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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Le Génie Mécanique désigne l'ensemble des connaissances liées à la mécanique, au sens physique (sciences des mouvements) et au sens technique (étude des mécanismes). Ce champ de connaissances va de la conception d'un produit mécanique au recyclage de ce dernier en passant, bien sûr par la fabrication, la maintenance, etc.

Ses applications sont très importantes dans de nombreux domaines de la vie de tous les jours que ce soit pour la fabrication de machines, de jouets, d'appareils électro-ménagers ou encore d'immeubles ou de toutes sortes de moyens de transports... et la liste est encore longue...

Encore une fois, nous allons nous concentrer ici uniquement sur la formalisation mathématique de cas pratiques d'applications courantes! Donc ce chapitre est seulement une introduction générale des applications techniques de la mécanique et doit être complété par des travaux pratiques en laboratoire ainsi que par la lecture du chapitre de Thermodynamique où l'équation d'état des solides y est traitée.

ENGRENAGES

Un engrenage est un système mécanique composé de deux roues dentées engrenées servant  à la transmission du mouvement de rotation entre elles ou à la propulsion d'un fluide (nous parlons alors de pompe à engrenages):

Figure: 70.1 - Système d'engrenage à deux roues dentées circulaires

L'inventeur de la roue dentée est non moins que le célèbre mathématicien, ingénieur et physicien Archimède.

Nous trouvons les engrenages absolument partout dans notre quotidien: voitures, vélos, montres, chaises réglables, etc. Nous conseillons par ailleurs vivement au lecteur de penser aux engrenages (plateaux et pignons liés par une chaîne de transmission) de son vélo pour interpréter les résultats qui vont suivre.

Il m'a semblé donc important de présenter très brièvement comment calculer le pas de denture d'une roue cylindrique en fonction d'une autre pour le plus connu des engrenages qui est "l'engrenage cylindrique" comme celui représenté ci-dessous:

Figure: 70.2 - Engrenage cylindrique avec grammaire

Pour assurer l'entraînement, nous devons donc faire  en sorte que les dents d'une des roues cylindriques de diamètre  s'intercalent bien entre les dents d'une autre roue de diamètre . Pour cela, il nous faut introduire la notion de "pas" de la denture de chaque roue que nous noterons respectivement  et .

Pour cela nous allons utiliser l'hypothèse que le point de friction des dents est assimilable aux diamètres (représentés ci-dessous par des cercles noirs) qu'auraient les roues cylindriques s'il n'y avait pas de glissement (et donc pas besoin de dents...) de la même façon que l'engrenage. Ces cercles sont appelés "cercles primitifs", ou "cylindres primitifs" ou encore "diamètres primitifs".

Le pas des dents va s'exprimer donc en fonction de la circonférence et du nombre de dents sur chaque roue. Si nous notons  le nombre de dents d'une roue cylindrique 1 et   le nombre de dents d'une roue cylindrique 2, nous avons alors les pas qui valent respectivement:

  (70.1)

et comme pour que l'engrenage fonctionne il faut que les deux pas soient égaux:

  (70.2)

Nous obtenons alors:

  (70.3)

où m est appelé le "module de denture". Nous retiendrons donc que:

  (70.4)

Nous observons aussi de par les relations ci-dessus que le pas est donc proportionnel au module de denture (le choix d'un gros module donne un nombre de dents faible et le choix d'un petit module un grand nombre de dents).

Le choix du module d'un engrenage s'effectue (parmi des valeurs normalisées) à partir de critères de résistance à la rupture ou de résistance à l'usure.

RAPPORTS DE TRANSMISSION

Le "rapport de transmission" appelé aussi "rapport de réduction" d'un engrenage ou d'un système de poulies très important dans le domaine de la mécanique et est défini par:

  (70.5)

et donc si la vitesse de rotation (pulsation) est constante (voir le chapitre de Mécanique Classique pour les calculs détaillés de la cinématique du mouvement circulaire) et ne varie plus entre le démarrage et le fonctionnement nominal, il vient:

  (70.6)

Il s'agit d'une technique très utilisée dans les voitures (en général presque dans tous les moteurs):

Figure: 70.3 - Moteur avec quelques poulies et courroies de transmission

aussi bien que dans presque toutes les montres mécaniques:

Figure: 70.4 - Système d'engrenage avec rapport de transmission particulier d'une montre

Nous avons aussi bien évidemment:

  (70.7)

Donc, le rapport des vitesses de rotation (pulsation) entre l'arbre de sortie et l'arbre d'entrée est égal au rapport des angles parcourus entre l'arbre de sortie et l'arbre d'entrée.

