
PRINCIPES
| MÉCANIQUE ANALYTIQUE
| MÉCANIQUE
CLASSIQUE
MÉCANIQUE
ONDULATOIRE | MÉCANIQUE
STATISTIQUE | THERMODYNAMIQUE
MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
La
mécanique est la branche de la physique qui a pour objet
l'étude des forces et de leurs actions sous une forme abstraite
(Larousse)
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
En introduisant
la mécanique nous faisons
enfin, après une trrrrrès longue incursion préalable
et obligatoire dans le monde magnfique de la mathématique,
nos premiers pas dans le domaine de la physique théorique...
version simplifiée...
qui ne cherche pas la précision
mais seulement la compréhension des phénomènes
(les calculs exacts ou les simulations numériques donnent
de toute façon des résultats
très
voisins de ce que nous allons voir).
Comme nous l'avons déjà dit, la physique est donc
une science fondamentale qui a une profonde influence sur toutes
les autres sciences et sur la société humaine et
qui a pour objectif d'expliquer le comment et non le pourquoi
(voir
l'introduction du site pour plus de détails). Les futurs
physiciens et ingénieurs ne sont ainsi pas les
seuls qui doivent avoir bien compris ses idées fondamentales,
mais tous ceux qui envisagent une carrière scientifique
(y compris les étudiants qui se spécialisent en
biologie, en chimie et en mathématiques)
doivent avoir acquis la même compréhension.
Le but premier de ce site, nous insistons..., est donc de donner
à l'étudiant une vue unifiée de la physique
en présentant
ce que nous pensons être les idées fondamentales constituant
l'essentiel (minimum minimorum) de la physique contemporaine.
Souvent, la physique est enseignée comme si elle était
une juxtaposition de plusieurs sciences, plus ou moins bien reliées,
mais sans aucun réel souci d'unité et de détails
(raison pour laquelle la majorit des ouvrages et sites Internet
ne font pas les démonstrations).
Nous avons rejeté ce
mode de d'enseignement (pour
l'avoir subi pendant nos études) et avons opté pour
une présentation
unifiée et soigneusement détaillée en faisant
au besoin à chaque
fois référence
à un chapitre du site qui contiendrait les démonstrations
des outils mathématiques utilisés ou d'une autre
théorie physique sous-jacente.
Nous insistons sur le fait que tout étudiant devrait connaître
les bases de la logique, l'arithmétique, l'algèbre,
le calcul vectoriel, le calcul tensoriel, le calcul différentiel
et intégral et la géométrie
analytique et différentielle avant toute étude des
phénomènes
physiques ceci afin de travailler avec rigueur et toute la compréhension
nécessaires aux raisonnements mathématiques qui
vont être introduits
à partir de maintenant (les mathématiques sont les
fondations de l'immense édifice de la physique théorique!).
Nous allons voir dans ce qui va suivre que tous les outils ou résultats
mathématiques
présentés jusqu'à maintenant
seront utilisés!!
Rappelons
tout de même que la "physique" est donc la "science
exacte/déductive" qui s'occupe de modéliser
mathématiquement
au mieux les phénomènes naturels, artificiels, observables ou non-observables.
En de plus brefs termes, nous pourrions parler de description
de
la "réalité" (quant à savoir s'il s'agit de la réalité
sensible ou vraie...).
Lorsque nous voulons prédire
ou décrire un phénomène physique concret, nous pouvons
généralement
passer par un modèle analytique où les différentes grandeurs
sont exprimées par des indéterminées (valeurs
abstraites) et les lois de la physique par des fonctions, dans
la mesure où elles sont
connues (le cas échéant, nous pouvons faire une
hypothèse et
la tester). En mettant en équation un phénomène
physique, nous traduisons la réalité en une expérience
mathématique, virtuelle,
selon certaines règles. Nous procédons à une simulation
de la réalité portant sur
des grandeurs exprimées.
Les différentes "lois" sont élaborées
historiquement très souvent sur des faits d'abord empiriques
et sont vérifiées
expérimentalement par la suite (voir la méthode
hypothético-déductive
dans le chapitre de Théorie De La Démonstration).
En admettant que ces lois soient valables dans le contexte,
nous
pouvons donc nous attendre à ce que l'expérience mathématique
soit en adéquation avec les faits expérimentaux attendus
(ou inversement). Bien sûr, une expérience virtuelle n'est
pas réelle et ne saurait
exprimer la réalité dans toute sa subtilité.
Ce n'est qu'un modèle
! Il est donc clair que la prédiction d'un phénomène
physique peut diverger des faits expérimentaux réels.
Remarque: Il convient peut-être de rappeler (faute d'un abus ou
d'une mauvaise compréhension que nous retrouvons trop fréquemment
sur les divers forums de l'Internet), qu'une " expérience
scientifique" est un travail pratique de l'étude d'un
phénomène qui est reproductible (par des groupes de chercheurs indépendants)
et dont le nombre de reproductions est suffisamment élevé pour s'assurer
que les erreurs (écarts-types) sur les mesures deviennent négligeables.
Il convient aussi de préciser que la plupart des modèles théoriques
que nous allons exposer sur ce site et qui font usage de l'analyse
vectorielle peuvent être récrits avec les outils de l'analyse
tensorielle et basés sur un raisonnement propre au formalisme
Lagrangien (voir chapitre de Mécanique Analytique pour ce
savoir ce qu'est cela...). Or, ces dernières méthodes ne peuvent être
facilement utilisées pour une introduction simple à la physique
car elles demandent des efforts supplémentaires de la part du
lecteur et beaucoup plus de papier (souvent en tout cas) et de
temps pour les mêmes résultats.
Cependant, et nous y reviendrons, ces méthodes sont aujourd'hui
incontournables et de première importance dans les différents
domaines de la physique moderne comme la mécanique des
fluides, la relativité générale, la physique quantique des champs,
l'analyse de systèmes chaotiques et bien d'autres.
Avant de commencer notre
étude des phénomènes physiques, il nous faut définir les concepts
sur lesquels se base la physique théorique. Ainsi, nous verrons
dans l'ordre que:
- L'être humain a créé un
système d'unités de mesures et de dimensions de bases, dont
les grandeurs représentatives sont arbitraires à un
coefficient près, propres à identifier chaque phénomène
physique de façon
simple.
- Certains concepts
indissociables de la vision de notre environnement nous amènent
à poser des hypothèses et des principes (à
postuler quelque chose donc..) qui sont relatifs à notre
réalité sensible tout en étant transposable
à toute autre réalité de ce type.
- La physique fondamentale
nous amène à considérer les fondements de
la nature en tant que concepts mathématiques abstraits.
Ainsi, notre observation commune nous donne une vue concrète
de l'Univers alors que la physique théorique nous
en donne une vue abstraite.
Nous pouvons alors être
amenés à nous poser cependant la question suivante:
les faits déterminent-ils quelle théorie est vraie
?
En observant la nature,
nous pouvons constater des faits: ce sont des données
que nous ne créons pas. Les astronomes par exemple, constatent
la position des objets célestes. Nous comprenons un fait
dans la mesure où il apparaît comme la conséquence
de l'ordre des choses décrit par une théorie.
Mais les théories gardent toujours le statut d'hypothèses:
même lorsqu'une théorie s'accorde avec l'ensemble
des faits observés, cela ne prouve pas qu'elle soit
vraie. En effet, il existe toujours une infinité de
théories
possibles qui sont toutes compatibles avec tous les faits observés.
Nous disons alors que les faits "sous-déterminent"
les théories: les faits imposent des contraintes sur les
théories, au sens où, seules les théories
compatibles avec les faits observés, sont acceptables.
Mais ces contraintes seront toujours assez faibles pour laisser
le choix parmi une infinité
de théories.
Bien entendu, les scientifiques
n'envisagent réellement qu'un nombre fini de théories,
en fonction de ce qui paraît le plus simple dans un cadre
conceptuel donné. A l'époque de Kepler, il existait
par exemple trois grandes théories pour expliquer les
mouvements des planètes, toutes compatibles avec les
faits observés.
Selon la théorie ptoléméenne, les orbites
des planètes sont circulaires ou situées sur un épicycle
autour de la Terre, immobile au centre de l'Univers. Dans la théorie
copernicienne, le Soleil occupe le centre, les orbites des planètes
et de la Terre étant situées sur des cercles et épicycles.
Enfin, dans la théorie képlérienne, les
orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil
occupe un foyer.
SYSTÈMES D'UNITÉS
La mesure de grandeurs est à la base de toute analyse scientifique
de systèmes physiques. Celle-ci s'opère toujours par comparaison
avec une grandeur de même nature, préalablement définie, prise
comme valeur unité de référence (afin que les résultats expérimentaux
entre scientifiques soient comparables!).
Définition: Une "grandeur" est
l'expression nomologique quantitative
d'une propriété, d'un effet ou d'une quantité abstraite
définie
par un modèle que présente l'objet ou le phénomène étudié.
Une grandeur ne s'explique pas, elle se décrit par
rapport à une
définition.
Nous reconnaissons deux types
de grandeurs:
- Les constantes: elles
possèdent une valeur concrète exprimable numériquement et
n'évoluent
pas au cours du phénomène étudié. Ce sont
des "grandeurs
passives"
(nous y reviendrons plus loin et énumérerons quelques-unes
d'entre elles).
- Les variables: elles ne
possèdent une valeur concrète que dans un état déterminé, mais
pas lorsque nous observons le phénomène physique dans son ensemble.
Ce sont des "grandeurs actives".
Les différentes variables
décrivant un phénomène physique sont souvent corrélées entre-elles
par le biais de fonctions. Nous disons alors par définition
que ces variables ont une "relation
fonctionnelle" entre
elles.
Remarque: Une grandeur n'a de sens que si elle est "observable",
grandeur à laquelle nous associons un nombre, résultat
d'une mesure effectuée à l'aide d'un appareil.
Mesurer une
grandeur physique revient à la comparer à une grandeur physique
connue, de même nature (nous disons aussi "de même dimension"),
pris comme étalon arbitraire. Le résultat de la mesure s'exprime
ainsi à l'aide de deux éléments:
- un nombre qui est le rapport
de la grandeur mesurée à la grandeur étalon
-
un nom identifiant l'étalon choisi
La notation d'une grandeau A est donc sous forme abstraite:
(28.1)
Le "nombre"
{A} constitue au fait la valeur mesurée de la grandeur
et le "nom" [A]
est ce que nous appelons communément "unité physique",
ou plus simplement "unité" (l'expression quantitative
d'une variable ou d'une fonction). Ces deux éléments
sont indissociables, la valeur mesurée n'a de sens que
si nous indiquons en même
temps l'unité choisie. Elle change si nous changeons d'unité.
Remarque: Le passage d'une unité à une autre pour exprimer une
même grandeur est appelé "conversion
d'unité".
Définition: Certaines grandeurs
peuvent, par souci de simplification d'écriture, s'exprimer à partir
d'autres grandeurs. Nous disons alors que la nouvelle grandeur "dérive"
des unités de bases. Nous disons également que deux
grandeurs physiques sont des "grandeurs
homogènes" si
elles sont de même nature physique
ou si nous pouvons les exprimer toutes les deux dans la (les)
même(s)
unité(s) de base.
Ainsi,
après un longue période de réflexion, et en dernière analyse le
