Sciences.ch (mécanique des milieux continus 1/3)

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Au sens strict du terme, la mécanique des milieux continus (abrégée M.M.C.) est la branche de la mécanique qui a comme propos l'étude des mouvements, des déformations, des champs de contraintes au sein de milieux continus.

D1. Nous désignons par "milieu", tout fluide (solide, liquide, gaz ou plasma selon ce que nous avons vu en thermodynamique), déformable ou non, quand nous le considérons d'un point de vue macroscopique, par opposition à une description corpusculaire.

D2. Nous désignons par "milieu continu", un milieu tel que si M et M' appartiennent à un milieu et si M' appartient au voisinage M, alors quelle que soit la déformation subie par ce milieu, dM' appartiendra au voisinage de dM.

Cette branche apparaît souvent comme la science de l'ingénieur qui permet de comprendre et de décrire le monde matériel qui nous entoure et les phénomènes courants qui s'y déroulent: mouvements de liquides, de gaz, vol des avions, hélicoptères, fusées, satellites, navigation des bateaux, déformations des corps solides, structure interne des étoiles, etc. Par ses attaches à la mécanique thermique (thermodynamique), elle s'étend jusqu'à la thermique, l'énergétique, l'acoustique.

Prenant en compte les comportements des milieux continus, elle englobe l'hydrodynamique, la dynamique des gaz, l'élasticité, l'acoustique, la plasticité et d'autres comportements. Elle est la clé de ce que nous appelons aujourd'hui la "modélisation", qui n'est autre que l'art d'analyser un phénomène physique et de le décrire en termes mathématiques, ce qui permet de l'étudier avec la rigueur propre à cette discipline.

Cette section du site est divisée en 4 parties principales: solides, liquides, gaz et plasmas (dont certaines notions ont délibérément été développées dans le chapitre de Musique Mathématique du site). Dans chaque partie, nous introduirons les outils mathématiques spécifiques à l'étude de tel ou tel milieu continu avec une complexité (toute relative) croissante. Cependant, par choix, il a été décidé d'exposer les théorèmes avec les outils mathématiques les plus simples possibles mais tout en arrivant aux mêmes résultats. Ainsi, par exemple, la démonstration de l'équation de Navier-Stokes qui prendrait 150 pages de développements mathématiques rigoureux n'en prend plus que 27. Il y a donc un avantage non négligeable aussi bien pour l'auteur que pour le lecteur à procéder ainsi.

Remarque: Concernant les équations de Navier-Stokes, nous donnerons aussi des exemples pratiques de celles-ci lors de notre étude de la météorologie (cf. chapitre de Génie Marin & Météo).

SOLIDES

Des atomes d'un même élément ou d'éléments différents s'assemblent en des édifices spécifiques. Cela conditionne la force de leurs interactions électriques, qui définissent la structure finale de la substance. Dans les conditions normales sur notre planète, la matière existe à l'état solide, liquide, gaz ou plasma. Si les forces interatomiques sont assez intenses, la collection de particules conserve sa forme et son volume.

Cette propriété de conserver la forme et le volume, ainsi que des propriétés élastiques distinguent les solides.

PRESSIONS

Les notions de "compression" et "contrainte" (que nous pouvons englober abusivement dans le terme de "pression") sont de première importance en mécanique des fluides (solides inclus donc!). Il convient donc de définir ces différents types de pression avec un minimum de rigueur!

D1. Nous appelons "pression de compression", notée traditionnellement P, le rapport exprimé par la force F qui s'exerce (s'appuie) sur un élément de surface S à la perpendiculaire de celle-ci. Ainsi, sous forme scalaire:

Remarque: Si une force agit sur une surface finie, nous parlons alors aussi de "force répartie".

D2. Nous appelons "pression de contrainte" le rapport exprimé par la force F qui tire sur un élément de surface S non nécessairement à la perpendiculaire, force (de traction) qui peut dès lors être décomposée en deux vecteurs respectivement tangent et normal. Ainsi, sous forme vectorielle:

où

sont respectivement la "contrainte normale" et la "contrainte tangentielle" (parfois indiquées avec un s en indice pour indiquer que c'est par rapport à une surface).

