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DYNAMIQUE DES POPULATIONS | THEORIE DE LA DECISION | ECONOMETRIE | TECHNIQUES DE GESTION

La gestion a beaucoup évolué dans la pratique, sous la pression de l'évolution des marchés. Les clients, les consommateurs ou les citoyens sont devenus de plus en plus exigeants en matière de qualité, de disponibilité des biens, d'information sur les méthodes et les composants utilisés. Par ailleurs, la technologie dans les différents domaines, télécommunication, informatique, logisitique..., ne cesse de progresser. Ces progrès sont à l'origine d'une "proximité" plus grande des marchés, et de fait rendent les méthodes de gestion de plus en plus rigoureuses et l'environnement de plus en plus turbulent et difficile à prévoir dans son évolution.

L'objectif de ce chapitre est d'introduire alors aux principales techniques mathématiques de gestion dont la mobilisation et l'utilisation sont devenus (ou du moins devraient l'être) indispensables au gestionnaire moderne.

Dans son état actuel (et mon expérience de formateur le confirme), la gestion est plutôt un art de la rhétorique (art tout à fait honorable et passionnant) plutôt qu'un art scientifique... Le but de ce chapitre est donc de proposer une autre manière d'aborder ces différents domaines mais de manière neutre de toute influence et toute intuition mais basée uniquement sur les chiffres (qui ne mentent jamaix eux!) et le formalisme mathématique (plus rigoureux et exact de par ses résultats que n'importe quelle autre méthode).

Evidemment, cette proposition d'aborder les problématiques de gestion pose dès lors un problème: comment faire comprendre que le bon choix n'est pas de croire dans celui proposant des solutions trouvées suite à un raisonnement complétement fantaisiste, sentimental, intuitif, égoiste ou trompeur mais dans celui qui a laissé complétement de côté ses opinions et sentiments personnels pour ne se baser que sur l'exactitude universelle du raisonnement mathématique dans le but d'atteindre le meilleur équlibre (le plus grand gain pour chacune des parties) avec un optimum des contraintes??

De plus, les solutions proposées par le deuxième type de personnes (plutôt mathématiciens que beau-parleurs) sont publiables et vérifiables par n'importe quelle personne ayant les connaissances mathématiques suffisantes (alors qu'aujourd'hui il est très difficile, même impossible, de vérifier la justesse et donc le bien fondé d'une solution proposée par un gestionnaire de type quelconque - politicien, directeur, manager, ...).

Le "gestionnaire scientifique" n'a ainsi aucun parti pris. Il n'est ni de droite, ni du centre, ni de gauche, ni corrompus mais il suit simplement la ou les solutions qui ressortent des développements mathématiques et qui donnent le meilleur équilibre selon la théorie des jeux (ou dite aussi "théorie de la décision") et les statistiques obtenues.

Il ressort des remarques précédentes qu'une personne faisant de la gestion doit, pour pouvoir donner un avis (ou une analyse) cohérent et non enfantin, maîtriser au moins les domaines suivants (qui comme vous le remarquerez sont tous des domaines faisant fortement appel aux mathématiques et que nous avons déjà vus)

- Dynamique des populations (voir la présente section du site) :

Permet au gestionnaire de comprendre la pyramide des âges d'un groupe d'individus et de prendre les décisions ad-hoc relativement aux besoins et contraintes actuels ou futurs.

- Econométrie (voir la présente section du site) :

Permet au gestionnaire de déterminer la dynamique de l'économie (donc il faut connaître l'utilité et le fonctionnement de la bourse) de tout groupe d'individus et permettre ainsi de prévoir et s'adapter aux inflations, de déterminer avec rigueur le taux des taxes, des salaires, des stocks (modèle de Wilson,...),...

