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THEORIE DE LA DEMONSTRATION | NOMBRES | OPERATEURS | THEORIE DES NOMBRES | THEORIE DES ENSEMBLES | PROBABILITES ET STATISTIQUES |

Lors de l'enseignement des mathématiques modernes dans l'enseignement secondaires, voire primaire (années 70), on introduisit le langage des ensembles et l'étude préalable des relations binaires pour une approche plus rigoureuse de la notion de fonctions et de la mathématique en général. 

Nous parlons alors de "diagramme sagittal" (ou de "schéma sagittal" du latin sagitta = flèche). La représentation graphique de la fonction définie de  vers  conduirait au diagramme sagittal ci-dessous :

Une relation de dans fournirait un diagramme sagittal du type :

Le bouclage de chaque élément montrant une fonction "réflexive"; la présence systématique d'une flèche retour indiquant une fonction "symétrique".

Cependant le choix d'introduire la théorie des ensembles dans les classes a une raison aussi un peut autre. Au fait, dans un souci de rigueur interne (i.e. non liées à la réalité), une très grande partie des mathémaitques a été reconstruite à l'intérieur d'un seul cadre axiomatique, dénommé donc "théorie des ensembles", dans le sens où chaque concept mathématique (autrefois indépendant des autrres) est ramené à une définition dont tous les constituants logiques proviennent de ce même cadre : elle est considérée comme fondamentale. Ainsi, la rigueur d'un raisonnement effectué au sein de la théorie de ensembles est garantie par le fait que le cadre est "non-contradictoire" ou "consistant".

Voici les définition qui construisement ce cadre :

DEFINITIONS

D1. nous appelons "ensemble" toute liste, collection ou rassemblement d'objets

D2. nous appelons "éléments" ou "membres de l'ensemble" les objets appartenant à l'ensemble et nous notons :

si est un élément de l'ensemble et dans le cas contraire : 

Si est une partie de , ou sous-ensemble de , nous notons cela : 

 ou

dès lors, si pour tout

Nous identifiions également un ensemble soit en listant ses éléments, soit en donnant la définition de ses éléments. Par exemple:

-  par exemple

-

L'ensemble est l'être mathématique de base, dont l'existence est posée : il n'est pas défini en tant que tel, mais par ses propriétés, donées par les axiomes. Il fait appel à une procédure humaine : une sorte de "fonction de catégorisation", qui permet à la pensée de distinguer plusieurs éléments qualifiés d'indépendants.

Nous pouvons démontrer à partir des ces concepts, que le nombre de sous-ensembles d'un ensemble de cardinal  (nombre d'éléments) est :

Il y a d'abord l'ensemble vide , soit 0 éléments choisi par , in extenso et ainsi de suite…

Au total, le nombre de sous-ensembles d'un ensemble considéré est alors:

Par exemple, considérons l'ensemble :

- L'ensemble des parties (commun à chaque sous-ensemble) est l'ensemble vide:

- Les singletons:

- Les "duets":

- lui-même:

En physique-mathématique, nous travaillerons presque exclusivement avec des ensembles de nombres. Nous nous se restreindrons donc à l'étude des définitions et propriétés de ces derniers.

Axiomes

L'axiomatique (dite "ZF") présentée ci-dessous a été formulée par Ernst Zermela (1908) puis précisée par Adolf Abraham (1922); c'est la plus naturelle. Il en existe bien d'autres, basées sur le concept plus général de "classe", comme celle développée par von Neumann, Bernays et Gödel (pour les notations, voir le chapitre traitant de la théorie de la démonstration)

A1. Axiome d'extensionalité : 

Deux ensembles sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêms éléments. C'est ce que nous notons :

Cette définition exprime seulement le fait qu'un ensemble ne contient rien d'autre que ce qui est spécifié par la donnée ses éléments.

L'unicité de certains ensembles est démontrée en utilisant conjointement l'axiome de sélection et l'axiome d'extensionnalité.

A2. Axiome d'élémentarité ou axiome de la paire : 

L'ensemble vide existe, il n'a aucun élément, son cardinal est noté 0; si est un objet,  est un ensemble appelé singleton (single = seul), son cardinal est 1. Si et sont des objets distincts, est un ensemble appelé "paire", son cardinal est 2.

