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ANALYSE DES SÉRIES TEMPORELLES (A.S.T)

Contrairement à l'économétrie traditionnelle, le but de "l'analyse des séries temporelles" (A.S.T.) n'est pas de relier des variables entre elles, mais de s'intéresser à la dynamique d'une variable dans le temps pour découvrir certaines régularités afin de pouvoir extrapoler ou d'établir des prévisions sous réserve de l'hypothèse qu'on puisse relier une observation à celles qui l'ont précédée. Avec une analyse fine, il est même possible d'établir des prévisions "robustes" vis-à-vis de ruptures brusques et de changements non-anticipables.

Remarque: Ce domaine est un souvent appelé "Business Intelligence" dans les entreprises (il s'agit d'une sous-famille en réalité). Une variable analysée sous forme d'A.S.T. sera elle appelée un "Indice de Performance Clé" (IPC) et un ensemble d'IPC un "tableau de bord".

Définition: Une "série temporelle à temps discret" ou "série chronologique à temps discret" (plus rigoureusement on devrait parler de "suite"!) est une suite d'observations

d'une variable y à différentes dates t. Habituellement l'espace de base de t est dénombrable, de sorte que

. Le tout étant noté:

Attention! On différencie de façon importante les modèles qui prédisent des valeurs réelles de ceux qui doivent prédire des valeurs purement entières (données de comptage). À ce jour, le contenu de ce site Internet ne traite que des modèles particulièrement adaptés aux variables continues.

Une série temporelle est donc toute suite d'observations correspondant à la même variable: il peut s'agit de données macroéconomiques (le PIB d'un pays, l'inflation, les exportations), microéconomiques (les ventes d'une entreprise donnée, son nombre d'employés, le revenu d'un individu, ...), financières (le CAC40, le prix d'une option d'achat ou de ventre, le cours d'une action), météorologiques (la pluviosité, le nombre de jours de soleil par an...), politiques (le nombre de votants, de voix reçues par un candidat...), démographiques (la taille moyenne des habitants, leur âge...).

En pratique, tout ce qui est chiffrable et varie en fonction du temps peut être analysé relativement pertinemment sous forme de AST tant que la personne qui manipule le modèle sait ce qu'elle fait (ce qui est rare dès qu'on sort du domaine public et étatique...).

Ainsi en finance on utilise ces modèles pour modéliser les rendements mais aussi la volatilité (écart-type) et la VaR. Bref, il n'y pas vraiment de limites à l'application.

La dimension temporelle est ici importante car il s'agit de l'analyse d'une chronique historique: des variations d'une même variable au cours du temps, afin de pouvoir en comprendre la dynamique. On représente en général les séries temporelles sur des graphiques de valeurs (ordonnées) en fonction du temps (abscisses). Une telle observation constitue un outil essentiel qui permet au modélisateur ayant un peu d'expérience de tout de suite se rendre compte des propriétés dynamiques principales, afin de savoir quel test statistique pratiquer. La figure précédente montre différentes séries temporelles à titre d'exemples.

1. La "tendance séculaire à long terme" ou "trend". Elle correspond à un mouvement conjoncturel non saisonnier qui traduit l'évolution à long terme de la variable mesurée.

2. Les "variations saisonnières" sont des fluctuations périodiques qui se produisent régulièrement (périodiquement: jours, mois, trimestres ou années).

3. Les "aléas" ou "variations résiduelles/accidentelles" sont des fluctuations de type aléatoires, en général de faible amplitude.

D1. Les séries qui oscillent autour de leur moyenne sont appelées "séries stationnaires" (nous verrons une définition rigoureuse un peu plus loin).

D2. Les séries qui semblent croître ou baisser sur l'ensemble de l'échantillon observé sont appelées des "séries tendancielles" et leurs moyennes ne sont pas constantes.

D3. Les séries qui ne sont ni stationnaires ni tendancielles haussière ou baissière à long terme sont appelées "séries non-stationnaires" ou "séries aléatoires" ou encore "séries stochastiques". T out processus dont l'évolution temporelle peut être analysée en termes de probabilité est donc dit "processus stochastique".

D4. Les séries qui présentent une périodicité (fluctuation) régulière sont appelées "séries saisonnières". Régulièrement, les séries stationnaires sont des séries tendancielles avec une composante périodique.

D5. Les séries qui semblent saisonnières ou semblent avoir une composante saisonnière mais dont la périodicité est variable, sont appelée "séries cycliques".

Soit

une valeur de la série,

sa composante tendancielle,

sa composante saisonnière et

sa partie aléatoire, nous définissons:

où nous avons donc que la composante saisionnière est liée à la composante tendancielle (à l'opposé du modèle additif où la composante saisonnière est la même d'un multiple de périodes à l'autre).

Les caractéristiques de ces graphiques sont toutes modélisables et analysables dans le cadre de l'analyse des séries temporelles. Il existe pour cela des outils plus ou moins complexes dont certains ne peuvent être mis en doute et dont d'autres sont des modèles heuristiques qu'il faut savoir manipuler et utiliser avec précaution.

Dans le texte qui va suivre, nous allons nous intéresser qu'aux modèles élémentaires accessibles sans une artillerie mathématique lourde.

L'humilité dans le métier de prévisionniste est cependant de mise pour accepter l'erreur de manière récurrente, tout en cherchant à améliorer la qualité de ses prévisions (ventes, volatilité des marchés, corrélation d'actifs, etc.) et l'identification des composantes non aléatoires des phénomènes. Il convient de se rappeler des 4 critères suivants:

1. Les prévisions sont très généralement inexactes. Il faut donc un écosystème robuste pour réagir rapidement à l'imprévu (savoir que l'on ne peut pas prévoir, ne signifie pas que l'on ne peut pas tirer profit de l'imprévisibilité) ce ce d'autant plus que certains multinations (dont je vais taire le nom... demandent des projections sur 20 mois!!!).

2. Une bonne prévision est plus qu'une valeur numérique. Puisque les prévisions sont généralement inexactes, une bonne prévision doit également inclure une mesure de l'erreur anticipée pour la prévision

3. Les prévisions agrégées sont plus précises. De manière générale, nous remarquons que l'erreur faite pour la prévision de ventes d'une ligne de produits est généralement moindre que l'erreur faite dans la prévision de ventes d'un seul élément.

4. Les prévisions à long terme sont moins précises. Il n'y a pas grand-chose à en dire car c'est intuitif...

5. Les prévisions peuvent être sensibles aux conditions initiales (pensez aux modèles chaotiques de la météorologie ou de la dynamique des populations...)

Remarque: Les exemples de cas où de grands dirigeants de multinationales ont, faute de connaissances statistiques ou mal conseillés par des gestionnaires non statisticiens/non économistes, fait des prévisions de bénéfices ou ventes sur plus de 10 à 20 ans (ce qui est une aberration!!) dans les médias sont légion! Évidemment les chiffres donnés et la stratégie de développement associée ont conduit certaines de ces multinationales à la quasi-catastrophe.

Signalons que les techniques prévisionnelles quantitatives utilisent également et principalement les outils suivants (il est bien évidemment possible de les combiner) pour lesquels nous avons déjà donné des exemples dans les chapitres respectifs:

- Marche aléatoire simple (cf. chapitre d'Économie)
- Régression linéaire simple (cf. chapitre de Méthodes Numériques)
- Régression linéaire multiple (cf. chapitre de Méthodes Numériques)
- Régression logistique (cf. chapitre de Méthodes Numériques)
- Interpolation polynomiale (cf. chapitre de Méthodes Numériques)
- Linéarisation logarithmique et exponentielle (cf. chapitre de de Méthodes Numériques)
- Modélisation par mouvement brownien (cf. chapitre d'Économie)
- Moyenne Mobile (cf. chapitre de Statistiques)
- Analyse de corrélations (cf. chapitre de Statistiques)
- Cartes de contrôle (cf. chapitre de Génie Industriel)
- Réseaux de neurones (cf. chapitre de Méthodes Numériques)

2. Les modèles en série chronologique dont la seule variable explicative est le temps

et c'est toujours délicat pour un prévisionniste de choisir laquelle est la mieux adaptée à son cadre de travail et au niveau de compréhension de ses supérieurs. La partie intéressante du métier est qu'une fois le ou les modèles choisis (encore faut-il choisir parmi la centaine de modèles empiriques publiés...), nous pouvons les confronter aux données statistiques passées de l'entreprise et voir si les prévisions sont en accord avec ce qui c'était réellement passé.

