
PHYSIQUE QUANTIQUE
CORPUSCULAIRE | PHYSIQUE
QUANTIQUE ONDULATOIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE | PHYSIQUE
NUCLÉAIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE
DES CHAMPS | PHYSIQUE
DES PARTICULES ÉLÉMENTAIRES
42. PHYSIQUE QUANTIQUE
ONDULATOIRE (1/2) |
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LISTE
DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Fille de l'ancienne théorie des quanta
(cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire),
la physique quantique ondulatoire appelée aussi "mécanique
quantique" constitue le pilier d'un ensemble de théories
physiques que nous regroupons sous l'appellation générale
de "physique quantique".
Cette dénomination s'oppose à celle de la physique
classique, celle-ci échouant dans sa description du monde
microscopique (atomes et particules) ainsi que dans celle de certaines
propriétés du rayonnement électromagnétique
(voir typiquement les expériences des fentes de Young dans
le chapitre d'Optique Ondulatoire) ou des semi-conducteurs (voir
typiquement l'Effet Hall dans le chapitre d'Électrocinétique).
Remarque: L'extension relativiste
pertinente de la physique quantique est la physique quantique relativiste
(voir chapitre du même nom).
La physique quantique a repris et développé l'idée
de dualité onde-corpuscule introduite par De Broglie consistant à considérer
toutes les particules (et même les atomes) de matière
non pas seulement comme des corpuscules ponctuels, mais aussi comme
des ondes, possédant une certaine étendue spatiale
(cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire).
Ces deux aspects onde/corpuscule des particules ("quanton"),
mutuellement exclusifs, ne peuvent être observés simultanément.
Si nous observons une propriété ondulatoire, l'aspect
corpusculaire disparaît et réciproquement.
À ce jour, aucune contradiction n'a pu être décelée
entre les prédictions de la physique quantique et les tests
expérimentaux associés. Ce succès a hélas
un prix: la théorie repose sur un formalisme mathématique
assez abstrait, qui rend
son abord assez difficile (heureusement tant qu'on ne traite pas
du spin on peut se passer du formalisme matriciel de Heisenberg
pour se concentrer
sur le formalise de l'équation d'onde de Schrödinger
qui est beaucoup plus simple et qui jusqu'à un certain niveau permet
de se faire une représentation mentale de ce qui se passe).
Ce qui est plus difficile encore c'est
qu'il
est
très
compliqué,
voire impossible, de présenter ce domaine de la physique
de manière pédagogique linéaire... Ceci a
pour conséquence que bon nombre d'ouvrages à son
sujet (dont le présent texte ne saurait être exclu),
qu'ils s'adressent à des spécialistes ou non, voient
leur explications ou textes soumis à de nombreuses critiques
d'interprétations, de relecture et de compléments.
Pour en sortir il est favorable de prendre pour base le "principe
d'objectivité" dû à Werner Heisenberg
qui est à la base de la "physique
quantique standard": existe seulement ce qui est
expérimentalement
observable. Il faut aussi s'aligner sur la conviction de Max
Born de reconsturuire la physique quantique corpusculaire qui
est objectivement un pot-pourri de règles quantiques et
de physique classique pour céder la place à une
nouvelle théorie cohérente
basée uniquement sur quelques postulats (Max Born s'inspirait
de l'élégance des théories d'Albert Einstein
qui ne faisaient usage que de quelques postulats bien définis).
Wolfgang Pauli lui aussi estimait qu'il était indispensable de cessser
d'émettre
des hypothèses ad hoc arbitraires chaque fois que des
expériences
produisaient des données en désaccord avec la théorie.
Le principe de dualité est admis par la majorité des
physiciens, mais non la totalité. Un électron est-il
présent à plusieurs
endroits? Pour que cela soit recevable, il faut une expérience
qui le trouve à plusieurs endroits, ce qui est impossible
donc nous ne sommes pas tenu de répondre à la question!
Dire qu'il est à plusieurs endroits avant que nous l'observions
n'est pas recevable en physique: principe d'objectivité.
D'une manière générale, nous allons donc aussi
renoncer à la notion de trajectoire et de mouvement, ce
qui va permettre, de lever la contradiction du freinage par rayonnement
(cf. chapitre d'Électrodynamique):
car il n'y a plus de mouvement au sens classique. Les notions de
vitesse et d'accélération perdent tout sens à cette échelle!
Une minorité de physiciens nie ce principe et ont fondé une
physique quantique non-standard avec des grandeurs classiques ce
qui explique que l'on puisse trouver surtout dans les revues de
vulgarisation des exposés qui s'écartent de la physique
quantique standard (celle de la majorité des physiciens).
Cette version non-standard donne les mêmes prévisions
pour toute expérience réalisable, c'est donc un modèle
possible.
En conclusion la physique quantique est une théorie considérée
par la majorité actuelle des physiciens comme inachevée
et dans laquelle beaucoup de points demeurent encore assez obscurs.
Avant de nous attaquer à la partie mathématique,
nous tenons à souligner que nous allons nous limiter uniquement
aux développements théoriques effectués entre
1910 et environ 1935 (au-delà la complexité des théories
nécessite trop de pages pour un site Internet généraliste
comme Sciences.ch).
POSTULATS
Contrairement à la majorité des ouvrages sur le
sujet, nous sommes pédagogiquement (et non pas techniquement!)
très peu convaincus quant à l'impact de la présentation
des postulats de la physique quantique au début de son étude
dans les classes. Nous nous permettons d'exposer nos raisons (expérience
faite):
1. Ils peuvent se déduire de raisonnements mathématiques
simples et logiques (algèbre élémentaire et
probabilités) fondés sur les postulats de la physique
quantique corpusculaire et du principe de complémentarité et
découlent donc d'une évolution de cette dernière.
Même si rigoureusement la démarche est fausse au moins,
elle est pédagogique!
2. Ces postulats sont indigestes, voire incompréhensibles
si la physique quantique (son formalisme et son vocabulaire) n'a
pas été d'abord appréhendée par un
certain nombre d'exercices ou d'un usage régulier.
Nous pouvons alors considérer que les seuls éléments
non démontrables théoriquement (à notre connaissance)
qui auraient leur place au rang de postulat seraient: le principe
de complémentarité de De Broglie (nous en parlerons
plus tard), la relation de Planck-Einstein (déjà vue
dans un chapitre précédent) et la mesure d'une observable.
Néanmoins..., dans l'objectif de respecter la tradition,
et surtout de respecter la méthodologie scientifique, nous
avons choisi de quand même présenter ces postulats
en début de ce chapitre mais sans trop insister dessus.
Nous conseillons cependant vivement au lecteur non averti, de lire
ceux-ci sans trop chercher à les comprendre mais simplement
de penser à y revenir régulièrement pendant
la lecture du chapitre. Dès lors, tout deviendra probablement
plus limpide et la lumière sera...
Remarques: Nous verrons des cas pratiques,
dans ce chapitre même, de la théorie quantique pour
un usage ultérieur en physique quantique des champs et physique
nucléaire. Nous conseillons cependant au lecteur de lire
en même temps les chapitres d'Informatique Quantique, de
Chimie Quantique et de Chimie Moléculaire qui semblerait-il
aident plus que grandement à la compréhension de
certains passages un peu trop théoriques présentés
ici.
1ER POSTULAT: ÉTAT QUANTIQUE
L'état d'un système quantique classique est spécifié par
les coordonnées généralisées (cf.
chapitre de Mécanique Analytique) et
est complètement décrit par une fonction différentiable
et finie partout notée en toute généralité:
(42.1)
dite "fonction d'état" ou "fonction
d'onde", dont le module au carré (multiplication
de la fonction par sa conjuguée) doit donner la densité de
probabilité de trouver instantanément le système
dans la configuration au
temps t (si le système est dépendant du
temps):
(42.2)
ce que nous justifierons plus loin!
Remarques:
R1. Le fait que nous parlions "d'onde" au lieu de "particule" vient
du postulat génial et ma foi assez logique de De Broglie
que nous appelons "postulat de complémentarité" (que
nous détaillerons plus loin aussi) et qui associe à toute
particule de matière, une onde et réciproquement.
R2. Le fait que nous traitions des probabilités et
que celles-ci soient proportionnelles au carré du module
de la fonction d'onde vient des principes d'incertitudes de
Heisenberg que nous démontrerons plus loin et principalement
de l'expérience des fentes de Young avec des électrons
(cf. chapitre d'Optique Ondulatoire).
En corollaire, la particule étant nécessairement
située quelque part dans l'espace entier, nous avons la
condition de normalisation que l'intégrale sur tout l'espace
vaut:
(42.3)
à un facteur de phase près. En d'autres termes doit être
normée, ce que nous appelons traditionnellement la "condition
de normalisation de De Broglie" (bien qu'a posteriori le
concept provienne de Max Born).
Remarques:
R1. Notons que même normée, est
déterminée à un facteur de phase près.
De plus, il est préférable que soit
différentiable, car des opérateurs différentiels
agissent sur elle pour obtenir des prévisions théoriques
sur des propriétés mesurables, et finie pour
qu'elle soit normalisable...
R2. Lorsque l'intégrale donnée plus haut permet
d'obtenir une quantité finie, nous disons qu'elle est
de "carré sommable".
Dans le cas contraire, il faut la normaliser pour que le modèle
théorique corresponde à la réalité!
Nous y reviendrons aussi plus en détails (avec démonstrations!).
Rapelons qu'un "facteur de phase" est
un facteur complexe constant de module unitaire. Nous pouvons l'écrire
(selon ce que nous avons étudié dans le chapitre
des Nombres lors de notre étude des nombres complexes) ,
où est
un angle quelconque, appelé la "phase" (cf.
chapitre de Mécanique Ondulatoire). Nous démontrerons
aussi plus loin en toute rigueur pourquoi celui-ci n'a aucune influence.
Nous pouvons exprimer ce postulat de manière un peu plus
formelle, car comme nous le verrons dans plusieurs exemples, la
fonction d'onde est souvent un polynôme complexe qui peut
dès lors s'exprimer dans l'espace de Hilbert des polynômes.
Cela donne dès lors dans le langage du formalisme bra-ket
de Dirac (voir plus loin les détails) la définition
suivante:
Le vecteur d'état "ket" représenté par appartenant à l'espace
vectoriel (espace
de Hilbert) définit l'état du système quantique à l'instant t.
Ce vecteur d'état possède toutes les propriétés
mathématiques requises par la physique quantique et en particulier
le produit scalaire du vecteur par
son vecteur dual (conjugué complexe) "bra" doit
satisfaire le produit scalaire fonctionnel:
(42.4)
Remarque: La notation bra-ket a été introduite
par Paul Dirac pour faciliter (du moins c'est censé...)
l'écriture des équations de la physique quantique,
mais aussi pour souligner l'aspect vectoriel possible de l'objet
représentant un état quantique. Ce qui est donc spécifique à la
physique quantique est que les vecteurs ne sont pas dessinés
avec des flèches mais avec des ket et des bras (cela vaut
mieux qu'un pied....), mais cela n'est qu'une question de notation
et n'apporte aucune nouveauté mathématique. Par ailleurs,
il ne faut pas imaginer que nous écrivions explicitement
dans les calculs ces vecteurs sous forme de colonnes (pensez aux
nombres complexes.... il est rare que nous les écrivions
sous forme vectorielle)!
Pour résumer ces derniers paragraphes, les deux relations:
(42.5)
et:
(42.6)
sont donc équivalentes!
2ÈME POSTULAT: ÉVOLUTION TEMPORELLE D'UN ÉTAT
QUANTIQUE
Si le système n'est pas perturbé, l'évolution
(supposée non relativiste!) de son état est gouvernée
par l'équation d'évolution de Schrödinger (dépendante
du temps donc):
(42.7)
Cette relation signifie simplement que c'est l'opérateur "énergie
totale" ou "hamiltonien" H du système,
qui est responsable de l'évolution du système dans
le temps. En effet, la forme de l'équation montre qu'en
appliquant l'hamiltonien à la fonction d'onde du
système, nous obtenons sa dérivée par rapport
au temps c'est-à-dire comment elle varie dans le temps.
Remarque: Nous démontrerons
plus loin cette relation (ce ne sera pas trivial malheureusement
mais c'est possible et donc cela élimine le besoin de la
définir en tant que postulat).
Dans cette dernière relation, H est l'opérateur,
l'hamiltonien (énergie totale) du système que nous
démontrerons comme valant dans un cas particulier et simple:
(42.8)
Dans le cas où le potentiel est
indépendant du temps (correspondant à un système
conservatif en mécanique classique), il existe (nous le
verrons dans des exemples) un ensemble de solutions particulières
indépendantes du temps et satisfaisant (relation dont nous
démontrerons la provenance):
(42.9)
où est
appelée une "fonction propre" (en
analogie avec les vecteurs propres vus dans le chapitre d'Algèbre
Linéaire) de l'hamiltonien/opérateur H avec
valeur propre/observable .
Ces solutions particulières décrivent alors des états
spéciaux appelés "états
stationnaires" (puisque indépendants du temps...),
dont nous démontrerons plus tard les propriétés
et l'origine du nom, et qui forment une base orthogonale.
L'équation aux valeurs propres précédente
est souvent appelée "équation
de Schrödinger indépendante du temps". Elle
définit les états stationnaires et n'a un sens bien évidemment
que si le système est conservatif.
C'est surtout l'équation de Schrödinger indépendante
du temps qui concerne la chimie quantique et la chimie moléculaire
(sujets que nous traitons dans la section de Chimie du site en
détails). Nous cherchons en effet à obtenir les fonctions
d'onde décrivant les états stationnaires, et surtout
l'état de la plus basse énergie, "l'état
fondamental", des atomes et des molécules. Les transitions
observées en spectroscopie s'effectuant entre ces états
stationnaires (nous le démontrerons plus loin), leur détermination
est donc un prérequis pour l'étude de la spectroscopie.
Cependant, il faut bien se rappeler que c'est l'équation
d'évolution de Schrödinger, qui est (dans un premier
temps...) l'équation fondamentale de la physique quantique
ondulatoire non relativiste: elle joue le même rôle
que l'équation de Newton en mécanique classique,
soit celui d'une équation du mouvement (voir la démonstration
du théorème d'Ehrenfest plus bas).
Remarque: Au fait, nous verrons (cf.
chapitre de Physique Quantique Relativiste) que l'équation
d'évolution de Schrödinger n'est qu'un cas particulier
de ce que nous appelons "l'équation de Klein-Gordon libre" qui
elle-même est un cas particulier de l'équation de "Klein-Gordon
généralisée", elle-même étant
un modèle limité par rapport à "l'équation
de Dirac linéarisée" ... bref on n'a pas fini...
3ÈME POSTULAT: OBSERVABLES ET OPÉRATEURS
À chaque propriété physique mesurable (une
observable) d'un système notée par exemple:
(42.10)
où sont
les coordonnées généralisées et les
moments généralisés conformément aux
notations adoptées dans le chapitre de Mécanique
Analytique, correspond un opérateur linéaire (donc
cela peut être aussi une matrice!), appelé "opérateur
hermitique", noté fréquemment avec un chapeau
tel que pour l'exemple choisi celui-ci sera noté:
(42.11)
qui intervient toujours dans le calcul théorique d'une
propriété physiquement mesurable (voir le chapitre
d'Algèbre Linéaire pour avoir un rappel de ce qu'est une matrice
hermitique).
Autrement dit (mais ceci est plus en relation avec le postula
qui va suivre): Une valeur observable est représentée par un opérateur
qunatique qui
opère
sur la fonction
d'onde pour
prédire
la valeur
de la mesure de l'observable.
Pour faire simple..., un opérateur hermitique en physique
quantique est une expression mathématique telle que si on
prend son conjugué complexe (ou sa matrice adjointe si l'expression
mathématique est une matrice) alors le calcul théorique
de la valeur mesurable est toujours donné par la même
expression.
Exemples:
Voici les plus connus dont nous démontrerons l'origine
dans le présent chapitre et celui de Physique Quantique
Relativiste:
E1. Coordonnées:
(42.12)
dont nous verrons un exemple pratique avec le théorème
d'Ehrenfest dans le présent chapitre.
E2. Quantité de mouvement:
(42.13)
dont nous verrons aussi plusieurs exemples pratiques (dont un
avec le théorème d'Ehrenfest).
Ces deux derniers
exemples sont parfois référés sous le nom de "principe
de correspondance".
E3. Moment cinétique:
(42.14)
E4. Les matrices de Pauli (qui correspondent comme nous le verrons
bien plus loin aux opérateurs de spin):
(42.15)
E4. L'opérateur d'énergie d'évolution d'un état quantique:
(42.16)
Remarques:
R1. Cela peut sembler tomber du ciel..., mais nous verrons
que cela vient tout seul lorsque nous ferons les développements
plus loin de quelques exemples bien concrets ou lors de la
lecture du chapitre d'Informatique Quantique.
R2. Dans le cadre de ce site, nous notons indifféremment,
les opérateurs et les observables sans circonflexes
(c'est au lecteur de savoir sur quoi nous travaillons sans
se mélanger les pinceaux...).
Nous verrons par ailleurs que certains opérateurs ne sont
pas commutatifs et qu'ils obéissent à ce que nous
appelons des "relations d'anticommutation" (qui
sont à l'origine des principes d'incertitudes de Heisenberg).
Exemple (que
nous démontrerons plus loin!):
(42.17)
nous disons alors que les composantes des deux observables position
et quantité de mouvement sont "conjuguéés
canoniquement".
Nous verrons par ailleurs à l'aide d'un cas pratique que
deux observables A, B dont les opérateurs
respectifs commutent tel que:
(42.18)
possèdent une base de vecteurs propres commune. Nous disons
alors qu'ils sont simultanément mesurables (la détermination
précise de l'une n'empêche pas celle de l'autre) avec
précision (dans le cas contraire nous avons une incertitude...
de Heisenberg). Les deux grandeurs A, B peuvent
alors être appelées "observables
compatibles" (O.C). Ceci signifie alors que les deux
opérateurs doivent avoir les mêmes fonctions propres
(donc ils ne sont compatibles que si les opérateurs associés
admettent des fonctions propres communes).
L'ensemble des O.C. attachées à un système
physique constituent un "ensemble complet
d'observables compatibles" (ECOC).
4ÈME POSTULAT: MESURE D'UNE PROPRIÉTÉ
La conséquence du postulat précédent est
que la mesure de donne
donc toujours une valeur propre de l'opérateur hermitique
associé, .
En d'autres termes, les seules valeurs observables de la propriété sont
les valeurs propres (notées par exemple: o) de
l'opérateur !
(42.19)
Les vecteurs propres et les valeurs propres d'un opérateur
ont une signification spéciale: les valeurs propres sont
les valeurs pouvant résulter d'une mesure idéale
de cette propriété, les vecteurs propres étant
les états quantiques du système lors de cette mesure.
C'est à cause de ce postulat qu'il est important de s'assurer
que toute propriété physique soit représentée
par un opérateur hermitique. En d'autres termes, l'hermiticité de assure
que ses valeurs propres (donc notées par exemple: o)
sont réelles.
Faisons la démonstration d'abord avec les notatins algébriques
habituelles et ensuite avec une autre approche en utilisant la
notation de Dirac.
Démonstration:
Puisqu'un opérateur est associé à une fonction
propre et une valeur valeur propre par la relation (cf.
chapitre d'Algèbre Linéaire):
(42.20)
En utilisant la propriété démontrée lors de notre étude des nombres
complexes dans le chapitre Nombres comme quoi le conjugué complexe
du produit de deux nombres complexes est égal au produit des deux
nombres conjugués, nous avons:
(42.21)
Si nous multiplions la dernière relation par le conjugé complexe
de et
intégrons sur tout l'espace, nous avons:
(42.22)
et de même avec la relation antéprécédente:
(42.23)
Comme par définition est
hermitique (donc égal à son propre conjugé complexe), les deux
côtés gauche des deux relations précédentes sont égaux. Nous avons
alors:
(42.24)
Il vient alors:
(42.25)
et comme l'intégrale est physiquement de carré sommable et donc
non nulle, cela impose que:
(42.26)
et donc:
(42.27)
et cela n'est possible que si la valeur propre est réelle.
Maintenant, avec la notation de Dirac et avec une approche un
tout petit peu différente:
Puisqu'un
opérateur
est associé à une fonction propre et une valeur
valeur propre par la relation (cf. chapitre
d'Algèbre
Linéaire):
(42.28)
Nous avons alors si la fonction propre est normée
en notation de Dirac:
(42.29)
Et si l'opérateur est
bien un opérateur hermitique (donc égal à son conjugé complexe
s'il s'agit d'une fonction et égal à la transposée
complexe s'il s'agit d'une matrice), nous avons:
(42.30)
Donc si l'opérateur est bien hermitique nous avons:
(42.31)
et ceci ne peut être satisfait que si les valeurs
propres sont réelles.
C.Q.F.D
Ainsi, les valeurs propres d'opérateur
hermitiques sont toujours des nombres réels (heureusement...).
