
PHYSIQUE
QUANTIQUE CORPUSCULAIRE | PHYSIQUE
QUANTIQUE ONDULATOIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE | PHYSIQUE
NUCLÉAIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE
DES CHAMPS | PHYSIQUE
DES PARTICULES ÉLÉMENTAIRES
42.
PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE (2/2) |
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
MOMENT CINÉTIQUE ET SPIN
Tout comme l'oscillateur harmonique, la
notion de moment cinétique (ou moment angulaire) est d'une
importance capitale en théorie quantique et possède
de nombreuses applications dans tous les domaines de la physique:
physique atomique et
moléculaire,
physique nucléaire et subnucléaire, physique de
l'état condensé,
etc. Ainsi, il joue un rôle essentiel dans l'étude du mouvement
d'une particule dans un potentiel à symétrie sphérique,
comme nous le verrons en chimie quantique (qui en est un excellent
exemple
pratique). Le moment cinétique est également à la
base du groupe des rotations qui satisfait à l'algèbre des
opérateurs de moment
cinétique (cf. chapitre d'Algèbre
Ensembliste).
De ce fait, il permet non seulement de construire la fonction
d'onde
d'un système quantique de symétrie donnée,
mais aussi de prédire
si une transition optique est permise et d'en déterminer
son intensité
(par exemple, lors de l'étude des transitions optiques entre états
d'impureté (en état solide), états moléculaires
(chimie quantique), en physique nucléaire, etc.).
Enfin, nous verrons que la
méthode algébrique appliquée à l'étude du moment cinétique nous
permettra d'introduire tout naturellement la notion de moment
cinétique
intrinsèque d'une particule, le "spin", qui n'a pas d'équivalent
classique.
Les développements qui vont
suivre peuvent paraître assez déconcertants dans le sens
qu'il ne faut plus du tout se fier à l'intuition mais uniquement
aux propriétés
et résultats des mathématiques. Comme d'habitude,
si vous avez besoin de compléments d'informations, n'hésitez
pas à nous contacter.
Ainsi, rappelons que le
moment cinétique d'une particule par rapport à l'origine est
donné par (cf. chapitre de Mécanique
Classique):
(42.1)
La quantité de mouvement
étant quantifiée (c'est une valeur propre rattachée à
l'énergie
d'une façon ou d'une autre), le moment cinétique l'est nécessairement
aussi (le moment cinétique est donc aussi une valeur propre)
et l'expérience a appuyé ce résultat (Stern-Gerlach).
Soit la composante en z du produit vectoriel résultant:
(42.2)
(cycl.)
Cette relation étant cyclique,
nous pouvons changer les indices pour obtenir les autres coordonnées.
Comme x et
y commutent (dans le sens que leur commutateur est nul) et que
nous
avons démontré:
(42.3)
nous avons alors:
(42.4)
Ce qui donne:
(42.5)
(cycl.)
En utilisant le gradient
(nous retrouverons cette relation dans le chapitre de Physique
Quantique Relativiste lors de notre étude de l'équation de Pauli!!):
(42.6)
et en posant pour "l'opérateur
du moment cinétique orbital":
(42.7)
Ce qui nous amène à écrire:
(42.8)
Avec:
(42.9)
Remarque: Le plus souvent dans la littérature le
moment cinétique orbital est noté 
(nous avions déjà fait cette remarque dans le chapitre
de Mécanique Classique) mais nous avons évité
cette notation ici afin de différencier le moment cinétique
orbital et le moment cinétique orbital total.
Nous allons
établir certaines relations de commutation concernant
qui joueront un rôle essentiel dans l'étude du spin.
En faisant usage des relations de commutation suivantes (démontrées
lors de notre étude des principes
d'incertitudes):
(cycl.)
(42.10)
et:
(cycl.)
(42.11)
Nous avons la relation (il est de tradition de faire l'analyse
sur la composante de la projection de en z):
(42.12)
Donc:
(42.13)
(cycl.)
et en procédant de la même manière:
(cycl.) et
(cycl.)
(42.14)
Remarque: Nous trouvons des relations analogues avec la quantité
de mouvement:
(42.15)
Évaluons maintenant la quantité (suite à la demande
d'un lecteur, nous avons mis tous les détails):
(42.16)
Soit après simplification (c'est assez embêtant pour
l'expérience
que cela ne commute pas):
(42.17)
(cycl.)
par ailleurs, à ce stade, si le lecteur a déjà parcouru
au préalable le chapitre de Calcul Spinoriel, il remarquera
que les matrices de Pauli satisfont aux relations précédentes
si nous nous mettons en unités naturelles (la constante
de Planck réduite
valant alors 1):

