Sciences.ch (topologie)

La topologie (du grec: discours du lieu) est un domaine extrêmement vaste des mathématiques dont il est difficile de définir avec exactitude l'objet dont elle fait l'étude tellement les domaines où elle existe sont variés (topologie de la droite réelle, topologie des graphes, topologie différentielle, topologie complexe, topologie symplectique,...).

Ce que nous pouvons dire dans un premier temps, c'est que dans ses fondements la topologie est très intimement liée à la théorie des ensembles, à l'étude de convergence des suites et séries, à l'analyse fonctionnelle, à l'analyse complexe, au calcul intégral et différentiel, au calcul vectoriel et à la géométrie pour ne citer que les cas les plus importants se trouvant sur le présent site web.

L'origine de la topologie provient des problèmes qu'ont posé les progrès de l'analyse fonctionnelle dans l'étude rigoureuse des fonctions continues, de leur dérivabilité, de leurs limites en un point (fini ou non), de l'existence d'extremums, etc. dans des espaces de dimensions supérieures (au fait, implicitement la topologie a pour objectif de créer des outils qui permettent facilement d'étudier les propriétés des fonctions dans toutes les dimensions). Tous ces concepts, demandaient pour le mathématicien une définition rigoureuse de l'idée intuitive de proximité, tout particulièrement lors d'opérations sur ces fonctions.

Nous allons essayer de dégager les structures qui permettent de parler de limite et de continuité. L'exemple fondamental que nous prendrons est le cas de

(la droite de

pour être rigoureux...).

ESPACE TOPOLOGIQUE

Les espaces topologiques forment le socle conceptuel sur lequel les notions de limite, de continuité ou d'équivalence sont définies.

Le cadre est suffisamment général pour s'appliquer à un grand nombre de situations différentes: ensembles finis, discrets, espaces de la géométrie, espaces numériques à n dimensions, espaces fonctionnels les plus complexes. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des mathématiques, ils sont donc centraux dans la vision moderne des mathématiques.

Si nous pensons à la droite achevée (droite finie), afin d'étudier les concepts susmentionnés, il va falloir que nous mesurions (imaginions...) des morceaux de celle-ci à la règle. Or, les mesures prises de certains intervalles ou de l'ensemble de la droite doivent pouvoir présenter certaines propriétés minimales que nous allons énoncer tout de suite.

Définition: Soit un ensemble non vide X (la longueur d'une règle de plastique par exemple). Une "topologie " ou "espace topologique " sur X est une famille de parties de X (de longueur de notre règle...) appelées "ouverts" V (comme les intervalles ouverts vus dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle) telle que les axiomes suivants soient vérifiés:

A1. L'ensemble vide et X sont considérés comme des ouverts O et appartiennent obligatoirement à la famille de la topologie (ces deux ouverts seuls constituent par ailleurs la "topologie grossière" la plus minimale satisfaisant à tous les axiomes):

En d'autres termes, si nous imaginons notre règle en plastique, la mesure nulle (rigoureusement parlant: l'ensemble vide) doit appartenir à topologie définie sur la règle ainsi que la règle elle-même (vue comme sous-ensemble).

Remarques:

R1. Les mathématiciens notent fréquemment par la lettre O la famille des ouverts et F la famille des fermés. Convention que nous ne suivrons donc pas ici.

R2. Les "fermés" d'une topologie sont les complémentaires des ouverts. Par conséquent, la famille des fermés contient entre autres X et l'ensemble vide...

R3. Il n'y a pas de différence entre partie et sous-ensemble d'un ensemble.

Le couple forme un "espace de Hausdorff" ou "espace séparé" si de plus la propriété suivante dite "axiome de Hausdorff" est vérifiée:

Remarques:

R1. Un exemple bien connu d'espace topologique est muni de l'ensemble F engendré par les intervalles ouverts (par la loi d'union), c'est-à-dire les intervalles ]a,b[.

R2. Nous verrons une application très concrète des espaces de Hausdorff lors de notre étude des fractales dans la section d'Informatique Théorique.

Définition: Si nous notons (X,O) un espace topologique, O désignant les ouverts de X, une "base", au sens topologique, de (X,O) est une partie B de O telle que tout ouvert de O soit réunion d'ouverts de B (c'est la même idée que les espaces vectoriels au fait mais appliquée à des ensembles... rien de bien méchant).