5ÈME POSTULAT: MOYENNE D'UNE PROPRIÉTÉ
Ce postulat est le moins intuitif et le plus difficile à démontrer
(nous le démontrerons par l'exemple lors de l'étude
du théorème d'Ehrenfest). Son énoncé est
le suivant:
La valeur moyenne (espérance) d'une propriété physique ,
quand le système se trouve dans l'état décrit
par la fonction normalisée est
donnée par (attention à ne pas confondre la notation
de la moyenne d'un opérateur avec celle du conjugué complexe
d'une valeur propre!!!):
(42.32)
Une expression équivalente et que je trouve compliquée
est la suivante: la probabilité de trouver la valeur propre (de
l'opérateur majoritairement
hermitique ), lors d'une mesure de la propriété effectuée
au temps t sur un système quantique préparé dans
l'état décrit par la fonction ,
est donnée par le carré du module de la projection
de la fonction sur
la fonction propre associée à la
valeur propre (et
son opérateur):
(42.33)
où la "projection" (ou "représentative")
est définie par:
(42.34)
l'indice k étant ici pour indiquer
qu'il peut y avoir pour certains opérateurs plusieurs valeurs
et vecteurs propres.
Remarque: Nous reviendrons sur ce
formalisme et ces relations plus tard. Cependant, plusieurs exemples
pratiques sont proposés dans le présent chapitre
et celui d'Informatique Quantique ainsi qu'un seul et bel exemple à la
fin du chapitre de Chimie Quantique (pour le rayon moyen et le
moment cinétique moyen).
Par exemple, à une dimension et pour un système dépendant du temps,
nous aurons en utilisant les opérateurs présentés dans le postulat
précédent (mais sur lesques nous reviendrons en détails):
(42.35)
Dont nous verrons des cas pratiques dans les chapitres
déjà mentionnés!
PRINCIPES D'INCERTITUDES CLASSIQUES
Avant de s'attaquer directement à la physique quantique
et à ses outils mathématiques (et pseudo-démonstrations
des cinq postulats), nous devons d'abord introduire un exemple
classique simple dans lequel apparaît un type particulier
de phénomènes: la présence
intrinsèque de l'incertitude dans toute mesure.
Cette étude sous forme classique et fondamentalement pas
très rigoureuse, nous aidera à mieux appréhender
l'incertitude quantique (nous l'espérons) que nous étudierons
et déterminerons plus tard et qui elle n'est pas d'origine
expérimentale! Cependant il s'agit vraiment d'une des approches
utilisées par Heisenberg lui-même!
Imaginons que nous souhaiterions mesurer au moyen d'un microscope
l'abscisse x d'une particule et les composantes de sa
quantité de mouvement .
Pour que la mesure de x soit possible, il faut qu'un faisceau
de lumière monochromatique (pour simplifier) parallèle à vienne éclairer
la particule, et donc qu'au moins un photon vienne frapper la particule
et parvienne à l'oeil de l'observateur:
Figure: 42.1 - Microscope de Heisenberg
Une fois x mesurée, nous pouvons imaginer n'importe
quel procédé pour mesurer la quantité de mouvement.
Un certain nombre de physiciens appellent cette configuration
qui permet d'introduire de manière pédagogique les
incertitudes le "microscope de Heisenberg".
Posons comme étant
l'angle que fait la direction du photon après le choc, avec .
Supposons pour alléger les calculs que la particule ait
une masse assez élevée pour que nous puissions négliger
le changement d'énergie du photon. Nous voyons qu'après
le choc, les composantes de la quantité de mouvement du
photon diffusé selon et sont:
(42.36)
Effectivement, rappelons que les relations entre les ondes électromagnétiques,
l'équivalence masse-énergie et la quantité de
mouvement (cf. chapitre de Relativité Restreinte)
sont les suivantes:
(42.37)
Il s'ensuit que la particule, elle verra sa quantité de
mouvement altérée. Les composantes de sa variation
sont alors (ne pas oublier qu'initialement elle était nulle
en z) celles de la variation du photon selon:
(42.38)
entre sa quantité de mouvement initiale et finale.
La seule information que nous possédons sur l'angle ,
c'est que ce dernier est , en valeur absolue, inférieur
ou égal à l'angle d'ouverture u de l'objectif
du microscope (restriction technique).
Donc cela implique que:
(42.39)
PREMIÈRE RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE
Quand nous aurons mesuré la quantité de mouvement à la
fin de l'expérience, nous avons vu qu'il faudra donc effectuer
les corrections:
(42.40)
de la quantité de mouvement du photon pour savoir la vraie
valeur de de
la particule juste avant le début de la mesure.
Dans ces corrections, il y a une partie inconnue qui correspond à des
erreurs de mesure sur et du
photon. Il est possible d'établir que l'erreur maximale
de et sur
la quantité de mouvement initiale est donnée par
la composante x de la "première
relation d'incertitude d'impulsion classique":
(42.41)
puisque nous avons .
Il s'agit donc de l'erreur au pire en quelque sorte!
DEUXIÈME RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE
Voyons maintenant ce qu'il en est de la mesure de la position
de la particule.
Rappelons maintenant que (cf. chapitre d'Optique
Ondulatoire) pour une fente rectangulaire nous avons en
posant :
(42.42)
où (en
optique ondulatoire) est l'angle permettant de distinguer clairement
deux minimas de diffraction (et donc clairement un objet émettant
un rayonnement identique entre deux points). Inversement, du point
de vue de la diffraction, l'ouverture e est donc donnée
par:
(42.43)
La valeur de e peut aussi être vue comme le champ
de vision (projection orthogonale de la fente sur l'axe X)
de largeur de
la particule. Dès lors:
(42.44)
Au même titre que l'erreur maximale sur la quantité de
mouvement est donnée par la condition ,
nous pouvons aussi écrire ,
ce qui nous amène à écrire que:
(42.45)
Si nous multiplions:
et :
(42.46)
nous obtenons la "deuxième relation
d'incertitude classique" également appelée "l'incertitude
spatiale classique":
(42.47)
qui représente donc l'erreur maximale expérimentale
d'un microscope à faible ouverture rectangulaire (que de
conditions!). Beaucoup d'ouvrages de physique quantique montrent
que nous retrouvons exactement la même expression dans beaucoup
de situations.
Remarque: Le lecteur vérifiera
sans peine que cette relation appliquée pour un objet macroscopique
(de l'ordre du centimètre) dont la position serait mesurable
avec une précision de l'ordre du micromètre donne
une incertitude ridiculement faible sur la quantité de mouvement
et donc la vitesse. Par contre, la même relation appliquée
pour la masse d'une particule telle que l'électron avec
une précision de mesure de la position supposée du
dixième de nanomètre donnera une incertitude sur
la vitesse de l'ordre 1'000 [ m/ s]...!!
Ainsi, si nous essayons de situer une particule avec une précision
de plus en plus grande, sa quantité de mouvement atteint
des valeurs extrêmes. À un certain point, la quantité de
mouvement peut être si grande que l'énergie correspondante
est suffisante pour produire une paire de particule-antiparticule.
En d'autres termes, si nous essayons de confiner une particule
dans une boîte de plus en plus petite, d'une part, nous
connaissons de moins en moins sa quantité de mouvement
et à partir d'un certain seuil, nous ne savons même
pas combien de particules il y a dans la boîte!
Cependant (!), nous verrons lors de l'étude des commutateurs
appliqués à la théorie de la physique quantique,
que la vraie relation d'incertitude (dont la valeur diffère
de celle ci-dessus) apparaît tout naturellement uniquement à partir
de propriétés mathématiques et de la définition
de la quantité de mouvement.
Plus généralement, pour une particule dans un volume à dimensions
(x, y, z), un état classique
est caractérisé par les 6 quantités dans
l'espace de phases (espace de phases qui est donc de dimension
6) et l'état quantique occupe le "cube" de volume:
(42.48)
Ce qui est remarquable dans cette approche simpliste c'est que
la constante de Planck émerge naturellement comme l'unité de
mesure universelle minimale d'incertitude de la physique expérimentale
au travers du dualisme onde-corpuscule! Heisenberg écrivit
que ce résultat établit l'échec final de la
causalité en physique
quantique.
TROISIÈME RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE
En relativité restreinte, nous avons vu que x, y, z, ct constituent
les composantes d'un quadrivecteur d'espace-temps ainsi que celles
d'un vecteur d'énergie-impulsion.
Il est donc naturel de compléter les trois relations spatiales
du type par
extension:
(42.49)
Nous obtenons ainsi grossièrement la "troisième
relation d'incertitude classique" appelée également "incertitude
temporelle classique":
(42.50)
Cependant (!), nous verrons lors de l'étude des commutateurs
appliqués à la théorie de la physique quantique,
que cette relation d'incertitude (dont la valeur diffère
de celle ci-dessus) apparaît aussi tout naturellement à partir
des seules propriétés mathématiques et de
la définition de la quantité de mouvement.
Remarque: Nous reviendrons plus tard
sur les implications de cette incertitude temporelle dont les implications
sont à la base de la cosmologie quantique (et de la création
de notre Univers) et de la théorie quantique des champs
en particulier en ce qui concerne le potentiel de Yukawa (cf.
chapitre de Physique Quantique Des Champs).
Les incertitudes classiques établies vont nous permettre
de mieux comprendre les incertitudes sous leur forme quantique
réelle. Pour cela, parmi d'autres, il va nous falloir faire
usage de l'artillerie mathématique nécessaire. Cependant,
dans un souci de clarté, nous avons souhaité présenter
la physique quantique ondulatoire de la manière la plus
simple et la moins formelle possible. Cette présentation
peut porter le lecteur à de nombreux contresens et il doit
donc rester prudent tant qu'il n'en a pas vu la démonstration
rigoureuse!
ALGÈBRE QUANTIQUE
Sous ce terme peu courant et non officiel "d'algèbre
quantique" (donc à ne pas en abuser!) nous souhaitons
introduire et rappeler au lecteur des outils " mathématiques
qui vont nous être très utiles pour résoudre
certaines équations de la physique quantique. Il est donc
de première importance de comprendre (ou d'avoir compris,
en ce qui concerne les rappels) au mieux ce qui va suivre!
Remarque: Les puristes risquent de
grimper aux rideaux en lisant ...
OPÉRATEURS LINÉAIRES FONCTIONNELS
Définition: Les "opérateurs
linéaires" sont des êtres mathématiques
agissant sur des fonctions ou vecteurs (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel).
Les fonctions sur lesquelles peuvent opérer ces opérateurs
peuvent être des fonctions d'une seule variable x, soit f(x),
ou des trois coordonnées d'un point x, y, z soit f(x, y, z)
ou écrites encore plus brièvement .
Nous serons amenés à écrire des intégrales
de ces fonctions, qui sont le plus souvent étendues à tout
l'espace. Dans le cas d'une fonction des trois coordonnées
spatiales d'un point, nous adopterons la notation suivante:
(42.51)
Ces notations, indispensables pour l'allègement des expressions
que nous rencontrerons en physique quantique étant établies,
nous en revenons à nos opérateurs.
Partant d'une fonction f, si nous savons lui associer
une fonction g de même nature, c'est-à-dire
dépendante des mêmes variables, nous pouvons dire que g est
le résultat de l'action d'un opérateur sur f et écrire
cela symboliquement comme un produit simple:
(42.52)
Mais nous introduisons tout de suite une restriction fondamentale:
seuls nous intéressent les opérateurs linéaires
(comme en algèbre linéaire quoi...), c'est-à-dire
par exemple tels que:
(42.53)
quels que soient les coefficients 1 et 2.
Une catégorie très simple d'opérateurs est
constituée par les nombres (scalaires réels ou complexes).
Ainsi dans la relation :
(42.54)
est
une fonction qui dépend linéairement de f,
au travers d'un opérateur linéaire que nous écrivons , étant
un nombre (typiquement l'opérateur de position en physique
quantique).
Il y a deux cas particuliers importants:
1. Opérateur zéro: où sera
une fonction bien évidemment nulle partout...
2. Opérateur unité (ou identité): où (ce
qui est tout aussi simple...)
Remarque: L'opérateur "Nabla" est également
un opérateur linéaire fonctionnel (nous le verrons
un peu plus loin) qui en physique quantique se retrouve dans l'opérateur
d'énergie.
Nous vérifions sans peine pour les opérateurs fonctionnels
que ces derniers sont (voir les chapitres de Théorie des
Ensembles et Algèbre Linéaire au besoin):
- commutatifs par rapport à l'addition
- associatifs par rapport à l'addition et la multiplication
- distributifs par rapport à l'addition à gauche
et à droite
Jusqu'à présent, rien ne distingue l'algèbre
des opérateurs de celle des nombres. Mais il y a cependant
deux propriétés qu'il faut toujours avoir en tête
pour ne pas commettre des erreurs quand nous faisons du calcul
d'opérateurs:
1. Deux opérateurs ne commutent pas en général
par rapport à la multiplication (comme en algèbre
linéaire...), c'est-à-dire qu'en général
soient deux opérateurs fonctionnels et :
(42.55)
2. Si nous rencontrons une expression telle que ,
nous n'avons donc pas le droit d'effectuer en général,
la mise en facteur (il s'agit donc d'une structure particulière
de groupe qui est non-commutatif)!
Exemple:
Un exemple simple et important, car utile pour la suite (très
proche d'un cas pratique que nous verrons plus loin), de deux opérateurs
qui ne commutent pas avec une fonction d'une seule variable est
le suivant (où f est quelconque). Considérons l'opérateur d/dx agissant
sur xf(x):
(42.56)
en simplifiant par f :
(42.57)
Donc nous avons ci-dessus un exemple de deux opérateurs
qui ne commutent pas puisque:
(42.58)
Remarques:
R1. Si un opérateur peut commuter n'importe comment
avec un autre opérateur, c'est que ce dernier est un
nombre (cela rejoint le concept de mesure dont nous avons fait
mention dans les postulats).
R2. Lorsqu'un état (une fonction mathématique
au sens formel) est inchangé par un opérateur,
l'état est alors appelé "état
propre" ou "vecteur
propre" du système (nous verrons des exemples
pratiques plus loin). L'état est alors parfaitement
mesurable et est assimilé à l'observable classique.
Exemple (d'opérateur):
Partons de l'équation de Schrödinger tridimensionnelle
(que nous démontrerons plus loin) à admettre pour
l'instant:
(42.59)
ou bien écrite autrement (c'est plus esthétique...)
avec le laplacien d'un champ scalaire (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel):
(42.60)
ou encore:
(42.61)
autrement encore...:
(42.62)
Alors l'opérateur énergie totale (l'hamiltonien H en
d'autres termes...) s'exprime comme:
(42.63)
ou en notation lagrangienne:
(42.64)
Remarque: Nous retrouvons ici naturellement
la deuxième expression donnée dans le deuxième
postulat mais la notation V pour l'énergie potentielle
peut porter à confusion avec le potentiel électrique.
D'autre part, nous savons que:
(42.65)
Les deux dernières expressions doivent être identiques.
La seule possibilité pour satisfaire à ces égalités
est de poser:
(42.66)
qui sont les "opérateurs hermitiques
de la quantité de mouvement" en physique
quantique (exprimés en coordonnées cartésiennes) et dont il faudra
se rappeler tout au long de ce chapitre!
Remarque: Nous retrouvons ici naturellement
un des opérateurs cités dans le troisième
postulat.
Nous pouvons vérifier la légitimité de ces
opérateurs en les réinjectant dans l'expression de
l'énergie cinétique:
(42.67)
Par ailleurs, il est aisé de vérifier que ce développement
reste juste si nous prenons le conjugué complexe de l'opérateur
de la quantité de mouvement.
Ainsi, l'opérateur d'énergie totale (l'hamiltonien)
est, lui aussi, bien hermitique! Ce résultat est très
important pour vérifier par exemple des calculs en utilisant
la propriété d'orthogonalité des fonctions
propres que nous verrons plus loin.
OPÉRATEURS ADJOINTS ET HERMITIQUES
Remarque: La lecture des lignes qui
vont suivre pourrait s'avérer assez abstraite. Cependant,
si vous ne comprenez pas grand-chose ce n'est pas bien grave car
souvent tout devient évident pendant l'étude et les
développements d'exemples concrets qui seront donnés
plus loin.
Considérons les deux intégrales étendues à tout
l'espace (à l'intérieur de l'intégrale il
s'agit d'une multiplication de fonctions et d'opérateurs)
sans chercher à comprendre leur utilité pour l'instant:
et
(42.68)
où rappelons que la notation est
le conjugué complexe de z. Il faut savoir que dans
ces deux intégrales, et représentent
des opérateurs.
Nous constatons dans les développements de la physique
quantique que ces deux intégrales sont égales (donc donnant des
valeures réelles) et qu'il y a entre les opérateurs et une
correspondance biunivoque, nous disons que est "l'adjoint" de (la
transposée de la conjuguée) ou qu'il est "hermitique" (les
deux termes sont d'usage) et nous écrivons:
(42.69)
si les deux intégrales précédentes sont respectées.
De cette définition, nous déduisons l'identité importante
suivante:
(42.70)
Exemple:
Considérons:
(42.71)
Alors par intégration par parties:
(42.72)
Remarque: Nous démontrerons,
plus loin, la relation ci-dessus dans un exemple concret mais particulier
de la physique quantique des champs (chapitre suivant) et nous
y reviendrons de manière plus rigoureuse dans notre présentation
du formalisme de Dirac dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste.
L'opérateur adjoint a plusieurs propriétés,
dont les seules qui vont nous intéresser dans ce chapitre
sont:
P1. qu'il
est inutile de démontrer, car cette relation découle
de la définition même de l'opérateur adjoint.
P2. étant
envisagé comme un nombre complexe (opérateur particulier)
nous avons alors .
Ce que nous avons vérifié juste avant par l'exemple
avec l'opérateur de quantité de mouvement!
Une catégorie extrêmement importante d'opérateurs
est donc constituée par les "opérateurs
hermitiques self-adjoints", ou plus simplement "opérateurs
hermitiques" égaux par définition à leurs
adjoints:
(42.73)
puisque ce sont les seuls qui émergent dans les développements
de la physique quantique ondulatoire.
Nous remarquons aussi que si nous prenons un opérateur
hermitique (comme celui de la quantité de mouvement pour
faire simple par exemple...) et que nous multiplions celui par
le nombre imaginaire unitaire pur i alors il devient antihermitique,
c'est-à-dire: non-hermitique.
Remarque: Les termes "hermitique" ou "hermitien" sont équivalents
et rappelez-vous que ces opérateurs peuvent être aussi
des matrices!
Un opérateur quelconque, soit ,
peut se décomposer d'une façon unique en parties
hermitique et antihermitique, c'est-à-dire que nous pouvons écrire:
(42.74)
où sont
donc hermitiques .
Démonstration:
Si:
(42.75)
car il s'agit d'un simple nombre complexe, alors:
(42.76)
La somme de l'opérateur et de son adjoint est donc un opérateur
hermitique (la somme ou la soustraction entre opérateurs
hermitiques, reste donc hermitique).
En général, il est trivial que le produit de deux
opérateurs hermitiques n'est
pas nécessairement un opérateur hermitique, car nous
vérifions que la condition pour laquelle le produit de deux
opérateurs hermitiques soit lui-même hermitique, est que
les deux opérateurs "commutent" (voir ce qui suit).
COMMUTATEURS ET ANTICOMMUTATEURS
Définitions:
D1. Le "commutateur" de
deux opérateurs et ,
s'écrit:
(42.77)
D2. "L'anticommutateur" de
deux opérateurs et ,
s'écrit:
(42.78)
qui s'écrit générallement aussi
sous la forme suivante:
(42.79)
Remarques:
R1. Comme le commutateur est beaucoup plus fréquent
dans les développements que l'anticommutateur, s'il
n'y a pas de confusion possible, nous le notons donc simplement .
R2. Des exemples concrets et triviaux de ces commutateurs
dans le cadre de notre étude de la physique quantique
ondulatoire seront présentés dans le texte qui
suit.
Citons quelques propriétés évidentes des
commutateurs (celles que nous utiliserons le plus):
(42.80)
où sont
des nombre quelconques (les démonstrations sont faites -
au besoin - pendant le développement d'exemples pratiques).
Cherchons l'adjoint de :
(42.81)
d'où un résultat très simple:
(42.82)
ce qui pourra se vérifier aisément avec l'exemple
pratique que nous ferons juste quelques lignes en-dessous.
La relation suivante est très utile dans la pratique (triviale,
mais comme d'habitude au besoin nous pouvons rajouter la démonstration):
(42.83)
nous avons de même:
(42.84)
Nous démontrerons plus loin dans un cas concret, que si
deux opérateurs ne commutent pas, alors il est impossible
d'avoir un état ayant une valeur précise et unique
pour les deux opérateurs à la fois (en physique quantique
il existe une configuration d'expérience où le premier
opérateur représente la quantité de mouvement
et le second la coordonnée spatiale). Ce résultat
implique que les opérateurs sont souvent nommés des "observables".
Attardons-nous un moment sur
un exemple concret des commutateurs et dont un des résultats
est fondamental!
Nous avons démontré plus haut les relations:
(42.85)
Considérons la relation (simple différentielle mathématique
habituelle):
(42.86)
Si nous divisons par des
deux côtés de l'égalité et qu'ensuite
nous multiplions par ,
nous obtenons:
(42.87)
ce qui nous donne:
(42.88)
donc il vient que le commutateur de x et est égal à et
donc que les quantités ne commutent pas. Nous avons donc
la "relation d'anticommutation" suivante:
(42.89)
(cycl.)
