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CALCUL SPINORIEL

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:22:33 | {oUUID 1.684}
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Le calcul différentiel est un des domaines les plus passionnants et vastes de la mathématique, et il existe une littérature considérable (colossale) sur le sujet. Les résultats initiés par des scientifiques comme Fermat, Newton, Leibniz, Euler et compagnie depuis la fin du 17ème siècle retrouvent des implications dans absolument tous les domaines de la physique, de l'informatique, de l'électronique, de la chimie, de la finance, de la biologie et de la mathématique elle-même.

Les mathématiciens ont rédigé une telle quantité de théorèmes depuis sa naissance au milieu du 16ème siècle sur le sujet que la validation d'un échantillon de ceux-ci est parfois délicate car nécessitant à eux-seuls la vie d'un homme pour être parcourus (c'est un problème que la communauté des mathématiciens reconnaît) et vérifiés (ce qui fait que parfois personne ne les vérifie...).

Ce constat fait, nous avons choisi de ne présenter ici que les points absolument nécessaires à la compréhension des outils fondamentaux de l'ingénieur. Les puristes nous excuseront donc pour l'instant de ne pas présenter certains théorèmes qui peuvent leur sembler indispensables mais que nous rédigerons une fois le temps venu...

Nous allons principalement étudier dans ce qui va suivre ce que les mathématiciens aiment bien préciser (et ils ont raison): les cas généraux des  fonctions réelles à une variable réelle. Les fonctions plus complexes (à plusieurs variables réelles ou complexes, continues ou discrètes) viendront une fois cette partie terminée.

CALCUL DIFFÉRENTIEL

Soit une fonction f réelle à une variable réelle x notée f(x) (nous nous limitons à ce cas de figure pour l'instant et étudierons les dérivées partielles dans des espaces à un nombre de dimensions quelconques plus loin) continue au moins dans un intervalle où se situe l'abscisse a.

Définitions:

D1. Nous appelons "pente moyenne", ou encore "coefficient directeur" le rapport de la projection orthogonale de deux points de la fonction f non nécessairement continue sur l'axe des abscisses et des ordonnées tel que:

  (10.1)

Ce qui se représente sous forme graphique de la manière suivante avec une fonction particulière:

Figure: 10.1 - Exemple de calcul de la pente moyenne

Remarque: signifiant "un delta" exprime le fait que nous sous-entendons une différence d'une même quantité.

Nous supposerons comme évident (sans démonstration) que deux fonctions dont les pentes sont les mêmes dans un même intervalle de définition, y sont parallèles (ou confondues).

Nous démontrerons dans le chapitre de Géométrie Analytique que deux fonctions dont la multiplication des pentes vaut -1 sont perpendiculaires.

D2. Nous appelons "nombre dérivé en a" ou "pente instantanée" ou encore "dérivée première", la limite quand h tend vers 0 (si elle existe) du rapport de la projection orthogonale de deux points infiniment proches de la fonction f continue (dans le sens qu'elle ne contient pas de "trous") sur l'axe des abscisses et des ordonnées tel que:

  (10.2)

Une interprétation graphique donne donc bien que f '(a) est le coefficient directeur (la pente de la tangente au point d'abscisse a).

D3. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en tout point a de I, la fonction qui à tout réel a de I associe le nombre f '(a) est appelée "fonction dérivée de f sur I" et est notée f '.

Nous pouvons de la même manière définir les dérivées d'ordre 2 (dérivée d'une dérivée), les dérivées d'ordre 3 (dérivée d'une dérivée d'ordre 2) et ainsi de suite. Nous rencontrerons par ailleurs très fréquemment de telles dérivées en physique (et même en maths pour l'analyse fonctionnelle).

Précisons que les dérivées d'ordre 2 ont une interprétation très importante en physique et dans le domaines de l'optimisation (cf. chapitre de Méthodes Numériques). Effectivement, si le signe de la dérivée première est positif puis devient négatif quand x croît, alors nous devinons facilement que nous parcourons un maximum local d'une fonction (point où la dérivée est nulle) et que si le signe de la dérivée première est négatif puis devient positif quand x croît, alors nous parcourons un minimum local de la fonction (point où la dérivée est aussi nul). En d'autres termes, lorsque la pente change de signe (s'annule en changeant de signe) la fonction passe par un extremum (minimum ou maximum) et la tangente est "horizontale" en ce point: parallèle à l'axe des abscisses. Par contre, lorsque la dérivée d'ordre 2 (dérivée secondes) est nulle, c'est que la courbure de la fonction s'inverse. Nous parlons alors de "point d'inflexion".

Donc chose très importante qu'il faudra toujours avoir en tête (!!!) quand vos poserez que la dérivée d'une fonction est nulle, c'est que nous pouvons avoir une dérivée qui s'annule en un point sans que ce soit un extremum (nous appelons cela un point d'inflexion). Pour contrôler que ce soit bien un maximum, nous pouvons calculer la dérivée seconde afin d'éliminer le cas d'un point d'inflexion. Sinon il faut recourir à un tableau de variation pour s'assurer que nous avons affaire à un maximum ou à un minimum.

Voici un exemple très ludique d'une fonction avec ses dérivées première et seconde avec Maple 4.00:

>plot([tanh(x),diff(tanh(x),x),diff(tanh(x),x$2)],x=-5..5,color=[red,green,blue]); 

Figure: 10.2 - Plot de la fonction tangente hyperbolique, sa dérivée première et seconde

Maintenant, suite à un problème de compréhension de la part d'un lecteur dans un des chapitres du site, précisons une technique utilisée fréquemment par les physiciens. Considérons une dérivée d'ordre 2 telle que:

  (10.5)

Si nous regardons le d/dx comme un opérateur différentiel nous pouvons bien évidemment écrire:

  (10.6)

Finalement nous avons:

  (10.7)

et donc il vient après simplification par f(x):

  (10.8)

sinon quoi nous ne pouvons pas avoir cette égalité si l'opérateur agit explicitement sur une fonction dans une relation mathématique ou physique quelconque.

Cela peut paraître évident pour certains mais parfois moins pour d'autres... et il était visiblement utile de préciser cela car c'est souvent utilisé dans les chapitres de Relativité Restreinte, Relativité Générale, Physique Quantique Corpusculaire et Physique Quantique Ondulatoire.

Indiquons et démontrons maintenant deux propriétés intuitivement évidentes des dérivées et qui nous seront plusieurs fois indispensables pour certaines démonstrations sur ce site (comme par exemple dans le chapitre de méthodes numériques ou ici même...).

Considérons d'abord deux nombres réels  et f une fonction à valeurs réelles continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ telle que . Alors nous voulons démontrer qu'il existe bien évidemment au moins un élément c de ]a,b[ tel que  (c'est typiquement le cas des fonctions polynômiales!).

Cette propriété est appelée "théorème de Rolle" et donc explicitement elle montre qu'il existe au moins un élément où la dérivée de f est nulle si en la parcourant nous revenons à la même valeur des images pour deux valeurs distinctes des abscisses, c'est-à-dire qu'il existe au moins un point où la tangente est horizontale.

Démonstration:

Si f est constante, c'est immédiat...

Dans le cas contraire, comme f est continue sur l'intervalle fermé borné [a,b] elle admet au moins un minimum global ou maximum global compte tenu que nous nous basons sur l'hypothèse que  et que f n'est pas constante. L'extrema est atteint en un point c appartenant à l'intervalle ouvert ]a, b[ (le fait de prendre l'intervalle ouvert permet dans certains cas d'éviter d'avoir un extrema à nouveau en a ou en b).

Supposons comme premier cas que f(c) est maximum global. La dérivée de la fonction f entre c et un deuxième point a alors un signe connu.

Pour h strictement positif et tel que c+h appartienne à l'intervalle [a,b]:

  (10.9)

En considérant la limite quand h tend vers 0, le nombre dérivé  est négatif.

Pour h strictement négatif et tel que c+h appartienne à l'intervalle [a,b]:

  (10.10)

En considérant la limite quand h tend vers 0, le nombre dérivé f '(c) est positif.

Au bout du compte, la dérivée de f est nulle au point c.

La démonstration est analogue si f(c) est un minimum global, avec les signes des dérivées qui sont les opposés.

C.Q.F.D.

Maintenant, considérons deux réels  et f(x) une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Alors, nous nous proposons de montrer qu'il existe au moins un réel tel que:

  (10.11)

Ce qui peut aussi s'écrire sous la forme suivante:

  (10.12)

avec .

Géométriquement cela signifie qu'en au moins un point c du graphe de la fonction f(x), il existe une tangente de coefficient directeur:

  (10.13)

Graphiquement cela donne:

.
Figure: 10.3 - Représentation graphique du théorème de Rolle

Démonstration:

Nous avons d'abord:

  (10.14)

car la pente de h(x) est bien évidemment  et comme lorsque  nous devons avoir f(a) il s'ensuit donc la relation donnée précédemment.