Remarque: Il est préférable d'utiliser des modèles basés sur les statistiques que des modèles déterministes qui sont de piètre qualité (comme la moyenne mobile simple ou double ainsi que les lissages exponentiels et régressions linéaires simples ou multiples).

TYPES D'ERREURS

Avant de construire des modèles de prévision il faut pouvoir estimer la qualité de celle-ci (à des fins de comparaison aussi entre modèles) et pour cela il est d'usage d'utiliser plusieurs indicateurs empiriques qui sont:

qui va seulement nous dire s'il y une erreur systématique positive ou négative entre la prévision et le réel (car si la valeur de ME est non nulle, le modèle est biaisé). Mais comme cette valeur est souvent très petite (les valeurs négatives équilibrant les positives dans certains modèles) nous lui préférons la mesure d'erreur suivante:

- "L'écart moyen absolu" ("Mean Absolute Deviation" ou "Mean Absolute Error" ou encore "Mean Forecast Error" en anglais):

qui est la moyenne des erreurs absolues faites par le modèle de prévision sur toute la durée de celle-ci, sans égard au fait que l'erreur soit une surestimation ou une sous-estimation.

- Le "carré moyen des résidus" ("Mean Square Deviation" ou "Mean Square Errors" en anglais):

qui permet de pénaliser les grandes erreurs plus que les petites puisque chaque erreur est multipliée par elle-même, donnant ainsi un poids plus grand aux grandes erreurs qu'aux petites erreurs.

Le problème avec les indicateurs précédents est que l'amplitude de l'erreur dépend des amplitudes des valeurs analysées. Pour éviter cet inconvénient, il est plus intéressant de travailler avec un pourcentage (valeur relative). Ainsi, nous définissons "l'erreur relative" indiquée en pourcents ("Percentage Error" en anglais) par:

qui est donc la différence en pourcents entre le réel et la modélisation par rapport au réel. Il s'ensuit alors "l'erreur relative moyenne" ou "biais relatif de prévision" ("Mean Percentage Error" en anglais) toujours indiquée en pourcents:

Pour les mêmes raisons que l'indicateur ME nous lui préférons la mesure d'erreur suivante.

- "L'écart relatif moyen absolu" ("Mean Absolute Percentage Error" en anglais) toujours indiqué en pourcents:

Le seul problème avec les indicateurs relatifs c'est lorsque la série temporelle analysée contient des zéros...

- Les "moments temporels" sont les deux paramètres de position et de dispersions élémentaires en statistiques que sont la moyenne et l'écart-type masi pris simplement sur une certaine période temporelle (très utilisé en finance!). Ainsi, la moyenne d'une variable mesurée sur une fenêtre [t-p,t] sera donnée triviallement par:

- Le "hit score" (très utilisé en finance des marchés) dont l'idée est très simple. Il s'agit simplement du ratio du nombre de bonne prévisions périodiques (le concept de "bonne" étant empirique car il existe des dizaines de choix) sur le nombre total de périodes passées.

Enfin, pour clore cette partie concernant les indicateurs, signalons que dans le domaine du prévisionnel il faut aussi vérifier sur le long terme si un modèle théorique est viable ou non pour le remplacer par un autre. Les techniques de base pour cela consistent à faire usage des cartes de contrôles autocorrélées (cf. chapitre de Génie Industriel) où les mesures seront simplement les écarts (sans en prendre la valeur absolue!) entre les valeurs projetées et ce qui a réellement eu lieu.

DÉCOMPOSITION

Certains modèles utilisant les séries chronologiques sont des outils de prévision adéquats pour autant que la variation ait montré un patron stable dans le temps et que les conditions dans lesquelles le patron est apparu s'appliquent toujours.

Parfois, un patron n'est pas apparent lors de l'analyse des données brute; celles-ci peuvent toutefois être décomposées de manière à révéler des patrons qui facilitent la projection des données dans le futur (nous verrons la décomposition par transformée de Fourier plus loin). Voici les quatre composantes généralement reconnues (et déjà mentionnées plus haut) pour les séries chronologiques hors analyse spectrale: tendance (linéaire, exponentielle, sigmoïde, etc.), saisonnalité, cyclicité, aléatoire.

Voyons cela avec un exemple pratique utilisant (pour faire simple) la version française de Microsoft Excel 14.0.6123. Créons une composante aléatoire basée sur la valeur absolue d'une loi normale de moyenne 10 et d'écart-type 20 et ce sur une période de 32 mois avec la formule suivante dans la colonne B (de B1 à B32):

où la colonne A contiendra la numérotation des périodes allant de 1 à 32 (de A1 à A32).

Ce qui donnera une simulation d'un graphique aléatoire dont nous allons fixer les valeurs. Par exemple:

Figure: 66.2 - Tracé d'un exemple de la fonction aléatoire avec Microsoft Excel 14.0.6123

Ensuite, ajoutons une composante de tendance (drift) linéaire de pente 4 et d'ordonnée à l'origine de 20 à cette composante aléatoire de manière à avoir cette fois dans la colonne B la formule suivante:

=ABS(LOI.NORMALE.INVERSE.N(
ALEA.ENTRE.BORNES(0.1;10000)/10000;10;20))+(4*A1+20)

Figure: 66.3 - Tracé de la somme de la fonction aléatoire et la tendance avec Microsoft Excel 14.0.6123

Ajoutons maintenant une composante saisonnière de type sinusoïdale avec une amplitude de 50 et une période de 12 mois et sans déphasage:

Figure: 66.4 - Tracé de la partie saisonnière seule avec Microsoft Excel 14.0.6123

=ABS(LOI.NORMALE.INVERSE.N(
ALEA.ENTRE.BORNES(0.1;10000)/10000;10;20))+(4*A1+20)
+50*SIN(A1*2*PI()*1/12)

Figure: 66.5 - Tracé de la somme de la fonction aléatoire, la tendance et la saisonnalité avec Microsoft Excel 14.0.6123

et enfin ajoutons une composante cyclique qui sera encore une fois pour l'exemple une fonction sinusoïdale d'amplitude 20 et de période 64:

Figure: 66.6 - Tracé de la partie cyclique seule avec Microsoft Excel 14.0.6123

=ABS(LOI.NORMALE.INVERSE.N(
ALEA.ENTRE.BORNES(0.1;10000)/10000;10;20))+(4*A1+20)
+50*SIN(A1*2*PI()*1/12)+ 20*SIN(A1*2*PI()*1/64)

Maintenant, comme nous l'avons introduit en détail dans le chapitre de Suites Et Séries, faisons une transformée de Fourier rapide (analyse spectrale) - abrégée TFR - avec l'Utilitaire d'Analyse de données intégré dans Microsoft Excel 14.0.6123. Cela nous donne alors:

Figure: 66.8 - Tableau de la TFR avec l'Utilitaire d'analyse de Microsoft Excel 14.0.6123

Mais à la différence du chapitre de Suites Et Séries, nous allons cette fois-ci tracer le spectre de fréquence. Pour cela, nous créons d'abord une colonne avec une numérotation allant de 0 à 31 et juste à côté nous mettons la formule visible dans la capture ci-dessous

Figure: 66.9 - Formules pour obtenir les fréquences dans Microsoft Excel 14.0.6123

Soit graphiquement pour les 16 premiers points (les autres étant identiques par symétrie):

Figure: 66.11 - Tracé des pics de fréquence de la TFR avec Microsoft Excel 14.0.6123

Nous voyons donc que la transformée met en évidence une composante constante (de fréquence nulle) qui est très importante. Nous pouvons abusivement l'assimiler à la composante linéaire.

Nous voyons ensuite que trois points sortent du lot avec les périodes respectives (inverse de la fréquence): 31 mois, 15.50, 10.33. Mais nous n'allons considérer uniquement que les deux premières valeurs pour les associer respectivement au cycle (ayant la plus grande période par définition) et à la saisonnalité.

Ainsi, la transformée de Fourier nous amène à considérer une tendance constante, un phénomène cyclique ayant une période 31 mois (alors que nous avons simulé un cycle ayant une période de 64 mois...) et un phénomène saisonnier ayant une période 15 mois (alors que nous en avions simulé un avec une période de 12 mois).

Nous voyons donc bien que ce type d'analyse a ses limites mais qu'il peut être utile en tant qu'outil d'aide à la décision.

MODÈLES PRÉVISIONNELS DÉTERMINISTES

1. L'approche déterministe qui ne fait à la base aucunement appel aux outils statistiques

Il va de soi que la première méthode est plus simple que la deuxième mais que la deuxième inclut la première et est scientifiquement parlant plus acceptable puisqu'il va être possible de définir des intervalles de confiance.

