance focale).

L'oeil a pour rôle de focaliser la lumière provenant d'un objet à l'infini (environ 25 centimètres pour un humain moyen...) sur la rétine. Mais tous les yeux ne font pas cela correctement et le "punctum remotum" (distance maximale de vision distincte sans accommodation) est parfois à une distance finie, même parfois inférieure à cinq mètres (entraînant probablement une fatigue des yeux).

Si l'objet s'approche, les muscles se contractent, le cristallin gonfle et sa distance focale diminue de façon que l'image se forme toujours sur sa rétine. Le point le plus proche qui peut être vu clairement avec le maximum d'accommodation est appelé le "punctum proximum". Cette distance évolue beaucoup avec l'âge: elle est de dix centimètres pour un enfant de dix ans, de cent centimètres pour une personne de soixante ans (c'est la presbytie).

PRISME

En optique, le prisme est un des composants les plus importants. On le retrouve en chimie, en physique de la matière condensée, en astrophysique, en optoélectronique et encore dans beaucoup d'autres appareils courants de la vie de tous les jours (comme les lentilles). Il s'agit probablement du premier outil façonné par l'homme pour faire de la "spectroscopie" (analysie du spectre) après l'arc-en-ciel (qui lui est un phénomène naturel de la spectroscopie).

Nous allons dans les paragraphes qui suivent déterminer les relations les plus importantes à connaître relativement aux prismes et utiles à l'ingénieur et au physicien.

Nous nous intéressons aux rayons lumineux entrant par une face et sortant par une autre ayant subi deux réfractions (nous n'étudierons pas les réflexions).

Voici la représentation type d'un prisme en optique géométrique avec le rayon incident S et sortant S ' et les deux normales N, N ' aux arêtes du sommet d'ouverture . Plus les divers angles d'incidence et de réfraction:

Figure: 39.23 - Représentation générique du prisme

Nous savons que la somme des angles d'un quadrilatère (toujours décomposable en deux triangles dont la somme des angles est ) vaut . Donc dans le quadrilatère délimité par les sommets 1234. Nous avons la somme:

  (39.114)

Maintenant que la situation est posée passons à la partie optique...

Nous avons quatre relations fondamentales à démontrer pour le prisme.

D'abord, nous avons au point d'incidence I et I ' la loi de Descartes qui nous permet d'écrire:

  (39.115)

Comme l'indice de réfraction absolu de l'air est de 1 alors nous avons simplement en I:

  (39.116)

Dans la même idée en I ' nous avons:

  (39.117)

Donc:

  (39.118)

Nous avons aussi la relation:

  (39.119)

Soit:

  (39.120)

L'angle de déviation D est facile à déterminer. Il suffit de prendre le quadrilatère central:

  (39.121)

Donc:

  (39.122)

Nous avons donc les 4 relations fondamentales du prisme:

  (39.123)

Connaissant i et i' et l'indice de réfraction relatif m nous pouvons alors déterminer tous les paramètres.

L'idéal serait encore de pouvoir se débarrasser de la connaissance expérimentale de i'.

Nous avons donc:

  (39.124)

Or:

  (39.125)

Ainsi, il vient:

  (39.126)

Donc:

  (39.127)

Puisqu'il est avéré que l'indice m d'un milieu varie avec la longueur d'onde suivant la loi de Cauchy, on comprend aisément que le prisme est capable de disperser la lumière blanche.

Enfin, si i est petit :

  (39.128)

et si i et  sont petits, nous avons au premier ordre en développement de Maclaurin:

  (39.129)

Donc :

  (39.130)

soit en introduisant explicitement la loi de Cauchy:

  (39.131)

ARC-EN-CIEL

Un arc-en-ciel est un phénomène optique et météorologique qui rend visible le spectre continu de la lumière quand le soleil brille pendant la pluie et que l'observateur contemple le ciel dans une direction opposée à celle du soleil. C'est un arc coloré avec le rouge à l'extérieur et le violet à l'intérieur.

L'arc-en-ciel est provoqué par la dispersion de la lumière du soleil par des gouttes de pluie approximativement sphériques. La lumière est d'abord réfractée en pénétrant la surface de la goutte, subit ensuite une réflexion partielle à l'arrière de cette goutte et est réfractée à nouveau en sortant. L'effet global est que la lumière entrante est principalement réfractée vers l'arrière sous un angle d'environ 40-42°, indépendamment de la taille de la goutte. La valeur précise de l'angle de réfraction dépend de la longueur d'onde (la couleur) des composantes de la lumière. Dans le cas de l'entrée dans un milieu plus réfringent, l'angle de réfraction de la lumière bleue est inférieur à celui de la lumière rouge (phénomène mis en évidence dans les prismes). Ainsi, après réflexion à l'interface eau-air, la lumière bleue sort d'une goutte au-dessus de la lumière rouge (voir figure ci-contre). L'observateur étant fixe, il voit la lumière issue de différentes gouttes d'eau avec des angles différents par rapport à la lumière du soleil. Le rouge apparait donc plus haut dans le ciel que le bleu.

