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44. PHYSIQUE NUCLÉAIRE

LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

L’ARME NUCLÉAIRE

Sans souhaiter faire d’amalgame, nous considérons qu’il est indispensable, à l’époque où l’arme nucléaire sert de moyen de dissuasion et donc d’élément de stabilité planétaire (mais également de menace de destruction…), à la culture générale de l’ingénieur de connaître certaines propriétés élémentaires de la bombe atomique à fission. Nous allons donc exceptionnellement dans ce petit sous-chapitre sans mathématiques (les développements mathématiques de l’arme nucléaire et des centrales nucléaires seront présentés lors de notre étude de la neutronique plus loin) parler un petit peu de cette arme de destruction massive qui fascine souvent les jeunes étudiants.

Certes, nous étudierons plus tard théoriquement comment provoquer une réaction en chaîne divergente dans un volume donné. Cependant, il ne faudra évidemment pas s’attendre à acquérir les connaissances nécessaires à la fabrication d’une telle arme puisque celle-ci ne fait pas appel uniquement à des connaissances de la physique, mais également à de l’électronique, mécanique, chimie, mathématiques, etc.

S’agissant d’une explosion, l’usage s’est immédiatement introduit de comparer l’énergie d’une arme nucléaire à celle d’un explosif courant: le Trinitrotoluène (T.N.T). Ce T.N.T fournit 4’200’000 Joules par Kilo, mais les énergies des armes nucléaires sont telles qu’il est plus parlant de les évaluer en milliers de tonnes – ou kilotonnes de T.N.T (ultérieurement les armes thermonucléaires représentèrent un nouveau bond dans les énergies explosives: l’unité pratique de comparaison est le million de tonnes – Mégatonne de T.N.T).

La fission de 56 grammes d’Uranium 235 ou de Plutonium 239 donne l’équivalent de 1 kilotonne avec la fission de  atomes (ce n’est même pas une valeur entière du nombre d’Avogadro!!).

La première explosion nucléaire expérimentale, à Alamogordo le 16 juillet 1945 – fut évaluée à 20 kt, avec une bonne précision car il avait été possible de mettre en place de multiples dispositifs de mesure.

Celles du 6 août, sur Hiroshima (à Uranium 235) puis du 9 août sur Nagasaki (au Plutonium 239) furent d’abord estimées aussi à 20 kt. Ultérieurement, et par étude fine sur les effets de souffle, leurs énergies furent respectivement ramenées à environ 17 et respectivement 15 kt. Cela n’en représentait pas moins l’équivalent d’un chargement en T.N.T. d’un convoi de l’ordre de 6’000 camions de l’US Army.

Voici un schéma à la fois intéressant et persuasif des effets d’une bombe atomique (pour information à partir d’une vitesse de 220 [km/h] un être humain moyen est soulevé du sol):

Figure: 44.1 – Effets d’une arme à fission de 1 Mt en fonction de la distance (source: Pour la Science)

Donc en d’autres termes voici en résumé et en approximations les effets d’une arme à fission de 1 Mt explosant à 2’450 mètres d’altitude (tout en sachant qu’aujourd’hui les Américains et les Russes ont des armes nucléaires à fusion dont la puissance de feu dépasserait les 50 mégatonnes…):

Jusqu’à 1.3 [km], tout est rasé, même les bâtiments en béton armé. Jusqu’à 4.8 [km], la plupart des usines et des bâtiments commerciaux sont détruits; les habitations faites de briques et de bois sont anéanties, et leurs débris éparpillés. Jusqu’à 7 [km], les ensembles commerciaux de structure légère et les résidences privées sont démolis. Les constructions plus lourdes sont sérieusement endommagées. Jusqu’à 9.5 [km], les murs des bâtiments légers sont renversés, les résidences privées gravement détériorées. Le souffle (ou surpression) est encore assez puissant pour tuer les personnes qui se trouvent à l’extérieur (explosion des poumons). Jusqu’à 18.6 [km], différents édifices sont endommagés, les rues sont jonchées de débris de vitres et de tuiles. 10 à 20 minutes après la déflagration, les débris aspirés dans la dépression de la tige du champignon atomique, retombent au sol. Suivent 1 à 2 heures après, les débris se situant dans le champignon (sa tête).

La plupart des effets représentés sur le schéma ne sont pas proportionnels à l’énergie. Il n’y a donc pas lieu de faire une simple multiplication pour une arme ayant une puissance multiple de celle utilisée pour le graphique ci-dessus!

Avant de nous attaquer à la partie mathématique, nous tenons à souligner et à rappeler que nous allons nous limiter uniquement aux développements théoriques effectués entre 1890 et environ 1935 (au-delà la complexité des théories nécessite trop de pages pour un site Internet généraliste).

RADIOACTIVITÉ

Lorsque nous analysons expérimentalement la radioactivité, nous nous apercevons d’abord que le noyau n’émet pas ses constituants. Ensuite, nous découvrons de nouvelles forces, qui luttent et dominent  à tour de rôle. Enfin, de nouvelles particules de matière, et même d’antimatière apparaissent. Le décryptage de ces énigmes a fourni une image cohérente du monde infiniment petit dont la radioactivité a révélé l’existence, un monde où les lois physiques échappent à une intuition issue de la pratique quotidienne de notre monde macroscopique.

D’emblée, la radioactivité a surpris. Dès 1900, il était connu que les rayonnements émis par l’Uranium et ses descendants avaient trois composantes, baptisées: "alpha" , "bêta" et "gamma"  séparables par l’action d’un champ magnétique comme représenté symboliquement dans l’image ci-dessous:

Figure: 44.2 – Séparation des rayonnements à l’aide d’un champ magnétique (source: Pour la Science)

Plus tard, il fut montré que la radioactivité alpha était l’émission de noyaux d’hélium (2 protons et 2 neutrons) , la radioactivité bêta l’émission d’électrons. De ces observations, il était logique de déduire que le noyau était constitué de ces trois types de particules (protons, neutrons et électrons), ce qui n’est pas le cas: les constituants du noyau n’ayant été découverts par J. Chadwick qu’en 1932.

Alors, pourquoi les noyaux radioactifs n’émettent-ils pas des protons ou des neutrons? Comment les noyaux éjectent-ils autre chose que leurs constituants? Ces questions doivent être précédées d’une autre, sans doute plus fondamentale pourquoi certains noyaux sont-ils radioactifs? La réponse est la même pour tous les phénomènes physiques spontanés. La pomme tombant de l’arbre, par exemple: c’est parce que le système peut rejoindre un état plus stable en perdant de l’énergie potentielle, l’excédent d’énergie s’échappant sous forme d’énergie cinétique, c’est-à-dire sous la forme de mouvement.

Cette raison explique aussi pourquoi les isotopes n’émettent pas de protons ou neutrons seuls car souvent au niveau de la structure quantique du noyau, il est plus favorable au niveau énergétique d’émettre un petit noyau ou de changer un neutron en proton (l’étude quantique du noyau dépasse le cadre mathématique des sujets traités sur ce site web).

Définitions:

D1. Tout élément chimique (cf. section de chimie) est caractérisé par son nombre de protons Z appelé "nombre atomique".

D2. Le "nombre de masse" A est par définition le nombre de protons Z sommé du nombre de neutrons N de l’élément chimique donné. Ainsi, ce dernier se trouve entièrement caractérisé si nous connaissons son nom ou son nombre atomique Z et son nombre de neutrons N ou son nombre de masse. Nous notons usuellement n’importe quel élément sous la forme:

  (44.1)

Les éléments chimiques d’une même espèce (même Z) peuvent avoir différents nombres de neutrons N, c’est-à-dire différents nombres de masse A, nous parlons alors "d’isotopes" ou de "nucléides" (aujourd’hui cela paraît évident comme définition mais il a fallu de nombreuses années de recherche pour arriver à ce concept et on le droit particulièrement à Niels Bohr). Les éléments chimiques qui ont le même A sont appelées des "isobares".

Évidemment, l’énergie nucléaire (du noyau) associée à un même élément chimique diffère selon le nombre de masse et il existe nous le verrons un nombre A pour lequel l’énergie est minimale. Les isotopes pour lesquels l’énergie n’est pas minimum pourront, pour certains d’entre eux et de façon spontanée, libérer l’excès d’énergie en se désintégrant.

D3. La propriété qu’ont certains atomes de modifier spontanément la structure de leurs noyaux pour atteindre un niveau d’énergie inférieur, plus fondamental, est appelée "radioactivité". Nous parlons alors de "radio-isotopes" pour les atomes concernés.

Les propriétés chimiques d’un atome dépendent (cf. section de chimie) du nombre et de la disposition des électrons dans son nuage. Ainsi tous les isotopes d’un même élément chimique ont les mêmes propriétés chimiques (c’est cette caractéristique chimique qui est à la base de la médecine nucléaire). Ce sont en quelque sorte des atomes "frères". Cependant, la légère différence de masse de leur noyau fait que leurs propriétés physiques se différencient quelque peu.

D4. Enfin, les "isotones" sont les isotopes de différents éléments chimiques (différents Z) ayant le même nombre de neutrons N.

Plutôt que de parler "d’éléments chimiques" lorsque l’on fait en réalité implicitement référence au noyau, on préfère utiliser le terme de "nuclide".

La petitesse des atomes pose un problème évident de mesure de masse. C’est pourquoi il a été préféré par les physiciens et les chimistes de mettre en place un système de masse atomique qui est un système de nombres proportionnels à la masse réelle des atomes.

Comme il y a une infinité de systèmes de nombres, un a été choisi judicieusement comme référence et c’est le chiffre 12 pour l’isotope 12 du Carbone:

    (44.2)

où "uma" est l’abréviation de "unités de masse atomique".

Ceci a pour conséquence intéressante de conférer au proton et au neutron des masses atomiques très voisines de l’unité.

Nous pouvons donc relier le système S.I. (cf. chapitre Principes) avec le système des unités de masse atomique (uma).

D5. "L’unité de masse atomique" est par définition la masse du 1/12 de l’atome de Carbone , nous avons (la masse des électrons est négligée car très faible par rapport à celle des nucléons):

  (44.3)

pour la valeur admise le lecteur devra se reporter à la littérature des normes internationales ad hoc (car celle-ci varie en fonction des nouvelles versions des normes).

Donc la masse du proton en uma vaut:

  (44.4)

Attention, cependant la masse molaire d’un isotope différent que le  ne peut pas être calculée par addition des masses des nucléons (protons et neutrons) qui compose son noyau, car il faut tenir compte du défaut de masse (notion que nous verrons plus loin).

Les masses peuvent être aussi exprimées en unités d’énergie puisqu’il y a équivalence masse-énergie comme nous l’avons vu en relativité restreinte d’après la relation   (cf. chapitre de Relativité Restreinte). L’unité d’énergie en physique nucléaire souvent utilisée est "l’électronvolt".

D6. Un "électronvolt" noté [eV] est l’énergie acquise par une charge élémentaire soumise à une différence de potentiel de 1 [V].

Ainsi, d’après la relation entre l’énergie et le potentiel électrostatique  (cf. chapitre d’Électrostatique), nous avons: 

  (44.5)

Nous en tirons puisque la vitesse de la lumière dans le vide vaut :

  (44.6)

Encore une fois, pour la valeur admise le lecteur devra se reporter à la littérature des normes internationales ad hoc (car celle-ci varie en fonction des nouvelles versions des normes).

DÉSINTÉGRATION

Certains noyaux possèdent donc la propriété de modifier spontanément leur structure interne pour atteindre un niveau d’énergie plus fondamental. Cette transformation s’accompagne de l’émission de particules et/ou de rayonnements électromagnétiques. Le noyau résiduel peut être lui aussi radioactif et subir d’autres transformations par la suite ou être stable.

La désintégration radioactive d’un isotope est un phénomène aléatoire et nous ne pouvons jamais dire à quel moment un noyau va se désintégrer (probabilité sans effet de mémoire).

Nous ne pouvons donner que la probabilité de désintégration par unité de temps. Cette probabilité est donnée par la "constante radioactive" et a pour unité l’inverse du temps tel que . Cette constante peut être calculée comme nous l’avons déjà vu lors de l’étude de l’effet tunnel dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire. 

