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Mécanique

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MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

34. MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS (3/3)

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-12-31 18:00:12 | {oUUID 1.814}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

GAZ

Les solides ont une forme bien définie et sont difficiles à comprimer. Les liquides peuvent s'écouler librement et leur écoulement est limité par des surfaces autoformées. Les gaz se dilatent librement pour occuper le volume du récipient qui les contient, et ont une densité environ mille fois inférieure à celle des liquides et des solides. Ils conduisent peu la chaleur et l'électricité, sauf si nous les ionisons (formation d'un plasma). Les molécules d'un gaz neutre se déplacent suivant des trajectoires rectilignes qui changent de direction à chaque collision avec une autre molécule. Contrairement aux solides et aux liquides, les interactions entre molécules restent faibles. Les propriétés macroscopiques d'un gaz se déduisent donc directement des propriétés des molécules qui le composent (ou des atomes dans le cas d'un gaz monoatomique).

TYPES DE GAZ

En théorie des gaz (nous parlons souvent de "théorie cinétique des gaz") nous considérons toujours deux types de gaz neutres:

GAZ PARFAIT

Il s'agit d'un modèle dans lequel nous négligeons les interactions moléculaires du gaz, à l'exception des collisions, et dont le volume propre est négligeable devant le volume du récipient. Nous déduisons de ces considérations que le comportement d'un gaz réel pourra être approché par un gaz parfait si le volume qu'il occupe est suffisamment grand, ce qui se produira à basse pression et à température élevée. En pratique, le modèle du gaz parfait donne des résultats satisfaisants pour beaucoup de gaz usuels pris à la pression atmosphérique et à la température ambiante (azote,
oxygène, vapeur d'eau,...).

Lorsqu'un gaz est à faible pression, les interactions entre ses molécules sont faibles. Ainsi, les propriétés d'un gaz réel à basse pression se rapprochent de celles d'un gaz parfait. Nous pouvons alors décrire le comportement du gaz par "l'équation d'état des gaz parfaits" que nous démontrons plus bas lors de notre étude du théorème du Viriel:

equation   (34.1)

avec n le nombre de moles de gaz, P la pression du gaz, V le volume occupé par les n moles et T la température absolue du gaz. La constante R étant la constante des gaz parfaits.

Cette équation montre que trivialement:

- À température T constante (système "isotherme"), le volume d'une quantité fixée de gaz est inversement proportionnel à sa pression. C'est la "loi de Boyle-Mariotte":

equation

equation
Figure: 34.1 - Illustration de la loi de Boyle-Mariotte

De la loi de Boyle-Mariotte, nous déduisons qu'à température constante (donc lors d'une transformation isotherme):

equation   (34.2)

- À pression P constante (système "isobare"), le volume d'une quantité fixée de gaz est proportionnel à la température absolue. C'est la "loi de Gay-Lussac" (dans le cas des gaz parfaits...):

equation

equation
Figure: 34.2 - Illustration de la loi de Gay-Lussac

C'est cette relation qui est souvent utilisée dans les labos des petites classes pour montrer qu'avec une extrapolation de la droite mesurée, le volume devient théoriquement... nul à une température d'environ -273.15 [°C]. Non sérieusement à partir d'une certaine température, il faut utiliser des modèles quantiques et de plus cette relation n'est valable vraiment que pour les gaz (ainsi, lorsque la vapeur d'eau devient liquide... ce n'est plus valable).

Rappelons aussi que nous avons démontré une expression plus élaborée de la loi de Gay-Lussac dans le chapitre de Thermodynamique en faisant usage des équations d'état et des coefficients thermoélastique... :

equation   (34.3)

Comme quoi elle n'a plus vraiment le satut de "loi" mais plutôt d'équation! Nous avons aussi démontré dans le chapitre de Thermodynamique que cette relation loi n'est qu'approchée aux hautes pressions pour les gaz puisque qu'on les considère incompressibles comme des liquides pour obtenir la relation en question.

- À volume V constant (système "isochore"), la pression d'une quantité fixée de gaz est proportionnelle à sa température absolue. C'est la "loi de Charles":

equation

equation
Figure: 34.3 - Illustration de la loi de Charles

Par la suite, Amedeo Avogadro, à qui l'on doit le vocabulaire de "molécule" affirme le concept moléculaire des gaz et conclut que des volumes égaux de gaz différents, pris dans les mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules (ce constat découle aujourd'hui automatiquement de l'équation des gaz parfaits que nous démontrerons plus loin). Cette propriété était appelée "loi d'Avogadro et Ampère".

exempleExemple:

L'air dans une bouteille de plongée est initialement à la pression equation dans un volume equation corresondant à celui de la bouteille que nous supposerons être equation. Un plongeur ne respire jamais directement l'air dans la bouteille à cause de la pression qui y est environ 200 fois plus élevée que la pression atomosphérique equation lui ferait exploser ses poumons. Une valve permet d'ajuster la pression de l'air envoyée au plongeur afin qu'il soit égal à la pression ambiant de la profondeur d'eau equation. Il est intéressant de calculer le temps t que le plongeur peut rester sous l'eau à une profondeur de 10 mètres si on suppose qu'il consomme 0.03 mètres cube par minute.

