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PHYSIQUE QUANTIQUE CORPUSCULAIRE | PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE | PHYSIQUE NUCLÉAIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE DES CHAMPS | PHYSIQUE DES PARTICULES ÉLÉMENTAIRES

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2018-02-03 19:54:16 | {oUUID 1.822}
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Fille de l'ancienne théorie des quanta (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire), la physique quantique ondulatoire appelée aussi "mécanique quantique" constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques que nous regroupons sous l'appellation générale de "physique quantique".

Cette dénomination s'oppose à celle de la physique classique, celle-ci échouant dans sa description du monde microscopique (atomes et particules) ainsi que dans celle de certaines propriétés du rayonnement électromagnétique (voir typiquement les expériences des fentes de Young dans le chapitre d'Optique Ondulatoire) ou des semi-conducteurs (voir typiquement l'Effet Hall dans le chapitre d'Électrocinétique).

La physique quantique a repris et développé l'idée de dualité onde-corpuscule introduite par De Broglie consistant à considérer toutes les particules (et même les atomes) de matière non pas seulement comme des corpuscules ponctuels, mais aussi comme des ondes, possédant une certaine étendue spatiale (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire). Ces deux aspects onde/corpuscule des particules ("quanton"), mutuellement exclusifs, ne peuvent être observés simultanément. Si nous observons une propriété ondulatoire, l'aspect corpusculaire disparaît et réciproquement.

À ce jour, aucune contradiction n'a pu être décelée entre les prédictions de la physique quantique et les tests expérimentaux associés. Ce succès a hélas un prix: la théorie repose sur un formalisme mathématique assez abstrait, qui rend son abord assez difficile (heureusement tant qu'on ne traite pas du spin on peut se passer du formalisme matriciel de Heisenberg pour se concentrer sur le formalise de l'équation d'onde de Schrödinger qui est beaucoup plus simple et qui jusqu'à un certain niveau permet de se faire une représentation mentale de ce qui se passe).

Ce qui est plus difficile encore c'est qu'il est très compliqué, voire impossible, de présenter ce domaine de la physique de manière pédagogique linéaire... Ceci a pour conséquence que bon nombre d'ouvrages à son sujet (dont le présent texte ne saurait être exclu), qu'ils s'adressent à des spécialistes ou non, voient leur explications ou textes soumis à de nombreuses critiques d'interprétations, de relecture et de compléments.

Pour en sortir il est favorable de prendre pour base le "principe d'objectivité" dû à Werner Heisenberg qui est à la base de la "physique quantique standard": existe seulement ce qui est expérimentalement observable. Il faut aussi s'aligner sur la conviction de Max Born de reconsturuire la physique quantique corpusculaire qui est objectivement un pot-pourri de règles quantiques et de physique classique pour céder la place à une nouvelle théorie cohérente basée uniquement sur quelques postulats (Max Born s'inspirait de l'élégance des théories d'Albert Einstein qui ne faisaient usage que de quelques postulats bien définis). Wolfgang Pauli lui aussi estimait qu'il était indispensable de cessser d'émettre des hypothèses ad hoc arbitraires chaque fois que des expériences produisaient des données en désaccord avec la théorie.

Le principe de dualité est admis par la majorité des physiciens, mais non la totalité. Un électron est-il présent à plusieurs endroits? Pour que cela soit recevable, il faut une expérience qui le trouve à plusieurs endroits, ce qui est impossible donc nous ne sommes pas tenu de répondre à la question! Dire qu'il est à plusieurs endroits avant que nous l'observions n'est pas recevable en physique: principe d'objectivité. D'une manière générale, nous allons donc aussi renoncer à la notion de trajectoire et de mouvement, ce qui va permettre, de lever la contradiction du freinage par rayonnement (cf. chapitre d'Électrodynamique): car il n'y a plus de mouvement au sens classique. Les notions de vitesse et d'accélération perdent tout sens à cette échelle!

Une minorité de physiciens nie ce principe et ont fondé une physique quantique non-standard avec des grandeurs classiques ce qui explique que l'on puisse trouver surtout dans les revues de vulgarisation des exposés qui s'écartent de la physique quantique standard (celle de la majorité des physiciens). Cette version non-standard donne les mêmes prévisions pour toute expérience réalisable, c'est donc un modèle possible.

En conclusion la physique quantique est une théorie considérée par la majorité actuelle des physiciens comme inachevée et dans laquelle beaucoup de points demeurent encore assez obscurs.

Avant de nous attaquer à la partie mathématique, nous tenons à souligner que nous allons nous limiter uniquement aux développements théoriques effectués entre 1910 et environ 1935 (au-delà la complexité des théories nécessite trop de pages pour un site Internet généraliste comme Sciences.ch).

POSTULATS

Contrairement à la majorité des ouvrages sur le sujet, nous sommes pédagogiquement (et non pas techniquement!) très peu convaincus quant à l'impact de la présentation des postulats de la physique quantique au début de son étude dans les classes. Nous nous permettons d'exposer nos raisons (expérience faite):

1. Ils peuvent se déduire de raisonnements mathématiques simples et logiques (algèbre élémentaire et probabilités) fondés sur les postulats de la physique quantique corpusculaire et du principe de complémentarité et découlent donc d'une évolution de cette dernière. Même si rigoureusement la démarche est fausse au moins, elle est pédagogique!

2. Ces postulats sont indigestes, voire incompréhensibles si la physique quantique (son formalisme et son vocabulaire) n'a pas été d'abord appréhendée par un certain nombre d'exercices ou d'un usage régulier.

Nous pouvons alors considérer que les seuls éléments non démontrables théoriquement (à notre connaissance) qui auraient leur place au rang de postulat seraient: le principe de complémentarité de De Broglie (nous en parlerons plus tard), la relation de Planck-Einstein (déjà vue dans un chapitre précédent) et la mesure d'une observable.

Néanmoins..., dans l'objectif de respecter la tradition, et surtout de respecter la méthodologie scientifique, nous avons choisi de quand même présenter ces postulats en début de ce chapitre mais sans trop insister dessus. Nous conseillons cependant vivement au lecteur non averti, de lire ceux-ci sans trop chercher à les comprendre mais simplement de penser à y revenir régulièrement pendant la lecture du chapitre. Dès lors, tout deviendra probablement plus limpide et la lumière sera...

1ER POSTULAT: ÉTAT QUANTIQUE

L'état d'un système quantique classique est spécifié par les coordonnées généralisées (cf. chapitre de Mécanique Analytique) et est complètement décrit par une fonction différentiable et finie partout notée en toute généralité:

  (42.1)

dite "fonction d'état" ou "fonction d'onde", dont le module au carré (multiplication de la fonction par sa conjuguée) doit donner la densité de probabilité de trouver instantanément le système dans la configuration au temps t (si le système est dépendant du temps):

  (42.2)

ce que nous justifierons plus loin!

En corollaire, la particule étant nécessairement située quelque part dans l'espace entier, nous avons la condition de normalisation que l'intégrale sur tout l'espace vaut:

  (42.3)

à un facteur de phase près. En d'autres termes doit être normée, ce que nous appelons traditionnellement la "condition de normalisation de De Broglie" (bien qu'a posteriori le concept provienne de Max Born).

Rapelons qu'un "facteur de phase" est un facteur complexe constant de module unitaire. Nous pouvons l'écrire (selon ce que nous avons étudié dans le chapitre des Nombres lors de notre étude des nombres complexes) , où est un angle quelconque, appelé la "phase" (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire). Nous démontrerons aussi plus loin en toute rigueur pourquoi celui-ci n'a aucune influence.

Nous pouvons exprimer ce postulat de manière un peu plus formelle, car comme nous le verrons dans plusieurs exemples, la fonction d'onde est souvent un polynôme complexe qui peut dès lors s'exprimer dans l'espace de Hilbert des polynômes. Cela donne dès lors dans le langage du formalisme bra-ket de Dirac (voir plus loin les détails) la définition suivante:

Le vecteur d'état "ket" représenté par appartenant à l'espace vectoriel (espace de Hilbert) définit l'état du système quantique à l'instant t. Ce vecteur d'état possède toutes les propriétés mathématiques requises par la physique quantique et en particulier le produit scalaire du vecteur par son vecteur dual (conjugué complexe) "bra" doit satisfaire le produit scalaire fonctionnel:

  (42.4)

Pour résumer ces derniers paragraphes, les deux relations:

  (42.5)

et:

  (42.6)

sont donc équivalentes!

2ÈME POSTULAT: ÉVOLUTION TEMPORELLE D'UN ÉTAT QUANTIQUE

Si le système n'est pas perturbé, l'évolution (supposée non relativiste!) de son état est gouvernée par l'équation d'évolution de Schrödinger (dépendante du temps donc):

  (42.7)

Cette relation signifie simplement que c'est l'opérateur "énergie totale" ou "hamiltonien" H du système, qui est responsable de l'évolution du système dans le temps. En effet, la forme de l'équation montre qu'en appliquant l'hamiltonien à la fonction d'onde du système, nous obtenons sa dérivée par rapport au temps c'est-à-dire comment elle varie dans le temps.

Dans cette dernière relation, H est l'opérateur, l'hamiltonien (énergie totale) du système que nous démontrerons comme valant dans un cas particulier et simple:

  (42.8)

Dans le cas où le potentiel est indépendant du temps (correspondant à un système conservatif en mécanique classique), il existe (nous le verrons dans des exemples) un ensemble de solutions particulières indépendantes du temps et satisfaisant (relation dont nous démontrerons la provenance):

  (42.9)

où est appelée une "fonction propre" (en analogie avec les vecteurs propres vus dans le chapitre d'Algèbre Linéaire) de l'hamiltonien/opérateur H avec valeur propre/observable .

Ces solutions particulières décrivent alors des états spéciaux appelés "états stationnaires" (puisque indépendants du temps...), dont nous démontrerons plus tard les propriétés et l'origine du nom, et qui forment une base orthogonale.

L'équation aux valeurs propres précédente est souvent appelée "équation de Schrödinger indépendante du temps". Elle définit les états stationnaires et n'a un sens bien évidemment que si le système est conservatif.

C'est surtout l'équation de Schrödinger indépendante du temps qui concerne la chimie quantique et la chimie moléculaire (sujets que nous traitons dans la section de Chimie du site en détails). Nous cherchons en effet à obtenir les fonctions d'onde décrivant les états stationnaires, et surtout l'état de la plus basse énergie, "l'état fondamental", des atomes et des molécules. Les transitions observées en spectroscopie s'effectuant entre ces états stationnaires (nous le démontrerons plus loin), leur détermination est donc un prérequis pour l'étude de la spectroscopie. Cependant, il faut bien se rappeler que c'est l'équation d'évolution de Schrödinger, qui est (dans un premier temps...) l'équation fondamentale de la physique quantique ondulatoire non relativiste: elle joue le même rôle que l'équation de Newton en mécanique classique, soit celui d'une équation du mouvement (voir la démonstration du théorème d'Ehrenfest plus bas).

3ÈME POSTULAT: OBSERVABLES ET OPÉRATEURS

À chaque propriété physique mesurable (une observable) d'un système notée par exemple:

  (42.10)

où sont les coordonnées généralisées et les moments généralisés conformément aux notations adoptées dans le chapitre de Mécanique Analytique, correspond un opérateur linéaire (donc cela peut être aussi une matrice!), appelé "opérateur hermitique", noté fréquemment avec un chapeau tel que pour l'exemple choisi celui-ci sera noté:

  (42.11)

qui intervient toujours dans le calcul théorique d'une propriété physiquement mesurable (voir le chapitre d'Algèbre Linéaire pour avoir un rappel de ce qu'est une matrice hermitique).

Autrement dit (mais ceci est plus en relation avec le postula qui va suivre): Une valeur observable est représentée par un opérateur qunatique qui opère sur la fonction d'onde pour prédire la valeur de la mesure de l'observable.

Pour faire simple..., un opérateur hermitique en physique quantique est une expression mathématique telle que si on prend son conjugué complexe (ou sa matrice adjointe si l'expression mathématique est une matrice) alors le calcul théorique de la valeur mesurable est toujours donné par la même expression.

Exemples:

Voici les plus connus dont nous démontrerons l'origine dans le présent chapitre et celui de Physique Quantique Relativiste:

E1. Coordonnées:

  (42.12)

dont nous verrons un exemple pratique avec le théorème d'Ehrenfest dans le présent chapitre.

E2. Quantité de mouvement:

  (42.13)

dont nous verrons aussi plusieurs exemples pratiques (dont un avec le théorème d'Ehrenfest).

Ces deux derniers exemples sont parfois référés sous le nom de "principe de correspondance".

E3. Moment cinétique:

  (42.14)

E4. Les matrices de Pauli (qui correspondent comme nous le verrons bien plus loin aux opérateurs de spin):

  (42.15)

E4. L'opérateur d'énergie d'évolution d'un état quantique:

  (42.16)

Nous verrons par ailleurs que certains opérateurs ne sont pas commutatifs et qu'ils obéissent à ce que nous appelons des "relations d'anticommutation" (qui sont à l'origine des principes d'incertitudes de Heisenberg).

Exemple (que nous démontrerons plus loin!):

  (42.17)

nous disons alors que les composantes des deux observables position et quantité de mouvement sont "conjuguéés canoniquement".

Nous verrons par ailleurs à l'aide d'un cas pratique que deux observables A, B dont les opérateurs respectifs commutent tel que:

  (42.18)

possèdent une base de vecteurs propres commune. Nous disons alors qu'ils sont simultanément mesurables (la détermination précise de l'une n'empêche pas celle de l'autre) avec précision (dans le cas contraire nous avons une incertitude... de Heisenberg). Les deux grandeurs A, B peuvent alors être appelées "observables compatibles" (O.C). Ceci signifie alors que les deux opérateurs doivent avoir les mêmes fonctions propres (donc ils ne sont compatibles que si les opérateurs associés admettent des fonctions propres communes).

L'ensemble des O.C. attachées à un système physique constituent un "ensemble complet d'observables compatibles" (ECOC).

4ÈME POSTULAT: MESURE D'UNE PROPRIÉTÉ

La conséquence du postulat précédent est que la mesure de donne donc toujours une valeur propre de l'opérateur hermitique associé, . En d'autres termes, les seules valeurs observables de la propriété sont les valeurs propres (notées par exemple: o) de l'opérateur !

  (42.19)

Les vecteurs propres et les valeurs propres d'un opérateur ont une signification spéciale: les valeurs propres sont les valeurs pouvant résulter d'une mesure idéale de cette propriété, les vecteurs propres étant les états quantiques du système lors de cette mesure.

C'est à cause de ce postulat qu'il est important de s'assurer que toute propriété physique soit représentée par un opérateur hermitique. En d'autres termes, l'hermiticité de assure que ses valeurs propres (donc notées par exemple: o) sont réelles.

Faisons la démonstration d'abord avec les notatins algébriques habituelles et ensuite avec une autre approche en utilisant la notation de Dirac.

Démonstration:

Puisqu'un opérateur est associé à une fonction propre et une valeur valeur propre par la relation (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire):

  (42.20)

En utilisant la propriété démontrée lors de notre étude des nombres complexes dans le chapitre Nombres comme quoi le conjugué complexe du produit de deux nombres complexes est égal au produit des deux nombres conjugués, nous avons:

  (42.21)

Si nous multiplions la dernière relation par le conjugé complexe de et intégrons sur tout l'espace, nous avons:

  (42.22)

et de même avec la relation antéprécédente:

  (42.23)

Comme par définition est hermitique (donc égal à son propre conjugé complexe), les deux côtés gauche des deux relations précédentes sont égaux. Nous avons alors:

  (42.24)

Il vient alors:

  (42.25)

et comme l'intégrale est physiquement de carré sommable et donc non nulle, cela impose que:

  (42.26)

et donc:

  (42.27)

et cela n'est possible que si la valeur propre est réelle.

Maintenant, avec la notation de Dirac et avec une approche un tout petit peu différente:

Puisqu'un opérateur est associé à une fonction propre et une valeur valeur propre par la relation (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire):

  (42.28)

Nous avons alors si la fonction propre est normée en notation de Dirac:

  (42.29)

Et si l'opérateur est bien un opérateur hermitique (donc égal à son conjugé complexe s'il s'agit d'une fonction et égal à la transposée complexe s'il s'agit d'une matrice), nous avons:

  (42.30)

Donc si l'opérateur est bien hermitique nous avons:

  (42.31)

et ceci ne peut être satisfait que si les valeurs propres sont réelles.

C.Q.F.D

Ainsi, les valeurs propres d'opérateur hermitiques sont toujours des nombres réels (heureusement...).

5ÈME POSTULAT: MOYENNE D'UNE PROPRIÉTÉ

Ce postulat est le moins intuitif et le plus difficile à démontrer (nous le démontrerons par l'exemple lors de l'étude du théorème d'Ehrenfest). Son énoncé est le suivant:

La valeur moyenne (espérance) d'une propriété physique , quand le système se trouve dans l'état décrit par la fonction normalisée est donnée par (attention à ne pas confondre la notation de la moyenne d'un opérateur avec celle du conjugué complexe d'une valeur propre!!!):

  (42.32)

Une expression équivalente et que je trouve compliquée est la suivante: la probabilité de trouver la valeur propre (de l'opérateur majoritairement hermitique ), lors d'une mesure de la propriété effectuée au temps t sur un système quantique préparé dans l'état décrit par la fonction , est donnée par le carré du module de la projection de la fonction sur la fonction propre associée à la valeur propre (et son opérateur):

  (42.33)

où la "projection" (ou "représentative") est définie par:

  (42.34)

l'indice k étant ici pour indiquer qu'il peut y avoir pour certains opérateurs plusieurs valeurs et vecteurs propres.

Par exemple, à une dimension et pour un système dépendant du temps, nous aurons en utilisant les opérateurs présentés dans le postulat précédent (mais sur lesques nous reviendrons en détails):

  (42.35)

Dont nous verrons des cas pratiques dans les chapitres déjà mentionnés!

PRINCIPES D'INCERTITUDES CLASSIQUES

Avant de s'attaquer directement à la physique quantique et à ses outils mathématiques (et pseudo-démonstrations des cinq postulats), nous devons d'abord introduire un exemple classique simple dans lequel apparaît un type particulier de phénomènes: la présence intrinsèque de l'incertitude dans toute mesure.

Cette étude sous forme classique et fondamentalement pas très rigoureuse, nous aidera à mieux appréhender l'incertitude quantique (nous l'espérons) que nous étudierons et déterminerons plus tard et qui elle n'est pas d'origine expérimentale! Cependant il s'agit vraiment d'une des approches utilisées par Heisenberg lui-même!

Imaginons que nous souhaiterions mesurer au moyen d'un microscope l'abscisse x d'une particule et les composantes de sa quantité de mouvement . Pour que la mesure de x soit possible, il faut qu'un faisceau de lumière monochromatique (pour simplifier) parallèle à vienne éclairer la particule, et donc qu'au moins un photon vienne frapper la particule et parvienne à l'oeil de l'observateur:

Figure: 42.1 - Microscope de Heisenberg

Une fois x mesurée, nous pouvons imaginer n'importe quel procédé pour mesurer la quantité de mouvement. 

