recevoir les news :: signaler une erreur :: statistiques visiteurs :: imprimer

DYNAMIQUE DES POPULATIONS | THEORIE DE LA DECISION | ECONOMETRIE | TECHNIQUES DE GESTION

L'économétrie (dite également "théorie des biens", "économie" ou encore "analyse financière") à pour objectif de modéliser et de déterminer les origines et les optimum des biens d'échanges d'un individu ou d'un groupe d'individus. Nous verrons qu'il est possible à l'aide de cette théorie, de la dynamique des populations et de la théorie de la décision, de déterminer quel est le comportement que devrait adopter chaque individu d'un groupe pour que le bien-être de ce groupe et celui de l'individu atteigne un optimum ("théorie du bien-être").

L'intervention des mathématiques de pointe dans la modélisation financière n'est pas récente. Effectivement, c'est en tentant de bâtir une "théorie de la spéculation" que Bachelier a découvert au début du siècle, l'objet mathématique appelé aujourd'hui "mouvement brownien". Mais elle a pris une dimension nouvelle à partir de 1973 avec les travaux de Black & Scholes et Merton sur l'évaluation ("pricing" en anglais) et la couverture des options. Depuis, tandis que se développaient les marchés d'options, les méthodes de Black & Scholes et Merton ont été perfectionnées, tant au niveau de la généralité que de la clarté et de la rigueur mathématique et la théorie paraît suffisamment avancée pour tenter de la rendre accessible à des étudiants.

Remarque : en vingt-cinq ans, les formules récupérées par les surdoués de l'ingénierie financière et de l'analyse des risques ont transformé le monde de l'investissement. Ingénieurs, physiciens et mathématiciens appliqués, voire biologistes, sont recrutés à tour de bras et payés à prix d'or dans les métiers bancaires pointus.

Nous aborderons l'économétrie et définissant dans un premier temps au mieux la monnaie et en étudiant la dynamique de cette dernière à travers quelques modèles connus. Ensuite, nous étudierons la théorie de l'offre et de la demande suivie juste derrière des calculs actuariels pour comprendre quelles sont le régles utilisées dans la théorie du marché des valeurs (Bourse).

Nous souhaitons informer le lecteur que pour l'instant la présentation des sujets et des concepts n'est pas encore très claire et suffisamment rigoureuse (ceci pouvant amaner à des confusions ou des absurdités majeures), nous souhaitons corriger cela au plus vite et nous en excusons d'avance.

MODELE MONÉTAIRE (neo)CLASSIQUE

Nous parlons de "monnaie" pour caractériser un "bien" utilisé dans une dynamique d'échange de biens. 

La description de la monnaie peut-être donnée à priori par 3 paramètres: 

1. unité de compte

2. moyen de paiement (intermédiaire d'échange)

3. réserve de valeur

On pourrait inclure également comme fonction la référence pour les paiements différés. Mais l'idée est en fait déjà incluse dans les trois fonctions précédentes.

Cette démarche de description est insuffisante pour l'analyse mathématique: il faut un système explicatif complet, car, ici, on n'a fait que constater, sans rien de plus. Il faut donc établir le lien entre la monnaie et la théorie de la valeur.

Au début du siècle dernier (XX^ème) la dématérialisation de la monnaie s'est accélérée: ses coûts de production sont devenus infinitésimaux et la monnaie ne pouvait donc plus être intégrée par son support.

Comment faire alors lorsque la monnaie devient du papier? La majorité des personnes étaient encore marquées par les formes matérielles de la monnaie: pour eux, le papier représentait de l'or. Mais lorsque les nouvelles formes de monnaie se sont développées, il y a eu de gros problèmes. Pour se soustraire de ce problème, il suffisait cependant de faire un raisonnement par récurrence : la valeur ancienne est continué par les nouvelles formes. HICKS (un auteur de l'époque) parlait de "monnaie fantôme" car les gens pensaient encore à une monnaie matérielle dont le support fondamental était l'or.

Mise à part la représentation valeur que représente la monnaie, celle-ci dérive son utilité des biens qu'elle permet d'obtenir dans l'échange. C'est ce que l'on nomme "l'utilité dérivée".

Notons l'offre de monnaie disponible d'un marché . Elle dépend donc de la quantité totale existante de monnaie  moins les encaisses  conservées par les agents économiques (qui ont échangé de la monnaie contre de biens). On peut alors écrire la chose suivante :

Cette encaisse est aussi celle des ménages d'une certaine manière et est une demande réelle de biens, qui peut s'exprimer nécessairement sous forme monétaire.

Les agents, à la vente de biens, désirent a fortiori une certaine somme de monnaie encaisse notée  (encaisse de monnaie désirée). On l'exprime en "numéraire" et pour ce, on introduit alors un prix de la monnaie en numéraire. L'encaisse désirée s'écrit alors:

où  est le prix de la monnaie en numéraire (quantité de blé ...). On peut alors écrire:

L'encaisse désirée pourrait alors s'exprimer en utilisant la relation:

Revenons, à l'étude de  ; on examine le côté des entreprises ; elles ont besoin de monnaie pour effectuer les paiements (salaires ...). La demande des entreprises se note . Cela correspond également à une certaine quantité de biens puisqu'il s'agit de proposer des biens pour se procurer de la monnaie (vue des entreprises). On peut donc écrire:

Alors, on écrit que:

Ces deux sommes correspondent donc à l'ensemble de la monnaie disponible sur le marché sous forme de biens des ménages et des entreprises sous la restriction de biens ayant des prix numéraires globaux identiques. Nous écrivons également:

Enfin, nous obtenons:

On retrouve donc la théorie quantitative de la monnaie (relation entre la quantité de monnaie en circulation et son prix).

Passons à l'examen du modèle monétaire classique qui est construit sur la base de l'équilibre général des marchés (l'offre égale la demande)!

Le modèle est fondée sur l'association de trois éléments:

- la loi de Say

- le postulat d'homogénéité

- la loi de Walras

La loi de Say décrit l'interdépendance des marchés réels. Le postulat d'homogénéité se rapporte à l'influence des prix monétaires (prix absolus) et la loi de Walras consiste en faità ajouter le marché de la monnaie. Elle tient compte des contraintes budgétaires exprimées par rapport à la monnaie.

LOI DE SAY

Postulat: la demande de biens est égal à l'offre de biens.

On va maintenant mettre en évidence l'interdépendance des marchés à partir de ce postulat. On suppose une économie composée de n biens, nous avons la demande de biens notée , nous avons l'offre de biens notée  et nous avons, enfin, les prix (exprimés par rapport à un autre bien). Selon la loi de Say, nous avons :

L'objectif de cette relation est de montrer l'interdépendance des marchés. Pour cela, il faut faire appel à la demande excédentaire notée  (différence entre l'offre et la demande). On a alors :

Conclusion: s'il y a un déséquilibre sur un marché, il y a un autre déséquilibre de même ampleur sur tous les autres marchés.

Si les agents disposent de dotations initiales; alors on fait l'hypothèse que tout est déterminé par les dotations initiales. On écrit alors:

On écrit alors l'offre excédentaire de la façon suivante:

POSTULAT D'HOMOGÉNÉITÉ

On introduit la monnaie comme unité de compte, cela signifie qu'avec ce postulat, on a d'une part une série de prix relatifs et des prix absolus ou monétaires .

Les variations des prix monétaires n'affectent pas l'équilibre réel. Si tous les prix relatifs varient dans la même proportion, l'équilibre n'est pas modifié et les demandes excédentaires ne sont pas affectées.