Ces concepts généraux étant présentés nous allons passer maintenant à la présentation de quelques modèles mathématiques de régression des séries temporelles. Il faut savoir à ce sujet que:

2. Certains sont déterministes, d'autres stochastiques (ces derniers étant les meilleurs)

4. Un logiciel comme Microsoft Excel suffit pour modéliser la majorité d'entre eux

Voici la liste des noms des techniques les plus connues et utilisées par certaines multinationales dans la pratique: Moyenne Mobile, Single Exponential Smoothing (SES), Régression Logistique, Méthode Linéaire de Holt, Holt-Winters, Méthode de Brown, Stochastique Linéarisée, ARIMA, etc.

Nous allons voir ci-dessous les démonstrations de celles qui nécessitent une démarche mathématique. Les autres n'étant que des boîtes à outils, elles n'ont pas leur place sur un site web tel que Sciences.ch.

Nous allons dans ce qui suit bien évidemment nous concentrer d'abord sur les grands classiques scolaires de la première famille de modèles.

MOYENNE MOBILE SIMPLE (LISSAGE PAR MOYENNE MOBILE)

La technique prévisionnelle de la moyenne mobile simple d'ordre k ou "Simple Moving Average" en anglais (MA) est certainement la technique empirique la plus simple et aussi la plus mauvaise en termes de pouvoir prédictif. Basée sur la définition de la moyenne mobile (cf. chapitre de Statistiques) elle est définie par:

et constitue donc une prévision déterministe portant uniquement sur une unique période ultérieure.

Voyons un exemple avec la version anglaise de Microsoft Excel 11.8346 comportant une prévision sur l'horizon d'un mois avec des modèles de lissage par moyenne mobile dans les colonnes D et E (comme le domaine de la finance est essentiellement en anglais nous ferons toutes les captures avec la version anglophone du logiciel):

Figure: 66.12 - Tableau de base pour l'exemple du lissage MA dans Microsoft Excel 11.8346

Figure: 66.13 - Formules pour obtenir les lissages MA(3) et MA(5) avec Microsoft Excel 11.8346

Figure: 66.14 - Tracé des observations et des deux lissages avec Microsoft Excel 11.8346

Nous n'avons pas utilisé l'outil d'Utilitaire d'analyse de Microsoft Excel 11.8346 (ce dernier intégrant un outil faisant automatiquement les calculs de la moyenne mobile) uniquement pour bien montrer au lecteur l'application explicite des relations mathématiques données plus haut.

Le choix du nombre de périodes k à utiliser dans le calcul de la moyenne mobile simple dépend beaucoup des variations attendues dans les données. Ceci peut être illustré par deux caractéristiques de la prévision:

- Stabilité: En faisant la moyenne de plusieurs périodes, on atténue les fluctuations aléatoires afin que la prévision soit plus stable. La stabilité est la propriété de la prévision à ne pas fluctuer de manière désordonnée. Gagner en stabilité est un avantage s'il y a beaucoup de fluctuations aléatoires dans les données. Une moyenne mobile gagnera en stabilité si un plus grand nombre de périodes est utilisé dans le calcul de la moyenne. Un gain en stabilité est désirable seulement jusqu'au point où les fluctuations aléatoires sont atténuées. Si le nombre de périodes utilisées dans le calcul de la moyenne est trop grand, la moyenne sera tellement stable qu'elle ne répondra que trop lentement aux changements non aléatoires de la demande.

- Réactivité: La réactivité est la propriété qu'a la prévision à s'ajuster rapidement à un changement dans le niveau moyen réel de la demande. L'utilisation d'une prévision réactive est appropriée dans le cas où les fluctuations aléatoires sont faibles. Plus le nombre de périodes utilisées dans le calcul de la moyenne mobile est petit, plus le modèle prévisionnel sera réactif.

Remarque: Signalons que certaines techniques de prévision font des moyennes mobiles de moyennes mobiles... Dans la littérature spécialisée, cela s'appelle la "moyenne mobile double"... Il y a encore des modèles qui appliquent des poids empiriques aux périodes passées, cela s'appelle la "moyenne mobile pondérée" et c'est à mon avis hors d'intérêt.

MODÈLE LINÉAIRE AVEC COEFFICENTS SAISONNIERS

La technique prévisionnelle linéaire avec coefficients saisonniers est simple à mettre en place et à comprendre. Elle associe une simple régression linéaire (cf. chapitre de Méthodes Numériques) et des coefficients saisonniers calculés sur la base des valeurs passées par rapport au modèle linéaire. Cette technique permet de dégager des tendances en lissant des séries chronologiques et en faisant apparaître des variations importantes dans le temps. Les moyennes mobiles sont des moyennes généralement calculées pour des données journalières ou hebdomadaires et qui sont ensuite décalées période par période.

La première chose à faire est de déterminer l'équation de la droite de régression (ce qui permet donc in extenso de faire aussi de l'inférence!). Ce qui est simple avec la méthode des moindres carrés démontrée dans le chapitre de Méthodes Numériques et extrêmement simple à obtenir avec les outils automatiques intégrés à Microsoft Excel 11.8346:

Figure: 66.17 - Régression linéaire des ventes avec équations dans Microsoft Excel 11.8346

Ce qui nous permet d'avoir deux nouvelles colonnes dans le tableau Microsoft Excel 11.8346. Une avec les valeurs du modèle linéaire et une autre avec le rapport entre les valeurs réelles et le modèle linéaire (ce qui correspond donc au coefficient saisonnier):

Figure: 66.18 - Report du modèle théorique avec rapport réel/modèle dans Microsoft Excel 11.8346

Nous faisons ensuite une prévision sur la base de la régression linéaire multipliée par la moyenne des coefficients saisonniers de chaque mois. Ce que nous noterons dans le cas présent:

Il s'agit donc d'une méthode déterministe permettant de faire de la prévision sur autant de périodes ultérieures que désirées avec la possibilité de faire de l'inférence statistique si besoin est (c'est le seul modèle déterministe sur lequel l'inférence est directement possible).

LISSAGE EXPONENTIEL SIMPLE

La prévision

fournie par la méthode de lissage exponentiel (EWMA pour "Exponential Weighted Moving Average" ou SES pour "Simple Exponential Smoothing" en anglais), appelée aussi "moyenne mobile exponentielle pondérée", avec la "constante de lissage"

est donnée comme nous allons le démontrer plus loin par:

Cette définition repose sur une idée simple (mais néanmoins totalement empirique): nous supposons que les observations influencent d'autant moins la prévision qu'elles sont éloignées de la date t pour laquelle nous faisons la prévision et que cette influence décroît exponentiellement (ce modèle reste même en ce début de 21ème siècle très utilisé pour modéliser la variance d'instruments financiers). Nous voyons alors assez facilement dans un premier temps que:

- Plus la constante de lissage est proche de 1, plus l'influence des observations passées remonte loin dans le temps et plus la prévision est rigide, c'est-à-dire peu sensible aux fluctuations conjoncturelles.

- Au contraire, plus la constante de lissage est proche de zéro, plus la prévision est influencée par les observations récentes (prévision souple).

Démontrons dans un tout premier temps que la définition précédente s'écrit sous une autre forme moins technique qui est la plus commune dans les livres de statistiques:

Dès lors si nous réindexons la somme nous retrouvons une écriture très connue dans le monde de la finance (mesure de volatilité du modèle RiskMetrics):

La prévision

apparaît donc comme une moyenne pondérée entre la prévision

faite à la date t et la dernière observation

, le poids donné à cette dernière observation étant d'autant plus fort que la constante de lissage est faible.

Nous allons démontrer maintenant pourquoi les logiciels projettent les modèles EWMA avec une espérance égale à la dernière valeur mesurée:

En pratique, le choix de la constante de lissage est souvent fondé sur des critères subjectifs de rigidité ou de souplesse de prévision. Il existe cependant une méthode plus objective qui consiste à déterminer des outils de recherche opérationnelle (cf. chapitre de Méthodes Numériques), la constante qui minimise la somme des carrés des erreurs de prévisions.

Attention!!! Dans la majorité des ouvrages de statistiques contemporains, la constante de lissage est définie comme étant:

écriture qui amène à considérer le lissage exponentiel simple comme une bête moyenne mobile pondérée.

L'une et l'autre des écritures sont bien sûr équivalentes mais il faut sur certains logiciels faire attention de bien savoir à laquelle des deux constantes de lissage nous avons affaire... Nous allons continuer personnellement avec cette dernière forme pour la suite de nos développements.