Ensuite, pour démontrer qu'un tel point c existe, l'idée est de rapporter les deux points a et b à la même ordonnée ce qui en fait nous ramène au théorème de Rolle et pour cela, nous définissons une fonction g par:

  (10.15)

qui est telle qu'effectivement ... et en l'occurrence égal à 0 (mais cette valeur importe peu). Dès lors, le théorème de Rolle vu précédemment nous indique qu'il existe un point entre a et b où la dérivée de g(x) est nulle tel que . Et en constatant que:

  (10.16)

nous obtenons:

  (10.17)

Soit après simplification:

  (10.18)

C.Q.F.D.

Puisque le terme de gauche représente un accroissement fini du terme de droite, alors ce résultat est appelée "théorème des accroissements finis" (TAF).

A l'aide de ce petit théorème et des outils mathématiques introduits précédemment, nous pouvons construire un petit théorème fort utile et puissant en physique.

Définition: Nous appelons "règle de L'Hôpital" (également appelée "règle de l'Hospital" ou "règle de Bernoulli") le procédé qui utilise la dérivée dans le but de déterminer les limites difficiles à calculer de la plupart des quotients et qui apparaissent souvent en physique.

Démonstration:

Considérons deux fonctions f(x) et g(x) et telles que  alors nous pouvons écrire:

  (10.19)

Alors selon la définition de la dérivée:

  (10.20)

C.Q.F.D.

Nous pouvons généraliser ce résultat précédent initialement basé sur la contrainte un peu trop forte:

  (10.21)

Démonstration:

Rappelons donc que selon le théorème des accroissements finis, si f(x) est dérivable sur un intervalle ]a,b[ et continue sur [a,b] alors il existe un réel c dans l'intervalle [a,b] tel que:

  (10.22)

Si le théorème se vérifie pour deux fonctions satisfaisant aux mêmes contraintes alors nous avons deux fonctions telles que:

 et   (10.23)

Si g'(c) est non nul nous avons alors tout à fait le droit d'écrire le rapport (certains appellent cela le "théorème des accroissements fini généralisé"...):

  (10.24)

ce qui sans perdre en validité tant que c est dans l'étau [a,x] peut s'écrire:

  (10.25)

Ainsi, lorsque  ce qui implique que l'étau [a,x] se referme et donc  nous avons:

  (10.26)

Ainsi, nous venons de prouver quand dans la démonstration précédente de la règle de l'Hôpital la relation:

  (10.27)

que nous avions est vraie en toute généralité et qu'il n'est pas nécessaire que  soit vrai pour que le résultat soit juste!

C.Q.F.D.

DIFFÉRENTIELLES

Nous avons indiqué précédemment ce qu'était un différentiel d. Mais il existe en fait plusieurs types de sortes de différentielles d'une fonction (remarquez que nous distinguons le genre masculin et féminin du terme):

1. Les différentiels

2. Les différentielles partielles

3. Les différentielles totales exactes

4. Les différentielles totales inexactes

Rappelons que nous appelons "différentiel df" d'une fonction f à une variable la relation donnée par (voir texte précédent):

  (10.28)

Cependant, pour exprimer l'effet d'un changement de toutes les variables d'une fonction f de plusieurs variables, nous devons utiliser un autre type de différentiel que nous appelons la "différentielle totale" (dérivée en deux sous-familles: différentielle totale exacte et différentielle totale inexacte).

Soit par exemple, une fonction f(x, y) des deux variables x et y. L'accroissement df de la fonction f, pour un accroissement fini de x à et de y à est:

  (10.29)

que nous pouvons aussi écrire:

  (10.30)

ou encore:

  (10.31)

Pour des accroissements infiniment petits de x et y:

  (10.32)

Intéressons-nous dès lors aux deux termes au passage à la limite:

et   (10.33)

Le premier terme de gauche, nous le voyons, ne donne finalement que la variation en x de la fonction f(x, y) en ayant y constant sur la variation. Nous notons cela dès lors (si la connaissance des variables constantes est triviale, nous ne les indiquons plus):

  (10.34)

et de même:

  (10.35)

Les deux expressions:

et   (10.36)

sont ce que nous appelons des "différentielles partielles" ou plus simplement "dérivée partielle" (dont le cas d'application pratique le plus simple et probablement le plus intéressant et pédagogiquement pertinent disponible à ce jour sur l'entier du site est le modèle d'approvisionnement de Wilson avec rupture présenté dans le chapitre de Techniques De Gestion).

Il vient dès lors:

  (10.37)

qui est la "différentielle de f". Les thermodynamiciens parlent souvent eux de la "différentielle totale exacte de f" ou plus simplement "différentielle exacte de f".

La relation précédente est un cas particulier de ce que les mathématiciens appellent en toute généralité une "forme différentielle":

  (10.38)

nous y reviendrons un peu plus loin... Il est d'usage de noter:

  (10.39)

donc sous forme d'un champ vectoriel.

Il est important de se rappeler de la forme de la différentielle totale car nous la retrouverons partout dans des opérateurs particuliers en physique, dans la mécanique des fluides, dans la thermodynamique, etc.

Géométriquement, les dérivées partielles peuvent être interprétées comme suit: la fonction f(x, y) définit une surface dans , dont l'intersection avec la plan est une courbe:

  (10.40)

La dérivée partielle est alors la pente de cette courbe en tout point x. Nous avons alors naturellement la fonction suivante pour la pente au point :

  (10.41)

De la même manière, la tangente à la courbe:

  (10.42)

aura pour expression:

  (10.43)

Le plan localement tangent au point déterminé pas ses deux tangentes est alors donné par:

  (10.44)

où nous reconnaissons la forme de la différentielle totale exacte en réarrangeant les termes:

  (10.45)

Ainsi, par exemple, la surface représentée par la fonction:

  (10.46)

est représentée ci-dessous avec les deux tangentes passant par le point:

  (10.47)

et dont les équations respectives sont:

  (10.48)

et:

  (10.49)

Figure: 10.4 - Les deux tangentes de la fonction au point d'intérêt

Nous avons le plan tangent en ce point qui est alors donné par:

  (10.50)

Figure: 10.5 - Les deux tangentes de la fonction au point d'intérêt avec la plan tangent

Profitons pour faire une indication importante sur l'utilisation des dérivées partielles par les physiciens (et donc dans les nombreux chapitres y relatifs du site). Nous avons vu plus haut que si f dépend de deux variables x, y nous avons:

  (10.52)

et s'il ne dépend que d'une variable nous avons alors:

  (10.53)

et alors:

  (10.54)

raison pour laquelle les physiciens mélangent allègrement les deux notations...

Maintenant, il faut cependant savoir qu'il existe également des différentielles totales exactes qu'aucune fonction ne vérifie. Dans ce cas, nous parlons de "différentielle totale inexacte" et pour déterminer si une différentielle totale est exacte ou inexacte, nous utilisons les propriétés des dérivées partielles (cas très important en thermodynamique!!!).

Soit la fameuse forme différentielle générale (cela fait appel à de la géométrie différentielle):

  (10.55)

où M(x, y) et N(x, y) sont des fonctions des variables x et y. Si dz est une différentielle totale exacte, alors:

  (10.56)

Il faut donc que in extenso:

et   (10.57)

ou encore, en effectuant une seconde dérivation, que:

et   (10.58)

pour que la forme différentielle, soit une différentielle totale exacte.

Avant de continuer, nous avons besoin d'un résultat donné par le "théorème de Schwarz" (mais qui a été démontré à la fin du 17ème siècle par un des frères Bernoulli) qui s'énonce de la manière suivante:

Soit une fonction f, si:

  (10.59)

sont continues alors nous avons (il faut vraiment vérifier que ce soit le cas!) un résultat très important dans la pratique:

  (10.60)

pour tout où U est le domaine de définition où f est continue (et donc dérivable).

Démonstration:

Nous considérons l'expression:

  (10.61)

Posons:

et   (10.62)

Nous avons alors:

  (10.63)

Par le théorème des accroissements finis:

  (10.64)

avec En reprenant les définitions de g et w nous obtenons:

  (10.65)

en appliquant à nouveau le théorème des accroissements finis aux deux membres entre parenthèses nous trouvons:

  (10.66)

avec Pour finir:

  (10.67)

et par continuité lorsque , nous avons:

  (10.68)

Plus simplement écrit:

  (10.69)

Donc si f s'exprime sous forme différentielle totale exacte alors les différentielles croisées sont égales (la réciproque n'est pas forcément vraie).

C.Q.F.D.

Par récurrence sur le nombre de variables nous pouvons démontrer le cas général (c'est long mais c'est possible, nous le ferons si besoin il y a...).

Donc finalement pour en revenir à notre problème initial, nous avons donc:

  (10.70)

Ce qui nous donne finalement la "condition de Schwarz":

  (10.71)

C'est donc la condition que doit satisfaire une forme différentielle pour être une différentielle totale exacte et la condition qu'elle ne doit pas satisfaire pour être une différentielle totale inexacte!!! C'est une propriété très important pour l'étude de la Thermodynamique!