Le terme d'homogénéité est emprunté au fait aux mathématiques (de toute façon... qu'est-ce qui ne l'est pas!). Une fonction  est homogène de degré si en multipliant tous ses termes par un même facteur , on obtient .

De cette définition il s'ensuit la propriété remarquable suivante: Dans un marché ou la demande est proportionnelle au prix, les fonctions de demande sont homogènes de degré 1 telles que:

Avec ce que nous avons dit tout à l'heure, nous devrions dès lors avoir une équivalence telle que:

Démonstration: Si tous les prix augmentent de  et qu'il y a un (on peut généraliser à n) nouveau bien sur le marché dont le prix augmente de la même valeur et dont la loi de l'offre et de la demande est également proportionnelle au prix, alors:

L'équilibre n'est donc pas été affecté par la variation des prix monétaires (vous comprenez maintenant que les salaires sont un prix monétaire du travail qui augmente lui aussi proportionnellement).

THEORIE DE L'OFFRE ET DE LA DEMANDE

Dans notre société humaine où il existe une monnaie d'échange (de référence) et des biens persiste un problème qui consiste en la détermination de la valeur monétaire d'un bien. 

La théorie qui doit nous permettre cette détermination doit être, nous le devinons, dépendant d'un grand nombre de facteurs qualitatifs et quantitatifs. C'est une théorie complexe, bien plus que le ne présentent les modèles actuels de l'offre et de la demande.

Mais avant de nous attaquer à l'étude de cette théorie, nous allons par souci de cohérence et de compréhension définir un vocabulaire et des concepts fondamentaux utiles et nécessaires au développement de cette théorie et à sa compréhension.

Remarque importante: certaines des définitions données ici ne sont pas identiques à ce que vous pourrez trouver dans la littérature. Nous en assumons le choix dont l'objectif avoué est d'avoir d'avoir des concepts plus rigoureux et cohérents.

Ainsi:

- La "parité" est le terme utilisé pour chercher l'équivalence des cours étrangers des marchandises en mesures et francs ("monnaie" ou "devise") locaux.

- Le "prix d'achat net", souvent abrégé P.A.N, qui est la valeur monétaire réelle d'un bien à la sortie de la chaîne de fabrique (dit aussi à la "sorite de l'usine") sans intermédiaires cherchant à se procurer un bénéfice sur le bien.

- le "prix de vente brute", souvent abrégé P.V.B., est définit par l'addition des frais des termes suivants sur un bien:

1. "charges directes" (matières premières, ressources matérielles et humaines, ...) 

2. "charges indirectes" (stockage, administration, investissements, mise en vente, ...)

3. "marge sécuritaire" du fabricant ou "bénéfice brut"

et il s'agit de la somme monétaire que doit débourser l'acteur demandeur du bien pour en faire l'acquisition.

Dans le cas où nous prenons en compte les charges (1), nous parlons de "prix net", ou "prix de vente net" abrégé P.V.N (réciporquement P.A.N le que nous avons déjà définit précédemment).

Dans le cas où nous prenons en compte les charges (1), (2) nous parlons alors de "prix de revient de d'achat" abrégé simplement P.R.A. 

Nous constatons que la détermination d'un prix de vente net ou de reveient de vente est fonction du prix d'achat de base augmenté de certaines quantités de frais d'achat, de frais généraux, de bénéfice net et de frais et de frais directs de vent exprimées le plus souvent en pourcentage. Il suffit (règle de trois à nouveau) de chercher par quel nombre on doit multiplier le prix d'achat pour obtenir immédiatement le prix de revient; ce nombre s'appelle "le nombre clé".

Nous pouvons maintenant définir le "bénéfice brut" de la vente par la différence:

Pendant une période comptable, le total des bénéfices bruts réalisés sur les ventes doit permettre de couvrir toutes les charges générales (il s'agit donc d'un facteur à prendre en compte dans notre modèle de détermination de la valeur montéaire du bien) connus et anticipés.

Nous pouvons alors envisager deux cas de figures:

1. Le bénéfice brut est plus grand que la somme des charges générales et charges non prévues (il y aura donc un bénéfice net)

2. Le bénéfice brut est plus petit que les charges générales (il y aura donc un déficit ou perte nette)

La "marge de bénéfice brut" peut être donnée en % du P.R.A (conception comptable) et est définie par la relation:

ou en % P.V.N (conception marketing):

De ce qui a été défini précédemment il découle trivialement que le "bénéfice net" est donné par la partie de la marge sécuritaire qui était prévue pour une période et qui finalement n'a pas été utilisée par les charges imprévues  durant cette période telle que:

Si les ventes sont supérieures aux prévisions et que des quotes-parts de charges générales et imprévues ont été comptés aux clients on parle alors de pour ce supplément imprévu de "boni de suractivité" ce qui augmente bien évidemment le bénéfice net prévu. Dans le cas contraire on parle de "coût d'inactivité partielle" ce qui diminue bien évidemmentle bénéfice net espéré.

- Les acteurs du marché d'échange de bien admettent parfois un "rabais", qui est une réduction de prix motivée par la qualité défectueuse du bien (facteur qualitatif et utilitiaire). On l'utilise également pour un produit défraîchi ou démodé (facteur qualitatif temporel et d'effet de masse). Il existe un autre type de rabais appelé "remise" qui est une bonification de prix accordée soit à un acteur demandeur qui achète par fortes quantités un bien soit à un détaillant auquel on facture un article de marque au prix de vente imposé par le fabricant (facteur stratégique commercial). "L'escompte" ou "ristourne", autre forme de rabais est une déduction consentie à l'acteur demandeur pour paiement au comptant (voir plus loin la théorie des prêts et emprunts) ou pour règlement anticipé ou encore pour paiement à une époque convenue (facteurs stratégique commercial).

echanges

Dans un dynamique d'échange de biens de valeurs monétaire connue et de nature différentes liés par un loi de proportionnalité empirique, les acteurs ont appris à utliser une règle mathématique rigoureuse et connue par un grand nombre d'individus que l'on nomme la "règle de trois" ou "règles des rapports et proportions" ou encore "méthode de réduction à l'unité". 

Cette règle est certainement l'algorithme le plus usité de par le monde qui sert à identifier un quatrième nombre quand trois sont donnés et que les quatre nombres sont linéairement dépendants. 

La règle de trois est est dérivée sous deux versions:

- simple et directe si les grandeurs sont directement proportionnelles

- simple et inverse si les grandeurs sont inversement proportionnelles

Ainsi, lorsque deux variables et sont proportionnelles on le note: 

Supposons maintenant que puisse prendre les valeurs et prendra les valeurs linéairement dépendantes alors:

- le rapport proportionnel:

est simple et directe.

- le rapport proportionnel 

est simple et inverse.

Il suffit que l'on connaisse trois variables sur les quatre pour résoudre une simple équation du premier degré.

Les conversions de monnaies ou d'unités de mesure se font à l'aide de la règle de trois simple directe ou indirecte. Les calculs de parités (calcul prévisionnel fait par un importateur d'un certain pays ayant ses propres unités de mesures et de monnaie, qui recherche parmi plusieurs offres étrangères (dans des systèmes d'unités de mesures et de monnaies qui diffèrent de l'importateur), laquelle est la plus avantageuse ou inversement) se font également avec la règle de trois.

On appelle "règle conjointe simple ou inverse", une série de règle de trois directes ou indirectes.

