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PHYSIQUE QUANTIQUE CORPUSCULAIRE | PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE | PHYSIQUE NUCLÉAIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE DES CHAMPS | PHYSIQUE DES PARTICULES ÉLÉMENTAIRES

LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Le lecteur attentif aura noté que la mécanique quantique (physique quantique ondulatoire) est une théorie non relativiste : elle n'incorpore pas les principes de la relativité restreinte d'Einstein (cf. chapitre de Relativité Restreinte). Nous allons donc nous efforcer à combler ce manque.

ÉQUATION D'ÉVOLUTION RELATIVISTE DE SCHRÖDINGER

La physique des particules ne peut être correctement et totalement décrite dans le cadre de la mécanique quantique. Comme les énergies sont généralement supérieures aux masses des particules, il est nécessaire, en plus, de travailler dans le contexte de la théorie de la relativité restreinte. Voyons comment inclure celle-ci par une première approche basique.

L'énergie-impulsion d'une particule libre de masse m, satisfait comme nous l'avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte à l'équation:

  (43.1)

Nous cherchons à quantifier cette équation. Pour cela, nous allons revenir à des relations que nous avons démontrées lors de l'étude des opérateurs linéaires fonctionnels et de l'équation évolutive de Schrödinger.

Rappelons que la quantité de mouvement est décrite par la relation (utilisant l'opérateur de divergence) :

  (43.2)

et l'énergie totale par:

  (43.3)

Ces deux relations ayant été démontrées dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire!

Les substitutions des deux relations précédentes appliquées à la relation  et multipliée par l'équation d'onde (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) des deux côtés de l'égalité conduisent au développement :

  (43.4)

En utilisant le d'alembertien (cf. chapitre d'Électrodynamique), nous pouvons écrire cette dernière relation sous la forme condensée finale suivante appelée "équation d'évolution relativiste de Schrödinger" ou plus fréquemment "équation de  Klein-Gordon libre" (en l'absence de champ magnétique!) :

  (43.5)

L'équation de Klein-Gordon libre est aussi souvent donnée sous la forme suivante (plus esthétique) :

  (43.6)

Il est important de remarquer que l'équation de Klein-Gordon fait intervenir des scalaires et caractérise donc des particules de spin zéro.

ANTI-MATIÈRE

Lors de la démonstration de l'équation de Klein-Gordon libre, nous avons laissé exprès de côté un cas très intéressant du développement que nous avons effectué.

Peut-être ne l'avez vous pas remarqué, mais l'équation  peut prendre deux valeurs pour une impulsion donnée:

  (43.8)

l'une positive et l'autre négative. La valeur de l'énergie, pourrait donc prendre toutes les valeurs de

Jusqu'ici, nous avions implicitement admis en mécanique classique que les solutions négatives n'étaient pas physiques et devaient donc simplement êtres écartées. Cela ne peut se faire en théorie des champs quantifiés sans conduire à des incohérences graves. Plutôt que d'ignorer ces solutions d'énergie négative, il convient de leur trouver une interprétation physique.

Nous observons d'abord, que toutes les énergies négatives sont autorisées par la relation précédente (aussi bien que pour l'énergie positive). Nous disons que les états d'énergie négative sont tous occupés mais non observables; les électrons sont dits "électrons virtuels".

Imaginons un paquet d'onde constitué par une superposition d'ondes planes sur un intervalle étroit en impulsion. Ce paquet se déplace dans l'espace. Dans le cas unidimensionnel, il se propage à la vitesse:

  (43.9)

Démonstration:

En nous nous basons toujours sur l'hypothèse que le champ de potentiel est nul, nous avons donc:

  (43.10)

et:

  (43.11)

donc démonstration effectuée que: 

  (43.12)

Considérons d'abord une particule d'énergie positive . Sa position en fonction du temps est donné par:

  (43.13)

Une particule d'énergie négative  se déplace selon:

  (43.14)

En d'autres termes, et ce sera notre première conclusion, nous pouvons dire qu'une particule d'énergie négative  est équivalente à une particule d'énergie positive  se déplaçant à l'envers dans le temps et ceci est ce que nous nommons une "antiparticule".

Il nous reste maintenant à voir  quelle est l'interprétation d'une particule se déplaçant à l'envers dans le temps :

Pour simplifier, nous considérons une particule non relativiste de charge électrique (-q) plongée dans un champ électrique  et magnétique  statiques. Elle satisfait à l'équation du mouvement:

  (43.15)

Nous avons étudié dans le chapitre d'Électrodynamique que les champs  et  pouvaient être construits à partir du quadripotentiel . Donc nous pouvons récrire l'équation précédente à partir des deux relations déterminées en électromagnétisme:

 et   (43.16)

Cependant, il est toujours possible d'imposer la jauge suivante (nous laissons le soin au lecteur de faire la vérification en utilisant exactement la même méthodologie que celle utilisée en dans le chapitre d'Électrodynamique):

  (43.17)

L'équation du mouvement devient:

  (43.18)

ou encore:

  (43.19)

Comparant les deux dernières équations nous arrivons à notre seconde conclusion: une particule de charge q se déplaçant à l'envers dans le temps obéit aux mêmes équations du mouvement qu'une particule de charge opposée -q se déplaçant vers l'avant dans le temps. L'interprétation physique de la deuxième particule est évidente.

La physique quantique relativiste implique donc l'existence d'antiparticules, qui sont effectivement observées.

Tout cela pour en arriver où exactement?

- Premièrement, la découverte théorique de l'antimatière permet d'avoir une possible explication de l'existence de l'Univers qui violait précédemment le principe de conservation de l'énergie. La théorie que nous venons de voir, prédit donc que l'Univers devrait contenir autant de matière que d'anti-matière. Les scientifiques sont également à la recherche de la présence de cette antimatière.