Un certain nombre de physiciens appellent cette configuration qui permet d'introduire de manière pédagogique les incertitudes le "microscope de Heisenberg".

Posons comme étant l'angle que fait la direction du photon après le choc, avec . Supposons pour alléger les calculs que la particule ait une masse assez élevée pour que nous puissions négliger le changement d'énergie du photon. Nous voyons qu'après le choc, les composantes de la quantité de mouvement du photon diffusé selon et sont:

  (42.36)

Effectivement, rappelons que les relations entre les ondes électromagnétiques, l'équivalence masse-énergie et la quantité de mouvement (cf. chapitre de Relativité Restreinte) sont les suivantes:

  (42.37)

Il s'ensuit que la particule, elle verra sa quantité de mouvement altérée. Les composantes de sa variation sont alors (ne pas oublier qu'initialement elle était nulle en z) celles de la variation du photon selon:

entre sa quantité de mouvement initiale et finale.

La seule information que nous possédons sur l'angle , c'est que ce dernier est , en valeur absolue, inférieur ou égal à l'angle d'ouverture u de l'objectif du microscope (restriction technique).

Donc cela implique que:

  (42.39)

PREMIÈRE RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

Quand nous aurons mesuré la quantité de mouvement à la fin de l'expérience, nous avons vu qu'il faudra donc effectuer les corrections:

  (42.40)

de la quantité de mouvement du photon pour savoir la vraie valeur de de la particule juste avant le début de la mesure.

Dans ces corrections, il y a une partie inconnue qui correspond à des erreurs de mesure sur et du photon. Il est possible d'établir que l'erreur maximale de et sur la quantité de mouvement initiale est donnée par la composante x de la "première relation d'incertitude d'impulsion classique":

puisque nous avons . Il s'agit donc de l'erreur au pire en quelque sorte!

Voyons maintenant ce qu'il en est de la mesure de la position de la particule.

Rappelons maintenant que (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) pour une fente rectangulaire nous avons en posant :

  (42.42)

où (en optique ondulatoire) est l'angle permettant de distinguer clairement deux minimas de diffraction (et donc clairement un objet émettant un rayonnement identique entre deux points). Inversement, du point de vue de la diffraction, l'ouverture e est donc donnée par:

  (42.43)

La valeur de e peut aussi être vue comme le champ de vision (projection orthogonale de la fente sur l'axe X) de largeur de la particule. Dès lors:

  (42.44)

Au même titre que l'erreur maximale sur la quantité de mouvement est donnée par la condition , nous pouvons aussi écrire  , ce qui nous amène à écrire que:

  (42.45)

Si nous multiplions: 

et :

    (42.46)

nous obtenons la "deuxième relation d'incertitude classique" également appelée "l'incertitude spatiale classique":

qui représente donc l'erreur maximale expérimentale d'un microscope à faible ouverture rectangulaire (que de conditions!). Beaucoup d'ouvrages de physique quantique montrent que nous retrouvons exactement la même expression dans beaucoup de situations.

Cependant (!), nous verrons lors de l'étude des commutateurs appliqués à la théorie de la physique quantique, que la vraie relation d'incertitude (dont la valeur diffère de celle ci-dessus) apparaît tout naturellement uniquement à partir de propriétés mathématiques et de la définition de la quantité de mouvement.

Plus généralement, pour une particule dans un volume à dimensions (x, y, z), un état classique est caractérisé par les 6 quantités  dans l'espace de phases (espace de phases qui est donc de dimension 6) et l'état quantique occupe le "cube" de volume:

  (42.48)

Ce qui est remarquable dans cette approche simpliste c'est que la constante de Planck émerge naturellement comme l'unité de mesure universelle minimale d'incertitude de la physique expérimentale au travers du dualisme onde-corpuscule! Heisenberg écrivit que ce résultat établit l'échec final de la causalité en physique quantique.

TROISIÈME RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

En relativité restreinte, nous avons vu que x, y, z, ct constituent les composantes d'un quadrivecteur d'espace-temps ainsi que celles d'un vecteur d'énergie-impulsion. 

Il est donc naturel de compléter les trois relations spatiales du type  par extension:

  (42.49)

Nous obtenons ainsi grossièrement la "troisième relation d'incertitude classique" appelée également "incertitude temporelle classique":

  (42.50)

Cependant (!), nous verrons lors de l'étude des commutateurs appliqués à la théorie de la physique quantique, que cette relation d'incertitude (dont la valeur diffère de celle ci-dessus) apparaît aussi tout naturellement à partir des seules propriétés mathématiques et de la définition de la quantité de mouvement.

Les incertitudes classiques établies vont nous permettre de mieux comprendre les incertitudes sous leur forme quantique réelle. Pour cela, parmi d'autres, il va nous falloir faire usage de l'artillerie mathématique nécessaire. Cependant, dans un souci  de clarté, nous avons souhaité présenter la physique quantique ondulatoire de la manière la plus simple et la moins formelle possible. Cette présentation peut porter le lecteur à de nombreux contresens et il doit donc rester prudent tant qu'il n'en a pas vu la démonstration rigoureuse!

ALGÈBRE QUANTIQUE

Sous ce terme peu courant et non officiel "d'algèbre quantique" (donc à ne pas en abuser!) nous souhaitons introduire et rappeler au lecteur des outils " mathématiques qui vont nous être très utiles pour résoudre certaines équations de la physique quantique. Il est donc de première importance de comprendre (ou d'avoir compris, en ce qui concerne les rappels) au mieux ce qui va suivre!

OPÉRATEURS LINÉAIRES FONCTIONNELS

Définition: Les "opérateurs linéaires" sont des êtres mathématiques agissant sur des fonctions ou vecteurs (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Les fonctions sur lesquelles peuvent opérer ces opérateurs peuvent être des fonctions d'une seule variable x, soit f(x), ou des trois coordonnées d'un point x, y, z soit f(x, y, z) ou écrites encore plus brièvement .

Nous serons amenés à écrire des intégrales de ces fonctions, qui sont le plus souvent étendues à tout l'espace. Dans le cas d'une fonction des trois coordonnées spatiales d'un point, nous adopterons la notation suivante:

  (42.51)

Ces notations, indispensables pour l'allègement des expressions que nous rencontrerons en physique quantique étant établies, nous en revenons à nos opérateurs.

Partant d'une fonction f, si nous savons lui associer une fonction g de même nature, c'est-à-dire dépendante des mêmes variables, nous pouvons dire que g est le résultat de l'action d'un opérateur  sur f et écrire cela symboliquement comme un produit simple:

    (42.52)

Mais nous introduisons tout de suite une restriction fondamentale: seuls nous intéressent les opérateurs linéaires (comme en algèbre linéaire quoi...), c'est-à-dire par exemple tels que:

  (42.53)

quels que soient les coefficients ₁ et ₂.

Une catégorie très simple d'opérateurs est constituée par les nombres (scalaires réels ou complexes). Ainsi dans la relation :

  (42.54)

est une fonction qui dépend linéairement de f, au travers d'un opérateur linéaire que nous écrivons , étant un nombre (typiquement l'opérateur de position en physique quantique).

Il y a deux cas particuliers importants:

1. Opérateur zéro:  où  sera une fonction bien évidemment nulle partout...

2. Opérateur unité (ou identité):  où (ce qui est tout aussi simple...)

Nous vérifions sans peine pour les opérateurs fonctionnels que ces derniers sont (voir les chapitres de Théorie des Ensembles et Algèbre Linéaire au besoin):

- commutatifs par rapport à l'addition

- associatifs par rapport à l'addition et la multiplication

- distributifs par rapport à l'addition à gauche et à droite

Jusqu'à présent, rien ne distingue l'algèbre des opérateurs de celle des nombres. Mais il y a cependant deux propriétés qu'il faut toujours avoir en tête pour ne pas commettre des erreurs quand nous faisons du calcul d'opérateurs:

1. Deux opérateurs ne commutent pas en général par rapport à la multiplication (comme en algèbre linéaire...), c'est-à-dire qu'en général soient deux opérateurs fonctionnels et :

  (42.55)

2. Si nous rencontrons une expression telle que , nous n'avons donc pas le droit d'effectuer en général, la mise en facteur (il s'agit donc d'une structure particulière de groupe qui est non-commutatif)!

Exemple:

Un exemple simple et important, car utile pour la suite (très proche d'un cas pratique que nous verrons plus loin), de deux opérateurs qui ne commutent pas avec une fonction d'une seule variable est le suivant (où f est quelconque). Considérons l'opérateur d/dx agissant sur xf(x):

  (42.56)

en simplifiant par f :

  (42.57)

Donc nous avons ci-dessus un exemple de deux opérateurs qui ne commutent pas puisque:

  (42.58)

Exemple (d'opérateur):

Partons de l'équation de Schrödinger tridimensionnelle (que nous démontrerons plus loin) à admettre pour l'instant:

  (42.59)

ou bien écrite autrement (c'est plus esthétique...) avec le laplacien d'un champ scalaire (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

  (42.60)

ou encore:

  (42.61)

autrement encore...:

  (42.62)

Alors l'opérateur énergie totale (l'hamiltonien H en d'autres termes...) s'exprime comme:

  (42.63)

ou en notation lagrangienne:

  (42.64)

D'autre part, nous savons que:

  (42.65)

Les deux dernières expressions doivent être identiques. La seule possibilité pour satisfaire à ces égalités est de poser:

  (42.66)

qui sont les "opérateurs hermitiques de la quantité de mouvement" en physique quantique (exprimés en coordonnées cartésiennes) et dont il faudra se rappeler tout au long de ce chapitre!

Nous pouvons vérifier la légitimité de ces opérateurs en les réinjectant dans l'expression de l'énergie cinétique:

  (42.67)

Par ailleurs, il est aisé de vérifier que ce développement reste juste si nous prenons le conjugué complexe de l'opérateur de la quantité de mouvement.

Ainsi, l'opérateur d'énergie totale (l'hamiltonien) est, lui aussi, bien hermitique! Ce résultat est très important pour vérifier par exemple des calculs en utilisant la propriété d'orthogonalité des fonctions propres que nous verrons plus loin.

OPÉRATEURS ADJOINTS ET HERMITIQUES

Considérons les deux intégrales étendues à tout l'espace (à l'intérieur de l'intégrale il s'agit d'une multiplication de fonctions et d'opérateurs) sans chercher à comprendre leur utilité pour l'instant:

 et     (42.68)

où rappelons que la notation  est le conjugué complexe de z. Il faut savoir que dans ces deux intégrales, et représentent des opérateurs.

Nous constatons dans les développements de la physique quantique que ces deux intégrales sont égales (donc donnant des valeures réelles) et qu'il y a entre les opérateurs et une correspondance biunivoque, nous disons que  est "l'adjoint" de  (la transposée de la conjuguée) ou qu'il est "hermitique" (les deux termes sont d'usage) et nous écrivons:

  (42.69)

si les deux intégrales précédentes sont respectées.

De cette définition, nous déduisons l'identité importante suivante:

  (42.70)

Exemple:

Considérons:

  (42.71)

Alors par intégration par parties:

  (42.72)

L'opérateur adjoint a plusieurs propriétés, dont les seules qui vont nous intéresser dans ce chapitre sont:

P1. qu'il est inutile de démontrer, car cette relation découle de la définition même de l'opérateur adjoint.

P2.  étant envisagé comme un nombre complexe (opérateur particulier) nous avons alors . Ce que nous avons vérifié juste avant par l'exemple avec l'opérateur de quantité de mouvement!

Une catégorie extrêmement importante d'opérateurs est donc constituée par les "opérateurs hermitiques self-adjoints", ou plus simplement "opérateurs hermitiques" égaux par définition à leurs adjoints:

  (42.73)

puisque ce sont les seuls qui émergent dans les développements de la physique quantique ondulatoire.

Nous remarquons aussi que si nous prenons un opérateur hermitique (comme celui de la quantité de mouvement pour faire simple par exemple...) et que nous multiplions celui par le nombre imaginaire unitaire pur i alors il devient antihermitique, c'est-à-dire: non-hermitique.

Un opérateur quelconque, soit , peut se décomposer d'une façon unique en parties hermitique et antihermitique, c'est-à-dire que nous pouvons écrire:

  (42.74)

où  sont donc hermitiques .

Démonstration:

Si: 

  (42.75)

car il s'agit d'un simple nombre complexe, alors: 

  (42.76)

La somme de l'opérateur et de son adjoint est donc un opérateur hermitique (la somme ou la soustraction entre opérateurs hermitiques, reste donc hermitique).

En général, il est trivial que le produit de deux opérateurs hermitiques  n'est pas nécessairement un opérateur hermitique, car nous vérifions que la condition pour laquelle le produit de deux opérateurs hermitiques soit lui-même hermitique, est que les deux opérateurs "commutent" (voir ce qui suit).

COMMUTATEURS ET ANTICOMMUTATEURS

Définitions:

D1. Le "commutateur" de deux opérateurs  et , s'écrit:

  (42.77)

D2. "L'anticommutateur" de deux opérateurs  et , s'écrit:

  (42.78)

qui s'écrit générallement aussi sous la forme suivante:

  (42.79)

Citons quelques propriétés évidentes des commutateurs (celles que nous utiliserons le plus):

  (42.80)

où  sont des nombre quelconques (les démonstrations sont faites - au besoin - pendant le développement d'exemples pratiques).

Cherchons l'adjoint de :

  (42.81)

d'où un résultat très simple: 

  (42.82)

ce qui pourra se vérifier aisément avec l'exemple pratique que nous ferons juste quelques lignes en-dessous.

La relation suivante est très utile dans la pratique (triviale, mais comme d'habitude au besoin nous pouvons rajouter la démonstration):

  (42.83)

nous avons de même:

  (42.84)

Nous démontrerons plus loin dans un cas concret, que si deux opérateurs ne commutent pas, alors il est impossible d'avoir un état ayant une valeur précise et unique pour les deux opérateurs à la fois (en physique quantique il existe une configuration d'expérience où le premier opérateur représente la quantité de mouvement et le second la coordonnée spatiale). Ce résultat implique que les opérateurs sont souvent nommés des "observables".

Attardons-nous un moment sur un exemple concret des commutateurs et dont un des résultats est fondamental!

Nous avons démontré plus haut les relations:

  (42.85)

Considérons la relation (simple différentielle mathématique habituelle):

  (42.86)

Si nous divisons par  des deux côtés de l'égalité et qu'ensuite nous multiplions par , nous obtenons:

  (42.87)

ce qui nous donne:

  (42.88)

donc il vient que le commutateur de x et  est égal à et donc que les quantités ne commutent pas. Nous avons donc la "relation d'anticommutation" suivante:

  (42.89)
(cycl.)

Ce que nous retrouvons souvent dans la littérature sous la forme (avec le symbole de Kronecker):

  (42.90)

Ainsi (en nous basant sur le deuxième postulat), les deux observables x et , dont les opérateurs ne commutent pas, ne possèdent pas une base de vecteurs propres commune. Ils ne sont donc pas simultanément mesurables avec précision et constituent donc une incertitude d'Heisenberg!

Considérons donc maintenant aussi la relation:

  (42.91)

et en procédant de la même manière que précédemment, nous obtenons:

  (42.92)
(cycl.)

Les deux relations:

 et   (42.93)

peuvent se résumer à:

  (42.94)

en utilisant les coordonnées et moments généralisés et sont remarquables sous plusieurs angles:

- Premièrement, parce qu'à partir de considérations purement théoriques et mathématiques nous retrouvons également en physique quantique une incertitude équivalente (mais pas égale!) à celle obtenue lors de notre étude des principes d'incertitudes de Heisenberg (qui rappelons-le avaient été obtenues à partir d'un cas pratique classique). 

Effectivement, si nous prenons le module du commutateur de gauche, nous avons alors la "relation d'incertitude spatiale de Heisenberg":

  (42.95)

qui rappelons-le, peut également s'écrire sous la forme:

  (42.96)

La constante de Planck étant extrêmement petite, cela explique que cet effet est impossible à détecter à notre échelle macroscopique. Par contre, la masse des électrons étant extrêmement petite aussi, la fraction ci-dessus devient notable pour un électron et l'effet de cette incertitude est important!

Enfin, par commutation des composantes du quadrivecteur impulsion (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous avons la "relation d'incertitude temporelle de Heisenberg":

  (42.97)

Une conséquence fantastique découle de l'incertitude sur le temps et l'énergie et de la relativité. Imaginons-nous le vide le plus total (vide quantique) et supposons que nous regardions ce qui se passe en un point de l'espace donné pendant un temps très court. Alors le principe d'incertitude temporelle nous dit que l'énergie de cet état (le vide!) est très imprécise. Or la relativité dit que l'énergie, c'est aussi de la masse (et aussi un champ), donc des particules. Donc, pendant ce temps très court des particules peuvent apparaître spontanément du vide ! Nous les appelons des "particules virtuelles" car elles disparaissent très vite et sont engendrées par les "fluctuations quantiques du vide".

Cette variation est suffisamment faible pour que nous puissions la mesurer aujourd'hui avec nos instruments. Cependant, nous en observons les effets seulement dans les grands collisionneurs de particules de la planète.

- Deuxièmement, ces relations sont remarquables parce que l'incertitude est une valeur complexe. Ce qui amène à considérer que le corps des complexes est inhérent à la structure réaliste de notre environnement (espace-temps) au niveau du monde quantique. Le monde quantique est donc un monde d'incertitude complexe. Et cette probabilité ne semble pas être une conséquence de notre imprécision ou de notre ignorance mais semble bien être une propriété intrinsèque de la nature.

REPRÉSENTATIVES

Introduisons maintenant les notations quantiques contemporaines, que nous considérons pour l'instant comme des abréviations d'intégrales portant sur des fonctions d'ondes, nous écrirons (dans le but futur de calculer des densités de probabilités):

  (42.98)

car il s'agit d'un produit scalaire fonctionnel complexe (cf. chapitres d'Analyse Fonctionnelle et de Calcul Vectoriel).

Avec cette notation, la relation que nous avions présentée plus haut lors de notre étude des opérateurs:

  (42.99)

devient (c'est plus léger déjà... mais moins pédagogique):

  (42.100)

Cela dit, l'ensemble E des fonctions  qui nous intéressent en physique quantique ondulatoire constitue un espace linéaire fonctionnel. Effectivement, en physique quantique, les équations différentielles que nous devons résoudre (équation de Schrödinger) pour décrire le comportement d'une particule, sont telles que la solution générale peut être très souvent décomposée en la somme des solutions particulières (nous démontrerons cela!). En mathématiques, nous disons alors que les états sont linéaires, c'est-à-dire que toute combinaison d'états est encore un état.

Ainsi, l'état d'une particule est, comme nous le démontrerons plus tard, représenté par un "état quantique" ou un "vecteur d'état" noté qui correspond aussi à une fonction mathématique la décrivant complètement.

Par exemple, si  et  sont deux états possibles, alors:

    (42.101)

est également un état possible pour le système (de par la propriété des espaces linéaires fonctionnels).