Nous avons de même:

  (70.8)

et comme au point de contact il y a frottement sans glissement alors les deux vitesses sont égales et donc au final:

  (70.9)

L'égalité:

  (70.10)

est souvent appelée aussi "rapport de réduction". Il est bien évidemment important de considérer un rapport de réduction sous forme fractionnaire comme une chose qui existe. Ainsi, pour un r donné il faut chercher la fraction la plus proche.

Il paraît clair que si l'engrenage est réducteur de vitesse alors:

  (70.11)

Raison pour laquelle en vélo, lorsque nous sommes en descente et que la roue motrice tourne très rapidement, nous allons favoriser un grand plateau et un petit pignon ( très grand par rapport à ). Ainsi, avec à 60 [km/h] en descente, une roue de vélo de cours de rayon d'environ 35 [mm] aura une vitesse de rotation:

  (70.12)

or il n'est pas concevable de tourner les jambes aussi vite pour aller encore plus vite... Donc avec un rapport plateaux/pignons de 53/12, nous aurons:

  (70.13)

ce qui est déjà beaucoup plus acceptable... pour aller encore plus vite.

Maintenant observons ce qui se passe au niveau du moment de force (qu'il est dur par exemple en vélo de grimper une côte avec un grand plateau et un petit pignon et nous allons voir pourquoi il vaut mieux favoriser un petit plateau avec un grand pignon).

Revenons sur notre schéma en représentant un moment de force constant dont le module   est appliqué sur un pignon à l'engrenage d'entrée de rayon  selon (cf. chapitre de Mécanique Classique):

  (70.14)

La force tangentielle sur l'engrenage d'entrée est la même que celle qui fait tourner l'engrenage de sortie

Figure: 70.5 - Engrenage cylindrique avec forces sur pont de contact

Nous avons alors pour les deux engrenages, en l'absence de force de frottement et en considérant que la force au point de contact des deux engrenages est perpendiculaire aux deux rayons respectifs, les relations suivantes :

  (70.15)

Nous égalisons alors:

  (70.16)

et donc:

  (70.17)

et donc:

  (70.18)

Ainsi, pour reprendre notre exemple du vélo... si nous souhaitons appliquer le plus grand moment de force possible à la roue arrière en minimisant le moment de force que nous fournissons sur le pédalier alors la meilleure stratégie selon la relation déterminée ci-dessus est de mettre le plus petit plateau possible associé au plus grand pignon (l'idéal serait d'avoir un plateau plus petit que le plus grand des pignons pour avoir un rapport de transmission supérieur à l'unité).

Attention! Le principe des poulies/engrenages avec rapport de transmission est un fantastique démultiplicateur de force mais en aucun cas il démultiplie le travail!

ASSOCIATION D'ENGRENAGES

Pour des raisons de contraintes géométriques ou mécaniques, il est parfois nécessaire de construire des étages d'engrenages comme le montre par exemple le train de rouage à 4 roues de la figure ci-dessous (nous allons voir un exemple une fois les notions de base introduites):

Figure: 70.6 - Exemple de train d'engrenage en 3D

Soit sous forme schématique technique (non conforme aux normes VSM Suisses mais pratique):

Figure: 70.7 - Train d'engrenage 2D équivalant

Le rapport de transmission global sera alors donné pour la vitesse de rotation par:

  (70.20)

où la quatrième égalité se simplifie parce que dans le cas particulier ci-dessus:

 et   (70.21)

Nous pouvons aussi exprimer la transmission totale en termes de diamètres. Puisque nous avons démontré que:

  (70.22)

il vient alors immédiatement:

  (70.23)

expression que nous ne pouvons pas simplifier!

Ainsi, dans le cadre d'une transmission d'une montre à complication astronomique, le rapport de transmission a été obtenu en déterminant la fraction rationnelle 1802/217. Cela étant très difficile à mettre en oeuvre avec uniquement deux engrenages, nous allons construire simplement à l'aide de trois axes et quatre roues (à 7, 31, 34 et 53 dents) le même rapport – qui heureusement n'est pas irréductible - de la façon suivante:

  (70.24)

Exemple:

Nous souhaitons avec un train à 4 roues sur 2 axes, entraîné par l'axe des heures (qui fera un tour en 12 heures), réaliser un rapport r de transmission très précis, pour réaliser l'entraînement d'une complication de montre incluant une phase de lune par le classique disque portant 2 lunes et tournant derrière un masque.

Le nombre maximum de dents par roue ne devra pas excéder 300 dents et ne descendra pas en dessous de 7. La précision sera la meilleure permise dans les limites de ces nombres de dents.

Nous prendrons pour la lunaison 29 jours 12 heures 44 minutes et 2.9 secondes, soit 2'551'442.9 secondes.

Le calcul du rapport recherché est relativement simple. Le disque à deux lunes fait un tour complet en 2 lunaisons, soit en 5'102'885.8 secondes. La roue du garde-temps fait un tour en 12 heures, soit 43'200 secondes.