- Deuxièmement, si nous considérons dans le vide un photon d'énergie , il est capable de porter un électron virtuel vers un état d'énergie positive, où il devient réel. Il apparaît alors une lacune, ou un "trou" dans la région des énergies négatives. D'après le principe de la conservation de la charge, on voit apparaître un électron positif, ou positon, particule antimatérielle symétrique de l'électron.

Ainsi, le photon se matérialise sous la forme d'une paire , avec:

  (43.20)

ÉQUATION DE KLEIN-GORDON GÉNÉRALISÉE

L'équation de Klein-Gordon libre que nous avons initialement présentée plus haut ne prend pas en compte l'influence du champ magnétique sur l'observation du dédoublement des raies du spectre des atomes (constat expérimental). C'est pour cette raison que Klein et Gordon intégrèrent dans leur équation le champ magnétique. Cependant, ils le firent sans prendre en compte le spin de l'électron. C'est seulement après leur travail que Pauli développa son équation (dite "équation de Pauli") qui amena ensuite à l'équation de Dirac (voir plus loin).

Pour déterminer l'expression de l'équation de Klein-Gordon d'une particule chargée dans un champ magnétique et un potentiel électrostatique, utilisons la puissance du formalise Lagrangien :

L'équation classique du mouvement admise (cf. chapitre de Mécanique Analytique), comme valable aussi en relativité, est donnée nous le savons par (équation d'Euler-Lagrange) :

  (43.21)

Dans le chapitre de Relativité Restreinte, nous avons vu que le lagrangien d'une particule libre a pour expression :

avec   (43.22)

et dans le chapitre d'Électrodynamique que le lagrangien total était :

  (43.23)

Pour des besoins ultérieurs, commençons par calculer :

  (43.24)

Calculons le premier terme :

  (43.25)

Comme le potentiel ne dépend pas de la vitesse, le terme est nul.

Le potentiel vecteur ne dépend pas de la vitesse de la particule dès lors :

  (43.26)

Il vient dans ce cas:

  (43.27)

L'hamiltonien classique s'écrit (cf. chapitre de Mécanique Analytique) :

  (43.28)

Nous avons donc démontré précédemment que :

  (43.29)

Nous pouvons donc écrire avec cette relation l'hamiltonien sous la forme :

  (43.30)

Le produit scalaire a pour expression (puisqu'ils sont colinéaires) :

  (43.31)

L'hamiltonien s'écrit alors :

  (43.32)

En travaillant sur les deux premiers termes :

  (43.33)

Or :

  (43.34)

Dès lors :

  (43.35)

Finalement, nous obtenons (pour un système conservatif) :

  (43.36)

Toujours dans le cas d'une particule se déplaçant dans un champ électromagnétique, la relation entre l'énergie et l'impulsion (qui est différente de la quantité de mouvement par la présence d'un terme comprenant le potentiel vecteur) se calcule comme suit:

Nous connaissons la relation relativiste suivante :

  (43.37)

Comme :

  (43.38)

alors en substituant et en passant un terme de l'autre côté de l'égalité la relation précédente devient (nous changeons de notation pour l'hamiltonien):

  (43.39)

Si nous récrivons cette relation en faisant usage des opérateurs correspondants (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) de l'énergie et de la quantité de mouvement (quantification canonique):

et   (43.40)

Alors finalement nous pouvons écrire en analogie avec l'équation de Klein-Gordon libre (en l'absence de champ) "l'équation de Klein-Gordon généralisée":

  (43.41)

Cette équation est celle de Klein-Gordon qui s'applique à une particule de charge q sans spin se déplaçant dans un champ électromagnétique.

Si alors la relation précédente s'écrit :

  (43.42)

Nous retrouvons donc l'équation de Klein-Gordon d'une particule libre mais sans spin !

Il serait intéressant de regarder maintenant l'expression de l'équation de continuité (qui exprime rappelons-le : la conservation de l'énergie) avec la prise en compte du champ magnétique (parce que au fait elle posera toujours problème... et même un très gros). Pour cela, considérons le cas d'une particule libre se déplaçant avec une quantité de mouvement et ayant une énergie E. Nous avons vu que nous pouvions lui associer une onde plane de la forme :

  (43.43)

Soit l'équation Klein-Gordon libre et son expression en conjugué complexe (nous travaillons avec les unités naturelles)

  (43.44)

Nous multiplions (1) par et (b) par

  (43.45)

Soit :

  (43.46)

Par différence (1)-(2) :

  (43.47)

Le calcul des dérivées par rapport à t des fonctions suivantes :

  (43.48)

Par différence (1)-(2)

  (43.49)

Ce qui nous donne finalement :

  (43.50)

Soit f un champ scalaire et et un champ vectoriel. L'analyse vectorielle donne :

  (43.51)

Posons :

  (43.52)

Dès lors :

(1)
  (43.53)

Posons maintenant :

  (43.54)

Dès lors :

(2)
  (43.55)

Soustrayons (1)-(2) :

  (43.56)

Comme :

  (43.57)

En changeant les signes :

  (43.58)

Cette dernière relation et :

  (43.59)

donnent :

  (43.60)

A nouveau, rapprochons cette relation avec l'équation de continuité :

  (43.61)

Rappelons que lors de notre première étude de l'équation de Klein-Gordon nous avons vu qu'en mécanique quantique son équivalent est donné par la même équation mais avec les significations suivantes : est la densité de probabilité, est la densité du flux de particules.

Nous avons donc :

  (43.62)

Si la fonction d'onde associée et sa conjuguée complexe :

  (43.63)

Les dérivées par rapport au temps de ces fonctions

  (43.64)

Les gradients se calculent comme suit :

  (43.65)

En reprenant l'expression de la densité de probabilité et compte tenu de différentielles précédentes, il vient :

  (43.66)

La densité de probabilité a donc pour expression :

  (43.67)

En reprenant l'expression de la densité de courant et compte tenu de des différentielles, il vient :

  (43.68)

La densité de courant a pour expression :

  (43.69)

En se plaçant dans la situation des connaissances de l'époque, l'équation de Klein-Gordon présente plusieurs pathologies et inconvénients.