Dans de tels calculs, les acteurs du marché d'échange ont remarqué que la plupart du temps, les rapport étaient des valeurs proche de l'unité. Ils ont été ainsi naturellement amené à définir "le pourcentage" comme étant la proportion d'une quantité ou d'une grandeur par rapport à une autre, évaluée la centaine (en général):

Soit un nombre  alors sa notation en pourcentage sera: 

Soit un nombre  alors sa notation en pour-mille sera 

CALCULs ACTUARIELS

Dans un dynamique de marché, des acteurs peuvent prêter ou emprunter un capital en contrepartie de quoi ils percoivent ou respectivement versent un intérêt périodique. Cet intérêt se justifie par la prise de risque que prend le créditeur (celui qui prête le capital) relativement au non-remboursement de la totalité ou d'une part du capital intial que doit rembourser le débiteur (celui qui doit rembourser le capital emprunter).

Lorsque un capital est prêté dans le but d'accroître une dynamique de marché (la quantité de circulation de biens sur une durée donnée) nous parlons alors "d'actif financier", ceci pour faire comprendre que le capital participe à l'activitié de l'économie.

On définit le "rendement" d'un actif financier prêté par le rapport de progression:

On dit que le rendement est sans risque si la valeur future de l'actif est parfaitement connue.

Soit un actif  qui peut valoir le rendement (optimiste) futur  avec une probabilité et la valeur (pessimiste) avec une probabilité  ou d'autres valeurs  avec la probabilité  alors l'espérance mathématique du rendement est donnée par:

On définit l'indice simple comme le rapport de deux proportions identiques qui ont évoluées dans le temps. Ce rapport est donc strictement positif ou nul. On calcule l'indice en pourcentages mais on ne dit n'y n'écrit le symbole des pourcentages.

On parle d'indice pondéré quand on calcule l'indice d'un produit ou d'un service qui est lui même composé d'autres services et produits et dont l'indice varie.

Que la somme monétaire soit du type actif où non, les types de rendements applicables sont identiques et variés. Il en existe cependant de grands classique qui ne sont pas stochastiques et connus. Pour leur étude, définissons certaines variables (nous prendrons comme période temporelle, arbitrairement l'année car elle est la plus utilisée):

capital initial,  valeur acquise après n années ,  taux annuel, intérêt produit au bout de n années (horizon),  facteur de capitalisation ,  Facteur d'actualisation

Intéressons nous d'abord brièvement au calcul des taux avant de s'attaquer directement aux calculs des intérêts.

Nous définissons le "taux proportionnel" par le rapport:

Exemple: taux mensuel  proportionnel à un taux annuel  de

Le "taux équivalent" (ou "principe d'équivalence des taux d'intérêts") sera lui donné par la relation (où l'on reconnaît le facteur de l'intérêt composé que nous définirons plus loin):

et inversement:

Exemple: taux   mensuel équivalent à un taux  annuel de

INTERET SIMPLE

L'intérêt "simple" est défini par la relation: 

qui implique:

Nous disons alors que c'est l'intérêt qui est calculé à chaque période seulement sur la base du capital prêté ou emprunté à l'origine.

INTERET compose

L'intérêt composé est lui défini par la relation:  

et implique:

On dit que le taux d'intérêt est "composé" lorsqu'à la fin de chaque période l'intérêt est ajouté au capital pour le calcul de la prochaine période.

Si le taux n'est pas constant dans le temps alors l'intérêt composé s'écrit:

ce qui s'écrit également:

avec et inversement:

Dans un contexte de certitude de l'avenir, on peut sans inconvénient majeur remplacer la séquence des  par leur moyenne géométrique:

Cette dernière relation est ce qu'on appelle un "calcul actuariel". Dans le sens ou il permet de connaître la somme à investir pour obtenir un capital futur donné. Cette notion est très importante car nous la retrouverons dans les calculs des prises de risques.

La capitalisation est donc une mesure de la fréquence avec laquelle l'intérêt s'ajoute au capital en cas d'intérêts composés

Comme nous l'avons vu, l'intérêt composé s'ajoute au capital en fin de période: il est capitalisé. Jusqu'à présent la période considérée était l'année, ma la fréquence peut être plus élevée, et l'intérêt peut venir s'ajouter au capital chaque semestre, trimestre, mois ou même jour.

Etant donnée le principe de l'intérêt composé, plus le nombre de capitalisations par année est grand, plus la valeur accumulée à l'échéance (fin du placement) sera élevée pour un taux d'intérêt donné.

Pour effectuer des calculs pertinents il est donc nécessaire de connaître le type de taux d'intérêt ou de rendement qui est fourni. En effet on peut distinguer:

- le taux périodique mis en relation avec le taux nominal annuel  (taux connus par tout le monde)

- le taux effectif annuel

Soit un taux nominal annuel  et un capital capitalisé par un intérêt fois par année. Le taux périodique est évidemment donné par:

A partir de là on applique le principe d'équivalence des taux de l'intérêt composé (que nous avons déjà démontré précédemment) dans le cas particulier d'une période annuelle:

Exemple: Soit un taux périodique mensuel donné quel est sont taux effectif annuel correspondant?

Jusqu'à présent nous avons parlé de capitalisations par période. Mais les périodes de capitalisation peuvent devenir tellement nombreuses qu'on peut considérer qu'elles tendent vers l'infini (cent années sont équivalents à l'infini pour des financiers), on parle alors de capitalisation continue.

Lorsque k tend vers l'infini, il nous faut donc calculer la limite:

Aussi, la valeur finale d'un placement durant périodes au taux nominal de  capitalisé en continu est de:

et le taux effectif se définit alors par: 

INTERET PROGRESSIF

Supposons que nous disposions chaque mois d'une somme fixe (cas particulier) sur un compte à un taux nominal périodique . 

L'objectif est de déterminer quelle sera la somme que nous aurons capitalisé après périodes.

Démonstration:

La première période nous aurons: 

Le deuxième période nous aurons: 

Le troisième période nous aurons:

etc… jusqu'au mois Y ou nous aurons: 

Nous retrouvons ici un série géométrique typique du genre:

la raison de la suite étant le facteur d'actualisation et l'argument la somme fixe déposée périodiquement.

Sous forme financière cela donne:

Il faut logiquement utiliser un taux périodique correspondant à la fréquence de la périodicité.

De façon identique à précédemment l'on souhaite connaître la valeur actuelle d'un actif financier dont on connaît le retour par période et l'intérêt effectif correspondant. On a alors:

Nous nous sommes intéressés jusqu'à maintenant à des versement fixes en fin de périodes mais regardons maintenant de quoi il en retournerait en début de période (versements précoces). Au fait, par rapport à des versement dits tardifs, tous les termes de la suite seront multipliés par car ils sont placés durant une période de plus. Dès lors, logiquement, nos relations s'écrivent:

THEORIE DU MARCHE DEs VALEURS

La théorie du marchés des valeurs ("Bourse" ou "Stock Exchange" en anglais) est la théorie qui traite des opérations des échanges des emprunts, prêts et capitaux. Cette théorie utilisant énormément les outils mathématiques statistiques il est conseillé d'avoir étudié les chapitres y relatifs au préalable.

La question ici n'est pas de démontrer si la Bourse est un marché utile ou non ou de dire si les financiers sont des gentilles ou méchantes personnes (...) mais de déterminer les propriétés mathématiques de cet dernière.

La majeure partie des économistes exposent l'utilité de la Bourse par le fait que c'est un outil qui permet:

1. pour les entreprises qui veulent investir (donc augmenter leur capital) d'obtenir des fonds,

2. de rendre au plus stable l'économie en la rendant l'économie la plus dynamique et fluide possible

Avant de commencer à s'attaquer à la mathématique pure et dure, il va nous falloir au préalable donner un grand nombre de définitions pour s'habituer au vocabulaire usité par les analystes (accrochez-vous car il y en a un paquet). 

