| ACCUEIL | TELECHARGER | ANNONCES | FORUM | CHAT | LIVRE D'OR | PARTENAIRES | CONTACT | A PROPOS |
|
recevoir les news :: signaler une erreur :: statistiques visiteurs :: imprimer
THEORIE DE LA DEMONSTRATION | NOMBRES | OPERATEURS | THEORIE DES NOMBRES | THEORIE DES ENSEMBLES | PROBABILITES ET STATISTIQUES | La base des mathématiques, mis à part le raisonnement (sous-entendu la logique du premier ordre et la théorie de la démonstration), est sans nul doute l'arithmétique (elle inclut la théorie des nombres, la théorie des ensembles, les propriétés d'applications, etc.). Il est donc obligatoire que nous y fassions étape pour étudier sa provenance, ses propriétés et conséquences. L'histoire des nombres (ou également appelés "scalaires") est beaucoup trop longue pour être relatée ici, mais nous ne pouvons que vous conseiller un des meilleurs ouvrages sur le sujet: Histoire Universelle des chiffres (~2000 pages), Georges Ifrah, ISBN: 2 221 05779 1 Cependant voici une petite bride de cette dernière qui nous semble fondamentale: Notre système décimal actuel, de base 10, utilise les chiffres de 0 à 9, dits "arabes", mais au fait d'origine indienne (hindous). En fait, les chiffres arabes sont différents :
Il faut lire: 0 "zéro", 1 "un", 2 "deux", 3 "trois", 4 "quatre", 5 "cinq", 6 "six", 7 "sept", 8 "huit", 9 "neuf" Ces chiffres ne furent introduits en Europe que vers l'an 1000. Utilisés en Inde, ils furent transmis par les Arabes au monde occidental par le pape Gerbert d'Aurillac lors de son séjour en Andalousie à la fin du IXème siècle. Le mot français "chiffre" est une déformation du mot arabe "sifr" désignant "zéro". En italien, "zéro" se dit "zero", et serait une contraction de "zefiro", on voit là encore la racine arabe. Ainsi nos termes "chiffre" et "zéro" ont la même origine. Notre système décimal : l'usage précoce d'un symbole numérique désignant "rien", au sens de "aucune quantité" ou "absence de quantité", c'est à dire notre zéro, provient du fait que les Indiens utilisèrent un système dit "positionnel". Dans un tel système, la position d'un chiffre dans l'écriture d'un nombre exprime la puissance de 10 et le nombre de fois qu'elle intervient. L'absence d'une puissance est notée par un petit rond... : c'est le zéro. Notre système actuel est donc "décimal et positionnel".
Le nombre 324 s'écrit de gauche à droite comme étant trois centaines : 3 x 100, deux dizaines : 2 x 10 et quatre unités : 4 x 1. 304 signifie 3 centaines, pas de dizaines (0 (zéro) dizaine), et 4 unités. Attention!! Nous différencions un chiffre d'un nombre... Le nombre est composé de chiffres et non inversement. Nous voyons parfois (et c'est conseillé) un séparateur de milliers représenté par un guillemet ' en Suisse (posé tous les trois chiffres à partir du premier en partant de la droite pour les nombres entier). Ainsi, nous écrirons 1'034 au lieu de 1034 ou encore 1'344'567'569 au lieu de 1344567569. Les séparateurs de milliers permettent de rapidement quantifier l'ordre de grandeur des nombres lus. Ainsi: -
si nous voyons uniquement 1 guillement nous saurons que le nombre est de
l'ordre du millier Au fait, tout nombre entier, autre que l'unité, peut être pris pour base d'un système de numérotation. Nous avons ainsi les systèmes de numérotation binaire, ternaire, quaternaire,...,décimal, duodécimal qui correspondent respectivement aux bases deux, trois quatre,...,dix, douze. Une généralisation de ce qui a été vu précédemment, peut s'écrire sous la forme suivante: Tout nombre entier positif peut être représenté dans une base sous forme de somme, où les coefficients sont multipliés chacun par leur poids respectif . Tel que :
Plus élégamment écrit : avec