Afin de ne pas confondre les deux types de différentielles, nous utilisons le symbole pour représenter une différentielle totale inexacte:

  (10.72)

et d pour une différentielle totale exacte:

  (10.73)

La distinction est extrêmement importante car seules les différentielles totales exactes qui satisfont donc:

  (10.74)

ont une intégrale qui ne dépend que des bornes d'intégration (puisque toutes les variables changent en même temps). Dès lors les différentielles totales inexactes dépendent des bornes d'intégration, ce qui signifie que:

  (10.75)

et donc:

  (10.76)

Alors que (voir plus loin la partie traitant des intégrales curvilignes):

  (10.77)

soit (voir la démonstration détaillée plus loin lorsque nous traiterons des intégrales curvilignes):

  (10.78)

Autrement dit, la variation d'une fonction dont la différentielle est totale exacte, ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des états initiaux et finaux car elle s'exprime comme le gradient d'une fonction (voir la démonstration par l'exemple dans le chapitre d'Électrostatique quand nous vérifions que la différence de potentiel est indépendante du chemin). Nous appelons une telle fonction qui satisfait à une différentielle totale exacte en physique, une "fonction d'état" et en mathématique une "fonction holomorphe" (voir le chapitre d'Analyse Complexe pour plus de détails), c'est-à-dire une fonction dont la valeur ne dépend que de l'état présent et futur, et non de son histoire.

Cette distinction est très importante et particulièrement en thermodynamique où il convient de déterminer si une quantité physique est une différentielle totale exacte (une "fonction d'état" donc) ou non afin de savoir comment évoluent les systèmes.

Exemple:

Un exemple important de forme différentielle en thermodynamique, est le travail élémentaire d'une force exercée sur un corps en mouvement dans le plan Oxy, nous avons:

  (10.79)

et ne dérivent pas nécessairement d'un même potentiel U(x, y) tel que:

  (10.80)

est donc une différentielle totale inexacte!

DÉRIVÉES USUELLES

Nous allons démontrer ici les dérivées les plus fréquentes (une petite trentaine) que nous puissions rencontrer en physique théorique et mathématique ainsi que certaines de leurs propriétés (en fait, nous allons toutes les appliquer dans les sections relatives à la Mécanique, l'Ingénierie, l'Atomistique, les Mathématiques Sociales, etc.). La liste est pour l'instant non exhaustive mais les démonstrations étant généralisées, elles peuvent s'appliquer à un grand nombre d'autres cas similaires (que nous appliquerons/rencontrerons tout au long de ce site).

1. Dérivée de :

Partons d'abord d'un cas particulier, la dérivée de :

Soit donc a un réel quelconque fixé, alors:

  (10.81)

Le nombre dérivé en a de la fonction cube est donc .

Nous pouvons généraliser ce résultat pour tout entier naturel  positif ou négatif n et nous allons voir que la fonction f définie sur  par  est dérivable et que sa dérivée f' est définie par .

  (10.82)

Ainsi, nous avons (quelques exemples peuvent être utiles pour comprendre la portée de ce résultat):

  (10.83)

Nous voyons donc qu'en ayant déterminé la dérivée d'une fonction de la forme , nous avons également déterminé la dérivée de toute fonction qui est mise sous cette forme tel que:

 et   (10.84)

Cependant, les fonctions:

  (10.85)

ne sont pas dérivables en puisque la fonction n'y est plus définie (division par zéro). De plus, en ce qui concerne la fonction comportant la racine (puissance non entière), la dérivée n'est pas définie dans .

Cependant, le résultat précédent donne un résultat intéressant pour les fonctions constantes telle que:

  (10.86)

il n'est alors pas difficile de déterminer la dérivée qui vaut simplement:

  (10.87)

Donc la dérivée de toute fonction constante est nulle (il est important de se souvenir de ce résultat quand nous étudierons les propriétés des intégrales) !!!

2. Dérivée de la fonction f(x)=cos(x):

Soit donc a un réel quelconque fixé, alors (attention! il est utile de connaître les relations trigonométriques remarquables que nous démontrons dans le chapitre de trigonométrie dans la section de géométrie):

  (10.88)

Puisque:

  (10.89)

Effectivement, rappelons que la fonction sin(x) est assimilable (visuellement et mathématiquement) à une droite de fonction  au voisinage de .

Donc pour résumer:

  (10.90)

3. Dérivée de la fonction f(x)=sin(x):

Soit donc a un réel quelconque fixé, alors (attention! il est utile de connaître les relations trigonométriques remarquables que nous démontrons dans le chapitre de Trigonométrie dans la section de géométrie):

  (10.91)

Donc pour résumer:

  (10.92)

4. Dérivée de la fonction :

La dérivée de la fonction  est égale à , c'est-à-dire si:

    (10.93)

alors:

  (10.94)

Démonstration:

Si est l'accroissement de la fonction pour un accroissement correspondant de la variable x, alors:

  (10.95)

et nous pouvons écrire:

  (10.96)

Multiplions et divisons par x l'expression figurant dans le membre droit de la dernière égalité:

  (10.97)

Désignons la quantité  par . Il est évident que  quand tend vers zéro pour un x donné. Par conséquent:

  (10.98)

Or, nous retrouvons ici une autre provenance historique de la constante d'Euler (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle) où:

  (10.99)

Ainsi:

  (10.100)

C.Q.F.D.

Un cas particulier important est le cas où a=e. Nous avons alors:

  (10.101)

5. Dérivée d'une somme de fonctions:

Soient u et v deux fonctions. La fonction somme  est dérivable sur tout intervalle où u et v sont dérivables, sa dérivée est la fonction s' somme des fonctions dérivées u' et v' de u et v.

Ce résultat se généralise pour une somme d'un nombre quelconque fixé de fonctions.

Démonstration:

Soient a un réel fixé et u et v deux fonctions définies et dérivables en a:

  (10.102)

Donc la dérivée d'une somme est la somme des dérivées.

C.Q.F.D.

6. Dérivée d'un produit de fonctions:

Soient u et v deux fonctions.  La fonction produit  est dérivable sur tout intervalle où u et v sont dérivables, sa dérivée première est la fonction p' telle que:

  (10.103)

Démonstration:

Soient a un réel fixé et u et v deux fonctions définies et dérivables en a:

  (10.104)

Nous rajoutons à cette dernière relation deux termes dont la somme est nulle tels que:

  (10.105)

C.Q.F.D.

Mais il existe une formulation plus générale que la dérivée première d'un produit:

Considérons pour cela toujours nos deux fonctions u et v, n fois dérivables sur un intervalle I. Alors le produit uv est n fois dérivable sur I et:

  (10.106)

et ceci constitue la "formule de Leibniz" que nous avons utilisée dans le chapitre de Calcul Algébrique pour l'étude des polynômes de Legendre (qui nous sont eux-mêmes indispensables pour l'étude de la chimie quantique).

La démonstration de cette expression est très proche de celle faite pour le binôme de Newton (cf. chapitre de Calcul Algébrique).

Démonstration:

Soit:

  (10.107)

D'autre part:

  (10.108)

La relation est ainsi bien initialisée.

La démonstration se fait par récurrence. Ainsi, le but est de montrer que pour  que si:

  (10.109)

alors:

  (10.110)

Nous avons donc:

  (10.111)

Nous allons procéder à un changement de variable dans la première somme pour ne plus avoir le terme en k+1. Nous posons pour cela :

  (10.112)

Si nous revenons à la lettre k, nous avons donc:

  (10.113)

Nous avons donc:

  (10.114)

Nous voulons réunir les deux sommes. Pour cela, nous écartons les termes en trop dans chacune d'elles:

  (10.115)

Ce qui donne donc:

  (10.116)

D'après la formule de Pascal (cf. chapitre de Probabilités), nous avons:

  (10.117)

Donc:

  (10.118)

Or:

  (10.119)

Donc:

  (10.120)

C.Q.F.D.

7. Dérivée d'une fonction composée:

Soit la fonction composée  de deux fonctions g et u dérivables, la première en u(x), la seconde en x, la fonction dérivée f ' est définie par , c'est-à-dire:

  (10.121)

Démonstration:

Soient a un réel fixé et u une fonction définie et dérivable en a et g une fonction définie et dérivable en u(a):

  (10.122)

posons , nous avons alors:

  (10.123)

continuons notre développement précédent:

  (10.124)

C.Q.F.D.

Donc la dérivée d'une fonction composée est donnée par la dérivée de la fonction multipliée par la "dérivée intérieure". Par ailleurs, ce type de dérivation est très important car souvent utilisé en physique sous la dénomination de "dérivation en chaîne".

Voyons de quoi il s'agit. La dernière relation obtenue peut être écrite sous une autre forme si nous posons et :

  (10.125)

Ce qui peut s'étendre à des cas plus compliqués par exemple si  alors:

  (10.126)

8. Dérivée d'une fonction réciproque:

Si la fonction  f est continue, strictement monotone sur un intervalle I, dérivable sur  I, alors la fonction réciproque   est dérivable sur l'intervalle f(I) et admet pour fonction dérivée:

  (10.127)

En effet, nous pouvons écrire:

  (10.128)

C'est-à-dire (application identité):

  (10.129)

Par application de la dérivation des fonctions composées:

  (10.130)

d'où:

  (10.131)

Pour une variable x, nous poserons pour la dérivée de la fonction réciproque:

  (10.132)

10. Dérivée de la fonction arccos(x):

En utilisant le résultat précédent de la fonction réciproque, nous pouvons calculer la dérivée de la fonction arccos(x):

  (10.133)

11. Dérivée de la fonction arcsin(x):

En utilisant le résultat précédent de la fonction réciproque, nous pouvons calculer la dérivée de la fonction arcsin(x):

  (10.134)

12. Dérivée d'un quotient de deux fonctions:

La fonction  est dérivable sur tout intervalle où les fonctions u et v sont dérivables et où la fonction v est non nulle et:

  (10.135)

Démonstration:

La fonction f peut être considérée comme le produit de deux fonctions: la fonction u et la fonction 1/v. Une produit de deux fonctions est dérivable si chacune d'elle est dérivable, il faut donc que la fonction u soit dérivable et que la fonction 1/v soit également dérivable ce qui est le cas quand v est dérivable non nulle.