Revenons maintenant à notre espace linéaire fonctionnel (ou "espace linéaire des états").  Le fait que l'ensemble E des fonctions  qui nous intéressent constitue un espace linéaire fonctionnel signifie que si , nous avons aussi:

  (42.102)

quels que soient les coefficients et (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Si les fonctions  constituent un espace, il est alors naturel de chercher à les rapporter à une base orthonormée. Ainsi, une suite de fonctions (qui sont les fonctions propres) constituera une base orthonormée si nous avons (forme de relation démontrée en calcul tensoriel):

  (42.103)

où nous le rappelons, est le symbole de Kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

Définition: La base est dite "base complète" si bien évidemment toute fonction peut se développer en série des fonctions propres  telle que:

  (42.104)

où  est un nombre quelconque (c'est en partie ici qu'il faut revenir aux quatrième et cinquième postulats de la physique quantique ondulatoire).

Calculons maintenant le produit scalaire fonctionnel (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle):

  (42.105)

Cette dernière relation montre que nous avons identiquement (nous changeons la notation des indices):

    (42.106)

Ainsi, dans une base orthonormée complète , une fonction  sera bien décrite par la donnée des coefficients . Nous aurons souvent intérêt à les mettre sous le format de la matrice représentative de  dans la base :

    (42.107)

Considérons maintenant un opérateur  tel que:

  (42.108)

Mais nous pouvons également écrire (remarquez l'apostrophe dans la relation!):

    (42.109)

Multiplions cette dernière relation par  et calculons le produit scalaire fonctionnel:

  (42.110)

À comparer avec (obtenu plus haut):

  (42.111)

En notant , la "matrice représentative" de  dans la base , nous pouvons d'après la relation:

  (42.112)

écrire finalement:

    (42.113)

VALEURS ET FONCTIONS PROPRES

Soit un opérateur (hermitique ou non). Le nombre a est dit "valeur propre de l'opérateur" de , s'il existe une fonction  non identiquement nulle telle que (pour un rappel de notions similaires voir le chapitre d'Algèbre Linéaire):

  (42.114)

 est alors une "fonction propre" (en analogie avec les "vecteurs propres") de , associée à la valeur propre de a. Notons que a peut très bien être nul (vous comprendrez mieux cela au moment où nous passerons à l'étude de cas concrets).

En des termes plus physiques, cela revient à dire que lorsqu'un état (une fonction mathématique au sens formel telle que ) est inchangé par un opérateur, l'état est alors appelé "état propre" ou "vecteur propre" du système.

Soit l'ensemble  des fonctions propres associées à a et un espace linéaire fonctionnel, que nous nommerons le "sous-espace propre associé" à a. Le nombre de dimensions de  s'appelle "multiplicité" (ou "ordre de dégénérescence") de la valeur propre a, et nous le notons g.

Soit maintenant a une valeur propre simple, ou non dégénérée, . Cela veut dire qu'il y a une seule fonction propre associée à a, à un coefficient multiplicatif non nul près. 

Si  (valeur propre double), nous pouvons trouver deux fonctions propres non proportionnelles (non liées) associées à a, etc.

Exemple:

Voyons un exemple particulier d'une fonction propre avec une valeur propre autre que le cas classique de l'énergie.

Soit:

  (42.115)

avec  (opérateur que nous avons déjà vu précédemment) et a une valeur propre.

L'équation devient: 

  (42.116)

qui se vérifie aisément si:

  (42.117)

qui est bien une fonction propre de l'opérateur susmentionné et qui nous sera des plus utiles dans ce qui va suivre.

ORTHOGONALITÉ DES FONCTIONS PROPRES

Deux fonctions (vecteurs) propres  et  associées à deux valeurs propres différentes d'un même opérateur hermitique sont orthogonales, c'est-à-dire que:

  (42.118)

Démonstration:

Partons cette fois-ci d'abord avec la notation de Dirac avec deux fonctions propres et deux valeurs propres associées:

  (42.119)

avec .

Nous multiplions respectivement les deux relations précédentes par , et nous intégrons pour obtenir le produit scalaire fonctionnel:

(1)     

 (2)     
  (42.120)

Rappelons pour continuer que nous avons démontré que:

  (42.121)

donc si l'opérateur  est autoadjoint (ce qui est le cas de l'hamiltonien comme nous l'avons montré), c'est-à-dire que , nous avons:

  (42.122)

Dès lors, en retranchant de la relation (1) le complexe conjugué de la relation (2), a étant supposé réel (ou un entier...), nous avons:

  (42.123)

ce qui montre bien que:

    (42.124)

puisque .

Faisons maintenant la même démonstration avec l'écritue algébrique classique et une approche un peut différente. Nous partons de:

    (42.125)

Et comme nous avons démontré plus haut que:

    (42.126)

donc si l'opérateur  est autoadjoint (ce qui est le cas de l'hamiltonien comme nous l'avons montré), c'est-à-dire que , nous avons:

    (42.127)

Il vient alors que les deux relations (1) et (2) sont égales (ne pas oublier que la valeur propre est réelle!). Tel que nous puissions écrire:

    (42.128)

Nous pouvons alors écrire:

    (42.129)

Et donc si les valeures propres ne sont pas égales il est forcé que ce soit l'intégrale qui soit nulle (le produit scalaire fonctionnel) et donc que les deux fonctions propres sont orthogonales.

C.Q.F.D

La même démonstration, mais avec la notation traditionnelle et plus pédagogique donne:

  (42.130)

Si nous multiplions la première équation à gauche par , et la seconde équation par , et que nous intégrons sur la totalité de l'espace, nous obtenons les deux expressions suivantes (correspondant donc aux valeurs moyennes):

  (42.131)

Si nous prenons le cas de fonctions réelles, nous pouvons écrire:

  (42.132)

L'opérateur H étant hermitique (autoadjoint) comme nous l'avons démontré plus haut, nous avons:

  (42.133)

et comme  sont admis comme étant des fonctions réelles, nous avons aussi:

  (42.134)

Donc:

  (42.135)

S'écrit:

  (42.136)

Il vient alors:

  (42.137)

ce qui montre bien que  sont orthogonales selon la définition du produit scalaire fonctionnel.

FORMALISME DE DIRAC

Dirac a conçu un formalisme général très pratique, mondialement utilisé par les physiciens, dont nous allons donner les éléments essentiels. Les notations utilisées ont d'ailleurs été déjà partiellement introduites dans ce qui a précédé.

Nous utiliserons le formalisme de Dirac pour deux points, le premier étant de mieux comprendre ce qui a été vu jusqu'à maintenant lors de l'introduction aux opérateurs fonctionnels, le second étant d'introduire une notation et une méthode de résolution que l'on retrouve dans certains ouvrages. Par ailleurs, sur ce site par simplification d'écriture, nous utiliserons parfois ce formalisme.

KETS ET BRAS

Nous considérons un espace vectoriel  à n dimensions où n peut très bien être infini (espace de Hilbert). Un vecteur est défini par n composantes  que nous pouvons ranger en colonne pour former une matrice-colonne:

  (42.138)

Nous dirons que cette matrice décrit le "vecteur droit" ou le "ket" (cela doit vous rappeler les "représentatives"). Il est possible d'associer à la matrice colonne la matrice adjointe (transposée conjuguée):

    (42.139)

où les  sont les complexes conjugués des . Nous dirons que la matrice ligne adjointe décrit le "vecteur gauche" ou le "bra" (cela doit également vous rappeler les "représentatives").

L'addition et la multiplication par un nombre  vont de soi. Notons que si , nous avons trivialement .

Avec deux vecteurs de composantes  et , nous pouvons former la quantité suivante, dite "produit scalaire hermitique":

  (42.140)

nous convenons de l'écrire . Notons que:

  (42.141)

le produit scalaire hermitique n'est donc pas simplement commutatif!

Le produit  dépend linéairement de  et de . Réciproquement si un nombre Q dépend linéairement d'un ket , il existe un bra  tel que:

  (42.142)

En physique quantique, est appelé "l'amplitude" d'être dans l'état x si le système est dans l'état y. Ce produit scalaire hermitique sera interprété comme la probabilité que le système physique se projette dans l'état x s'il est dans l'état y.

Une base orthonormée de l'espace étudié est constituée par n vecteurs  tels que:

  (42.143)

où rappelons-le,  est le symbole de Kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

Tout vecteur  de  peut se développer sur cette base selon (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

  (42.144)

où les  sont les composantes de  dans la base choisie. Nous vérifions vraiment aisément que (déjà vu maintes fois dans le chapitre de Calcul Vectoriel):

  (42.145)

Si un ket  dépend linéairement d'un ket , nous écrivons symboliquement:

  (42.146)

où  est un opérateur linéaire. Soit donc un opérateur linéaire défini par la relation précédente et un bra , le produit scalaire hermitique:

  (42.147)

est un nombre Q qui dépend linéairement de . D'après ce qui a été vu plus haut, il existe un bra  tel que .  dépend visiblement de  de manière linéaire. Nous convenons de poser:

  (42.148)

À l'aide de cette convention, nous pouvons écrire:

  (42.149)

Si ,  dépend linéairement de . Par définition, nous écrirons:

  (42.150)

où  est l'opérateur adjoint de . 

Formons avec un bra  le produit scalaire hermitique:

  (42.151)

et nous pouvons écrire (nous l'avons démontré précédemment):

  (42.152)

d'où la relation de première importance que nous avons déjà rencontrée plusieurs fois sans en avoir expliqué vraiment l'origine:

  (42.153)

Nous rappelons simplement avec cette relation qu'un opérateur hermitique est un opérateur égal à son adjoint.

Grâce au formalisme de Dirac, ce qui était avant des définitions abstraites est devenu maintenant des évidences démontrées.

Pour résumer:

Formalisme classique	Formalisme de Dirac

MODÈLE DE SCHRÖDINGER

Des expériences (effet Compton, effet photoélectrique, fentes de Young, optique géométrique/ondulatoire, etc.) ont montré que les ondes pouvaient, dans certaines situations être traitées comme des corpuscules (et inversement). Ce sont ces observations qui amenèrent Niels Bohr à à énoncer son "principe de complémentarité" qui dit que suivant les expériences effectuées, il faut considérer la matière soit comme une onde, soit comme des corpuscules. Ces deux aspects se complétant l'un et l'autre.

ONDE ASSOCIÉE DE DE BROGLIE

Le physicien français Louis Victor De Broglie suggère, en 1924, que réciproquement, les particules (électrons, protons, et autres ainsi que même les atomes et les molécules) pourraient aussi, dans certains cas, montrer des propriétés d'ondes au même titre que la lumière! De Broglie émit alors l'idée qu'il existait entre la longueur d'onde associée fictive d'une particule de matière et sa quantité de mouvement, une relation similaire à celle d'un photon, soit (v est la notation pour la fréquence pour rappel...):

  (42.154)

donc nous pouvons écrire en utilisant la relation établie dans la chapitre de Mécanique Ondulatoire:

    (42.155)

où le rapport:

  (42.156)

De Broglie émit donc dès lors l'hypothèse suivante: Pour un corpuscule de masse m et de vitesse v nous avons:

  (42.157)

où est appelé "longueur d'onde associée de De Broglie".

La matière en mouvement aurait donc une longueur d'onde associée. C'est une longueur d'onde extrêmement petite pour des masses de l'ordre du kilogramme. Si la vitesse est par exemple de l'ordre de alors .

Comme nous l'avons vu, les phénomènes d'interférence et de diffraction sont importants seulement lorsque la taille des objets ou fentes n'est pas beaucoup plus grande que la longueur d'onde. Il est donc impossible de détecter les propriétés ondulatoires des objets de tous les jours. Il n'en est pas de même pour les particules élémentaires, les électrons en particulier.

Les électrons peuvent donc avoir des longueurs d'onde de l'ordre de ce qui correspond à l'espacement des atomes d'un cristal. C.J. Davisson et L.H. Germer exécutèrent une expérience cruciale: ils diffusèrent des électrons sur la surface d'un cristal et au début 1927 observèrent que les électrons éjectés étaient distribués en pics réguliers. Lorsqu'ils interprétèrent ces pics comme des pics de diffraction, ils trouvèrent que la longueur d'onde de l'électron diffracté était exactement celle prédite par De Broglie.

Mais alors qu'est-ce qu'un électron?? Les illustrations qui montrent un électron comme une minuscule sphère chargée négativement ne sont que des images commodes, mais inexactes. En fait, nous devons utiliser le modèle corpusculaire ou ondulatoire, celui qui fonctionne le mieux selon la situation de façon à pouvoir comprendre ce qui se produit. Mais il ne faut pas en conclure qu'un électron est une onde ou une particule. Nous devrions plutôt dire qu'un électron est "l'ensemble de ses propriétés mesurables". Certains physiciens emploient encore l'expression "quanton" pour décrire tout système se comportant soit comme une onde soit comme une particule.

De Broglie put alors suggérer que chaque orbite électronique quantifiée (selon le postulat de quantification de Bohr) est alors une onde stationnaire et qu'un électron ne pouvait occuper que les orbites pouvant accepter un nombre entier de longueurs d'onde de son onde associée fictive. S'il n'y avait pas de coïncidence exacte, il ne pouvait y avoir d'onde stationnaire, et donc pas d'orbite stationnaire non plus.

Dès lors, comme pour les modes résonnants d'une corde (ondes stationnaires), seules les ondes dont la circonférence de l'orbite circulaire contient un nombre entier de existent, soit (l'amplitude sera calculée par des techniques particulières que nouvs verrons plus loin):

avec

Figure: 42.2 - Approche de l'aspect ondulatoire des orbites par De Broglie

En remplaçant par , nous obtenons:

  (42.158)

Ce qui est bien la condition quantique proposée par Bohr. Les orbites et les états d'énergie quantifiés du modèle de Bohr, sont dus à la nature ondulatoire de l'électron et au fait que seules des ondes stationnaires résonantes persistent. Ceci suppose que la dualité onde-corpuscule est à la base de la structure de l'atome.

La notion ondulatoire de la particule permit ensuite au physicien Erwin Schrödinger de développer une équation dite "équation d'onde" pour décrire les propriétés ondulatoires des particules.

Petit interlude sympathique... puisque connue l'onde associée de De Broglie et étant donné le résultat vu lors de notre étude du théorème du Viriel dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus, nous pouvons mettre en relation:

  (42.159)

Ainsi, nous pouvons pour un fluide (liquide), obtenir la valeur de "l'onde thermique associée de De Broglie". Ce qui nous donne:

  (42.160)

Nous reviendrons sur cette relation lors de notre étude des superfluides dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus.

ÉQUATION CLASSIQUE DE SCHRÖDINGER

Le physicien Peter Debye trouva le modèle de De Broglie tiré par les cheveux. Il argumenta que la physique des ondes, n'importe lesquelles, depuis les ondes sonores jusqu'aux ondes électromagnétiques, même les ondes se propageant sur une corde exige une équation qui les décrive. Or, il n'y avait pas d'équation d'onde la modèle atomique de De Broglie (pour la simple raison que ce dernier n'avait jamais essayé et Einstein non plus). Le physicien Erwin Schrödinger prit alors sur lui de trouver l'équation qui manquait et le fit avec brio.

Rappelons la forme unidimensionnelle de l'équation d'onde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire):

(1)     (42.161)

Pour simplifier, cherchons une solution particulière de la forme (voir le chapitre de Mécanique Ondulatoire ou le chapitre d'Électrodynamique pour l'analogie):

(2)    (42.162)

est l'amplitude du champ associé à la particule. Il est important de remarquer que la partie périodique ne contient pas de paramètres de déplacement (comme c'est le cas en électrodynamique par exemple) car la fonction se doit de décrire des solutions "statiques" (attention à ne pas prendre ce terme à la lettre).

Pour des raisons historiques cette amplitude est couramment appelée "fonction d'onde" bien que cette appellation soit trompeuse. Il serait peut-être meilleur de l'appeler simplement "amplitude du champ associé à la matière".

C'est la recherche de l'expression de cette fonction qui va nous amener lors de l'étude d'un cas particulier (bien plus loin dans le texte) à l'expression bien connue de l'énergie d'ionisation d'un électron de nombre quantique n donné et pour son atome de numéro atomique N donné.

Si nous introduisons (2) dans (1), nous obtenons:

(3)   (42.163)

Nous avons aussi: 

  (42.164)

d'où: 

(4)   (42.165)

si nous  introduisons (4) dans (3) nous obtenons alors "l'équation de Schrödinger unidimensionnelle classique" (en l'absence de champ magnétique...):

  (42.166)

Nous pouvons réécrire l'équation précédente en la généralisant à un système à trois dimensions. Ce qui nous donne finalement:

  (42.167)

où  n'est pour rappel que le laplacien d'un champ scalaire (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

    (42.168)

Si simple que cela puisse paraître, il fallut toute l'habileté et l'expérience de Schrödinger pour être le premier à écrire cette équation d'onde et ce fut le fondement sur lequel il construisit l'édifice mathématique de la physique quantique ondulatoire dans les mois qui suivirent. Mais d'abord il lui fallait prouver que c'était bien l'équation d'onde recherchée en l'appliquant à l'atome d'hydrogène (cf. chapitre de Chimie Quantique). Son modèle élimina tous les bricolages successifs et empiriques de la physique quantique corpusculaire.

Certains physiciens jugèrent le modèle de Schrödinger comme de la folie pure (en particulier Sommerfeld) tout en changeant d'avis peu de temps après... tellement le modèle était efficace et remplaçait avantageusement le modèle matriciel horriblement abstrait de Heisenberg (à grand malheur de ce dernier) sur lequel même Pauli avait échoué pour les résultats expérimentaux de l'atome d'hydrogène. Peu de temps après Max Born décrivit le modèle ondulatoire comme la forme la plus profonde des lois quantiques ce qui évidemment ne fit pas tellement plaisir à son proche ami Heisenberg...

Cependant le modèle de Heisenberg décrivait des particules alors que Schrödigner décrit des ondes. L'avantage d'avoir deux formalismes différents - mais équivalents - en physique quantique devint vite évident. Pour la plupart des problèmes que rencontrent les physiciens, la mécanique ondulatoire offre la voie la plus facile vers la solution. Toutefois, pour d'autres, comme ceux qui impliqent le spin, c'est la démarche matricielle de Heisenberg qui prouve sa valeur.

HAMILTONIEN DE SCHRÖDINGER

L'équation de Schrödinger peut également s'écrire sous la forme (après quelques petites mises en facteurs élémentaires) suivante:

  (42.169)

  (42.170)

où H est donc l'hamiltonien du système (ou énergie totale) et constitue un opérateur fonctionnel et l'énergie totale, la valeur propre.

L'équation de Schrödinger est donc une équation aux dérivées partielles du second ordre, linéaire homogène. Quelle que soit l'énergie totale, elle admet des solutions (ouf!), mais nous montrons qu'en général ces solutions croissent très rapidement (croissance de type exponentiel) quand nous nous éloignons à l'infini dans certaines directions et sont donc physiquement inacceptables. Il n'y a que des valeurs particulières de l'énergie totale qui donnent lieu à des solutions physiquement acceptables et en général, l'ensemble de ces valeurs comprend des valeurs discrètes (fonctions trigonométriques à la source) qui sont les "niveaux liés" du système (parce que leur fonction propre décroît rapidement à l'infini) et un continuum de valeurs qui sont les "niveaux non liés" (leur fonction propre restant finie à l'infini). Plus précisément, si W est la borne inférieure des valeurs de l'énergie potentielle à l'infini, les niveaux liés se situent au-dessous de W, alors que les valeurs supérieures à W constituent le continuum des niveaux non liés. 