Nous pourrions très bien englober les deux définitions ci-dessus en une seule et travailler avec les signes des forces. Mais par souci de cohérence avec ce qui est enseigné dans les écoles, nous garderons ces deux définitions qui s'identifient par définition par le fait que leurs forces sont opposées par rapport à un élément de surface S.

Remarque: Nous donnerons la définition de la pression hydrostatique plus loin lors de notre étude des liquides.

ÉLASTICITÉ DES SOLIDES

D'une manière ou d'une autre, une contrainte de compression ou de traction peut déformer le triplet hauteur, largeur, épaisseur d'un corps. S'attaquer directement à l'étude d'un cas qui déforme ces trois paramètres est un peu long et sera abordé plus bas dans la partie traitant de la détermination de l'expression du module de Young de cisaillement.

Mais il est utile, ne serait-ce que du point de vue du vocabulaire de donner un exemple à partir du cas le plus simpliste qui puisse être. Si nous imaginons un corps élastique à une dimension (n'ayant ni hauteur, ni largeur mais juste une longueur) sous l'application de deux forces de contraintes parfaitement colinéaires mais antagonistes, nous pouvons imaginer que le corps en considération s'allonge d'un certain facteur.

Définition: La "déformation normale" sous des forces axiales et antagonistes est donnée par le rapport entre la variation de longueur du corps sur sa longueur initiale (soit: l'allongement relatif) tel que:

Cette relation est une forme extrêmement simplifiée de tous les types de déformations qui peuvent exister. Effectivement, lorsque l'on étudie de manière rigoureuse la déformation, il faut prendre en compte le cumul des déformations et nous parlons alors de "déformation vraie longitudinale", ou encore de "déformation rationnelle longitudinale", par la variation de longueur telle que:

Il vient alors (le même raisonnement s'appliquant pour une surface ou un volume):

Or nous retrouvons une expression bien connue des séries de Taylor usuelles (cf. chapitre de Suites Et Séries) et nous pouvons alors écrire pour les petites déformations:

et nous retrouvons donc bien la définition naïve. Nous voyons aussi que cette approximation revient aussi identiquement à poser dès le début que:

qui est une écriture (approximation) que nous retrouverons dans le chapitre de Thermodynamique lors de notre détermination de l'équation d'état des liquides mais avec le volume V en lieu et place de la longueur L.

Il y a nécessairement une relation entre forces de compression et de traction et la variation de dimension d'un corps. Cette relation est dépendante de la structure atomique du matériau et devrait rigoureusement faire appel à la physique quantique pour être déterminée (nous nous en abstiendrons cependant dans cette section du site). Nous observons cependant suivant les matériaux des caractéristiques diverses qui intéressent au plus haut point les ingénieurs:

Figure: 34.2 - Comportement sous contrainte/compression pour certains matériaux

Les figures ci-dessus représentent la variation de la contrainte de compression en fonction de la déformation pour certains matériaux (habituellement nous représentons ces caractéristiques en inversant les axes).

- Les matériaux ductiles comme l'acier doux (a), cessent d'être linéaires à la limite d'élasticité notée

ci-dessus.

- Sous traction les polymères (b) caoutchouteux s'allongent d'abord en dépliant leurs molécules (cf. chapitre de Génie Des Matériaux) puis en tirant sur les liaisons chimiques (cf. chapitre de Chimie Quantique).

- La plupart des matériaux biologiques (c) sont sous contrainte, même lorsqu'ils ne sont pas déformés. La peau, par exemple, est comme un gant de caoutchouc enveloppant le corps.

- L'élastine (d) est habituellement renforcée de collagène dans les systèmes biologiques comme les artères. Un tendon est fait principalement de collagène.