  (10.136)

C.Q.F.D.

13. Dérivée de la fonction tan(x):

Par définition (cf. chapitre de Trigonométrie) nous avons:

  (10.137)

et en appliquant donc la dérivée d'un quotient vue précédemment, nous avons:

  (10.138)

ou encore:

  (10.139)

14. Dérivée de la fonction cot(x):

Par définition (cf. chapitre de Trigonométrie), :

  (10.140)

et donc (dérivée d'un quotient à nouveau):

  (10.141)

ou encore:

  (10.142)

15. Dérivée de la fonction arctan(x):

Nous utilisons les propriétés dérivées des fonctions réciproques:

  (10.143)

16. Dérivée de la fonction arccot(x):

Selon la même méthode que précédemment:

  (10.144)

17. Dérivée de la fonction :

Nous verrons lors de notre étude des méthodes numériques (cf. chapitre de Méthodes Numériques) que le "nombre d'Euler" peut être calculé selon la série:

  (10.145)

qui converge sur . En dérivant terme à terme cette série qui converge, il vient:

  (10.146)

Ainsi l'exponentielle est sa propre dérivée. Ainsi, nous pouvons nous permettre d'étudier les dérivées de quelques fonctions trigonométriques hyperboliques (cf. chapitre de Trigonométrie).

18. Dérivée de la fonction sinh(x):

Rappel:

  (10.147)

Donc trivialement:

  (10.148)

19. Dérivée de la fonction cosh(x):

Rappel:

  (10.149)

Donc trivialement:

  (10.150)

20. Dérivée de la fonction tanh(x):

Puisque par définition:

  (10.151)

Donc en appliquant la dérivée d'un quotient nous obtenons:

  (10.152)

Ou encore:

  (10.153)

21. Dérivée de la fonction coth(x):

Rappel:

  (10.154)

et donc:

  (10.155)

22. Dérivée de la fonction arcsinh(x):

Nous appliquons les propriétés des dérivées des fonctions réciproques:

  (10.156)

Or (voir à nouveau le chapitre de Trigonométrie):

  (10.157)

et donc:

  (10.158)

Etant donné que cosh ne prend que des valeurs positives, nous avons:

  (10.159)

Donc finalement:

  (10.160)

23. Dérivée de la fonction arccosh(x):

Nous appliquons les propriétés des dérivées des fonctions réciproques:

  (10.161)

Or selon la même méthode que précédemment:

  (10.162)

d'où:

  (10.163)

Etant donné que ne prend que des valeurs positives nous avons alors:

  (10.164)

Donc:

  (10.165)

24. Dérivée de la fonction arctanh(x):

En appliquant les propriétés des dérivées des fonctions réciproques:

  (10.166)

25. Dérivée de la fonction arccoth(x):

En appliquant les propriétés des dérivées des fonctions réciproques si :

  (10.167)

26. Dérivée de la fonction :

Avec :

  (10.168)

Donc (dérivée d'une fonction composée):

  (10.169)

CALCUL INTÉGRAL

Nous allons aborder ici les principes élémentaires et de base du calcul intégral. La suite (avec plus de rigueur) viendra en fonction du temps qui est à la disposition des responsables du site.

INTÉGRALE DÉFINIE

L'idée première du concept d'intégral est de calculer l'aire algébrique (surface) entre une courbe et son support:

Figure: 10.6 - Aire (surface) à calculer sous une courbe continue bornée

Une valeur approchée de l'aire sous une courbe peut être obtenue par un découpage en n bandes rectangulaires verticales de même largeur. En particulier on peut réaliser un encadrement de cette aire à l'aide d'une somme majorante et d'une somme minorante pour un découpage donné.

Figure: 10.7 - Représentation graphique des sommes majorante ou minorante

Supposons que le nombre n de bandes tende vers l'infini. Comme les bandes sont de même largeur, la largeur de chaque bande tend vers 0 (objectivement il n'est pas nécessaire que la largeur des sous-intervalles du découpage soit la même partout).

Si les sommes et ont toutes deux une limite lorsque, le nombre n de bandes, tend vers l'infini, alors l'aire A sous la courbe est comprise entre ces deux limites.

Nous avons:

  (10.170)

Si ces deux limites sont égales, leur valeur est celle de l'aire sous la courbe.

D'où une première définition directe de l'intégrale définie ou dite "intégrale de Riemann":

Soit un intervalle [a, b], divisé en n parties égales, soit f une fonction continue sur l'intervalle [a, b], soit , la somme algébrique minorante et soit , la somme algébrique majorante. Nous appelons "intégrale définie" de f, depuis a jusqu'à b, notée:

  (10.171)

le nombre A tel que:

  (10.172)

pourvu que cette limite existe. Si cette limite existe, alors nous disons que f est "intégrable" sur [a, b] et l'intégrale définie existe. Le symbole:

  (10.173)

n'est que que le symbole de la somme discrètre mais appliquée aux cas d'éléments infiniments petits.

Les nombres a et b de l'intégrale sont appelés les "bornes d'intégration": a est la "borne inférieure", b est la "borne supérieure".

Intuitivement, il est évident que lorsque , nous étendons la définition ainsi:

  (10.174)

Enfin, signalons qu'il est tout à fait possible que l'intégrale soit négative ou même complexe puisqu'il s'agit d'une surface algébrique!

Voyons une deuxième approche de définition de l'intégrale, un peu plus rigoureuse que la précédente (suite à la demande de plusieurs lecteurs). Nous utiliserons par tradition cette fois-ci, le S de la surface au lieu du A de l'aire.

Soit f une fonction bornée sur [a, b] . Nous considérons une subdivision  de son support [a, b] que nous notons:

  (10.175)

où les intervalles ne sont pas obligatoirement de tailles équivalentes.

Nous pour :

 et   (10.176)

Définitions:

D1. Nous appelons "somme de Darboux inférieure" associée à f et  la surface:

Figure: 10.8 - Principe du calcul de la somme de Darboux inférieure

D2. Nous appelons  "somme de Darboux supérieure" associée à f et  la surface:

Figure: 10.9 - Principe du calcul de la somme de Darboux supérieure

Une fonction est dite "Riemann-Intégrable sur [a, b]" si et seulement si les deux surfaces susmentionnées coïncident lorsque les intervalles deviennent infiniment petit.

Le nombre correspondant à ces surfaces est alors appelé "l'intégrale de Riemann de f sur [a, b]" est noté:

  (10.177)

L'ensemble des fonctions Riemann-intégrables sur [a, b] est noté .

Les sommes de Darboux ne sont pas très utiles pour le calcul effectif d'une intégrale, par exemple à l'aide d'un ordinateur, car il est en général assez difficile de trouver les inf et sup sur les sous-intervalles. On considère plutôt:

 ou   (10.178)

La somme de Riemann se définit à partir du fait que nous notons:

  (10.179)

et que:

  (10.180)

où:

  (10.181)

Dès lors:

  (10.182)

Mais comme il faut bien choisir un , souvent on prend soit celui à droite, soit celui à gauche, dès lors en prenant au hasard la "méthode des rectangles à gauche":

  (10.183)

Ce qui nous donnerait pour l'exemple ci-dessous:

Figure: 10.10 - Principe du calcul de la méthodes des rectangles à gauche

Soit:

  (10.184)

Mais c'est facile pour une fonction en escalier... mais cela l'est moins pour une fonction continue pour laquelle nous n'obtiendrions qu'une valeur approchée de la surface réelle! L'idée est alors de prendre des intervalles de plus en plus petits:

Figure: 10.11 - Principe du calcul de l'intégrale de Riemann avec la méthode des rectangles à gauche

Et dès lors, à la limite, nous obtenons la quantité voulue:

  (10.185)

Le fait de chercher cette limite s'appelle "calculer l'intégrale", et plus spécifiquement de la méthode choisie: "intégrale de Riemann".

INTÉGRALE INDÉFINIE

Nous avons vu précédemment lors de notre étude des dérivées, le problème suivant: étant donnée une fonction F(x), trouver sa dérivée, c'est-à-dire la fonction:

  (10.186)

Définition: Nous disons que la fonction F(x) est une "primitive" ou "intégrale indéfinie" de la fonction f(x) sur le segment [a, b], si en tout point de ce segment nous avons l'égalité .

Une autre manière de voir le concept d'intégrale indéfinie est de passer par le "théorème fondamental du calcul intégral (et différentiel)" appelé aussi parfois "théorème fondamental de l'analyse" dont les 2 propriétés s'énoncent ainsi:

Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a, b].

P1. Si A est la fonction définie par pour tout X dans [a, b], alors A est la primitive de f sur [a, b] qui s'annule en a (ou en d'autres termes: f(t) est la dérivée de A)

P2. Si F est une primitive de f sur [a, b], alors .

