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CALCUL ALGÉBRIQUE | ALGÈBRE ENSEMBLISTE | CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
SUITES ET SÉRIES | CALCUL VECTORIEL | ALGÈBRE LINÉAIRE | CALCUL TENSORIEL
CALCUL SPINORIEL

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-01-31 10:12:07 | {oUUID 1.685}
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

INTÉGRALES CURVILIGNES

Les intégrales curvilignes sont aussi très importantes en physique. Le lecteur les retrouvera ainsi dans le chapitre de Mécanique Classique, Magnétostatique et Électrodynamique pour calculer le travail d'une force ou encore la "circulation d'un champ", ou encore dans le chapitre de Géométrie Euclidienne pour le calcul du centre de gravité de courbes (fonctions) pesantes, ou encore dans le chapitre Formes Géométriques pour le calculer la surface de certains corps de révolution mais aussi en Physique Quantique Corpusculaire pour la fameuse "intégrale de chemin" (qui n'est d'autre que le terme utilisé par les physiciens pour dire "intégrale curviligne") ou encore pour le calcul d'intégrales particulières utilisant le théorème des résidus démontré dans le chapitre d'Analyse Complexe ou encore pour de nombreuses transformations d'état dans le chapitre de Thermodynamique. Raison pour laquelle il n'y aura pas ici d'exemple d'application tellement ils sont nombreux dans les autres chapitres.

Avec la définition des ce intégrales, nous pourrons démontrer deux résultats très importants détaillés dans le chapitre de Calcul Vectoriel et qui sont respectivement le théorème de Green, le théorème de Stokes ou encore le théorème des résidus démontré dans le chapitre d'Analyse Complexe et déjà mentionné dans le paragraphe précédent (c'est suffisamment important pour le mentionner deux fois!).

INTÉGRALE CURVILIGNE D'UN CHAMP SCALAIRE

Considérons une courbe C paramétrée (cf. chapitre de Géométrie Différentielle) par une fonction vectorielle avec de classe par morceaux (cette condition est nécessaire pour que l’on puisse intégrer sur la courbe sans problèmes).

Définitions:

D1. La courbe est dite "courbe fermée" si

D2. La courbe est dite "courbe régulière" si

Rappelons qu'une courbe paramétrée peut être écrite sous la forme suivante (toute fonction vectorielle peut être écrite sous cette forme):

  (10.1)

Considérons une fonction ou un "champ scalaire" définie dans un voisinage de C. Subdivisons en n sous-intervalles de même longueur tel que:

  (10.2)

Nous choisissons sur chaque sous-intervalle un point . Soit la longueur de l'arc de C reliant les points et , l'intégrale de f de long de C est définie comme étant "l'intégrale curviligne" ou "intégrale de chemin":

  (10.3)

Ce qui comme nous le savons, peut s'écrire (cf. chapitre de Géométrie Différentielle ou Formes Géométrique ou encore Mécanique Analytique):

  (10.4)

et qui peut évidemment immédiatement être étendu au cas à 3 variables et plus.

Soit sous forme vectorielle:

  (10.5)

L'intégrale curviligne est linéaire, c'est-à-dire que si et que est un point, alors (sans aller dans la définition rigoureuse de ce qu'est l'union de deux courbes...):

  (10.6)

INTÉGRALE CURVILIGNE D'UN CHAMP VECTORIEL

Considérons un champ de vecteur (par exemple un champ de force) tel que:

  (10.7)

et une élément infinitésimal d'une courbe (chemin) morceaux tel:

  (10.8)

L'idée est alors de considérer que le produit scalaire (projection de champ vectoriel sur l'élément de chemin) représente le travail le long de l'élément différentiel:

  (10.9)

Par conséquent le travail sur tout le chemin sera donné par (en utilisant au passage la propriété de linéarité de l'intégrale):

  (10.10)

ce qui peut évidemment se généraliser à n dimensions. Indiquons que lorsque l'intégrale curviligne (de chemin) d'un champ vectoriel est étendue à une courbe fermée, nous parlons alors de "circulation du champ vectoriel".

Comme:

  (10.11)

Nous avons alors une écriture assez courante:

  (10.12)

En physique souvent les problèmes sont dans le plan et nécessitent le passage aux coordonnées polaires, ce qui en outre facilite les calculs.

Exemple:

Calculons le travail de la force de pesanteur déplaçant une masse M du point au point le long d'un chemin arbitraire C. Les projections de la force de pesanteur sur les axes de coordonnées sont:

  (10.13)

Le travail accompli est alors:

  (10.14)

et nous retrouvons un résultat connu du chapitre de Mécanique Classique.

Une intégrale curviligne d'un champ vectoriel le long d'une courbe est indépendante du chemin d'intégration si:

  (10.15)

pour toute courbe ayant les mêmes points de départ et d'arrivée. De plus, si le champ de vecteurs satisfait (où G en physique est typiquement un potentiel):

  (10.16)

tel que (le lecteur y reconnaîtra une forme différentielle totale exacte):

  (10.17)

Alors l'intégrale de chemin sur une courbe arbitraire dépend uniquement de la différence des valeurs de la fonction G aux deux extrémités!