Pour répondre à cette question il nous faut donc déjà connaître la pression equation à 10 mètres de profondeur. Pour cela nous allons utiliser le théorème de Bernoulli démontré lors de notre étude des fluides:

equation   (34.4)

Ensuite, le volume dans la bouteille doit être mis au volume de la pression ci-dessus en utilisant la loi de Boyle-Mariotte:

equation   (34.5)

Nous avons alors comme volume équivalent:

equation   (34.6)

Mais le piège est que le volume utilisable est moindre car il faut encore de l'air pour pousser l'air restant. Il faut alors soustraire les deux volumes:

equation   (34.7)

et en divisant par une consommation volumique C standard nous avons au final:

equation   (34.8)

Pour en revenir l'équation d'état des gaz parfaits:

equation   (34.9)

GAZ RÉEL

L'équation d'état des gaz parfaits est approximative. Par exemple, un gaz parfait ne pourrait ni se liquéfier ni se solidifier, quels que soient le refroidissement et la compression auxquels il est soumis. Les gaz réels, surtout dans des conditions de pression et de température proches de la transition à l'état liquide, peuvent présenter des écarts considérables avec la loi des gaz parfaits!

Il faut donc l'adapter aux cas réels. Pour cela, nous utilisons l'équation d'état de Van der Waals qui est particulièrement utile et bien connue. Elle peut être obtenue de manière qualitative une fois l'équation des gaz parfaits démontrée et est alors donnée par (voir plus bas comment nous l'obtenons):

equation   (34.10)

pour une mole, a et b étant des paramètres adaptables déterminés par des mesures expérimentales effectuées sur le gaz concerné. Ce sont des paramètres qui varient d'un gaz à un autre.

L'équation de Van der Waals peut également être interprétée au niveau microscopique. Les molécules interagissent les unes avec les autres. Cette interaction est fortement répulsive pour les molécules proches les unes des autres, devient légèrement attractive pour un éloignement moyen et disparaît lorsque l'éloignement est important. À pression élevée, la loi des gaz parfaits doit être rectifiée pour prendre en compte les forces attractives ou répulsives.

THÉORÈME DU VIRIEL

Nous allons ici aborder une étude des gaz parfaits via une méthode particulière. Elle permet d'obtenir un résultat intéressant et particulièrement pour l'astrophysique (cf. chapitre d'Astrophysique). Le théorème du Viriel permet également d'obtenir d'autres résultats très intéressants mais qui pédagogiquement sont un peu difficiles d'accès. Le lecteur qui serait intéressé par cette deuxième partie de résultats pourra directement se reporter un peu plus loin où les concepts de pression et de température cinétique sont traités.

Par définition, "l'expression du Viriel" equation d'un point matériel est le scalaire:

equation   (34.11)

Par définition, le "Viriel" equation d'un système composé de N points matériels est:

equation   (34.12)

Soumis à une force centrale, le Viriel s'écrit (par les propriétés du produit scalaire):

equation   (34.13)

Le "théorème du Viriel" s'énonce ainsi: Pour un système en équilibre (!), l'énergie interne est égale à l'opposé de son demi-Viriel total lorsque toutes les particules sont repérées par rapport à son centre de masse.

Démonstration:

Soit la relation mathématique:

equation   (34.14)

Sa dérivée seconde:

equation   (34.15)

En multipliant par equation et en sommant sur i:

equation   (34.16)

Or:

equation   (34.17)

et:

equation   (34.18)

Donc:

equation   (34.19)

Cette dernière expression est valable quelle que soit la position d'un système de coordonnées adopté. Cependant, il est intéressant de placer son origine au centre de masse du système car nous ne sommes plus dépendants de son mouvement.

Si le système est en équilibre, les quantités macroscopiques qui la caractérisent ne sont pas dépendantes du temps. Nous en concluons alors que la somme de n'importe quelle quantité attachée à n'importe quel point matériel du système est en fait une quantité dudit système.

Ainsi, equation est une quantité macroscopique indépendante du temps. Cela implique que:

equation   (34.20)

Ce qui s'écrit encore (nous multiplions par ½ des deux côtés):

equation   (34.21)

Nous avons donc finalement:

equation   (34.22)

Cette expression de l'énergie cinétique est connue sous le nom de "théorème de Viriel" et le membre de droite est donc appelé le "Viriel du système".

equationC.Q.F.D.

Nous noterons que:

equation   (34.23)

equation est l'énergie cinétique totale associée à l'ensemble des points matériels du système. Nous l'appelons "l'énergie interne du système" et les thermodynamiciens la note souvent avec la lettre U. equation est l'énergie d'un point matériel quelconque du système.