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Pour écrire un nombre dans un système de base , nous devons commencer par adopter caractères destinés à représenter les premiers nombres. Ces caractères sont comme nous les avons déjà défini, les "chiffres" que nous énoncons comme à l'ordinaire. Pour la numérotation écrite, nous faisons cette convention, qu'un chiffre, placé à gauche d'un autre représente des unités de l'ordre immédiatement supérieur, ou fois plus grandes. Pour tenir la place des unités qui peuvent manquer dans certains ordres, nous nous servons du zéro (0) et par suite, le nombre de chiffres employés est toujours égal à la base du système. Définition : pour la numérotation parlée, nous convenons d'appeler "unité simple", "dizaine", "centaine", "mille", etc., les unités du premier ordre, du second, du troisième, du quatrième, etc. Ainsi les nombres 10, 11,…,19 se liront de même dans tous les systèmes de numérotation; les nombres 1a, 1b,a0, b0, … se liront dix-a, dix-bé, a-dix, bé-dix, etc. Ainsi, le nombre 5b6a71c se lira : cinq millions bé-cent soixant-a mille sept cent dix-cé Cet exemple est pertinent car il nous montre l'expression générale de la langue parlée que nous utilisons quotidiennement et intuitivement en base dix (faut à notre éducation). Remarques : R1. Les règles des opérations définies pour les nombres écrits dans le système décimal sont les mêmes pour les nombres écrits dans un système quelconque de numérotation. R2. Pour opérer rapidement dans un système quelconque de numérotation, il est indispensable de savoir par cœur toutes les sommes et tous les produits de deux nombres d'un seul chiffre. Le fait que la base décimale ait été choisie est semblerait t'il due au fait que l'humain a dix doigts. Comme quoi cela ne tient pas à grand chose… Voyons comment nous convertissons un système de numérotation dans un ordre: En base dix nous savons que 142'713 s'écrit:
En base deux (binaires) le nombre 0110 s'écrirait en base 10:
en ainsi de suite. L'inverse (pour l'exemple de la base deux) est toujours un peu plus délicat. Par exemple la conversion du nombre décimal 1'492 en base deux donne (le principe est à peu près identique pour toutes les autres bases):
Ainsi, pour convertir le nombre 142'713 (base décimale) en base duodécimale (base douze) nous avons (notation : est le "quotient", et le "reste") :
Ainsi nous avons les restes 6, 10, 7, 0, 9 ce qui nous amène à écrire : Nous avons choisi pour ce cas particulier la symbolique que nous avions définie précédemment (a-dix) pour éviter tout confusion. Il existe en mathématiques une très grande variété de nombres (naturels, rationnels, réels, irrationnels, complexes, p-adiques,...) puisque le mathématicien peut à loisirs en créer en ayant uniquement à poser les axiomes (règles) de manipulations de ceux-ci. Cependant, il y en a quelqu'uns que nous retrouvons plus souvent que d'autres et certains qui servent de base de construction à d'autres et qu'il conviendrait de définir suffisament rigoureusement (sans aller dans les extrêmes) pour pouvoir savoir de quoi nous parlerons lorsque nous les utiliserons. L'idée du "nombre entier" est le concept fondamental de la mathématique et nous vient à la vue d'un groupement d'objets de même espèce (un mouton, un autre mouton, encore un autre, etc.). Lorsque la quantité d'objets d'un groupe est différente de celle d'un autre groupe nous parlons alors de groupe numériquement supérieur ou inférieur quelque soit l'espèce d'objets contenus dans ces groupes. Lorsque la quantité d'objet d'un ou de plusieurs groupes est équivalente, nous parle alors "d'égalité". A chaque objet correspond le nombre "un" ou "unité". Pour former des groupements d'objets, nous pouvons opérer ainsi: à un objet, ajouter un autre objet, puis encore un et ainsi de suite; chacun des groupements, au point de vue de sa collectivité, est caractérisé par un nombre; il résulte de là qu'un nombre peut être considéré comme représentant un groupement d'unités tel que chacune de ces unités corresponde à un objet de la collection. Définition : deux nombres sont dits "égaux" si à chacune des unités de l'un nous pouvons faire correspondre une unité de l'autre et inversement. Si ceci ne se vérifie par alors nous parlons "d'inégalité". Prenons un objet, puis
