
PRINCIPES
| MÉCANIQUE ANALYTIQUE
| MÉCANIQUE
CLASSIQUE
MÉCANIQUE
ONDULATOIRE | MÉCANIQUE
STATISTIQUE | THERMODYNAMIQUE
MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
30.
MÉCANIQUE
CLASSIQUE RATIONNELLE (2/2) |
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
MOUVEMENTS RELATIFS ET FORCES D'INERTIES
Voyons maintenant des développements qui vont nous permettre
d'introduire un élément très important et
utile en mécanique des fluides (cf.
chapitre de Mécanique Statistique) et en météorologie
(cf. chapitre de Génie Marin & Météo).
Considérons un référentiel
fixe X, Y, Z et un référentiel mobile x, y, z.
Ils sont donc en mouvement relatif et nous envisageons une rotation
possible du référentiel mobile. Il s'agit d'exprimer, la vitesse,
l'accélération d'un point P de l'espace au moyen des
coordonnées du référentiel fixe (coordonnées
absolues) à partir de celles attachées au référentiel mobile (coordonnées
relatives) et du mouvement d'entraînement du référentiel mobile.
Nous définissons dans notre étude:
vecteur
de position de P par rapport au référentiel mobile
vecteur
de position de P par rapport au référentiel fixe
vecteur
de position de O par rapport à l'origine
du référentiel
fixe
vitesse
absolue de P par rapport au référentiel
fixe (supposé inconnue)
accélération
absolue de P par rapport au référentiel
fixe (supposé inconnue)
vitesse
relative de P par rapport au référentiel
mobile (supposé connue)
accélération
relative de P par rapport au référentiel
mobile (supposé connue)
vitesse
d'entraînement au point O du mouvement relatif du référentiel
mobile par rapport au référentiel fixe (supposé connue)
accélération
d'entraînement du référentiel mobile (supposé connue)
vitesse
angulaire du référentiel mobile

Figure: 30.1 - Exemple de référentiel en mouvement et en rotation par
rapport à un référentiel fixe
la position du point P est
donc donnée par la "relation de composition
des positions":
(30.1)
La vitesse absolue se calcule comme suit:
(30.2)
Le dernier terme est la contribution
due à la rotation du référentiel mobile. Il s'agit maintenant d'exprimer
la valeur de cette contribution en envisageant des rotations d'angle
autour
de chacun des axes, successivement:


(30.3)
Nous obtenons ainsi les vecteurs élémentaires
figurant
les déplacements des extrémités des vecteurs-unités .
Nous les introduisons dans l'expression ci-dessous qui devient,
après réarrangement des termes:
(30.4)
par définition du produit
vectoriel. La vitesse absolue du point P s'exprime
donc selon la "loi de composition
des vitesses":
(30.5)
nous constatons que dans
le cas particulier où le référentiel mobile ne
subit qu'une translation ,
nous trouvons l'équation caractéristique
de la transformation de Galilée et nous disons alors
que les référentiels sont en "translations
relatives".
Remarque: Si nous nous concentrons uniquement sur les termes de
vitesse d'entraînement et de rotation du référentiel
mobile nous obtenons alors ce que nous appelons la "formule
de Bour".
En procédant de la même façon que pour
la recherche de la vitesse absolue il vient, en dérivant
la relation précédente:
(30.6)
avec:
(30.7)
Si nous regroupons les termes:
(30.8)
Si nous regroupons les termes:
(30.9)
Si nous regroupons les termes:
(30.10)
et nous avons:
(30.11)
Donc:
(30.12)
Finalement:
(30.13)
mais (!) rappelons-nous que:
(30.14)
ainsi:
(30.15)
L'accélération absolue ou la "loi de
composition des accélérations" s'exprime
alors comme:
(30.16)
Le
terme:
(30.17)
est
appelé "accélération
de Coriolis" (~1820) et le terme est
simplement l'expression de l'accélération centripète
dans ce cas particulier.
La loi de Newton doit
comporter tous les termes contenus dans l'équation générale ci-dessus.
Pour un observateur situé dans le système fixe, cette loi s'écrit
alors:
(30.18)
où l'on a en premier terme à droite
de l'égalité la force d'entraînement, en troisième la force de Coriolis
et en dernier la force centripète.
Si le point P est lié rigidement au référentiel mobile, un observateur dans ce
système ne perçoit aucun mouvement, par conséquent aucune accélération
.
Nous avons donc affaire à un système de forces en équilibre. Le
problème de dynamique est alors ramené à un problème de statique.
C'est le "principe d'Alembert".
Exemple:
Etant donné que pratiquement toutes
nos observations sont faites sur Terre, c'est-à-dire dans un référentiel
mobile dans l'Univers, la force de Coriolis peut y être mise en
évidence.
L'étude du mouvement d'un corps par
rapport à la Terre est l'une des applications les plus intéressantes
de l'équation démontrée précédemment. La Terre a une vitesse angulaire
(supposée constante!) dont la direction est celle de l'axe de rotation
de la Terre. Appelons l'accélération
de la pesanteur mesurée en un point A à la surface de la Terre si celle-ci ne tournait pas. correspond
alors à .
En tirant l'accélération d'entraînement et relative nous
obtenons l'accélération mesurée par un observateur en mouvement
avec la Terre:
(30.19)
où
est
négligé dans le cas de la rotation de la Terre.
Nous considérons d'abord le cas d'un
corps initialement au repos, ou se déplaçant très lentement
de sorte que le terme de Coriolis est nul ou négligeable
comparé au dernier
terme. L'accélération que nous mesurons dans ce cas
est appelée
"accélération effective" de
la pesanteur, et nous la désignons
par .
Par suite:
(30.20)
En supposant que la Terre est une sphère
(en fait sa forme s'en écarte légèrement) et qu'il n'y a pas d'anomalies
locales, nous pouvons estimer que est
dirigé vers le centre de la Terre. Le deuxième terme étant
l'accélération centrifuge elle est dirigée vers l'extérieur.
Puisque est
la somme de et
de l'accélération centrifuge, la direction de ,
appelée la "direction verticale",
s'écarte en réalité légèrement
de la direction radiale; elle est expérimentalement
déterminée
par un fil à plomb.
Les liquides se maintiennent toujours en équilibre avec
leur surface perpendiculaire à .
L'ordre de grandeur de l'accélération
centrifuge est:
(30.21)
où r est le rayon de la Terre.
L'accélération centrifuge décroît de l'équateur
aux pôles car le
rayon de la Terre n'est pas constant (la Terre est aplatie aux
pôles).
Cette variation de l'accélération est toujours très
petite quand nous la comparons avec la pesanteur mais
elle explique cependant la plupart des variations observées
de la valeur de la pesanteur avec la latitude.
Le
gradient de l'accélération centrifuge a pour effet de déplacer légèrement
la direction radiale d'un corps qui tombe en chute libre: le déplacement
est vers le Sud dans l'hémisphère Nord et vers le Nord dans l'hémisphère
Sud.
Considérons ensuite le terme de Coriolis.
Dans le cas de la chute d'un corps, la vitesse est
dirigée vers le bas. D'autre part, comme se
trouve le long de l'axe de la Terre , est
dirigé vers l'Ouest. Le terme de Coriolis est
donc dirigé vers l'Est; le corps qui tombe sera dévié dans cette
direction.
Pour un corps tombant dans un plan
parallèle et tangent à la surface de la Terre, nous avons:

Figure: 30.2 - Illustration de l'effet de la force de Coriolis avec un projectile
C'est
exactement ce phénomène que l'on observe dans le cas des cyclones
(nous y reviendrons plus en détail dans notre étude de la météorologie
dans le chapitre de Génie Météo). Une zone atmosphérique
dépressionnaire (de faible pression relative) donnerait des courants
atmosphériques (vents) convergents vers la dépression si la Terre
ne tournait pas autour de son axe.
 