Ce que nous retrouvons souvent dans la littérature sous
la forme (avec le symbole de Kronecker):
(42.90)
Ainsi (en nous basant sur le deuxième postulat), les deux
observables x et ,
dont les opérateurs ne commutent pas, ne possèdent
pas une base de vecteurs propres commune. Ils ne sont donc pas
simultanément mesurables avec précision et constituent
donc une incertitude d'Heisenberg!
Remarques:
R1. L'abréviation (cycl.) signifiant que l'on peut
permuter circulairement les lettres (x, y, z)
et que le résultat reste le même.
R2. Bien que ce résultat puisse paraître étonnant,
il n'en est pas moins extrêmement correct puisque découlant
d'un raisonnement mathématique. Nous ne pouvons pas
faire plus simple et rigoureux.
Considérons donc maintenant aussi la relation:
(42.91)
et en procédant de la même manière que précédemment,
nous obtenons:
(42.92)
(cycl.)
Les deux relations:
et
(42.93)
peuvent se résumer à:
(42.94)
en utilisant les coordonnées et moments généralisés
et sont remarquables sous plusieurs angles:
- Premièrement, parce qu'à partir de considérations
purement théoriques et mathématiques nous retrouvons également
en physique quantique une incertitude équivalente (mais
pas égale!) à celle obtenue lors de notre étude
des principes d'incertitudes de Heisenberg (qui rappelons-le avaient été obtenues à partir
d'un cas pratique classique).
Effectivement, si nous prenons le module du commutateur de gauche,
nous avons alors la "relation d'incertitude
spatiale de Heisenberg":
(42.95)
qui rappelons-le, peut également s'écrire sous la
forme:
(42.96)
La constante de Planck étant extrêmement petite, cela explique
que cet effet est impossible à détecter à notre échelle
macroscopique. Par contre, la masse des électrons étant
extrêmement petite aussi, la fraction ci-dessus devient notable
pour un électron et l'effet de cette incertitude est important!
Enfin, par commutation des composantes du quadrivecteur impulsion
(cf. chapitre de Relativité Restreinte),
nous avons la "relation d'incertitude
temporelle de Heisenberg":
(42.97)
Une conséquence fantastique découle de l'incertitude
sur le temps et l'énergie et de la relativité. Imaginons-nous
le vide le plus total (vide quantique) et supposons que nous regardions
ce qui se passe en un point de l'espace donné pendant un
temps très court. Alors le principe d'incertitude temporelle
nous dit que l'énergie de cet état (le vide!) est
très imprécise. Or la relativité dit que l'énergie,
c'est aussi de la masse (et aussi un champ), donc des particules.
Donc, pendant ce temps très court des particules peuvent
apparaître spontanément du vide ! Nous les appelons
des "particules virtuelles" car
elles disparaissent très vite et sont engendrées
par les "fluctuations quantiques du
vide".
Cette variation est suffisamment faible pour que nous puissions
la mesurer aujourd'hui avec nos instruments. Cependant, nous en
observons les effets seulement dans les grands collisionneurs de
particules de la planète.
- Deuxièmement, ces relations sont remarquables parce que
l'incertitude est une valeur complexe. Ce qui amène à considérer
que le corps des complexes est inhérent à la structure
réaliste de notre environnement (espace-temps) au niveau
du monde quantique. Le monde quantique est donc un monde d'incertitude
complexe. Et cette probabilité ne semble pas être une conséquence
de notre imprécision ou de notre ignorance mais semble bien être
une propriété intrinsèque de la nature.
Remarque: Les relations et propriétés
de commutation et d'anticommutation seront indispensables pour
développer la théorie quantifiée du moment
cinétique et du spin.
REPRÉSENTATIVES
Introduisons maintenant les notations quantiques contemporaines,
que nous considérons pour l'instant comme des abréviations
d'intégrales portant sur des fonctions d'ondes, nous écrirons
(dans le but futur de calculer des densités de probabilités):
(42.98)
car il s'agit d'un produit scalaire fonctionnel complexe (cf.
chapitres d'Analyse Fonctionnelle et de Calcul Vectoriel).
Avec cette notation, la relation que nous avions présentée
plus haut lors de notre étude des opérateurs:
(42.99)
devient (c'est plus léger déjà... mais moins
pédagogique):
(42.100)
Cela dit, l'ensemble E des fonctions qui
nous intéressent en physique quantique ondulatoire constitue
un espace linéaire fonctionnel. Effectivement, en physique
quantique, les équations différentielles que nous
devons résoudre (équation de Schrödinger) pour décrire
le comportement d'une particule, sont telles que la solution générale
peut être très souvent décomposée en la somme
des solutions particulières (nous démontrerons cela!).
En mathématiques, nous disons alors que les états
sont linéaires, c'est-à-dire que toute combinaison
d'états est encore un état.
Ainsi, l'état d'une particule est, comme nous le démontrerons
plus tard, représenté par un "état
quantique" ou un "vecteur
d'état" noté qui
correspond aussi à une fonction mathématique la décrivant
complètement.
Par exemple, si et sont
deux états possibles, alors:
(42.101)
est également un état possible pour le système
(de par la propriété des espaces linéaires
fonctionnels).
Revenons maintenant à notre espace linéaire fonctionnel
(ou "espace linéaire des états"). Le
fait que l'ensemble E des fonctions qui
nous intéressent constitue un espace linéaire fonctionnel
signifie que si ,
nous avons aussi:
(42.102)
quels que soient les coefficients et (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel).
Si les fonctions constituent
un espace, il est alors naturel de chercher à les rapporter à une
base orthonormée. Ainsi, une suite de fonctions (qui sont
les fonctions propres) constituera
une base orthonormée si nous avons (forme de relation démontrée
en calcul tensoriel):
(42.103)
où nous le rappelons, est
le symbole de Kronecker (cf. chapitre de
Calcul Tensoriel).
Définition: La base est dite "base
complète" si bien évidemment toute
fonction peut
se développer en série des fonctions propres telle
que:
(42.104)
où est
un nombre quelconque (c'est en partie ici qu'il faut revenir aux
quatrième et cinquième postulats de la physique quantique
ondulatoire).
Calculons maintenant le produit scalaire fonctionnel (cf.
chapitre d'Analyse Fonctionnelle):
(42.105)
Cette dernière relation montre que nous avons identiquement
(nous changeons la notation des indices):
(42.106)
Ainsi, dans une base orthonormée complète ,
une fonction sera
bien décrite par la donnée des coefficients .
Nous aurons souvent intérêt à les mettre sous le
format de la matrice représentative de dans
la base :
(42.107)
Considérons maintenant un opérateur tel
que:
(42.108)
Mais nous pouvons également écrire (remarquez l'apostrophe
dans la relation!):
(42.109)
Multiplions cette dernière relation par et
calculons le produit scalaire fonctionnel:
(42.110)
À comparer avec (obtenu plus haut):
(42.111)
En notant ,
la "matrice représentative" de dans
la base ,
nous pouvons d'après la relation:
(42.112)
écrire finalement:
(42.113)
VALEURS ET FONCTIONS PROPRES
Soit un opérateur (hermitique
ou non). Le nombre a est dit "valeur
propre de l'opérateur" de ,
s'il existe une fonction non
identiquement nulle telle que (pour un rappel de notions similaires
voir le chapitre d'Algèbre Linéaire):
(42.114)
est
alors une "fonction propre" (en
analogie avec les "vecteurs propres") de ,
associée à la valeur propre de a. Notons
que a peut très bien être nul (vous comprendrez
mieux cela au moment où nous passerons à l'étude
de cas concrets).
En des termes plus physiques, cela revient à dire que lorsqu'un état
(une fonction mathématique au sens formel telle que )
est inchangé par un opérateur, l'état est
alors appelé "état propre" ou "vecteur
propre" du système.
Soit l'ensemble des
fonctions propres associées à a et
un espace linéaire fonctionnel, que nous nommerons le "sous-espace
propre associé" à a. Le nombre
de dimensions de s'appelle "multiplicité" (ou "ordre
de dégénérescence") de la valeur
propre a, et nous le notons g.
Soit maintenant a une valeur propre simple, ou non
dégénérée, .
Cela veut dire qu'il y a une seule fonction propre associée à a, à un
coefficient multiplicatif non nul près.
Si (valeur
propre double), nous pouvons trouver deux fonctions propres non
proportionnelles (non liées) associées à a,
etc.
Exemple:
Voyons un exemple particulier d'une fonction propre avec une valeur
propre autre que le cas classique de l'énergie.
Soit:
(42.115)
avec (opérateur
que nous avons déjà vu précédemment)
et a une valeur propre.
L'équation devient:
(42.116)
qui se vérifie aisément si:
(42.117)
qui est bien une fonction propre de l'opérateur susmentionné et
qui nous sera des plus utiles dans ce qui va suivre.
ORTHOGONALITÉ DES FONCTIONS PROPRES
Deux fonctions (vecteurs) propres et associées à deux
valeurs propres différentes d'un même opérateur
hermitique sont
orthogonales, c'est-à-dire
que:
(42.118)
Démonstration:
Partons cette fois-ci d'abord avec la notation de Dirac avec deux
fonctions propres et deux valeurs propres associées:


(42.119)
avec .
Nous multiplions respectivement les deux relations précédentes
par ,
et nous intégrons pour obtenir le produit scalaire fonctionnel:
(1) 
(2) 
(42.120)
Rappelons pour continuer que nous avons démontré que:
(42.121)
donc si l'opérateur est
autoadjoint (ce qui est le cas de l'hamiltonien comme nous l'avons
montré), c'est-à-dire que ,
nous avons:
(42.122)
Dès lors, en retranchant de la relation (1) le complexe
conjugué de la relation (2), a étant
supposé réel (ou un entier...), nous avons:
(42.123)
ce qui montre bien que:
(42.124)
puisque .
Faisons maintenant la même démonstration avec l'écritue
algébrique
classique et une approche un peut différente. Nous partons de:
(42.125)
Et comme nous avons démontré plus haut
que:
(42.126)
donc si l'opérateur est
autoadjoint (ce qui est le cas de l'hamiltonien comme nous l'avons
montré), c'est-à-dire que ,
nous avons:
(42.127)
Il vient alors que les deux relations (1) et (2)
sont égales (ne pas oublier que la valeur propre est réelle!).
Tel que nous puissions écrire:
(42.128)
Nous pouvons alors écrire:
(42.129)
Et donc si les valeures propres ne sont pas égales
il est forcé que ce soit l'intégrale qui soit nulle (le produit
scalaire fonctionnel) et donc que les deux fonctions propres sont
orthogonales.
C.Q.F.D
La même démonstration, mais avec la
notation traditionnelle et plus pédagogique donne:
(42.130)
Si nous multiplions la première équation à gauche
par ,
et la seconde équation par ,
et que nous intégrons sur la totalité de l'espace,
nous obtenons les deux expressions suivantes (correspondant donc
aux valeurs moyennes):
(42.131)
Si nous prenons le cas de fonctions réelles, nous pouvons écrire:
(42.132)
L'opérateur H étant hermitique (autoadjoint)
comme nous l'avons démontré plus haut, nous avons:
(42.133)
et comme sont
admis comme étant des fonctions réelles, nous avons
aussi:
(42.134)
Donc:
(42.135)
S'écrit:
(42.136)
Il vient alors:
(42.137)
ce qui montre bien que sont
orthogonales selon la définition du produit scalaire fonctionnel.
FORMALISME DE DIRAC
Dirac a conçu un formalisme général très
pratique, mondialement utilisé par les physiciens, dont
nous allons donner les éléments essentiels. Les notations
utilisées ont d'ailleurs été déjà partiellement
introduites dans ce qui a précédé.
Nous utiliserons le formalisme de Dirac pour deux points, le premier étant
de mieux comprendre ce qui a été vu jusqu'à maintenant
lors de l'introduction aux opérateurs fonctionnels, le second étant
d'introduire une notation et une méthode de résolution
que l'on retrouve dans certains ouvrages. Par ailleurs, sur ce
site par simplification d'écriture, nous utiliserons parfois
ce formalisme.
KETS ET BRAS
Nous considérons un espace vectoriel à n dimensions
où n peut très bien être infini (espace de Hilbert).
Un vecteur est défini par n composantes que
nous pouvons ranger en colonne pour former une matrice-colonne:
(42.138)
Nous dirons que cette matrice décrit le "vecteur
droit" ou le "ket" (cela
doit vous rappeler les "représentatives"). Il
est possible d'associer à la matrice colonne la matrice
adjointe (transposée conjuguée):
(42.139)
où les sont
les complexes conjugués des .
Nous dirons que la matrice ligne adjointe décrit le "vecteur
gauche" ou le "bra" (cela
doit également vous rappeler les "représentatives").
L'addition et la multiplication par un nombre vont
de soi. Notons que si ,
nous avons trivialement .
Avec deux vecteurs de composantes et ,
nous pouvons former la quantité suivante, dite "produit
scalaire hermitique":
(42.140)
nous convenons de l'écrire .
Notons que:
(42.141)
le produit scalaire hermitique n'est donc pas simplement commutatif!
Le produit dépend
linéairement de et
de .
Réciproquement si un nombre Q dépend linéairement
d'un ket ,
il existe un bra tel
que:
(42.142)
En physique quantique, est
appelé "l'amplitude" d'être
dans l'état x si le système est dans
l'état y. Ce produit scalaire hermitique sera interprété comme
la probabilité que le système physique se projette
dans l'état x s'il est dans l'état y.
Une base orthonormée de l'espace étudié est
constituée par n vecteurs tels
que:
(42.143)
où rappelons-le, est
le symbole de Kronecker (cf. chapitre de
Calcul Tensoriel).
Tout vecteur de peut
se développer sur cette base selon (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel):
(42.144)
où les sont
les composantes de dans
la base choisie. Nous vérifions vraiment aisément
que (déjà vu maintes fois dans le chapitre de Calcul
Vectoriel):
(42.145)
Si un ket dépend
linéairement d'un ket ,
nous écrivons symboliquement:
(42.146)
où est
un opérateur linéaire. Soit donc un opérateur
linéaire défini par la relation précédente
et un bra ,
le produit scalaire hermitique:
(42.147)
est un nombre Q qui dépend linéairement
de .
D'après ce qui a été vu plus haut, il existe
un bra tel
que . dépend
visiblement de de
manière linéaire. Nous convenons de poser:
(42.148)
À l'aide de cette convention, nous pouvons écrire:
(42.149)
Si , dépend
linéairement de .
Par définition, nous écrirons:
(42.150)
où est
l'opérateur adjoint de .
Formons avec un bra le
produit scalaire hermitique:
(42.151)
et nous pouvons écrire (nous l'avons démontré précédemment):
(42.152)
d'où la relation de première importance que nous avons
déjà rencontrée plusieurs fois sans en avoir
expliqué vraiment l'origine:
(42.153)
Nous rappelons simplement avec cette relation qu'un opérateur
hermitique est un opérateur égal à son adjoint.
Grâce au formalisme de Dirac, ce qui était avant
des définitions abstraites est devenu maintenant des évidences
démontrées.
Pour résumer:
Formalisme classique |
Formalisme de Dirac |

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Tableau: 42.1 - Comparaison formalisme classique/Dirac avec ce qui a été vu jusqu'à maintenant
Remarque: À nouveau, un excellent
exemple pratique d'application du formalisme de Dirac est proposé dans
le chapitre d'Informatique Quantique (voir section d'Informatique
Théorique).
MODÈLE DE SCHRÖDINGER
Des expériences (effet Compton, effet photoélectrique,
fentes de Young, optique géométrique/ondulatoire,
etc.) ont montré que les ondes pouvaient, dans certaines
situations être traitées comme des corpuscules (et
inversement). Ce sont ces observations qui amenèrent Niels
Bohr à à énoncer son "principe de complémentarité" qui
dit que suivant les expériences effectuées, il faut
considérer la matière soit comme une onde, soit comme
des corpuscules. Ces deux aspects se complétant l'un et
l'autre.
ONDE ASSOCIÉE DE DE BROGLIE
Le physicien français Louis Victor De Broglie suggère,
en 1924, que réciproquement, les particules (électrons,
protons, et autres ainsi que même les atomes et les molécules)
pourraient aussi, dans certains cas, montrer des propriétés
d'ondes au même titre que la lumière! De Broglie émit
alors l'idée qu'il existait entre la longueur d'onde associée
fictive d'une particule de matière et sa quantité de
mouvement, une relation similaire à celle d'un photon, soit
(v est
la notation pour la fréquence pour rappel...):
(42.154)
donc nous pouvons écrire en utilisant la relation établie
dans la chapitre de Mécanique Ondulatoire:
(42.155)
où le rapport:
(42.156)
De Broglie émit donc dès lors l'hypothèse
suivante: Pour un corpuscule de masse m et de vitesse v nous
avons:
(42.157)
où est
appelé "longueur d'onde associée
de De Broglie".
La matière en mouvement aurait donc une longueur d'onde
associée. C'est une longueur d'onde extrêmement petite
pour des masses de l'ordre du kilogramme. Si la vitesse est par
exemple de l'ordre de alors .
Comme nous l'avons vu, les phénomènes d'interférence
et de diffraction sont importants seulement lorsque la taille des
objets ou fentes n'est pas beaucoup plus grande que la longueur
d'onde. Il est donc impossible de détecter les propriétés
ondulatoires des objets de tous les jours. Il n'en est pas de même
pour les particules élémentaires, les électrons
en particulier.
Les électrons peuvent donc avoir des longueurs d'onde de
l'ordre de ce
qui correspond à l'espacement des atomes d'un cristal. C.J.
Davisson et L.H. Germer exécutèrent une expérience
cruciale: ils diffusèrent des électrons sur la surface
d'un cristal et au début 1927 observèrent que les électrons éjectés étaient
distribués en pics réguliers. Lorsqu'ils interprétèrent
ces pics comme des pics de diffraction, ils trouvèrent que
la longueur d'onde de l'électron diffracté était
exactement celle prédite par De Broglie.
Mais alors qu'est-ce qu'un électron?? Les illustrations
qui montrent un électron comme une minuscule sphère
chargée négativement ne sont que des images commodes,
mais inexactes. En fait, nous devons utiliser le modèle
corpusculaire ou ondulatoire, celui qui fonctionne le mieux selon
la situation de façon à pouvoir comprendre ce qui
se produit. Mais il ne faut pas en conclure qu'un électron
est une onde ou une particule. Nous devrions plutôt dire
qu'un électron est "l'ensemble de ses propriétés
mesurables". Certains physiciens emploient encore l'expression "quanton" pour
décrire tout système se comportant soit comme une
onde soit comme une particule.
De Broglie put alors suggérer que chaque orbite électronique
quantifiée (selon le postulat de quantification de Bohr)
est alors une onde stationnaire et qu'un électron ne pouvait
occuper que les orbites pouvant accepter un nombre entier de longueurs
d'onde de son onde associée fictive. S'il n'y avait pas
de coïncidence exacte, il ne pouvait y avoir d'onde stationnaire,
et donc pas d'orbite stationnaire non plus.
Dès lors, comme pour les modes résonnants
d'une corde (ondes stationnaires), seules les ondes dont la circonférence
de l'orbite circulaire contient un nombre entier de existent,
soit (l'amplitude sera calculée par des techniques particulières
que nouvs verrons plus loin):
avec 

Figure: 42.2 - Approche de l'aspect ondulatoire des orbites par De Broglie
En remplaçant par ,
nous obtenons:
(42.158)
Ce qui est bien la condition quantique proposée par Bohr.
Les orbites et les états d'énergie quantifiés
du modèle de Bohr, sont dus à la nature ondulatoire
de l'électron et au fait que seules des ondes stationnaires
résonantes persistent. Ceci suppose que la dualité onde-corpuscule
est à la base de la structure de l'atome.
La notion ondulatoire de la particule permit ensuite au physicien
Erwin Schrödinger de développer une équation dite "équation
d'onde" pour décrire les propriétés
ondulatoires des particules.
Petit interlude sympathique... puisque connue l'onde associée
de De Broglie et étant donné le résultat vu
lors de notre étude du théorème du Viriel
dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus, nous
pouvons mettre en relation:
(42.159)
Ainsi, nous pouvons pour un fluide (liquide), obtenir la valeur
de "l'onde thermique associée
de De Broglie". Ce qui nous donne:
(42.160)
Nous reviendrons sur cette relation lors de notre étude
des superfluides dans le chapitre de Mécanique Des Milieux
Continus.
ÉQUATION CLASSIQUE DE SCHRÖDINGER
Le physicien Peter Debye trouva le modèle de De Broglie tiré par
les cheveux. Il argumenta que la physique des ondes, n'importe
lesquelles, depuis les ondes sonores jusqu'aux ondes électromagnétiques,
même les ondes se propageant sur une corde exige une équation qui
les décrive. Or, il n'y avait pas d'équation d'onde la modèle atomique
de De Broglie (pour la simple raison que ce dernier n'avait jamais
essayé et Einstein non plus). Le physicien Erwin Schrödinger
prit alors sur lui de trouver l'équation qui manquait et le fit avec
brio.