Par exemple, dans l'étude de l'oscillateur harmonique (un des cas pratiques les plus difficiles au niveau du formalisme) que nous ferons plus loin, nous avons:

  (42.171)

avec . Il n'existe donc que des niveaux liés.

Dans l'atome d'hydrogène:

  (42.172)

avec . Les niveaux liés seront négatifs, et toutes les valeurs positives de l'énergie seront des niveaux non liés.

Ceci ayant été dit, voyons également comme exemple (très important) la manière de déterminer l'hamiltonien H de l'équation de Schrödinger d'une particule chargée non relativiste dans un champ électromagnétique.

Nous avons vu dans le chapitre de Mécanique Analytique que le lagrangien (classique) était défini par la soustraction de l'énergie cinétique et potentielle selon la relation:

  (42.173)

Nous avons démontré dans le chapitre d'Électrodynamique que le lagrangien de l'interaction champ-courant relativiste était donné par:

  (42.174)

où pour rappel est le potentiel vecteur du champ électrique (donc dont le gradient est le champ électrique ) et le potentiel vecteur du champ magnétique (dont le rotationnel est le champ magnétique ).

Si nous rajoutons un champ électrique (et donc un potentiel électrostatique U) en plus du champ électromagnétique  le lagrangien s'écrit alors (puisque le potentiel se soustrait selon la définition du lagrangien!):

  (42.175)

Dans l'approximation classique (non relativiste) nous savons que nous avons (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

  (42.176)

Comme nous nous restreignons au cas non relativiste, nous pouvons éliminer le terme constant d'énergie de la masse au repos tel que:

  (42.177)

Toujours dans le chapitre de Mécanique Analytique, nous avons démontré que l'hamiltonien était donné par:

  (42.178)

Nous avons donc:

  (42.179)

De plus, nous avons vu dans le chapitre de Mécanique Analytique que:

  (42.180)

Il vient donc que:

  (42.181)

Finalement:

  (42.182)

Soit après simplification:

  (42.183)

H contient donc l'énergie cinétique et l'énergie potentielle totale. Il n'y a pas de terme magnétique car la force de Laplace, comme nous l'avons démontré dans le chapitre de Magnétostatique, ne travaille pas (y'en a qui ont de la chance...). H est bien l'énergie totale du système classique, cependant la relation précédente n'est pas vraiment adaptée au formalisme de Hamilton car les moments conjugués n'apparaissent pas. Mais il est très simple de les introduire à partir du résultat obtenu précédemment qui était:

  (42.184)

donc:

  (42.185)

Si nous passons en physique quantique, nous devons remplacer les  par leurs opérateurs respectifs:

    (42.186)

dont nous avons démontré l'origine plus haut. Ainsi, nous avons:

  (42.187)

qui doit s'écrire dans le cas général (comme nous ne savons pas si le potentiel vecteur commute avec la quantité de mouvement, pour ne pas perdre en généralité nous allors supposer qu'il anticommute):

  (42.188)

Ce que l'on note traditionnellement sous la forme (sic!):

  (42.189)

On retrouve très souvent cette dernière relation sous la forme simplifiée suivante dans la littérature en absence de potentiel U et en explicitant V:

  (42.190)

Heureusement, nous ne traiterons pas d'exemples où il faudra trouver des solutions à l'équation de Schrödinger avec un tel hamiltonien sur ce site...

Dans les cas scolaires quand on aborde toutefois des prémisses d'application..., on annule soit le potentiel vecteur (donc la particule n'est pas plongée dans un champ magnétique), soit le potentiel scalaire (donc la particule n'est pas plongée dans un champ électrique). De plus quand on choisit l'un des champs comme étant non nul, on s'arrage à prendre le cas où il est constant et en une seule dimension... Ainsi, si on veut un champ électrique constant selon un seul axe (par exemple l'axe X), on prendra comme potentiel scalaire:

  (42.191)

puisque son gradient donnera bien une constante selon X. Dans le cas d'un champ magnétique constant selon un seul axe (par exemple l'axe Z), on s'arrangera pour prendre le potentiel vecteur:

  (42.192)

dont le rotationnel donne bien un champ magnétique constant selon Z.

CONDITION DE NORMALISATION DE DE BROGLIE

En général, dans un état dynamique donné, la particule (s'il s'agit d'un système à une particule) décrite par la résolution de l'équation de Schrödinger pour des paramètres bien définis est mal localisée, car x, y, z sont mal déterminés de par même le principe d'incertitude de Heisenberg. Il y a donc lieu de définir une probabilité dP de trouver la particule dans l'élément de volume dxdydz entourant un point (x, y, z), d'où l'existence d'une fonction de distribution des coordonnées telle que:

  (42.193)

où est donc une quantité essentiellement positive ou nulle (probabilités obligent!) qui doit s'exprimer à l'aide de la fonction de Schrödinger .  Nous avons d'ailleurs de tels exemples très détaillés dans le présent chapitre et à la fin de celui de Chimie Quantique.

Des analogies avec la physique ondulatoire classique, plus précisément avec l'électrodynamique, ont conduit à admettre que comme la densité volumique d'énergie d'une onde électromagnétique est proportionnelle au carré de son amplitude (cf. chapitre d'Électrodynamique), la densité volumique de probabilité devait être proportionnelle au carré de l'intensité du champ associé tel que:

  (42.194)

où nous utilisons le module de la fonction de Schrödinger comme analogie de l'amplitude et où la constante est un nombre réel. Dans le cadre de la physique quantique, il est beaucoup plus fréquent de trouver cette dernière relation sous la forme évidente suivante:

  (42.195)

qui met mieux en évidence la normalisation nécessaire de la fonction de Schrödinger.

Enfin, il est important de noter que les physiciens ont pour habitude pendant les développements de garder la même notation pour la fonction de Schrödinger non normalisée que celle normalisée (ce qui peut prêter à confusion) telle que:

  (42.196)

où représente alors la probabilité de trouver la particule en un certain point de l'espace.

Il est évident alors qu'avec cette manière de noter les choses nous avons alors sur tout l'espace:

  (42.197)

comme déjà mentionné lors de notre présentation du premier postulat.

Nous pouvons maintenant considérer la signification physique qui peut-être attachée à l'intensité du champ associé à la matière. Comme ce champ décrit le mouvement d'une particule, nous pouvons dire que les régions de l'espace dans lesquelles la particule a le plus de chance de se trouver sont celles dans lesquelles est maximum.

Indiquons aussi que la relation antéprécédente s'écrit en utilisant la notation ket-bra, que nous introduirons un peu plus tard, de la manière très raffinée (et très courante...) suivante:

  (42.198)

ou suivante (c'est simplement la racine carrée de la précédente):

  (42.199)

où le module au dénominateur disparaît puisque, pour rappel, l'intégrale est un nombre réel. Il ne faut par ailleurs jamais oublier que les physiciens, pour la grande majorité, notent de manière identique la fonction de Schrödinger non normalisée et normalisée comme nous le rappelle cette dernière relation.

Comme nous l'avons déjà dit, nous verrons de nombreux exemples détaillés de cette normalisation dans ce chapitre avec des espaces unidimensionnels et dans le cadre de volumes dans le chapitre de Chimie Quantique.

Indiquons encore une chose en ce qui concerne la normalisation. Si vous observez l'expression de l'hamiltonien des équations de Schrödinger vues jusqu'à présent, alors si   est une constante réelle ou complexe nous avons toujours:

  (42.200)

Si nous posons que  est une solution de l'équation de Schrödinger, nous voyons alors que  est aussi solution de l'équation. En effet, nous obtenons:

  (42.201)

En prenant en compte le fait que la fonction  est normalisée, nous obtenons alors:

  (42.202)

d'où (certains livres se restreignent à ces solutions pour des raisons pédagogiques):

 ou   (42.203)

ou rigoureusement nous avons plus généralement:

  (42.204)

où  est un nombre réel. C'est ce que nous appelons "l'arbitraire de phase" dont nous avions déjà fait mention au début de ce chapitre sans démonstration.

Ces solutions sont normalisées et correspondent à la même valeur d'énergie E ainsi qu'à la même densité de probabilité. Ceci montre qu'il n'est pas utile de chercher la signification d'une valeur négative de  (si nous prenons le cas particulier pédagogique ), car  est réel et n'est  pas négatif. Seul le carré d'une fonction d'onde, qui correspond à la densité de probabilité, est significatif d'un point de vue physique.

ÉTATS LIÉS ET NON LIÉS

Supposons que  décroisse assez rapidement à l'infini, de telle sorte que l'intégrale:

  (42.205)

converge. Il est alors possible de profiter de l'arbitraire régnant sur la fonction d'onde (le fait que  et  décrivent le même état) pour rendre cette intégrale égale à l'unité. Nous disons alors que  est une "fonction d'état de champ normée":

  (42.206)

Notons qu'il règne encore un arbitraire sur  par un nombre complexe de module 1, , sans que la condition de normalisation soit altérée. Nous appelons cela "l'arbitraire de phase" et en verrons un exemple plus tard.

Un tel état dynamique est dit "état lié" ou "niveau lié", parce que la particule se manifeste dans une région limitée de l'espace à cause d'un potentiel. Lorsque, par exemple, l'atome d'hydrogène est situé sur un niveau fondamental, il est dans un état lié. Nous savons qu'il n'y a aucune chance de trouver l'électron à plus de quelques angströms du proton, traité comme infiniment lourd et placé à l'origine comme nous l'avons vu lors de l'étude du modèle de Bohr. Voici une bonne vision schématique de la chose (état lié):

Figure: 42.3 - Représentation imagée d'un état lié (source: Pour la Science)

Un exemple d'état par défaut non lié est la particule libre qui peut se propager indéfiniment dans toutes les directions de l'espace (au fait pour ce dernier exemple c'est un peu plus compliqué... mais nous le traiterons plus loin).

ÉQUATION D'ÉVOLUTION CLASSIQUE DE SCHRÖDINGER

Nous savons qu'en mécanique classique l'état dynamique d'un système évolue, en général, dans le temps. Cela veut dire que la position et la quantité de mouvement (par exemple) sont fonction du temps. Pour un système d'hamiltonien donné, la connaissance de l'état dynamique initial permet de prévoir exactement l'évolution ultérieure de ce système du fait des propriétés bien connues des équations de Hamilton.

En physique quantique, les états dynamiques évolueront, en général, dans le temps. La fonction d'onde décrivant un état dynamique ne sera alors pas seulement fonction des coordonnées des particules constituant le système, mais elle dépendra donc aussi du temps et s'écrira:

  (42.207)

Il est tout naturel d'admettre, ne serait-ce que par analogie avec la mécanique classique, que pour un système donné, d'hamiltonien connu, la connaissance de l'état dynamique initial à l'instant , permet de prévoir quel sera l'état dynamique du système à un instant ultérieur . 

Notons en passant que cela revient à dire qu'un ensemble initialement "pur" reste un ensemble pur au cours de l'évolution ultérieure des systèmes qui le constituent sans action extérieure. Cela cesserait donc d'être vrai si tous les systèmes de l'ensemble n'avaient pas exactement le même hamiltonien.

Indiquons qu'il existe deux approches possibles pour déterminer les fonctions dépendantes du temps:

- La première, courante dans de nombreux domaines d'application de la physique quantique, consiste à utiliser un "opérateur d'évolution" et permet de faire apparaître de manière explicite l'équation d'évolution de Schrödinger. Nous commencerons par celle-ci même si c'est la plus compliquée ou abstraite.

- La deuxième, très utilisée à des fins pédagogiques, permet d'obtenir les fonctions dépendantes du temps par l'intermédiaire de la technique de séparation des variables des équations différentielles mais nécessite d'admettre l'équation d'évolution de Schrödinger comme un postulat.

OPÉRATEUR D'ÉVOLUTION

Soit  la fonction d'onde normée décrivant l'état dynamique du système à l'instant t (nous n'écrivons pas les autres variables dont dépend par souci de simplification, à savoir les coordonnées spatiales des particules du système). D'après ce qui précède, si  est connue,  l'est aussi. Nous avons une correspondance:

  (42.208)

 et nous admettrons qu'elle est linéaire! Il existe donc un opérateur , appelé "opérateur d'évolution", tel que:

  (42.209)

La fonction  dépend linéairement de . Il en est alors de même de:

  (42.210)

Il existe donc un opérateur linéaire K, tel que:

  (42.211)

le nombre complexe i venant simplement du fait que nous devinons intuitivement que le résultat sera une fonction d'onde complexe.

Ce qui a aussi amené les physiciens à poser cette dernière égalité ainsi étaient les résultats connus de l'équation d'onde décrivant un état dynamique d'après l'idée de De Broglie. Nous allons donc tout de suite montrer que poser l'égalité ainsi est justifié.

Nous devons déterminer K puisque la connaissance de l'hamiltonien H commande l'évolution du système, K doit donc dépendre de H. Pour préciser la loi qui lie K à H, nous examinerons un cas particulier, celui de la particule libre (dont nous ferons une étude détaillée plus loin). Dans ce cas, H s'identifie à l'énergie cinétique uniquement.

D'après les idées de De Broglie, il est naturel d'admettre que la fonction d'onde décrivant un état dynamique dans lequel la quantité de mouvement est bien déterminée, soit  (relation démontrée pendant l'étude de la particule libre), et où l'énergie totale est donc également bien déterminée, soit:

  (42.212)

est une onde plane de la forme classique:

  (42.213)

où k est le vecteur d'onde de l'onde et  ses coordonnées spatiales.

Nous voyons alors très bien à l'arbitraire de phase près (pris comme étant négatif) que:

  (42.214)

Mais nous avons la relation entre opérateur hamiltonien et valeur propre suivante:

  (42.215)

Les deux équations précédentes conduisent à écrire:

  (42.216)

En comparant cette dernière relation avec:

  (42.217)

nous sommes amenés à poser:

  (42.218)

Les physiciens supposent que cette relation entre K et H est générale. Alors, l'équation:

    (42.219)

dans laquelle K est remplacé par son expression:

    (42.220)

devient alors:

  (42.221)

Cette équation constitue "l'équation d'évolution classique de Schrödinger" qui permet d'étudier des systèmes évoluant avec le temps, notamment les processus impliquant l'absorption et l'émission de rayonnement et la diffusion du rayonnement par les atomes.

En particulier, pour une particule sans spin soumise à une énergie potentielle , en maintenant toujours que la relation entre K et H est générale, l'équation d'évolution s'écrit alors:

  (42.222)

où les termes entre parenthèses correspondent donc à l'expression de l'hamiltonien.

Il convient maintenant de résoudre l'équation différentielle d'évolution de Schrödinger. Pour cela, nous allons nous servir de la condition de normalisation de De Broglie.

Rappelons que cette condition s'écrit:

  (42.223)

et généralisons à une étude multidimensionnelle et temporelle de cette condition telle que (selon les propriétés des complexes):

  (42.224)

Cette intégrale sur tout le domaine de définition n'est certainement pas égale à l'unité si nous n'introduisons pas une fonction de normalisation assimilée à une observable que nous noterons X et telle que nous ayons bien sur tout le domaine de définition:

  (42.225)

D'après cette condition, cette intégrale doit nécessairement rester constante en fonction du temps et de fait égale à l'unité.

Calculons d'abord la dérivée par rapport au temps de l'intégrale de normalisation et X. Nous avons donc nécessairement:

  (42.226)

et utilisons l'équation d'évolution de Schrödinger:

  (42.227)

ce qui nous donne pour notre intégrale après substitution:

  (42.228)

Démontrons maintenant que nous pouvons écrire:

  (42.229)

Cela revient à démontrer que H peut agir identiquement "en arrière" tel que:

  (42.230)

H pouvant être (ou contenir si vous préférez) un opérateur (différentiel par exemple).

Cette relation est démontrable si et seulement si est une fonction décroissante vers l'infini et dont la dérivée tende vers zéro vers l'infini!

Prouvons cela sur un cas particulier (mais fréquent en physique) et pour voir comment cela peut se faire, considérons dans H, un terme particulier de la forme suivante :

  (42.231)

ce qui nous conduit à écrire:

  (42.232)

Par intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) sur le terme l'opérateur différentiel:

  (42.233)

Or, puisque est une fonction décroissante vers l'infini par hypothèse (physiquement nécessaire!), nous aurons le premier terme qui sera toujours nul. Il nous reste ainsi:

  (42.234)

Donc cela ne fait aucune différence de considérer que l'opérateur différencie tout ce qui est à droite ou tout ce qui est à gauche, dans la mesure où il est bien entendu que ce dernier cas implique un changement de signe. Il est d'usage d'appeler ce résultat parfois la "condition d'hermicité"....

Donc nous pouvons bien nous permettre d'écrire:

  (42.235)

ce qui nous amène également à écrire:

  (42.236)

Ceci ne peut être satisfait uniquement que si :

  (42.237)

et dans le domaine mathématique traitant des opérateurs nous avons vu que nous devions noter cette égalité:

  (42.238)

Ce qui nous amène à:

  (42.239)

soit en utilisant la notation des représentatives (ket-bra):

  (42.240)

Pour revenir à la résolution de:

  (42.241)

il est évident qu'une solution possible est alors:

  (42.242)

qui est donc constituée d'une partie purement spatiale (indépendante du temps) et d'une exponentielle complexe dépendante du temps. Vérifions:

  (42.243)

C'est ce qu'il fallait démontrer (...).

Remarquons également qu'une fois les solutions purement spatiales déterminées, les solutions dépendantes du temps et de l'espace s'obtiennent aisément.

De même, grâce à la relation que nous avons démontrée avant, nous pouvons écrire:

  (42.244)

Finalement, la relation:

  (42.245)

devient:

  (42.246)

avec "l'opérateur de Heisenberg" défini par:

  (42.247)

SÉPARATION DES VARIABLES

Voyons également une manipulation mathématique intéressante et un peu similaire à la précédente de l'équation d'évolution de Schrödinger. Cette manipulation va nous permettre de voir que la séparation des variables fonctionne très bien avec l'équation d'évolution et qu'elle va nous permettre de retomber sur un résultat obtenu précédemment (c'est toujours bien pédagogiquement de voir plusieurs approches).

Nous avons donc dans un cas particulier:

  (42.248)

Réécrite sous forme traditionnelle (selon la littérature) et à une dimension, pour un potentiel constant dans le temps, cette relation s'écrit alors:

  (42.249)

Supposons maintenant que la fonction d'onde puisse se séparer en deux fonctions dont elle est le produit telles que:

  (42.250)

Nous aurions alors:

 et   (42.251)

Ce qui injecté dans l'équation d'évolution unidimensionnelle donne:

  (42.252)

ce qui donne après simplification:

  (42.253)

Le terme de gauche ne dépend que de t, celui de droite que de x. Puisqu'ils sont égaux, ils sont nécessairement égaux aussi à une constante près qui a la dimension d'une énergie (U(x) est une énergie potentielle pour rappel).