ESPACE MÉTRIQUE ET DISTANCE

Définition: Un "espace métrique" noté (X, d) ou encore est par définition un ensemble X muni d'une application , appelée "distance" ou "métrique", qui satisfait les axiomes suivants:

Remarques:

R1. Certains lecteurs verront tout de suite que certaines de ces propriétés ont déjà été vues dans d'autres chapitres du site lors de l'étude des distances entre points fonctionnels et lors de l'étude des normes (inégalité triangulaire démontrée dans le chapitre de Calcul Vectoriel - la symétrie, la nullité, la positivité, la séparation dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle).

R2. Certains auteurs omettent l'axiome A1 ce qui est rigoureusement juste car découle trivialement de A3.

R3. Un espace métrique sera en général noté (X, d) ou bien encore . Nous pouvons également le noter simplement X si la distance d ne peut être confondue.

La "fonction distance" de est donc notée habituellement dans le sens le plus général qui soit en mathématiques:

Si nous n'imposons pas l'axiome A2, nous disons que d est une "semi-distance" sur X et si nous autorisons une semi-distance d à prendre la valeur , nous préférons dire que d est un "écart".

Remarques:

R1. Si une distance d vérifie la propriété:

(18.5)

propriété plus contraignante que l'inégalité triangulaire dans certains espaces, nous disons que d est "ultramétrique".

Un exemple de distance ultramétrique est l'arbre généalogique:

Figure: 18.1 - Exemple de distance ultramétrique d'un organigramme

Nous avons les distances suivantes:

(18.6)

Nous remarquons que les distances ne s'additionnent pas, mais que nous avons par contre:

(18.7)

Ainsi:

(18.8)

R2. Soit (E,d) un espace métrique et soit une partie de l'ensemble E. L'espace métrique où désigne la restriction de d à est appelé "sous-espace métrique" de (E,d) (il convient de vérifier que la distance d est équivalente à la distance ). Dans ce cas, nous disons aussi que F est munie de la distance induite par celle de E. Nous notons simplement d la distance induite.

E1. Si nous prenons pour X le plan, ou bien l'espace à trois dimensions de la géométrie euclidienne et une unité de longueur, la "distance" au sens usuel du terme est bien une distance au sens des 5 axiomes précédemment cités. Dans ces espaces, les trois points A, B, C satisfont comme nous l'avons démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel:

avec les autres inégalités obtenues par permutation circulaire de A, B, C. Ces inégalités sont bien connues par exemple entre les longueurs des côtés d'un triangle.

E2. Si nous prenons , et que nous dotons d'une structure d'espace vectoriel euclidienne (et non pas non-euclidienne) et que nous prenons deux points:

Cette distance satisfait aux 5 axiomes de la distance et nous l'appelons la "distance euclidienne". Nous pouvons prendre (c'est une propriété intéressante pour la culture générale), que toute relation de la forme:

est aussi une distance dans (sans démonstration). Dans le cas particulier avec , nous avons bien évidemment:

Les mathématiciens font encore plus fort en généralisant encore plus (la démonstration a peu d'intérêt pour l'instant) la relation antéprécédente (en prenant en compte la définition même de la distance) sous la forme:

Remarque: Suite à l'intervention d'un lecteur nous précisons qu'en toute rigueur l'inclusion ci-dessus devrait être notée où est la droite achevée (précision également valable pour l'inégalité de Minkowski ci-dessous).

Au même titre pour l'inégalité triangulaire, donnée alors par (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

La généralisation, de par la vérification de l'existence de la distance höldérienne, nous donne la vraie "inégalité de Minkowski":

Ainsi, si et nous avons le module qui de la même manière que la norme dans , forme une distance:

Il est assez facile de vérifier que cette distance vérifie les 5 axiomes et qu'elle est de plus ultramétrique. Cette distance est appelée "distance discrète" et le lecteur remarquera que, par analogie, nous avons opté d'exprimer cette distance par le symbole de la fonction Dirac (ce n'est pas innocent !!) plutôt que le traditionnel d.