Démontrons la première propriété du théorème fondamental:

Démonstration:

Soit la fonction:

  (10.187)

Si f est positive et (la démonstration dans le cas où est proposée similaire) et comme , nous pouvons nous représenter A(X) comme l'aire sous la courbe de f depuis jusqu'à .

Figure: 10.12 - Représentation graphique de l'aire

Pour démontrer que A est une primitive de f , nous allons prouver que . Selon la définition de la dérivée:

  (10.188)

Etudions ce quotient: est représentée par l'aire de la bande de largeur h, prise en sandwich entre deux rectangles de largeur h.

Soit M le maximum de f sur l'intervalle et m le minimum de f sur ce même intervalle. Les aires respectives des deux rectangles sont Mh et mh.

Nous avons alors la double inégalité suivante:

  (10.189)

Comme h est positif, on peut diviser par h sans changer le sens des inégalités:

  (10.190)

Lorsque et si f est une fonction continue, alors M et m ont pour limite f(X) , et le rapport:

  (10.191)

qui est compris entre m et M, a bien pour limite f(X).

Comme pour tout X, ceci nous montre que la dérivée de la fonction aire est f. Ainsi A est une primitive de f. Comme , A est bien la primitive de f qui s'annule en a.

C.Q.F.D.

Avant de commencer la démonstration de la deuxième propriété du théorème fondamental, donnons et démontrons le théorème suivant qui va nous être indispensable: Si  et  sont deux primitives de la fonction f(x) sur le segment [a, b], leur différence est une constante (ce théorème est très important en physique pour ce qui est de l'étude de ce que nous appelons les "conditions initiales").

Démonstration:

Nous avons en vertu de la définition de la primitive:

  (10.192)

pour .

Posons:

  (10.193)

Nous pouvons écrire:

  (10.194)

Il vient donc de ce que nous avons vu pendant notre étude des dérivées que .

Nous avons alors:

  (10.195)

C.Q.F.D.

Il résulte de ce théorème que si nous connaissons une primitive quelconque F(x) de la fonction f(x), toute autre primitive de cette fonction sera de la forme:

  (10.196)

Donc finalement, nous appelons "intégrale indéfinie" de la fonction f(x) et nous notons:

  (10.197)

toute expression de la forme  où F(x) est une primitive de f(x). Ainsi, par convention d'écriture:

  (10.198)

si et seulement si .

Dans ce contexte, f(x) est également appelée "fonction à intégrer" et f(x)dx, "fonction sous le signe somme".

Géométriquement, nous pouvons considérer l'intégrale indéfinie comme un ensemble (famille) de courbes telles que nous passons de l'une à l'autre en effectuant une translation dans le sens positif ou négatif de l'axe des ordonnées.

Revenons-en à la démonstration du point (2) du théorème fondamental de l'analyse:

Démonstration:

Soit F une primitive de f.

Puisque deux primitives diffèrent d'une constante, nous avons bien:

  (10.199)

ce que nous pouvons écrire aussi:

  (10.200)

pour tout X dans [a, b]. Le cas particulier donne et donc et . En remplaçant, nous obtenons:

  (10.201)

Comme cette identité est valable pour tout X de l'intervalle , elle est vraie en particulier pour . D'où:

  (10.202)

C.Q.F.D.

Ce dernier résulétat montre aussi quelque chose d'utile!: Il n'est pas nécessaire lorsque nous évaluaons une intégrale de prendre en compte la constante de la primitive générale puisque celle-ci s'annule de par la différence des deux primitives!!

Voici quelques propriétés triviales de l'intégration qu'il est bon de se rappeler car souvent utilisées ailleurs sur le site (si cela ne vous semble pas évident, contactez-nous et nous le détaillerons):

P1. La dérivée d'une intégrale indéfinie est égale à la fonction à intégrer:

  (10.203)

P2. La différentielle d'une intégrale indéfinie est égale à l'expression sous le signe somme:

  (10.204)

P3. L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une certaine fonction est égale à la somme de cette fonction et d'une constante arbitraire:

  (10.205)

P4. L'intégrale indéfinie de la somme (ou soustraction) algébrique de deux ou plusieurs fonctions est égale à la somme algébrique de leurs intégrales (ne pas oublier que l'on travaille avec l'ensemble des primitives et non des primitives particulières!):

  (10.206)

Démonstration:

Pour démontrer cela nous allons prouver que la dérivée du membre de gauche permet de trouver le membre de droite et inversement (réciproque) à l'aide des propriétés précédentes.

D'après P1 nous avons:

  (10.207)

Vérifions s'il en est de même avec le membre de droite (nous supposons connues les propriétés des dérivées que nous avons démontrées au début de ce chapitre):

  (10.208)

C.Q.F.D.

P5. Nous pouvons sortir un facteur constant de sous le signe somme, c'est-à-dire:

  (10.209)

Nous justifions cette égalité en dérivant les deux membres (et d'après les propriétés des dérivées):

  (10.210)

P6. Nous pouvons sortir un facteur constant de l'argument de la fonction intégrée (plutôt rarement utilisée):

  (10.211)

En effet, en dérivant les deux membres de l'égalité nous avons d'après les propriétés des dérivées:

  (10.212)

P7. L'intégration d'une fonction dont l'argument est sommé (ou soustrait) algébriquement est la primitive de l'argument sommé (respectivement soustrait):

  (10.213)

Cette propriété se démontre également identiquement à la précédente à l'aide des propriétés des dérivées.

P8. La combinaison des propriétés P6 et P7 nous permet d'écrire:

  (10.214)

P9. Soit f une fonction continue sur [a,b], nous avons pour tout c appartenant à cet intervalle:

  (10.215)

Ce théorème, appelé parfois "relation de Chasles" (de par son pendant vectoriel), découle immédiatement de la définition de l'intégrale indéfinie. F étant une primitive de f  sur [a,b] nous avons:

  (10.216)

P10. Voilà une propriété souvent utilisée dans le chapitre de Statistiques du site (nous ne trouvons pas de moyen d'exprimer cette propriété par le langage courant donc...):

  (10.217)

Voyons deux propriétés qui nous seront parfois utiles pour calculer des intégrales difficiles:

P11. Si une fonction est paire (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle), l'intégrale sur des bornes symétriques équivaut à:

  (10.218)

P12. Si une fonction est impaire (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle), l'intégrale sur des bornes symétriques équivaut à:

  (10.219)

INTÉGRALE DOUBLE

L'idée des intégrales doubles est de mesurer le volume de la zone délimitée par le graphe d'une fonction de deux variables, au-dessus d'un domaine D du plan (ci-dessous D est rectangulaire).

Figure: 10.13 - Exemple d'une fonction à deux variables au-dessus d'un domaine

Il va sans dire que les intégrales doubles sont extrêmement importantes aussi dans tout le domaine des mathématiques appliquées!

Là encore, l'idée est la même que l'intégrale définie. Si nous adaptons une approche simpliste, nous décomposons la fonction continue en un escalier et le volume à calculer se réduit alors à faire la somme des volumes de parallélépipèdes:

Figure: 10.14 - Décomposition du volume en parallélépipèdes grossiers

Dès lors:

  (10.220)

Pour une fonction continue, nous procèdons par approximations successives: nous calculons des sommes de Riemann pour des subdivisions de plus en plus fines du domaine D:

Figure: 10.15 - Décomposition du volume en parallélépipèdes de plus en plus fins

et donc à la limite:

  (10.221)

Par contre, quand on veut intégrer sur un domaine qui n'est pas rectangulaire, les choses se compliquent à priori... Voyons comment contourner le problème.

Pour cela, nous allons construire le domaine D fermé borné de la façon suivante.

  (10.222)

où le lecteur aura remarque que le support de y est la variable x par l'intermédiaire de deux fonctions u et v. C'est ce que nous appelons alors un "domaine du type I" (et donc si c'est y qui paramétrise x alors il s'agit domaine de type II).

Ce qui peut s'illustrer par la figure ci-dessous:

Figure: 10.16 - Exemple d'un domaine de type I

où nous remarquons que cette approche simpliste (il existe d'autres approches possibles mais qui nécessitent de faire appel à la théorie de la mesure) nécessite que le domaine soit simplement connexe (qu'il n'y ait pas de trous hors du domaine D entre u(x) et v(x)) ou décomposé en sous-domaines disjointes simplement connexes.

Indiquons que dans la pratique (voir les différents chapitres du site et particulièrement celui sur les Formes Géométriques) les doubles intégrales se font souvent sur des volumes de révolution ce qui simplifie considérablement la paramétrisation. De plus, nous verrons plus loin qu'il est possible de change de système de coordonnées pour simplifier encore plus les doubles intégrales, ce qui fait que la paramétrisation semble disparaître...

Bref, nous pouvons donc intégrer de la manière suivante:

  (10.223)

Donc nous transformons l'intégrale double en deux intégrales simples emboîtées.

THÉORÈME DE FUBINI

Nous allons voir un théorème important utilisé à de nombreuses reprises dans différents chapitres du site et qui permet d'inverser l'ordre d'intégration.

