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MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

La mécanique est la branche de la physique qui a pour objet l'étude des forces et de leurs actions sous une forme abstraite (Larousse)

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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

En introduisant la mécanique nous faisons enfin, après une trrrrrès longue incursion préalable et obligatoire dans le monde magnfique de la mathématique, nos premiers pas dans le domaine de la physique théorique... version simplifiée... qui ne cherche pas la précision mais seulement la compréhension des phénomènes (les calculs exacts ou les simulations numériques donnent de toute façon des résultats très voisins de ce que nous allons voir).

Comme nous l'avons déjà dit, la physique est donc une science fondamentale qui a une profonde influence sur toutes les autres sciences et sur la société humaine et qui a pour objectif d'expliquer le comment et non le pourquoi (voir l'introduction du site pour plus de détails). Les futurs physiciens et ingénieurs ne sont ainsi pas les seuls qui doivent avoir bien compris ses idées fondamentales, mais tous ceux qui envisagent une carrière scientifique (y compris les étudiants qui se spécialisent en biologie, en chimie et en mathématiques) doivent avoir acquis la même compréhension.

Le but premier de ce site, nous insistons..., est donc de donner à l'étudiant une vue unifiée de la physique en présentant ce que nous pensons être les idées fondamentales constituant l'essentiel (minimum minimorum) de la physique contemporaine.

Souvent, la physique est enseignée comme si elle était une juxtaposition de plusieurs sciences, plus ou moins bien reliées, mais sans aucun réel souci d'unité et de détails (raison pour laquelle la majorit des ouvrages et sites Internet ne font pas les démonstrations). Nous avons rejeté ce mode de d'enseignement (pour l'avoir subi pendant nos études) et avons opté pour une présentation unifiée et soigneusement détaillée en faisant au besoin à chaque fois référence à un chapitre du site qui contiendrait les démonstrations des outils mathématiques utilisés ou d'une autre théorie physique sous-jacente.

Nous insistons sur le fait que tout étudiant devrait connaître les bases de la logique, l'arithmétique, l'algèbre, le calcul vectoriel, le calcul tensoriel, le calcul différentiel et intégral et la géométrie analytique et différentielle avant toute étude des phénomènes physiques ceci afin de travailler avec rigueur et toute la compréhension nécessaires aux raisonnements mathématiques qui vont être introduits à partir de maintenant (les mathématiques sont les fondations de l'immense édifice de la physique théorique!). Nous allons voir dans ce qui va suivre que tous les outils ou résultats mathématiques présentés jusqu'à maintenant seront utilisés!!

Rappelons tout de même que la "physique" est donc la "science exacte/déductive" qui s'occupe de modéliser mathématiquement au mieux les phénomènes naturels, artificiels, observables ou non-observables. En de plus brefs termes, nous pourrions parler de description de la "réalité" (quant à savoir s'il s'agit de la réalité sensible ou vraie...).

Lorsque nous voulons prédire ou décrire un phénomène physique concret, nous pouvons généralement passer par un modèle analytique où les différentes grandeurs sont exprimées par des indéterminées (valeurs abstraites) et les lois de la physique par des fonctions, dans la mesure où elles sont connues (le cas échéant, nous pouvons faire une hypothèse et la tester). En mettant en équation un phénomène physique, nous traduisons la réalité en une expérience mathématique, virtuelle, selon certaines règles. Nous procédons à une simulation de la réalité portant sur des grandeurs exprimées.

Les différentes "lois" sont élaborées historiquement très souvent sur des faits d'abord empiriques et sont vérifiées expérimentalement par la suite (voir la méthode hypothético-déductive dans le chapitre de Théorie De La Démonstration). En admettant que ces lois soient valables dans le contexte, nous pouvons donc nous attendre à ce que l'expérience mathématique soit en adéquation avec les faits expérimentaux attendus (ou inversement). Bien sûr, une expérience virtuelle n'est pas réelle et ne saurait exprimer la réalité dans toute sa subtilité. Ce n'est qu'un modèle ! Il est donc clair que la prédiction d'un phénomène physique peut diverger des faits expérimentaux réels.

Avant de commencer notre étude des phénomènes physiques, il nous faut définir les concepts sur lesquels se base la physique théorique. Ainsi, nous verrons dans l'ordre que:

- L'être humain a créé un système d'unités de mesures et de dimensions de bases, dont les grandeurs représentatives sont arbitraires à un coefficient près, propres à identifier chaque phénomène physique de façon simple.

- Certains concepts indissociables de la vision de notre environnement nous amènent à poser des hypothèses et des principes (à postuler quelque chose donc..) qui sont relatifs à notre réalité sensible tout en étant transposable à toute autre réalité de ce type.

- La physique fondamentale nous amène à considérer les fondements de la nature en tant que concepts mathématiques abstraits. Ainsi, notre observation commune nous donne une vue concrète de l'Univers alors que la physique théorique nous en donne une vue abstraite.

Nous pouvons alors être amenés à nous poser cependant la question suivante: les faits déterminent-ils quelle théorie est vraie ?

En observant la nature, nous pouvons constater des faits: ce sont des données que nous ne créons pas. Les astronomes par exemple, constatent la position des objets célestes. Nous comprenons un fait dans la mesure où il apparaît comme la conséquence de l'ordre des choses décrit par une théorie. Mais les théories gardent toujours le statut d'hypothèses: même lorsqu'une théorie s'accorde avec l'ensemble des faits observés, cela ne prouve pas qu'elle soit vraie. En effet, il existe toujours une infinité de théories possibles qui sont toutes compatibles avec tous les faits observés. Nous disons alors que les faits "sous-déterminent" les théories: les faits imposent des contraintes sur les théories, au sens où, seules les théories compatibles avec les faits observés, sont acceptables. Mais ces contraintes seront toujours assez faibles pour laisser le choix parmi une infinité de théories.

Bien entendu, les scientifiques n'envisagent réellement qu'un nombre fini de théories, en fonction de ce qui paraît le plus simple dans un cadre conceptuel donné. A l'époque de Kepler, il existait par exemple trois grandes théories pour expliquer les mouvements des planètes, toutes compatibles avec les faits observés. Selon la théorie ptoléméenne, les orbites des planètes sont circulaires ou situées sur un épicycle autour de la Terre, immobile au centre de l'Univers. Dans la théorie copernicienne, le Soleil occupe le centre, les orbites des planètes et de la Terre étant situées sur des cercles et épicycles. Enfin, dans la théorie képlérienne, les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil occupe un foyer.

SYSTÈMES D'UNITÉS

La mesure de grandeurs est à la base de toute analyse scientifique de systèmes physiques. Celle-ci s'opère toujours par comparaison avec une grandeur de même nature, préalablement définie, prise comme valeur unité de référence (afin que les résultats expérimentaux entre scientifiques soient comparables!).

Définition: Une "grandeur" est l'expression nomologique quantitative d'une propriété, d'un effet ou d'une quantité abstraite définie par un modèle que présente l'objet ou le phénomène étudié. Une grandeur ne s'explique pas, elle se décrit par rapport à une définition.

Nous reconnaissons deux types de grandeurs:

- Les constantes: elles possèdent une valeur concrète exprimable numériquement et n'évoluent pas au cours du phénomène étudié. Ce sont des "grandeurs passives" (nous y reviendrons plus loin et énumérerons quelques-unes d'entre elles).

- Les variables: elles ne possèdent une valeur concrète que dans un état déterminé, mais pas lorsque nous observons le phénomène physique dans son ensemble. Ce sont des "grandeurs actives". Les différentes variables décrivant un phénomène physique sont souvent corrélées entre-elles par le biais de fonctions. Nous disons alors par définition  que ces variables ont une "relation fonctionnelle" entre elles.

Mesurer une grandeur physique revient à la comparer à une grandeur physique connue, de même nature (nous disons aussi "de même dimension"), pris comme étalon arbitraire. Le résultat de la mesure s'exprime ainsi à l'aide de deux éléments:

- un nombre qui est le rapport de la grandeur mesurée à la grandeur étalon

- un nom identifiant l'étalon choisi

La notation d'une grandeau A est donc sous forme abstraite:

  (28.1)

Le "nombre" {A} constitue au fait la valeur mesurée de la grandeur et le "nom" [A] est ce que nous appelons communément "unité physique", ou plus simplement "unité" (l'expression quantitative d'une variable ou d'une fonction). Ces deux éléments sont indissociables, la valeur mesurée n'a de sens que si nous indiquons en même temps l'unité choisie. Elle change si nous changeons d'unité.

Définition: Certaines grandeurs peuvent, par souci de simplification d'écriture, s'exprimer à partir d'autres grandeurs. Nous disons alors que la nouvelle grandeur "dérive" des unités de bases. Nous disons également que deux grandeurs physiques sont des "grandeurs homogènes" si elles sont de même nature physique ou si nous pouvons les exprimer toutes les deux dans la (les) même(s) unité(s) de base.

Ainsi, après un longue période de réflexion, et en dernière analyse le monde physique semble pouvoir se ramener aux concepts d'espace, d'énergie et de temps.