DISTANCES ÉQUIVALENTES

Parfois, deux distances différentes d et sur un même ensemble E sont assez ressemblantes pour que les espaces métriques liés possèdent les mêmes propriétés pour certains objets mathématiques définis par d d'une part, et par d'autre part. Il existe plusieurs notions de ressemblances dont voici une première (avant les autres qui nécessitent des outils mathématiques que nous n'avons pas encore définis):

Définition: Soient d et deux distances sur un même ensemble E, d et sont dites "distances équivalentes" s'il existe deux constantes réelles telles que

L'intérêt de cette définition est le suivant: si nous avons convergence pour l'une des métriques, alors nous aurons la convergence pour l'autre aussi. Plus clairement:

FONCTIONS LIPSCHITZIENNES

Relativement aux définitions précédentes, nous pouvons maintenant assigner quelques propriétés supplémentaires aux fonctions telles que nous les avions énoncées dans le chapitre de Théorie Des Ensembles:

Soient (E, d) et des espaces métriques, et soit une fonction. Nous définissons les propriétés suivantes:

Si nous prenons la distance usuelle, la fonction k-lipschitzienne s'écrit alors:

Ou ce qui revient au même: toutes les cordes tracées entre 2 points quelconques du graphe ont un coefficient directeur (dérivée) compris entre -k et k.

Par exemple, la fonction sin(x) est 1-lipschitzienne (car la dérivée du cosinus est en valeur absolue comprise entre 0 et 1).

P2. Nous disons que deux espaces métriques sont "isométriques" s'il existe une isométrie surjective de l'un sur l'autre (ce qui est assez rassurant en géométrie...).

P3. f est dite "L-lipschitzienne" de constante (ou "de rapport") L s'il existe tel que:

Si , nous disons que f est "contractante" (ou une "contraction"), et si , nous disons que f est strictement contractante.

P4. Toute fonction f lipchitzienne est uniformément continue (voir plus loin le concept "d'uniforme continue") si elle vérifie:

avec et (la réciproque n'est pas vraie: toute fonction uniformément continue n'est pas nécessairement continue). En d'autres termes, si nous pouvons rapprocher deux points aussi près que nous voulons dans un espace, nous le pouvons aussi dans l'autre (ce qui assure en quelque sorte la dérivation).

Remarques:

R1. Une isométrie est toujours injective car:

(18.29)

mais elle n'est pas en général surjective.

R2. Si (E, d) et sont isométriques, du point de vue de la théorie des espaces métriques ils sont indiscernables, puisque toutes leurs propriétés sont les mêmes, mais leurs éléments peuvent être de nature très différente (suites dans l'un et fonctions dans l'autre par exemple).

ENSEMBLES OUVERTS ET FERMÉS

Définition: Considérons un ensemble E muni d'une distance d. Un sous-ensemble U de E est dit "sous-ensemble ouvert" si, pour chaque élément de U, il existe une distance r non nulle pour laquelle tous les éléments de E dont la distance à cet élément est inférieure ou égale à r, appartiennent à U, ce qui se traduit en langage mathématique:

Remarque: Le symbole / signifie dans ce contexte "satisfait la propriété".

Cette définition peut sembler complexe mais en fait, sa signification concrète est plus simple qu'il n'y paraît. En fait, selon cette définition, un ensemble ouvert dans un espace topologique n'est rien d'autre qu'un ensemble de points contigus et sans bords.

L'absence de bord découle de la condition . En effet, en raisonnant par l'absurde, si un ensemble ouvert U avait un bord, alors pour chaque point situé sur celui-ci (le bord) il serait toujours possible de trouver un point n'appartenant pas à U aussi proche que l'on veut de lui. Il s'ensuit que la distance r nécessaire devient donc nulle.

D2. Un "voisinage" d'un point de E est une partie de E contenant un ouvert contenant ce point.

La définition d'un ensemble ouvert peut être simplifiée en introduisant une notion supplémentaire, celle de "boule ouverte":

BOULES

Définition: Une "boule ouverte de centre x et de rayon r>0" ou "boule métrique de rayon r centrée en x" est le sous-ensemble de tous les points de E dont la distance à x est inférieure à r, ce que nous écrivons:

Un ensemble ouvert peut également être défini comme un ensemble pour lequel il est possible de définir une boule ouverte en chaque point.