Ainsi, la majorité des transactions boursières concernent:

- "les portefeuilles" qui est l'ensemble des titres qu'un acteur du marché peut détenir. ('ensemble des effets de commerce, des valeurs mobilières appartenant à une personne ou à une entreprise).

- "les titres". Il y en a trois sortes (actions, obligations, options) dont les définitions sont données ci-après. Pour éviter d'avoir à supporter pendant une longue période un intérêt fixe du titre qui peut devenir supérieur au taux normal de l'argent, l'emprunteur se réserve souvent la faculté de rembourser les titres plus tôt. Egalement, il est utile de savoir que lorsqu'une entreprise souhaite émettre des titres, cette dernière devra payer envers l'état, une "taxe d'immatriculation" assez faible par catégorie de titre (en plus de plein d'autres taxes dont les justifications sont complexes et obscures).

- "les obligations" qui sont des papiers-valeurs établissant des droits de créance (capital prêté) et qui rapportent un intérêt fixe (elle est remboursable à une échéance prévue par le contrat). L'intérêt fixe est payable une fois par an, à la jouissance. Le propriétaire de l'obligation détache le "coupon échu" et encaisse la contre-valeur auprès d'une institution prévue pour (lorsqu'une obligation est rachetée au-dessous de sa valeur nominale cotée on parle de cotation "au-dessous du pair"). Autrement dit, les obligations sont aussi des "titres de créance" émis par une société, un établissement public, une collectivité locale ou l'Etat en contrepartie d'un prêt. Les emprunts par obligations peuvent êtres divisés en coupures d'une valeur nominale donnée. L'avantage du placement en obligation est la sécurité du placement : en effet, le rendement est garanti et la mise de fonds est assurée d'être récupérée à l'échéance. Cependant, il existe certains risques : ainsi, si l'émetteur est en faillite, il ne pourra pas ni payer les intérêts ni rembourser l'obligation. C'est ce qu'on appelle le "risque de signature". Mais ce risque peut être évité en choisissant des obligations sûres comme les "obligations d'Etat" ou de sociétés renommées. Le revers de la médaille est la faiblesse des taux alors offerts. Aussi, il y a le "risque de taux" : lorsque les taux d'intérêt augmentent, le cours des obligations anciennes baisse puisque les obligations nouvellement émises sont plus attractives. Inversement, lorsque les taux d'intérêt diminuent, le cours des obligations anciennes augmente car leurs rendements sont supérieurs à ceux des nouvelles obligations.

- "les actions" qui sont des papiers-valeurs reconnaissant des droits de propriétés sur le capital valeur d'une société dite "anonyme". L'action donne à son propriétaire un droit de vote dans les assemblées d'actionnaires, elle rapporte un dividende variable (un part du bénéfice net de l'entreprise). Elle n'est pas remboursable mais toutefois, lors de la liquidation (faillite) de la S.A. (Société Anonyme), l'actif social net est partagé entre les actionnaires, au prorata (avec un vocabulaire plus standard on dirait "en proportion") des actions qu'ils détiennent. On différencie les actions émis "au porteur" négociable sans restriction en bourseet les actions "nominatives" dont la valeur doit être négociée avec des restrictions juridiques complexes qui souvent différent d'un pays à l'autre. On constate que la "valeur côtée", pendant certaines périodes économiques fructueuses, s'écarte beaucoup du "nominal du titre" (valeur marquée sur le titre ou valeur à l'émission). On remarque également sur la place financière que l'amplitude des variations des cours est plus considérable que pour les obligations.

- "les options" qui sont une forme particulier d'un titre, donnant à son détenteur le droit, et non l'obligation d'acheter ou de vendre (selon qu'il s'agit d'une option d'achat "Put" ou de vente "Call") une certaine quantité d'un actif financier (action ou obligation), à une date et à un prix fixé d'avance.

Quelques petites remarques:

- "L'agent de change", qui a effectué une opération boursière pour le compte d'un client, établir à son intention un décompte, appelé "bordereau". Les frais comptés par l'agent de change sont ainsi ajoutés dans un "bordereau d'achat" et déduits dans un "décompte de vente" (rien n'est gratuit dans ce monde là...).

- Le coupon de dividende, variable selon les résultats d'exploitation réalisés par la société anonyme émettrice, est payable chaque année. Le dividende peut être indiqué soit en % du capital versé aux actionnaires, soit en valeur monétaire.

- Le coupon échu d'un titre est payé à son propriétaire sous déduction de d'impôts anticipés. Ainsi, le calcul du coupon net annuel d'obligations à (valeur monétaire) à rendement de :

- L'intérêt couru (I.C) gagné par une obligation depuis sa dernière échéance est déterminé lors d'une vente ou d'un inventaire. Son calcul est donné par:

où l'on définit comme étant le nombre de jours compris entre la date A et la date de jouissance (l'année commerciale étant définie comme ayant 360 jours).

Donc pour obtenir la valeur effective d'une obligation, on ajoute à sa valeur cotée l'intérêt couru depuis la dernière échéance.

Si par exemple, on cherche à calculer la valeur nette de coupons à  dont la valeur nominale vaut dans un pays où il y a un impôt anticipé de . Dès lors on calcule le coupon annuel net à l'échéance (CAN) par la relation:

Contrairement au calcul de l'intérêt couru (IC), le calcul du dividende couru est impossible. Le cours de l'action est toutefois influencé par la date plus ou moins proche du paiement du dividende.

Return on investment

Pour définir l'objectif poursuivi par le possesseur d'actifs financiers (ou autrement dit, d'un portefeuille contenant des titres), on se référera à la motivation économique de tout acte d'investir. Celle-ci consiste concrètement à consentir présentement à une dépense, en vue d'un accroissement de patrimoine espéré dans le futur. 

De deux ou plusieurs stratégies d'investissement, la meilleure au niveau individuel (donc nous ne prenons pas en compte la théorie de la décision) est par conséquent celle qui maximise la capital final de l'investisseur, l'horizon économique de l'opération ayant été préalablement défini. 

En pratique, nous définirons l'objectif de l'investisseur comme consistant à maximiser l'accroissement de sa fortune initiale, quelles que soient les modalités de cet accroissement. Cet accroissement appelé donc "return on investment" abrégé R.O.I ou, plus brièvement, "return" est défini par la relation:

où  est donc le return de l'actif financier pour la période (se terminant au temps) ,  le prix du marché au temps de l'actif financier et  le revenu liquide attaché à la détention de l'actif financier durant la période (se terminant au temps) .

Le revenu est supposé perçu au temps , ou, s'il est perçu entre et , il est supposé ne pas être ré-investi avant le temps . Le prix de marché au temps est une valeur "ex-coupon" c'est-à-dire une valeur enregistrée immédiatement après (le détachement du coupon donnant à) la perception, au temps , du revenu liquide afférant à la période . Sur le plan empirique, l'hypothèse de non réinvestissement jusqu'à la période élémentaire de temps utilisée est courte (un mois maximum), afin d'éviter des distorsions statistiques trop importantes dans le traitement des données chronologiques.

Pour faciliter les comparaisons entres investissements, on utilise une mesure exprimée en termes relatifs: le taux de rentabilité ou "rate of return".

où est le taux de rentabilité pour la période .