un autre, puis au groupement formé, ajoutons encore un objet et
ainsi de suite. Les groupements ainsi constitués sont caractérisés
par des nombres qui, considérés dans le même ordre que les groupements
successivement obtenus, constituent la "suite naturelle"
notée
La
présence du 0 (zéro) dans notre définition de Nous
pouvons définir cet ensemble de façon plus générale mais non axiomatique
(définition personnelle) :
Et les constituants par (nous devons cette définition au mathématicien Gottlob) les propriétés (avoir lu au préalable le chapitre de théorie des ensembles est recommandé...) : 0 (lire "zéro") est le nombre d'éléments (défini comme une relation d'équivalence) de tous les ensembles équivalents à (en bijection avec) l'ensemble vide. 1 (lire "un") est le nombre d'éléments de tous les ensembles équivalents à l'ensemble dont le seul élément est 1. 2 (lire "deux") est le nombre d'éléments de tous les ensembles équivalents à l'ensemble dont tous les éléments sont 0 et 1. En général, un nombre entier est le nombre d'éléments de tous les ensembles équivalents à l'ensemble des nombres entiers le précédent! La construction de l'ensemble des entiers naturels s'est faite de la manière la plus naturelle et cohérente qui soit. Les naturels doivent leur nom à ce qu'ils avaient pour objet, aux prémices de leur existence, de dénombrer des quantités et des choses de la nature ou qui intervenaient dans la vie de l'homme. L'originalité de l'ensemble réside dans la manière empirique dont il s'est construit car il ne résulte pas réellement d'une définition mathématique, mais davantage d'une prise de conscience par l'homme du concept de quantité dénombrable, de nombre et de lois qui traduisent des relations entre eux. La question de l'origine
de Remarquons immédiatement que la suite naturelle des nombres entiers est illimitée mais dénombrable (nous le verrons plus bas), car, à un groupement d'objets qui se trouve représenté par un certain nombre , il suffira d'ajouter un objet pour obtenir un autre groupement qui sera défini par un nombre entier immédiatement supérieur . Deux nombres entiers qui différent d'une unité positive sont dits "consécutifs". Lors de la crise des fondements
des mathématiques, les mathématiciens ont bien évidemment cherché
à axiomatiser l'ensemble A1. Zéro est un nombre. A2. Si est un nombre alors, le successeur de , noté est un nombre. A3. Zéro n’est le successeur d’aucun nombre :
A4. Si les successeurs de deux nombres sont égaux alors ces deux nombres sont égaux :
A5. Soit 1. 2. si et alors . Remarque : A5 est appelé "axiome d’induction" Théorème : soit l’ensemble (à ne pas confondre avec le symbole représentant l'élément successeur)
alors . Démonstration : 1. par définition de 2. Si par définition de , Par l’axiome 5 il vient que . Donc l’ensemble de tous les nombres vérifiant les 5 axiomes sont :
NOMBRES PAIRS, IMPAIRS ET PARFAITS Les nombres obtenus en comptant par deux à partir de zéro, (soit 0, 2, 4, 6, 8, …) dans cette suite naturelle sont appelés "nombres pairs". Les nombres que nous obtenons en comptant par deux à partir de un (soit 1, 3, 5, 7,... ) dans cette suite naturelle s'appellent "nombres impairs". La formation des nombres pairs peut être définie ainsi : D1. le  nombre
impair est donné par  .
