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PRINCIPES | MÉCANIQUE ANALYTIQUE | MÉCANIQUE CLASSIQUE | MÉCANIQUE ONDULATOIRE | MÉCANIQUE STATISTIQUE | THERMODYNAMIQUE | MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS | ASTROPHYSIQUE | MÉCANIQUE RELATIVISTE

Nous avons toujours considéré jusqu'à maintenant lors de tous nos développements que les interactions (relations de cause à effet) entre les corps se faisaient instantanément, ainsi que l'observation d'un phénomène avait lieu instantanément après que celui-ci, soit. Or, deux physiciens (Michelson et Morley) au cours d'une expérience découvrirent quelque chose qui allait changer radicalement toute la physique classique : la vitesse de la lumière était invariante (constante) quelque soit le mouvement que l'on avait par rapport à elle ! Cette observation est d'autant plus importante que nous savons que c'est la lumière qui nous permet de percevoir et de ressentir les choses. Il convient également de prendre en compte que le champ électrostatique, magnétique sont comme nous l'avons vu en physique quantique des champs dont le "vecteur d'interactions" sont les photons qui se déplacement à la vitesse la lumière. Cette constation nous permet aussi de supposer que le champ gravitationel finalement a aussi un "vecteur d'interaction" (qui serait le"graviton" dont l'existence semble prouvée indirectement) qui se propage à la vitesse de la lumière. Il convient dès lors de prendre en compte cette "non-instantanéité" et les conséquences que cela entraîne dans les phénomènes observés pour déterminer finalement ce qui est réellement que de ce qui semble être.

Avant de nous attaquer aux calculs, il convient de définir un petit peu ce qui va être étudié dans ce chapitre :

1. La "relativité restreinte" : elle est confinée aux référentiels inertiels (galiléens), c'est-à-dire à l'étude de corps animés d'un mouvement rectiligne uniforme ou accéléré mais depuis un référentiel galiléen (voir chapitre de mécanique analytique).

2. La "relativité générale" : elle a pour rôle de prendre en compte des référentiels non inertiels et dans n'importe quel système de coordonnées en faisant usage de la puissance du calcul tensoriel pour être applicable dans n'importe quel type d'espace.

Ces deux théories se basent principalement sur cinq concepts très importants :

1. Le principe de moindre action (principe variationnel - voir chapitre de mécanique analytique). Celui-ci nous permettra entre autres de construire la théorie de la relativité générale de manière beaucoup plus explicite qu'en mécanique classique où il en est rarement fait mention bien que tout soit basé sur ce dernier.

2. Le postulat d'invariance (de la vitesse de la lumière).

3. Le principe de cosmologique (voir plus bas)

4. Le principe de relativité restreinte (voir plus bas)

5. Le principe d'équivalence (qui est tout aussi puissant que le principe variationnel et qui est la vraie idée géniale d'Einstein concernant la relativité générale).

Nous étudierons donc dans l'ordre :

- la relativité restreinte sous forme algébrique classique dans un premier temps et ensuite avec une petite correspondance à la notation tensorielle et à l'aspect géométrique de cette théorie afin de préparer le terrain pour la relativité générale.

- la relativité générale en faisant usage à outrance du calcul tensoriel, de la mécanique analytique (formalisme lagrangien) et de l'électrodynamique (si...si...)

Remarque : certains ouvrages font usage de la trigonométrie hyperbolique pour étudier la relativité restreinte dans les détails. Sans vouloir en faire usage dans ce site nous nous proposons de montrer lors de l'introduction des espaces de Minkowski de quelle méthode d'approche il s'agit afin que le lecteur n'en ignore par l'existence.

relativitÉ restreinte

Les lois physiques expriment des relations entre des grandeurs physiques fondamentales. Si les lois physiques sont invariantes par changement de référentiel galiléen comme nous l'avons vu en mécanique classique, il n'en est pas forcément de même des grandeurs physiques. Ces dernières peuvent se transformer d'un référentiel galiléen à un autre selon une loi de transformation simple comme nous l'avons vu au chapitre de mécanique classique. Il en est de même en relativité restreinte mais nous devons maintenant prendre en compte ce que nous avions négligé lors de notre des transformations de galilée : l'intervalle de temps entre deux événements n'est pas le même pour deux observateurs si la vitesse de la lumière est finie ! (trivial)

D'abord, il nous faut d'abord énoncer deux concepts :

postulat d'invariance

Des mesures de laboratoire (expérience de Michelson-Morley comme nous en avons fait mention) ont, depuis fort longtemps, montré que la vitesse mesurée par un référentiel inertiel est bien constante quelque soit la vitesse d'entraînement. Nous devons alors postuler la propriété suivante :

Postulat : la vitesse de la lumière (vecteur de transport de l'information) ne peut ni s'ajouter, ni se soustraire, à la vitesse d'entraînement du référentiel dans lequel nous la mesurons (plus clairement cela signifie que quelque soit la vitesse à laquelle vous vous déplacerez vous mesurerez toujours la vitesse de lumière comme valant numériquement constant et fini!).

Corollaire : le principe de relativité Galiléen (voir chapitre de mécanique classique) selon ce postulat est complétement mis à défaut et il nous faut alors développer une nouvelle théorie qui prend en compte cette propriété de la lumière

Remarque : il est important de noter que nous considèrons que la lumière est dans le cadre actuel de la relativité restreinte, le messager de l'information d'un corps sur un autre !!!

principe cosmologique

Définition : nous supposons que notre position dans l’Univers est typique, non seulement dans l’espace comme l’affirme le modèle standard de l'Univers (voir chapitre d'astrophysique), mais aussi dans le temps. Ainsi, un astronome situé dans une galaxie éloignée doit observer les mêmes propriétés générales de l’Univers que nous, qu’il ait vécu un milliard d’années plus tôt, ou qu’il l’observe dans un milliard d’années. 

En fait, il est relativement naturel d’aller plus loin et d’énoncer que : l’Univers présente le même aspect en chacun de ses points, c’est-à-dire qu’il est homogène. Cette homogénéité s’énonce sous la forme du "principe cosmologique". Ce principe ne repose pas sur les observations, si fragmentaires par rapport à la démesure du cosmos qu’elles ne sauraient permettre d’établir sa validité. Il constitue bien un présupposé à toute étude physique de l’Univers. Sa raison d’être tient à son caractère, indispensable à toute cosmologie scientifique, et peut-être à une certaine réaction par rapport à l’ancienne vision géocentrique ou héliocentrique : il est supposé désormais évident qu’aucun lieu n’est privilégié dans le cosmos !

principe de relativité restreinte

Rappelons (voir chapitre de mécanique classique) que les transformations galiléennes nous disent qu’aucun référentiels ne peut être considéré comme un référentiel absolu puisque les relations entre les grandeurs physiques sont identiques dans tous les référentiels galiléens ("principe de relativité galiléen"). Le mouvement galiléen est donc relatif.

Au 20ème siècle les physiciens constatèrent qu’une importante catégorie de phénomènes physiques violait le principe de relativité galiléen : les phénomènes électromagnétiques.