La constante radioactive varie pour tous les isotopes connus:

  (44.7)

Soit N(t) le stock d’atomes d’un isotope radioactif au temps t. Le nombre d’atomes se désintégrant durant le temps infinitésimal dt est donc égal à:

    (44.8)

conduisant à une diminution du stock égale à:

  (44.9)

L’équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Intégral Et Différentiel) s’écrit donc:

  (44.10)

ou:

  (44.11)

qui a pour solution très simple (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (44.12)

avec  le stock de noyaux au temps .

Dans la pratique, la mesure de la constante radioactive se fait à l’aide de la décroissance de l’activité (voir plus loin) de l’isotope intéressé.

DEMI-VIE D’ISOTOPE

Définition: La "période radioactive" ou de "demi-vie"  d’un isotope est le temps moyen qu’il faut attendre pour que 50% du stock de noyaux radioactifs d’un isotope donné soit désintégré:

  (44.13)

Nous avons ainsi une relation très importante entre la période de demi-vie et la constante radioactive!

Si le radio-isotope a le choix de se désintégrer selon deux voies de désintégrations distinctes caractérisées par deux périodes radioactives distinctes  et , la demi-vie de ce nucléide est définie par la moyenne:

  (44.14)

et nous calculons le nombre de nucléides restant par la relation:

  (44.15)

ACTIVITÉ RADIOACTIVE

Définition: L’activité A d’une source radioactive est le nombre de désintégrations par unité de temps.

L’ancienne unité de mesure de la radioactivité était le "Curie" [Ci] . Le Curie avait été défini dans un premier temps comme l’activité d’environ un gramme de radium, élément naturel que nous retrouvons dans les sols avec l’Uranium. Cette unité est beaucoup plus grande que la précédente car par définition 1 [Ci] correspond à 37 milliards de désintégrations par seconde:

  (44.16)

L’activité s’obtient par la dérivation temporelle du stock d’atomes d’un échantillon donné:

  (44.17)

La relation dite "équation d’activité":

  (44.18)

montre ainsi que l’activité d’un nombre donné d’atomes N d’un isotope radioactif est proportionnelle à ce nombre et inversement proportionnelle à la demi-vie de l’isotope (de par la relation vue plus haut entre la constante radioactive et la période de demi-vie).

Exemple: 

Un gramme de  contient (il faut régulièrement se référer aux normes d’usage pour les valeurs des constantes utilisées):

  (44.19)

donc l’activité de ce gramme vaut connaissant :

  (44.20)

Par le même raisonnement, mous montrons que l’activité au cours du temps suit la même loi exponentielle que la diminution du nombre de nucléides:

  (44.21)

avec:

  (44.22)

Expérimentalement pour déterminer la période de demi-vie d’un isotope radioactif, nous procédons de la manière suivante:

1. Nous choisissons un échantillon pur d’un isotope dont nous souhaitons déterminer la période de demi-vie.

2. Au temps  nous mesurons à l’aide d’un détecteur pendant un intervalle de temps  fixé le nombre de désintégrations. Nous avons alors le nombre de désintégrations pendant un intervalle de temps en début d’expérience (l’unité de la mesure est alors les désintégrations et non pas le nombre de désintégrations par seconde).

3. Ensuite, pendant chaque  consécutif (l’intervalle de temps est fixé) nous mesurons le nombre de désintégrations pendant cet intervalle de temps. Cela nous donne donc une série de mesures du nombre de désintégrations observées pour  

4. À l’ensemble des mesures de désintégrations effectuées, nous enlevons le bruit de fond du laboratoire

Puisque:

  (44.23)

En prenant le logarithme népérien nous avons:

  (44.24)

Soit:

  (44.25)

Il s’agit donc de l’équation d’une droite de pente  et d’ordonnée à l’origine . Ainsi, la constante radioactive est immédiatement mesurée et l’on en déduit rapidement la période de demi-vie à l’aide de la relation démontrée plus haut:

  (44.26)

DATATION AU CARBONE 14

Certains éléments radioactifs naturels constituent de véritables chronomètres pour remonter dans le temps. Des méthodes de datation ont été mises au point, fondées sur la décroissance progressive de la radioactivité contenue dans les objets ou vestiges étudiés. On peut ainsi remonter jusqu’à des dizaines de milliers d’années dans le passé avec le carbone 14, voire bien d’avantage avec d’autres méthodes telles que la thermoluminescence ou la méthode uranium-thorium. La datation au carbone 14 permet d’aborder l’étude de l’histoire de l’homme et de son environnement pendant la période de 5’000 à 50’000 ans à partir du temps présent.

Le carbone naturel est composé de deux isotopes stables: le  (98.892%) et  (1.108%). Il n’existe donc pas de  dans le carbone naturel. Ce dernier est produit en haute atmosphère par l’action de neutrons cosmiques sur le . Nous parlons alors de "capture neutronique" (voir plus loin) ou "activation ". Ainsi, continûment du  est produit en haute atmosphère et se désintègre naturellement avec une période de 5’700 ans. Nous nous imaginons aisément  que la concentration en  s’équilibre lorsque le taux de production est égal au taux de disparition suite au processus de désintégration radioactif (sinon quoi il n’y aurait plus que du partout).

Il se forme environ 2.5 atomes de  par seconde et par  de surface Terrestre (ce chiffre est cependant dépendant de beaucoup de facteurs mais en amplitude négligeable sur le très long terme. Vous pouvez trouver des ouvrages entiers traitant du sujet), la contribution positive au nombre d’atome de  vaut environ:

  (44.27)

R étant le rayon de la Terre.

Ou encore en débit de masse cela représente:

  (44.28)

Le taux de disparition est égal au taux de production radioactif, c’est-à-dire:

    (44.29)

car:

  (44.30)

Comme le taux de disparition vaut:

  (44.31)

Nous en déduisons qu’il y a  atomes de . Le lecteur pourra vérifier en divisant par la masse de l’atome de que cela fait une énorme masse présente dans l’atmosphère.

Ce radio-isotope se retrouve sous la forme chimique  et pénètre par photosynthèse et métabolisme dans le règne végétal et animal. À la mort de la plante ou de l’animal, la teneur en  reste figée et commence à décroître par désintégration radioactive au cours des âges.

  (44.32)

La datation n’est donc qu’une simple comparaison entre la concentration en  de la matière vivante et de la matière morte. De fait, on détermine les activités spécifiques

  (44.33)

Les archéologues peuvent ainsi aisément dater ce qu’ils veulent avec une relativement bonne approximation.

FILIATION RADIOACTIVE

Définition: Une filiation radioactive (dite aussi "série de décroissance radioactive" ou encore "décroissance multiple") est par définition la stabilisation d’un noyau appelé "noyau mère" en une succession de désintégrations. Chaque étape est caractérisée par un état intermédiaire correspondant à un radionucléide appelé "nucléide fille" de l’élément mère. Nous avons:

  (44.34)

où le petit symbole * désigne un isotope radioactif donné, l’isotope stable de la filiation radioactive de l’élément mère (les éléments entre deux étant tous des nucléides instables).

Exemple:

Considérons le problème à 2 corps  (nous ne nous intéresserons pas aux cas supérieurs excepté sur demande). Supposons qu’à l’origine des temps, le premier descendant n’existe qu’en quantité négligeable:

Conditions Initiales (C.I.) à :

  (44.35)

La variation de l’élément mère (1) n’est donnée que par une contribution négative, la désintégration de 1. 

Nous avons:

  (44.36)

avec pour solution tenant compte des conditions initiales:

  (44.37)

La variation de l’élément descendant (2), c’est-à-dire la fille de 1, est donnée par une contribution positive (les atomes de (1) désintégrés) et une négative, la désintégration de 2. On a:

  (44.38)

il faut donc résoudre cette équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral).

Nous avons comme solution homogène (équation caractéristique ECAR):

  (44.39)

Nous tirons la solution de l’équation homogène comme:

    (44.40)

avec la lettre h pour signifier qu’il s’agit de la solution "homogène".

Déterminons maintenant la solution particulière de:

  (44.41)

La démarche consiste à poser que:

    (44.42)

avec la lettre p pour "particulière". En substituant nous trouvons:

  (44.43)

Car si nous avions  nous aurions une égalité nulle ce qui est absurde et nous avons dès lors: 

  (44.44)

d’où nous tirons que:

  (44.45)

Finalement la solution générale est la somme de la solution homogène et de la particulière, ainsi:

  (44.46)

Appliquons les conditions initiales: 

  (44.47)

Finalement nous avons:

  (44.48)

Nous laisserons le soin au lecteur de tracer les graphiques de:

 et   (44.49)

pour voir l’allure que cela à s’il en ressent le besoin.

étant nul pour  et pour , obligatoirement il passe, comme l’activité , par un maximum. Soit  le temps où le maximum est observé, nous avons:

  (44.50)

d’où:

  (44.51)

La connaissance de  est importante en particulier en médecine nucléaire où nous désirons administrer le produit 1 à des fins radiodiagnostiques et minimiser les effets néfastes du/des produit(s) fille(s) de 1. Nous choisissons alors des produits tels que le temps  soit supérieur au temps d’élimination biologique (voies d’élimination naturelle de l’organisme) de sa fille. Nous y reviendrons d’ici quelques paragraphes après avoir étudié les trois scénarios classiques de la filiation radioactive:

ÉQUILIBRE SÉCULAIRE

Ce type de relation entre activités mère et fille intervient quand la demi-vie du noyau mère est beaucoup plus grande que celle du noyau fille. En d’autres termes, la décroissance du noyau mère est négligeable et l’activité du descendant tend vers celle du parent.

Nous avons alors dans ce cas particulier:

  (44.52)

Donc nous avons pour l’activité en utilisant la relation précédemment démontrée:

  (44.53)

Donc:

  (44.54)

Nous voyons aussi que dans le cas où  et , nous avons:

  (44.55)

en d’autres termes, les activités mère et fille, deviennent équivalentes après un certain temps suffisamment grand. Par exemple, après un temps d’une demi-vie de l’isotope fille, nous avons déjà l’activité fille qui est égale à 50% de celle de l’activité mère:

  (44.56)

Si nous avons le cas où l’approximation suivante est acceptable:

  (44.57)

nous aurons alors:

ÉQUILIBRE TRANSITOIRE

Ce type de relation entre activités mère et fille intervient quand la demi-vie du noyau mère est plus grande que celle du noyau fille (mais pas beaucoup beaucoup plus grande contrairement au cas de l’équilibre séculaire). En d’autres termes, la décroissance du noyau mère et l’activité des descendants sont égales à un facteur constant près (en d’autres termes, leurs courbes de décroissance radioactive sont parallèles après un temps suffisamment long).

Nous avons alors dans ce cas particulier:

  (44.58)

Donc nous avons pour l’activité en utilisant la relation précédemment démontrée:

  (44.59)

Après un temps suffisamment long, il vient:

  (44.60)

où nous voyons que le facteur:

  (44.61)

est supérieure à l’unité. Donc après un temps suffisamment long, non seulement l’activité de l’isotope fille est parallèle à celle de la mère mais en plus elle lui est supérieure.

NON-ÉQUILIBRE

Ici le temps de demi-vie de l’élément-fils est supérieur à celui de l’élément mère. En d’autres termes nous avons l’hypothèse:

  (44.62)

Ceci implique pour rappel que la probabilité de désintégration de l’élément mère (1) est supérieure à celle de l’élément fils (2) ce qui est logique ici.

L’activité de l’isotope fille croît alors dans l’échantillon suivant la relation démontrée juste plus haut:

  (44.63)

Finalement, après un temps suffisamment long, seule l’activité de l’élément fils restera, puisque l’activité de l’élément mère disparaît à un taux plus élevé selon:

Après un temps , l’activité de l’élément fils atteindra une valeur maximale pour:

  (44.64)

Soit:

  (44.65)

Ce qui se simplifie en:

  (44.66)

Il vient alors immédiatement le résultat déjà démontré lors de l’exemple présenté plus haut:

  (44.67)

Enfin, considérons le cas extrême de la situation de non-équilibre qui consiste à considérer le cas où:

  (44.68)

En d’autres termes que l’élément fils n’est pas radioactif. Nous tombons alors sur le cas classique:

  (44.69)

PHÉNOMÈNES RADIOACTIFS

Lorsque nous "pesons" un noyau, nous constatons expérimentalement un fait très important!: sa masse est inférieure à la somme des masses de ses constituants. Cette différence est appelée le "défaut de masse" et est relativement bien déterminée avec des modèles théoriques simplificateurs.

Le défaut de masse est alors donné par définition:

  (44.70)

avec  étant la masse du noyau dans son état fondamental,  la masse du proton et  la masse du neutron.