- Statistiques et probabilités (voir la section d'arithmétique du site):

Permet au gestionnaire de donner objectivement la synthèse et les solutions adaptées (extrapolations) au plus juste d'événements ou de stratégies observées ou devant êtres appliquées (c'est ce que nous allons particulièrement aborder dans ce chapitre)

- Programmation linéaire (voir la section d'analyse numérique du site):

Permet au gestionnaire de chercher les optimums dans tout type de procédures (mécaniques, administratives, législatives, stocks, logistique...)

- Complexité algorithmique et théorie des graphes (voir la section d'analyse numérique du site) :

Permet au gestionnaire par analogie définir la complexité de démarches de gestion et de raisonnement

- Théorie de la décision (voir la présente section du site) :

Permet au gestionnaire au même titre que les axiomes de définir les meilleures bases sur lesquelles chaque partie du système doit se soumettre avec une interprétabilité et une tolérance nulle (cela peut s'appliquer au droit et à la loi par exemple)

Nous allons dans ce chapitre traiter formellement des problèmes de gestion auxquels sont confrontés la majeur partie des domaines humains et matériels et qui n'ont pas encore été traités dans ce sites. Toutes les solutions étant données bien évidemment suite à un raisonnement mathématique.

DROITE D'HENRY

Nous avons étudié dans le chapitre de probabilités et statistiques la fonction de distribution de Gauss-Laplace (loi normale). Une problème se pose cependant lorsque l'on souhaite savoir si on peut ajuster une distribution théorique par une loi normale (puisque la plus rencontrée).

Une solution, simple et donc couramment utilisée en technique de gestion, consiste en fait à utiliser la "droite d'Henry". Voici la méthode à appliquer :

Soit un ensemble des variables aléatoires (un produit de consommation par exemple) indépendantes où chaque variable peut prendre une domaine de valeurs (le prix des différents dérivés du produit considéré initialement) une certain nombre donné de fois (le nombre de produits vendus d'un certain type).

1. Ranger dans l'ordre croissant des ventes, le nombre de produits vendus d'un certain type.

2. Normaliser à l'unité les valeurs cumulées obtenues de chacune des variables (la somme de la rentrée totale d'argent d'un dérivé du produit et de celui qui le précéde dans l'ordre de rangement) par rapport à la totalité du nombre de valeurs prises (la somme des cumulations).

3. Déterminer la valeur de la variable aléatoire qui donne à l'aide de la loi normale centrée réduite, chaque valeur normalisée obtenu précédemment selon (voir chapitre de probabilités et statistiques):

4. Reporter sur un graphique en coordonnées cartésiennes les valeurs obtenues en ordonnées et les domaines de valeurs de variables aléatoires (prix des différentes dérivés du produit)

Conclure:

1. Si le tracé obtenu en reliant les points est une droite, coupant de près ou exactement l'axe des abscisse à la valeur moyenne de toutes les grandeurs obtenues (prix moyen des différents dérivés du produits), alors la fonction de distribution des ventes est de type Gauss-Laplace

2. Plus le coefficient de corrélation :

de la droite est proche de 1, plus la distribution des valeurs (produits vendus d'un certain type et d'un prix donnée en fonction de la quantité) de type Gauss-Laplace est assurée.

Rappels:

- si  on a affaire à une corrélation négative dite parfaite (tous les points de mesures sont situés sur une droite de régression de pente négative).

- si  on a affaire à une corrélation négative ou positive dites imparfaites

- si  la corrélation est nulle..

- si  on a affaire à une corrélation positive dite parfaite (tous les points de mesures sont situés sur une droite de régression de pente positive).

Au fait, la droite d'Henry à pour objectif de mettre en évidence la parfaite symétrie de la fonction de distribution de Gauss-Laplace.

OPTIMISATIONS

Dans le cadre d'une économie de marché, les acteurs peuvent chercher à optimiser le travail ou les méthodes à fournir pour arriver à un objectif déterminé dans le but d'accroître à production identique un bénéfice net plus élévé. De nos jours, on appelle ce domaine de l'économie la "logistique" et on peut la modéliser à l'aide de schémas ou de formalisme mathématique.