Maintenant, repartons de la relation précédente pour l'écrire sous une autre forme en utilisant la récursivité:

Montrons maintenant que la somme des poids est égale à l'unité afin de constater qu'il s'agit bien d'une pondération. Nous avons donc:

et comme

est strictement inférieur à l'unité, les facteurs

décroissent de manière exponentielle (il suffit de représenter graphiquement la fonction):

Raison pour laquelle un logiciel comme Microsoft Excel 11.8346 nous retournera pour

l'erreur #N/A.

Pour la suite il est nécessaire que nous étudiions l'origine de l'expression du lissage exponentiel simple. L'idée à la base des mathématiciens était de réduire l'erreur entre la valeur réelle

et la prévision considérée comme constante a:

mais le but était aussi d'affaiblir les erreurs plus petites que l'unité et d'amplifier celles qui en étaient plus grandes en élevant les écarts au carré tels que:

et enfin de pondérer celles qui étaient éloignées dans le temps de la prévision par un coefficient tel que nous ayons à minimiser au final:

Nous retrouvons donc la relation définie au début de l'étude de ce modèle et qui était:

Il est à noter qu'il n'est pas du tout évident que la constante recherchée qui minimise l'erreur puisse être utilisée comme fonction de prévision. Cependant c'est l'usage qu'il en est fait par de nombreux praticiens... Certains spécialistes préfèrent noter ce dernier résultat sous la forme (il ne faut pas chercher à trop comparer cette notation avec celle de la relation précédente):

où S fait référence au "S" qu'il y a dans le mot "eStimé". Il y a même des logiciels de statistiques qui proposent à notre étonnement de faire une prévision à un temps

en se basant sur cette méthode... ce qui nous semble un peu limite limite... (affaire à suivre).

Remarque: Le lissage exponentiel simple a été suggéré en premier par Charles C. Holt en 1957, mais la formulation (forme de la relation prévisionnelle) est attribuée à Brown. Il s'agit d'une technique que l'on retrouve implémentée dans la quasi-totalité des logiciels de statistiques.

Considérons le tableau suivant (la colonne C contient déjà le modèle mathématique dont nous allons détailler les formules juste après):

Figure: 66.19 - Données de départ avec modèle de lissage exponentiel dans Microsoft Excel 14.0.6123

Nous n'allons pas utiliser l'outil d'Utilitaire d'analyse de Microsoft Excel 14.0.6123 (ce dernier intégrant un outil faisant automatiquement les calculs du lissage exponentiel simple) uniquement pour bien montrer au lecteur l'application explicite des relations mathématiques démontrées plus haut. De plus l'Utilitaire d'analyse de Microsoft Excel 14.0.6123 souffre d'un gros défaut: il demande la valeur de la constante de lissage plutôt que d'en calculer une valeur optimale automatiquement.

Il n'y a que trois colonnes qui ont des formules, le reste étant des saisies statiques. Nous avons:

Figure: 66.20 - Formules correspondantes au modèle de lissage exponentiel simple
avec Microsoft Excel 14.0.6123

où le lecteur attentif aura remarqué la prévision à la ligne 28 sur un horizon de un mois.

Avec un peu plus loin dans la feuille les valeurs indispensables à l'optimisation du modèle avec le solveur que nous allons de suite voir:

Figure: 66.21 - Constante de lissage et indicateurs d'erreur pour optimiser le modèle
avec Microsoft Excel 14.0.6123

Maintenant, nous allons utiliser le solveur pour minimiser soit l'erreur MAPE, soit l'erreur MAD ou enfin l'erreur MSD. Nous avons alors par exemple en minimisant l'erreur MAPE:

Figure: 66.24 - Tracé de la comparaison des observations et du modèle SES avec
Microsoft Excel 14.0.6123 (sans la prévision)

Figure: 66.25 - Tableau correspondant après optimisation avec le solveur dans Microsoft Excel 14.0.6123

Pour clore, indiquons que si nous faisons l'hypothèse forte que pour tout temps t:

Nous avons sous l'hypothèse que les deux termes soustraits sont indépendants...:

Il s'ensuit sous l'hypothèse de Normalité (ce qui est le cas depuis le début de ce développement) et que

est l'espérance de

Mais si l'écart-type est seulement estimé, il faut évidemment utiliser la loi de Student (cf. chapitre de Statistiques):

LISSAGE EXPONENTIEL DOUBLE À UN PARAMÈTRE (MÉTHODE DE BROWN)

L'idée du lissage exponentiel double (DEBS: "Double Exponential Brown Smoothing" en anglais) est à nouveau de réduire l'erreur totale mais cette fois-ci en utilisant non pas une simple constante mais une droite au voisinage de t telle que:

ce qui est écrit traditionnellement (le est absorbé dans le paramètre a et le fait que les paramètres de la droite soient recalculés à chaque t est omis afin de ne pas le confondre avec l'indice de sommation...):

Pour les autres, sous certaines conditions qui sont respectées dans notre cas, nous pouvons dériver terme à terme une série convergente pour obtenir la dérivée de celle-ci. Ainsi, étant donné que:

Pour la troisième il suffit de dériver encore une fois l'égalité précédente. Nous obtenons alors:

L'indice de la deuxième somme s'expliquant par le fait que k est la nouvelle variable d'indexation (donc elle doit forcément être dans l'indice!) et quand i est nul nous avons:

Pour le suffixe de la somme il s'explique par le fait que pour la valeur maximale nous avons

et donc comme

, il vient si nous y substituons i:

Ensuite, le lecteur vérifiera lui-même.... sur papier que nous pouvons réarranger les termes de la manière suivante:

est la droite constituée d'un double lissage exponentiel qui approche au mieux (l'estimé) à un temps t les données réelles et qui minimise l'erreur totale. Contrairement au lissage exponentiel simple, nous pouvons par contre maintenant faire des prévisions (cependant cela reste un usage abusif du résultat mathématique) de par la présence de la variable j.

Explicitement, cette droite s'écrira en changeant un peu les notations (ne pas oublier qu'au début nous avions implicitement injecté un signe négatif dans le terme a):

Pour débuter les prévisions avec ce modèle, il faut un estimé de

. Les premières prévisions seront grandement affectées par ces estimés. Il faut aussi toujours vérifier ce que les logiciels utilisent comme méthode de détermination pour ces premiers paramètres afin de la spécifier dans les rapports.

Remarque: Le lissage exponentiel de Brown est rarement intégré dans les logiciels statistiques. On lui préfère le modèle de Holt que nous allons de suite voir après et qui le contient implicitement.

Considérons le tableau suivant dans Microsoft Excel 14.0.6123 qui contient les données observées dans la colonne B ainsi que le modèle dans les colonnes C à F dont nous allons détailler les formules juste après:

Figure: 66.26 - Données de départ avec modèle de lissage exponentiel double de Brown
dans Microsoft Excel 14.0.6123

Indiquons les formules pour les C, D, E, F, G (H et I étant les mêmes que pour le lissage exponentiel simple). Il vient alors:

Figure: 66.27 - Formules correspondantes au modèle de lissage de Brown avec Microsoft Excel 14.0.6123

Avec un peu plus loin dans la feuille les valeurs indispensables à l'optimisation du modèle avec le solveur que nous allons de suite voir:

Figure: 66.28 - Constante de lissage et indicateurs d'erreur pour optimiser le modèle
avec Microsoft Excel 14.0.6123

La procédure pour minimiser soit l'erreur MAPE, soit l'erreur MAD ou enfin l'erreur MSD avec le solveur est exactement la même que pour le lissage exponentiel simple! Nous ne la détaillerons donc pas.

Le résultat donnera graphiquement (et aussi en comparaison avec le lissage exponentiel simple):

Figure: 66.29 - Tracé de la comparaison des observations et du modèle SES/DEBS
avec Microsoft Excel 14.0.6123 (avec la prévision)

Nous voyons que le lissage double est meilleur que le lissage simple (son MAPE minimisé étant de 6.90% contre 7.89% pour le lissage simple). Cette comparaison est pour rappel une forme de "back-testing". La projection à la 25ème période est par contre très proche.

Ce qui est ensuite intéressant et particulier avec le lissage exponentiel double est de jouer avec la valeur de j. Ainsi, en imposant

, nous aurons pour chaque valeur de la colonne G, sa projection à la période correspondante à sa ligne plus

périodes. Évidemment, pour les deux premières lignes, les projections ne sont pas à prendre en considération!

Faisons un petit exemple visuel. En posant

(donc projection à six mois...) nous avons alors:

Ainsi, nous pouvons observer qu'au quatrième mois (période), le modèle donne une projection de 168.04 pour le dixième mois (période) et qu'en réalité il y a eu 180. Nous voyons un exemple d'une très mauvaise projection du modèle le sixième mois (période) où le modèle donne une projection de 139.65 alors qu'en réalité il y a eu 171...