La masse d’un ensemble de nucléons liés est inférieure à la somme des masses des nucléons isolés (suffisamment éloignés en tout cas pour ne pas interagir). Nous tirons de la relativité restreinte (voir chapitre du même nom) que:

  (44.71)

où  est l’énergie de liaisons des nucléons composants le noyau (>0).

 est donc positif pour tous les éléments (émission d’énergie et donc de masse vers le système extérieur). Si tel n’était pas le cas, les nucléons n’auraient aucune raison de se mettre ensemble afin de former naturellement des noyaux stables (ou plus stables…).

Soit  l’énergie moyenne par nucléon d’un atome donné. Nous avons:

  (44.72)

qui est donc par convention une valeur positive!

Remarquons que la masse du noyau est reliée à la masse de l’atome par:

  (44.73)

De même, la masse du noyau ajoutée à la masse de ses électrons isolés est supérieure à celle du noyau entouré de son cortège électronique. Notons que l’énergie de liaison électronique peut être souvent négligée à celle d’origine nucléaire et c’est une règle que nous adopterons tout au long de ce chapitre.

Cette énergie dégagée lors de la fusion, c’est-à-dire lors de la constitution de l’atome à partir de ses constituants, s’appelle aussi "énergie de liaison" (appellation qui pose souvent des problèmes d’interprétations aux jeunes étudiants) car c’est elle qu’il faut fournir si nous voulons, en sens inverse, séparer les éléments. Il ne faut jamais oublier que derrière le terme "énergie de liaison", il y a donc la variation d’énergie entre les éléments isolés et les éléments combinés d’un élément atomique.

L’expression générale pratique de l’énergie moyenne par nucléon d’un atome donné exprimée en unités de masse atomique est alors:

  (44.74)

Les principes de production d’énergie nucléaire de la fission ou de la fusion résultent de la forme de l’énergie moyenne par nucléon en fonction de A.

Nous avons en réalité la courbe suivante reliant l’énergie moyenne par nucléon (c’est-à-dire la variation d’énergie moyenne entre le nucléon seul et accompagné…) et le nombre de nucléons appelée "courbe d’Aston":

Figure: 44.3 – Courbe d’Aston

où nous voyons qu’à partir du Fer (élément qui est donc le plus "collé" et le plus stable en termes énergétiques car ayant la plus forte énergie de liaison moyenne) l’énergie moyenne diminue à nouveau. Cette diminution étant due au fait qu’à partir d’environ 70 nucléons il semblerait que la force électrostatique à l’intérieur du noyau commence à prendre le dessus sur une autre force qui règne dans les noyaux à très petite échelle (cette force sera nommée plus tard la "force forte" ou "interaction forte").

Au fait, ce qui est vraiment très important de remarquer dans le graphique ci-dessus c’est qu’il y a un point de flexion et que c’est celui-ci qui permet d’obtenir de l’énergie aussi bien avec la fusion, qu’avec la fission nucléaire! Nous voyons également que la variation est beaucoup plus grande sur la gauche que sur la droite, d’où le fait que la fusion libère des énergies beaucoup plus considérables.

Des phénomènes de radioactivité, nous en distinguons 8 dont certains sont qualifiés de "secondaires" car n’étant que les effets secondaires possibles des 6 premiers. Certains de ces phénomènes sont provoqués par l’homme, d’autres sont naturels et les autres sont purement probabilistes.

Voici un diagramme représentant en haut la "vallée de stabilité" des atomes et isotopes et en bas la même vallée mais mettant en évidence le type de désintégration:

Figure: 44.4 – Vallée de stabilité

Voyons donc les types de désintégrations ou modifications de la structure de l’atome/noyau qui sont possibles dans les détails:

FUSION NUCLÉAIRE (1)

Si nous assemblons deux noyaux légers  et   pour former un atome "lourd" , alors conformément à la partie gauche de la courbe d’Aston vue plus haut, nous augmentons le défaut de masse puisque l’énergie moyenne par nucléon augmente. En effet:

– l’énergie de X vaut:

  (44.75)

– l’énergie de Y vaut:

  (44.76)

– l’énergie de Z vaut:

  (44.77)

Comme:

    (44.78)

alors:

  (44.79)

est strictement positive.

La fusion nucléaire est quasi exclusivement provoquée par l’homme (sur Terre en tout cas… car les étoiles la font toutes seules avec l’aide de la gravité). La probabilité d’observer une fusion nucléaire naturelle dans des conditions normales de température et de pression est tellement faible qu’il est inutile d’en parler du moins à ce jour…

FISSION NUCLÉAIRE (2)

De même, si nous cassons avec des moyens adéquats (souvent avec des neutrons car pour s’approcher du noyau et vaincre sa répulsion électrostatique c’est le moyen adéquat… c’est celui qu’utilisent les centrales nucléaires et les bombes nucléaires) un atome  lourd en deux atomes légers  et   nous augmentons aussi le défaut de masse et l’énergie gagnée vaut:

  (44.80)

Que ce soit dans le cas de la fission ou de la fusion, l’énergie dégagée se répartit alors en énergie cinétique des produits de fission, des neutrons émis et enfin des divers rayonnements.

L’énergie nucléaire est de loin une forme d’énergie beaucoup plus concentrée, puisque 1 kilogramme d’uranium naturel fournit une quantité de chaleur de 100’000 [kWh] dans une centrale électrique courante, alors que 1 kilogramme de charbon fournit en brûlant 8 [kWh]. C’est pourquoi on ne manipule que d’assez faibles masses de combustible  nucléaire pour la production d’électricité: une centrale électronucléaire d’une puissance de 1’000 [MW] électrique consomme par an 27 tonnes d’uranium enrichi, le quart de son chargement, alors qu’une centrale thermique de même puissance consomme par an 1’500’000 tonnes de pétrole. Pour comparaison dans le soleil, 1 kilogramme d’hydrogène produit, par réactions nucléaires le transformant en hélium, 180 millions de kWh! Mais attention, industriellement nous ne savons extraire qu’une faible part de l’énergie nucléaire emmagasinée dans la matière. Sur les 27 tonnes d’uranium enrichi consommé en une année par une centrale, seule une petite quantité de noyau a été réellement consommée (d’où la nécessité économique de retraiter l’uranium après utilisation).

Nous nous rendons vite compte que le pouvoir calorifique de la fission est gigantesque par rapport à celui des énergies fossiles. Une estimation donne un rapport d’énergie dégagée par atome de 50’000 millions !!! Par contre le rapport de risque en termes d’exploitation et de gestion des déchets et d’impact sur l’environnement est de l’ordre du même facteur mais dans le sens inverse… C’est pour cette raison qu’il faut que l’humanité trouve soit une autre manière de produire de l’électricité, soit change ses habitudes de consommation.

Nous trouvons pour information en Suisse, rien que 5 centrales nucléaires (au début du 21ème siècle) pour une population de ~6 millions d’habitants (figure ci-dessous):

Figure: 44.5 – Centrales nucléaires en Suisse à la fin du 20ème siècle

Cette petite introduction étant faite, revenons à la partie purement mathématique:

Dans le cas de la fission spontanée (ou naturelle) nous avons émission de deux produits de fission et de w neutrons. Ce que nous notons: 

   (44.81)

Exemple:

L’isotope du Carbone 15 par fission spontanée donne un isotope de l’Azote avec émission d’un électron et d’un antineutrino:

  (44.82)

DÉSINTÉGRATION ALPHA (3)

Définition: Lorsqu’un noyau lourd contient trop de protons et de neutrons (comme l’Uranium 238 par exemple), il va vider son trop-plein de nucléons en émettant une particule alpha (noyau d’hélium composé de 2 protons et deux neutrons) et le système final qui sera un nouveau noyau aura une masse plus faible et éventuellement stable. Ce mode de désintégration est la "radioactivité alpha".

La probabilité de désintégration est gouvernée par le mécanisme de barrière de pénétration (effet Tunnel) comme nous allons le démontrer un peu plus loin après une petite introduction.

La décroissance radioactive selon la radioactivité alpha, peut être schématisée comme (avec quelques petites variations selons les cas):

  (44.83)

où:

  (44.84)

Exemple:

  (44.85)

L’énergie dégagée lors de la transmutation se calcule au moyen du défaut de masse:

  (44.86)

avec étant la masse du noyau initial,  la masse du noyau final et  la masse du noyau d’Hélium.

En négligeant l’énergie de liaison des électrons, nous avons:

 et  et   (44.87)

Finalement:

  (44.88)

Cette expression montre que l’énergie des particules  est bien définie pour des noyaux initiaux et finaux donnés. De fait, nous observons en réalité un spectre énergétique discret. Nous en concluons que ces émissions mènent le noyau à des niveaux d’énergies intermédiaires correspondants à des états excités du noyau final. Nous pouvons expliquer ces observations par une structure nucléaire en couches. La désexcitation du final se faisant par émission de photons .

La conservation de l’énergie impose que l’énergie de la désintégration  se répartit entre l’énergie cinétique des deux produits résiduels.

  (44.89)

La conservation de la quantité de mouvement nous donne:

  (44.90)

et donc:

  (44.91)

que nous remplaçons dans l’équation de conservation de l’énergie:

  (44.92)

et on en tire que l’énergie de la particule  vaut:

  (44.93)

vu que les masses du noyau et de la particule  sont environ proportionnelles à leur nombre de masse, soit A et 4 respectivement.

Voyons les détails du mécanisme de la désintégration  avec une approche scolaire, simplifiée à l’extrême et donc approximative (mais suffisante quand même). Pour cette approche, nous allons utiliser les développements sur l’effet tunnel que nous avons effectué dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire.

Pour des noyaux ayant un nombre de nucléons devenant trop important, la répulsion coulombienne entre protons prend des valeurs significatives par rapport à l’interaction forte qui assure la cohésion du noyau. On assiste alors au phénomène de saturation, qui donne lieu à la désintégration  qui est un cas particulier d’une fission spontanée.

Gamow a proposé une explication théorique à ce phénomène en 1928. Il suppose que la particule  préexiste dans le noyau et cogne sur les parois. Elle a alors une probabilité non nulle de franchir la barrière de potentiel du noyau par effet tunnel.

Si par la pensée nous débranchons les interactions coulombiennes, une telle particule  est liée au reste du noyau par un potentiel nucléaire de courte portée  et de profondeur correspondant à une énergie potentielle que nous allons déterminer.

Schématiquement dans le cas de l’Uranium 238 la situation est considérée comme la suivante:

Figure: 44.6 – Représentation de l’idée de Gamow (source: Pour la Science)

En physique classique on représenterait l’émission  comme la fuite du noyau à partir du noyau. Cette représentation n’est pas valable, car elle implique que la particule , subissant la répulsion électrostatique du noyau résiduel de Thorium 234 ne s’en éloignerait  que moyennant une énergie d’environ 25 [MeV]. Or on ne retrouve la faible valeur observée expérimentalement (de seulement 4.2 [MeV]) qu’en faisant appel à la physique quantique.

Bon passons à la partie mathématique:

Branchons la répulsion coulombienne entre la particule  de charge +2e (deux protons et deux neutrons) et le reste du noyau, alors de charge +(Z-2)e à l’extérieur du puits de potentiel nucléaire.

Nous obtenons alors l’expression de l’énergie potentielle (cf. chapitre d’Électrostatique):

  (44.94)

où r est la distance entre le centre du noyau et la particule . L’énergie potentielle diminue donc avec la distance puisque la force est répulsive.

Maintenant, ayons une approche qualitative du phénomène. Nous allons maintenant noter la probabilité T de passage comme étant proportionnelle, selon nos résultats dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire, à:

  (44.95)

en sachant qu’il s’agit suite à nos approximations d’une borne inférieure indicative.

Si nous modélisons la barrière de potentiel du noyau par un profil non rectangulaire tel que présenté ci-dessous:

Figure: 44.7 – Profil de barrière non rectangulaire du noyau

où nous remplaçons le profil réel de la courbe par une série de barrières d’épaisseur  et où le potentiel est égal à  au point .

La probabilité de passer une barrière sera donc proportionnelle à:

  (44.96)

et nous savons (cf. chapitre de Probabilités) que la probabilité de passer une des barrières est un événement indépendant (mutuellement exclusifs). Nous pouvons donc multiplier les probabilités tel que:

  (44.97)

et en passant à la limite il vient:

  (44.98)

et si x est assimilé à un rayon d’une configuration à symétrie sphérique:

  (44.99)

Dans le cas d’un noyau , la barrière de potentiel va de  où elle commence jusqu’à  valeur où la barrière est considérée comme négligeable.