Pour un tour du disque à 2 lunes (axe mené) l'axe de la roue 12h (axe menant) fait :

  (70.25)

et en arrondissant comme ci-dessous, nous avons une erreur d'environ 3 dix-millième de seconde par tranche de 12 heures. Soit environ 0.2 secondes par année de retard. Ce qui est acceptable pour une montre mécanique.

En arrondissant à:

  (70.26)

nous avons une erreur d'environ 30 secondes par année ce qui reste toujours acceptable pour une montre mécanique. Si nous enlevons encore une décimale, nous avons alors un retard de 6 minutes par année, en enlevant encore une décimale supplémentaire, nous aurions un retard de 49 minutes (ce qui reste toujours acceptable pour nombre de montres mécaniques). Par contre au-delà ce n'est plus acceptable!

Maintenant, pour trouver la fraction rationnelle décomposable la plus proche de ce chiffre il existe de nombreuses méthodes empiriques (par tâtonnement ou en utilisant un arbre de Brocot) et des tables mais la moins pire... pour moi... est celle utilisant les fractions continues (cf. chapitre de Théorie des Nombres) quand elle est applicable...

Rappelons que nous avons vu démontré que:

  (70.27)

en considérant:

  (70.28)

Si nous notons x le rapport a/b alors les relations ci-dessous nous donnent que  est la partie entière de x,  la partie entière de  soit de  et ainsi de suite

Nous avons alors dans notre cas:

  (70.29)

Soit après une mise au dénominateur commun:

  (70.30)

Si la différence (erreur) entre cette fraction et la valeur exacte est acceptable (il suffit de calculer l'erreur de temps que cela provoque après une année de fonctionnement de la montre par exemple), nous nous arrêtons ici. Mais il y a un deuxième critère... le numérateur et le dénominateur doivent être décomposables de manière satisfaisante relativement aux exigences du nombre de dents. Or dans le cas présent, le dénominateur (5788) n'est pas décomposable de manière satisfaisante par rapport à nos contraintes (faites la décomposition avec la commande ifactor de Maple 4.00b et vous verrez!).

Si nous continuons à développer notre fraction continue, nous ne trouverons pas de solution acceptable avant que le numérateur ou le dénominateur dépasse la valeur maximale admise de .

Dès lors, nous revenons par exemple à la fraction (bon ce n'est pas une approximation acceptable car dans la réalité le déréglage de la montre se fera trop vite):

  (70.31)

et nous trichons un peu par essais successifs jusqu'à trouver un bon rapport:

  (70.32)

Ensuite, comme nous avons un train à quatre roues, nous devons avoir:

  (70.33)

et nous prenons alors (toujours en nous aidant de la commande ifactor de Maple 4.00b):

  (70.34)

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX (R.D.M.)

La résistance des matériaux (R.D.M. se dit "ResDem" pour les intimes...) est, comme tous les autres chapitres de ce site, un domaine extrêmement vaste dont le niveau de détail et la complexité des calculs peut exploser. Nous allons dans les paragraphes qui suivent nous attarder sur l'essentiel que l'ingénieur (en entreprise) doit savoir. Les développements sont simplifiés à l'extrême pour des cas particuliers triviaux (barres et poutres rectilignes). Dans la réalité, il faut utiliser le calcul tensoriel, les plans d'expérience ou la modélisation informatique avec les MEF (méthodes des éléments finis).

Avant de commencer à étudier quelques cas concrets simples faisons quelques rappels des démonstrations issues du chapitre de Mécanique des Milieux Continus:

Le solide considéré comme rigide n'existe pas, ce n'est qu'une approximation commode. L'expérience montre en effet qu'un solide est toujours légèrement déformable sous l'effet de forces extérieures.

Les relations entre déformations et tensions sont en général compliquées par suite de l'anisotropie des réseaux cristallins. Cependant, les solides n'étant généralement pas des monocristaux mais des substances polycristallines, constituées d'assemblages de microcristaux associés au hasard, ils peuvent être considérés comme isotropes.

Ensuite, il convient de considérer globalement les hypothèses suivantes relativement aux développements qui vont suivre:

H1. La matière est homogène, c'est-à-dire pour rappel de même constitution physique et de même structure dans tout le volume de la pièce.

H2. La matière est isotrope, c'est-à-dire pour rappel que ses propriétés mécaniques sont les mêmes en tout point du corps.

H3. La matière est parfaitement élastique, c'est-à-dire pour rappel qu'après élimination des efforts extérieurs, la pièce reprend immédiatement ses dimensions primitives (au contraire de la limite plastique!).