En appliquant les transformations galiléennes aux équations de Maxwell on obtient un jeu d’équations différent selon que l’observateur se trouve dans un référentiel fixe ou un référentiel mobile. Par exemple, considérons un électron. Dans le référentiel qui lui est lié (le référentiel propre) le seul phénomène électromagnétique observable est le champ électrique dont l’électron est la source. Dans un référentiel galiléen mobile par rapport à l’électron, celui-ci devient également la source d’un champ magnétique. Il en découle que les lois de l’électromagnétisme varient d’un référentiel galiléen à un autre ou, en d’autres mots, que les équations de Maxwell ne sont vraies que dans un seul référentiel, un référentiel de référence absolu. Or, comme nous l’avons vu en analysant la relativité galiléenne, il n’est pas possible de distinguer un référentiel galiléen d’un autre car le mouvement uniforme est un phénomène physique relatif. 

Ces remarques nous conduisent à conclure que :

· soit les équations de Maxwell sont fausses,

· soit les transformations galiléennes sont inexactes,

· ou enfin que notre compréhension du mouvement est incomplète.

Albert Einstein n’admettait pas la violation du principe de relativité galiléenne par l’électromagnétisme. De son point de vue il fallait au contraire le généraliser à toutes les lois physiques. Il postula que les lois physiques doivent être identiques dans tous les référentiels galiléens ce qui implique, implicitement, que du point de vue des lois physiques, il n’est pas possible de distinguer un référentiel galiléen d’un autre. Ce principe fut baptisé principe de relativité restreinte (cette relativité est en effet restreinte aux cas des référentiels galiléens exclusivement).

Énoncé du principe de relativité restreinte : les lois physiques sont inchangées après un changement de référentiel galiléen ou encore, les lois physiques sont identiques dans tous les référentiels galiléens.

Transformations de Lorentz

Pour que soit possible l'invariance de , nous devons admettre que le temps ne s'écoule pas de la même manière pour l'observateur immobile que pour l'observateur dans un référentiel en translation uniforme en (ce cas particulier de dispositions des référentiels dans lesquels les axes d'espaces sont parallèles amènent à ce que nous appelons les "transorfmations de Lorentz pures" ou "transformations de Lorentz spéciales") à vitesse relative (le terme "relative" est important!) .

Pour étudier le comportement des lois physique, nous devons alors nous munir de deux horloges qui donnent et (le référentiel qui contient son horloge/instrument de mesure est appelé "référentiel propre") 

Mettons en place l'expérience imaginaire suivante :

Lorsque les observateurs et sont superposés, nous posons et et nous émettons un flash lumineux dans la direction d'un point repéré par et .

Il est évident que lorsque le flash arrivera en , l'observateur mesurera un temps et un temps .

L'observateur conclut dès lors : 

L'observateur lui, conclut :

Étant donne que le déplacement de ne se fait qu'en , nous avons pour les deux observateurs :

De plus, si la trajectoire du rayon lumineux se confond dans , nous avons :

Ce qui nous donne dès lors et d'où :

et

Ce deux relations sont donc égales (nulles) en tout entre les deux observateurs. Ce sont les premiers "invariants relativistes" (valeurs égales quelque soit le référentiel). Nous retrouverons ces deux relations sous une forme plus généralisée lors de la fin de notre étude de la relativité restreinte il convient donc de s'en souvenir.

Il convient maintenant de se rappeler, que dans le modèle classique ("relativité galiléenne"), nous aurions écrit que la position du point pour l'observateur à partir des informations données par serait  et réciproquement (voir chapitre de mécanique classique) tel que :

Dans le modèle relativiste, nous devons par contre admettre que le temps qui est en relation avec n'est pas le même que   qui est en relation avec parce que le principe de relativité oblige (sinon quoi il serait donc impossible d'expliquer l'invariance de la vitesse de la lumière) !

Nous sommes alors ammenés à poser la relation précédente sous la forme suivante :

où  serait une valeur numérique à déterminer. 

Démonstration :

De plus, si , nous devons aussi pouvoir exprimer comme fonction de et de sous la même similaire : 

.

Résumons la forme du problème :

 à déterminer :

 à déterminer :

Nous cherchons alors à déterminer la relation permettant de connaître la valeur des coefficients , qui satisfont simultanément:

 et

Remarque : ces deux relations nous permette d'écire une relation que nous ré-utiliserons bien plus loin :

Donc, avec les dernières relations, nous obtenons :

Distribuons : 

Pour satisfaire la relation: 

Il faut que :

  (1)

  (2)

(3)

Il est facile de résoudre (2) : 

Nous introduisons alors ce résultat dans (1) et (3) et nous arrivons à :

  (1')

  (3')

Si nous divisons (2') par (3'), nous obtenons : 

et en introduisant ce dernier résultat dans la relation _, nous obtenons le résultat remarquable suivant:

que nous notons souvent :

et que nous appelons "facteur de Michelson-Morley".

En introduisant également : 

dans 

nous obtenons :

Nous en tirons les relations de transformation de Lorentz :

qui sont donc bien covariantes.

Rappel : certaines grandeurs physiques se transforment comme le système de coordonnées (cartésiennes, polaires, etc.) lors d'un changement de référentiel, d'autres non. Nous qualifions les grandeurs de la première catégorie des grandeurs "covariantes" (en analogie avec les composantes covariantes vues dans le chapitre de calcul tensoriel) et les autres de grandeurs "invariantes" ou "contravariantes" (en analogie avec les composantes contravariantes vues dans le chapitre de calcul tensoriel) 

Si nous posons :

avec 

Nous pouvons alors écrire (le lecteur remarquera que les unités de tous les termes à gauche de l'égalité sont toutes identiques – il s'agit à chaque fois d'une distance) :

Nous pouvons alors mettre les transformation de Lorentz des coordonnées et du temps sous la forme matricielle suivante :

Vous retrouverez fréquemment cette "matrice de Lorentz" ou "tenseur symétrique de Lorentz" (peu importe finalement) :

dans certains ouvrages sous la forme condensée  respectivement  ou encore plus souvent (et c'est la notation que nous adopterons sur ce site) en spécifiant que nous effectuons une transformation de Lorentz des composantes spatiales et temporelles (puisqu'il en existe aussi pour d'autres grandeurs physique comme nous allons le voir).

Remarques :

R1. La transformation inverse étant effectuée bien évidemment avec la matrice inverse

R2. Le vecteur est quant à lui, appelé le "quadri-vecteur d'espace-temps" ou encore "quadri-vecteur déplacement".

Nous pouvons de même déterminer les transformations de Lorentz des vitesses. Considérons une particule en mouvement dans un référentiel inertiel tel qu'au temps , ses coordonnées sont . Dès lors, les composantes de la vitesse sont :

Quelles sont alors les composantes dans la vitesse dans . A nouveau, nous écrivons :

Nous pouvons différentier les équations de transformation des composantes que nous avons obtenu avant et ainsi pouvons écrire :

Dès lors, nous avons :

et de même :

et :

Et comme la vitesse constante du référentiel est donné par , nous avons alors :

et inversement :

Dans la limite de la mécanique classique, où la vitesse de la lumière était supposée comme instantanée et donc . Nous avons :

qui sont les transformations de Galilée telles que nous les avons vues en mécanique classique.

De même, nous pouvons déterminer les transformations relativistes des accélérations entre référentiels inertiels. Cependant ces relations sont relations sont très rarement démontrées dans les livres ou instituts scolaires et chacun présente des résultats différents. Il convient de prendre avec extrême précaution les développements qui vont suivre tant qu'ils n'auront pas ét confirmés ou corrigés par d'autres. Ainsi :

et donc :

et donc :

et de même :

et :

Et inversement :

Addition relativiste des vitesses

Comme la vitesse de la lumière est une vitesse indépassable nous venons maintenant à nous demander quelle sera alors finalement la vitesse d'un objet lancé à un vitesse proche de celle de la lumière (par exemple...) à partir d'un référentiel se déplaçant lui aussi à une vitesse proche de la lumière (pourquoi pas non plus...). 

