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THEORIE DE LA DEMONSTRATION | NOMBRES | OPERATEURS | THEORIE DES NOMBRES | THEORIE DES ENSEMBLES | PROBABILITES ET STATISTIQUES |

Il existe en mathématiques, deux types d'outils fondamentaux :

1. Les opérateurs

Il existe deux opérateurs de base (addition et soustraction) à partir desquels nous pouvons la "multiplication" et la "division" et autour desquels nous pouvons construire toute la mathématique analytique. Nous verrons ces derniers plus en détails après avoir défini les relations binaires.

2. Les relations binaires

Il existe 6 relations binaires fondamentales (égal, différent de, plus grand que, plus petit que, plus grand ou égal, plus petit ou égal) qui permettent de comparer des grandeurs d'éléments se trouvant à gauche et à droite (donc au nombre de deux, d'où leur nom) afin d'en tirer certaines conclusions.

Il est essentiel de parfaitement connaître ses deux outils et leurs propriétés avant de se lancer dans des calculs plus ardus.

RELATIONS binaires

Le concept de "relation" est la base de toute la mathématique dont le but est d'étudier - par observation et déduction (raisonnement), calcul et comparaison - des configurations abstraites ou concrètes de ses objets (nombres, formes, structures) en cherchant à établir les liens logiques, numériques ou conceptuels entre ces objets.

Considérons deux ensembles non vides et (voir théorie des ensembles). Si à certains éléments de nous pouvons associer par une règle mathématique précise (non ambiguë) un élément de , nous définissons ainsi une relation de vers dite "binaire" car faisant intervenir deux éléments. Nous écrivons :

 et

Comme nous l'avons déjà dit, il existe 6 relations binaires fondamentales (égal, différent de, plus grand que, plus petit que, plus grand ou égal, plus petit ou égal). Mais nous allons voir qu'à partir de ces 6 relations fondamentales, nous pouvons en construire un plus grand nombre.

Ainsi, de façon plus générale, une peut être définie comme un règle mathématique qui associe à certains éléments de , certains éléments de .

Alors, dans ce contexte plus général, si , nous disons que est une "image" de par et que est un antécédent de .

L'ensemble des couples (,) tel que soit une assertion vraie forme un "graphe" de la relation . Nous pouvons représenter ces couples dans un repère adéquatemment choisi pour en faire une représentation graphique de la relation .

egaliteS

Il est fort difficile de définir la notion "d'égalité" dans un cas général applicable à toute situation. Pour notre part, nous nous permettrons pour cette définition de nous inspirer du théorème d'extensionnalité de la théorie des ensembles (que nous verrons plus tard):

Définition: deux éléments sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes éléments. 

L'égalité est décrite par le symbole:

Le signe "=" signifie "égal à" ou "égalité de". Ce symbole a été introduit pour la première fois par Le Recorde (1557).

Propriété (triviale) : si nous avons et un nombre et une opération quelconque (tel que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division) quelconque alors :

Cette propriété est très utilisée pour résoudre ou simplifier des équations de type quelconques.

Si deux éléments ne sont pas égaux (inégaux), nous les relions par le symbole :

et nous disons qu'il sont "non égaux"

Il existe encore d'autres symboles d'égalités, qui sont une extension des deux que nous avons défini précédemment. Malheureusement, ils sont mal utilisés (disons plutôt qu'ils sont utilisés au mauvais endroits) dans la plupart des ouvrages disponibles sur le marché :

Dans l'ordre (de gauche à droite) nous avons:

- presque égal (plutôt utilisé en ingénierie)

- asymptotiquement égal à (utilisé en analyse fonctionnelle)

- approximativement égal (utilisé en physique lors d'approximation de séries)

- identique à (utilisé aussi bien en analyse fonctionnelle qu'en physique)

- tend vers la limite (idem)

- proportionnel à (utilisé en physique ou en mathématiques financières)

COMPARATEURS

Les comparateurs sont des outils qui nous permettent de comparer et d'ordonner tout couple (et in extenso : ensemble) de nombres. La possibilité d'ordonner des nombres est presque fondamentale en mathématiques dans le cas contraire (s'il n'était pas possible ou non imposé d'ordonner), il y aurait des tas qui choqueraient nos habitudes, par exemple (certains des concepts présentés dans la phrase qui suit n'ont pas encore été vus mais nous souhaitons quand même y faire référence) : plus de fonctions monotones (en particulier de suites) et lié à cela ladérivation n'indiquerait donc rien sur un "sens de variation", plus d'approche de zéros d'un polynôme par dichotomie, en géométrie, plus de segment ni de demi-droites, plus de demi-espace, plus de convexité, nous ne peut plus orienter l'espace... 