Ainsi apparaît donc une autre définition possible de la physique:

Définition: La physique est la science des propriétés et des relations mutuelles dans le temps de la matière et de l'énergie à un facteur de charge près.

Notre rôle consiste donc à donner une description de ces propriétés et relations sous forme de lois ou relations physiques appliquées aux phénomènes observés, dans le cadre d'une théorie fournissant les éléments de prévision.

Les grandeurs physiques ne sont pas toutes indépendantes les unes des autres mais reliées entre elles par certaines lois ou relations. Il serait alors peu raisonnable, quoique possible, de choisir une unité particulière pour chacune des grandeurs physiques sans tenir compte de leurs relations mutuelles. 

Constituer un système cohérent d'unités revient donc à déterminer un nombre minimum d'unités qui établissent les règles de construction de ces relations mutuelles. Effectivement, historiquement, un grand nombre d'unités a été défini pour la mesure d'une seule grandeur, afin de répondre à des besoins spécifiques des domaines de la vie pratique ou des sciences et techniques. Leurs choix et leurs définitions étaient souvent empiriques, les conversions entre unités pas toujours aisées ni clairement définies.

Face à l'évolution des sciences et techniques, à l'accroissement des échanges d'informations, la nécessité d'unifier ce système est apparue, le but étant de retenir un nombre aussi restreint que possible d'unités définies aux moyens d'unités. Ce sont les "unités fondamentales". A partir des lois physiques et des relations entre les différentes unités fondamentales, nous déduisons les unités des autres grandeurs qui deviennent alors par souci de simplification d'écriture les "unités dérivées".

Le choxi et la définition des grandeurs constituant le jeu d'unités de base constituent un problème complexe. En effet, ces unités doivent être d'une grande précision et disponibles dans les laboratoires de mesure de l'ensemble de la planète.

Les unités fondamentales sont au nombre de quatre (nous le justifierons plus loin): la longueur (mètres), la masse (kilogrammes), le temps (secondes), la charge électrique (coulombs). Le système ainsi constitué est le système M.K.S.C. (l'auteur du présent site internet assume le choix d'ajouter le Coulomb).

Les unités du système M.K.S.C sont dans le cadre ce site internet :

1. Le mètre [m], pour la longueur L (nous avons déjà défini le concept de longueur dans le chapitre Géométrie mais nous y reviendrons à nouveau plus loin). Depuis 1983, le mètre est actuellement défini comme étant la longueur du trajet parcouru par la lumière dans le vide dans une durée de 1/299'792'458 seconde.

2. Le kilogramme [kg], pour la masse M (nous reviendrons plus loin sur la définition du concept de masse) est depuis 1889 la masse du prototype en platine-iridium déposé au Bureau Internation des Poids et Mesures è Sèvres.

3. La seconde [s], pour le temps T (le temps n'est pas mesurable en soi mais l'intervalle de temps  est un concept arbitraire tout à fait valable - nous reviendrons également plus loin sur la définition de ce concept). La seconde est depui 1967 la durée de 9'192'631'770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de Césium 133.

4. Le coulomb [C] utilisé comme unité élémentaire de charge électrique q  (ne dérive d'aucune unité connue à ce jour - nous reviendrons également plus loin sur la définition de ce concept).

Ces précisions étant faites, toute grandeur physique connue à ce jour peut être exprimée à l'aide d'une unité qui s'exprime comme le produit de cinq facteurs dimensionnels et d'un facteur d'échelle arbitraire K (nombre sans dimension, qui joue le rôle d'un facteur de proportionnalité pour amener d'une échelle, celle de l'unité de base, à celle de la grandeur étudiée):

  (28.2)

où les nombres  appelés respectivement "ordre de masse", "ordre de longueur", "ordre de temps", "ordre d'angle" et "ordre de charge" sont des entiers positifs, négatifs ou nuls.

L'expression précédente s'écrira sous la "forme canonique" définie par les étalons:

  (28.3)

l'angle n'ayant pas d'unité, nous ne le notons plus (mais il s'y trouve implicitement).

Toute grandeur physique X s'exprime donc comme:

  (28.4)

où x est la valeur de la grandeur physique dans le système d'unité associé au facteur d'échelle K. Il existe plusieurs couples (x, K) possibles, mais nous aurons toujours:

  (28.5)

où la constante  est la valeur de la grandeur physique lorsque nous choisissons de l'exprimer dans le système M.K.S.C.

Donc deux grandeurs physiques  et  sont homogènes si et seulement si les quadruplets:

  (28.6)

qui leur sont attachés sont égaux:

  (28.7)

Il découle, de ce que nous avons dit, que:

- La somme ou la différence d'un nombre quelconque de grandeurs n'a un sens que si ces grandeurs sont homogènes et le résultat aura donc les mêmes unités que les opérandes.

- Le produit ou la division de plusieurs grandeurs a pour unité le produit, respectivement la division des unités des opérandes.

ANALYSE DIMENSIONNELLE

L'analyse dimensionnelle est donc un domaine de la physique qui concerne les unités des grandeurs. Notamment, le fait que les unités soient relativement arbitraires fait que toute équation valable de la physique est homogène: quelque chose qui se mesure en mètres par seconde ne peut pas être égal à quelque chose qui se mesure en kilogrammes par mètre. C'est un moyen très prisé et très efficace de vérifier ses propres calculs (et celui des autres...).

La puissance prédictive de cette approche valable dans des cas d'études simples a amené certains physiciens à énoncer le "principe zéro" de la physique ainsi: Ne jamais faire de calculs avant d'en connaître le résultat.

Cet énoncé, qui peut sembler a priori paradoxal, signifie concrètement: Ne pas se lancer (si possible...) dans un calcul compliqué sans avoir trouvé au préalable la forme qualitative du résultat avec l'analyse dimensionnelle.

Cette forme qualitative est nommée traditionnellement "l'équation aux dimensions" et représente donc la formule qui permet de déterminer l'unité dans laquelle doit être exprimé le résultat d'une recherche. C'est une équation de grandeurs, c'est-à-dire dans laquelle on représente les phénomènes mesurés par un symbole d'unité comme ceux que nous avons vus dans les paragraphes plus haut.

Exemple:

Voyons donc un exemple de légende souvent cité dans divers magazines ou livres de vulgarisation:

L'analyse dimensionnelle a permis à Geoffrey Ingram Taylor d'estimer en 1950 l'énergie dégagée par l'explosion d'une bombe atomique, alors que cette information était classée top secret. Il lui aurait suffi pour cela d'observer sur un film d'explosion, imprudemment rendu public par les militaires américains.

Le physicien Taylor suppose pour arriver à ce résultat que le processus d'expansion de la sphère de gaz dépend au minimum des paramètres du temps t, de l'énergie E dégagée par l'explosion et de la masse volumique de l'air .

L'analyse dimensionnelle le conduit alors pour le rayon de la sphère de gaz à l'instant t à:

  (28.8)

où k est une constante sans dimensions.

Et par tâtonnements nous trouvons relativement rapidement  tels que:

  (28.9)

Effectivement:

  (28.10)

Taylor trouve alors la loi de dilatation temporelle du rayon du champignon atomique est proportionnelle à (il est inutile d'indiquer les autres unités puisque uniquement la partie temporelle nous intéresse!):

  (28.11)

Si nous connaissons r et t à partir d'un film, et, k étant supposée de l'ordre de l'unité et  étant connue, nous obtenons finalement:

  (28.12)

ce qui reste une grossière approximation. Mais arriver à un résultat pareil (d'ordre de grandeur) avec l'artillerie lourde de la physique théorique nécessiterait beaucoup plus de temps et de feuilles de calculs.

NOTATIONS SCIENTIFIQUES

Il est fréquent en physique que les grandeurs manipulées soient très grandes et lourdes à écrire. Par exemple, il est toujours embêtant d'avoir des grandeurs comme 8'000'000'000 ou 0.000'000'000'1.

Alors nous pouvons adopter une convention d'écriture  en puissance de dix dite "notation scientifique" telle que:

- 8'000'000'000 s'écrive   (neufs zéros après le "8")

- 0.000'000'000'1 s'écrive  (10^ème position après la virgule) ou  (neufs zéros après la virgule)

Une écriture encore plus simplifiée consiste à utiliser le tableau ci-dessous mais uniquement si nous avons à travailler avec des grandeurs physiques:

Par exemple, 10'000'000 grammes notés conventionnellement:

10'000'000 [g]    (28.13)

sera écrit en notation scientifique:

    (28.14)

mais en écriture physique (selon le tableau ci-dessus):

ou   (28.15)

Définition: Nous disons que est "l'écriture scientifique" d'un nombre positif A si a est un nombre décimal (c'est-à-dire que a s'écrit avec un seul chiffre autre que zéro avant la virgule), n est un nombre entier relatif.

Exemple:

  (28.16)

L'avantage de cette écriture est de donner un ordre de grandeur de A compris entre 2 puissances consécutives de 10 tel que:

  (28.17)

Si de plus, comme il arrive souvent, nous utilisons des unités de physiques de multiple de 1'000 cela permet de placer ces grandeurs entre 2 unités dérivées consécutives.