Rappelons la forme unidimensionnelle de l'équation d'onde
(cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire):
(1)
(42.161)
Pour simplifier, cherchons une solution particulière de
la forme (voir le chapitre de Mécanique Ondulatoire ou le
chapitre d'Électrodynamique pour l'analogie):
(2)
(42.162)
est
l'amplitude du champ associé à la particule. Il est
important de remarquer que la partie périodique ne contient
pas de paramètres de déplacement (comme c'est le
cas en électrodynamique par exemple) car la fonction se
doit de décrire des solutions "statiques" (attention à ne
pas prendre ce terme à la lettre).
Pour des raisons historiques cette amplitude est couramment appelée "fonction
d'onde" bien que cette appellation soit trompeuse.
Il serait peut-être meilleur de l'appeler simplement "amplitude
du champ associé à la matière".
C'est la recherche de l'expression de cette fonction qui va nous
amener lors de l'étude d'un cas particulier (bien plus loin
dans le texte) à l'expression bien connue de l'énergie
d'ionisation d'un électron de nombre quantique n donné et
pour son atome de numéro atomique N donné.
Si nous introduisons (2) dans (1), nous obtenons:
(3)
(42.163)
Nous avons aussi:
(42.164)
d'où:
(4)
(42.165)
si nous introduisons (4) dans (3) nous obtenons alors "l'équation
de Schrödinger unidimensionnelle classique" (en l'absence
de champ magnétique...):
(42.166)
Remarque: L'énergie potentielle
pourrait aussi bien être gravitationnelle, qu'électrique
ou les deux combinées (donc de nature quelconque). Mais
la gravitation est tellement faible à cette échelle
par rapport aux forces électrostatiques qu'elle est négligée.
Nous pouvons réécrire l'équation précédente
en la généralisant à un système à trois
dimensions. Ce qui nous donne finalement:
(42.167)
où n'est
pour rappel que le laplacien d'un champ scalaire (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel):
(42.168)
Remarques:
R1. Cette équation n'est pas un invariant de Lorentz étant
donné qu'elle a été établie à partir
de l'expression classique de l'énergie (et non relativiste).
R2. La fonction d'onde plane que nous avons prise au départ
n'a pas une signification physique étant donné qu'elle
transporte une énergie infinie. Une meilleure solution
est de considérer un paquet d'ondes. Toutefois, les
paquets d'onde généralement employés sont
constitués d'une superposition d'ondes planes. Dès
lors, en étudiant ses effets sur une des ondes planes,
nous pouvons accepter les conclusions physiques que nous pouvons
en déduire.
Si simple que cela puisse paraître, il fallut toute l'habileté
et l'expérience de Schrödinger pour être le premier à écrire
cette
équation d'onde et ce fut le fondement sur lequel il construisit
l'édifice mathématique de la physique quantique ondulatoire
dans les mois qui suivirent. Mais d'abord il lui fallait prouver
que
c'était bien l'équation d'onde recherchée
en l'appliquant à l'atome
d'hydrogène (cf. chapitre de Chimie
Quantique). Son modèle élimina tous les bricolages successifs
et empiriques de la physique quantique corpusculaire.
Certains physiciens jugèrent le modèle de Schrödinger
comme de la folie pure (en particulier Sommerfeld) tout en changeant
d'avis
peu de temps après... tellement le modèle était
efficace et remplaçait
avantageusement le modèle matriciel horriblement abstrait
de Heisenberg (à grand malheur de ce dernier) sur lequel
même Pauli avait échoué pour les résultats
expérimentaux de l'atome
d'hydrogène. Peu de temps après Max Born décrivit le modèle
ondulatoire comme la forme la plus profonde des lois quantiques
ce qui évidemment ne fit pas tellement plaisir à son proche ami
Heisenberg...
Cependant le modèle de Heisenberg décrivait des particules alors
que Schrödigner décrit des ondes. L'avantage d'avoir deux formalismes
différents - mais équivalents - en physique quantique devint vite
évident. Pour la plupart des problèmes que rencontrent les physiciens,
la mécanique ondulatoire offre la voie la plus facile vers la solution.
Toutefois, pour d'autres, comme ceux qui impliqent le spin, c'est
la démarche matricielle de Heisenberg qui prouve sa valeur.
HAMILTONIEN DE SCHRÖDINGER
L'équation de Schrödinger peut également s'écrire
sous la forme (après quelques petites mises en facteurs élémentaires)
suivante:
(42.169)
Nous écrivons cela en physique quantique sous la forme:
(42.170)
où H est donc l'hamiltonien du système (ou énergie
totale) et constitue un opérateur fonctionnel et l'énergie
totale, la valeur propre.
L'équation de Schrödinger est donc une équation
aux dérivées partielles du second ordre, linéaire
homogène. Quelle que soit l'énergie totale, elle
admet des solutions (ouf!), mais nous montrons qu'en général
ces solutions croissent très rapidement (croissance de type
exponentiel) quand nous nous éloignons à l'infini
dans certaines directions et sont donc physiquement inacceptables.
Il n'y a que des valeurs particulières de l'énergie
totale qui donnent lieu à des solutions physiquement acceptables
et en général, l'ensemble de ces valeurs comprend
des valeurs discrètes (fonctions trigonométriques à la
source) qui sont les "niveaux liés" du
système (parce que leur fonction propre décroît
rapidement à l'infini) et un continuum de valeurs qui sont
les "niveaux non liés" (leur
fonction propre restant finie à l'infini). Plus précisément,
si W est la borne inférieure des valeurs de l'énergie
potentielle à l'infini, les niveaux liés se situent
au-dessous de W, alors que les valeurs supérieures à W constituent
le continuum des niveaux non liés.
Par exemple, dans l'étude de l'oscillateur harmonique (un
des cas pratiques les plus difficiles au niveau du formalisme)
que nous ferons plus loin, nous avons:
(42.171)
avec .
Il n'existe donc que des niveaux liés.
Dans l'atome d'hydrogène:
(42.172)
avec .
Les niveaux liés seront négatifs, et toutes les valeurs
positives de l'énergie seront des niveaux non liés.
Ceci ayant été dit, voyons également comme
exemple (très important) la manière de déterminer
l'hamiltonien H de l'équation de Schrödinger
d'une particule chargée non relativiste dans un champ électromagnétique.
Nous avons vu dans le chapitre de Mécanique Analytique
que le lagrangien (classique) était défini par la
soustraction de l'énergie cinétique et potentielle
selon la relation:
(42.173)
Nous avons démontré dans le chapitre d'Électrodynamique
que le lagrangien de l'interaction champ-courant relativiste était
donné par:
(42.174)
où pour rappel est
le potentiel vecteur du champ électrique (donc dont le gradient
est le champ électrique )
et le
potentiel vecteur du champ magnétique (dont le rotationnel
est le champ magnétique ).
Si nous rajoutons un champ électrique (et donc un potentiel électrostatique U)
en plus du champ électromagnétique le lagrangien
s'écrit alors (puisque le potentiel se soustrait selon la
définition du lagrangien!):
(42.175)
Dans l'approximation classique (non relativiste) nous savons que
nous avons (cf. chapitre de Relativité Restreinte):
(42.176)
Comme nous nous restreignons au cas non relativiste, nous pouvons éliminer
le terme constant d'énergie de la masse au repos tel que:
(42.177)
Toujours dans le chapitre de Mécanique Analytique, nous
avons démontré que l'hamiltonien était donné par:
(42.178)
Nous avons donc:
(42.179)
De plus, nous avons vu dans le chapitre de Mécanique Analytique
que:
(42.180)
Il vient donc que:
(42.181)
Finalement:
(42.182)
Soit après simplification:
(42.183)
H contient donc l'énergie cinétique et l'énergie
potentielle totale. Il n'y a pas de terme magnétique car
la force de Laplace, comme nous l'avons démontré dans
le chapitre de Magnétostatique, ne travaille pas (y'en a
qui ont de la chance...). H est bien l'énergie totale
du système classique, cependant la relation précédente
n'est pas vraiment adaptée au formalisme de Hamilton car
les moments conjugués n'apparaissent pas. Mais il est très
simple de les introduire à partir du résultat obtenu
précédemment qui était:
(42.184)
donc:
(42.185)
Si nous passons en physique quantique, nous devons remplacer les par
leurs opérateurs respectifs:
(42.186)
dont nous avons démontré l'origine plus haut. Ainsi,
nous avons:
(42.187)
qui doit s'écrire dans le cas général (comme
nous ne savons pas si le potentiel vecteur commute avec la quantité de
mouvement, pour ne pas perdre en généralité nous
allors supposer qu'il anticommute):
(42.188)
Ce que l'on note traditionnellement sous la forme (sic!):
(42.189)
On retrouve très souvent cette dernière relation
sous la forme simplifiée suivante dans la littérature en absence
de potentiel U et en explicitant V:
(42.190)
Remarque: Dans le chapitre de Physique
Quantique Relativiste nous démontrerons la forme relativiste
de cet hamiltonien associée à l'équation de
Klein-Gordon généralisée ou encore celui de
Dirac qui inclut le spin.
Heureusement, nous ne traiterons pas d'exemples où il faudra
trouver des solutions à l'équation de Schrödinger
avec un tel hamiltonien sur ce site...
Dans les cas scolaires quand
on aborde toutefois des prémisses d'application..., on annule
soit le potentiel vecteur (donc la particule n'est
pas plongée dans un champ magnétique), soit le potentiel
scalaire (donc la particule n'est pas plongée dans un champ électrique).
De plus quand on choisit l'un des champs comme étant non
nul, on s'arrage à prendre le cas où il est constant
et en une seule dimension... Ainsi, si on veut un champ électrique
constant selon un seul axe (par exemple l'axe X), on prendra comme
potentiel scalaire:
(42.191)
puisque son gradient donnera bien une constante selon
X. Dans le cas d'un champ magnétique constant selon un seul
axe (par exemple l'axe Z), on s'arrangera pour prendre
le potentiel vecteur:
(42.192) dont le rotationnel donne bien un champ magnétique
constant selon Z.
CONDITION DE NORMALISATION DE DE BROGLIE
En général, dans un état dynamique donné,
la particule (s'il s'agit d'un système à une particule)
décrite par la résolution de l'équation de
Schrödinger pour des paramètres bien définis est
mal localisée, car x, y, z sont mal déterminés
de par même le principe d'incertitude de Heisenberg. Il y a donc
lieu de définir une probabilité dP de trouver
la particule dans l'élément de volume dxdydz entourant
un point (x, y, z), d'où l'existence
d'une fonction de distribution des coordonnées telle
que:
(42.193)
où est
donc une quantité essentiellement positive ou nulle (probabilités
obligent!) qui doit s'exprimer à l'aide de la fonction de
Schrödinger . Nous
avons d'ailleurs de tels exemples très détaillés
dans le présent chapitre et à la fin de celui de
Chimie Quantique.
Des analogies avec la physique ondulatoire classique, plus précisément
avec l'électrodynamique, ont conduit à admettre que
comme la densité volumique d'énergie d'une onde électromagnétique
est proportionnelle au carré de son amplitude (cf.
chapitre d'Électrodynamique), la densité volumique
de probabilité devait être proportionnelle au carré de
l'intensité du champ associé tel que:
(42.194)
où nous utilisons le module de la fonction de Schrödinger
comme analogie de l'amplitude et où la constante est un
nombre réel. Dans le cadre de la physique quantique, il
est beaucoup plus fréquent de trouver cette dernière
relation sous la forme évidente suivante:
(42.195)
qui met mieux en évidence la normalisation nécessaire
de la fonction de Schrödinger.
Enfin, il est important de noter que les physiciens ont pour habitude
pendant les développements de garder la même notation
pour la fonction de Schrödinger non normalisée que
celle normalisée (ce qui peut prêter à confusion)
telle que:
(42.196)
où représente
alors la probabilité de trouver la particule en un certain
point de l'espace.
Il est évident alors qu'avec cette manière de noter
les choses nous avons alors sur tout l'espace:
(42.197)
comme déjà mentionné lors de notre présentation
du premier postulat.
Nous pouvons maintenant considérer la signification physique
qui peut-être attachée à l'intensité du champ
associé à la matière. Comme ce champ décrit
le mouvement d'une particule, nous pouvons dire que les régions
de l'espace dans lesquelles la particule a le plus de chance de
se trouver sont celles dans lesquelles est
maximum.
Indiquons aussi que la relation antéprécédente
s'écrit en utilisant la notation ket-bra, que nous introduirons
un peu plus tard, de la manière très raffinée
(et très courante...) suivante:
(42.198)
ou suivante (c'est simplement la racine carrée de la précédente):
(42.199)
où le module au dénominateur disparaît puisque,
pour rappel, l'intégrale est un nombre réel. Il ne
faut par ailleurs jamais oublier que les physiciens, pour la grande
majorité, notent de manière identique la fonction
de Schrödinger non normalisée et normalisée
comme nous le rappelle cette dernière relation.
Comme nous l'avons déjà dit, nous verrons de nombreux
exemples détaillés de cette normalisation dans ce
chapitre avec des espaces unidimensionnels et dans le cadre de
volumes dans le chapitre de Chimie Quantique.
Indiquons encore une chose en ce qui concerne la normalisation.
Si vous observez l'expression de l'hamiltonien des équations
de Schrödinger vues jusqu'à présent, alors si est
une constante réelle ou complexe nous avons toujours:
(42.200)
Si nous posons que est
une solution de l'équation de Schrödinger, nous voyons alors
que est
aussi solution de l'équation. En effet, nous obtenons:
(42.201)
En prenant en compte le fait que la fonction est
normalisée, nous obtenons alors:
(42.202)
d'où (certains livres se restreignent à ces solutions pour
des raisons pédagogiques):
ou
(42.203)
ou rigoureusement nous avons plus généralement:
(42.204)
où est
un nombre réel. C'est ce que nous appelons "l'arbitraire
de phase" dont nous avions déjà fait
mention au début de ce chapitre sans démonstration.
Ces solutions sont normalisées et correspondent à la
même valeur d'énergie E ainsi qu'à la
même densité de probabilité. Ceci montre qu'il n'est
pas utile de chercher la signification d'une valeur négative
de (si
nous prenons le cas particulier pédagogique ),
car est
réel et n'est pas négatif. Seul le carré d'une
fonction d'onde, qui correspond à la densité de probabilité,
est significatif d'un point de vue physique.
ÉTATS LIÉS ET NON LIÉS
Supposons que décroisse
assez rapidement à l'infini, de telle sorte que l'intégrale:
(42.205)
converge. Il est alors possible de profiter de l'arbitraire régnant
sur la fonction d'onde (le fait que et décrivent
le même état) pour rendre cette intégrale égale à l'unité.
Nous disons alors que est
une "fonction d'état de champ
normée":
(42.206)
Notons qu'il règne encore un arbitraire sur par
un nombre complexe de module 1, ,
sans que la condition de normalisation soit altérée.
Nous appelons cela "l'arbitraire de
phase" et en verrons un exemple plus tard.
Un tel état dynamique est dit "état
lié" ou "niveau
lié", parce que la particule se manifeste
dans une région limitée de l'espace à cause
d'un potentiel. Lorsque, par exemple, l'atome d'hydrogène
est situé sur un niveau fondamental, il est dans un état
lié. Nous savons qu'il n'y a aucune chance de trouver
l'électron à plus de quelques angströms du proton,
traité comme infiniment lourd et placé à l'origine
comme nous l'avons vu lors de l'étude du modèle
de Bohr. Voici une bonne vision schématique de la chose
(état lié):

Figure: 42.3 - Représentation imagée d'un état lié (source:
Pour la Science)
Un exemple d'état par défaut non lié est
la particule libre qui peut se propager indéfiniment dans
toutes les directions de l'espace (au fait pour ce dernier exemple
c'est un peu plus compliqué... mais nous le traiterons plus
loin).
Remarque: Il est bon de noter que
ces concepts d'états liés ont des analogues classiques.
Ainsi, les niveaux liés de l'atome d'hydrogène correspondent
aux orbites elliptiques, les niveaux non liés (énergie
positive) correspondent aux orbites hyperboliques.
ÉQUATION D'ÉVOLUTION CLASSIQUE DE SCHRÖDINGER
Nous savons qu'en mécanique classique l'état dynamique
d'un système évolue, en général, dans
le temps. Cela veut dire que la position et la quantité de
mouvement (par exemple) sont fonction du temps. Pour un système
d'hamiltonien donné, la connaissance de l'état dynamique
initial permet de prévoir exactement l'évolution
ultérieure de ce système du fait des propriétés
bien connues des équations de Hamilton.
En physique quantique, les états dynamiques évolueront,
en général, dans le temps. La fonction d'onde décrivant
un état dynamique ne sera alors pas seulement fonction des
coordonnées des particules constituant le système,
mais elle dépendra donc aussi du temps et s'écrira:
(42.207)
Il est tout naturel d'admettre, ne serait-ce que par analogie
avec la mécanique classique, que pour un système
donné, d'hamiltonien connu, la connaissance de l'état
dynamique initial à l'instant ,
permet de prévoir quel sera l'état dynamique du système à un
instant ultérieur .
Notons en passant que cela revient à dire qu'un ensemble
initialement "pur" reste un ensemble pur au cours de
l'évolution ultérieure des systèmes qui le
constituent sans action extérieure. Cela cesserait donc
d'être vrai si tous les systèmes de l'ensemble n'avaient
pas exactement le même hamiltonien.
Indiquons qu'il existe deux approches possibles pour déterminer
les fonctions dépendantes du temps:
- La première, courante dans de nombreux domaines d'application
de la physique quantique, consiste à utiliser un "opérateur
d'évolution" et permet de faire apparaître de
manière explicite l'équation d'évolution de
Schrödinger. Nous commencerons par celle-ci même si
c'est la plus compliquée ou abstraite.
- La deuxième, très utilisée à des
fins pédagogiques, permet d'obtenir les fonctions dépendantes
du temps par l'intermédiaire de la technique de séparation
des variables des équations différentielles mais
nécessite d'admettre l'équation d'évolution
de Schrödinger comme un postulat.
OPÉRATEUR D'ÉVOLUTION
Soit la
fonction d'onde normée décrivant l'état dynamique
du système à l'instant t (nous n'écrivons
pas les autres variables dont dépend par
souci de simplification, à savoir les coordonnées
spatiales des particules du système). D'après ce
qui précède, si est
connue, l'est
aussi. Nous avons une correspondance:
(42.208)
et nous admettrons qu'elle est linéaire! Il existe
donc un opérateur ,
appelé "opérateur d'évolution",
tel que:
(42.209)
La fonction dépend
linéairement de .
Il en est alors de même de:
(42.210)
Il existe donc un opérateur linéaire K,
tel que:
(42.211)
le nombre complexe i venant simplement du fait que nous
devinons intuitivement que le résultat sera une fonction
d'onde complexe.
Ce qui a aussi amené les physiciens à poser cette
dernière égalité ainsi étaient les
résultats connus de l'équation d'onde décrivant
un état dynamique d'après l'idée de De Broglie.
Nous allons donc tout de suite montrer que poser l'égalité ainsi
est justifié.
Nous devons déterminer K puisque la connaissance
de l'hamiltonien H commande l'évolution du système, K doit
donc dépendre de H. Pour préciser la loi
qui lie K à H, nous examinerons un cas
particulier, celui de la particule libre (dont nous ferons une étude
détaillée plus loin). Dans ce cas, H s'identifie à l'énergie
cinétique uniquement.
D'après les idées de De Broglie, il est naturel
d'admettre que la fonction d'onde décrivant un état
dynamique dans lequel la quantité de mouvement est bien
déterminée, soit (relation
démontrée pendant l'étude de la particule
libre), et où l'énergie totale est donc également
bien déterminée, soit:
(42.212)
est une onde plane de la forme classique:
(42.213)
où k est le vecteur d'onde de l'onde et ses
coordonnées spatiales.
Nous voyons alors très bien à l'arbitraire de phase
près (pris comme étant négatif) que:
(42.214)
Mais nous avons la relation entre opérateur hamiltonien
et valeur propre suivante:
(42.215)
Les deux équations précédentes conduisent à écrire:
(42.216)
En comparant cette dernière relation avec:
(42.217)
nous sommes amenés à poser:
(42.218)
Les physiciens supposent que cette relation entre K et H est
générale. Alors, l'équation:
(42.219)
dans laquelle K est remplacé par son expression:
(42.220)
devient alors:
(42.221)
Cette équation constitue "l'équation
d'évolution classique de Schrödinger" qui
permet d'étudier des systèmes évoluant avec le temps, notamment
les processus impliquant l'absorption et l'émission de rayonnement
et la diffusion du rayonnement par les atomes.
En particulier, pour une particule sans spin soumise à une énergie
potentielle ,
en maintenant toujours que la relation entre K et H est
générale, l'équation d'évolution s'écrit
alors:
(42.222)
où les termes entre parenthèses correspondent donc à l'expression
de l'hamiltonien.
Il convient maintenant de résoudre l'équation différentielle
d'évolution de Schrödinger. Pour cela, nous allons nous
servir de la condition de normalisation de De Broglie.