Il est possible de retrouver l'expression du Viriel à partir d'un système de particules (nuage en accrétion). Strictement, l'équilibre n'existe pas dans un tel cas. Néanmoins, nous pouvons admettre que si la contraction gravitationnelle est suffisamment lente alors ses différentes phases peuvent être considérées comme une succession d'états d'équilibre.

Dans le cas d'une force centrale et dérivant d'un potentiel, nous pouvons écrire:

equation    (34.24)

et donc:

equation   (34.25)

Si l'énergie potentielle est de la forme k/r (ce qui est le cas pour le potentiel électrique et gravitationnel) alors il vient:

equation   (34.26)

et il reste:

equation   (34.27)

En résumé, le théorème du Viriel nous donne une relation entre les énergies cinétiques et potentielles totales. Pour être valable, le mobile doit décrire une trajectoire autour du centre de force central et rester indéfiniment dans un volume fini (état lié). Ce type de raisonnement est applicable à un très grand nombre de phénomènes, depuis la structure de certaines galaxies jusqu'au dégagement d'énergie dans les explosions nucléaires en passant par l'étude du Soleil et le comportement des gaz réels. Il s'agit du premier résultat qui nous intéressait.

Dans un système gazeux, l'énergie potentielle peut s'écrire comme la somme de l'énergie des forces agissant de l'extérieur plus celles qui sont internes même au gaz. Tel que:

equation   (34.28)

Or les forces internes peuvent s'écrire comme:

equation   (34.29)

Il ne faut pas dans cette somme prendre la force qu'exerce chacune des particules sur elle-même. Tel que:

equation   (34.30)

Ce qui nous donne:

equation   (34.31)

Dans la double somme, nous pouvons regrouper les termes deux à deux et utiliser le principe d'action-réaction tel que:

equation   (34.32)

Pour obtenir:

equation   (34.33)

Ce qui finalement nous donne:

equation   (34.34)

Et:

equation   (34.35)

Le premier terme de droite fait intervenir les forces intérieures (interactions) entre les (paires de) particules et le deuxième terme de droite fait intervenir les forces extérieures.

Considérons maintenant un gaz contenu dans un récipient. Ses molécules ne sont sujettes à des forces extérieures que lorsqu'elles heurtent une paroi et nous imaginons qu'en moyenne cette force est perpendiculaire à la paroi (chocs élastiques).

equation
Figure: 34.4 - Gaz contenu dans un récipient

Pour toutes les faces contenues dans les plans définis par les axes, nous avons toujours:

equation   (34.36)

Puisqu'en moyenne equation est toujours perpendiculaire à equation.

Pour les autres faces (BCFE par exemple) nous avons equation et donc:

equation   (34.37)

où nous appelons a la coordonnée selon Oy de l'extrémité de equation (ne pas confondre avec l'accélération!). Dès lors pour chaque face:

equation   (34.38)

Effectivement car la pression interne du système sur les parois est définie par:

equation   (34.39)

Par le théorème du Viriel, en ajoutant les contributions non nulles des faces BCFE, DEFG et ABED, il vient:

equation   (34.40)

Si l'énergie cinétique moyenne d'une molécule est:

equation   (34.41)

L'énergie cinétique moyenne totale pour N molécules est alors (nous reviendrons sur cette relation plus loin mais avec une autre approche):

equation   (34.42)

ce que les thermodynamiciens notent souvent:

equation   (34.43)

U est donc l'énergie interne du gaz et ddl le nombre de degrés de liberté des constituants.

La relation antéprécédente, appelée "théorème d'équipartition de l'énergie", est importante car elle permet:

1. Une interprétation microscopique de température T et de déterminer l'énergie interne d'un gaz parfait monoatomique (et par extension d'autres gaz avec des degrés de liberté autres).

2. De constater que le système de température en Celsius n'est pas adapté à la réalité physique. Effectivement, dans le système utilisant les Celsius, à 0 [°C] tout devrait être immobile (énergie cinétique nulle) or il est évident que ce n'est pas le cas pour toutes les substances. Donc il faut introduire une nouvelle température qui met en adéquation l'énergie cinétique mesurée et la température traditionnelle. Il s'agira de la "température absolue" mesurée en Kelvin [K] dont l'équivalence énergie cinétique/température mesurée est telle que le 0 [°C] correspond à 273.15 [K].

L'énergie interne est une contribution à l'énergie qui n'apparaît pas en mécanique classique. Du point de vue macroscopique, un récipient immobile qui contient un fluide ne possède pas d'énergie cinétique, alors que son énergie potentielle est constante. Nous pouvons l'ignorer en donnant la valeur zéro à cette constante.

Du point de vue microscopique, les choses changent cependant! Effectivement, les atomes ou molécules du fluide sont en mouvement et interagissent. Il faut leur associer une énergie (l'énergie interne) qui est la somme des contributions relatives à chaque atome.

Dès lors:

equation   (34.44)

C'est "l'équation générale d'état d'un gaz réel", c'est-à-dire l'équation d'état qui tient compte des interactions entre molécules. Il est intéressant de remarquer que finalement cette relation peut nous permettre de calculer l'énergie du gaz même s'il n'y pas de parois!