- La densité de probabilité peut devenir négative (puisque comme nous l'avons vu, l'énergie peut l'être aussi), ce qui est inexplicable. Une telle situation n'existe pas avec l'équation de Schrödinger.

- L'équation de Klein-Gordon a l'inconvénient d'être du second ordre en (l'équation de Schrödinger est elle du premier ordre). L'évolution temporelle nécessite dont la connaissance non seulement de mais également de sa dérivée

- Si nous appliquions cette équation à l'atome d'hydrogène, nous ne retrouverions pas les mêmes niveaux d'énergie en structure fine.

Tout ceci a conduit à l'époque qui précède les travaux de Dirac, à un rejet de cette équation qui, de plus, ne tenait pas compte du spin.

ÉQUATION DE DIRAC LIBRE CLASSIQUE

Jusqu'à présent, toute particule a été considérée comme ponctuelle et sans aucune structure ou degré de liberté interne. Dans cette optique, toute l'information sur l'état du système à l'instant t est alors réputée entièrement contenue dans la connaissance de la fonction d'onde .

Une telle description est insuffisante, comme nous allons le voir. Cette insuffisance provient des preuves expérimentales démontrant qu'une particule telle que l'électron possède un moment magnétique propre, indépendamment de tout mouvement de rotation dans l'espace autour d'un centre. L'existence de ce moment magnétique entraîne à son tour l'existence d'un moment cinétique propre, ou intrinsèque, qui a été baptisé "spin" car on croyait au début que ce degré de liberté était lié à une rotation de la particule sur elle-même. Ce degré de liberté est "interne" - bien que l'électron continue à être considéré comme une particule ponctuelle ; c'est, au même titre que la charge ou la masse, un attribut intrinsèque, donné une fois pour toutes. Il s'avère impossible de donner du spin une image classique! Se représenter l'électron comme une petite bille de rayon non-nul qui tourne sur elle-même conduit à des absurdités (par exemple, on trouve qu'un point situé à la périphérie de l'électron a une vitesse très supérieur à c). Il reste cependant que le spin d'une particule massique est son moment cinétique dans le référentiel où elle est au repos. L'hypothèse du spin de l'électron a été formulée par Uhlenbeck et Goudsmit en 1925 pour rendre compte des atomes complexes comme nous l'avons vu en physique quantique corpusculaire.

Le spin d'une particule est toujours demi-entier ou entier, c'est un fait d'expérience. Le caractère entier ou demi-entier du spin définit deux grandes de particules, les bosons (spin entier) et les fermions (spin demi-entier), obéissant à des statistiques très différentes telles que celles que nous avons présentées dans le chapitre de Mécanique Statistique (d'où l'existence d'une relation appelée "théorème spin-statistique").

Revenons au cas de l'électron. Les deux valeurs possibles révélées par une mesure de S (le que nous avions en physique quantique corpusculaire) sont donc (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) associée aux deux valeurs possibles d'un nombre quantique lui même associé donc à l'état libre () au moment cinétique :

  (43.70)

Donc :

  (43.71)

Une description complète de l'état de l'électron contient donc nécessairement une fonction d'onde donnant comme d'habitude la densité de probabilité de présence, mais prenant également en compte le degré de liberté du spin, d'où la notation . Si les coordonnées d'espace prennent des valeurs réelles continues, en revanche la variable de spin est donc essentiellement discrète.

En maintenant l'interprétation usuelle, la quantité est la probabilité de présence autour du point choisi avec la valeur pour le spin. La condition de normalisation des probabilités introduit comme toujours une sommation, qui porte non seulement sur les degrés orbitaux (sommation continue, c'est-à-dire intégration) mais également sur les degrés de spin (sommation discrète) :

  (43.72)

exprimant notamment le fait que nous épuisons toutes les possibilités du spin en sommant sur les deux valeurs possibles. En tout état de cause, l'électron n'a plus une mais deux fonctions d'onde, une pour chaque valeur de .

La notation précédente n'est pas forcément la meilleure pour les particules libres de spin supérieur à 1/2 comme nous l'avons vu lors de notre étude du moment cinétique. S'agissant d'une variable prenant des valeurs discrètes, il est tout aussi légitime de mettre en indice et de poser . Enfin, il est commode d'utiliser une notation matricielle, rangeant en colonne les différentes fonctions correspondant aux valeurs possibles de la variable discrète . Ainsi, pour l'électron, nous admettrons désormais que toute l'information au sens de la physique quantique ondulatoire est contenue dans un vecteur-colonne à deux lignes appelé "spineur" (cf. chapitre de Calcul Spinoriel) et noté :

ou   (43.73)

Revenons maintenant sur l'équation de Klein-Gordon libre (plus générale que l'équation de Schrödinger bien évidemment mais moins que celle comportant le champ magnétique) :

  (43.74)

Cette équation est comme nous le savons malheureusement incomplète car elle ne contient aucune information sur le spin de l'électron.

Nous pouvons cependant, pour tenter de trouver une solution à ce problème, faire un parallèle avec le champ électromagnétique. Celui-ci comporte aussi un spin, résidant dans la polarisation du champ (cf. chapitre d'Électrodynamique). Cette polarisation est étroitement liée à la nature vectorielle du champ électromagnétique et transparaît dans les équations de Maxwell, qui sont du premier ordre en dérivées. Cependant en combinant les équations de Maxwell, nous avons vu dans le chapitre d'Électrodynamique que nous pouvions obtenir les équations d'onde :

et   (43.75)

qui sont (coïncidence très pertinente!) un cas particulier de l'équation de Klein-Gordon quand :

  (43.76)

Les équations d'onde recèlent cependant moins d'informations que les équations de Maxwell originales : elles ne contiennent explicitement aucune relation entre les différentes composantes des champs et , comme par exemple le fait que, dans une onde électromagnétique de vecteur d'onde donné, les champs et sont mutuellement perpendiculaires et tous les deux perpendiculaire au vecteur d'onde. Pour établir ces contraintes, il faut retourner aux équations de Maxwell et donc à des équations avec des dérivées du premier ordre.