Or, l’énergie potentielle du noyau  en tout point distant r de l’extérieur du bord du noyau de l’atome radioactif sera égal, comme nous l’avons vu un peu plus haut à:

  (44.100)

Nous avons donc pour :

  (44.101)

Pour déterminer  du noyau  émis, il faut savoir que son énergie totale est supposée conservée dans ce modèle simplifié. Elle est donc la même avant son passage dans la barrière de potentiel nucléaire lorsque , pendant, et après .

De plus, dans ce modèle, l’énergie cinétique aussi est supposée constante lorsque . Autrement dit, puisque le noyau  préexiste dans le noyau de l’atome radioactif, il a déjà la vitesse finale qu’il aura lors du point de franchissement de la barrière du potentiel nucléaire…

Donc sous toutes ces hypothèses très simplificatrices… si nous savons déterminer l’énergie totale du noyau  en  (par exemple), à la sortie de la barrière, nous avons son énergie totale lors de l’ensemble du phénomène de traversée de la barrière.

Réciproquement, son énergie totale nécessaire pour sortir en  de la barrière de potentiel par effet tunnel en partant du noyau (et partir ensuite loin à l’infini et gagner en énergie cinétique et perdre toute son énergie potentielle coulombienne) est la même par hypothèse que l’énergie totale obtenue en calculant le travail de la force qui d’une distance infinie du noyau de l’atome radioactif ramènerait le noyau  à la vitesse précitée au point de sortie minimal  (rayon minimal de sortie pris comme constant car très éloigné en ordres de grandeur par rapport au noyau de l’atome radioactif).

Ce qui correspond alors à la différence d’énergie potentielle entre un point à l’infini et . Et comme l’énergie potentielle est nulle à l’infini pour un système répulsif, il ne reste plus que le terme:

  (44.102)

Et finalement:

  (44.103)

valable toujours que pour  (c’est comme si pendant la traversée de la barrière, le noyau  restituait de l’énergie cinétique au vide au fur et à mesure de son approche du point , ceci dit, en physique quantique on ne peut pas utiliser l’interprétation de la mécanique classique).

Or, très souvent dans les laboratoires,  est exprimé comme une constante suffisamment loin du noyau de l’atome radioactif. Il est alors relativement naturel (même si c’est du bricolage) de prendre r comme variable d’intégration tel que:

  (44.104)

et il est de tradition de prendre ensuite:

  (44.105)

ce qui nous amène à:

  (44.106)

Faisons maintenant le changement de variables (la dérivation du  est détaillée dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (44.107)

d’où:

  (44.108)

et en notant:

  (44.109)

L’intégrale:

  (44.110)

devient:

  (44.111)

Concernant les bornes nous avons pour rappel:

  (44.112)

Donc si r vaut  nous écrivons la borne comme étant  et si r vaut  alors:

  (44.113)

Il vient alors:

  (44.114)

Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral:

  (44.115)

Donc:

  (44.116)

Alors:

  (44.117)

Ce qui fait:

  (44.118)

Or, nous avons aussi (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (44.119)

Donc:

  (44.120)

Rappelons à nouveau que:

  (44.121)

Or,  donc .

Si nous développons en série de Maclaurin (cf. chapitre de Suites et Séries) jusqu’au premier ordre:

  (44.122)

Alors:

  (44.123)

Nous avons alors:

  (44.124)

Si on prend le développement de Maclaurin au premier ordre:

  (44.125)

Donc:

  (44.126)

Donc tout cela pour écrire finalement:

  (44.127)

Soit explicitement:

  (44.128)

Relation dans laquelle nous pouvons remettre le coefficient de l’exponentielle que nous avions déterminé dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire. C’est le facteur exponentiel dans la relation ci-dessus qui explique la grande variation des périodes radioactives des différents nuclides, alors que l’énergie des particules varie elle relativement peu.

Typiquement pour le noyau d’Uranium , nous prenons les valeurs dans les tables des constantes physiques et universelles qui sont dans la relation précédente pour obtenir une certaine valeur de T (je m’abstiendrai de montrer le calcul car les tables ne sont pas toutes d’accord entre elles…).

Ensuite, dans l’approximation semi-classique, le noyau  a, dans le puits, une vitesse de l’ordre de:

  (44.129)

et il effectue des allers-retours dans un noyau dont le rayon est de l’ordre de . Ces allers-retours correspondent donc à un certain nombre d’oscillations par seconde. Effectivement, si nous notons  la durée moyenne entre deux chocs successifs, nous avons alors:

  (44.130)

Donc la fréquence vaut:

  (44.131)

À chaque fois elle a une probabilité T de franchir la barrière de potentiel. Cette probabilité par unité de temps est ainsi déterminée par:

  (44.132)

et donne la constante de désintégration de l’isotope par émission  avec une relativement grosse erreur si on fait le calcul avec les valeurs numériques. Sinon, l’ordre de grandeur est par contre exact ce qui pas mal du tout! Le modèle (scolaire) présenté donne donc des résultats satisfaisants.

Ce qui est impressionnant dans ce résultat c’est que puisque T est très très sensible à , les ordres de grandeur de  varient énormément pour de petites variations de l’énergie. Et le modèle reste aussi satisfaisant sur environ 30 ordres de grandeur!!!

DÉSINTÉGRATION BÊTA- (4)

Définition: Lorsqu’un noyau est instable à cause d’un trop plein de neutrons (comme le Carbone 14 par exemple) il n’émettra pas de neutrons. En revanche il aura la faculté de changer un de ses neutrons en un proton. Lors de cette transformation, pour conserver la charge électrique totale du système, un électron sera créé. Cette transformation est la "radioactivité bêta-" (- car l’électron à une charge négative dans cette désintégration).

La désintégration dite  est donc une caractéristique des noyaux ayant un excès de neutrons. Les isotopes concernés se rendent plus stables en transformant un neutron en un proton avec émission d’un électron  et d’une particule appelée "antineutrino" dont nous justifierons la présence plus loin.

Nous avons alors pour le neutron concerné:

  (44.133)

Nous avons mis en exposant droit le spin de la particule concernée et en indice droit le signe de charge de la particule. Ainsi, nous observons que le spin est une quantité conservée, ainsi que la charge.

Nous avons pour l’isotope concerné:

 (ex: )   (44.134)

L’énergie dégagée lors de la transmutation se calcule au moyen du défaut de masse:

  (44.135)

en négligeant l’énergie de liaison des électrons, nous avons:

 et   (44.136)

Attention! le Z dans l’égalité de  est le même que celui que nous trouvons dans l’expression de  d’où le Z + 1.

Nous avons alors: 

  (44.137)

Chaque désintégration  pure est caractérisée par une énergie fixe de décroissance Q. Du fait que l’énergie cinétique du noyau est négligeable de par sa masse comparativement à celle de l’électron et de l’antineutrino réunis, l’énergie dégagée Q est partagée entre les énergies cinétiques de et de . La masse de l’antineutrino étant de très loin inférieure à celle de l’électron, l’énergie cinétique de l’antineutrino peut aussi être négligée. L’énergie de n’est cependant pas fixe et peut prendre n’importe quelle valeur entre 0 et Q. Nous observons donc un spectre d’énergie contrairement aux autres types de radioactivité (car l’électron peut avoir une énergie cinétique variable).

La forme des distributions observées permet de donner une valeur d’énergie moyenne aux  qui se situe autour de Q/3:

  (44.138)

L’existence de l’antineutrino a été postulée en 1933 (3 ans après le neutrino que nous verrons plus loin) par Wolfgang Pauli afin de satisfaire la conservation de spin. L’introduction d’une particule aussi étrange fut très controversée et mal acceptée (charge nulle, spin non nul, masse négligeable) et elle continue à poser quelques problèmes dans la physique contemporaine du 21ème siècle.

Indépendamment du neutrino d’électron (noté  habituellement) accompagnant les particules  et (ce dernier ayant plusieurs noms "positon", "positron", "électron positif") il existe un neutrino de méson (muon)  ou neutron tau (tauon)  notés:  et  pour ne pas les confondre. Par la suite, n’étant pas confronté aux neutrinos de méson ou tau, nous noterons simplement le neutron électronique  à la place de .

DÉSINTÉGRATION BÊTA+ (5)

Définition: Lorsqu’un noyau est instable à cause d’un trop plein de protons il n’émettra pas de protons. En revanche, il aura la faculté de changer un de ses protons en neutron, soit par capture d’un électron, phénomène appelé "radioactivité par capture électronique" (voir plus bas), soit par émission d’un électron positif (positon) ce qui correspond à la "radioactivité bêta+".

Cette transformation a une probabilité ridiculement faible puisque l’inverse de l’émission d’un électron et d’un antineutrino serait la capture simultanée de ces deux particules… et une telle rencontre serait un miracle. Pour surmonter cette difficulté, le noyau utilise un subterfuge quantique: l’émission d’une particule équivaut à la capture de son antiparticule. Ce joker offre alors les possibilités susmentionnées au noyau excédentaire en protons.

Lors de la désintégration  un proton est dissocié en un neutron, un électron positif ("positon") noté   et un neutrino (dont nous justifierons la présence un peu plus bas) et un neutrino.

Effectivement, pour effectuer l’inverse de la désintégration , la solution consiste pour le noyau à utiliser la conservation de l’énergie et du spin en émettant un positon et en capturant dans l’énergie quantique du vide un antineutrino et d’émettre en échange un neutrino.

Nous écrivons cela:

  (44.139)

ou:

  (44.140)

L’énergie dégagée lors de la transmutation se calcule au moyen du défaut de masse:

  (44.141)

en négligeant l’énergie de liaison des électrons, nous avons:

 et   (44.142)

Attention! le Z dans l’égalité de  est le même que celui que nous trouvons dans l’expression de  d’où le

Nous avons ainsi:

  (44.143)

La désintégration  ne peut donc avoir lieu que si , c’est-à-dire si:

  (44.144)

L’énergie massique de l’électron  est importante car c’est l’énergie d’un des deux photons résultant d’une annihilation d’un  avec un électron.

Comme pour la désintégration , l’énergie du  n’est pas fixe et peut prendre n’importe quelle valeur entre 0 et Q. Nous observons donc un spectre d’énergie.

capture Électronique (6)

Définition: Lorsqu’un noyau est instable à cause d’un trop plein de protons par rapport aux neutrons, nous savons donc qu’une solution favorable du point de vue de son énergie est de transformer un de ses protons en neutron, c’est-à-dire de réaliser l’inverse de la radioactivité . Nous avons vu tout à l’heure qu’une possibilité était pour le noyau via la désintégration d’attraper un antineutrino du vide et d’émettre un positon (perte de sa charge électrique) et un neutrino. Mais il peut aussi capturer un électron du cortège électronique (neutralisation de sa charge électrique) en lieu et place d’émettre un positon.

Ce sera le plus souvent un électron de la couche K. Ce qui se note:

  (44.145)

L’énergie dégagée lors de la transmutation se calcule au moyen du défaut de masse:

  (44.146)

en supposant que l’énergie de liaison de l’électron K et celle de recul du noyau sont négligeables.

C’est donc le neutrino d’électron qui emporte toute l’énergie, d’où la nécessité qu’avait eue Wolfgang Pauli d’introduire cette nouvelle particule (ce qui lui avait fait horreur…!). Comme l’électron capturé occupait un niveau d’énergie précis dans l’atome, les neutrinos issus de la désintégration d’un isotope par capture électronique ont une énergie déterminée et présentent donc un spectre de raies.

En négligeant l’énergie de liaison des électrons, nous avons:

 et   (44.147)

donc:

  (44.148)

La désintégration par capture électronique n’est en concurrence avec la désintégration  que si:

  (44.149)

Dans le cas où 

  (44.150)

seule la désintégration par capture électronique est possible.

Cependant, le trou laissé par l’électron absorbé nécessite un réarrangement du cortège atomique et l’émission d’un rayonnement.

ÉMISSION GAMMA (7)

Définition: Pour le noyau, l’émission d’un rayonnement électromagnétique   est une possibilité de gagner en stabilité. Cette émission suit généralement un phénomène de désintégration  ou de capture électronique. On peut donc s’imaginer que lors de tels types de désintégration, la topologie des nucléons dans le noyau n’est pas idéale et que le réarrangement de ces derniers s’accompagnera d’une diminution d’énergie; cette dernière émise sous forme d’un ou de plusieurs photons .

