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La caractéristique essentielle de la théorie des jeux est d'examiner l'affrontement de deux (ou plusieurs) rationalités: les décisions (rationnelles) d'un agent ont un résultat qui dépend des décisions (rationnelles) d'un autre agent. Elle se propose de prescrire à cet agent la meilleure (en un sens à préciser) décision possible, en tenant compte de ses préférences et des informations dont il dispose, et des actions possibles des autres acteurs. Elle se propose aussi de décrire la manière dont un agent (rationnel) prend ses décisions. Naturellement, si l'agent se conforme exactement aux prescriptions de la théorie, la description de ses décisions n'est pas un champ d'études nouveau.

Une première approche de cette attitude d'esprit est accessible à de jeunes enfants. Imaginons deux enfants, l'un et l'autre gourmands, en présence d'un gâteau homogène, parfaitement divisible. Si la maman fait deux parts, il y aura immanquablement des disputes, chacun trouvant plus grosse la part de l'autre. Le moyen d'éviter toute dispute est pour la mère d'imposer la règle suivante: l'un des enfants effectue le partage, et l'autre choisit en premier sa part.

Celui qui coupe ne peut pas raisonner en tenant compte de ses seules préférences, qui le pousseraient à se couper une grosse part. Il sait en effet que l'autre pourra choisir sa part. Si donc il coupe une part plus grosse que l'autre, il risque de la retrouver dans l'assiette du voisin. Il va donc s'efforcer de couper des parts aussi égales que possibles, à ses yeux. Ainsi, quel que soit le choix de l'autre, il ne s'estimera pas maltraité. C'est cette anticipation du choix d'un autre décideur qui constitue l'originalité de la théorie de jeux et de la coopération.

Si la théorie des jeux s'efforce de répondre quels sont les critères d'optimalité d'un système social, une bonne manière d'envisager le problème est supposer que la société que nous considérons admet un ensemble d'états possibles a priori connu de tous. Notons F cet ensemble. La partie de la théorie des jeux qui s'occupe de la détermination des éléments socialement préférables de l'ensemble F est souvent dite "coopérative" (ou "coalitionnelle"). La partie dite, au contraire, "non coopérative" (ou "stratégique") s'intéresse à la mise en œuvre des solutions préconisées par la théorie des jeux coopératifs qui on force de loi. Une jeu est "coopératif" lorsqu'il autorise des contrats qui ont force de loi. Autrement dit: lorsque l'on ne se soucie pas de la mise en œuvre des solutions que l'on tient pour bonnes. En contrepartie, la théorie des jeux non coopératifs ne s'interroge pas directement sur la nature du bien commun sur lequel les individus pourraient s'entendre. Elle se borne à décrire dans quelles conditions tel ou tel contrat sera "crédible", au sens où ses signataires auront de bonnes raisons de le respecter.

Cette distinction entre jeux coopératifs et jeux stratégiques prête souvent à confusion. Essayons de la dissiper pour partie. Tout d'abord, cette distinction ne signifie nullement que les comportements que nous concevons intuitivement comme "coopératifs", au sens où ils induisent une part de sacrifice de nos intérêts propres au profit d'un bien jugé supérieur, ne pourront apparaître que dans le cadre des jeux coopératifs, au contraire! Les jeux stratégiques se soucient beaucoup de l'apparition endogène de tels comportements. Inversement, les jeux coopératifs sont très attentifs au respect des intérêts des individus. C'est là d'ailleurs l'une des difficultés principales qu'il leur faut affronter: si sacrifice individuel pour le bien commun il doit y avoir, qui doit se sacrifier? Et pourquoi tel individu plutôt qu'un autre?

Une fois défini l'ensemble F unanimement considéré comme représentant toutes les solutions possibles du problème que nous cherchons à résoudre, il nous faut déterminer des critères qui permettent de sélectionner le "meilleur" état possible, compte tenu des appréciations diverses et contradictoires dont F fait l'objet par les différents citoyens en présence. Supposons que cette appréciation puisse se mesurer au moyen d'une fonction (on l'associe souvent à la notion de "Gain") définie sur F et prenant ses valeurs dans . Ainsi, si la société que nous considérons comporte N individus , et si est l'issue sélectionnée, est la "valeur" accordée par le joueur i à x.

Si chaque individu avait le pouvoir d'imposer sa volonté aux autres (quitte, au besoin, à la faire passer pour la "volonté générale"), il choisirait tout simplement l'issue x qui maximise (c'est-à-dire son gain).