Rappelons que cette condition s'écrit:
(42.223)
et généralisons à une étude multidimensionnelle
et temporelle de cette condition telle que (selon les propriétés
des complexes):
(42.224)
Cette intégrale sur tout le domaine de définition
n'est certainement pas égale à l'unité si
nous n'introduisons pas une fonction de normalisation assimilée à une
observable que nous noterons X et telle que nous
ayons bien sur tout le domaine de définition:
(42.225)
D'après cette condition, cette intégrale doit nécessairement
rester constante en fonction du temps et de fait égale à l'unité.
Calculons d'abord la dérivée par rapport au temps
de l'intégrale de normalisation et X. Nous avons
donc nécessairement:
(42.226)
et utilisons l'équation d'évolution de Schrödinger:
(42.227)
ce qui nous donne pour notre intégrale après substitution:
(42.228)
Démontrons maintenant que nous pouvons écrire:
(42.229)
Cela revient à démontrer que H peut agir
identiquement "en arrière" tel que:
(42.230)
H pouvant être (ou contenir si vous préférez)
un opérateur (différentiel par exemple).
Cette relation est démontrable si et seulement si est
une fonction décroissante vers l'infini et dont la dérivée
tende vers zéro vers l'infini!
Prouvons cela sur un cas particulier (mais fréquent en
physique) et pour voir comment cela peut se faire, considérons
dans H, un terme particulier de la forme suivante :
(42.231)
ce qui nous conduit à écrire:
(42.232)
Par intégration par parties (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral)
sur le terme l'opérateur différentiel:
(42.233)
Or, puisque est
une fonction décroissante vers l'infini par hypothèse
(physiquement nécessaire!), nous aurons le premier terme qui sera
toujours nul. Il nous reste ainsi:
(42.234)
Donc cela ne fait aucune différence de considérer
que l'opérateur différencie tout ce qui est à droite
ou tout ce qui est à gauche, dans la mesure où il est bien
entendu que ce dernier cas implique un changement de signe. Il
est d'usage d'appeler ce résultat parfois la "condition
d'hermicité"....
Donc nous pouvons bien nous permettre d'écrire:
(42.235)
ce qui nous amène également à écrire:
(42.236)
Ceci ne peut être satisfait uniquement que si :
(42.237)
et dans le domaine mathématique traitant des opérateurs
nous avons vu que nous devions noter cette égalité:
(42.238)
Ce qui nous amène à:
(42.239)
soit en utilisant la notation des représentatives (ket-bra):
(42.240)
Pour revenir à la résolution de:
(42.241)
il est évident qu'une solution possible est alors:
(42.242)
qui est donc constituée d'une partie purement spatiale
(indépendante du temps) et d'une exponentielle complexe
dépendante du temps. Vérifions:
(42.243)
C'est ce qu'il fallait démontrer (...).
Remarquons également qu'une fois les solutions purement
spatiales déterminées, les solutions dépendantes
du temps et de l'espace s'obtiennent aisément.
De même, grâce à la relation que
nous avons démontrée avant, nous pouvons écrire:
(42.244)
Finalement, la relation:
(42.245)
devient:
(42.246)
avec "l'opérateur de Heisenberg" défini
par:
(42.247)
Remarque: Il se peut très
bien que X soit parfois une simple constante (nous en
verrons un exemple plus bas).
SÉPARATION DES VARIABLES
Voyons également une manipulation mathématique intéressante
et un peu similaire à la précédente de l'équation
d'évolution de Schrödinger. Cette manipulation va nous permettre
de voir que la séparation des variables fonctionne très
bien avec l'équation d'évolution et qu'elle va nous
permettre de retomber sur un résultat obtenu précédemment
(c'est toujours bien pédagogiquement de voir plusieurs approches).
Nous avons donc dans un cas particulier:
(42.248)
Réécrite sous forme traditionnelle (selon la littérature)
et à une dimension, pour un potentiel constant dans le temps,
cette relation s'écrit alors:
(42.249)
Supposons maintenant que la fonction d'onde puisse se séparer
en deux fonctions dont elle est le produit telles que:
(42.250)
Nous aurions alors:
et
(42.251)
Ce qui injecté dans l'équation d'évolution
unidimensionnelle donne:
(42.252)
ce qui donne après simplification:
(42.253)
Le terme de gauche ne dépend que de t, celui de
droite que de x. Puisqu'ils sont égaux, ils sont
nécessairement égaux aussi à une constante
près qui a la dimension d'une énergie (U(x)
est une énergie potentielle pour rappel).
Donc pour le terme de gauche:
(42.254)
alors:
(42.255)
et pour le terme de droite:
(42.256)
qui peut s'écrire:
(42.257)
après factorisation:
(42.258)
Soit avec les notations du site:
(42.259)
nous retrouvons donc l'équation de Schrödinger classique
unidimensionnelle ce qui est pas mal du tout comme résultat!
Maintenant, puisque nous avions posé:
(42.260)
alors nous avons finalement:
(42.261)
ce que nous pouvons écrire sous les notations des paragraphes
précédents:
(42.262)
Nous trouvons également cette dernière
relation sous plusieurs formes différentes dans la littérature
dont voici trois échantillons:
(42.263)
COMBINAISON LINÉAIRE DES ÉTATS
Il faut remarquer avant que nous passions à un autre sujet
quelque chose de très important que nous avions juste mentionné dans
le deuxième postulat!
Effectivement, toute équation de la forme suivante vue
précédemment:
(42.264)
est donc solution de l'équation évolutive de Schrödinger
et comme dans les systèmes quantiques l'hamiltonien peut
prendre (ou être associé à) plusieurs valeurs propres
discrètes notées traditionnellement nous
avons alors, comme mentionné au début de ce chapitre,
par le principe de combinaison linéaire des équations
différentielles la solution générale suivante:
(42.265)
dont nous aurons plusieurs exemples pratiques (de la discrétisation
des états d'énergie et que ceux-ci sont en nombre
infini) dans le présent chapitre et celui de Chimie Quantique.
Si nous écrivons la constante de normalisation de de
la relation précédente, nous avons alors:
(42.266)
Cette dernière relation s'écrirait sous la forme
ket-bra traditionnelle suivante:
(42.267)
où le coefficient constant est
assimilé à (avouez
que c'est plus simple non?).
Nous disons alors que l'état est
une combinaison linéaire d'états élémentaires. représente
donc aussi une particule d'onde comme étant simultanément
en plusieurs sous-états différents.
Il est intéressant de remarquer que chaque solution:
(42.268)
décrit un "état stationnaire".
Voyons (enfin!) rigoureusement de quoi il s'agit.
En effet, nous avons:
(42.269)
qui est donc indépendant du temps d'où l'origine du nom "état
stationnaire" (nous avions promis d'en définir l'origine
en début de chapitre... donc voilà qui est fait!).
Les fonctions étant normalisées nous avons donc:
(42.270)
Les calculs nous ont montré plus haut (nous avions fait
la démonstration de deux manières différentes)
que les fonctions propres ont les propriétés suivantes:
(42.271)
quand et:
(42.272)
quand .
C'est cette propriété qui nous avait amené dans
le troisième postulat à parler de "base
orthogonale des fonctions propres stationnaires".
Continuons notre calcul qui peut s'écrire en utilisant
le symbole de Kronecker (cf. chapitre de
Calcul Tensoriel):
(42.273)
Nous pouvons alors interpréter le terme comme
le poids de la fonction propre dans
l'état quantique k, la probabilité d'être
en fait dans l'état propre vaut
alors et
la normalisation impose alors:
(42.274)
Retenons donc qu'un état quantique quelconque peut toujours être
interprété comme étant une combinaison linéaire
d'états propres. Le coefficient d'une
fonction/état propre est
alors associé à une probabilité .
C'est ce résultat mathématique, super important!,
qui est à l'origine du paradoxe du chat de Schrödinger (parmi
d'autres...) et de nombreux débats.
Pour clore ce petit sujet, remarquons une chose:
Si les coefficients ne
sont pas les coefficients déjà normalisés,
mais non normalisés, les physiciens notent alors leur normalisation
ainsi:
(42.275)
car très souvent ils utilisent la même notation pour le
coefficient normalisé et le non normalisé dans leurs
développements...
L'écriture de la dernière relation se justifie aisément
car rappelons que nous devons avoir:
(42.276)
et nous avons effectivement après réarrangement:
(42.277)
Notons enfin qu'avec la notation ket-bra traditionnelle, la relation:
(42.278)
se note souvent dans certains ouvrages spécialisés:
(42.279)
qui donne donc toujours la probabilité de
trouver l'état n à la position x.
ÉQUATION DE CONTINUITÉ
Considérons maintenant l'exemple important de l'équation
d'évolution pour une particule libre, c'est-à-dire
avec .
Nous avons donc:
(42.280)
La probabilité de trouver la particule dans un volume V est
comme nous l'avons vu, donnée par:
(42.281)
d'où:
(42.282)
En tenant compte de l'équation d'évolution de la
particule libre, le second terme de l'égalité s'écrit:
(42.283)
où nous avons posé:
(42.284)
D'après le théorème d'Ostrogradsky (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel), il vient donc:
(42.285)
où l'intégrale de droite est effectuée sur
la surface S qui limite le volume V. La relation
précédente exprime donc bien que la variation par
unité de temps de la probabilité de trouver la particule
dans V est égale au flux traversant la surface S et
le vecteur peut être
interprété comme une densité de courant de
probabilité qui satisfait l'équation de continuité telle
que nous l'avons déterminée en thermodynamique:
(42.286)
d'où:
(42.287)
En physique quantique, il y aurait donc conservation du flux de
particules: Il n'y a ni création ni disparition de particule,
alors que dans la nature (les observations expérimentales)
nous observons pourtant de tels phénomènes... il
y a donc contradiction entre l'expérience et la théorie
ce qui invalide nos développements.
Par contre, cette équation exprime la conservation de la
probabilité aussi! Donc de la propriété d'existence
de la particule et des caractéristiques qu'elle transporte.
Par exemple, si nous multiplions cette dernière relation
par la charge de la particule, nous exprimons alors la continuité du
courant.
IMPLICATIONS ET APPLICATIONS
Les différents définitions et outils qui ont été vus
précédemment, vont nous permettre d'étudier
certains cas fondamentaux qui débouchent sur des résultats
splendides.
Dans un premier temps, nous allons voir comment traiter le cas
de la particule libre (état non lié) et quels sont
les problèmes que pose cette configuration simple.
Ensuite, nous allons résoudre l'équation de Schrödinger
avec une particule sans spin dans un puits de potentiel à parois
rectilignes et montrer que nous retrouverons avec le formalisme
de la physique quantique les mêmes résultats que le modèle
de Bohr (plus généralisé même!).
Après quoi, nous allons introduire l'étude de l'oscillateur
harmonique en repassant au préalable brièvement sur
la résolution de l'équation de Schrödinger d'une
particule libre. Cet exemple constitue une forme d'introduction
quantique à l'étude théorique de systèmes
atomiques. C'est dans cet exemple, que nous utiliserons toute la
puissance des opérateurs linéaires fonctionnels.
Il sera donc important de ne pas brûler les étapes lors
de sa lecture.
Il nous faudra également étudier un autre phénomène
fameux, l'effet tunnel! Évidemment, nous avons décidé de
faire une introduction d'un cas particulier afin que le lecteur
puisse voir le raisonnement qui a amené à la découverte
de ce phénomène épatant (mais logique). Encore
une fois, cet exemple appuiera la validité de la théorie
quantique et démontrant la valeur des constantes de désintégration
des isotopes nucléaires!
En ce qui concerne les cas relativistes, avec ou sans spin nous
renvoyons le lecteur au chapitre de Physique Quantique Relativiste
et en ce qui concerne le modèle atomique simple, nous le
renvoyons au chapitre de Chimie Quantique.
Enjoy!
PARTICULE LIBRE
Curieusement la résolution de l'équation de Schrödinger
pour une particule libre (où le potentiel est nul) est le cas simple...
le plus complexe... mathématiquement parlant car les bornes
d'intégration de la normalisation sont infinies.
Voyons cela:
Rappelons d'abord que nous avons démontré de manière
simplifiée dans le chapitre de Suites et Séries que
la transformée de Fourier d'une fonction f et son
inverse étaient données par:
(42.288)
Soit sous forme unidimensionnelle:
(42.289)
Procédons maintenant au changement de variable qui relie
le nombre d'onde k à la quantité de mouvement
(relation introduite au début de ce chapitre):
(42.290)
Ce qui nous donne:
(42.291)
Revenons maintenant à l'équation de Schrödinger
d'évolution:
(42.292)
Si la particule est libre, il n'y a pas de potentiel et à une
dimension nous avons alors:
(42.293)
Cette équation différentielle admet des solutions
en ondes planes monochromatiques du type (cf.
chapitre d'Électrodynamique):
(42.294)
avec bien évidemment la petite nuance que nous avons à utiliser
la relation (sinon ça ne joue pas par contre!):
(42.295)
Sans oublier que (cela nous sera utile par la suite):
(42.296)
La courbe de l'énergie E en fonction du vecteur
d'onde k est parfois appelée "courbe
de dispersion" et c'est une parabole (puisque k est
au carré) pour une particule libre!
Bien évidemment, la densité de probabilité de
cette solution vaut:
(42.297)
mais cela ne peut pas correspondre à la réalité car
nous ne pouvons pas normaliser la probabilité sur des distances
infinies! Une onde plane monochromatique de module constant dans
tout l'espace n'étant pas de carré sommable: elle
ne peut donc pas représenter un état physique d'une
particule libre.
Au fait la solution vient du fait que la vraie solution utilise
le principe de superposition de toutes les ondes monochromatiques
de toutes les fréquences tel que:
(42.298)
et nous retrouvons donc ici une relation très similaire à une
transformée de Fourier inverse (cf.
chapitre Suites Et Séries). Une telle superposition
d'ondes planes est appelée: "paquet
d'ondes unidimensionnel".
Ce que nous pouvons réécrire:
(42.299)
Or, nous voyons de suite que nous ne pourrons pas non plus normaliser
suivant:
(42.300)
Dès lors, il n'y a plus de solution générale.
Il faut donner une enveloppe porteuse aux ondes imposant une normalisation
possible. Cette enveloppe porteuse peut être un Dirac ou une Gaussienne
ou d'autres fonctions de distributions plus ou moins complexes.
Ensuite les physiciens doivent utiliser une propriété des
transformées de Fourier qui font naturellement apparaître
les incertitudes de Heisenberg. Ainsi, ces dernières sont
une condition à la normalisation des particules libres utilisant
les transformées de Fourier.
À ce jour, nous n'avons pas de démonstration pédagogique
et simple à proposer sur ce dernier point. Cela viendra
peut-être plus tard.
Par contre, nous pouvons prendre comme solution triviale les modes
propres de la particule tel que:
(42.301)
Effectivement:
(42.302)
C'est ce que nous utiliserons comme situation lors
de notre étude plus bas de l'oscillateur harmonique.
Avant d'étudier le cas particulier du paquet d'ondes quasi-monochromatiques,
nous allons rappeler quelques résultats concernant la somme
de deux ondes planes.
Commençons par sommer deux ondes planes monochromatiques
de fréquences voisines:
et
(42.303)
avec:
et
(42.304)
et:
et
(42.305)
À noter que nous imposons donc:
et
(42.306)
L'onde résultante a pour expression:
(42.307) 
Soit en utilisant les relations trigonométriques remarquables
(cf. chapitre de Trigonométrie):
(42.308)
qui est une onde plane se propageant selon x avec
la pulsation et
le vecteur d'onde moyen ,
et donc à la vitesse de phase:
(42.309)
Le terme en cosinus s'interprète alors comme l'amplitude
lentement variable de cette onde plane.
Remarquons un point assez important!: La vitesse de phase n'est
pas conforme à la vitesse que nous obtenons en utilisant
l'énergie cinétique d'une particule libre. Effectivement:
(42.310)
Dès lors la vitesse de phase ne représente pas la
vitesse dans le sens classique habituel mais se l'onde se déplaçant à la
vitesse de groupe:
(42.311)
où nous retrouvons donc la formulation classique de la
vitesse à partir de l'énergie cinétique (pas
mal...)!
Nous pouvons représenter aisément tout cela avec
Maple 4.00b:
> restart:with(plots):
> lambda[0]:=1; T[0]:=1; k[0]:=2*Pi/lambda[0]; w[0]:=2*Pi/T[0];
>
delta_k:=k[0]/8: k[1]:=k[0]-delta_k; k[2]:=k[0]+delta_k;
delta_w:=w[0]/10: w[1]:=w[0]-delta_w; w[2]:=w[0]+delta_w;
>
P1:=animate(cos(k[1]*x-w[1]*t)+cos(k[2]*x-w[2]*t), x=0..1*2*Pi/delta_k, t=0..2*Pi/delta_w,
numpoints=200, frames=15, color=red):
>
P2:=animate({2*cos(-1/2*k[1]*x+1/2*w[1]*t+1/2*k[2]*x-1/2*w[2]*t), -2*cos(-1/2*k[1]*x+1/2*w[1]*t+1/2*k[2]*x-1/2*w[2]*t)},
x=0..1*2*Pi/delta_k, t=0..2*Pi/delta_w, numpoints=100, frames=15, color=blue):
>
display(P1,P2);
Ce qui donne:

Figure: 42.4 - Représentation du concept de vitesse de phase et vitesse de groupe
À la différence de l'onde plane harmonique, cette
onde n'a pas un module constant: son module est nul dans certaines
zones. Par contre, elle s'étend toujours sur une distance
infinie, donc a une norme (somme de la probabilité sur tout
l'espace) infinie. Elle ne possède donc pas de sens physique.
L'étude précédente peut être étendue
en sommant un nombre N de plus en plus grand d'ondes planes
au voisinage de et .
Une telle superposition conduit à une fonction de plus en
plus localisée dans certaines zones de l'espace (en particulier
vers par
exemple pour ),
la distance entre ces zones augmentant proportionnellement avec N.
A la limite ,
alors seule la zone vers demeure,
les autres étant rejetées à l'infini. Le passage à cette
limite s'effectue
en remplaçant la somme discrète sur les ondes planes
par une sommation continue c'est-à-dire par une intégrale
de la forme:
(42.312)
avec:
(42.313)
avec donc:
et
(42.314)
Un tel paquet est donc appelé "paquet
d'ondes quasi-monochromatiques".
Cette expression peut se réécrire:
(42.315)
Il importe de comprendre que est
une fonction de k, donnée par l'équation de
dispersion. Nous allons faire le calcul de cette expression en
utilisant le fait que .
implique
que .
Il est possible d'effectuer un développement limité au
voisinage de :
(42.316)
où est
la vitesse de groupe. Alors:
(42.317)
Posons :
(42.318)
Calculons l'intégrale:
(42.319)
avec:
(42.320)
Soit:
(42.321)
Le dernier terme s'interprète à nouveau comme une
onde plane se déplaçant à la vitesse de phase:
(42.322)
L'amplitude de cette onde plane est donnée par une fonction
de type sinus cardinal. A ,
cette fonction sinc n'a des valeurs importantes que dans la zone:
(42.323)
Il s'agit donc d'une fonction bien localisée. En conséquence, est
une fonction de carré sommable. Le calcul donne:
(42.324)
La fonction peut donc être normalisée en posant donc:
(42.325)
Nous avons donc réussi à obtenir une fonction satisfaisant à la
fois l'équation de Schrödinger et la condition de normalisation,
grâce à l'emploi d'une somme infinie d'ondes harmoniques.
L'exemple que nous avons traité n'est qu'un cas particulier.
D'autres types de paquets d'ondes peuvent être obtenus en prenant
d'autres distributions pour les amplitudes des ondes planes qui
composent le paquet (nous avons supposé ici qu'elles avaient
toutes la même amplitude). Dès lors, la vitesse de groupe
est associée classiquement à la vitesse de la particule
de masse m et d'impulsion p.
Ainsi, le paquet d'ondes se déplace globalement à la
vitesse de groupe, qui s'identifie à la vitesse donnée
par la mécanique classique.
Les relations d'incertitude ont déjà été introduites
au début de ce chapitre de deux manières différentes.
Mais dans l'exemple du paquet d'ondes étudié au paragraphe
précédent, nous avons vu que la fonction est localisée
dans une zone d'extension (largeur à mi-hauteur):
(42.326)
Nous avons donc la relation:
(42.327)
Nous retrouvons ici une expression de type incertitude. Le coefficient
numérique pourrait être légèrement différent
suivant la définition choisie pour et ,
ou le type de paquet. Il pourrait en particulier être nettement
plus grand dans certains cas. Nous avons donc en fait une inégalité du
type:
(42.328)
En physique quantique, ces inégalités s'expriment
en fonction de l'impulsion p, reliées à k par .
Nous avons donc:
(42.329)
Ainsi, plus la quantité de mouvement (implicitement la longueur
d'ondre) d'un paquet d'ondes est définie avec précision, moins
il a de composantes et
plus il
est
étalé, ce qui augmente d'autant l'incertitude relative à sa position
et respectivement plus sa position est bien connue moins sa longueur
d'onde le sera.