A3. Axiome de l'union :

Soient et deux ensembles. Il existe un ensemble dont les éléments sont exactement ceux qui appartiennent à et à . Nous notons cela :

A4. Axiomes des parties : 

Soit un ensemble. Il existe un autre ensemble dont les éléments sont exactement les parties de . Il est noté :

A5. Axiome de l'infini : 

Il existe un ensemble, dit "autosuccesseur"  contenant  (l'ensemble vide) tel que si appartient à , alors  appartient également à  :

 est autosuccesseur :

Cet ensemble permet d'utiliser des ensembles infinis.  est ainsi le plus petit ensemble autosuccesseur, au sens de l'inclusion  et par convention nous notons (ou nous construisons l'ensemble des naturels) :

A6. Axiome de régularité ou de fondation : 

Pour tout ensemble non vide , il existe un ensemble , élément de tel qu'aucun élément de ne soit élément de (il faut bien différencien le niveau du langage utilisé, un ensemble et ses éléments n'ont pas le même statut) ce que nous notons :

Cet axiome élimine la possibilité d'avoir comme élément de lui-même.

En conséquence :

A7. Axiome de remplacement : 

Quel que soit l'ensemble d'éléments et la relation binaire , il existe un ensemble constitué des éléments tel que soit vraie. Si  est une fonction, alors et .

A8. Axiome de sélection (ou de compréhension) : 

A tout ensemble et toute condition ou proposition , il correspond un ensemble dont les éléments sont exactement les éléments de pour lesquels est vraie. C'est ce que nous notons :

Cet axiome est primordial : le respect de ses conditions très strictes d'application permet d'éliminer les paradoxes de la "théorie naïve des ensembles", comme le paradoxe de Russel ou le paradoxe de Cantor qui ont invalidé la théorie naïve des ensembles.

Considérons par exemple l'ensemble  de Russell de tous les ensembles qui ne s'auto-contiennent pas (notez bien que nous donnons une propriété de  sans expliciter quel est cet ensemble) : . Le problème est de savoir si  se contient ou non. Si , alors,  s'auto-contient, et, par définition  et inversement. Chaque possibilité est donc contradictoire.

Si maintenant nous désignons par  l'ensemble de tous les ensembles (l'Universel de Cantor), nous avons en particulier : , ce qui est impossible (i.e. par exemple avec la puissance du continu de l'ensemble de réels), d'après le théorème de Cantor.

Un exemple fort symphatique et fort connu (c'est la raison pour laquelle nous le présentons) permet de mieux comprendre (il s'agit du paradoxe de Russel) :

Un jeune étudiant se rendit un jour chez son barbier. Il engagea la conversation et lui demanda s'il avait de nombreux concurrents dans sa jolie cité. De manière apparemment innocente, le barbier lui répondit :"Je n'ai aucune concurrence. En effet, de tous les hommes de la cité, je ne rase évidemment pas ceux qui se rasent eux-mêmes, mais j'ai le bonheur de raser tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes."

En quoi donc, une telle affirmation si simple put-elle mettre en défaut la logique de notre jeune étudiant si malin ?

La réponse est en effet innocente, jusqu'au moment ou nous décidons de l'appliquer au cas du barbier :

Supposons qu'il se rase lui-même : il entre dans la catégorie de ceux qui se rasent eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il ne les rasait évidemment pas. Donc il ne rase pas lui-même.

Très bien ! Supposons alors qu'il ne se rase pas lui-même : il entre alors dans la catégorie de ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il les rasait tous. Donc il se rase lui-même.

Finalement, ce malheureux barbier est dans une position étrange : s'il se rase lui-même, il ne se rase pas, et s'il ne se rase pas lui-même, il se rase. Cette logique est autodestructrice, stupidement contradictoire, rationnellement irrationnelle.

Vient alors l'axiome de sélection :

Nous excluons le barbier de l'ensemble des personnes auxquelles s'applique la déclaration. Car en réalité, le problème vient du fait que le barbier est un élément de l'ensemble de tous les hommes de la cité. Ainsi, ce qui s'applique à tous les hommes ne s'applique pas au cas individuel du barbier.

A9. Axiome du choix :

Les trois formulations ont équivalents :

- Le produit cartésien (voir plus loin une définition complète du concept de produit cartésien dans la théorie des ensembles) d'une famille infinie d'ensembles non vides est non vide

- Soit un ensemble non vide. Alors :

)

.

La théorie des ensembles basée sur les axiomes 1 à 7 est dite de Zermelo (Z). Complétée par l'axiome 8, nous parlons de la théorie Zermelo-Fraenkel ou, plus simplement, la théorie ZF. Si nous lui ajoutons l'axiome du choix, elle est dite ZFC ("C" comme choix - pour l'axiome du même nom).