Ainsi, pour tout  nous écrivons :

 (terminologie : est plus grand que )

 (terminololgie : est plus petit que )

Remarque : il est utile de rappeler que l'ensemble des réels est un groupe totalement ordonné (voir théorie des ensembles), sans quoi nous ne pourrions pas définir des relations d'ordre entre ces éléments.

Le symbole "<" est une "relation d'ordre" qui signifie "plus petit que" ainsi que ">" signifie plus "grand que"..

Nous avons également les corollaires:

et  

implique (rappel : noté "") que :

Si :

 et

Remarque: nous notons  est équivalent (toujours noté avec le symbole " ") à

Soit deux , deux nombres réels quelconques, alors si :

 et

inversement :

 et

Si :

nous avons inversement : 

Nous pouvons bien évidemment multiplier, diviser, addition ou soustraire un terme de chaque côté de la relation telle que celle-ci soit toujours vraie. Petite remarque cependant, si vous multipliez les deux membres par un nombre négatif il faudra bien évidemment changer le comparateur tel que si :

et inversement :

Si :

Soit :

si est pair alors et si est impair (ce n'est évidemment qu'une question de signe).

Finalement :

Les relations d'ordre   (plus grand que, plus petit que, plus petit ou égal, plus grand ou égal, beaucoup plus grand, beaucoup plus petit) ont été imaginés par Harriot en 1631.

Comme nous le verrons en théorie des ensembles, les relations de comparaisons sont définies de façon un peu plus subtile et rigoureuse. Voyons cela de suite (le vocabulaire qui va suivre est explicité dans le chapitre de théorie des ensembles du site):

Ainsi, soit une relation binaire d'un ensemble vers lui-même, une relation dans est un sous-ensemble du produit cartésien  (c'est-à-dire que la relation binaire engendre un sous-ensemble de par les contraintes qu'elle impose aux éléments de qui satisfont la relation) avec la propriété d'être :

Si nous résumons :

Ainsi, nous voyons que les relations binaires forment avec les ensembles précités, des relations d'ordre total.

Ainsi il est très facile de voir quelles relations binaires sont des relations d'ordre partiel, total ou d'équivalence.

Remarque : si est une relation d'équivalence sur . Pour  , la "classe d'équivalence" de est par définition l'ensemble:

LOIS FONDAMENTALES DE L'ARITHMETIQUE

Comme nous l'avons déjà dit précédemment, il existe deux opérateurs de base (addition et soustraction) à partir desquels il possible de définir la multiplication et la division et autours desquels nous pouvons construire toute la mathématique analytique.

Remarque : nous verrons en théorie des ensembles un chapitre nommé "structures algébriques", dans lequel nous définirons plus en détail (à l'aide de l'axiomatique de Peano) et de façon plus générale (ce qui plaira au mathématicien), certaines propriétés fondamentales de ces opérateurs.

Addition

Définition : L'addition des nombres entiers est une opération notée "+" qui a pour seul but de réunir en un seul nombre toutes les unités contenues dans plusieurs autres. Le résultat de l'opération se nomme "somme" ou "total". Les nombres à additionner sont appelés "termes de l'addition". Les signes d'addition "+" et de soustraction "-" sont dus à Widmann (1489). 

Ainsi, ... sont les termes de l'addition et le résultat est la somme des termes de l'additon.

Axiomes :

A1. La somme de plusieurs nombres ne dépend pas de l'ordre des termes. Nous disons alors que l'addition est une "opération commutative".

A2. La somme de plusieurs nombres ne change pas si nous remplacons deux ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que l'addition est "associative".