Il ne s'agit donc pas d'incertitudes au sens de la mesure, et
qui seraient limitées par les appareils de mesure, mais
d'une propriété fondamentale intrinsèque,
liée à la représentation quantique d'une particule
selon le modèle mathématique proposé. Le modèle
de l'atome de Bohr est donc à rejeter pour les niveaux d'énergie
qui sont proches de cette égalité.
PUITS DE POTENTIEL A PAROIS RECTILIGNES
Prenons pour premier exemple, très important pour le chapitre
de Physique Nucléaire et pour les spécialistes des
semi-conducteurs, la résolution sous forme classique du
puits de potentiel à parois rectilignes, également
appelé "puits rectangulaire" (cet
exemple est vraiment très important, prenez vraiment votre
temps afin de le comprendre et de le maîtriser au mieux).
C'est l'exemple le plus simple d'une fonction ,
nulle à l'intérieur du puits et infiniment grande
sur les parois, distantes d'une longueur L.
Remarque: Lorsque  nous
disons que les parois sont parfaitement réfléchissantes.
Nous supposons une particule piégée dans ce puits.
Elle ne peut s'en échapper puisque les parois (c'est-à-dire
le potentiel U) ont une hauteur infinie. Mais à l'intérieur,
elle est libre de se déplacer sans faire d'interaction avec
les parois.
Cette configuration se traduit par les conditions aux limites
où l'énergie potentielle électrostatique est
notée U :
si 
si ou 
(42.330)
Il existe deux manières d'aborder problème. Voyons
les deux types de traitements car le premier permet d'avoir une
approche simpliste alors que le deuxième permet d'avoir
une approche plus générale qui nous sera utile par
la suite lors de notre étude de l'effet Tunnel:
1ère approche
L'équation de Schrödinger (classique):
(42.331)
a donc une solution simple respectant les conditions initiales
en une dimension, du type:
(42.332)
dont la dérivée seconde est:
(42.333)
Introduits dans l'équation de Schrödinger, nous obtenons
après quelques simplifications d'algèbre élémentaire:
(42.334)
Donc finalement la solution s'écrit:
(42.335)
à propos de laquelle il faut appliquer les conditions aux
limites (la solution en cosinus est en tout point similaire).
Si nous voulons pouvoir, par la suite, faire un parallèle
avec un (ou des) électron(s) piégé(s) dans
le puits du potentiel du noyau de l'atome (qui n'est par rectangulaire
lui!), nous sommes amenés aux considérations suivantes:
La stabilité des atomes suggère l'existence d'une
onde stationnaire électronique dans le puits. De plus, l'observation
montre que seuls certains niveaux d'énergie semblent autorisés
dans ce dernier.
Si nous faisons une similitude avec les cordes vibrantes, la fonction
d'onde de l'électron doit être telle que:
1. Pour et il
doit y avoir un noeud de vibration. Donc: 
2. La fonction d'onde doit
présenter un nombre entier de demi-longueur d'onde sur la
longueur L
3. Dans la boîte donc 
4. Si aux extrémités ( et ) alors
l'argument du sinus vaut 
Donc nous devons avoir:
(42.336)
d'où puisque l'énergie potentielle est nulle:
(42.337)
L'énergie totale de la particule s'échelonne donc
sur une suite discrète de valeurs, les seules permises.
La valeur de L est quant à elle déterminée à l'aide
du modèle de Bohr ou de Sommerfeld en fonction des cas (cf.
chapitre Physique Quantique Corpusculaire).
L'énergie totale de la particule ci-dessus est composée
des "valeurs propres" de
l'énergie dans le puits de potentiel.
Donc l'équation de Schrödinger permet de faire abstraction
du 3ème postulat de Bohr dans le sens où elle explicite
directement la notion de quantification des niveaux par des valeurs
entières (discrètes) solutions des conditions aux
limites d'un puits de potentiel considéré comme parfait.
Les fonctions d'onde correspondantes dans le puits où sont
donc:
(42.338)
Soit après simplification:
(42.339)
C'est l'expression d'une des solutions de l'équation pour
le puits de potentiel rectangulaire idéal. Ainsi, il
existe une suite discrète de fonctions d'onde solutions.
Ce sont les "fonctions propres" de
la particule.
La constante dans
cette expression est déterminée par la normalisation
de De Broglie (dont nous avions parlé au début de
ce chapitre), c'est-à-dire par la condition:
(42.340)
Nous trouvons alors (calcul d'intégration normalement élémentaire):
(42.341)
et l'expression finale de la fonction d'onde associée à la
valeur propre se
lit donc:
(42.342)
Certains physiciens ont pour habitude de noter cela sous forme
complexe en ne considérant bien évidemment que la partie réelle
de l'expression suivante (nous utilisons la "formule d'Euler" vue
lors de l'introduction aux complexes dans le chapitre des Nombres):
(42.343)
avec:
(42.344)
Nous disons alors que nous avons des "conditions
de quantification" sur k imposées
par les conditions aux limites.
Cette notation est parfois utile et nous l'utiliserons lors de
l'étude de l'effet tunnel dans le chapitre de Physique Nucléaire.
Nous pouvons déduire de l'expression obtenue, les propriétés
principales des fonctions d'onde décrivant les états
stationnaires de la particule dans une boîte:
1. La figure ci-dessous représente des fonctions et
des densités de probabilités pour
les premiers niveaux d'énergie :

Figure: 42.5 - Représentation des fonctions d'onde et densité pour quelques
niveaux d'énergie
Nous remarquons que (évidemment nous pourrions analyser
ceci de façon analytique et non graphique si nous le désirions),
en plus des points et , a
(n-1) zéros situés en:
avec
(42.345)
Ces points, où la fonction d'onde et la densité de probabilité sont
nulles, sont appelés "points
nodaux" ou simplement "noeuds" de
la fonction d'onde. Le nombre de noeuds augmente quand n augmente,
c'est-à-dire quand l'on passe à des états
de plus en plus excités. La fonction d'onde de
l'état fondamental à n = 1 et
donc avec:
(42.346)
n'a pas de noeud, celle du premier état excité d'énergie:
(42.347)
a un point nodal, celle du deuxième état excité a
deux points nodaux, etc...
La variation des propriétés nodales des fonctions
d'onde quand n varie traduit l'orthogonalité des états
stationnaires d'énergie différente. En effet, nous
vérifions aisément que est
nul quand :
(42.348)
où nosu avons utilisé une des relations trigonométriques
remarquables démontrées dans le chapitre de Trigonométrie.
2. Comme nous pouvons le voir sur la figure précédente,
la densité de probabilité associée à tout état
stationnaire de la particule est symétrique par rapport
au point médian 
Nous anticipons donc que la valeur moyenne de x sera
exactement égale à L/2 dans un tel état.
En effet nous avons vu dans le chapitre de Statistiques que l'espérance
(moyenne) d'un événement de probabilité P(x)
est définie par:
(42.349)
où x, E(x) et P(x)
n'ont pas d'unités (attention nous allons faire une analyse
dimensionnelle).
Or, en physique quantique E(x) et x sont
des grandeurs dimensionnelles identiques. Ce qui signifie que les
dimensions de P(x) doivent annuler celles de dx.
Ainsi, nous devinons suite à l'étude des conditions
de normalisation de De Broglie que:
(42.350)
est une probabilité linéique de présence
de la particule.
Le domaine d'intégration étant [0; L] nous
avons finalement:
(42.351)
3. Également sans démonstration car ce résultat
est trop évident (si jamais il ne l'est pas pour vous dites-le
et nous ajouterons le développement comme pour tout autre
chose dans ce site d'ailleurs), la quantité de mouvement
le long de x est nulle: 
4. Nous pouvons par ailleurs vérifier sans trop de peine
que ce que nous avons vu lors de l'énoncé du 2ème
postulat se vérifie bien dans cet exemple. C'est-à-dire
que les fonctions propres de l'onde sont reliées à l'opérateur
hamiltonien via les valeurs propres de l'énergie:
(42.352)
Effectivement, dans notre exemple, cela donne:
(42.353)
voilà... pour la première approche du problème.
Voyons maintenant la deuxième:
2ème approche
Nous avons donc l'équation de Schrödinger dans le cas unidimensionnel:
(42.354)
Dans les régions situées en dehors de la boîte
où le potentiel est infini, nous avons:
(42.355)
Soit:
(42.356)
ce qui donne:
(42.357)
Ainsi, les fonctions d'onde sont nulles dans les régions
où le potentiel est infini.
Considérons maintenant le cas du puits où puisque le potentiel électrostatique
est nul, l'équation de Schrödinger se réduit à:
(42.358)
C'est donc une équation différentielle linéaire
d'ordre 2 avec des coefficients constants, équation qu'il
est relativement aisé de résoudre dans le cas général
(cf. chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral). Soit l'équation:
(42.359)
En nous aidant des résultats obtenus lors du traitement
de la solution particulière, supposons que la fonction y qui
satisfait cette équation différentielle soit de la
forme .
Nous avons alors:
ou
(42.360)
pourvu, bien sûr, que .
Cette dernière relation est donc l'équation quadratique
auxiliaire de l'équation différentielle (polynôme
caractéristique). Elle a deux solutions/racines (c'est une
simple résolution d'un polynôme du deuxième
degré) que nous noterons dans le cas général .
Ce qui signifie que:
et
(42.361)
est satisfait pour les deux racines. Si nous faisons la somme
puisque les deux sont égales à la même constante:
(42.362)
Ainsi, il est immédiat que la solution générale
de y est du type:
(42.363)
où le lecteur devrait normalement sans peine pouvoir vérifier
que l'ajout des constantes A et B ne change en rien
les développements des paragraphes précédents.
Dans le cas qui nous occupe:
(42.364)
L'équation quadratique est:
(42.365)
soit:
(42.366)
Donc finalement la solution générale est de la forme:
(42.367)
Posons maintenant:
(42.368)
Nous avons alors:
(42.369)
avec:
et
(42.370)
Il faut maintenant déterminer A' et B' en
utilisant les conditions aux limites. Ainsi, en x=0 et x=L nous
devrions avoir et
nous avons pour x=0:
(42.371)
Le coefficient A' doit donc être nul. Et en x=L nous
devrions avoir:
(42.372)
Mais dans ce cas, B' doit être différent de zéro.
En effet, s'il était nul, la fonction d'onde serait nulle
dans tout le puits ce qui est contraire à la réalité physique
du problème. Il faut donc que ce soit le sinus qui soit
nul, ou encore que son argument soit égal à un multiple
d'un nombre entier non nul d'angle tel
que:
(42.373)
Donc:
(42.374)
Nous retrouvons donc exactement le même résultat que la
méthode précédente.
Il reste à déterminer B et la méthode
est exactement identique à la première méthode
de résolution que nous avons vue plus haut. Ainsi, nous
avons bien:
(42.375)
Ce qui est important surtout dans cette méthode, c'est
de se souvenir pour plus tard de la forme générale
de la solution:
(42.376)
ÉNERGIE DE FERMI
L'énergie de Fermi, ,
est un concept en physique quantique qui désigne l'énergie
du plus haut état quantique occupé dans un système
idéalisé où toutes les couches se remplissent successivement et
sans discontinuités, c'est-à-dire en pratique lorsqu'un système
est au zéro absolu: 0 [K] (cf.
chapitre de Mécanique Statistiques).
Le mur de potentiel rectiligne est un excellent moyen
pédagogique d'introduire pratiquement le niveau d'énergie de Fermi
pour ensuitre l'étendre à d'autres cas particuliers.
Rappelons donc que nous venons d'obtenir de deux
manières différentes:
(42.377)
Alors l'énergie totale de tout un système composé
de N particules pouvant prendre toutes le même état fondamental
n = 1 et violant donc le principe de Pauli sera:
(42.378)
Mais si nous appliquons le principe d'exclusion de
Pauli des électrons (fermions), chaque niveau ne peut alors dans
ce modèle (qui ne contient pas de sous-couches ou autres subtilités)
prendre que deux états (oppostions de spin). Dès lors, chaque
le niveau fondamental ne peut être occupé que par deux états et
il en est de même de chaque niveau. L'énergie totale est alors:
(42.379)
En utilisant la somme des carrées démontrée dans
le chapitre de Suites Et Séries et en notant comme il est d'usage:
(42.380)
Nous avons alors:
(42.381)
L'énergie moyenne par particule est alors:
(42.382)
Par définition, l'énergie du dernier niveau a être
occupé est celui de Fermi et donc donné par:
(42.383)
Nous remarquons que nous avons quel que soit N:
(42.384)
OSCILLATEUR HARMONIQUE
L'étude de l'oscillateur harmonique correspondant à celle
d'une fonction d'onde coincée dans un puits de potentiel
parabolique. Ce qui est assimilable grosso modo aux atomes où les
parois du puits de potentiel ne sont naturellement pas rectangulaires
et infinies... L'étude qui va suivre est donc ce qui est
le plus proche de ce qui est disponible dans la Nature au niveau
atomique.
Dans le cas d'une particule libre en déplacement rectiligne,
nous avons vu que l'énergie potentielle est nulle et
l'équation de Schrödinger devient alors:
(42.385)
Cependant, pour une particule libre (en l'absence de champ de
potentiel) l'énergie totale est donc égale à l'énergie
cinétique:
(42.386)
Mais nous avons:
(42.387)
Le rapport:
(42.388)
étant la longueur d'onde associée de De Broglie.
En introduisant le nombre d'onde (cf.
chapitre de Mécanique Ondulatoire), nous avons:
(42.389)
appelée "relation de De Broglie".
Finalement:
(42.390)
Dès lors, l'équation de Schrödinger peut s'écrire:
(42.391)
Nous voyons par substitution directe que cette équation
différentielle admet pour solutions les fonctions d'onde:
et
(42.392)
Ces deux différentes solutions représentent le déplacement
d'une même particule une fois dans la direction +x et
l'autre dans -x. Si nous
avons:
(42.393)
Le fait que ce résultat soit égal à l'unité,
signifie que la probabilité de trouver la particule est
la même en tout point. En d'autres termes, décrit
une situation dans laquelle l'incertitude sur la position est totale.
Ce résultat est en accord avec le principe d'incertitude
puisque décrit
une particule dont nous connaissons avec précision la quantité mouvement :
c'est-à-dire que ,
ce qui implique .
Dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral
nous avons montré que la solution la plus générale
d'une équation différentielle est la somme de ces
solutions. Autrement dit dans notre exemple:
(42.394)
avec:
(42.395)
Au fait, nous pouvons remarquer que si alors
le résultat est le même à la différence près
que nous aurons:
(42.396)
Lorsque la particule qui nous intéresse se trouve dans
un puits de potentiel décrit par la fonction (parabole):
(42.397)
nous parlons alors "d'oscillateur harmonique".
Ce système est très important car l'hamiltonien
de l'équation intervient dans tous les problèmes
mettant en jeu des oscillations telles que vibrations moléculaires
et cristallines (cf. chapitre de Chimie Quantique).
Prenons d'abord comme exemple l'oscillateur harmonique classique
qui consiste en un corps assujetti à se déplacer
le long d'un axe et soumis à une force de rappel proportionnelle à la
distance à un point situé sur cet axe.
L'équation de ce corps est régie par l'équation
de la dynamique:
(42.398)
Nous avons vu en mécanique classique que la solution générale
de cette équation est:
(42.399)
avec comme pulsation:
(42.400)
L'énergie totale du système étant l'hamiltonien
classique, nous écrivons:
(42.401)
Il s'ensuit au vu de l'expression de l'énergie potentielle
que la constante que nous avions dans la relation de départ
qui définissait la puits de potentiel parabolique:
(42.402)
est simplement k et dès lors:
(42.403)
mais que nous noterons pour la suite et par tradition sous la
forme suivante:
(42.404)
Maintenant revenons à notre cadre quantique. De ce point
de vue nous avons pour hamiltonien (ou énergie totale):
(42.405)
où donc pour rappel suite à ce que nous venons de
voir:
(42.406)
En utilisant ce que nous définissons comme une "écriture
réduite", nous écrivons:
(42.407)
où les opérateurs quantité de mouvements et positions réduits
sont respectivement:
et
(42.408)
et où nous avons remplacé la constante par identiquement à l'oscillateur
harmonique classique (cf. chapitre de Mécanique
Classique).
Il est plus ou moins facile d'obtenir la relation de commutation:
(42.409)
Démonstration:
Rappelez-vous de la relation ci-dessous que nous avons vue lors
de notre étude des opérateurs linéaires fonctionnels
au début de ce chapitre:
(42.410)
Étudions les propriétés des commutateurs
avec la quantité de mouvement. Nous avons démontré également
plus haut la relation ci-dessous:
(42.411)
En multipliant cette dernière par ,
il vient:
(42.412)
que nous pouvons également écrire:
(42.413)
Si vous vous rappelez de la définition des commutateurs ,
nous avons:
(42.414)
Nous avons donc pour notre oscillateur:
et
(42.415)
écrivons la définition du commutateur:
(42.416)
Donc:
(42.417)
c'est ce qu'il fallait démontrer...
Nous avons maintenant intérêt pour résoudre l'équation
différentielle d'utiliser les opérateurs non hermitiques définis
(c'est une définition donc ne cherchez pas trop loin):
(42.418)
Ce qui nous définit donc les opérateurs (en posant
temporairement ):
(42.419)
qui sont des des combinaisons linéaires des opérateurs position
et quantité de mouvement et ne sont trivialement pas hermitiques.
Nous retrouvons ces deux opérateurs très fréquemment
en physique quantique et les physiciens parlent alors de "l'opérateur
de création" et
de "l'opérateur de destruction" a
(appelé aussi "opérateur
d'annihilation").
Compte tenu de la relation de commutation, nous vérifions:
et
(42.420)
Démonstration:
(42.421)
et:
(42.422)
et d'autre part:
(42.423)
Démonstration:
(42.424)
et donc en divisant par 2 des deux côtés de l'égalité,
nous avons:
(42.425)
Revenons à la relation:
(42.426)
Utilisons:
(42.427)
où il apparaît que N peut être
vu comme un opérateur, appelé "opérateur
compteur" (hermitique) puisque:
(42.428)
Il suffit alors de quantifier l'opérateur compteur pour les connaître
les valeurs propres et les états propres de H puisque
ces deux sont éléments sont liés alors par:
(42.429)
Nous faisons maintenant l'hypothèse que est
une fonction propre de N associée à la valeur
propre n, telle que:
(42.430)
Cette hypothèse est très importante car nous allons
nous en servir comme principe d'induction pour trouver toutes les
fonctions propres à partir de la fondamentale!
Établissons maintenant des relations de commutation entre N et
les opérateurs a ou .
Pour cela, multiplions d'abord le
tout par ,
nous obtenons:
(42.431)
De même en multipliant par a,
nous obtenons:
(42.432)
Puisque selon notre hypothèse et n sont
respectivement fonction et valeur propre de N, nous pouvons écrire:
(42.433)
Or, nous avons:
(42.434)
qui multipliée à droite par la fonction d'onde donne
la relation:
(42.435)
Cette équation entraîne les conséquences suivantes:
- Ou bien tel
que 
- Ou bien est
fonction propre de N pour la valeur propre n-1
!!
Le même raisonnement établirait que est
fonction propre de N pour la valeur propre n+1,
si elle n'est pas nulle (nous verrons plus loin que n'est
jamais nulle):
(42.436)
Cette relation est importante car si n'est
pas nulle pour une fonction propre donnée elle ne le sera
pas non plus pour les autres fonctions propres de valeur propre n+1
!!
Nous savons qu'il existe une valeur propre plus
petite que toutes les autres correspondant au niveau fondamental
(d'après le modèle de Bohr-Sommerfeld cette valeur
propre existe toujours).
Nécessairement, sa fonction propre obéit à la
relation (le lecteur pourra vérifier avec les résultats
plus loin):
(42.437)
sinon quoi serait
valeur propre et il y aurait contradiction.
En multipliant cette dernière relation par nous
obtenons:
(42.438)
ce qui montre que la valeur propre minimale est
nulle. Nous connaissons donc le niveau fondamental de l'oscillateur:
(42.439)
Remarque: Il faut noter que l'oscillateur
n'est jamais dans un état de repos (mettre n =
0 dans l'expression de l'énergie plus haut) ce qui veut
aussi dire que le zéro absolu ne peut pas être accessible
puisque la température "chiffre" l'agitation atomique,
or le repos n'existe pas!
Pour obtenir la fonction propre correspondante, nous avons besoin
de l'expression explicite de a. D'après:
et
(42.440)
nous avons:
et
(42.441)
ce qui nous donne:
(42.442)
car rappelons-le:
(42.443)
d'où:
(42.444)
Mais d'après :
(42.445)
d'où:
(42.446)
soit (résolution d'une simple équation différentielle):
(42.447)
Nous devons envisager, en réalité, comme
fonction de x par le biais de la coordonnée réduite Q.
