
PRINCIPES
| MÉCANIQUE ANALYTIQUE
| MÉCANIQUE
CLASSIQUE
MÉCANIQUE
ONDULATOIRE | MÉCANIQUE
STATISTIQUE | THERMODYNAMIQUE
MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
34.
MÉCANIQUE
DES MILIEUX CONTINUS (1/3) |
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Au sens strict du
terme, la mécanique des
milieux continus (abrégée M.M.C.) est la branche
de la mécanique
qui a comme propos l'étude des mouvements, des déformations,
des champs de contraintes au sein de milieux continus.
Définition:
D1. Nous désignons par "milieu",
tout fluide (solide, liquide, gaz ou plasma selon ce que nous avons
vu en thermodynamique), déformable ou non, quand nous le considérons
d'un point de vue macroscopique, par opposition à une description
corpusculaire.
D2. Nous désignons
par "milieu continu", un
milieu tel que si M et M' appartiennent à un
milieu et si M' appartient au voisinage M, alors
quelle que soit la déformation subie par ce milieu, dM' appartiendra
au voisinage de dM.
Cette branche apparaît souvent comme
la science de l'ingénieur qui permet de comprendre et de décrire
le monde matériel qui nous entoure et les phénomènes courants qui
s'y déroulent: mouvements de liquides, de gaz, vol des avions, hélicoptères,
fusées, satellites, navigation des bateaux, déformations des corps
solides, structure interne des étoiles, etc. Par ses attaches
à la mécanique thermique (thermodynamique), elle s'étend jusqu'à
la thermique, l'énergétique, l'acoustique.
Prenant en compte les comportements
des milieux continus, elle englobe l'hydrodynamique, la dynamique
des gaz, l'élasticité, l'acoustique, la plasticité et
d'autres comportements. Elle est la clé de ce que nous
appelons aujourd'hui la "modélisation",
qui n'est autre que l'art d'analyser un phénomène physique
et de le décrire en termes mathématiques, ce qui
permet de l'étudier avec
la rigueur propre à cette discipline.
Cette section du site est
divisée en
4 parties principales: solides, liquides, gaz et plasmas (dont
certaines notions ont délibérément été développées
dans le chapitre de Musique Mathématique du site). Dans
chaque partie, nous introduirons les outils mathématiques
spécifiques à l'étude
de tel ou tel milieu continu avec une complexité (toute
relative) croissante. Cependant, par choix, il a été décidé d'exposer
les théorèmes avec
les outils mathématiques les plus simples possibles mais
tout en arrivant aux mêmes résultats. Ainsi, par exemple,
la démonstration
de l'équation
de Navier-Stokes qui prendrait 150 pages de développements
mathématiques
rigoureux n'en prend plus que 27. Il y a donc un avantage non
négligeable
aussi bien pour l'auteur que pour le lecteur à procéder
ainsi.
Remarque: Concernant les équations de Navier-Stokes,
nous donnerons aussi des exemples pratiques de celles-ci lors de
notre étude
de la météorologie (cf. chapitre
de Génie Marin
& Météo).
SOLIDES
Des atomes d'un même élément
ou d'éléments différents s'assemblent en des
édifices spécifiques. Cela conditionne la force de
leurs interactions électriques, qui définissent
la structure finale de la substance. Dans les conditions normales
sur
notre planète, la matière existe à l'état
solide, liquide, gaz ou plasma. Si les forces interatomiques sont
assez intenses, la collection de particules conserve sa forme et
son volume.
Cette propriété de conserver
la forme et le volume, ainsi que des propriétés élastiques
distinguent les solides.
PRESSIONS
Les notions de "compression"
et "contrainte" (que nous pouvons englober abusivement
dans le terme de "pression") sont de première importance
en mécanique
des fluides (solides inclus donc!). Il convient donc de définir
ces différents
types de pression avec un minimum de rigueur!
Définitions:
D1. Nous appelons "pression
de compression", notée traditionnellement P,
le rapport exprimé par la force F qui s'exerce
(s'appuie) sur un élément
de surface S à la perpendiculaire de celle-ci.
Ainsi, sous forme scalaire:
(34.1)
Remarque: Si une force agit sur une surface finie, nous
parlons alors aussi de "force répartie".
D2.
Nous appelons "pression de contrainte" le
rapport exprimé par la force F
qui tire sur un élément de surface S non
nécessairement à la perpendiculaire, force (de traction)
qui peut dès
lors être décomposée
en deux vecteurs respectivement tangent et normal. Ainsi, sous
forme
vectorielle:


Figure: 34.1 - Illustration des contraintes tangentielle et normale
où et
sont
respectivement la "contrainte normale" et
la "contrainte
tangentielle" (parfois indiquées avec un s en
indice pour indiquer que c'est par rapport à une surface).
Nous pourrions très bien
englober les deux définitions ci-dessus en une seule et travailler
avec les signes des forces. Mais par souci de cohérence avec ce
qui est enseigné dans les écoles, nous garderons ces deux définitions
qui s'identifient par définition par le fait que leurs forces sont
opposées par rapport à un élément de surface S.
Remarque: Nous donnerons la définition de la pression hydrostatique
plus loin lors de notre étude des liquides.
ÉLASTICITÉ DES SOLIDES
D'une manière ou d'une autre, une contrainte
de compression ou de traction peut déformer le triplet hauteur,
largeur, épaisseur d'un corps. S'attaquer directement à l'étude
d'un cas qui déforme ces trois paramètres est un peu long
et sera abordé plus bas dans la partie traitant de la
détermination
de l'expression du module de Young de cisaillement.
Mais il est utile, ne serait-ce que
du point de vue du vocabulaire de donner un exemple à partir du
cas le plus simpliste qui puisse être. Si nous imaginons un corps
élastique à une dimension (n'ayant ni hauteur, ni
largeur mais juste une longueur) sous l'application de deux forces
de contraintes
parfaitement
colinéaires mais antagonistes, nous pouvons imaginer que
le corps en considération s'allonge d'un certain facteur.
Définition: La "déformation
normale" sous des forces axiales et antagonistes
est donnée
par le rapport entre la variation de longueur du corps sur sa
longueur
initiale
(soit: l'allongement relatif) tel que:
(34.2)
Cette relation est une forme extrêmement
simplifiée de tous les types de déformations qui
peuvent exister. Effectivement,
lorsque l'on étudie de manière rigoureuse la déformation,
il faut prendre en compte le cumul des déformations et nous
parlons alors de "déformation
vraie longitudinale",
ou encore de "déformation rationnelle
longitudinale",
par la variation de longueur telle que:
(34.3)
soit après intégration:
(34.4)
Nous pouvons considérer en toute généralité que:
(34.5)
Il vient alors (le même raisonnement s'appliquant pour une surface
ou un volume):
(34.6)
Or nous retrouvons une expression bien connue des séries
de Taylor usuelles (cf. chapitre de Suites
Et Séries)
et nous pouvons alors écrire pour les petites déformations:
(34.7)
et nous retrouvons donc bien la définition naïve.
Nous voyons aussi que cette approximation revient aussi identiquement
à poser dès le début que:
(34.8)
qui est une écriture (approximation) que nous retrouverons dans
le chapitre de Thermodynamique lors de notre détermination de l'équation
d'état des liquides mais avec le volume V en lieu
et place de la longueur L.
Il y a nécessairement une relation
entre forces de compression et de traction et la variation
de dimension d'un corps. Cette relation est dépendante
de la structure atomique du matériau et devrait rigoureusement
faire appel à la
physique quantique pour être déterminée (nous nous
en abstiendrons cependant dans cette section du site). Nous observons
cependant
suivant les matériaux des caractéristiques diverses
qui intéressent
au plus haut point les ingénieurs:

Figure: 34.2 - Comportement sous contrainte/compression pour certains matériaux
Les figures ci-dessus représentent
la variation de la contrainte de compression en fonction de
la déformation
pour certains matériaux (habituellement nous représentons
ces caractéristiques
en inversant les axes).
- Les matériaux ductiles comme l'acier
doux (a), cessent d'être linéaires à la limite d'élasticité notée ci-dessus.
- Sous traction les polymères (b) caoutchouteux s'allongent d'abord
en dépliant leurs molécules (cf.
chapitre de Génie Des Matériaux) puis
en tirant sur les liaisons chimiques (cf.
chapitre de Chimie Quantique).
- La plupart des matériaux
biologiques (c) sont sous contrainte, même
lorsqu'ils ne sont pas déformés. La peau, par exemple,
est comme un gant de caoutchouc enveloppant le corps.
- L'élastine
(d) est habituellement renforcée de collagène dans les systèmes
biologiques comme les artères. Un tendon est fait principalement
de collagène.
Dans un cas plus général, les ingénieurs
ont pour habitude de définir les points représentés ci-dessous dans
leurs mesures d'essais de traction:

Figure: 34.3 - Définitions de termes importants pour l'étude des déformations
La caractéristique ci-dessus comporte
une partie linéaire comme c'est le cas d'une certaine classe
de matériaux. Cela signifie que la pente de la caractéristique
est une constante, qui reflète la déformation élastique
du matériau
sous l'effet de la contrainte croissante. Cette contrainte élastique
par unité de déformation définit le "module
de Young"
(il n'y a pas de composante tangentielle dans ce cas d'étude!):
(34.9)
cette relation étant valable aussi
bien en contraintes de compression qu'en traction. Nous reviendrons
sur cette relation dans les paragraphes suivants.
Remarques:
R1. La "rhéologie"
est une partie de la mécanique qui étudie la plasticité,
l'élasticité, la viscosité et la fluidité
caractéristiques des corps déformables. C'est une
branche très importante de l'ingénierie industrielle.
R2. Attention les calculs qui vont suivre sont relativement longs
et difficiles et ce même si nous avons essayé de les
simplifier au maximum. Cependant, tous les résultats nous
seront infiniment utiles que ce soit pour déterminer l'équation
de Navier-Stokes ou pour l'étude de la résistance
des matériaux (cf.
chapitre de Génie Mécanique)!
LOI
DE HOOKE
Étant donnés les définitions données
précédemment, nous obtenons la relation:
(34.10)
qui est par définition la "loi
linéaire de Hooke" en contrainte normale uniquement!

Figure: 34.4 - Illustration de l'effet d'une contrainte normale
Il est assez intuitif de supposer que
plus la force de liaison des atomes constituant le matériau étudié
est grande, plus grande est la force à appliquer pour éloigner
les atomes, donc pour étirer le corps. Les solides, qui
ont des grandes forces de liaisons, ont une haute température
de fusion (cela est approfondi dans le chapitre traitant de la
Chimie Quantique).
Si nous notons:
(34.11)
Nous nous retrouvons avec la loi que
nous connaissons:
(34.12)
qui est la force de rappel
des ressorts (cf. chapitre de Mécanique
Classique et Génie Mécanique).
Mais il existe plusieurs types de contraintes
avec leurs modules respectifs. Ainsi voici les définitions
des plus importantes dans la partie linéaire de leur caractéristique
avec le schéma explicatif associé:

Figure: 34.5 - Illustration de l'effet d'une contrainte de cisaillement
D1. Nous définissons le "module
de cisaillement" ou "module
de rigidité" par le rapport de la
composante normale de la force (pression de compression) à la déformation
de cisaillement:
(34.13)
où le numérateur est appelé "contrainte
de cisaillement" et où est "l'angle
de déformation". Généralement
cet angle étant petit, nous avons l'approximation:

S est la surface de la face supérieure
ou inférieure du corps déformé représenté ci-dessus.
D2. Nous définissons le "module
d'élasticité de
glissement", appelé également "module
de glissement"
ou encore "module
de Coulomb" par le rapport de la
composante tangentielle de la force (pression de contrainte) à la
déformation de cisaillement:
(34.14)
où est
le "coefficient
de Poisson" dont nous démontrerons l'origine
un peu plus bas dans le présent texte.
Remarquez que bien
que le numérateur de la définition précédente
soit une force divisée par une surface, il ne s'agit pas
d'une pression car la force est tangentielle (d'où le T en
indice de F) à la
surface.
C'est parce que toute force peut être décomposée
en une force normale et tangentielle (voir la définition
plus haut de la pression de compression et de la pression de contrainte)
que nous avons les deux définitions
distinctes ci-dessus. Dans la grande majorité des cas de
laboratoires, nous nous arrangeons pour avoir une force purement
tangentielle (d'où le T en indice de F)
ou purement normale (d'où le N en indice de F) à la
surface S.
Dans la pratique il n'est souvent fait usage que
de la deuxième définition et ce à un point
tel que cette dernière est souvent assimilée au "module
de rigidité" aussi...
Exemple:
Une chose intéressante (pour la parenthèse...) si nous
considérons
que les plaques tectoniques sont en cisaillement entre elles nous
avons alors d'après le module de glissement:
(34.15)
Or pour une plaque tectonique en frottement de longueur sur
une hauteur H:
(34.16)
et puisque l'énergie est une force multipliée par une distance,
il vient:
(34.17)
qui est typiquement l'énergie dégagée par le cisaillement de
la friction de deux plaques tectoniques dont les surfaces de contact
ont une hauteur moyenne H, une longueur initiale et
qui subissent une déformation de .
Typiquement pour un tremblement de terre du type Sumatra (2004),
nous avions:
(34.18)
Dès lors il vient:
(34.19)
en d'autres termes... mille fois l'énergie de la bombe nucléaire
d'Hiroshima.
Soit en notant M la magnitude sur l'échelle de Richter:
(34.20)
alors que les estimations donnent un intervalle de 6.2 à 8.5...
donc, nous ne sommes pas trop mauvais dans l'approche théorique.
Voilà pour un exemple non appliqué à l'industrie...
D3. Nous définissons le "module
de compressibilité omnidirectionnel", comme
le rapport de la contrainte volumique à la déformation
volumique (nous démontrerons
plus loin les développements mathématiques qui amènent
au dernier terme de la relation):
(34.21)
Nous pourrions
encore définir beaucoup de modules tels que le module de flexion,
de flexion pure, de flexion composée, de torsion… Nous étudierons
certains d'entre eux plus loin.
Pour
chacune des différentes définitions de modules
que nous pouvons envisager, nous pouvons définir une loi
de Hooke qui lui est adapté. Cependant,
tout cela peut paraître assez arbitraire, mais au fait il n'en
est rien car toutes les définitions de modules que nous
avons vues précédemment sont un cas particulier
d'une relation mathématique
généralisée qui sera démontrée
sur ce site dans un proche avenir.
MODULE
DE GLISSEMENT
La condition nécessaire pour qu'un solide
rigide soit en équilibre statique est comme nous l'avons
vue dans le chapitre de Mécanique
Classique, que la résultante des forces que l'extérieur
exerce sur le corps soit nulle:
(34.22)
Cependant, quand un solide subit des
contraintes et qu'il peut en subir, il peut y avoir déformation
qui peut être suivie d'une rupture ou d'une modification similaire.
Plus, précisément, il y a "déformation" d'un corps (non
nécessairement solide) quand les distances entre certains points
du corps ont changé.
Lorsque dans l'étude théorique
de l'élasticité,
nous excluons les modifications du corps étudié telles que les
ruptures, nous disons que nous nous restreignons aux "déformations élastiques".
La géométrie et la physique des déformations
peuvent être complexes. Leur description se déduit de celle d'un
certain nombre de déformations élémentaires dont nous préciserons
plus loin les caractéristiques.

Figure: 34.6 - Cube sous contraintes normales
Les forces scalaires de contraintes
de traction engendrent
sur leurs faces respectives des tensions "normales" (perpendiculaires
donc!):
(34.23)
En admettant que la force agit
seule, la déformation unitaire est par définition:
(34.24)
Lorsqu'un parallélépipède est soumis
à un effort de traction ,
il y a intuitivement contraction des dimensions dans la direction
x.
Contraction observable de façon tout aussi intuitive pour .
Nous avons alors si agit
seule:
(34.25)
où
le
signe "-" indique une contraction et où est
un coefficient appelé "coefficient
de Poisson".
Si agit
seule:
(34.26)
En acceptant le principe de superposition
des forces, l'effet produit par plusieurs forces agissant simultanément
est égal à la somme des effets produits par chacune des
forces superposées
agissant séparément. Dès lors:
(34.27)
Ceci est admissible, étant donné la
linéarité des équations unissant la déformation unitaire et la tension
normale. Nous obtenons alors:
(34.28)
En ayant procédé de manière
identique pour les deux autres directions OY et
OZ.
À partir des relations précédentes,
il est aisé de trouver les équations unissant à
:
(34.29)
Soit un matériau soumis à des contraintes
diverses. À l'intérieur de celui-ci, nous opérons,
par la pensée,
l'extraction d'un parallélépipède rectangle:

Figure: 34.7 - Parallélépipède rectangle de base pour l'étude théorique
Les
faces de celui-ci sont sollicitées par des contraintes
normales et
tangentielles (sur
le schéma ci-dessous le solide est en équilibre
statique). Voici la face jaune:

Figure: 34.8 - Illustration générique d'un matériau sous contraintes normales et tangentielles
Les contraintes normales et
de tangentielles représentent
les actions du parallélépipède de matériau ôté mentalement sur les
faces de l'élément examiné.
Il est intéressant (dans le sens que
cela facilite l'analyse) de rechercher les contraintes qui existent
dans un plan faisant un angle
avec l'axe des x.
Pour ce faire, nous imaginons un triangle de matière ayant un angle
au sommet enlevé hors de la matière mentalement. Nous négligerons
l'effet de la pesanteur.
Soit:

Figure: 34.9 - Recherche des expressions des contraintes dans un plan oblique
Posons:
(34.30)
et dz étant
l'épaisseur du solide (non représenté sur
le schéma ci-dessus).
Sur la longueur ds,
des contraintes apparaissent et se décomposent en contraintes
normales
et
tangentielles (ces
dernières étant aussi appelées "contraintes
de cisaillement" ou "contraintes
de flexion" ).
Le problème consiste à établir les
relations entre et
et
.
Les conventions de signes sont:
- Les contraintes exerçant
une traction sont positives alors que les tensions exerçant
une compression sont négatives.
- Les contraintes ayant
tendance à faire tourner le parallélépipède dans le sens des aiguilles
d'une montre, sont positives. Dans le sens antihoraire,
elles seront négatives.
L'équation d'équilibre
de projection sur la direction ON est:

(34.31)
Rappelons que:
(34.32)
Comme
et
nous
avons:
(34.33)
comme:
et
(34.34)
alors:
(34.35)
Finalement:
(34.36)
Conclusion: En fonction
de et
,
il est possible de calculer la tension normale qui
existe sur une surface plane quelconque d'angle .
L'équation d'équilibre
de projection sur la direction de OT est:
(34.37)
comme
alors
finalement:
(34.38)
Conclusion: En fonction de et
,
il est possible de calculer la tension
tangentielle qui existe sur une surface plane quelconque d'angle
.
Donc au final, avec les deux relations:
(34.39)
donnent les valeurs des contraintes normales et tangentielle
dans une coupe quelconque en fonction des contraintes normales
et tangentielle aux axes primitifs.
Soit, à présent, la situation suivante:

Figure: 34.10 - Mise en situation pour revenir au cas tridimensionnel
Il s'agit à gauche d'un bloc de matière dont
l'on extrait virtuellement un petit plan de forme carrée (en
bleu sur la figure de gauche) que
l'on va étudier
en ne prenant en premier lieu qu'un des triangles rectangles
le composant pour ensuite étudier l'ensemble.
Avant la sollicitation,
nous considérons
donc le losange abcd qui est en fait initialement
un carré à suivant
la direction OX (schéma perspective suite à la
demande d'un lecteur):

Figure: 34.11 - Situation initiale
Pendant la sollicitation,
ce losange se déforme sous l'action des contraintes tangentielles
décomposées
en contraintes de cisaillement pures et devient le losange a'b'c'd'
(schéma perspective suite à la demande d'un lecteur):