Figure: 30.3 - Génération des cyclones de par la force de Coriolis
La force de Coriolis due à la rotation de la Terre dévie
donc les vents Nord-Sud en direction de l'Ouest et les vents Sud-Nord
vers
l'Est pour un observateur se situant au Pôle Nord. Nous observons
dès lors la formation de cyclones tournants dans le sens contraire
des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord et inversement
dans l'hémisphère Sud (à cause de la direction du vecteur dans
cette partie de l'hémisphère).
Comme second exemple, considérons les
oscillations d'un pendule. Pour des oscillations de faible amplitude,
nous pouvons supposer que le mouvement du pendule se fait selon
une trajectoire horizontale. Si l'on fait osciller le pendule initialement
dans la direction Nord-Sud, la force de Coriolis va dévier le
mouvement du pendule vers la droite pour un observateur situé au
Pôle Nord.
En d'autres termes, le pendule tourne dans le sens des aiguilles
d'une montre dans l'hémisphère Nord et dans le sens contraire
dans l'hémisphère Sud. Cet effet observable est nul à l'équateur
(parallélisme parfait entre et
)
et maximale aux Pôles.
Cet effet fut démontré de façon spectaculaire
par le physicien français Jean Léon Foucault, quand en 1851
il suspendit un pendule de 67 mètres de long à l'intérieur
du Dôme des Invalides.
A chaque oscillation, le pendule faisait tomber du sable sur un
cercle, ce qui démontrait expérimentalement que
son plan d'oscillation est de par
heure. L'expérience de Foucault est une preuve frappante
de la rotation de la Terre. Même si la Terre était toujours
couverte de nuages, cette expérience aurait montré aux
physiciens que la Terre tournait.
Comme
troisième exemple parlons des tourbillons que l'on peut observer
dans la baignoire ou le lavabo. Ce n'est qu'une légende
que ce dernier tourne différemment en fonction des
hémisphères.
Car la vitesse et la masse mises en jeu sont beaucoup trop
faibles pour être observables dans de tels objets.
Au fait, le sens de rotation est dû aux imperfections (aspérités)
du siphon. Par contre, si vous allez en équateur, il y a
des étudiants
qui se font un plaisir de vous montrer que l'effet existe avec
une petite expérience mise en place avec une allumette.
En se déplaçant
de dix mètres, ils vous montreront que le sens de rotation
du siphon change en fonction de l'hémisphère dans
lequel on se trouve!
THÉORÈMES
DE KÖNIG
Nous avons vu jusqu'à maintenant,
comment calculer le moment cinétique ou l'énergie
cinétique d'un système dynamique par rapport à
un unique référentiel (soit galiléen, soit
barycentrique)
Les théorèmes de König
donnent eux les moments cinétiques et l'énergie cinétique
totale d'un système dynamique par rapport à un référentiel
galiléen
et barycentrique 
PREMIER
THÉORÈME DE KÖNIG
Utilisons pour démontrer
ce théorème le moment cinétique d'un corps
de masse M (l'exemple étant toujours
facilement extensible à un système
dynamique discret ou continu de matière).
Exprimons le moment cinétique
d'un élément
du corps solide par rapport à l'origine O du référentiel galiléen
(noté:
par la suite):
(30.22)
Exprimons le moment cinétique
dans
par rapport à son centre de masse G (noté: ):
(30.23)
Le référentiel
étant en translation par rapport à ,
nous avons:
(30.24)
Sans oublier que:
(30.25)
que nous insérons dans l'expression
du moment cinétique:
(30.26)
De par la propriété du
produit vectoriel, nous avons:
(30.27)
Étudions maintenant la valeur
que prend chacun des quatre termes de la relation précédente.
Nous savons par la définition du centre de masse que
(dans un cadre non relativiste):
(30.28)
d'où:
(30.29)
et également:
(30.30)
Finalement, il vient:

(30.31)
Donc finalement:
(30.32)
Ce théorème qui se rapporte
à un point fixe permet l'application plus aisée du
théorème du moment cinétique.
DEUXIÈME
THÉORÈME DE KÖNIG
Utilisons pour démontrer ce
théorème l'énergie cinétique d'un corps
de masse M (l'exemple étant toujours
facilement extensible à un système
dynamique discret ou continu de matière).
Exprimons l'énergie cinétique
d'un élément
du corps solide par rapport à l'origine O du
référentiel galiléen
(noté:
par la suite):
(30.33)
Exprimons l'énergie
cinétique dans
par rapport à son centre de masse G (noté: ):
(30.34)
Avec de même que précédemment:
(30.35)
Il vient dès lors:
(30.36)
et donc:

(30.37)
et comme pour le moment cinétique,
de par la définition du centre de masse, nous avons:
(30.38)
d'où le deuxième théorème
de König:
(30.39)
MOUVEMENTS
OSCILLANTS
Le mouvement oscillatoire est le mouvement d'un
corps qui va et vient de part et d'autre de sa position d'équilibre.
Il existe une quantité incroyable de phénomènes physiques de ce
genre. Nous allons traiter dans cette section les grands classiques à partir
desquels les développements sur des phénomènes plus complexes
s'inspirent.
Nous étudierons
dans l'ordre les pendules des plus simples aux plus complexes et
utiliserons souvent des résultats antérieurs pour en déterminer
de nouveaux.
Nous retreindrons notre étude des mouvements
oscillatoires aux pendules. Les autres viendront au fur et à mesure
dans leurs chapitres respectifs.
Il existe neufs pendules très connus qui sont
les suivants (ordre dans lequel nous les étudierons): pendule de
Newton, pendule simple, pendule physique, pendule élastique, pendule
conique, pendule de torsion, pendule de Foucault, pendule de Huygens.
PENDULE
DE NEWTON
Nous n'allons pas trop nous étendre
à décrire le pendule de Newton. Une photo suffira:

Figure: 30.4 - Pendule de Newton
Le principe de fonctionnement est le
suivant:
Si vous lancez une bille, à l'extrémité
une seule et unique bille se déplacera. Cela semble logique et cohérent
d'après la conservation de la quantité de mouvement qui découle
de la conservation de l'énergie comme nous l'avons déjà vu.
Un peu plus curieux, lorsque vous lancez
initialement deux billes, ce sont deux billes qui se déplacent
à l'autre extrémité!
La démonstration est simple et le fonctionnement se base sur une
condition très simple que nous allons déterminer pour le cas particulier
de deux billes (c'est toujours le même principe pour un nombre de
billes supérieur):
Soient les
quantités de mouvement des deux billes initiales et celles
des
deux billes se situant à l'autre extrémité. Nous
avons donc:
(30.40)
Nous avons pour l'énergie cinétique:
(30.41)
après regroupement et simplification de chacune des deux relations
précédentes:
(30.42)
De la deuxième relation ci-dessus nous avons:
(30.43)
En divisant
par la première il reste:
(30.44)
Nous en tirons:
(30.45)
Injectons la première de ces deux relations
dans:
(30.46)
Nous avons alors:
(30.47)
Ce qui nous donne en réarrangeant:
(30.48) Au final en procédant de même pour l'autre vitesse finale, nous
déduisons
l'expression des deux vitesses après le choc élastique:
(30.49)
Hypothèse: Supposons maintenant qu'en
prenant une seule des billes avec ,
il y en ait deux qui partent à l'autre extrémité tel
que:
(30.50)
et dans cette dernière situation considérons le cas où toutes
les billes du pendule de Newton ont la même masse (cas correspondant à celui
que l'on trouve dans le commerce). Alors:
(30.51)
Nous voyons que notre hypothèse initiale
est fausse: si à masses égales,
une seule bille est lancée
alors,
à l'autre extrémité, une seule bille partira de par
la conservation de la quantité de mouvement (hypothèse
des "chocs élastiques")!
Par contre, si nous lançons deux billes
dans un pendule de Newton composé de masses identiques nous avons
après simplification des équations:
(30.52)
deux billes qui partent à l'autre extrémité.
Il suffit de procéder à des raisonnements identiques pour 3, 4,
5, ... billes.
C.Q.F.D.
PENDULE
SIMPLE
En physique, le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l'extrémité d'un
fil sans masse, inextensible et oscillant sous
l'effet de la pesanteur. Il s'agit du modèle de "pendule
pesant" le plus simple. Il est parfois appelé "pendule
de gravité idéal".
Soit, T la
période de temps nécessaire pour qu'un pendule simple (voir figure
ci-dessous) parcoure un cycle complet et que l'on peut écrire:
(30.53)
qui est donc l'inverse de la "fréquence
propre" du
système en l'absence de frottement.

