
PHYSIQUE
QUANTIQUE CORPUSCULAIRE | PHYSIQUE
QUANTIQUE ONDULATOIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE | PHYSIQUE
NUCLÉAIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE
DES CHAMPS | PHYSIQUE
DES PARTICULES ÉLÉMENTAIRES
La
physique atomique est la partie de la physique qui s'occupe
des états quantifiés d'énergie de la matière corpusculaire
et ondulatoire et
des échanges
d'énergies au sein de l'atome (Larousse).
41.
PHYSIQUE QUANTIQUE CORPUSCULAIRE |
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Voici venu le moment de nous plonger dans
les eaux obscures et impénétrables de la physique atomique.
Il va de
soi que ne nous parcourrons les théories de la physique
atomique que dans les grandes lignes. Dans les faites, nous
allons nous limiter uniquement aux développements théoriques
effectués entre 1910 et environ 1935 (au-delà la
complexité des théories nécessite trop
de pages pour un site Internet généraliste). Nous
passerons aussi sur beaucoup de
détails mathématiques qui auront déjà
été démontrés et vérifiés
dans d'autres chapitres du site.
La physique
atomique comme vous le savez déjà certainement est
le monde de l'infiniment petit (points de dimension nulle). C'est
un
monde, vous le verrez, assez particulier où les
lois classiques, celles qui gouvernent notre quotidien macroscopique,
ne s'appliquent pas.
Ainsi,
au début du 20ème siècle nous savions
uniquement que les atomes étaient
formés au plus simple par un noyau central et des électrons
en orbite.
L'électron,
la première particule subatomique (plus petite que l'atome) à nous
être révélée, fut mis en évidence par des expériences sur les courants
électriques dans les solides, les liquides et les gaz. Au 19ème
siècle, les physiciens n'avaient aucune idée de ce qu'était la charge,
si elle était continue ou particulaire. Aujourd'hui, nous savons
que la charge est une propriété de la matière et que la charge totale
dans un système est toujours un multiple d'une charge élémentaire
correspondant à la charge d'un électron (ou d'un proton).
Michael
Faraday suggéra par des expériences d'électrolyse
que l'électricité
était composée de particules de charge e et
qu'une mole de ces charges (voir la section de Chimie pour la définition
de la mole) était équivalente à une charge de 1 Faraday
soit 96'485 [C]. Comme le nombre d'Avogadro n'était
pas connu à
l'époque, il n'était pas possible de déterminer e.
Cependant, une mole d'une substance monovalente pouvant transporter
1 [F]
de
charge, il devait s'ensuivre qu'une demi-mole de la même substance
devait transporter 1/2 [F] et ainsi de suite jusqu'à la
plus petite unité de charge e,
qui devait être transportée par la plus petite unité de
masse
m, correspondant à la masse d'un seul atome de cette
substance. En 1881, Helmholtz affirma que si on acceptait l'hypothèse
que les substances élémentaires étaient
composées d'atomes,
nous devions logiquement en déduire que l'électricité,
tant positive que négative,
devait être divisée en portions finies qui devaient se comporter
comme des atomes d'électricité. Stoney nomma cette
unité fondamentale
de charge "électron". La
valeur élémentaire
de charge se nomme aujourd'hui prosaïquement le "quantum
de charge".
Toutes
les charges subatomiques connues aujourd'hui qu'elles soient positives
ou négatives, transportent une charge nette qui est un
multiple entier de e. Les quarks ont eux une charge
fractionnaire mais ils n'apparaissent pas comme entités
isolées.
Il existe également
des charges fractionnaires dans l'effet Hall quantique mais cela
est une toute autre histoire...
Encore
aujourd'hui, les meilleurs physiciens disent ne pas vraiment savoir
ce qu'est un électron et même un atome. Au fait, on ne
sait toujours pas ce qu'est vraiment la matière...
Les scientifiques
ont tenté l'élaboration de plusieurs modèles pour expliquer les
observations obtenues de résultats expérimentaux du monde microscopique.
Ainsi, il y a eu dans l'ordre les modèles de Dalton, Thomson,
Rutherford, Bohr, Sommerfeld et Schrödinger (ce dernier incluant
les contributions majeures de Heisenberg, De Broglie, Pauli,
Dirac et Einstein pour
les plus fameux).
On peut
situer la naissance de la physique quantique corpusculaire ou
"physique
des quanta"
("quantum" voulant dire "quantité fixe")
en 1900, année
où Max
Planck présentant son célèbre article sur
le rayonnement du corps noir (cf. chapitre
de Thermodynamique) à une réunion de la société allemande
de physique et l'incapacité de la physique classique (mécanique,
thermodynamique, électromagnétisme) tenta d'expliquer
certains comportement de la matière au niveau microscopique,
c'est-à-dire certains
phénomènes
où interviennent des particules de faibles masses localisées
dans de très petites régions de l'espace.

Pour parvenir
à donner une interprétation cohérente de ces expériences, il a été
nécessaire d'introduire des concepts radicalement différents de
ceux de la physique classique. Par exemple, on a dû abandonner
la notion de trajectoire, la quantification de l'énergie (loi
de Planck) et considérer que les particules microscopiques ont
parfois un comportement semblable à une onde. L'ensemble de ces
nouveaux concepts a donné
naissance à une nouvelle physique, la "physique quantique",
qui s'est développée rapidement puisqu'en 1927, déjà, les fondements
de la théorie sont achevés. Par son abandon des concepts-clés
de la mécanique classique, on peut dire que la physique quantique
constitue une véritable révolution (on l'appelle par ailleurs
la "2ème
révolution", la première étant la théorie de la relativité)
dans notre façon d'interpréter les mesures expérimentales. Avec
la relativité introduite par Einstein, la physique quantique
est un des piliers de l'édifice théorique de la physique contemporaine
du 21ème siècle.
Tout comme
la relativité contient la mécanique classique comme cas limite
(les lois relativistes approchent les lois classiques lorsque
la vitesse
d'une particule est suffisamment faible par rapport à celle de
la lumière), la nouvelle physique quantique contient comme cas
limites les lois classiques de la mécanique statistique voire
même de l'électromagnétisme.
Remarque: Nous verrons que la constante fondamentale qui caractérise
la physique quantique (comme la vitesse de la lumière caractérise
la relativité) est la constante de Planck.
MODÈLE
DE DALTON
En 1803,
John Dalton fit l'hypothèse que la matière est
composée d'atomes
de différentes masses et qui se combinent en respectant
des proportions massiques simples (cependant l'idée
d'atome n'était pas nouvelle, elle datait de bien
bien plus tôt!).
C'est cette théorie que Dalton proposa qui est la
pierre d'angle de la science physique moderne. En 1808,
l'oeuvre
de Dalton intitulée
"Un nouveau système de philosophie chimique" fut
publié.
Dans ce livre, il dressa la liste des masses atomiques d'un certain
nombre d'éléments connus par rapport à la masse de
l'hydrogène.
Ses masses "U.M.A" (cf.
chapitre de Physique Nucléaire) n'étaient
pas entièrement
correctes, mais elles forment la base de la table périodique
moderne des éléments.
Dalton arriva à sa théorie atomique par une étude
des propriétés
physiques de l'air atmosphérique et des autres gaz.
Dalton
supposa que l'atome était une sphère:

Figure: 41.1 - L'approche idéale de Dalton
Ainsi,
il put faire une première estimation de la taille des atomes:
En effet,
soit
la densité typique, la
masse atomique et R le rayon (valeur inconnue)
d'un élément dont nous cherchons à
déterminer la dimension de l'atome. Nous avons alors très
simplement:
(41.1)
Connaissant
et
,
nous obtenons:
(41.2)
MODÈLE
DE THOMSON
Thomson
est à l'origine de la découverte de l'électron par ses expérimentations
sur les flux de particules (électrons) créés par des rayons
cathodiques. Théoricien et expérimentateur, Thomson avança
en 1898 la "théorie
du pain aux raisins" sur la structure atomique, dans
laquelle les électrons sont considérés comme des raisins négatifs
enfoncés dans un pain de matière positive. Son modèle de l'atome
est représenté par la figure ci-dessous:

Figure: 41.2 - L'approche gourmande de Thomson
Or,
nous savons (les physiciens du 19ème le savaient aussi) qu'aucun
arrangement de charges électriques statiques n'est stable si ces
charges sont sous l'influence de la force de Coulomb:
(41.3)
que
nous avions étudiée en détails dans le chapitre d'Électrostatique.
Il faut donc que les particules qui constituent l'atome soient
en
mouvement
ce qui nous amène à mettre en place un autre modèle:
le "modèle
de Rutherford" suivant:
MODÈLE
DE RUTHERFORD
Rutherford
assimila donc intuitivement par cette observation théorique,
peu d'années après la découverte de Thomson,
l'atome à un système planétaire dont le centre
était occupé par un noyau central de charge positive, qui contenait
pratiquement toute la masse de l'atome. Le noyau était cent mille
fois plus petit que l'atome et n'occupait ainsi qu'un volume infime.
Voiri une représentation imagée (les distances ne sont
pas à l'échelle pour des raisons évidentes...):

Figure: 41.3 - L'approche planétaire de Rutherford
Il appliqua les résultats que nous avons obtenus en astronomie
(cf. chapitre d'Astronomie) lors
de l'étude des orbites képlériennes à l'atome et obtint
donc des trajectoires coniques pour la rotation de l'électron
autour du noyau tel que:
(41.4)
où e est
l'excentricité (rapport du petit axe )
et p le paramètre focal ( )
d'une ellipse (cf. chapitre de Géométrique
Analytique) et où:
et
(41.5)
Remarques:
R1.
Il faudra se rappeler lorsque nous aborderons plus loin le modèle
de Bohr que dans le modèle de Rutherford,
r peut
prendre n'importe quelle valeur théoriquement!
R2. Nous verrons lors de notre étude de la diffusion de Rutherford
(cf. chapitre de Physique Nucléaire)
que Rutherford détermina la taille de l'atome d'or comme valant
.
Nous avons donc un facteur 10'000 avec le modèle de Dalton (c'est
dire...).
Or,
nous avons vu en électromagnétisme que les équations de déplacement
de Maxwell (cf. chapitre d'Électrodynamique):
(41.6)
et:
(41.7)
décrivent
qu'un électron en mouvement (accélération) émet
de l'énergie sous forme de rayonnement
électromagnétique que nous appelons en physique le "bremstrahlung"
expliqué par les potentiels de Liénard-Wiechert
(cf.
chapitre d'Électrodynamique).
Rutherford
et Thomson se trouvèrent donc confronté au dilemme suivant:
Si
l'électron émet de l'énergie sous forme de rayonnement électromagnétique,
il perd donc de l'énergie
cinétique
(vitesse) et finira donc nécessairement
un jour ou l'autre (sauf intervention extérieure) par tomber sur
le noyau (illustration du phénomène dans la figure ci-dessous).
Or la matière nous environnant est stable.

Figure: 41.4 - Illustration simpliste du bremstrahlung
Ils
rejetèrent donc leur modèle et Bohr intervint à ce
moment-là avec une hypothèse audacieuse et révolutionnaire
mais qui avait selon lui seulement à expliquer l'expérience
et non la réalité... (Bohr était un physicien
expérimentaliste de génie et probablement le meilleur
partenaire de débat d'Einstein).
MODÈLE
DE BOHR
En 1913,
Niels Bohr, qui a participé aux travaux de Rutherford sur
la diffusion des particules (noyaux
de 2 protons, 2 neutrons libres d'électrons), reprend
le modèle
de Rutherford mais y inclut trois postulats fondamentaux:
POSTULATS
DE BOHR
P1. L'électron
n'émet pas de rayonnement lorsqu'il se trouve sur certaines
orbites dites "orbites stationnaires".
Cette affirmation est contraire aux théories de l'électrodynamique.
Donc ceci implique que toutes les orbites ne sont pas autorisées
et constitue une véritable révolution
dans l'approche de la physique (donc les orbites interdites sont
nommées "orbites non-stationnaires").
P2. Sur
toute orbite stable la quantité de mouvement p intégrée
sur le chemin r est
un multiple entier de la constante de Planck h (postulat
découlant du premier) conformément à la quantification
des échanges d'énergie établis par la relation
de Planck. Ce postulat est parfois appelé "hypothèse
quantique de Planck".
P3. La
relation expérimentale de Planck-Einstein:
(41.8)
est valable
pour l'émission ou l'absorption d'une radiation lors de la transition
d'un électron d'un état énergétique ver
un état (postulat
qui solidifie le premier postulat).
Au
fait, nous trouvons ici un concept révolutionnaire et indémontrable
(aujourd'hui et à notre connaissance) qui consiste à quantifier
certaines propriétés de la physique.
Continuons
donc notre analyse:
QUANTIFICATION
Soit
M la masse du noyau central de charge électrique
+e
et m
la masse de l'électron en "orbite". Nous faisons
l'hypothèse
que et
que la masse centrale est immobile (ce qui est évidemment
faux dans la réalité).
Nous
assimilons le mouvement circulaire de l'électron autour du noyau
à celui d'un oscillateur harmonique (masse reliée à un ressort
exerçant une force opposée proportionnelle à une constante
de rappel
afin de retenir l'objet lié).
Si
l'oscillation a lieu dans un plan, son équation différentielle
est (cf. chapitre de Mécanique Classique):
(41.9)
Une
solution (particulière) de cette équation (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral)
est:
(41.10)
L'énergie
cinétique du système étant donnée dès lors par:
(41.11)
et
l'énergie potentielle du système par (cf.
chapitre de Mécanique
Ondulatoire):
(41.12)
Si
nous notons v la
fréquence d'oscillation du mouvement oscillatoire,
nous avons alors bien
évidemment
(cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire):
(41.13)
L'énergie
totale du système s'écrit finalement après sommation et simplification
(trigonométrie élémentaire):
(41.14)
Nous
admettons maintenant que l'électron lié ne peut occuper
que certains niveaux d'énergie (premier postulat) selon
la relation de Planck-Einstein:
(41.15)
Ce
qui nous donne lorsque nous incluons la relation de Planck-Einstein
dans l'avant-dernière relation:
(41.16)
Nous
remarquons
ici que puisque l'énergie de l'électron est quantifiée l'amplitude
de son mouvement l'est également.
Soit
à présent l'intégrale de chemin suivante (attention la notation
ambiguë entre la fréquence et la vitesse peut porter à confusion)
dite également "intégrale d'action" (il s'agit au fait
du moment cinétique):
(41.17)
et
compte tenu de l'expression de la vitesse obtenue auparavant:
(41.18)
Sur
une période de révolution, nous avons:
(41.19)
Étant
donné que (cf. chapitre de Trigonométrie):
(41.20)
L'intégration
devient:
(41.21)
comme
(cf.
chapitre de Mécanique Ondulatoire) nous
avons:
(41.22)
Nous
obtenons
donc finalement:
(41.23)
Compte
tenu que et
ainsi
que :
(41.24)
Finalement:
(41.25)
Cette condition imposée par Bohr (2ème postulat)
résulte de la quantification
des échanges d'énergie (relation de Planck-Einstein).
Ce qui a pour conséquence
d'imposer des niveaux stationnaires d'énergie que l'électron
peut occuper autour du noyau.
Pour
une orbite circulaire (rappelez-vous bien que nous considérons
pour l'instant une orbite circulaire!) de rayon r le
moment cinétique (oui l'intégrale d'action
n'est au fait que le moment cinétique) sur la longueur
de l'orbitale est donc:
(41.26)
ou bien
en utilisant la notation traditionnelle du moment cinétique:
(41.27)
Le
moment cinétique est donc quantifié et non nul dans
le cadre du modèle de Bohr (puisque n est non nul).
Nous verrons que ceci n'est plus le cas dans le modèle ondulatoire
où le moment cinétique peut être nul.
MODÈLE
DES ATOMES HYDROGÉNOÏDES SANS ENTRAÎNEMENT
Nous entendons par l'étude des "atomes hydrogénoïdes
sans entraînement" le fait de considérer des atomes
avec un unique
électron de masse m en rotation autour
d'un noyau central de charge et
de masse M tel que (donc
le noyau est supposé fixe).
Calculons les rayons des
orbites stationnaires:
Sur son orbite stationnaire,
l'électron est en équilibre car il y a un antagonisme exact entre
la force coulombienne et la force centrifuge. Ceci doit se traduire
par l'égalité des forces suivante:
(41.28)
Nous
posons
à partir de maintenant (afin d'alléger l'écriture) que:
(41.29)
Ce qui nous permet d'écrire
la relation:
(41.30)
En recourant à la condition
de quantification de Bohr et en élevant au carré:
(41.31)
En divisant les deux dernières
relations l'une par l'autre:
(41.32)
nous obtenons:
(41.33)
compte tenu de l'expression
de k.
Le rayon des orbites autorisées
pour l'électron est donc:
(41.34)
avec et
cette relation est
communément appelée le "rayon
de Bohr" pour .
Les
orbites d'un atome selon ce modèle ressemblent donc à:

Figure: 41.5 - Le modèle planaire de Bohr
L'énergie
de l'atome hydrogénoïde sans entraînement est donnée par
la mécanique classique (cas d'une force centrale), somme de l'énergie
cinétique et potentielle électrostatique:
(41.35)
Avec:
(41.36)
il
vient:
(41.37)
En y introduisant l'expression
du rayon quantifié obtenu précédemment:
(41.38)
Nous trouvons donc que l'énergie
totale de l'atome considéré est quantifiée
et négative (ce qui
correspond à des états
stables car il faut un apport de l'énergie pour les défaire)
telle que:
(41.39)
Entre deux niveaux, le passage
d'un électron du niveau
vers un niveau (nous
préciserons comment lors de l'étude de l'effet photoélectrique plus
loin) se traduit par l'émission d'une raie de fréquence donnée
par l'expression de l'hypothèse de quantification de Planck:
(41.40)
Ainsi, la physique quantique expliquer l'émission d'énergie du
photon lors d'une transition entre deux niveaux!
En fait, si nous admettons avec Bohr que les énergies
d'un électron sur son orbite sont données par
l'inverse du carré du nombre entier, la différence
d'énergie entre deux orbites caractérisées
par de grandes valeurs de ces nombres entiers tend vers zéro
lorsque les nombres entiers tendent vers l'infini. Nous retrouvons
alors un semblant de variation continue pour les énergies échangées
par un atome avec le champ électromagnétique et la
notion de trajectoire d'un électron prend alors à nouveau
du sens.
En faisant appel à l'expression
complète de l'énergie totale, nous trouvons alors la fréquence correspondante
à la raie émise:
(41.41)
la longueur d'onde émise
s'en déduit aisément:
(41.42)
La
constante
(notée aussi selon
les situations) est appelée la "constante
de Rydberg".
Un électron
qui occupe une orbite n est
dans un "état stationnaire" si son énergie ne varie
pas. En revanche, une transition directe s'accompagne
de l'émission d'un photon dont l'énergie est donnée par le calcul
de la fréquence comme nous allons le démontrer.
"L'énergie
d'ionisation" est l'énergie qu'il faut fournir pour éloigner
l'électron
à l'infini de son orbite. Ainsi pour l'état fondamental de l'hydrogène,
il faudrait poser et
.
Le résultat
obtenu par Bohr pour l'expression de la fréquence en fonction
des niveaux d'énergie de l'électron est un résultat
formidable (qui surprit Bohr lui-même) car en faisant intervenir
des constantes fondamentales majeures il retrouva théoriquement
la loi que le spectre des raies de l'hydrogène suivait.
Loi que le chimiste Balmer avait en 1885 (28 ans auparavant) découvert
expérimentalement.
Balmer
avait remarqué que les raies spectrales étaient extrêmement fines.
Cela laissait supposer que l'énergie n'était pas émise par les atomes
d'une manière continue mais seulement à certaines fréquences bien
précises. En outre, cette finesse des raies explique la précision
avec laquelle il avait pu déterminer la constante de Rydberg.
Les chimistes
avaient également constaté que chaque élément atomique possédait
son propre spectre. Il était dès lors clair que toute théorie atomique
devrait rendre compte de ces 2 caractéristiques et c'est ce que
fit brillamment le modèle de Bohr à l'aide des postulats des niveaux
d'énergies.
Nous définissons
les séries suivantes du spectre de l'atome d'hydrogène:
- Pour
la série partant de et
allant à
on
obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre)
par Lyman en 1906 dans l'UV.
- Pour
la série partant de et
allant à on
obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre)
par Balmer en 1885 dans le visible.
- Pour
la série partant de et
allant à on
obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre)
par Paschen en 1908 dans l'infrarouge.
- Pour
la série partant de et
allant à on
obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre)
par Brackett en 1928 dans l'infrarouge.
- Pour
la série partant de et
allant à
on
obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre)
par Pfund en 1924 dans l'infrarouge.

Figure: 41.6 - Quelques séries spectrales de l'atome d'hydrogène
ou une autre représentation courant pour les trois séries les
plus connues:

Figure: 41.7 - Trois séries principales de l'atome d'hydrogène (source:
Wikipédia)
Les quatre
raies principales de la "série de Balmer" (visible)
sont les plus connues:
(41.43)
Cependant
une petite différence subsistait entre la constante de Rydberg théorique
et pratique (connue avec très grande précision). Ceci va conduire
à complexifier le modèle:
MODÈLE
DES ATOMES HYDROGÉNOÏDES AVEC ENTRAÎNEMENT
Le noyau
de l'atome possède une masse M que nous avons
supposée immobile par simplification. En réalité l'ensemble
noyau (M)
et électron (m)
tourne autour d'un centre de masse commun (évidemment!).
Hypothèses:
H1. L'atome hydrogénoïde
est considéré comme un système isolé.
H2. Le noyau et l'électron
gravitent chacun sur une orbite circulaire autour d'un centre
commun: le "centre
de masse" (cf. chapitre de Mécanique
Classique).
H3. Ils ont même vitesse
angulaire.
L'atome hydrogénoïde étant
un système isolé, le mouvement du centre de masse est soit en mouvement
rectiligne et uniforme soit au repos. Il est donc licite d'y placer
un système de repère
inertiel.