Dans un cas plus général, les ingénieurs ont pour habitude de définir les points représentés ci-dessous dans leurs mesures d'essais de traction:

Figure: 34.3 - Définitions de termes importants pour l'étude des déformations

La caractéristique ci-dessus comporte une partie linéaire comme c'est le cas d'une certaine classe de matériaux. Cela signifie que la pente de la caractéristique est une constante, qui reflète la déformation élastique du matériau sous l'effet de la contrainte croissante. Cette contrainte élastique par unité de déformation définit le "module de Young" (il n'y a pas de composante tangentielle dans ce cas d'étude!):

cette relation étant valable aussi bien en contraintes de compression qu'en traction. Nous reviendrons sur cette relation dans les paragraphes suivants.

Remarques:

R1. La "rhéologie" est une partie de la mécanique qui étudie la plasticité, l'élasticité, la viscosité et la fluidité caractéristiques des corps déformables. C'est une branche très importante de l'ingénierie industrielle.

R2. Attention les calculs qui vont suivre sont relativement longs et difficiles et ce même si nous avons essayé de les simplifier au maximum. Cependant, tous les résultats nous seront infiniment utiles que ce soit pour déterminer l'équation de Navier-Stokes ou pour l'étude de la résistance des matériaux (cf. chapitre de Génie Mécanique)!

LOI DE HOOKE

Étant donnés les définitions données précédemment, nous obtenons la relation:

qui est par définition la "loi linéaire de Hooke" en contrainte normale uniquement!

Il est assez intuitif de supposer que plus la force de liaison des atomes constituant le matériau étudié est grande, plus grande est la force à appliquer pour éloigner les atomes, donc pour étirer le corps. Les solides, qui ont des grandes forces de liaisons, ont une haute température de fusion (cela est approfondi dans le chapitre traitant de la Chimie Quantique).

qui est la force de rappel des ressorts (cf. chapitre de Mécanique Classique et Génie Mécanique).

Mais il existe plusieurs types de contraintes avec leurs modules respectifs. Ainsi voici les définitions des plus importantes dans la partie linéaire de leur caractéristique avec le schéma explicatif associé:

D1. Nous définissons le "module de cisaillement" ou "module de rigidité" par le rapport de la composante normale de la force (pression de compression) à la déformation de cisaillement:

où le numérateur est appelé "contrainte de cisaillement" et où

est "l'angle de déformation". Généralement cet angle étant petit, nous avons l'approximation:

S est la surface de la face supérieure ou inférieure du corps déformé représenté ci-dessus.

D2. Nous définissons le "module d'élasticité de glissement", appelé également "module de glissement" ou encore "module de Coulomb" par le rapport de la composante tangentielle de la force (pression de contrainte) à la déformation de cisaillement:

où

est le "coefficient de Poisson" dont nous démontrerons l'origine un peu plus bas dans le présent texte.

Remarquez que bien que le numérateur de la définition précédente soit une force divisée par une surface, il ne s'agit pas d'une pression car la force est tangentielle (d'où le T en indice de F) à la surface.

C'est parce que toute force peut être décomposée en une force normale et tangentielle (voir la définition plus haut de la pression de compression et de la pression de contrainte) que nous avons les deux définitions distinctes ci-dessus. Dans la grande majorité des cas de laboratoires, nous nous arrangeons pour avoir une force purement tangentielle (d'où le T en indice de F) ou purement normale (d'où le N en indice de F) à la surface S.

Dans la pratique il n'est souvent fait usage que de la deuxième définition et ce à un point tel que cette dernière est souvent assimilée au "module de rigidité" aussi...

Une chose intéressante (pour la parenthèse...) si nous considérons que les plaques tectoniques sont en cisaillement entre elles nous avons alors d'après le module de glissement:

qui est typiquement l'énergie dégagée par le cisaillement de la friction de deux plaques tectoniques dont les surfaces de contact ont une hauteur moyenne H, une longueur initiale

et qui subissent une déformation de

alors que les estimations donnent un intervalle de 6.2 à 8.5... donc, nous ne sommes pas trop mauvais dans l'approche théorique.