Figure: 30.5 - Pendule simple
Soit L la longueur du pendule, et soit:
(30.54)
sa vitesse angulaire. La vitesse de la masse est alors:
(30.55)
La somme de l'énergie cinétique du pendule et de
son énergie potentielle de pesanteur, mesurée à partir
du point de suspension du pendule (afin que quand l'énergie
potentielle soit nulle), vaut dans le cas sans frottement et si
le pendule n'est pas forcé:
(30.56)
Donc l'énergie totale étant constante, sa dérivée
par rapport au temps est nulle. Nous avons alors:
(30.57)
Nous divisons alors par ce
qui exclut la solution où le
pendule est à l'arrêt. Nous avons alors:
(30.58)
et du point de vue des unités, il est d'usage de noter
cela sous la forme de l'équation différentielle non
linéaire du second ordre suivante:
(30.59)
avec donc:
(30.60)
Qui a une interprétation physique dans le
sens où lorsque , nous avons:
(30.61)
C'est pour cela que c'est considéré comme
la pulsation initiale. Remarque: Si la pulsation initiale dépend du temps, le
problème se ramène à ce qu'il est d'usage
d'appelée le "pendule adiabatique".
Pour de petites oscillations, nous savons que par développement
de Taylor du sinus (cf. chapitre de Suites
Et Séries), l'équation
différentielle peut s'écrire:
(30.62)
Dont une solution triviale est:
(30.63)
Et nous en déduisons aussi la fréquence et donc
la période d'oscillation:
(30.64)
Donc la période de balancement est indépendante
de l'amplitude ce qui explique pourquoi le nombre de balancements
par minute
d'un pendule simple est constant, quelle que soit
l'ardeur que nous mettions à le faire balancer... Nous parlons
alors "d'isochronisme".
Si:
(30.65)
où est
la position du centre de masse de l'objet et N le
nombre de maillons éventuels que l'on aurait pris pour
la longueur
L de
la chaîne et P étant
le pas de la chaîne.
Ce qui nous donne finalement:
(30.66)
Remarquez que notre équation différentielle
peut aussi se raméner à un système d'équations
différentielle
du premier ordre (transformation utile pour de nombreux logiciels
informatiques comme Maple et MATLAB par exemple):
(30.67)
PENDULE
PHYSIQUE
Nous appelons
"pendule physique" un solide
quelconque pouvant osciller librement dans la pesanteur, autour
d'un axe A,
avec une petite amplitude ( ).
Son mouvement
est déterminé par l'équation suivante:
(30.68)
où M est
le moment de rappel et le
moment d'inertie du pendule par rapport à son axe d'appui A.
En faisant
une analyse des forces sur notre pendule nous obtenons une autre
relation pour
M:
(30.69)
pour et
où d est
la distance de l'axe d'appui du pendule à son centre de masse. Le
terme négatif apparaît ici pour exprimer le fait que la période
diminue avec le temps. Comme l'angle est
petit, nous avons remplacé et
sans erreur trop grave par le premier terme de son développement
en série de Taylor:
(30.70)
Donc le
moment de rappel peut s'écrire:
(30.71)
d'où l'équation différentielle du mouvement:
(30.72)
Nous avons
vu dans les mouvements harmoniques oscillants que nous obtenions
la position angulaire d'une masse par la relation:
(30.73)
ce qui nous
permet d'écrire:

(30.74)
et par simplification
nous obtenons:
(30.75)
d'où:
(30.76)
En exprimant
le moment d'inertie au
moyen du théorème de Steiner en déduisons que:
(30.77)
et en introduisant
encore le rayon de giration k:
(30.78)
d'où:
(30.79)
Soit x la
position de l'axe de rotation
A mesurée
par rapport à une origine quelconque et a la
position du centre de gravité par rapport à la même origine nous
avons:
(30.80)
tel que représenté ci-dessous:

Figure: 30.6 - Pendule physique dit "pendule d'inertie"
d'où:
(30.81)
ce qui nous
donne aussi pour la période:
(30.82)
comme la
racine nous gêne nous élevons le tout au carré, ce qui nous donne
finalement
(30.83)
Comme nous
connaissons x et
T,
cette relation nous permettrait à partir du tracé d'un graphique
de déterminer la position de G et
k.
Ainsi, en portant sur un graphique
en
fonction de x:
Figure: 30.7 - Illustration de l'asymptote vertical pour la détermination du centre
d'inertie
La courbe obtenue présente une asymptote
verticale ( )
pour et
deux minima.
En dérivant par
rapport à x et
en annulant les dérivées, nous trouvons la position
des minima:
(30.84)
PENDULE ÉLASTIQUE
Étudions maintenant les oscillations
propres d'un solide suspendu à un ressort élastique tel
qu'il oscille. Après l'écart du solide de la position d'équilibre,
il accomplira des oscillations harmoniques dans le sens vertical,
si le ressort
élastique subit des déformations
proportionnelles à l'allongement du ressort.
Nous aurons souvent dans ce site à
faire avec de petits mouvements autour d'une position d'équilibre.
Ce type de mouvement caractéristique de ce que nous appelons
un "oscillateur harmonique" est
très fréquent. Il
se généralise à toutes sortes de situations
physiques, telles que les circuits RLC (cf.
chapitre de Génie Électrique), le modèle
quantique corpusculaire et ondulatoire de l'atome, les résonateurs
à quartz ou toute autre structure vibrante faiblement autour
de son point d'équilibre.
Nous
savons que la force de rappel d'un ressort est proportionnelle
et opposée
à la déformation telle que (voir le chapitre de Génie Civil
pour la démonstration):
(30.85)
L'équation
différentielle de l'oscillateur harmonique peut donc s'écrire:
(30.86)
Nous
prendrons la démarche très simple qui consiste à essayer
une solution, en l'occurrence:
(30.87)
C'est
une solution, car en effet:
(30.88)
pour
autant que nous prenions la fréquence
propre:
(30.89)
Nous
avons aussi le "mode propre":
(30.90)
comme
solution.
Une
solution générale est donc:
(30.91)
Pour
trouver A et
B,
il faut spécifier les conditions initiales. Prenons par exemple:
(30.92)
à
.
Nous
avons alors:
(30.93)
Calculons maintenant le travail (énergie)
nécessaire pour déformer l'oscillateur harmonique.
Nous avons:
(30.94)
Ainsi, l'énergie potentielle
élastique dans un ressort de constante k,
ayant subi une déformation x est donc donnée par:
(30.95)
Pour
une description plus réaliste, une meilleure modélisation, nous
allons supposer que l'oscillateur est soumis à une force supplémentaire
représentant les frottements. Il arrive souvent que l'approximation
par laquelle la force de frottement est proportionnelle à la vitesse,
et opposée à la vitesse, soit une bonne approximation. Ce n'est
pas la seule possible, et ce n'est pas toujours la meilleure. Nous
parlerons des forces de frottement plus tard.
Ainsi
nous considérons une force de friction de la forme (ne pas confondre
avec la notation du moment cinétique qui n'a absolument aucun rapport):
(30.96)
Pour
notre système de coordonnées:
(30.97)
La
deuxième loi de Newton impose:
(30.98)
Pour
se conformer à une notation usuelle dans le cadre de l'oscillateur,
nous notons:
(30.99)
d'où
l'équation différentielle:
(30.100)
Nous
prenons la fonction d'essai:
(30.101)
En
substituant, nous trouvons:
(30.102)
Comme
nous cherchons des solutions non nulles ( )
il faut que:
(30.103)
d'où:
(30.104)
et
la solution générale est:
(30.105)
où
deux constantes sont déterminées par les conditions initiales.
Nous
verrons qu'il correspond à un amortissement faible. En effet, nous
pouvons écrire avec des racines carrées réelles:
(30.106)
et
la solution générale peut alors s'écrire:
(30.107)
En utilisant les propriétés
complexes des exponentielles et en particulier la "formule
d'Euler"
(cf. chapitre sur les Nombres):

(30.108)
Choisissons
et rappelons que
(cf. chapitre de Trigonométrie).
Ainsi:
(30.109)
et comme nous avons aussi .
Alors:
(30.110)
posons
et comme la fonction trigonométrique est périodique
à
avec
alors:
(30.111)
L'allure
générale de la normalisée
à l'unité est la suivante:

Figure: 30.8 - Illustration de l'amortissement de l'amplitude d'une pendule élastique
Quand
nous
disons qu'il y a "amortissement critique", quand ,
qu'il y a "amortissement sur-critique".
Le
rapport:
(30.112)
est quant à lui appelé "facteur
de qualité".
PENDULE
CONIQUE
Le pendule conique consiste à prendre
une masse m considérée
comme ponctuelle et suspendue en A d'un
fil fixé
en O.
La masse étant écartée d'un angle de
la verticale, l'objectif de ce pendule est fréquemment
(car c'est le cas le plus simple) de déterminer la dépendance
entre l'angle et la vitesse si l'on considère que les trajectoires
sont circulaires.