Remarque: Le choix du terme "return" qui sera utilisé systématiquement par la suite, n'est en rien motivé par une quelconque anglomanie, mais par le souci d'éviter le terme ambigu de rendement, souvent utilisé par les praticiens pour désigner le rapport . Ce dernier, dénommé "dividend yield" lorsqu'il s'agit de parts sociales, est un substitut bien imparfait d'une mesure correcte de la rentabilité puisqu'elle compare le revenu liquide (cash dividend) au prix possible de sortie, sans tenir aucun compte du prix d'entrée en début de période.

TITRES

Si nous espérons un certain return d'un actif financier (titre), il faut pouvoir déterminer si possible avant son acquisition, la dynamique de la valeur de ce dernier. Ce type d'analyse fait appel à un grand nombre d'outils que nous avons démontré dans le chapitre de probabilité et statiques du site. Nous ne reviendrons donc pas sur le détail des développements.

Ainsi, rappelons que la moyenne arithmétique d'un échantillon de valeurs est donnée par ( étant bien évidemment le nombre de valeurs dans le portefeuille):

et que le rendement moyen (ou "rendement simple") d'un titre  est donné par:

et soit une petit rappel sur la moyenne pondérée:

avec  le poids de la valeur et  la i-ème valeur présente dans l'échantillon. Alors, le rendement d'un portefeuille  est donné par:

Evidemment, l'espérance mathématique de rendement d'un titre  est donnée par:

avec  étant le rendement du titre  dans le cas de figure  et  la probabilité du cas de figure .

Donc, l'espérance de rendement d'un portefeuille est forcément donnée par:

avec  la proportion du portefeuille investie dans le titre .

Nous avons démontré également au chapitre de probabilités et statistiques du site que la variance sur la base d’un échantillon est donnée par :

Ainsi, la variance  d’un titre  ayant un rendement moyen  est :

et puisque la variance d’une variable discrétisée est définie par :

alors la variance probabilisée d’un titre est donnée par :

Rappellons que la covariance est définie par:

GOODWILL

La mise en œuvre d'un capital financier pour permettre la réalisation d'opérations d'économie réelle, c'est-à-dire le fait de consacrer, directement ou indirectement, ce capital financier à l'acquisition ou à la constitution de moyens de production, au sens le plus large de ce terme, peut donc produir à travers le temps des retours d'argent sous la forme de flux de liquidités ("cash flows").

Le calcul actuariel permet de construire formellement le "critère de décision"; en effet, on définit la prise de risque par le "Goodwill" comme étant donné par la relation:

Le deuxième terme à droite de l'égalité nous est connu (nous l'avons vu lors de notre étude du calcul actuariel). Il nous donne l'investissement initial à effectuer à un pourcentage donné pour avoir un retour sur investissement avec  étant la dépense initiale d'investissement,  flux de liquidité ou cash flow de la période ,   taux d'intérêt annuel moyen (géométrique du marché),  l'horizon de l'opération (nombre de périodes) et  le Goodwill ou "quasi-rente actualisée" ou "valeur actuelle nette" (V.A.N) de l'opération

Si:

A la formulation du critère de décision telle qu'elle vient d'être présentée, nombreux sont ceux, notamment les praticiens qui préfèrent la méthode dite du taux interne de rentabilité (internal rate of return). Celle-ci n'est en apparence qu'une variante de la première formulation. Elle consiste à calculer un taux généralement symbolisé par la lettre grecque , qui annule la valeur du Goodwill:

Si:

On voit que le taux interne de rentabilité intervient dans le processus de décision de manière à première vue équivalente à celle dont il est utilisé dans le calcul d'une valeur actuelle nette. En outre, l'expression du résultat du calcul est indéniablement plus parlante que le montant absolu (Goodwill) obtenu dans la première formulation. On inclinerait donc à adopter la seconde formulation si celle-ci ne présentait, à l'examen approfondi, l'inconvénient majeur que le calcul du taux interne de rentabilité comporte dans certains cas plusieurs solutions. La relation est en effet une équation polynôme dont on a démontré en algèbre qu'elle a autant de racines que le polynôme présente de changements de signe.

RISQUE D'UN PORTEFEUILLE

Même si l'on peut calculer le Goodwill d'un investissement, il faut prendre d'autres paramètres en compte relativement à la façon dont on répartit l'investissement plutôt que de se focaliser un type de titres émis dont on connaît la dynamique aussi mal (ou aussi bien selon le point de vue) que n'importe quel autre type.

Ainsi, pour gérer de manière optimale un portefeuille d'actifs financiers, deux principes sont fondamentaux. Malheureusement, nombre d'investisseurs ont tendance à les oublier. La première règle de base est la suivante : sur les marchés financiers, tout a un prix. Ce prix, c'est le risque. La seconde est qu'il ne faut jamais mettre tous ses œufs dans un même panier. Autrement dit, il faut diversifier son portefeuille, répartir le risque.

Les investisseurs distinguent trois sortes de risques:

- le "risque spécifique" relatif (implicite) au titre lui-même

- le "risque systématique" relatif à l'économie au sens le plus large (bruit de fond)

- le "risque global" qui est la somme des deux risques précédents

Pour diminuer ces risques il existe plusieurs solutions dontles plus triviales sont:

1. La diversification qui limite le risque global d'un portefeuille au risque systématique

2. La couverture du portefeuille qui permet de se prémunir contre le risque systématique. La stratégie de couverture de portefeuille est assez simple : le Put (que nous avons déjà défni précédemment) prend de la valeur lorsque son sous-jacent baisse. Si l'on possède l'action sous-jacente dans son portefeuille et que l'on pense qu'elle va baisser à court terme, on peut, en achetant le Put sur l'action, éviter une perte de valeur du portefeuille. En effet, le Put prendra de la valeur si l'action baisse, et vice-versa. La valeur du portefeuille restera donc stable.

Comme vous l'aurez deviné, le facteur risque est plus difficilement quantifiable. L'élément qui aidera à le déterminer est la volatilité de l'actif financier sur le marché . Un actif financier dont le cours fluctue souvent présente un risque élevé. 

La volatilité peut être estimée grâce à la variation quotidienne du cours de l'actif financier, convertie en pourcentage annuel. Souvent, on ne pourra toutefois pas mesurer précisément la volatilité de l'actif financier mais l'écart entre son évolution et celle du marché. Ce calcul sert à obtenir le coefficient bêta. Il est particulièrement utilisé pour les actions.

COEFFICIENT BETA

Le coefficient bêta mesure la sensibilité moyenne et passée entre le rendement d'un portefeuille et le rendement du marché:

Le coefficient bêta est fonction de la période et de la fréquence d'observation. Il est d'autant plus utile que l'horizon de prévision futur est éloigné et que la fréquence d'observation est petite. 

Remarque : c'est William Sharpe qui a introduit ce coefficient dans le domaine de l'économétrie dans sa tentative réussie d'amélioration du modèle de portefeuille de Markowitz.

La droite de régression (nous avons vu dans la section d'analyse numérique comment calculer des régressions linéaires) est la droite la plus proche de l'ensemble des points, c'est celle qui minimise la somme des écarts entre les points et la droite. La pente de la droite représente le coefficient béta.

Un coefficient bêta égal à 1 pour un titre donné signifie qu'une augmentation (diminution) de 10 % du return des titres sur le marché pendant une certaine période se traduira par une augmentation (diminution) de 10 % en moyenne du rendement de ce titre. Un bêta supérieur à 1 signifie que l'évolution du return de l'actif financier est plus volatile (ou plutôt, était volatile, puisque ce coefficient se réfère généralement à une période passée) que celle du return du marché, tandis qu'un bêta inférieur à 1 révèle l'inverse. Un investissement ne présentant aucun risque afficherait donc un bêta nul. 