Il nous faut alors trouver une relation qui donne la vitesse réelle à partir de la vitesse de lancement  et de la vitesse de référentiel .

Nous savons que pour l'objet lancé : 

Comme celui qui est intéressé ne connaît pas la vitesse réelle , il se doit d'utiliser les transformations de Lorentz. Ainsi, nous savons que :

et nous avons également : 

d'où :

Nous savons que  d'où finalement la "loi de compositions des vitesses (relativistes)" :

qui est donc la vitesse d'un corps en mouvement dans la référentiel en mouvement par rapport au référentiel au repos (ou autrement dit : vu par le référentiel en mouvement).

Et réciproquement vu de l'autre référentiel en mouvement nous avons en faisant les mêmes développements (avec inversion des signes et des vitesses bien sûr):

qui est donc la vitesse d'un corps en mouvement dans la référentiel en repos par rapport au référentiel en mouvement (ou autrement dit : vu par le référentiel en mouvement).

VARIATION relativiste des longUeurs

Considérons maintenant que longueur d'un objet est donnée par la distance entre ses deux extrémités et . Considérons cet objet immobile dans le référentiel et orienté selon l'axe . Sa longeur est donc la distance entre ses deux extrémités :

Pour l'observateur , l'objet est en mouvement. Les positions de et devraient donc être mesurées simultanément :   

d'où le résultat remarquable :

Ainsi, la longueur d'une règle observée dans un référentiel mobile par rapport au référentiel propre de la règle est inférieure à sa longueur propre. Ce phénomène porte le nom de "contraction des longueurs".

variation relativiste du temps

Un événement est un phénomène qui se produit en un endroit donné et à un instant donné. L'origine du temps étant difficile à préciser, nous préfèrerons souvent définir la notion d'intervalle de temps comme le temps qui s'écoule entre 2 événements comme d'habitude.

Considérons maintenant deux événements et consécutifs qui se produisent au même endroit (!) dans le référentiel en translation. 

Pour l'observateur , l'intervalle de temps est simplement :

:

Pour mesurer cet intervalle, l'observateur dans le référentiel fixe, doit aussi imposer que est commun aux 2 événements :

d'où le résultat remarquable ci-dessous : 

Conclusion: l'observateur mesure un intervalle de temps d'autant plus grand que le référentiel dans lequel se déroule le phénomène se déplace rapidement. Le temps dans le référentiel mobile semble comme dilaté (oui! il semble mais c'est tout!) par rapport à celui en vigueur dans le référentiel fixe.

Variation relativiste de la masse

Imaginons une collisions frontale entre deux objets identiques (1), (2) ayant dans le référentiel des vitesses égales mais opposées. Nous supposerons que cette collision est élastique, c'est-à-dire que l'énergie cinétique et la quantité de mouvement sont conservées. Avant le choc, les composantes des vitesses des objets (1) et (2) sont :

comme indiqué ci-dessous :

Après le choc nous avons :

Maintenant, plaçons nous dans un référentiel R qui se déplace par rapport à avec la vitesse suivant , les composantes des vitesses sont avant choc :

et après le choc :

Nous avons donc trivialement :

mais en appliquant la loi de composition des vitesses démontrée plus haut :

pour les composantes de l'axe horizontal (puisque le référentiel se déplace dans cet vu depuis le référentiel en mouvement donc, nous avons :

et pour le mouvement vertical, nous avons plus haut que :

Ainsi il vient :

En passant de à R, la composant suivant y de la quantité de mouvement total doit rester nulle (comme c'était le cas dans R initialement). Or :

Pour sortir de cette impasse, il faut admettre que les masses respectivement des objets (1) et (2) ne peuvent être identiques dans R. Alors cela nous amène à imposer :

entraîne :

Dans R, les normes des vitesses des deux objets sont :

La dernière relation peut s'écrire :

de sorte que :

où nous avons posé :

Nous trouvons ainsi :

Nous poserons maintenant :

où est évidemment la masse au repos de l'un ou l'autre des objets identiques (1) et (2).

Le raisonnement que nous venons de faire sur un exemple simple, montre que la masse d'un objet dépens de sa vitesse v dans un référentiel donné. D'une façon générale, étant la masse au repos :

La masse tend vers l'infini lorsque la vitesse tend vers la vitesse c de la lumière dans le vide. C'est une raison supplémentaire pour affirmer que c est la limite supérieur assignée à la vitesse de tout objet matériel, ce qui est conforme à la fois à l'expérience et aux conséquences déjà formulées de la transformation de Lorentz.

Équivalence masse-énergie

Sous l'action d'une force , la vitesse d'une masse augmente ou diminue sur chaque portion de la trajectoire. Le travail de la composante  peut s'interpréter alors en énergie cinétique _.. 

Dans la théorie relativiste, la masse varie avec la vitesse, donc:

L'intégration par partie () nous donne :

Le gain d'énergie cinétique d'une particule peut donc être considérée comme gain de sa masse. Puisque  est la masse au repos, la quantité  est appelée "énergie au repos" de la particule.

Nous avons donc :

où  représente l'énergie de mouvement. 

La somme :

représente donc l'énergie totale de la particule en absence de champ de potentiel. Ce qui nous amène à écrire :

LAGRANGIEN RELATIVISTE

Les développements suivants vont nous permettre dans l'étude de l'électrodynamique, de déterminer l'expression du tenseur du champ électromagnétique ainsi qu'en physique quantique ondulatoire de déterminer l'équation de Klein-Gordon avec champ magnétique. Il faut donc bien lire ce qui va suivre.

En relativité, nous voulons donc que les équations du mouvement aient la même forme dans tous les référentiels inertiels. Pour cela, il faut que l'action (voir chapitre de mécanique analytique) soit donc invariante par rapport aux transformations de Lorentz. Guidés par ce principe, essayons d'obtenir l'action d'une particule libre. Supposons que l'action soit dans le référentiel :

Remarques :

R1. Le choix du signe moins deviendra évident lors de notre étude de l'électrodynamique.

R2. Le notation au lieu de pour le lagrangien permet simplement de mettre en évidence qu'il s'agit d'un cas d'étude ou le système est libre. Cette distinction de notation sera utile lors de notre étude de la relativité générale et de la détermination du tenseur du champ électromagnétique.

Et rappelons que :

Dans le référentiel , nous avons alors :

Donc selon notre hypothèse initiale, nous avons pour le lagrangien relativiste (en l'absence de champ de potentiel donc… puisque le système est "libre") :

Dans l'approximation non-relativiste , nous avons selon le développement de MacLaurin :

Nous retrouvons donc le lagrangien habituel d'un système libre en mouvement mais plus un constante qui n'affecte cependant pas les équations du mouvement que nous obtenons en mécanique classique mais qui nous sera absolument nécessaire en électrodynamique.

Rappelons maintenant que le moment généralisé (voir chapitre de mécanique analytique) est défini par :

Nous allons voir maintenant que cette définition n'est pas fortuite. Effectivement :

L'hamiltonien (voir chapitre de mécanique analytique) vaut :

ce qui donne  :

L'hamiltonien est dans ce cas égal à l'énergie totale de la particule. Son expression nous amène à finalement à changer un peu notre hypothèse initiale et finalement à écire au lieu de dans l'expression de l'action .