Remarque : nous appellons "nombres parfaits", les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs entiers (concept que nous verrons en détail plus tard) comme par exemple: 6=1+2+3 et 28=1+2+4+7+14 Par définition un nombre premier est un entier possédant exactement 2 diviseurs (ces deux diviseurs sont donc "1" et lui-même). A noter que la définition de nombre premier exclut le chiffre "1". Admettre "1" comme nombre premier rendrait faux l'important "théorème fondamental de l'arithmétique" (voir la théorie des nombres dans le site) qui dit qu'il existe une unique manière d'écrire un nombre entier supérieur à "1" comme produit de nombres premiers (sans prendre en compte l'ordre de la multiplication). Cette définition est très
important car elle nous permettra de démontrer que Nous pouvons nous demander s'il existe une infinité de nombres premiers ? La réponse est positive et en voici une démonstration (parmi tant d'autres) par l'absurde : Supposons qu'il en existe qu'un nombre fini de nombres premiers qui seraient (nous utilisons des nombres abstraits pour représent un nombre premier quelconque): Nous formons un nouveau nombre. Le produit de tous les nombres premiers auquel nous ajoutons "1":
Selon notre hypothèse initiale ce nouveau nombre devrait être divisible par l'un des nombres premiers existants (selon le théorème fondamental de l'arithmétique – voir le chapitre de théorie des nombres dans le site) selon:
Nous pouvons effectuer la division:
Le premier terme
se simplifie, car
Or,
et
sont deux entiers, donc Remarque: Nous renvoyons le lecteur au chapitre de cryptographie de la section d'analyse numérique pour étudier quelques propriétés remarquables des nombres premiers dont la non moins fameuse fonction phi d'Euler (ou appelé aussi: fonction indicatrice). L'ensemble Ainsi, nous pouvons dans
un premier temps résoudre le problème de la soustraction en ajoutant
à l'ensemble des entiers naturels, les entiers négatifs (concept
révolutionnaire pour ceux qui en sont à l'origine) nous obtenons
"l'ensemble des entiers relatifs" noté
L'ensemble des entiers naturels est donc inclus dans l'ensemble des entiers relatifs. C'est ce que nous notons sous la forme : et nous avons par définition (c'est un notation qu'il faut apprendre) :
Cet ensemble à été crée à l'origine pour faire de l'ensemble des entiers naturels un objet que nous appellons un "groupe" (voir le chapitre théorie des ensembles dans le site) par rapport à l'addition et la soustraction. Remarque: nous disons
qu'un ensemble
est "dénombrable", s'il est équipotent à
 sont
dénombrables. Par choix, nous ne souhaitons pas démontrer maintenant
que  est
dénombrable. Cela sera évident lorsque nous démontrerons que l'ensemble
des rationnels  (définition
ci-dessous) est dénombrable.
L'ensemble Nous pouvons ainsi définir un nouvel ensemble qui contient tous les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction (rapport d'un dividende et d'un diviseur entiers) ou autrement dit : les "nombres fractionnaires". Cet ensemble est noté :
Remarque : peut également s'écrire et nous avons évidemment : La logique de la création de l'ensemble des nombres rationnels est similaire à celle des entiers relatifs. Effectivement, les mathématiciens ont souhaité faire de l'ensemble des nombre relatifs un "groupe" par rapport à la loi de multiplication et de division (voir théorie des ensembles). De plus, contrairement à l'intuition, les nombres rationnels sont en même quantité que les nombres entiers relatifs et naturels. Nous pouvons nous persuader de cette équipotence en rangeant comme le fit Cantor, les rationnels de la façon suivante:
Cette
matrice (ou tableau si vous préférez) montre clairement que tout
rationnel admet un rang. Par exemple, 3/2 est classé 8ème.