Figure: 30.9 - Illustration du pendule conique
La masse m se
déplace autour de la verticale OC,
en décrivant un cercle de rayon:
(30.113)
Les forces suivantes agissent sur la
masse m:
(30.114)
D'après la figure, nous voyons que:
(30.115)
ou, comme:
(30.116)
alors:
(30.117)
L'angle est
donc d'autant plus grand que la vitesse angulaire est
élevée, ce que confirme l'expérience. Pour cette raison, le pendule
conique fut longtemps utilisé comme régulateur de vitesse sur
les machines à vapeur (il ferme l'arrivée de vapeur quand la
vitesse dépasse une limite fixée à l'avance et l'ouvre quand
elle tombe au-dessous de cette valeur).
Nous avons aussi:
(30.118)
d'où après simplification:
(30.119)
PENDULE
DE TORSION
Le pendule de torsion est un système
qui fut utilisé par Coulomb pour la mesure de la charge électrique
élémentaire et par Cavendish pour la mesure de la
constante gravitationnelle
G.
Le pendule de torsion consiste en
un solide rigide suspendu à fil de torsion vertical. Lors des oscillations
le fil exerce un moment de rappel que l'on supposera proportionnel
à l'angle de torsion :
(30.120)
où k est
la "constante de torsion" de
ce fil particulier (cf.
chapitre de Génie Mécanique).
Nous avons donc:
(30.121)
soit l'équation différentielle:
(30.122)
Par analogie avec le pendule physique
où nous avions une équation différentielle identique à un facteur
près, il vient:
(30.123)
PENDULE
DE FOUCAULT
Le pendule de Foucault est
une expérience formidable pour rendre compte de la rotation de la
Terre. Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour analyser
le comportement du pendule de Foucault. Nous avons choisi de présenter
la plus simple qui ne nécessite que peu de pages de calcul.
D'abord un petit texte explicatif
peut s'avérer pertinent tellement cette expérience
est importante.
L'expérience de Foucault
a pour but de démontrer que la Terre tourne sur elle-même.
Vous lancez un balancier (une bille de plomb au bout d'un fil).
Il
a un mouvement de va-et-vient régulier dans la même
direction. Si vous l'emportez dans une voiture et que vous ne
tournez
pas trop brusquement, le pendule se moque des virages: il continue
à battre dans la même direction. C'est qu'un pendule
reste toujours dans le même plan, malgré les mouvements
de son support.
C'est pourquoi le physicien
français Léon Foucault eut l'idée d'attacher
un lourd balancier de 67 mètres de long sous le dôme
du Panthéon, en présence de Napoléon III et
de quelques savants. A chacune de ses allées et venues, le
pendule venait écorner un tas de sable où il laissait
une marque. Or, la trace n'était jamais à la même
place: il y avait 3 à 4 millimètres d'écart
entre un balancement et le suivant, 16 secondes plus tard. Le pendule
restait dans le même plan, mais le Panthéon, Paris,
la Terre tournaient!
Soit la figure ci-dessous:

Figure: 30.10 - Illustration élémentaire du pendule de Foucault
Nous considérons que c'est la vue d'un
référentiel géocentrique (la Terre) vu en coupe selon un plan qui
contient l'axe de rotation.
La taille du pendule est bien évidemment
exagérée sur la figure. Il oscille cependant quand
même dans un
plan méridien, entre A et
B (un
observateur terrestre voit la droite AB tourner par rapport
au sol terrestre selon le cercle vert, vu en perspective,
dans le sens rétrograde).
Soit T la période de rotation de A (ou
B). La vitesse de A ( )
, sur ce cercle, est due au fait que, dans le référentiel
géocentrique,
le point M, à la verticale du point de suspension,
et le point du sol terrestre coïncidant avec A à
un instant donné, n'ont pas la même vitesse dans le référentiel
géocentrique: le point
M étant
plus éloigné de l'axe de rotation terrestre il va
plus vite que A (de
même la vitesse de B étant
supérieure à la vitesse de M).
La différence de ces vitesses se calcule
aisément en supposant que la rotation terrestre est uniforme en
raisonnant sur une période d'une journée (sidérale)
.
Nous savons que:
(30.124)
De ceci il découle facilement que:
(30.125)
étant donné que dans le
triangle AHM:
(30.126)
alors:
(30.127)
Or, n'est
autre que:
(30.128)
Donc:
(30.129)
Nous avons donc obtenu l'expression
de la période du pendule de Foucault.
Exemple:
La période du pendule du Panthéon (aller et retour)
est de 16.5 secondes, l'amplitude maximale de 6 mètres
et le temps d'amortissement de 6 heures. Nous pouvons ainsi observer
un déplacement de plusieurs millimètres par aller
et retour du pendule.
Remarque: Le sens de la rotation est celui des aiguilles
d'une montre, pour un observateur placé au-dessus du pendule,
dans l'hémisphère Nord ; et dans le sens contraire
du sens de rotation des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère
Sud.
Aux pôles (où
l'angle est de 90° et le sinus unitaire), la période
du pendule égale celle de la Terre et est donc de 24h. A
l'équateur (où l'angle est de 0° et le sinus nul),
la période de rotation du plan d'oscillation est infinie: le plan d'oscillation est fixe par rapport à la Terre.
A Paris (où
l'angle est de 48°52' et le sinus 0.75), la période de
rotation est de 31 heures et 57 minutes.
Cependant, l'importance du
pendule de Foucault est autre...
Le plan d'oscillation du pendule est en réalité
fixe et c'est la rotation de la Terre sur elle-même qui donne
lieu à une rotation apparente. Mais finalement... quel
est le système de référence ?
En effet, tout mouvement est relatif. Si la Terre
est en rotation, elle l'est par rapport à quelque chose.
Nous ne pouvons pas parler d'un mouvement sans définir un
cadre de référence. La question qui se pose donc est
de savoir par rapport à quel système de référence
le plan d'oscillation du pendule est fixe.
La première idée qui vient à
l'esprit consiste à dire que le plan du pendule est fixe
par rapport au Soleil. Mais, si Foucault avait réussi à
construire un pendule capable d'osciller suffisamment longtemps,
disons pendant un mois, il se serait aperçu que le plan d'oscillation
dérivait également par rapport à la position
du Soleil. Notre étoile ne fait donc pas partie du système
de référence en question.
Peut-être faut-il alors considérer
les étoiles proches du Soleil ? Mais là aussi, si
l'expérience pouvait durer suffisamment longtemps, elle montrerait
que le plan des oscillations se déplace nettement par rapport
aux étoiles après quelques années. Quel objet
choisir dans ce cas ? Le centre galactique, la galaxie d'Andromède,
le Groupe Local, le superamas local ? Chacun de ces objets donnerait
l'illusion d'être fixe par rapport au plan des oscillations,
mais finirait, après un temps de plus en plus long, par révéler
une dérive.
Finalement, en dernier recours, nous pouvons considérer
les objets les plus lointains, les galaxies ou quasars situés
à des milliards d'années-lumière. Avec ce système
de référence, et si l'expérience de Foucault
était réalisable, le plan des oscillations serait
enfin fixe et il n'y aurait plus de dérive. Ce n'est donc
qu'en considérant les objets les plus lointains, en fait
l'Univers observable dans son ensemble, que nous pouvons obtenir
un cadre par rapport auquel le plan des oscillations se stabilise.
Le pendule de Foucault se
moque donc de la présence de la Terre, du Soleil ou de la
Galaxie. Son mouvement lui est directement dicté par l'Univers
dans son ensemble. Cette expérience met en évidence
une sorte de lien mystérieux entre chaque point et l'Univers
tout entier. Jusqu'à nouvel ordre, la nature de ce lien reste
inconnue.
Une conclusion similaire
fut tirée par le physicien autrichien Ernst Mach à
la fin du XIXe siècle (nous retrouverons le "principe
de Mach" dans le chapitre de Relativité Restreinte).
D'après la physique
de Newton, le produit de la masse d'un corps par son accélération
est égal à la force qui s'exerce sur lui. Par conséquent,
pour une force donnée, plus un objet est massif, plus son
accélération est faible. De ce point de vue, la masse
est donc une mesure de l'inertie du corps, c'est-à-dire de
sa faculté à résister à une force.
Supposons maintenant que
toute la matière de l'Univers disparaisse, excepté
pour ce corps. Ce dernier est alors complètement isolé
et plus aucune force ne s'exerce sur lui. Cela signifie, d'après
la physique de Newton, que le produit de sa masse par son accélération
est égal à zéro. Or l'accélération
ne peut pas être nulle. En effet, comme toute la matière
de l'Univers a disparu, il n'y a plus de système de référence
par rapport auquel on pourrait définir la vitesse ou l'accélération.
Cette dernière est donc indéfinie et non pas nulle.
D'un point de vue mathématique, il ne reste qu'une seule
possibilité, que la masse du corps soit nulle.
Ce raisonnement montre que
la masse et l'inertie d'un corps ne sont pas vraiment des propriétés
de l'objet lui-même, mais plutôt le résultat
d'une interaction avec le reste de l'Univers. Tout comme le pendule
de Foucault, le principe de Mach nous montre qu'il doit exister
une sorte de connexion entre les propriétés locales
d'un corps et les propriétés globales de l'Univers.
Comme dans le cas précédent, la nature de cette connexion
mystérieuse reste à déterminer.
PENDULE
DE HUYGENS
Nous cherchons à construire un pendule
dont la période soit indépendante de l'amplitude
(et non pas juste en approximation comme nous l'avons vu plus haut!),
ce qu'il est d'usage d'appeler "l'isochronisme
rigoureux". Pour
cela nous disposons deux lamelles de forme cycloïdale à des
positions symétriques
et déterminées telles que représentées
sur la figure ci-dessous:

Figure: 30.11 - Principe du pendule de Huyghens
Le choix de la cycloïde
(appelée aussi "orthocycloïde") est dû au
fait qu'il s'agit d'une courbe "brachistochrone"
(voir la définition plus bas) et depuis les travaux de Huygens
en 1659, nous savons aussi qu'il s'agit d'une courbe "tautochrone"
(les balanciers dans les montres modernes ont par tradition cette
forme). C'est-à-dire que les corps qui tombent dans une
cycloïde
renversée arrivent au point le plus bas dans le même temps,
de quelque hauteur qu'ils commencent à tomber.
Donc contrairement à une
idée reçue, le chemin le plus rapide pour un corps en mouvement
non horizontal tombant sur un support solide n'est pas la ligne
droite.
En
effet, l'un des problèmes les plus connus de l'histoire des mathématiques
est le problème du brachistochrone qui consiste donc à trouver
la courbe le long de laquelle une particule glisserait d'un point à
un autre en un minimum de temps en étant soumis à un champ
uniforme de pesanteur. Ce problème a été posé par
Jean Bernoulli en 1696 comme un challenge pour les mathématiciens
de son époque (et
s'en fut un !!!). La solution fut trouvée par Jean Bernoulli
lui-même
ainsi que par son frère Jacques Bernoulli, Newton, Leibniz et le
marquis de l'Hospital. Le problème brachistochrone est important
dans le développement des mathématiques et s'avère être
une des applications principales de la méthode du calcul
des variations.
Nous considérons dans le champ de la
pesanteur deux points a et
b et
un point matériel m se
déplaçant sans frottement sur une courbe d'extrémités a et
b.
Déterminer la courbe, appelée brachistochrone, pour
laquelle le temps de parcours est minimal lorsque le point m part
du point a avec une vitesse nulle.
Considérons le schéma ci-dessous:

Figure: 30.12 - Chemin quelconque pour attaquer le problème sans biais
A l'abscisse x sur
le graphe, l'énergie potentielle perdue est ,
équivalente à l'énergie cinétique acquise
par le point matériel
depuis le départ telle que:
(30.130)
D'où sans trop de surprises:
(30.131)
La vitesse v est
mesurée le long de la courbe si bien que nous devons réécrire l'expression
en composantes horizontales et verticales:
Nous allons poser que s représente
l'abscisse curviligne et ds l'accroissement
de cette distance le long de la courbe. dx et
dy représentent
les composantes horizontale et verticale de ds.
Ainsi:
- ds/dt représente
la vitesse le long de la courbe
- dx/dt représente
la composante x de
la vitesse
- dx et
dy sont
données par le théorème de Pythagore exactement
de la même façon
que nous l'avions fait dans le cadre de notre étude
du formalisme lagrangien.
(30.132)
En insérant l'équation obtenue d'après
les principes de la dynamique:
(30.133)
Une simple intégration nous donne alors
l'expression de t à
minimiser:
(30.134)
Nous nous retrouvons avec une fonction
similaire à celle que nous avions lors de notre étude d'un cas pratique
du formalisme lagrangien.
Il s'agit maintenant de trouver
le minimum atteint par t parmi toutes les fonctions y(x) satisfaisant:
(30.135)
Le problème fondamental
dit du "calcul
des variations" consiste à chercher, parmi les fonctions continûment
dérivables sur un intervalle donné [a,b] et
pour lesquelles les fonctions f(a) et
f(b) sont
des valeurs données, celles qui rendent maximum ou minimum
l'intégrale
précédente.
Pour
appliquer cette méthode, nous partons de l'équation
d'Euler-Lagrange (cf. chapitre de Mécanique
Analytique):
(30.136)
qui
donne les extremums de l'intégrale.
Identiquement
à un exemple que nous avons vu le cadre de notre
étude du formalisme lagrangien (cf.
chapitre de Mécanique
Analytique) nous posons dans notre cas:
(30.137)
Donc:
(30.138)
Nous souhaitons injecter des deux dernières relations dans l'équation
d'Euler-Lagrange:
(30.139)
mais nous anticipons relativement facilement
que la dérivée par rapport à x va
nous donner un monstre indigeste à simplifier (j'ai essayé...
mais j'ai l'excuse de ne pas être doué pour les maths).
Nous allons alors utiliser l'identité de Beltrami
démontrée dans le chapitre de Mécanique Analytique
qui s'écrit avec la notation choisie ci-dessus:
(30.140)
ce que nous avons le droit de faire puisque la condition
de Beltrami est ici satisfaite:
(30.141)
Ce qui nous donne:
(30.142)
Soit après réarrangement:
(30.143) donc au
final:
(30.144)
ou
autrement écrit:
(30.145)
où la constante n'est autre que -D, l'altitude
minimale atteinte par le point mobile. Plus explicitement:
(30.146)
Il faut donc résoudre cette équation
différentielle pour trouver la fonction qui donne le chemin
le plus rapide. Mettons-la sous la forme:
(30.147)
et rappelons que nous avons:
(30.148)
Nous avons alors (cf. chapitre de Trigonométrie):
(30.149) D'où:
(30.150)
Remarquons que nous avons (toujours en utilisant des relations trigonométriques
remarquables):
(30.151)
Donc:
(30.152)
Ce qui est facile à intégrer (cf. chapitre
de Calcul Différentiel
Et Intégral):
(30.153)
Nous avons donc à ce point (pour rappel):
(30.154)
Posons pour simplifier l'écriture , nous avons alors:
(30.155)
Rappelons maintenant que nous avons la condition initiale:
(30.156)
et comme K est non nul, cela impose que:
(30.157)
et donc que:
(30.158)
Dès lors, nous devons avoir:
(30.159)
et nous en déduisons immédiatement que:
(30.160)
Dès lors:
(30.161)
Pour clore, faisons le changement de variable traditionnel:
(30.162)
Il vient alors:
(30.163)
Donc au final:
(30.164)
Comme le signe du coefficient a de x n'a que pour effet
une translation sur l'axe des X, il est d'usage de représenter
cette paire d'équations
sous la forme:
(30.165)
En posant nous
avons dans Maple 4.00b:
>plot([theta-sin(theta),1-cos(theta),theta=0..6*Pi]);
Figure: 30.13 - Tracé de la cycloïde avec Maple 4.00b
Donc à comparer par rapport aux réponses intuitives de la courbe
la plus rapide que donnent souvent les humaines par intuition (en
rouge la courbe brachistochrone):

Figure: 30.14 - Comparaions de la brachistochrone avec les autres chemins intuitifs (source:
Wikipédia)
Soit les dérivées:
(30.166)
Ainsi:
(30.167)
La conservation de l'énergie:
(30.168)
s'écrit donc:
(30.169)
d'où:
(30.170)
Donc le temps requis pour aller du
haut au bas de la cycloïde que décrit le pendule de Huygens
est:
(30.171)
Cette durée ne dépend donc que de paramètres
fixes.
L'énoncé en 1696 du problème
brachistochrone peut être considéré comme l'authentique
acte de naissance du calcul des variations, car c'est ce problème
qui suscita la recherche de méthodes générales
progressivement élaborées au
cours d'une véritable compétition.
Remarque: Une ligne brachistochrone d'une surface est
une courbe sur laquelle doit glisser sans frottement un point matériel
pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme de
sorte que le temps de parcours soit minimal parmi toutes les
courbes joignant
deux points fixés. Autrement dit, ce sont les lignes les
plus courtes en temps, alors que les géodésiques
(cf.
chapitre de Relativité Restreinte) sont les lignes
les plus courtes en distance.
PENDULE DOUBLE
Le problème du pendule double est un exemple classique d'application
du formalisme lagrangien et de la théorie du chaos et donc in extenso
un joli exemple scolaire de physique non linéaire.
Voici comme ce dernier est souvent représenté (les coordonnées x et y sont
positives sur les deux axes représentés ci-dessous!):