Si le gaz est parfait, il n'y a pas d'interactions entre les N molécules (par hypothèse) et alors nous avons "l'équation des gaz parfaits" suivante:

equation   (34.45)

Que nous retrouvons beaucoup plus fréquemment sous la forme:

equation   (34.46)

si n est exprimé en moles avec R la constante des gaz parfaits.

Si la température est constante, nous retrouvons la "loi de Boyle-Mariotte":

equation   (34.47)

Pour arriver à l'équation des gaz parfaits, il est utile de rappeler que nous avons fait trois hypothèses:

H1. Les molécules sont assimilées à des sphères dures dont le diamètre est négligeable devant la distance moyenne qui les sépare. C'est que ce que nous appelons "l'hypothèse structurale".

H2. À la limite, et c'est ce que nous avons retenu, si nous considérons les molécules comme ponctuelles, la possibilité d'interaction entre les particules s'annule. Les seules interactions qui subsistent seront les chocs sur les parois du récipient qui contient le gaz. Ces chocs sont parfaitement élastiques de sorte que nous puissions appliquer les lois de conservation de la quantité de mouvement de l'énergie cinétique. C'est ce que nous appelons "l'hypothèse interactive limite"

H3. Le gaz est étudié dans un état d'équilibre thermodynamique ce qui se traduit par l'homogénéité des variables intensives et extensives. C'est que ce que nous appelons "l'hypothèse du chaos moléculaire".

Dans un cas particulier, si les interactions dérivent d'un potentiel central:

equation   (34.48)

Il vient ainsi:

equation   (34.49)

Si en outre l'énergie potentielle est du type (attention de ne pas confondre le paramètre k avec la constante de Boltzmann notée de la même manière!):

equation   (34.50)

nous avons:

equation   (34.51)

et dès lors:

equation   (34.52)

equation est l'énergie totale moyenne du système.

Au fait, il faut bien prendre garde au fait que nous n'avons pas rigoureusement démontré l'équation des gaz parfaits. Effectivement, lorsque nous avions posé plus haut:

equation   (34.53)

Cela supposait implicitement que l'équation des gaz parfaits était déjà connue (…).

Cette approche de la cinétique des gaz est intéressante car utile en astrophysique. Cependant, ce n'est de loin pas la plus simple dans un cadre scolaire et pédagogiquement. Nous nous proposerons de revenir sur ces mêmes résultats via les concepts de pression et de température cinétique une fois l'équation de Van der Waals déterminée.

En 1875, le savant néerlandais J.D. Van der Waals (1837-1923) essaya donc de remplacer l'équation des gaz parfaits par une relation qui tiendrait compte des forces intermoléculaires et de la taille des molécules. La première correction, et la plus évidente, à l'équation des gaz parfaits:

equation   (34.54)

est de soustraire le volume des molécules de gaz du volume V. Nous pouvons le faire logiquement en remplaçant V par V-Nbb est une constante très faible représentant bien évidemment le volume moyen par molécule (il existe des tables pour cela). Donc:

equation   (34.55)

où le terme equation est communément appelé le "covolume".

Pour tenir compte des forces intermoléculaires que nous avons négligées précédemment, nous pouvons tenter une approche approximative en sachant déjà que la force d'attraction de chaque molécule se fera sur N-1 molécules. Par conséquent, le numérateur de la force d'attraction contiendra (par la somme de tous les termes) trivialement si le gaz est isotrope et homogène un terme du type N(N-1) pour l'influence de toutes les molécules entre elles ce qui si N est très grand peut être approximé par equation.

Nous savons également qu'au numérateur, il y aura un terme de masse pour chaque particule. Si nous connaissons N/V alors il ne reste plus qu'à connaître la densité massique du gaz (mais ce n'est pas une variable extensive donc nous éviterons de la faire apparaître explicitement). Ainsi, le terme equation peut s'écrire directement equation

En suivant ce raisonnement, Van der Waals ajouta au terme de droite de l'équation ci-dessus un terme négatif proportionnel à la quantité equation. La présence de ce terme se traduit par un abaissement de la pression au fur et à mesure que croit la densité du gaz. La relation modifiée est ainsi:

equation   (34.56)

a est une constante de proportionnalité. Nous pouvons réécrire cette relation sous la forme:

equation   (34.57)

qui est appelée "équation d'état de Van der Waals" ou encore "équation de gaz réels de Van der Waals" (on retrouve dans la littérature plusieurs manières équivalentes d'écrire cette dernière relation). Elle est une excellente description de l'équation d'état dans un large domaine des variables P,V,T, les valeurs a et b étant caractéristiques de chaque gaz. Les constantes a et b sont déterminées expérimentalement comme nous en avons déjà fait mention.