A3.  Le zéro est l'élément neutre de l'addition car tout nombre additioné à zéro donne ce même nombre.

A4. L'addition peut comporter un terme de telle façon à ce que le total soit nul. Nous disons alors qu'il existe un "inverse" pour l'addition.

Soit  des nombres quelconques alors nous pouvons noter également la somme ainsi:

en définissant des bornes supérieurs et inférieures à la somme (au-dessus et en-dessous de la lettre grecque majuscule "sigma").

Rappel des propriétés relatives à cette notation :

 où est une constante

Exemples:

L'addition de deux nombres relativement petits est assez facile dès que nous avons appris par cœur à compter jusqu'au nombre résultant de cette opération. Ainsi (nous basons nos exemples sur la base décimale) :

 , ,

Pour les beaucoup plus grands nombres il faut adopter un autre méthode qu'il s'agit d'apprendre par cœur. Ainsi par exemple:

Démarche : nous additionnons les colonnes (4 colonnes dans cet exemple) de droite à gauche. Pour la première colonne nous avons donc 4+5=9 ce qui nous donne :

et nous continuons ainsi pour la deuxième 4+7=11 mais à la différence que comme nous avons un nombre supérieur à la dizaine, nous reportons le premier chiffre (de gauche) sur la colonne suivante de l'addition. Ainsi:

La troisième colonne se calcule dès lors comme 4+2+1=7 ce qui nous donne:

Pour la dernière colonne nous avons 9+5=14 et à nouveau nous reportons le premier chiffre (de gauche) sur la colonne suivante de l'addition. Ainsi:

 et la dernière colonne donne

Définition : La soustraction du nombre entier par le nombre entier noté par le symbole "-", c'est trouver le nombre qui, ajouté à , redonne . 

Remarque : l'opération n'est possible dans les entiers naturels que si .

Nous écrivons la soustraction sous la forme : qui doit évidemment vérifier que

Axiomes :

A1. La soustraction de plusieurs nombres ne dépend pas de l'ordre des termes. Nious disons alors que la soustraction est une "opération commutative".

A2. La soustraction de plusieurs nombres ne change pas si l'on remplace deux ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que l'addition est "associative".

A3. Le zéro est l'élément neutre de la soustraction car tout nombre à qui on soustrait zéro donne ce même nombre.

A4. La soustraction peut comporter un terme de telle façon à ce que le total soit nul. Nous disons alors alors qu'il existe un "inverse pour la soustraction".

Exemples:

La soustraction de deux nombres relativement petits est assez facile dès que nous avons appris par cœur à compter jusqu'à au moins le nombre résultant de cette opération. Ainsi:

 , ,

Pour les beaucoup plus grands nombres il faut adopter un autre méthode qu'il s'agit d'apprendre par cœur (au même titre que l'addition). Ainsi par exemple:

nous soustraions les colonnes (4 colonnes dans cet exemple) de droite à gauche. Pour la première colonne nous avons a ce qui fait que nous reportons –1 sur la colonne suivante et écrivons en bas de la barre d'égalité :

et nous continuons ainsi pour la deuxième ce qui fait que nous reportons –1 sur la colonne suivante et comme nous reportons en bas de la barre d'égalité:

La troisième colonne se calcule dès lors comme et nous reportons –1 sur la colonne suivante  et comme  nous reportons en bas de la barre d'égalité :

Pour la dernière colonne nous avons nous reportons donc rien sur la colonne suivante et comme nous reportons 0 en bas de la barre d'égalité:

c'est ce que nous nommons la notation en puissance ou "l'exponentation". Le nombre en exposant est ce que nous nommons la "puissance" ou "l'exposant" du nombre ( en l'occurrence). La notation en exposants se trouve pour la première fois dans l'ouvrage de Chuquet intitulé "Triparty en la science des nombres" (1484).

Vous pouvez vérifier par vous-même que ses propriétés sont les suivantes (par exemple):

Axiomes :

A1. La multiplication de plusieurs nombres ne dépend pas de l'ordre des termes. Nous disons alors que la multiplication est une "opération commutative".