Ainsi nous avons finalement :

et

Dans l'approximation non relativiste , devient (développement de MacLaurin) :

Nous reconnaissons l'énergie cinétique usuelle, plus une constante : l'énergie au repos. Ce qui correspond bien aux calculs que nous avions fait avant où nous avons obtenu :

Quantité de mouvement relativiste

L'énergie totale et la quantité de mouvement  d'une particule peuvent donc prendre n'importe quelle valeur positive (si la vitesse tend vers la valeur limite , la masse s'adapte pour que le produit  ne soit pas borné).

Dans l'expression de , nous pouvons remplacer la vitesse  par une fonction de :

introduit dans :

nous avons :

d'où (nous reviendrons sur cett relation de la plus haute importance lors de notre démonstration de la relation d'Einstein) :

Nous n'avons pas gardé la partie négative de l'égalité précédente car elle n'a aucun sens en physique classique. Cependant, lorsque nous étudierons la physique quantique, il s'avérera indispensable de la préserver sinon quoi nous arriverons à des absurdités (voir le chapitre de physique quantique ondulatoire)

Cependant, nous pouvons bien évidemment écrire cette dernière relation aussi sous la forme :

ou encore :

En d'autres termes, l'énergie totale d'une particule en mouvement est égale à son énergie de masse additionnée par son énergie cinétique (rien de fondamentalement nouveau).

Cette présente deux cas limite où nous pouvons réduire la formule :

C1. Pour une particule au repos (p=0), nous pouvons réduire l’expression à (en omettant l'énergie négative…)

C2. Nous pouvons appliquer l’équation à une particule sans masse de manière à éliminer le premier terme ce qui nous donne alors .Un photon, par exemple, à une masse nulle mais il n’est jamais au repos. Par définition, c’est un quantum d’énergie, son énergie cinétique n’est donc jamais nulle.

Remarque : comme nous le démontrerons plus loin (voir la "relation d'Einstein"), à partir de la définition de la loi de Planck, nous pourrons écrire

Cherchons maintenant les relations entre et ainsi qu'entre et , pour qu'il soit possible à d'écrire :

Nous commencons alors à nous débarrasser de la racine carrée:

Si écrit : 

doit pouvoir écrire :

Nous avons donc : 

Si nous comparons : 

, ,  et

nous obtenons des expressions exactement semblables à celles utilisées pour les transformations de Lorentz des composantes spatiales et temporelles. Nous pouvons alors écrire, par similitude, que les transformations pour la quantité de mouvement et l'énergie sont dès lors données par :

À nouveau, si nous prenons :

   avec

Nous avons dès lors en exprimant toutes les relations précédentes de transformation dans les mêmes en se souvent que :

Nous pouvons alors définir un matrice telle que:

Vous retrouverez fréquemment cette "matrice de Lorentz" ou "tenseur symétrique de Lorentz" :

qui se note aussi en spécifiant que nous effectuons une transformation de Lorentz des quantités de mouvement et de l'énergie.

Le vecteur est quant à lui, appelé le "quadri-vecteur d'énergie-impulsion". Son utilité est que sa valeur est conservée, lors d'une réaction nucléaire. Si nous additionnons ces vecteurs sur toutes les particules (sans oublier les photons) avant et après la réaction, nous trouve les mêmes sommes pour les 4 composantes.

Remarque : la transformation inverse étant effectuée bien évidemment avec la matrice inverse

FORCE RELATIVISTE

Suivant le principe de la relativité, nous voulons que la relation entre la force et la quantité de mouvement s'écrive de la même manière par deux observateurs d'inertie en translation l'un par rapport à l'autre:

Ainsi, si écrit :

doit pouvoir écrire :

La relation entre  est assez compliquée dans le cas général. Nous nous limiterons ici au cas particulier où un corps est momentanément immobile dans et où donc l'observateur ne tiendra compte que de la force  qu'il applique. Il l'appellera par ailleurs "force propre", car il n'a pas à se préoccuper d'autres forces (comme une force centrifuge, par exemple).

Il faut substituer et par et dans :

Puisque :

nous aurons :

Nous avons par ailleurs vu que :

Il reste donc :

La composante de la force est donc invariable dans la direction du déplacement.

Pour les directions perpendiculaires au déplacement:

 et

En résumé:

La matrice de transformation est triviale et nous ne l'avons jamais trouvée dans la littérature. Nous n'en ferons donc pas mention.

CHAMPS ÉLECTRIQUE ET MAGNÉTIQUE relativIstes

Avec un spectromètre de masse, nous établissons que le rapport de la masse d'une particule par sa charge électrique varie de la même manière que la masse lorsque la vitesse de la particule varie :

Ainsi, il vient que :

La charge d'une particule est donc indépendante de sa vitesse comme nous l'avons démontré dans la section d'électromagnétisme (chapitre d'électrodynamique) lors de la détermination de l'équation de conservation de la charge.

Considérons maintenant deux charges et immobiles dans le référentiel en translation à vitesse par rapport à :

Nous allons nous restreindre au cas où la vitesse est parallèle à l'axe :

La charge est placée en et elle est donc immobile pour . L'observateur   conclut qu'une force électrostatique :

agit donc sur la charge témoin placée en .

L'observateur voit également un champ électrostatique  en , mais il voit aussi que est en mouvement selon l'axe . Il en déduit donc l'existence d'un champ magnétique  en  orienté dans le plan :

Il mesure donc la force (voir le chapitre de magnétostatique) de Lorentz (supposée connue) : 

.

Mais :

Donc :

Nous avons vu maintenant:

La comparaison des expressions ci-dessus donne les transformations relativistes du champ électrique :

Comme pour la transformation de Lorentz des composantes spatiales et temporelles, nous avons obtenu les transformations inverses en échangeant les champs et en considérant que voit reculer (nous remplacons donc par –).

Pour obtenir les transformations du champ magnétique nous procèdons comme ci-dessous:

Après quelques petites manipulations d'algèbre très élémentaire, nous obtenons :

Nous faisons identiquement:

Après encore une fois quelques petites manipulations d'algèbre très élémentaire, nous obtenons :

et ainsi de suite. Nous obtenons finalement :

Etudions maintenant le comportant du champ électromagnétique d'une charge en mouvement :

Soient deux référentiels parallèles et , en translation à vitesse constante selon l'axe ':

où une charge immobile est placée en . Il est clair alors que l'observateur mesure  partout et qu'au point du plan , en  il mesure le champ électrostatique :

Si l'observateur est informé des valeurs de et de , il peut les introduire dans les transformées relativistes donnant le champ électrique  qu'il observe:

Pour écrire une expression du champ au point , l'observateur doit déterminer, à un instant de son temps local, les composantes du vecteur qui sépare le point de la charge (en sommant les vecteurs position de ces deux derniers points matériels).

Le coordonnées du point et de la charge qu'il voit dans le plan sont donnés par les tranformations de Lorentz habituelles :

 et

Il en déduit donc facilement, pas sommation les distances .

Une autre méthode, plus simple, est que étant donné que la composante est une longueur, elle subit donc les transformation de Lorentz et :

Car rappelons le :

 et

La transformée relativiste du champ électrique donne alors:

et :

Écrit sous forme vectorielle :

Il nous faut encore déterminer exprimer  en fonction de :

car (théorème de Pythagore) :

L'écriture se simplifie si nous utilisons l'angle formé par le vecteur champ électrique et l'axe . Nous notons alors   dans et  dans les angles données par :

  et

avec  à cause de la dilatation des longueurs selon l'axe .