Nous définissons ainsi une application Outre les circonstances historiques de sa mise en place, ce nouvel ensemble se distingue des ensembles d'entiers relatifs car il induit la notion originale et paradoxale de quantité partielle. Cette notion qui a priori n'a pas de sens, trouvera sa place dans l'esprit de l'homme notamment grâce à la géométrie où l'idée de fraction de longueur, de proportion s'illustre plus intuitivement. L'ensemble des rationnels Ainsi, tous les nombres qui ne peuvent (négation) s'écrire sous forme de fraction (rapport d'un dividende et d'un diviseur entiers) sont ce que nous appelons des nombres "irrationnels". Pour démontrer l'irrationalité
d'un nombre, nous utilisons un démonstration par l'absurde utilisant
les propriétés des nombres pairs et impairs. Par exemple, pour l'exemple
fort connu de Supposons que soit rationnel. Alors, nous pouvons l'exprimer comme , où et sont des entiers sans facteur commun (de par la définition des nombres rationnels). Pour cette raison, et ne peuvent tous les deux être pairs. Il y a deux possibilités: 1. est impair ( est alors pair) 2. est pair ( est alors impair) En mettant au carré, nous avons : qui peut s'écrire :
Puisque le carré
d'un nombre impair est impair et le carré d'un nombre pair est pair,
le cas (1) est impossible, car Le cas (2) est aussi
est aussi impossible, car alors nous pourrions écrire La réunion des nombres rationnels et irrationnels donne l'ensemble des nombres réels. Donc nous pouvons écrire que :
Nous sommes évidemment
amenés à nous poser la question si est
dénombrable ou non. La démonstration est assez simple. Par définition,
nous savons qu'il doit y avoir une bijection entre
Pour simplifier,
nous allons montrer que l'intervalle n'est
pas dénombrable; ce qui implique bien sûr que Supposons cependant le contraire (démonstration par l'absurde): nous pouvons alors énumérer , c'est-à-dire qu'il existe une suite qui contient tous les réels de . Ecrivons le développement décimal des premiers termes de en notant le i-ème chiffre après la virgule de :
Nous formons maintenant le nombre s'écrivant (nous prenons les chiffres de la diagonale principale ci-dessus):
Nous formons enfin le nombre en remplaçant chaque décimale de par son prédécesseur:
Alors le nombre qui est bien défini, n'est pas dans la liste des valeurs parcourues par . En effet: (le premier chiffre décimal de ) est différent de (le premier chiffre décimal de ) donc et puis en procédant toujours avec le même raisonnement donc etc. Donc pour tout !! Nous avons donc construit un réel de qui n'est pas dans tel que nous ayons une contradiction avec l'hypothèse initiale. Une telle suite parcourant tous les réels de n'existe donc pas, donc est indénombrable. La technique qui nous a permis d'arriver est connue sous le nom de "procédé diagonal de Cantor" et l'ensemble des nombres réels est dit avoir "la puissance du continu" de par le fait qu'il est indénombrable.Nous nous retrouvons
donc avec un "infini" des nombres réels qui est différent
de celui des nombres naturels. Cantor osa alors ce que personne
n'avait osé depuis Aristote: la suite des entiers positifs est infinie,
l'ensemble
Ce symbole est la première lettre de l'alphabet hébreu, qui se prononce "aleph zéro". Canton allait appeler ce nombre étrange, un nombre "transfini". Cantor écrivit: «l'acte décisif fut d'affirmer qu'il y a, après le fini, un transfini, c'est-à-dire une échelle illimitée de modes déterminés qui par nature sont infinis, et qui cependant peuvent êtres précisés, tout comme le fini, par des nombres déterminés, bien définis et distinguables les uns des autres.» Après ce premier coup d'audace allant à l'encontre de la plupart des idées reçues depuis plus de deux mille ans, Cantor allait poursuivre sa lancée et établir des règles de calcul, paradoxales à première vue, sur les nombres transfinis. Ces règles se basaient, comme nous l'avons défini tout à l'heure, sur le fait que deux ensembles infinis sont équivalent s'il existe une bijection entre les deux ensembles. Elle permettent donc de distinguer plusieurs sortes d'infinis. Ainsi, par la même
méthode que celle que nous avons utilisé, nous pouvons montrer que
l'infini des nombres pairs est équivalent à l'infini des nombres
entiers. Pour cela, il suffit de montrer qu'à chaque nombre entier,
nous pouvons associer un nombre pair, son double, et inversement.