Donc pour le terme de gauche:

  (42.254)

alors:

  (42.255)

et pour le terme de droite:

  (42.256)

qui peut s'écrire:

  (42.257)

après factorisation:

  (42.258)

Soit avec les notations du site:

  (42.259)

nous retrouvons donc l'équation de Schrödinger classique unidimensionnelle ce qui est pas mal du tout comme résultat!

Maintenant, puisque nous avions posé:

  (42.260)

alors nous avons finalement:

  (42.261)

ce que nous pouvons écrire sous les notations des paragraphes précédents:

  (42.262)

Nous trouvons également cette dernière relation sous plusieurs formes différentes dans la littérature dont voici trois échantillons:

  (42.263)

COMBINAISON LINÉAIRE DES ÉTATS

Il faut remarquer avant que nous passions à un autre sujet quelque chose de très important que nous avions juste mentionné dans le deuxième postulat!

Effectivement, toute équation de la forme suivante vue précédemment:

  (42.264)

est donc solution de l'équation évolutive de Schrödinger et comme dans les systèmes quantiques l'hamiltonien peut prendre (ou être associé à) plusieurs valeurs propres discrètes notées traditionnellement  nous avons alors, comme mentionné au début de ce chapitre, par le principe de combinaison linéaire des équations différentielles la solution générale suivante:

  (42.265)

dont nous aurons plusieurs exemples pratiques (de la discrétisation des états d'énergie et que ceux-ci sont en nombre infini) dans le présent chapitre et celui de Chimie Quantique.

Si nous écrivons la constante de normalisation de  de la relation précédente, nous avons alors:

  (42.266)

Cette dernière relation s'écrirait sous la forme ket-bra traditionnelle suivante:

  (42.267)

où le coefficient constant  est assimilé à  (avouez que c'est plus simple non?).

Nous disons alors que l'état  est une combinaison linéaire d'états élémentaires.  représente donc aussi une particule d'onde comme étant simultanément en plusieurs sous-états différents.

Il est intéressant de remarquer que chaque solution:

  (42.268)

décrit un "état stationnaire". Voyons (enfin!) rigoureusement de quoi il s'agit.

En effet, nous avons:

  (42.269)

qui est donc indépendant du temps d'où l'origine du nom "état stationnaire" (nous avions promis d'en définir l'origine en début de chapitre... donc voilà qui est fait!).

Les fonctions étant normalisées nous avons donc:

  (42.270)

Les calculs nous ont montré plus haut (nous avions fait la démonstration de deux manières différentes) que les fonctions propres ont les propriétés suivantes:

  (42.271)

quand  et:

  (42.272)

quand . C'est cette propriété qui nous avait amené dans le troisième postulat à parler de "base orthogonale des fonctions propres stationnaires".

Continuons notre calcul qui peut s'écrire en utilisant le symbole de Kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel):

  (42.273)

Nous pouvons alors interpréter le terme  comme le poids de la fonction propre  dans l'état quantique k, la probabilité d'être en fait dans l'état propre  vaut alors  et la normalisation impose alors:

  (42.274)

Retenons donc qu'un état quantique quelconque peut toujours être interprété comme étant une combinaison linéaire d'états propres.  Le coefficient  d'une fonction/état propre  est alors associé à une probabilité .

C'est ce résultat mathématique, super important!, qui est à l'origine du paradoxe du chat de Schrödinger (parmi d'autres...) et de nombreux débats.

Pour clore ce petit sujet, remarquons une chose:

Si les coefficients  ne sont pas les coefficients déjà normalisés, mais non normalisés, les physiciens notent alors leur normalisation ainsi:

  (42.275)

car très souvent ils utilisent la même notation pour le coefficient normalisé et le non normalisé dans leurs développements...

L'écriture de la dernière relation se justifie aisément car rappelons que nous devons avoir:

  (42.276)

et nous avons effectivement après réarrangement:

  (42.277)

Notons enfin qu'avec la notation ket-bra traditionnelle, la relation:

  (42.278)

se note souvent dans certains ouvrages spécialisés:

  (42.279)

qui donne donc toujours la probabilité de trouver l'état n à la position x.

ÉQUATION DE CONTINUITÉ

Considérons maintenant l'exemple important de l'équation d'évolution pour une particule libre, c'est-à-dire avec . Nous avons donc:

  (42.280)

La probabilité de trouver la particule dans un volume V est comme nous l'avons vu, donnée par:

  (42.281)

d'où:

  (42.282)

En tenant compte de l'équation d'évolution de la particule libre, le second terme de l'égalité s'écrit:

  (42.283)

où nous avons posé:

  (42.284)

D'après le théorème d'Ostrogradsky (cf. chapitre de Calcul Vectoriel), il vient donc:

  (42.285)

où l'intégrale de droite est effectuée sur la surface S qui limite le volume V. La relation précédente exprime donc bien que la variation par unité de temps de la probabilité de trouver la particule dans V est égale au flux traversant la surface S et le vecteur peut être interprété comme une densité de courant de probabilité qui satisfait l'équation de continuité telle que nous l'avons déterminée en thermodynamique:

  (42.286)

d'où:

  (42.287)

En physique quantique, il y aurait donc conservation du flux de particules: Il n'y a ni création ni disparition de particule, alors que dans la nature (les observations expérimentales) nous observons pourtant de tels phénomènes... il y a donc contradiction entre l'expérience et la théorie ce qui invalide nos développements.

Par contre, cette équation exprime la conservation de la probabilité aussi! Donc de la propriété d'existence de la particule et des caractéristiques qu'elle transporte. Par exemple, si nous multiplions cette dernière relation par la charge de la particule, nous exprimons alors la continuité du courant.

IMPLICATIONS ET APPLICATIONS

Les différents définitions et outils qui ont été vus précédemment, vont nous permettre d'étudier certains cas fondamentaux qui débouchent sur des résultats splendides. 

Dans un premier temps, nous allons voir comment traiter le cas de la particule libre (état non lié) et quels sont les problèmes que pose cette configuration simple.

Ensuite, nous allons résoudre l'équation de Schrödinger avec une particule sans spin dans un puits de potentiel à parois rectilignes et montrer que nous retrouverons avec le formalisme de la physique quantique les mêmes résultats que le modèle de Bohr (plus généralisé même!).

Après quoi, nous allons introduire l'étude de l'oscillateur harmonique en repassant au préalable brièvement sur la résolution de l'équation de Schrödinger d'une particule libre. Cet exemple constitue une forme d'introduction quantique à l'étude théorique de systèmes atomiques. C'est dans cet exemple, que nous utiliserons toute la puissance des opérateurs linéaires fonctionnels. Il sera donc important de ne pas brûler les étapes lors de sa lecture.

Il nous faudra également étudier un autre phénomène fameux, l'effet tunnel! Évidemment, nous avons décidé de faire une introduction d'un cas particulier afin que le lecteur puisse voir le raisonnement qui a amené à la découverte de ce phénomène épatant (mais logique). Encore une fois, cet exemple appuiera la validité de la théorie quantique et démontrant la valeur des constantes de désintégration des isotopes nucléaires!

En ce qui concerne les cas relativistes, avec ou sans spin nous renvoyons le lecteur au chapitre de Physique Quantique Relativiste et en ce qui concerne le modèle atomique simple, nous le renvoyons au chapitre de Chimie Quantique.

Enjoy!

PARTICULE LIBRE

Curieusement la résolution de l'équation de Schrödinger pour une particule libre (où le potentiel est nul) est le cas simple... le plus complexe... mathématiquement parlant car les bornes d'intégration de la normalisation sont infinies.

Voyons cela:

Rappelons d'abord que nous avons démontré de manière simplifiée dans le chapitre de Suites et Séries que la transformée de Fourier d'une fonction f et son inverse étaient données par:

  (42.288)

Soit sous forme unidimensionnelle:

  (42.289)

Procédons maintenant au changement de variable qui relie le nombre d'onde k à la quantité de mouvement (relation introduite au début de ce chapitre):

  (42.290)

Ce qui nous donne:

  (42.291)

Revenons maintenant à l'équation de Schrödinger d'évolution:

  (42.292)

Si la particule est libre, il n'y a pas de potentiel et à une dimension nous avons alors:

  (42.293)

Cette équation différentielle admet des solutions en ondes planes monochromatiques du type (cf. chapitre d'Électrodynamique):

  (42.294)

avec bien évidemment la petite nuance que nous avons à utiliser la relation (sinon ça ne joue pas par contre!):

  (42.295)

Sans oublier que (cela nous sera utile par la suite):

  (42.296)

La courbe de l'énergie E en fonction du vecteur d'onde k est parfois appelée "courbe de dispersion" et c'est une parabole (puisque k est au carré) pour une particule libre!

Bien évidemment, la densité de probabilité de cette solution vaut:

  (42.297)

mais cela ne peut pas correspondre à la réalité car nous ne pouvons pas normaliser la probabilité sur des distances infinies! Une onde plane monochromatique de module constant dans tout l'espace n'étant pas de carré sommable: elle ne peut donc pas représenter un état physique d'une particule libre.

Au fait la solution vient du fait que la vraie solution utilise le principe de superposition de toutes les ondes monochromatiques de toutes les fréquences tel que:

  (42.298)

et nous retrouvons donc ici une relation très similaire à une transformée de Fourier inverse (cf. chapitre Suites Et Séries). Une telle superposition d'ondes planes est appelée: "paquet d'ondes unidimensionnel".

Ce que nous pouvons réécrire:

  (42.299)

Or, nous voyons de suite que nous ne pourrons pas non plus normaliser suivant:

  (42.300)

Dès lors, il n'y a plus de solution générale. Il faut donner une enveloppe porteuse aux ondes imposant une normalisation possible. Cette enveloppe porteuse peut être un Dirac ou une Gaussienne ou d'autres fonctions de distributions plus ou moins complexes. Ensuite les physiciens doivent utiliser une propriété des transformées de Fourier qui font naturellement apparaître les incertitudes de Heisenberg. Ainsi, ces dernières sont une condition à la normalisation des particules libres utilisant les transformées de Fourier.

À ce jour, nous n'avons pas de démonstration pédagogique et simple à proposer sur ce dernier point. Cela viendra peut-être plus tard.

Par contre, nous pouvons prendre comme solution triviale les modes propres de la particule tel que:

  (42.301)

Effectivement:

  (42.302)

C'est ce que nous utiliserons comme situation lors de notre étude plus bas de l'oscillateur harmonique.

Avant d'étudier le cas particulier du paquet d'ondes quasi-monochromatiques, nous allons rappeler quelques résultats concernant la somme de deux ondes planes.

Commençons par sommer deux ondes planes monochromatiques de fréquences voisines:

 et   (42.303)

avec:

 et   (42.304)

et:

 et   (42.305)

À noter que nous imposons donc:

  et    (42.306)

L'onde résultante a pour expression:

  (42.307)

Soit en utilisant les relations trigonométriques remarquables (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (42.308)

qui est une onde plane se propageant selon x avec la pulsation et le vecteur d'onde moyen , et donc à la vitesse de phase:

  (42.309)

Le terme en cosinus s'interprète alors comme l'amplitude lentement variable de cette onde plane.

Remarquons un point assez important!: La vitesse de phase n'est pas conforme à la vitesse que nous obtenons en utilisant l'énergie cinétique d'une particule libre. Effectivement:

  (42.310)

Dès lors la vitesse de phase ne représente pas la vitesse dans le sens classique habituel mais se l'onde se déplaçant à la vitesse de groupe:

  (42.311)

où nous retrouvons donc la formulation classique de la vitesse à partir de l'énergie cinétique (pas mal...)!

Nous pouvons représenter aisément tout cela avec Maple 4.00b:

> restart:with(plots):
> lambda[0]:=1; T[0]:=1; k[0]:=2*Pi/lambda[0]; w[0]:=2*Pi/T[0];
> delta_k:=k[0]/8: k[1]:=k[0]-delta_k; k[2]:=k[0]+delta_k;
delta_w:=w[0]/10: w[1]:=w[0]-delta_w; w[2]:=w[0]+delta_w;
> P1:=animate(cos(k[1]*x-w[1]*t)+cos(k[2]*x-w[2]*t), x=0..1*2*Pi/delta_k, t=0..2*Pi/delta_w, numpoints=200, frames=15, color=red):
> P2:=animate({2*cos(-1/2*k[1]*x+1/2*w[1]*t+1/2*k[2]*x-1/2*w[2]*t), -2*cos(-1/2*k[1]*x+1/2*w[1]*t+1/2*k[2]*x-1/2*w[2]*t)}, x=0..1*2*Pi/delta_k, t=0..2*Pi/delta_w, numpoints=100, frames=15, color=blue):
> display(P1,P2);

Ce qui donne:

Figure: 42.4 - Représentation du concept de vitesse de phase et vitesse de groupe

À la différence de l'onde plane harmonique, cette onde n'a pas un module constant: son module est nul dans certaines zones. Par contre, elle s'étend toujours sur une distance infinie, donc a une norme (somme de la probabilité sur tout l'espace) infinie. Elle ne possède donc pas de sens physique.

L'étude précédente peut être étendue en sommant un nombre N de plus en plus grand d'ondes planes au voisinage de  et . Une telle superposition conduit à une fonction de plus en plus localisée dans certaines zones de l'espace (en particulier vers  par exemple pour ), la distance entre ces zones augmentant proportionnellement avec N. A la limite , alors seule la zone vers  demeure, les autres étant rejetées à l'infini. Le passage à cette limite  s'effectue en remplaçant la somme discrète sur les ondes planes par une sommation continue c'est-à-dire par une intégrale de la forme:

  (42.312)

avec:

  (42.313)

avec donc:

  et      (42.314)

Un tel paquet est donc appelé "paquet d'ondes quasi-monochromatiques".

Cette expression peut se réécrire:

  (42.315)

Il importe de comprendre que  est une fonction de k, donnée par l'équation de dispersion. Nous allons faire le calcul de cette expression en utilisant le fait que .

 implique que  . Il est possible d'effectuer un développement limité au voisinage de :

  (42.316)

où  est la vitesse de groupe. Alors:

  (42.317)

Posons :

  (42.318)

Calculons l'intégrale:

  (42.319)

avec:

  (42.320)

Soit:

  (42.321)

Le dernier terme s'interprète à nouveau comme une onde plane se déplaçant à la vitesse de phase:

  (42.322)

L'amplitude de cette onde plane est donnée par une fonction de type sinus cardinal. A , cette fonction sinc n'a des valeurs importantes que dans la zone:

  (42.323)

Il s'agit donc d'une fonction bien localisée. En conséquence,  est une fonction de carré sommable. Le calcul donne:

  (42.324)

La fonction peut donc être normalisée en posant donc:

  (42.325)

Nous avons donc réussi à obtenir une fonction satisfaisant à la fois l'équation de Schrödinger et la condition de normalisation, grâce à l'emploi d'une somme infinie d'ondes harmoniques. L'exemple que nous avons traité n'est qu'un cas particulier. D'autres types de paquets d'ondes peuvent être obtenus en prenant d'autres distributions pour les amplitudes des ondes planes qui composent le paquet (nous avons supposé ici qu'elles avaient toutes la même amplitude). Dès lors, la vitesse de groupe est associée classiquement à la vitesse de la particule de masse m et d'impulsion p.

Ainsi, le paquet d'ondes se déplace globalement à la vitesse de groupe, qui s'identifie à la vitesse donnée par la mécanique classique.

Les relations d'incertitude ont déjà été introduites au début de ce chapitre de deux manières différentes. Mais dans l'exemple du paquet d'ondes étudié au paragraphe précédent, nous avons vu que la fonction est localisée dans une zone d'extension (largeur à mi-hauteur):

  (42.326)

Nous avons donc la relation:

  (42.327)

Nous retrouvons ici une expression de type incertitude. Le coefficient numérique pourrait être légèrement différent suivant la définition choisie pour  et , ou le type de paquet. Il pourrait en particulier être nettement plus grand dans certains cas. Nous avons donc en fait une inégalité du type:

  (42.328)

En physique quantique, ces inégalités s'expriment en fonction de l'impulsion p, reliées à k par . Nous avons donc:

  (42.329)

Ainsi, plus la quantité de mouvement (implicitement la longueur d'ondre) d'un paquet d'ondes est définie avec précision, moins il a de composantes et plus il est étalé, ce qui augmente d'autant l'incertitude relative à sa position et respectivement plus sa position est bien connue moins sa longueur d'onde le sera.

Il ne s'agit donc pas d'incertitudes au sens de la mesure, et qui seraient limitées par les appareils de mesure, mais d'une propriété fondamentale intrinsèque, liée à la représentation quantique d'une particule selon le modèle mathématique proposé. Le modèle de l'atome de Bohr est donc à rejeter pour les niveaux d'énergie qui sont proches de cette égalité.

PUITS DE POTENTIEL A PAROIS RECTILIGNES

Prenons pour premier exemple, très important pour le chapitre de Physique Nucléaire et pour les spécialistes des semi-conducteurs, la résolution sous forme classique du puits de potentiel à parois rectilignes, également appelé "puits rectangulaire" (cet exemple est vraiment très important, prenez vraiment votre temps afin de le comprendre et de le maîtriser au mieux).

C'est l'exemple le plus simple d'une fonction , nulle à l'intérieur du puits et infiniment grande sur les parois, distantes d'une longueur L.

Remarque: Lorsque nous disons que les parois sont parfaitement réfléchissantes.

Nous supposons une particule piégée dans ce puits. Elle ne peut s'en échapper puisque les parois (c'est-à-dire le potentiel U) ont une hauteur infinie. Mais à l'intérieur, elle est libre de se déplacer sans faire d'interaction avec les parois.

Cette configuration se traduit par les conditions aux limites où l'énergie potentielle électrostatique est notée U :

 si

 si  ou

  (42.330)

Il existe deux manières d'aborder problème. Voyons les deux types de traitements car le premier permet d'avoir une approche simpliste alors que le deuxième permet d'avoir une approche plus générale qui nous sera utile par la suite lors de notre étude de l'effet Tunnel:

1ère approche

L'équation de Schrödinger (classique):

    (42.331)

a donc une solution simple respectant les conditions initiales en une dimension, du type:

    (42.332)

dont la dérivée seconde est:

    (42.333)

Introduits dans l'équation de Schrödinger, nous obtenons après quelques simplifications d'algèbre élémentaire:

  (42.334)

Donc finalement la solution s'écrit:

  (42.335)

à propos de laquelle il faut appliquer les conditions aux limites (la solution en cosinus est en tout point similaire).

Si nous voulons pouvoir, par la suite, faire un parallèle avec un (ou des) électron(s) piégé(s) dans le puits du potentiel du noyau de l'atome (qui n'est par rectangulaire lui!), nous sommes amenés aux considérations suivantes:

La stabilité des atomes suggère l'existence d'une onde stationnaire électronique dans le puits. De plus, l'observation montre que seuls certains niveaux d'énergie semblent autorisés dans ce dernier.

Si nous faisons une similitude avec les cordes vibrantes, la fonction d'onde de l'électron doit être telle que:

1. Pour  et il doit y avoir un noeud de vibration. Donc:

2. La fonction d'onde doit présenter un nombre entier de demi-longueur d'onde sur la longueur L

3. Dans la boîte donc

4. Si aux extrémités ( et )  alors l'argument du sinus vaut

Donc nous devons avoir:

  (42.336)

d'où puisque l'énergie potentielle est nulle:

  (42.337)

L'énergie totale de la particule s'échelonne donc sur une suite discrète de valeurs, les seules permises. La valeur de L est quant à elle déterminée à l'aide du modèle de Bohr ou de Sommerfeld en fonction des cas (cf. chapitre Physique Quantique Corpusculaire).