Le bêta global d'un portefeuille est déterminé à partir des bêta pondérés respectifs de chacun des titre ou bêta sous-jacents qui le composent (au même titre que l'espérance mathématique) tel que:

avec  étant le bêta du portefeuille global,  la proportion du titre  dans le portefeuille ,  le bêta du titre  et  le nombre de titres présents dans le portefeuille.

avec .

Alors, la covariance entre deux titres  et  est donnée par :

OPTIONS

Nous avons déjà défini basiquement lors de l'introduction à la théorie du marché des valeurs ce qu'était une option. Nous allons maintenant donner d'autres définitions relativement à ce genre de titres qui seront absolument nécessaires pour comprendre de quoi il retourne.

Ainsi:

- la valeur d'assurance : consiste en la projection du risque dû aux fluctuations du marché. Il est donc évident que cette projection de risque requiert le paiement d'une prime (tout comme une compagnie d'assurance). L'évaluation du prix d'une option (la prime) dépend en grande partie de cette notion.

- la valeur de levier : c'est la variation de valeur dont bénéficie l'option avec une certaine probabilité.

- La prime : c'est le prix de l'option, autrement dit le montant payé par l'acheteur d'option à son vendeur. La prime est cotée dans la devise de la valeur de base, sur laquelle est portée l'option.

- l'actif sous-jacent, sur lequel porte l'option: dans la pratique, il peut s'agir d'une action, d'une obligation, d'une devise etc.

- le montant : c'est-à-dire la quantité d'actifs sous-jacent à acheter ou à vendre.

- l'échéance ou date d'expiration, qui limite la durée de vie de l'option; si l'option peut être exercée à n'importe que instant précédant l'échéance, on parle "d'option américaine", si l'option ne peut être exercée qu'à l'échéance, on parle "d'option européenne". Une option non exercée est considérée comme "abandonnée (perdue)".

- le prix d'exercice ou prix de base (striking price) : qui est le prix (fixé d'avance) auquel se fait la transaction en cas d'exercice de l'option. Généralement il y a au minimum 3 à 5 prix d'exercice différents (un en-dessus du marché, un en-dessous, le troisième qui se trouve entre ces deux - nous reviendrons là-dessus) par classe d'option. Ils sont en général des chiffres ronds et à intervalles réguliers.

L'options sous forme traditionnelle représente un lien contractuel entre un acheteur et un vendeur qui décident à leur convenance de fixer chaque élément de ce contrat, à savoir: le prix de base, la date d'échéance, la prime ainsi que le volume de la transaction.

La particularité des options (d'où sont intérêt) réside dans le fait qu'au contraire de tous les autres instruments financiers, les droits et obligations des acheteurs et vendeurs ne sont pas les mêmes.

L'acheteur d'un contrat à terme, par exemple, s'engage à acheter la valeur de base et le vendeur s'engage à vendre cette valeur. Alors que ce n'est pas tout à fait le cas dans les options:

L'acheteur d'un option (call/put) se réserve le droit (mais sans engagement) d'acheter/de vendre la valeur de base alors que le vendeur d'une option (call/put) s'engage à livrer/prendre livraison de la valeur de base.

Après toutes ces définitions, voyons un petit exemple concret:

Imaginons le cas d'une action valant actuellement 1000.- (peu importe la devise) et qu'elle soit supposée augmenter de 12% en une année.

Imaginons aussi que notre investisseur à l'alternative d'acheter l'action à 1000.- ou d'acheter l'option Call à un prix d'exercice de l'action de 1000.- (donc supposé égal au prix de l'action, ce qui n'est pas nécessairement toujours le cas) pour une prime de 40.- (nous verrons plus tard comment calculer les primes). Evidemment, l'investisseur peut pour 1000.- acheter 25 options Call plutôt qu'une seule action.

La question est de trouver l'investissement le plus intéressant:

Ainsi, une augmentation de 120.- dans le cas de l'achat d'une action représente un retour sur investissement de 12% par année, alors que l'achat d'une option Call aura un retour sur investissement de 80.- (120.- de gains sur le prix de vente moins 40.- de la prime payée) soit de 200%.

MODÈLE DE MARKOWITZ

Les travaux de Markowitz ont constitué la première tentative de théorisation de la gestion financière et son modèle suggère une procédure de sélection des titres boursiers, à partir de critères statistiques, afin d’obtenir des portefeuilles optimaux. Plus précisément, Markowitz a montré que l’investisseur cherche à optimiser ses choix en tenant compte non seulement de la rentabilité attendue de ses placements, mais aussi du risque de son portefeuille qu’il définit mathématiquement par la variance de sa rentabilité. Appliquant des théorèmes classiques du calcul statistique et des techniques probabilistes, Markowitz a ainsi démontré qu’un portefeuille composé de plusieurs titres est toujours moins risqué qu’un portefeuille composé d’un seul titre, quand bien même il s’agirait du moins risqué d’entre eux. Le « portefeuille efficient » est le portefeuille le plus rentable pour un niveau de risque donné. Il est déterminé par application de méthodes de programmation quadratique.

Rappel : tout investissement est une décision prise dans une situations de risque: le return d'un actif financier pour tout période future est par conséquent une variable aléatoire dont on fait l'hypothèse qu'elle est distribuée selon une loi normale (voir le chapitre de probabilités et statistique dans la section d'arithmétique du site).

Entre 2 portefeuilles (ensemble d'actifs) caractérisés par leur rendement (supposé aléatoire), on retient:

- à risque identique celui qui a l’espérance de rendement la plus élevée

- à espérance de rendement identique, celui qui présente le risque le plus faible

Ce principe conduit à éliminer un certain nombre de portefeuilles, moins efficients que d’autres.

Soit  le rendement du portefeuille composé de n actifs caractérisés par leur rendement respectif . On pose, en outre, que chaque actif i entre pour une proportion X_i dans la composition du portefeuille P tel que:

Donc:

Les return des différents actifs financiers ne fluctuent pas indépendamment les uns des autres: ils sont corrélés ou, ce qui revient au même, ont des covariances non nulle:

Dès lors on peut définir l'espérance du rendement du portefeuille par la relation:

et la variance par (voir les propriétés de la variance dans le chapitre des probabilités et statistique de la section d'arithmétique du site):

étant donné que la covariance est symétrique:

 et que

Nous pouvons écrire:

Sélectionner un portefeuille revient à choisir celui tel que  soit maximal et  soit minimal.

Il s’agit donc d’un problème de maximisation d’une fonction économique sous contrainte (voir la section d'analyse numérique du site au chapitre traitant des algorithmes). La frontière qui caractérise le polygone des contraintes  s'appelle dans cette situation la "frontière efficiente" et dans le polygone se situent tous les portefeuilles à rejeter ou "dominés".

Soit Z cette fonction économique.

qui doit être maximisée sous la contrainte que où  est un paramètre qui représente le degré d’aversion au risque des investisseurs. En d’autres termes, il s’agit du taux marginal de substitution du rendement et du risque qui exprime dans quelle mesure l’investisseur est d’accord pour supporter un risque accru en contrepartie d’un accroissement de son espérance de rendement.

Le problème de maximisation sous contrainte consiste à déterminer le maximum de la fonction économique Z définie par:

Cette fonction de  variables () est maximisée si sa dérivée (partielle) par rapport à chacune de ces variables est nulle, ce qui revient à poser le système suivant:

Posons:

Nous pouvons alors écrire:

soit sous forme d'application linéaire:

Soit désormais:

 et

Dans ce cas, le système d’équations à résoudre peut se résumer sous la forme:

Par conséquent:

La détermination du poids de chacun des n actifs susceptibles d’entrer dans la composition d’un portefeuille passe donc par l’inversion d’une matrice carrée de  lignes et colonnes.