Ainsi, même si les nombres paires sont inclus dans l'ensemble des
nombres entiers, il y en a une infinité Démontrer que l'ensemble des réels est non dénombrable revient aussi à démontrer qu'il n'y a pas plus de points sur la surface d'un carré que sur un de ses côtés (d'ailleurs Cantor écrivit: «Je le vois mais je ne le crois pas»). En généralisant ce raisonnement, nous arrivons au fait qu'un espace à dimensions ne contient pas plus de points qu'un espace à une dimension (il fallut trois années à Cantor pour démontrer rigoureusement ce résultat) ! A partir de ce qui précède, Cantor établit les règles de calculs suivants sur les cardinaux:
Nous pouvons remarquer que ces règles ne sont pas nécessairement intuitives. L'ensemble transfini des nombres réels amène à un "paradoxe" dit "paradoxe de Russell". Effectivement, si
nous prenons une partie de Si nous considérons le cardinal de l'ensemble de tous les cardinaux, il est nécessairement plus grand que tous les cardinaux, y compris lui-même ! Nous reviendrons plus en détail là-dessus lors de notre étude des cardinaux dans la théorie des ensembles. Inventés au XVIIIème
siècle entre autres par Jérôme Cardan et Rafaello Bombelle, ces
nombres permettent de résoudre des problèmes n'ayant pas de solutions
dans
La forme générale d'un nombre complexe est la suivante:
(
et
étant des nombres abstraits - voir plus loin la définition d'un
nombre abstrait) et nous notons l'ensemble des nombres complexes
L'ensemble L'ensemble des nombres complexes (qui
constitue un corps - voir théorie des ensembles), donc noté
Pendant près de 150 ans les nombres complexes étaient purement des êtres mathématiques abstraits n'ayant pas d'équivalents dans la nature. Avec l'avénement de la mécanique quantique, il est apparu que les dimensions complexes (nous allons voir un peu plus loin ce qu'est une dimension complexe) étaient inhérentes aux propriétés de la nature (voir mécanique quantique ondulatoire dans la section de physique atomique du site). L'addition et la multiplication de nombres complexes sont des opérations internes à l'ensemble des complexes (nous reviendrons beaucoup plus en détail sur certaines propriétés des nombres complexes dans le chapitre traitant de la théorie des ensembles) et définies par:
La "partie réelle" de est notée: La "partie imaginaire" de est notée:
Le "conjugué" de est défini par: et
est souvent noté A partir d'un complexe et de son conjugué, il est possible de trouver ses parties réelles et imaginaires. Ce sont les relations évidentes suivantes:
Le "module" de représente la longueur par rapport au centre du plan de Gauss (voir un peu plus bas ce qu'est le plan de Gauss) et est simplement calculé avec l'aide du théorème de Pythagore:
La
notation La division entres deux complexes se calcule comme: L'inverse d'un complexe se calculant de façon similaire:
Nous pouvons aussi énumérer 8 importantes propriétés (ou théorèmes) du module et du conjugué complexe: T1. Démonstration: Par définition T2. Démonstration:
T3. Démonstration: Les deux inégalités peuvent s'écrire:
donc équivalent respectivement à:
qui sont triviales. Bien entendu si et seulement si avec le même type de raisonnement pour la partie imaginaire. T4. Démonstrations:
et:
T5. Démonstration:
T6. Démonstrations:
T7. Nous nous restreindrons à la démonstration
de la seconde relation qui est un cas général de la première (où
T8. Nous avons a Démonstration:
A priori cette inégalité peut ne pas paraître évident à tout le monde alors développons un peu et supposons-la vraie: Après simplification:
Après simplification:
Cette dernière relation démontre donc que l'inégalité est vraie. L'égalité à lieu si et seulement si ce qui équivaut successivement à:
La version complète de cette inégalité (inégalité de Minkowski) est au fait:
Démonstration: Nous appliquons deux fois la première version de l'inégalité pour obtenir:
Nous pouvons aussi représenter un nombre
complexe On nomme parfois ce type de représentation "plan de Gauss". Nous calculons sans trop de difficultés avec les bases de trigonométrie (voir le chapitre de trigonométrie dans la section de géométrie du site) que:
où Pour passer de la forme algébrique d'un nombre complexe à sa forme trigonométrique et inversement nous démontrons de façon élémentaire que pour obtenir la forme trigonométrique nous avons les relations: , , et inversement: , Les égalités suivantes sont vraies modulo pour tous nombres complexes non nuls et tout entier naturel : 1. 2. 3. 4. 5. Démonstration: (1) et (2) proviennent des formules classique de trigonométrie. (2) entraîne (3) par récurrence sur . (2) entraîne aussi: d'où (4). Enfin, (5) provient de (2) et (4). Nous démontronse entre autres avec les séries de Taylor (voir le chapitre des suites et séries dans la section d'algèbre) que:
et:
dont la somme est semblable à:
mais par contre parfaitement identique
au développement de Taylor de donc nous avons:
relation nommée "formule d'Euler". Grâce à la forme exponentielle d'un nombre complexe (très fréquemment utilisée en physique) nous pouvons très facilement tirer des relations telles que soit:
et en supposant connues les relations trigonométriques de bases (sinon voir la section "géométrie") nous avons les relations suivantes pour la multiplication:
étant le module de nous avons trivialement:
et concernant l'argument du produit: pour la division:
Nous avons donc :
pour la mise en puissance (ou la racine):
nous avons donc :
Dans le cas où nous avons un module
unité tel que
Nous appelle cette relation "formule de Moivre". Pour le logarithme népérien:
Evidemment tous les résultats vus jusqu'ici sont périodiques de période avec . Il est habituel de représenter les nombres réels comme points d'une droite graduée. Les opérations algébriques y ont leur interprétation géométrique: l'addition est une translation, la multiplication une homothétie centrée à l'origine. En particulier nous
pouvons parler de la "racine carrée d'une transformation".