Nous élimine avec :

Ainsi, le champ électrique  que voit est donné par :

Le facteur contenant  montre que le champ électrique  d'une charge en mouvement n'a plus la symétrie sphérique. Il dépend de la direction du vecteur :

A distance égales, le champ électrique est plus intense dans la direction verticale à celle du déplacement ()  que dans la direction du déplacement de la charge ().

Si , nous retrouvons par ailleurs l'expression classique et connue: 

Remarque imortante : rappelons que nous avons effectué (et continuons dans ce sens) ici une étude d'une charge en mouvement rectiligne uniforme, c'est-à-dire à vitesse constante.

Pour trouver maintenant l'expression du champ magnétique , nous introduisons :

 et

 et  

dans:

Nous obtenons dès lors:

qui sont les composantes de :

Pour connaître  en fonction de , nous substituons l'expression obtenue pour

Remarque: dans la cas où la vitesse est faible, le terme relativiste tend vers 1 et le champ d'une charge se déplaçant à la vitesse devient:

car comme nous l'avons vu en électromagnétisme:

Remarques:

R1. En chaque endroit, les lignes du champ  sont contenues dans un plan perpendiculaire à la direction de déplacement de la charge (produit vectoriel oblige)

R2. Si la charge en mouvement est vue comme un attaché au point , nous peuvons interpréter son déplacement à vitesse comme un courant en un point du référentiel où se trouve . Ainsi :

RELATION D'EINSTEIN

Suivant le principe de relativité, nous souhaitons que la relation entre la quantité de mouvement et l'énergie d'une onde électromagnétique s'écrive de la même manière pour deux observateurs d'inertie en translation l'un par rapport à l'autre:

Si écrit:

alors doit pouvoir écrire :

Reprenons la première relation ci-dessus et mettons-la au carré sans oublier que le photon à une masse nulle . Alors :

et comme :

Étant donnée connue la relation de Planck (définie en thermodynamique) :

nous  sommes amenés à écrire la fameuse "relation d'Einstein" que nous retrouverons en physique quantique et aussi en thermodynamique :

Espace-temps de Minkowski

Nous avons démontré que:

Écrivons cela sous la forme :

Multiplions les deux membres par :

ce qui nous donne :

Si la vitesse est égale à celle de la lumière , l'équation s'annule :

Ce résultat traduit, que les dimensions d'espace et de temps sont comme arrêtées dans le référentiel relativiste, car la vitesse de l'objet est égale à celle de la lumière!

Imaginons maintenant qu'un faisceau lumineux soit émis à l'instant et se propage sur l'axe à la vitesse constante de la lumière, . Nous savons que et que dans l'espace-temps de Minkowski (application du théorème de Pythagore dans l'espace euclidien à trois dimensions), cette relation s'écrit:

En changeant de membre et en portant le tout au carré pour supprimer la racine, nous obtenons :

Remarque : nous pouvons assimiler cette équation à la représentation d'un front d'onde sphérique d'une onde lumineuse se propageant à la vitesse de la lumière.

Considérons maintenant deux événements de coordonnées  et  et pour éviter la confusion changeons de lettre . Nous pouvons dès lors écrire que :

En passant à la limite, nous avons obtenons la forme quadratique :

Qui à la même forme et même valeur quelque soit le référentiel considéré. est donc un invariant relativiste que l'on appelle "l'abscisse curviligne d'espace-temps", c'est l'intervalle d'espace-temps où, comme le dit simplement Einstein, le "carré de la distance"…. Le fait que cette grandeur puisse être positive, négative (!) ou nulle est liée au caractère absolu de la vitesse de la lumière (nous y reviendrons juste après).

Si nous mettons les deux relations suivantes en relation :

 et

La corrélation entre ces deux relations nous donne  lorsque que les deux événements sont reliés à la vitesse de la lumière. 

De plus, si nous posons   nous pouvons alors écrire :

Ceci n'est rien d'autre que l'équation d'un cône d'axe d'ordonnée … le fameux "cône d'Univers" (sur lequel nous consacrons tout une étude plus loin). Tout événement est donc par extension dans ce cône et l'évolution de tout système peut donc y être décrit (par sa positition spatiale et temporelle), par ce que nous appelons sa "ligne d'Univers". La ligne d'Univers d'une particule est donc la séquence d'événements qu'elle occupe durant sa vie.

Revenons maintenant à nos transformation de Lorentz. Rappelons que nous nous sommes restreints au cas particulier où les axes d'espaces étaient parallèles (ce qui nous avait amener à définir le terme "transformations de Lorentz pures"). Cette configuration spéciale a une propriété géométrique intéressant dont parfois certains ouvrages font usage. Voyons de quoi il s'agit.

Nous avons vu dans le cadre des transformation de Lorentz des longueurs que nous avions une transformation spéciale que selon l'axe , ayant pour les autres composantes . Ce qui nous permet tout à fait de réduire la matrice de transformation que nous avions à une matrice plutôt que comme nous l'avions obtenu plus haut :

L'identification de et de par invariance (et découlant des transformation relativistes) nous impose les relations suivantes :

La première relation peut être mise en relation avec une des relations remarquables de la trigonométrie hyperbolique (voir le chapitre trigonométrie de la section de géométrie du site) tel que et , la deuxième qu'il existe tel que et . La troisième donne alors la relation remarquable :

et donc que nous noterons plus simplement . Finalement les transformation de Lorentz spéciales de vitesse suivant l'axe peuvent aussi s'écrire

ce qui nous impose comme propriétés remarquables de par les relations remarquables de la trigonométrie hyperbolique :

et

La quantité (sans dimensions) est appelée "rapidité" par ceux qui l'utilisent en physique des hautes énergies. Nous nous arrêterons ici en ce qui concerne l'étude géométrique de la relativité restreinte trouvant que cela à de moins en moins d'intérêt de procéder ainsi (bien que ce soit fort sympathique).

cône d'univers

Remarque : si nous posons que la vitesse de lumière est égale à l'unité, l'axe des ordonnées devient alors par abus de langage "purement temporel". Nous ne ferons pas ce choix sur ce site.

Un événement ponctuel apparaît instantané (approximation reposée sur l'optique géométrique) à tout observateur capable de le voir. Une collision entre deux particules ponctuelles fournit un exemple d'événement ponctuel. Il est tout à fait possible qu'un événement instantané non ponctuel apparaisse instantané à un certain observateur mais, à cause de la vitesse de propagation finie de la lumière, non instantané à un autre observateur.

Définitions :

D1. Nous dirons par définition que deux événements ponctuels occupent le même point d'espace-temps s'ils apparaissent simultanés à tout observateur capable des les voir. 

D2. L'ensemble de tous les points de l'espace-temps est appelé "l'espace-temps".

D3. La frontière définie par le cône d'Univers est appelée "horizon cosmologique"

Rappel :  Si aucune force n'agit sur une particule ponctuelle, nous la qualifions "d'inertielle"; nous disons également qu'elle est en "mouvement inertiel".

Étant donné le point , est une structure géométrique absolue, indépendante de l'observateur. Sa composante future sera notée ; sa composante passée et elle sera représentée lar le cône :

La ligne d'univers de tout observateur qui occupe instantanément (dont la ligne d'univers passe par ) est contenue à l'intérieur de définit par un point unique sur sa sphère céleste (pour un observateur donné, son temps propre pouvant être normalisé à l'unité, nous avons alors une sphère). Cela veut dire qu'il peut y avoir autant de rayons nuls (foyers des cônes) passant par que de points sur une sphère.