Parfois, un second arc-en-ciel moins lumineux peut être aperçu au-dessus de l'arc primaire. Il est provoqué par une double réflexion de la lumière du soleil à l'intérieur des gouttes de pluie et apparaît sous un angle de 50-53° dans la direction opposée au Soleil. En raison de la réflexion supplémentaire, les couleurs de ce second arc sont inversées par rapport à l'arc primaire, avec le bleu à l'extérieur et le rouge à l'intérieur, et l'arc est moins lumineux. C'est la raison pour laquelle il est plus difficile à observer. Un troisième arc-en-ciel peut être présent au voisinage du second, et inversé par rapport à celui-ci (donc identique au premier). Il est cependant nettement moins lumineux et observable uniquement dans des conditions exceptionnelles. En pratique, il n'est pas très facile à distinguer des arcs surnuméraires associés à l'arc secondaire. Il correspond aux rayons lumineux ayant subi cinq réflexions dans les gouttes d'eau. Deux arcs inversés l'un par rapport à l'autre peuvent également être observés dans la direction opposée, à environ 45° du Soleil (donc dans la direction de celui-ci), mais ceci est particulièrement difficile du fait de la proximité du Soleil. Les rares observations de ces deux arcs font mention de morceaux d'arcs visibles par intermittence. Ces deux arcs correspondent aux rayons lumineux ayant subi trois et quatre réflexions dans les gouttes d'eau. Comme ils sont situés face au Soleil, ce ne sont pas les mêmes gouttes d'eau qui y contribuent. En pratique, les configurations favorables à leur observation sont nettement moins nombreuses que celles qui sont favorables à l'observation de l'arc secondaire, en particulier en raison de leur proximité du Soleil.

Pour étudier le phénomène considérons d'abord la goutte sphérique ci-dessous avec un rayon de lumière incident (une réfraction, deux réflexions) dont nous avons représenté la composante rouge et violet (les angles y sont approximatifs) ainsi que les indices de réfraction de l'eau et de l'air:

Figure: 39.24 - Goutte d'eau sphérique génératrice de l'arc-en-ciel

Nous cherchons à déterminer l'angle entre le rayon lumineux entrant  (faisceau considéré comme contenant toutes les composantes de la lumière visible) supposé monochromatique et le rayon lumineux sortant (à l'opposé du Soleil: antisolaire). Ainsi, la différence d'angle pour deux couleurs, nous donnera l'angle par lequel nous devons changer notre regard pour observer deux couleurs différentes dans l'arc-en-ciel.

Pour cette étude, nous allons considérer la figure approximative suivante:

Figure: 39.25 - Chemin parcouru par la lumière dans la goutte d'eau

Avec la loi de Snell-Descartes nous avons dans un premier temps:

  (39.132)

Ce qui nous intéresse ici est donc l'angle de réflexion apparent , que nous noterons D (attention! certains auteurs choisissent la convention ). Pour le déterminer, nous partons de la relation suivante du triangle ABE:

  (39.133)

Il vient alors:

  (39.134)

D'où:

  (39.135)

Ce que nous noterons finalement:

  (39.136)

et comme:

  (39.137)

Il vient:

  (39.138)

ce qui est parfois noté un peu abusivement:

  (39.139)

Si nous faisons une application pratique, nous avons pour le rouge 750 [nm] avec par exemple un angle d'incidence de 30° dans la goutte d'eau:

  (39.140)

et pour le violet 400 [nm] avec le même angle d'incidence de 30° dans la goutte d'eau:

  (39.141)

Soit une différence d'angle d'environ 2.4°.

Enfin, nous pourrions nous intéresser à l'angle  pour lequel l'angle D est maximum (ce qui correspond à l'arc-en-ciel le plus visible en termes de taille dans la réalité). Nous partons alors de:

  (39.142)

et nous cherchons les solutions de:

    (39.143)

avec .

Rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que:

  (39.144)

Nous avons alors:

  (39.145)

d'où:

  (39.146)

De là nous tirons:

  (39.147)

c'est-à-dire:

  (39.148)

car nous cherchons les solutions avec  et que le cosinus est positif sur cet intervalle.

Ainsi:

  (39.149)

Il vient alors pour n valant ~0.746:

  (39.150)

ce qui correspond relativement bien à la réalité (l'angle avec lequel nous levons la tête pour voir l'arc-en-ciel le plus visible/large).

La déviation correspondante est alors de:

  (39.151)

et s'appelle "angle de l'arc-en-ciel".

Ainsi, les rayons lumineux perçus par l'observateur et dans lesquels le rouge (bord externe de l'arc-en-ciel) domine correspondent à l'ensemble des rayons issus du mur de pluie et faisant un angle d'environ 40° avec la direction des rayons solaires (voir figure ci-dessous). Les rayons lumineux constituant chaque couleur de l'arc-en-ciel forment alors des cônes de sommet les yeux de l'observateur et d'axe le rayon solaire passant par les yeux de l'observateur:

Figure: 39.26 - Figure représentant la génération de l'arc-en-ciel (source: ENS Culture-Sciences)

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