TEMPS

Définition: Le "temps" est une variable d'état (et non un "mesurable") et donc une notion impalpable mais cependant rigoureusement définie. Il s'agit aussi d'un outil mathématique qui permet de mettre en équation l'observation de phénomènes physiques (observables) et d'en tirer ainsi un certain nombre d'informations. Cet outil existe car il existe des êtres pour observer (et mesurer) la nature et ses changements (principe socratique) et de la matière et du mouvement pour qu'il y ait ces changements.

Nous représentons très souvent en physique le temps (compris dans un intervalle) par une flèche (axe) horizontale représentant le sens du temps. Comme le temps est une notion purement utilitaire, nous pouvons alors définir chaque instant du temps comme étant le temps zéro noté . Cette notion est très utilisée en physique car souvent la seule chose qui intéresse les physiciens est la différence de temps notée (de par l'utilisation du calcul différentiel et intégral).

Démontrons maintenant que la référence temporelle est indépendante du choix pour un observateur au repos. Soit un temps noté par la lettre t, nous avons alors:

  (28.18)

où t' est la base arbitraire (non nécessaire) lorsque nous comparons une différence temporelle.

L'intervalle de temps est donné par une mesure étalon qui ne peut être qu'un mouvement au mieux parfaitement périodique (qui se répète dans le temps). Ainsi, les premiers moyens de mesure du temps ont été le jour et la nuit, les positions du soleil et de la lune dans le ciel, le mouvement du pendule, la détente de ressorts, la période de dégénérescence du césium 137 ou encore les systèmes binaires d'étoiles massives. Bref, tant qu'un système observable produit un phénomène périodique stable et suffisamment petit pour que toute mesure physique puisse y être réduite, celui-ci peut être utilisé comme étalon d'intervalle temporel.

Définitions:

D1. Un "événement" consiste à donner une signification à un point de l'espace-temps.

D2. Deux événements sont dits "événements simultanés", s'ils ont même valeur de la coordonnée temporelle.

D3. Nous appelons "coïncidence" la simultanéité de deux événements en un même point de l'espace. La coïncidence est un fait absolu, indépendant du choix du référentiel. C'est en fait un cas particulier du principe de conservation de la causalité. Deux événements coïncidant dans un repère peuvent être cause à effet l'un de l'autre (et réciproquement), et cette possibilité est conservée dans le nouveau repère.

LONGUEUR

Définition: Le concept de "longueur" x est donné par l'information qui donne le chemin parcouru par un objet dans un intervalle de temps donné.

Comme pour le temps il n'y a pas d'origine absolue de mesure des longueurs (il n'existe pas de point zéro dans l'Univers comme le postule la théorie de la relativité) et les physiciens s'intéressent de toute façon plus particulièrement aux différences de chemin parcouru par rapport à une origine comme ils le font pour le temps.

Ainsi, de manière identique au temps, nous avons pour un observateur au repos qui observe un point matériel en mouvement:

  (28.19)

où x' est une base arbitraire mathématiquement inutile lorsque nous comparons une différence de position dans une différence de temps d'un point matériel.

Si un point matériel se situe dans un espace à trois dimensions spatiales (cas le plus fréquent en mécanique classique) dont nous avons arbitrairement choisi l'origine O, nous notons la position  de ce corps par sa distance en longueur x, largeur y et hauteur z (appelées "coordonnées cartésiennes") par une flèche imaginaire dit "vecteur" (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) reliant le point d'origine arbitraire du référentiel spatial au point intéressé de la façon suivante:

  (28.20)

Remarque: La flèche au-dessus du signifie bien évidemment qu'il s'agit d'un vecteur. 

La notation: 

  (28.21)

est une notation simplificatrice utilisée fréquemment en physique et qui devrait s'imposer dans les petites classes (attention le fait que les chiffres soient abaissés en indice ne signifie absolument pas ce que sont des composantes covariantes - voir chapitre de Calcul Tensoriel de la section d'Algèbre - il s'agit juste d'une convention simplificatrice d'écriture). Cependant sur le présent site Internet nous passerons de l'une à l'autre des notations en fonction des besoins et des traditions en vigueur (ce sera donc à vous de faire attention à ne pas confondre).

La matrice: 

    (28.22)

est quant à elle le tenseur métrique d'un espace pré-euclidien canonique à signature positive (cf. chapitres de Calcul Vectoriel et Calcul Tensoriel). Ceci constitue un cas particulier en physique théorique mais cependant un cas très fréquent d'étude en mécanique classique (il faut commencer par des espaces simples avant d'aller plus loin...).

Nous reviendrons plus en détails sur ces concepts lors de notre étude des espaces ponctuels plus loin.

MASSE

Définitions:

D1. La "masse" m d'un corps est dans un système fermé une quantité qui se conserve et qui caractérise l'amplitude avec laquelle ce corps interagit avec d'autres corps par le biais de différentes forces (attractives).

En toute rigueur, nous devrions définir également:

D2. La "masse grave" (ou "masse de gravitation") qui est l'amplitude avec laquelle un corps matériel interagit avec un champ de potentiel (selon la loi de gravitation de newton - voir chapitre de Mécanique Classique).

D3. La "masse inerte" (ou "masse inertielle") qui est l'amplitude qui caractérise la résistance avec laquelle un corps en translation est susceptible de changer de vitesse (c'est-à-dire celle intervenant dans la deuxième loi de Newton - voir chapitre de Mécanique Classique)

De plus, la masse est étant une propriété additive (donc "extensive" comme nous l'avons déjà dit) de la matière: pour un système de n points matériels de masse , la masse totale est:

  (28.23)

De même, pour une distribution continue (voir plus loin au cas où pour un rappel du concept de distribution continue) en volume de la masse d'un système de volume total V:

  (28.24)

où est la "masse volumique" ou "densité volumique" du système au point A et où est la masse volumique du système au point repéré par (c'est ce que signifie l'expression entre accolades en-dessous de la deuxième triple intégrale).

Donc est la masse d'un élément de matière, centré autour de A, de dimensions caractéristiques devant celles du système, mais grandes devant les distances interatomiques dans ce système définie par:

  (28.25)

Définitions:

D1. Nous disons qu'un système est un "système homogène" si sa masse volumique, surfacique, linéique (voir définition ci-dessous) est constante.

D2. Nous disons qu'un système est un "système isotrope", si ses propriétés physiques sont identiques en tout point.

Nous définissons aussi parfois la "masse surfacique" (ou "densité surfacique" de masse) pour des systèmes quasiment sans épaisseur et une "masse linéique" (ou "densité linéique" de masse) pour des systèmes de section négligeable devant leur longueur. Nous avons alors (S étant une surface et s une abscisse curviligne):

ou   (28.26)

avec dans le cas général:

  (28.27)

Remarque: Souvent, dans la littérature, ainsi que dans le présent site internet, la masse volumique est notée simplement , la masse surfacique , et la masse linéique .

Définition: Avec ce qui précède, nous pouvons définir la "densité" comme étant la quantité d'éléments tous identiques et dénombrables par unité de volume, surface ou linéique.

ÉNERGIE

Nous ne savons pas ce qu'est exactement l'énergie (notée sous sa forme générale par la lettre E dans les petites classes) mais nous en connaissons ses effets. Ce que nous savons cependant, c'est qu'il en existe plusieurs formes dont voici une liste des plus connues:

- "L'énergie travail" qui est l'énergie créée par l'application d'une force sur un corps lui donnant une certaine énergie cinétique (cf. chapitre de Mécanique Classique) ou énergie potentielle (qu'elle soit gravifique, électrostatique comme démontré en mécanique classique ou électrodynamique).

- "L'énergie chaleur " qui est une forme d'énergie déterminée par le nombre de micro-états d'un système  (cf. chapitre de Thermodynamique).

- "L'énergie de masse" qui est l'énergie contenue dans une certaine quantité de masse (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

De ces trois énergies découlent une grande quantité de familles d'énergies dérivées dont les plus connues sont: l'énergie nucléaire, l'énergie électrique, l'énergie solaire, l'énergie éolienne, l'énergie mécanique, l'énergie gravifique, l'énergie des marées, l'énergie électromagnétique, l'énergie fossile, l'énergie hydraulique, l'énergie corporelle, etc.

Nous pouvons quand même tenter de nous demander ce qu'est l'énergie exactement? 

Définition: "L'énergie" est l'effet d'une cause d'un changement ou de la conservation des propriétés d'un système. Cette cause étant non nécessairement déterministe et en moyenne nulle et conservative dans un système fermé. 

CHARGE

Il est difficile de dire quelque chose sur la charge électrique (vous pouvez chercher une définition sur l'internet vous verrez...). Cependant si nous nous référons à l'approche de Yukawa (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs) nous pouvons tenter d'en donner la définition suivante:

Définition: Une "charge électrique" est une propriété conservative qu'a une particule se situant dans un champ de potentiel à symétrie sphérique à interagir avec la source de ce champ dans le cadre de l'échange d'un quantum d'interaction (le photon en l'occurrence créé par les fluctuations quantiques du vide en présence d'une masse) définissant un champ vectoriel de type Coulombien.