Figure: 41.8 - Mise en situation de l'atome hydrogénoïde
La définition du centre
de masse dans un système de laboratoire est donnée par le théorème
du centre de masse (cf. chapitre de Mécanique
Classique):
(41.44)
L'étude présente sera effectuée
par rapport au centre de masse, la relation précédente
devient donc (cf. chapitre de Mécanique Classique):
(41.45)
De la relation précédente,
en prenant la norme et la valeur absolue, il vient que:
(41.46)
La distance entre le noyau
et l'électron demeurant constante et égalant
nous écrivons:
(41.47)
Nous en déduisons trivialement
que:
et
(41.48)
En appliquant la loi de la
dynamique, nous écrivons que la somme des forces sollicitantes
(électrostatique
et centrifuge) de l'électron (uniquement) s'équilibre
telle que:
(41.49)
que nous pouvons écrire en
isolant :
(41.50)
Nous retrouvons l'expression
de la masse réduite bien connue dans un système à deux corps:
(41.51)
Attaquons-nous maintenant
à la détermination de l'énergie totale de l'atome:
L'énergie cinétique de l'atome
est la somme des énergies cinétiques du noyau (N)
et de l'électron (e)
telle que:
(41.52)
Comme avec
comme hypothèse que la pulsation est identique pour le noyau et
l'électron:
(41.53)
Avec les relations des différents
rayons déterminées précédemment:
(41.54)
et connaissant l'expression
du carré de la pulsation:
(41.55)
Par
ailleurs, de l'avant-dernier développement nous tirons une
relation dont nous allons faire usage plus loin:
(41.56)
L'énergie potentielle de
l'électron par rapport au centre de masse étant donnée par (cf.
chapitre d'Électrostatique):
(41.57)
L'énergie totale de l'atome
hydrogénoïde est alors:
(41.58)
Par rapport au centre de
masse, le moment cinétique total est la somme des moments cinétiques
de l'électron et
du noyau (rappelons
que le moment cinétique est aussi souvent noté par la lettre L).
(41.59)
La parenthèse de la dernière
égalité a déjà fait l'objet d'un calcul précédemment et nous avons
donc:
(41.60)
c'est ici que Bohr introduit
sa condition de quantification:
(41.61)
or, nous connaissons l'expression
détaillée du carré de la pulsation:
(41.62)
Le rayon quantifié a donc
pour expression:
(41.63)
L'énergie totale de l'atome
devient finalement:
(41.64)
Soit de manière condensée:
(41.65)
À
partir de cette dernière relation, nous pouvons déterminer
facilement l'expression (comment nous l'avons déjà fait)
des longueurs d'ondes
émises par une désexcitation de l'électron
d'une orbite à .Calculons
au même titre que nous l'avons fait pour le modèle
sans entrainement, l'expression de la longueur d'onde émise
lors du passage d'un niveau à l'autre. Nous faisons alors
des développements identiques:
(41.66)
Il vient alors:
(41.67)
la longueur d'onde émise s'en déduit
aisément:
(41.68)
Remarque: Il convient bien évidemment de rendre compte que ce modèle
est plus précis que le précédent.
HYPOTHÈSE
DU NEUTRON
Les résultats
de spectroscopie sont connus avec très grande précision, par conséquent
les constantes de Rydberg également (car dépendante de la masse
de l'élément atomique étudié).
Les deux
raies bleues mesurées de la série de Balmer de l'hydrogène
noté
H (
composé d'un proton et d'un électron) et du deutérium D (isotope
de l'hydrogène composé d'un neutron en plus) présentent
une différence de longueur d'onde de Angström.
La longueur
d'onde appartenant à la série de Balmer s'exprime dès lors (avec
la correction du centre de masse vue précédemment) comme:
(41.69)
Cette
dernière expression écrite successivement pour l'hydrogène et le
deutérium mène à:
et
(41.70)
où nous rappelons
que la masse de l'électron nous est connue! Ce qui est intéressant
c'est que ces deux éléments ont des propriétés
chimiques identiques (hydrogène et deutérium) mais
des raies différentes.
Les scientifiques de l'époque se demandaient
pourquoi et après que le modèle de Bohr de l'atome
hydrogénoïde avec entraînement soit à leur
disposition ils ont pu conclure que cette différence dans
les raies venait de la différence de
la masse du noyau de l'atome.
Encore
fallait-il déterminer cette différence de masse et expliquer sa
provenance!
Nous avons
donc:
(41.71)
ce qui
montra aux scientifiques de l'époque que le noyau de deutérium est
formé de 2 particules de masse équivalente à celle du proton. Donc
par déduction logique, ce noyau se doit d'être composé d'un proton
(ce que l'on sait évidemment!) et d'une particule neutre.
Cette
hypothèse est celle du "neutron",
qui fut découvert ultérieurement
de manière expérimentale en 1932 par Chadwick.
MODÈLE
DE SOMMERFELD ET WILSON
Pour élaborer leur modèle,
Sommerfeld et Wilson firent appel à la dynamique classique
pour généraliser le modèle de Bohr à des
orbites de type képlérien
(donc non uniquement circulaires mais elliptiques dans le cas
général) car ce dernier n'expliquait pas le dédoublement
de certaines raies (sans présence d'un quelconque champ électrique
ou magnétique), qu'on appela à l'époque la "structure
fine".
Comme nous l'avons vu plus
haut, dans le cas d'un système à deux corps sollicités par une
force centrale, l'énergie totale du système est (nous négligeons
l'énergie
potentielle gravitationnelle):
(41.72)
Pour trouver l'expression de la trajectoire de la masse m,
nous allons procéder exactement de la même manière que celle utilisée
en astronomie (cf. chapitre d'Astronomie)
pour déterminer les orbites képlériennes.
Ainsi, nous avons démontré dans le chapitre d'Astronomie que:
(41.73)
avec:
et
(41.74)
Il va sans dire que dans
notre cas, il ne s'agit
plus d'un potentiel gravitationnel mais électrique. Ce qui nous
amène à écrire pour notre problème:
(41.75)
Encore nous reste-t-il à
trouver l'expression de K sous forme quantifiée
(selon les postulats de Bohr).
Attaquons-nous d'abord à
déterminer l'expression du paramètre focal p de la trajectoire:
Dans notre problème actuel,
l'énergie cinétique et potentielle exprimées en coordonnées
polaires donnent (cf. chapitre de Calcul
Vectoriel):
et
(41.76)
L'énergie totale de l'atome
est donc donnée par:
(41.77)
De façon identique à celle
de Bohr, Sommerfeld et Wilson appliquèrent la même forme de quantification
pour le rayon-vecteur et l'étendirent à la quantification pour l'angle
azimutal.
Soit les moments cinétiques:
et
(41.78)
Les quantités de mouvement
s'obtiennent par dérivation du lagrangien par rapport aux coordonnées
généralisées puisque (cf. chapitre de
Mécanique Analytique):
(41.79)
La
quantification sur l'angle est immédiate, puisque est
une constante du mouvement. Effectivement, le lagrangien L étant
indépendant de (mais
pas de ),
l'invariance du moment cinétique se traduit par l'équation de
Lagrange:
(41.80)
Ce
qui nous donne:
(41.81)
avec étant
le "nombre quantique azimutal" (donc
le deuxième nombre quantique), pour rappeler qu'il est lié à la
quantification de l'angle polaire.
De cette dernière relation
nous obtenons aussi:
(41.82)
Revenons
maintenant à:
(41.83)
ce qui nous donne:
(41.84)
Attaquons-nous
maintenant à déterminer l'excentricité e de
la trajectoire (à ne pas confondre avec la notation de la charge
électrique si possible!).
Ce
qui nous donne:
(41.85)
Pour déterminer la quantification
du moment cinétique par rapport à la variable radiale, nous allons
nous servir d'une substitution:
(41.86)
En notant simplement r' la
dérivée ,
l'intégrale s'écrit:
(41.87)
où nous avons utilisé comme
nous l'avons déjà démontré.
En reportant:
(41.88)
dans
l'intégrale du moment cinétique radial, nous obtenons (simple à
obtenir):
(41.89)
d'où nous déduisons compte
tenu de que:
(41.90)
ce qui nous amène à:
(41.91)
et donc:
(41.92)
Après quelques simplifications
élémentaires nous obtenons finalement:
(41.93)
où
,
appelé également "nombre quantique radial" peut lui être
nul! Car c'est le cas si ,
c'est-à-dire si la trajectoire est un cercle (cas particulier de
Bohr).
Nous introduisons alors un
entier n
appelé "nombre quantique
principal" tel que:
(41.94)
avec .
Sommerfeld
et Wilson montrent par-là que les orbitales du modèle
de Bohr doivent pouvoir être déterminées
par ces deux nouveaux nombres quantiques:
Exemple:
Pour nous
avons deux sous-orbitales possibles:
(41.95)
La valeur
est
impossible par définition car cela signifierait que le petit axe
est nul (ellipse dégénérée en une droite) et l'électron ne peut
traverser le noyau (dans le modèle classique en tout cas). Donc
la plus petite valeur entière de
possible est 1.
Il y
a donc alors n
orbites donnant le même terme spectral. Autrement dit, il y a n
fois la même quantification d'énergie. Nous disons également que
le niveau d'énergie (total)
est "n
fois dégénéré".
L'idée
de Sommerfeld était de rendre compte de la richesse des
spectres observés. De ce point de vue, les résultats
sont décevants: la quantification
de tous les degrés de liberté fait bien apparaître
plus d'états
(il faut maintenant deux nombres quantiques pour spécifier
complètement
l'état, alors que le modèle de Bohr n'en considère
qu'un) mais le degré supplémentaire ne fait qu'introduire
une dégénérescence en
énergie.
Pour résumer
ce modèle, il y a donc exactement le même nombre de niveaux d'énergie
et donc le même nombre de transitions d'états énergétiques possibles
que celui de Bohr. Du point de vue spectral, la théorie de Sommerfeld-Wilson
n'apporte rien de plus que celle de Bohr mis à part que les orbites
sont elliptiques et n'explique donc pas l'étendue des spectres observés.