D3. Nous définissons le "module de compressibilité omnidirectionnel", comme le rapport de la contrainte volumique à la déformation volumique (nous démontrerons plus loin les développements mathématiques qui amènent au dernier terme de la relation):

Nous pourrions encore définir beaucoup de modules tels que le module de flexion, de flexion pure, de flexion composée, de torsion… Nous étudierons certains d'entre eux plus loin.

Pour chacune des différentes définitions de modules que nous pouvons envisager, nous pouvons définir une loi de Hooke qui lui est adapté. Cependant, tout cela peut paraître assez arbitraire, mais au fait il n'en est rien car toutes les définitions de modules que nous avons vues précédemment sont un cas particulier d'une relation mathématique généralisée qui sera démontrée sur ce site dans un proche avenir.

MODULE DE GLISSEMENT

La condition nécessaire pour qu'un solide rigide soit en équilibre statique est comme nous l'avons vue dans le chapitre de Mécanique Classique, que la résultante des forces que l'extérieur exerce sur le corps soit nulle:

Cependant, quand un solide subit des contraintes et qu'il peut en subir, il peut y avoir déformation qui peut être suivie d'une rupture ou d'une modification similaire. Plus, précisément, il y a "déformation" d'un corps (non nécessairement solide) quand les distances entre certains points du corps ont changé.

Lorsque dans l'étude théorique de l'élasticité, nous excluons les modifications du corps étudié telles que les ruptures, nous disons que nous nous restreignons aux "déformations élastiques".

La géométrie et la physique des déformations peuvent être complexes. Leur description se déduit de celle d'un certain nombre de déformations élémentaires dont nous préciserons plus loin les caractéristiques.

Les forces scalaires de contraintes de traction

engendrent sur leurs faces respectives des tensions "normales" (perpendiculaires donc!):

En admettant que la force

agit seule, la déformation unitaire est par définition:

Lorsqu'un parallélépipède est soumis à un effort de traction

, il y a intuitivement contraction des dimensions dans la direction x. Contraction observable de façon tout aussi intuitive pour

où le signe "-" indique une contraction et où

est un coefficient appelé "coefficient de Poisson".

En acceptant le principe de superposition des forces, l'effet produit par plusieurs forces agissant simultanément est égal à la somme des effets produits par chacune des forces superposées agissant séparément. Dès lors:

Ceci est admissible, étant donné la linéarité des équations unissant la déformation unitaire et la tension normale. Nous obtenons alors:

En ayant procédé de manière identique pour les deux autres directions OY et OZ.

À partir des relations précédentes, il est aisé de trouver les équations unissant

Soit un matériau soumis à des contraintes diverses. À l'intérieur de celui-ci, nous opérons, par la pensée, l'extraction d'un parallélépipède rectangle:

Les faces de celui-ci sont sollicitées par des contraintes normales

et tangentielles

(sur le schéma ci-dessous le solide est en équilibre statique). Voici la face jaune:

Figure: 34.8 - Illustration générique d'un matériau sous contraintes normales et tangentielles

Les contraintes normales

et de tangentielles

représentent les actions du parallélépipède de matériau ôté mentalement sur les faces de l'élément examiné.

Il est intéressant (dans le sens que cela facilite l'analyse) de rechercher les contraintes qui existent dans un plan faisant un angle

avec l'axe des x. Pour ce faire, nous imaginons un triangle de matière ayant un angle

au sommet enlevé hors de la matière mentalement. Nous négligerons l'effet de la pesanteur.

et dz étant l'épaisseur du solide (non représenté sur le schéma ci-dessus).

Sur la longueur ds, des contraintes apparaissent et se décomposent en contraintes normales

et tangentielles

(ces dernières étant aussi appelées "contraintes de cisaillement" ou "contraintes de flexion" ).

- Les contraintes

exerçant une traction sont positives alors que les tensions

exerçant une compression sont négatives.