Figure: 30.15 - Illustration du pendule double
La position de la masse sera
donnée par les coordonnées et
celle de la masse -
solidaire de et
donc non indépendante - sera donnée par les coordonnées .
Le mieux est de réduire l'étude du système en passant par les
coordonnées généralisées via
les transformations:
(30.172)
et:
(30.173)
Donc en coordonnées cartésiennes et en utilisant la notation
traditionnelle du formalisme lagrangien, l'énergie cinétique est
alors:
(30.174)
et comme:
(30.175)
et:
(30.176)
Nous avons alors:
(30.177)
Pour l'énergie potentielle nous avons (le signe est négatif car
les masses sont en-dessous du point 0):
(30.178)
Le lagrangien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) vaut donc:
(30.179)
Nous utilisons maintenant l'équation d'Euler-Lagrange avec les
coordonnées généralisées choisies:
(30.180)
Nous avons alors pour :
(30.181)
Donc nous avons au final pour le lagrangien avec la coordonnée
généralisée :
(30.182)
Nous avons de même pour :
(30.183)
Donc nous avons au final pour le lagrangien avec la coordonnée
généralisée :
(30.184)
Ce qui nous donne au final le système d'équations différentielles
suivant:
(30.185)
Avec Maple 4.00b cela donne pour la représentation des coordonnées
de dans
le temps:
> with(plots):
> with(plottools):
> Eq1:=(m1+m2)*l1^2*diff(diff(theta1(t),t),t)+m2*l1*l2*cos(theta1(t)-theta2(t))*diff(diff(theta2(t),t),t)
+m2*l1*l2*sin(theta1(t)-theta2(t))*diff(theta2(t),t)^2+(m1+m2)*g*l1*sin(theta1(t))=0;
> Eq2:=m2*l1*l2*cos(theta1(t)-theta2(t))*diff(diff(theta1(t),t),t)+m2*l2^2*diff(diff(theta2(t),t),t)
-m2*l1*l2*sin(theta1(t)-theta2(t))*diff(theta1(t),t)^2+m2*g*l2*sin(theta2(t))=0;
> m1:=2;m2:=3;l1:=6;l2:=4;g:=9.81;
> ff:=dsolve({Eq1,Eq2,theta1(0)=0.5,D(theta1)(0)=4,theta2(0)=1,D(theta2)(0)=
-2},{theta1(t),theta2(t)},type=numeric,output=listprocedure);
> Theta1:=subs(ff,theta1(t));Theta2:=subs(ff,theta2(t));
>
X1:=t->l1*sin(Theta1(t));
>
Y1:=t->l1*cos(Theta1(t));
>
X2:=t->l1*sin(Theta1(t))+l2*sin(Theta2(t));
>
Y2:=t->l1*cos(Theta1(t))+l2*cos(Theta2(t));
> plot([Y2,X2,0..100],numpoints=100);

Figure: 30.16 - Tracé avec Maple 4.00b des coordonnées d'une des masses
TRIBOLOGIE
Définition: La "tribologie" est
la science des frottements (notion très intuitive à tout
un chacun car nous pouvons ressentir ses effets dans la vie quotidienne)
qui interviennent
lorsque deux surfaces en contact sont mises en mouvement l'une
par rapport à l'autre, produisant une force qui s'oppose
au mouvement. Ce domaine se propose d'étudier non seulement les
conditions de frottement entre les corps mais également les divers
phénomènes et aspects physiques et techniques dans le déplacement
relatif des surfaces extérieurs des coprs.
La plupart de ces phénomènes relatifs aux frottements peuvent
se comprendre en première approximation sur la base des lois phénoménologiques
du frottement énoncées dès le 18ème siècle par Amontons et Coulomb
(mais déjà mises en évidence par Léonard de Vinci 200 ans auparavant), à partir
de la notion de coefficient de frottement.
L'analyse tribologique d'un système introduit 4 éléments composants
fondamentaux: le corps en étude (il s'agit le plus souvent d'un
solide), le corps de base sur lequel agit directement le corps
étudié (il peut s'agit d'un solide, liquide ou gaz), le corps intermédiaire
placé entre les deux corps précédents et enfin le milieu ambiant.
Ceux-ci observèrent déjà deux types de frottements a priori distincts:
1. Le "frottement statique" est celui qui oppose une
résistance lorsqu'un objet posé sur un plan est à la
limite du glissement alors qu'on lui impose une force de traction (tangentielle
au plan). Cette opposition à la force de traction est par ailleurs
expérimentalement proportionnelle au poids de
l'objet.
Mais intervient une valeur limite de la force tangentielle de
traction à partir de laquelle l'objet commence à glisser. C'est
ce que nous notons:
(30.186)
où est
donc la force limite de traction permettant de faire bouger l'objet
initialement statique, est
le "coefficient de frottement statique" sans
dimensions et exprime la proportionnalité de la force limite
de frottement avec le poids de
l'objet ou de sa forme normale au plan d'application. Raison pour
laquelle cette dernière relation est aussi souvent notée:
(30.187)
Remarque: Dans
la pratique, il est infiniment facile de déterminer
ce coefficient avec un simple dynamomètre pour connaître la force
limite et une balance pour connaître le poids de l'objet étudié.
Nous observons expérimentalement que contrairement à l'intuition,
la force limite de traction est en première approximation indépendante
de la surface de contact entre l'objet et le sol (dans les limites
des cas physiques courants évidemment car plus la surface est petite,
plus la pression est grande et alors la surface de contact peut
devenir plastique aux hautes pressions).
Autrement dit, si un kilo de sucre est posé sur une table.
Pour déplacer cet objet, de poids (la
masse multipliée par la constante de gravité), il
faut exercer une force parallèlement à la
surface de la table. Mais l'expérience montre que cet objet
ne se déplacera pas tant que la force est
inférieure à une force minimale .
Et Amontons et Coulomb ont montré que cette force minimale
est directement proportionnelle via un coefficient de frottement
statique
au poids.
Nous pouvons détailler l'approche de la relation précédente en
s'imaginant deux surfaces présentant des rugosités en dents de
scie d'un angle et
imbriquées:

Figure: 30.17 - Zoom sur la surface de contact
Si nous appliquons une force normale correspondante au poids et
une force horizontale nous
avons à cause des dents de scie dans le cas limite la situation
suivante:

Figure: 30.18 - Simplification du problème avec les vecteurs
nous voyons alors bien que la pièce mobile ne commencera à bouger
que quand il y aura début de glissement soit lorsque:
(30.188)
Pour simpliste qu'elle soit, cette approche permet de lier le
frottement (statique) aux caractéristiques de la rugosité. De plus
les valeurs expérimentales typiques des coefficients de frottement
statique, de l'ordre de 0.3, correspondent à des pentes de la rugosité de
surface de l'ordre de 15-20 degrés, ce qui est tout à fait compatible
avec les caractéristiques typiques que l'on peut mesurer pour les
rugosités de surfaces!
Cet argument repose cependant sur une hypothèse implicite: l'emboitement
parfait entre les rugosités des deux surfaces. Nous parlons dans
ce cas de "surfaces commensurables". Ce n'est bien sûr
pas le cas en général dans la nature: même à l'échelle atomique,
deux surfaces idéales, présentent des légères différences de distance
interatomique qui empêchent l'emboîtement. Une légère disparité suffit à rendre
très irrégulière la répartition des points de contact entre les
deux surfaces contrairement au cas commensurable. Nous parlons
alors de "surfaces incommensurables".
Autrement dit, nous aboutissons très vite à la conclusion que
le frottement entre deux surfaces incommensurables en tout point
est non-nul, tandis qu'il s'annule exactement si ces deux surfaces
sont en tout point commensurables.
2. Le "frottement dynamique" est celui qui oppose une
résistance lorsqu'un objet posé sur un plan est déjà en glissement.
Cette opposition à la traction est par ailleurs expérimentalement
proportionnelle encore une fois au poids de l'objet tel que:
(30.189)
mais avec le "coefficient de frottement
dynamique" (qui existe en plusieurs sous-familles: coefficient
de roulement, de glissement, ....) qui est en général
beaucoup plus petit que le coefficient de frottement statique:
(30.190)
Donc le frottement n'est pas le même au départ de notre objet
que lors de son glissement. Cela correspond très bien à notre expérience
quotidienne du frottement (lors de déplacements de meubles dans
nos habitations par exemples).
A nouveau, nous remarquons expérimentalement que contrairement à l'intuition,
la force de traction est indépendante de la surface de contact
entre l'objet et le sol.
Ainsi, que l'on pose le kilo de sucre bien à plat ou sur la tranche,
la force de frottement est la même (si la qualité de surface est
la même de tous les côtés du paquet de sucre)!
Un autre fait étonnant concerne la valeur typique de ces coefficients
de frottement, qui s'écarte assez peu de ,
pour des surfaces très différentes les unes des autres. La technologie
permet toutefois de concevoir des surfaces avec des coefficients
de frottement soit bien plus petits ( )
soit plus grand ( ).
Ces deux lois, sont appelées "lois
de Coulomb", traditionnellement écrites:
(30.191)
et avec l'écriture suivante dans nombre d'ouvrages
scolaires contemporains:
(30.192)
où FN est la force normale à l'appui, P la
pression et A la surface
de contact.
L'origine naïve du frottement entre deux solides est donc
dû au fait que:
- Tout solide n'est jamais lisse mais possède des aspérités qui
rendent la surface de contact rugueuse (les aspérités s'imbriquent
partiellement ou non et provoquent plus ou moins de frottement).
- Les impuretés entre les deux surfaces de contact sont souvent
plus importantes au niveau des sources de frottement que les imbrications
des aspérités de surface.
- Le frottement est faiblement dépendant de la surface
car la rugosité à l'échelle atomique est telle que
seulement un très faible
pourcentage de la surface totale des deux objets sont réellement
en contact (surface de contact réelle est donc beaucoup
plus petite que la surface de contact apparente) ce qui explique
que la force
de traction tangentielle soit proportionnelle au poids car cela
force la surface de contact réelle à augmenter.
La complexité sous-jacente du frottement est donc extrême. L'origine
du frottement fait dans la réalité intervenir une multitude d'ingrédients,
couvrant un spectre très large de phénomènes physiques: rugosité des
surfaces, élasticité, plasticité, adhésion, lubrification, thermique,
usure, chimie des surfaces, humidité, etc.
Nous allons ici faire une analyse scolaire des quelques frottements
courants dans les cas d'études simples de la physique cinétique
(du mouvement). Il faut bien prendre garde que ces modèles sont
simplifiés à l'extrême afin de montrer seulement la démarche intellectuelle.
Remarque: Lorsque deux métaux (purs
- et propres...) de nature identique sont en contact via un surface
lisse dans un
milieu favorable (au mieux le vide) dès lors nous pouvons parfois
observer une "soudure à froid"
(dans le vide c'est systématique... et pas juste "parfois"...)
qui est un cas de frottement extrême car il devient parfois quasi
impossible (voir impossible tout court!) de déplacer alors l'un
des éléments
par rapport à l'autre (cela dépend aussi de la pression initiale
appliquée pour mettre en fusion à froid les deux objets de même
nature). La soudure à froid
a été reconnue
comme un phénomène général de physique
des matériaux dans les années 1940. La raison de
ce comportement inattendu vient de ce que lorsque les atomes en
contact sont tous de même nature, ils n'ont aucun moyen de "savoir" qu'ils
sont présents dans des pièces de métaux différentes.
Lorsqu'il y a d'autres atomes, dans les oxydes et les graisses
et d'autres sortes de contaminants de surface, les atomes "savent" qu'ils
n'appartiennent pas au même objet (il y a des colles industrielles
qui utilisent ce principe pour des réparations ou affistolages
d'urgence...).
FROTTEMENT EXPONENTIEL
Il est d'usage de désigner par "frottement
exponentiel" le
frottement généré par des courroies non-crantées
(cas très important dans la pratique) sur un support fixe!
Pour étudier ce cas de frottement considérons la
figure ci-dessous où est
l'angle d'enroulement de la courroie autour de la poulie où on
néglige l'épaisseur
et la masse de la courroie par rapport aux autres éléments
et où on se place à la limite du glissement et en
mouvement uniforme.

Figure: 30.19 - Schéma macro du contact poulie/courroie
De par l'existence de frottement il y a évidemment
un différentiel de tension dT sur un point de contact
mais cela étant dû uniquement au frottement puisque nous soupposons
la rotatin uniforme. Voyons cela de plus près
isolant une portion et en appliquant le principe fondamental de
la statique
(avec subtilité...):