L'exemple suivant paraîtra plus évident (il faut comprendre par soi-même implicitement que l'Univers a son propre cône d'Univers - si l'espace est de type Minkowskien bien sûr...) :

Comme illustré sur la figure ci-dessus, un événement lumineux au point de l'espace-temps produit un faisceau de photons, tous dans le cône nul du futur , (ces photons ont été émis par des atomes dans des états de mouvement variés, dont les lignes d'univers   et passent par , mais sont entièrement contenues à l'intérieur de ). La ligne d'univers ne peut seulement être décrite par une particule se mouvant à la vitesse de la lumière car elle définit la frontière du cône (nous disons alors que la ligne d'Univers est "du genre lumière").

Remarque : la représentationd des lignes d'Univers dans la partie inférieur (cône renversé) vient du fait qu'un événement peut également avoir un passé... donc le schéma généralise l'exemple particulier

Soit  la ligne d'univers d'un personnage immobile (d'où la verticalité de sa ligne d'Univers sur la figure ci-dessus) et celle d'un rayon lumineux ayant pour origine . Tous deux résident dans l'espace à quatre dimensions et ils se coupent selon un point unique . Les points et se situent sur un rayon nul (d'un future cône), , de .  En , le personnage voit un flash soudain dans la direction définie par , pour lui la direction de l'événement lumineux (décrite uniquement par sa vitesse donc, ainsi une ligne d'univers d'une particule inertielle peut être décrite uniquement par le temps et sa vitesse).

Un atome dont la ligne d'univers coupe au point , absorbe un photon de l'événement lumineux et réémet peu de temps après un faisceau de photons. Ceux-ci forment alors à leur tour des rayons nuls dans , mais seuls ceux de direction atteindront le personnage et seront vus par lui au point .

Les physiciens disent alors, en analogie avec la mathématique, qu'en considérant donnée une ligne d'univers inertielle, nous avons une classe d'équivalence (voir le chapitre de théorie des ensembles) de lignes d'univers parallèles et, par extension étant donné un point sur une ligne d'univers, nous avons une classe d'équivalence de points synchrones avec . Cette classe d'équivalence de points forme bien évidemment un plan tri-dimensionnel passant par (à priori c'est sympathique de se l'imaginer mais je ne suis pas convaincu de l'utilité de la chose).

Si se trouve à l'intérieur de , le cône nul de , nous dirons que sa ligne d'Univers est de "genre temps". Dans ce cas, et sont situés sur la ligne d'univers d'un observateur ou d'une particule massive. Il existe bien évidemment deux types de déplacements de genre temps: si est dans le futur de (selon un observateur dont la ligne d'univers passe par et ), nous dirons que "pointe vers le futur" dans le cas contraire, nous dirons bien entendu qu'il "pointe vers le passé". 

Si se situe sur , nous dirons alors qu'il est "nul" et n'est ni nul ni de genre temps, alors se situe à l'extérieur de . Nous disons alors que qu'il est de "genre espace" :

Cela se traduit mathématiquement simplement par :

D1. : la ligne d'univers est donc de "type lumière" (selon ce que nous avons démontré précédemment)

D2. : nous disons alors que la ligne d'univers est de "type espace". Effectivement, la différence ne peut être négative de par l'élévation à une puissance paire de (à moins que le temps soit de type complexe). Donc la ligne d'Univers est nécessairement à l'extérieur du cône.

D3. : Nous disons alors que l'intervalle ou la ligne d'univers sont de "type temps".

Revenons à nos équations après ce petit interlude... les équations conduisent donc à faire plusieurs observations. Ainsi, dans l'Univers euclidien à quatre dimensions de Minkowski, les trajectoires des objets dans l'espace-temps sont toujours des droites. Effectivement, l'exemple trivial consiste à considéréer que l'objet reste au repos, seul le temps continue alors à s'écouler. Nous avons dès lors:

en posant  , cela nous nous donne:

donc :

et aussi :

La primitive étant (constante d'intégration nulle):

qui est bien une droite et reprèsente donc la ligne d'Univers de l'objet considéré dans le cône d'Univers. Nous pouvons aussi observer aussi que dans ce cas, l'évolution du phénomène est purement temporelle quand l'intervalle est postif (ce qui appuie ce que nous avions dit tout à l'heure).

Remarque : si la vitesse de la lumière est infinie nous retrouvons le cas particulier de l'univers newtonien, où un phénomène peut instantanément se produire en dehors de tout lien de causalité (nous disons alors que l'effet à lieu avant la cause). Le temps y est absolu et il n'existe pas d'horizon cosmologique.

RELATIVITÉ GÉNÉRALE

Le relativité restreinte est une réussite remarquable sur le point de vue théorique aussi bien que sur lpoint de vue pratique. Cependant, celle-ci s'applique aux repères euclidiens seulement et aux référentiels inertiels/galiléens (à vitesse constante pour rappel...)… Il convient donc de généraliser l'ensemble de la mécanique d'abord en exprimant ses principes et ses résultats fondamentaux sous une forme généralisée indépendante du type de systèmes de coordonnées choisi (in extenso : du type d'espace) en faisant usage du calcul tensoriel et de prendre en compte les systèmes non inertiels.

Il convien de prendre en compte aussi que le fait que la relativité restreinte ne s’applique qu’aux référentiels galiléens est restrictif car toute masse crée un champ gravitationnel dont la portée est infinie. Pour pouvoir trouver un vrai référentiel galiléen il est donc nécessaire de se situer infiniment loin de toute masse. La mécanique relativiste bâtie à partir de la relativité restreinte ne constitue donc qu’une approximation des lois de la nature, dans le cas où les champs gravitationnels ou les accélérations sont suffisamment faibles.

D'abord il faut s'avoir que si nous prenons en compte l'accélération dans les premiers développements que nous avons fait pour la relativité restreinte, nous n'arrivons à aucune simplification permettant d'obtenir des relations explicites des transformations relativistes entre différents référentiels (essayez pour voir...). Il fallait donc trouver une autre approche permet de se soustraire à ce problème. C'est ici qu'encore une fois 'intervient le génie d'Albert Einstein .

Effectivement, Einstein croyait à une physique ne devant privilégier aucun référentiel puisque telle était à ses yeux la réalité de l'Univers. Mais comment se soustraire alors au phénomène d'accélération. L'idée géniale fut d'énoncer le postulat d'équivalence suivant (qui encore aujourd'hui au début du 21ème siècle n'est toujours pas mis en défaut par les expériences récentes) en plus du postulat d'invariance et du principe cosmologique que nous avons énoncé au début :

POSTULAT D'éQUIVALENCE

Dans un premier temps, Albert Einstein (avec une idée derrière la tête que nous exposerons plus loin) postule donc l'équivalence suivante :

Postulat : l'accélération d'une masse (hors champ gravitationnel) due à l'application d'une force mécanique et l'accélération de cette même masse soumis à un champ gravitationnel sont supposées parfaitement équivalentes. Ainsi, les résultats des analyses mathématiques dans un cas, peut s'appliquer dans l'autre (déjà là c'est fort mais cohérent... l'idée est très très bonne encore fallait-il l'avoir...!)