Ensuite, ce qui est intéressant c'est de se rappeler que si nous posons

, la 20ème période, projette alors pour 26ème, la 21^ème sur la 27ème, etc. Nous obtenons alors graphiquement:

Figure: 66.31 - Projection sur un horizon de un semestre en utilisant le DEBS avec Microsoft Excel 14.0.6123

Évidemment, comme tout modèle, il faut être très prudent avec des projets à 6 mois car le modèle ne prend pas en compte les facteurs de la bourse, des catastrophes naturelles, des pandémies, des guerres, etc. Donc tant qu'il y n'a pas d'inférence statistique, il n'est pas possible de donner un intervalle de confiance pour la prévision ce qui est scientifiquement parlant pas vraiment acceptable.

LISSAGE EXPONENTIEL DOUBLE À 2 PARAMÈTRES DE HOLT (MODÈLE ADDITIF)

Nous allons présenter ici une technique dont la construction est empirique et qui est due à Charles C. Holt (1957). Même dans l'article d'origine de Holt il n'y a pas de démonstration rigoureuse de la construction de ce modèle. Il s'agit donc plus d'ingénierie mathématique que de mathématique pure à proprement parler (donc la présentation de ce modèle n'aurait normalement pas lieu d'être présente sur ce site Internet).

L'idée est la suivante comme pour le modèle précédent, d'avoir un modèle de la forme:

- La pente

de la droite du modèle dont l'origine du repère est en t sera obtenue par lissage exponentiel simple de toutes les pentes des droites précédentes.

- L'ordonnée à l'origine

de la droite en t sera obtenue par lissage exponentiel simple de toutes les ordonnées à l'origine des droites précédentes.

Il est clair que la pente de chaque droite de l'estimé est donnée par (voir figure ci-dessous):

et l'idée étant de faire un lissage exponentiel de la pente de toutes les droites dont la pente se calcule de la même manière, soit (à comparer à l'expression du lissage exponentiel simple):

Cette dernière expression est souvent appelée "estimé de la pente à la période t".

Maintenant, pour l'ordonnée à l'origine, nous remarquons sur la figure que

. Dès lors, il vient dans un premier temps que:

Une fois ce constat fait, nous choisissons un modèle où l'ordonnée à l'origine est un lissage exponentiel de toutes les ordonnées à l'origine avec sa propre constante de lissage précédente tel que:

Ce qui peut paraître parfois déroutant ici, c'est la dernière parenthèse. Au fait, techniquement, on devrait plutôt l'écrire:

mais comme le

est toujours égal à 1, nous omettons son écriture. Donc la dernière parenthèse représente l'estimé à une unité de temps précédente à laquelle on ajoute l'accroissement d'une unité de temps de la pente de l'estimé au même temps t.

est un peu malheureusement appelée dans la pratique "estimé du niveau de la série à la période t".

Pour débuter les prévisions avec ce modèle, il faut un estimé de

et de

Figure: 66.33 - Données de départ avec modèle de lissage exponentiel double de Holt
dans Microsoft Excel 14.0.6123

Indiquons les formules pour les C, D, E (G et H étant les mêmes que pour le lissage exponentiel simple). Il vient alors:

Figure: 66.34 - Formules correspondantes au modèle de lissage exponentiel de Holt
avec Microsoft Excel 14.0.6123

Avec un peu plus loin dans la feuille les valeurs indispensables à l'optimisation du modèle avec le solveur que nous allons de suite voir:

Figure: 66.35 - Constante de lissage et indicateurs d'erreur pour optimiser le modèle
avec Microsoft Excel 14.0.6123

Ce qui donne graphiquement (et aussi en comparaison avec le lissage simple et double):

Figure: 66.36 - Projection sur un horizon de un semestre en utilisant le modèle de Holt avec Microsoft Excel 14.0.6123

Le lissage de Holt a un MAPE de 7.38% alors que celui de Brown à un MAPE de 7.12% (cette comparaison est pour rappel une forme de "back-testing"). Cependant l'avantage du modèle de Holt est qu'on peut faire des projections à plus d'une période.

Il est bien évidemment intéressant de comparer les projections à six mois entre la méthode additive de Holt et le lissage de Brown:

Nous voyons donc que le modèle de Holt a presque toujours des valeurs de projection supérieures au modèle de Brown.

Il convient avant de juger ces valeurs de les comparer aux observations qui seront constatées dans l'avenir.

LISSAGE EXPONENTIEL TRIPLE À 3 PARAMÈTRES DE HOLT ET WINTERS (MODÈLE MULTIPLICATIF)

Nous allons présenter ici une technique dont la construction est elle aussi empirique et qui est fortement inspirée du modèle de lissage exponentiel double de Holt. Je n'ai jamais trouvé de démonstration rigoureuse de ce modèle. Il s'agit donc probablement aussi plus d'ingénierie mathématique que de mathématique pure à proprement parler mais comme c'est un classique dans les logiciels de statistiques, nous allons nous attarder dessus un petit moment.

Winters (étudiant de Holt) s'est basé en 1960 sur la méthode de son professeur pour définir un modèle qui prend en considération la composante saisonnière. L'idée consiste à utiliser trois équations de lissage: une pour le niveau de la demande (désaisonnalisée), une pour la tendance et une pour la saisonnalité.

Remarque: Il existe deux méthodes de Winters selon que la saisonnalité est additive ou multiplicative. Nous ne présentons ici que le modèle multiplicatif car c'est celui le plus couramment utilisé. Et puis nous ne pouvons pas présenter tous les modèles existants car ils sont tous empiriques et il en existe des centaines voire probablement des milliers!

Soit N, le nombre de périodes dans chaque cycle saisonnier (cycle supposé constant!). Trois équations de lissage exponentiel sont utilisées à chaque période pour actualiser les estimés de la série désaisonnalisée, les facteurs saisonniers et la tendance. Ces équations peuvent avoir différentes constantes de lissage notées traditionnellement

où

est alors le niveau actuel de la série désaisonnalisée par le facteur saisonnier approprié

(nous retrouvons sinon la méthode de Holt).

où nous retrouvons donc la pente de la tendance identiquement au modèle de Holt.

La troisième équation est totalement nouvelle, ce qui n'empêche pas qu'elle est relativement intuitive et est donnée par:

et finalement la prévision est resaisonnalisée (c'est la forme de la prévision qui fait que nous parlons de "modèle multiplicatif"):

Cette dernière équation assume que

. Si

, le facteur saisonnier approprié serait

. Si

, le facteur saisonnier approprié serait

et ainsi de suite.

Pour débuter les prévisions avec ce modèle, il faut aussi un estimé des paramètres initiaux. Encore une fois, les premières prévisions seront grandement affectées par ces estimés. Il faut aussi toujours vérifier ce que les logiciels utilisent comme méthode de détermination pour ces premiers paramètres afin de la spécifier dans les rapports.

Considérons le tableau suivant dans Microsoft Excel 14.0.6123 qui contient les données observées dans la colonne D ainsi que le modèle dans les colonnes E à H dont nous allons détailler les formules juste après (ici, nous avons N qui vaut zéro donc). Remarquez que nous avons 6 années avec chacune 4 trimestres (donc in extenso il y aura 4 coefficients saisonniers qui sont les 4 premières lignes de la colonne G):

Figure: 66.38 - Données de départ avec modèle de lissage exponentiel triple de Holt et Winters
dans Microsoft Excel 14.0.6123

Indiquons les formules pour les E, F, G, H (I et J étant les mêmes que pour le lissage exponentiel simple). Il vient alors:

Figure: 66.39 - Formules correspondantes au modèle de lissage exponentiel de Holt et Winters
avec Microsoft Excel 14.0.6123

Avec un peu plus loin dans la feuille les valeurs indispensables à l'optimisation du modèle avec le solveur que nous allons de suite voir:

Figure: 66.40 - Constante de lissage et indicateurs d'erreur pour optimiser le modèle
avec Microsoft Excel 14.0.6123

Ce qui donne graphiquement (et aussi en comparaison avec le lissage simple, double et le modèle additif de Holt):

Figure: 66.41 - Projection sur un horizon de un semestre en utilisant le modèle de Holt et Winters
avec Microsoft Excel 14.0.6123

Le lissage de Holt avait donc un MAPE de 7.38% et celui de Brown à un MAPE de 7.12%. Le lissage saisonnier de Holt et Winters a un MAPE de 9.61%. Cependant l'avantage du modèle de Holt et Winters est qu'on peut faire des projections à plus d'une période avec cycles ainsi que nous pouvons le voir sur le graphique.