monde physique semble pouvoir se ramener aux concepts d'espace,
d'énergie et de temps.
Ainsi
apparaît donc une autre définition possible de la physique:
Définition: La physique est la science des propriétés et des relations
mutuelles dans le temps de la matière et de l'énergie à un facteur
de charge près.
Notre
rôle consiste donc à donner une description de ces propriétés et
relations sous forme de lois ou relations physiques appliquées aux
phénomènes observés, dans le cadre d'une théorie fournissant les
éléments de prévision.
Les
grandeurs physiques ne sont pas toutes indépendantes les unes des
autres mais reliées entre elles par certaines lois ou relations.
Il serait alors peu raisonnable, quoique possible, de choisir une
unité particulière pour chacune des grandeurs physiques sans tenir
compte de leurs relations mutuelles.
Constituer
un système cohérent d'unités revient donc à déterminer
un nombre minimum d'unités qui établissent les règles
de construction de ces relations mutuelles. Effectivement, historiquement,
un grand nombre d'unités a été défini pour la mesure d'une seule
grandeur, afin de répondre à des besoins spécifiques des domaines
de la vie pratique ou des sciences et techniques. Leurs choix et
leurs définitions étaient souvent empiriques, les conversions entre
unités pas toujours aisées ni clairement définies.
Face à l'évolution des sciences et techniques, à l'accroissement
des échanges d'informations, la nécessité d'unifier ce système
est apparue, le but étant de retenir un nombre aussi restreint
que possible d'unités définies aux moyens d'unités. Ce sont les "unités
fondamentales".
A partir des lois physiques et des relations entre les différentes
unités fondamentales, nous déduisons les unités
des autres grandeurs qui deviennent alors par souci de simplification
d'écriture les
"unités dérivées".
Le choxi et la définition des grandeurs constituant le jeu d'unités
de base constituent un problème complexe. En effet, ces unités
doivent être d'une grande précision et disponibles dans les laboratoires
de mesure de l'ensemble de la planète.
Les
unités fondamentales sont au nombre de quatre (nous le justifierons
plus loin): la longueur (mètres), la masse (kilogrammes), le temps
(secondes), la charge électrique (coulombs). Le système
ainsi constitué
est le système M.K.S.C. (l'auteur du présent site internet assume
le choix d'ajouter le Coulomb).
Les unités du système M.K.S.C
sont dans le cadre ce site internet :
1. Le mètre [m],
pour la longueur L (nous
avons déjà défini le concept de longueur dans
le chapitre Géométrie
mais nous y reviendrons à nouveau plus loin). Depuis 1983,
le mètre est actuellement défini comme étant la longueur du
trajet
parcouru par la lumière dans le vide dans une durée de 1/299'792'458
seconde.
2. Le kilogramme [kg],
pour la masse M (nous
reviendrons plus loin sur la définition du concept de
masse) est depuis 1889 la masse du prototype en platine-iridium
déposé au Bureau Internation des Poids et Mesures è Sèvres.
3. La seconde [s],
pour le temps T (le
temps n'est pas mesurable en soi mais l'intervalle de
temps est
un concept arbitraire tout à fait valable - nous reviendrons également
plus loin sur la définition de ce concept). La seconde
est depui 1967 la durée de 9'192'631'770 périodes de la radiation
correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins
de l'état
fondamental de l'atome de Césium 133.
4. Le coulomb [C]
utilisé comme unité élémentaire de
charge électrique q (ne
dérive d'aucune unité connue à ce jour - nous reviendrons également
plus loin sur la définition de ce concept).
Remarques:
R1. Le concept d'angle
(en radians, degrés ou stéradians - voir les textes
traitant de la trigonométrie plane, trigonométrie
sphérique
et géométrie plane dans la section de géométrie)
n'a pas d'unité puisqu'il s'agit par définition
d'un rapport de longueurs (pour le radian ou le degré d'angle)
ou de surface (pour le stéradian). Il convient donc de
l'assimiler à une unité dérivée et
non pas comme unité fondamentale. Cependant, en physique,
nous avons pris pour habitude d'indiquer sa présence
dans les équations
dimensionnelles afin
d'aider à la relecture de certaines de celles-ci et de savoir que
leur résultat est donné par rapport à une unité d'angle
(sinon cela pourrait générer des erreurs d'interprétation
hasardeuses pour ceux qui utilisent des équations sans
en avoir vu la démonstration...).
R2. Le lecteur remarquera
que toutes les unités du système M.K.S.C. sont
des "grandeurs extensives"
c'est-à-dire que dans un système sur lequel nous
effectuons une mesure, celles-ci sont additives (contrairement
aux grandeurs
intensives). Nous reviendrons plus en détails sur les grandeurs
extensives et intensives en grande partie lors de notre étude
de la thermodynamique (voir chapitre du même nom).
R3. C'est une énorme chance d'avoir un système homogène
tel que celui que nous avons au 21ème siècle. Effectivement,
pour l'anecdote, en 1522 rien que dans la région de Baden-Baden
(Allemagne) il y avait 112 unités de mesures différentes
de longueur et 92 de surfaces.... c'est dire... le cauchemar!
En ce début de 21ème siècle il existe une série
de normes ISO 80000 - dont l'accès
est malheureusement payant... - qui a pour objectif d'harmoniser
les notations, définitions et valeurs
des unités
dans tous les domaines de la science
Ces précisions étant faites,
toute grandeur physique connue à ce jour peut être exprimée à l'aide
d'une unité qui s'exprime comme le produit de cinq facteurs
dimensionnels et d'un facteur d'échelle arbitraire K (nombre
sans dimension, qui joue le rôle d'un facteur
de proportionnalité pour amener d'une échelle,
celle de l'unité de base, à celle de la grandeur étudiée):
(28.2)
où les nombres appelés
respectivement "ordre de masse", "ordre
de longueur",
"ordre de temps", "ordre
d'angle" et "ordre
de charge" sont des entiers positifs, négatifs ou nuls.
L'expression précédente s'écrira
sous la "forme canonique" définie par les étalons:
(28.3)
l'angle n'ayant pas d'unité,
nous ne le notons plus (mais il s'y trouve implicitement).
Toute grandeur physique X s'exprime
donc comme:
(28.4)
où x est la valeur de la grandeur physique dans le
système d'unité associé au facteur d'échelle K. Il existe
plusieurs couples (x, K) possibles, mais
nous aurons toujours:
(28.5)
où la constante est
la valeur de la grandeur physique lorsque nous choisissons de l'exprimer
dans le système M.K.S.C.
Donc deux grandeurs physiques
et
sont
homogènes si et seulement si les quadruplets:
(28.6)
qui leur sont attachés sont
égaux:
(28.7)
Il découle, de ce que nous
avons dit, que:
- La somme ou la différence
d'un nombre quelconque de grandeurs n'a un sens que si ces grandeurs
sont homogènes et le résultat aura donc les mêmes unités que les
opérandes.
- Le produit ou la division
de plusieurs grandeurs a pour unité le produit, respectivement la
division des unités des opérandes.
Remarques:
R1. Les unités des différentes
grandeurs ont un côté pratique mais pas infaillible en physique
théorique: elles permettent cependant au physicien de vérifier
si une relation démontrée entre deux grandeurs est
au moins correcte au niveau des unités. Nous appelons ce genre
de démarche
une "analyse dimensionnelle" (nous
vous conseillons d'aller voir la démonstration de la loi de Stokes
dans le chapitre de Mécanique
Des Milieux Continus pour un très bon exemple d'application).
R2. Le développement des sciences a conduit la conférence
générale
des poids et mesures à introduire quelques unités supplémentaires
pratiques (mais pas nécessaires) telles que: la température
exprimée en "Kelvins" (qui dérive de
l'énergie moyenne
- mouvement brownien), la quantité de matière exprimée
en Moles, l'intensité de courant exprimée en
Ampères et l'intensité lumineuse
exprimée en Candelas. Ainsi, le Système
International (S.I.) actuel, composé de sept unités
de base (centimètre,
gramme, seconde, kelvin, candela, mole et l'ampère) et de
dix-sept unités dérivées suggère-t-il
que sept unités sont nécessaires pour décrire
toute la physique? En fait non! Comme l'analyse de Gauss le
suggère,
parmi les sept unités de base, quatre - le Kelvin, le Candela,
la Mole et l'Ampère - peuvent être dérivées
des trois autres. L'introduction de sept unités de base
représente
un équilibre pragmatique entre des expérimentateurs
qui ont besoin d'unités adaptées à leurs mesures,
et l'idéalisme des théoriciens, dont le but est
de réduire l'arbitraire, la redondance, à son
minimum.
ANALYSE DIMENSIONNELLE
L'analyse dimensionnelle est donc un domaine de la physique qui
concerne les unités des grandeurs. Notamment, le fait que les unités
soient relativement arbitraires fait que toute équation valable
de la physique est homogène: quelque chose qui se mesure en mètres
par seconde ne peut pas être égal à quelque chose qui se mesure
en kilogrammes par mètre. C'est un moyen très prisé et très efficace
de vérifier ses propres calculs (et celui des autres...).
La puissance prédictive de cette approche valable dans des cas
d'études simples a amené certains physiciens à énoncer le "principe
zéro" de la physique ainsi: Ne jamais faire de calculs
avant d'en connaître le résultat.
Cet énoncé, qui peut sembler a priori paradoxal, signifie concrètement: Ne pas se lancer (si possible...) dans un calcul compliqué sans
avoir trouvé au préalable la forme qualitative du résultat avec
l'analyse dimensionnelle.
Cette forme qualitative est nommée traditionnellement "l'équation
aux dimensions" et représente donc la formule qui permet
de déterminer l'unité dans laquelle doit être exprimé le résultat
d'une recherche. C'est une équation de grandeurs, c'est-à-dire dans
laquelle on représente les phénomènes mesurés par un symbole d'unité
comme ceux que nous avons vus dans les paragraphes plus haut.
Exemple:
Voyons donc un exemple de légende souvent cité dans divers magazines
ou livres de vulgarisation:
L'analyse dimensionnelle a permis à Geoffrey Ingram Taylor d'estimer
en 1950 l'énergie dégagée par l'explosion
d'une bombe atomique, alors que cette information était
classée top secret. Il lui aurait suffi
pour cela d'observer sur un film d'explosion, imprudemment rendu
public par les militaires américains.
Le physicien Taylor suppose pour arriver à ce résultat que le
processus d'expansion de la sphère de gaz dépend au minimum des
paramètres du temps t, de l'énergie E dégagée par
l'explosion et de la masse volumique de l'air .
L'analyse dimensionnelle le conduit alors pour le rayon de la
sphère de gaz à l'instant t à:
(28.8)
où k est une constante sans dimensions.
Et par tâtonnements nous trouvons relativement rapidement tels
que:
(28.9)
Effectivement:
(28.10)
Taylor trouve alors la loi de dilatation temporelle du rayon
du champignon atomique est proportionnelle à (il est inutile
d'indiquer les autres unités puisque uniquement la partie temporelle
nous intéresse!):
(28.11)
Si nous connaissons r et t à partir d'un film, et,
k étant supposée de l'ordre de l'unité et étant
connue, nous obtenons finalement:
(28.12)
ce qui reste une grossière approximation. Mais arriver à un résultat
pareil (d'ordre de grandeur) avec l'artillerie lourde de la physique
théorique nécessiterait beaucoup plus de temps et de feuilles de
calculs.
NOTATIONS SCIENTIFIQUES
Il est fréquent en physique
que les grandeurs manipulées soient très grandes et lourdes à écrire.
Par exemple, il est toujours embêtant d'avoir des grandeurs comme