Ou une autre définition similaire à celle de la masse:

Définition: La "charge électrique" q d'un corps est dans un système fermé une quantité qui se conserve et qui caractérise l'amplitude avec laquelle ce corps interagit avec d'autres corps par le biais des forces électrostatiques et magnétiques.

Contrairement à la masse, il existe des charges électriques positives et négatives. La charge électrique reste cependant une propriété additive (extensive). Ainsi, pour un système de q particules de charge , la charge totale est:

  (28.28)

et est donc aussi comme la masse, une propriété extensive.

De même, pour une distribution continue en volume de la charge d'un système de volume total V (nous notons les densités de charge de manière identique si l'ambiguïté n'est pas possible de la même manière que pour la masse):

  (28.29)

où est la "densité volumique de charges" du système au point A, c'est-à-dire la charge d'un élément de matière, centrée autour de A, de dimensions caractéristiques devant celles du système, mais grandes devant les distances interatomiques dans ce système ( est la densité volumique de charge du système au point repéré par ) définie par:

  (28.30)

De même que pour la masse, nous pouvons donner les définitions suivantes:

D1. Nous disons qu'un système est "système homogène" si sa charge volumique, surfacique, linéique (voir définition ci-dessous) est constante.

D2. Nous disons qu'un système est "système isotrope", si ses propriétés physiques sont identiques en tout point

Nous définissons aussi parfois la "densité surfacique de charge" (ou "densité de surface" de charge) pour des systèmes quasiment sans épaisseur et une "charge linéique" (ou "densité linéique" de charge) pour des systèmes de section négligeable devant leur longueur. Nous avons alors (S étant une surface et s une abscisse curviligne):

ou   (28.31)

avec:

  (28.32)

Remarque: Souvent, dans la littérature,  ainsi que dans le présent site internet, la densité volumique de charge est notée simplement , la densité surfacique de charge , et la masse linéique .

DISTRIBUTIONS

Définitions:

D1. Une masse ou une charge sont dites "ponctuelles" si elles occupent un volume dont les dimensions sont très inférieures aux distances d'observations.

D2. Nous considérons N corps de charge ou masse finies dans un volume V. Si ce volume est supposé suffisamment grand pour que la distance moyenne entre les corps soit très supérieure à la dimension de ceux-ci, nous avons affaire à une "distribution discontinue" ou "distributions discrète" de ces corps (nous parlons parfois aussi de distribution non-uniforme).

Les calculs sont impossibles à faire en partant d'une distribution discrète car, en général, le nombre de corps à prendre en considération est très élevé lorsque le volume est de dimension macroscopique. Dans ce cas, il faut introduire un autre type de distribution.

D3. Nous considérons N corps de charge ou masse finies dans un volume V. Si la répartition des éléments est telle qu'il n'y pas de "trous" entre chacun d'eux (en d'autres termes: chaque élément est serré contre un autre) alors nous avons affaire à une "distribution continue". Une distribution continue peut alors être décrite par une fonction qui représente la manière dont les éléments se répartissent dans un volume, surface ou ligne.

CONSTANTES

La physique à l'opposé des mathématiques est une science exacte dans le sens que sa vérification et sa validité se basent et sont mis constamment à l'épreuve par des faits expérimentaux.

Comme l'être humain a dû choisir arbitrairement un système de mesures, certaines lois établies théoriquement à l'aide de propriétés de la matière ne sont souvent exactes qu'à un facteur multiplicatif constant près de normalisation relativement à ce système de mesure. Apparaissent alors dans les équations de la physique, des constantes dont l'existence n'est due qu'à ce système de mesure (mais cependant ce n'est pas toujours le cas), certaines constantes bien qu'en adaptant le système de mesure n'égaleront (du moins il semblerait) jamais l'unité.

Il existe de nombreuses constantes en physique (une infinité au fait) mais certaines ont un statut particulier dans le sens qu'elles ne peuvent se déduire d'autres constantes. Nous en proposons ici la liste et les valeurs (non exactes) et nous les retrouverons fréquemment lors de nos développements dans ce site.

CONSTANTES UNIVERSELLES

Les valeurs listées ci-dessous sont des valeurs dont les scientifiques ont remarqué qu'elles semblaient (...) constantes et indépendantes de tous paramètres utilisés, et que la théorie suppose donc réellement constantes.

Il existe d'autres constantes d'ordre pratique qui se déterminent théoriquement et dont la valeur sera utile à tout ingénieur ou physicien qui souhaiterait appliquer dans la pratique certaines des relations qui seront démontrées sur ce site:

CONSTANTES PHYSIQUES

Définition: Une "constante physique" est une quantité physique dont la valeur numérique est fixe. Contrairement à une constante mathématique, elle implique directement et toujours une grandeur physiquement mesurable.

CONSTANTES PHYSICO-CHIMIQUES

Les constantes physico-chimiques sont des constantes physiques que l'on retrouve plus particulièrement dans l'ensemble des domaines ayant trait à la chimie.

CONSTANTES ASTROPHYSIQUES

Le tableau suivant contient les valeurs des constantes et paramètres couramment utilisés en astrophysique et aussi plus particulièrement en cosmologie (en réalité ce ne sont pas des constantes mais bon...).

Constante de Hubble
Densité critique de l'Univers
Distance Terre-Soleil (parsec)
Rayon Terrestre
Rayon Solaire
Masse Terrestre
Masse Solaire
Unité astronomique (U.A.) (distance moyenne terre-soleil)

Tableau: 28.5  - Constantes astrophysiques

CONSTANTES DE PLANCK

Les constantes de Planck sont principalement des curiosités physiques qui découlent d'un système d'unités particulier et dont les valeurs selon le système S.I. sont données dans le tableau ci-dessous.

Malgré les exemples donnés combien y-a-t'il de constantes ? Pourquoi jouent-elles un "rôle central" dans les théories physiques ? Ont-elles toutes la même importance ou certaines sont-elles plus fondamentales ? Selon quels critères ? Peut-on alors tester si elles sont vraiment constantes ?

Pour essayer de répondre à certaines de ces questions, remarquons tout d'abord qu'à chaque étape de nos constructions théoriques il subsiste des paramètres constants qui ne sont pas et ne peuvent pas être expliqués en termes de quantités plus fondamentales, simplement parce que ces dernières n'existent pas dans l'état de nos connaissances. Quand les théories s'affinent, il est en effet possible qu'une constante se trouve expliquée en termes de nouveaux paramètres, plus fondamentaux. Ainsi, la masse du proton est une constante fondamentale de la physique nucléaire, mais doit en principe pouvoir se calculer, dans le cadre de la chromodynamique quantique, en fonction de la masse des quarks et des énergies des liaisons électromagnétique et forte. Ce changement de statut est associé à celui du proton, qui de particule élémentaire devient corps composite.

Nous définirons modestement les constantes comme tous les paramètres non déterminés dans un cadre théorique donné. Cette définition revient à accepter que nous soyons incapables d'écrire une équation d'évolution pour ces constantes qui se révèlent donc comme la limite de ce que les théories où elles apparaissent sont en mesure d'expliquer. Cependant l'hypothèse de constance est implicitement contrôlée par la validation expérimentale de ces théories. Les résultats des expériences doivent être reproductibles à divers moments et dans divers laboratoires. Si c'est le cas, dans la limite des précisions expérimentales, alors il est légitime de considérer que l'hypothèse de constance est valide. Cette définition implique qu'il n'existe pas de liste absolue de constantes, car l'appartenance à une telle liste dépend des cadres théoriques choisis pour décrire la nature et peut donc changer avec les progrès de la connaissance.

Se pose maintenant la question de savoir s'il est possible de caractériser plus précisément le concept de constante et de déterminer si, parmi toutes les constantes, certaines sont plus fondamentales que d'autres. Pour cela, il faut commencer par révéler une relation entre constantes et unités.

Ainsi, Planck découvre en 1900 qu'il était possible d'utiliser les trois constantes physiques fondamentales:

  (28.33)

pour définir les trois unités de masse, de temps et de longueur à partir de la masse de Planck, de la longueur de Planck et du temps de Planck (voir le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire pour la démarche mathématique qui permet de déterminer leurs valeurs).

Planck baptise ces unités "Système d'Unités Naturelles" (SUN) car elles sont indépendantes d'un corps ou d'un matériau et [...] gardent nécessairement leur signification pour tous les temps et toutes les civilisations, même celles qui sont extra-terrestres et non humaines. La signification de ces unités met longtemps à émerger. Elles signalent l'échelle où gravitation et mécanique quantique deviennent de même amplitude. Elles sont donc très adaptées à la cosmologie primordiale et à l'étude des trous noirs ainsi que la mécanique quantique relativiste.

Le choix des unités de Planck comme unités naturelles est lié aux considérations justifiant que G, c, h sont les trois constantes dimensionnées les plus fondamentales (connues à ce jour). Dans ces unités, la valeur numérique de ces trois constantes fondamentales est 1 comme nous l'avons déjà fait déjà remarquer.