Démonstration:

Si la forme différentielle du champ de vecteur satisfait bien une différentielle totale exacte, nous avons:

  (10.18)

C.Q.F.D.

Donc l'intégrale curviligne d'une différentielle totale exacte ne dépend pas du chemin d'intégration mais seulement des extrémités. Nous en déduisons également que si dérive donc d'un potentiel scalaire et que A = B, l'intégrale curviligne est alors nulle.

En physique ce résultat s’interprète en disant que le travail fourni par une force dérivant d'un potentiel scalaire s'exerçant sur une particule élémentaire lors d'un déplacement fini ne dépend pas du chemin suivi.

Définitions:

D1. Lorsque la courbe C est fermée et que l'intégrale de chemin a un résultat indépendant du sens dans lequel ce chemin est parcourue, nous utilisons la notation (la lettre sous l'intégrale pouvant évidemment varier...):

  (10.19)

Si cette intégrale fermée est toujours nulle, nous disons que le champ vectoriel intégré est un "champ conservatif" et "dérive d'un potentiel scalaire" (et donc satisfait le théorème de Schwarz pour pouvoir être écrit sous forme de différentielle totale exacte) puisque ceci découle de la démonstration donnée déjà juste plus haut.

D2. Lorsque la valeur de l'intégrale de chemin fermée dépend du sens de parcours, nous utilisons la notation suivante (la lettre sous l'intégrale pouvant évidemment varier...):

  (10.20)

Ainsi, si le sens est direct (c'est-à-dire "anti-horlogique" ou encore "trigonométrique") comme la notation de gauche, son signe sera positif; si au contraire le sens est horlogique son signe sera négatif (voir la démonstration dans le chapitre d'Analyse Complexe). Nous parlons alors respectivement souvent de "sens négatif" ou "sens positif".

Ainsi, pour résumer, une intégrale curviligne (de chemin) est entièrement définie par l'expression sous le signe de l'intégrale, la forme de la courbe d'intégration et le sens d'intégration.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Définition: En mathématiques, une "équation différentielle" (E.D.) est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées jusqu'à l'ordre n. "L'ordre" d'une équation différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel une des fonctions inconnues y a été soumise.

Par rapport à notre objectif d'essayer de voir comment la mathématiques décrit la réalité sensible, les équations différentielles remportent un franc succès, mais sont également la source de bien des soucis. D'abord des difficultés de modélisation (voir par exemple le système d'équation différentielles de la relativité générale...), des difficultés de résolution (il n'existe pas de méthode générale!), puis des difficultés proprement mathématiques, enfin des difficultés liées au fait que certaines équations différentielles ne sont pas stables par nature et donnent des solutions chaotiques (voir le chapitre de dynamique des populations pour des exemples simples flagrants!).

L'équation différentielle d'ordre n la plus générale peut toujours s'écrire sous la forme:

  (10.21)

Nous ne considérons sur ce site que le cas où x et y sont à valeur dans . Une solution à une telle E.D. sur l'intervalle  est une fonction  (une fonction  qui est n fois continûment dérivable) telle que pour tout , nous ayons:

  (10.22)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE

Une équation différentielle du 1er ordre est donc une E.D. qui ne fait intervenir que la première dérivée y'.

Définition: Une équation différentielle du 1er ordre est dite "E.D. d'ordre 1 à variables séparées" si elle peut s'écrire sous la forme:

  (10.23)

Une telle équation différentielle peut s'intégrer facilement. En effet, nous écrivons:

  (10.24)

Puis symboliquement:

  (10.25)

Remarque: Nous écrivons ici explicitement la constante d'intégration arbitraire  (qui est implicitement présente dans les intégrales indéfinies) pour ne pas l'oublier!

Il s'agit donc d'abord de trouver des primitives F et G de f et de g, et ensuite d'exprimer y en terme de x (et de C):

  (10.26)

La constante d'intégration est fixée lorsqu'on demande que pour un  donné, nous ayons une valeur donnée de . Nous parlons alors de "problème aux valeurs initiales".

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

Définition: Une équation différentielle d'ordre n est dite "E.D. linéaire" (E.D.L.) si et seulement si elle est de la forme:

  (10.27)

Avec:

  (10.28)

Voyons maintenant une propriété qui peut sembler négligeable au premier coup d'oeil mais qui va prendre de l'importance plus loin!

Nous allons montrer que L est une application linéaire:

  (10.29)

Et pour tout :

  (10.30)

Nous disons alors que l'E.D. linéaire représente un modèle linéaire si les multiples de cette fonction (ou toute combinaison linéaire) sont aussi solution. Ainsi, en physique, pour un système linéaire, l'amplification de la cause implique une amplification de l'effet (les systèmes sont souvent linéaires dans le cas scolaires mais dans la réalité ils sont plutôt l'exception!).