L'énergie totale de la particule ci-dessus est composée des "valeurs propres" de l'énergie dans le puits de potentiel.

Donc l'équation de Schrödinger permet de faire abstraction du 3ème postulat de Bohr dans le sens où elle explicite directement la notion de quantification des niveaux par des valeurs entières (discrètes) solutions des conditions aux limites d'un puits de potentiel considéré comme parfait.

Les fonctions d'onde correspondantes dans le puits où  sont donc:

  (42.338)

Soit après simplification:

  (42.339)

C'est l'expression d'une des solutions de l'équation pour le puits de potentiel rectangulaire idéal. Ainsi, il existe une suite discrète de fonctions d'onde solutions. Ce sont les "fonctions propres" de la particule.

La constante  dans cette expression est déterminée par la normalisation de De Broglie (dont nous avions parlé au début de ce chapitre), c'est-à-dire par la condition:

  (42.340)

Nous trouvons alors (calcul d'intégration normalement élémentaire):

  (42.341)

et l'expression finale de la fonction d'onde associée à la valeur propre  se lit donc:

  (42.342)

Certains physiciens ont pour habitude de noter cela sous forme complexe en ne considérant bien évidemment que la partie réelle de l'expression suivante (nous utilisons la "formule d'Euler" vue lors de l'introduction aux complexes dans le chapitre des Nombres):

  (42.343) 

avec:

  (42.344)

Nous disons alors que nous avons des "conditions de quantification" sur k imposées par les conditions aux limites.

Cette notation est parfois utile et nous l'utiliserons lors de l'étude de l'effet tunnel dans le chapitre de Physique Nucléaire.

Nous pouvons déduire de l'expression obtenue, les propriétés principales des fonctions d'onde décrivant les états stationnaires de la particule dans une boîte:

1. La figure ci-dessous représente des fonctions et des densités de probabilités  pour les premiers niveaux d'énergie :

Figure: 42.5 - Représentation des fonctions d'onde et densité pour quelques niveaux d'énergie

Nous remarquons que (évidemment nous pourrions analyser ceci de façon analytique et non graphique si nous le désirions), en plus des points  et , a (n-1) zéros situés en:

 avec   (42.345)

Ces points, où la fonction d'onde et la densité de probabilité sont nulles, sont appelés "points nodaux" ou simplement "noeuds" de la fonction d'onde. Le nombre de noeuds augmente quand n augmente, c'est-à-dire quand l'on passe à des états de plus en plus excités. La fonction d'onde  de l'état fondamental à n = 1  et donc avec:

  (42.346)

n'a pas de noeud, celle du premier état excité  d'énergie:

  (42.347)

a un point nodal, celle du deuxième état excité  a deux points nodaux, etc...

La variation des propriétés nodales des fonctions d'onde quand n varie traduit l'orthogonalité des états stationnaires d'énergie différente. En effet, nous vérifions aisément que  est nul quand :

  (42.348)

où nosu avons utilisé une des relations trigonométriques remarquables démontrées dans le chapitre de Trigonométrie.

2. Comme nous pouvons le voir sur la figure précédente, la densité de probabilité associée à tout état stationnaire de la particule est symétrique par rapport au point médian

Nous anticipons donc que la valeur moyenne de x sera exactement égale à L/2 dans un tel état. En effet nous avons vu dans le chapitre de Statistiques que l'espérance (moyenne) d'un événement de probabilité P(x) est définie par:

  (42.349)

où x, E(x) et P(x) n'ont pas d'unités (attention nous allons faire une analyse dimensionnelle).

Or, en physique quantique E(x) et x sont des grandeurs dimensionnelles identiques. Ce qui signifie que les dimensions de P(x) doivent annuler celles de dx. Ainsi, nous devinons suite à l'étude des conditions de normalisation de De Broglie que:

  (42.350)

est une probabilité linéique de présence de la particule.

Le domaine d'intégration étant [0; L] nous avons finalement:

  (42.351)

3. Également sans démonstration car ce résultat est trop évident (si jamais il ne l'est pas pour vous dites-le et nous ajouterons le développement comme pour tout autre chose dans ce site d'ailleurs), la quantité de mouvement le long de x est nulle:

4. Nous pouvons par ailleurs vérifier sans trop de peine que ce que nous avons vu lors de l'énoncé du 2ème postulat se vérifie bien dans cet exemple. C'est-à-dire que les fonctions propres de l'onde sont reliées à l'opérateur hamiltonien via les valeurs propres de l'énergie:

  (42.352)

Effectivement, dans notre exemple, cela donne:

  (42.353)

voilà... pour la première approche du problème. Voyons maintenant la deuxième:

2ème approche

Nous avons donc l'équation de Schrödinger dans le cas unidimensionnel:

  (42.354)

Dans les régions situées en dehors de la boîte où le potentiel est infini, nous avons:

  (42.355)

Soit:

  (42.356)

ce qui donne:

  (42.357)

Ainsi, les fonctions d'onde sont nulles dans les régions où le potentiel est infini.

Considérons maintenant le cas du puits où puisque le potentiel électrostatique est nul, l'équation de Schrödinger se réduit à:

  (42.358)

C'est donc une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec des coefficients constants, équation qu'il est relativement aisé de résoudre dans le cas général (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Soit l'équation:

  (42.359)

En nous aidant des résultats obtenus lors du traitement de la solution particulière, supposons que la fonction y qui satisfait cette équation différentielle soit de la forme . Nous avons alors:

 ou   (42.360)

pourvu, bien sûr, que . Cette dernière relation est donc l'équation quadratique auxiliaire de l'équation différentielle (polynôme caractéristique). Elle a deux solutions/racines (c'est une simple résolution d'un polynôme du deuxième degré) que nous noterons dans le cas général . Ce qui signifie que:

 et   (42.361)

est satisfait pour les deux racines. Si nous faisons la somme puisque les deux sont égales à la même constante:

  (42.362)

Ainsi, il est immédiat que la solution générale de y est du type:

  (42.363)

où le lecteur devrait normalement sans peine pouvoir vérifier que l'ajout des constantes A et B ne change en rien les développements des paragraphes précédents.

Dans le cas qui nous occupe:

  (42.364)

L'équation quadratique est:

  (42.365)

soit:

  (42.366)

Donc finalement la solution générale est de la forme:

  (42.367)

Posons maintenant:

  (42.368)

Nous avons alors:

  (42.369)

avec:

 et   (42.370)

Il faut maintenant déterminer A' et B' en utilisant les conditions aux limites. Ainsi, en x=0 et x=L nous devrions avoir  et nous avons pour x=0:

  (42.371)

Le coefficient A' doit donc être nul. Et en x=L nous devrions avoir:

  (42.372)

Mais dans ce cas, B' doit être différent de zéro. En effet, s'il était nul, la fonction d'onde serait nulle dans tout le puits ce qui est contraire à la réalité physique du problème. Il faut donc que ce soit le sinus qui soit nul, ou encore que son argument soit égal à un multiple d'un nombre entier non nul d'angle  tel que:

  (42.373)

Donc:

  (42.374)

Nous retrouvons donc exactement le même résultat que la méthode précédente.

Il reste à déterminer B et la méthode est exactement identique à la première méthode de résolution que nous avons vue plus haut. Ainsi, nous avons bien:

  (42.375)

Ce qui est important surtout dans cette méthode, c'est de se souvenir pour plus tard de la forme générale de la solution:

  (42.376)

ÉNERGIE DE FERMI

L'énergie de Fermi, , est un concept en physique quantique qui désigne l'énergie du plus haut état quantique occupé dans un système idéalisé où toutes les couches se remplissent successivement et sans discontinuités, c'est-à-dire en pratique lorsqu'un système est au zéro absolu: 0 [K] (cf. chapitre de Mécanique Statistiques).

Le mur de potentiel rectiligne est un excellent moyen pédagogique d'introduire pratiquement le niveau d'énergie de Fermi pour ensuitre l'étendre à d'autres cas particuliers.

Rappelons donc que nous venons d'obtenir de deux manières différentes:

  (42.377)

Alors l'énergie totale de tout un système composé de N particules pouvant prendre toutes le même état fondamental n = 1 et violant donc le principe de Pauli sera:

  (42.378)

Mais si nous appliquons le principe d'exclusion de Pauli des électrons (fermions), chaque niveau ne peut alors dans ce modèle (qui ne contient pas de sous-couches ou autres subtilités) prendre que deux états (oppostions de spin). Dès lors, chaque le niveau fondamental ne peut être occupé que par deux états et il en est de même de chaque niveau. L'énergie totale est alors:

  (42.379)

En utilisant la somme des carrées démontrée dans le chapitre de Suites Et Séries et en notant comme il est d'usage:

  (42.380)

Nous avons alors:

  (42.381)

L'énergie moyenne par particule est alors:

  (42.382)

Par définition, l'énergie du dernier niveau a être occupé est celui de Fermi et donc donné par:

  (42.383)

Nous remarquons que nous avons quel que soit N:

  (42.384)

OSCILLATEUR HARMONIQUE

L'étude de l'oscillateur harmonique correspondant à celle d'une fonction d'onde coincée dans un puits de potentiel parabolique. Ce qui est assimilable grosso modo aux atomes où les parois du puits de potentiel ne sont naturellement pas rectangulaires et infinies... L'étude qui va suivre est donc ce qui est le plus proche de ce qui est disponible dans la Nature au niveau atomique.

Dans le cas d'une particule libre en déplacement rectiligne, nous avons vu que l'énergie potentielle est nulle et l'équation de Schrödinger devient alors:

  (42.385)

Cependant, pour une particule libre (en l'absence de champ de potentiel) l'énergie totale est donc égale à l'énergie cinétique: 

  (42.386)

Mais nous avons:

    (42.387)

Le rapport:

  (42.388)

étant la longueur d'onde associée de De Broglie. En introduisant le nombre d'onde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire), nous avons:

     (42.389)

appelée "relation de De Broglie". Finalement:

  (42.390)

Dès lors, l'équation de Schrödinger peut s'écrire:

  (42.391)

Nous voyons par substitution directe que cette équation différentielle admet pour solutions les fonctions d'onde:

 et   (42.392)

Ces deux différentes solutions représentent le déplacement d'une même particule une fois dans la direction +x et l'autre dans -x. Si  nous avons:

  (42.393)

Le fait que ce résultat soit égal à l'unité, signifie que la probabilité de trouver la particule est la même en tout point. En d'autres termes,  décrit une situation dans laquelle l'incertitude sur la position est totale. Ce résultat est en accord avec le principe d'incertitude puisque  décrit une particule dont nous connaissons avec précision la quantité mouvement : c'est-à-dire que , ce qui implique .

Dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous avons montré que la solution la plus générale d'une équation différentielle est la somme de ces solutions. Autrement dit dans notre exemple:

  (42.394)

avec:

  (42.395)

Au fait, nous pouvons remarquer que si  alors le résultat est le même à la différence près que nous aurons:

    (42.396)

Lorsque la particule qui nous intéresse se trouve dans un puits de potentiel décrit par la fonction (parabole): 

  (42.397)

nous parlons alors "d'oscillateur harmonique".

Ce système est très important car l'hamiltonien de l'équation intervient dans tous les problèmes mettant en jeu des oscillations telles que vibrations moléculaires et cristallines (cf. chapitre de Chimie Quantique).

Prenons d'abord comme exemple l'oscillateur harmonique classique qui consiste en un corps assujetti à se déplacer le long d'un axe et soumis à une force de rappel proportionnelle à la distance à un point situé sur cet axe.

L'équation de ce corps est régie par l'équation de la dynamique: 

  (42.398)

Nous avons vu en mécanique classique que la solution générale de cette équation est:

    (42.399)

avec comme pulsation:

  (42.400)

L'énergie totale du système étant l'hamiltonien classique, nous écrivons:

  (42.401)

Il s'ensuit au vu de l'expression de l'énergie potentielle que la constante que nous avions dans la relation de départ qui définissait la puits de potentiel parabolique:

  (42.402)

est simplement k et dès lors:

  (42.403)

mais que nous noterons pour la suite et par tradition sous la forme suivante:

  (42.404)

Maintenant revenons à notre cadre quantique. De ce point de vue nous avons pour hamiltonien (ou énergie totale):

  (42.405)

où donc pour rappel suite à ce que nous venons de voir:

  (42.406)

En utilisant ce que nous définissons comme une "écriture réduite", nous écrivons:

  (42.407)

où les opérateurs quantité de mouvements et positions réduits sont respectivement:

et   (42.408)

et où nous avons remplacé la constante par  identiquement à l'oscillateur harmonique classique (cf. chapitre de Mécanique Classique).

Il est plus ou moins facile d'obtenir la relation de commutation:

  (42.409)

Démonstration:

Rappelez-vous de la relation ci-dessous que nous avons vue lors de notre étude des opérateurs linéaires fonctionnels au début de ce chapitre:

  (42.410)

Étudions les propriétés des commutateurs avec la quantité de mouvement. Nous avons démontré également plus haut la relation ci-dessous:

  (42.411)

En multipliant cette dernière par , il vient:

  (42.412)

que nous pouvons également écrire:

  (42.413)

Si vous vous rappelez de la définition des commutateurs , nous avons:

  (42.414)

Nous avons donc pour notre oscillateur:

 et   (42.415)

écrivons la définition du commutateur: 

  (42.416)

Donc:

  (42.417)

c'est ce qu'il fallait démontrer...

Nous avons maintenant intérêt pour résoudre l'équation différentielle d'utiliser les opérateurs non hermitiques  définis (c'est une définition donc ne cherchez pas trop loin):

  (42.418)

Ce qui nous définit donc les opérateurs (en posant temporairement ):

  (42.419)

qui sont des des combinaisons linéaires des opérateurs position et quantité de mouvement et ne sont trivialement pas hermitiques.

Nous retrouvons ces deux opérateurs très fréquemment en physique quantique et les physiciens parlent alors de "l'opérateur de création" et de "l'opérateur de destruction" a (appelé aussi "opérateur d'annihilation").

Compte tenu de la relation de commutation, nous vérifions:

et   (42.420)

Démonstration:

  (42.421)

et:

  (42.422)

et d'autre part:

  (42.423)

Démonstration:

  (42.424)

et donc en divisant par 2 des deux côtés de l'égalité, nous avons: 

  (42.425)

Revenons à la relation:

  (42.426)

Utilisons:

  (42.427)

où il apparaît que N peut être vu comme un opérateur, appelé "opérateur compteur" (hermitique) puisque:

  (42.428)

Il suffit alors de quantifier l'opérateur compteur pour les connaître les valeurs propres et les états propres de H puisque ces deux sont éléments sont liés alors par:

  (42.429)

Nous faisons maintenant l'hypothèse que  est une fonction propre de N associée à la valeur propre n, telle que:

  (42.430)

Cette hypothèse est très importante car nous allons nous en servir comme principe d'induction pour trouver toutes les fonctions propres à partir de la fondamentale!

Établissons maintenant des relations de commutation entre N et les opérateurs a ou . Pour cela, multiplions d'abord  le tout par  , nous obtenons:

  (42.431)

De même en multipliant  par a, nous obtenons:

  (42.432)

Puisque selon notre hypothèse  et n sont respectivement fonction et valeur propre de N, nous pouvons écrire:

  (42.433)

Or, nous avons:

  (42.434)

qui multipliée à droite par la fonction d'onde donne la relation:

  (42.435)

Cette équation entraîne les conséquences suivantes:

- Ou bien tel que

- Ou bien  est fonction propre de N pour la valeur propre n-1 !!

Le même raisonnement établirait que  est fonction propre de N pour la valeur propre n+1, si elle n'est pas nulle (nous verrons plus loin que  n'est jamais nulle):

  (42.436)

Cette relation est importante car si  n'est pas nulle pour une fonction propre donnée elle ne le sera pas non plus pour les autres fonctions propres de valeur propre n+1 !!

Nous savons qu'il existe une valeur propre  plus petite que toutes les autres correspondant au niveau fondamental (d'après le modèle de Bohr-Sommerfeld cette valeur propre existe toujours).

Nécessairement, sa fonction propre  obéit à la relation (le lecteur pourra vérifier avec les résultats plus loin):

  (42.437)

sinon quoi  serait valeur propre et il y aurait contradiction.

En multipliant cette dernière relation par  nous obtenons:

  (42.438)

ce qui montre que la valeur propre minimale  est nulle. Nous connaissons donc le niveau fondamental de l'oscillateur:

  (42.439)

Pour obtenir la fonction propre correspondante, nous avons besoin de l'expression explicite de a. D'après:

 et   (42.440)

nous avons:

 et   (42.441)

ce qui nous donne:

  (42.442)

car rappelons-le:

  (42.443)

d'où:

  (42.444)

Mais d'après :

  (42.445)

d'où:

  (42.446)

soit (résolution d'une simple équation différentielle):

  (42.447)

Nous devons envisager, en réalité,  comme fonction de x par le biais de la coordonnée réduite Q. 

D'après:

  (42.448)

en introduisant la longueur A:

  (42.449)

avec:

  (42.450)

et comme:

  (42.451)

Il vient alors:

  (42.452) et   (42.453)

Nous allons vérifier si nous satisfesons la condition de normalisation de De Broglie, sinon quoi il sera nécessaire d'introduire une constante multiplicative. Nous avons alors:

  (42.454)

et donc nous devons avoir:

  (42.455)

Il est loisible de choisir la constante réelle et positive, nous avons finalement:

  (42.456)

Corollaire...: D'après ce que  nous avons vu précédemment, en faisant agir  sur  (explicitement nous faisions référence au résultat ), nous obtenons les fonctions propres de N pour les valeurs propres entières 1, 2, etc. Nous vérifierons plus loin que nous épuisons ainsi toutes les valeurs propres de N.

Il reste à construire les autres fonctions propres et à les normer. En effet, si  est fonction propre normée associée au niveau , nous avons vu plus haut que  est fonction propre associée au niveau n+1 (l'opérateur de création fait augmenter l'énergie d'où son nom...), mais il n'y a pas de raison de la normer à nouveau puisqu'elle est justement associée à une fonction propre déjà normée. 

Nous pouvons écrire:

  (42.457)

 étant un coefficient à déterminer. Exprimons le fait que  est déjà normée:

  (42.458)

Soit en tenant compte de la relation  nous avons:

  (42.459)

Rappelons que  donc:

  (42.460)

Nous venons de vérifier au passage que  n'est jamais nul (fait que nous avions supposé plus haut).