Le rôle des constantes dans la structuration des théories physiques peut être assez magnifiquement illustré par le cube magique ou "cube de Okun" des théories physiques ci-dessous (dont la validité reste à vérifier bien sûr). L'idée consiste à "allumer" ou "éteindre" une à une les trois constantes fondamentales afin de voir comment les théories physiques s'articulent les unes par rapport aux autres.

Figure: 28.1 - Cube de Okun

Quand G est mis à 0, cela revient à supprimer toutes les forces gravitationnelles et à découpler la matière de l'espace et du temps. Quand h est mis à 0, nous supprimons le caractère quantique de la nature et nous découplons les natures corpusculaires et ondulatoire (de par la relation de De Broglie), quand 1/c est mis à 0, la vitesse de la lumière est infinie et le temps et l'espace se découplent l'un de l'autre (de par les transformations de Lorentz). Pour visualiser cela, nous considérons le cube ci-dessus introduit par le physicien soviétique Mikhaïl Bronshtein qui reprend une idée développée initialement par Lev Landau, Dimitri Ivanenko et Georgi Gamow.

Tout naturellement, au niveau le plus bas, nous trouvons (0,0,0) la mécanique newtonienne, qui ne prend pas en compte les effets relativistes, quantiques et gravitationnels. Au niveau supérieur où nous considérons l'effet d'une constante, nous trouvons les trois théories de la relativité restreinte (1,0,0), de la mécanique quantique en (0,1,0) et de la gravitation newtonienne en (0,0,1), trois théories testées avec une grande précision dans leur domaine de validité.

A un niveau encore supérieur, la théorique quantique des champs en (1,1,0) prend en compte les effets quantiques et relativistes; la relativité générale en (1,0,1) prend en compte les effets gravitationnels et relativistes et la gravité quantique newtonienne en (0,1,1) est censée offrir une description quantique et non relativiste de la gravitation. Seules les deux premières théories sont actuellement fondées expérimentalement et théoriquement.

Au niveau ultime se trouve en (1,1,1) la théorie du Tout (dénomination très prétentieuse et trop commerciale), censée donner une description quantique et relativiste de la gravitation. Sa formulation n'est pas encore connue, bien que les théories des cordes (voir chapitre du même nom), intensivement étudiées de nos jours, semblent des candidats sérieux. Ces théories apparaissent comme des cas limites d'une théorie plus large et plus profonde mais non encore formulée: la théorie M (le M pour "Mère")

PRINCIPES DE LA PHYSIQUE

Les progrès de la science en général et de la physique en particulier étaient fondés il y deux siècles principalement sur l'expérimentation, c'est-à-dire que l'on reproduisait en laboratoire des phénomènes donnés pour les analyser systématiquement (la reproduction d'une observation validant une hypothèse). Cela revenait systématiquement à poser des questions précises à la nature et à décrire et étudier les réactions ainsi provoquées. La répétition à volonté d'un phénomène lors d'une expérience ne serait pas garantie s'il n'existait pas un principe général de causalité.

PRINCIPE DE CAUSALITÉ

Définition: Nous définissons le "principe de causalité" par le fait que dans exactement les mêmes conditions, les mêmes causes conduisent toujours aux mêmes effets. Autrement dit, si certaines conditions initiales sont parfaitement connues, le phénomène se déroulera de façon déterminée, toujours la même.

Au fait, l'expérience n'est pas nécessaire si nous considérons les principes de premier ordre qui sont par définition "les principes logiques que nous pouvons déduire par induction et que nous ne pouvons vérifier expérimentalement avec certitude". 

Or, les exigences de la société ont très peu souvent laissé le temps aux grands hommes de science de penser à ces principes du premier ordre par des expériences imaginaires (méthode très usitée par Albert Einstein pour la parenthèse...).

C'est dans un trilemne proposé par le sceptique de l'antiquité Agrippa, selon un argument rapporté par Sextus Empiricus, que la question de la justification de la connaissance a été posée le plus explicitement:

H1. Ou bien la connaissance est fondée en dernière instance sur des principes premiers mais arbitraires

H2. Ou bien nous ne trouvons pas de tels principes et nous avons une régression à l'infini

H3. Ou bien la justification est circulaire

Ce trilemne porte aussi souvent, dans la philosophie contemporaine, notamment chez Karl Popper, le nom de "trilemne de Fries" ou "trilemne de Münchhausen" et nous ne savons actuellement pas dans quel cas de figure (H1, H2 ou H3) nous nous situons.

Énonçons maintenant trois principes (ou hypothèses) premiers élémentaires:

PRINCIPE DE CONSERVATION DE L'ÉNERGIE

Le principe premier de conservation de l'énergie s'énonce (basiquement... voir remarques plus bas...) ainsi: L'énergie totale, notée de tout système isolé et inertiel ne varie pas en fonction du temps s'il n'y a pas apport ou retrait d'énergie (ou de masse) ou de chaleur de l'extérieur de ce système.

Ce principe peut être exprimé par la formule:

où  est la variation totale d'énergie du système,  la variation de l'énergie interne du système. C'est à dire son énergie propre correspondant aux énergies cinétiques et potentielles microscopiques, des particules qui le constituent.

 est la variation de l'énergie cinétique à l'échelle macroscopique (mouvement du système dans un référentiel donné) et est la variation de l'énergie potentielle à l'échelle macroscopique, du système en interaction avec des champs gravitationnels ou électromagnétiques.

En physique, une loi de conservation (rien ne se perd, rien ne se crée) exprime qu'une propriété mesurable particulière d'un système physique isolé reste constante au cours de l'évolution de ce système. La liste ci-dessous énumère des lois de conservations utiles à l'ingénieur et qui n'ont jamais été prises en défaut à ce jour et qui découlent pour la plupart de la conservation de l'énergie:

- conservation de la quantité de mouvement
- conservation du moment cinétique
- conservation de la charge électrique
- conservation du flux magnétique
  -conservation de la masse

Le théorème de Noether que nous verrons un peu plus bas exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance des lois physiques en ce qui concerne certaines transformations (typiquement appelées symétries). Ce théorème ne s'applique qu'aux systèmes descriptibles par un lagrangien (cf. chapitre de Mécanique Analytique). Par exemple, l'invariance par translation dans le temps implique que l'énergie est conservée, l'invariance par translation dans l'espace implique que la quantité de mouvement est conservée, et l'invariance par rotation dans l'espace implique que le moment angulaire est conservé.

Cette équivalence est démontrable et découle de l'invariance dans le temps des lois de la physique. Il s'agit du premier principe (théorème) de Noether que nous allons démontrer un peu plus loin. 

L'énergie que l'être humain quantifie avec l'unité "Joules" ne peut cependant être définie avec exactitude. Répondre à cette question revient à savoir ce qu'est la masse (relation d'équivalence d'Einstein) et donc à connaître l'élément fondamental de l'Univers (nous en avons déjà fait mention plus haut dans le présent texte). 

PRINCIPE DE MOINDRE ACTION

Le principe premier de moindre action (dit également "principe premier d'économie" ou "principe variationnel") s'énonce ainsi:

Tous les phénomènes naturels s'accordent avec le fait que, la Nature, dans la production de ses effets, agit toujours par les voies les plus simples et les plus directes.

Avec cet énoncé et le principe de conservation de l'énergie, nous pouvons alors établir des outils mathématiques d'une formidable puissance pour l'étude de la physique théorique. Mais nous ne pouvons développer à ce niveau du discours le formalisme mathématique de ce principe car il demande des outils que nous souhaiterions introduire plus loin, dans le chapitre de Mécanique Analytique (lors de l'étude du formalisme lagrangien pour être plus précis).

En attendant voici les deux relations qui le résument:

  (28.34)

PRINCIPE DE NOETHER

Le principe premier de Noether (appelé traditionnellement "théorème de Noether") associe de façon élégante des quantités physiques conservées aux symétries des lois de la nature. La symétrie de translation dans le temps (phénomène invariant dans le temps) correspond à la conservation de l'énergie, celle de translation dans l'espace à la conservation de l'impulsion (quantité de mouvement), celle de rotation dans l'espace à la conservation du moment cinétique etc.

En d'autres termes, le principe premier de Noether énonce que la physique est:

- Symétrique (invariante) par translation dans le temps (ceci ayant pour conséquence qu'il n'y pas d'origine du temps)

- Symétrique (invariante) par translation dans l'espace (ceci ayant pour conséquence qu'il n'y a pas d'origine à l'espace)

- Symétrique (invariante) par rotation (ceci ayant pour conséquence qu'il n'y a pas de direction privilégiée dans l'espace)

Ce résultat établi en 1915 par Emmy Noether juste après son arrivée à Göttingen, aurait été qualifié par Albert Einstein de "monument de la pensée mathématique". C'est maintenant un des piliers de la physique théorique.

Aujourd'hui, il est souvent présenté à l'occasion de cours sur la théorie quantique des champs. Cela le fait paraître plus compliqué et mystérieux qu'il n'est, et c'est oublier qu'il s'applique aussi à la mécanique classique.