Par exemple, l'équation différentielle ordinaire d'ordre 2 du pendule simple démontrée dans le chapitre de Mécanique Classique n'est pas linéaire car elle contient un terme en sinus qui n'est pas séparable.

Définition: L'équation différentielle (c'est la plus courante en physique):

  (10.31)

s'appelle "équation homogène" (E.H.) ou "équation sans second membre" (ESSM) associée à:

  (10.32)

Nous allons maintenant démontrer une propriété importante des E.H.: l'ensemble  des solutions de E.H. est le noyau de l'application linéaire L (ce qui rappelons-le signifie: ) et l'ensemble {S} des solutions à  est donné par:

 avec   (10.33)

c'est-à-dire que les solutions de la forme:

  (10.34)

où  est une "solution particulière" de  et   la "solution homogène", parcourent toutes les solutions de l'E.D.

Démonstration:

La première affirmation sera supposée évidente.

En ce qui concerne la 2ème partie, toute fonction de la forme  est solution de .

En effet c'est trivial et cela découle de la définition du concept de noyau (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles):

  (10.35)

C.Q.F.D.

Ce qu'il est important aussi de comprendre avec les E.D. linéaires avec second membre, c'est que si nous trouvons des solutions à L(y) avec un second membre donné et des solutions à la même E.D. avec un autre second membre (différent!), alors la somme de toutes ces solutions, sera solution de l'E.D. avec la somme des seconds membres!!!

Il existe de nombreuses manières de résoudre les équations différentielles linéaires ou non linéaires de manière exacte ou approchée. Citons les quelques méthodes que nous analyserons plus loin par l'exemple (mais qui se trouvent déjà de très très nombreuses fois dans les chapitres de physique):

- La "méthode du polynôme caractéristique des E.D." (voir plus bas) utilisée un peu dans tous les chapitre de Physique/Chimie du présent site.

- La "méthode du facteur intégrant" (voir plus bas) pour la culture générale mais utilisée à ce jour sur aucun cas pratique du site.

- La "méthode de variation de la constante" (voir plus bas) et utilisée à ce jour uniquement dans le chapitre de Génie Industriel.

- La "méthode des perturbations des E.D." (voir plus bas) utile pour la physique quantique ondulatoire et le physique quantique des champs.

Signalons également d'autres méthodes très utilisées (grands classiques scolaires) mais qui sont prinicpalement traitées au cas par cas dans les différents chapitres du site car les approches de résolution sont trop nombreuses et particulières:

- La "méthode de séparation des variables E.D." (équation de la chaleur dans le chapitre de Thermodynamique, équation des vagues dans le chapitre de Génie Marin & Météo, équation d'évolution de Schrödinger dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire, vibration d'un tambour dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire) dont nous verrons un cas très particulier et simple plus bas mais pour laquelle il vaut mieux se référer aux chapitres mentionnés pour des exemples concrets.

- La "méthode matricielle de résolution des E.D." et "solution triviales des E.D." (modèle de Lotka-Volterra dans le chapitre de Dynamique des Populations, résonance de spin électronique ou nucléaire dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste, modèle de Lorenz dans le chapitre de Génie Marin & Météo).

- La "méthode spectrale" utilisant le théorème spectral démontré dans le chapitre d'Algèbre Linéaire (voir le chapitre de Génie Industriel dans le calcul de fiabilité de système par chaînes de Markov pour un exemple concret).

- La "méthode de la transformée de Fourier des E.D." ou la "méthode de la transformée de Laplace des E.D." (équation de la chaleur dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle, résolution de l'équation de Black & Scholes dans le chapitre d'Économie, équation de la poutre sous charge ponctuelle dans le chapitre de Génie Civil)

- Les "méthodes numériques des E.D." pour résoudre les équations différentielles avec l'ordinateur quand elles n'ont pas de solutions analytique connues (équation de la chaleur dans le chapitre de Méthodes Numériques).

MÉTHODE DU POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE

La résolution des équations différentielles simples (à coefficients constants et sans second membre la plupart du temps...) utilise une technique faisant appel à un polynôme caractéristique de l'équation différentielle dont nous verrons les détails dans les développements à suivre sur quelques cas particuliers courants en physique.

C'est une méthode relativement simple à mettre en place lorsque nous cherchons les solutions homogènes de l'équation sans second membre (ESSM). Dans le cas contraire, celui de la présence d'un second membre, nous additionnons les solutions de l'équation homogènes aux solutions particulières.