Il est bien évidemment intéressant de comparer les projections à 6 mois entre la méthode additive de Holt et le lissage de Brown:

Figure: 66.42 - Comparaison entre modèle de Brown, et Holt additif et Holt et Winters

Donc nous voyons encore une fois qu'en fonction de la technique choisie, les différences sont relativement importantes.

RÉGRESSION LOGISTIQUE

Il arrive toujours dans les entreprises que dans l'analyse d'un produit ou d'un service, que celui-ci voie son nombre de ventes croître, ensuite passer par un point d'inflexion et ensuite aller vers une asymptote pour diminuer à nouveau par la suite avec une caractéristique similaire.

Le modèle logistique permettant de simuler un tel comportement dans le cadre de l'analyse des séries temporelles (à ne pas confondre avec la régression logistique vue dans le chapitre de Méthodes Numériques!) est défini ainsi:

Il s'inspire de nombreux modèles que nous retrouvons en physique et où

est le seuil de saturation (asymptote horizontale) qui peut être déterminé suite à un audit du marché et son % de pénétration.

Remarque: Il faut aussi savoir que ce modèle est bien meilleur que celui utilisé par le lissage exponentiel compris dans l'Utilitaire d'Analyse de Microsoft Excel 14.0.6123 (même si comme nous l'avons vu mathématiquement, ils ne fonctionnent absolument pas sur les mêmes bases). Une simple observation comparative des résultats obtenus suffit à s'en rendre compte.

le point d'inflexion est toujours donné par le cumul de 50% du seuil de saturation. Le résultat est alors une courbe en S du type suivant:

où en jaune a été représenté les données actuelles d'une entreprise et en bleu le modèle théorique prévisionnel associé.

Pour déterminer l'équation de la courbe logistique, nous pouvons utiliser directement les solveurs de certains logiciels. Mais ceux-ci ont parfois besoin d'avoir des données de départ proches de la valeur théorique. Nous allons donc d'abord montrer comment ces valeurs de départ peuvent être déterminées avec un exemple.

Considérons le tableau suivant fait avec Microsoft Excel 11.8346 (les ventes sont en centaines de milliers d'unités):

qui pourrait être jugé comme linéaire suivant le moment auquel débute l'analyse descriptive des ventes dans l'entreprise.

Pour déterminer le modèle théorique, nous allons linéariser l'équation logistique en utilisant un seuil hypothétique (objectifs de ventes du marché) de 800.

Dans notre exemple, la régression linéaire (cf. chapitre de Méthodes Numériques) donne:

avec ce modèle formel, nous avons une somme des carrés des écarts entre les mesures et le modèle (cf. chapitre de Statistiques) de:

Maintenant, entrons ces données dans Microsoft Excel 14.0.6123 sous la forme suivante:

Si nous lançons le solveur de Microsoft Excel 14.0.6123 avec les paramètres suivants (nous avons mis 0.0001 comme plus petite valeur puisque le solveur ne propose pas de relation d'ordre stricte):

soit nettement inférieur à notre approche utilisant la régression linéaire et donc meilleur. Effectivement voyons le tableau de résultat:

Figure: 66.52 - Comparaison entre mesures, modèle par régression et modèle par optimisation

Nous voyons nettement que le modèle du solveur (modèle numérique) est meilleur que le modèle formel donné par une régression linéaire et il est aussi meilleur comme déjà mentionné que le lissage exponentiel proposé par l'Utilitaire d'analyse de Microsoft Excel 11.8346!

Pour en finir avec ces modèles de prévisions, rappelons que ceux-ci doivent être suivis régulièrement pour s'assurer que le modèle et les paramètres utilisés sont toujours appropriés. Comme le lecteur l'aura peut-être deviné, un modèle de prévision ne doit pas avoir de biais. La somme des erreurs doit donc voisiner zéro, avec parfois des surestimations et parfois des sous-estimations. Lorsque le modèle a tendance à toujours surestimer (ou sous-estimer), ce dernier a un biais et il doit être révisé.

Afin de détecter que le modèle est biaisé, on fera typiquement le suivi de la différence entre la prévision et l'observation sur une carte de contrôle (cf. chapitre de Génie Industriel).

Il faut aussi pour conclure rappeler qu'il existe une différence parfois importante entre les valeurs observées (ventes effectives) et les observations qu'il y aurait eu réellement si l'offre était infinie. Effectivement, les ventes observées ne prennent pas en compte les ventes ratées parce que faute de stock dans une des milliers de succursales que possède votre entreprise, un client est allé voir chez la concurrence. Ainsi, les ventes observées sont toujours un "minimum" faute des ventes loupées!

Remarque: Indiquons qu'il est aussi trivialement possible de faire la différence de tous les points consécutifs dans le temps d'une série temporelle et ensuite de faire un histogramme pour déterminer la loi de probabilité des fluctuations, ce qui permet de faire de l'inférence statistique avec toutes les précautions nécessaires.

MODÈLES AUTORÉGRESSIFS

Dans l'étude d'une série chronologique, il est naturel de penser que la valeur de la série à la date t peut dépendre en partie des valeurs prises aux dates précédentes:

ce qui évidemment est une écriture limitée à une série univariée (nous n'étudierons par les séries multivariées), discrète, et dont la fréquence d'échantillonage est constante (au contraire que ce qui se fait dans dans certains domaines des transactions financières).

Nous avons vu dans le chapitre de Probababilité que lorsque nous nous tenons uniquement à une dépendance avec l'instant t-1, nous parlons alors de "chaîne de Markov", ou plus rigoureusement de "chaîne de Markov d'ordre 1". Avant de continuer, ouvrons un paranthèse sur l'intérêt des chaînes de Markov (rappel orienté finance)... Considérons que nous avons des valeurs boursières à une fréquence fixe (par exemple journalière ou horaire... peu importe!). Il est alors très aisé de calcul la proportion de Augmentations (A) versus les Diminutions (D) des valeurs d'intérêt. Ainsi, en prenant en compte l'ensemble de l'historique, nous aurons typiquement un tableau du genre (les valeurs proviennent des indices du S&P 500 entre 1947 et 2007):

Mais bon cela ne sera pas vraiment à grand chose... Si nous compliquons un peu l'analyse en nous demandant quelle proportion nous avons deux augmentations successives (AA), diminutions successives (DD), ou alternance (DA) et (AD) dans l'ensemble de l'historique cela double le travail et pourrait nous donner typiquement un tableau du genre:

Tableau: 66.2 - Proportion de variations A/D sur l'ensemble par rapport à la période précédente

Les valeurs ci-dessus peuvent donc bien évidemment être vues commes les probabilités conditionnelles:

Et si maintenant nous faisons une analyse non pas que sur la période précédente mais sur les deux dernières, cela signifie que nous calculons les proportions des séquences (DDD), (DDA), (DAD), (DAA), (ADD), (ADA), (AAD), (AAA) et cela double encore une fois le nombre de calculs:

Tableau: 66.3 - Proportion de variations A/D sur l'ensemble par rapport à 2 périodes précédentes

Les valeurs ci-dessus peuvent donc bien évidemment être vues commes les probabilités conditionnelles:

Nous voyons donc qu'en ajoutant à chaque fois une période précédente supplémentaire à l'analyse, nous doublons le nombre de calculs. Ainsi, en prenant les 20 dernières périodes, cela nous amène à près de 1 millions de probabilités conditionnelles (proportions). Nous comprenons alors tout l'intérêt de nous restreindre à un faible nombre de valeurs antérieures ou a une seule valeur comme le font les chaînes de Markov. Ainsi, la probabilité que la séquence des 4 prochains jours soit AADA sera sans hypothèse simplificatrice:

mais se réduira dans l'hypothèse d'une chaîne de Markov (c'est-à-dire une dépendance seulement avec la période précédente) à:

Savoir si le modèle de probabilités conditionnelles totales ou la version simplifié de Markov est un vaste débat. L'hypothèse de la marche aléatoire (implicitement: le modèle de Markov) est défendue par une majorité d'économistes... mais cette hypothèse à bien évidemment aussi un certain nombre de condradicteurs.