Figure: 41.9 - L'approche excentrique... de Sommerfeld
Au fait,
l'idée à partir de maintenant va être de reprendre
le même
modèle
en y ajoutant les corrections relativistes. Le travail va nécessairement
être plus long mais ô combien fructueux!
MODÈLE
RELATIVISTE DE SOMMERFELD
Cependant,
le modèle de Sommerfeld et Wilson peut être considéré comme
incomplet si nous ne prenons pas en compte les variations de paramètres
qu'engendrent les résultats de la théorie de la
relativité restreinte
(cf. chapitre de Mécanique Relativiste).
Remarque: Le chapitre
Physique Quantique Relativiste est réservé uniquement à l'étude
de la physique quantique probabiliste basée sur la version
relativiste de l'équation de Schrödinger (donc en toute
rigueur le chapitre de Physique Quantique Relativiste devrait se
nommer "Physique
Quantique Relativiste Ondulatoire"). Raison pour laquelle
il nous a semblé plus judicieux de mettre un modèle
corpusculaire, déterministe et relativiste (à l'opposé d'un
modèle
ondulatoire, probabiliste et relativiste) comme celui que nous
allons étudier maintenant dans le chapitre de Physique Quantique
Corpusculaire.
Effectivement,
comme nous l'avons démontré dans le développement du modèle de Bohr,
l'énergie cinétique de l'électron est donnée par:
(41.96)
ce
qui nous donne:
(41.97)
Pour
l'hydrogène et le niveau ,
nous trouvons et
comme facteur de Michelson-Morley (cf.
chapitre de Relativité Restreinte):
(41.98)
avec:
(41.99)
Ce que le lecteur pourra vérifier avec la version française
de MS Excel:
=1/RACINE(1-(1*(1.60217656E-19)^2/(2*8.854187E-12*1*6.62068E-34))^2/(299792458)^2)
Certes, la variation est faible mais les valeurs de spectrométrie
étaient tellement précises qu'il fallait introduire la relativité
restreinte pour prendre en compte ces infimes variations et ainsi
valider la théorie par l'expérience.
Remarque: Comme nous pouvons le voir
facilement, la relation montre que plus la particule est éloignée
du noyau (n
grand) plus sa vitesse est faible. Ce résultat a été
confirmé expérimentalement en remplaçant l'électron
artificiellement par un muon et les scientifiques ont ainsi remarqué
que la durée de vie de ce dernier augmentait faiblement
en fonction de la valeur de n.
Déterminons
dans l'ordre des choses, l'expression des conditions de quantification
avec les facteurs relativistes. Avant de commencer, il est important
de comprendre que nous considérons le noyau comme fixe et comme
référentiel de notre système. Ainsi, par rapport à ce référentiel
la masse de l'électron subit une variation relativiste mais non
le potentiel électrique (il faudrait prendre en compte la variation
de ce dernier si et seulement si le référentiel était l'électron
lui-même).
En
dynamique relativiste (cf. chapitre
de Relativité Restreinte),
nous avons démontré que
l'énergie
cinétique
(sous forme de notation Lagrangienne avec "T"
au lieu de )
s'exprime sous la forme:
(41.100)
L'énergie
potentielle (sous forme de notation Lagrangienne avec "V"
au lieu de )
ne subissant pas de variation relativiste, nous avons toujours:
(41.101)
Le
lagrangien est donc:
(41.102)
En
travaillant en coordonnées polaires, dans lesquelles la vitesse
a pour expression:
(41.103)
Dès
lors:
(41.104)
Les
conditions de quantification de Sommerfeld étant:


(41.105)
À
présent, nous devons rechercher des expressions relativistes
pour
et
.
Commençons
par :
(41.106)
avec:
(41.107)
Soit:
(41.108)
Ce
qui donne:
(41.109)
Comme:
(41.110)
nous
avons finalement:
(41.111)
La
première condition de quantification s'écrit donc:
(41.112)
Pour :
(41.113)
toujours avec:
(41.114)
Soit:
(41.115)
Ce
qui donne:
(41.116)
Comme:
(41.117)
nous
avons finalement:
(41.118)
La
seconde condition de quantification s'écrit donc:
(41.119)
En
résumé, les conditions de quantification de l'atome relativiste
de Sommerfeld sont:
et
(41.120)
Nous
pourrions, en voyant les deux résultats ci-dessus, conclure
un peu trop rapidement en pensant qu'il aurait suffi finalement
de multiplier
les deux conditions de quantification par le facteur de Michelson-Morley
relativement à la transformation relativiste de la masse. Or,
un tel raccourci est complètement faux et tout sauf rigoureux
!
Effectivement, si vous appliquez un tel raisonnement, il suffirait
alors de prendre l'expression de l'énergie totale du modèle
non relativiste de Sommerfeld-Wilson et d'introduire partout où la
masse se situe le facteur de Michelson-Morley. Pourtant, le résultat
final n'a absolument rien de commun avec le résultat
que nous allons obtenir plus loin. Il faut donc toujours être
prudent et travailler comme le mathématicien sans brûler
les étapes !
L'énergie
totale relativiste de l'atome (somme de l'énergie cinétique,
de l'énergie
de masse et de l'énergie potentielle du champ électrique
pour l'ensemble de l'atome) est donnée par:
(41.121)
Effectivement, en utilisant la
notation du chapitre de Relativité Restreinte:
(41.122)
Or, dans le cadre de l'étude de la physique quantique corpusculaire,
il est (malheureusement) d'usage de noter la masse au repos avec
le symbole de la masse relativiste tel que:
(41.123)
Donc:
(41.124)
Il
nous faut exprimer cette énergie totale en fonction des conditions
de quantification. Il y a un long travail mathématique à effectuer
mais indispensable pour arriver au résultat de notre étude.
Soit
le calcul de l'expression:
(41.125)
avec:
et
(41.126)
En
élevant au carré:
et
(41.127)
Donc:
(41.128)
Nous
ajoutons des deux côtés de l'égalité (dans
l'idée d'y inclure l'énergie de masse comme vous
allez le voir quelques lignes plus loin), ce qui donne:
(41.129)
En
multipliant des deux côtés par il
vient:
(41.130)
En
extrayant la racine carrée:
(41.131)
Si
nous introduisons cette dernière relation dans l'expression de l'énergie
totale, nous obtenons:
(41.132)
Maintenant,
il nous reste à déterminer les expressions de et
en
fonction de et .
L'intégrale
de quantification de l'angle azimutal est immédiate:
(41.133)
Soit:
(41.134)
L'intégrale
de quantification du rayon-vecteur nécessite un développement plus
conséquent:
(41.135)
Ensuite,
viennent de longs et joyeux développements mathématiques:
En
reprenant l'expression de l'énergie totale:
(41.136)
Nous
obtenons:
(41.137)
En
élevant au carré et en faisant quelques transformations:
(41.138)
En
travaillant sur le terme entre parenthèses, on le posera égal à A
tel que:
(41.139)
En
ajoutant et en retranchant et
en décomposant le terme en
et
ensuite en les regroupant:
(41.140)
Nous
posons en vue de la simplification des calculs (pour alléger
le nombre de termes à manipuler):
(41.141)
Nous
obtenons ainsi:
(41.142)
En
mettant en
évidence, nous avons:
(41.143)
En
ajoutant et en retranchant 1 dans la parenthèse:
(41.144)
En
travaillant, à présent, sur les trois derniers termes:
(41.145)
Comme
nous
avons:
(41.146)
En
posant:
(41.147)
Et
en posant également:
(41.148)
puisque
.
Sommerfeld
introduit alors ce qu'il appelle une "constante
de structure fine"
définie par la relation:
(41.149)
valant:
(41.150)
Remarque: La constante de structure fine est une des constantes
les plus importantes de la physique. D'abord parce qu'elle est
sans
dimensions, et secundo parce qu'elle est à ce jour la mieux
connue (au niveau de la précision) de toutes les constantes
et tertio, parce qu'elle ne dépend que de termes qui semblent
être des constantes fondamentales. Les physiciens et astrophysiciens
cherchent donc à observer si la valeur de cette constante
varie au cours du temps, ce qui impliquerait immédiatement
qu'une au moins des constantes implicites n'est pas atemporelle.
Compte
tenu de la constante de structure fine, nous écrivons:
(41.151)
En
résumé:
(41.152)
Avec:
(41.153)
Nous
aboutissons donc à l'intégrale suivante:
(41.154)
Le
théorème des résidus (cf. chapitre d'Analyse
Complexe)
appliqué à l'intégrale précédente donne pour expression:
(41.155)
Nous
voyons trivialement qu'il y a un pôle à l'origine .
Nous allons calculer le résidu en ce point en passant à la
limite pour .
Nous posons pour cela:
(41.156)
En
passant à la limite construite sur la base du théorème
des résidus:
(41.157)
Le
résidu correspondant au pôle est
donc:
(41.158)
Nous
voyons également qu'il y a un second résidu à l'infini et
pour le calculer, nous effectuons à nouveau un changement
de variable. Nous posons (conformément à la méthode
que nous avons vue dans le chapitre d'Analyse Complexe):
(41.159)
L'intégrale
s'écrit alors:
(41.160)
Pour
trouver le résidu, nous allons faire un développement en série de
Laurent de:
(41.161)
autour de ce pôle de valeur nulle. Pour
ce faire, nous posons:
(41.162)
Nous
connaissons le développement de Taylor (cf.
chapitre Suites Et Séries) de l'expression résultante
de ce changement de variable:
(41.163)
Appliqué
au radical, nous obtenons:
(41.164)
Il vient alors automatiquement la série de Laurent (chouette!):
(41.165)
où nous voyons immédiatement que le pôle est d'ordre 2.
Le
second résidu est le coefficient en :
(41.166)
Effectivement, nous avons simplement appliqué la relation démontrée
dans le chapitre d'Analyse Complexe:
(41.167)
pour déterminer le résidu se trouvant dans la série
de Laurent avec l'ordre du pôle k valant donc 2.
En
final, nous aboutissons à:
(41.168)
Avec:
(41.169)
Pour
le calcul de nous
avons:
(41.170)
Dès
lors, l'intégrale curviligne a pour expression:
(41.171)
Après
simplification:
(41.172)
Nous
élevons au carré:
(41.173)
Donc:
(41.174)
d'où:
(41.175)
Nous
posons :
En
travaillant sur le dénominateur :
(41.176)
En
ajoutant et en retranchant :
(41.177)
Donc:
(41.178)
ou
encore:
(41.179)
Ou
encore:
(41.180)
Nous
considérons dans le terme le
radical qui s'écrit encore:
(41.181)
Soit
le développement en série (cf.
chapitre sur les Suites Et Séries) alors:
(41.182)
Donc:
(41.183)
Comme
,
nous pouvons négliger les termes au-delà de l'ordre 2 tel que:
(41.184)
Le
terme suivant s'écrit alors:
(41.185)
En
travaillant maintenant sur le terme entre les crochets et en considérant
uniquement le carré sans tenir compte de son signe négatif (!):
(41.186)
Soit
le développement en série de Taylor de (cf.
chapitre sur les Suites Et Séries):
(41.187)
alors:
(41.188)
En
négligeant les termes au-delà de l'ordre 2:
(41.189)
Le
terme entre les accolades s'écrit:
(41.190)
Nous
entreprenons le développement en série de Taylor du terme entre
les accolades:
(41.191)
En
négligeant les termes au-delà de l'ordre 2:

(41.192)
En développant
le carré du troisième terme, il vient:
(41.193)
Soit:
(41.194)
L'énergie totale de l'atome
devient:
(41.195)
Finalement,
nous obtenons pour l'expression de l'énergie:
(41.196)
Nous
pouvons donner une autre expression pour l'énergie de l'atome
hydrogénoïde
puisque:
et
(41.197) L'expression
de l'énergie totale de l'atome hydrogénoïde devient:
(41.198)
Soit:
(41.199)
Dans
la littérature, nous trouvons d'autres expressions pour l'énergie
totale qui sont plus intéressantes que les précédentes (car plus
traditionnelles). Ainsi, en considérant que ,
il vient:

(41.200)
Si
nous cherchons une expression en fonction de la constante de Rydberg
(voir plus haut):

(41.201)
Donc
l'expression de l'énergie totale relativiste de l'atome hydrogénoïde
la plus condensée que nous puissions trouver dans la littérature
et que nous adopterons dans le présent site est:
(41.202)
La
relation ci-dessus révèle bien l'existence d'une structure fine
puisque les caractéristiques et
de l'orbite de l'électron apparaissent séparément dans un rapport
et non plus uniquement sous la forme d'une somme comme dans le premier
modèle de Sommerfeld et Wilson.
Mais
en toute rigueur, nous devrions du fait de l'entraînement
du noyau:
(41.203)
ou:
(41.204)
Dans
laquelle la constante de Rydberg a pour expression:
(41.205)
Cependant
comme la masse du noyau est 1840 fois plus lourde que celle de l'électron,
nous pouvons admettre en première approximation que:
(41.206)
MOMENT
MAGNÉTIQUE DIPOLAIRE QUANTIQUE
À l'époque du développement
du modèle de Sommerfeld, certains physiciens s'attachent à étudier
une autre propriété de l'atome. Ils observèrent
que sous l'application du champ magnétique, les raies
se doublaient. Pour expliquer cela, ils eurent l'idée
géniale et extrêmement simple d'expliquer ce phénomène
par le moment magnétique de l'électron.
Remarque: Nous verrons en physique quantique ondulatoire, qu'au
fait, même en l'absence de champ magnétique une
mesure très fine des raies montre qu'elles sont toutes
doubles et ce à cause du couplage spin-orbite. Dès
lors, une interprétation correcte est de dire qu'il
y doublement du dédoublement des raies sous l'application
du champ magnétique.
Ainsi,
soit l'expression de la norme du moment magnétique dipolaire (cf.
chapitre de Magnétostatique):
(41.207)
le moment
magnétique est donc égal à la surface entourée par l'orbite de l'électron
multipliée par le courant de l'électron (perpendiculaire au vecteur
unitaire de la surface) sur sa ligne d'orbite soit:
(41.208)
où:
(41.209)
est la
période du mouvement.
Nous avons
vu que la somme des moments cinétiques étant égale à:
(41.210)
donc le
rapport moment magnétique/moment cinétique donne:
(41.211)
Le rapport
est
appelé le "rapport gyromagnétique orbital" et
la quantité:
(41.212)
est appelée
"magnéton de Bohr".
Remarque:Il
est important de se souvenir des quelques développements
et définitions qui viennent d'être faits lorsque nous
développerons
l'équation
de Pauli en Physique Quantique Relativiste.
Fréquemment
nous notons la relation ci-dessus ainsi:
(41.213)
où est
appelé "nombre quantique magnétique".
Sachant
que le nombre quantique principal est décomposé par
les nombres quantiques radiaux et azimutaux, il y a alors autant
de moments
magnétiques
qu'il y a de géométries différentes d'orbites
pour une valeur donnée
du nombre quantique principal. Au fait, il y en a même le double
si nous considérons que l'électron peut tourner dans
le même sens
ou dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (le moment magnétique
étant une grandeur vectorielle).
Maintenant,
prenons les deux exemples:
et
(41.214)
pour lequel
nous posons maintenant
, nombre que nous appelons "nombre quantique
de moment cinétique
orbital" et ayant des valeurs comprises entre: .
Qu'avons-nous finalement ?
1. Lorsque
,
nous avons et
comme n'a
qu'une seule sous-couche, alors lors de l'application d'un champ
magnétique nous n'avons toujours qu'une et une seule raie de visible.