Un premier critère qui vient à l'esprit, et qui est dû au sociologue italien Vilfredo Pareto, est celui de l'optimalité qui porte son nom.

Considérons deux issues x et y, appartenant toutes deux à F, et supposons que, pour chaque individu i, on ait la situation suivante:

En d'autres termes, aucun citoyen de la Cité ne serait lésé si l'on substituait l'état y à l'état x. Supposons de surcroît, qu'il existe au moins une personne qui préfère strictement y à x tel que:

Dans ces conditions, on ne voit vraiment pas ce qui devrait retenir le législateur de proposer y plutôt que x.

Appelons une telle une "amélioration paretienne" de x. Un "optimum de Pareto" est alors une issue x réalisable qui n'admet aucune amélioration paretienne.

La Pareto-optimalité est à comprendre comme une condition sine qua non, un "minimum minimorum", sans lequel le concept de solution d'un jeu coopératif que nous cherchons à élaborer devrait être automatiquement rejeté.

Les règles d’un jeu stratégique et les gains contingents qui y sont associés peuvent être représentées sous forme d’un arbre: c’est ce que l'on nomme la "forme extensive" du jeu.

On considère deux firmes d’ordinateurs qui ont à faire un choix de système d’exploitation. La compatibilité entre les systèmes serait socialement préférable, mais pour des raisons liées à l’histoire des deux firmes, chacune préférerait que ce soit l'autre qui fasse l'effort de s'adapter. Si les deux firmes choisissent CAM, MBI gagne 600 M$ et Poire 200 M$. Si elles choisissent MAC, c’est Poire qui gagne 600 M$ et MBI 200 M$. S’ils ne sont pas compatibles, ils gagnent chacun 100 M$.

La "structure informationnelle" fait référence à l'information dont dispose chaque joueur à chaque noeud de décision du jeu. Dans un jeu à information parfaite, les joueurs connaissent l’historique des décisions prises dans le passé: chaque noeud de l’arbre est visible par les joueurs.

Dans des jeux à information imparfaite, les joueurs ne connaissent pas tous les choix passés: l’ensemble d’information représente les choix qui sont connus d’un joueur au moment où il doit prendre sa décision (l'ensemble markovien ne comprend que les résultats de la période précédente):

dans la figure ci-dessus, (noeuds de décisions cerclés), Poire ne sait pas si MBI a choisit CAM (noeud 2) ou MAC (noeud 3).

Pour passer à la forme normale, on définit une stratégie comme un plan d’action complet pour chaque joueur, qui spécifie un choix pour chaque noeud de l’arbre et donc pour chaque situation pouvant survenir au cours du jeu. La "matrice des gains" représente la situation stratégique des joueurs et le gains qu’ils recevront pour chaque stratégie:

MBI/Poire	S₁ : CAM	S₂ : MAC
S₁ : CAM	600 , 200	100 , 100
S₂ : MAC	100 , 100	200 , 600

Dans le contexte d'un jeu à stratégie non coopérative, si un des joueurs (ou stratège) peut connaître les choix de son concurrent sans aucune exception, alors on définit la notion de "tactique prudente" par:

Une tactique donnée est dite "prudente" (c'est le choix du numéro de la ligne pour le joueur ligne, ou le numéro de la colonne pour le joueur colonne) lorsque le gain d'un des joueurs est tel que lorsque par rapport à une stratégie choisie, l'ensemble des choix de son concurrent apporte un gain maximal à ce dernier. Le gain minimal assuré de J1 est appelé le "niveau de sécurité" de J1.

Dans l'exemple de nos deux firmes (ci-dessus), la conjoction des tactiques prudentes {(600,200);(200;600)} n'est pas un équilibre. En effet, les stratégies qui assurent un niveau de sécurité au deux firmes ne sont pas identiques.

Un jeu ayant un équilibre est un particularité et non une généralité ! Lorsqu'un jeu présente un équilibre, on parle alors "d'équilibre de Nash".

"L'équilibre de Nash" décrit une issue d’un jeu non coopératif dans lequel aucun joueur n’a intérêt à modifier sa stratégie, compte tenu des stratégies des autres joueurs.

Soit un jeu non-coopératif à n joueurs, et une combinaison de choix stratégiques de ces n joueurs où est le choix stratégique du joueur et avec , l’ensemble des stratégies praticables par le joueur . Soit le gain du joueur lorsque est sélectionné.