Il n'est généralement pas nécessaire de prendre en compte tout le passé de la série ou seulement le dernier événement et nous pouvons le plus souvent nous limiter à p valeurs:

où

est un bruit blanc

ou processus de Wiener noté parfois WN. Plus rigoureusement, et pour des raisons d'application de techniques statistiques, un bruit blanc est défini par:

La seule différence par rapport au mouvement brownien standard c'est que comme nous le verrons plus loin, il y a ici la présence d'un facteur d'inertie noté traditionnellement

dans les cas simples qui influence fortement la dynamique du processus tel que:

Effectivement, comme il est très facile de le faire dans Microsoft Excel conformément à la procédure indiquée lors de notre étude des processus de Wiener:

Voici différents tracés de la série temporelle en fonction de quelques valeurs du facteur d'inertie:

Si nous considérons

comme une variable aléatoire spécifique (ayant une fonction de densité donnée) que nous noterions X et

comme une autre variable aléatoire spécifique (ayant une fonction de densité donnée) que nous noterions Y, alors rien ne nous empêche étant connues les fonctions de densité de chacune de ces variables, de calculer leur covariance:

Par exemple, dans la pratique nous connaissons souvent les espérances

des deux variables aléatoires aux deux moments différents ainsi que quelques-unes des valeurs de leurs distributions sous-jacentes (réalisations aléatoires). Alors, il devient aisé de calculer leur covariance. Mais ce n'est pas un indicateur vraiment utile. Rien ne nous empêche en supposant une relation linéaire d'utiliser le coefficient de corrélation linéaire:

Mais qui se note alors traditionnellement et trivialement dans le cas des séries temporelles:

et est appelé "coefficient d'autocorrélation" souvent abrégé dans les logiciels de statistiques ACF.

Personnellement je préfère réécrire la relation précédente sous la forme explicite suivante (la covariance est explicitée):

Il faut savoir que lorsque nous faisons de l'analyse de séries temporelles, dans la pratique, nous comparons souvent une suite avec elle-même mais comportant un décalage temporel h. L'autocorrélation d'ordre h est donc la corrélation entre la série et elle-même retardée de h relevés.

Ainsi, puisque les deux suites sont dépendantes et ont les mêmes caractéristiques statistiques, nous écrivons dans ce cas particulier dit de "processus stationnaire du second ordre" la relation suivante appelée "coefficient d'autocorrélation empirique":

où évidement il ne faut pas oublier que dans la pratique l'espérance et l'écart-type ne sont que des estimateurs bien que cela ne soit pas explicite dans la définition ci-dessus puisque le domaine de l'analyse temporelle n'indique que très rarement les petites chapeaux au-dessus des estimateurs (contrairement à ce que nous avons fait dans le chapitre de Statistiques).

Évidemment dans le cas de l'analyse de séries temporelles où nous soupçonnons une cyclicité, la valeur la plus grande de

pour un h donné indique la fréquence (respectivement la périodicité) de la cyclicité sous-jacente à la série ce qui peut aider par exemple pour le choix du type de moyenne mobile (voir plus bas).

Définition: Nous appelons "corrélogramme", le diagramme représentant les coefficients d'autocorrélatioon d'ordre 1, 2, 3, ..., h, ... de la série.

Remarque: Il existe différentes variantes de cette relation dans certains logiciels. Il peut arriver d'obtenir des petites différences numériques par rapport à l'utilisation de la relation ci-dessus.

avec leur corrélogramme correspondant avec bien évidemment pour différentes valeurs de h en abscisse et la valeur de

en ordonnée:

Faisons un exemple pratique de calcul de corrélogramme avec Microsoft Excel 14.0.6123 et des données fictives:

Il suffit alors dans la cellule D3 d'écrire la relation générale pour tout h (j'ai pas trouvé plus simple à ce jour et qui soit parfaitement juste...)

=(SOMME((DECALER($A$4:$A$23;0;0;NB($A$4:$A$23)-E4)
-DECALER($B$4:$B$23;0;0;NB($B$4:$B$23)-E4))
*(DECALER($A$4:$A$23;E4;0;NB($A$4:$A$23)-E4)
-DECALER($B$4:$B$23;E4;0;NB($B$4:$B$23)-E4)))
/((ECARTYPE($A$4:$A$23)^2)*(NB($A$4:$A$23)-1)))

D1. Une série temporelle est dite "stationnaire au sens faible" ou plus simplement un "processus stationnaire faible" si le premier (espérance) et second (variance) moment existent, sont finis et constants dans le temps (donc ne dépendant pas du temps):

La première condition (constance de l'espérance) élimine donc toute tendance. Si la fonction de densité sous-jacente à chaque

est une loi Normale, alors nous parlons de "processus Gaussien". D2. Si nous avons N séries temporelles non stationnaires et que leur somme pondérée (la somme des poids étant égal comme à l'habitude à l'unité):

donne une processus stationnaire faible, nous disons alors que les séries temporelles sont "cointégrées". Ceci est utile en finance pour pouvoir avec certains instruments non stationnaires fabriquer un portefeuille dont le rendement l'est (pour des raisons de traitement de mathématique).

Remarque: Certains auteurs rajoutent à la définition des processus stationnaires faibles que ceux-ci doivent avoir une covariance qui existe, soit finie et indépendante des instants choisis, ou plus exactement ne dépende que de l'écart entre les instants choisis, c'est-à-dire:

Considérons un cas important dans de nombreuses entreprises sur certaines périodes plus ou moins longues. Soit:

la moyenne temporelle. Si

converge en probabilité vers

quand

nous disons que le processus est "ergodique pour la moyenne". Donc quand

PROCESSUS AUTORÉGRESSIFS AR(p)

Présentons le concept de processus autorégressif en introduisant le cas particulier de processus autorégressif d'ordre 1, noté AR(1) et défini par la relation (à une constante additive près):

Il s'agit donc d'une chaîne de Markov d'ordre 1 (nous pouvons toujours vérifier dans la pratique si le modèle obtenu est à posteriori avec des résidus gaussiens ou non!).

Nous disons que le processus autorégressif AR(1) est stationnaire si nous avons à toute date t:

et donc la stationnarité implique obligatoirement que (se rappeler que la constante additive a été posée comme nulle dans la définition ci-dessus, dans le cas contraire cela change les conclusions ci-dessous):

Il est intéressant de remarquer que la variance est indépendante du temps et donc qu'elle ne diverge pas. Cependant, il ne faut pas considérer cela comme forcément positif car il n'est pas très cohérent dans la pratique que la volatilié soit constante (processus homoscédastique). Raison pour laquelle nous aborderons des modèles plus complexes dont la volatilité est dépendante du temps.

Remarquons aussi que pour que la variance soit toujours positive (par définition de la variance) il faut que

Voyons ce que l'hypothèse de stationnarité implique et pour cela, nous allons d'abord avoir besoin de l'égalité suivante:

Puisque la stationnarité implique que

, les corrélogrammes (ACF) des processus AR(p) auront des allures décroissantes amorties: le processus oublie en quelque sorte les valeurs passées.

Donc si la constante est nulle nous retrouvons bien une espérance nulle comme démontré plus haut. La variance aura la même expression que celle déjà démontrée plus haut, c'est-à-dire:

puisque l'ajout d'une constante ne change rien à la variance de la série. Nous avons donc obtenu ci-dessus l'espérance et la variance (inconditionnelles) d'un processus AR(1).

qui n'est dès lors donc par construction pas stationnaire. La non stationnarité est courante dans la pratique et pose problèème pour faire des analyses. Il existe dès lors une astuce pour rendre stationnaires certaines séries non-stationnaires et faire des manip dessus et ensuite les rendre à nouveau non stationnaires par la procédure inverse.

Ainsi, en ce qui concerne l'AR(1) avec

, l'idée est d'utiliser ce que l'on appelle la "propriété d'intégration" d'une série temporelle. Ainsi, l'AR(1) est une série intégrée d'ordre 1, désignée par I(1) car si on la différencie d'une unité temporelle, nous obtenons alors une série stationnaire:

Et donc une série est ingérée d'ordre 2 s'il faut la "différencier" deux fois pour la rendre stationnaire.

Un processus AR(2) est un processus autorégressif qui vérifie une relation de la forme (à une constante additive près):

Donc dans un tel modèle, l'influence du passé se manifeste par une régression linéaire sur les deux valeurs antérieures. Selon les valeurs de

il n'est pas toujours possible de trouver un processus stationnaire vérifiant cette dernière relation.

En général, un processus AR(p) est un processus qui dépend linéairement des p valeurs antérieures (à une constante additive près):

PROCESSUS AUTORÉGRESSIFS MA(q)

D'abord une mise en garde. Il ne faut pas confondre ce processus stationnaire avec les moyennes mobiles. En effet, le terme n'est pas très bien choisi car s'il y a bien mobilité (ce qui est la moindre des choses de la part d'un processus), il est abusif de parler de moyenne...