- Les contraintes ayant tendance à faire tourner le parallélépipède dans le sens des aiguilles d'une montre, sont positives. Dans le sens antihoraire, elles seront négatives.

Conclusion: En fonction de

, il est possible de calculer la tension normale qui existe sur une surface plane quelconque d'angle

Conclusion: En fonction de

, il est possible de calculer la tension

tangentielle qui existe sur une surface plane quelconque d'angle

donnent les valeurs des contraintes normales et tangentielle dans une coupe quelconque en fonction des contraintes normales et tangentielle aux axes primitifs.

Il s'agit à gauche d'un bloc de matière dont l'on extrait virtuellement un petit plan de forme carrée (en bleu sur la figure de gauche) que l'on va étudier en ne prenant en premier lieu qu'un des triangles rectangles le composant pour ensuite étudier l'ensemble.

Avant la sollicitation, nous considérons donc le losange abcd qui est en fait initialement un carré à

suivant la direction OX (schéma perspective suite à la demande d'un lecteur):

Pendant la sollicitation, ce losange se déforme sous l'action des contraintes tangentielles décomposées en contraintes de cisaillement pures et devient le losange a'b'c'd' (schéma perspective suite à la demande d'un lecteur):

La diagonale bd est alors étendue et la diagonale ac est comprimée. L'angle en a qui valait

vaut après déformation

(en a'). De même, l'angle en b qui valait

vaut à présent

(Figure A).

Remarque: L'angle

est appelé "angle de glissement" et nous le considérerons comme faible.

Nous pouvons nous rendre compte de l'effet de la déformation en isolant le losange et en lui faisant subir une rotation de

. Après déformation, nous avons la forme indiquée par les lignes en pointillés (Figure B).

Donc

représente le glissement du côté ab par rapport à dc divisé par la distance entre les deux plans ab et dc. L'analyse qui vient d'être effectuée reste valable quel que soit le corps solide ou liquide considéré.

Soit, à présent, le cas d'un solide élastique obéissant à la loi de Hooke. Le problème va consister à établir la relation entre l'angle de glissement

et les contraintes tangentielles

agissant sur les côtés du losange.

Soit le triangle rectangle oab. L'allongement du côté

et le raccourcissement du côté oa pendant la déformation s'obtiennent à partir des équations suivantes:

Finalement, nous avons la relation donnant le "module de glissement", ou "module de Coulomb", que nous avions donné plus haut sans démonstration:

MODULE DE COMPRESSIBILITÉ

Nous reste encore à voir la provenance mathématique de l'expression d'un autre module tout aussi important que le module en cisaillement: le module de compressibilité

Finalement, nous trouvons pour la variation relative de volume d'une barre après déformation:

Nous définissons également le "module d'élasticité isostatique" ("bulk modulus" en anglais) par:

Remarquons que lorsque le coefficient de Poisson

vaut environ 0.33 alors le K vaut E (les matériaux métalliques sont proches de ce cas) et lorsque le coefficient de Poisson tend vers 0.5 alors K tend vers l'infini et donc la matériau est incompressible (les élastomères s'approchent d'un comportement incompressible).

MODULE DE FLEXION

La figure de gauche ci-dessus représente un matériau à l'état statique. La figure de droite représente le même matériau mais soumis à un moment de force couplé M.

Comme le matériau subit à sa surface à la fois une compression et à l'opposé une tension, il doit donc exister une frontière (une ligne ou un plan) ou aucune contrainte n'existe. Cette ligne ou ce plan (c'est rare que nous ayons affaire à un matériau ayant uniquement deux dimensions…) est appelé "plan neutre". Ce plan neutre va nous servir de référence pour définir la contrainte de flexion.