Nous pouvons représenter un l'équation de Van der Waals dans un diagrmme P-V (donc à température constante). Dont voici un exemple avec le CO2 (gaz carbonique/dioxyde de carbone):

equation
Figure: 34.5 - Diagramme P-V de Van der Waals

Ce qui correspond à:

equation   (34.58)

La figure du bas montre le case général. On peut passer de l'état F (vapeur) à l'état I (liquide) en suivant un chemin passant per les états A et E (palier de liquéfaction), on observe alors une transition de phase. Si on suit un autre chemin, par exemple en utilisant l'isotherme GH (T >Tk, chemin rouge), il n'y a pas de palier de liquéfaction, on passe de manière continue de l'état gazeux à l'état liquide:

equation
Figure: 34.6 - Diagramme P-V de Van der Waals générique

L'équation de Van der Waals peut être mise sous forme d'un développement du type Viriel en utilisant un développement de Taylor-Maclaurin (cf. chapitre sur les Suites et Séries):

equation   (34.59)

ou en réorganisant les termes:

equation   (34.60)

Remarquons qu'il existe une température pour laquelle equation est nulle. Nous l'appelons "température de Boyle" du gaz: c'est la température à laquelle le gaz réel ressemble à un gaz parfait. Il est très délicat d'obtenir ces paramètres expérimentalement.

PRESSION CINÉTIQUE

Recherchons le nombre de molécules d'un gaz parfait toutes supposées animées d'une vitesse égale v qui viennent frapper une surface S pendant une durée dt.

Si le gaz étudié est dans un état d'équilibre thermodynamique, cela se traduira par l'homogénéité des variables intensives (hypothèse du chaos moléculaire).

Il s'ensuit que la densité des particules est constante:

equation   (34.61)

Si nous admettons que les molécules sont en mouvement, nous supposerons qu'il y a isotropie des vitesses. En d'autres termes, puisque les vitesses peuvent vectoriellement être décrites dans un système de 3 axes orthogonaux (trois dimensions spatiales), il y a 6 directions possibles primaires au total (2 directions par axe: en avant, en arrière...).

Cela se traduit par l'équivalence entre les différentes directions. Il y a:

equation   (34.62)

particules ayant une vitesse v selon l'une des directions primaires.

Donc pendant une durée dt, la surface S de la paroi n'est percutée que par une partie des molécules contenues dans le volume equation. En effet, seul 1/6 des molécules contenues dans ce volume se dirigent effectivement vers la surface S.

equation
Figure: 34.7 - Une des parois de l'enceinte

Le nombre de molécules qui viennent heurter la paroi pendant la durée dt est donc:

equation   (34.63)

Étudions maintenant la dynamique du choc d'une particule sur la paroi:

La particule de masse m qui arrive sur la paroi avec la vitesse equation repart avec une vitesse equation si le choc est parfaitement élastique.

La variation de la quantité de mouvement de la particule est donc:

equation   (34.64)

En vertu de la conservation de la quantité de mouvement, cette quantité de mouvement est transférée à la paroi: la variation de la quantité de mouvement subie par la paroi est l'opposé de celle de la particule:

equation   (34.65)

La variation totale de la quantité de mouvement de toutes les particules qui viennent frapper la paroi pendant la durée dt vaut alors en module:

equation   (34.66)

En appliquant le principe fondamental de la dynamique, nous pouvons passer à la force subie par la paroi pendant la percussion de ces molécules:

equation   (34.67)

donc:

equation   (34.68)

Or par définition de la pression et en prenant le module:

equation   (34.69)

 nous avons alors la "pression cinétique" donnée par:

equation   (34.70)

La pression cinétique est donc la traduction de la fréquence des chocs sur la paroi. Plus les molécules sont nombreuses (terme en equation) et rapides (terme en v), plus le nombre de chocs augmente. Cela est conforme à l'expérience et à l'intuition.

TEMPÉRATURE CINÉTIQUE

En remplaçant equation par le quotient N/V, l'équation précédente peut se mettre sous la forme:

equation   (34.71)

Si nous l'identifions avec l'équation d'état des gaz parfaits vue plus haut:

equation   (34.72)

il vient:

equation   (34.73)

Or la quantité de matière n est égale au rapport du nombre de particules sur le nombre d'Avogadro:

equation   (34.74)

ce qui permet de définir la "température cinétique" par:

equation   (34.75)

Nous pouvons alors introduire une constante qui nous est déjà connue appelée par Max Planck "constante de Boltzmann" et telle que:

equation   (34.76)

Remarque: Nous avions déjà fait mention de cette relation lors de notre présentation des constantes universelles dans le chapitre traitant des Principes de la mécanique.

L'expression de température cinétique prend alors la forme:

equation   (34.77)

Cette relation montre que la température cinétique est le reflet de l'énergie cinétique des particules (dont la température est en fait une mesure de la a vitesse des molécules). D'une façon imagée, c'est l'image de la violence des chocs. On comprend aussi alors mieux l'origine de la définition de la température absolue (sinon quoi la vitesse devrait être un nombre complexe) et l'arguement comme quoi tout est immobile au zéro absolu.