D'après:
(42.448)
en introduisant la longueur A:
(42.449)
avec:
(42.450)
et comme:
(42.451)
Il vient alors:
(42.452) et
(42.453)
Nous allons vérifier si nous satisfesons la condition de
normalisation de De Broglie, sinon quoi il sera nécessaire
d'introduire une constante multiplicative. Nous avons alors:
(42.454)
et donc nous devons avoir:
(42.455)
Il est loisible de choisir la constante réelle et positive,
nous avons finalement:
(42.456)
Corollaire...: D'après ce que nous avons vu précédemment,
en faisant agir sur (explicitement
nous faisions référence au résultat ),
nous obtenons les fonctions propres de N pour les valeurs
propres entières 1, 2, etc. Nous vérifierons plus
loin que nous épuisons ainsi toutes les valeurs propres
de N.
Il reste à construire les autres fonctions propres et à les
normer. En effet, si est
fonction propre normée associée au niveau ,
nous avons vu plus haut que est
fonction propre associée au niveau n+1 (l'opérateur
de création fait
augmenter l'énergie d'où son
nom...), mais il n'y a pas de raison de la normer à nouveau
puisqu'elle est justement associée à une fonction
propre déjà normée.
Nous pouvons écrire:
(42.457)
étant
un coefficient à déterminer. Exprimons le fait que est
déjà normée:
(42.458)
Soit en tenant compte de la relation nous
avons:
(42.459)
Rappelons que donc:
(42.460)
Nous venons de vérifier au passage que n'est
jamais nul (fait que nous avions supposé plus haut).
Toutes les fonctions (sauf déjà fixée)
ont un facteur de phase arbitraire (notion que nous avons vues
lors de la définition des états liés et non
liés), indépendamment les unes des autres, l'argument
de reste
donc à notre disposition et nous choisirons réel
positif. Cela fixe toutes les :
(42.461)
En itérant cette relation sur la fonction d'onde, nous
obtenons aisément (algèbre élémentaire):
(42.462)
soit en tenant compte des relations suivantes (que nous avons déjà démontrées
précédemment):
et
(42.463)
Nous avons alors:
(42.464)
Cette équation prend une forme plus simple, en s'appuyant
sur la relation:
(42.465)
Vérification:
(42.466)
soit, en langage d'opérateurs:
(42.467)
Ainsi:
(42.468)
Nous obtenons ainsi l'expression de :
(42.469)
Par ailleurs, dans la théorie mathématique des familles
de polynômes orthogonaux, nous rencontrons les "polynômes
d'Hermite" définis
par:
(42.470)
Ce sont des polynômes de degré n, pairs
ou impairs ( ).
En les employant, nous allégeons la relation précédente
qui devient:
(42.471)
Soit explicitement:
(42.472)
Ces polynômes constituent donc une base orthonormée
de l'état quantique global et apparaissent donc naturellement
dans l'expression générale des fonctions/états
propres.
Finalement nous avons:
Tableau: 42.2 - Fonctions et énergies propres de l'oscillateur harmonique pour n=1..3
Avec la non moins fameuse représentation graphique avec à gauche
les fonctions propres associées et à droite
la probabilité de présence:

Figure: 42.6 - Représentation des fonctions propres et fonctions de densité de
quelques niveaux d'énergie
On peut facilement obtenir la partie de gauche avec Maple 4.00b
(l'exemple est non normalisé d'où l'abscisse qui
est un peu spéciale par rapport à la figure ci-dessus!):
>m:=1;omega:=1;h:=1;
>plot([(sqrt(m*omega*Pi/h))^0.5*exp(-m*omega*x^2/(2*h)),(1/2*sqrt(m*omega*Pi/h))^0.5*2*sqrt(m*omega/h)*x*exp(-m*omega*x^2/(2*h)),1/8*sqrt(m*omega*Pi/h)^0.5*(4*m*omega/h*x^2-2)*exp(-m*omega*x^2/(2*h)),(1/48*sqrt(m*omega*Pi/h)^0.5*(8*(m*omega/h)^(2/3)*x^3-12*sqrt(m*omega/h)*x)*exp(-m*omega*x^2/(2*h)))],x=-6..6);
En analysant ces fonctions d'ondes, nous retrouvons de nombreux
résultats classiques: la particule dans le puits de potentiel
a une probabilité de présence plus élargie
si elle a une énergie plus haute (une bille au fond d'un
puits va monter plus haut sur les bords si elle a plus d'énergie), la
particule a plus de chance se retrouver sur ces positions éloignées
du centre du puits (la bille a une vitesse d'autant plus petite
qu'elle est haut dans le puits: elle va donc passer beaucoup plus
de temps en hauteur qu'au fond du puits).
Pour tous les calculs où des particules sont dans un puits de
potentiel, l'approximation harmonique est très intéressante.
Par exemple, si nous souhaitons étudier un "piège
harmonique" à deux dimensions, soit condensat
de Bose-Einstein 2D (cf. chapitre de Mécanique
Statistique) nous pourrons poser l'hamiltonien suivant pour
débuter l'étude (en analogie avec celui à une
dimension utilisé plus haut):
(42.473)
EFFET TUNNEL
L'effet tunnel désigne la propriété que possède
un objet quantique de franchir une barrière de potentiel,
franchissement impossible selon la mécanique classique.
Généralement, la fonction d'onde d'une particule,
dont le carré du module représente l'amplitude de
sa probabilité de présence, ne s'annule pas au niveau
de la barrière, mais s'atténue à l'intérieur
de la barrière, pratiquement exponentiellement pour une
barrière assez large comme nous le démontrerons.
Si, à la sortie de la barrière de potentiel, la particule
possède une probabilité de présence non nulle,
elle peut donc traverser cette barrière.
L'étude théorique de ce phénomène
est d'une importance cruciale dans la théorie des semi-conducteurs
et de la désintégration en physique nucléaire.
Il convient donc d'y accorder une attention bien particulière!
La barrière quantique de largeur L sépare
dans les cas simples l'espace en trois, dont les parties gauche
et droite sont considérées comme ayant des potentiels
constants jusqu'à l'infini. La partie intermédiaire
constitue la barrière, qui peut être compliquée,
révélant un profil doux, ou au contraire formé de
barrières rectangulaires, ou autres éventuellement
en séries.
Étudions maintenant le cas de systèmes où l'énergie
potentielle (implicitement
le potentiel y relatif) tend vers des limites finies, non forcément égales
quand .
Il s'agit donc d'un problème d'états non liés.
D'abord, nous définissons une région I loin à gauche
où sera
notée:
(42.474)
une région III loin à droite où sera
notée:
(42.475)
En se bornant aux situations les plus simples, il y a trois possibilités
relativement aux relations données précédemment:
puits de potentiel (a), marche de potentiel (b), barrière
de potentiel (c) comme représentés dans l'ordre énoncé sur
la figure ci-dessous:

Figure: 42.7 - Types classiques de variation de potentiel
Maintenant, écrivons l'équation de Schrödinger:
(42.476)
Dans les régions I et III de la barrière de potentiel,
l'idée est que est
constant et positif donc l'équation différentielle
peut s'écrire en une dimension:
(42.477)
nous obtenons ainsi très simplement l'expression analytique
de dans
ces régions sous forme générale:
(42.478)
Nous trouvons ces deux expressions de façon identique que
lors de notre étude du puits de potentiel à parois
rectangulaires, à la différence que nous avons écrit
ci-dessus les solutions générales de l'équation
différentielle (cf. chapitre de Calcul
Différentiel Et Intégral) sans en déterminer
les coefficients (car nous nous intéressons ici à une
généralisation).
Ainsi, dans l'étude du puits à parois rectangulaires
plus haut nous avions déjà déterminé que:
et
(42.479)
Remarques:
R1. Nous voyons que les nombres d'ondes k sont
donc proportionnels à la racine de l'énergie cinétique.
Et comme l'énergie cinétique est proportionnelle à la
vitesse au carré des particules, il vient alors que la
vitesse est proportionnelle au nombre d'onde (et réciproquement)!
R2. Dans certains ouvrages, pour simplifier les
notations, le potentiel dans les régions I et
III et posé comme référence et donc égalisé à 0.
Il disparaît donc des deux expressions précédentes
et cela a pour effet d'égaliser les deux nombres d'ondes
qui sont alors notés simplement k.
Dans la région II, l'idée est que est
négatif et constant donc l'équation différentielle
peut s'écrire en une dimension:
(42.480)
et comme nous l'avons vu lors de notre étude
du puits de potentiel rectangulaire infini selon la 2ème
approche, la solution est alors de la forme:
(42.481)
avec:
(42.482)
Remarque: La parenthèse sous
la racine de la relation précédente doit donc être
positive. Or cela signifierait que l'énergie cinétique
de la particule est négative... Pour pallier à ce
problème dans le cadre de ce modèle simplifié,
on dit que la particule n'a pas le droit d'exister dans la barrière
et qu'elle empreinte de l'énergie au vide. Mais il y a d'autres
modèles plus complexes qui ne nécessitent pas ce
genre de fantaisies.
Nous obtenons ainsi très simplement l'expression analytique
de dans
les trois régions sous forme générale:
(42.483)
Supposons maintenant que nous ayons à (région
I), une source de particules (qui les envoie vers la droite), avec
une énergie cinétique valant évidemment .
Ainsi, ces particules ont une énergie et
la fonction d'onde qui les décrit obéit à l'équation
de Schrödinger. Dans la région III, il sera supposé qu'il
ne peut exister que des particules allant vers la droite (pas de
source à ,
par hypothèse).
La région III, comme du reste la région I, est d'étendue
infinie, donc le principe d'incertitude nous permet de parler en
théorie d'une quantité de mouvement parfaitement
déterminée que nous noterons p'.
Nous savons que (c'est de la mécanique classique!) dans
la région III nous avons alors:
(42.484)
Si alors p'
est positif, donc grâce à la relation précédente
et à la relation de De Broglie nous avons:
(42.485)
Soit:
(42.486)
Les nombres d'onde étant maintenant connus formellement
revenons à l'interprétation de la solution III:
(42.487)
L'hypothèse comme quoi les particules viennent de la gauche
nous impose pour
que la solution décrive uniquement des particules qui vont
vers la droite. Ensuite, il est loisible, pour celles venant de
la gauche, de prendre .
La région III est donc relativement simple d'analyse...
Remarque: Les conditions et hypothèses
utilisées précédemment sont souvent appelées "conditions
de scattering".
Les constantes A et B de la région I
vont être elles complètement déterminées
en effectuant le raccord des solutions d'une région à l'autre.
Intéressons-nous donc maintenant à l'interprétation
de l'équation dans la région I:
(42.488)
Il est évident que décrit
des particules qui, dans la région I, se dirigent vers la
droite alors décrit
des particules qui, dans cette même région, se dirigent
vers la gauche. Comme nous le savons, les premières sont
les particules incidentes, les secondes sont les particules réfléchies.
Ce que nous demandons à la physique quantique apparaît
maintenant d'une façon claire: une particule arrivant de
la gauche (incidente) peut soit:
1. Continuer vers la droite, c'est-à-dire franchir la région
II et devenir une particule transmise
2. Retourner vers la gauche et devenir une particule réfléchie.
Nous sommes amenés à définir un "coefficient
de transmission" T assimilé à la
probabilité qu'a la particule incidente de franchir la
région II et un "coefficient
de réflexion" R, probabilité qu'a
la particule incidente d'être réfléchie. Nous devons
avoir:
(42.489)
Dans le cas d'une barrière de potentiel, T est également
appelé la "transparence de la
barrière".
Pour calculer R et T, nous définirons
les flux courants des diverses catégories de particules
(incidentes, transmises, réfléchies).
Par exemple, puisque les particules incidentes sont décrites
par ,
le nombre moyen de ces particules, par unité de longueur
dans la région I, doit certainement être proportionnel à un
facteur près à .
Soit leur
vitesse, nous voyons que le courant des particules incidentes ,
est alors proportionnel à un facteur près à (analyse
dimensionnelle). Ainsi, le coefficient de proportionnalité étant
de même nature pour les trois catégories de particules (incidentes i,
réfléchies j, transmises t) et
du fait que et sont
proportionnels à et ,
il s'ensuit que (courants
incident et réfléchi) et (courant
transmis) sont respectivement proportionnels (donc toujours à un
facteur dimensionnel près!) à , et (puisque
rappelons que pour la région III nous avons trouvé A'=1
et B'=0).
Nous déduisons de là très simplement, par
un simple rapport, les expressions des coefficients de réflexion R et
de transmission T:
(42.490)
et comme dans notre cas particulier il
vient:
(42.491)
Une autre façon d'écrire les choses est de dire
que puisque l'onde incidente se résume à:
(42.492)
et l'onde transmise à:
(42.493)
alors:
(42.494)
Dans toutes ces situations, la théorie quantique conduit,
en général, à des valeurs de R et T petites,
mais pas nulles !
Exemples:
Déterminons l'expression explicite de la transparence pour
notre exemple de barrière rectangulaire.
Pour cela, nous savons que nous devons imposer la continuité de en et ,
ainsi que la continuité de en et .
Donc rappelons d'abord que nous avons les trois relations (en
mettant la référence du potentiel à 0):
(42.495)
avec donc:
et
(42.496)
Nous avons alors pour la continuité de en et :
(42.497)
ainsi que la continuité de en et :
(42.498)
Puisque B' est nul nous avons un système de 4 équations à 5
inconnues:
(42.499)
Nous allons choisir d'exprimer toutes les constantes à partir
de A. Pour cela nous multiplions la première ligne
par ik et la sommons à la deuxième ligne.
Nous avons alors:
(42.500)
et ensuite nous multiplions la troisième ligne par -ik et
la sommons à la quatrième ligne. Nous avons alors:
(42.501)
Nous avons donc les deux relations:
(42.502)
ou en posant :
(42.503)
De la deuxième relation, il vient:
(42.504)
et injecté dans la première:
(42.505)
Soit:
(42.506)
Nous avons alors:
(42.507)
et si nous notons:
(42.508)
Il vient alors:
(42.509)
De même en repartant de:
(42.510)
De la deuxième relation, il vient:
(42.511)
et injecté dans la première:
(42.512)
Soit:
(42.513)
Nous avons alors:
(42.514)
et notons toujours:
(42.515)
Il vient alors:
(42.516)
Notez que nous avons aussi:
(42.517)
Nous pouvons maintenant exprimer les constantes A' et B en
fonction de A à l'aide des relations précédentes:
(42.518)
et:
(42.519)
Donc finalement nous avons:
(42.520)
Et donc alors:
(42.521)
en utilisant les propriétés du module complexe (cf.
chapitre Nombres):
(42.522)
Il ne nous reste donc plus qu'à calculer:
(42.523)
Donc:
(42.524)
Nous avons donc:
(42.525)
Or, comme:
(42.526)
si (donc à l'échelle
atomique c'est plutôt K qui est immense relativement à L)
nous avons:
(42.527)
Donc:
(42.528)
relation qu'on retrouve très souvent (sans démonstration
détaillée) dans de nombreux ouvrages. Ci-dessous
nous avons tracé T:

Figure: 42.8 - Représentation graphique du coefficient T avec Matlab
5.0.0.473
selon la relation:
(42.529)
Nous constatons que le coefficient T est très sensible
(exponentiellement) à une faible variation la largeur de
la barrière, a, lorsque le potentiel de cette barrière
est faible. Nous pourrons donc visualiser des sites atomiques,
par exemple dans du silicium, en utilisant une pointe très
proche du matériau à observer. C'est le principe
du microscope à effet tunnel où en approchant une pointe
conductrice taillée très finement (quelques atomes
seulement) à une proximité d'environ 5 Angströms
d'une surface conductrice, et en imposant une différence
de potentiel de quelques mV, on mesure un courant de quelques
nanoampères. Le nombre d'électrons qui passent à travers
la barrière de potentiel (ici c'est le vide entre les deux électrodes
conductrices) diminue de manière exponentielle avec la largeur
de la barrière. En analysant le signal d'erreur d'un asservissement
sur le courant passant dans le circuit, on peut avoir accès à une
cartographie très précise de la surface mesurée
de l'ordre de 0.1 Angströms en vertical.
Nous remarquons également selon la relation obtenue que
les particules légères comme les électrons
ont une probabilité plus grande de faire un effet tunnel
que les particules plus lourdes à cause du terme de masse.
En utilisant la relation obtenue précédemment, on
peut assez simplement calculer la probabilité qu'a un être
humain de masse m de traverser un mur avec une hauteur h (donc
facile de calculer l'énergie potentielle) et une épaisseur a.
La probabilité est de l'ordre de ....
Ceci dit, l'exemple le plus célèbre d'effet tunnel
pouvant être traité est celui de l'émission de particules par
des noyaux lourds radioactifs dont l'explication a été donnée
par le physicien russe G. Gamov en 1928.
La démonstration est relativement simple mais comme elle
constitue un cas pratique particulier, nous ne souhaitons pas la
détailler dans ce chapitre mais dans celui de Physique Nucléaire.
Cependant, pour résoudre ce problème il faut utiliser
une méthode d'approximation connue sous le nom de méthode
W.K.B. du nom des physiciens Wentzel, Kramers et Brillouin.
Les résultats donnent dès lors un facteur de transmission T pour
la particule de:
(42.530)
pour l'atome d'Uranium .
Par ailleurs, dans l'approximation semi-classique, la particule a,
dans le puits, une vitesse de l'ordre de et
elle effectue des allers-retours dans un noyau dont le rayon est
de l'ordre de .
Elle effectue donc environ oscillations
par seconde où chaque fois elle a une probabilité T de
franchir la barrière de potentiel. Cette probabilité par
unité de temps est ainsi déterminée par:
(42.531)
Expérimentalement, nous trouvons:
(42.532)
le modèle présenté donne donc des résultats
assez satisfaisants.
Outre cet exemple technique, nous rencontrons le phénomène
d'effet tunnel aussi dans un cas beaucoup plus accessible et très
pédagogique. Ainsi, lorsque sous condition de réflexion
totale d'un faisceau de lumière, nous approchons un autre
prisme (sur la face du prisme où aucun rayon de lumière
ne sort ni ne rentre) de manière à produire une lame
d'air suffisamment mince, un faible rayon transmis est observé.
PRINCIPE DE SUPERPOSITION
La notion d'état dynamique d'un système classique
joue un rôle capital dans la dynamique analytique classique.
Est-il possible de retrouver cette notion lorsque nous avons affaire à un
système quantique, c'est-à-dire un système
tel qu'un atome, un noyau ou une molécule, bref un système
de la microphysique?
À première vue non, car nous savons que l'on définit
l'état dynamique d'un système classique par la donnée
des coordonnées généralisées et
des moments conjugués à un
instant donné (cf. chapitre de Mécanique
Analytique). Or, le principe d'incertitude s'oppose à cette
procédure dès que nous sommes dans le domaine de
la microphysique, vu l'impossibilité de mesurer avec précision
les et .
Cela est particulièrement clair lorsque le système
se réduit à une seule particule que nous décrivons
par ses coordonnées cartésiennes  et
les composantes de sa quantité de mouvement  .
Fort heureusement, il existe une autre définition de l'état
dynamique d'un système qui s'applique indifféremment
aux systèmes classiques et quantiques et qui, dans le cas
des premiers, s'identifie avec la définition habituelle.
Nous allons donner cette définition en nous appuyant sur
une brève théorie des ensembles de systèmes
identiques.
Si nous avons un ensemble (E) d'un très grand
nombre de systèmes identiques, nous ferons une enquête statistique
pour caractériser cet ensemble de la façon suivante:
nous prenons un système de l'ensemble, nous mesurons une
variable dynamique (coordonnée, composante de quantité de
mouvement, énergie cinétique, etc.) et nous rejettons
le système (qui perturbé par la mesure, ne doit pas être
réincorporé à l'ensemble). Nous dressons ainsi
un bilan qui se traduit par des fonctions de distribution de toutes
les variables dynamiques possibles. Cela permet de définir
sans ambiguïté la notion d'identité:
Définition: Deux ensembles sont identiques,
si les bilans des résultats des mesures sont les mêmes pour
les deux.
Considérons maintenant un ensemble unique (E).
Est-il possible de le réaliser par juxtaposition de deux
ensembles non identiques et ?
Ce qui permettrait d'écrire:
(42.533)
Si oui, nous dirons que (E) est un mélange. Inversement,
au moyen d'un tri convenable, un mélange peut être décomposé en
deux sous-ensembles différents. Si non, nous dirons que
(E) est un ensemble pur. Tout tri décomposera l'ensemble
pur en deux sous-ensembles identiques entre eux et nécessairement
avec (E) ! Nous convenons alors de dire que tous les systèmes
d'un ensemble pur sont dans le même état dynamique et que
deux ensembles purs différents donnent lieu à des états
dynamiques différents. Il va de soi que les systèmes
constituant un mélange seront eux dans des états
dynamiques différents.
Supposons maintenant que les systèmes étudiés
obéissent aux lois de la mécanique classique. Si
les systèmes d'un ensemble présentent des jeux différents,
nous les trions en les groupant par systèmes ayant tous
un même jeu .
Nous vérifions bien que la nouvelle définition de
l'état dynamique coïncide avec la définition habituelle.
Notons ce fait évident, mais important (par opposition avec
les systèmes quantiques): dans un ensemble pur de systèmes
classiques, c'est-à-dire pour un état dynamique donné,
toute variable dynamique est bien déterminée. En
effet, en mécanique analytique classique, une telle variable
est une fonction des et et,
de ce fait, présente une valeur unique.