Figure: 34.14 - Illustration du plan de flexion pour déterminer le module de flexion

Soir R le rayon de courbure de la barre (cylindre, plaque, parallélépipède, …). La déformation sur le segment

est définie par la relation:

Considérons l'état statique de la barre. La somme des contraintes de tractions et compressions sont alors nulles. Effectivement, nous le voyons bien si nous considérons le schéma ci-dessous:

Considérons

la force agissante sur un élément de surface dS. Nous pouvons considérer l'équilibre des forces à l'état statique tel que:

En supposant linéaire la caractéristique de contrainte en première approximation donc

Si nous multiplions l'intégrale par

alors la relation doit être égale au moment de force

appliqué tel que:

que les ingénieurs nomment le "moment d'inertie de la barre par rapport au plan neutral" ou encore "moment d'inertie statique". Ce terme représente une mesure de la rigidité de la section transversale de la barre d'un point de vue géométrique, sans considérations des propriétés matérielles.

Substituant cette relation dans l'équation de contrainte de flexion, nous obtenons le "module de flexion":

La difficulté pour l'ingénieur consiste souvent à localiser mathématiquement le plan neutral...

ONDES TRANSVERSALES DANS LES SOLIDES

Les ondes sonores transversales ou "ondes S" (ondes de cisaillement) ne se produisent que dans les solides. Les couches successives du milieu se déplacent latéralement sans qu'il y ait de changement de volume, de densité ou de pression:

Le milieu se déforme de la même manière que vous pouvez déformer un livre ou une rame de papier posé à plat en poussant le haut horizontalement. Ni le livre, ni la rame ne changent de volume.

L'obtention de l'équation d'onde pour des ondes transversales est presque la même que pour une corde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire). Prenons trois minces couches planes contiguës du milieu (voir figure ci-dessous):

Le déplacement transversal des trois couches adjacentes est

. Les angles de déformation respectivement entre la couche b et la couche a, et, entre la couche c et la couche b sont au premier ordre en approximation de Taylor (cf. chapitre sur les Suites et Séries):

Si nous calculons les forces entre les couches pour un morceau de couche de surface S, nous obtenons:

où G est le module de glissement du milieu. La résultante des forces est alors:

La force de la tranche

sera égale à tout moment au produit de la masse du morceau de couche b, d'épaisseur dx, surface S et densité

, multipliée par l'accélération de la couche:

Ce que nous venons de déduire pour une valeur quelconque

, est aussi vrai pour n'importe quelle coordonnée:

Il s'agit donc d'une équation d'onde de la forme (rappel) d'une équation de Poisson (plus particulièrement il s'agit d'une équation de d'Alembert):

Les ondes transversales ne se propagent que dans les solides et de ce fait, nous ne pouvons pas les entendre à moins de les transformer en ondes longitudinales par des moyens mécaniques ou électriques. Les ondes transversales peuvent se transmettre le long d'une barre ou d'une tige quelconque ou même d'un fil métallique, et ceci sans besoin que ce dernier soit sous tension. Même si le fil métallique est sous tension, la vitesse des ondes de cisaillement ne dépend pas de la tension. C'est le module de cisaillement élevé de l'acier qui donne aux guitares électriques ce bruit caractéristique.

Un autre cas remarquable d'ondes transversales (de cisaillement) est celui des ondes sismiques. On y trouve des ondes sismiques de cisaillement et aussi des ondes longitudinales ou de pression. Les ondes de cisaillement se propagent dans la croûte terrestre à

et les ondes de pression à

. Lors d'un séisme ou d'une explosion atomique, les deux types d'onde seront produits, mais comme les ondes se propagent à des vitesses différentes, elles n'arriveront pas en même temps à des stations de détection lointaines. C'est à partir de cette différence des temps d'arrivée que l'on détermine la distance à l'épicentre. La direction est obtenue à partir de la direction des oscillations. Seules les stations suffisamment éloignées pour recevoir les deux types d'onde séparément peuvent faire la détermination de l'épicentre.

Pour résumer, nous avons pour les ondes longitudinales dans un solide (cf. chapitre de Musique Mathématique):

Pour les détails des développements mathématiques concernant les gaz et les solides, le lecteur devra se rendre dans le chapitre de Musique Mathématique (Acoustique).