Une combinaison de choix stratégique est un équilibre de Nash si et seulement si:

Interprétation: aucun joueur ne peut bénéficier d'une déviation de , quelle que soit la stratégie qu'il choisisse dans son ensemble . Ainsi, aucun joueur n’a intérêt à dévier, et est un équilibre

Le concept d'équilibre de Nash dit qu'aucun joueur n'aura d'incitation à dévier dans une configuration stratégique donnée. Il ne dit pas comment ou pourquoi on est parvenu à cette configuration:

Quand la stratégie d'un joueur est meilleure réponse face à toutes les stratégies possibles de ses rivaux, on dit que c'est une "stratégie dominante" (cette stratégie domine toutes les autres stratégies du joueur). L'équilibre de ce jeu est alors appelé équilibre en stratégie dominante.

Une stratégie est "dominée" si elle procure au joueur des gains toujours inférieurs à ceux associés à au moins une autre de ses stratégies.

Méthode: une manière de déterminer les équilibres d'un jeu consiste à éliminer en premier toutes les stratégies dominées puis à rechercher les équilibres dans le jeu ainsi réduit.

Exemple: en éliminant les stratégies dominées (mêmes faiblement dominées) pour le joueur 2 (J2), on montre que l'équilibre du jeu ci-dessous correspond à la combinaison de choix stratégique (S2 , S3 ) et aux gains associés (6 , 2).

Remarque 2: réduction du nombre d'équilibres de Nash (4 , 4),(6 , 2) (si l'on enlève ces deux issues on a un équilibre de Nash)

J1/J2	S₁	S₂	S₃
S₁	5 , 2	4 , 4	5 , 4
S₂	3 , 1	2 , 0	6 , 2

Le jeu suivant ne comporte pas d'équilibre en stratégie pure: quelque soit le couple de stratégies envisagé, l'un des joueurs obtient toujours plus en modifiant son choix.

J1/J2	S₁	S₂
S₁	1 , 0	0 , 1
S₂	0 , 1	1 , 0

On suppose maintenant que l'un des joueurs pense que son adversaire va jouer avec une probabilité et avec une probabilité . Notons cette stratégie. L'espérance (la moyenne) de gain anticipée par ce joueur sera (on fait appel ici aux calculs des probabilités) :

Si (c'est-à-dire ici, si ) aucun des joueurs n'a intérêt à dévier unilatéralement: c'est "l'équilibre en stratégie mixte"

Le scénario: vous avez été arrêté avec un copain parce qu’on vous soupçonne d’avoir volé. Vous êtes placé dans deux pièces différentes pour être interrogé par la police.

Un policier vous explique la situation à laquelle vous êtes confrontée: "Si tu dénonces ton copain, tu seras libre et l'autre sera condamné à 10 ans. En revanche, si vous vous dénoncez mutuellement, vous écoperez de 5 années de prison chacun. Enfin, si aucun de vous deux ne parle, vous aurez chacun 1 an au bénéfice du doute".

Le dilemme repose sur la décision de coopérer ou non. Il est évident que la meilleure solution consiste à garder le silence. Mais très rapidement l'un d'eux va penser que "si ..., alors ..., donc ... je parle et je dénonce mon copain !" Il est évident que si l'un fait ce raisonnement, l'autre peut également le faire…

Le problème est que vous ne savez pas quelle décision votre ami va prendre. En ce sens il s'agit d'un dilemme. En réalité, ce n'est pas vraiment un dilemme. En effet, la solution optimale consiste à avouer (et donc trahir), car si votre ami n'avoue pas vous êtes libre et dans le cas où il avoue vous prenez 5 ans chacun. Avouer est donc la solution optimale si vous pensez que votre ami n'avouera pas. Le même raisonnement vaut également pour lui. Si les deux choisissent d'avouer, ils prennent 5 ans chacun alors que sans avouer, ils auraient eu seulement 1 an. Mais pour cela, il faut être sûr que l'autre n'avoue pas car si vous n'avouez pas et qu’il avoue, vous prenez 10 ans et lui rien. C'est une décision à risque !

J1/J2	Défection	Coopérer
Défection	1 , 1	10 , 0
Coopérer	0 , 10	5 , 5

On voit dans la matrice ci-dessus que la défection est le seul équilibre de Nash. Evidemment l'équilibre de Nash n'est pas la solution optimale comme on l'a vu, mais cette première constituant un équilibre est devrait être la plus favorable de la part des deux prévenus (en supposant qu'ils aient étudiés la théorie des jeux).