RÉSOLUTION  L'E.H. DE L'E.D.L. À COEFFICIENTS CONSTANTS D'ORDRE 1

Considérons l'E.D.L. à coefficients constants suivante:

    (10.36)

qui est une version simplifiée de l'E.D.L à coefficients constants générale suivante:

    (10.37)

où:

    (10.38)

Nous écrivons son équation homogène (ESSM) associée:

  (10.39)

Ce qui peut s'écrire:

  (10.40)

d'où:

  (10.41)

Il y a derrière cette solution homogène une infinité de solutions: à chaque valeur donnée à C correspond une solution.

Il faut encore à cette solution homogène ajouter la solution particulière  et nous disposons pour cela d'une collection de recettes, qui dépendent du type de la fonction f(x) du second membre de l'équation. Nous les verrons au cas par cas dans les différents chapitres de Physique.

RÉSOLUTION DE L'E.H. DE L'E.D.L. À COEFFICIENTS NON CONSTANTS DE L'E.D.L D'ORDRE 1

La solution générale des équations différentielles linéaires homogènes (ESSM)  d'ordre 1 à coefficients non constants:

  (10.42)

peut toujours se réduire à la forme suivante:

  (10.43)

où:

  (10.44)

Bon évidemment il y a la solution ... mais cherchons à faire mieux. Nous avons donc:

  (10.45)

Il vient donc:

  (10.46)

où G(x) est une primitive de g(x). Dès lors:

  (10.47)

Il est aussi fréquent de retrouver ces développements sous une autre écriture un tout petit peu plus explicite qui est la suivante:

Nous repartons donc de l'équation différentielle sans seconde membre à coefficients non constante:

  (10.48)

après réarrangement:

  (10.49)

Et donc:

  (10.50)

Soit:

  (10.51)

Ce résultat nous sera très utile pour calculer la transformée de Fourier d'une fonction Gaussienne (cf. chapitre Suite Et Séries), transformée de Fourier qui est indispensable pour résoudre de manière assez générale l'équation de la Chaleur (cf. chapitre de Thermodynamique), résolution qui nous permettra enfin de démontrer l'équation de Black & Scholes (cf. chapitre d'Économie).

RÉSOLUTION  L'E.H. DE L'E.D.L. À COEFFICIENTS CONSTANTS D'ORDRE 2

Considérons l'E.D.L. à coefficients constants suivante:

    (10.52)

qui est une version simplifiée de l'E.D.L à coefficients constants générale suivante:

    (10.53)

où:

    (10.54)

Nous écrivons son équation homogène (ESSM) associée:

  (10.55)

dans laquelle la fonction du second membre est nulle. Nous pouvons assez rapidement entrevoir une solution du type (en s'inspirant de la forme des solutions des E.D. du 1er ordre):

  (10.56)

où  est une constante. Ce qui nous donne alors:

  (10.57)

Ce que nous pouvons simplifier en:

  (10.58)

Si notre hypothèse de départ est bonne, nous n'avons qu'à résoudre en K cette "équation caractéristique" (ECAR) ou "polynôme caractéristique" de l'équation homogène pour trouver la solution homogène:

  (10.59)

dont les solutions dépendent du signe du discriminant du polynôme caractéristique:

  (10.60)

- Si le discriminant est strictement positif, soit :

Alors nous savons que le polynôme caractéristique possède deux racines distinctes et nous avons alors:

  (10.61)

où  et . Nous disons alors que la solution est "retardée" ou "avancée" selon les valeurs de ces constantes. Mais l'essentiel est de remarquer que si  est solution, alors  est toujours solution!

Nous parlons alors de "solution générale de l'équation homogène". Il y a derrière ce résultat une infinité de solutions: à chaque valeur donnée aux constantes A, B correspond une solution.

Les physiciens écrivent aussi parfois cela sous une forme particulière en posant d'abord:

  (10.62)

avec donc:

  (10.63)

Et en utilisant les fonctions de trigonométrie hyperbolique (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (10.64)

d'où finalement la possibilité d'écrire la solution homogène sous la forme (lorsque nous omettons l'avance ou le retard ):

  (10.65)

Par ailleurs, montrons que les solutions de l'ESSM forment un espace vectoriel de dimension 2 (correspond donc à l'ordre de notre E.D.)!

En effet:

- La fonction zéro:  est solution de l'ESSM (ça c'est inutile de le démontrer... évident!).

- La somme ou soustraction des solutions reste solution (ça nous l'avons déjà démontré plus haut)

- Les éléments de la base de l'espace vectoriel (les solutions de l'ESSM) sont linéairement indépendants (ça c'est intéressant car nous en aurons besoin!).

Posons:

  (10.66)

Alors:

  (10.67)

Ces relations injectées dans l'ESSM sous forme généralisée:

  (10.68)

donne alors:

  (10.69)

Donc nous avons bien une structure d'espace vectoriel.

Rappelons que inversement deux fonctions sont linéairement dépendantes si:

  (10.70)

- Si le discriminant est nul, soit :

L'équation caractéristique possède une racine double réelle K.

En allant un peu vite nous dirons alors:

  (10.71)

et que c'est fini... mais au fait ce serait oublier que la base vectorielle doit être formée de deux solutions indépendantes!