CARDINAux

Définition : des ensembles sont dits "équipotents" s'il existe une bijection (correspondance biunivoque) entre ces ensembles. Nous disons qu'ils ont alors même "cardinal".

Ainsi, plus rigoureusement, un cardinal (qui quantifie le nombre d'éléments contenus dans l'ensemble) est une "classe d'équivalence" pour la relation d'équipotence.

Si nous écrivons  en tant qu'égalité de cardinaux, nous entendons alors par là qu'il existe deux ensembles équipotents et tels que 

 et .

Les cardinaux peuvent êtres comparés. L'ordre ainsi défini est une relation d'ordre total entre les cardinaux. Dire que  signifie que est équipotent à une partie propre de , mais n'est équipotent à aucune partie propre de .

Nous avons vu lors de notre étude des nombres, en particulier des nombres transfinis, qu'un ensemble équipotent (ou en bijection) à était dit "dénombrable".

Voyons cette notion un petit peu plus dans les détails:

Remarque : nous pouvons restreindre un ensemble de nombres par rapport à l'élément nul et aux éléments négatifs ou positifs qu'il contient et dès lors nous notons (exemple pour l'ensemble des réels):

Ces notions étant analogues pour

Donc tout sous-ensemble infini de  est équipotent à  lui-même. En particulier, il y a autant d'entier naturels pairs que d'entiers naturels quelconques (utiliser la bijection ) de  vers , où désigne l'ensemble des entiers naturels pairs), autant d'entiers relatifs que d'entiers naturels, autant d'entiers relatifs que de nombres rationnels (voir le chapitre traitant des nombres pour les démonstrations).

Nous pouvons donc écrire:

et plus généralement, toute partie infinie de  est dénombrable.

Un résultat important: tout ensemble infini possède donc une partie infinie dénombrable.

Puisque nous avons démontré dans le chapitre traitant des nombres que l'ensemble des réels avait la "puissance du continu" et que l'ensemble des nombres naturels était de cardinal transfini , Cantor souleva la question s'il existait un cardinal transfini entre  et le cardinal de ? Autrement dit, existe-il un ensemble infiniment grand qui serait intermédiaire entre l'ensemble des nombres entiers et l'ensemble des réels?

Le problème se posa en notant bien évidemment  le cardinal de  et (nouveauté)  le cardinal de  et en proposant de démontrer ou de contredire que:

selon la loi combinatoire qui donne le nombre d'éléments de l'ensemble que l'on peut obtenir à partir de tous les sous-ensembles d'un ensemble (tel que nous l'avons démontré précedemment).

Le reste de sa vie, Cantor essaya, en vain, de démontrer ce résultat que l'on nomma "l'hypothèse du continu". Il n'y réussit pas et sombra dans la folie. En 1900, au congrès international des mathématiciens, Hilbert estima qu'il s'agissait là d'un des 23 problèmes majeurs qui devraient êtres résolus au XX^ème siècle.

produit cartesien

Si et sont deux ensembles, nous appelons "produit cartésien de par " l'ensemble noté (à ne pas confondre avec le produit vectoriel) formé de tous les couples possibles où est un élément de et un élément de .

Autrement écrit:

Nous remarquons facilement que  et  ne sont pas les mêmes ensembles (sauf bien sur si ).

Nous notons le produit cartésien de par lui même : 

et nous disonsalors est "l'ensemble des couples d'éléments de ".

Nous pouvons effectuer le produit cartésien d'une suite d'ensemble  et ainsi obtenir "l'ensemble des n-uplets où .

Dans le cas où tous les ensembles  sont identiques à , le produit cartésien se note bien évidemment . Nous disons alors que  est "l'ensemble des n-uplets d'éléments de ".

Si et sont finis alors le produit cartésien est fini. De plus:

De là, nous voyons que si les ensembles  sont finis alors le produit cartésien est aussi fini et nous avons :

En particulier,  si est un ensemble fini.

Quelques exemples:

1. Si est l'ensemble des nombres réels, est alors l'ensemble des couples de réels. Dans le plan rapporté à un repère, tout point admet des coordonnées qui sont un élément de .