Figure: 34.12 - Situation finale
La diagonale bd est alors étendue
et la diagonale ac est
comprimée. L'angle
en a qui valait vaut
après déformation (en a').
De même, l'angle en b qui valait vaut
à présent (Figure
A).
Remarque: L'angle 
est appelé " angle de glissement"
et nous le considérerons comme faible.
Nous pouvons nous rendre compte de
l'effet de la déformation en isolant le losange et en lui
faisant subir une rotation de .
Après déformation, nous avons la forme indiquée
par les lignes en pointillés (Figure B).
L'angle de glissement étant petit,
nous avons:
(34.40)
Donc représente
le glissement du côté ab par
rapport à dc divisé par
la distance entre les deux plans ab et dc.
L'analyse qui vient d'être
effectuée
reste valable quel que soit le corps solide
ou liquide considéré.
Soit, à présent, le cas d'un solide élastique obéissant à la
loi de Hooke. Le problème va consister à établir la relation
entre l'angle de glissement et
les contraintes tangentielles agissant
sur les côtés du losange.
Soit le triangle rectangle
oab.
L'allongement du côté
et le raccourcissement du côté oa pendant
la déformation s'obtiennent à partir des équations
suivantes:
(34.41)
Comme:
(34.42)
Nous
avons:
et
(34.43)
Donc:
(34.44)
alors la longueur oa' diminue si augmente
.
(34.45)
donc ob' augmente si augmente.
Pour l'angle triangle rectangle oa'b',
nous avons:
(34.46)
Or:
(34.47)
Comme (
est petit) nous avons:
(34.48)
Soit:
(34.49)
Finalement, nous avons la
relation donnant le "module de glissement",
ou "module de Coulomb",
que nous avions donné plus haut sans démonstration:
(34.50)
MODULE
DE COMPRESSIBILITÉ
Nous reste
encore à voir la provenance mathématique de l'expression d'un autre
module tout aussi important que le module en cisaillement: le module
de compressibilité .
Soient les
équations déterminées dans l'étude
précédente:
(34.51)
Si les forces
appliquées sur le cube sont égales en intensité, nous
avons:
(34.52)
Ce qui nous
donne:
(34.53)
En sommant
les termes selon le principe de superposition linéaire des forces:
(34.54)
Or:
(34.55)
Finalement, nous trouvons pour la variation relative de volume
d'une barre après déformation:
(34.56)
ce que nous
notons également:
(34.57)
ou encore:
(34.58)
avec étant
par définition le "coefficient
de compressibilité".
Nous définissons également le "module
d'élasticité isostatique" ("bulk
modulus" en anglais) par:
(34.59) Remarquons que lorsque le coefficient de Poisson vaut
environ 0.33 alors le K vaut E (les matériaux
métalliques sont proches de ce cas) et lorsque le coefficient
de Poisson tend vers 0.5 alors K tend vers l'infini et
donc la matériau est incompressible (les élastomères
s'approchent d'un comportement incompressible).
MODULE
DE FLEXION
Pour l'étude
du module de flexion considérons la situation ci-dessous:

Figure: 34.13 - Exemple d'une barre en flexion
La figure
de gauche ci-dessus représente un matériau à l'état statique. La
figure de droite représente le même matériau mais soumis à un moment
de force couplé M.
Comme le
matériau subit à sa surface à la fois une compression et à l'opposé
une tension, il doit donc exister une frontière (une ligne ou un
plan) ou aucune contrainte n'existe. Cette ligne ou ce plan (c'est
rare que nous ayons affaire à un matériau ayant uniquement deux
dimensions…) est appelé "plan
neutre". Ce plan neutre va nous servir de référence
pour définir la contrainte de flexion.
Maintenant
que ce plan est défini, considérons les figures ci-dessous:

Figure: 34.14 - Illustration du plan de flexion pour déterminer le module de flexion
Soir
R le rayon de courbure de la barre (cylindre, plaque, parallélépipède,
…). La déformation sur le segment est
définie par la relation:
(34.60)
Les
longueurs mn et ij sont définies par:
(34.61)
et la longueur
par:
(34.62)
ainsi
l'expression de la déformation devient:
(34.63)
ce
qui indique que la déformation varie de façon linéaire avec
y.
Nous pouvons
définir le module de flexion par:
(34.64)
Considérons
l'état statique de la barre. La somme des contraintes de
tractions et compressions sont alors nulles. Effectivement, nous
le voyons
bien si nous considérons le schéma ci-dessous:

Figure: 34.15 - Agrandissement sur le plan de flexion
Considérons
la
force agissante sur un élément de surface dS.
Nous pouvons considérer l'équilibre des forces à l'état statique
tel que:
(34.65)
En substituant
l'expression de la contrainte obtenue précédemment:
(34.66)
En supposant
linéaire la caractéristique de contrainte en première approximation
donc .
En simplifiant
un tant soit peu:
(34.67)
Si nous
multiplions l'intégrale par alors
la relation doit être égale au moment de force
appliqué tel que:
(34.68)
En substituant
par l'expression de la contrainte obtenue précédemment:
(34.69)
Ce qui nous
amène à définir le terme:
(34.70)
que
les ingénieurs nomment le "moment
d'inertie de la barre par rapport au plan neutral" ou
encore "moment d'inertie statique". Ce terme représente
une mesure de la rigidité de la section transversale de la barre
d'un point de vue géométrique, sans considérations des propriétés
matérielles.
Substituant
cette relation dans l'équation de contrainte de flexion, nous obtenons
le "module de flexion":
(34.71)
La difficulté
pour l'ingénieur consiste souvent à localiser mathématiquement
le plan neutral...
ONDES TRANSVERSALES DANS LES SOLIDES
Les ondes sonores transversales ou "ondes
S" (ondes de cisaillement) ne se produisent que dans
les solides. Les couches successives du milieu se déplacent latéralement
sans qu'il y ait de changement de volume, de densité ou de pression:

Figure: 34.16 - Exemple d'onde de cisaillement
Le milieu se déforme de la même manière que vous pouvez déformer
un livre ou une rame de papier posé à plat en poussant le haut
horizontalement. Ni le livre, ni la rame ne changent de volume.
L'obtention de l'équation d'onde pour des ondes transversales
est presque la même que pour une corde (cf.
chapitre de Mécanique Ondulatoire). Prenons trois
minces couches planes contiguës du milieu (voir figure ci-dessous):

Figure: 34.17 - Agrandissement sur trois couches d'une onde de cisaillement
Les centres des couches se situent en avec:
(34.72)
Le déplacement transversal des trois couches adjacentes est .
Les angles de déformation respectivement entre la couche
b et la couche a, et, entre la couche c et
la couche b sont au
premier ordre en approximation de Taylor (cf.
chapitre sur les Suites et Séries):
(34.73)
Si nous calculons les forces entre les couches pour un morceau
de couche de surface S, nous obtenons:
(34.74)
où G est le module de glissement du milieu. La résultante
des forces est alors:
(34.75)
La force de la tranche sera égale à tout
moment au produit de la masse du morceau de couche b, d'épaisseur dx,
surface S et densité ,
multipliée par l'accélération de la couche:
(34.76)
Nous avons alors:
(34.77)
Ce qui donne:
(34.78)
Ce que nous venons de déduire pour une valeur quelconque ,
est aussi vrai pour n'importe quelle coordonnée:
(34.79)
et la vitesse de propagation des ondes transversales est donc:
(34.80)
Le rapport a
les unités du carré d'une vitesse:
(34.81)
Il s'agit donc d'une équation d'onde de la forme (rappel) d'une équation
de Poisson (plus particulièrement il s'agit d'une équation de d'Alembert):
(34.82)
avec:
(34.83)
Les ondes transversales ne se propagent que dans les solides
et de ce fait, nous ne pouvons pas les entendre à moins de les
transformer en ondes longitudinales par des moyens mécaniques ou électriques.
Les ondes transversales peuvent se transmettre le long d'une barre
ou d'une tige quelconque ou même d'un fil métallique, et ceci sans
besoin que ce dernier soit sous tension. Même si le fil métallique
est sous tension, la vitesse des ondes de cisaillement ne dépend
pas de la tension. C'est le module de cisaillement élevé de l'acier
qui donne aux guitares électriques ce bruit caractéristique.
Un autre cas remarquable d'ondes transversales (de cisaillement)
est celui des ondes sismiques. On y trouve des ondes sismiques
de cisaillement et aussi des ondes longitudinales ou de pression.
Les ondes de cisaillement se propagent dans la croûte terrestre à et
les ondes de pression à .
Lors d'un séisme ou d'une explosion atomique, les deux types d'onde
seront produits, mais comme les ondes se propagent à des vitesses
différentes, elles n'arriveront pas en même temps à des stations
de détection lointaines. C'est à partir de cette différence des
temps d'arrivée que l'on détermine la distance à l'épicentre.
La direction est obtenue à partir de la direction des oscillations.
Seules les stations suffisamment éloignées pour recevoir les deux
types d'onde séparément peuvent faire la détermination de l'épicentre.
Pour résumer, nous avons pour les ondes longitudinales dans un
solide (cf. chapitre de Musique Mathématique):
(34.84)
et pour les ondes transversales:
(34.85)
Pour les détails des développements mathématiques
concernant les gaz et les solides, le lecteur devra se rendre dans
le chapitre de Musique Mathématique (Acoustique).
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