Donc la deuxième solution est probablement... de la forme:

  (10.72)

Alors:

  (10.73)

Si nous l'injectons cela dans l'ESSM sous forme généralisée:

  (10.74)

alors:

  (10.75)

Soit dans notre cas:

  (10.76)

Or, les deux valeurs de K réelles sont justement solutions de:

  (10.77)

La relation antéprécédente se réduit alors à:

  (10.78)

et comme nous sommes dans le cas d'étude où le discriminant est nul, il vient:

  (10.79)

Donc la relation antéprécédente se réduit au final à:

  (10.80)

Nous en déduisons:

  (10.81)

Donc finalement:

  (10.82)

Ce qui donne pour la solution générale de l'ESSM:

  (10.83)

- Si le discriminant est négatif, soit :

L'équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées (cf. chapitre d'Algèbre):

  (10.84)

Dès lors:

  (10.85)

Or, si nous cherchons plutôt des solutions réelles, nous pouvons toujours poser A et B égaux tels que:

  (10.86)

Et si nous posons que le retard et respectivement l'avance sont nuls (), alors nous retrouvons la relation disponible dans la plupart des livres:

  (10.87)

où A' et B' sont donc deux constantes réelles quelconques. Il existe une autre forme importante à cette dernière relation (souvent utilisée en électronique par exemple). Effectivement, Il est possible, pour tout A' et B' réels, de trouver C' et  réels tels que l'égalité suivante soit vérifiée:

  (10.88)

Nous posons:

  (10.89)

alors:

  (10.90)

Il est alors possible de trouver  tel que:

  et     (10.91)

La quantité de départ s'écrit ainsi:

  (10.92)

Finalement:

  (10.93)

Nous pouvons donc faire le résumé suivant:

Discriminant	Racines	Forme solution homogène

MÉTHODE DU FACTEUR INTÉGRANT (D'EULER)

La technique du facteur d'intégration est utile lorsqu'il s'agit de résoudre des équations différentielles de la forme:

  (10.94)

Nous n'avons pas à ce jour de cas pratique d'application de cette technique dans les autres chapitres du site. Il faut donc voir cela comme une présentation pour la culture générale.

L'idée de base étant de trouver une fonction , appelée "facteur d'intégration", par laquelle peut être multipliée notre équation différentielle pour ramener le terme de gauche de l'égalité à une simple dérivée. Par exemple, pour une équation différentielle linéaire comme celle ci-dessus, nous choisissons assez souvent le facteur d'intégration suivant (mais ce n'est de loin pas la seule possibilité et ce choix ne permet pas de tout résoudre!):

  (10.95)

Nous avons alors:

  (10.96)

ou en distribuant:

  (10.97)

Ce qui peut donc être vu comme:

  (10.98)

ou encore plus fort (et c'est là que réside toute l'astuce)...:

  (10.99)

Nous pouvons alors prendre la primitive par rapport à x:

  (10.100)

et trivialement (!) nous avons la primitive de gauche qui est immédiate:

  (10.101)

Soit:

  (10.102)

Ce qui est parfois écrit:

  (10.103)

Exemple:

Considérons l'équation différentielle:

  (10.104)

Que nous mettrons sous la forme:

  (10.105)

Nous voyons alors que (en assumant que x soit strictement positif):

  (10.106)

Nous avons alors:

  (10.107)

Hasard faisant (l'exemple est exprès simple), nous avons cette égalité qui se simplifie puisque:

  (10.108)

en:

  (10.109)

Ce qui peut se condenser en:

  (10.110)

En intégrant:

  (10.111)

Il vient alors immédiatement:

  (10.112)

Soit:

  (10.113)

MÉTHODE DE SÉPARATION DES VARIABLES

La méthode de séparation des variables est une technique très fréquente en physique dès que nous avons des équations différentielles du deuxième ordre. De nombreux exemples très complets et pratiquent se trouvent déjà de part et d'autres dans les différents chapitres déjà précédemment mentionnés. Nous allons ici juste en présenter un cas particulier par principe juste histoire de bien faire les choses mais au minimum vital!

Considérons le cas fréquent en physique d'équation différentielle partielle du type:

  (10.114)

La solution de cette équation nécessite donc de trouver une fonction U qui dépende de x et de y tel que:

  (10.115)

En physique, l'idée consiste alors à poser que nous pouvons toujours trouver une solution dite séparable de la forme:

  (10.116)

Ainsi, l'équation différentielle s'écrit:

  (10.117)

Ce qui peut se simplifier en:

  (10.118)

Après réarrangement est il d'usage en physique de noter cette dernière égalité sous la forme condensée:

  (10.119)

Cette égalité ne peut avoir lieu que si chacun des termes est une constante puisque X ne dépend que de x et Y que de y. Il vient alors:

  (10.120)

Et chaque équation différentielle par alors être résolue indépendamment de l'autre et une fois les solutions trouvées on les multiplie pour donc déterminer l'expression de U.