2.  Lorque nous lançons deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6, chaque dé peut être symbolisé par l'ensemble .  Le résultat d'un lancer est alors un élément de . Le cardinal de  est alors 36.  Il y a donc 36 résultats possibles quand nous lançons 2 dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

bornes

Soit un ensemble de nombres quelconques de façon à ce que (exemple particulier mais fréquent) nous avons comme définitions:

D1.  est appelé "borne supérieure" de l'ensemble , si  pour s'il existe un tel nombre , alors nous disons que admet une "borne supérieure".

D2. Soit . est appelé "plus petite borne supérieure" ou "majorant" noté :  de si est une borne supérieure de et si est une autre borne supérieure quelconque de façon à ce que .

D3. Soit , est appelé "plus grande borne inférieure" ou "minorant"  de si est une borne inférieure de et si est une autre borne inférieure quelconque de façon à ce que .

OPERATIONS ENSEMBLISTES

Soit , , des sous-ensembles (ou parties) d'un ensemble donné , appelé "Univers" (de Cantonr). Nous désignons par l'ensemble des parties de .

Nous pouvons construire à partir d'au moins trois ensembles, l'ensemble des opérations existant dans le théorie des ensembles. 

Remarque: certaines des notations présentes ci-dessous se retrouveront fréquemment dans des théorèmes complexes, il est donc nécessaire de bien comprendre de quoi il en retourne.

Ainsi:

Inclusion

Dans le cas le plus simple, nous avons :

Dans le cas le plus simple, nous avons :

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire:

"L'intersection" des ensembles et consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent à la fois dans et dans

Plus généralement, si  est une suite d'ensembles indexés par , l'intersection des  est notée :

Cette intersection est définie par :

C'est-à-dire que l'intersection de la suite d'ensembles indexés comprend tous les qui se trouvent dans chaque ensemble de tous les ensemble de la suite.

Soit deux ensembles et , nous disons qu'ils sont "disjoints" si et seulement si:

Définition : une collection  d'ensembles non vides forment une "partition" d'un ensemble si:

1.  et

La loi d'intersection est une loi commutative (voir plus loin la définition du concept de "loi") telle que:

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire:

La loi de réunion  est une loi commutative (voir plus loin la définition du concept de "loi") telle que:

Nous appellons par ailleurs "loi d'idempotence" les relations (je précise cela pour la culture générale):

et "lois d'absorption" les lois:

Les loi de réunion et d'intersection sont associatives telles que:

et distributives telles que:

Différence

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire:

d'où:

Différence symétrique

Dans le cas le plus simple, nous avons :

ou

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire:

La "différence symétrique" des ensembles et consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent uniquement dans et de ceux se trouvant uniquement dans (nous laissons donc de côté les éléments qui sont communs)

Produit

Dans le cas le plus simple, nous avons :

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire:

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire :

Voici quelques lois triviales relatives aux compléments:

Il existe d'autres lois très importantes en logique booléenne (voir la section d'analayse numérique du site) nommées "loi de De Morgan" et qui sont données par les relations:

fonctions

Nous parlons d'une "application" ou "fonction" lorsque l'on fait référence à une suite d'opérations mathématiques sur un ou plusieurs éléments d'un ensemble amenant à un résultat d'éléments compris dans le même ensemble ou non.

Plus rigoureusement et traditionnellement nous avons pour habitude de définir les concepts suivants:

- Une fonction est en général une opération mathématique (souvent notée ) sur une ou plusieurs variables () d'un ensemble vers un ensemble () noté:

Etant donnés trois ensembles , et (non vides), toute fonction de vers est appelée loi de composition de à valeurs dans .

D1. une loi de "composition interne" (ou simplement "loi interne") dans est une loi de composition de à valeurs dans (cas ). 

D2. Une loi de "composition externe" (ou simplement "loi externe") dans est une loi de composition de à valeurs dans , où est un ensemble distinct de . En général, est un corps, dit "corps de scalaires" (exemple dans le cas de la loi externe d'un espace vectoriel : multiplication d'un vecteur par un nombre réel).

Ces deux dernières définitions sont importantes car elles englobent le concept de structures algébriques que nous verrons un peu plus loin.

Remarque : une "application" est un opérateur mathématique qui agit sur une fonction (ainsi, la dérivée est une application sur une fonction d'un ensemble vers un ensemble ) il faut donc prendre garde au langage utilisé.

Cependant, les fonctions peuvent avoir une quantité phénoménale de propriétés dont voici celles qui font partie des connaissances générales du physicien (pour plus de renseignement sur ce qu'est une fonction, voir le chapitre traitant de l'analyse fonctionnelle dans la section d'algèbre).