Corollaire : la masse au repos d'un corps doit alors être la même dans un champ gravitationnel ou hors champ gravitationnel (nous parlons alors de masse inertielle et de masse pesante comme nous l'avons vu au tout début de notre étude de la mécanique classique). Il faut bien prendre en garde et vérifier que le corollaire du postulat d'équivalence est vrai sinon toute la relativité générale s'écroulerait (en ce début de 21ème siècles des expériences sont toujours en cours pour essayer de mettre à défaut cette équivalence) !

En quoi ce postulat permet-t-il de résoudre toutes les difficultés alors ? C'est simple ! L'idée absolument géniale est la suivante :

Lorsque nous allons considérer un corps en accélération, nous allons d'abord toujours assimiler celle-ci à l'accélération due à la chute dans un champ gravitationnel (de par l'application du principe d'équivalence). Ensuite, nous allons supposer, et devrons le vérifier en retrouvant la loi de Newton, que l'accélération due à ce champ gravitationnel n'est pas due au champ lui même mais à la géométrie de l'espace déformée par la présence de la masse (in extenso l'énergie) qui crée le champ gravitationnel. Ainsi, l'objet n'est plus en "chute libre" mais sera vu comme 'glissant' sur la trame spatiale et acquérir ainsi son accélération.

Au fait, l'enjeu est double :

1. Si le calcul tensoriel permet d'exprimer les lois de la mécanique classique et relativiste restreinte dans n'importe quel système de coordonnées, il est alors possible de voir comment le système de coordonnées (la métrique) agit sur l'expression des lois de l'Univers (Albert Einstein ne le savait pas tant qu'il n'avait pas terminé ces calculs mais le pressentait) !

2. Si l'expression tensorielle naturelle des lois de la mécanique fait apparaître le glissement (in extenso l'accélération) sur la trame spatiale suivant la métrique (locale) considérée, alors le pari est gagné et alors l'accélération peut être vue comme un effet dont la cause est purement géométrique.

Ainsi, l'extension de la relativité restreinte ne se fait plus en prenant en compte les systèmes non inertiels mais la géométrie du système !! Nous pouvons (et arrivons!) ainsi à contourner le problème initial et le pire... c'est que cela marche !!!!

Exemple de la fusée :

Supposons que deux fusées, que nous nommerons et , se trouvent dans une région de l’espace éloignée de toute masse. Leurs moteurs sont arrêtés ce qui se traduit physiquement par un mouvement rectiligne uniforme. Dans chaque fusée, des physiciens réalisent des expériences de mécanique avec des objets dont ils connaissent la masse inerte. Soudain, le moteur de la fusée démarre et lui communique une accélération dont l’effet ressenti à l’intérieur du vaisseau spatial est une force d’inertie qui plaque les objets vers le plancher. Pour les physiciens de la fusée les lois de la mécanique sont alors les mêmes que celles que l’on observe dans un champ gravitationnel. Ils sont donc logiquement amenés à interpréter la force d’inertie comme la manifestation d’un champ gravitationnel. A l’aide d’une balance, ils peuvent alors peser leurs objets et leur attribuer une masse gravitationnelle.

Supposons que les physiciens de la fusée puissent observer ce qui se passe dans la fusée . Ils savent que ce que leurs collègues interprètent comme le poids des objets n’est en fait qu’une force d’inertie. La force d’inertie est proportionnelle à l’accélération et à la masse inerte. Si la masse gravitationnelle était différente de la masse inerte les physiciens de la fusée pourraient distinguer les effets des forces d’inertie de ceux d’un champ de gravitation car les masses mesurées seraient distinctes. Or, nous savons que la masse inerte et la masse gravitationnelle sont équivalentes (principe d’équivalence galiléen). Il s’ensuit que les physiciens de la fusée n’ont aucun moyen de faire la différence entre des forces d’inertie résultant d’un mouvement accéléré de leur vaisseau spatial et les forces d’attraction gravitationnelles.

PRINCIPE DE MACH

Si le principe d’équivalence met en évidence l’égalité des masses inerte et gravitationnelle, il ne nous éclaire pas sur la nature de ces deux masses. Finalement, que sont les masses inerte et gravitationnelle ?

La nature profonde de la masse inerte devrait nous renseigner sur celle de l’inertie elle-même. L’inertie se manifeste sous une forme passive - le principe d’inertie - et une forme active - la seconde loi de Newton. D’une manière générale, elle exprime un comportement universel des corps à résister au changement du mouvement. Or nous savons que le mouvement inertiel est relatif c'est-à-dire qu’il n’existe aucun référentiel absolu. En est-il de même du mouvement accéléré ? Considérons, pour illustrer cette interrogation, une fusée dans laquelle se trouve un physicien et réalisons deux expériences.

Première expérience. La fusée accélère : le physicien est soumis à une force d’inertie orientée dans la direction opposée à celle de l’accélération.

Deuxième expérience. Maintenant supposons que l’on imprime à l’ensemble de l’Univers - à l’exception de la fusée qui se déplace selon un mouvement inertiel - une accélération exactement opposée à celle de la fusée lors de l’expérience précédente.

Si le mouvement accéléré est relatif alors, pour un observateur, il n’est pas possible de distinguer les deux expériences. Notamment, le physicien situé à l’intérieur de la fusée doit observer l’apparition d’une force d’inertie absolument identique à celle qu’il a notée lors de la première expérience. La masse inerte trouverait alors son origine dans les interactions de la masse gravitationnelle des corps avec l’ensemble des masses gravitationnelles de l’Univers ! Selon Ernst Mach, un physicien et philosophe du XIXe siècle, le mouvement quel qu’il soit, inertiel ou accéléré, serait relatif.

Cette théorie fut baptisée par Einstein "principe de Mach". Jusqu’à ce jour, le principe de Mach n’a pas été confirmé, mais pas davantage infirmé. Il est vrai que sa vérification expérimentale dépasse de beaucoup les capacités humaines !

GRAVITATION ET GÉOMéTRIE

Einstein supposa donc que la gravitation n’était que la manifestation de déformations de l’espace-temps. Pour tenter d’illustrer de façon simpliste mais très imagée l’idée d’Einstein, considérons une roue dentée roulant à vitesse constante (disons une dent à la seconde) sur une crémaillère. Imaginons que nous ayons le pouvoir de modifier simultanément le pas de la crémaillère et celui de la roue quand et où nous le désirons. Faisons alors en sorte que le pas de la crémaillère augmente légèrement d’une dent à l’autre. Pour des observateurs fixes la roue est alors animée d’un mouvement uniformément accéléré car, en effet, à chaque tour celle-ci parcourt une distance toujours plus grande. En revanche, si l’on choisit la crémaillère comme référentiel et le pas de celle-ci comme étalon de mesure, le mouvement de la roue est alors uniforme (une dent par seconde). L’accélération de la roue est la conséquence de l’augmentation du pas de la crémaillère.

En algèbre et géométrie (calcul tensoriel + géométrie différentielle), nous avons vu que la mesure de la distance  entre deux points positionnés dans un espace à deux dimensions peut s'effectuer au moyen d'un grand nombre de système de coordonnées par lesquels:

- Les coordonnées rectangulaires (dans ):

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace plat.

- Les coordonnées polaires (dans ):

d'où:

d'où:

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace plat.

- Les coordonnées cylindriques pour lesquelles nous avons :

à remplacer dans  nous obtenons de façon quasiment identique à précédemment:

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace plat.