Nommons T le nombre d'années de prison maximale (10), C le nombres d'années de prison en cas de trahison mutuelle (5), P le nombre d'années dans le cas où il y a défection mutuelle (1) et finalement D le cas ou il y a trahison univoque (dans un seul sens).

Remarque: si on a un "jeu de coordination symétrique" a deux équilibres de Nash:

Dans le dilemme du prisonnier répété, la condition permet de s'assurer que la séquence inverse:

Un jeu évolutionnaire peut être décomposé selon deux perspectives différentes:

- Le "jeu interne" décrit les interactions entre "joueurs". Les "joueurs", appariés au hasard, suivent des stratégies pré-déterminées. L'issue de la confrontation - le gain du jeu - détermine la valeur sélective des "joueurs"

- Le "jeu externe" décrit le processus évolutionnaire lui même. Il détermine la part relative des stratégies dans la population et dépend directement de la valeur sélective que les individus ont retiré de leur confrontation dans le jeu interne. Il vérifie le principe de sélection: il contribue à faire augmenter la proportion de "meilleur réponse" dans la population.

Si l'ensemble des stratégies est donné, l'interprétation du jeu renvoie aux questions suivantes : Qui sont les "joueurs" ? A quoi correspondent les "stratégies" ? Les "joueurs" jouent-ils des stratégies pures ou mixtes?

En biologie, le processus évolutionnaire suit une "dynamique de réplication" qui résulte de l'effet de la valeur sélective sur la reproduction. Dans les sciences sociales, ce processus pourrait correspondre à un apprentissage "comportemental", ou chaque joueur modifie sa stratégie compte tenu du résultat observés de ses actions, sous réserve que l'ensemble des stratégies soit donné et que le processus vérifie le principe de sélection:

C'est "une stratégie telle que si elle est adoptée par tous les membres d'une population, aucune stratégie mutante ne pourra venir envahir cette population par les mécanismes de la sélection naturelle"

soit que le gain associé à la stratégie x contre elle-même est strictement supérieur au gain associé à n'importe quelle autre stratégie y différente de x contre la stratégie x (x est la meilleure réponse contre elle même).

on y considère une large population d'individus de même espèce en compétition pour utiliser une ressource rare. Chaque jeu représente la confrontation aléatoire de deux individus (et seulement deux) de cette espèce. Ceux-ci peuvent suivre 2 stratégies: une stratégie agressive "Hawk" (H) ou une stratégie pacifique "Dove" (D). Lorsque deux faucons se rencontrent, ils supportent des pertes qui peuvent être évaluées en moyenne à P/2 par rapport à la perte maximale P et relativement au gain maximal G (attention! la perte maximale n'est pas forcément égale au gain maximal donc: ). D'où la matrice des gains ci-dessous:

J1/J2	H	D
H	(G-P)/2 , (G-P)/2	G , 0
D	0 , G	G/2 , G/2

Si alors, ni ni ne sont des stratégies dominantes on parle alors de "stratégie mixte":

- Si on a une stratégie mixte où et qui peut conduire à un équilibre stratégique stable:

(rappelons que E est l'espérance du gain anticipée). La valeur de l'équilibre en stratégie mixte ce calcule selon:

Pour que ce soit également un équilibre de stratégie mixte, il faut également montrer qu'aucune stratégie déviante ne peut venir envahir cette population. C'est-à-dire que:

Considérons un jeu symétrique avec deux équilibres de Nash en stratégies pures (S1, S1) et (S2 , S2)

J1/J2	S1	S2
S1	3 , 3	4 , 0
S2	0 , 4	5 , 5

où (3-0) mesure le coût de la déviation de S₁ vers S₂ lorsque l'adversaire joue S₁ et (5-4) le coût de la déviation de S₂ vers S₁ lorsque l'adversaire joue S₂

Ces écarts traduisent en quelque sorte les gains de la coordination sur l'équilibre de Nash correspondant, respectivement: (S₁ , S₁) et (S₂ , S₂).

Ces inégalités définissent les "zones de stabilité" des stratégies considérées:

Si , la stratégie S₁ sera en moyenne supérieure à S₂ la relation inverse sera vérifiée si .