Remarques:

R1. Les ouverts ainsi définis, forment ce que nous appelons une "topologie induite" par la distance d ou aussi "topologie métrique".

R2. Nous appelons une "couverture ouverte" U de E, un ensemble d'ouverts de E dont la réunion est E.

Définition: Une "boule fermée" est similaire à une boule ouverte mais diffère dans le sens que nous y incluons les éléments situés à la distance r du centre:

Remarque: Pour les inclusions sont des conséquences directes de la définition de boule ouverte et fermée.

La distance usuelle dans

est donnée par . Les boules y sont de simples intervalles. Pour et , nous avons:

Remarque: Puisque par définition, , les boules ouvertes et fermées ne sont pas vides car elles contiennent au moins leur centre. Par contre, une sphère peut être vide.

Avec nous avons vu dans les exemples précédents que nous pouvions définir différentes distances. Pour les distinguer, nous les notons:

Alors, dans les boules fermées de centre O et de rayon unité équivalentes aux trois formulations précédentes, ont la forme suivante (rappel: dans cet exemple):

PARTIES

Maintenant que nous avons défini les concepts de boules, nous pouvons enfin définir rigoureusement les concepts d'intervalles ouverts et fermés (qui dans un espace à plus d'une dimension sont nommés "parties") dont nous avons fait si souvent usage dans les chapitres d'Analyse Fonctionnelle et de Calcul Intégral Et Différentiel.

Définition: Soit (X, d) un espace métrique. Nous disons qu'une partie A de X est "bornée" s'il existe une boule fermée telle que :

Compte tenu de la remarque précédente sur les inclusions des boules, il est clair que nous pouvons remplacer l'adjectif "fermée" par "ouverte". De plus l'inégalité triangulaire entraîne que le caractère borné de A ne dépend pas du choix de (avec un il suffit de remplacer r par ).

D1. Soit X un ensemble et (Y,d) un espace métrique. Si X est un ensemble, nous disons qu'une fonction est "bornée" si son image f(X) est bornée (cas de la fonction sinus ou cosinus par exemple).

D2. Soit (E,d) un espace métrique, et soit A une partie non vide de E. Pour tout nous notons d(u,A) et nous appelons "distance de u à A", le nombre réel positif:

Si A et B sont deux parties de E nous avons respectivement (c'est peut-être plus compréhensible ainsi...):

Il faut faire ici attention a bien interpréter comme l'infinimum de la distance entre les ensembles A et B, car la distance entre les parties ne définit pas toujours une distance sur la partie . Effectivement, Si nous prenons et nous avons quand tandis que .

Remarques:

R1. Si le lecteur a bien compris la définition du concept de "parties" il remarquera qu'il n'existe pas nécessairement toujours un tel que . En conséquence, nous écrivons trivialement:

(18.40)

De plus, si un tel existe, il n'est bien évidemment pas nécessairement unique.

R2. Il convient peut être de rappeler que cette distance satisfait également les 5 axiomes des distances.

D3. Soit (E, d) un espace métrique, et soit A une partie de E. Nous appelons "adhérence" de A et notons adh(A) le sous-ensemble de E défini par:

Par exemple, l'adhérence du sous-ensemble des rationnels (la partie A) de

(l'espace métrique E) est un sous-ensemble de

lui-même puisque tout nombre réel est limite de rationnels.

Remarques:

R1. Tout élément de l'ensemble adh(A) est dit "point adhérent" à A

R2. Nous disons qu'une partie A de E est une "partie fermée" si elle est égale à son adhérence

R3. Nous disons qu'une partie A de E est une "partie ouverte" si son complémentaire par rapport à E:

(18.42)

est fermé.

BOULES GÉNÉRALISÉES

La notion de distance d'un point à un ensemble permet d'étendre les notions de boule et de sphère.