8'000'000'000 ou 0.000'000'000'1.
Alors nous pouvons adopter une convention d'écriture en
puissance de dix dite "notation scientifique" telle
que:
- 8'000'000'000 s'écrive
(neufs
zéros après le "8")
- 0.000'000'000'1 s'écrive
(10ème
position après la virgule) ou (neufs
zéros après la virgule)
Une écriture encore plus simplifiée
consiste à utiliser le tableau ci-dessous mais uniquement si nous
avons à travailler avec des grandeurs physiques:
|
|
|
Préfixe |
Facteur |
Symbole |
yotta |
1024 |
Y |
déci
|
|
|
zetta |
1021 |
Z |
centi
|
|
|
exa |
|
|
milli
|
|
|
péta |
|
|
micro
|
|
|
téra |
|
|
nano
|
|
|
giga |
|
|
pico
|
|
|
méga |
|
|
femto
|
|
|
kilo |
|
|
atto
|
|
|
hecto |
|
|
zepto |
10-21 |
z |
déca |
|
|
yocto |
10-24 |
y |
Tableau: 28.1
- Préfixes des grandeurs d'ordre courants
Par exemple, 10'000'000 grammes
notés conventionnellement:
10'000'000
[g]
(28.13)
sera écrit en notation scientifique:
(28.14)
mais en écriture physique
(selon le tableau ci-dessus):
ou
(28.15)
Définition: Nous
disons que
est "l'écriture scientifique" d'un
nombre positif
A si a est un nombre décimal
(c'est-à-dire que a s'écrit avec un seul chiffre
autre que zéro avant la virgule), n est un nombre
entier relatif.
Exemple:
(28.16)
L'avantage de cette écriture
est de donner un ordre de grandeur de A compris entre 2
puissances consécutives de 10 tel que:
(28.17)
Si de plus, comme il arrive
souvent, nous utilisons des unités de physiques de multiple
de 1'000 cela permet de placer ces grandeurs entre 2 unités
dérivées consécutives.
Remarques:
R1. Si nous avons un chiffre
de la forme 154'434'347'786, fréquemment et selon le contexte,
nous nous permettons de tronquer ce dernier et nous écrivons alors
fréquemment
avec une précision de trois chiffres après la virgule ainsi ce
dernier nombre devient ce
qui est plus simple à écrire mais dangereux à manipuler à cause
de l'erreur induite par la troncation. Nous renvoyons à ce
sujet le lecteur dans le chapitre de Statistiques
à la lecture de la partie traitant des erreurs relatives.
R2. Pour les mathématiciens la notation scientifique n'est
qu'une écriture d'un nombre parmi d'autres et le choix
de cette écriture est en relation avec le contexte du
problème.
Évidemment ces "nombres résultats" obtenus peuvent
être des nombres purs et durs solution de problèmes
abstraits mais aussi de problèmes concrets issus d'expériences,
de mesures etc. et là nous nous rejoignons les physiciens.
TEMPS
Définition: Le "temps"
est une variable d'état (et non un "mesurable")
et donc une notion impalpable mais cependant rigoureusement définie.
Il s'agit aussi d'un outil mathématique qui permet de
mettre en équation
l'observation de phénomènes
physiques (observables) et d'en tirer ainsi un certain nombre d'informations.
Cet outil existe car il existe des êtres pour observer
(et mesurer) la nature et ses changements (principe socratique)
et de la matière
et du mouvement pour qu'il y ait ces changements.
Remarques:
R1. Le temps (et ses intervalles)
étant un concept arbitraire, il est symétrique c'est-à-dire
que tout phénomène observé enregistré peut
dans l'imaginaire du temps inversé retrouver ces conditions
initiales. Nous parlons alors de
"symétrie du temps" (pour
l'instant il n'a jamais
été à notre connaissance démontré ou
ne serait-ce qu'observé, que le
temps peut subir une "brisure de symétrie").
R2. Le temps n'est une grandeur ni extensive ni intensive. On
ne peut ni additionner le temps des éléments d'un
système
physique pour avoir la durée totale de celui-ci (de plus
cette question n'a pas de sens) ni la pondérer. Cependant
on peut additionner les intervalles de temps qui décrivent
l'évolution d'un système!
Nous représentons très souvent
en physique le temps (compris dans un intervalle) par une flèche
(axe) horizontale représentant le sens du temps. Comme le temps
est une notion purement utilitaire, nous pouvons alors définir chaque
instant du temps comme étant le temps zéro noté .
Cette notion est très utilisée en physique car souvent la seule
chose qui intéresse les physiciens est la différence de temps notée
(de par l'utilisation du calcul différentiel et intégral).
Démontrons maintenant que
la référence temporelle est indépendante du
choix pour un observateur au repos. Soit un temps noté par
la lettre t,
nous avons alors:
(28.18)
où t' est
la base arbitraire (non nécessaire) lorsque nous comparons une
différence
temporelle.
L'intervalle de temps est
donné par une mesure étalon qui ne peut être qu'un mouvement au
mieux parfaitement périodique (qui se répète dans le temps). Ainsi,
les premiers moyens de mesure du temps ont été le jour et la nuit,
les positions du soleil et de la lune dans le ciel, le mouvement
du pendule, la détente de ressorts, la période de dégénérescence
du césium 137 ou encore les systèmes binaires d'étoiles massives.
Bref, tant qu'un système observable produit un phénomène périodique
stable et suffisamment petit pour que toute mesure physique
puisse
y être réduite, celui-ci peut être utilisé comme étalon d'intervalle
temporel.
Définitions:
D1. Un "événement"
consiste à donner une signification à un point de
l'espace-temps.
D2. Deux événements
sont dits "événements
simultanés",
s'ils ont même valeur
de la coordonnée temporelle.
D3. Nous appelons "coïncidence"
la simultanéité de deux événements
en un même point de l'espace. La coïncidence
est un fait absolu, indépendant du choix du référentiel.
C'est en fait un cas particulier du principe de conservation de
la causalité. Deux événements coïncidant
dans un repère peuvent être cause à effet
l'un de l'autre (et réciproquement), et cette possibilité
est conservée dans le nouveau repère.
LONGUEUR
Définition: Le concept
de "longueur" x
est donné par l'information qui donne le chemin parcouru
par un objet dans un intervalle de temps donné.
Remarques:
R1. S'il n'y avait pas de
matière dans l'Univers il n'y aurait pas de notion de mouvement
et donc de longueur parcourue et aussi comme nous l'avons déjà fait
remarquer, de temps (et encore... c'est sans considérer certains
résultats de la physique quantique que nous démontrerons dans le
chapitre qui lui est consacré).
R2. La longueur est une grandeur extensive (additive). Effectivement,
la longueur totale d'un système est la somme des grandeurs.
Comme pour le temps il n'y
a pas d'origine absolue de mesure des longueurs (il n'existe
pas
de point zéro dans l'Univers comme le postule la théorie de la
relativité)
et les physiciens s'intéressent de toute façon plus particulièrement
aux différences de chemin parcouru par
rapport à une origine comme ils le font pour le temps.
Ainsi, de manière identique
au temps, nous avons pour un observateur au repos qui observe un
point matériel en mouvement:
(28.19)
où x' est
une base arbitraire mathématiquement inutile lorsque nous comparons
une différence de position dans une différence de temps d'un
point matériel.
Si un point matériel se
situe dans un espace à trois dimensions spatiales (cas le plus
fréquent
en mécanique classique) dont nous avons arbitrairement choisi l'origine
O,
nous notons la position de
ce corps par sa distance en longueur x,
largeur y
et hauteur z
(appelées "coordonnées cartésiennes") par une flèche
imaginaire dit "vecteur" (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel)
reliant le point d'origine arbitraire du référentiel spatial au
point intéressé de
la façon
suivante:
(28.20)
Remarque: La flèche au-dessus du 
signifie bien évidemment qu'il s'agit d'un vecteur.
La notation:
(28.21)
est une notation simplificatrice
utilisée fréquemment en physique et qui devrait s'imposer
dans les petites classes (attention le fait que les chiffres soient
abaissés
en indice ne signifie absolument pas ce que sont des composantes
covariantes - voir chapitre de Calcul Tensoriel de la section
d'Algèbre
- il s'agit juste d'une convention simplificatrice d'écriture).
Cependant sur le présent site Internet nous passerons
de l'une à l'autre
des notations en fonction des besoins et des traditions en
vigueur
(ce sera donc à vous de faire attention à ne pas confondre).
La matrice:
(28.22)
est quant à
elle le tenseur métrique d'un espace pré-euclidien canonique à signature
positive (cf. chapitres de Calcul Vectoriel
et Calcul Tensoriel).
Ceci constitue un cas particulier en physique théorique mais cependant
un cas très fréquent d'étude en mécanique classique (il faut commencer
par des espaces simples avant d'aller plus loin...).
Nous reviendrons
plus en détails sur ces concepts lors de notre étude des espaces
ponctuels plus loin.
MASSE
Définitions:
D1. La "masse" m
d'un corps est dans un système fermé une quantité qui se conserve
et qui caractérise l'amplitude avec laquelle ce corps interagit
avec d'autres corps par le biais de différentes forces (attractives).
Remarques:
R1. Dans un système isolé,
il ne peut pas y avoir création ou destruction spontanée de masse.
L'apparition de masse ne peut être due qu'à une action extérieure.
Une autre façon de dire la même chose est que la masse totale contenue
dans l'Univers est constante.
R2. La masse est une grandeur extensive (additive). Effectivement,
la masse totale d'un système est égale à la
somme des masses qui le compose.
En toute rigueur, nous devrions
définir également:
D2. La "masse
grave"
(ou "masse de gravitation") qui est l'amplitude avec
laquelle un corps matériel interagit avec un champ de potentiel
(selon la loi de gravitation de newton - voir chapitre de Mécanique
Classique).
D3. La "masse
inerte"
(ou "masse inertielle")
qui est l'amplitude qui caractérise
la résistance avec laquelle un corps en translation est susceptible
de changer de vitesse (c'est-à-dire celle intervenant dans la
deuxième
loi de Newton - voir chapitre de Mécanique Classique)
Remarques:
R1. Des expériences
ont toutefois prouvé que ces deux masses étaient proportionnelles
au dix-milliardième près. Cette identité expérimentale appelée "principe
d'équivalence galiléen" est à la base d'un
des postulats de la relativité générale (cf.
chapitre de Relativité Restreinte).
R2. Contrairement aux charges électriques (voir plus loin
la définition de la "charge"), qui caractérisent
l'amplitude d'interaction par la force électrique, il n'existe
que des masses positives. En effet, les charges électriques
peuvent se repousser aux mêmes titres qu'elles peuvent s'attirer.
De plus, la masse est étant
une propriété additive (donc "extensive" comme nous l'avons
déjà dit) de la matière: pour un système
de n points matériels de masse ,
la masse totale est:
(28.23)
De même, pour une distribution
continue (voir plus loin au cas où pour un rappel du concept
de distribution continue) en volume de la masse d'un système
de volume total V:
(28.24)
où
est la "masse volumique" ou "densité volumique"
du système au point A et où est
la masse volumique du système au point repéré par (c'est
ce que signifie l'expression entre accolades en-dessous de la deuxième
triple intégrale).
Donc est
la masse d'un élément
de matière,
centré autour
de
A,
de dimensions caractéristiques devant celles du système,
mais grandes devant les distances interatomiques dans ce système
définie
par:
(28.25)
Remarques:
R1. L'intégrale est
une intégrale triple (sur les trois dimensions de l'espace),
mais elle pourra être ramenée à une intégrale
simple en exploitant les symétries du système pour
choisir judicieusement les volumes élémentaires d'intégration.
R2. Le calcul de la masse