On montre que ces zones de stabilité peuvent être identifiées au moyen des relations suivantes:

J1/J2	S1	S2
S1	,	,
S2	,	,

Imaginons deux propriétaires M et N, et deux sources dont les qualités sont identiques et qui se trouvent placées de manière à alimenter concurrement le même marché; de sorte que la quantité totale livrée au commerce se compose de la somme des quantités m, n livrées par chacun des propriétaires à un prix qui est nécessairement le même pour chacun d'eux puisqu'il n'y a aucun motif de préférer une source à l'autre. Ce prix se trouve déterminé quand la somme des quantités m, n l'est elle-même, à cause de la liaison qui existe entre le prix et la demande. Admettons que le propriétaire N ait fixé arbitrairement, sans égard aux prix, la quantité n qu'il entend livrer: alors le proprétaire M fixera le prix de vente, c'est-à-dire la production totale (composée de la somme des quantités m et n), c'est-à-dire encore sa production m de manière à se procurer le plus grand revenu possible.

Dans la pratique, une suite de tâtonnements et d'oscillations amènera les deux propriétaires à cette position d'équilibre, et la théorie montre que cet équilibre est stable: c'est-à-dire que si l'un ou l'autre des propriétaires, trompés sur ses intérêts véritables, vient à s'en écarter momentanément, il y sera ramené par une suite d'oscillations du genre de celle qui avaient primitivement abouti à constituer l'équilibre.

Nous allons mettre en place une situation de jeu à deux personnes. Nous poserons que le prix P est une fonction affine de la quantité totale produite:

Nous supposerons égaux et fixes les coûts marginaux de production, représentés par le nombre c, et nuls les coûts fixes, en sorte que le coût de production s'écrive respectivement

pour les deux sources.

Le modèle de Cournot pose que les deux entreprises fixent les quantités qu'elles produisent simultanément, ou, à tout le moins dans l'ignorance mutuelle de la tactique de l'autre.

Pour reconnaître un jeu sous forme normale, il ne nous reste plus qu'à reconnaître le gain retiré par chacun des adversaires pour tout couple

de tactique afin de pouvoir si on le désire construire la matrice des gains.

La recherche d'un équilibre de Nash conduit chaque entreprise à choisir sa production pour maximiser son profit et minimiser ses coûts de stockage (voir modèle de Wilson), la production de son partenaire étant supposée connue.

(resterait à vérifier que ce sont biens des maximums, en contrôlant les dérivées de deuxième ordre et non des extrêmums).

Ces calculs sont à rapprocher du raisonnement purement économique, pour lequel chaque entreprise aimerait être seule, en monopole sur le marché. Le profit de l'entreprise M en situation de monopole serait:

ce qui met en évidence la maximum, atteint pour (on cherche où la dérivée s'annulle):

Ainsi, on voit très bien que la quantité produite en cas de monopole est plus grande qu'en cas de monopole et que le profit ainsi que les prix sont plus élevés.

L'idée serait maintenant, si l'on reveint à nos deux entreprises, qu'un accord soit établi (cas appelé "entente olipote" contre la concurrence et qui est interdit par la loi), qui leur partage ce profit majoré. La parfaite symétrie des situations conduirait au partage par moitiès. Mais la difficulté vient du fait que la décision de produire:

n'est pas la meilleures réponse à produire la même quantité de l'adversaire en sorte que chacun soit incité à trahir l'accord de l'autre. Ainsi, le meilleur équilibre est celui de Nash qui impose:

Lors de la mise au point d'une entente ou d'un cartel, on peut distinguer plusieurs nvieaux qui dépendent du degré de précision des règles fixées par l'ensemble des entreprises.

Le premier cas est celui qu'on peut appeler "l'entente parfaite"; c'est l'entente qui permet de maximiser le profit total des entreprises concernées. Une condition mathéamtique élémentaire est que toutes les entreprises doivent fonctionner avec le même coût marginal. En effet, la maximisation du profit total d'un ensemble d'entreprises s'écrit de la manière suivante:

Ce profit est maximum quand toutes les dérivées partielles d'ordre 1 sont nulles et maximales (condition dites du "premier ordre"). Soit:

La partie de gauche de la deuxième relation exprime la variation de recette totale provoquée par une petite variation de la quantité produite par le producteur , et la partie droite exprime la variation de coût engendrée par la même variation de

(coût marginal du producteur ). La recette marginale provoquée par une variation donnée de production est la même, que que soit le producteur qui a modifié sa production. En effet, l'influence d'une production additionnelle sur l'offre totale et sur le prix est identique, que cette production additionnelle vienne d'un producteur ou d'un autre.