MÉTHODE DE VARIATION DE LA CONSTANTE

L'idée de la méthode de variation de la constante est la suivante: si nous avons une solution particulière affectée de constantes, nous savons qu'en fonction des conditions initiales celles-ci sont bien déterminées. L'idée est alors de généraliser en posant que ces constantes sont des fonctions. Dans certains cas évidemment les développements mathématiques montreront que les fonctions sont obligatoirement des constantes.

L'idée sous-jacente de cette méthode, c'est de se dire que les solutions de l'équation différentielle (linéaire) avec second membre vont ressembler aux solutions de l'équation homogène. Comme le terme de droite va perturber cette solution, nous faisons varier uniquement les constantes (qui n'en seront plus), mais nous restons sur la "base" des solutions homogènes, pour chercher des solutions proches. Après, nous vérifions que ce raisonnement à la physicienne donne bien toutes les solutions de l'équation.

Voyons avant de passer au cas général un exemple simple en considérant l'équation différentielle suivante:

  (10.121)

pour laquelle la solution particulière de l'équation homogène (ESSM) est:

  (10.122)

La méthode de variation de la constante consiste alors à poser:

  (10.123)

et donc:

  (10.124)

Or de par l'équation différentielle avec second membre, nous avons:

  (10.125)

Donc en utilisant les deux dernières relations il vient:

  (10.126)

et il s'ensuit que:

  (10.127)

où nous avons éliminé la constante d'intégration parce que nous voulons c'est une solution particulière! La solution générale particulière (pg) est alors la somme de la solution particulière homogène et celle avec la variation de la constante:

  (10.128)

Ainsi, en généralisant l'exemple précédent, nous avons donc une équation différentielle de la forme:

  (10.129)

La solution particulière générale sera alors:

  (10.130)

Nous avons alors:

  (10.131)

d'où injecté dans l'équation différentielle d'origine:

  (10.132)

Soit après factorisation des termes semblables:

  (10.133)

Nous avons donc la relation ci-dessus et la solution particulière à l'équation différentielle homogène (donc sans seconde membre):

  (10.134)

Nous trouvons donc:

  (10.135)

et il suffit alors d'intégrer cette équation pour trouver . Ensuite, la solution générale particulière (pg) est alors la somme de la solution particulière homogène et de celle avec la variation de la constante.

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Voyons maintenant des développements particuliers qui vont aussi bien être utiles en physique quantique que dans la résolution de systèmes particuliers d'équations différentielles (et particulièrement une qui est connue en théorie du chaos!).

Indiquons d'abord au lecteur avant d'aller plus loin que le cas plus complexe non homogène (avec seconde membre) et avec coefficients inconnus est traité directement par l'exemple dans le chapitre de Génie Industriel lors du traitement de la fiabilité d'un système réparable sous la forme d'une chaîne de Markov avec traitement par les déterminants et valeurs/vecteurs propres.

Pour commencer cette première approche, il va nous falloir introduire le concept d'exponentiation d'une matrice:

L'ensemble des matrices  à coefficients dans  noté  est un espace vectoriel pour l'addition des matrices et la multiplication par un scalaire. Nous notons I la matrice identité.

Nous admettrons qu'une suite de matrices  converge vers une matrice A si et seulement si les suites de coefficients des matrices  convergent vers les coefficients correspondants de A.

Exemple:

Dans  la suite de matrices:

  (10.136)

converge vers:

  (10.137)

lorsque.

Si, nous avons vu lors de notre étude des nombres complexes (cf. chapitre sur les Nombres) que la série:

  (10.138)

converge et sa limite est notée . En fait ici il n'y a aucune difficulté à remplacer x par une matrice A puisque nous savons (nous l'avons montré lors de notre étude des nombres complexes) que tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme suivante (le corps des nombres complexes est donc isomorphe au corps des matrices réelles carrées de dimensions 2 ayant cette forme):

  (10.139)

et qu'un nombre complexe au carré est équivalant à mettre sa forme matricielle au carré:

  (10.140)

Effectivement:

  (10.141)

Nous définissons alors l'exponentielle d'une matrice  comme la matrice limite de la suite:

  (10.142)

Si la matrice A est diagonale il est évident que son exponentielle est facile à calculer. En effet, si:

  (10.143)

Par suite:

  (10.144)

Or, il apparaît évident qu'une matrice non diagonale va être beaucoup plus compliquée à traiter! Nous allons alors utiliser la technique de diagonalisation soit une réduction des endomorphismes (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire).

Alors, remarquons que si  est inversible et si  alors:

  (10.145)

Ceci découle du fait que (penser au changement de base d'une application linéaire comme ce qui a été étudié dans le chapitre d'Algèbre Linéaire):

  (10.146)

Donc:

  (10.147)

Ce développement va nous permettre de ramener le calcul de l'exponentielle d'une matrice diagonalisable à la recherche de ses valeurs propres et de ses vecteurs propres.