Il existe plusieurs domaines dans lesquels les études d'optimisation sont possibles et intéressantes telles que: la gestion des stocks (modèles de Wilson, ABC, 20/80), la gestion des ressources (C.P.M, M.P.M), les transports (théorie des graphes), la répartition du travail (programmation linéaire), les décisions d'investissement (Goodwill), ...

Nous conseillons au lecteur, dans le cadre d'optimisation de production, d'aller au chapitre traitant des algorithmes dans la section d'analyse numérique (la programmation linéaire y est présentée, ce genre de problème pouvant être traités avec le solveur de MS Excel).

gestions de stock

Il existe plusieurs modèles d'optimisation de gestion de stocks (Wilson, ABC, 20/80). Parmi ceux, nous avons souhaité nous arrêter sur le "modèle de Wilson" qui est le seul qui ait un intérêt mathématique et non intuitif et dont les hypothèses de départ sont les plus générales.

Le but de ce modèle est de déterminer la stratégie qu'il faut adopter pour que le total annuel (ou mensuel, journalier, …) des commandes ou fabrique de pièces minimise le total des coûts d'acquisition et de possession pour l'entreprise. On parle aussi des fois de "management à flux tendu".

L'existence de stocks au sein de l'entreprise amène le gestionnaire à se poser la question du niveau optimal de ces derniers, en évitant deux éceuils principaux:

1. le "sur-stockage", source de coût pour l'entreprise (coût du stockage physique, locaux et surfaces utilisés, coûts annexes (assurances gardiennage…), coût des capitaux immobilisés dans le stock et ne générant pas d'intérêts…

2. "sous-stockage" qui risque d'aboutir à des ruptures de stocks préjudiciables à l'activité de production ou à l'activité commerciale de l'entreprise (arrêt de la production, perte de ventes, perte de clientèle…).

Les modèles de gestion des stocks ont pour objectif de minimiser leur coût de gestion dans ce système de contraintes.

Chaque commande d'achat ou ordre de fabrication coûte à l'entreprise. Le "coût de lancement" ou "coût de passation" des commandes représente tous les frais liés au fait de passer une commande et est supposé être proportionnel au nombre de commandes passées dans l'année. Ces coûts sont déterminés à l'aide de la comptabilité analytique.

Le coût d'une commande est obtenu en divisant le coût total de fonctionnement du service achat par une grandeur significative et pertinente, par exemple le nombre de commandes passées annuellement.

Le coût d'un lancement en fabrication est obtenu en divisant le coût total de fonctionnement du service ordonnancement, auquel, il faut, ajouter les coûts de réglage des machines et des préséries, par le nombre de lancements de fabrication.

Ces valeurs dépendent essentiellement de l'entreprise, de ses choix en matière de comptabilité analytique. Il est difficile de définir une fourchette de valeur standard. Bon nombre d'entreprises ne savent pas à combien leur revient une commande ou un lancement de fabrication.

Le coût de possession du stock est constitué des charges liées au stockage physique mais également de la non rémunération des capitaux immobilisés dans le stock (voire du coût des capitaux empruntés pour financer le stock). Pour cette dernière raison, ce coût est considéré comme étant proportionnel à la valeur du stock moyen et à la durée de détention de ce stock.

Le taux de possession annuel  est le coût de possession ramené à une unité monétaire de matériel stocké. Il est obtenu en divisant le coût total des frais de possession par le stock moyen.

Ces frais couvrent:

- l'intérêt du capital immobilisé

- les coûts de magasinage (loyer et entretien des locaux, assurances, frais de personnel et de manutention, gardiennage..), les détériorations du matériel, les risques d'obsolescence.

Ce taux oscille habituellement entre 15 et 35% dans les entreprises, suivant le type des articles et la qualité de leur gestion des stocks.