En se rappelant que:

  (10.224)

nous pouvons aussi utiliser:

  (10.225)

Ainsi avec cette paramétrisation nous pouvons écrire:

  (10.226)

Nous pouvons ainsi changer l'ordre d'intégration, le calcul est différent, mais le résultat est le même. Mais ce n'est pas cela qui nous intéresse en réalité ici.

Considérons une fonction telle que:

  (10.227)

Alors:

  (10.228)

Supposons que le domaine est un rectangle (nous faisons cette simplification sinon la démonstration se complique nettement). C'est-à-dire:

  (10.229)

Dès lors par la propriété de linéarité des intégrales:

  (10.230)

INTÉGRATION PAR CHANGEMENT DE VARIABLES

Lorsque nous ne pouvons facilement déterminer la primitive d'une fonction donnée, nous pouvons nous débrouiller par un changement de variable astucieux (parfois même très subtil) pour contourner la difficulté. Cela ne marche pas à tous les coups (car certaines fonctions ne sont pas intégrables formellement) mais il vaut la peine d'essayer avant d'avoir recours à l'ordinateur.

À nouveau, nous ne donnons que la forme générale de la méthode. C'est le rôle des professeurs dans les écoles d'entraîner les élèves à comprendre et maîtriser ce genre de techniques. De plus, les chapitres traitant des sciences exactes sur le site (physique, informatique, astrophysique, chimie, ...) regorgent d'exemples utilisant cette technique et servent ainsi implicitement d'exercices de style.

Soit à calculer l'intégrale (non bornée pour l'instant):

  (10.231)

bien que nous ne sachions pas calculer directement la primitive de cette fonction f(x) (en tout cas nous imaginons être dans une telle situation) nous savons (d'une manière ou d'une autre) qu'elle existe (nous ne traitons pas encore des intégrales impropres à ce niveau).

La technique consiste alors dans cette intégrale à effectuer le changement de variable:

  (10.232)

où est une fonction continue ainsi que sa dérivée, et admettant une fonction inverse. Alors , démontrons que dans ce cas l'égalité:

  (10.233)

est satisfaite.

Nous sous-entendons ici que la variable t sera remplacée après intégration du membre droit par son expression en fonction de x. Pour justifier l'égalité en ce sens, il suffit de montrer que les deux quantités considérées dont chacune n'est définie qu'à une constante arbitraire près ont la même dérivée par rapport à x. La dérivée du membre gauche est:

  (10.234)

Nous dérivons le membre droit par rapport à x en tenant compte que t est une fonction de x. Nous savons que:

  (10.235)

Nous avons par conséquent:

  (10.236)

Les dérivées par rapport à x des deux membres de l'égalité de départ sont donc égales.

C.Q.F.D.

Bien évidemment, la fonction doit être choisie de manière à ce que nous sachions calculer l'intégrale indéfinie figurant à droite de l'égalité.

Remarque: Il est parfois préférable de choisir le changement de variable sous la forme  au lieu de  car cela à une large tendance à simplifier la longueur de l'équation au lieu de l'allonger.

JACOBIEN

Considérons un domaine D du plan u,v limité par une courbe L. Supposons que les coordonnées x,y soient des fonctions des nouvelles variables u,v (toujours dans le cadre d'un changement de variables donc) par les relations de transformations:

  (10.237)

où les fonctions et sont univoques, continues et possèdent des dérivées continues dans un certain domaine D' que nous définirons par la suite. Il correspond alors d'après les relations précédentes à tout couple de valeurs u,v un seul couple de valeur x,y et réciproquement.

Il résulte de ce qui précède qu'à tout point du plan Oxy correspond univoquement un point P'(u,v) du plan Ouv de coordonnées u,v définies par les relations précédentes. Les nombres v et u seront appelées "coordonnées curvilignes" de P et nous verrons des exemples concrets et schématisés de ceux-ci dans le chapitre de Calcul Vectoriel.

Si dans le plan Oxy le point P décrit la courbe fermée L délimitant le domaine D, le point correspondant décrit dans le plan Ouv un certain domaine D'. Il correspond alors à tout point de D' un point de D. Ainsi, les relations de transformations établissent une correspondance biunivoque entre les points des domaines D et D'.

Considérons maintenant dans D' une droite . En général, les relations de transformation lui font correspondre dans le plan Oxy une ligne courbe (ou inversement). Ainsi, découpons le domaine D' par des droites et en de petits domaines rectangulaires (nous ne prendrons pas en compte dans la limite, les rectangles empiétant sur la frontière de D'). Les courbes correspondantes du domaine D découpent alors ce dernier en quadrilatère (définis par des courbes donc). Évidemment, l'inverse est applicable.

Considérons dans le plan Ouv le rectangle limité par les droites:

  (10.238)

et le quadrilatère curviligne correspondant dans le plan Oxy. Nous désignerons les aires de ces domaines partiels également par et . Nous avons évidemment:

  (10.239)

Les aires et peuvent être en général différentes.

Supposons donc dans D une fonction continue . Il correspond à toute valeur de cette fonction du domaine D la même valeur (ce qu'il faut vérifier) dans D', où:

  (10.240)

Considérons les sommes intégrales de la fonction z dans le domaine D. Nous avons évidemment l'égalité suivante:

  (10.241)

Calculons , c'est-à-dire l'aire du quadrilatère curviligne dans le plan Oxy:

Déterminons les coordonnées de ses sommets:

  (10.242)

Nous assimilerons dans le calcul de l'aire du quadrilatère les arcs à des segments de droites parallèles. Nous remplacerons en outre les accroissements des fonctions par leurs différentielles. C'est dire que nous faisons abstraction des infiniment petits d'ordre plus élevé que et . Les relations précédentes deviennent alors:

  (10.243)

Sous ces hypothèses, le quadrilatère curviligne peut être assimilé à un parallélogramme. Son aire est approximativement égale au double de l'aire du triangle , aire que nous pouvons calculer en utilisant les propriétés du déterminant (comme nous le démontrerons dans le chapitre d'Algèbre Linéaire, le déterminant dans représente un parallélogramme alors que dans celui-ci représente le volume d'un parallélépipède):

  (10.244)

Tel que (c'est là qu'il faut faire le meilleur choix pour que l'expression finale soit la plus simple et la plus esthétique, nous procédons par essais successifs et faisons enfin le choix ci-dessous):

Figure: 10.17 - Représentation graphique du déterminant

Ainsi, nous avons:

  (10.245)

Par conséquent la relation suivante (contenant ce qu'il est d'usage d'appeler le "déterminant fonctionnel"):

  (10.246)

avec:

  (10.247)

qui est la "matrice jacobienne" (alors que son déterminant est appelé le "jacobien" (tout court)) de la transformation de coordonnées de . En appliquant exactement le même raisonnement pour , la matrice jacobienne s'écrit alors (en changeant un peu les notations car sinon cela devient illisible):

  (10.248)

Bref, à quoi cela sert-il concrètement ? Eh bien revenons à notre relation:

  (10.249)

qui n'est finalement qu'approximative étant donné que dans les calculs de l'aire nous avons négligé les infiniment petits d'ordre supérieur. Toutefois, plus les dimensions des domaines élémentaires et sont petites, et plus nous nous approchons de l'égalité. L'égalité ayant finalement lieu quand nous passons à la limite (finalement en maths aussi on fait des approximations... hein !), les surfaces des domaines élémentaires tendant vers zéro:

  (10.250)

Appliquons maintenant l'égalité obtenue au calcul de l'intégrale double (nous pouvons faire de même avec la triple bien sûr). Nous pouvons donc finalement écrire (c'est la seule manière de poser la chose qui ait un sens):

  (10.251)

Passant à la limite, nous obtenons l'égalité stricte:

  (10.252)

Telle est la relation de transformation des coordonnées dans une intégrale double. Elle permet de ramener le calcul d'une intégrale double dans le domaine D au domaine D', ce qui peut simplifier le problème.

De même, pour une intégrale triple, nous écrirons:

  (10.253)

Déterminons maintenant le Jacobien pour les systèmes de coordonnées les plus courants (nous renvoyons à nouveau le lecteur au chapitre de Calcul Vectoriel pour plus d'informations concernant ces systèmes):

1. Coordonnées polaires :

  (10.254)

Comme r est toujours positif, nous écrivons simplement:

  (10.255)

2. Coordonnées cylindriques (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire pour le calcul du déterminant):

  (10.256)

Comme r est toujours positif, nous écrivons simplement:

  (10.257)

3. En coordonnées sphériques (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire pour le calcul du déterminant):

  (10.258)

Comme est toujours positif, nous écrivons simplement:

avec   (10.259)

INTÉGRATION PAR PARTIES

Lorsque nous cherchons à effectuer des intégrations, il est très fréquent que nous ayons à utiliser un outil (ou méthode de calcul) appelé "intégration par parties". Il existe différents degrés d'utilisation de cet outil et nous allons commencer par le plus simple et qui est le plus utilisé dans tous les chapitres traitant de physique sur le présent site.