Nous avons donc un schéma:

  (44.151)

puis:

 (désintégration )   (44.152)

où le m signifie "métastable" ou "isomère" (on utilise ce dernier terme lorsque l’émission du rayonnement a lieu longtemps après la désintégration).

L’énergie du photon  vaut:

  (44.153)

Il est évident que dans cet exemple, nous avons considéré le cas le plus simple; soit la désexcitation de noyau  en une seule étape avec émission d’un seul photon  qui emporte toute l’énergie. De fait, selon le radio-isotope, cette désexcitation peut s’effectuer avec l’émission de plusieurs photons  en cascade.

CONVERSION INTERNE (8)

La conversion interne I.C. est un processus lié aussi à l’émission d’un photon . En effet, il se peut que l’énergie soit transmise directement à un électron du cortège électronique, généralement de la couche K, qui se trouve éjecté de l’atome. Cet électron est appelé "électron de conversion". La place laissée dans le cortège électronique est par la suite comblée par un électron des couches supérieures et ainsi de suite. On a donc, comme dans le cas d’un processus de désintégration de capture électronique, un réarrangement du cortège électronique caractérisé par l’émission de rayons-X caractéristiques de l’élément Y.

L’énergie transmise vaut:

  (44.154)

avec étant l’énergie cinétique de l’électron émis, l’énergie du photon percutant l’électron, , l’énergie de liaison de l’électron considéré (K, L, M,…)

L’énergie du photon  est transmise directement à un électron qui est éjecté; le processus est suivi du réarrangement des électrons (s’ensuivra une émission de rayons X). L’électron éjecté est appelé "électron Auger".

Si nous représentons sur un graphique tous les isotopes avec en ordonnée leur nombre atomique Z et en abscisse leur nombre de neutrons nous pouvons observer que les éléments stables existant dans la nature se trouvent tous dans la région nommée "vallée de stabilité". Les autres étant radioactifs. Nous pouvons remarquer que la ligne  est située presque partout en-dessous de la zone de stabilité.

Ces résultats ont été obtenus expérimentalement, car il est encore mal aisé aujourd’hui même avec les ordinateurs les plus puissants et ce en connaissant la théorie quantique, de simuler le comportement de noyaux ayant des nombres atomiques élevés.

L’émission d’un électron du cortège électronique appelé "électron Auger" est donc un processus similaire au processus de conversion interne (IC), mais le rayonnement électromagnétique ne provient pas d’une désexcitation du noyau (ce n’est pas un photon ) mais d’un rayon-X produit lors du réarrangement du nuage électronique. Dans un processus radioactif, ce réarrangement électronique peut provenir soit d’une capture électronique (EC) soit d’une conversion interne (IC).

L’électron Auger éjecté provient principalement d’une orbitale externe et son énergie est l’énergie caractéristique du rayon-X moins son énergie de liaison. L’énergie des électrons Auger est donc faible (quelques [keV]) par rapport à une particule  et ces électrons sont donc souvent réabsorbés à l’intérieur de la source. Le processus d’émission d’un électron Auger est favorisé pour des éléments à faible numéro atomique à cause de leurs faibles énergies de liaison électronique.

Lors d’un réarrangement du nuage électronique tel que le passage d’un électron de la couche L à la couche K, l’énergie du rayon-X émis vaudra . Cette différence d’énergie étant supérieure à l’énergie de liaison d’un autre électron se trouvant sur la couche L, ce dernier sera alors émis avec l’énergie cinétique:

  (44.155)

À leur tour, les 2 vacances laissées sur la couche L sont comblées par des électrons des couches supérieures. Fluorescence et électron Auger sont en compétition. Il se peut même que plusieurs électrons Auger soient émis lors de la désexcitation de l’atome. On parle alors de "cascade Auger" laissant l’atome considéré fortement ionisé, ce qui peut conduire à l’explosion coulombienne de la molécule dont il fait partie.

Pour conclure sur l’ensemble de ces phénomènes radioactifs indiquons l’ordre de grandeur des périodes radioactives de quelques éléments naturels et artificels:

Nucléide	Décroissance	Période
Thorium 232		~1010 années
Uranium 238		~109 années
Uranium 235		~108 années
Uranium 233		~105 années
Plutonium 239		~104 années
Plutonium 238		~88 années
Radium 226		~103 années
Curium 242		160 jours
Potassium 40		~109 années
Carbone 14		~103 années
Tritium		~12 années
Cobalt 60		~5.3 années
Iode 131		~8 jours
Azote 16		7.1 secondes
Technétium 97	CE	~106 années
Cobalt 58		~20 minutes
Fluor 18		~110 minutes

Avec un exemple de la famille radioactive de l’uranium 238:

Figure: 44.8 – Famille radioactive de l’uranium 238 (source: Wikipédia)

RADIOPROTECTION

En physique nucléaire, il est très important de connaître la façon dont les divers rayonnements alpha, gamma, rayons-X ou neutroniques interagissent avec la matière (en gros les rayonnements non chargés ou chargés). Cela permet de connaître la façon dont leur énergie cinétique se répartit ou se dissipe dans la matière qu’ils rencontrent sur leur chemin et de s’en protéger de façon adaptée

FORMULE DE BETHE-BLOCH

Une particule chargée lourde ayant une énergie de un ou plusieurs MeV perd son énergie principalement par collisions avec les électrons des cortèges atomiques, électrons qui lui apparaissent comme quasi-libres. Le processus par lequel des électrons sont ainsi éjectés lors du passage d’une particule ionisante est appelé "ionisation primaire". Un électron pourra s’échapper s’il reçoit une énergie supérieure à son énergie de liaison.

Le transfert maximum d’énergie  qui peut se produire dans une collision non relativiste et élastique (où l’énergie du système est conservée car il n’y a par définition pas de dissipation de chaleur) est calculé simplement en utilisant le principe de conservation de la quantité de mouvement et d’énergie:

Soient et  les masses et vitesses respectives de la particule incidente et de l’électron. Nous supposerons que l’électron est immobile sur son orbite et que sa vitesse initiale est nulle . Après le choc, nous supposerons que la particule incidente aura transféré toute son énergie cinétique à l’électron et se trouvera à son tour au repos telle que . 

Posons d’abord l’équation de conservation de la quantité de mouvement:

  (44.156)

La conservation de l’énergie nous permet aussi d’écrire:

  (44.157)

D’où après regroupement et simplification:

   (44.158)

soit autrement écrit:

    (44.159)

Ensuite, après division de la deuxième équation par la première nous avons:

  (44.160)

Nous avons alors le système:

  (44.161)

on déduit l’expression des vitesses après le choc:

  (44.162)

relativement à nos hypothèses initiales, nous avons donc:

  (44.163)

Manipulons un petit peu cette relation:

  (44.164)

Pour une particule lourde, avec , nous pouvons écrire:

  (44.165)

Une ionisation ne pourra se produire que si  est au moins égale au seuil d’ionisation de l’électron que l’on notera  et dont on a vu le calcul lors de l’étude du modèle de Bohr (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire).

L’énergie de la particule incidente devra donc au minimum être égale à:

  (44.166)

Donc, lors de son passage à travers la matière, le corps chargé de charge et de vitesse  cède son énergie en de nombreuses collisions avec les électrons des atomes rencontrés. L’interaction est coulombienne et à chaque fois, une diffusion se produit. L’énergie de recul de l’électron, supposé libre, peut se calculer de manière précise. Pour faire une estimation de la perte d’énergie, nous ferons ici l’approximation que la quantité de mouvement transférée est égale au produit de la force d’interaction à la distance r multipliée par le temps nécessaire au projectile pour parcourir le trajet 2r. Nous avons la force F de Coulomb donnée par:

  (44.167)

et la quantité de mouvement:

  (44.168)

L’énergie cinétique transférée à un électron de masse  sera:

  (44.169)

La perte d’énergie totale sera obtenue en intégrant sur tous les électrons rencontrés. À la distance comprise entre r et r + dr de la trajectoire et sur le parcours dx, se trouvent:

  (44.170)

électrons, où N est le nombre d’atomes de nombre atomique Z‚ par unité de volume. La perte d’énergie par unité de distance est donc:

  (44.171)

La valeur de est évaluée en remarquant que ce paramètre d’impact correspond au transfert d’énergie maximum. En utilisant les équations que nous avons démontrées précédemment:

  (44.172)

Avec , on peut obtenir le paramètre par:

  (44.173)

et nous obtenons:

  (44.174)

Lorsque r devient très grand, le transfert d’énergie est plus petit que l’énergie moyenne d’ionisation notée des électrons et le processus n’est plus efficace. Nous devons donc avoir la relation suivante:

  (44.175)

Nous en tirons une valeur pour :

  (44.176)

En remplaçant les valeurs de  et des équations précédentes dans l’équation:

  (44.177)

nous obtenons:

  (44.178)

Un traitement quantique plus rigoureux montrerait qu’il faudrait supprimer la racine de l’argument du logarithme en prenant en compte les effets relativistes ainsi que les propriétés intrinsèques de l’électron (constante de structure fine). Nous obtiendrions alors la formule de Bethe-Bloch:

  (44.179)

où .   est quant à lui un terme de correction qui dépend de l’énergie et de Z lorsque nous tenons compte de la structure complète des noyaux (modèle en couche) de la matière.

Nous voyons finalement que la perte d’énergie linéique est proportionnelle au numéro atomique du rayonnement incident et de la matière pénétrée. Donc, des protections composées de matériaux à numéro atomique élevé (masse volumique élevée) auront un fort pouvoir de ralentissement et seront avantageux en radioprotection.

EFFET COMPTON

L’effet Compton s’observe lorsqu’un photon est diffusé inélastiquement par une particule chargée. En fait le photon est absorbé et puis réémis par la particule lui cèdant ainsi au passage une partie de son énergie. C’est ce transfert d’énergie qui justifie le caractère inélastique de la diffusion.

Ainsi si la particule chargée est un électron, cet effet peut avoir lieu indifféremment sur un électron de n’importe quelle couche électronique voire sur un électron libre. L’énergie du photon et celle de l’électron dépendent de la direction d’émission de ces particules. Étant donné que cet effet dépend du nombre d’électrons disponibles par atome cible, la probabilité de diffusion Compton augmente linéairement avec le nombre atomique Z de l’absorbant. Mais comme cet effet est en concurrence avec la production d’une paire électron – positron que nous verrons plus loin, l’effet Compton est surtout important aux énergies et aux numéros atomiques moyens.

Nous avons démontré dans le chapitre de Relativité Restreinte, la relation d’Einstein:

  (44.180)

et rappelons que nous avons ainsi pour la quantité de mouvement d’un photon:

  (44.181)

et nous y avons aussi démontré que, partant de l’énergie totale, la quantité de mouvement est donnée par:

  (44.182)

d’où la relation, dont nous allons faire usage plus loin:

  (44.183)

Avant l’interaction, photon-électron, nous avons (nous considérons grossièrement l’électron comme étant au repos) et après la collision . La conservation de l’énergie nous amène donc à écrire:

  (44.184)

En ne considérant que les énergies cinétiques, nous avons en négligeant celle de l’électron avant le choc:

  (44.185)

Soit la figure ci-dessous:

Figure: 44.9 – Illustration de l’effet Compton

La conservation de la quantité de mouvement nous donne:

Selon l’axe x:

  (44.186)

Selon l’axe y:

  (44.187)

La somme de ces deux relations élevées au carré nous donne la quantité de mouvement totale:

  (44.188)

Puis en substituant :

  (44.189)

et comme :

  (44.190)

Lorsque l’énergie du photon est assez élevée, , celle du photon diffusé tend vers une limite donnée par (voir la règle de l’Hospital dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (44.191)

L’énergie acquise par l’électron Compton vaut finalement:

  (44.192)

Il est intéressant de remarquer que nous ne pouvons avoir . Effectivement cela supposerait que:

  (44.193)

et nous voyons bien que quel que soit , nous avons toujours .