Exemple:

Calculons  où:

  (10.148)

Les valeurs propres de A sont,  et les vecteurs propres associés sont:

  (10.149)

Effectivement:

 et   (10.150)

En posant:

  (10.151)

Nous avons:

  (10.152)

avec:

  (10.153)

Par conséquent:

  (10.154)

Maintenant, rappelons que dans le cas des nombres réels nous savons que si  alors:

  (10.155)

Dans le cas des matrices nous pouvons montrer que si  sont deux matrices qui commutent entre-elles c'est-à-dire telles que , alors:

  (10.156)

La condition de commutativité tient au fait que l'addition dans l'exponentielle est quant à elle commutative. La démonstration est donc intuitive.

Un corollaire important de cette proposition est que pour toute matrice,  est inversible. En effet les matrices  et  commutent, par conséquent:

  (10.157)

Nous rappelons qu'une matrice  à coefficients complexes est unitaire si:

  (10.158)

La proposition suivante nous servira par la suite.

Montrons que si A est une matrice hermitienne (dite aussi "autoadjointe") (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) alors pour tout ,  est unitaire.

Démonstration:

  (10.159)

Donc:

  (10.160)

C.Q.F.D.

Rappelons que cette condition pour une matrice autoadjointe est liée à la définition de groupe unitaire d'ordre n (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Une des premières applications de l'exponentielle de matrices est la résolution des équations différentielles ordinaires. En effet, de l'équation différentielle linéaire ci-dessous avec comme condition initiale  et où A est une matrice:

  (10.161)

la solution est donnée (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral) par:

  (10.162)

Nous retrouvons fréquemment ce genre de systèmes d'équations différentielles en biologie (dynamique des populations), en astrophysique (étude des plasmas) ou en mécanique des fluides (théorie du chaos) ainsi qu'en mécanique classique (systèmes couplés), en astronomie (orbites couplées), en électrotechnique, etc.

Exemple:

Supposons que nous ayons le système d'équations différentielles homogène (sans termes constants) suivant:

  (10.163)

La matrice associée est alors:

  (10.164)

et son exponentielle (voir les développements faits plus haut):

  (10.165)

La solution générale du système est donc:

  (10.166)

Nous avons donc:

  (10.167)

En calculant la dérivée des relations précédentes et en comparant à:

  (10.168)

nous déterminons facilement les constantes pour obtenir:

  (10.169)

ce qui nous donne finalement:

  (10.170)

MÉTHODE RÉGULIÈRE DES PERTURBATIONS

Très fréquemment en physique (de pointe), un problème mathématique ne peut pas être résolu de manière exacte. Si la solution est connue il y a parfois une telle dépendance de paramètres que la solution est difficile à utiliser en tant que telle.

Il peut arriver cependant qu'un paramètre identifié de l'équation différentielle, que nous noterons par tradition avec la lettre grecque  , soit tel que la solution soit disponible et raisonnablement simple pour .

Le souci ensuite est de savoir comment la solution est altérée pour un  non-nul mais petit quand même. Cette étude est le centre de la théorie des perturbations que nous utilisons par exemple dans le chapitre de relativité générale pour calculer la précession du périhélie de Mercure.

Comme la théorie dans le cadre général est trop complexe par rapport aux objectifs du site, nous nous proposons une approche par l'exemple d'abord avec une simple équation algébrique et ensuite avec ce qui nous intéresse: une E.D.

THÉORIE PERTURBATIVE DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Considérons l'équation polynômiale suivante:

  (10.171)

Nous savons de par notre étude du chapitre d'analyse fonctionnelle, que cette équation polynômiale admet deux racines qui sont trivialement:

  (10.172)

Pour  petit, ces racines peuvent être approximées par le premier terme en développement de série de Taylor (cf. chapitre de Suites Et Séries):

  (10.173)

La question et de savoir si nous pouvons obtenir les deux relations précédentes sans a priori de connaissances sur la solution exacte de l'équation polynômiale initiale? La réponse est bien évidemment affirmative avec l'aide de la théorie des perturbations.

La technique se base en quatre étapes:

1. Dans la première étape, nous assumons que la solution de l'équation polynomiale est une expression du type série de Taylor en . Nous avons alors:

  (10.174)

où  sont bien évidemment à déterminer.

2. Dans la deuxième étape, nous injectons la solution hypothétique dans notre équation polynômiale:

  (10.175)

Comme:

  (10.176)

et:

  (10.177)

Il vient finalement que l'équation polynômiale s'écrit:

  (10.178)

3. Dans la troisième étape nous égalisons successivement les termes avec 0 tel que:

  (10.179)

4. Quatrième et dernière étape, nous résolvons successivement les équations polynômiales ci-dessus pour obtenir:

  (10.180)

En injectant ces résultants dans la solution hypothétique:

  (10.181)

il est évident d'observer que nous retombons sur la solution certaine:

  (10.182)

THÉORIE PERTURBATIVE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

La théorie des perturbations est aussi souvent utilisée pour résoudre un bon nombre d'équations différentielles. C'est le cas par exemple en mécanique des fluides, en relativité générale ou en physique quantique.