Une translation d'amplitude peut
être obtenue comme l'itération d'une translation d'amplitude .
De même une homothétie de rapport a peut être obtenue comme
l'itérée d'une homothétie de rapport La racine carrée prend alors un sens géométrique. Mais qu'en est-il de la racine carrée de nombres négatifs? En particulier la racine carrée de -1? Une homothétie de
rapport -1 peut être vue comme une symétrie par rapport à l'origine;
toutefois si nous voulons voir cette transformation d'une manière
continue, force nous est de placer la droite dans un plan. Dès lors
une homothétie de rapport -1 peut être vue comme une rotation de
Du coup, le problème
de la racine carrée se simplifie. En effet il n'est guère difficile
de décomposer une rotation de Ayant réussi à positionner
le nombre il
n'est plus guère difficile de disposer les autres nombres complexes
dans un plan (le plan de Gauss, d'Argand ou de Wessel). Nous pouvons
ainsi associer à le
produit de l'homothétie de rapport 2 par la rotation de centre O
et d'angle Dans ce plan réel toute opération sur les complexes prend un sens géométrique. L'addition correspond à une translation. Quant à la multiplication par un nombre , elle est représentée par une similitude: 0 reste évidemment fixe et 1 est appliqué sur . Tout nombre complexe est ainsi associé, par le biais de la multiplication, à une similitude: l'amplitude de la similitude est son argument, le rapport de la similitude est son module. D'une manière algébrique le nombre complexe multiplié par est associée la similitude de rapport et d'angle : Si nous désignons par et les axes de coordonnées du plan complexe (ou plan de Gauss) nous avons (en laissant le soin au lecteur de faire les petits dessins s'il n'arrive pas à en percevoir l'évidence mentalement): Similitudes directes (les plus usitées): - Translation d'amplitude : - Rotation de centre O, d'angle : - Homothétie (agrandissement) de centre O, de rapport (): - Similitude linéaire directe (combinaison des trois précédents): - Rotation de centre c, d'angle : - Homothétie de centre c, de rapport (): - Similitude directe (cas général de tous les précédents): Similitudes rétrogrades (les plus usitées): - Symétrie d'axe : - Symétrie d'axe : - Symétrie d'axe passant par O et : - Similitude linéaire rétrograde (combinaison des trois précédents): Inversion: - Inversion de pôle O et de puissance 1: Appelés aussi "hypercomplexes", ces nombres ont été inventés en 1843 par William Rowan Hamilton pour généraliser les nombres complexes. Ils s'écrivent sous la forme où sont réels et où vérifient certaines propriétés. Nous définissons tout nombre algébrique par un nombre qui est solution d'une équation algébrique, à savoir un polynôme (concept que nous aborderons dans la seciont d'algèbre) dont les coefficients sont des entiers relatifs et non nuls. Un résultat intéressant (curiosité
de mathématique) est qu'un nombre rationnel est un nombre algébrique
si et seulement si c'est un entier relatif (lisez plusieurs fois
au besoin…). De par cette propriété que nous allons de suite démontrer,
nous disons que l'anneau Démonstrations: nous supposons que le nombre , où et sont deux entiers premiers entre eux, est une racine du polynôme (voir le sous-chapitre traitant des polynômes dans le chapitre de calcul algébrique se trouvant dans la section d'algèbre):
Dans ce cas:
Ainsi,
divise une puissance de ,
ce qui n'est possible dans l'ensemble que
si
vaut Réciproquement, tout entier relatif est évidemment un entier algébrique. Les nombres qui ne sont pas algébriques sont transcendants. Les transcendants sont donc beaucoup plus nombreux que les algébriques. Remarque: les transcendants
les plus connus sont Le nombre peut être envisagé en faisant abstraction de la nature des objets qui constituent le groupement qu'il caractérise; et ainsi qu'à la façon de codifier (chiffre arabe, romain, ou autre système universel) on dit alors que le nombre est "abstrait". Arbitrairement, l'être humain a adopté un système numérique majoritairement utilisé de par le monde et représenté par les symboles 1, 2, 3, 4, 5... qui seront connus aussi bien en écriture qu'oralement par le lecteur (apprentissage du langage). Pour les mathématiciens il n'est pas avantageux de travailler avec ces symboles car ils représentent uniquement des cas particuliers. Ce que cherchent les physiciens théoriciens ainsi que les mathématiciens, se sont des relations applicables universellement dans un cas général et que les ingénieurs puissent en fonction de leurs besoins changer ces nombres abstraits par les valeurs numériques qui correspondent au problème qu'ils ont besoin de résoudre. Ces nombres abstraits appelés aujourd'hui communément "variables" sont très souvent représentés par: 1. L'alphabet latin (a, b, c, d, e... ; A, B, C, D, E...) 2. Par l'alphabet grec qui est lui particulièrement utilisé pour représenter soit des opérateurs mathématiques plus ou moins complexes (comme le sont le + pour l'addition, le - pour l'addition par exemple), soit des variables physiques.