La fréquence du photon diffusé est inférieure à celle du photon incident car son énergie est toujours plus faible et donc sa longueur d’onde plus grande. Donc:

  (44.194)

et puisque:

  (44.195)

Nous avons:

  (44.196)

ce qui s’écrit aussi en utilisant la définition de la constante de Planck et les relations trigonométriques habituelles:

  (44.197)

Nous appelons le facteur la „longueur d’onde de Compton“ et elle vaut:

  (44.198)

Remarquons que si l’angle est nul, alors la variation de longueur d’onde est nulle et que si l’angle correspond à 180° alors la variation de longuer d’onde du photon incident est le double de la longueur d’onde de compton!

EFFET PHOTOÉLECTRIQUE

L’effet photoélectrique est l’éjection d’électrons (dits alors „photoélectrons“) de la surface de divers métaux exposée à une énergie de rayonnement. Ce rayonnement peut provenir du réarrangement du noyau de l’atome aussi bien que d’un rayonnement externe.

Par ailleurs, c’est par des mesures quantitatives de l’effet photoélectrique qu’Einstein proposa d’éprouver la validité de la théorie quantique de la lumière (transport d’énergie par paquets: quanta) et donc l’explication théorique lui valut le prix Nobel.

Exposons d’abord l’expérience mise en oeuvre: l’émission d’électrons par un métal ne contredit pas la théorie électromagnétique de la lumière. Si nous considérons un faisceau uniforme, son énergie est uniformément répartie sur tout le front d’onde. Plus la lumière est intense, plus grandes sont les amplitudes des champs électrique et magnétique en chaque point du front d’onde et plus l’énergie transmise par l’onde en une seconde est grande. Ces champs exercent des forces sur les électrons dans le métal et peuvent même en arracher de sa surface.

Voici l’expérience mise en place:

Figure: 44.10 – Expérience pour la mesure de l’effet photoélectrique

Si l’anode collectrice est à un potentiel positif relativement à la cathode émettrice, les photoélectrons parcourent le tube et constituent le courant mesuré par l’ampèremètre. Nous observons alors une proportionnalité entre l’intensité du faisceau incident et le courant.

Cependant, au moins trois problèmes persistent entre le modèle théorique et l’observation expérimentale:

1. La notion ondulatoire de la lumière ne convient pas pour expliquer le temps nécessaire à l’absorption de l’énergie d’extraction.

Effectivement, supposons une lampe de 100 [W] avec un rendement lumineux 15% placée à 0.5 [m] d’une plaque revêtue de potassium K d’énergie d’extraction minimale de 2.25 [eV] en admettant un diamètre de pour l’atome de Potassium.

Nous avons alors:

  (44.199)

La puissance lumineuse absorbée par l’atome par sa demi-surface qui fait face au rayonnement est alors:

  (44.200)

La durée nécessaire pour l’absorption est alors:

  (44.201)

ce qui est en contradiction avec l’expérience où l’on observe que le phénomène est quasi instantané (le temps à la lumière pour se propager jusqu’au métal).

2. Si nous inversons les bornes, les électrons émis par le métal sont repoussés par l’électrode négative, mais si la tension inverse est faible les plus rapides pourront quand même l’atteindre et il se produira un courant. À un potentiel négatif, spécifique pour chaque métal, appelé potentiel d’arrêt , tous les électrons émis sont repoussés et le courant est nul. L’énergie cinétique maximale de ces photoélectrons est alors:

  _(44.202)

Or, nous trouvons expérimentalement que ce potentiel d’arrêt est indépendant de l’intensité du rayonnement. Dans la théorie ondulatoire, l’augmentation de l’intensité devrait augmenter le nombre d’électrons extraits (quel que soit leur niveau énergétique) et leur énergie cinétique maximale. Une plus grande intensité suppose une plus grande amplitude du champ électrique: . Ainsi, un champ électrique plus grand devrait éjecter les électrons à plus grande vitesse toutes couches confondues au fur à mesure que l’intensité augmente.

3. Lorsque nous varions la fréquence v de la lumière incidente et que nous mesurons , nous observons que l’effet photoélectrique n’a pas lieu si ( est appelé le seuil de fréquence) et ceci quelle que soit l’intensité de la lumière. Ce qui est plutôt gênant… parce que dans la théorie ondulatoire, nous devons toujours pouvoir éjecter des électrons quelle que soit la fréquence, il suffit d’augmenter l’intensité.

Chaque problème peut être résolu en adoptant le point de vue suivant:

1. Dans l’aspect ondulatoire, la source est vue comme se propageant comme un front d’onde sphérique dont la densité superficielle d’énergie décroît comme . Alors que pour expliquer l’observation expérimentale, il faut voir l’expérience d’un point de vue corpusculaire où le front est un front de corpuscules dont la densité superficielle de photons décroît en mais où l’énergie de chaque photon reste hv (selon la relation de Planck-Einstein).

2. Si nous pensons en termes de photons, quand nous augmentons l’intensité, nous augmentons le nombre de photons, mais l’énergie par photon , reste inchangée. Ainsi, que peut avoir chaque photon ne change pas. D’où le fait que le potentiel d’arrêt est indépendant de l’intensité du champ.

3. Si nous pensons en termes de photons à nouveau, les électrons dans la cible sont retenus par les forces d’attraction, l’extraction d’un électron de la surface requiert une énergie minimale qui dépend de chaque matériau ( est aussi appelé „travail d’extraction“ qui est de l’ordre de quelques électronvolts). Si l’énergie du photon incident est supérieure à , un électron peut être arraché, par contre si elle est inférieure, aucun électron ne peut être arraché. L’apport d’énergie est égal à l’énergie cinétique de sortie de l’électron plus l’énergie requise pour l’extraire du métal, soit:

  (44.203)

Ainsi, si l’on augmente la fréquence de la lumière, l’énergie cinétique maximale des électrons augmente linéairement. R.A. Millikan fit entre 1913-1914 des expériences rigoureuses dont les résultats corroborèrent parfaitement la théorie d’Einstein. Ce dernier reçut le prix Nobel en 1921 pour ses apports à la physique théorique, et surtout sa découverte de la loi de l’effet photoélectrique.

La lumière se propage d’un endroit à un autre comme si elle était une onde. Mais la lumière interagit avec la matière dans des processus d’absorption et d’émission comme si elle était un courant de particules. C’est ce que nous appelons la „dualité onde-corpuscule„. Ainsi, celle-ci se trouvant dans les particules massives comme le suggère l’hypothèse de De Broglie que nous avons vue en physique quantique ondulatoire, se vérifie finalement également pour la lumière.

Figure: 44.11 – Principe de l’effet photoélectrique sur le modèle de Bohr de l’atome

Un photon d’énergie incidente qui interagit avec un électron d’un atome cible peut éjecter cet électron de son orbite en lui communiquant une énergie cinétique :

  (44.204)

où est l’énergie de liaison de l’électron éjecté de son orbite (cette relation est indiquée sous la forme dans la figure ci-dessus).

Si l’énergie du photon incident est inférieure à l’énergie de liaison de l’électron K (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire), l’effet photoélectrique se fait avec un électron de la couche L, etc.

Dans le cas où le rayonnement est absorbé, l’atome est dit „excité“, car son état d’énergie n’est pas l’état minimal. Il s’ensuit donc une „relaxation“ (ou „désexcitation“): un électron d’une couche supérieure vient combler la case quantique laissée vacante par l’électron éjecté.

Si l’énergie de transition est modérée (c’est-à-dire si le rayonnement incident avait une énergie modérée), la relaxation provoque l’émission d’un photon de faible énergie (visible ou ultra-violet), c’est le phénomène de fluorescence. Si l’énergie de transition est élevée, on peut avoir deux cas:

Figure: 44.12 – Types de transitions d’énergie selon le modèle de Bohr

1. Il y a émission d’un photon fluorescent, qui du fait de son énergie, est un photon X, nous parlons alors de „fluorescence X“

2. Ce photon X peut être recapturé par l’atome lui-même et provoquer l’éjection d’un électron périphérique, c’est „l’émission Auger“ dont nous avons déjà parlé plus haut.

Pour résumer, nous avons vu jusqu’ici:

Figure: 44.13 – Diffusions et ionisations étudiées jusqu’ici

Indiquons qu’à l’époque de la découverte de l’effet, les premiers théoriciens avaient tenté de modéliser le phénomène par un processus mécanique fonction de l’intensité lumineuse (résonance mécanique). Or comme nous venons de le voir, ce n’est pas l’intensité de la lumière qui compte, mais sa fréquence.

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Considérons la diffusion qu’une particule chargée subit quand elle est soumise à une force électrostatique répulsive inversement proportionnelle au carré de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou centre de force. Ce problème est particulièrement intéressant en raison de son application à la physique atomique et nucléaire. Par exemple, quand un proton, accéléré par une machine telle qu’un cyclotron, passe près d’un noyau de la matière de la cible, il est dévié sous l’action d’une force de ce type, provenant de la répulsion électrostatique du noyau (c’est la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion coulombienne).

Figure: 44.14 – Diffusion de Rutherford

Soient O un centre de force et une particule lancée contre O d’une grande distance avec la vitesse (voir figure ci-dessus) se déplaçant de la droite vers la gauche et entrant dans la figure ci-dessus au point A. Nous choisirons l’axe des X passant par O et parallèle à . La distance b, appelée "paramètre d’impact", est la distance entre l’axe X des abscisses et le point A. En supposant que la force entre A et O est répulsive et centrale, la particule suivra la trajectoire AMB. La forme de la courbe dépend de la manière dont la force varie avec la distance. Si la force est inversement proportionnelle au carré de la distance, c’est-à-dire si:

  (44.205)

la trajectoire est une hyperbole. Avec bien évidemment (cf. chapitre d’Électrostatique):

  (44.206)

Quand la particule est en A son moment cinétique est . Dans une position quelconque telle que M, son moment cinétique, est (cf. chapitre de Mécanique Classique) aussi donné par . Comme le moment cinétique doit rester constant puisque la force est centrale:

  (44.207)

L’équation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant l’équation par:

  (44.208)

En éliminant à l’aide de l’avant-dernière équation nous pouvons écrire:

  (44.209)

Pour trouver la déviation de la particule, nous devons intégrer cette équation depuis l’une des extrémités de la trajectoire jusqu’à l’autre. En A la valeur de est nulle car le mouvement initial est parallèle à l’axe des X et nous avons aussi . En B nous avons et ou . Remarquons qu’en B la vitesse est de nouveau car, par symétrie, la vitesse perdue quand la particule s’approche de O doit être regagnée quand elle s’en éloigne. Alors:

  (44.210)

Ce qui donne:

  (44.211)

soit en utilisant les relations trigonométriques d’usage:

  (44.212)

et après réarrangement:

  (44.213)

Rappelons (cf. chapitre de Trigonométrie) que:

  (44.214)

Ce qui nous donne alors:

  (44.215)

Soit de manière plus détaillée:

  (44.216)

Cette relation donne l’angle de déviation en fonction du paramètre d’impact b.

Ce qui nous donne aussi:

  (44.217)

Bien évidemment, dans les cas scolaires, on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la relation mais on perd en généralisation.

Cette équation est appliquée à l’analyse de la déviation d’une particule chargée par les noyaux. Remarquons que ce résultat n’est valable que pour une force inversement proportionnelle au carré de la distance. Si la force dépend de la distance selon une autre loi, l’angle de déviation satisfait à une autre équation. Les expériences de déviation sont donc très utiles quand nous voulons déterminer la loi de force entrant en jeu dans les interactions entre particules.

Figure: 44.15 – Représentation de la diffusion de Rutherford de noyaux alpha

Dans les laboratoires de physique nucléaire, on fait des expériences de diffusion en accélérant des électrons, des protons ou d’autres particules au moyen d’un cyclotron, d’un accélérateur de Van de Graaf ou de quelqu’autre dispositif semblable, et en observant la distribution angulaire des particules déviées.