A nouveau, plutôt que de faire une théorie ultra abstraite et générale, voyons le concept sur un exemple tel que précédemment.

Considérons l'équation différentielle suivante:

  (10.183)

ou autrement écrit:

  (10.184)

avec les conditions aux limites:

  (10.185)

La résolution exacte est relativement facile à obtenir:

D'abord nous commençons par l'équation homogène:

  (10.186)

C'est donc une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec des coefficients constants, équation qu'il est relativement aisé de résoudre dans le cas général. Soit l'équation:

  (10.187)

Supposons que la fonction y qui satisfait cette équation différentielle soit de la forme où K peut être un nombre complexe. Nous avons alors:

 ou   (10.188)

pourvu, bien sûr, que . Cette dernière relation est donc l'équation quadratique auxiliaire de l'équation différentielle (polynôme caractéristique). Elle a deux solutions/racines (c'est une simple résolution d'un polynôme du deuxième degré) que nous noterons dans le cas général: . Ce qui signifie que:

 et   (10.189)

sont satisfaites pour les deux racines. Si nous faisons la somme puisque les deux sont égales à la même constante:

  (10.190)

Ainsi, il est immédiat que la solution générale de l'équation homogène de y est du type:

  (10.191)

où A, B sont bien évidemment des constantes à déterminer. Nous résolvons maintenant le polynôme caractéristique:

  (10.192)

Il vient immédiatement que:

  (10.193)

Donc:

  (10.194)

Maintenant une solution particulière à:

  (10.195)

est relativement trivialement une solution du type:

  (10.196)

où B est bien évidemment une constante à déterminer et qui vaut simplement une fois injectée dans l'équation différentielle:

  (10.197)

Soit:

  (10.198)

D'où finalement la solution générale:

  (10.199)

Ensuite, avec les conditions initiales qui sont pour rappel

    (10.200)

il est très facile de trouver A:

  (10.201)

Nous avons aussi:

  (10.202)

Il est loisible de choisir que ce qui nous donne:

  (10.203)

Dès lors:

  (10.204)

devient:

  (10.205)

Maintenant que nous avons la solution générale, si  est petit nous pouvons prendre le développement d'ordre 4 en série de Maclaurin de l'exponentielle (cf. chapitre de Suites Et Séries). Tel que:

  (10.206)

Injecté dans y cela donne (vous remarquerez que nous exprimons parfois explicitement par anticipation...... le terme d'ordre 5):

  (10.207)

Maintenant que nous avons ce développement, ce que nous souhaitons montrer c'est qu'à partir d'un développement perturbatif nous pouvons retrouver le même résultat en série et ce sans aucune connaissance préalable sur la solution.

A nouveau, le développement pour cela se fait en 4 étapes:

1. Dans la première étape, nous assumons que la solution de l'équation différentielle est une expression du type série de Taylor en . Nous avons alors:

  (10.208)

où  sont bien évidemment à déterminer.

2. Dans la deuxième étape, nous injectons la solution hypothétique de notre équation différentielle dans celle-ci avec les conditions initiales et nous développons le tout.

D'abord l'équation différentielle:

  (10.209)

ensuite les conditions initiales:

  (10.210)

3. Dans la troisième étape nous égalisons successivement les termes avec 0 tel que:

  (10.211)

4. Dans la quatrième étape nous résolvons les équations différentielles listées précédemment (si vous ne voyez pas comment nous les résolvons n'hésitez pas à nous contacter!):

  (10.212)

En injectant ces relations dans la solution supposée développée en série de Taylor et injectée dans l'équation différentielle:

  (10.213)

Nous retombons sur:

  (10.214)

- Calcul différentiel et intégral (Tome I), N. Piskunov, Édition Mir (Moscou), ISBN10: 2729893407 (511 pages) - Imprimé en 1972

- Calcul différentiel et intégral (Tome II), N. Piskunov, Édition Mir (Moscou), ISBN10: 2729893415 (616 pages) - Imprimé en 1972

- Calcul différentiel et intégral (Tome I), J. Douchet + B. Zwahlen, Éditions Presses polytechniques et romandes, ISBN10: 2880741963 (244 pages) - Imprimé en 2007

- Calcul différentiel et intégral (Tome II), J. Douchet + B. Zwahlen, Éditions Presses polytechniques et romandes, ISBN10: 2880742579 (172 pages) - Imprimé en 2007

- Advanced Engineering Mathematics with MATLAB (Third Edition), Dean G. Duffy, CRC Press Inc, ISBN13: 9781439816240 (1105 pages) - Imprimé en 2010

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