Ce constat sera utile pour notre étude de la physique quantique
relativiste (voir chapitre du même nom). Effectivement,
nous savons de par notre étude
du calcul spinoriel (cf. chapitre de Calcul
Spinoriel) que les matrices 2 par 2 complexes unitaires
de déterminant 1 forment le groupe des rotations dans
l'espace
SU(2), dont les matrices Pauli sont les génératrices.
Fondamentalement, l'origine du spin vient du lien qui existe
entre SU(2)
et le groupe
des rotations de notre espace ordinaire, SO(3) (cf.
chapitre d'Algèbre Ensembliste).
Maintenant, considérons la
norme:
(42.18)
où il faut considérer le carré d'un de ces opérateurs sous la
forme suivante:
(42.19)
Étudions son commutateur avec une composante (sans avoir
à expliciter la chose!):
(42.20)
en utilisant la relation cyclique il
vient:
(42.21)
Donc la norme du moment cinétique orbital commute avec avec ses
composantes:
(42.22)
(cycl.)
Conclusions des résultats obtenus jusqu'à maintenant:
Comme le commutateur est nul (les quantités commutent)
il est donc possible de mesurer simultanément avec précision
une composante ainsi que le carré du
moment cinétique (sa norme au carré), mais il est
impossible de faire la même chose pour deux composantes!
Notons enfin que la relation que peut s'écrire:
(42.23)
et donc d'une façon un peu curieuse:
(42.24)
Si nous avons un système de particules numérotées
par l'indice k, chacune a un moment cinétique
individuel et
le moment cinétique orbital total du système (ne
pas confondre la notation avec le Lagrangien!!!), est défini
par (en unités naturelles ):
(42.25)
Mais n'est
pas encore vraiment le moment cinétique total du système!
Effectivement, une particule peut posséder un moment cinétique
intrinsèque, ou "spin".
Nous pouvons donner une image simple du spin en disant qu'il
traduit
une rotation infinitésimale de la particule sur elle-même
(attention !!! ce n'est qu'une image car au fait la particule ne
tourne pas
sur
elle-même
!). Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Spinoriel,
cela correspond mathématiquement au développement
limité de la matrice de rotations au voisinage de la matrice
identité.
Nous noterons le
moment cinétique de spin de la k-ème
particule (en unités naturelles )
et la relation:
(42.26)
sera le spin total et enfin:
(42.27)
sera le "moment cinétique total" du système
(ne pas confondre la notation J avec le moment cinétique
orbital ou la densité de courant!!!) et nous démontrerons
lors de notre étude du
couplage spin-orbite que ce moment cinétique est une constante
du mouvement en présence de ce couplage.
Nous allons supposer (mais c'est relativement facile à démontrer
une fois, entre autres, les spineurs connus) que chaque et obéit
aussi aux lois de commutation vues précédemment:
(cycl.)
et (cycl.)
(42.28)
Ce qui s'écrit sous forme tensorielle en utilisant
le symbole de Levi-Civita (cf. chapitre de
Calcul Tensoriel):
et
(42.29)
Nous remarquons que dans la représentation
matricielle de Heisenberg il y aussi des composantes de matrices
qui satisfont
ces deux relations. Par exemple les composantes des matrices hermitiques
(dont la transposée conjuguée est égale à elle-même pour rappel....)
et de trace nulle suivantes:
(42.30)
Les deux relation antéprécédentes entraînent
(aussi) au même titre que pour le moment cinétique
orbital:
(42.31)
(cycl.)
avec bien évidemment la relation:

appelée par les mathématiciens "élément
de Casimir" ou encore "opérateur
de Casimir" (un
simple développement parfaitement similaire à celui
obtenu plus haut suffit à la démontrer).
Définissons maintenant de façon purement formelle
les deux opérateurs non hermitiques dits "opérateurs
d'échelle"
(les matrices de Pauli satisfont toujours à ces
relations!):
(42.32)

où respectivement est
appelé "opérateur élévateur" et "opérateur
abaisseur".
Les commutent
avec ,
puisque celui-ci commute avec et
.
Ce qui nous permet d'écrire le produit:
(42.33)
Par ailleurs:
(42.34)
Donc:
(42.35)
De même:
(42.36)
Enfin, évaluons les produits et
:
(42.37)
De même:
(42.38)
Puisque les deux
opérateurs hermitiques et
commutent ils ont donc des états et valeurs propres communes et,
plus précisément, ils ont une base propre complète commune. Lorsque
des observables commutent et ont une base propre commune, rappelons
que nous avons
pour habitude de parler d'un "ECOC" (Ensemble Complet
d'Opérateurs qui Commutent).
Pour étudier leurs valeurs propres posons:
(42.39)
Système qui est parfois noté sous la forme suivante
dans la littérature
spécialisée:
(42.40)
Car elle met en évidence que les états propres associés
seront définis au moins en partie par les paramètres K, m.
Pour commencer, nous savons que les valeurs propres K et m ne
sont pas indépendantes
puisque nous avons:
(42.41)
La moyenne étant notée par les crochets ,
nous avons par linéarité de l'espérance (cf.
chapitre de Statistiques):
(42.42)
Ce qui peut s'écrire:
(42.43)
Nous voyons que le membre de gauche de la relation ci-dessus est donc égal
par définition à:
(42.44)
Comme l'opérateur du moment cinétique orbital total
au carré est
de toute façon hermitique (il n'a pas de composante complexe
dans ),
nous avons alors par construction des potulats de la physique quantique:
(42.45)
Il vient alors que:
(42.46) Cette dernière relation implique
donc que:
(42.47)
Ce qui nous apporte jusqu'ici les informations
suivantes:
(42.48)
À partir de
,
nous bâtissons l'état
, nous allons montrer que si cet état n'est pas identiquement
nul, il est état propre de et
de
. De la relation:
(42.49)
déjà démontrée précédemment, nous posons:
(42.50)
commutent
avec , puisque celui-ci commute avec et
. Ce qui nous donne que la relation précédente est
nulle telle que:
(42.51)
De la relation nous
posons de façon identique:
(42.52)
Toujours avec:
(42.53)
Nous avons finalement
le paquet de relations:
(42.54)
Donc et sont
identiquement nuls et et sont
des états propres de l'opérateur
pour
la valeur propre K,
et de pour
la valeur propre .
Puisque le moment cinétique
est quantifié, ses valeurs propres doivent donc avoir un minimum
et un maximum avec pour chacune la fonction propre associée.
Posons pour la suite que m '
et sont
la valeur et état propre associé maximal et m''
et la
valeur et état propre minimal.
Étant données les trois relations démontrées jusqu'ici:
(42.55)
Nous écrivons:


(42.56)
Ce qui intuitivement n'est
pas évident à poser mais qui mathématiquement est tout à fait justifiable.
À partir des deux dernières
relations ci-dessus, nous pouvons écrire en soustrayant
la première à la deuxième:
(42.57)
soit:
(42.58)
m '
étant le maximum, m''
le minimum d'un même ensemble, nous avons:
(42.59)
Ce qui nous donne après simplification de la deuxième paranthèse:
(42.60)
Notons J la
valeur m' (qui correspond donc à la valeur propre
maximale de la quantité
) puisque nous
avons:
(42.61)
(où souvent dans la littérature nous retrouvons un j minuscule
afin de ne pas avoir de confusion possible avec l'opérateur associé)
donc:
(42.62)
Comme la différence à gauche de l'égalité est
obligatoirement une nombre entier (en nous inspirant des résultats
connus de la physique quantique corpusculaire), cela impose que
2J
est un nombre entier positif ou nul mais
cela implique aussi directement que J ne
peut être qu'un nombre entier, demi-entier ou nul tel que:
(42.63)
Donc, si nous nous fixons un J, puisque par construction ,
il vient logiquement que:
(42.64)
et donc puisque m ne peut être qu'entier, il ne peut
prendre que les valeurs:
(42.65)
Enfin, comme:
et
(42.66)
nous avons alors:
et
(42.67)
et finalement cela nous donne la valeur propre:
(42.68)
Et puisque nous avons posé que m' est égal à J et
que nous avons la relation:
Il vient alors:
(42.69)
Sous forme plus explicite
et moins confuse (attention à ne pas confondre les valeurs propres
avec les opérateurs!):
(42.70)
et en définitive, en multipliant
à gauche et à droite par pour
revenir en unités du système international (S.I.),
nous avons pour la composante verticale du moment cinétique
orbital total, la valeur propre:
(42.71)
Il vient sinon au final:
(42.72)
Comme nous avons vu plus haut que:
(42.73)
(composant
par composante de leur vecteur respectif) et
si la particule n'a pas de spin ( )
alors nous avons la valeur propre du moment cinétique orbital
total qui se réduit à la valeur propre du moment cinétique:
(42.74)
où nous n'indiquons plus les indices des composantes (inutile!)
Si nous n'avons qu'une seule
particule alors:
(42.75)
Donc le moment cinétique
orbitla s'écrit en se rappelant (cf.
chapitre de Physique Quantique Corpusculaire) que l est
quantifié:
(42.76)
Si nous avons ,
alors dans ce cas:
(42.77)
Nous retrouvons donc le résultat
obtenu au début de notre étude du moment cinétique.
Grossièrement, si
nous posons maintenant ,
nous retrouvons à partir du modèle ondulatoire l'hypothèse
de quantification du moment cinétique postulée
par Bohr vue dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire.
Raison pour laquelle il est d'usage de ne prendre que les valeurs
entières de l!
Remarque: Rappelons que réellement  et
donc qu'à la différence du modèle corpusculaire
de Bohr le moment cinétique peut être nul dans le
modèle ondulatoire...! Une autre manière d'accepter les
valeurs prises par n outre le faire de se reporter au
modèle de Bohr dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire
est de regarder les valeurs que peuvent prendre l dans
le modèle quantique de l'atome hydrogénoïde du chapitre de Chimie
Quantique sinon quoi les polynômes associés de Legendre ne sont
plus définis!
Cette constatation justifie
maintenant physiquement l'utilisation du nombre quantique l dans
l'utilisation du tableau périodique des éléments
tel que nous l'avions vu et défini (sans aucune justification
réelle)
dans le chapitre précédent.
Enfin, indiquons qu'exactement le même raisonnement amène
aux valeurs possibles suivantes du moment cinétique de spin:
(42.78)
où l'expérience nous montre (pour ne citer que les
plus connus) que le spin 0 est caractéristique du boson
de Higgs ou de certains atomes, le spin 1/2 est une caratérisique
de l'électron/positron,
le spin 1 est une caractéristique du photon, le spin 2 serait
une caractéristique encore théorique du graviton.
Au jour où nous écrivons ces lignes, aucune particule de spin 3/2
ou 5/2 n'est connue.
La valeur entière
ou demi-entière du spin détermine une propriété cruciale
de la particule : si son spin est entier, c'est un boson, si son
spin est demi-entier, c'est un fermion.
Le moment cinétique
total vaut donc approximativement:
(42.79)
Par analogie (c'est vraiment
une analogie douteuse...), nous écrivons pour J suffisament
grand...:
(42.80)
Mais comme le spin peut
avoir que deux orientations possibles, les valeurs de j seront
dans le cas d'une particule de spin 1/2:
(42.81)
D'où une classification
possible des électrons atomiques tenant compte de leur spin:
Type
d'orbitale |
s |
p |
d |
f |
l |
0 |
1 |
2 |
3 |
j |

|

|

|

|
notation |

|

|

|

|
Tableau: 42.1- Types d'orbitales et spin
etc... Soit sous forme schématique avec les niveaux d'énergie correspondants:

Figure: 42.1 - Forme schématique des orbitales et spin associés
Ce tableau nous amène
à constater que nous avons finalement:
(42.82)
Pour revenir à des considérations plus pratiques...
nous avons finalement obtenu pour la norme du moment cinétique
total (dans le cas d'une particule seule et sans spin):
(42.83)
où l est un entier. Nous savons également de par
le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire que le moment magnétique
est lui donné par:
(42.84)
et que le nombre quantique secondaire l et le nombre quantique
magnétique sont
d'une certaine manière indissociables.
De la même manière nous obtenons:
(42.85)
où nous s ne peut prendre pour une particule comme l'électron
que les valeurs:
(42.86)
qui correspondent simplement aux deux valeurs propres
de la matrice:
(42.87)
qui lie l'opérateur de spin aux matrices de
Pauli de par l'équation
de Dirac comme nous le démontrerons dans le chapitre la
chapitre de Physique Quantique Relativiste:
(42.88)
Maintenant, ce que nous savons de nos résultats obtenus
dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire c'est que
lorsque l vaut
1 nous avons le moment magnétique qui peut prendre trois
valeurs différentes suivant qu'un champ magnétique
est appliqué ou non:
(42.89)
À ce moment, bien que la norme du moment cinétique
total reste constante (car conservative), ses composantes doivent
forcément
changer. Comme nous ne pouvons connaître qu'une seule des
composantes du moment cinétique en connaissant sa norme
(opérateurs
qui commutent) nous choisissons de nous intéresser par convention pédagogique à .
Nous choisissons un référentiel tel qu'une des
composantes spatiales soit nulle (c'est toujours possible).
Il suffit ensuite par exemple dans le référentiel
plan X, Z choisi (donc la composante Y sera
nulle) d'avoir
la norme de J qui
vaut pour :
(42.90)
et idem avec S en imposant que la norme vaille pour s =
1/2:
(42.91)
Il y a alors trois possibilités pour arriver au même
résultat
en appliquant simplement la norme euclidienne si une des composantes
est toujours imposée comme nulle! C'est que nous ayons:
(42.92)
Ce que nous pouvons aussi écrire en introduisant le nombre
nombre quantique de projection orbital (qui quantifie donc la projection
du moment cinétique orbital selon Z et est en multiplicité
2l + 1):
(42.93)
Ce que les physiciens aiment bien représenter
de manière très simplifiée par le schéma
suivant:

Figure: 42.2 - Représentation schématique simplifiée de la quantification
du
moment
cinétique total
Mais qui en réalité (de par le carré des composantes de la norme)
devrait se dessiner sous la forme suivante:

Figure: 42.3 - Représentation schématique complète de la quantification
du
moment
cinétique total
Ce qui nous permet de constater au passage par symétrie
que:
(42.94)
Remarquons qu'avec de la trigonométrie élémentaire,
nous avons:
(42.95)
Et donc les angles prennent les valeurs suivantes:
(42.96)
Enfin, indiquons que nous avons alors dans ce cas particulier
où ,
le système "abtrait" que nous avions utilisé plus haut:
(42.97)
devient alors dans le cas de notre exemple particulier:
(42.98)
Ce qui est souvent noté de façon
condensée sous la forme suivante:
(42.99)
De la même façon avec le spin 1/2 nous avons en introduisant
le nombre quantique de spin (qui quantifie donc la projection
du moment cinétique de spin selon Z et peut prendre
autant de valeurs qu'il y a entre -s et +s mais
par pas de 1 comme l'impose les résultats expérimentaux,
raison pour lesquels il n'y pas de composante nulle en Z ci-dessous):
(42.100)
Le lecteur pourra aisément vérifier
que le nombre quantique de projection de spin est aussi de multiplicité 2s + 1.
Ce que les physiciens aiment aussi bien représenter
de manière très simplifiée par le schéma
suivant:

Figure: 42.4 - Représentation schématique de la quantification du spin
avec pour angle:
(42.101)
De même qu'avant, nous avons dans ce cas particulier où :
(42.102)
Ce qui peut être noté de façon
condensée sous la forme suivante:
(42.103)
Nous avons donc les seuls éléments variables mesurables expérimentalement
qui sont:
et
(42.104)
qui sont donc des observables discrètes (bivaluées
en ce qui concerne le spin).
Avec une vue d'artiste du concept pour le plaisir des yeux:

Figure: 42.5 - Représentation schématique de diverses quantifications
du
moment
cinétique
par le physicien et sculpteur Julian Voss-Andreae
Donc en appliquant un champ magnétique, l'hamiltonien
de Pauli (cf. chapitre de Physique Quantique
Relativiste)
effectuera des sauts équivalents à la
relation:
(42.105)
Ce résultat signifie que les niveaux d'énergie
pour une énergie
donnée (couche n) sont séparés en plusieurs
niveaux distants de quand
l'atome est placé dans un champ magnétique. Ce résultat
est l'effet Zeeman dont nous avons parlé plusieurs fois.
Tout cela permet de mieux comprendre l'origine mathématique des
4 nombres quantiques (nombre quantique principal, nombre quantique
secondaire ou azimutal, nombre quantique magnétique, spin):
(42.106)
notés aussi (puisque dans le cas particulier des particules étudiées
sur ce site le nombre quantique magnétique de projection
de spin à la
même valeur
que le
spin puisque nous traitons majoritairement de l'électron):
(42.107)
Avec pour résumer un peu tout cela...:
(42.108)
COUPLAGE
SPIN-ORBITE
Nous avions
fait remarquer dans le chapitre de physique quantique corpusculaire
que quand nous analysons à haute résolution les
raies spectrales de l'hydrogène en l'absence d'un quelconque
champ extérieur, nous voyons qu'elles sont en fait constituées
de doublets très serrés, séparés
de
.
Ce phénomène étant dû à un soi-disant
couplage spin-orbite. Il est temps maintenant de voir d'où
cela vient. Rappelons que nous avons obtenu précédemment:
(42.109)
Dès lors, la norme
(ce qui est mesuré) nous amène à écrire:
(42.110)
ce qui nous donne après
regroupement:
(42.111)
Le terme est
appelé "couplage spin-orbite".
C'est lui qui lors des mesures très précises fait
apparaître un dédoublement
des raies dû au couplage entre le spin de l'électron
et le moment cinétique orbital (ce n'est pas car
ce terme est toujours positif).
Remarque: Lorsque nous avons deux corps en interaction
le moment cinétique total est une constante du mouvement.
Il peut donc y avoir un transfert de moment cinétique entre
ces deux corps (c'est le couplage spin-orbite). L'un perd du
moment l'autre en
gagne. À noter qu'un corps étendu possède
un moment cinétique de rotation autour d'un point et un
moment cinétique
de rotation sur lui-même. C'est ce dernier que nous appelons
par une analogie abusive: le spin.
L'écart
mesuré est donc attribué à l'interaction
du spin de l'électron avec son moment orbital. L'électron
tourne autour du noyau, mais si nous nous plaçons sur
l'électron,
nous voyons le noyau tourner (sur la Terre le soleil tourne autour
de la Terre!). Tout se passe comme si le noyau créait
un champ magnétique au niveau de l'électron,
et ce champ interagit avec le moment magnétique de
l'électron,
le spin, et ceci différemment selon que le spin est dans
le sens du champ ou opposé, c'est cette différence
qui ajoute ou retranche un peu d'énergie au niveau.
Voici un
schéma qui résume le tout:

Figure: 42.6 - Représentation imagée de l'interaction spin-orbite
Montrons en effet que
tel que défini, est une constante du mouvement. Nous avons
(inutile de préciser qu'en mettant au carré, il
s'agit des composantes du vecteur que nous mettons au carré et
non le vecteur lui-même!):
(42.112)
d'où:
(42.113)
Faisons le développement
pour une composante:
(42.114)
Or, par définition
(de notation)
donc:
(42.115)
Or, nous savons que
(car un opérateur commute toujours avec lui-même)
et en ce qui concerne ,
nous en avons fait mention dans le chapitre de Calcul Spinoriel
et nous le démontrerons
dans le cadre de l'étude de l'équation de Dirac libre
classique (cf. chapitre de Physique Quantique
Relativiste), que
le spin est totalement décrit
par les matrices de Pauli qui sont des opérateurs linéaires.
Écrivons alors à un facteur constant près:
(42.116)
et nous verrons que cela est bien conforme à l'équation de Pauli
que nous verrons dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste
(et inversement)!!!
Donc en faisant abstraction
de la constante multiplicative:
(42.117)
ce qui était de toute
façon 100% prévisible puisque de toute façon,
encore une fois, un même opérateur commute toujours
avec lui-même.
Donc finalement:
(42.118)
Dès lors:
(42.119)
d'où finalement:
(42.120)
est bien le moment cinétique total qui, même en présence
d'interaction spin-orbite, est une constante du mouvement (une obligation
pour un système isolé).
Remarque: Une autre manière de lire la chose consiste à
dire que la mesure sur un des éléments du commutateur
précédent adapte l'autre immédiatement pour
que leur commutation soit nulle donc par extension le moment
cinétique
total est une constante du mouvement.
Revenons maintenant sur la relation démontrée plus haut:
(42.121)
Nous avons certes obtenues les valeurs propres, mais
il serait judicieux de déterminer l'expression des opérateurs
de Spin. Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Spinoriel que:
(42.122)
et nous avons démontré que pour la valeur propre
+1 les vecteurs propres associés étaient:
(42.123)
Nous avons alors:
(42.124)
En multipliant à gauche et droite par un terme familier:
(42.125)
Et par analogie du fait que les matrice de Pauli
sont des matrices de rotations particulières, nous posons:
(42.126)
Et évidemment nous en déduisons:
(42.127)
DIMENSIONS DE PLANCK
Il convient d'ouvrir une petite parenthèse pour finir
sur la constante de Planck (car beaucoup d'ouvrages font mention
de ce que nous allons voir sans les précautions de rigueur).
Nous venons de voir que la mesure des objets dépend du principe
d'indétermination de Heisenberg. Cette précision
joue tant sur les mesures du temps que sur la trajectoire des particules
ou la densité d'énergie de l'Univers. Voyons que
cela à, par extension... d'autres éventuelles implications.
Nous avons démontré précédemment
au début de ce chapitre qu'une des relations d'incertitudes
est donnée, en prenant le module, par (de l'ordre de la
constante de Planck donc à un facteur près):
(42.128)
Grossièrement, nous pouvons donc dire qu'à une
fluctuation de
l'espace (à ne pas confondre avec la notation de la longueur
d'onde), nous pouvons associer la quantité de mouvement:
(42.129)
À celle-ci correspond, d'après nos résultats
du chapitre de Relativité Restreinte, la relation de l'énergie ,
ou la masse équivalente (en divisant par ) p/c.
En désignant par M cette masse associée à la
perturbation ,
nous avons donc:
(42.130)
La gravitation due à cette masse est caractérisée
par une longueur R que nous déterminerons en ordre
de grandeur en écrivant que l'énergie potentielle
qui lui est associée (cela suppose que la gravitation classique
et quantique sont régies par les mêmes lois...), (cf.
chapitre de Mécanique Classique), est égale à la
masse-énergie .
Cela donne:
(42.131)
ou, en remplaçant M par son expression précédente:
(42.132)
Pour qu'il n'y ait pas auto-amplification (et donc divergence)
du phénomène de fluctuation quantique du vide, nous
devons avoir de préférence .
En écrivant l'égalité entre ces deux grandeurs,
nous aboutissons donc à une quantité qui représente
la dimension minimale (en ordre de grandeur) que puisse concevoir
la physique. C'est la fameuse "longueur de
Planck":
(42.133)
pour laquelle il correspond la période ou "temps
de Planck" d'où:
(42.134)
Nous pouvons maintenant revenir à une autre expression
plus intéressante de la masse fluctuante. Puisque:
et
(42.135)
nous avons dès lors la "masse de
Planck":
(42.136)
L'analyse dimensionnelle nous donne à une constante près
et selon le théorème du Viriel (cf.
chapitre de Mécanique Des Milieux Continus):
(42.137)
et donc:
(42.138)
d'où la "température de Planck":
(42.139)
et encore "l'énergie de Planck":
(42.140)
Après tout cela, nous obtenons facilement la "densité de
Planck":
(42.141)
Nous pouvons nous amuser à obtenir encore d'autres valeurs
de Planck encore, mais qui ne veulent plus dire grand-chose à force
(et nous pourrions continuer ainsi longtemps avec énormément
d'autres grandeurs):
La "force de Planck":
(42.142)
La "puissance de Planck":