H4. Les déformations (déplacements des points de la ligne caractéristiques) sont petites par rapport aux dimensions des objets étudiés.

H5. Toute section droite (sections transversales) avant déformation reste droite après déformation (hypothèses de Navier-Bernoulli).

H6. Les résultats obtenus en R.D.M. ne s'appliquent valablement qu'à une distance suffisamment éloignée de la région d'application des efforts concentrés (Hypothèse de Barré de Saint Venant).

H7. Dans le domaine élastique, la matière obéit à la loi de proportionnalité et dons les déformations sont liées par la loi de Hooke démontrée dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus. Cette loi linéaire permet d'appliquer le principe de superposition des forces et des déformations à la résistance.

Nous avons vus dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus que la loi de Hooke stipule, lorsque les déformations sont réversibles, qu'il y a proportionnalité entre tension et déformation (une des variantes de formulation de la loi de Hooke):

  (70.35)

ou:

  (70.36)

où E est le module de Young,  la déformation normale et  la contrainte normale. Indiquons que le rapport:

  (70.37)

est souvent appelée "raideur de la barre" dans la littérature spécialisée et est souvent notée k.

Nous avons également démontré dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus que la contrainte tangentielle était donnée par:

  (70.38)

où G est le module de cisaillement, est l'angle de déformation et  le coefficient de Poisson, nombre sans dimensions. Nous avons donc une relation entre le module d'élasticité et de rigidité valable dans le cas des petites déformations.

Nous avons vu également dans le même chapitre que pour un solide ou un liquide soumis à une surpression isotrope uniforme nous avions:

  (70.39)

Le coefficient de compressibilité est donc un nombre positif, par conséquent en utilisant la relation précédente, nous avons:

  (70.40)

et vient alors un résultat connu:

  (70.41)

Donc le coefficient de Poisson ne peut pas être plus grand que ½ et il peut être négatif (dans ce dernier cas nous parlons alors de matériaux auxétiques).

Enfin, rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus que la contraction unitaire selon l'axe z était donnée lors d'une traction selon l'axe x par:

  (70.42)

Soit autrement écrit (en se concentrant sur le plan XZ):

  (70.43)

Soit:

  (70.44)

Et c'est ce que montre la figure ci-dessous:

Figure: 70.8 - Traction sur une pièce test

Nous avons également démontré dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus la relation suivante lors de notre étude du module de flexion:

  (70.45)

qui exprime le moment de flexion pour une poutre sous un effort M (moment de force), la travée d'écrivant alors un arc de cercle de rayon de courbure R et où I caractérise la "rigidité de forme" du matériau ayant une aire transversale donnée. C'est une relation très importante dans de nombreux domaines de la construction (navale, automobile, architecture, etc.).

MOMENTS QUADRATIQUES

Voyons les trois moments d'inerties statiques  classiques du domaine de la RDM car souvent rencontrés dans la pratique (construction).

1. Moment d'inertie statique transversal de la plaque rectangulaire de côté b et hauteur h:

Figure: 70.9 - Plaque rectangulaire et axe d'inertie

Le domaine occupé par la plaque est donné par:

  (70.46)

Nous avons alors:

  (70.47)

2. Moment d'inertie statique transversal d'un disque de diamètre:

Figure: 70.10 - Disque et axe d'inertie

Ici le domaine d'intégration est:

  (70.48)

où d est le diamètre du disque.

Nous avons toujours:

  (70.49)

Pour calculer cette intégrale, nous utilisons les coordonnées polaires:

  (70.50)

Le jacobien de la transformation est égal à r (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Nous obtenons:

  (70.51)

3. Moment d'inertie statique d'une couronne de diamètre extérieur D et diamètre intérieur d:

Figure: 70.11 - Couronne et axe d'inertie

Ici le domaine d'intégration est:

  (70.52)

où D et d sont respectivement les diamètres du grand et du petit disque.

Si nous notons  le domaine du grand disque et  celui du petit disque alors:

  (70.53)

en utilisant le moment d'inertie statique du disque.

Pour résumer, nous avons donc:

  (70.54)

et enfin il existe aussi le moment quadratique polaire de S par rapport à un point O:

  (70.55)

Il est donc aisé dans des cas simples de connaître le moment d'inertie polaire et celui-ci est très utile dans le cadre de l'étude de la torsion.

Il découle de ces outils que plus les éléments de la section sont situés loin de l'axe, plus le moment quadratique sera important et plus (nous le démonterons dans ce qui suit) les flèches seront faibles.

ÉQUATION DE LA LIGNE ÉLASTIQUE

Pour cet exemple de cas d'école mais très utilisé dans la pratique nous allons d'abord devoir obtenir mathématiquement la forme géométrique que prend la fibre neutre d'une poutre soumise à des efforts de flexion.