lors d'une distribution non continue (discrète) de matière doit
être fait avec les composantes vectorielles calculées séparément.
Une fois ce travail effectué, il convient d'en prendre la norme.
R3. La masse volume
est une grandeur intensive. Effectivement, la densité d'un
système physique n'est pas égale à la somme
de ces densités (c'est du bon sens!). Le lecteur remarquera
que cette grandeur intensive qu'est la masse volumique est égale
au rapport de deux grandeurs extensives.
Définitions:
D1. Nous disons qu'un système
est un "système homogène" si
sa masse volumique, surfacique, linéique
(voir définition ci-dessous) est constante.
D2. Nous disons qu'un système
est un "système isotrope",
si ses propriétés
physiques sont identiques en tout point.
Nous définissons aussi
parfois la "masse surfacique" (ou "densité surfacique"
de masse) pour des systèmes quasiment sans épaisseur
et une "masse linéique" (ou "densité linéique"
de masse) pour des systèmes de section négligeable
devant leur longueur. Nous avons alors (S étant
une surface et s une abscisse curviligne):
ou
(28.26)
avec dans le
cas général:
(28.27)
Remarque: Souvent, dans la littérature, ainsi que
dans le présent site internet, la masse volumique est notée
simplement  ,
la masse surfacique  ,
et la masse linéique  .
Définition: Avec ce qui précède,
nous pouvons définir
la "densité" comme étant
la quantité
d'éléments tous identiques et dénombrables
par unité de volume, surface ou linéique.
ÉNERGIE
Nous ne savons pas ce qu'est
exactement l'énergie (notée sous sa forme générale par la lettre
E
dans les petites classes)
mais nous en connaissons ses effets. Ce que nous savons cependant,
c'est qu'il en existe plusieurs formes dont voici une liste des
plus connues:
- "L'énergie
travail"
qui est l'énergie créée par l'application d'une force sur un corps
lui donnant une certaine énergie cinétique (cf.
chapitre de Mécanique
Classique) ou énergie potentielle (qu'elle
soit gravifique, électrostatique comme démontré en mécanique
classique ou électrodynamique).
- "L'énergie
chaleur " qui est une forme d'énergie
déterminée par le nombre de micro-états
d'un système (cf. chapitre de
Thermodynamique).
- "L'énergie de masse"
qui est l'énergie contenue dans une certaine quantité de
masse (cf.
chapitre de Relativité Restreinte).
De ces trois énergies découlent
une grande quantité de familles d'énergies dérivées
dont les plus connues sont: l'énergie nucléaire,
l'énergie électrique, l'énergie solaire,
l'énergie éolienne, l'énergie mécanique,
l'énergie gravifique,
l'énergie des marées, l'énergie électromagnétique,
l'énergie
fossile, l'énergie hydraulique, l'énergie corporelle,
etc.
Remarques:
R1. La masse et l'énergie
sont équivalentes comme nous le verrons lors de notre étude
de la relativité restreinte (cf. chapitre
de Relativité Restreinte),
si nous définissons un système d'unités telles que la vitesse
de la lumière vaille (convention
très utilisée par les physiciens dans la recherche de pointe).
R2. L'énergie au même titre que la masse est une grandeur
extensive.
Nous pouvons quand même tenter
de nous demander ce qu'est l'énergie exactement?
Définition: "L'énergie"
est l'effet d'une cause d'un changement ou de la conservation
des propriétés
d'un système.
Cette cause étant non nécessairement déterministe et en
moyenne nulle et conservative dans un système fermé.
Remarques:
R1. La vitesse, le potentiel,
le nombre de micro-états peuvent être considérés comme l'acquisition
d'une quantité d'informations sur un système.
R2. Dans un système isolé, il ne peut pas y avoir création ou destruction
spontanée d'énergie. L'apparition d'énergie ne peut être due qu'à
une action extérieure. Une autre façon de dire la même chose
est que l'énergie totale contenue dans l'Univers est constante.
CHARGE
Il
est difficile de dire quelque chose sur la charge électrique
(vous pouvez chercher une définition sur l'internet vous
verrez...). Cependant si nous nous référons à l'approche
de Yukawa (cf. chapitre de Physique
Quantique Des Champs)
nous pouvons tenter d'en donner
la
définition suivante:
Définition: Une "charge électrique" est
une propriété conservative
qu'a une particule se situant dans un champ de potentiel à symétrie
sphérique
à interagir avec la source de ce champ dans le cadre de l'échange
d'un quantum d'interaction (le photon en l'occurrence créé par
les fluctuations quantiques du vide en présence d'une
masse) définissant
un champ vectoriel de type Coulombien.
Remarques:
R1. Dans un système isolé,
il ne peut pas y avoir création ou destruction spontanée de charges.
L'apparition de charges ne peut être due qu'à une action extérieure.
Une autre façon de dire la même chose est que la charge totale contenue
dans l'Univers est constante.
R2. La charge est une grandeur extensive. Effectivement, la charge
totale d'un système physique est égale à la
somme algébrique des charges qui le constitue.
Ou une autre définition
similaire à celle de la masse:
Définition: La "charge
électrique" q
d'un corps est dans un système fermé une quantité qui se conserve
et qui caractérise l'amplitude avec laquelle ce corps interagit
avec d'autres corps par le biais des forces électrostatiques
et magnétiques.
Contrairement à la masse,
il existe des charges électriques positives et négatives. La charge
électrique reste cependant une propriété additive (extensive). Ainsi,
pour un système de q
particules de charge ,
la charge totale est:
(28.28)
et est donc
aussi comme la masse, une propriété extensive.
De même, pour une distribution
continue en volume de la charge d'un système de volume total
V (nous notons les densités de charge de manière identique
si l'ambiguïté n'est pas possible de la même manière
que pour la masse):
(28.29)
où
est la "densité volumique de
charges" du
système
au point A,
c'est-à-dire la charge d'un élément de matière,
centrée autour de A,
de dimensions caractéristiques devant celles du système,
mais grandes devant les distances interatomiques dans ce système
(
est la densité volumique de charge du système au
point repéré
par )
définie par:
(28.30)
Remarques:
R1. L'intégrale est
une intégrale triple, mais elle pourra être ramenée
à une intégrale simple en exploitant les symétries
du système pour choisir judicieusement les volumes élémentaires
d'intégration.
R2. Le calcul de la charge
lors d'une distribution non continue (discrète) de matière doit
être fait avec les composantes vectorielles calculées séparément.
Une fois ce travail effectué, il convient d'en prendre
la norme.
R3. La charge volumique
est une grandeur intensive. Effectivement, la densité de
charge d'un système physique n'est pas égale à la
somme de ces densités (c'est du bon sens!). Le lecteur
remarquera encore une fois que cette grandeur intensive qu'est
la masse
volumique
est égale au rapport de deux grandeurs extensives.
De même que pour la masse,
nous pouvons donner les définitions suivantes:
D1. Nous disons qu'un système
est "système homogène" si sa charge volumique,
surfacique, linéique
(voir définition ci-dessous) est constante.
D2. Nous disons qu'un système
est "système isotrope",
si ses propriétés
physiques sont identiques en tout point
Nous définissons
aussi parfois la "densité surfacique
de charge" (ou "densité
de surface" de charge) pour des systèmes quasiment
sans épaisseur
et une "charge linéique" (ou "densité linéique"
de charge) pour des systèmes de section négligeable
devant leur longueur. Nous avons alors (S étant
une surface et s une abscisse curviligne):
ou
(28.31)
avec:
(28.32)
Remarque: Souvent, dans la littérature, ainsi
que dans le présent site internet, la densité volumique de charge
est notée simplement  ,
la densité surfacique de charge  ,
et la masse linéique  .
DISTRIBUTIONS
Définitions:
D1. Une masse ou une charge
sont dites "ponctuelles" si elles occupent un volume dont les dimensions
sont très inférieures aux distances d'observations.
Remarque: La charge élémentaire est une
excellente approximation d'une charge ponctuelle étant donné
sa petite taille dont le rayon classique est de l'ordre du femtomètre,
ce qui est bien sûr très petit devant les dimensions
d'observation classiques.
D2. Nous considérons
N corps de charge ou masse finies dans
un volume V. Si ce volume est supposé suffisamment
grand pour que la distance moyenne entre les corps soit très
supérieure à
la dimension de ceux-ci, nous avons affaire à une "distribution
discontinue" ou "distributions discrète" de
ces corps (nous parlons parfois aussi de distribution non-uniforme).
Les calculs sont impossibles
à faire en partant d'une distribution discrète car,
en général, le nombre de corps à prendre en considération
est très élevé lorsque le volume est de
dimension macroscopique. Dans ce cas, il faut introduire un
autre type de
distribution.
D3. Nous considérons
N corps de charge ou masse finies dans
un volume V. Si la répartition des éléments
est telle qu'il n'y pas de "trous" entre chacun d'eux
(en d'autres termes: chaque élément est serré contre
un autre) alors nous avons affaire à une "distribution
continue".
Une distribution continue peut alors être décrite
par une fonction qui représente la manière dont
les éléments
se répartissent dans un volume, surface ou ligne.
Remarques:
R1. Nous pouvons préciser
parfois, comme nous en avons déjà fait mention lors des définitions
de la masse ou de la charge que les distributions définies précédemment
peuvent être de type volumique, surfacique ou linéique. Si cela
n'est pas précisé, c'est que l'information est implicitement
triviale.
R2. Le terme "continue" dans "distribution continue"
provient du fait que nous intégrons la fonction d'où
la nécessité qu'elle soit continue (au sens de Riemann
ou de Lebesgue suivant les cas... - voir chapitre de Calcul
Différentiel
Et Intégral).
CONSTANTES
La physique à l'opposé
des mathématiques est une science exacte dans le sens que
sa vérification et sa validité se basent et sont
mis constamment à l'épreuve par des faits expérimentaux.
Comme l'être humain
a dû choisir arbitrairement un système de mesures,
certaines lois établies théoriquement à l'aide
de propriétés
de la matière ne sont souvent exactes qu'à un facteur
multiplicatif constant près de normalisation relativement
à ce système de mesure. Apparaissent alors dans les
équations de la physique, des constantes dont l'existence
n'est due qu'à ce système de mesure (mais cependant
ce n'est pas toujours le cas), certaines constantes bien qu'en
adaptant
le système de mesure n'égaleront (du moins il semblerait)
jamais l'unité.
Il existe de nombreuses
constantes en physique (une infinité au fait) mais certaines
ont un statut particulier dans le sens qu'elles ne peuvent se
déduire
d'autres constantes. Nous en proposons ici la liste et les valeurs
(non exactes) et nous les retrouverons fréquemment lors
de nos développements dans ce site.
Remarques:
R1. Les constantes sont données pour certaines
au temps auquel le lecteur les lit (...) car selon certaines
théories,
les valeurs ne sont pas tout à fait fixes.
R2. La série de normes ISO 80000 définit au niveau
international les valeurs de nombreuses constantes scientifiques.
CONSTANTES UNIVERSELLES
Les valeurs listées ci-dessous sont des valeurs
dont les scientifiques ont remarqué qu'elles semblaient (...)
constantes et indépendantes de tous paramètres utilisés,
et que la théorie suppose donc réellement constantes.
Constante
gravitationnelle |