Soit  une fonction d'un ensemble à un ensemble alors :

P1. une fonction est dite "surjective" si :

Tout élément de est l'image par d'au moins (nous insistons sur le "au moins") un élément de , la fonction est alors dite "surjective". Nous disons encore que c'est une surjection de dans .

Il découle de cette définition, qu'une fonction  est surjective si et seulement si .

P2. une fonction est dite "injective" si :

Tout élément de est l'image par  d'au plus (nous insistons sur le "au plus") d'un seul élément de , l'application  est dite "injective". Nous disons encore que  est une injection de dans .

Il résulte de cette définition, qu'une fonction est injective si et seulement si les relations  et impliquent autrement dit : une application pour laquelle deux éléments distincts ont des images distinctes est dite injective.

P3. une fonction est dite "bijective" si:

une application  de dans est à la fois surjective et injective; nous disons aussi que c'est une bijection de dans . Dans ce cas, nous avons que pour tout élément de de l'équation  admet dans une unique (ni "au plus", ni "au moins") pré-image . 

Nous sommes ainsi tout naturellement amené à définir une nouvelle application de dans , appelé "fonction réciproque" de  et notée  , qui a tout élément de , fait correspondre l'élément de pré-image unique de l'équation . Autrement dit:

L'existence d'une fonction réciproque implique que graphique d'une fonction bijective et celui de son application réciproque sont symétriques par rapport à la droite d'équation . 

Effectivement, nous remarquons que si est équivalent à . Ces équations impliquement que le point est sur le graphique de si et seulement si le point est sur le graphique de .

Remarque . il vient des définitions ci-dessus qu'une fonction bijective si et seulement si toute droite horizontale coupe la représentation graphique de la fonction en un seul point. Nous pouvons donc amener à faire la remarque suivante :

Une fonction qui vérifie le test de la droite horizontale est continuement croissante ou décroissante en tout point de son domaine de définition.

P4. une fonction est dite "composée" si:

Soit  une fonction de dans et  une fonction de dans . La fonction qui associe à chaque élément de l'élément de ,  de s'appelle "fonction composée" de  et de  et se note .

Le symoble " " est appelé "rond". Ainsi, la relation précédente ce lit "psi rond phy". Ainsi:

Soit, de plus,  une fonction de dans . Nous vérifions aussitôt que l'opération de composition est associative:

Cela nous permet d'omettre les parenthèses et d'écrire plus simplement:

Dans le cas particulier où  serait une application de

, nous notons  l'application composée  (k fois).

Ce qui est important dans ce que nous venons de voir dans ce chapitre, c'est que toutes les propriétés définies et énoncées ci-dessus sont applicables aux ensembles de nombres.

Voyons en un exemple très concret et très puissant:

THEOREME DE CANTOR-BERNSTEIN

Attention. Ce théorème, dont le résultat est évident dans un premier abord, n'est pas simple à aborder. Nous vous conseillons de lire très lentement et de vous imaginer les diagrammes sagittaux dans la tête.

Hypothèse à démontrer: soit  et   deux ensembles. S'il existe une injection (voir la définition d'une fonction injective ci-dessus) de  vers  et une autre de  vers , alors les deux ensembles sont en bijection (voir la définition d'une fonction bijective ci-dessus).

Pour la démonstration, nous avons besoin de démontrer au préalable un lemme dont l'énonce est le suivant:

Soit  trois ensembles tels que . Si  et  sont en bijection, alors  et  sont en bijection.

Démonstration du lemme:

D'abord, au niveau formel, créons une fonction  que nous créons telle quelle soit bijective:

Nous avons besoin maintenant de définir l'ensemble  par les images de l'union des fonctions des fonctions  (du genre ) des pré-images de l'ensemble  dont nous excluons les éléments de  (ce que nous notons ). Ce que nous noterons donc:

Nous avons alors bien évidemment (faire un schéma de tête des diagramme sagittaux peut aider à ce niveau là):

Nous pouvons démontrer élégamment cette dernière relation:

(sympathique n'est-ce pas…).

Comme  peut être partitionné en  et , nous posons comme une définition la fonction  telle que:

tel que pour toute pré-image  nous ayons:

(rappelez-vous de la définition des fonction notées "") et:

Au fait, il faut y comprendre ceci: toute pré-image se situant dans et donc pas dans  à une image qui n'est pas identique à un quelconque élément de  tel que l'image de  soit donné par une fonction  mais où il est impossible que  (vous suivez toujours?). Le seconde injection dit simplement que toute pré-image se situant dans  à uniquement pour image  lui-même (si la définition de l'application  contredisait cette dernière écriture, nous ne pourrions pas construire ).