En faisant l'hypothèse que les déformations sont faibles et que le poids de la poutre est faible devant la force qui plie la poutre, nous pouvons faire le schéma suivant:

Figure: 70.12 - Poutre (simplifiée...) soumise à un effort

Par définition de la dérivée et en vertu de l'hypothèse des faibles déformations (cela fonctionne donc quand même bien jusqu'à 45°...):

  (70.56)

Soit en dérivant encore une fois:

  (70.57)

D'autre part, la figure montre que (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (70.58)

Mais du fait que la courbe de la fibre neutre s'écarte peu de l'axe y (déformations faibles), nous pouvons écrire:

  (70.59)

Donc:

  (70.60)

Ainsi, nous pouvons écrire en utilisant les relations obtenues plus haut:

  (70.61)

qui est donc l'équation différentielle donnant , appelée "équation de la ligne élastique".

Une autre approche courante mais moins intuitive pour obtenir la même relation est de partir de:

  (70.62)

et de rappeler que le rayon de courbure R est donné par (cf. chapitre de Géométrie Différentielle):

  (25.63)

Soit en adaptant l'écriture à notre contexte:

  (25.64)

et en négligeant la dérivée première pour les faibles déformations nous retrouvons bien:

  (25.65)

Exemples:

E1. Poutre encastrée que d'un seul côté dite "poutre en porte à faux" (cas classique dans la construction et les habitations) avec charge concentrée (ponctuelle) à l'extrémité:

Figure: 70.13 - Poutre encastrée d'un seul côté avec force ponctuelle

Dans la section S quelconque, le moment de force (de flexion) vaut donc:

  (70.66)

D'autre part:

  (70.67)

En éliminant R entre ces deux relations, il reste:

  (70.68)

La figure montre que les conditions aux limites sont:

  (70.69)

Nous tirons après intégration:

  (70.70)

Soit:

  (70.71)

Si  la déformation est maximale et z prend donc la valeur maximale f appelée la "flèche". Il s'ensuit:

  (70.72)

Soit la déformation verticale maximale de l'extrémité pour une poutre encastrée que d'un côté est finalement:

  (70.73)

Toutes les données de cette relation nous sont connues (force, longueur, module de Young, inertie statique) et il est alors possible de déterminer si la barre va casser ou non car il suffit d'appliquer la relation démontrée plus haut:

  (70.74)

Et donc grâce à la relation:

  (70.75)

et sachant expérimentalement à partir de quelle valeur expérimentale de  le matériau casse on saura quand la barre cassera (du moins approximativement!) en connaissant la flèche f, le moment fléchissant M et le moment quadratique I.

Nous avons donc un résultat qui va nous être utile par la suite:

  (70.76)

et en intégrant de 0 à L nous retrouvons la flèche de notre poutre précédente!

E2. La poutre soutenue (appelée aussi "poutre à 2 appuis simples" ou "poutre isostatique") est l'exemple le plus classique en construction et donc en architecture (et ceux qui ont joué pendant l'enfance à mettre des lattes de bois pour passer par dessus une petite rivière). Il s'agit d'une poutre homogène, de section constante, reposant sur deux appuis libres à ses extrémités et soumis à une charge F en son centre:

Figure: 70.14 - Poutre soutenue avec force ponctuelle centrée

Nous pouvons donc considérer que tout se passe comme si nous avions F/2 aux deux extrémités de deux poutres de longueur L/2 (ainsi la somme vaut bien F, c'est-à-dire le moment fléchissant). Remarquons que nous négligeons le poids de la poutre devant F, mais F peut être tout simplement le poids de la poutre! En utilisant la dernière relation de l'exemple précédent, nous avons:

  (70.77)

Soit:

  (70.78)

Soit la déformation verticale maximale d'une poutre posé des deux côtés est finalement (en changeant un peu la notation):

  (70.79)

Ainsi, pour une même longueur de poutre, à F identique la flèche est donc 16 fois moindre que pour une poutre encastrée! Il était intuitif qu'elle soit moins élevée pour une force identique mais difficile de deviner qu'elle le serait d'un facteur 16!

C'est cette relation qui est aussi utilisée pour les poutres IPN (fameuses en construction!).

E3. Poutre encastrée que d'un seul côté dite "poutre en porte à faux" (cas classique dans la construction et les habitations) avec charge linéique constante w:

Figure: 70.15 - Poutre encastrée d'un seul côté avec force linéique constante

Le développement est simple mais certaines simplifications sont astucieuses afin d'obtenir un résultat élégant.