A2. La multiplication de plusieurs nombres ne change pas si l'on remplace deux ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédaire. Nous disons alors que la multiplication est "associative".

A3. L'unité est l'élément neutre de la multiplication car tout multiplicande multiplié par la multiplicateur 1 est égal au multiplicande.

A4. La multiplication peut comporter un terme de telle façon à ce que le produit soit égal à l'unité (l'élément neutre). Nous disons alors qu'il existe un "inverse pour la multiplication".

A5. La multiplication est "distributive", c'est-à-dire que l'opération inverse s'appelant la factorisation.

Soit  des nombres quelconques (non nécessairement égaux) alors nous pouvons noter le produit ainsi:

en définissant des bornes supérieurs et inférieures au produit (au-dessus et en-dessous de la lettre grecque majuscule "pi").

Rappel des propriétés relatives à cette notation:

où est une constante telle que :

Exemples :

La multiplication de deux nombres relativement petits est assez facile dès que nous avons appris par cœur à compter jusqu'à au moins le nombre résultant de cette opération. Ainsi:

 , ,

Pour les beaucoup plus grands nombres il faut adopter un autre méthode qu'il s'agit d'apprendre par cœur. Ainsi par exemple:

nous multiplions colonne par colonne et nous additionnons l'ensemble des résultats décalés d'un chiffre comme ci-dessous (8x4=32, 8x7=56, 8x5=40, 8x4=32) ainsi nous obtenons :

Cette méthodologie est très logique si vous avez bien compris comment nous construisons un chiffre en base dix. Ainsi, nous avons (nous supposerons pour l'instant la distributivité comme connue):

Pour ne pas surcharger l'écriture dans la multiplication par la méthode "verticale", nous ne représentons pas les zéros qui surchargeraient inutilement les calculs (et ce d'autant plus si le multiplicateur le multiplicande sont de très grands nombres)

Division

Définition: La division des nombres entiers est une opération, qui a pour but, étant donné deux nombres, l'un appelé "dividende", l'autre appelé "diviseur", d'en trouver un troisième appelé "quotient" qui soit le plus grand nombre dont le produit par le diviseur puisse se retrancher (donc la division découle de la soustraction !) du dividende (la différence étant nommé le "reste" ou la "congruence"). 

Remarque : dans les cas des nombre réels il n'y a jamais de reste à la fin de l'opération de division (tel que le quotient multiplié par le diviseur donne exactement le dividende). ! D'une façon générale dans le cadre des nombres entiers, si nous note la dividende, le diviseur, le quotient et le reste nous avons la relation:

en sachant que la division était :

Nous désignons également souvent par "fraction" (au lieu de "quotient"); le rapport de deux nombres ou autrement dit, la division du premier par le deuxième (pris dans un ordre arbitrairement choisi).

Remarque : le signe de la division ":" est dû à Leibniz; la barre de fraction se trouve elle pour la première fois dans les ouvrages de Fibonacci (1202); elle est probablement due aux Hindous.

Si nous divisons deux entiers et que nous souhaite un entier comme quotient et reste (s'il y en a un) uniquement, alors nous parlons de "division euclidienne".

Nous indiquons l'opération en plaçant entre les deux nombres, le dividende et le diviseur un " : " ou une barre de division " / " :

Si nous avons :

on appelle  l'inverse du dividende. A tout nombre est associé un inverse qui satisfait cette condition.

De cette définition il vient la notation (avec étant un nombre quelconque différent de zéro) : 

Dans le cas de deux nombres fractionnaires, nous disons qu'ils sont "inverses" ou "réciproques", lorsque leur produit est égal à l'unité (comme la relation précédente) pour toute valeur de , positive ou négative.

Remarques : 

R1. une division par zéro est ce que l'on nomme une "singularité". C'est-à-dire que le résultat de la division est indéterminé (ce qui n'est pas le même chose que de dire qu'il n'y a pas de solution).

R2. lorsque nous multiplions le dividende et le diviseur d'une division par un même nombre, le quotient ne change pas, mais le reste est multiplié par ce nombre.

R3. diviser un nombre par un produit effectué de plusieurs facteurs revient à diviser ce nombre successivement par chacun des facteurs du produit et réciproquement.