Ainsi, les symétries jouent un rôle majeur en physique. Elles permettent d'une part de simplifier les problèmes d'une part et de tirer de nouvelles lois d'autre part. Pour illustrer la première application des symétries il suffit d'évoquer la forme mathématique du potentiel gravitationnel engendré par une masse ponctuelle située à l'origine du référentiel (cf. chapitre de Mécanique Classique). En coordonnées cartésiennes, l'expression du potentiel gravitationnel est relativement complexe

  (28.35)

alors qu'en coordonnées sphériques (système de coordonnées qui tire parti de la symétrie sphérique du potentiel) il prend une forme très simple:

  (28.36)

Les propriétés de symétrie d'un problème sont ici exploitées de façon à simplifier le traitement mathématique des lois physiques. Même si ces considérations mathématiques nous renseignent sur les propriétés physiques du système considéré, elles conservent cependant un caractère purement technique.

Les symétries trouvent pourtant une autre application dont la signification physique est beaucoup plus profonde. Le fait, non fortuit, qu'un système possède des symétries doit certainement avoir des implications physiques. Intuitivement, nous pouvons saisir que la présence de symétries dans un système physique se traduit par l'invariance de certaines de ses propriétés physiques sous l'application de transformations spatio-temporelles ou, plus généralement, des transformations géométriques. L'invariance de propriétés physiques doit induire nécessairement des relations d'une nature nouvelle entre les variables du système. De telles relations doivent à leur tour révéler des lois plus profondes qui associent la géométrie du système aux lois de la nature. Ce raisonnement, bien qu'intuitif, nous invite à explorer plus en profondeur les relations qui pourraient exister entre les lois physiques et les propriétés géométriques de l'espace-temps.

Considérons une expérience de mécanique plus ou moins complexe observée simultanément par deux physiciens O et O' situés en des lieux différents tel que chacun d'eux choisit un référentiel dont il est l'origine.

Ils entreprennent de mesurer diverses grandeurs physiques et obtiennent des résultats numériques qui dans l'ensemble diffèrent. Cependant, les lois physiques qu'ils en tirent (à niveau de connaissance égal) sont identiques. Cette conclusion est triviale car nous savons tous que les lois de la nature ne doivent pas dépendre pas de l'emplacement des observateurs.

Mathématiquement, la différence entre les référentiels de O et O' selon le référentiel de l'expérience étudiée est le passage de l'un à l'autre dans un plan par une rotation et/ou une translation (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne).

Le fait que les lois physiques sont indépendantes de la position de l'observateur implique qu'elles ne varient pas après leur avoir appliqué une rotation et/ou une translation. Nous disons alors qu'elles sont "invariantes par rotation et par translation" ou encore qu'elles sont "symétriques par rotation et par translation".

Rappel: En mathématiques le terme "symétrie" prend un sens plus général qui peut se définir comme suit: "transformation qui ne change ni la forme, ni les dimensions d'une figure". Nous pouvons remarquer que le sens courant du mot "symétrie" correspond à un cas particulier de symétrie au sens géométrique du terme, qui consiste à inverser les objets par rapport à un plan.

Donnons une définition rigoureuse d'une symétrie en physique:

Soit un système S dont l'état évolue au cours du temps. Désignons l'état de S à l'instant t par S(t). A l'instant initial , S se trouve donc dans l'état . Considérons une transformation géométrique T qui agit en chaque point de l'espace et éventuellement du temps. En un instant t, l'action de T sur le système S a pour effet de le transformer en un système tel qu'à l'instant , le transformé par T de est .

Définition: La transformation T est appelée une "symétrie physique" si la transformée par T du système S (ce qui donne S') évolue de la même façon que S, c'est-à-dire que si nous appliquons les lois de la mécanique sur pour connaître son état S'' en un instant postérieur t alors .

INVARIANcE PAR TRANSLATION DANS L'ESPACE

Considérons un système isolé constitué de n particules en interaction repérées par les vecteurs position . L'interaction de deux particules i,j dérive d'un potentiel (cf. chapitre de Mécanique Classique). Chaque particule est soumise à des forces résultant de l'interaction avec les autres particules. Pour une particule i donnée, la résultante de ces forces s'exprime selon la loi de Newton (voir chapitre de mécanique classique):

  (28.37)

Appliquons au système la translation dans l'espace suivante:

  (28.38)

où est un vecteur quelconque. Dire que la translation du système est une symétrie signifie que l'accélération et la force qui agit sur chaque particule sont inchangées après la transformation.

  (28.39)

Ce qui implique:

  (28.40)

Cette égalité doit être vraie quelle que soit la position des particules, donc quels que soient et . Il est clair que la seule manière de vérifier la dernière égalité dans ces conditions est d'égaler deux à deux les potentiels entre chaque particule j avec la particule i, c'est-à-dire:

  (28.41)

Les potentiels sont alors nécessairement (et c'est là, la puissance du théorème de Noether!) des fonctions de telles que:

  (28.42)

Dès lors, nous en déduisons que:

  (28.43)

Ce qui entraîne immédiatement que la résultante de toutes les forces appliquées aux particules du système est nulle et que donc la quantité de mouvement totale est conservée:

  (28.44)

L'invariance par translation de la loi de Newton entraîne donc nécessairement:

1. Le potentiel entre les particules d'un système isolé est une fonction de leur distance relative (cela se confirmera en astronomie lors de notre étude du champ de potentiel gravitationnel, ainsi qu'en électromagnétisme en ce qui concerne le potentiel électrostatique et les potentiels de Yukawa à symétrie sphérique en théorie quantique des champs).

2. La loi de l'égalité entre l'action et la réaction.

3. La conservation de la quantité de mouvement totale d'un système !

Conséquence du point (3): l'origine de l'espace est inobservable (puisque la conservation de la quantité de mouvement est équivalente à l'invariance par translation dans l'espace)!

INVARIANcE PAR ROTATION DANS L'ESPACE

Imposons maintenant que les rotations autour d'un point fixe soient des symétries. Cette propriété doit être vraie quel que soit le point fixe considéré, notamment, si ce point fixe est précisément la position de l'une des particules du système. Il s'ensuit que le potentiel présente nécessairement une symétrie sphérique. Les forces agissant entre les particules sont donc colinéaires aux vecteurs qui les relient.

Le moment cinétique du système s'exprime comme suit (cf. chapitre de Mécanique Classique):

  (28.45)

La dérivée par rapport au temps du moment cinétique total donne:

  (28.46)

Or le dernier terme du produit vectoriel peut s'écrire:

  (28.47)

où les sont les forces internes au système des particules j agissant sur la particule i. L'avant-dernière expression devient alors:

  (28.48)

Nous pouvons regrouper les termes et  deux à deux et de par la propriété du produit vectoriel nous avons nécessairement:

  (28.49)

Donc nous en concluons que le moment cinétique est conservé et la conservation du moment cinétique est donc équivalente à l'invariance par rotation.

Conséquence: il n'y a pas de direction privilégiée dans l'espace!

INVARIANcE PAR TRANSLATION DANS LE TEMPS

L'énergie totale du système est la somme de l'énergie cinétique de toutes les particules et de l'énergie potentielle résultant de l'interaction mutuelle des particules, soit sous la forme de la mécanique classique:

  (28.50)

Nous supposerons que le potentiel  ne varie pas avec le temps. Cette hypothèse se justifie de manière empirique par le constat que les potentiels observés dans la nature sont indépendants du temps dans des systèmes fermés à l'équilibre.

Calculons la dérivée de l'énergie par rapport au temps:

  (28.51)

Or, si le système est fermé (pas d'apport de masse de l'extérieur ni apport d'énergie de l'extérieur), le terme  est nul (pas de variation relativiste de la masse non plus car la vitesse de chaque corpuscule ou du système entier est constante ou sa variation est en moyenne nulle). Il en est de même pour le terme  où si le système est fermé (pas d'apport d'énergie de l'extérieur sous quelle que forme que ce soit) l'accélération moyenne de chaque corpuscule ou de l'ensemble du système par rapport au centre de gravité sera nulle. Donc:

  (28.52)

Donc nous en concluons que l'énergie totale du système est une constante!

Quelle est la grandeur mécanique invariante par translation revient donc à se demander quelles sont les grandeurs mathématiques qui sont inchangées lorsque nous leur appliquons une translation. Il en existe deux: les scalaires et les vecteurs.

Intuitivement, un scalaire est assimilé à un nombre réel (cf. chapitre sur les Nombres). Or, en mécanique, les nombres réels que nous pouvons construire le sont à l'aide de grandeurs vectorielles comme le vecteur position, la vitesse, etc. Pour qu'un tel nombre réel ait le statut de scalaire il doit être indépendant de l'espace. Ainsi, un vecteur position ne peut manifestement être considéré comme un scalaire. L'énergie de la particule est un nombre réel mais n'est pas un scalaire car elle dépend explicitement, dans sa formulation, de la position de la particule dans l'espace au travers de l'énergie potentielle.