Il en est de même pour les fermions (les électrons en font partie). L'équation de Klein-Gordon, quoiqu'elle ne soit pas fausse, est incomplète. Il faut tenter ici d'établir une équation du premier ordre en dérivées qui décrive bien le spin 1/2 des électrons des fermions. Cette dernière condition signifie que cette équation doit donc faire intervenir les deux composantes d'un spineur (en analogie avec celui que nous nous déterminé plus haut) :

  (43.77)

Nous écrirons alors cette équation que nous cherchons comme :

  (43.78)

où D est une matrice faisant intervenir des dérivées du premier ordre (un opérateur différentiel de premier ordre).

Pour donner un exemple avant d'aller plus loin, regardons comment l'équation de Klein-Gordon peut s'exprimer sous une telle forme.

Nous avons donc (équation de Klein-Gordon libre) :

  (43.79)

ou (équation de Klein-Gordon généralisée) :

  (43.80)

Ce qui s'écrit aussi pour l'équation de Klein-Gordon libre :

  (43.81)

ou pour l'équation de Klein-Gordon généralisée :

  (43.82)

Restreignons-nous maintenant au cas de l'équation de Klein-Gordon libre (le raisonnement étant similaire pour la version généralisée).

La dernière expression de l'équation de Klein-Gordon libre suggère d'introduire les deux combinaisons :

  (43.83)

d'où résulte :

  (43.84)

Dès lors :

peut s'écrire de deux façons :

  (43.85)

Soit, sous forme matricielle :

  (43.86)

ou encore :

  (43.87)

Ce que nous pouvons écrire:

  (43.88)

Donc par rapport à notre idée initiale d'avoir une relation sous la forme:

  (43.89)

nous pouvons faire la similitude avec l'équation antéprécédente:

et   (43.90)

où D est bien un matrice .

Mais nous, nous recherchons toujours (en faisant le parallèle avec les équations de Maxwell) un système d'équation avec des différentielles du premier ordre. Dans l'objectif de chercher une forme plus générale incluant sous forme naturelle le spin, nous allons poser en analogie avec le résultat ci-dessus :

  (43.91)

où A est un scalaire, un vecteur et un matrice symétrique (en lisant la suite vous verrez que poser cela permet de trouver ce que nous cherchons...).

Rappelons que la multiplication entre et constitue un produit scalaire tel que celui défini dans notre étude du chapitre de Calcul Spinoriel.

Posons (au fait nos prédécesseurs ont fait de nombreux essais avant de poser cela...):

  (43.92)

Ainsi, , et reste (imaginons...) inconnu. Il nous faut également déterminer .

Toujours par analogie avec l'exemple fait plus haut, tentons de retrouver l'équation d'onde pour déterminer la constante :

  (43.93)

Pour que nous retrouvions l'équation d'onde il faut que :

1.

Effectivement:

  (43.94)

2. :

  (43.95)

Il y a donc deux possibilités qui peuvent s'appliquer à des champs différents que nous noterons . Nous avons donc une sorte de double spineur tel que :

  (43.96)

Ces équations sont appelées "équations de Weyl".

Il nous faut maintenant généraliser les équations de Weyl au cas d'un fermion de spin demi-entier avec masse. Cette nouvelle équation doit respecter les contraintes suivantes :

C1. Elle doit se réduire aux équations de Weyl quand la masse tend vers zéro

C2. Elle doit mener à l'équation de Klein-Gordon libre

C3. Elle doit décrire des particules possédant un spin

La solution consiste alors à coupler les deux équations de Weyl par un terme proportionnel à la masse :

  (43.97)

Pour vérifier que les facteurs ont été correctement choisis, nous appliquons sur la première équation et nous y substituons la deuxième. Nous trouvons :

  (43.98)

ou encore :

  (43.99)

à comparer avec :

  (43.100)

Ce qui est bel et bien l'équation de Klein-Gordon libre (nous démontrons la même correspondance pour la composante ) et renforce donc la validité des hypothèses et développements faits jusqu'à maintenant.

Il est usuel de rassembler les deux spineurs dans un seul spineur (cela devient alors un "bi-spineur") de quatre composantes (un spineur à quatre composantes dont deux sont en fait associées aux particules et deux antiparticules comme nous allons le verrons) :

  (43.101)

et de définir les deux matrices suivantes (sous une forme dite "forme chirale") :

  (43.102)

où est la matrice unité traditionnelle définie par :

  (43.103)

et:

  (43.104)

où les sont les "matrices de Pauli" données par (cf. chapitre de Calcul Spinoriel) :

  (43.105)

qui doivent satisfaire rappelons-le (démontré plus haut):

  (43.106)

Les matrices de Pauli sont donc de bonnes candidates pour résoudre notre problème!

Ceci nous permet, enfin, de combiner les équations :

  (43.107)

en une seule (ne pas oublier l'association des opérateurs) :

  (43.108)

en utilisant la notation d'usage en calcul tensoriel et en choisissant les unités naturelles nous avons :

  (43.109)

ce qui constitue la forme habituelle de "l'équation de Dirac" ou "équation relativiste de l'électron" avec la "dérivée covariante":

  (43.110)

Les matrices sont appelées "matrices de Dirac". Sous forme encore plus condensée (en utilisant le "slash de Feynam") l'équation de Dirac s'écrit parfois :

  (43.111)

Nous avons ainsi, comme en analogie avec les équations de Maxwell, des équations différentielles du premier ordre qui ont comme propriété :

P1. De permettre de retomber sur l'équation de Klein-Gordon, in extenso sur l'équation d'onde (comme pour les équations de Maxwell)

P2. De prendre en compte (décrire) explicitement le caractère spinoriel des fonctions d'onde comme nous allons le voir en nous penchant de plus près sur les matrices de Pauli.