Les propriétés des divisions avec les puissances sont les suivantes (nous laisserons le soin au lecteur de le vérifier avec des valeurs numériques):

ou :

Rappelons qu'un nombre premier est un nombre qui n'a d'autres diviseurs que lui-même et l'unité. Donc tout nombre qui n'est pas premier à un nombre premier comme diviseur. Le plus petit des diviseurs d'un nombre entier est donc un nombre premier.

Quelques propriétés de la division (certaines nous sont déja connues car elles découlent d'un raisonnement logique des propriétés de la multiplication) :

Axiomes :

A1. La division de plusieurs nombres ne dépend pas de l'ordre des termes. Nous disons alors que la division est une "opération commutative".

A2. La division de plusieurs nombres ne change pas si l'on remplace deux ou plusieurs d'entre eux par leur résultat intermédaire. Nous disons alors que la division est "associative".

A3. L'unité est l'élément neutre de la division car tout dividende divisé par le diviseur 1 est égal au dividende.

A4. La division peut comporter un terme de telle façon à ce que la division soit égal à l'unité (l'élément neutre). Nous disons alors qu'il existe un "inverse pour la division".

Si et sont deux nombres réels positifs nous avons (nous vous laissons bien sûr observer la cas où doit être non nul) :

,

Nous pouvons maintenant définir la racine q-ième principale d'un nombre quelconque :

la dernière relation n'étant définie que pour . Au niveau de la terminologie, nous avons :

qui est une racine, le nombre est le "radicande" et est l'indice de la racine. Le symbol est appelé le "radical".

De ce qui a déjà été dit pour les puissances, nous pouvons conclure aisément que:

et :

il en ressort que :

  et 

Nous avons également si :

si et :

si est pair.

Si le dénominateur d'un quotient contient un facteur de la forme  avec , en multipliant la numérateur et le dénominateur par , nous supprimerons la racine au dénominateur, puisque :

Nous appellons communément ce procédé "rendre un dénominateur rationnel". Nous pouvons bien sûr faire de même avec le numérateur.

Remarques : 

R1. "simplifier" une expression contenant des puissances de nombres réels signifie qu'il faut regrouper les termes ayant des exposants identiques.

R2. si et est impair, alors est le nombre réel négatif tel que . Si la est impaire alors bien sûr, comme nous l'avons déjà vu, la racine est complexe (voir les nombres complexes dans le chapitre traitant des nombres).

Polynômes arithmétiques

Définition : un "polynôme arithmétique" (à ne pas confondre des polynômes algébriques qui seront étudiés dans la sectiond d'algèbre) est un ensemble de nombres séparés les uns des autres par les signes + ou -. 

Les composants enfermés dans le polynôme sont appelés "termes" du polynôme. Lorsque le polynôme contient un unique terme, nous parlons alors de "monôme", s'il y a deux termes nous parlons de "binôme", et ainsi de suite....

Démontrons que la valeur d'un polynôme arithmétique est égale à l'excès de la somme des termes précédés du signe + sur la somme des termes précédés du signe -.

Démonstration:

quelque soit la valeur des variables.

Mettre en évidence l'unité négative –1 est ce que l'on appelle une "factorisation" ou "mise en facteurs". L'opération inverse, s'appellant une "distribution".

Le produit de plusieurs polynômes peut toujours être remplacé par un polynôme unique que nous appellons "le produit effectué". Nous opèrons habituellement comme  suit: nous multiplions successivement tous les termes du premier polynôme, en commençant par la gauche, par le premier, le second, …, le dernier terme du second polynôme. Nous obtenons ainsi un premier produit partiel; nous faisons, s'il y a lieu, la réduction des termes semblables. Nous multiplions ensuite chacun des termes du produit partiel successivement par le premier, le second, …, le dernier terme du troisième polynôme en commençant par la gauche et ainsi de suite.

Le produit des polynômes est la somme de tous les produites de facteurs formés avec un terme de , un terme de , …, et un terme de ; s'il n'y a aucune réduction, le nombre des termes du produit est égal au produit des nombres des termes des facteurs.