Passons aux systèmes quantiques. Il est maintenant possible
de définir pour ceux-ci un état dynamique, mais tout
de suite nous voyons une distinction fondamentale avec la mécanique
classique. En effet, dans un ensemble pur de systèmes quantiques,
c'est-à-dire pour un état dynamique donné,
une variable dynamique n'est pas, en général, bien
déterminée. Quand nous la mesurons sur des systèmes
extraits de l'ensemble pur, on ne trouve généralement
pas comme résultat, une valeur unique, mais une distribution
de valeurs.
L'indétermination qui règne sur la valeur d'une
variable dynamique dans un état dynamique donné est
donc de nature purement quantique et il convient de bien la distinguer
de l'indétermination d'origine statistique qui se manifeste
dans un mélange, qu'il s'agisse de systèmes classiques
ou quantiques.
Le formalisme de la physique quantique ne peut s'édifier
que si nous savons décrire mathématiquement les états
dynamiques et les variables dynamiques. Nous avons vu que nous
ne pouvons attendre de ce formalisme une prédiction précise
comme en mécanique classique, mais, simplement les probabilités
d'obtenir telle ou telle valeur, lorsque nous mesurons une variable
dynamique sur un système dont l'état dynamique est
donné.
Toute la théorie que nous avons vue jusqu'ici nous permet
de conclure jusqu'ici que les états dynamiques d'un système
d'une particule sans spin sont décrits par des fonctions
d'onde complexes, non nulles partout.
Si nous appliquons cette condition aux systèmes dynamiques,
nous avons alors le postulat suivant:
Soient deux états dynamiques différents, décrits
par des fonctions d'onde et ,
nécessairement non proportionnelles. étant
des nombres complexes non simultanément nuls, nous construisons
la combinaison linéaire:
(42.534)
est
alors une fonction d'onde décrivant un état dynamique
possible du système. Ce qui s'écrit aussi souvent avec le
formalise de Dirac sous la forme suivante:
(42.535)
Ce postulat paraît assez naturel du fait de l'aspect ondulatoire
que présente la physique des microsystèmes. En effet,
dans les phénomènes ondulatoires de la physique classique
les équations d'onde sont, le plus souvent, linéaires
homogènes et il s'ensuit que l'on peut superposer les ondes.
Or, le grand intérêt de ce postulat est qu'il contient en
germe l'explication de ce fait capital qu'est l'indétermination
quantique (appelée aussi parfois "cohérence
quantique").
Voyons-le sur un cas très simple où nous supposons qu'une
variable dynamique A, a une valeur bien définie dans
l'état dynamique ,
et une valeur bien définie dans
l'état dynamique avec .
Cela signifie que si nous répétons la mesure de A sur
des systèmes tous dans l'état dynamique décrit
par ,
nous trouvons chaque fois comme résultat ,
de même pour et .
Une question vient naturellement à l'esprit: si nous mesurons A sur
des systèmes tous dans l'état dynamique qu'allons
nous obtenir? Une idée naïve serait de croire que A prendra
une valeur bien définie intermédiaire entre et .
Ces deux hypothèses sont fausses et nous le savons bien.
Premièrement, A n'est pas bien déterminée
en physique quantique (incertitude) et n'est mathématiquement
pas nécessairement située entre et .
L'interprétation correcte est la suivante:
Si nous mesurons A sur le système dans l'état
dynamique ,
nous trouvons comme résultat de mesure, tantôt ,
avec une probabilité ,
tantôt ,
avec une probabilité .
Bien entendu, et devront
pouvoir être calculés en fonction de et .
Remarque: Il ne faut surtout pas
confondre l'ensemble pur des systèmes décrits par  ,
avec le mélange que nous obtiendrions en juxtaposant deux
ensembles purs de systèmes respectivement  et  .
Il convient donc de mettre en garde le lecteur contre cette confusion,
d'autant que dans la littérature courante utilisant la physique
quantique, on dit souvent que la fonction d'onde est
un mélange de et .
C'est par exemple dans ce sens que nous parlons de "mélange
de configurations" pour traduire le fait que la fonction d'onde
d'un atome à plusieurs électrons est une combinaison
linéaire de fonctions d'onde appartenant à diverses
configurations. Cette terminologie ne doit pas cacher le fait que
les systèmes décrits par constituent
un ensemble pur et non un mélange.
Exemple:
Considérons le cas scolaire suivante de superposition:
(42.536)
Nous pouvons déjà aisément vérifier
que le système est normalisé sous l'hypothèse donc de
normalité:
(42.537)
Comme la superposition est normalisée, il vient alors la probabilité
de trouver le système dans l'état qui
est alors:
(42.538)
et si nous faisons de même pour chacun des deux autres états,
la somme des probabilités sera toujours égal à 1.
Il convient de signaler que cette probabilité est aussi la proportion
d'états qui seront mesurés dans l'état si
le système est constitué de N composants
identiques.
En fait, l'interprétation que donne la théorie de
De Broglie (associer une fonction d'onde à une particule)
aux principes d'incertitudes est l'exemple le plus frappant et
le plus connu de la physique quantique au niveau des superpositions
d'états (chat de Schrödinger mis à part):
Considérons une onde de De Broglie se propageant dans le
sens de l'axe X, mais limitée à un intervalle à un
instant donné ( si
nous voulons). Donc à l'onde
s'écrit, en laissant tomber la constante multiplicative:
(42.539)
Si nous mesurons la coordonnée de la particule, nous devons
la trouver là nécessairement où n'est
pas nulle (sinon nous ne pourrions rien mesurer). Nous pouvons
dire que avec
une incertitude (l'intervalle
où nous sommes sûrs de trouver la particule par rapport à l'ordonnée à l'origine
divisé par deux)
Si nous mesurons p, que trouvons-nous ? Nous ne devons
pas trouver (relation
que nous avons déjà démontrée plus
haut), car ceci serait vrai pour une onde plane indéfinie,
ce qui n'est pas le cas ici. Alors, nous allons décomposer
l'onde en ondes planes au moyen de la transformation de Fourier
(cf. chapitre de Suites et Séries):
(42.540)
Comment interpréter cette relation? Une des ondes planes élémentaires
(que nous pouvons aussi interpréter comme un état), ,
dont la somme redonne (x),
conduit à une valeur de
la quantité de mouvement. Or, les valeurs de k forment
un continuum. Nous sommes conduits à dire que les valeurs
possibles de p forment dès lors aussi un continuum
et qu'il y a donc une incertitude sur la valeur de p.
Pour aller plus loin, il faut évaluer a(k) (qui
doit être considéré comme variable de la probabilité de
présence de chaque onde plane provenant de la décomposition
de (x))
au moyen de la relation (selon les propriétés des
transformations de Fourier):
(42.541)
qui donne ici:
(42.542)
Posons ,
l'intégrale devient alors:
(42.543)
Le graphique de la fonction montre
que prend
des valeurs qui peuvent être considérées comme
négligeables pour .

Figure: 42.9 - Tracé de la fonction sinus cardinal
Il s'ensuit que dans l'intégrale:
(42.544)
ce sont les k voisins de qui
sont effectifs, et plus précisément les k tels
que:
(42.545)
puisque:
(42.546)
Il s'ensuit que les valeurs à retenir de p sont
celles voisines de aussi,
plus précisément nous avons:
(42.547)
Cette relation montre que les incertitudes et obéissent à la
relation:
(42.548)
De manière similaire, si nous nous proposons de déterminer
la coordonnée x d'un électron en le faisant
passer à travers une fente de largeur 2b percée
dans un écran:

Figure: 42.10 - Configuration d'étude de l'électron passant par une fente
rectangulaire
La précision avec laquelle nous connaissons la position
de cet électron est limitée par la taille de la fente,
soit .
D'autre part, la fente perturbe l'onde associée. Il en résulte
une modification du mouvement de l'électron qui se traduit
par le diagramme de diffraction de l'onde (qui est en fait une
représentation de la superposition linéaire de ses états
intrinsèques).
L'incertitude sur la composante dynamique de
la quantité mouvement de l'électron est déterminée
par l'angle correspondant
au maximum central de la figure de diffraction. D'après
la théorie de la diffraction (cf.
chapitre d'Optique Ondulatoire) produite par une fente rectangulaire,
nous avons puisque
l'intensité s'écrit:
(42.549)
Donc est
compris entre et , p étant
l'impulsion de l'électron incident. Ainsi l'incertitude est
de:
(42.550)
Ce résultat simple est assez extraordinaire si nous le
mettons en relation, en ordre de grandeur, avec le résultat
que nous avions obtenu juste plus haut:
(42.551)
Nous pouvons en tirer plusieurs conclusions de la première
importance:
1. L'onde associée de De Broglie est étroitement
liée au principe d'incertitude et la physique quantique
doit tenir compte simultanément de ces deux propriétés.
2. Si nous tenons compte que la répartition de l'intensité est
obtenue à partir du comptage des électrons (ou particules)
en fonction de l'angle et que nous obtenons la même répartition
quelle que soit l'intensité du faisceau d'électrons
monocinétiques qui arrive sur la fente et ce, même si les électrons
sont envoyés un par un. Nous observons alors que le mouvement
des particules n'est plus déterministe mais probabiliste.
Ainsi, la fonction d'onde de
l'électron peut être considérée comme une
superposition linéaire des états définis chacun
comme nous l'avons fait précédemment, par sa décomposition
spectrale possible par la transformée de Fourier.
Que pouvons-nous conclure de tout ce que nous avons vu jusqu'ici:
1. Les équations de la physique quantique nous donnent
une densité de probabilité de trouver une particule
dans un certain volume de l'espace-temps.
2. La superposition linéaire des états peut s'interpréter
comme le fait qu'il est possible de trouver une particule en plusieurs
points de l'espace-temps à un instant donné, et avec
pour chacun de ces points une certaine probabilité de l'y
trouver (par décomposition possible de l'équation
d'onde).
Si le point (1) a été largement étudié jusqu'à maintenant
sur ce site, le point (2) est quant à lui nouveau et découle
d'une simple opération mathématique de décomposition
ou de superposition.
Mais dès lors, que se passe-t-il si nous cherchons à mesurer
l'énergie d'un atome qui se trouve dans une superposition
d'états d'énergie? Nous ne détecterons jamais
cette superposition, mais seulement l'une des énergies qui
la constituent, l'action de mesurer fait disparaître la superposition
des états au profit d'un seul - nous parlons alors de "décohérence
quantique" (il s'agit de l'interprétation de
Copenhague dont nous avons fait mention implicitement au tout début
de ce chapitre et sur lequel nous reviendrons). Mais lequel? La
physique quantique ne peut tout bonnement
répondre à cette
question. Le choix s'effectue au hasard! En revanche, à défaut
de prédire l'état précis qui sera mesuré parmi
tous ceux qui constituaient la superposition, la théorie
quantique peut donner la probabilité qu'on a de mesurer
chaque état (ce que l'on a déjà fait maintes
fois jusqu'ici). Si l'on effectue de nombreuses mesures, on trouve
finalement les proportions prédites par la théorie
(même si chaque mesure est imprévisible).
Erwin Schrödinger, avait souligné l'absurdité (selon
lui) de ces superpositions en ayant recours à une expérience
de pensée devenue célèbre: Imaginez un chat
enfermé dans une boîte hermétique. Dans la
boîte se trouve aussi un atome radioactif et un dispositif
capable de répandre du poison. Quand l'atome radioactif
se désintègre, il déclenche le dispositif
mortel: le poison se répand dans la boîte et le chat
meurt.
Mais la désintégration radioactive est un phénomène
quantique: tant que nous ne l'avons pas détecté,
l'atome est dans une superposition d'états "désintégré et
pas désintégré". Dans la boîte,
le système chat-dispositif à poison-atome doit donc
lui aussi, se trouver dans une superposition des deux états "atome
désintégré-chat mort" et "atome
intact-chat vivant". Bref, si nous prenons la physique quantique
au pied de la lettre, le chat est à la fois mort et vivant
tant que la mesure n'a pas été effectuée.
L'absurdité de cette expérience est manifeste...
mais difficile à démontrer, du moins tant que nous
n'avons pas compris ce qui distingue un chat d'une particule. Toujours
le problème de la frontière quantique-classique...
Il faudra attendre les années 80 pour que la situation
progresse enfin, à la fois sur le front de l'expérience
et sur celui de la théorie. En 1982, Wojciech Zurek, chercheur
au laboratoire national de Los Alamos (Nouveau-Mexique), reprend
une idée fort simple mais géniale: dans une mesure,
ce qui produit la décohérence, c'est l'interaction du
système avec son environnement. Plus généralement,
les objets quantiques ne sont jamais complètement isolés
de leur environnement - nous entendons par là tout ce qui
interagit avec le système: un appareil, des molécules
d'air, des photons lumineux. Si bien qu'en réalité les
lois quantiques doivent s'appliquer à l'ensemble constitué de
l'objet et de tout ce qui l'entoure. Or, Zurek démontre
que les multiples interactions avec l'environnement entraînent
une destruction très rapide des de la cohérence quantique
des superpositions d'états (appelée également "interférence
quantique" puisque mathématiquement l'on traite des
fonctions d'onde). En détruisant les interférences,
l'environnement supprime les superpositions d'états et le
comportement quantique du système, de sorte qu'il ne reste
plus que des états simples et qu'on retrouve le comportement
classique.
Dans un objet macroscopique - un chat par exemple... - chacun
des atomes est environné de nombreux autres atomes qui interagissent
avec lui. Toutes ces interactions provoquent spontanément
un brouillage des interférences quantiques qui disparaissent
très vite. Voilà donc pourquoi la physique quantique
ne s'applique pas à notre échelle: les systèmes
ne sont jamais isolés!
La vitesse de la décohérence augmente avec la taille
du système: un chat qui compte 1027 particules, "décohère" en
10-23 secondes, ce qui explique pourquoi on n'a jamais
vu de chats morts-vivants jusqu'à aujourd'hui!
La physique quantique est donc une théorie:
- non-déterministe (probabiliste) d'où le fait qu'elle
soit considérée comme une théorie de l'information
- non-locale: les objets quantiques peuvent avoir simultanément
plusieurs positions
- non-séparable: plusieurs objets quantiques peuvent êtres
superposés au point de ne pouvoir être considérés
séparément.
Un autre excellent exemple de la superposition linéaire
des états est une application remarquable au principe de
moindre action.
Considérons une particule quantique allant d'un point à l'instant au
point à l'instant .
Nous savons que la probabilité de trouver une particule
en un point et en un instant donnés est reliée au
carré du module de la fonction d'onde qui lui est associée.
Plaçons-nous dans le cas le plus simple où la fonction d'onde
de la particule est une onde plane donnée
par la fonction solution de l'équation d'évolution
de Schrödinger:
(42.552)
où et v sont
respectivement la longueur d'onde et la fréquence de l'onde
associée à la particule.
La particule peut emprunter une infinité de chemins pour
se rendre de .
Choisissons l'un quelconque de ces chemins que nous appellerons C.
Nous pouvons découper le chemin C en un nombre
entier de tronçons de durée dt.

Figure: 42.11 - Principe de découpage du chemin
Après le parcours du premier tronçon, la fonction
d'onde a la valeur suivante:
(42.553)
D'où nous tirons que:
(42.554)
Or, Planck et De Broglie ont établi (postulé) les
relations suivantes comme nous l'avons montré:
et
(42.555)
d'où, en remplaçant et v dans
la relation précédente, nous obtenons:
(42.556)
En appliquant la même technique pour le tronçon suivant
nous obtenons:
(42.557)
Procédant ainsi de tronçon en tronçon, tout
le long du chemin C nous obtenons alors la valeur de la
fonction d'onde en pour
la particule venant de en
suivant le chemin C:
(42.558)
Maintenant, faisons tendre la durée dt de chaque
tronçon de trajectoire vers zéro. La quantité tend
alors vers la vitesse instantanée de la particule que nous
noterons .
La relation précédente devient alors:
(42.559)
Dans le chapitre de Mécanique Analytique, nous avons montré que
la quantité est égale
au lagrangien. En substituant le lagrangien dans la relation précédente,
nous obtenons:
(42.560)
où est
l'action de la particule ayant parcouru le chemin C.
Notons (sans démonstration) que le module de prend
la même valeur pour:
(42.561)
pour tout n. La constante de Planck trouve alors une
signification physique directement liée à l'action
de la particule !
Rappelons la condition de normalisation de De Broglie:
(42.562)
qui donne donc la probabilité pour que la particule, partant
de à l'instant ,
se trouve en à l'instant en
ayant emprunté le chemin C.
La probabilité totale est donc:
(42.563)
pour trouver la particule partie de à l'instant en à l'instant nécessite
de calculer la somme des contributions de chaque chemin soit (en
appliquant le principe de superposition linéaire puisque
nous effectuons une somme des fonctions d'onde):
(42.564)
Cette intégrale fut découverte par Richard Feynman.
En première analyse elle semble diverger dans la mesure
où il existe une infinité de chemins possibles entre deux
points. Regardons de plus près ce qui se passe. Plaçons-nous
dans le cas où la trajectoire est macroscopique. La valeur de l'action est
alors beaucoup plus grande que et
varie beaucoup d'un chemin à un autre, sauf pour les chemins
proches du chemin physique classique pour lesquels la variation
est quasiment nulle (application de l'énoncé variationnel
du principe de moindre action).
Comme les actions des chemins interviennent comme une phase dans
l'intégrale de chemin, leurs contributions sont destructives
et donc tendent à s'annuler, sauf dans le cas des chemins
proches du chemin physique classique où les contributions s'ajoutent.
Il s'ensuit que l'intégrale de chemin prend la valeur de
l'action classique, indiquant que la physique quantique permet
de retrouver les lois de la mécanique classique à l'échelle
macroscopique.

Figure: 42.12 - Représentation des phases en fonction du type de chemin
La situation devient très différente à l'échelle
quantique, c'est-à-dire pour des valeurs de l'action dont
l'ordre de grandeur est celui de la constante .
Une infinité de chemins apporte alors des contributions
non destructives. Feynman a pu montrer que l'intégrale de
chemin convergeait mais d'un autre côté, il n'est
plus possible de prédire quel chemin la particule va emprunter
au point que la notion même de chemin s'évanouit. Ainsi à l'échelle
quantique la particule semble chercher son chemin parmi tous ceux
qui sont possibles mais à l'échelle macroscopique,
ce tâtonnement quantique semble avoir permis à la
particule de trouver le "bon chemin".
Le formalisme de l'intégrale de chemin constitue une façon
très originale d'aborder et d'interpréter la physique
quantique qui s'est ajoutée à celles qui avaient été développées
par Schrödinger.
THÉORÈME D'EHRENFEST
Ce théorème permet de connecter la mécanique
classique de Newton à la physique quantique en établissant
des relations similaires en ce qui concerne la quantité de
mouvement et la force.
Pour cela, nous partons l'exemple particulier d'une particule
massive se déplaçant à une vitesse non relativiste
dans un potentiel. Nous avons alors l'équation de Schrödinger
d'évolution à une dimension:
(42.565)
d'où nous tirons (utile pour plus loin):
(42.566)
Si nous prenons en toute généralité le conjugué complexe
des deux côtés de l'égalité et en multipliant
les 2 membres par :
(42.567)
d'où nous tirons (utile aussi pour plus loin):
(42.568)
Prenons la variation temporelle de la position moyenne de la particule
(5ème postulat):
(42.569)
Nous avons:
(42.570)
d'où:
(42.571)
Utilisons cette dernière relation:
(42.572)
Utilisons maintenant la relation:
(42.573)
et injectons-la dans la relation antéprécédente:
(42.574)
Le premier terme à droite de l'égalité est
facile à intégrer... (puisqu'il n'y a pas besoin
de l'intégrer):
(42.575)
et comme la fonction d'onde doit valoir 0 à (sinon
l'énergie est infinie) alors cette dernière relation
est nulle. Il nous reste alors:
(42.576)
Soit:
(42.577)
et finalement:
(42.578)
ce qui est l'équivalent en mécanique classique de:
(42.579)
et qui reconfirme l'existence de l'être mathématique:
(42.580)
comme étant l'opérateur de quantité de mouvement
et que nous avions déterminé plus haut en retrouvant
la deuxième loi de Newton.
Mais nous pouvons faire un peu mieux au niveau de l'analogie classique/quantique
en dérivant:
(42.581)
Ce qui donne:
(42.582)
d'où:
(42.583)
En utilisant:
(42.584)
Il vient:
(42.585)
Concentrons-nous sur:
(42.586)
Intégrons par parties le premier terme deux fois selon
la relation démontrée dans le chapitre de Calcul
Différentiel Et Intégral:
(42.587)
Nous avons alors ( toujours en considérant comme étant
une fonction décroissante vers l'infini):
(42.588)
et encore une fois:
(42.589)
Donc finalement:
(42.590)
Il nous reste alors:
(42.591)
Or, nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique
Classique que:
(42.592)
Il vient donc que:
(42.593)
Ce résultat extraordinairement simple constitue le "théorème
d'Ehrenfest". Nous retrouvons donc la loi fondamentale
de la dynamique classique au sens des valeurs moyennes de position
et de la force, calculées à l'aide de la probabilité de
présence!
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