Dans le but maintenant d'interpréter le contenu physique de l'équation de Dirac, nous allons utiliser une représentation différente des matrices de Pauli. Nous avons vu que la représentation :

  (43.112)

était dite "représentation Chirale" alors que nous allons utiliser maintenant la "représentation de Dirac" définie par :

  (43.113)

Nous vérifions facilement (algèbre linéaire élémentaire) que cette représentation s'obtient par la transformation (n'hésitez pas à nous demander les détails si vous n'y arrivez pas):

où   (43.114)

Rappelons que est la matrice adjointe (la conjuguée de la matrice transposée) de U. Or, lorsque tous les éléments sont des réels comme c'est le cas ci-dessus et que la matrice est carré alors (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) nous savons que .

Démonstration:

  (43.115)

et:

  (43.116)

Cherchons maintenant les solutions particulières à l'équation de Dirac sous la forme :

  (43.117)

En substituant dans l'équation de Dirac et après simplification par nous trouvons facilement:

  (43.118)

Effectivement en unités naturelles:

  (43.119)

Avec la représentation de Dirac nous obtenons après développement (calcul trivial) :

  (43.120)

Effectivement:

  (43.121)

Pour que cette équation matricielle ait des solutions non nulles, il faut comme d'habitude que le déterminant de la matrice soit nul (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire). Nous vérifions facilement que :

  (43.122)

Ce qui implique (ne pas oublier que nous sommes en unités naturelles!):

  (43.123)

Avec la représentation de Chirale nous aurions obtenus:

  (43.124)

et nous ne serions pas tombés sur une condition aussi esthétique et physique pour qu'il y ait des solutions!

La masse étant toujours positive, l'équation de Dirac comporte donc quatre solutions linéairement indépendantes, dont deux avec une énergie positive et deux avec une énergie négative .

Il s'agit donc bien des antiparticules que nous avions déterminées lors de notre étude de l'équation de Klein-Gordon libre mais avec le spin en plus d'où le doublage des solutions supplémentaires (deux orientations du spin possibles par particule et par antiparticule). Avec la représentation Chirale nous ne serions pas retombés sur ce résultat. D'où la nécessité de l'utilisation de la représentation de Dirac des matrices de Pauli.

Nous savons donc qu'il existe des solutions à l'équation de Dirac. Déterminons maintenant celles-ci. Posons :

  (43.125)

où sont les deux doubles composantes du spineur. Nous écrivons ainsi le système d'équations :

  (43.126)

ce qui nous donne:

et   (43.127)

Ainsi, nous avons :

  (43.128)

Nous savons qu'il existe des solutions et la physique quantique nous impose que ses solutions soient linéairement indépendantes. Ainsi, choisissons les solutions pour comme étant proportionnelles à :

ou   (43.129)

et comme (cf. chapitre de Calcul Spinoriel):

  (43.130)

nous avons alors les possibilités suivantes :

  (43.131)

La question est maintenant... devons-nous utiliser ou ? Eh bien, pour (1) et (2) nous devons utiliser sinon devient une singularité pour . Pour (3) et (4) nous devons utiliser sinon devient une singularité pour .

Remarque: Le terme est souvent appelé "solution particule" dans la littérature et le terme "solution antiparticule".

En reprenant

  (43.132)

et en notant les spineurs (nous changeons de notation) :

  (43.133)

Nous avons finalement en utilisant (1) et (2) et en notant N( ) la partie de solution que nous devrions normaliser les solutions suivantes possible et qui sont indépendantes:

  (43.134)

avec ainsi que :

  (43.135)

avec.

Ce qui peut s'abréger :

  (43.136)

ÉQUATION DE DIRAC LIBRE LINÉARISÉE

Nous avons vu tout au début de notre étude la physique quantique ondulatoire que l'équation de Schrödinger classique d'évolution était :

  (43.137)

soit une équation différentielle d'un premier ordre par rapport au temps et du second par rapport aux coordonnées spatiales.

Nous avions ensuite déterminé l'équation d'évolution relativiste de Schrödinger (équation de Klein-Gordon libre) donnée par :

  (43.138)

Nous remarquons qu'en passant à une forme relativiste nous avons maintenant une équation différentielle du second ordre dans le temps et dans l'espace.

Ensuite en passant par l'équation de Klein-Gordon généralisée contenait également une équation différentielle du second ordre en temps et en espace :

  (43.139)

et dans l'équation de Dirac libre, nous obtenons de même une équation différentielle matricielle de premier ordre en temps et de deuxième ordre en espace :

  (43.140)

Ces changements d'ordre des différentielles d'un modèle relativiste ou non impose bien sûr dans le cas d'un premier ordre de connaître les conditions initiales en temps et en espace de l'équation d'onde, ce qui est faisable. Cependant, lorsqu'un second ordre apparaît, il faut alors en plus connaître les conditions initiales des dérivées des fonctions d'onde (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). De plus, même si mathématiquement la rigueur nous a amené naturellement aux différents ordres obtenus, il est étrange en passant d'un modèle relativiste que nous changions d'ordre. Pourquoi ? : pour la simple raison qu'en approximant les équations relativistes, nous n'arrivons pas avec le facteur de la constante de Planck à faire des approximations (développement en série de ) qui nous ramèneraient à du premier ordre. Les équations relativistes et non relativistes sont donc à priori incompatibles dans les limites non relativistes !

La méthode de Dirac pour résoudre ce problème aura été la suivante :

Les ordres de l'équation différentielle de Klein-Gordon venant à la base de la relation (voir les débuts de nos développements de l'équation de Klein-Gordon libre) de l'énergie totale en l'absence de tout champ :

  (43.141)

Dirac à donc l'idée géniale de linéariser cet hamiltonien en posant :

  (43.142)

dont nous devrons déterminer les paramètres qui pourront être des scalaires, des vecteurs ou des matrices (attendons un peu... la réponse viendra).