De la même façon, un vecteur n'est pas seulement un être mathématique possédant des composantes dans une base. Pour jouir du statut de vecteur, une entité mathématique doit se transformer de la même manière que les vecteurs de base de l'espace vectoriel. Selon cette définition, le moment cinétique n'est pas un vrai vecteur car, étant la composition par produit vectoriel de deux vecteurs, il ne se transforme pas comme les vecteurs de base. D'un point de vue mathématique il s'agit d'un pseudo-vecteur (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Le seul vrai vecteur qui reste est la quantité de mouvement car il est construit à l'aide de la dérivée du vecteur position qui est, bien évidemment, un vrai vecteur. Nous en déduisons que la seule grandeur susceptible d'être conservée par translation est la quantité de mouvement totale du système.

Par un raisonnement analogue au précédent, il est possible de supposer quelle grandeur pourrait être invariante par rotation. Sachant que seuls les scalaires et certains pseudo-vecteurs sont effectivement invariants par rotation, nous en concluons que la seule grandeur susceptible d'être conservée lors de rotations est le moment cinétique total du système.

Enfin, toujours par le même raisonnement, l'invariance des lois de la mécanique par déplacement dans le temps, revient à rechercher les grandeurs conservées par une translation dans le temps. Ces grandeurs sont les vrais scalaires et les vecteurs sur la droite du temps. Aucune grandeur mécanique ne peut être assimilée à un vecteur sur la droite du temps. En revanche, l'énergie est bien un scalaire invariant par translation dans le temps puisque l'énergie potentielle est par hypothèse indépendante du temps. L'invariance des lois de la mécanique par déplacement dans le temps laisse donc supposer intuitivement la conservation de l'énergie.

Ces raisonnements ne peuvent évidemment faire office de démonstration mais ils mettent en évidence une relation étroite entre la géométrie et les propriétés d'invariance d'un système.

THÉORÈME DE NOETHER

Soit L le lagrangien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) d'un système représenté par les 2n coordonnées généralisées dans l'espace de configuration. Supposons que ce système soit invariant par la transformation infinitésimale suivante:

  (28.53)

Où s est un paramètre réel et continu et pour lequel nous avons:

  (28.54)

La fonction agit continûment sur le chemin variationnel selon la démarche intellectuelle qui sera énoncée dans le chapitre de Mécanique Analytique.

Supposons que les fonctions sont solutions des équations de Lagrange (ce que nous démontrerons dans le chapitre de Mécanique Analytique). D'après nos hypothèses les fonctions (définies):

  (28.55)

sont dès lors nécessairement également solutions des équations de Lagrange, ce qui se traduit par (nous omettrons l'indication de la somme par la suite afin d'alléger la lecture!):

  (28.56)

D'autre part, par hypothèse, le lagrangien est invariant pour les transformations du type de celles décrites par . Il s'ensuit que sa dérivée par rapport au paramètre s est nécessairement nulle:

  (28.57)

Et nous démontrerons par ailleurs aussi en Mécanique Analytique (sous forme d'intégrale comme étant nulle) la relation:

  (28.58)

ce qui peut finalement s'écrire:

  (28.59)

mais nous avons aussi de par l'équation d'Euler-Lagrange (cf. chapitre de Mécanique Analytique):

  (28.60)

Nous obtenons alors:

  (28.61)

Donc la grandeur est bien une constante du mouvement !

Le théorème de Noether s'énonce alors ainsi:

Soit un système ayant un lagrangien auquel nous appliquons une transformation infinitésimale , où s est un paramètre réel et continu. Alors il existe une constante du mouvement notée  dont l'expression est donnée par:

  (28.62)

Appliquons le théorème de Noether aux cas étudiés précédemment. Fixons un référentiel arbitraire O cartésien. Notons la base orthonormée de ce référentiel. Considérons un système constitué de n particules repérées dans O par leurs vecteurs position . Le lagrangien de ce système est alors , où distingue les composantes spatiales des vecteurs .

Supposons maintenant que le système soit invariant par translation de longueur s le long de l'axe x uniquement. La translation le long de cet axe s'écrit comme suit:

  (28.63)

et il s'agit donc d'un scalaire.

La constante du mouvement donnée par application du théorème de Noether est alors (toujours sur l'axe x):

  (28.64)

Nous définirons par ailleurs en mécanique analytique comme étant le moment conjugué . Nous en déduisons dès lors que la quantité conservée est: , c'est-à-dire la quantité de mouvement totale du système le long de l'axe x !!!

En procédant de même avec les autres axes, nous démontrerions aisément la conservation de la quantité de mouvement totale le long des axes pour ceux-ci, ce qui nous permet de conclure que dans le cas général d'une translation infinitésimale:

  (28.65)

la grandeur conservée est la quantité de mouvement totale du système.

Supposons maintenant que le système soit invariant par rotation d'un angle infinitésimal s autour de l'axe z. Cette rotation s'écrit:

  (28.66)

et il s'agit donc d'un vecteur.

La dérivée de par rapport à s donne:

  (28.67)

En remarquant encore une fois que:

  (28.68)

la grandeur conservée obtenue par application du théorème de Noether est alors:

  (28.69)

et nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel que:

  (28.70)

ce qui nous amène à écrire:

  (28.71)

On montrerait de la même façon l'invariance du lagrangien sous les rotations selon les autres axes ce qui conduit à la conservation des composantes suivant ces axes du moment cinétique total du système.

En conclusion, nous avons mis en évidence trois lectures différentes des lois de la physique:

Autrement dit, l'Univers serait:

P1. Homogène (pas d'origine de temps, ou d'espace, privilégiée)

P2. Isotrope (pas de direction privilégiée).

PRINCIPE DE CURIE

Le principe de Curie (que nous devons à Pierre Curie) découle un peu intuitivement du théorème de Noether et s'énonce ainsi:

Si une cause présente une certaine symétrie ou invariance, alors son effet aura la même symétrie (ou la même invariance), ou une symétrie supérieure, à condition toutefois que la solution du problème soit unique.

Exemple:

Conservation de l'énergie/invariance par translation dans le temps, conservation de la quantité de mouvement/invariance par translation dans l'espace, conservation du moment cinétique/invariance par rotation dans l'espace tel que nous l'avons démontré lors de notre étude du théorème de Noether.

Ainsi, dans un espace homogène et isotrope, si nous faisons subir une transformation géométrique à un système physique susceptible de créer certains effets (forces, champs), alors ces effets subissent les mêmes transformations.

Autrement dit, si un système physique S possède un certain degré de symétrie, nous pourrons alors déduire les effets créés par ce système en un point à partir des effets en un autre point.

Voici les six propriétés de symétrie découlant du principe de Curie:

P1. Invariance par translation: si S est invariant dans toute translation parallèle à un axe, les effets sont indépendants des coordonnées de cet axe (l'intérêt étant alors de travailler en coordonnées cartésiennes).

P2. Symétrie axiale: si S est invariant dans toute rotation autour d'un axe donné, alors ses effets exprimés ne dépendent pas de l'angle qui définit la rotation (l'intérêt étant alors de travailler en coordonnées cylindriques).

P3. Symétrie cylindrique: si S est invariant par translation et rotation, alors ses effets ne dépendent que de la distance à l'axe de rotation (l'intérêt étant alors aussi de travailler en coordonnées cylindriques).

P4. Symétrique sphérique: si S est invariant dans toute rotation autour d'un point fixe, alors ses effets ne dépendent que de la distance à ce point fixe (l'intérêt étant alors de travailler en coordonnées sphériques).

P5. Plan de symétrie: si S admet un plan de symétrie, alors en tout point de ce plan:

- un effet à caractère vectoriel est contenu dans le plan

- un effet à caractère pseudo-vectoriel (voir le chapitre de Calcul Vectoriel pour voir la définition d'un pseudo-vecteur) lui est perpendiculaire

P6. Plan d'antisymétrie: si, par symétrie par rapport à un plan, S est transformé en -S alors en tout point de ce plan:

- un effet à caractère vectoriel est perpendiculaire au plan

- un effet à caractère pseudo-vectoriel est contenu dans ce plan

La symétrie est fondamentale dans les sciences quelles que soient les disciplines. La symétrie est partout. Elle permet de décrire de manière précise de nombreux systèmes, de clarifier et de simplifier l'étude de leurs propriétés. Des résultats très importants peuvent ainsi être prédits de manière rigoureuse sans que l'on ait à faire appel à des théories mathématiques sophistiquées.

ESPACES PONCTUELS

L'étude des phénomènes physiques recourt dans un premier temps à leur représentation dans l'espace de la géométrie classique euclidienne à une dimension temporelle et à un nombre quelconque de dimensions spatiales. 

Les vecteurs que nous avons étudiés dans le chapitre de Calcul Vectoriel (tenseurs d'ordre 1) et les tenseurs (d'ordre quelconque) que nous avons aussi étudiés dans le chapitre de Calcul Tensoriel peuvent comme nous avons en déjà fait mention, être utilisés pour relier chacun des points de l'espace-temps à un référentiel et former ainsi des champs de vecteurs ou/et de tenseurs. Cet état de fait mathématique, nécessite la définition mathématique d'espaces formés de points ou également appelés "espaces ponctuels".