Soit, en général:

pour faire la multiplication des polynômes nous multiplions tous les termes de successivement par tous ceux de pris dans l'ordre de gauche à droite; puis nous multiplions tous les termes du produit pas ceux de , et ainsi de suite. Un terme quelconque a une expression de la forme , en désignant par  l'un des entiers , et de même pour  et pour . Dans le produit total, les termes pris dans l'ordre successif sont d'abord ceux qui ne contiennent que en nombre ; puis ceux qui ne contiennent que  ou , pris séparément ou simultanément; ils sont en nombre ; puis les termes du produit par qui sont en nombre , et ainsi de suite. On voit ainsi que le rang du terme  est fourni par l'expression:

Inversement, lorsque est donné, nous observons que  est l'entier de la division de par , que  est l'entier de la division du reste par , et ainsi de suite. En particulier, si  , la détermination du terme qui correspond à un rang donné revient à écrire dans le système de numération de base .

Ainsi, dans le produit:

pour avoir le signe du terme de rang , nous écrivons ce nombre dans le système de numération binaire; le terme correspondant est positif, ou négatif, suivant que le nombre des 1, et celui des 0 qui terminent sont, ou ne sont pas, de même parité.

Valeur absolue

Définition: nous appellons "valeur absolue" d'un nombre réel noté , le nombre réel non négatif, qui satisfait aux conditions suivantes:

(positif) si

(positif) si

Il découle de cette définition que pour tout nous avons : 

et :

Remarque : les relations ci-dessous sont équivalentes de par la définition de la valeur absolue :

Corollaires:

C1. La valeur absolue de la somme algébrique de plusieurs nombres réels n'est pas supérieure à la somme à la somme des valeurs absolues des composantes de la somme.

C2. La valeur absolue de la différence n'est inférieur à la différence des valeurs absolues des composantes de la différence.

C3. La valeur absolue du produit (multiplication) est égale au produit des valeurs absolues.

C4. La valeur absolue du rapport est égale au rapport des valeurs absolues.

Remarque : nous emploierons le symbole de valeur absolue pour définir la distance entre deux points quelconques d'une droite quelconque (si elle est complexe nous en prendrons le module des points qui la composent). Ainsi, si et sont la norme ou le module (concepts que nous connaissons que partiellement pour l'instant) de coordonnées de deux points et d'un droite, alors la distance (ou "longueur") entre les deux points de la droit est défini par :

et puisque , nous avons :

REGLES DE CALCUL

Fréquemment en informatique (dans le développement en particulier), nous parlons de "priorité des opérateurs". En mathématiques nous parlons de "priorité des ensembles d'opérations et des règles des signes". De quoi s'agit-il exactement?

Nous avons déjà vu qu'elles étaient les propriétés des opérations d'addition, soustraction, multiplication, mise en puissance et division. Nous tenons donc à ce que le lecteur différencie la notion de "propriété" de celle ce de "priorité" (que nous allons tout de suite voir) qui sont des choses complètement différentes.

En mathématiques, en particulier, nous définissons les priorités des symboles:

Autrement dit:

1. Les opérations qui sont entre parenthèses ( ) doivent êtres effectuées en premier dans le polynôme.

2. Les opérations qui sont entre crochets [ ] doivent êtres effectuées en second à partir des résultats obtenus des opérations qui se trouvaient entre les parenthèses ( ).

3. Finalement, à partir des résultats intermédiaires des opérations qui se trouvaient entre parenthèses ( ) et crochets [ ], nous calculons les opérations qui se situent entre les accolades { }.

Faisons un exemple, ceci sera plus parlant. Soit à calculer le polynôme:

Selon les règles que nous avons définies tout à l'heure, nous calculons d'abord tous les éléments qui sont entre parenthèses ( ), c'est-à-dire:

, ,

ce qui nous donne:

Toujours selon le règles que nous avons définies tout à l'heure, nous calculons maintenant tous les éléments entre crochets en commençant toujours à calculer les termes qui sont dans les crochets [ ] au plus bas niveau des autres crochets [ ]. Ainsi, nous commence par calculer l'expression  qui se trouve dans le crochet de niveau supérieur: .