Ainsi, l'équation d'onde d'évolution relativiste la plus simple que nous pourrons construire sera :

  (43.143)

Sous une forme beaucoup plus commune dans la littérature :

  (43.144)

Comme ici :

  (43.145)

nous retrouvons alors au la relation antéprécédente aussi sous la forme :

  (43.146)

Si la quantité de mouvement venait à être nulle, nous retrouverions ainsi l'énergie au repos pour l'hamiltonien :

  (43.147)

où comme nous allons le voir plus loin .

La validité de cette linéarisation devra être vérifiée en retrouvant les résultats obtenus lors de notre étude précédente de l'équation de Dirac.

Elevons maintenant l'opérateur au carré soit :

  (43.148)

et posons :

  (43.149)

A ce stade, il est important de remarquer que nous travaillons peut-être avec des opérateurs (des matrices typiquement) qui pourraient ne pas commuter car les sont inconnus. Dès lors, l'élévation au carré sera effectuée comme suit :

  (43.150)

Nous développons ainsi le hamiltonien de Dirac

  (43.151)

En effectuant les produits des termes entre parenthèses et en respectant l'ordre des opérateurs, il vient :

  (43.152)

En groupant certains termes :

  (43.153)

Pour être conforme à nos hypothèses de linéarisation, nous devons avoir :

  (43.154)

Ecrit sous forme de commutateurs, nous avons les trois conditions suivantes à satisfaire :

  (43.155)

Nous observons ce qui suit :

- Le carré de chaque opérateur et est égal à 1 (ou à la matrice unitaire s'il s'agit de matrice...).

- est un anti-commutateur.

- est un anti-commutateur.

ces trois relations peuvent se résumer comme suit :

  (43.156)

A ce stade, nous devons rechercher quels sont les objets mathématiques répondant au trois conditions ci-dessus. Nous pourrions montrer qu'une matrice carrée de dimension 2 ou 3 ne répond pas aux trois conditions et un scalaire encore moins!

Dirac a alors adopté par analogie aux développements antérieurs, des matrices carrées de dimension 4 incluant des matrices de Pauli (comme par hasard...) et a admis pour une matrice unité (ce choix fait par Dirac est particulier, il y a d'autres choix possibles).

Donc ce que nous notions "1" avant est au fait une matrice unitaire carrée de dimension 4!

Les matrices considérées par Dirac sont donc pour :

  (43.157)

Dans lesquelles, nous avons les matrices de Pauli et la matrice unitaire suivantes:

  (43.158)

Ce qui conduit aux matrices :

  (43.159)

On peut vérifier que les conditions de linéarisation sont vérifiées par les matrices précédentes :

- Première condition :

  (43.160)

De même pour les :

  (43.161)

La première condition est donc bien remplie!

- Deuxième condition (attention aux notations qui dérapent un peu par tradition entre matrices et scalaires!):

  (43.162)

et :

  (43.163)

Donc:

  (43.164)

la deuxième condition est bien remplie.

- Troisième condition :

  (43.165)

La troisième condition est bien remplie.

En se référant à l'équation de début écrite avec le formalisme de Dirac

  (43.166)

Avec :

  (43.167)

Ce qui donne finalement :

  (43.168)

Nous nous retrouvons devant une fonction d'état possédant 4 composantes dans laquelle :

et   (43.169)

sont des spineurs et l'ensemble :

  (43.170)

est donc un "bispineur de Dirac" et nous notons :

  (43.171)

la "fonction d'état de Dirac". Le lecteur remarquera que nous retrouvons les mêmes concepts que lors de notre étude de l'équation de Dirac libre non linéarisée.

En développant, il vient :

(1)
  (43.172)

Pour un électron libre, nous savons que la solution est :

  (43.173)

Avec le bispineur de Dirac, nous avons :

  (43.174)

avec :

  (43.175)

avec à sont les composantes du bispineur de Dirac.

Nous noterons :

avec (2)
  (43.176)

En calculant leurs dérivées par rapport à t:

(3)
  (43.177)

Avec (2) et (3) dans (1), il vient

  (43.178)

Soit un système d'équations dont les inconnues sont :

(4)
  (43.179)

Nous aurons des solutions non toutes nulles si et seulement si le déterminant des coefficients est nul (pour en connaître les raisons, voir le chapitre d'Algèbre Linéaire) et donc une infinité de solutions (pour les composantes du spineur de Dirac) possibles. Soit :

  (43.180)

En simplifiant par c:

  (43.181)

La division dans le déterminant précédent permet le calcul des déterminants partiels (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) :

  (43.182)

En résolvant le déterminant précédent, il vient :

  (43.183)

D'où la relation suivante :

  (43.184)

Les valeurs de l'énergie données par l'équation de Dirac sont donc :

  (43.185)

Soit :

  (43.186)

Si nous adoptons pour , deux valeurs constantes pour et , nous disposons de deux relations pour calculer et soit :

- Avec (4c) :

  (43.187)

Soit :

  (43.188)

- Avec (4d) :

  (43.189)

Soit :

  (43.190)

N.B : En adoptant , il vient :

  (43.191)

En prenant les unités naturelles :

  (43.192)

En adoptant , il vient :

  (43.193)

En prenant les unités naturelles :

  (43.194)

Si nous adoptons pour , deux valeurs constantes pour nous disposons de deux relations pour calculer soit :

- Avec (4a) :

  (43.195)

Soit :

  (43.196)

- Avec (4b) :

  (43.197)

Soit :

  (43.198)

Notons, qu'en adoptant , il vient :

  (43.199)

Avec les unités naturelles :

  (43.200)

En adoptant , il vient :

  (43.201)

Soit avec les unités naturelles :

  (43.202)

Bien que la méthode soit différente, nous retrouvons donc les coefficients des spineurs que nous avions obtenus dans notre étude de l'équation de Dirac libre classique. Cela nous rassure donc dans les hypothèses posées au début de cette linéarisation et valide ces résultats. De plus, les relations précédentes indiquent aussi une dégénérescence d'ordre deux de l'énergie pour chaque valeur de l'impulsion. En l'absence de champ extérieur, l'électron libre n'est donc pas influencé par l'orientation de son spin. Nous retrouvons donc les mêmes résultats que ce soit pour l'équation de Dirac libre classique ou linéarisée.