|
Température
absolue |

|
Vitesse
(célérité) de la lumière |

|
Nombre
d'Avogadro |

|
Charge
de l'électron |

|
Constante
de Planck |

|
Constante
de Boltzmann |

|
Permittivité
du vide |

|
Perméabilité magnétique
du vide |

|
Pi |

|
Constante
de Dirac (utilitaire) |

|
Constante
de Coulomb (utilitaire) |

|
Tableau: 28.2 - Constantes universelles
Remarques:
R1. La célérité de
la lumière, la
permittivité
du vide et la perméabilité magnétique du
vide se déduisent les uns des autres par une relation
que nous verrons lors de notre étude des équations
de Maxwell (cf. chapitre d'Électrodynamique).
R2. La constante
de Dirac est aussi parfois appelée "constante
de Planck réduite".
R3. La constante de Boltzmann peut être calculée
comme le rapport de la constante molaire des gaz R (voir
plus bas les constantes chimiques) sur le nombre d'Avogadro N
(cf. chapitre de Mécanique Des Milieux
Continus).
Il existe
d'autres constantes d'ordre pratique qui se déterminent
théoriquement et dont la valeur sera utile à tout
ingénieur ou physicien qui souhaiterait appliquer dans
la pratique certaines des relations qui seront démontrées
sur ce site:
CONSTANTES PHYSIQUES
Définition: Une "constante
physique" est une quantité physique dont
la valeur numérique est fixe. Contrairement à une
constante mathématique, elle implique directement et
toujours une grandeur physiquement mesurable.
Masse
de l'électron (au repos) |

|
Masse
du neutron (au repos) |

|
Masse
du proton (au repos) |

|
Constante
de structure fine |

|
Quantum
de flux magnétique |

|
Constante
de Stefan
(appelée aussi 1ère constante de Stefan-Boltzmann) |

|
Constante
de Stefan-Boltzmann
(appelée aussi 2ème constante de Stefan-Boltzmann) |