Ainsi, l'énergie d'un gaz parfait se réduit à la somme des énergies cinétiques des particules qui le constituent:

equation   (34.78)

Les atomes d'un gaz parfait monoatomique sont assimilables à des points matériels. Leur énergie cinétique est une énergie cinétique de translation dont la valeur moyenne, par atome, s'écrit:

equation   (34.79)

Dans l'espace des vitesses, toutes les directions sont équivalentes: il y a isotropie de la distribution des vitesses. En coordonnées cartésiennes, il vient:

equation   (34.80)

et par suite de l'isotropie:

equation   (34.81)

d'où:

equation   (34.82)

ainsi, l'énergie cinétique moyenne par degré de liberté de translation est égale à:

equation   (34.83)

Le lecteur remarquera bien évidemment que nous obtenons ici les mêmes résultats et conclusions que lors de notre étude du théorème du Viriel à la différence que l'approche est ici plus simple et donc plus didactique.

LOI DE DALTON ET D'AMAGAT

Considérons un mélange de deux gaz parfaits dans un volume V imposé constant à température T imposée constante. Nous pouvons écrire pour chacun des gaz:

equation   (34.84)

equation sont les "pressions partielles". L'ensemble du mélange s'écrira:

equation   (34.85)

Or:

equation   (34.86)

et donc:

equation   (34.87)

Donc:

equation   (34.88)

La pression d'un mélange de deux gaz parfaits est la somme des pressions partielles, il s'agit de la "loi de Dalton".

Remarque: Nous avions mentionné dans le chapitre de Thermodynamique, que la pression était une variable intensive et donc non additive. Mais cela n'est pas le cas dans la situation de gaz parfaits lorsque le volume est forcé comme étant constant.

Ainsi, la pression partielle d'un gaz dans un mélange est égale au produit de la pression totale du mélange par le pourcentage du gaz considéré dans le mélange.

Nous pouvons faire le même raisonnement à pression P et température T imposés comme constants. Nous avons alors:

equation   (34.89)

d'où:

equation   (34.90)

Le volume d'un mélange de deux gaz parfaits est la somme des volumes partiels, il s'agit de la "loi de d'Amagat".

LIBRE PARCOURS MOYEN

Nous allons voir maintenant un cas d'études très intéressant des gaz qui permet de mettre au clair beaucoup d'incompréhensions dans la vie de tous les jours (fumée dans les restaurants, chaleurs près d'un radiateur, ...). Cependant, les phénomènes sont en réalité plus complexes il faut aussi prendre en compte la diffusion, la convection, etc.

Considérons une molécule, qui se déplace à la vitesse moyenne equation. Sa sphère d'influence equation balaie alors, pendant l'unité de temps de son déplacement, un volume donné par:

equation   (34.91)

Remarque: Dans le cas où l'on considère un atome ou une molécule comme une sphère d'influence, on parle souvent de "volume de Van der Waals" et du "rayon de Van der Waals" associé.

Si l'unité de volume renferme n molécules (n a donc les unités d'une densité volumique), le nombre de chocs pendant l'unité de temps dans cette même unité de volume sera alors de:

equation   (34.92)

si les autres sphères d'influence étaient immobiles... Donc pour tenir compte du mouvement des autres sphères d'influence, considérons la figure ci-dessous avec trois scénarios simplistes:

equation
Figure: 34.8 - 3 scénarios de collisions

De gauche à droite nous avons:

1. La vitesse relative des molécules est equation

2. La vitesse relative est nulle

3. La vitesse relative vaut (Pythagore) equation

Les deux premiers cas sont quand même un peu extrêmes... Le troisième sera considéré comme  représentant une moyenne et peut servir de nouvelle base au calcul précédent.

Ainsi, en utilisant la vitesse relative du dernier scénario, le nombre de chocs pendant l'unité de temps dans l'unité de volume devient:

equation   (34.93)

Ainsi, entre deux chocs, une molécule parcourt une distance moyenne:

equation   (34.94)

qu'il est d'usage de noter:

equation   (34.95)

C'est donc l'expression du libre parcours moyen en fonction de la densité moléculaire n (et non du nombre de moles!!!) et du rayon r de la sphère d'influence, paramètre intrinsèque du gaz considéré. Compte tenu de la relation:

equation   (34.96)

n est toujours la densité moléculaire (et non le nombre de moles!!!) nous obtenons:

equation   (34.97)

Une application numérique donne pour l'élément aux conditions normales de température et de pression un libre parcours moyen qui vaut pour la majorité des molécules courantes plusieurs milliers de fois le diamètre d'une molécule de taille standard (le libre parcours moyen est donc de l'ordre du micromètre).

En utilisant la relation de la vitesse moyenne la plus probable dans le cadre de l'hypothèse d'une distribution de Maxwell des vitesses (cf. chapitre de Mécanique Statistique) nous avons:

equation   (34.98)

pour une molécule de masse molaire de 30 [g] à température normale. Ce qui donne un nombre de collisions pour une mole de molécules:

equation   (34.99)

Cette fréquence élevée de chocs explique, dans des conditions normales de température et de pression, la rapidité avec laquelle l'équilibre statistique s'établit au sein d'un gaz.