Cependant, l'explication donnée par Dirac pour expliquer les énergies positives et négatives est que son équation s'applique non seulement à l'état d'une particule à énergie positive (en l'occurrence l'électron) mais également à l'état d'une particule à énergie négative (son antiparticule soit le positron). La valeur absolue de ces deux énergies étant strictement égales.

La présence du signe négatif affectant l'énergie à posé problème à l'époque pour son interprétation (dans le cadre où nous omettons la variable du temps puisque nous avions vu lors de l'étude de l'équation de Klein-Gordon libre qu'une particule à énergie négative peut être vue comme une particule qui remonte le temps).

Si nous raisonnons dans le cas où le terme est faible comparé à , nous nous posons la question : comment et quels sont les conséquences d'une transition entre un état d'énergie à celui de l'état d'énergie avec un saut ("gap") de (nous retrouverons cette valeur lors de notre étude de la matérialisation dans le chapitre de Physique Nucléaire).

Dirac a recours à l'image d'une mer d'énergie négative (puisque rappelons-le, le nombre de solutions à notre système matriciel est infini, d'où l'analogie avec une mer plus qu'un contexte discret) dans laquelle tous les états d'énergie négatives sont occupés par les électrons et les états d'énergie positives seraient vides. Si un électron est soumis à une transition (via, par exemple un photon d'énergie supérieure à ), il quitte cette mer en laissant derrière lui une lacune (le fameux "trou" de charge positive auquel les électroniciens font parfois référence....). Cette lacune devient une charge positive, d'énergie . L'apparition de cette lacune est assimilée à l'apparition d'une particule ayant une charge positive. Bien évidemment, nous pouvons nous imaginer le cas inverse, ce n'est qu'une question de conventions.

ÉQUATION DE DIRAC GÉNERALISÉE

Dans le cas de l'électron libre, nous avons donc maintes fois vus et démontrés que l'hamiltonien a comme expression

  (43.203)

Dans le cas d'un électron se déplaçant dans un champ électromagnétique, nous avons aussi démontré lors de notre étude de l'équation de Klein-Gordon au début de ce chapitre:

  (43.204)

Soit :

  (43.205)

Bref fini pour le rappel!

Si maintenant, nous reprenons l'hamiltonien de Dirac pour l'électron libre démontré plus haut:

  (43.206)

En tenant du fait que nous avions démontré plus haut que dans le cas particulier d'une particule plongée dans un champs magnétique et un potentiel électrostatique nous avions:

  (43.207)

avec:

  (43.208)

et du fait qu'il faille rajouter à l'hamiltonien le terme de l'énergie potentielle électrostatique:

  (43.209)

Nous obtenons alors l'hamiltonien de Dirac généralisé :

  (43.210)

Nous avons donc sous une autre forme connue:

  (43.211)

ÉQUATION DE PAULI

Considérons maintenant une représentation à deux composantes du spineur:

  (43.212)

et rappelons que:

   et     (43.213)

Il vient alors:

  (43.214)

Soit:

  (43.215)

Ce qui après simplification donne:

  (43.216)

Avant de continuer, ouvrons une parenthèse importante sinon quoi nous n'arriverons pas à trouver une solution à ces deux équations.

Rappelons qu'un des spineurs solutions de l'équation de Dirac libre était donné par (nous l'avons démontré plus haut et nous enlevons l'indice i ainsi que le symbole du produit scalaire  pour simplifier les écritures):

  (43.217)

Soit en unités S.I.:

  (43.218)

Afin de simplifier le calcul des équations antéprécédentes nous abaisserons la situation à un cas non relativiste, c'est-à-dire lorsque l'énergie de masse est beaucoup plus grande que l'énergie cinétique. Donc la solution précédente devient (on oublie la deuxième qui poserait problème...):

  (43.219)

L'idée est alors de trouver une solution telle à:

  (43.220)

qui lorsque nous faisons une approximation non relativiste et que nous annulons le champ magnétique (in extenso le potentiel vecteur), nous retombons sur:

  (43.221)

L'idée est simple mais il fallait y penser!

Après maints tâtonnements (eh oui la physique quantique ne c'est pas faite en un jour...) nous trouvons qu'une solution particulière satisfaisant à notre idée précédente est:

  (43.222)

Effectivement:

  (43.223)

Nous avons finalement deux équations:

  (43.224)

Maintenant, considérons uniquement la deuxième équation:

  (43.225)

En supposant (gratuitement! après quoi il faudra comparer aux résultats expérimentaux) que le terme  est beaucoup plus petit que  nous pouvons écrire:

  (43.226)

En faisant la même hypothèse avec  nous avons:

  (43.227)

Nous avons alors:

  (43.228)

Or, nous voyons bien que si le champ magnétique (in extenso le potentiel vecteur) s'annule, nous retombons sur bien notre idée de départ! Le pari est donc bon!

A cause de toutes ces approximations vers le bas, la composante  est souvent prise comme étant la "petite" composant de la fonction d'onde , relativement à la grosse composante .

La première équation:

  (43.229)

peut maintenant être simplifiée facilement en prenant la solution précédente tel que:

  (43.230)

Soit:

  (43.231)

En utilisant l'identité remarquable démontrée dans le chapitre de Calcul Spinoriel:

  (43.232)

Nous avons:

  (43.233)

Détaillons le produit vectoriel en se rappelant qu'il agira comme opérateur sur  :

  (43.234)

Or, nous avons:

  (43.235)

Intéressons nous juste à la composante dans le coin supérieur gauche (sinon les calculs sont trop longs) de cette somme de matrices. Il ne faut pas l'oublier que cette composante de la matrice agira sur la première composante en tant qu'opérateur sur  (notée de même...):

  (43.236)

Or:

  (43.237)

Donc:

  (43.238)

Or, nous reconnaissons ici la troisième composante d'un produit vectoriel n'agissant pas comme opérateur. Finalement, il vient:

  (43.239)

Soit:

  (43.240)

Ainsi, la relation de la composante principale:

  (43.241)

Devient:

  (43.242)

Après réarrangement:

  (43.243)

ce qui constitue "l'équation de Pauli" et décrit donc de manière relativiste les deux composantes  de liberté du spin de l'électron.