MODÈLE de sharp

L'utilisation du modèle de Markowitz, tel qu'il le proposait dans son ouvrage de 1959, soulevait de nombreux problèmes dès qu'il s'agissait d'utiliser des algorithmes à partir d'une liste de base comportant un nombre élevé de valeurs. Ces problèmes étaient de deux ordres:

1. L'ampleur de la matrice des covariances requérait à l'époque une calculateur de grande capacité et un temps de calcul assez long!

2. L'utilisation du modèle de base requérait que l'on connaisse dans son entièreté la matrice des covariances. Il fallait donc demander à l'analyse financier d'estimer la corrélation des returns pour chaque paire de valeurs, ce qui, pour un problème à 100 valeur, représente 4'950 estimations à fournir (33 minutes de calcul sur un IBM 7090), en plus des valeurs de l'espérance du return et def la variance de la distribution de probabilité du return pour chacune des valeurs. Le principal problème qui se pose à ce propos ne réside pas tant dans le nombre des estimations à fournir que dans la difficulté de réaliser des estimations précises et surtout cohérentes. Ce problème se pose de manière particulièrement aiguë lorsque l'analyste anticipe un série de "discontinuités" qui lui interdisent de procéder par extrapolation pure et simple des données historiques.

Si l'on voulait que l'approche proposée par Markowitz puisse entrer dans le domaine de l'application, il fallait de toute évidence trouver le moyens d'alléger notablement la procédure tout en perdant le moins possible de la rigueur de la méthode.

En 1963, William Sharpe a proposé une solution dont la caractéristique essentielle consiste à faire l'hypothèse que les returns des diverses valeurs sont exclusivement liés entre eux par leur commune relation avec un facteur de base sous-jacent.

Ce hypothèse purement empirique appelée "modèle à un indice" ou "modèle unifactoriel" a revêtu par la suite une importance considérable, car elle a été, comme on le verra dans les développements ultérieurs, à la base de la théorie de la formation des prix des actifs financiers dans un univers incertain.

En considérant la même hypothèse que dans le modèle de Markowtiz, à savoir un portefeuille dont le rendement  est défini par:

Sharpe suppose le rendement  de chaque actif i est donné par:

-  sont des estimateurs linéaires non biaisés des paramètres propres à cette valeur.

- I est le niveau d'un indice économique donné (indice boursier, indice du produit national brut, indice des prix,…)

-  une variable aléatoire caractérisée par: , ,

Quant au niveau de l'indice I, il est définit par la relation:

où  est un paramètre,  une variable aléatoire caractérisée par ,

Dans ce cas:

où  est la composante spécifique du return, où n'interviennent que des facteurs propres à i.  est la composantes systématique du return ou de liaison stable de celui-ci à l'indice via le coefficient de régression (que nous avons déjà défini précédemment - mais historiquement c'est William Sharpe qui a introduit l'utilité du coefficient bêta).

Dès lors :

Soit:

Dans ce cas, comme :

Finalement:

De même:

Or, la variance d’une constante (comme ) est égale à 0.

En outre, notons:

De plus on sait que:

Dès lors:

car

Finalement:

Dans ce contexte le problème revient toujours à maximiser la fonction économique Z:

Autrement écrit:

Le calcul de chacune des dérivées partielles s’écrit alors:

soit sous forme matricielle:

MODELE DE BLACK & SCHOLES

C'est au génie de trois célèbres mathématiciens que le marché des dérivés doit son succès, grâce à la formule Black & Scholes conçue dans les années 1970. Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton sont les ancêtres d'une génération de produits dérivés sophistiqués, donnant droit de cité à tout un lexique de termes aussi exotiques que Butterflies, Rainbows, Knock-in, Knock-out, Barrières, Swaps, Calls, Puts, Baskets, Swings. D'un millier d'options échangées le jour de son ouverture en 1973, le marché des options de Chicago en traitait un million chaque jour en 1995.

Le but des des développements qui vont suivre n'est pas de prédire la valeur des actions dans le temps car cela est impossible formellement à cause du trop grand nombre de facteurs dont il faudrait prendre compte. Nous allons dans ce qui va suivre, déterminer à partirs d'éléments du passé quelle est la possible variance, l'écart-type et la distribution de probabilité d'une action et non son prix exact ! 

La modélisation du cours des actions utilisée notamment dans le cadre de la détermination de la principale formule de valorisation des options (Black & Scholes) repose sur l’utilisation du calcul différentiel stochastique.

L'approche de Blach et Scholes suppose que l’évolution du cours de l’action définit un mouvement brownien géométrique (dans le sens que les mouvements possibles du prix tendent vers l'infini) et que son rendement définit un processus de Wiener généralisé (concept que nous allons définir un peu plus loin).

HypothesE efficiente du marche

Le modèle de Black & Scholes se base sur le postulat que le marché est "efficient". 

Définition : un marché efficient (efficient market hypothesis en anglais... - abrégée E.M.H) est un marché où les prix reflètent complètement toute l'information disponible. Ainsi, si le marché est efficient, il n'est pas possible de faire des profits anormaux.

On peut distinguer trois types de marché efficient qui sont fonction du type d'information disponible:

2. L'hypothèse de marché efficient en "forme semi-forte" établit que les prix reflètent toute l'information publique disponible.

Plusieurs études ont essayé de tester l'hypothèse de l'efficience des marchés des actifs. Pour tester la forme faible de l'hypothèse, on a utilisé l'analyse des séries temporelles en testant spécifiquement l'hypothèse d'une marche au hasard (mouvement brownien - nous y reviendrons). Plus spécifiquement ces tests ont essayé de tester si les accroissements des prix sont indépendants des accroissements passés. Si l'hypothèse d'une marche au hasard est rejetée, alors le marché n'est pas efficient, car les accroissements de prix passés pourraient aider à anticiper les prix futur des actifs. L'évidence empirique soutient l'hypothèse de marché efficient en forme faible. Pour tester la forme semi-forte de l'hypothèse, on a évalué la vitesse d'ajustement des prix de marché à l'arrivée de nouvelle information; l'évidence en faveur d'un rapide ajustement des prix de marché est dominante. La forme forte de l'hypothèse de l'efficience des marchés, consiste à tester s'il est possible de profiter sur la base d'information privilégiée (information accessible à un petit groupe des agents économiques). Etant donné qu'on ne peut pas identifier l'information non publique, un type de test de forme forte considère l'examen de la performance d'investissement des individus ou groupes qui pourraient avoir de l'information privée. Elton et Gruber (1984) signalent que l'analyse de la performance des fonds mutuels, après déduction des coûts, soutient la forme forte de l'efficience.

Ceci implique dont les hypothèses suivant pour résumer en gros :

- l'histoire passée du cours de l'action est complétement réfléchie dans le prix présent qui ne contient lui pas d'autres informations sur l'action

- le marché réponde immédiatement à toute nouvelle information sur le prix d'une action

Le paradoxe du postulat des marchés efficients tient à ce que si chaque investisseur pensait vraiment que le marché était parfaitement efficient, alors personne n'étudierait les sociétés, leurs bilans, etc. Il suffirait d'acheter de l'indice. En vérité, les marchés efficient dépendent d'individus actifs sur le marché parce qu'ils pensent que ce marché est "inefficient" et qu'ils peuvent faire mieux que le marché !

Ce postulat est source de beaucoup de débats dans le domaine...