Nous partons d'abord de la dérivée du produit de deux fonctions démontrée plus haut:

  (10.260)

nous avons donc:

  (10.261)

et il vient:

  (10.262)

après une dernière simplification nous avons enfin la fameuse relation très importante:

  (10.263)

Mais nous allons parfois avoir besoin de la généralisation de cette dernière relation. Nous pouvons démontrer que si f et g sont deux applications (fonctions) de classe  (dérivables n fois) sur [a,b] dans , alors :

  (10.264)

Démonstration:

Procédons par récurrence sur n (attention ce n'est pas forcément facile à comprendre comme souvent avec les démonstrations par récurrence!).

Tout en sachant la relation vraie pour n=1, nous la supposons vraie pour n (comme donnée dans la relation précédente!) et nous la démontrons pour n+1 (donc nous devons retomber sur la relation précédente mais avec n+1 au lieu de n):

Remarque (proposée par un internaute): l'astuce dans cette démonstration est de bien voir que
donne un signe moins quand n est pair et un plus quand n est impair et de même donne un signe moins quand n est pair et un plus quand n est impair.

Pour n=1 nous retrouvons la formule bien connue et qui sera très très souvent utilisée sur tout le site:

  (10.266)

C.Q.F.D.

PRIMITIVES USUELLES

Il existe en mathématique et en physique un grand nombre de primitives ou de fonctions définies sur des intégrales que nous retrouvons assez fréquemment (mais pas exclusivement). Par ailleurs, toutes les primitives démontrées ci-dessous seront utilisées dans les sections relatives à la Mécanique, l'Ingénierie, l'Atomistique, les Mathématiques Sociales, etc. Donc, comme dans n'importe quel formulaire, nous vous proposons les primitives connues mais avec les démonstrations!

Cependant, nous omettrons les primitives qui découlent déjà des dérivées que nous avons démontrées plus haut. Ce qui signifie par exemple que nous supposerons connues les deux primitives très importantes (certainement les plus utilisées dans l'ensemble des pages du site):

  (10.267)

Sinon voici déjà une liste de quelques intégrales fréquentes (le lecteur en rencontrera de toute façon bien d'autres - développées dans les détails - lors de son parcours du site):

1. Primitive de :

Par définition nous avons donc:

  (10.268)

Nous utilisons le changement de variable et ainsi:

  (10.269)

Donc:

  (10.270)

2. Primitive de :

Par définition nous avons donc:

  (10.271)

Nous utilisons le changement de variable et:

  (10.272)

Donc:

  (10.273)

3. Primitive de :

Nous intégrons par parties:

  (10.274)

Si nous posons , ce qui nous donne , nous obtenons:

  (10.275)

Donc:

  (10.276)

4. Primitive de :

Nous intégrons à nouveau par parties:

  (10.277)

Si nous posons , (), nous obtenons:

  (10.278)

Donc:

  (10.279)

5. Primitive de :

Nous intégrons encore une fois par parties:

  (10.280)

Si nous posons , (), nous obtenons:

  (10.281)

Donc:

  (10.282)

6. Primitive de :

Encore une fois... nous intégrons par parties:

  (10.283)

Si nous posons , (), nous obtenons:

  (10.284)

Donc:

  (10.285)

7. Primitive de avec :

Une intégration par parties nous donne:

  (10.286)

Donc:

  (10.287)

8. Primitive de :

  (10.288)

en intégrant par parties nous trouvons:

  (10.289)

Donc:

  (10.290)

9. Primitive de avec :

Une intégration par parties nous donne:

  (10.291)

Donc:

  (10.292)

10. Primitive de pour :

  (10.293)

Ainsi il vient:

  (10.294)

Il vient:

et   (10.295)

d'où:

  (10.296)

11. Primitive de :

Pour () sachant que (voir les propriétés des logarithmes dans le chapitre d'analyse fonctionnelle):

  (10.297)

nous avons en utilisant la primitive de ln(x):

  (10.298)

12. Primitive de :

Nous avons:

  (10.299)

Nous utilisons le changement de variable et obtenons:

  (10.300)

Donc:

  (10.301)

13. Primitive de :

Nous avons donc:

  (10.302)

Nous utilisons le changement de variable et obtenons:

  (10.303)

Donc:

  (10.304)

14. Primitive de :

Nous intégrons par parties:

  (10.305)

Si nous posons , () nous obtenons:

  (10.306)

Donc:

  (10.307)

15. Primitive de :

Nous intégrons par parties:

  (10.308)

Si nous posons , ce qui nous donne , nous obtenons:

  (10.309)

Donc finalement:

  (10.310)

16. Primitive de :

Nous intégrons par parties:

  (10.311)

Si nous posons , ce qui nous donne , nous obtenons:

  (10.312)

Donc finalement:

  (10.313)

17. Primitive de :

Nous intégrons par parties:

  (10.314)

Si nous posons , () nous obtenons:

  (10.315)

Donc finalement:

  (10.316)

18. Primitive de avec :

Posons . Une intégration par partie donne:

  (10.317)

en remplaçant par dans la dernière intégrale, nous obtenons:

  (10.318)

et donc:

  (10.319)

19. Primitive de avec :

Dans ce cas nous avons la formule de récurrence

  (10.320)

qui se démontre de la même façon que la relation de récurrence précédente.

20. Primitive de :

Sachant que , nous avons:

  (10.321)

Donc:

  (10.322)

21. Intégrale de :

Sachant que , nous avons:

  (10.323)

Donc:

  (10.324)

22. Primitive de :

En utilisant les relations trigonométriques remarquables, nous avons:

  (10.325)

selon la primitive . Donc:

  (10.326)

23. Primitive de :

En utilisant encore une fois les relations trigonométriques remarquables, nous avons:

  (10.327)

selon la primitive . Donc:

  (10.328)

24. Primitive de :

Nous faisons la substitution (). Sachant que:

  (10.329)

(cf. chapitre de Trigonométrie) nous obtenons alors:

et   (10.330)

(selon la dérivée de ). Donc:

  (10.331)

et:

  (10.332)

25. Primitive de :

Sachant que (cf. chapitre de Trigonométrie) nous avons:

  (10.333)

Nous faisons le changement de variable ():

  (10.334)

(selon la primitive de ). Donc:

  (10.335)

26. Primitive de :

Nous faisons la substitution (). Sachant que (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (10.336)

nous obtenons:

et   (10.337)

(selon la dérivée de arctan(x)). Donc:

  (10.338)

et:

  (10.339)

27. Primitive de :

Nous faisons à nouveau la substitution  (comme précédemment). Nous trouvons alors:

  (10.340)

 et donc:

  (10.341)

28. Primitive de :

 Sachant que:

  (10.342)

Nous avons alors:

  (10.343)

En faisant le changement de variable:

 avec   (10.344)

nous obtenons:

  (10.345)  

D'où:

  (10.346)

29. Primitive de : 

Par le même raisonnement que précédemment en utilisant le cosinus nous obtenons:

  (10.347)

30. Primitive de  avec :

Posons:

  (10.348)

Une intégration par partie donne (nous avons démontré lors des dérivées usuelles que la primitive du sinus hyperbolique était le cosinus hyperbolique):

  (10.349)

en remplaçant  par  dans la dernière intégrale, nous obtenons:

  (10.350)

et donc:

  (10.351)

Ainsi:

  (10.352)

31. Primitive de  avec :

Dans ce cas nous avons aussi la relation de récurrence:

  (10.353)

qui se démontre de la même façon que ci-dessus. Ainsi:

  (10.354)

32. Primitive de :

Sachant que (démontré lors des dérivées usuelles):

  (10.355)

nous avons:

  (10.356)

Donc:

  (10.357)

33. Primitive de :

Sachant que (démontré lors des dérivées usuelles):

  (10.358)

nous avons:

  (10.359)

Donc:

  (10.360)

34. Primitive de :

Nous avons en utilisant la primitive de :

  (10.361)

Donc:

  (10.362) .

35. Primitive de :

Nous avons en utilisant la primitive de :

  (10.363)

Donc:

36. Primitive de :

Nous faisons la substitution:

 avec   (10.364)

Nous obtenons en utilisant la dérivée arctanh(x):

  (10.365)

et:

  (10.366)

37. Primitive de :

Nous faisons la substitution:

 avec   (10.367)

Nous obtenons en utilisant la dérivée arctan(x):

  (10.368)

et donc:

  (10.369)

38. Primitive de :

Nous faisons la substitution:

 avec   (10.370)

Nous obtenons:

  (10.371)

Nous obtenons donc la primitive:

  (10.372)

39. Primitive de :

Nous faisons la substitution:

 avec   (10.373)

Nous obtenons:

  (10.374)

Nous obtenons donc la primitive:

  (10.375)

40. Primitive de :

 Nous faisons la substitution:

 avec   (10.376)

Nous obtenons:

  (10.377)

Or:

  (10.378)

D'où:

  (10.379)

Donc:

  (10.380)

41. Primitive de :

Nous faisons la substitution habituelle:

 avec   (10.381)

Nous obtenons:

  (10.382)

Or:

  (10.383)

D'où:

  (10.384)

Donc:

  (10.385)

42. Primitive de avec :

 Une première intégration par parties donne:

  (10.386)

Une deuxième intégration par parties donne:

  (10.387)

d'où l'égalité:

  (10.388)

Ainsi en redistribuant la relation précédente:

  (10.389)

43. Primitive de  avec :

Un raisonnement analogue à celui d'avant montre que:

  (10.390)

44. Primitive de  avec :

Une intégration par parties nous donne:

  (10.391)

45. Primitive de  avec :

Une intégration par parties nous donne:

  (10.392)

46. Primitive de  avec :

Nous avons la relation suivante:

  (10.393)

Par suite:

  (10.394)

Ainsi:

  (10.395)

47. Primitive de  avec :

Nous avons en utilisant le résultat précédent:

  (10.396)

Donc:

  (10.397)

48. Primitive de  avec :

En faisant le changement de variable:

 avec   (10.398)

Nous obtenons en utilisant la dérivée de arctan(x):

  (10.399)

49. Soit:

  (10.400)

avec . Nous avons:

  (10.401)

Or cette dernière intégrale se résout par parties:

  (10.402)

Donc:

  (10.403)

Que nous retrouvons plus fréquemment dans la littérature sous la forme:

  (10.404)

Identiquement au développement suivant, nous avons pour (le signe change):

  (10.405)

la relation suivante:

  (10.406)

Vous pourrez trouver une application de ces deux primitives dans le modèle cosmologique newtonien de l'univers dans le chapitre d'Astrophysique ainsi que dans le chapitre de Relativité Générale dans le cadre de l'étude de l'effet Shapiro!