Le terme:

  (43.244)

est appelé "terme de Stern-Gerlach" et représente l'énergie d'interaction du champ magnétique avec le moment intrinsèque de l'électron.

L'équation de Pauli, et donc celle de Dirac (puisque cette dernière est plus générale), donnent le facteur gyromagnétique correct de  pour un électron libre. Pour vérifier ceci, prenons comme il a été fait expérimentalement, un champ magnétique constant:

Nous vérifions facilement que le choix  d'un potentiel vecteur correspondant à un champ magnétique constant est alors:

  (43.245)

Ce choix va avoir pour effet de faire disparaître le potentiel vecteur au profit du champ magnétique dans l'équation de Pauli ce qui fera apparaître l'interaction entre le moment angulaire orbita et le champ magnétique comme nous allons le voir:

Effectivement, nous avons:

  (43.246)

Démonstration:

  (43.247)

Nous avons alors dans l'équation de Pauli:

  (43.248)

Or, rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel que:

  (43.249)

Cela nous donne donc:

  (43.250)

où:

  (43.251)

noté aussi  (cf. chapitre de Mécanique Classique/Physique Quantique Corpusculaire) est donc un opérateur représentant le moment cinétique.

Nous avons donc:

  (43.252)

En définissant l'opérateur spin comme étant (oh! on retrouve quelque chose de connu et vu dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire!! c'est magnifique non?):

  (43.253)

Cette relation nous sera très utile dans le chapitre d'Informatique Quantique.

L'équation de Pauli s'écrit alors:

  (43.254)

ou encore:

  (43.255)

ou encore en plus condensé en faisant bien attention à bien différencier ce qui est un opérateur, d'un vecteur et ce qui est un produit d'un produit scalaire et ce qui est une fonction d'un spineur... (que du bonheur...):

  (43.256)

avec  étant donc le "moment magnétique orbital",  le "moment magnétique de spin" et avec tout cela le terme de Stern-Gerlach devient donc:

  (43.257)

où  le "facteur de Landé" ou "facteur gyromagnétique" de l'électron qui est une grandeur physique sans dimension qui permet de relier le moment magnétique au moment cinétique d'un état quantique. Nous retrouvons par ailleurs le rapport:

  (43.258)

qui est le magnéton de Bohr que nous avions introduit dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire.

Donc la théorie de Dirac dans le cadre non relativiste prédit en bonne approximation que les particules de spin 1/2 ont un facteur gyromagnétique de 2, et cette prédiction conforme à l'expérience est le plus grand triomphe de l'équation de Dirac.

Les valeurs suivantes ont été mesurées pour les particules de spin ½ tel que l'électron, le proton et le neutron (attention le signe peut changer suivant la manière dont est notée l'équation de Dirac!):

  (43.259)

C'est par ailleurs le terme :

  (43.260)

de l'hamiltonien de Pauli qui donne les valeurs mesurées par l'effet Zeeman!

Nous savons que cette dernière relation peut aussi s'écrire pour toute particule (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire):

  (43.261)

où  est la "rapport gyromagnétique" et  le "magnéton de Bohr" (mais nous avons vu lors de la démonstration de cette relation que le magnéton de Bohr n'est qu'un cas particulier du moment magnétique de spin avec le facteur de Landé égal à celui de l'électron.)

Supposons maintenant que le noyau d'un atome n'a que deux orientations de spin possible  (il existe plusieurs valeurs de spin pour tous les noyaux existants) alors nous avons vu dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire et Ondulatoire que:

  (43.262)

soit 3 états différents mais deux variations d'énergies possibles à spin égal (entre {-1,0} et {0,+1} pour le premier et {-1,+1} pour le deuxième).

Intéressons nous maintenant seulement à la variation d'énergie entre deux états. Il sera alors toujours à spin égal de la forme:

  (43.263)

Cette variation d'énergie sera restituée sous forme d'ondes électromagnétiques correspondant à:

  (43.264)

d'où:

  (43.265)

qui est la "relation de Larmor" (à ne pas confondre avec la "rayon de Larmor" vu dans le chapitre de Magnétostatique). Mais dans la pratique nous utilisons surtout la relation:

  (43.266)

qui donne ce que nous appelons la "fréquence de résonance".

Cette étude de variation d'énergie due à l'application d'un champ magnétique est à la base de la résonance magnétique nucléaire (RMN) qui ne marche donc que pour les particules possédant  le moment magnétique de spin  (par construction de l'hamiltonien de Pauli!).

La RMN consiste à modifier le moment magnétique nucléaire, autrement dit à faire passer le noyau d'un niveau d'énergie à un autre, en appliquant des champs magnétiques à l'échantillon qu'on veut étudier. Lorsque l'énergie des photons qui constituent ces champs magnétiques correspond à l'énergie de transition d'un niveau d'énergie à l'autre, ces photons peuvent être absorbé par le noyau : nous disons alors qu'il y a "résonance nucléaire".

Nous pouvons caractériser l'énergie de transition du moment magnétique de spin nucléaire en donnant la fréquence de l'onde électromagnétique qui permet la résonance. Pour les champs usuels (de l'ordre du tesla), la résonance du proton a lieu dans le domaine des ondes radio (100 [MHz] environ) : 42 [MHz] dans un champ de 1.0 [T] et 63 [MHz] dans un champ de 1.5 [T].