Cela nous donne  et donc:

Il nous reste à calculer maintenant  et donc:

Nous calculons maintenant l'unique terme entre accolade, ce qui nous donne :

Finalement il nous reste:

Evidemment il s'agit d'un cas particulier... Mais le principe est toujours le même.

La priorité des opérateurs arithmétiques est une notion spécifique aux langages informatiques (comme nous en avons déjà fait mention) du fait qu'on ne peut dans ces derniers écrire des relations mathématiques que sur une ligne unique.

Ainsi, en informatique l'équation: 

s'écrit (à peu de choses près) : 

Un non-initié pourrait y lire:

 ou  ou

ou  et encore quelques autres...

ce qui vous en conviendrez, est fort dangereux car nous arriverons à des résultats différents à chaque fois (cas particuliers mis à part…) !

Ainsi, il a logiquement été défini un ordre de priorité des opérandes tel que les opérations soient effectuées dans l'ordre suivant:

1. – Négation

2. ^ Puissance

3. * / Multiplication et division

4. \ division entière (spécifique à l'informatique)

5. Mod Modulo (voir théorie des nombres)

6. + - Addition et soustraction

Evidemment les règles des parenthèses ( ), crochets [ ], et accolades { } qui ont été définies en mathématiques s'appliquent à l'informatique.

Ainsi, nous obtenons dans l'ordre (nous remplacons chaque opération effectuée par un symbole):

D'abord les termes entre parenthèses:

Ensuite les règles de priorité des opérateurs s'appliquent dans l'ordre défini précédemment:

D'abord (1):

ensuite (2) : 

nous appliquons la multiplication (3): 

et finalement la division (3): 

Les règles (4) et (5) s'appliquent pas à cet exemple particulier.

Finalement (6) :

Ainsi, en suivant ces règles, ni l'ordinateur, ni l'être humain ne peuvent (ne devraient) se tromper lors de l'interprétation d'une équations écrite sur un ligne unique.

En informatique, il existe cependant plusieurs opérateurs que nous ne retrouvons pas en mathématiques et qui changent souvent de propriétés d'un langage informatique à un autre. Nous nous attarderons pas trop là-dessus cependant, nous avons mis ci-dessous un petit descriptif:

L'opérateur de concaténation " & " est évalué avant les opérateurs de comparaisons.

Les opérateurs de comparaison (=, <, >, …) possèdent tous une priorité identique.

Cependant, les opérateurs les plus à gauche dans une expression, détiennent une priorité plus élevée.

Les opérateurs logiques sont évalués dans l'ordre de priorité suivant:

1. Not - 2. And - 3. Or - 4. Xor - 5. Eqv - 6. Imp

Maintenant que nous avons vu les priorités des opérateurs, quelles sont les règles des signes en vigueur en mathématiques?

D'abord, il faut savoir que ces dernières ne s'appliquent que dans le cas de la multiplication et la division. Soit deux nombres positifs . Nous avons:

Autrement dit, la multiplication de deux nombres positifs est un nombre positifs et ce pour généralisable à la multiplication de nombres positifs.

Autrement dit, la multiplication d'un nombre positif par un nombre négatif est négatif. Ce qui est généralisable à un résultat positif de la multiplication s'il y a un nombre pair de nombres négatifs et à un résultat négatif pour un nombre impair de nombres négatifs sur la totalité des nombres de la multiplication.

Autrement dit, la multiplication de deux nombres négatifs est positif. Ce qui est généralisable à un résultat positif de la multiplication s'il y a un nombre pair de nombre négatifs et à un résultat négatif pour un nombre impair de nombres négatifs.

Pour ce qui est des division, la raisonnement est identique:

 et

Autrement dit, si le numérateur et le dénominateur sont positifs, alors le résultat de la division sera positif.

 et

Autrement dit, si soit le numérateur ou le dénominateur est négatif, alors le résultat de la division sera forcément négatif.

 et

Autrement dit, si le numérateur et le dénominateur sont positifs, alors le résultat de la division, sera forcément positif.

Evidemment, si nous avons une soustraction de termes, il est possible de la récrire sous la forme :