(42.143)
La "pulsation de Planck":
(42.144)
En procédant avec le même raisonnement initial fait
avec la masse, mais en utilisant l'énergie potentielle électrostatique
au lieu de l'énergie potentielle gravitationnelle nous pouvons
obtenir la "charge de Planck":
(42.145)
Dès lors nous pouvons calculer un "courant
de Planck":
(42.146)
ainsi que la "tension de Planck":
(42.147)
et "l'impédance de Planck" (...):
(42.148)
Remarque: Certains
physiciens se sont servis (et se servent toujours) des résultats
ci-dessus pour des raisonnements farfelus et dangereux qui ne sont
qu'interprétation. Il convient donc de prendre avec des
pincettes toutes les informations relatives aux dimensions de Planck
que vous pourriez trouver (même si celles-ci paraissent fort
sympathiques). L'exemple le plus connu est donné par la
longueur d'onde de Compton  ( cf.
chapitre de Physique Nucléaire) qui dépend
de la masse-énergie du photon. Si cette longueur d'onde
est égale
au rayon de Schwarzschild classique pour la même masse-énergie
( cf. chapitre d'Astrophysique), alors
dans ce cas sa valeur est celle de la longueur de Planck et sa
masse est égale à la masse de Planck. Il est alors
tentant de dire que la particule forme alors un trou noir. Mais
il s'agit d'une analogie car dans ce cas, rien ne nous dit que
l'expression du rayon de Schwarzschild s'applique à la physique
quantique...
INTERPRÉTATION DE COPENHAGUE
En 1930, l'interprétation probabiliste de l'amplitude de
l'onde d'une particule et le principe d'incertitude d'Heisenberg
constituent les éléments de l'interprétation "standard " non
déterministe de la physique quantique comme nous
en avons déjà fait mention au début de ce
chapitre. Cette interprétation est souvent appelée "interprétation
de Copenhague", car Niels Bohr qui y contribua largement
y dirigeait un institut de physique renommé à cette époque.
Pourtant de nombreux physiciens tels Einstein et Schrödinger,
qui acceptaient la formulation mathématique de la physique
quantique, n'étaient pas à l'aise avec l'interprétation
de Copenhague et la critiquaient. Et jusqu'à nos jours,
la question de l'interprétation correcte de la formulation
mathématique reste un problème.
En effet, nous pouvons nous poser la question suivante: Où se
trouve la réalité? Y a-t-il une réalité?
Niels Bohr répond non: il n'y a rien au niveau quantique,
la réalité n'existe ou n'apparaît que lors
d'une mesure. Cette vision partagée par la plupart des physiciens
(interprétation de Copenhague), implique que la mesure "crée" la
position de l'électron (voir le sous-chapitre traitant du
principe de superposition linéaire des états). Autrement
dit: Aucun phénomène élémentaire n'est un phénomène réel avant
d'être un phénomène observé.
Einstein pensait que la physique quantique, bien que
très efficace et très impressionnante, n'est pas
complète et ne donne qu'une image imparfaite du monde quantique.
Pour lui, il y aurait autre chose, au-delà, qui clarifierait
et affinerait notre présente vision (au même titre
que la théorie des gaz pour laquelle il avait fallu attendre
les modèles statistiques,
Einstein pensait qu'il restait à découvrir des variables
cachées)
Ainsi, dans l'interprétation de Copenhague de la mécanique
quantique le principe d'incertitude signifie qu'à un niveau élémentaire,
l'univers physique n'existe plus de manière déterministe,
mais plutôt comme une série de probabilités
ou de potentiels. Par exemple, le motif produit par des millions
de photons passant à travers une fente de diffraction peut être
calculé à l'aide de la mécanique quantique,
mais le chemin de chaque photon ne peut être prédit
par aucune méthode connue. L'interprétation de Copenhague
dit qu'il ne pourra être calculé par aucune méthode.
C'est cette interprétation qu'Einstein mettait en doute
lorsqu'il disait: "je ne peux pas croire que Dieu joue aux
dés avec l'Univers". D'un point de vue physique autant
que philosophique, le principe d'incertitude implique la réfutation
du déterminisme universel défendu par Laplace au
début du 19ème siècle.
Une réduction instantanée de tous les états
possible se produit dès l'observation du système
selon l'interprétation de Copenhague. Cette décision
aléatoire de l'état observé respecte les probabilités,
correspondant au carré des amplitudes des états.
De surcroît, l'interprétation de Copenhague stipule
que, lors d'une mesure, un processus de réduction,
originaire de l'objet macroscopique, élimine les superpositions
d'états quantiques.
L'interprétation de l'école de Copenhague conduit
donc au problème de la mesure, l'expérience de pensée
du chat de Schrödinger stipulant que lorsqu'on mesure une
quantité, telle que la position ou l'impulsion, nous
intervenons dans le processus de mesure en provoquant un changement
radical de l'état quantique, de la fonction d'onde.
Nous modifions les quantités mesurées de façon
imprévisible et cet état ne peut être décrit
par l'équation déterminée de Schrödinger.
Les physiciens et les philosophes ont réagi de plusieurs
manières à cette interprétation:
- Soit nous considérons comme Bohr et Heisenberg que ce
principe fait loi et qu'il est préférable de ne pas
rechercher l'interprétation ultime. C'est une attitude
qui est admise par la plupart des physiciens.
- Soit nous considérons que la physique quantique est une
théorie incomplète et certains, tel Einstein, Eugène
Wigner ou David Bohm n'ont pas hésité à rechercher
d'autres solutions, stériles jusqu'à présent.
- Enfin, Hugh Everett et bien d'autres prennent l'équation
de Schrödinger très au sérieux, la considérant
comme une représentation de la réalité. Ils
considèrent que l'interprétation de l'école
de Copenhague représente réellement l'évolution
de la fonction d'onde. Les différents termes de l'équation
correspondraient aux différents niveaux d'énergie
dans lesquels se trouve le système. La réduction
du paquet d'ondes s'interpréterait comme une division
totale de l'objet et de l'instrument de mesure dans des univers
parallèles.
Aujourd'hui le débat reste ouvert, mais plusieurs expériences
réalisées depuis les années 1930 nous permettent,
pas à pas, de dissiper l'épais brouillard qui
recouvre le fond de la réalité et de répondre à quelques
questions. Cela dit, toutes ces expériences confirment néanmoins
que l'époque des certitudes est bien révolue. L'expérience
la plus fameuse restant le paradoxe EPR suite à la publication
d'un article de Einstein, Podolsky et Rosen ayant pour seul objectif
de mettre à mal l'interprétation de Copenhague.
L'article d'origine étant un peu difficile, nous allons
prendre la version scolaire d'usage simplifiée mais qui
est celle utilisée
dans les laboratoires, proposée à l'origine par David Bohm. Alors
qu'à l'origine le paradoxe était présenté avec le couple {position,
quantité de mouvement}, Bohm proposa d'utiliser le spin qui est
une propriété à priori purement quantique.
Un électron, ne pouvant alors avoir que deux états
de spin "en
haut" ou "en bas", l'expérience EPR proposée
par Bohm consiste alors à prendre une particule de spin
nul qui se désintègre, produisant
ainsi deux électrons A et B. Puisque leur spin combiné doit
demeurer égal
à zéro, l'un des éléctrons doit avoir
son spin en haut et l'autre en bas. Les électrons foncent
dans des directions opposées jusqu'à ce que la distance
les séparant
soit assez grande pour éliminer tout interaction physique
entre eux, et on mesure le spin de chaque électron exactement
au même
instant à l'aide d'un détecteur de spin.
Selon Bohr, tant qu'aucune mesure n'a été effectuée, ni l'électron A,
ni l'électron B ne possèdent un spin pré-existant
dans aucune direction. Au lieu de quoi, avant d'être observés,
les électrons existent dans une superposition d'états, si bien
qu'ils sont en haut et en bas en même temps. Puisque les deux électrons
sont intriqués, l'information concernant l'état de leur spin est
donnée par une fonction d'onde du type:
L'électron A n'a pas de composante x de
spin avant qu'une mesure effectuée pour la déterminer
fasse s'effondrer la fonction d'onde du système A et B,
après quoi elle est soit "en haut", soit "en
bas". À cet instant
précis, son partenaire B acquiert le spin opposé
dans la même direction, même s'il est à l'autre
bout de l'Univers. L'interprétation de Copenhague est alors
dite "interprétation
non-locale" alors qu'Einstein croyait au réalisme
local: c'est-à-dire qu'une particule ne peut être
instantanément
influencée par un événement lointain et que
ses propriétés existent
indépendamment de toute mesure.
L'approche de Bohm a cependant une faille qu'Einstein
aurait probablement utilisé comme argument: les corrélations s'expliqueraient
en avançant que les deux électrons possèdent chacun des valeurs
de spin définies sur chacun des trois axes x, y, z.
qu'elles soient mesurées ou non. Donc à nouveau, selon Einstein,
le fait que les états de spin pré-existants du couple d'électrons
ne puissent être pris en compte par la physique quantique ondulatoire
aurait encore été une preuve de son incomplétude.
Un physicien John Bell eut cependant l'idée
d'un moyen expérimental
et théorique pour sortir de l'impasse du paradoxe EPR en
changeant l'orientation relative des deux détecteurs de
spin.
Ainsi, si les détecteurs mesurant le spin
des électrons
A et B sont alignés de façon à être
parallèles, alors il y a une corrélation de 100%
entre les deux ensembles de mesures chaque fois que le spin en
haut est mesuré par un détecteur, le spin en bas
est enregistré par l'autre détecteur, et vice versa.
Si l'on fait tourner légèrement un des détecteurs,
ils ne sont plus alignés. À présent, si on
mesure l'état de spin de nombreux couples d'électrons
intriqués, lorsqu'on trouve "en haut" pour l'électron
A, la mesure correspondante pour B donnera parfois
"en haut" elle aussi. Augmenter l'angle entre les axes
des deux détecteurs
conduit donc à une réduction du degré de corrélation.
Si les détecteurs sont à angle droit l'un de l'autre
et que l'expérience est à nouveau répétée
de nombreuses fois, ce n'est que dans la moitié des cas
qu'on détectera un spin en bas chez B lorsqu'on
détecte
un spin en haut chez A sur l'axe x. Si les détecteurs