À la température ambiante et pour un vide de equation, nous obtenons avec les mêmes valeurs: equation.

Les dimensions des récipients contenant les gaz étant toujours inférieures à cet ordre de grandeur, il apparaît que lorsque le vide est réalisé dans une enceinte, les chocs intermoléculaires sont négligeables vis-à-vis des chocs molécules-parois.

PLASMAS

Nous définissons le "plasma" comme un état de la matière dans lequel certaines liaisons électroniques ont été rompues, provoquant l'apparition d'électrons libres, chargés négativement et d'ions, chargés positivement. Les gaz faiblement ionisés appelés "plasmas" par abus de langage, possèdent les mêmes propriétés mécaniques (écoulements, ondes acoustiques, etc.) que les gaz neutres, en revanche leurs propriétés électromagnétiques (conductivité électrique, indice de réfraction) en diffèrent par suite de la présence d'électrons libres en leur sein.

Remarque: Le plasma est aussi nommé "quatrième état de la matière" (après les états solide, liquide et gazeux et avant le cinquième état de la matière: le condensat de Bose-Einstein).

Dans leur état normal, les gaz sont des isolants électriques. Cela tient au fait qu'ils ne contiennent pas de particules chargées libres, mais seulement des molécules neutres. Cependant, si nous leur appliquons des champs électriques assez intenses, ils deviennent conducteurs. Les phénomènes complexes qui se produisent alors portent le nom de décharges dans les gaz et sont dus à l'apparition d'électrons et d'ions libres.

Le résultat d'une décharge dans un gaz est donc la production d'un gaz ionisé contenant par exemple une densité moyenne de equation  électrons, equation  ions positifs et equation  neutres (atomes ou molécules). En général, le gaz est macroscopiquement neutre. Nous avons alors:

equation   (34.100)

ou autrement exprimée, la neutralité s'écrit aussi:

equation   (34.101)

Cette neutralité est la conséquence des forces électrostatiques très intenses qui apparaissent dès que l'on a equation . La densité de particules est donc la première grandeur fondamentale.

Remarque: La neutralité n'est que globale. À une échelle plus fine, les électrons, plus mobiles que les ions, forment un nuage autour de chaque ion.

Le "degré d'ionisation" d'un gaz est défini par le rapport: 

equation   (34.102)

equation est la densité de particules neutres et n celle des électrons (ou des ions positifs). La valeur du degré d'ionisation dans les divers types de gaz ionisés varie en pratique depuis des valeurs très faibles, de l'ordre de equation , par exemple, jusqu'à 1.

La deuxième grandeur fondamentale est la température. Lorsque l'on chauffe un gaz à une température T suffisamment élevée ( de l'ordre de equation ), l'énergie moyenne (voir théorème du Viriel):

equation   (34.103)

de translation de ses molécules peut devenir du même ordre que leur énergie d'ionisation Ei. Dans ces conditions, lorsque deux molécules entrent en collision, il peut y avoir ionisation de l'une d'entre elles.

Si le gaz est en équilibre thermodynamique, l'ionisation par collision est contrebalancée par des processus de recombinaison entre électrons et ions et il en résulte que les trois variables equation  ne sont pas indépendantes: l'ionisation est déterminée par la pression et la température, nous disons alors que le gaz est en "état d'équilibre d'ionisation thermique".

À des températures plus élevées, les atomes du gaz peuvent d'ailleurs s'ioniser plusieurs fois. Dans de nombreux cas, l'ionisation est due à un champ électrique extérieur, et le gaz n'est pas en équilibre thermodynamique. Il atteindra souvent un état stationnaire que l'on pourra caractériser par les paramètres equation  (température des électrons), equation  (température des ions) et equation  (température des molécules).

Les trois températures ainsi introduites sont définies par la condition que equation représente l'énergie cinétique moyenne des particules d'espèce a, dans un repère où elles ont une vitesse moyenne nulle. L'écart entre equation , equation  et equation  peut être important: par exemple, dans un tube à décharges typique, nous pourrons avoir: equation et equation . La forte valeur de equation  est due à l'action du champ électrique sur les électrons, et l'ionisation est alors produite par les collisions de ces électrons chauds sur les molécules neutres du gaz.

En conclusion il n'y a que deux grandeurs de base permettant de caractériser un plasma: la densité et la température électronique. Nous allons maintenant nous pencher sur deux autres grandeurs importantes mais non fondamentales dans le sens où elles s'expriment à partir de la densité et de la température.