Il est clair qu’une particule incidente dans une surface définie par un rayon compris entre b et b + db sera respectivement comprise dans l’angle solide de diffusion:

  (44.218)

avec (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (44.219)

Figure: 44.16 – Représentation de l’angle solide de diffusion

La "section efficace" étant définie par:

  (44.220)

Partant de (relation démontrée plus haut):

  (44.221)

et en utilisant la dérivée usuelle suivante démontrée dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral:

  (44.222)

nous avons:

  (44.223)

soit:

  (44.224)

Dès lors:

  (44.225)

Soit:

  (44.226)

Nous avons alors, en se souvenant que le membre de gauche n’est rien d’autre que la section efficace:

  (44.227)

et il est d’usage de prendre la valeur absolue pour définir la "section (différentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)":

  (44.228)

Nous remarquons plusieurs petites choses intéressantes:

1. Pour un angle d’incidence nul, la section efficace diverge (à cause du sinus au dénominateur)

2. La section efficace décroit selon le carré de l’énergie cinétique de la particule incidente

3. L’expression est valable quelles que soient les charges mises en jeu (positives ou négatives)

À l’aide de la diffusion de Rutherford/Coulomb, Rutherford a pu déterminer une approximation de la taille du noyau de l’atome (bombardement d’une feuille d’or à l’aide de noyaux alpha) comme nous l’avons fait remarquer au début du chapitre de Physique Quantique Corpusculaire. Le raisonnement appliqué est le suivant pour déterminer une borne inférieure du rayon du noyau:

L’énergie totale d’un système en rotation est l’énergie cinétique de translation sommée à l’énergie cinétique de rotation, sommée à l’énergie potentielle. Ce qui nous donne:

  (44.229)

en notant L le moment cinétique donné par nous avons:

  (44.230)

d’où:

  (44.231)

Il en résulte donc:

  (44.232)

D’où il découle que l’angle associé à deux distances radiales est donné par:

  (44.233)

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r). La particule incidente possède une vitesse initiale:

  (44.234)

en avec et par symétrie à nouveau.

Figure: 44.17 – Approche schématique pour la détermination du rayon de la cible

L’angle est l’angle de déflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur à la distance minimum .

Revenons-en à nos équations où le moment cinétique est lié au paramètre d’impact par la relation ou encore:

  (44.235)

Nous pouvons donc écrire après simplifications:

  (44.236)

où nous avons posé (l’énergie de rotation et du potentiel considérés comme négligeables par rapport à l’énergie cinétique) et:

  (44.237)

La distance minimale d’approche est donc déterminée par le plus grand zéro du dénominateur:

  (44.238)

c’est-à-dire (trivial):

  (44.239)

Nous avons donc:

  (44.240)

Comme nous le voyons dans cette dernière relation, la particule incidente subira une collision frontale lorsque . Dès lors, la valeur de l’approche maximale est:

  (44.241)

L’expérience de Rutherford permit d’estimer la taille du noyau atomique. En effet, les particules qui ont rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180° (nous parlons alors de „rétrodiffusion“), sont celles qui se sont approchées le plus près de ce dernier. Puisque nous avons:

  (44.242)

avec une énergie cinétique initiale de 7.7 [MeV], Rutherford trouva pour le rayon de l’atome d’or (Z=79) avec des particules alpha (Z=2) une valeur de:

  (44.243)

Ainsi, le noyau n’est pas ponctuel mais de l’ordre de la dizaine de femtomètres.

RAYONS-X ET GAMMA

La différence fondamentale de ce type de rayonnement, par rapport aux , est qu’il n’est pas porteur de charge électrique et n’a donc pas d’interaction coulombienne avec le cortège électronique du milieu traversé. Par conséquent, le photon suit un chemin rectiligne sans perte d’énergie jusqu’à ce qu’il rencontre sur sa trace une particule (électron, noyau) où il va subir une interaction modifiant profondément son état.

Le rayonnement gamma est une radiation électromagnétique de haute énergie produite par un phénomène nucléaire, alors que les rayons-X sont des radiations électromagnétiques de haute énergie produites lors de phénomènes atomiques ou moléculaires. Le photon est la particule élémentaire qui est associée à ces ondes électromagnétiques. Les photons gamma et X sont donc de même nature mais d’origines différentes, ils ont donc des propriétés identiques qui dépendent de leur énergie.

Rappelons que:

  (44.244)

En traversant la matière un photon peut interagir avec:

– Un des électrons de l’atome rencontré

– Le noyau de l’atome

– Le champ électrique des particules atomiques chargées

– Le champ mésique des nucléons (interaction forte)

Le résultat de l’interaction peut être schématisé comme suit:

– le photon est dévié en conservant son énergie, il y a alors „diffusion totale“ de l’énergie et le processus est dit „cohérent“ (élastique)

– le photon est dévié et son énergie diminuée, il y a alors „diffusion partielle“ de l’énergie, l’autre partie est absorbée par la matière, le processus est dit alors „incohérent“ (inélastique)

– le photon disparaît, il y a „absorption (totale)“ de son énergie par la matière.

Nous pouvons démontrer que les caractéristiques macroscopiques de ces interactions dans le cadre d’un faisceau fin et collimaté conduisent à une loi exponentielle d’atténuation du rayonnement photonique dans la matière. Cela signifiant que pour les photons il n’y a pas de parcours fini (!) comme pour les particules chargées; on ne pourra jamais assurer qu’à une distance donnée tous les photons d’un faisceau aient subi une interaction.

Le nombre de particules interagissant avec la matière dépend évidemment de l’intensité I et du type de matière traversée (caractérisée par le „coefficient d’atténuation linéique“ ) et de son épaisseur x.

Nous avons:

  (44.245)

le signe „-“ étant là pour mettre en évidence une diminution. Nous résolvons facilement cette équation différentielle (c’est simplement la loi de Beer-Lambert que nous avons déjà étudiée dans le chapitre d’Optique Géométrique):

  (44.246)

avec l’intensité initiale ou „débit de fluence“ et le coefficient d’atténuation linéique qui tient compte de tous les effets d’atténuation possibles.

Dans le cas d’un absorbant contenant plusieurs éléments chimiques homogènement distribués, le coefficient d’atténuation vaut:

ou   (44.248)

où est le coefficient d’absorption de l’absorbant, le coefficient d’absorption de l’élément i, la masse volumique de l’absorbant, la masse volumique de l’élément i, étant la fraction massique de l’élément i dans l’absorbant.

Faisons maintenant une approche microscopique:

Soit un faisceau de (où s est l’unité des secondes puisqu’il s’agit d’un flux de particules) frappant perpendiculairement la surface d’un matériau d’épaisseur dx et de densité atomique . Si nous considérons les particules frappant la surface A, ces dernières peuvent théoriquement rencontrer atomes cibles dans cette couche. Le nombre de particules interagissant sera proportionnel à l’intensité fois ce nombre et nous aurons:

  (44.249)

où est la constante de proportionnalité, appelée „section efficace microscopique„. Ces unités sont souvent exprimées en „barn“ ().

D’où nous obtenons:

  (44.250)

En identifiant l’aspect macro et microscopique, nous voyons que joue le même rôle que et que nous trouvons que la section efficace peut s’écrire comme:

  (44.251)

et dans l’hypothèse où l’électron constitue une „sphère d’action“ présentant une surface frontale , étant le rayon de la sphère d’action alors:

  (44.252)

et nous avons:

  (44.253)

Par définition, nous appelons Coude de Demi-Atténuation (CDA) l’épaisseur du matériau qui divise le débit de fluence I d’un facteur deux. Ainsi:

  (44.254)

En radioprotection, nous utilisons parfois la notion de couche d’atténuation au dixième TVL (Tenth Value Layer) donnée par:

  (44.255)

Nous faisons usage parfois aussi de la „longueur de relaxation„, qui représente l’épaisseur à partir de laquelle l’intensité d’un faisceau monoénergétique est diminuée d’un facteur e, et qui est donc donnée par:

  (44.256)

Cette valeur est beaucoup plus utile que les autres, car c’est aussi la distance moyenne à laquelle a lieu la première collision du photon.

Les causes microscopiques connues de l’atténuation d’un faisceau de photons (neutre au point de vue coulombien) qui méritent notre attention dans le domaine d’énergie des photons gamma ou rayons X sont au nombre de sept:

– Diffusion cohérente de Thomson

– Diffusion cohérente de Rayleigh

– Diffusion cohérente de Delbrück

– Diffusion de Raman (équivalent inélastique de la diffusion de Rayleigh)

– Diffusion cohérente de Compton (déjà vue partiellement plus haut)

– Absorption photoélectrique (déjà partiellement vue plus haut)

– Réaction photonucléaire

– Création de paires d’électrons-positrons (déjà partiellement vue plus haut)

Bien que nous puissions à ce jour parler de ces effets, il nous est impossible dans l’état actuel du site de présenter le formalisme mathématique permettant de déterminer la section efficace de chacune de ces diffusions.

CRÉATION PAIRES ÉLECTRON-POSITRON

Au cours de la création de paires, le photon absorbé dans le champ électrique du noyau peut générer une paire électron-positron. Pour que l’interaction puisse avoir lieu, il faut que l’énergie du photon soit supérieure à (soit environ 1.02 [MeV]), soit l’énergie au repos de la paire électron-positron.

Cet effet est important pour les hautes énergies et les numéros atomiques élevés. Le positron créé est freiné dans la matière tout comme un électron et, en fin de parcours, il s’annihile avec un électron pour donner lieu à deux photons de 0.511 [MeV] (photons d’annihilation) émis presque à 180° (toute la quantité de mouvement est transformée en énergie d’où la valeur de l’angle, ainsi la quantité de mouvement finale est nulle).

La création d’une paire coûte évidemment au moins l’énergie de masse de l’électron et du positron, soit . Le solde d’énergie se répartit ensuite dans l’énergie cinétique des deux particules:

  (44.257)

La nécessité de satisfaire simultanément aux conditions de conservation de l’énergie masse et de la quantité de mouvement d’autre part impose à l’effet de matérialisation d’avoir lieu au voisinage d’une particule matérielle qui participe au phénomène. En effet, dans le vide, les deux conditions sont contradictoires ! La quantité de mouvement de chaque électron vaut:

  (44.258)

où est l’énergie totale de chacun des électrons, c’est-à-dire:

  (44.259)

Le photon d’origine a:

et   (44.260)

que nous introduisons dans l’équation de conservation de l’énergie et avec l’aide la relation donnant nous avons:

  (44.261)

ce qui montre bien que par le terme que le noyau doit emporter une partie de la quantité de mouvement puisque:

  (44.262)

MODÈLE NUCLÉAIRE "GOUTTE LIQUIDE"

En ce début de 21ème siècle il n’existe pas de théorie générale qui sous-tende l’ensemble des propriétés expérimentalement découvertes relatives aux noyaux. Le noyau a de multiples facettes qui à ce jour ne sont pas réconciliables dans une théorie unique (la chromodynamique quantique n’arrivant pas à modéliser le noyau).

Les informations les plus précises sur les rayons des noyaux nucléaires et plus généralement sur la densité de charge des noyaux proviennent des mesures de diffusion d’électrons. Ces derniers considérés à ce jour comme particules élémentaires, ne subissent pas la force nucléaire forte garante de la cohésion du noyau et peuvent être considérés dans les traitements théoriques comme ponctuels.

Voici en gros l’état de nos connaissances sur les noyaux en ce début du 21ème siècle:

1. Le potentiel d’interaction nucléaire nucléon-nucléon est a priori attractif à l’échelle du noyau mais parfois aussi répulsif si la distance devient trop petite entre ses constituants.

2. L’interaction nucléaire est de faible portée et présente un phénomène de saturation comme si chaque nucléon n’était lié directement qu’à ses seuls voisins directs (après s’être lié à quelques nucléons sa possibilité de liaison est épuisée), contrairement à la force électrostatique.

3. La force nucléaire est a priori indépendante de la charge. Elle agit aussi bien entre neutrons, qu’entre neutrons et protons et protons-protons.

Dans le modèle naïf que nous allons étudier ici (qui explique assez bien l’énergie de liaison des nucléons), le noyau sera assimilable à une goutte liquide nucléaire en première approximation sphérique et incompressible, de densité volumique constante donc:

  (44.263)

où A représente toujours dans le cadre ce chapitre le nombre de masse.

Ce qui entraîne:

  (44.264)

avec:

  (44.265)

Cependant la modélisation échoue déjà ici car les isotopes du mercure présentent des rayons plus grands que ceux prédits dans le cadre du modèle et ce avec de fortes variations (ces variations étant inconciliables avec l’évolution régulière d’une goutte en fonction de son nombre de constituants). Il y a même des cas où en enlevant des neutrons, le rayon du noyau augmente de façon très importante.

Passons maintenant en revue les différentes énergies en présence. Nous construirons chemin faisant la formule semi-empirique de von Weizsäcker.

ÉNERGIE DE LIAISON EN VOLUME

L’interaction nucléaire forte confère une "énergie de liaison en volume" de la forme:

  (44.266)

où est une constante déterminée (dans un premier temps…) expérimentalement comme valant:

  (44.267)

et nous démontrerons comment la déterminer théoriquement un peu plus bas lors de notre détermination de l’énergie de Pauli.