La définition précise d'espace vectoriel ponctuel que nous allons faire sera construite à partir de la notion d'espace vectoriel que nous avons vue dans le chapitre de Calcul Vectoriel (voir section d'Algèbre)

Voyons tout d'abord l'exemple particulier de l'espace ponctuel formé par des triplets de nombres qui est issu directement de l'espace géométrique classique à trois dimensions.

Ainsi, donnons-nous des triplets de nombres notés:

  (28.72)

etc... Appelons  l'ensemble de tous les éléments {A,B,...} formés par des triplets de nombres. À tout couple (A,B) de deux éléments de , pris dans cet ordre, nous pouvons faire correspondre un vecteur , appartenant à un espace vectoriel  espace vectoriel , noté géométriquement , en définissant celui-ci par un triplet de nombres tel que (nous utilisons la notation indicielle vue dans le chapitre de Calcul Tensoriel):

  (28.73)

avec . Nous avons donc:

  (28.74)

Si nous définissons par rapport à cet élément l'addition et la multiplication par un scalaire, nous nous retrouvons comme nous l'avons déjà vu en théorie des ensembles (voir chapitre du même nom) avec une structure d'espace vectoriel.

La correspondance que nous établissons ainsi, entre tout couple (A,B) de deux éléments de  et un vecteur d'un espace vectoriel , vérifie manifestement les propriétés suivantes:

P1. Antisymétrie:

P2. Associativité par rapport à l'addition:

P3. Si O est un élément arbitraire choisi dans , à tout vecteur  de , il correspond un point M et un seul tel que .

Lorsque nous avons muni l'ensemble  de cette loi de correspondance avec , vérifiant les trois propriétés précédentes, nous disons que l'ensemble des triplets de nombres constitue un "espace ponctuel", noté . Les éléments de  sont alors appelés des "points".

L'espace ponctuel  se confond en tant qu'ensemble d'éléments avec l'ensemble  mais il s'en distingue en tant qu'espace ponctuel qui constitue un ensemble structuré par la loi de correspondance que nous nous donnons. De même, les espaces  et  sont distincts par suite de leur structure différente et nous pouvons établir une distinction entre les éléments de chacun des espaces. Nous disons que  constitue le support des espaces  et .

Nous pouvons bien évidemment généraliser le support à . Ainsi,  muni de la structure d'espace vectoriel que nous avons définie précédemment constitue un espace ponctuel à n dimensions que nous noterons . Les éléments de  étant appelés des "points".

L'espace vectoriel  est appelé "l'espace associé" à . Lorsque l'espace vectoriel associé est un espace pré-euclidien (muni du produit scalaire), nous disons alors que  est un "espace ponctuel pré-euclidien".

Considérons un point O quelconque d'un espace ponctuel pré-euclidien  et une base  de l'espace vectoriel associé . 

Définitions:

D1. Nous appelons "repère de l'espace" l'ensemble constitué par les éléments O (origine) et de la base . Ce genre de repère est noté: 

  (28.75)

ou encore simplement:

  (28.76)

D2. Les "coordonnées" d'un point M d'un espace ponctuel pré-euclidien , par rapport au repère , sont les composantes (contravariantes)  du vecteur  de l'espace  par rapport à la base .

Soient deux points M et M' de  définis par leurs coordonnées respectives  et , nous avons:

  (28.77)

En utilisant les propriétés P1 et P2 données précédemment:

  (28.78)

Nous en déduisons que les composantes du vecteur , par rapport à la base , sont les n quantités , différences des coordonnées des points M et M'.

Soient  et deux repères quelconques de liés entre eux par les relations générales (cf. chapitres de Calcul Tensoriel et d'Algèbre Linéaire):

  et     (28.79)

Cherchons les relations entre les coordonnées d'un point M de  par rapport à ces deux repères. Pour cela, exprimons les vecteurs  et  sur chacune des bases de :

  (28.80)

ainsi que les vecteurs  et , soit:

  (28.81)

Nous avons d'autre part:

  (28.82)

Identifiant ce résultat par rapport au vecteur  dans l'expression de , nous avons:

  (28.83)

Et de façon analogue:

  (28.84)

Ces deux relations sont plus que pratiques en physique où nous avons souvent à considérer un référentiel dans un repère (ainsi nous pouvons exprimer la position d'un point depuis l'un ou l'autre repère en usant de ces deux relations).

Considérons maintenant un espace ponctuel pré-euclidien ainsi que M et M' deux points de cet espace. Nous avons démontré lors de notre étude de la topologie (cf. chapitre de Topologie), que la norme du vecteur MM' est une mesure possible de la distance entre M et M' . Nous avons donc:

  (28.85)

Si les deux points M et M'  ont respectivement pour coordonnées  et ,  par rapport à un repère , nous savons que nous avons:

  (28.86)

La norme au carré est donc donnée comme nous l'avons vu lors de notre étude du calcul tensoriel (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) par la relation:

  (28.87)

Si le point M' est infiniment proche du point M, ses coordonnées sont notées  et le vecteur  a pour composantes les quantiques .

Si nous notons ds la distance entre les points M et M' . La relation précédente donne l'expression du carré de la distance entre ces points sous la forme:

  (28.88)

Rappelons également (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) que pour un espace ponctuel pré-euclidien où les vecteurs de base  sont donc orthonormés, nous avons:

  (28.89)

et l'expression de la distance devient alors:

  (28.90)

Nous obtenons ainsi une expression qui généralise, à n dimensions, le carré de la distance élémentaire, par rapport à un repère cartésien orthonormé, dans l'espace de la géométrie classique (euclidienne).

Les vecteurs de la physique sont généralement des fonctions d'une ou plusieurs variables, celles-ci pouvant être des variables d'espace ou du temps. Lorsque à un point M d'un espace ponctuel , nous attachons un tenseur, défini par ses composantes par rapport à un repère , nous dirons que nous nous sommes donnés un "champ de tenseurs" (les champs de tenseur d'ordre 1 étant des champs vectoriels).

Pour des vecteurs à n dimensions, la notion de dérivée d'un vecteur à trois dimensions se généralise et nous obtenons toutes les relations classiques relatives aux dérivées.

Considérons ainsi un vecteur  appartenant à un espace pré-euclidien  dont les composantes, sur une base , sont des fonctions d'un paramètre quelconque . Nous noterons ce vecteur  et nous aurons:

  (28.91)

Par définition, la dérivée du vecteur  par rapport à la composante  est un vecteur noté:

  (28.92)

selon la notation utilisée par les mathématiciens. Ou:

  (28.93)

selon la notation abrégée des physiciens. Ou encore:

  (28.94)

selon l'humeur du physicien. Ou encore:

  (28.95)

si nous respectons les écritures...

Dans ce site, nous basculons d'une notation à l'autre sans préavis en fonction de l'envie de simplifier les écritures (il faudra s'y faire..).

Etant donné que nous faisons actuellement plus de la mathématique que de la physique, nous noterons:

  (28.96)

En rappelant (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) que la différentielle est donnée par:

  (28.97)

Les différentes expressions de dérivations des vecteurs à trois dimensions relatives à la somme de vecteurs, au produit par un scalaire de deux vecteurs, sont aisément transposables aux vecteurs à n dimensions.

Si un vecteur  de  dépend de plusieurs paramètres indépendants, , la dérivée partielle du vecteur  par rapport à la variable , par exemple, est un vecteur noté:

 ou   (28.98)

dont les composantes sont les dérivées partielles des composantes de , soit:

  (28.99)

La différentielle totale du vecteur  s'écrivant (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (28.100)

Considérons maintenant un espace vectoriel pré-euclidien  associé à un espace ponctuel . Dans un repère  tout point M de  est associé à un vecteur  de  tel que . Si le vecteur  dépend d'un paramètre  et admet une dérivée , il en est de même alors pour .

Montrons que le vecteur dérivé  ne dépend pas du point origine O (statique) mais seulement du point M considéré. En effet, si O' est un autre point origine, nous avons:

  (28.101)

et puisque le vecteur  est fixe et ne dépend pas de , nous avons:

  (28.102)

d'où:

  (28.103)

Nous pouvons donc noter la dérivée du vecteur  en mentionnant seulement le point M et nous écrirons:

  (28.104)

La différentielle de  s'écrit alors:

  (28.105)

Si un point M de  est associé, par rapport à un repère  à un vecteur , les dérivées partielles de  ne dépendront que du point M et nous écrirons, par exemple:

  (28.106)

Afin d'alléger les expressions des dérivées partielles totales des  fonctions dépendantes de n variables, nous utilisons quand le contexte s'y prête, les notations indicielles suivantes. Si  est une fonction des n variables , nous noterons les dérivées partielles sous la forme:

  (28.107)

Les dérivées secondes par rapport aux variables  et  s'écriront:

  (28.108)

Lorsque  est un vecteur tel que , dont les composantes sont des fonctions de n variables , soit:

  (28.109)

les dérivées partielles du vecteur seront notées, en utilisant la convention de sommation:

  (28.110)

Le concept d'espace ponctuel étant maintenant introduit, nous pouvons maintenant passer à l'étude du formalisme lagrangien et la détermination de la formulation mathématique du principe de moindre action (voir chapitre suivant). 

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