50. Primitive de :

Nous avons en utilisant les primitives de  (vue avant) et  (vue plus haut):

  (10.407)

51. Primitive de :

Nous avons en utilisant les primitives de  (vue avant) et  (vue plus haut):

  (10.408)

52. Primitive de  avec (cas relative à la surface sous une hyperbole):

Nous pouvons sans perte de généralité supposer . Remarquons que le domaine de définition de f est .

Nous allons déterminer une primitive de f uniquement sur l'intervalle (car c'est celle dont nous aurons besoin dans certains chapitres).

Faisons le changement de variable:

  (10.409)

avec donc:

  (10.410)

où nous considérons la fonction  avec pour réciproque la fonction  donnée par  (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (10.411)

Nous obtenons alors en utilisant la primitive de :

  (10.412)

or (cf. chapitre de Trigonométrie) comme:

  (10.413)

Donc:

  (10.414)

et en utilisant un autre résultat du chapitre de Trigonométrie:

  (10.415)

nous avons alors:

  (10.416)

étant donné que les primitives sont données à une constante près, nous pouvons écrire:

  (10.417)

pour . F est donc une primitive de  sur .

53. Primitive de  avec :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer . Remarquons que le domaine de définition de f est [-a, a].

Nous faisons la substitution:

  (10.418)

avec:

  (10.419)

Nous obtenons:

  (10.420)

où nous avons utilisé la primitive de  avec  démontrée plus haut. Or nous avons:

  (10.421)

Donc:

  (10.422)

et:

  (10.423)

54. Primitive de  avec :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer .

Faisons le changement de variable:

  (10.424)

avec donc:

  (10.425)

Nous obtenons:

  (10.426)

en ayant utilisé la primitive de  démontrée plus haut.

Ainsi:

  (10.427)

Mais comme nous avons vu dans le chapitre de Trigonométrie:

  (10.428)  

et:

  (10.429)

Donc nous avons finalement:

  (10.430)

où le ln(a) a encore une fois été omis car les primitives sont données à une constante près.

55. Primitive de  avec :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer .

Nous faisons la substitution:

  (10.431)

avec:

  (10.432)

Nous obtenons:

  (10.433)

56. Primitive de  avec :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer .

Faisons le changement de variable:

  (10.434)

avec:

  (10.435)

Nous obtenons de la même manière que pour les intégrales usuelles précédentes:

  (10.436)

et sachant que (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (10.437)

Nous obtenons alors au final la primitive importante suivante:

  (10.438)

où le ln(a) a encore une fois été omis car les primitives sont données à une constante près!

En procédant de même, mais en utilisant le cosinus hyperbolique au lieu du sinus hyperbolique, nous avons bien évidemment:

  (10.439)

Nous réutiliserons ces deux dernières relations dans des cas pratiques importants des chapitres de Mécanique Analytique, Génie Civil (où la constante a valant 1, ln(a) est de toute façon nul!) et de Relativité Générale (où a sera non nul et donc il ne sera pas possible d'omettre la constante ln(a)).

FONCTION DE DIRAC

La fonction de Dirac, appelée aussi "pic de Dirac" ou encore "fonction delta", joue un rôle pratique très important aussi bien en électronique et informatique qu'en physique quantique ondulatoire et physique quantique des champs (cela permet de discrétiser un continuum) ainsi que dans le domaine du génie civil (voir les chapitres du même nom pour des exemples).

Signalons avant d'aller qu'il est abusif de parler de "fonction" car une fonction est une application d'une ensemble de départ (généralement l'ensemble des réels ou complexes à une ou plusieurs dimensions) dans un ensemble d'arrivée (généralement l'ensemble des réels ou complexes à une ou plusieurs dimensions). Alors que le domaine de définition de la fonction de Dirac n'est pas un ensemble de nombre mais en toute rigueur des fonctions!

Pour la présenter simplement, considérons d'abord la fonction définie par:

  (10.440)

La représentation de  est un rectangle de largeur a, de hauteur 1/a et de surface unité. La fonction de Dirac peut être considérée comme la limite, lorsque  de la fonction f(x). On a donc:

  (10.441)

avec:

  (10.442)

où  est un nombre plus grand que 0 aussi petit que nous le voulons.

Pour une fonction g(x) continue en x=0 on a:

  (10.443)

Par extension nous avons:

  (10.444)

et pour une fonction g(x) continue en :

  (10.445)

Il est alors assez aisé de définir la fonction de Dirac dans l'espace à 3 dimensions par:

  (10.446)

FONCTION GAMMA D'EULER

Nous définissons la fonction Gamma d'Euler (intégrale Eulérienne de deuxième espèce) par l'intégrale suivante:

  (10.447)

avec x appartenant à l'ensemble des nombres complexes dont la partie réelle est positive et non nulle (donc les réels strictement positifs sont inclus dans le domaine de définition aussi...)! Effectivement, si nous prenons des complexes avec une partie réelle nulle ou négative, l'intégrale diverge et est alors non définie!

Voici un tracé graphique du module de la fonction Gamma d'Euler pour x parcourant un intervalle des nombres réels (attention dans Maple 4.00b à bien écrire GAMMA en majuscules!!!):

>with(plots):
>plot(GAMMA(x),x=-Pi..Pi,y=-5..5);

Figure: 10.18 - Plot de la fonction Gamma d'Euler dans Maple 4.00b

et la même fonction tracée avec Maple 4.00b mais dans le plan complexe cette fois-ci et toujours avec en ordonnée le module de la fonction Gamma d'Euler:

>with(plots):
>plot3d(abs(GAMMA(x+y*I)),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,view=0..5, grid=[30,30],orientation=[-120,45],axes=frame,style=patchcontour);

Figure: 10.19 - Plot de la fonction Gamma d'Euler dans le plan complexe avec Maple 4.00

Cette fonction est intéressante si nous imposons que la variable x appartienne aux entiers positifs et que nous l'écrivons sous la forme suivante:

  (10.448)

Intégrons par partie cette dernière fonction:

  (10.449)

Comme la fonction exponentielle décroît beaucoup plus vite que  nous avons alors:

  (10.450)

Dans la littérature, nous retrouvons fréquemment les notations suivantes (qui portent alors à confusion):

  (10.451)

Ce qui nous amène à réécrire le résultat sous une forme plus classique:

  (10.452)

De la relation , il vient par récurrence:

  (10.453)

Or:

  (10.454)

ce qui donne:

  (10.455)

  (10.456)

ou autrement écrit pour :

  (10.457)

Un autre résultat intéressant de la fonction gamma d'Euler est obtenu lorsque nous remplaçons t par  et calculons celle-ci pour .

D'abord, nous avons:

  (10.458)

ensuite:

  (10.459)

Or, comme nous l'avons démontré dans le chapitre de Statistiques lors de notre étude de loi de de Gauss-Laplace, cette dernière intégrale vaut:

  (10.460)

CONSTANTE D'EULER-MASCHERONI

Ce petit texte fait juste office de curiosité relativement à la constante d'Euler e et à presque tous les outils de calcul différentiel et intégral que nous avons vus jusqu'à maintenant. C'est un très joli exemple (presque artistique) de ce que nous pouvons faire avec la mathématique dès que nous avons suffisamment d'outils à notre disposition.

De plus, cette constante est utile dans certaines équations différentielles où nous la retrouverons.

Nous avions vu dans le chapitre d'analyse fonctionnelle que la constante d'Euler e est définie par la limite:

    (10.461)

Dans un cas plus général nous pouvons très facilement démontrer de la même façon que:

  (10.462)

Cela suggère évidemment:

  (10.463)

par changement de variable nous écrivons:

  (10.464)

Pour transformer cette expression nous pouvons écrire:

  (10.465)

Or la quantité: 

  (10.466)

tend vers la limite , appelée "constante d'Euler-Mascheroni" ou également  "constante Gamma d'Euler", lorsque n tend vers l'infini.

D'où:

  (10.467)

Divisons chacun des termes du produit  par l'entier correspondant pris dans n!, nous obtenons donc:

  (10.468)

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