Nous partons toujours de l'équation de la ligne élastique en adoptant les écritures à la configuration choisie:

  (70.80)

Soit explicitement:

  (70.81)

Comme le moment de force M est nul en x = 0, nous avons la constante qui est nulle. Dès lors:

  (70.82)

En intégrant encore une fois, il vient:

  (70.83)

Comme pour x = L par hypothèse la déformation est nulle, nous avons la constante qui est alors donnée par:

  (70.84)

Soit:

  (70.85)

En intégrant encore une dernière fois:

  (70.86)

Et comme en x = L nous avons y qui est aussi nul, il vient pour la constante:

  (70.87)

Soit:

  (70.88)

et comme la flèche est de toute façon en x = 0, nous avons alors:

  (70.89)

ÉQUATION DES POUTRES (EULER-BERNOULLI)

Considérons maintenant le cas d'une poutre encastrée des deux côtés (cas encore plus courant que les deux exemples précédents!). L'analyse va être un peu plus difficile et il va nous falloir introduire plusieurs concepts.

Une poutre en pratique doit résister aux efforts suivants:

- Tension ou compression:

- Cisaillement (effort tranchant):

- Flexion (effort fléchissant):

Si une poutre est en équilibre, alors les efforts internes doivent satisfaire en tout point:

  (70.90)

Considérons maintenant une poutre encastrée à ses deux extrémités (poutre bi-encastrée) et prenons en un tranche de longueur infinitésimale dy telle que localement sa courbure soit nulle. La poutre sera supposée soumise à une force (poids) uniforme sur toute sa longueur (force qui peut aussi être assimilée à son propre poids comme nous l'avons déjà précisé plus haut). Il est alors d'usage de noter la force par unité de longueur (poids total divisé par la longueur) qui est bien évidemment une charge linéique:

Si la poutre est à l'équilibre une fois déformée (faiblement ou beaucoup déformée cela importe peu!) alors les sommes des forces de tension, compression, cisaillement et flexion doivent être nulles en chaque point comme nous l'avons déjà dit! Cela ne veut cependant pas dire qu'en chaque point de la ligne élastique les valeurs de chacun des forces est égale! Bien au contraire. Il y a bien évidemment des différences (sinon quoi il n'y aurait pas déformation).

Faisons alors d'abord la somme des forces locales de tension et de compression (horizontales) de l'élément de longueur dy. Nous avons alors schématiquement:

Soit algébriquement (le variationnel pouvant être négatif ou positif peu importe!):

  (70.91)

Si maintenant nous nous occupons des forces verticales à la source du cisaillement. Nous avons alors schématiquement:

Soit algébriquement (le variationnel pouvant être négatif ou positif peu importe!):

  (70.92)

Et finalement pour les moments de flexion la somme est aussi forcément nulle à l'équilibre. Cependant contrairement aux deux sommes algébriques précédentes où nous pouvions utiliser seulement le différentiel, nous devons pour les moments de flexion choisir un point R de référence puisque pour rappel... le moment de force est par définition le produit d'une force par une distance. Nous choisirons donc naturellement le centre de gravité:

La charge linéaire uniforme sur la longueur dy génère une de force à mi-distance de:

  (70.93)

mais comme elle est confondue aux chois de notre repère, alors son moment de force est nul!

Nous avons alors algébriquement:

  (70.94)

et si nous négligeons les différentiels d'ordre deux:

  (70.95)

Nous avons donc au final:

  (70.96)

Pour déterminer le moment de fléchissement à partir de la charge linéaire (ce qui intéresse en priorité le praticien), nous dérivons deux fois la troisième relation et faisons une substitution:

  (70.97)

Soit:

  (70.98)

Le problème avec cette dernière relation est la connaissance des moments. Il faudrait nous débarrasser absolument de ce terme. Ce que nous connaissons facilement c'est la fonction de déformation et nous avons démontré plus haut que:

  (70.99)

Il vient alors immédiatement en substituant la relation précédente dans l'antéprécédente:

  (70.100)

Il s'agit de la relation la plus important de la théorie des poutres car elle permet en connaissance la charge linéaire de déterminer la fonction de déformation ou inversement! Elle est tellement important qu'on l'appelle "équation des poutres" ou encore en honneur à ceux qui l'ont déterminé: "équation d'Euler-Bernoulli".

Comme il s'agit d'une équation différentielle d'ordre 4 qui va générer quatre constantes à chaque intégration, il nous faudra alors 4 conditions initiales pour la résoudre complètement.