La représentation schématique de l’idée "énergie de liaisons en volume" (avec voisins directement connexes) donne:

où les couleurs (rouge, blanc) ne sont là que pour illustrer l’ensemble des énergies de liaison que nous allons aussi voir par la suite. Il s’agit cependant bien évidemment indistinctement de nucléons (protons et neutrons).

ÉNERGIE DE LIAISON SUPERFICIELLE

Les nucléons proches de la surface externe du noyau sont moins liés via l’interaction forte que les nucléons situés en profondeur puisqu’ils ont moins de voisins directs. Il faut donc se départir de l’idée que chaque constituant possède la même énergie de liaison en volume et soustraire de la totalité de celle-ci une "énergie de liaison superficielle" proportionnelle à la surface du noyau qui est:

  (44.268)

Nous avons alors pour l’énergie superficielle:

  (44.269)

où est une constante déterminée expérimentalement comme valant:

  (44.270)

La représentation schématique de l’idée "énergie de liaison en surface" (avec voisins directement connexes) donne:

C’est ce terme qui fait penser à une goutte liquide. En effet, dans une goutte liquide, les forces sont également supposées à courte portée (forces de Van der Waals), et donc saturent ce qui provoque immédiatement une tension superficielle.

Nous avons donc jusqu’à maintenant l’énergie potentielle totale de liaison du noyau qui est donnée par une partie de la "formule semi-empirique de von Weizsäcker" (ou "formule de Bethe-Weizsäcker"):

  (44.271)

ÉNERGIE DE RÉPULSION ÉLECTROSTATIQUE

Il nous faut aussi prendre en compte l’habituelle "énergie de liaison électrostatique" qui résulte de la force de répulsion électrostatique entre les protons:

Comme elle est répulsive, elle diminue l’énergie de liaison (donc cela sera un terme négatif). Pour obtenir l’énergie potentielle électrique, rappelons que nous avons déjà démontré dans le chapitre de Mécanique Classique que pour l’énergie gravitationnelle nous avions:

  (44.272)

Il vient alors immédiatement pour le cas électrostatique (coulombien):

  (44.273)

avec la constante calculable:

  (44.274)

Nous avons donc jusqu’à maintenant l’énergie potentielle totale de liaison du noyau qui est donnée par une partie de la formule semi-empirique de von Weizsäcker:

  (44.275)

ÉNERGIE D’ASYMÉTRIE (ÉNERGIE DE PAULI)

Ce terme énergétique s’inspire du modèle du noyau basé sur le gaz de Fermi où l’on considère le noyau comme un ensemble de A nucléons (quasi)libres enfermés dans une boîte rectangulaire ayant les dimensions du noyau et respectant des règles de quantification (ce que l’expérience semble mettre en évidence). La physique quantique n’est donc pas propre au monde atomique mais aussi à la structure du noyau (on pouvait s’en douter…).

Nous avons alors démontré dans le chapitre d’Électrocinétique (lors de notre étude de la théorie des bandes) que sous certaines conditions (fortes!) bien précises, le nombre d’états maximum dans un volume sphérique était donné pour les fermions par:

  (44.276)

où pour rappel est le nombre d’onde de Fermi qu’il est plus d’usage dans le domaine nucléaire d’écrire d’une autre façon en utilisant la relation de de Broglie (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire):

  (44.277)

Soit:

  (44.278)

Nous pouvons alors avoir un nombre de neutrons (N) et un nombre de protons (Z) respectivement égaux au maximum à:

  (44.279)

Connaissant l’expression du volume d’un noyau, sous l’hypothèse de modélisation par une goutte liquide sphérique et incompressible, nous avons explicitement:

  (44.280)

Nous avons donc in extenso:

  (44.281)

En assumant que:

  (44.282)

Nous avons alors pour la quantité de mouvement (du nucléon considéré comme (quasi)libre dans le noyau… par construction des hypothèses de la théorie des bandes):

  (44.283)

Connaissant expérimentalement , nous en extrayons une valeur numérique. De celle-ci, nous pouvons en tirer, en prenant la formulation classique de l’énergie (donc non relativiste), que le niveau d’état d’énergie maximum (niveau de fermi du noyau) est alors:

  (44.284)

Ceci étant fait, calculons maintenant l’énergie cinétique moyenne par nucléon. Nous avons alors:

  (44.285)

L’énergie cinétique totale du noyau est alors (en approximant la masse du neutron comme étant égale à celle du proton):

  (44.286)

Or, comme nous avons démontré plus haut que:

  (44.287)

Il vient:

  (44.288)

Et si nous posons:

  (44.289)

Nous avons alors:

  (44.290)

Nous savons que:

  (44.291)

Nous allons chercher à obtenir une relation similaire en faisant une approximation astucieuse. Pour cela, en se rappelant que A = Z + N, nous allons considérer le rapport:

  (44.292)

qui sera supposé petit… Nous avons alors:

  (44.293)

Nous avons aussi:

  (44.294)

Il vient alors:

  (44.295)

Le développement en série de Taylor en I au deuxième ordre donne:

  (44.296)

et donc:

  (44.297)

Nous avons alors:

  (44.298)

Ainsi nous avons fait d’une pierre deux coups: d’une part nous avons identifié la valeur du coefficient du terme d’énergie de liaison volumique et d’autre part nous en déduisons le terme d’énergie d’asymétrie:

  (44.299)

Nous avons alors un terme d’énergie potentielle qui apparaît sous la forme:

  (44.300)

avec:

Puisque ce terme est nul lorsque le nombre de neutrons est égal au nombre de protons, nous comprenons alors un peu mieux l’origine de la vallée de stabilité.

Nous avons donc jusqu’à maintenant l’énergie potentielle totale de liaison du noyau qui est donnée par une partie de la formule semi-empirique de von Weizsäcker:

  (44.301)

ÉNERGIE DE PAIRE (ÉNERGIE D’APPARIEMENT)

Une étude systématique des noyaux montre qu’ils sont plus stables quand ils sont constitués d’un nombre pair de neutrons ou de protons. Empiriquement, nous écrivons ce fait en soustrayant l’énergie de paire suivante:

  (44.302)

où vaut -11.2 [MeV] si Z et N sont pairs, 0 si A est impair et 11.2 [MeV] si Z et N sont impairs.

Nous avons alors au final l’énergie potentielle totale de liaison du noyau qui est donnée par la formule semi-empirique de von Weizsäcker:

  (44.303)

Que l’on retrouve aussi sous la forme suivante:

  (44.304)

L’énergie de masse du noyau peut alors s’écrire:

  (44.305)

Signalons que le modèle de la goutte liquide échoue aussi à expliquer que les éléments de fissions ne soient pas de taille symétrique (le modèle de goutte liquide privilégiant une fission en deux noyaux de même taille).

Nous avons pour le modèle théorique ci-dessus la représentation graphique correspondante:

Figure: 44.18 – Représentation schématique de la formule semi-empirique de von Weizsäcker

Nous voyons ci-dessus que l’énergie de liaison moyenne peut être considérée très approximativement comme constante. Ceci peut être interprété aussi comme une force exercée par un nombre limité de partenaires. Nous parlons alors de "force saturante". Par force saturante nous entendons que pour une force donnée, il existe une limite au nombre de nucléons mis côte à côte à partir de laquelle l’ajout d’un nucléon ne fait plus qu’apporter une énergie de liaison supplémentaire constante. Ce sont donc les proches voisins qui amènent la force à son niveau, l’arrivée de nouveaux voisins ne faisant plus par la suite que soutenir la valeur moyenne atteinte. C’est la raison pour laquelle nous disons que l’énergie de volume ne se calcule qu’avec les voisins directs et que le modèle est aussi assimilable à une goutte liquide (les molécules d’une goutte d’eau n’étant sensibles qu’aux molécules directement voisines).

Cette approche permet aussi d’expliquer l’augmentation de l’énergie de liaison par nucléon pour les faibles masses. Effectivement, considérons une force dite de type "F2". Nous avons alors la construction des noyaux grâce à ce type de géométrie:

Figure: 44.19 – Représentation schématique de la force saturante de type F2

Chaque nucléon a deux liaisons (excepté le cas A = 2 ce qui explique que l’énergie de liaison augmente pour les petits A) et épuise les possibilités de la force de type F2. Cette limitation n’impose aucune restriction sur la taille des objets à construire et nous pouvons imaginer des édifices aussi gros que nous voulons, stabilisés par ce type de force.

Si nous calculons l’énergie totale de liaison, nous aurons pour A = 2, où est l’énergie potentielle de liaison apportée par une liaison. De même, nous aurons pour A = 3, pour A = 4, pour A = 5, etc. L’énergie de liaison par nucléon sera alors pour A = 2 puis pour toutes les autres masses, pour une force constante F2. Donc cette force sature au-delà de A = 2.

Si nous prenons une force de type F3, nous aurons:

 

Figure: 44.20 – Représentation schématique de la force saturante de type F3

Si nous calculons l’énergie totale de liaison, nous aurons pour A = 2, où reste l’énergie potentielle de liaison apportée par une liaison. De même, nous aurons pour A = 3, pour A = 4, pour A = 5, etc.

La valeur asymptotique de l’énergie de liaison par nucléon sera alors de pour toutes les masses supérieures à A = 3, pour une force constante F3. Donc cette force sature au-delà de A = 3.

Nous pouvons continuer avec des noyaux incluant de plus en plus de nucléons.

Dans le cas particulier d’une force qui pourrait interagir avec tous autres nucléons environnants, il y aura comme nous l’avons démontré dans le chapitre de Théorie Des Graphes pour des graphes complets:

  (44.306)

liaisons au total et donc un comportement en dans l’énergie de liaison moyenne (puisqu’il s’agit simplement de diviser par A le nombre de liaisons). Donc dans le cas classique, l’énergie de liaison ne ferait qu’augmenter ce qui n’est pas compatible avec l’expérience.

Exemple:

Voyons quelques applications de ce modèle en commençant par examiner les prédictions sur la fission de l’uranium en deux sous-produits égaux en masse et en charge:

  (44.307)

et ce en utilisant le modèle de la goutte liquide en négligeant les termes d’énergie d’asymétrie et d’appariement.

Pour cela, rappelons que:

  (44.308)

et nous prendrons comme valeurs des constantes:

  (44.309)

Évaluons la différence d’énergie entre d’une part les 2 noyaux issus de la fission et d’autre part le noyau de départ.

Nous avons alors:

  (44.310)

comme:

  (44.311)

Le développement se simplifie en:

  (44.312)

S’il y a fission, nous aurons , donc:

  (44.313)

Et donc:

  (44.314)

ou réarrangé:

  (44.315)

Soit en mettant les constantes, cela donne:

  (44.316)

Il s’agit donc de l’inégalité devant être satisfaite pour que comme énoncé dans l’exemple, la fission génère des produits identiques en masse et en charge.

Or, pour nous avons:

  (44.317)

Donc d’après le résultat ci-dessus peut fissionner de manière symétrique mais ce n’est pas le cas dans l’expérience, car dans la réalité, nous avons:

  (44.318)

Il y a cependant une autre approche théorique possible qui donne un résultat plus en accord avec l’expérience. Effectivement, nous pouvons imaginer qu’un noyau peut subir une fission si la force dérivée de l’énergie de surface est exactement compensée par la force de Coulomb.
Au final, nous comparerons le rapport obtenu avec le résultat précédent.

Rappelons d’abord que nous avons vu dans le chapitre d’Électrostatique (entre autres…) que la force électrostatique dérive du potentiel électrostatique:

  (44.319)

où le rayon R a dans notre cas la valeur du rayon nucléaire avec pour rappel:

  (44.320)

Nous avons alors:

  (44.321)

Donc:

  (44.322)

Si la répulsion coulombienne l’emporte, la fission l’emporte et nous avons alors:

  (44.323)

Soit:

  (44.324)

Après simplification il reste:

  (44.325)

Soit:

  (44.326)

Comme ce rapport pour est voisin de 36, donc inférieur à 52, cette approche expliquerait naïvement pourquoi il ne peut y avoir de fission de manière symétrique (ce que l’expérience confirme).

– Physique atomique, B. Cagnac + J.-C. Pebay-Peyroula, Éditions Dunod, ISBN10: 2040004246 (295 pages) – Imprimé en 2005

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