L'application  est alors bijective car ses restrictions à  et , (qui forment une partition) sont et l'identité qui sont par définition bijectives.

Finalement il existe bien, par construction, une bijection entre  et .

Reprenons les hypothèses du théorème :

Soit  une injection de  vers   et  une injection de  vers

Nous avons alors:

    et   

donc:

Comme  est injective,  et  sont par définition en bijection et de même, comme  est injective,  et sont en bijection (là il est bon de relire…).

Donc:  et  sont eux aussi en bijection

En utilisant le lemme sur  et  (donc en analogie avec ), il vient donc que est en bijection ce qui nous donne avec ceux que nous avons vu juste précédemment, que puisque aussi  et sont en bijection, alors que est en bijection avec ,  alors et  sont en injection (ouf! c'est beau mais c'est aussi vicieux que simple).

structures algebriques 

L'algèbre dite "moderne" commence avec la théorie des structures algébriques due en partie à Carl F. Gauss  et surtout à Évariste Galois.

Soit pour simplifier les écritures,  une loi de composition (comme l'addition, la soustraction, la multiplication ou encore la division,...). Si est une loi de composition (ou application) interne dans un ensemble de nombres (comme ) à , nous la notons comme nous l'avons déjà vu :

Définitions:

Soit  et  des symboles de lois de composition internes dans un ensemble de nombres (notation utilisée uniquement dans cette section!). Nous définissons que :

D1.  est commutative si : 

D2.  est associative si :

D3. est élément neutre pour si :

D4.  est le "symétrique" (dans le sens génénéral de l'opposé par exemple pour l'additon et l'inverse pour la multiplication) de  pour si :

D5.   est distributive par rapport à si :

Remarques:

R1. Si est son propre symétrique par rapport à la loi , les mathématiciens disent que est "involutif"

R2. Si un élément de vérifie , alors est dit "absorbant" pour la loi .

R3. Les propriétés de distributivité sont utiles pour trouver le produit de bine des expression contenant des somme. L'exemple suivant est une illustration particulière mais quand même la plus fréquente :

MAGMA

Nous définissons un ensemble de nombres par le terme "magma", si les composants le constituant sont opérables par rapport une loi interne et qu'il existe un élément neutre pour cette loi.

Si la loi est également associative nous disons alors que:

est un monoïde si

Il y a un monoïde particulier tel que si est commutative alors nous disons que le monoïde est "abélien" (ou simplement "commutatif").

exemple de monoÏde abelien

Montrons  tout de suite que l'ensemble des entiers naturels   est un monoïde abélien totalement ordonné (comme nous l'avons vu dans le chapitre des opérateurs) par rapport aux lois d'addition et de multiplication:

La loi d'addition ( + ) est-elle une opération interne telle que  nous ayons:

avec ?

Nous pouvons démontrer que c'est bien le cas en sachant que 1 appartient à  tel que:

donc  et l'addition est bien une loi interne (nous disons également que l'ensemble est "stable" par rapport à l'addition) et en même temps associative puisque  1 peut être additionné à lui-même par définition dans n'importe quel ordre sans que le résultat en soit altéré. Si vous vous rappelez que la multiplication est une loi qui se construit sur l'addition, alors la loi de multiplication ( x ) est aussi une loi interne et associative !

Nous admettrons à partir d'ici qu'il est trivial que la loi d'addition est également commutative et que le zéro "0" en est l'élément neutre (). Ainsi, la loi de multiplication est elle aussi commutative et il est trivial que "1" en est l'élément neutre ().

- Existe t'il pour la loi d'addition ( + ) un symétrique  tel que  nous ayons:

avec ?

il est assez trivial que pour que cette égalité soit satisfaite nous ayons:

or les nombres négatifs n'existent pas dans . Ce qui nous amène aussi à la conclusion que la loi d'addition ( + ) n'a pas de symétrique et que la loi de soustraction ( - ) n'existe pas dans  (la soustraction étant rigoureusement l'addition d'un nombre négatif).

- Existe t'il  pour la loi de multiplication ( x ) un symétrique  tel que  nous ayons :

avec ?

D'abord il est évident que:

Mais excepté pour , le quotient  n'existe pas dans . Donc nous devons conclure qu'il n'existe pas pour tout élément de de symétriques pour la loi de multiplication et ainsi que la loi de division n'existe pas dans .