3. Par l'alphabet hébraïque (à moindre mesure) Bien que ces symboles puissent représenter n'importe quel nombre il en existe quelques uns qui peuvent représenter des constantes dites Universelles (vitesse da la lumière, la constante gravitationnelle, constante de Planck et bien d'autres). Nous utilisons très souvent encore d'autres symboles que nous introduirons et définirons au fur et à mesure. Remarques : R1. les lettres pour représenter les nombres ont été employées pour la première fois par Viète. R2. habituellement, les premières lettres de l'alphabet latin désignent les nombres connus, et les dernières les nombres inconnus. Une variable est un nombre abstrait susceptible de prendre des valeurs numériques différentes. L'ensemble de ces valeurs peut varier suivant le caractère du problème considéré. Nous appellons "domaine de définition" d'une variable, l'ensemble des valeurs numériques qu'elle est susceptible de prendre. Définitions y relatives : D1. nous appelons "domaine de définition" d'une variable, l'ensemble des valeurs numériques qu'elle est susceptible de prendre. Soit deux
et deux
nombres tel que D2. nous appelons "intervalle fermé d'extrémité et ", l'ensemble de tous les nombres compris entre ces deux valeurs comprises et nous le désignons de la façon suivante :
D3. nous appelons "intervalle ouvert d'extrémité et ", l'ensemble de tous les nombres compris entre ces deux valeurs non comprises et nous le désignons de la façon suivante:
D4. nous appelons "intervalle fermé à gauche, ouvert à droite" la relation suivante :
D5. nous appelons "intervalle ouvert à gauche, fermer à droite" la relation suivante :
Remarque : si la variable
peut prendre toutes les valeurs négatives et positives possibles
nous écrivons dès lors: Remarque : nous rappelerons ces concepts lorsque nous étudierons l'algèbre (calcul littéral). Nous disons que la variable est "ordonnée" si en représentant son domaine de définition par un axe horizontal où chaque point de l'axe représente une valeur de , alors que pour chaque couple de de valeurs, nous pouvons indiquer celle qui est "antécédente" (qui précède) et celle qui est "conséquente" (qui suit). Ici la notion d'antécédente ou de conséquente n'est pas liée au temps, elle exprime juste la façon d'ordonner les valeurs de la variable. Définitions y relatives : D1. une variable est dite "croissante" si chaque valeur conséquente est plus grande que chaque valeur antécédente. D2. une variable est dite "décroissante" si chaque valeur conséquente est plus petite que chaque valeur antécédente. D3. les variables croissantes et les variables décroissantes sont appelées "variables à variations monotones" ou simplement "variables monotones".
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
et
appelée 
.
Les démonstrations de leur transcendance est en cours de rédaction.
Nous devrions pouvoir vous les fournir fin 2004. 
.
Alors :
où
le symbole "
" signifie
une infinité. Evidemment il peut y avoir des combinaisons d'intervalles
ouverts et infinis à droite, fermé et limité gauche et réciproquement.
Ce document issu de Sciences.ch est soumis à la licence GNU FDL