Nous sommes en fait dans le cadre d'une chronique de prévisions qui montrent des erreurs autocorrélées mais rien d'autre (au fait cela servira pour un mélange un peu plus loin).

Présentons le concept de processus autorégressif de moyenne mobile en introduisant le cas particulier de processus autorégressif de moyenne mobile d'ordre 1, noté MA(1) et défini par la relation:

Donc les deux moments sont indépendants du temps est nous avons affaire à un processus stationnaire faible. Cependant, il ne faut pas considérer cela comme forcément positif car il n'est pas très cohérent dans la pratique que la volatilié soit constante (processus homoscédastique). Raison pour laquelle nous aborderons des modèles plus complexes dont la volatilité est dépendante du temps.

En ce qui concerne l'autocorrélation, nous avons d'abord (ne pas oublier de revoir les trois conditions qui définissent le bruit blanc et particulièrement la troisième):

donc les coefficients d'autocorrélations d'ordre supérieur à 1 sont tous nuls!

Un processus MA(2) est un processus autorégressif qui vérifie une relation de la forme:

Et nous pouvons réitérer les mêmes développements que pour MA(1) avec enthousiasme... pour arriver aussi à la conclusion que l'autocorrélation (ACF) est nulle pour

En général, un processus MA(q) est un processus qui dépend linéairement des q valeurs antérieures:

et donc pour un tel processus on peut admettre sans faire la démonstration générale que:

et que l'autocorrélation est nulle pour

. Ainsi, on peut facilement reconnaître un processus MA(q) car son ACF présente un "cut-off" à partir de q.

PROCESSUS ARMA

Nous pouvons bien évidemment envisager de combiner les deux modèles précédents (MA(q) et AR(p)) en introduisant:

Un tel modèle, appelé "autorégressif-moyenne mobile non saisonnier" ou "ARMA non saisonnier", est caractérisé par le paramètre p de la partie autorégressive et le paramètre q de la partie moyenne mobile.

Le principal avantage des processus ARMA non saisonniers tient au fait qu'ils permettent de fournir des prévisions pour des échéances éloignées (du moins plus éloignée dans le temps que la prochaine date). Effectivement, rappelons que pour les processus AR(1), nous avons obtenu:

Autrement dit, pour un ordre k élevée, le moèle AR(1) se contente de fournir comme espérance conditionnelle la prévision la moyenne (historique) du processus. Quand l'espérance conditionnelle est nulle, nous disons alors dans le domaine des séries temporelles que "l'espérance est orthogonale à tout passé".

Donc comme noous puvons le voir, les processus ARMA ont une espérance qui a une mémoire de type exponentiellement décroissante à cause du facteur

qui est à la puissance k dans la relation antéprécédente. Alors qu'un processus de type MA seul a une fonction qui coupe sec la mémoire dans temporielle à une valeur q (cut-off de q périodes). Ces deux processus sont donc considérés comme à mémoire courte.

PROCESSUS ARIMA

Les modèles de séries chronologiques vus précédemment sont en réalité que des cas particuliers d'un modèle général empirique que l'on appelle les modèles "ARIMA" pour "AutoRegressive Integrated Moving Average" connus aussi sous le nom de "technique de Box-Jenkins".

Cette technique présuppose que la série chronologique est générée par un processus aléatoire (brownien ou autre) et que les valeurs futures sont liées aux erreurs passées.

Cependant ce modèle a une limitation importante, et le fait que l'on retrouve à travers cette généralisation les lissages exponentiels signifie que ceux-ci ont aussi la même limitation: la série chronologique doit être stationnaire. Donc pour rappel, cela signifie que les moments comme l'espérance ou la variance et l'autocorrélation doivent être constants dans le temps.

où p est le nombre de termes autorégressifs, d le nombre de différences non-saisonnales et q le nombre de termes d'erreurs dans l'équation de prédiction. Voici quelques exemples:

- Moyenne: ARIMA(0,0,0) avec constante
- Naif: ARIMA(0,1,0)
- Drift: ARIMA(0,1,0) avec constante
- ARMA: ARIMA(1,0,1)
- Lissage exponentiel simple: ARIMA(0,1,1)
- Lissage exponentiel double de Holt: ARIMA(0,2,2)
- Lissage exponentiel de Holt-Winters (multiplicatif): pas d'équivalent ARIMA à ma connaissance
- Lissage exponentiel de Holt-Winters (additif): SARIMA(0,1,m+1)(0,1,0)

Revenons un peu sur les techniques de projection (prédiction) des modèles ARIMA. Commençons par un cas partiulièrement simple (c'est à notre avis plus pédagogique) en considérant le processus noté AR(1) et défini pour rappel par la la relation (à une constante additive près):

Lorsque nous faisons l'estimation ponctuelle d'une projection de ce modèle, sur l unités de temps ultérieures, il est d'usage de noter la valeur ponctuelle estimée par différentes notations d'usage:

où

est bien évidemment supposé avoir été detérminé à l'aide des valeurs historiques connues. Cependant, l'estimation ponctuelle projetée est... justement une estimation!!!! Il nous faudrait donc connaître son espérance. L'hypothèse naïve la plus simple est alors d'utiliser l'espérance conditionnelle de la valeur projetée, qui nous avait mené (voir juste plus haut) au résultat:

qui tend donc vers 0 quand l tend vers l'infini comme nous l'avons déjà mentionné. Mais n'oubliez pas que ce modèle AR(1) est défini à une constante additive près (qui est souvent la moyenne arithmétique ou la médiane des valeurs connues de la série temporelle), donc dans le cas général cela tend vers une constante.

Au passage, observons que nous avons explicitement l'erreur de prévision qui est donnée par:

Nous remarquons donc que l'erreur de projection

est un processus du type

. Il vient alors de façon immédiate de ce dernier développement:

où la somme des carrées a été simplifiée en utilisant un résultat démontré dans le chapitre de Suites Et Séries. Nous voyons ainsi que la variance de l'erreur de prévision ne diverge pas (du moins dans le cas d'un AR(1)) et tend vers une valeur finie (ce qui n'est pas le cas de tous les processus) quand l tend vers l'infini à condition que

. La difficulté dans la pratique étant de choisir une technique pour déterminer

(il en existe une quantité: adéquation, Monte-Carlo, Boostrapping, bayésienne, etc.!). Raison pour laquelle il ne faut jamais se limiter à l'utilisation d'un seul logiciel statistique pour faire des projections mais au moins à trois différents.

Pourquoi revenir là-dessus penserez-vous peut-être??? Pour la simple raison qu'il nous faut un intervalle statistique de prédiction. Ainsi, étant donné que nous avons un estimateur ponctuel

qui est la réalisation de la variable aléatoire de la valeur projetée et son espérance associée

, nous pouvons écrire:

Et faire l'hypothèse à la vue des développement précédents que l'erreur de prévision suit une loi Normale centrée:

Nous avons alors à un seuil de confiance donné si

est parfaitement déterminé:

et si nous n'avons qu'un estimateur de

alors nous prendrons (cf. chapitre de Statistiques):

La pratique de ces modèles de projections tendrait à montrer qu'ils sous-estiment le risque (la variance). Donc plutôt que de prendre un intervalle à 95% il vaut peut-être mieux prendre un intervalle plus élevé en fonction du retour sur expérience.

- Calculs commerciaux et bancaires, J.-Ch. Corbaz + D. Goetschi, Collection C.C.L

- Théorie de la spéculation, L. Bachelier, Éditions Jacques Gabay, ISBN10: 2876471299 (148 pages) - Réimprimé en 1995

- Théorie Financière, R. Cobbaut, Éditions Economica, ISBN10: 2717834427 (560 pages) - Imprimé en 2005

- The mathematics of financial derivates, P. Wilmott + S. Howison, Éditions Cambridge, ISBN10: 0521497892 (317 pages) - Imprimé en 1997

- Finance des marchés, Techniques quantitatives et applications pratiques, S. Bossu, P. Henrotte, Éditions Dunod, ISBN13: 9782100518128 (274 pages) - Imprimé en 2008

- Mastering Financial Modelling in Microsoft Excel, Éditions Prentice Hall, Alastair L. Day, ISBN13: 9780273643104 (370 pages) - Imprimé en 2001

- Financial Risk Manager Handbook, Éditions GARP, Philippe Jorion, ISBN13: 9780471217633 (749 pages) - Imprimé en 2009

- Options, Futures and other derivates, Éditions Pearson, John Hull, ISBN13: 9782744075339 (850 pages) - Imprimé en 2011