Wilson a établi une formule basée sur un modèle mathématique simplificateur dans lequel on considère que la demande est stable sans tenir compte des évolutions de prix, des risques de rupture et des variations dans le temps des coûts de commande et de lancement (on parle aussi "en avenir certain").

Les hypothèses de ce modèle sont les suivantes:

H1. la demande annuelle est connue et certaine (déterministe)

H2. la consommation (ou demande) est régulière (linéaire)

H3. les quantités commandées sont constantes

H4. la pénurie, les ruptures de stock, sont exclues

H5. le délai de production est constant et l'apprivionnement supposé instantané

H6. les coûts sont invariables dans le temps

H7. l'horizon de planification est infini

Remarque: nous supposerons que la gestion du stock s'effectue sur une période temporelle donnée.

Soit:  le nombre de pièces consommées (fabriquées ou achetées),  le nombre de pièces approvisionnées ou lancées en fabrication en une seule fois,  le prix unitaire de la pièce,  le stock de sécurité envisagé pour cette pièce,  le taux de possession de l'entreprise en %,  le coût d'approvisionnement.

Propositions:

Le rapport (sans dimensions):

donne le rendement (ou inertie) des stocks.

Le coût de lancement (où le coût d'inertie) est donc donné par:

Ce dernier est donc supposé proportionnel à la consommation !

Le stock moyen dans l'entreprise dans l'hypothèse d'une consommation constante dans le temps:

Le coût périodique de possession est donc:

où t% est rappellons-le; le coût de stockage exprimé en pourcents.

Ces propositions nous amènent donc a calcul du coût total:

Trouver la quantité économique , c'est trouver la valeur de pour laquelle le coût total est minimal, c'est-à-dire la valeur  pour laquelle la dérivée du coût total par rapport à la quantité est nulle:

D'où la forumule de Wilson:

Si l'on reporte sur un graphique les fonctions:

- coût de lancement en fonction des quantités

- coût de possession en fonction des quantités

- coûts totaux en fonctions des quantités

La quantité économique se trouve à l'intersection des deux courbes, lancement et possession, ou au point d'inflexion de la courbe cumulée. Dans la pratique toutefois, il est possible de commander exactement la quantité économique, on choisira une taille de lot répondant aux diverses contraintes et comprise dans la "zone économique".

Il existe un autre type de cas de figure qu'il faut étudier. Si l'on commande en quantités plus importantes en bénéficiant ainsi d'une remise, on augmente certes les coûtes de possession mais on réduit théoriquement le nombre de commandes annuelles.

L'obectif pour le gestionnaire est bien sûr  est de vérifier mathématiquement que la remise consentie par son fournisseur n'entraîne pas de coûts induits supérieurs à la remise (ce serait une preuve d'incompétence du gestionnaire !).

Pour ce faire, il faut ramener tous les coûts à une pièce tel que:

cette relation est importante car elle détermine la valeur de la remise pour que cette dernière soit intéressante.

Pour connaître le seuil de remise pour une quantité donné, on remplace dans la relation précédente, par la quantité visée  et  par , étant la remise.

On résout alors l'équation et l'on obtient:

On déterminera donc la valeur limite de sous laquelle la remise ne compense pas les coûts internes.

Dans la pratique on ne peut commander exactement la quantité optimale , notamment du fait des unités d'achats imposées par les fournisseurs (quantités minimales, conditionnements, etc.). Il est donc plus judicieux de s'intéresser à la "zone économique", constituée par la partie inférieure (le ventre) de la courbe des coûts totaux.

Du fait des hypothèses simplificatrices, le modèle de Wilson ne peut fournir au mieux qu'un ordre de grandeur si consommation et/ou prix sont sujets à variations.

Le recours aux lancements de fabrication économiques est "anti-flexible" par essence. Ce genre de politique amène fréquemment des circonstances importantes, risque de gonfler le stock de produits finis, reportant les coûts et pertes en aval du processus.

Cependant, le modèle de Wilson à ceci d'intéressant qu'il peut s'appliquer également assez bien à des ressources humaines.