Remarque : avec les deux hypothèses précédement énononcées, tout changement non-anticipé dans le prix de l'action est appelé un processus de Markov. 

Rappel : un processus de Markov est un processus dont l'évolution future  ne dépend de son passé qu'à travers son état à l'instant. Or, le cours d'une actionn'est vraisemblablement pas un processus de Markov : la "mémoire" du processus est probablement plus longue (par exemple une tendance saisonnière)

PROCESSUS DE WIENER

Soit la variation de la valeur d'une action sur un petit intervalle de temps noté .

Nous posons que  avec :

 et

où rappelons-le, est la notation de la loi normale centrée réduite telle que nous l'avons établi dans le chapitre de statistiques et probabilités de la section d'arithmétique.

Il est alors possible de caractériser  à l’aide de son espérance :

effectivement, rappelons-que pour la loi normale centrée réduite nous avons : .

Nous pouvons également caractériser  à l’aide de sa variance :

d'où :

effectivement, rappelons-que pour la loi normale centrée réduite nous avons : .

Finalement :

La propriété qui vient d’être établie reste valable pour un grand intervalle de temps noté correspondant à  petits intervalles . En d’autres termes .

Dans ce contexte, il convient de remplacer  par . Or :

Comme dans l’hypothèse d’une évolution du cours sur un petit intervalle de temps, il est possible de caractériser  à l’aide de son espérance et de son écart type :

Rappelons la propriété démontrée de la variance :

Nous retrouvons alors, pour un grand intervalle de temps  :

Il est également possible d’écrire que :

Si  tend vers 0 (ce qui revient à considérer une subdivision du temps  en intervalles extrêmement petits)  le cours de l’action subit sur la période  un nombre infiniment grand de variations. En d’autres termes, le processue d’évolution du cours de l’action est continu, ce qui conduit à remplacer par , par  et  par .

Dans ce cas, nous obtenons :

ce qui définit un "processus de Wiener" (nous reviendrons là-dessus lorsque nous aurons établi l'équation différentielle stochastique).

MOUVEMENT BROWNIEN

Dans ce cas, l’évolution du cours dépend non seulement d’un processus aléatoire, mais également d’un paramètre de tendance centrale, ou "drift" noté a ci-après :

avec toujours :

 et

Sur un petit intervalle de temps , le processus, en temps discret s’écrit bien évidemment :

Dans ce cas, nous avons :

dans la mesure où seule  a une composante aléatoire.

Ainsi :

Finalement :

En subdivisant une période  en  intervalles de temps  (soit ), la variation du cours devient sur cette période  :

Dès lors :

Finalement :

ou encore :

PROCESSUS D'ITO

Considérons maintenant un processus correspondant à une variation de  en temps continu définie par :

et  étant alors des fonctions des 2 variables  et . Cette considération est ce que nous appelons un "processus d'Ito".

Il est possible de calculer l’espérance et la variance de  exactement de la même façon à celle que pour le processus de Wiener et nous obtenons très facilement par analogie   :

Par conséquent nous pouvons écrire :

où correspondant au drift instantané et  à la variance instantanée.

Le "mouvement brownien géométrique" qui permet de définit théoriquement la meilleure prédiction d'évolution du rendement d’une action est un cas particulier de processus d’Ito où nous supposons que :

   et   

Dès lors nous pouvons écrire l'expression du mouvement brownien géométrique de la valeur de l'action noté :

Remarquess :

R1. Dans la littérature, le return est parfois noté (notation justifiée) sous la forme de "l'équation différentielle stochastique" suivante :

où est bien évidemment le prix de l'action au temps .

Au cas où (processus de Wiener, autrement dit la prix de l'action est parfaitement connue à un temps donné), nous nous retrouvons avec une équation différentielle (connue dans le domaine) que nous pouvons de suite résoudre :

R2. Dans la littérature financière,  est appelé la "dérivation" et  "la volatilité".

Nous allons établir maintenant à l'aide du "lemme d’Ito", qu'il est possible (ce qui n'est pas une possibilité unique!) d’établir qu’un tel processus peut définir une loi log-normale.

Le lemme d’Ito est établi à partir de la formule de Taylor à 2 variables  et  définie par :

avec à l'origine du mouvement brownien.

En considérant , et en prenant les termes que jusqu'au deuxième ordre (approximation formelle périlleuse mais numériquement non obligatoire à l'aide de la puissance de calcul des ordinateurs), nous avons :

Revenons maintenant à  :

Elevons au carré, nous obtenons :

Or :

et comme nous l'avons démontré en probabilités et statistique:

Nous avons alors :

Donc :

Par ailleurs :

qui tendent tout deux vers 0 quand tend vers 0.

Par conséquent :

En considérant une subdivision du temps en intervalles  extrêmement petits qui implique , donc en se plaçant en temps continu (donc un modèle continu), l’application de la formule de Taylor peut alors s'écrire:

Remarque : comparer la forme de la dernière égalité à la relation

Si nous observons que le return suit une loi du type :

Dès lors :

Dans ce cas :

En revenant à l’hypothèse de mouvement brownien géométrique, nous savons que nous devons considérer que :

 et

Nous avons donc :

et nous obtenons finalement l'équation différentielle stochastique à coefficient constants :

Remarque : se rappeler que nous somme partis de la relation

définit alors un mouvement brownien avec drift particulier dont nous pouvons maintenant mesurer les paramètres (c'est ce que nous voulions obtenir). Par conséquent, les résultats que nous avions obtenu pour le mouvement brownien peuvent êtres récupérés et nous permettent d'écrire :

ce qui revient dire que  suit une loi log-normale de paramètres et .

Nous avons donc obtenu une formulation (sous forme de fonction de distribution probabiliste) d'une variation temporelle et du return intrinsèque d'une action qui peut être utilisé à des fins décisionnelles d'investissements sur une prévision temporelle donnée (nous devions absolument éliminer la variable intrinsèque  des paramètres de la fonction de distribution puisque cette dernière est en pratique impossible à déterminer à cause du trop grand nombre de facteurs du marché et qu'elle est justement… la valeur que l'on cherchait à déterminer).

Critique : deux prétentions de la formule de Black-Scholes sont que le  est une variable aléatoire normalement distribuée et que les prix de l’action (Stock) ne s'affectent pas avec le temps. Cependant, un des propriétés principales des données de série chronologique (time-series data) est justement que la variance est auto-régressive (autrement dit : "corrélée").

Il existe d'auters modèles que le log-normale mais celle-ci de par sa facilité est la plus répandue. Il faut cependant encourager d'autres méthodes plus généraliste, numériques et d'autres modèles que ne manqueront pas de développer des mathématiciens.

EQUATION DE BLACK AND SCHOLES

Nous avons obtenu lors des développements précédents, sous la contrainte d'une loi log-normale et d'un mouvement brownien, l'équation différentielle suivante pour la marche aléatoire de la valeur de l'action :

Si nous construisons maintenant un portefeuille consistant en une option et un nombre  d'actions sous-tendantes. La valeur du portefeuille est alors exprimée par :

Le différentiel temporel du portefeuille s'écrit alors :

Vous remarquerez que nous supposons constant (et négatif) le nombre  durant le différentiel de temps.

En réunissant les relations précédentes et (nous adoptons ici la notation traditionnelle usitée dans le domaine de l'économétrie où) :

nous trouvons pour la valeur du portefeuille l'équation différentielle suivante :

Considérons maintenant que   est lié par la relation de dépendance spéculative (dont nous prenons la valeur entière) :

Nous pouvons alors écrire :

Or, nous avons également :

En substituant maintenant le deux relations :

dans :

Nous obtenons :