FRÉQUENCE PLASMA

Si dans un plasma initialement neutre, nous produisons une perturbation locale sous la forme d'un excès de charge électrique positive ou négative, celui-ci va tendre à revenir vers l'état d'équilibre de neutralité. Cependant, nous pouvons voir facilement que la perturbation initiale engendre en général une oscillation pendulaire non amortie du plasma autour de son état d'équilibre. Considérons par exemple la situation représentée sur la figure ci-dessous.

 equation   equation
Figure: 34.9 - Oscillation électronique du plasma

À l'instant initial la région au centre contient un déficit d'électrons et la région tout autour un excès d'électrons. Cela produit un champ électrique tendant à créer un mouvement des électrons dans le sens des flèches. Dans ce mouvement, ceux-ci acquerront une certaine énergie cinétique et ils pourront, au bout d'un certain temps, dépasser la position d'équilibre. Un trop grand nombre d'électrons ayant quitté la région externe, il y aura un défaut d'électrons dans cette région et un champ électrique tendant à les ramener vers elle. Au bout d'un certain temps, la situation initiale est reconstituée et le cycle recommence. Les vibrations ainsi produites sont appelées oscillations de plasma électroniques.

Nous pouvons étudier quantitativement ce problème en posant les équations générales d'une oscillation de charge électronique et moyennant les hypothèses simplificatrices suivantes:

H1.   Les ions sont supposés immobiles étant donné qu'ils sont beaucoup plus lourds que les électrons, et leur quantité égale à equation

H2.   L'agitation thermique est négligeable

H3.   Les collisions sont négligeables (nous parlons alors de modèle à "transport libre")

H4.   Les oscillations sont de faible amplitude

H5.   Il n'y a pas de champ électrique ou magnétique imposé par des sources extérieures

Maintenant, rappelons que nous avons démontré dans le chapitre d'Électrodynamique que (équation de conservation de la charge):

equation   (34.104)

et dans le chapitre d'Électrocinétique que:

equation   (34.105)

Dès lors, en adoptant les notations susmentionnées, il vient localement:

equation   (34.106)

relation qui constitue "l'équation hydrodynamique des électrons".

Remarque: Un plasma est certes en théorie globalement neutre, mais nous pouvons avoir en théorie localement un volume non neutre. C'est cette hypothèse qui nous permet de poser que la divergence du courant n'est pas nulle!

Rappelons maintenant la force de Coulomb (cf. chapitre d'Électrostatique): 

equation   (34.107)

où nous avons donc clairement négligé le terme de pression cinétique et le terme de collision (hypothèses 2 et 3) et négligé le champ magnétique lié à l'oscillation.

Nous pouvons simplifier ces équations en utilisant l'hypothèse 4 sous la forme: 

equation   (34.108)

equation est une petite perturbation.

Supposons de plus que les quantités variables varient à la pulsation equation, nous pouvons donc écrire:

equation   (34.109)

Dès lors, l'équation hydrodynamique des électrons devient:

equation   (34.110)

Soit au final:

equation   (34.111)

De l'expression de la force de Coulomb nous déduisons également:

equation   (34.112)

d'où nous tirons:

equation   (34.113)

Mais nous avons d'autre part la loi de Gauss (cf. chapitre d'Électrodynamique):

equation   (34.114)

en effet compte tenu de la condition de neutralité du plasma non perturbé, nous avons: 

equation   (34.115)

Donc:

equation   (34.116)

De la relation démontrée précédemment:

equation   (34.117)

en remplaçant dans la relation suivante (aussi démontrée précédemment):

equation   (34.118) 

nous avons:

equation   (34.119)

Finalement en remplaçant cette dernière expression dans la loi de Gauss, nous tirons:

equation   (34.120)

Mais dans les oscillations de charges d'espace nous avons par définition :

equation   (34.121)

Ce qui nous amène à:

equation   (34.122)

Finalement, nous avons la "fréquence plasma" ou encore "fréquence de Langmuir" donnée par:

equation   (34.123)

En physique, la fréquence plasma est ainsi la fréquence caractéristique des ondes de plasma, c'est-à-dire des oscillations des charges électriques présentes dans les milieux conducteurs, comme le métal ou les plasmas. À l'image de l'onde électromagnétique qui, quantifiée, est décrite par des photons, cette onde de plasma est quantifiée en "plasmons".

Les oscillations des charges électriques peuvent être comprises grâce au raisonnement suivant: si les électrons d'une zone du plasma sont déplacés, alors les ions de cette zone, n'ayant que peu bougé du fait de leur masse importante, vont exercer sur ces électrons une force de Coulomb attractive. Ceux-ci vont donc revenir vers leur position initiale, et ainsi de suite...

En Savoir Plus

- Mécanique des milieux continus, G. Duvaut, Éditions Dunod, ISBN10: 2100039326 (292 pages) - Imprimé en 1998

- Physique des plasmas (volume 1), J.-L. Delcroix + A. Bers, Éditions EDP Sciences, ISBN10: 2868833683 (374 pages) - Imprimé en 1994

- Introduction to Food Engineering, Éditions Elsevier, R. Paul Singh + Dennis R. Heldman,
ISBN10: 0123985307 (892 pages) - Imprimé en 2013

- Notions de Mécanique des fluides, Centre de Publication Universitaire, Riadh Ben Hamouda, ISBN13: 9789973374943 (135 pages) - Imprimé en 2008


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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS  (2/3)ELECTROSTATIQUE


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