Synthèse:

1.  est totalement ordonné

2. et un monoïde abélien

3. L'élément zéro "0" est l'élément absorbant pour le monoïde

4. Le monoïde abélien  est distributif par rapport aux lois ( + ) et ( x )

5. Les lois de soustraction et division n'existent pas dans l'ensemble

6. L'ensemble des nombres naturels est un monoïde abélien totalement ordonné que l'on note:

groupe

Nous définissons un ensemble de nombres par le terme "groupe", si les composants le constituant satisfont aux 3 conditions (la quatrième étant que le groupe possède une loi commutative interne) de ce que l'on nomme la "loi interne de groupe", définie ci-dessous:

 est un groupe si

Il y a des groupes particuliers tels que si:

- la loi interne  est également commutative. Nous disons alors que le groupe est "abélien" (ou simplement "commutatif")

- il existe dans un élément  tel que tout élément de est une puissance de  ou du symétrique  de , nous disons que  est un "groupe cyclique" s'il est fini, sinon nous disons qu'il est "monogène". Plus généralement un groupe d'élément neutre e, non réduit à {e} sera monogène, s'il existe un élément a de distinct de tel que . Un tel groupe sera cyclique, s'il existe un entier non nul pour lequel . Le plus petit  entier non nul vérifiant cette égalité est alors l'ordre du groupe.

exemples de groupes abeliens

Montrons tout de suite que l'ensemble des entiers relatifs   est un groupe abélien totalement ordonné (comme nous l'avons vu dans le chapitre des opérateurs) par rapport aux lois d'addition et de multiplication.

D'abord pour raccourcir les développements, il est utile de rappeler que l'ensemble  est un "prolongement"  par le fait que nous y avons ajouté tous les nombres symétrique de signe négatif (ainsi, par définition ).

 forme un groupe abélien totalement ordonné

 forme un monoïde abélien totalement ordonné

La loi de division n'existant toujours pour tout élément de l'ensemble .

Synthèse:

1.  est totalement ordonné

2. est un monoïde abélien dont zéro "0" est l'élément absorbant

3. La loi de division n'existe pas dans l'ensemble

4. L'ensemble  est un groupe abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition et de soustraction, que l'on note:

Nous voyons de suite que  a des propriétés trop restreintes, c'est la raison pour laquelle il est intéressant de le prolonger par l'ensemble des rationnels  défini par (rappel):

et nous avons évidemment:

Il est dès lors évident (sans démonstration) que est totalement ordonné et aussi que  est un groupe abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition et de soustraction .

Ce qui devient intéressant avec , c'est que les lois de multiplication et de division deviennent des lois internes et forment un groupe abélien commutatif par rapport à .

- Démonstration que le symétrique existe pour la loi de multiplication ( x ) tel que:

Puisque dans  tout nombre peut se mettre sous la forme:

 avec

Alors puisque:

Il existe donc un symétrique à tout rationnel dans  pour la loi de multiplication.

- Par définition la division existe dans  et est une opération interne. Mais est-elle associative telle que pour  nous ayons:

Au fait, la démonstration est assez triviale si nous nous rappelons que la division se définit à partir de la loi de multiplication par l'inverse et que cette dernière loi est commutative. Ainsi, il vient:

Donc la loi de division n'est pas associative dans .

- Est-ce que la loi de division ( / ) est cependant commutative tel que la relation:

pour ?

Nous voyons très bien que cela n'est pas le cas puisque nous pouvons écrire cette dernière relation sous la forme:

Synthèse:

1.  est totalement ordonné

2. sont des groupes abéliens totalement ordonnés

3. Zéro "0" est l'élément absorbant par rapport  groupe

4. est un magma

5. L'ensemble  est un groupe abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition, de soustraction et de multiplication que l'on note:

Les mêmes propriétés sont applicables à  et à  mais à la différence que ce dernier n'est pas ordonnable.

Cependant, il peut être compréhensible que pour  vous soyez sceptiques. Développons donc tout cela:

Nous devons nous assurer que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres de la forme  donne quelque chose d'encore de cette forme.

Additionnons les nombres   et   où , , et sont des réels.

Donc l'addition est bien une loi interne commutative et associative pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique dans l'ensemble des complexes.

Soustrayons les nombres   et   où  , , et   sont ici encore, des réels.

Donc la soustraction est une opération interne commutative et associative pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique dans l'ensemble des complexes.