Toutes les fonctions  (sauf  déjà fixée) ont un facteur de phase arbitraire (notion que nous avons vues lors de la définition des états liés et non liés), indépendamment les unes des autres, l'argument de reste donc à notre disposition et nous choisirons  réel positif. Cela fixe toutes les :

  (42.461)

En itérant cette relation sur la fonction d'onde, nous obtenons aisément (algèbre élémentaire):

  (42.462)

 et    (42.463)

Nous avons alors:

  (42.464)

Cette équation prend une forme plus simple, en s'appuyant sur la relation:

  (42.465)

Vérification:

  (42.466)

soit, en langage d'opérateurs:

  (42.467)

Ainsi:

  (42.468)

Nous obtenons ainsi l'expression de :

  (42.469)

Par ailleurs, dans la théorie mathématique des familles de polynômes orthogonaux, nous rencontrons les "polynômes d'Hermite"  définis par:

  (42.470)

Ce sont des polynômes de degré n, pairs ou impairs (). En les employant, nous allégeons la relation précédente qui devient:

  (42.471)

Soit explicitement:

  (42.472)

Ces polynômes constituent donc une base orthonormée de l'état quantique global et apparaissent donc naturellement dans l'expression générale des fonctions/états propres.

Finalement nous avons:

n
0
1
2
3
..	...	...

Tableau: 42.2 - Fonctions et énergies propres de l'oscillateur harmonique pour n=1..3

Avec la non moins fameuse représentation graphique avec à gauche les fonctions propres associées et à droite la probabilité de présence:

Figure: 42.6 - Représentation des fonctions propres et fonctions de densité de quelques niveaux d'énergie

On peut facilement obtenir la partie de gauche avec Maple 4.00b (l'exemple est non normalisé d'où l'abscisse qui est un peu spéciale par rapport à la figure ci-dessus!):

>m:=1;omega:=1;h:=1;
>plot([(sqrt(m*omega*Pi/h))^0.5*exp(-m*omega*x^2/(2*h)),(1/2*sqrt(m*omega*Pi/h))^0.5*2*sqrt(m*omega/h)*x*exp(-m*omega*x^2/(2*h)),1/8*sqrt(m*omega*Pi/h)^0.5*(4*m*omega/h*x^2-2)*exp(-m*omega*x^2/(2*h)),(1/48*sqrt(m*omega*Pi/h)^0.5*(8*(m*omega/h)^(2/3)*x^3-12*sqrt(m*omega/h)*x)*exp(-m*omega*x^2/(2*h)))],x=-6..6);

En analysant ces fonctions d'ondes, nous retrouvons de nombreux résultats classiques: la particule dans le puits de potentiel a une probabilité de présence plus élargie si elle a une énergie plus haute (une bille au fond d'un puits va monter plus haut sur les bords si elle a plus d'énergie),  la particule a plus de chance se retrouver sur ces positions éloignées du centre du puits (la bille a une vitesse d'autant plus petite qu'elle est haut dans le puits: elle va donc passer beaucoup plus de temps en hauteur qu'au fond du puits).

Pour tous les calculs où des particules sont dans un puits de potentiel, l'approximation harmonique est très intéressante. Par exemple, si nous souhaitons étudier un "piège harmonique" à deux dimensions, soit condensat de Bose-Einstein 2D (cf. chapitre de Mécanique Statistique) nous pourrons poser l'hamiltonien suivant pour débuter l'étude (en analogie avec celui à une dimension utilisé plus haut):

  (42.473)

EFFET TUNNEL

L'effet tunnel désigne la propriété que possède un objet quantique de franchir une barrière de potentiel, franchissement impossible selon la mécanique classique. Généralement, la fonction d'onde d'une particule, dont le carré du module représente l'amplitude de sa probabilité de présence, ne s'annule pas au niveau de la barrière, mais s'atténue à l'intérieur de la barrière, pratiquement exponentiellement pour une barrière assez large comme nous le démontrerons. Si, à la sortie de la barrière de potentiel, la particule possède une probabilité de présence non nulle, elle peut donc traverser cette barrière.

L'étude théorique de ce phénomène est d'une importance cruciale dans la théorie des semi-conducteurs et de la désintégration en physique nucléaire. Il convient donc d'y accorder une attention bien particulière!

La barrière quantique de largeur L sépare dans les cas simples l'espace en trois, dont les parties gauche et droite sont considérées comme ayant des potentiels constants jusqu'à l'infini. La partie intermédiaire constitue la barrière, qui peut être compliquée, révélant un profil doux, ou au contraire formé de barrières rectangulaires, ou autres éventuellement en séries.

Étudions maintenant le cas de systèmes où l'énergie potentielle   (implicitement le potentiel y relatif) tend vers des limites finies, non forcément égales quand . Il s'agit donc d'un problème d'états non liés.

D'abord, nous définissons une région I loin à gauche où  sera notée:

    (42.474)

une région III loin à droite où  sera notée:

  (42.475)

En se bornant aux situations les plus simples, il y a trois possibilités relativement aux relations données précédemment: puits de potentiel (a), marche de potentiel (b), barrière de potentiel (c) comme représentés dans l'ordre énoncé sur la figure ci-dessous:

Figure: 42.7 - Types classiques de variation de potentiel

Maintenant, écrivons l'équation de Schrödinger:

  (42.476)

Dans les régions I et III de la barrière de potentiel, l'idée est que  est constant et positif donc l'équation différentielle peut s'écrire en une dimension:

  (42.477)

nous obtenons ainsi très simplement l'expression analytique de dans ces régions sous forme générale:

  (42.478)

Nous trouvons ces deux expressions de façon identique que lors de notre étude du puits de potentiel à parois rectangulaires, à la différence que nous avons écrit ci-dessus les solutions générales de l'équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) sans en déterminer les coefficients (car nous nous intéressons ici à une généralisation).

Ainsi, dans l'étude du puits à parois rectangulaires plus haut nous avions déjà déterminé que:

  et   (42.479)

Dans la région II, l'idée est que  est négatif et constant donc l'équation différentielle peut s'écrire en une dimension:

  (42.480)

et comme nous l'avons vu lors de notre étude du puits de potentiel rectangulaire infini selon la 2ème approche, la solution est alors de la forme:

  (42.481)

avec:

  (42.482)

Nous obtenons ainsi très simplement l'expression analytique de dans les trois régions sous forme générale:

  (42.483)

Supposons maintenant que nous ayons à (région I), une source de particules (qui les envoie vers la droite), avec une énergie cinétique valant évidemment .

Ainsi, ces particules ont une énergie  et la fonction d'onde qui les décrit obéit à l'équation de Schrödinger. Dans la région III, il sera supposé qu'il ne peut exister que des particules allant vers la droite (pas de source à , par hypothèse).

La région III, comme du reste la région I, est d'étendue infinie, donc le principe d'incertitude nous permet de parler en théorie d'une quantité de mouvement parfaitement déterminée que nous noterons p'.

Nous savons que (c'est de la mécanique classique!) dans la région III nous avons alors:

  (42.484)

Si alors p' est positif, donc grâce à la relation précédente et à la relation de De Broglie nous avons:

  (42.485)

Soit:

  (42.486)

Les nombres d'onde étant maintenant connus formellement revenons à l'interprétation de la solution III:

  (42.487)

L'hypothèse comme quoi les particules viennent de la gauche nous impose  pour que la solution décrive uniquement des particules qui vont vers la droite. Ensuite, il est loisible, pour celles venant de la gauche, de prendre  . La région III est donc relativement simple d'analyse...

Les constantes A et B de la région I vont être elles complètement déterminées en effectuant le raccord des solutions d'une région à l'autre.

Intéressons-nous donc maintenant à l'interprétation de l'équation dans la région I:

  (42.488)

Il est évident que  décrit des particules qui, dans la région I, se dirigent vers la droite alors décrit des particules qui, dans cette même région, se dirigent vers la gauche. Comme nous le savons, les premières sont les particules incidentes, les secondes sont les particules réfléchies.

Ce que nous demandons à la physique quantique apparaît maintenant d'une façon claire: une particule arrivant de la gauche (incidente) peut soit:

1. Continuer vers la droite, c'est-à-dire franchir la région II et devenir une particule transmise

2. Retourner vers la gauche et devenir une particule réfléchie.

Nous sommes amenés à définir un "coefficient de transmission" T assimilé à la probabilité qu'a la particule incidente de franchir la région II et un "coefficient de réflexion" R, probabilité qu'a la particule incidente d'être réfléchie. Nous devons avoir:

  (42.489)

Dans le cas d'une barrière de potentiel, T est également appelé la "transparence de la barrière".

Pour calculer R et T, nous définirons les flux courants des diverses catégories de particules (incidentes, transmises, réfléchies).

Par exemple, puisque les particules incidentes sont décrites par , le nombre moyen de ces particules, par unité de longueur dans la région I, doit certainement être proportionnel à un facteur près à .

Soit  leur vitesse, nous voyons que le courant des particules incidentes , est alors proportionnel à un facteur près à  (analyse dimensionnelle). Ainsi, le coefficient de proportionnalité étant de même nature pour les trois catégories de particules (incidentes i, réfléchies j, transmises t) et du fait que  et  sont proportionnels à  et , il s'ensuit que   (courants incident et réfléchi) et  (courant transmis) sont respectivement proportionnels (donc toujours à un facteur dimensionnel près!) à ,  et (puisque rappelons que pour la région III nous avons trouvé A'=1 et B'=0).

Nous déduisons de là très simplement, par un simple rapport, les expressions des coefficients de réflexion R et de transmission T:

  (42.490)

et comme dans notre cas particulier  il vient:

  (42.491)

Une autre façon d'écrire les choses est de dire que puisque l'onde incidente se résume à:

  (42.492)

et l'onde transmise à:

  (42.493)

alors:

  (42.494)

Dans toutes ces situations, la théorie quantique conduit, en général, à des valeurs de R et T petites, mais pas nulles !

Exemples:

Déterminons l'expression explicite de la transparence pour notre exemple de barrière rectangulaire.

Pour cela, nous savons que nous devons imposer la continuité de  en  et , ainsi que la continuité de  en  et .

Donc rappelons d'abord que nous avons les trois relations (en mettant la référence du potentiel à 0):

  (42.495)

avec donc:

 et   (42.496)

Nous avons alors pour la continuité de  en  et :

  (42.497)

ainsi que la continuité de  en  et :

  (42.498)

Puisque B' est nul nous avons un système de 4 équations à 5 inconnues:

  (42.499)

Nous allons choisir d'exprimer toutes les constantes à partir de A. Pour cela nous multiplions la première ligne par ik et la sommons à la deuxième ligne. Nous avons alors:

  (42.500)

et ensuite nous multiplions la troisième ligne par -ik et la sommons à la quatrième ligne. Nous avons alors:

  (42.501)

Nous avons donc les deux relations:

  (42.502)

ou en posant :

  (42.503)

De la deuxième relation, il vient:

  (42.504)

et injecté dans la première:

  (42.505)

Soit:

  (42.506)

Nous avons alors:

  (42.507)

et si nous notons:

  (42.508)

Il vient alors:

  (42.509)

De même en repartant de:

  (42.510)

De la deuxième relation, il vient:

  (42.511)

et injecté dans la première:

  (42.512)

Soit:

  (42.513)

Nous avons alors:

  (42.514)

et notons toujours:

  (42.515)

Il vient alors:

  (42.516)

Notez que nous avons aussi:

  (42.517)

Nous pouvons maintenant exprimer les constantes A' et B en fonction de A à l'aide des relations précédentes:

  (42.518)

et:

  (42.519)

Donc finalement nous avons:

  (42.520)

Et donc alors:

  (42.521)

en utilisant les propriétés du module complexe (cf. chapitre Nombres):

  (42.522)

Il ne nous reste donc plus qu'à calculer:

  (42.523)

Donc:

  (42.524)

Nous avons donc:

  (42.525)

Or, comme:

  (42.526)

si  (donc à l'échelle atomique c'est plutôt K qui est immense relativement à L) nous avons:

  (42.527)

Donc:

  (42.528)

relation qu'on retrouve très souvent (sans démonstration détaillée) dans de nombreux ouvrages. Ci-dessous nous avons tracé T:

Figure: 42.8 - Représentation graphique du coefficient T avec Matlab 5.0.0.473

selon la relation:

  (42.529)

Nous constatons que le coefficient T est très sensible (exponentiellement) à une faible variation la largeur de la barrière, a, lorsque le potentiel de cette barrière est faible. Nous pourrons donc visualiser des sites atomiques, par exemple dans du silicium, en utilisant une pointe très proche du matériau à observer. C'est le principe du microscope à effet tunnel où en approchant une pointe conductrice taillée très finement (quelques atomes seulement) à une proximité d'environ 5 Angströms d'une surface conductrice, et en imposant une différence de potentiel de quelques mV, on mesure un courant de quelques nanoampères. Le nombre d'électrons qui passent à travers la barrière de potentiel (ici c'est le vide entre les deux électrodes conductrices) diminue de manière exponentielle avec la largeur de la barrière. En analysant le signal d'erreur d'un asservissement sur le courant passant dans le circuit, on peut avoir accès à une cartographie très précise de la surface mesurée de l'ordre de 0.1 Angströms en vertical.

Nous remarquons également selon la relation obtenue que les particules légères comme les électrons ont une probabilité plus grande de faire un effet tunnel que les particules plus lourdes à cause du terme de masse.

En utilisant la relation obtenue précédemment, on peut assez simplement calculer la probabilité qu'a un être humain de masse m de traverser un mur avec une hauteur h (donc facile de calculer l'énergie potentielle) et une épaisseur a. La probabilité est de l'ordre de ....

Ceci dit, l'exemple le plus célèbre d'effet tunnel pouvant être traité est celui de l'émission de particules  par des noyaux lourds radioactifs dont l'explication a été donnée par le physicien russe G. Gamov en 1928.

La démonstration est relativement simple mais comme elle constitue un cas pratique particulier, nous ne souhaitons pas la détailler dans ce chapitre mais dans celui de Physique Nucléaire. Cependant, pour résoudre ce problème il faut utiliser une méthode d'approximation connue sous le nom de méthode W.K.B. du nom des physiciens Wentzel, Kramers et Brillouin.

Les résultats donnent dès lors un facteur de transmission T pour la particule  de: 

  (42.530)

pour l'atome d'Uranium . Par ailleurs, dans l'approximation semi-classique, la particule  a, dans le puits, une vitesse de l'ordre de et elle effectue des allers-retours dans un noyau dont le rayon est de l'ordre de . Elle effectue donc environ  oscillations par seconde où chaque fois elle a une probabilité T de franchir la barrière de potentiel. Cette probabilité par unité de temps est ainsi déterminée par:

  (42.531)

Expérimentalement, nous trouvons:

  (42.532)

le modèle présenté donne donc des résultats assez satisfaisants.

Outre cet exemple technique, nous rencontrons le phénomène d'effet tunnel aussi dans un cas beaucoup plus accessible et très pédagogique. Ainsi, lorsque sous condition de réflexion totale d'un faisceau de lumière, nous approchons un autre prisme (sur la face du prisme où aucun rayon de lumière ne sort ni ne rentre) de manière à produire une lame d'air suffisamment mince, un faible rayon transmis est observé.

PRINCIPE DE SUPERPOSITION

La notion d'état dynamique d'un système classique joue un rôle capital dans la dynamique analytique classique.

Est-il possible de retrouver cette notion lorsque nous avons affaire à un système quantique, c'est-à-dire un système tel qu'un atome, un noyau ou une molécule, bref un système de la microphysique?

À première vue non, car nous savons que l'on définit l'état dynamique d'un système classique par la donnée des coordonnées généralisées  et des moments conjugués  à un instant donné (cf. chapitre de Mécanique Analytique). Or, le principe d'incertitude s'oppose à cette procédure dès que nous sommes dans le domaine de la microphysique, vu l'impossibilité de mesurer avec précision les  et . Cela est particulièrement clair lorsque le système se réduit à une seule particule que nous décrivons par ses coordonnées cartésiennes et les composantes de sa quantité de mouvement .

Fort heureusement, il existe une autre définition de l'état dynamique d'un système qui s'applique indifféremment aux systèmes classiques et quantiques et qui, dans le cas des premiers, s'identifie avec la définition habituelle. Nous allons donner cette définition en nous appuyant sur une brève théorie des ensembles de systèmes identiques.

Si nous avons un ensemble (E) d'un très grand nombre de systèmes identiques, nous ferons une enquête statistique pour caractériser cet ensemble de la façon suivante: nous prenons un système de l'ensemble, nous mesurons une variable dynamique (coordonnée, composante de quantité de mouvement, énergie cinétique, etc.) et nous rejettons le système (qui perturbé par la mesure, ne doit pas être réincorporé à l'ensemble). Nous dressons ainsi un bilan qui se traduit par des fonctions de distribution de toutes les variables dynamiques possibles. Cela permet de définir sans ambiguïté la notion d'identité:

Définition: Deux ensembles sont identiques, si les bilans des résultats des mesures sont les mêmes pour les deux.

Considérons maintenant un ensemble unique (E). Est-il possible de le réaliser par juxtaposition de deux ensembles non identiques et ? Ce qui permettrait d'écrire:

  (42.533)

Si oui, nous dirons que (E) est un mélange. Inversement, au moyen d'un tri convenable, un mélange peut être décomposé en deux sous-ensembles différents. Si non, nous dirons que (E) est un ensemble pur. Tout tri décomposera l'ensemble pur en deux sous-ensembles identiques entre eux et nécessairement avec (E) ! Nous convenons alors de dire que tous les systèmes d'un ensemble pur sont dans le même état dynamique et que deux ensembles purs différents donnent lieu à des états dynamiques différents. Il va de soi que les systèmes constituant un mélange seront eux dans des états dynamiques différents.

Supposons maintenant que les systèmes étudiés obéissent aux lois de la mécanique classique. Si les systèmes d'un ensemble présentent des jeux différents, nous les trions en les groupant par systèmes ayant tous un même jeu . Nous vérifions bien que la nouvelle définition de l'état dynamique coïncide avec la définition habituelle. Notons ce fait évident, mais important (par opposition avec les systèmes quantiques): dans un ensemble pur de systèmes classiques, c'est-à-dire pour un état dynamique donné, toute variable dynamique est bien déterminée. En effet, en mécanique analytique classique, une telle variable est une fonction des  et  et, de ce fait, présente une valeur unique.

Passons aux systèmes quantiques. Il est maintenant possible de définir pour ceux-ci un état dynamique, mais tout de suite nous voyons une distinction fondamentale avec la mécanique classique. En effet, dans un ensemble pur de systèmes quantiques, c'est-à-dire pour un état dynamique donné, une variable dynamique n'est pas, en général, bien déterminée. Quand nous la mesurons sur des systèmes extraits de l'ensemble pur, on ne trouve généralement pas comme résultat, une valeur unique, mais une distribution de valeurs.

L'indétermination qui règne sur la valeur d'une variable dynamique dans un état dynamique donné est donc de nature purement quantique et il convient de bien la distinguer de l'indétermination d'origine statistique qui se manifeste dans un mélange, qu'il s'agisse de systèmes classiques ou quantiques.

Le formalisme de la physique quantique ne peut s'édifier que si nous savons décrire mathématiquement les états dynamiques et les variables dynamiques. Nous avons vu que nous ne pouvons attendre de ce formalisme une prédiction précise comme en mécanique classique, mais, simplement les probabilités d'obtenir telle ou telle valeur, lorsque nous mesurons une variable dynamique sur un système dont l'état dynamique est donné.

Toute la théorie que nous avons vue jusqu'ici nous permet de conclure jusqu'ici que les états dynamiques d'un système d'une particule sans spin sont décrits par des fonctions d'onde complexes, non nulles partout.