Exemple:

Nous souhaiterions calculer la déformation d'une poutre fixée des deux côtés et chargée uniformément connaissant sa longueur L, son module d'élasticité E, son moment d'inertie I. Nous partons alors (nous changeons les notations pour montrer que selon les ouvrages les axes pris peuvent être notés différemment):

  (70.101)

avec les conditions initiales:

  (70.102)

Et intégrant à répétition, nous avons:

  (70.103)

Des deux conditions initiales:

  (70.104)

Il en découle que:

  (70.105)

Avec les deux autres conditions restantes, nous obtenons le système suivant qui doit nous permettre de déterminer les deux constantes restantes:

  (70.106)

Après il s'agit simplement de résoudre un simple système linéaire (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire):

  (70.107)

Donc une poutre bi-encastrée idéale soumise à une charge uniforme et décrite par:

  (70.108)

Pour déterminer la flèche, il nous faut donc chercher le point x où cette relation a un optimum. Nous avons alors:

  (70.109)

Il s'ensuite que la flèche à un maximum en x = L/2.En injectant cela dans y(x) nous obtenons la fameuse relation souventé donnée dans la littérature mais rarement démontrée:

  (70.110)

Il s'ensuit que la flèche d'une poutre est proportionnelle à la puissance quatrième de la longueur de la poutre! Une si forte dépendance impose des limitations significatives dans les constructions civiles basées sur des poutres.

énergie potentielle élastique

Après un survol rapide des diverses déformations élastiques des pièces sollicitées par les efforts fondamentaux, nous allons établir ici l'expression générale de l'énergie élastique accumulée dans une barre de forme quelconque sollicité par des efforts extérieurs.

Rappelons pour cette étude que nous pouvons écrire la loi de Hooke (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus) sous la forme suivante:

  (70.111)

et l'énergie potentielle élastique d'un ressort démontrée dans le chapitre de Mécanique Classique est donnée par:

  (70.112)

ou en déplacement relatif:

  (70.113)

Dans le domaine de traction (ou compression) longitudinale des barres, il est d'usage de considérer la barre comme un ressort (...) et alors d'utiliser la constante de raideur de la loi de Hook... en espérant que cela colle à l'expérience:

  (70.114)

où conformément à l'usage, nous notons le déplacement longitudinal L au lieu de x. En injectant la loi de Hook (oui... ça tourne un peu en rond...):

  (70.115)

Il suffit alors de diviser par la longueur de la barre pour avoir l'énergie linéique élastique:

  (70.116)

L'énergie volumique, notée traditionnellement comme en thermodynamique par une minuscule, est alors:

  (70.117)

TORSION

Rappelons au lecteur d'abord une étude faite dans le chapitre de Mécanique Classique sur le pendule de torsion où certains éléments avaient volontairement tus. Étudions cela plus en détails car très utile pour les arbres de transmission ou les ressorts dans la vie de tous les jours.

Considérons maintenant un fil cylindrique fixé en sa base et soumis à un moment de torsion . Sous l'effet de ce moment de torsion, la face supérieure du fil est décalée d'un angle  par rapport à la face inférieure, la matière subissant une tension de torsion (ou cisaillement):

Figure: 70.16 - Fil sous torsion

Imaginons à l'intérieur du fil un tube élémentaire de rayon r, d'épaisseur dr, et observons l'effet de la torsion sur ce tube déroulé (cela nous permettra une approche approximative du phénomène intéressé):

Figure: 70.17 - Extraction un élément du fil sous torsion

Cherchons une relation entre le moment de torsion  et l'angle de torsion .

Pour le tube déroulé, appliquons les relations du cisaillement:

  (70.118)

or la figure montre que (les déformations étant faibles) au premier ordre en série de Taylor (cf. chapitre sur les Suites et Séries):

  (70.119)

d'où:

  (70.120)

Le moment élémentaire dû à cette force est par définition du moment de force:

  (70.121)

Soit puisque  et  sont perpendiculaires:

  (70.122)

Le moment total vaut alors:

  (70.123)

donc:

  (70.124)

Nous retrouvons donc la relation du pendule de torsion que nous avions posé lors de notre étude du pendule de torsion dans le chapitre de Mécanique Classique avec comme différence que cette fois la constante k, la "constante de torsion" est explicite!!!!

Le numérateur de la constante k est appelé dans le domaine dans la résistance des matériaux "rigidité torsionnelle" et la constante k elle-même est souvent appelée "raideur de l'arbre" au lieu de "constante de torsion". Dans la pratique on cherche surtout à trouver la valeur numérique de l'expression suivante:

  (70.125)

puisque cela donnera l'amplitude angulaire de la torsion.

Voyons donc une application très importante au ressort de compression de type hélicoïdal  (l'approche est approximative à nouveau à défaut de mieux...) travaillant en torsion.

D'abord il faut bien se rendre compte que lorsqu'une force est appliquée au ressort, les extrémités vont tourner d'un angle  alpha faible (torsion) correspondant au parcours d'une distance x qui elle-même correspond au rétrécissement du ressort (ben oui! il faut bien que cette longueur soit reprise quelque part).