|
Rayon
classique de l'électron |

|
Impédance
du vide |

|
Magnéton
de Bohr |

|
Constante
de Rydberg |

|
Rayon
de Bohr |

|
Electron-Volt |

|
Accélération
gravitationnelle terrestre moyenne |

|
Pression
standard |

|
Tableau: 28.3
- Constantes physiques
CONSTANTES PHYSICO-CHIMIQUES
Les constantes physico-chimiques sont des constantes
physiques que l'on retrouve plus particulièrement dans l'ensemble
des domaines ayant trait à la chimie.
Constante
molaire des gaz |

|
Constante
de Faraday |

|
Volume
molaire |

|
Unité
de masse atomique |

|
Tableau: 28.4
- Constantes physico-chimiques
Remarque: Le
lecteur intéressé par les propriétés
des éléments chimiques peut télécharger
le tableau périodique des éléments
proposé dans la rubrique de téléchargement
du site.
CONSTANTES ASTROPHYSIQUES
Le tableau suivant contient les valeurs des constantes
et paramètres couramment utilisés en astrophysique
et aussi plus particulièrement en cosmologie (en réalité
ce ne sont pas des constantes mais bon...).
Constante
de Hubble |

|
Densité
critique de l'Univers |

|
Distance
Terre-Soleil (parsec) |

|
Rayon
Terrestre |

|
Rayon
Solaire |

|
Masse
Terrestre |

|
Masse
Solaire |

|
Unité astronomique (U.A.)
(distance moyenne terre-soleil) |
 |
Tableau: 28.5
- Constantes astrophysiques
CONSTANTES DE PLANCK
Les constantes de Planck sont principalement des curiosités
physiques qui découlent d'un système d'unités
particulier et dont les valeurs selon le système S.I. sont
données dans le tableau ci-dessous.
Remarque: Le lecteur intéressé par la provenance
des différentes constantes de Planck (longueur de Planck,
masse de Planck, etc.) devra se rendre dans le chapitre de Physique
Quantique
Ondulatoire du site où ces constantes sont déterminées
avec les détails nécessaires.
Longueur
de Planck |

|
Temps
de Planck |

|
Masse
de Planck |

|
Température
de Planck |

|
Energie
de Planck |

|
Densité
de Planck |

|
Force
de Planck |

|
Puissance
de Planck |

|
Pulsation
de Planck |
notée aussi parfois avec l'unité des
radians explicitement:

|
Charge
de Planck |

|
Courant
de Planck |

|
Tension
de Planck |

|
Impédance
de Planck |

|
Tableau: 28.6
- Constantes de Planck
Malgré
les exemples donnés combien y-a-t'il de constantes
? Pourquoi jouent-elles un "rôle central" dans
les théories physiques ? Ont-elles toutes la
même importance ou certaines sont-elles plus fondamentales
? Selon quels critères ? Peut-on alors tester si
elles sont vraiment constantes ?
Pour essayer
de répondre à certaines de ces questions, remarquons
tout d'abord qu'à chaque étape de nos constructions
théoriques il subsiste des paramètres constants
qui ne sont pas et ne peuvent pas être expliqués
en termes de quantités plus fondamentales, simplement
parce que ces dernières n'existent pas dans l'état
de nos connaissances. Quand les théories s'affinent,
il est en effet possible qu'une constante se trouve
expliquée
en termes de nouveaux paramètres, plus fondamentaux.
Ainsi, la masse du proton est une constante fondamentale
de
la physique nucléaire, mais doit en principe pouvoir
se calculer, dans le cadre de la chromodynamique quantique,
en fonction de la masse des quarks et des énergies
des liaisons électromagnétique et forte.
Ce changement de statut est associé à celui
du proton, qui de particule élémentaire devient
corps composite.
Nous définirons
modestement les constantes comme tous les paramètres
non déterminés dans un cadre théorique
donné. Cette définition revient à accepter
que nous soyons incapables d'écrire une équation
d'évolution pour ces constantes qui se révèlent
donc comme la limite de ce que les théories où
elles apparaissent sont en mesure d'expliquer. Cependant
l'hypothèse
de constance est implicitement contrôlée par
la validation expérimentale de ces théories.
Les résultats des expériences doivent être
reproductibles à divers moments et dans divers
laboratoires. Si c'est le cas, dans la limite des précisions
expérimentales,
alors il est légitime de considérer que l'hypothèse
de constance est valide. Cette définition implique
qu'il n'existe pas de liste absolue de constantes, car
l'appartenance
à une telle liste dépend des cadres théoriques
choisis pour décrire la nature et peut donc changer
avec les progrès de la connaissance.
Se pose
maintenant la question de savoir s'il est possible de caractériser
plus précisément le concept de constante
et de déterminer si, parmi toutes les constantes,
certaines sont plus fondamentales que d'autres. Pour cela,
il faut commencer
par révéler une relation entre constantes et
unités.
Ainsi,
Planck découvre en 1900 qu'il était possible
d'utiliser les trois constantes physiques fondamentales:


(28.33)
pour définir
les trois unités de masse, de temps et de longueur
à partir de la masse de Planck, de la longueur de Planck
et du temps de Planck (voir le chapitre de Physique Quantique
Ondulatoire pour la démarche mathématique qui
permet de déterminer leurs valeurs).
Planck
baptise ces unités "Système
d'Unités
Naturelles" (SUN)
car elles sont indépendantes d'un corps ou d'un
matériau et [...] gardent nécessairement leur
signification pour tous les temps et toutes les civilisations,
même celles qui sont extra-terrestres et non humaines.
La signification de ces unités met longtemps à
émerger. Elles signalent l'échelle où
gravitation et mécanique quantique deviennent de même
amplitude. Elles sont donc très adaptées à
la cosmologie primordiale et à l'étude des
trous noirs ainsi que la mécanique quantique relativiste.
Le choix
des unités de Planck comme unités naturelles
est lié aux considérations justifiant que G,
c, h sont les trois constantes dimensionnées les plus
fondamentales (connues à ce jour). Dans ces unités,
la valeur numérique de ces trois constantes fondamentales
est 1 comme nous l'avons déjà fait déjà
remarquer.
Le rôle
des constantes dans la structuration des théories
physiques peut être assez magnifiquement illustré par
le cube magique ou "cube de Okun" des théories
physiques ci-dessous (dont la validité reste à vérifier
bien sûr).
L'idée consiste à "allumer" ou "éteindre"
une à une les trois constantes fondamentales afin
de voir comment les théories physiques s'articulent
les unes par rapport aux autres.
Remarque: Le lecteur comprendra mieux les explications qui vont
suivre lorsqu'il aura étudié la relativité
générale, la physique quantique des champs ainsi
la physique quantique ondulatoire donc si jamais il peut sauter
ce
texte en attendant.

Figure: 28.1 - Cube de Okun
Quand
G est mis à 0, cela revient à supprimer
toutes les forces gravitationnelles et à découpler
la matière de l'espace et du temps. Quand h
est mis à 0, nous supprimons le caractère quantique
de la nature et nous découplons les natures corpusculaires
et ondulatoire (de par la relation de De Broglie), quand
1/c
est mis à 0, la vitesse de la lumière est infinie
et le temps et l'espace se découplent l'un de l'autre
(de par les transformations de Lorentz). Pour visualiser
cela,
nous considérons le cube ci-dessus introduit par le
physicien soviétique Mikhaïl Bronshtein qui
reprend une idée développée initialement
par Lev Landau, Dimitri Ivanenko et Georgi Gamow.
Tout
naturellement, au niveau le plus bas, nous trouvons (0,0,0)
la mécanique newtonienne, qui ne prend pas
en compte les effets relativistes, quantiques et gravitationnels.
Au
niveau supérieur où nous considérons
l'effet d'une constante, nous trouvons les trois théories
de la relativité restreinte (1,0,0),
de la mécanique quantique en (0,1,0)
et de la gravitation newtonienne en (0,0,1),
trois théories testées avec une grande précision
dans leur domaine de validité.
A un
niveau encore supérieur, la théorique quantique
des champs en (1,1,0)
prend en compte les effets quantiques et relativistes; la
relativité générale en (1,0,1)
prend en compte les effets gravitationnels et relativistes
et la gravité quantique newtonienne en (0,1,1)
est censée offrir une description quantique et non
relativiste de la gravitation. Seules les deux premières
théories sont actuellement fondées expérimentalement
et théoriquement.
Au niveau
ultime se trouve en (1,1,1)
la théorie du Tout (dénomination très
prétentieuse et trop commerciale), censée
donner une description quantique et relativiste de la gravitation.
Sa formulation n'est pas encore connue, bien que les théories
des cordes (voir chapitre du même nom), intensivement étudiées
de nos jours, semblent des candidats sérieux. Ces
théories
apparaissent comme des cas limites d'une théorie
plus large et plus profonde mais non encore formulée:
la théorie M (le M pour "Mère")
PRINCIPES DE LA PHYSIQUE
Les
progrès de la science en général et de la physique en particulier
étaient fondés il y deux siècles principalement sur l'expérimentation,
c'est-à-dire que l'on reproduisait en laboratoire des phénomènes
donnés pour les analyser systématiquement (la reproduction d'une
observation validant une hypothèse). Cela revenait systématiquement
à poser des questions précises à la nature et à décrire et étudier
les réactions ainsi provoquées. La répétition à volonté d'un phénomène
lors d'une expérience ne serait pas
garantie s'il n'existait pas un principe général de causalité.
PRINCIPE DE CAUSALITÉ
Définition: Nous définissons le "principe
de causalité" par le fait
que dans exactement les mêmes conditions, les mêmes causes conduisent
toujours aux mêmes effets. Autrement dit, si certaines conditions
initiales sont parfaitement connues, le phénomène se déroulera
de façon déterminée, toujours la même.
Au
fait, l'expérience n'est pas nécessaire si nous considérons les
principes de premier ordre qui sont par définition "les principes
logiques que nous pouvons déduire par induction et que nous ne
pouvons vérifier expérimentalement avec certitude".
Or, les exigences de la société ont très peu souvent laissé le temps
aux grands hommes de science de penser à ces principes du premier
ordre par des expériences imaginaires (méthode très usitée par Albert
Einstein pour la parenthèse...).
C'est
dans un trilemne proposé par le sceptique de l'antiquité Agrippa,
selon un argument rapporté par Sextus Empiricus, que la question
de la justification de la connaissance a été posée le plus explicitement:
H1. Ou bien
la connaissance est fondée en dernière instance sur des principes
premiers mais arbitraires
H2. Ou bien
nous ne trouvons pas de tels principes et nous avons une régression
à l'infini
H3. Ou bien
la justification est circulaire
Ce trilemne
porte aussi souvent, dans la philosophie contemporaine, notamment
chez Karl Popper, le nom de "trilemne
de Fries" ou "trilemne
de Münchhausen" et nous ne savons actuellement pas dans quel
cas de figure (H1, H2 ou H3) nous nous situons.
Énonçons maintenant
trois principes (ou hypothèses) premiers élémentaires:
PRINCIPE DE CONSERVATION DE L'ÉNERGIE
Le principe premier de conservation de l'énergie s'énonce (basiquement...
voir remarques plus bas...) ainsi: L'énergie totale, notée de
tout système isolé et inertiel
ne varie pas en fonction du temps s'il n'y a pas apport ou retrait
d'énergie (ou de masse) ou de chaleur de l'extérieur de ce système.
Ce principe peut être exprimé par la formule:

où est
la variation totale d'énergie du système, la
variation de l'énergie interne du système. C'est à dire son énergie
propre correspondant aux énergies cinétiques et potentielles microscopiques,
des particules qui le constituent.
est
la variation de l'énergie cinétique à l'échelle
macroscopique (mouvement du système dans un référentiel
donné) et est
la variation de l'énergie potentielle à l'échelle
macroscopique, du système en interaction avec des champs gravitationnels
ou électromagnétiques.
En physique, une loi de conservation (rien ne se perd, rien ne
se crée) exprime qu'une propriété mesurable particulière d'un système
physique isolé reste constante au cours de l'évolution de ce système.
La liste ci-dessous énumère des lois de conservations utiles à l'ingénieur
et qui n'ont jamais été prises en défaut à ce jour et qui
découlent pour la plupart de la conservation de l'énergie:
- conservation de la quantité de mouvement
- conservation du moment
cinétique
- conservation de la charge électrique
- conservation du flux magnétique -conservation
de la masse
Le théorème de Noether que nous verrons un peu plus bas
exprime l'équivalence
qui existe entre les lois de conservation et l'invariance des lois
physiques
en
ce qui concerne certaines transformations
(typiquement appelées symétries). Ce théorème ne s'applique
qu'aux systèmes
descriptibles par un lagrangien (cf. chapitre de Mécanique
Analytique). Par exemple, l'invariance par translation dans le temps
implique que l'énergie est conservée, l'invariance par translation
dans l'espace implique que la quantité de mouvement est conservée,
et l'invariance par rotation dans l'espace implique que le moment angulaire
est conservé.
Cette équivalence est démontrable et découle
de l'invariance dans le temps des lois de la physique. Il s'agit
du premier principe
(théorème) de
Noether que nous allons démontrer un peu plus loin.
L'énergie
que l'être humain quantifie avec l'unité "Joules" ne
peut
cependant être définie avec exactitude. Répondre à cette question
revient
à savoir ce qu'est la masse (relation d'équivalence d'Einstein)
et donc à connaître l'élément fondamental de l'Univers (nous en
avons déjà fait mention plus haut dans le présent texte).
Remarques:
R1.
L'énergie peut se trouver sous plusieurs formes (cela
ne voulant pas dire qu'il existe plusieurs énergies
différentes
!!!) comme la chaleur, l'énergie cinétique,
potentielle, électrique,
magnétique,
etc... comme nous en avons déjà fait mention plus
haut.
Ainsi, dans
les applications grand public, et notamment dans le domaine de
la
nutrition, nous
exprimons fréquemment
l'énergie en calories. La calorie étant en toute
rigueur l'énergie qu'il faut fournir pour faire chauffer
un gramme d'eau de un degré Celsius (cf.
chapitre de Thermodynamique)
, mais les nutritionnistes nomment par simplification "calorie"
ce que les physiciens nomment (correctement) "kilocalorie".
En électricité,
nous utilisons aussi le "Watt-heure", énergie
consommée pendant une heure par un appareil ayant une
puissance d'un Watt (joules par secondes).
R2.
La violation de ce principe de conservation de l'énergie dans un
système
isolé n'a
encore jamais été observée mais sa validité ne
peut être démontrée (d'où
le fait que ce soit un "principe premier").
R3. Certains physiciens débattent du fait que ce principe
premier découle du théorème de Noether que
nous verrons plus loin. Mais cela est tout à fait discutable étant
donné que le théorème de Noether considère
l'énergie potentielle comme constante dans le temps
d'où...
PRINCIPE
DE MOINDRE ACTION
Le principe
premier de moindre action (dit également "principe
premier d'économie" ou "principe
variationnel") s'énonce
ainsi:
Tous
les phénomènes naturels s'accordent avec le fait que, la Nature,
dans la production de ses effets, agit toujours par les voies les
plus simples et les plus directes.
Avec
cet énoncé et le principe de conservation de l'énergie, nous pouvons
alors établir des outils mathématiques d'une formidable puissance
pour l'étude de la physique théorique. Mais nous ne pouvons développer
à ce niveau du discours le formalisme mathématique de ce principe
car il demande des outils que nous souhaiterions introduire plus
loin, dans le chapitre de Mécanique Analytique (lors de l'étude
du formalisme lagrangien pour être plus précis).
En
attendant voici les deux relations qui le résument:

(28.34)
Remarque: La violation de ce principe dans un système
isolé
n'a encore jamais été observée mais sa validité ne peut être démontrée
(d'où le fait que ce soit aussi un "principe premier").
PRINCIPE
DE NOETHER
Le principe premier de Noether
(appelé traditionnellement "théorème
de Noether")
associe de façon élégante des quantités
physiques conservées aux symétries des lois de la
nature. La symétrie de translation dans le temps (phénomène
invariant dans le temps) correspond à la conservation
de l'énergie, celle de translation dans l'espace à la
conservation de l'impulsion (quantité de mouvement), celle
de rotation dans l'espace à
la conservation du moment cinétique etc.
En d'autres termes, le principe
premier de Noether énonce que la physique est:
- Symétrique (invariante) par translation dans le temps
(ceci ayant pour conséquence qu'il n'y pas d'origine du
temps)
- Symétrique (invariante) par translation dans l'espace
(ceci ayant pour conséquence qu'il n'y a pas d'origine à
l'espace)
- Symétrique (invariante) par rotation (ceci ayant pour
conséquence
qu'il n'y a pas de direction privilégiée dans l'espace)
Remarques:
R1. Ce principe implique donc qu'un référentiel
galiléen
(cf. chapitre de Mécanique Classique)
est homogène (pas d'origine de temps ou d'espace privilégiée)
et isotrope (pas de direction privilégiée).
R2. Il ne faut pas confondre l'invariance des lois et la non invariance
des solutions théoriques auxquelles aboutissent ces lois!
Par exemple, la décharge d'un condensateur (cf.
chapitre d'Électrocinétique) est invariante
par translation dans le temps mais pas la solution.
Ce résultat établi
en 1915 par Emmy Noether juste après son arrivée à
Göttingen, aurait été qualifié par Albert
Einstein de "monument
de la pensée mathématique". C'est maintenant un
des piliers de la physique théorique.
Aujourd'hui, il est souvent
présenté à l'occasion de cours sur la théorie
quantique des champs. Cela le fait paraître plus compliqué
et mystérieux qu'il n'est, et c'est oublier qu'il s'applique
aussi à la mécanique classique.
Remarque: Il est recommandé au lecteur de lire la démonstration
du théorème de Noether en parallèle des chapitres
de mécanique analytique et de mécanique classique.
Ainsi, les symétries
jouent un rôle majeur en physique. Elles permettent d'une
part de simplifier les problèmes d'une part et de tirer
de nouvelles lois d'autre part. Pour illustrer la première
application des symétries il suffit d'évoquer
la forme mathématique
du potentiel gravitationnel engendré par une masse ponctuelle
située à l'origine du référentiel
(cf. chapitre de Mécanique Classique).
En coordonnées
cartésiennes, l'expression du potentiel gravitationnel
est relativement complexe
(28.35)
alors qu'en coordonnées
sphériques (système de coordonnées qui tire
parti de la symétrie sphérique du potentiel) il
prend une forme très simple:
(28.36)
Les propriétés
de symétrie d'un problème sont ici exploitées
de façon à simplifier le traitement mathématique
des lois physiques. Même si ces considérations mathématiques
nous renseignent sur les propriétés physiques
du système
considéré, elles conservent cependant un caractère
purement technique.
Les symétries trouvent
pourtant une autre application dont la signification physique est
beaucoup plus profonde. Le fait, non fortuit, qu'un système
possède des symétries doit certainement avoir des
implications physiques. Intuitivement, nous pouvons saisir que
la
présence de symétries dans un système physique
se traduit par l'invariance de certaines de ses propriétés
physiques sous l'application de transformations spatio-temporelles
ou, plus généralement, des transformations géométriques.
L'invariance de propriétés physiques doit induire
nécessairement des relations d'une nature nouvelle entre
les variables du système. De telles relations doivent à
leur tour révéler des lois plus profondes qui associent
la géométrie du système aux lois de la nature.
Ce raisonnement, bien qu'intuitif, nous invite à explorer
plus en profondeur les relations qui pourraient exister entre
les
lois physiques et les propriétés géométriques
de l'espace-temps.
Considérons une expérience
de mécanique plus ou moins complexe observée simultanément
par deux physiciens O et O'
situés en des lieux différents tel que chacun d'eux
choisit un référentiel dont il est l'origine.
Ils entreprennent de mesurer
diverses grandeurs physiques et obtiennent des résultats
numériques qui dans l'ensemble diffèrent. Cependant,
les lois physiques qu'ils en tirent (à niveau de connaissance
égal) sont identiques. Cette conclusion est triviale car
nous savons tous que les lois de la nature ne doivent pas dépendre
pas de l'emplacement des observateurs.
Mathématiquement,
la différence entre les référentiels de
O et O'
selon le référentiel de l'expérience étudiée
est le passage de l'un à l'autre dans un plan par une rotation
et/ou une translation
(cf. chapitre de Géométrie
Euclidienne).
Le fait que les lois physiques
sont indépendantes de la position de l'observateur implique
qu'elles ne varient pas après leur avoir appliqué
une rotation et/ou une translation. Nous disons alors qu'elles
sont
"invariantes par rotation et par translation" ou
encore qu'elles
sont "symétriques par rotation et
par translation".
Rappel: En mathématiques
le terme "symétrie" prend un sens plus général
qui peut se définir comme suit: "transformation
qui ne change ni la forme, ni les dimensions d'une figure".
Nous pouvons remarquer
que le sens courant du mot "symétrie" correspond à un
cas particulier de symétrie au sens géométrique
du terme, qui consiste à inverser les objets par rapport
à un plan.
Remarque: En physique, la définition d'une symétrie
est semblable à celle des mathématiciens mais s'applique
aux lois de la nature et non plus aux figures géométriques.
Ainsi une symétrie en physique est une transformation
des variables du système - qui peuvent être des
variables géométriques ou des variables plus
abstraites - qui ne change pas la formulation des lois physiques.
Donnons une définition
rigoureuse d'une symétrie en physique:
Soit un système S dont
l'état évolue au cours du temps. Désignons
l'état de S à l'instant t par
S(t). A l'instant initial ,
S se trouve donc dans l'état .
Considérons une transformation géométrique
T qui agit en chaque point de l'espace et éventuellement
du temps. En un instant t,
l'action de T sur le système S a
pour effet de le transformer en un système
tel qu'à l'instant ,
le transformé par T de
est .
Définition: La transformation T est
appelée une "symétrie physique" si
la transformée par T du
système S (ce qui donne S') évolue
de la même façon
que S,
c'est-à-dire que si nous appliquons les lois de la mécanique
sur pour
connaître son état S'' en
un instant postérieur t alors .
INVARIANcE
PAR TRANSLATION DANS L'ESPACE
Considérons un système
isolé constitué de n particules
en interaction repérées par les vecteurs
position .
L'interaction de deux particules i,j dérive
d'un potentiel
(cf. chapitre de Mécanique
Classique). Chaque particule est soumise à des forces
résultant
de l'interaction avec les autres particules. Pour une particule i donnée,
la résultante de ces forces s'exprime selon
la loi de Newton (voir chapitre de mécanique classique):
(28.37)
Appliquons au système
la translation dans l'espace suivante:
(28.38)
où
est un vecteur quelconque. Dire que la translation du système
est une symétrie signifie que l'accélération
et la force qui agit sur chaque particule sont inchangées
après la transformation.
(28.39)
Ce qui implique:
(28.40)
Cette égalité
doit être vraie quelle que soit la position des particules,
donc quels que soient
et .
Il est clair que la seule manière de vérifier la
dernière
égalité dans ces conditions est d'égaler deux
à deux les potentiels entre chaque particule j avec
la particule i, c'est-à-dire:
(28.41)
Les potentiels sont alors
nécessairement (et c'est là, la puissance du théorème
de Noether!) des fonctions de
telles que:
(28.42)
Dès lors, nous en
déduisons
que:
(28.43)
Ce qui entraîne immédiatement
que la résultante de toutes les forces appliquées
aux particules du système est nulle et que donc la quantité
de mouvement totale est conservée:
(28.44)
L'invariance par translation
de la loi de Newton entraîne donc nécessairement:
1. Le potentiel entre les
particules d'un système isolé est une fonction de
leur distance relative (cela se confirmera en astronomie lors
de notre étude
du champ de potentiel gravitationnel, ainsi qu'en électromagnétisme
en ce qui concerne le potentiel électrostatique et les
potentiels de Yukawa à
symétrie sphérique en théorie quantique des
champs).
2. La loi de l'égalité
entre l'action et la réaction.
3. La conservation de la
quantité de mouvement totale d'un système !
Conséquence du point
(3): l'origine de l'espace est inobservable (puisque la conservation
de la quantité de mouvement est équivalente à
l'invariance par translation dans l'espace)!
INVARIANcE
PAR ROTATION DANS L'ESPACE
Imposons maintenant que les
rotations autour d'un point fixe soient des symétries. Cette
propriété doit être vraie quel que soit le
point fixe considéré, notamment, si ce point fixe
est précisément
la position de l'une des particules du système. Il s'ensuit
que le potentiel présente nécessairement une symétrie
sphérique. Les forces agissant entre les particules sont
donc colinéaires aux vecteurs qui les relient.
Le moment cinétique
du système s'exprime comme suit (cf.
chapitre de Mécanique
Classique):
(28.45)
La dérivée
par rapport au temps du moment cinétique total donne:
(28.46)
Or le dernier
terme du produit vectoriel peut s'écrire:
(28.47)
où les
sont les forces internes au système des particules j agissant
sur la particule i. L'avant-dernière expression
devient alors:
(28.48)
Nous pouvons regrouper les
termes
et
deux à deux et de par la propriété du produit
vectoriel nous avons nécessairement:
(28.49)
Donc nous en concluons que
le moment cinétique est conservé et la conservation
du moment cinétique est donc équivalente à
l'invariance par rotation.
Conséquence: il
n'y a pas de direction
privilégiée dans l'espace!
INVARIANcE
PAR TRANSLATION DANS LE TEMPS
L'énergie totale du
système est la somme de l'énergie cinétique
de toutes les particules et de l'énergie potentielle résultant
de l'interaction mutuelle des particules, soit sous la forme
de la mécanique classique:
(28.50)
Nous supposerons que le potentiel
ne
varie pas avec le temps. Cette hypothèse se justifie de
manière
empirique par le constat que les potentiels observés dans
la nature sont indépendants du temps dans des systèmes
fermés à l'équilibre.
Calculons la dérivée
de l'énergie par rapport au temps:
(28.51)
Or, si le système est fermé (pas d'apport de masse de
l'extérieur
ni apport d'énergie de l'extérieur), le terme est
nul (pas de variation relativiste de la masse non plus car la vitesse
de chaque corpuscule ou du système entier est constante ou sa variation
est en moyenne nulle). Il en est de même pour le terme où si
le système est fermé (pas d'apport d'énergie de l'extérieur
sous quelle que forme que ce soit) l'accélération
moyenne de chaque corpuscule ou de l'ensemble du système par rapport
au centre de gravité sera
nulle. Donc:
(28.52) Donc nous en concluons que
l'énergie totale du système est une constante!
Quelle est la grandeur mécanique
invariante par translation revient donc à se demander quelles
sont les grandeurs mathématiques qui sont inchangées
lorsque nous leur appliquons une translation. Il en existe deux:
les scalaires et les vecteurs.
Intuitivement, un scalaire
est assimilé à un nombre réel (cf.
chapitre sur les Nombres). Or, en mécanique, les
nombres réels
que nous pouvons construire le sont à l'aide de grandeurs
vectorielles comme le vecteur position, la vitesse, etc. Pour
qu'un
tel nombre réel ait le statut de scalaire il doit être
indépendant de l'espace. Ainsi, un vecteur position ne
peut manifestement être considéré comme un
scalaire. L'énergie de la particule est un nombre réel
mais n'est pas un scalaire car elle dépend explicitement,
dans sa formulation, de la position de la particule dans l'espace
au travers de l'énergie potentielle.
De la même façon,
un vecteur n'est pas seulement un être mathématique
possédant des composantes dans une base. Pour jouir du
statut de vecteur, une entité mathématique doit
se transformer de la même manière que les vecteurs
de base de l'espace
vectoriel. Selon cette définition, le moment cinétique
n'est pas un vrai vecteur car, étant la composition par
produit vectoriel de deux vecteurs, il ne se transforme pas comme
les vecteurs
de base. D'un point de vue mathématique il s'agit d'un pseudo-vecteur
(cf. chapitre de Calcul Vectoriel).
Le seul vrai vecteur qui
reste est la quantité de mouvement car il est construit à
l'aide de la dérivée du vecteur position qui est,
bien évidemment, un vrai vecteur. Nous en déduisons
que la seule grandeur susceptible d'être conservée
par translation est la quantité de mouvement totale du
système.
Par un raisonnement analogue
au précédent, il est possible de supposer quelle
grandeur pourrait être invariante par rotation. Sachant
que seuls les scalaires et certains pseudo-vecteurs sont effectivement
invariants
par rotation, nous en concluons que la seule grandeur susceptible
d'être conservée lors de rotations est le moment
cinétique
total du système.
Enfin, toujours par le même
raisonnement, l'invariance des lois de la mécanique par
déplacement
dans le temps, revient à rechercher les grandeurs conservées
par une translation dans le temps. Ces grandeurs sont les vrais
scalaires et les vecteurs sur la droite du temps. Aucune grandeur
mécanique ne peut être assimilée à un
vecteur sur la droite du temps. En revanche, l'énergie
est bien un scalaire invariant par translation dans le temps
puisque
l'énergie potentielle est par hypothèse indépendante
du temps. L'invariance des lois de la mécanique par déplacement
dans le temps laisse donc supposer intuitivement la conservation
de l'énergie.
Ces raisonnements ne peuvent
évidemment faire office de démonstration mais ils
mettent en évidence une relation étroite entre la
géométrie et les propriétés d'invariance
d'un système.
THÉORÈME DE NOETHER
Soit L le
lagrangien (cf. chapitre de Mécanique
Analytique) d'un
système représenté par les 2n coordonnées
généralisées
dans l'espace de configuration. Supposons que ce système
soit invariant par la transformation infinitésimale
suivante:
(28.53)
Où s est un paramètre réel et continu et pour lequel nous
avons:
(28.54)
La fonction
agit continûment sur le chemin variationnel selon la démarche
intellectuelle qui sera énoncée dans le chapitre
de Mécanique
Analytique.
Supposons que les fonctions
sont solutions des équations de Lagrange (ce que nous démontrerons
dans le chapitre de Mécanique Analytique). D'après
nos hypothèses
les fonctions (définies):
(28.55)
sont dès lors nécessairement
également solutions des équations de Lagrange, ce
qui se traduit par (nous omettrons l'indication de la somme
par la suite afin d'alléger la lecture!):
(28.56)
D'autre part, par hypothèse,
le lagrangien est invariant pour les transformations du type de
celles décrites par .
Il s'ensuit que sa dérivée par rapport au paramètre
s est nécessairement nulle:
(28.57)
Et nous démontrerons
par ailleurs aussi en Mécanique Analytique (sous forme d'intégrale
comme étant nulle) la relation:

(28.58)
ce qui peut finalement s'écrire:
(28.59)
mais nous avons aussi de
par l'équation d'Euler-Lagrange (cf.
chapitre de Mécanique Analytique):
(28.60)
Nous obtenons alors:
(28.61)
Donc la grandeur
est bien une constante du mouvement !
Le théorème de Noether
s'énonce alors ainsi:
Soit un système ayant
un lagrangien
auquel nous appliquons une transformation infinitésimale
,
où s est un paramètre réel et continu. Alors il existe
une constante du mouvement notée dont
l'expression est donnée par:
(28.62)
Appliquons le théorème
de Noether aux cas étudiés précédemment.
Fixons un référentiel arbitraire O cartésien.
Notons la
base orthonormée de ce référentiel.
Considérons
un système constitué de n particules
repérées
dans O par leurs vecteurs position .
Le lagrangien de ce système est alors ,
où
distingue les composantes spatiales des vecteurs .
Supposons maintenant que
le système soit invariant par translation de longueur s le
long de l'axe
x uniquement. La translation le long de cet axe s'écrit
comme suit:
(28.63)
et il s'agit donc d'un scalaire.
La constante du mouvement
donnée par application du théorème de Noether
est alors (toujours sur l'axe x):
(28.64)
Nous définirons par
ailleurs en mécanique analytique
comme étant le moment conjugué .
Nous en déduisons dès lors que la quantité
conservée est: ,
c'est-à-dire la quantité de mouvement totale du
système
le long de l'axe x !!!
En procédant de même
avec les autres axes, nous démontrerions aisément
la conservation de la quantité de mouvement totale le long
des axes pour ceux-ci, ce qui nous permet de conclure que dans
le
cas général d'une translation infinitésimale:
(28.65)
la
grandeur conservée est la quantité de mouvement
totale du système.
Supposons maintenant que
le système soit invariant par rotation d'un angle infinitésimal
s autour de l'axe z.
Cette rotation s'écrit:
(28.66)
et il s'agit donc d'un vecteur.
La dérivée
de par
rapport à s donne:
(28.67)
En remarquant encore une
fois que:
(28.68)
la
grandeur conservée obtenue par application du théorème
de Noether est alors:
(28.69)
et nous avons démontré
dans le chapitre de Calcul Vectoriel que:
(28.70)
ce qui nous amène
à écrire:
(28.71)
On montrerait de la même
façon l'invariance du lagrangien sous les rotations
selon les autres axes ce qui conduit à la conservation des
composantes suivant ces axes du moment cinétique total
du système.
En conclusion, nous avons
mis en évidence trois lectures différentes des lois
de la physique:
Observation |
Loi
de conservation |
Signification
physique |
Invariance
des lois de la physique par translation |
Conservation
de la quantité de mouvement |
Homogénéité
de l'espace: l'espace présente les mêmes
propriétés en tous points |
Invariance
des lois de la physique par rotation |
Conservation
du moment cinétique |
Isotropie
de l'espace: l'espace présente les mêmes
propriétés dans toutes les directions |
Invariance
des lois de la physique par déplacement dans le
temps |
Conservation
de l'énergie |
Homogénéité
du temps: les lois de la nature ne varient pas dans
le temps |
Tableau: 28.7
- Lois de conservation
Autrement dit, l'Univers
serait:
P1. Homogène (pas
d'origine de temps, ou d'espace, privilégiée)
P2. Isotrope (pas de direction
privilégiée).
PRINCIPE
DE CURIE
Le principe de Curie (que
nous devons à Pierre Curie) découle un peu intuitivement
du théorème de Noether et s'énonce ainsi:
Si une cause présente
une certaine symétrie ou invariance, alors son effet aura
la même symétrie (ou la même invariance), ou
une symétrie supérieure, à condition toutefois
que la solution du problème soit unique.
Remarque: A noter que les éléments de symétrie
agissent sur les directions des grandeurs vectorielles, tandis
que
les invariances agissent sur les variables dont dépendent
ces grandeurs.
Exemple:
Conservation de l'énergie/invariance par translation dans
le temps, conservation de la quantité de mouvement/invariance
par translation dans l'espace, conservation du moment cinétique/invariance
par rotation dans l'espace tel que nous l'avons démontré
lors de notre étude du théorème de Noether.
Ainsi, dans un espace homogène
et isotrope, si nous faisons subir une transformation géométrique
à un système physique susceptible de créer
certains effets (forces, champs), alors ces effets subissent les
mêmes transformations.
Autrement dit, si un système
physique S possède un certain degré de
symétrie, nous
pourrons alors déduire les effets créés par
ce système en un point à partir des effets en un
autre point.
Voici les six propriétés
de symétrie découlant du principe de Curie:
P1. Invariance par translation: si S est invariant dans toute translation parallèle à un
axe, les effets sont indépendants des coordonnées
de cet axe (l'intérêt étant alors de travailler
en coordonnées cartésiennes).
P2. Symétrie axiale: si S est invariant dans toute rotation autour d'un axe donné,
alors ses effets exprimés ne dépendent pas de l'angle
qui définit la rotation (l'intérêt étant
alors de travailler en coordonnées cylindriques).
P3. Symétrie cylindrique: si S est invariant par translation et rotation, alors ses effets ne
dépendent
que de la distance à l'axe de rotation (l'intérêt
étant alors aussi de travailler en coordonnées cylindriques).
P4. Symétrique sphérique: si S est invariant dans toute rotation autour d'un point fixe, alors
ses effets ne dépendent que de la distance à ce point
fixe (l'intérêt étant alors de travailler en
coordonnées sphériques).
P5. Plan de symétrie: si S admet un plan de symétrie, alors en tout point de ce plan:
- un effet à caractère
vectoriel est contenu dans le plan
- un effet à caractère
pseudo-vectoriel (voir le chapitre de Calcul Vectoriel pour voir
la définition d'un pseudo-vecteur) lui est perpendiculaire
P6. Plan d'antisymétrie: si, par symétrie par rapport à un plan, S est
transformé en
-S alors en tout point de ce plan:
- un effet à caractère
vectoriel est perpendiculaire au plan
- un effet à caractère
pseudo-vectoriel est contenu dans ce plan
La symétrie est fondamentale
dans les sciences quelles que soient les disciplines. La symétrie
est partout. Elle permet de décrire de manière précise
de nombreux systèmes, de clarifier et de simplifier l'étude
de leurs propriétés. Des résultats très
importants peuvent ainsi être prédits de manière
rigoureuse sans que l'on ait à faire appel à des théories
mathématiques sophistiquées.
ESPACES PONCTUELS
L'étude des phénomènes physiques
recourt dans un premier temps à leur représentation dans l'espace
de la géométrie classique euclidienne à une dimension temporelle
et à un nombre quelconque de dimensions spatiales.
Les vecteurs que nous avons
étudiés dans le chapitre de Calcul Vectoriel (tenseurs
d'ordre 1) et les tenseurs (d'ordre quelconque) que nous avons
aussi étudiés
dans le chapitre de Calcul Tensoriel peuvent comme nous avons en
déjà fait mention, être utilisés pour relier
chacun des points de l'espace-temps à un référentiel
et former ainsi des champs de vecteurs ou/et de tenseurs. Cet état
de fait mathématique,
nécessite
la définition mathématique d'espaces formés
de points ou également
appelés "espaces ponctuels".
La définition précise d'espace
vectoriel ponctuel que nous allons faire sera construite à partir
de la notion d'espace vectoriel que nous avons vue dans le chapitre
de Calcul Vectoriel (voir section d'Algèbre)
Voyons tout d'abord l'exemple
particulier de l'espace ponctuel formé par des triplets de nombres
qui est issu directement de l'espace géométrique classique à trois
dimensions.
Ainsi, donnons-nous des triplets
de nombres notés:
(28.72)
etc... Appelons l'ensemble
de tous les éléments {A,B,...} formés
par des triplets de nombres. À tout couple (A,B) de
deux éléments de ,
pris dans cet ordre, nous pouvons faire correspondre un vecteur
,
appartenant à un espace vectoriel espace vectoriel
,
noté géométriquement ,
en définissant celui-ci par un triplet de nombres tel que
(nous utilisons la notation indicielle vue dans le chapitre de
Calcul Tensoriel):
(28.73)
avec .
Nous avons donc:
(28.74)
Si nous définissons par rapport
à cet élément l'addition et la multiplication par
un scalaire, nous nous retrouvons comme nous l'avons déjà vu
en théorie des ensembles (voir chapitre du même nom)
avec une structure d'espace vectoriel.
La correspondance que nous
établissons ainsi, entre tout couple (A,B) de
deux éléments de et
un vecteur d'un espace vectoriel ,
vérifie manifestement les propriétés suivantes:
P1. Antisymétrie: 
P2. Associativité par rapport
à l'addition: 
P3. Si O est
un élément arbitraire choisi dans ,
à tout vecteur de
,
il correspond un point M et
un seul tel que .
Lorsque nous avons muni
l'ensemble
de
cette loi de correspondance avec ,
vérifiant les trois propriétés précédentes, nous disons que l'ensemble
des triplets de nombres constitue un "espace
ponctuel", noté .
Les éléments de sont
alors appelés des "points".
L'espace ponctuel se
confond en tant qu'ensemble d'éléments avec l'ensemble mais
il s'en distingue en
tant qu'espace ponctuel qui constitue un ensemble structuré par
la loi de correspondance que nous nous donnons. De même, les espaces
et
sont
distincts par suite de leur structure différente et nous pouvons
établir une distinction entre les éléments de chacun des espaces.
Nous disons que constitue
le support des espaces et
.
Nous pouvons bien évidemment
généraliser le support à .
Ainsi, muni
de la structure d'espace vectoriel que nous avons définie précédemment
constitue un espace ponctuel à n dimensions
que nous noterons .
Les éléments de étant
appelés des "points".
L'espace vectoriel est
appelé "l'espace associé" à .
Lorsque l'espace vectoriel associé est un espace pré-euclidien
(muni du produit scalaire), nous disons alors que est
un "espace ponctuel pré-euclidien".
Considérons un point O quelconque
d'un espace ponctuel pré-euclidien et
une base de
l'espace vectoriel associé .
Définitions:
D1. Nous appelons "repère
de l'espace"
l'ensemble constitué par les éléments O
(origine) et
de la base .
Ce genre de repère est noté:
(28.75)
ou encore simplement:
(28.76)
D2. Les "coordonnées"
d'un point M d'un
espace ponctuel pré-euclidien ,
par rapport au repère ,
sont les composantes (contravariantes) du
vecteur de
l'espace par
rapport à la base .
Soient deux points M et
M' de
définis
par leurs coordonnées respectives et
,
nous avons:
(28.77)
En utilisant les propriétés
P1 et P2 données précédemment:
(28.78)
Nous en déduisons que les
composantes du vecteur ,
par rapport à la base ,
sont les n quantités
,
différences des coordonnées des points M et
M'.
Soient et
deux
repères quelconques de
liés entre eux par les relations générales (cf.
chapitres de Calcul Tensoriel et d'Algèbre Linéaire):
et
(28.79)
Cherchons les relations entre
les coordonnées d'un point M de
par
rapport à ces deux repères. Pour cela, exprimons les vecteurs et
sur
chacune des bases de :
(28.80)
ainsi que les vecteurs et
,
soit:
(28.81)
Nous avons d'autre part:
(28.82)
Identifiant ce résultat par
rapport au vecteur dans
l'expression de ,
nous avons:
(28.83)
Et de façon analogue:
(28.84)
Ces deux relations sont plus
que pratiques en physique où nous avons souvent à considérer un
référentiel dans un repère (ainsi nous pouvons exprimer la position
d'un point depuis l'un ou l'autre repère en usant de ces deux relations).
Considérons maintenant un
espace ponctuel pré-euclidien ainsi que M et
M' deux
points de cet espace. Nous avons démontré lors de notre étude
de la topologie (cf. chapitre de Topologie),
que la norme du vecteur MM' est
une mesure possible de la distance entre M et
M' .
Nous avons donc:
(28.85)
Si les deux points M et
M' ont
respectivement pour coordonnées et
,
par rapport à un repère ,
nous savons que nous avons:
(28.86)
La norme au carré est donc
donnée comme nous l'avons vu lors de notre étude du calcul tensoriel
(cf. chapitre de Calcul Tensoriel)
par la relation:
(28.87)
Si le point M' est
infiniment proche du point M,
ses coordonnées sont notées et
le vecteur a
pour composantes les quantiques .
Si nous notons ds la
distance entre les points M et
M' .
La relation précédente donne l'expression du carré de la distance
entre ces points sous la forme:
(28.88)
Rappelons également (cf.
chapitre de Calcul Tensoriel) que pour un espace ponctuel
pré-euclidien
où les vecteurs de base sont
donc orthonormés, nous avons:
(28.89)
et l'expression de la distance
devient alors:
(28.90)
Nous obtenons ainsi une expression
qui généralise, à n dimensions,
le carré de la distance élémentaire, par rapport à un repère cartésien
orthonormé, dans l'espace de la géométrie classique (euclidienne).
Les vecteurs de la physique
sont généralement des fonctions d'une ou plusieurs
variables, celles-ci pouvant être des variables d'espace ou du
temps. Lorsque à un point
M d'un
espace ponctuel ,
nous attachons un tenseur, défini par ses composantes par
rapport
à un repère ,
nous dirons que nous nous sommes donnés un "champ
de tenseurs"
(les champs de tenseur d'ordre 1 étant des champs vectoriels).
Pour des vecteurs à n dimensions,
la notion de dérivée d'un vecteur à trois dimensions se généralise
et nous obtenons toutes les relations classiques relatives aux dérivées.
Considérons ainsi un vecteur
appartenant
à un espace pré-euclidien dont
les composantes, sur une base ,
sont des fonctions d'un paramètre quelconque .
Nous noterons ce vecteur et
nous aurons:
(28.91)
Par définition, la dérivée
du vecteur par
rapport à la composante est
un vecteur noté:
(28.92)
selon la notation utilisée
par les mathématiciens. Ou:
(28.93)
selon la notation abrégée des physiciens. Ou encore:
(28.94)
selon l'humeur du physicien.
Ou encore:
(28.95)
si nous respectons les écritures...
Dans ce site, nous basculons
d'une notation à l'autre sans préavis en fonction de l'envie de
simplifier les écritures (il faudra s'y faire..).
Etant donné que nous faisons
actuellement plus de la mathématique que de la physique, nous noterons:
(28.96)
En rappelant (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) que la différentielle
est donnée par:
(28.97)
Les différentes expressions
de dérivations des vecteurs à trois dimensions relatives à la somme
de vecteurs, au produit par un scalaire de deux vecteurs, sont aisément
transposables aux vecteurs à n dimensions.
Si un vecteur de
dépend
de plusieurs paramètres indépendants, ,
la dérivée partielle du vecteur par
rapport à la variable ,
par exemple, est un vecteur noté:
ou
(28.98)
dont les composantes sont
les dérivées partielles des composantes de ,
soit:
(28.99)
La différentielle totale
du vecteur s'écrivant
(cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):
(28.100)
Considérons maintenant un
espace vectoriel pré-euclidien associé
à un espace ponctuel .
Dans un repère tout
point M de
est
associé à un vecteur de
tel
que .
Si le vecteur dépend
d'un paramètre et
admet une dérivée ,
il en est de même alors pour .
Montrons que le vecteur
dérivé
ne
dépend pas du point origine O (statique)
mais seulement du point M considéré.
En effet, si O' est
un autre point origine, nous avons:
(28.101)
et puisque le vecteur est
fixe et ne dépend pas de ,
nous avons:
(28.102)
d'où:
(28.103)
Nous pouvons donc noter la
dérivée du vecteur en
mentionnant seulement le point M et
nous écrirons:
(28.104)
La différentielle de s'écrit
alors:
(28.105)
Si un point M de
est
associé, par rapport à un repère à
un vecteur ,
les dérivées partielles de ne
dépendront que du point M et
nous écrirons, par exemple:
(28.106)
Afin d'alléger les expressions
des dérivées partielles totales des
fonctions dépendantes de n variables,
nous utilisons quand le contexte s'y prête, les notations indicielles
suivantes. Si est
une fonction des n variables
,
nous noterons les dérivées partielles sous la forme:
(28.107)
Les dérivées secondes par
rapport aux variables et
s'écriront:
(28.108)
Lorsque est
un vecteur tel que ,
dont les composantes sont des fonctions de n variables
,
soit:
(28.109)
les dérivées partielles du
vecteur seront notées, en utilisant la convention de sommation:
(28.110)
Le
concept d'espace ponctuel étant maintenant introduit, nous
pouvons maintenant passer à l'étude du formalisme lagrangien
et la détermination
de la formulation mathématique du principe de moindre action (voir
chapitre suivant).
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