- Les coordonnées sphériques (dans ) pour lesquelles nous avons :

à remplacer dans  nous obtenons :

Petit rappel préalable:

Donc:

Après un première série de mise en commun et de simplifications élémentaires des termes identiques, nous obtenons:

Jusque là, vous vous demandez peut-être où nous voulons en venir. Au fait, nous cherchons à définir à partir des ces relations, un être mathématique qui en concordance avec l'hypothèse d'Einstein, exprime les propriétés géométriques d'espaces donnés.

Comment allons nous faire? Nous allons d'abord changer d'écriture tout simplement. Au lieu d'utiliser les symboles  nous allons écrire . Attention! Les chiffres en suffixes ne sont pas des puissances. Ce sont des valeurs muettes qui sont là uniquement pour symboliser la -ième coordonnée d'un repère donné.

Ecrivons maintenant à nouveau nos équations avec cette nouvelle notation :

Coordonnées rectangulaires: 

Coordonnées polaires: 

Coordonnées cylindriques: 

Coordonnées sphériques: 

Maintenant définissons un être mathématique que nous appellerons le "tenseur métrique" (nommé ainsi car il 'étalonne' l'espace-temps) et notons le  et relativement aux propriétés du calcul tensoriel (voir chapitre de calcul tensoriel) écrivons :

Cet être mathématique qui est un tenseur contient donc les paramètres de la courbure (vous pouvez également dire de contraintes ou tensions) dans lequel un espace se trouve. Mais alors que contient le tenseur métrique d'espace-temps pour un espace euclidien plat?:

selon la convention d'écriture de sommation d'Einstein (voir section la section du calcul tensoriel) par exemple, pour  nous avons:

Donc si nous revenons à notre tenseur pour l'espace euclidien plat nous savons déjà  et nous avons dans notre tenseur  pour  et  pour (tenseur symétrique). Donc:

Ce résultat est remarquable car le tenseur métrique va nous permettre donc de définir les propriétés d'un espace à partir d'un simple être mathématique facilement manipulable formellement.

En coordonnées polaires le tenseur  s'écrit:

Vérification:

 En coordonnées cylindriques le tenseur  s'écrit:

La vérification ne se fait même plus tellement le résultant est évident.

En coordonnées sphériques le tenseur  est un peu plus complexe et s'écrit:

La vérification ne se fait même plus tellement le résultant est évident.

En relativité restreinte, nous avons vu que la notion d'espace de temps étaient implicitement liées. Ainsi, pour étudier la physique (cela intéresse peu le mathématicien), nous avons besoin d'ajouter à notre tenseur métrique la composante du temps pour obtenir ce que nous appelons le "tenseur métrique d'espace-temps". Pour déterminer l'écriture de ce tenseur, nous allons nous placer dans un premier temps nous placer dans un espace de Minkowski où nous avions rappellons-le :

Ainsi, en posant:

Nous avons:

LAGRANGIEN LIBRE GÉNÉRALISÉ

Dans un espace sans champ de potentiel, nous avons vu en mécanique analytique que le lagrangien se réduit à la simple expression de l'énergie cinétique tel que:

si nous souhaitons généraliser cette relation pour qu'elle soit valable dans n'import que type d'espace (courbe ou plat), il nous faut introduire les coordonnées curvilignes telles que nous les avons étudiées en calcul tensoriel (voir le chapitre du même nom dans le section d'algèbre du site).

Dans un premier temps, cela donne:

où rappelons-le  est l'abscisse curviligne de la trajectoire.

Mais nous avons démontré en calcul tensoriel que:

ce qui donne pour le lagrangien (avec ):

Ce qui nous permet d'écrire (attention il faut bien se rappeler des différentes relations que nous avions déterminées lors de notre étude de formalisme lagrangien dans le chapitre traitant des principes de mécanique analytique):

par conséquent l'expression de l'Hamiltonien devient bien évidemment:

puisque nous considérons être dans un espace sans champ de potentiel. Le carré de la vitesse étant dès lors constant sur toute la trajectoire, nous avons:

Etablissons maintenant les équations du mouvement de tout corps. Nous avons:

     et   

et donc:

puisque:

et comme:

en mettant en commun :

que nous pouvons écrire identiquement pour les  en procédant de façon identique à ci-dessus.

La relation précédente donne donc la trajectoire d'un corps en mouvement, dans un espace sans champ de potentiel, en fonction de ses coordonnées curvilignes et de la métrique de l'espace considéré.

Remarque : ce qui est particulièrement intéressant dans ce résultat, c'est que la masse  s'élimine identiquement.

Conclusion: aux mêmes conditions initiales de position et de vitesse curvilignes dans un espace (plat ou courbe) sans champ de potentiel, correspond la même trajectoire quelle que soit la masse de la particule (même pour les photons – la lumière – dont la masse est nulle !!).

ÉQUATIONS DES GÉODÉSIQUES

En partant de:

avec une paramétrisation telle que  et  sont fonction d'une paramètre temporel ou spatial.

Pour une surface donnée paramétriquement, nous cherchons donc à minimiser la longueur d'un arc   en appliquant le principe variationnel (non dépendant du temps car les photons ne peuvent avoir un chemin plus rapide (au sens temporel du terme entre deux points mais uniquement un chemin plus court (au sens métrique du terme)):

Or:

En développant, et comme les indices ont le même domaine de variation:

d'où:

En  travaillant sur la seconde intégrale, nous posons:

 et

Donc par l'intégration par partie (voir chapitre traitant du calcul différentiel et intégral):

il vient:

Soit finalement:

Le terme non intégré ci-dessous est négligeable à cause de la présence du facteur :

Donc nous avons:

Nous effectuons un changement d'indice:

ce qui nous permet de factoriser  :

Comme  et  sont différents de zéro, c'est l'intégrant qui doit être nul:

En développant le second terme:

Qui s'écrit encore:

et qui se simplifie en:

Nous obtenons le système d'équations qui définissent les géodésiques, c'est-à-dire les droites de . Ces dernières constituent donc les extrémales de l'intégrale qui mesure la longueur d'un arc de courbe joignant deux points donnés dans .

Cette dernière équation, est celle qui nous intéresse dans le cas du lagrangien libre. Effectivement, si nous prenons le cas extrême de la lumière (ou des photons si vous préférez), cette dernière ne va pas chercher le chemin le plus rapide (le plus vite) au niveau temporel. Ce serait totalement en contradiction avec le postulat d'invariance de voir la lumière accélérer en fonction du chemin!!! Dans ce contexte, cela signifie que sur la trame spatio-temporelle, la seule chose qui à un sens est le plus court chemin spatial et non le plus court chemin temporel! C'est la raison pour laquelle cette dernière équation est appelée "équation des géodésiques" ou encore "équation d'Euler-Lagrange généralisée".

Cependant, nous pouvons écrire cette dernière équation de façon plus condensée en introduisant les symboles de Christoffel si la métrique est un tenseur symétrique tel que . Effectivement:

et comme:

Alors l'équation d'Euler-Lagrange s'écrit:

La multiplication contracté de la relation précédente par  nous donne, avec  (nous considérons toujours le cas particulier mais intéressant d'un tenseur métrique symétrique) et , alors:

Cette relation est de la plus haute importance car elle va nous permettre de déterminer (plus loin) comment un corps en mouvement va naturellement se déplacer dans un espace courbe et peut-être... ceci indépendamment de la masse. De plus, cette expression va aussi nous permettre de savoir comment dans un chemin parcouru (géodésique) la métrique varie d'un point infiniment voisin à un autre. En gros nous nous rapprochons du gâteau et percevons que gentillement la voie semble être la bonne...