Soit alors un ressort de rayon extérieur R  (soit de diamètre D), de module de cisaillement G, avec un diamètre de corps d (diamètre du cylindre plié dont est composé le ressort):

Figure: 70.18 - Ressort spiral sous effort

Pour l'analyse nous aurons besoin simplement de mélanger plusieurs de relations démontrées jusqu'à maintenant. En premier lieu l'angle de torsion d'une poutre de longueur L (longueur du ressort en l'occurrence!):

  (70.126)

Avec:

  (70.127)

et:

  (70.128)

Par ailleurs, le moment de torsion s'écrit:

  (70.129)

Nous arrivons donc à:

  (70.130)

Remarque: Le rapport , au même titre que pour l'arbre, est appelé la "raideur du ressort".

Le déplacement (déformation) x vaut lui (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (70.131)

Nous arrivons finalement à:

  (70.132)

ce qui nous amène à la relation mondialement connue dans le monde dans la R.D.M. en ce qui concerne les ressorts:

  (70.133)

où k est la constante de "raideur du ressort"!! Si maintenant, nous utilisons l'expression de l'énergie potentielle élastique d'un ressort démontrée dans le chapitre de Mécanique Classique:

  (70.134)   (70.135)

nous pouvons alors déterminer l'énergie qu'un ressort spiral peut absorber.

FLAMBAGE

Nous terminons cette étude de la R.D.M. avec le flambage (cas d'étude classique en construction et mécanique) qui consiste à déterminer (dans un cas particulier simple) la force minimale  à partir de laquelle une barre de longueur L, de module de Young E fixée à ses deux extrémités peut plier (avec un rayon R) jusqu'à casser sans qu'il y ait besoin de trop augmenter la force  (il s'agit donc à nouveau d'une valeur d'indication!).

Dans l'étude de ce phénomène, nous considérons que dès que la barre commence à plier nous avons alors  (et nous ne sommes alors plus très loin de la force permettant de la casser).

Figure: 70.19 - Exemple de flambage

Lorsque la barre commence à plier nous avons alors une force  qui s'applique à chaque élément de volume de la barre mais comme ceux-ci ne sont pas distribués de la même manière selon l'axe z, ils ne créent pas le même moment de force!

À l'équilibre de la force de flambement, la barre soumet un moment de rappel. Nous avons alors:

  (70.136)

En exprimant le moment de flexion M au moyen de la relation:

  (70.137)

Il vient:

  (70.138)

En utilisant l'équation de la ligne élastique et en substituant, nous obtenons:

  (70.139)

soit:

  (70.140)

qui est l'équation différentielle de flambage permettant de calculer la force de flambage avec les conditions initiales:

  (70.141)

Indiquons que la relation:

  (70.142)

est très souvent écrite sous la forme suivante dans la littérature:

  (70.143)

La résolution de l'équation différentielle du second ordre:

  (70.144)

est relativement aisée (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) puisque l'équation caractéristique est:

  (70.145)

Nous avons alors la solution homogène:

  (70.146)

La condition  impose:

  (70.147)

Il vient alors:

  (70.148)

La deuxième condition  impose:

  (70.149)

Donc il vient immédiatement que:

  (70.150)

avec  (car k valant zéro n'est pas une solution physique possible et k entier supérieur à 1 signifierait que la barre plie sur plusieurs périodes ce qui n'est pas le cas puisqu'elle le fait seulement sur une demi-période comme le montrait la figure plus haut). Soit:

  (70.151)

Cette relation est parfois appelée "formule d'Euler" (à ne pas confondre avec la formule du même nom en théorie des graphes) et la charge limite la "charge ou force critique d'Euler" pour une poutre parfaitement encastrée aux extrémités. L'ensemble de l'étude étant le "flambage d'Euler".

TRACTION

Considérons maintenant le cas d'une barre suspendue seulement à son propre poids. La surface de sa section circulaire est S et h la hauteur totale de cette barre. Le module de Young du matériau est noté E (cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus) et  sa masse volumique.

Il est facile de constater qu'une section située à une altitude z supporte le poids du morceau de barre situé sous elle:

  (70.152)

La contrainte n'est alors pas constante dans la barre:

  (70.153)

et la déformation non plus:

  (70.154)

z étant l'abscisse sur la barre, la déformation inhomogène est liée au déplacement par la relation:

  (70.155)

Après intégration, nous obtenons la forme générale du déplacement:

  (70.156)

où la constante est à déterminer en utilisant les éventuelles conditions de liaison aux extrémités de la barre. Si l'extrémité supérieure est encastrée, le déplacement y est donc nul:

  (70.157)

Le déplacement en tout point de la barre s'exprime donc:

  (70.158)

L'allongement de la barre est l'écart en déplacement entre les deux extrémités de la barre:

  (70.159)

Nous avons alors trivialement:

  (70.160)

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