Figure: 41.10 - Décomposition d'une orbitale très basse...
2. Lorsque
,
nous avons
et
et comme
a deux sous-couches. Lorsque aucun champ magnétique n'est
appliqué,
les raies des deux sous-couches sont superposées donc indiscernables
(on n'en voit qu'une seule). Mais lorsqu'un champ magnétique
est appliqué les deux sous-couches se distinguent de par
le moment magnétique
et dès lors nous avons deux raies mais au total il en existe
théoriquement
3 (une sans champ, et deux avec champ).

Figure: 41.11 - Décomposition de l'orbitale supérieure
Ainsi,
nous avons:
(41.215)
où:
(41.216)
L'énergie
potentielle d'un moment magnétique placé
dans un champ magnétique B vaut (cf.
chapitre de Magnétostatique):
(41.217)
Donc finalement
pour chaque orbitale d'électron soumise à un champ magnétique
nous avons:
(41.218)
toujours
avec :
(41.219) L'observation
du spectre d'un atome dans un champ magnétique a pour effet
d'ajouter des raies de par l'énergie potentielle du moment
magnétique. C'est
ce que nous appelons "l'effet Zeeman" car
c'est ce dernier qui a mesuré ces raies pour la première
fois (avant la théorie).
SPIN
Diverses
constatations expérimentales ont conduit à attribuer à l'électron
un moment cinétique et magnétique propre et particulièrement
le dédoublement
des raies Zeeman elles-mêmes appelé alors: "effet
Zeeman anormal".
Il a effectivement
été expérimentalement mesuré que le
moment magnétique résultant
était juste égal à la valeur du magnéton
de Bohr. Il est alors tentant d'attribuer ce moment magnétique à l'électron
et émettre
l'hypothèse que ce dernier viendrait peut-être du
fait qu'il tourne sur lui-même (moment cinétique intrinsèque):
il posséderait donc un "spin" égal
au magnéton de Bohr et ce dernier
pouvant prendre des valeurs négatives ou positives. Nous
parlons alors de "nombre quantique de
spin" ou historiquement "nombre
de Pauli" et
ce dernier donne le nombre de différentes valeurs que
peut prendre le spin.
Cependant,
cette vision classique d'une rotation propre (moment cinétique
intrinsèque) de la particule est en fait trop naïve et par
la même erronée.
En effet,
dans un premier temps, si la particule est ponctuelle, la notion
de rotation propre autour de son axe est tout simplement dénuée
de sens physique. Rappelons que puisque par définition, l'axe
de rotation d'un objet est le lieu de points de cet objet qui restent
immobiles, alors si la particule est ponctuelle, son axe propre
est sur la particule, donc celle-ci est immobile.
Dans un
deuxième temps, si la particule n'est pas ponctuelle, alors
la rotation possède un sens, mais on se heurte dans ce
cas à une
autre difficulté.
Supposons par exemple que la particule soit un électron,
modélisé
comme étant un corps sphérique de rayon a.
Nous obtenons une estimation du rayon a en écrivant que
l'énergie de masse de
l'électron est de l'ordre de grandeur de son énergie
potentielle
électrostatique (cf. chapitre d'Électrostatique),
soit:
(41.220)
La valeur
numérique de ce "rayon classique
de l'électron" est en
prenant sa masse au repos.
Si nous
attribuons alors à cet électron
un moment cinétique égal à (qui
a les unités d'un moment cinétique), nous obtenons pour
un point de l'équateur une vitesse v vérifiant:
(41.221)
La valeur
numérique de la vitesse vaut alors ...
donc la vitesse de rotation propre serait supérieure à la vitesse
de la lumière
dans le vide, ce qui pose bien évidemment des problèmes
avec la théorie
de la relativité restreinte (cf. chapitre
de Relativité Restreinte).
Nous
ne pouvons donc avec les outils mathématiques de la physique
quantique corpusculaire formaliser rigoureusement la notion de
spin, mais
nous
y reviendrons dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste
(équation de Pauli)
et nous montrerons que le spin est au fait quelque chose de beaucoup
plus subtil qu'une simple rotation.
Mais revenons
à notre vision classique en attendant. Donc, lorsque nous
observons un dédoublement des raies de Zeeman, nous supposons
que cela est dû au spin s de l'électron
qui peut prendre deux orientations (sens vectoriels) différentes.
Il a donc
été mesuré que le moment magnétique propre de l'électron est égal
à la valeur du magnéton de Bohr soit:
(41.222)
Si nous
posons (ce que les physiciens aiment bien faire) nous
avons:
(41.223)
(ceci
juste afin d'obtenir une similitude avec ...)
Cette
valeur est constante mais peut être négative ou positive en fonction
du sens de rotation propre de l'électron relativement à l'observateur
(le moment cinétique ayant une orientation vectorielle). Ainsi:
(41.224)
Ce résultat,
de la plus haute importance, nous amène aussi à la
conclusion que chaque nombre quantique magnétique est
dégénéré
deux fois par le nombre quantique de spin! Ainsi, comme nous le
verrons un peu plus loin dans des exemples concrets (avec schémas
à l'appui), chaque nombre quantique principal n est
dit "dégénéré" un nombre
de
fois:
PRINCIPE
D'EXCLUSION DE PAULI
Suite
au fait que l'état d'un électron atomique peut être
caractérisé
avec au moins les 4 nombres quantiques suivants (le premier nombre
quantique venant de Bohr,, les deux autres de Sommerfeld et le
dernier de Pauli) dont nous avons démontré la
provenance:
(41.225)
ou sous forme
étendue suivante:
(41.226)
Wolfgang Pauli, a alors posé pour expliquer certaines
régularités
dans les propriétés atomiques (plus particulièrement:
les propriétés chimiques) un principe d'exclusion nommé
aujourd'hui "principe d'exclusion de
Pauli" et qui s'énonce de la manière
suivante:
Dans un atome, deux électrons ne peuvent avoir
le même quadruplet
ordonné de nombres quantiques.
Remarques:
R1. Nous notons parfois selon les situations
(pour ce que cela change...).
R2. Nous savons par la physique quantique ondulatoire que le principe
d'exclusion s'applique aux particules qui sont des "fermions".
Ce sont les particules (élémentaires ou composées) qui ont un spin
demi-entier, comme le proton, le neutron et le neutrino. Ce principe
ne s'applique pas au groupe de particules dites "bosons",
qui ont un spin nul ou entier.
Il est possible à partir de ce principe, d'établir une sorte de
catalogue des éléments atomiques à partir des possibilités de remplissage
des orbitales, supposées disposées en couches, améliorant ainsi
la classification de Mendeleïev.
Les étudiants les voient fréquemment pour la première fois dans
les écoles lors de leurs cours de chimie. Ils les utilisent la plupart
du temps, sans savoir ce qu'ils représentent vraiment.
COUCHES ÉLECTRONIQUES
Au
cours des années 1920, Niels Bohr, Edmund Clifton Stoner
et d'autres conçurent
un modèle
de la structure électronique des atomes qui permet de comprendre
le tableau périodique des éléments. Le travail
de Henri Moseley a permis de déterminer le nombre de protons
dans le noyau et, comme l'atome est neutre, c'est aussi le nombre
des électrons orbitaux. Il
n'est pas simple de déterminer la structure atomique
et dans cette analyse, les physiciens ont été aidés
par les expériences
menées par les chimistes.
Ainsi,
selon les chimistes les électrons occupent des couches
et des sous-couches autour du noyau par ordre d'énergie
croissante selon des règles
associées
à leurs nombres quantiques que nous avons déterminés précédemment.
Ainsi, la "configuration électronique" est
l'arrangement
des électrons
dans un atome, une molécule ou un autre corps. Précisément,
c'est la position des électrons dans une orbitale atomique,
moléculaire ou d'autres formes d'orbitales électroniques.
Remarque: Rigoureusement ce concept de "couche" comme
nous pouvons nous l'imaginer visuellement n'a aucun sens si l'on
se réfère
aux résultats de la mécanique quantique (cf.
chapitre de Physique Quantique Ondulatoire). C'est la raison
pour laquelle
le débat qui consiste à savoir comment remplir les
couches est stérile car il n'existe pas rigoureusement
sans une grossière approximation de règle générale.
Chaque
couche correspond à une valeur spécifique du "nombre
quantique principal" n et traditionnellement
les couches sont désignées (cette tradition devrait être
abandonnée... mais comme toutes les traditions elle
a la peau dure...) par les lettres majuscules K, L, M, N, O,...
correspondant aux nombres 1, 2, 3, 4, 5...que peut prendre le
nombre quantique principal.
Le "nombre
quantique secondaire/azimutal"
noté conventionnellement par la lettre l correspond
aux états de dégénérescence
que peuvent prendre les couches pour une valeur donnée de n
tel que:
Pour la
couche K ( )
nous avons une unique sous-couche comme:
(41.227)
et ainsi
pour la couche L ( )
nous avons deux sous-couches:
(41.228)
et ainsi
pour M ( )
avons trois sous-couches:
(41.229)
et ainsi
de suite...
Les chimistes
ont pour habitude de noter les premières sous-couches par les lettres
latines:
s (sharp), p (principal),
d (diffuse), f (fondamental)....
Qui
sont l'équivalent alphabétique du nombre quantique
secondaire l. Pour résumer cela sous forme de tableau
nous avons:
Nombre quantique principal n
|
|
|
Nombre d'électrons maximum
|
1 |
1
|
1s
|
2
|
2 |
2
|
2s, 2p
|
8
|
3
|
|
|
18
|
4
|
|
|
32
|
5
|
|
|
50
|
6
|
|
|
72
|
7
|
|
7s, 7p, 7d, 7f, 7g,
7h, 7i
|
98
|
Tableau: 28.1 - Sous-niveaux des électrons dans les couches principales Le "nombre
quantique magnétique" désigne donc la position de l'orbitale dans l'espace (au fait,
il représente le vecteur directeur perpendiculaire à la surface
de l'orbite décrite par l'électron).
Ce dernier
nombre prend, nous l'avons démontré, le double de la valeur qu'il
y a de sous-couches par couche (effet Zeeman: doublement des
raies)
et puisque:
(41.230)
Le "nombre
quantique de spin"
désigne le nombre de différentes valeurs que
peut prendre le moment magnétique de l'électron sur
une orbitale donnée. Évidemment, il ne peut prendre
que deux valeurs qui correspondent au sens de rotation propre de
l'électron
par rapport
à l'observateur et produit un dédoublement du doublement
des raies (dédoublement Zeeman normal):
(41.231)
Définitions:
D1. Une "couche
électronique" est un groupe
d'états
qui ont le même nombre
quantique principal n.
D2. Une "sous-couche" est
un groupe plus petit d'états qui sont caractérisés par les
nombres quantiques de
n et
l.
D3. Une "orbitale" est
précisée
par les trois nombres quantique
et
elle peut contenir deux électrons l'un de spin haut et
l'autre de spin bas.
D4. Un "état" est
défini par les
quatre nombres quantiques et
contient un seul électron comme
l'exige le principe d'exclusion.
Résumons
sous forme de schémas à ce que nous avons vu jusqu'à maintenant:
Prenons
l'exemple:

Figure: 41.12 - Décomposition d'une orbitale basse avec spin
Ainsi,
le principe d'exclusion de Pauli permet qu'il y ait deux électrons
sur la couche K.
Prenons
l'exemple:

Figure: 41.13 - Décomposition d'une orbitale directement au-dessus
Ainsi,
le principe d'exclusion de Pauli permet qu'il y ait 8 électrons
sur la couche L.
Et
ainsi de suite... Nous remarquons que si nous faisons abstration
du nombre quantique de spin, chaque couche principale peut contenir
un nombre d'électrons égal à:
Sous
forme d'atomes schématisés selon le modèle de Bohr, cela donne:

Figure: 41.14 - Forme courante dans les livres de chimie du modèle relativiste de
Sommerfeld avec spin
Sous
une notation conforme à celle des chimistes, les configurations
fondamentales de quelques éléments s'écrivent:
|
|
|
Config. électronique
|
Hydrogène |
H |
1 |
1s
|
Hélium |
He |
2 |
1s2
|
Lithium
|
Li |
3 |
1s22s
|
Béryllium
|
Be |
4 |
1s22s2
|
Bore
|
B |
5 |
1s22s22p
|
Carbone
|
C |
6 |
1s22s22p2
|
Azote
|
N |
7 |
1s22s22p3
|
Oxygène |
O |
8 |
1s22s22p4 |
Fluor |
F |
9 |
1s22s22p5 |
Néon |
Ne |
10 |
1s22s22p6 |
Sodium |
Na |
11 |
1s22s22p63s |
Magnésium |
Mg |
12 |
1s22s22p63s2 |
Aluminium |
Al |
13 |
1s22s22p63s23p |
Silicium |
Si |
14 |
1s22s22p63s23p2 |
Phosphore |
P |
15 |
1s22s22p63s23p3 |
Soufre |
S |
16 |
1s22s22p63s23p4 |
Chlore |
Cl |
17 |
1s22s22p63s23p5 |
Argon |
Ar |
18 |
1s22s22p63s23p6 |
Tableau: 28.2 - Sous-niveaux des électrons dans les couches principales
Qui
est une forme condensée du tableau équivalant suivant:

Figure: 41.15 -Forme extensive... du tableau précédent
Cependant,
bien que le modèle relativiste de Sommerfeld soit d'une
précision
et d'une cohérence redoutable par rapport aux observations
expérimentales,
il n'explique pas certains phénomènes importants
que nous observons
à l'échelle de l'atome. Ainsi, ce modèle est dans
l'incapacité d'expliquer
la désintégration des éléments, le
comportement dual (complémentaire)
de la matière entre onde et corpuscule, l'annihilation
entre matière
et antimatière et encore bien d'autres.
Ce
sont des développements beaucoup plus complexes et à la
fois compatibles avec ce que nous avons vu qui vont être développés
dans le chapitre suivant traitant de la Physique Quantique Ondulatoire
permettant
d'expliquer de manière parfaitement satisfaisante nombre
de phénomènes
qui étaient inexpliqués à l'échelle du nanomètre.
|