Figure: 30.20 - Zoome sur un élément différentiel de la courroie
Nous avons alors:
(30.193)
Soit après simplification:
(30.194)
et comme l'angle est très petit, nous avons:
(30.195)
et pour le sinus nous utiliserons le développement
de MacLaurin (cf. chapitre Suites Et Séries)
pour les petits angles:
(30.196)
Nous avons alors:
(30.197)
En négligeant la multiplication d'éléments infinitésimaux
et en simplifiant il reste:
(30.198)
où la première équation nous
est déjà connu puisqu'elle
correspondant au frottement statistique horizonal habituel déjà
vu plus haut. Nous pouvons maintenant combiner ces deux relations
pour obtenir:
(30.199)
En intégrant il vient alors:
(30.200)
Nous avons alors:
(30.201)
et au final:
(30.202)
ce qui est très important! Par exemple dans
la pratique avec une tension de 500 [N] en tirant, cela
ne produit une tension réelle de l'autre côté du
support circulaire fixe que de 250 [N]
parce que le frottement est exponentiel. Raison pour laquelle il
vaut mieux utiliser des poulies que des supports circulaires fixes!
Évidemment à cause de la friction
on aura:
(30.203)
ce qui implique évidemment que:
(30.204)
et donc:
(30.205)
Pour la suite, le lecteur se reportera au chapitre
de Génie Civil où les poulies cylindriques sont présentées plus
en détail.
FROTTEMENT VISQUEUX HORIZONTAL
Nous avons donc vu qu'en première approximation, la force de
frottement dans le cas de glissement est proportionnelle au poids
d'un corps par un coefficient de frottement dont la valeur dépend
de la nature et de l'état des surfaces de contact mais indépendant
de l'aire de contact. Cependant nous n'avons pas dit que l'expérience
montre que dans des cas réels typiques la force de frottement est
aussi indépendante de la vitesse communiquée au corps.
En lubrifiant par un fluide visqueux les surfaces en contact,
la force de frottement est réduite et dépend de la vitesse (c'est
typiquement le cas des pneus de voiture qui sont visqueux).
Remarque: Pour
rappel, le terme "visqueux" ne signifie
pas forcément que ça coule et que ça bave. Cela signifie
que la loi de comportement dépend de la vitesse de déformation
(cf.
chapitre de Mécanique Des Milieux Continus).
Considérons alors un mobile en contact avec un sol plan via un
fluide ou matériau visqueux. Nous savons qu'il y aura frottement
et supposons que celui-ci soit proportionnel à la vitesse:
(30.206)
où k est le "coefficient de
frottement visqueux".
Nous avons alors en appliquant la première loi de Newton:
(30.207)
Dès lors il vient:
(30.208)
En intégrant il vient:
(30.209)
Soit:
(30.210)
En prenant l'exponentielle:
(30.211)
Ainsi, la vitesse décroit exponentiellement d'une vitesse
initiale jusqu'à une valeur nulle asymptotique sous l'hypothèse
de proportionnalité du
frottement avec la vitesse.
C'est une relation très souvent utilisée dans les animations
faites par ordinateur représentant des objets qui semblent s'arrêter
de manière naturelle. Il faut simplement bien choisir la valeur
de k.
Nous observons une chose intéressante c'est qu'un corps mobile
lourd décélère moins vite à cause des forces de frottement qu'un
corps mobile léger!
Montrons comment nous calculons la puissance perdue par frottement.
Nous savons que:
(30.212)
si la variation de la force est négligeable par rapport à la
variation de vitesse nous avons alors:
(30.213)
et donc dans le cas du frottement (en valeur absolue):
(30.214)
Ainsi, la puissance dissipée lors d'un mouvement est proportionnelle à la
vitesse en cas de frottement coulombien et proportionnelle au carré de
la vitesse en cas de frottement visqueux.
FROTTEMENT VISQUEUX VERTICAL
Soit un solide indéformable chutant à la verticale dans
un champ de gravité. Nous assumons que la force de la résistance
de l'air est proportionnelle à la vitesse (comportement visqueux
aux faibles vitesses):
(30.215)
et utilisant le principe fondamental de la dynamique:
(30.216)
Soit autrement écrit (plus traditionnel):
(30.217)
La solution de cette équation différentielle linéaire du 1er
ordre est (cf. chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral):
(30.218)
que nous pouvons détailler si besoin (sur demande).
En posant qu'à l'instant nul nous avions une vitesse initiale
donnée il vient:
(30.219)
Ainsi:
(30.220)
Ainsi, nous voyons que lorsque le temps tend vers l'infini (suffisamment
grand quoi...) alors la vitesse tend vers:
(30.221)
donc k peut être déterminé expérimentalement!
C'est une relation très souvent utilisée dans les animations
faites par ordinateur représentant des objets qui semblent freiner
jusqu'à une vitesse constante de manière naturelle.
FROTTEMENT VISQUEUX DE STOKES VERTICAL
C'est typiquement le cas du parachutiste effectuant une chute
libre. Nous avons vu dans le chapitre de Mécanique Des Milieux
Continus que la force visqueuse de Stokes était donnée par (comportement
visqueux aux vitesses moyennes et élevées):
(30.222)
lorsque la vitesse est subsonique (modeste en d'autres termes...).
L'équation différentielle est la même qu'avant dans le cas de
la présence du champ de gravitation à la différence que la vitesse
est cette fois-ci au carré:
(30.223)
Soit:
(30.224)
mais nous n'allons pas chercher à la résoudre, seulement à déterminer
la valeur limite de la vitesse et justement vitesse limite est
atteinte lorsque celle-ci.... ne varie plus (ben oui forcément...).
Donc à ce moment:
(30.225)
et l'équation différentielle devient:
(30.226)
Ainsi, il est possible de changer sa vitesse de chute limite
en fonction de son facteur de forme, et de sa surface d'exposition
apparente et de sa masse (dans le cas d'étude ci-dessus nous négligeons
la force d'Archimède qui s'applique sur la parachutiste et qui
freine aussi sa chute).
Exemple:
Considérons une sphère de rayon R, de masse
volumique lâchée
sans vitesse dans un liquide de masse volumique ,
de viscosité (voir
la classification des viscosités dans la norme ISO 3448).
La sphère est soumise à son propre poids, à une
force de frottement visqueux et à la poussée d'Archimède.
Nous avons donc globalement selon la première loi de Newton:
(30.227)
où les deux derniers termes (force visqueuse de Stokes aux faibles
vitesses et force d'Archimède) ont été démontrés dans le chapitre
de Mécanique
Des Milieux Continus.
En réarrangeant, nous avons:
(30.228)
et encore:
(30.229)
Il nous reste donc:
(30.230)
Nous posons:
(30.231)
qui sera assimilée à une constante de temps. Nous avons alors:
(30.232)
Or lorsque la vitesse de chute deviendra constante, nous aurons:
(30.233)
ce qui donne:
(30.234)
Résolvons ceci dit l'équation différentielle en commençant par
celle sans second membre (cf. chapitre de
Calcul Différentiel et
Intégral):
(30.235)
Nous avons alors vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et
Intégral que la solution homogène était alors donnée par:
(30.236)
Nous pouvons ajouter la solution particulière qui est logiquement
lorsque t tend vers l'infini:
(30.237)
Nous avons alors:
(30.238)
Il nous reste à déterminer C qui s'obtient lors t tend
vers 0 car nous avons alors:
(30.239)
Donc:
(30.240)
Nous avons alors:
(30.241)
FROTTEMENT VISQUEUX DE STOKES HORIZONTAL
C'est une première approximation où l'on s'intéresse par exemple à la
distance d'arrêt sans freinage d'un mobile sans prendre en compte
le coefficient de frottement avec le sol mais seulement avec l'air
ambiant (vitesse subsonique toujours...).
Nous avons alors selon la première loi de Newton:
(30.242)
Supposons que nous souhaitions savoir en quel temps T le
mobile qui avait une vitesse initiale aura
décéléré à une vitesse donnée .
Nous avons alors:
(30.243)
Donc:
(30.244)
où nous observons déjà un premier problème avec ce modèle c'est
que à l'arrêt, la vitesse finale étant nulle, il faudra un temps
infini pour y arriver... mais continuons, nous reviendrons plus loin
sur ce constat.
La loi d'évolution de la vitesse se détermine de
façon analogue
puisque:
(30.245)
Alors:
(30.246)
Notons la constante de temps:
(30.247)
Alors:
(30.248)
soit:
(30.249)
La distance parcourue à l'instant t en ne laissant le
mobile ralentir que par les forces de frottement est donc:
(30.250)
Le résultat est joli mais on se rend bien compte que ce
n'est pas vraiment juste car à un temps infini, la voiture aura
parcouru une distance infinie ce qui est manifestement irréaliste.
Cela provient du modèle qui est trop simpliste donc améliorons-le.
L'idéal, objectivement parlant, serait de prendre en compte le
frottement visqueux pneu/sol plus le frottement de l'air. Nous
aurions alors:
(30.251)
mais le problème avec cette équation différentielle, c'est qu'elle
va nous amener à une singularité si nous continuons les calculs.
Elle n'est donc pas exploitable...
Nous essayons alors avec la forme suivante:
(30.252)
qui exprime donc qu'il y a une force de frottement proportionnelle
au poids du véhicule ce qui est simplement la forme suivante de
la deuxième loi de Coulomb:
(30.253)
et le deuxième terme étant le frottement visqueux de Stokes dont
nous avons sorti le terme de masse compris dans la densité se trouvant
implicitement dans la constante k de .
Nous avons alors en simplifiant les termes de masse:
(30.254)
Donc on voit déjà que dans ce modèle nous allons perdre l'effet
de la masse qui a normalement pour implication de rallonger le
trajet d'arrêt (dans la réalité!). Mais continuons quand même...
Nous avons donc à intégrer:
(30.255)
Nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel Et
Intégral que:
(30.256)
Donc en posant:
(30.257)
Soit:
(30.258)
Un peu réarrangé cela donne:
(30.259)
Donc on tombe maintenant déjà sur un temps fini... ce qui est plus
rassurant comme résultat.
Cherchons maintenant la distance d'arrêt. Nous avons en utilisant
le fait que:
(30.260)
la possibilité d'écrire:
(30.261)
Soit:
(30.262)
Ce qui nous amène à:
(30.263)
Ce qui donne déjà:
(30.264)
Nous avons donc:
(30.265)
Soit:
(30.266)
Nous avons donc notre résultat final. Meilleur que le précédent
mais indépendant de la masse... mais en attendant c'est mieux que
rien...
Remarque: Avec
un freinage sec l'essieu avant d'une petite voiture (Mercedes Classe
A) a une force de freinage typiquement de l'ordre de 2.8 [kN].
FACTEUR D'ÉCHAUFFEMENT
Le frottement de glissement intervenant entre deux corps se traduit
par une perte d'énergie mécanique transformée presque entièrement
en énergie calorifique Q (cf.
chapitre de Thermodynamique). Le problème de la transformation
de l'énergie de frottement en énergie calorifique est toujours
très complexe et impose une étude fouillée.
Pour simplifier, supposons que la composante de forrtement reste
constante, appliquée au centre de gravité de la surface de frottement,
et la vitesse du crops soit rectiligne et constante. Le travail
produit par la force de frottement, pour un déplacement fini vaut
alors:
(30.267)
En admettant ce travail mécanique entièrement transformé
en énergie calorifique, la quantité de chaleur produite doit s'évacuer
hors des surfaces de frottement. C'est un problème fondamental
dans les mécanismes à fort dégagement de cahleur comme par exemple
les freins, les embrayages, les transmissions à engrenages et vis
sans fin, les paliers lisses. La puissance calorifique dégagée
se calcul alors par:
(30.268)
Il suffit de diviser ce résultat par la surface totale
de contact pour avoir la puissance calorifique par unité de
surface. Ensuite, dans le cas particulier du frottement coulombien
dynamique, nous avons cette dernière relation qui s'écrit:
(30.269)
La puissance calorifique est proportionnelle au coefficient
de frottement et au produit de la pression moyenne P par
la vitesse de glissement v et la surface de contact A.
Cette méthode de contrôle de l'échauffement est bien évidemment
une première approche grossière car le coefficient de frottement,
la pression et la vitesse de glissement ne sont qu'une partie des
facteurs influençant la température de fonctionnement d'un mécanisme.

- Physique Générale (Mécanique+Thermodynamique),
Marcelo Alonso + Edward J. Finn, Éditions InterÉditions
U, ISBN10 volume I: 2729601376 (538 pages) - Imprimé en
1997
- Physique Générale, F.
Rothen, Éditions
Presses polytechniques et universitaires romandes, ISBN10: 2880743966
(862 pages) - Imprimé en
1999
- Physique, E. Hecht, Éditions
DeBoeck-Université, ISBN10: 2744500186
(1328 pages) - Imprimé en
1999
- Statics and dynamics (12ème Édition), Éditions
Pearson Education, R. C. Hibbeler, ISBN-10: 0138149291
(1403 pages) - Imprimé en
2010
- Physics (9ème Édition), Éditions
John Wiley & Sons, John D. Cutnell + Kenneth W. Johnson,
ISBN13: 9780470879528 (1086 pages) - Imprimé en
2012
- Advanced Dynamics: Rigid Body, Multibody,
and Aerospace Applications, Éditions
John Wiley & Sons, Inc, Reza N. Jazar,
ISBN13: 9780470398357 (1344 pages) - Imprimé en 2011
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