sont orientés à 180 degrés l'un de l'autre,
le couple d'électrons sera totalement anticorrélé.
Si la mesure donne "en haut" pour l'état de spin
de A, alors le spin de B sera "en bas".
Bien qu'il s'agisse d'une expérience imaginaire,
il est
possible de calculer le degré exact de corrélation
du spin pour une orientation donnée des détecteurs,
tel qu'il est prédit par la théorie quantique.
Il n'est cependant pas possible d'effectuer un calcul
similaire en se servant d'une théorie à variables
cachées archétypique et qui conserve la localité.
La seule chose que pareille théorie pourrait prédire
serait un couplage imparfait entre les états de spin de
A et de B. Cependant, en toute rigueur, c'est
insuffisant pour choisir entre la théorique
quantique et une théorie locale à variables cachées.
Bell fit alors une découverte étonnante. Il était
possible de décider entre les prédictions de la mécanique
quantique et celles de toute théorie à variables
cachées en mesurant les corrélations de couples d'électrons
pour une configuration donnée des détecteurs et en
répétant ensuite l'expérience avec une orientation
différente. Ce qui permit à Bell de calculer la corrélation
totale pour les deux configurations d'orientation en termes de
résultats
individuels prédits par toute théorie locale à variables
cachées. Puisque, dans toute théorie de cette sorte,
le résultat d'une mesure effectuée par un détecteur
ne peut être affecté par ce qui est mesuré avec
l'autre, il est possible de distinguer entre les variables cachées
et la mécanique quantique.
Bell réussit à calculer
les limites du degré de
corrélation de spin entre couples d'électrons intriqués
dans une expérience EPR modifiée par Bohm.
Il trouva qu'au royaume éthéré des quanta
il y a un plus grand degré de corrélation si la mécanique
quantique règne en maîtresse absolue que dans tout
univers qui dépend de variables cachées et de la
localité. Le théorème de Bell disait qu'aucune
théorie locale à variables cachées ne pouvait
reproduire le même ensemble de corrélations que la
mécanique quantique. Toute théorie locale à variables
cachées conduirait à des corrélations de spin
générant des nombres, appelés coefficients
de corrélation, entre -2 et +2. Or, pour certaines orientations
des détecteurs de spin, la mécanique quantique prédit
des coefficients de corrélation qui se trouvent à l'extérieur
de la plage, appelée "inégalités
de Bell", allant de -2 à +2.
Le théorème
de Bell permet donc de tester en face de l'interprétation
de Copenhague soutenue par Bohr la réalité locale
préconisée
par Einstein, à savoir que l'univers quantique existe indépendamment
de l'observation et que les effets physiques ne peuvent se transmettre à une
vitesse supérieure à celle de la lumière.
Bell avait transporté le débat Einstein-Bohr dans
une arène nouvelle, la philosophie expérimentale.
Si l'inégalité de Bell résistait, alors l'affirmation
d'Einstein que la mécanique quantique était incomplète
serait exacte. Si toutefois cette inégalité venait à être
violée, ce serait Bohr qui triompherait. Plus d'expériences
de pensée! Ce serait maintenant Einstein contre Bohr au
laboratoire.
La première expérience qui testa les inégalités
de Bell utilisa des couples de photons au lieu de couples d'électrons.
Ce changement
était possible parce que les photons possèdent le
propriété de
polarisation, qui, pour les besoins du test, jouait le rôle
du spin quantique (de plus les photons sont plus simples à manipuler).
C'est certes une simplification, mais on peut considérer
un photon comme étant
polarisé "en
haut" ou "en bas".
À l'instar du spin de l'électron, si la polarisation
d'un des photons sur l'axe x est mesurée comme étant
"en haut", alors la mesure de l'autre donnera "en
bas",
puisque les polarisations combinées des deux photons doivent
aboutir
à zéro.
Les résultats violèrent les inégalités
de Bell ce qui était en
faveur de l'interprétation de Copenhague non locale
soutenue par Bohr et contre la réalité locale soutenue
par Einstein.
Bell dérivait cette inégalité de deux suppositions.
Primo, il existe une réalité indépendante
de l'observateur. Ce qui se traduit par le fait qu'une particule
possède une propriété bien définie
comme le spin avant d'être mesurée. Secundo, la localité est
conservée. Il n'y a pas d'influence supraluminique, si bien
que ce qui se produit ici ne peut affecter instantanément
ce qui se produit ailleurs. Les résultats expérimentaux
signifient qu'il faut abandonner l'une de ces deux suppositions,
mais laquelle?
Bell était disposé à abandonner la localité.

- Cours de mécanique quantique,
Y. Ayant + E. Belorizky, Éditions Dunod, ISBN10: 2100047426
(339 pages) - Imprimé en
2000
- Quantum Mechanics,
F. Mandl, Éditions
John Wiley & Sons, ISBN10: 0471931551 (301 pages)
- Imprimé en
1992
- Quantum Mechanics: Classical
Results, Modern Systems, and Visualized Examples (2ème Édition), Éditions
Oxford
University Press, Richard W. Robinett, ISBN10: 0198530978
(722 pages) - Imprimé en 2006
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