Si nous appliquons cette condition aux systèmes dynamiques, nous avons alors le postulat suivant:

Soient deux états dynamiques différents, décrits par des fonctions d'onde  et , nécessairement non proportionnelles.étant des nombres complexes non simultanément nuls, nous construisons la combinaison linéaire:

  (42.534)

 est alors une fonction d'onde décrivant un état dynamique possible du système. Ce qui s'écrit aussi souvent avec le formalise de Dirac sous la forme suivante:

  (42.535)

Ce postulat paraît assez naturel du fait de l'aspect ondulatoire que présente la physique des microsystèmes. En effet, dans les phénomènes ondulatoires de la physique classique les équations d'onde sont, le plus souvent, linéaires homogènes et il s'ensuit que l'on peut superposer les ondes. Or, le grand intérêt de ce postulat est qu'il contient en germe l'explication de ce fait capital qu'est l'indétermination quantique (appelée aussi parfois "cohérence quantique").

Voyons-le sur un cas très simple où nous supposons qu'une variable dynamique A, a une valeur bien définie  dans l'état dynamique , et une valeur bien définie  dans l'état dynamique  avec . Cela signifie que si nous répétons la mesure de A sur des systèmes tous dans l'état dynamique décrit par , nous trouvons chaque fois comme résultat , de même pour et .

Une question vient naturellement à l'esprit: si nous mesurons A sur des systèmes tous dans l'état dynamique  qu'allons nous obtenir? Une idée naïve serait de croire que A prendra une valeur bien définie intermédiaire entre  et .

Ces deux hypothèses sont fausses et nous le savons bien. Premièrement, A n'est pas bien déterminée en physique quantique (incertitude) et n'est mathématiquement pas nécessairement située entre  et . L'interprétation correcte est la suivante:

Si nous mesurons A sur le système dans l'état dynamique , nous trouvons comme résultat de mesure, tantôt , avec une probabilité , tantôt , avec une probabilité . Bien entendu,  et  devront pouvoir être calculés en fonction de  et .

Remarque: Il ne faut surtout pas confondre l'ensemble pur des systèmes décrits par , avec le mélange que nous obtiendrions en juxtaposant deux ensembles purs de systèmes respectivement  et .

Il convient donc de mettre en garde le lecteur contre cette confusion, d'autant que dans la littérature courante utilisant la physique quantique, on dit souvent que la fonction d'onde  est un mélange de  et . C'est par exemple dans ce sens que nous parlons de "mélange de configurations" pour traduire le fait que la fonction d'onde d'un atome à plusieurs électrons est une combinaison linéaire de fonctions d'onde appartenant à diverses configurations. Cette terminologie ne doit pas cacher le fait que les systèmes décrits par  constituent un ensemble pur et non un mélange.

Exemple:

Considérons le cas scolaire suivante de superposition:

  (42.536)

Nous pouvons déjà aisément vérifier que le système est normalisé sous l'hypothèse donc de normalité:

  (42.537)

Comme la superposition est normalisée, il vient alors la probabilité de trouver le système dans l'état qui est alors:

  (42.538)

et si nous faisons de même pour chacun des deux autres états, la somme des probabilités sera toujours égal à 1. Il convient de signaler que cette probabilité est aussi la proportion d'états qui seront mesurés dans l'état si le système est constitué de N composants identiques.

En fait, l'interprétation que donne la théorie de De Broglie (associer une fonction d'onde à une particule) aux principes d'incertitudes est l'exemple le plus frappant et le plus connu de la physique quantique au niveau des superpositions d'états (chat de Schrödinger mis à part):

Considérons une onde de De Broglie se propageant dans le sens de l'axe X, mais limitée à un intervalle  à un instant donné ( si nous voulons). Donc à  l'onde s'écrit, en laissant tomber la constante multiplicative:

  (42.539)

Si nous mesurons la coordonnée de la particule, nous devons la trouver là nécessairement où  n'est pas nulle (sinon nous ne pourrions rien mesurer). Nous pouvons dire que  avec une incertitude (l'intervalle où nous sommes sûrs de trouver la particule par rapport à l'ordonnée à l'origine divisé par deux)

Si nous mesurons p, que trouvons-nous ? Nous ne devons pas trouver  (relation que nous avons déjà démontrée plus haut), car ceci serait vrai pour une onde plane indéfinie, ce qui n'est pas le cas ici. Alors, nous allons décomposer l'onde en ondes planes au moyen de la transformation de Fourier (cf. chapitre de Suites et Séries):

  (42.540)

Comment interpréter cette relation? Une des ondes planes élémentaires (que nous pouvons aussi interpréter comme un état), , dont la somme redonne (x), conduit à une valeur  de la quantité de mouvement. Or, les valeurs de k forment un continuum. Nous sommes conduits à dire que les valeurs possibles de p forment dès lors aussi un continuum et qu'il y a donc une incertitude sur la valeur de p. Pour aller plus loin, il faut évaluer a(k) (qui doit être considéré comme variable de la probabilité de présence de chaque onde plane provenant de la décomposition de (x)) au moyen de la relation (selon les propriétés des transformations de Fourier):

  (42.541)

qui donne ici: 

  (42.542)

Posons , l'intégrale devient alors:

  (42.543)

Le graphique de la fonction  montre que  prend des valeurs qui peuvent être considérées comme négligeables pour .

Figure: 42.9 - Tracé de la fonction sinus cardinal

Il s'ensuit que dans l'intégrale:

  (42.544)

ce sont les k voisins de  qui sont effectifs, et plus précisément les k tels que:

  (42.545)

puisque:

    (42.546)

Il s'ensuit que les valeurs à retenir de p sont celles voisines de  aussi, plus précisément nous avons:

  (42.547)

Cette relation montre que les incertitudes et obéissent à la relation:

  (42.548)

De manière similaire, si nous nous proposons de déterminer la coordonnée x d'un électron en le faisant passer à travers une fente de largeur 2b percée dans un écran:

Figure: 42.10 - Configuration d'étude de l'électron passant par une fente rectangulaire

La précision avec laquelle nous connaissons la position de cet électron est limitée par la taille de la fente, soit . D'autre part, la fente perturbe l'onde associée. Il en résulte une modification du mouvement de l'électron qui se traduit par le diagramme de diffraction de l'onde (qui est en fait une représentation de la superposition linéaire de ses états intrinsèques).

L'incertitude sur la composante dynamique  de la quantité mouvement de l'électron est déterminée par l'angle  correspondant au maximum central de la figure de diffraction. D'après la théorie de la diffraction (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) produite par une fente rectangulaire, nous avons  puisque l'intensité  s'écrit:

  (42.549)

Donc  est compris entre  et , p étant l'impulsion de l'électron incident. Ainsi l'incertitude  est de:

  (42.550)

Ce résultat simple est assez extraordinaire si nous le mettons en relation, en ordre de grandeur, avec le résultat que nous avions obtenu juste plus haut:

  (42.551)

Nous pouvons en tirer plusieurs conclusions de la première importance:

1. L'onde associée de De Broglie est étroitement liée au principe d'incertitude et la physique quantique doit tenir compte simultanément de ces deux propriétés.

2. Si nous tenons compte que la répartition de l'intensité est obtenue à partir du comptage des électrons (ou particules) en fonction de l'angle et que nous obtenons la même répartition quelle que soit l'intensité du faisceau d'électrons monocinétiques qui arrive sur la fente et ce, même si les électrons sont envoyés un par un. Nous observons alors que le mouvement des particules n'est plus déterministe mais probabiliste. Ainsi, la fonction d'onde  de l'électron peut être considérée comme une superposition linéaire des états définis chacun comme nous l'avons fait précédemment, par sa décomposition spectrale possible par la transformée de Fourier.

Que pouvons-nous conclure de tout ce que nous avons vu jusqu'ici:

1. Les équations de la physique quantique nous donnent une densité de probabilité de trouver une particule dans un certain volume de l'espace-temps.

2. La superposition linéaire des états peut s'interpréter comme le fait qu'il est possible de trouver une particule en plusieurs points de l'espace-temps à un instant donné, et avec pour chacun de ces points une certaine probabilité de l'y trouver (par décomposition possible de l'équation d'onde).

Si le point (1) a été largement étudié jusqu'à maintenant sur ce site, le point (2) est quant à lui nouveau et découle d'une simple opération mathématique de décomposition ou de superposition.

Mais dès lors, que se passe-t-il si nous cherchons à mesurer l'énergie d'un atome qui se trouve dans une superposition d'états d'énergie? Nous ne détecterons jamais cette superposition, mais seulement l'une des énergies qui la constituent, l'action de mesurer fait disparaître la superposition des états au profit d'un seul - nous parlons alors de "décohérence quantique" (il s'agit de l'interprétation de Copenhague dont nous avons fait mention implicitement au tout début de ce chapitre et sur lequel nous reviendrons). Mais lequel? La physique quantique ne peut tout bonnement répondre à cette question. Le choix s'effectue au hasard! En revanche, à défaut de prédire l'état précis qui sera mesuré parmi tous ceux qui constituaient la superposition, la théorie quantique peut donner la probabilité qu'on a de mesurer chaque état (ce que l'on a déjà fait maintes fois jusqu'ici). Si l'on effectue de nombreuses mesures, on trouve finalement les proportions prédites par la théorie (même si chaque mesure est imprévisible).

Erwin Schrödinger, avait souligné l'absurdité (selon lui) de ces superpositions en ayant recours à une expérience de pensée devenue célèbre: Imaginez un chat enfermé dans une boîte hermétique. Dans la boîte se trouve aussi un atome radioactif et un dispositif capable de répandre du poison. Quand l'atome radioactif se désintègre, il déclenche le dispositif mortel: le poison se répand dans la boîte et le chat meurt.

Mais la désintégration radioactive est un phénomène quantique: tant que nous ne l'avons pas détecté, l'atome est dans une superposition d'états "désintégré et pas désintégré". Dans la boîte, le système chat-dispositif à poison-atome doit donc lui aussi, se trouver dans une superposition des deux états "atome désintégré-chat mort" et "atome intact-chat vivant". Bref, si nous prenons la physique quantique au pied de la lettre, le chat est à la fois mort et vivant tant que la mesure n'a pas été effectuée.

L'absurdité de cette expérience est manifeste... mais difficile à démontrer, du moins tant que nous n'avons pas compris ce qui distingue un chat d'une particule. Toujours le problème de la frontière quantique-classique...

Il faudra attendre les années 80 pour que la situation progresse enfin, à la fois sur le front de l'expérience et sur celui de la théorie. En 1982, Wojciech Zurek, chercheur au laboratoire national de Los Alamos (Nouveau-Mexique), reprend une idée fort simple mais géniale: dans une mesure, ce qui produit la décohérence, c'est l'interaction  du système avec son environnement. Plus généralement, les objets quantiques ne sont jamais complètement isolés de leur environnement - nous entendons par là tout ce qui interagit avec le système: un appareil, des molécules d'air, des photons lumineux. Si bien qu'en réalité les lois quantiques doivent s'appliquer à l'ensemble constitué de l'objet et de tout ce qui l'entoure. Or, Zurek démontre que les multiples interactions avec l'environnement entraînent une destruction très rapide des de la cohérence quantique des superpositions d'états (appelée également "interférence quantique" puisque mathématiquement l'on traite des fonctions d'onde). En détruisant les interférences, l'environnement supprime les superpositions d'états et le comportement quantique du système, de sorte qu'il ne reste plus que des états simples et qu'on retrouve le comportement classique.

Dans un objet macroscopique - un chat par exemple... - chacun des atomes est environné de nombreux autres atomes qui interagissent avec lui. Toutes ces interactions provoquent spontanément un brouillage des interférences quantiques qui disparaissent très vite. Voilà donc pourquoi la physique quantique ne s'applique pas à notre échelle: les systèmes ne sont jamais isolés!

La vitesse de la décohérence augmente avec la taille du système: un chat qui compte 10²⁷ particules, "décohère" en 10^-23 secondes, ce qui explique pourquoi on n'a jamais vu de chats morts-vivants jusqu'à aujourd'hui!

La physique quantique est donc une théorie:

- non-déterministe (probabiliste) d'où le fait qu'elle soit considérée comme une théorie de l'information

- non-locale: les objets quantiques peuvent avoir simultanément plusieurs positions

- non-séparable: plusieurs objets quantiques peuvent êtres superposés au point de ne pouvoir être considérés séparément.

Un autre excellent exemple de la superposition linéaire des états est une application remarquable au principe de moindre action.

Considérons une particule quantique allant d'un point à l'instant au point à l'instant . Nous savons que la probabilité de trouver une particule en un point et en un instant donnés est reliée au carré du module de la fonction d'onde qui lui est associée. Plaçons-nous dans le cas le plus simple où la fonction d'onde de la particule est une onde plane  donnée par la fonction solution de l'équation d'évolution de Schrödinger: 

  (42.552)

où  et v sont respectivement la longueur d'onde et la fréquence de l'onde associée à la particule.

La particule peut emprunter une infinité de chemins pour se rendre de . Choisissons l'un quelconque de ces chemins que nous appellerons C. Nous pouvons découper le chemin C en un nombre entier de tronçons de durée dt.

Figure: 42.11 - Principe de découpage du chemin

Après le parcours du premier tronçon, la fonction d'onde a la valeur suivante:

  (42.553)

D'où nous tirons que:

  (42.554)

Or, Planck et De Broglie ont établi (postulé) les relations suivantes comme nous l'avons montré:

 et   (42.555)

d'où, en remplaçant  et v dans la relation précédente, nous obtenons:

  (42.556)

En appliquant la même technique pour le tronçon suivant nous obtenons:

  (42.557)

Procédant ainsi de tronçon en tronçon, tout le long du chemin C nous obtenons alors la valeur de la fonction d'onde en   pour la particule venant de en suivant le chemin C:

  (42.558)

Maintenant, faisons tendre la durée dt de chaque tronçon de trajectoire vers zéro. La quantité  tend alors vers la vitesse instantanée de la particule que nous noterons . La relation précédente devient alors:

  (42.559)

Dans le chapitre de Mécanique Analytique, nous avons montré que la quantité  est égale au lagrangien. En substituant le lagrangien dans la relation précédente, nous obtenons:

  (42.560)

où est l'action de la particule ayant parcouru le chemin C.

Notons (sans démonstration) que le module de prend la même valeur pour:

  (42.561)

pour tout n. La constante de Planck trouve alors une signification physique directement liée à l'action de la particule !

Rappelons la condition de normalisation de De Broglie:

    (42.562)

qui donne donc la probabilité pour que la particule, partant de à l'instant , se trouve en à l'instant en ayant emprunté le chemin C.

La probabilité totale est donc:

    (42.563)

pour trouver la particule partie de à l'instant en à l'instant nécessite de calculer la somme des contributions de chaque chemin soit (en appliquant le principe de superposition linéaire puisque nous effectuons une somme des fonctions d'onde):

  (42.564)

Cette intégrale fut découverte par Richard Feynman. En première analyse elle semble diverger dans la mesure où il existe une infinité de chemins possibles entre deux points. Regardons de plus près ce qui se passe. Plaçons-nous dans le cas où la trajectoire est macroscopique. La valeur de l'action est alors beaucoup plus grande que  et varie beaucoup d'un chemin à un autre, sauf pour les chemins proches du chemin physique classique pour lesquels la variation est quasiment nulle (application de l'énoncé variationnel du principe de moindre action).

Comme les actions des chemins interviennent comme une phase dans l'intégrale de chemin, leurs contributions sont destructives et donc tendent à s'annuler, sauf dans le cas des chemins proches du chemin physique classique où les contributions s'ajoutent. Il s'ensuit que l'intégrale de chemin prend la valeur de l'action classique, indiquant que la physique quantique permet de retrouver les lois de la mécanique classique à l'échelle macroscopique.

Figure: 42.12 - Représentation des phases en fonction du type de chemin

La situation devient très différente à l'échelle quantique, c'est-à-dire pour des valeurs de l'action dont l'ordre de grandeur est celui de la constante . Une infinité de chemins apporte alors des contributions non destructives. Feynman a pu montrer que l'intégrale de chemin convergeait mais d'un autre côté, il n'est plus possible de prédire quel chemin la particule va emprunter au point que la notion même de chemin s'évanouit. Ainsi à l'échelle quantique la particule semble chercher son chemin parmi tous ceux qui sont possibles mais à l'échelle macroscopique, ce tâtonnement quantique semble avoir permis à la particule de trouver le "bon chemin".

Le formalisme de l'intégrale de chemin constitue une façon très originale d'aborder et d'interpréter la physique quantique qui s'est ajoutée à celles qui avaient été développées par Schrödinger.

THÉORÈME D'EHRENFEST

Ce théorème permet de connecter la mécanique classique de Newton à la physique quantique en établissant des relations similaires en ce qui concerne la quantité de mouvement et la force.

Pour cela, nous partons  l'exemple particulier d'une particule massive se déplaçant à une vitesse non relativiste dans un potentiel. Nous avons alors l'équation de Schrödinger d'évolution à une dimension:

  (42.565)

d'où nous tirons (utile pour plus loin):

  (42.566)

Si nous prenons en toute généralité le conjugué complexe des deux côtés de l'égalité et en multipliant les 2 membres par :

  (42.567)

d'où nous tirons (utile aussi pour plus loin):

  (42.568)

Prenons la variation temporelle de la position moyenne de la particule (5ème postulat):

  (42.569)

Nous avons:

  (42.570)

d'où:

  (42.571)

Utilisons cette dernière relation:

  (42.572)

Utilisons maintenant la relation:

  (42.573)

et injectons-la dans la relation antéprécédente:

  (42.574)

Le premier terme à droite de l'égalité est facile à intégrer... (puisqu'il n'y a pas besoin de l'intégrer):

  (42.575)

et comme la fonction d'onde doit valoir 0 à  (sinon l'énergie est infinie) alors cette dernière relation est nulle. Il nous reste alors:

  (42.576)

Soit:

  (42.577)

et finalement:

  (42.578)

ce qui est l'équivalent en mécanique classique de:

  (42.579)

et qui reconfirme l'existence de l'être mathématique:

  (42.580)

comme étant l'opérateur de quantité de mouvement et que nous avions déterminé plus haut en retrouvant la deuxième loi de Newton.

Mais nous pouvons faire un peu mieux au niveau de l'analogie classique/quantique en dérivant:

  (42.581)

Ce qui donne:

  (42.582)

d'où:

  (42.583)

En utilisant:

  (42.584)

Il vient:

  (42.585)

Concentrons-nous sur:

  (42.586)

Intégrons par parties le premier terme deux fois selon la relation démontrée dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral:

  (42.587)

Nous avons alors ( toujours en considérant comme étant une fonction décroissante vers l'infini):

  (42.588)

et encore une fois:

  (42.589)

Donc finalement:

  (42.590)

Il nous reste alors:

  (42.591)

Or, nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Classique que:

  (42.592)

Il vient donc que:

  (42.593)

Ce résultat extraordinairement simple constitue le "théorème d'Ehrenfest". Nous retrouvons donc la loi fondamentale de la dynamique classique au sens des valeurs moyennes de position et de la force, calculées à l'aide de la probabilité de présence!

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