D1. Soit et soit un . Nous appelons "boule ouverte généralisée" de centre A et de rayon r, l'ensemble suivant:

D2. Soit (E, d) un espace métrique et soient A, B deux parties non vides de E. Nous notons g(A,B) et appelons "gap" (qui signifie "écartement" ou "espacement" en français) de A à B, le nombre réel supérieur ou égal à zéro:

Remarque: L'inégalité triangulaire n'est pas valide dans le cadre des gap. Il suffit pour le démontrer, d'un seul et unique exemple qui contredirait l'inégalité.

DIAMÈTRE

Définition: Soit (E,d) un espace métrique et soit A une partie non vide de E. Nous notons diam(A) et nous appelons "diamètre" de A, le nombre réel positif non nul:

Toute partie non vide A d'un espace métrique vérifiant sera aussi dite "bornée".

Remarque: Nous considérons la partie vide comme un borné de diamètre A

Si l'espace métrique (E, d) tout entier est borné, nous disons que la distance d est bornée. Par exemple, la distance discrète est bornée, la distance usuelle sur ne l'est pas.

Nous avons aussi les propriétés suivantes (les deux premières sont normalement triviales, la troisième découle de la définition du diamètre):

Attention concernant cette propriété il faut perdre l'habitude de penser avec la distance euclidienne. Le premier piège fréquent est de penser que le deuxième diamètre (celui de la boule ouverte) devrait être strictement inférieur mais ce serait oublier que le bord n'a pas d'épaisseur rigoureusement parlant!

Il y a aussi qui pose souvent problème. Pour s'en convaincre il suffit de prendre la distance discrète (qui vaut si deux points sont pas confondus 0, sinon 1). Ainsi, dans un espace métrique où nous prenons avec , nous avons (c'est un cas intéressant car complètement contre-intuitif).

Pour s'en convaincre, dans prenons , nous avons alors (infériorité stricte triviale):

Définition: Nous appelons "excès de Hausdorff" ou "distance de Hausdorff" de A sur B:

que l'on retrouve aussi souvent noté dans la littérature avec la notation plus condensée:

Prenons le cercle unité centré à l'origine et pour B le carré qui lui est circonscrit. Des notions de géométrie élémentaire nous amène évidemment à constater que la distance de Hausdorff entre le cercle et le carré est donc:

Remarque: Nous avons en général et ces quantités peuvent ne pas être finies.

VARIÉTÉS

Nous introduisons maintenant les "variétés". Ce sont des espaces topologiques qui sont "localement comme " (notre espace par exemple...).

D1. Une "variété topologique de dimension n" est un espace de Hausdorff M tel que pour tout il existe un voisinage ouvert avec , un voisinage ouvert et un homéomorphisme:

D2. Un "homéomorphisme" entre deux espaces est une bijection continue dont l'inverse est également continue.

D3. Les couples sont appelés des "cartes", U étant le "domaine de la carte" et "l'application de coordonnées". Au lieu de "carte" nous disons parfois aussi "système de coordonnées".

Remarque: Nous noterons par dim M la dimension d'une variété topologique. Ainsi:

(18.59)

D4. Soit M une variété topologique de dimension n. Une famille A de cartes de M est appelée un "atlas" si pour tout , il existe une carte telle que .

Remarque: Notons que si sont deux cartes de M telles que (ne vérifiant pas l'axiome de Hausdorff) , alors l'application de changement de cartes:

(18.60)

Figure: 18.4 - Exemple de changement de cartes

est un homéomorphisme.

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

D1. Une "variété différentiable" est un espace topologique M où les applications sont des fonctions de classe .

D2. Un "difféomorphisme" est une application où sont des domaines ouverts de et si f est un homéomorphisme et en plus si sont différentiables.

Remarque: "différentiable" dans ce contexte signifiera toujours différentiable de classe

D3. Soit une variété topologique (pour simplifier l'écriture), deux cartes de M sont des "cartes compatibles" (plus précisément, compatibles de classe ), si l'une des deux propriétés suivantes est vérifiée:

Un atlas A de M est différentiable si toutes les cartes de A sont compatibles entre elles.

Remarque: Étant donné un atlas différentiable, il est parfois nécessaire de le compléter: nous disons qu'une carte de M est compatible avec un atlas différentiable si elle est compatible avec chaque carte de A. Un atlas de A est un "atlas maximal" si toute carte compatible avec A appartient déjà à A. Un atlas maximal est appelé une "structure différentiable".