Multiplions maintenant les nombres  et   où  , , et   là toujours, des réels. Pour parvenir à nos fins, nous emploierons la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.

Donc la loi de multiplication est bien une opération interne commutative, associative et distributive (!)pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique (voir ci-après) dans l'ensemble des complexes.

Une division est avant tout une multiplication par l'inverse. Prouver qu'il existe un inverse c'est prouver qu'il existe un symétrique pour la multiplication. Inversons donc le nombre  où et y sont des réels.

Donc l'inverse (et la division) d'un nombre complexe est bien une opération interne non associative et non commutative pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique. 

exemple de groupe cyclique

Dans , considérons  muni de la multiplication usuelle des nombres complexes:  est évidemment un groupe abélien. Un tel groupe est aussi monogène car engendré par les puissances d'un de ses éléments : (ou bien ). Ce groupe monogène étant fini, il s'agit alors d'un groupe cyclique.

anneau

Nous définissons un "anneau" par:

 est un Anneau

Remarque: L'élément neutre de la loi interne + est noté "0" et appelé "zéro" de l'anneau.

Il y a des anneaux particuliers tels que si:

- la loi interne  est également commutative, l'anneau est "commutatif"

- s'il existe dans un élément neutre pour la loi interne , et que cet élément neutre est l'unité "1" nous disons alors que l'anneau est "unitaire" et 1 est appelé "unité" de l'anneau.

- , quels que soient les éléments  de , l'anneau est dit "intègre" ou "sans diviseurs de zéro".

- lorsque l'anneau est composée d'éléments irréductibles par rapport aux autres éléments (nombre premiers par exemple), l'anneau est dit "factoriel"

exempleS d'anneaux

Lors de notre étude des groupes nous avons trouvé les que les structures:

sont des groupes abéliens totalement ordonnés.

La loi de division n'état en aucun cas associative, nous pouvons nous restreindre à étudier pour chacun des groupes précités, le couple de lois: (+) et ( x ).

Ainsi, il vient très vite que:

constituent des anneaux commutatifs unitaires.

Et même mieux:

corps

Nous définissons un "corps" par:

 est un Corps

Il existe des corps quantité de corps particuliers dont un important:

- si la loi interne est également commutative, le corps est dit "commutatif"

exempleS dE CORPS

Parmi les anneaux unitaires suivant:

il nous faut d'abord déterminer lesquels ne constituent pas des groupes par rapport à la loi interne de multiplication ( x ).

Comme nous l'avons déjà vu dans notre étude des groupes précédemment, il est évident qu'il nous faut éliminer .

Ainsi, les corps fondamentaux de l'arithmétique sont:

ESPACE VECTORIEL

Nous définissons comme un "espace vectoriel" sur le corps si et seulement si:

Cette loi externe doit vérifier que  (rappel: ):

1.

2.

3.

4.

Nous disons alors que l'espace à une "structure algébrique vectorielle".

Ainsi défini, un espace vectoriel sur est une action de sur qui est compatible avec la loi de groupe (par extension un automorphisme sur ).

APPLICATION MULTI-LINEAIRE

Soient  et des -espaces vectoriels. Une application  est dite "-linéaire" ou encore "morphisme d'espaces vectoriels" (voir un peu plus loin la définition d'un homorphisme car cela aide à comprendre la relation qui va suivre) si pour tous dans et dans , nous avons :

Une application:

:

est dite "-n-linéaire" si elle est linéaire par rapport à chacun des  lorsque nous fixons dans  pour .

ALGEBRE

est une "algèbre" sur un corps commutatif si et seulement si:

- est un espace vectoriel

- est un anneau

Toutefois, il existe des algèbres non associatives particulièrement intéressantes : les algèbres de Lie.

HOMOMOrphismes

Nous devonst au mathématicien Jordan le concept "d'homomorphisme de groupe", permettant, s'il est bijectif (isomorphisme), d'identifier une structure algébrique à une autre ou de découvrir des propriétés nouvelles.

Soient et , deux ensembles structurés et  une application de vers . Nous disonst que est un "morphisme" ou "homomorphisme" (parfois les gens se trompent et écrivent "homorphisme" par flegme) si et seulement si:

- Si l'homorphisme est bijectif nous parlons alors d'un "isomorphisme".

- Si l'homorphisme est une application uniquement interne, nous parle alors d'un "endormorphisme".

- Si l'endomorphisme est en plus bijectif, nous parlons alors d'un "automorphisme"