Sciences.ch (Mécanique classique 2/2)

Voyons maintenant des développements qui vous nous permette d'introduite un élément très important et utile en mécanique des fluides (cf. chapitre de Mécanique Statistique) et en météorologie (cf. chapitre de Génie Marin & Météo).

Considérons un référentiel fixe X, Y, Z et un référentiel mobile x, y, z. Ils sont donc en mouvement relatif et nous envisageons une rotation possible du référentiel mobile. Il s'agit d'exprimer, la vitesse, l'accélération d'un point P de l'espace au moyen des coordonnées du référentiel fixe (coordonnées absolues) à partir de celles attachées au référentiel mobile (coordonnées relatives) et du mouvement d'entraînement du référentiel mobile.

accélération absolue de P par rapport au référentiel fixe (supposé inconnu)

accélération relative de P par rapport au référentiel mobile (supposé connu)

vitesse d'entraînement au point P du mouvement relatif du référentiel mobile par rapport au référentiel fixe (supposé connu)

la position du point P est donc donnée par la "relation de composition des positions":

Le dernier terme est la contribution due à la rotation du référentiel mobile. Il s'agit maintenant d'exprimer la valeur de cette contribution en envisageant des rotations d'angle

autour de chacun des axes, successivement:

Nous obtenons ainsi les vecteurs élémentaires

figurant les déplacements des extrémités des vecteurs-unités

. Nous les introduisons dans l'expression ci-dessous qui devient, après réarrangement des termes:

par définition du produit vectoriel. La vitesse absolue du point P s'exprime donc selon la "loi de composition des vitesses":

nous constatons que dans le cas particulier où le référentiel mobile ne subit qu'une translation

, nous trouvons l'équation

caractéristique de la transformation de Galilée et nous disons alors que les référentiels sont en "translation relatives".

Remarque: Si nous nous concentrons uniquement sur les termes de vitesse d'entraînement et de rotation du référentiel mobile nous obtenons alors ce que nous appelons la "formule de Bour".

En procédant de la même façon que pour la recherche de la vitesse absolue il vient, en dérivant la relation précédente nous avons :

L'accélération absolue ou la "loi de composition des accélérations" s'exprime alors comme:

est appelé "accélération de Coriolis" et le terme

est simplement l'expression de l'accélération centripète dans ce cas particulier.

La loi de Newton

doit comporter tous les termes contenus dans l'équation générale ci-dessus. Pour un observateur situé dans le système fixe, cette loi s'écrit alors:

où l'on a en premier terme à droite de l'égalité la force d'entraînement, en troisième la force de Coriolis et en dernier la force centripète.

Si le point P est lié rigidement au référentiel mobile, un observateur dans ce système ne perçoit aucun mouvement, par conséquent aucune accélération

. Nous avons donc affaire à un système de forces en équilibre. Le problème de dynamique est alors ramené à un problème de statique. C'est le "principe d'Alembert".

Etant donné que pratiquement toutes nos observations sont faites sur Terre, c'est-à-dire dans un référentiel mobile dans l'Univers, la force de Coriolis peut y être mise en évidence.

L'étude du mouvement d'un corps par rapport à la Terre est l'une des applications les plus intéressantes de l'équation démontrée précédemment. La Terre a une vitesse angulaire (supposée constante!) dont la direction est celle de l'axe de rotation de la Terre. Appelons

l'accélération de la pesanteur mesurée en un point A à la surface de la Terre si celle-ci ne tournait pas.

correspond alors à

. En tirant l'accélération d'entraînement et relative nous obtenons l'accélération mesurée par un observateur en mouvement avec la Terre:

Nous considérons d'abord le cas d'un corps initialement au repos, ou se déplaçant très lentement de sorte que le terme de Coriolis est nul ou négligeable comparé au dernier terme. L'accélération que nous mesurons dans ce cas est appelée "accélération effective" de la pesanteur, et nous la désigne par

En supposant que la Terre est une sphère (en fait sa forme s'en écarte légèrement) et qu'il n'y a pas d'anomalies locales, nous pouvons estimer que

est dirigé vers le centre de la Terre. Le deuxième terme

étant l'accélération centrifuge elle est dirigée vers l'extérieur.

Puisque

est la somme de

et de l'accélération centrifuge, la direction de

, appelée la "direction verticale", s'écarte légèrement de la direction radiale; elle est expérimentalement déterminée par un fil à plomb. Les liquides se maintiennent toujours en équilibre avec leur surface perpendiculaire à

où r est le rayon de la Terre. L'accélération centrifuge décroît de l'équateur aux pôles car le rayon de la Terre n'est pas constante (la Terre est aplatie aux pôles). Cette variation de l'accélération est toujours très petite quand nous la comparons avec la pesanteur

mais elle explique cependant la plupart des variations observées de la valeur de la pesanteur avec la latitude.

Le gradient de l'accélération centrifuge a pour effet de déplacer légèrement la direction radiale d'un corps qui tombe en chute libre: le déplacement est vers le Sud dans l'hémisphère Nord et vers le Nord dans l'hémisphère Sud.

Considérons ensuite le terme de Coriolis. Dans le cas de la chute d'un corps, la vitesse

est dirigée vers le bas. D'autre part, comme

se trouve le long de l'axe de la Terre ,

est dirigé vers l'Ouest. Le terme de Coriolis

est donc dirigé vers l'Est; le corps qui tombe sera dévié dans cette direction.

Pour un corps tombant dans un plan parallèle et tangent à la surface de la Terre, nous avons :

C'est exactement ce phénomène que l'on observe dans le cas des cyclones (nous y reviendrons plus en détail dans notre étude de la météorologie dans le chapitre de Génie Météo). Une zone atmosphérique dépressionnaire (de faible pression relative) donnerait des courants atmosphériques (vents) convergents vers la dépression si la Terre ne tournait pas autour de son axe.

La force de Coriolis due à la rotation de la Terre dévie donc les vents Nord-Sud en direction de l'Ouest et les vents Sud-Nord vers l'Est pour un observateur se situant au Pôle Nord. Nous observons dès lors la formation de cyclones tournants dans le sens contraires des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord et inversement dans l'hémisphère Sud (à cause de la direction du vecteur

dans cette partie de l'hémisphère).

Comme second exemple, considérons les oscillations d'un pendule. Pour des oscillations de faible amplitude, nous pouvons supposer que le mouvement du pendule se fait selon une trajectoire horizontale. Si l'on fait osciller le pendule initialement dans la direction Nord-Sud, la force de Coriolis va dévier le mouvement du pendule vers la droite pour un observateur situé au Pôle Nord. En d'autres termes, le pendule tourne dans le sens des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord et dans le sens contraire dans l'hémisphère Sud. Cet effet observable est nul dans à l'équateur (parallélisme parfait entre

) et maximale aux Pôles.

Cet effet fut démontré de façon spectaculaire par le physicien français Jean Léon Foucault, quand en 1851 il suspendit un pendule de 67 mètres de long à l'intérieur du Dôme des Invalides. A chaque oscillation, le pendule faisait tomber du sable sur un cercle, ce qui démontrait expérimentalement que son plan d'oscillation de

par heure. L'expérience de Foucault est une preuve frappante de la rotation de la Terre. Même si la Terre était toujours couverte de nuages, cette expérience aurait montré aux physiciens que la Terre tournait.

Comme troisième exemple parlons des tourbillons que l'on peut observer dans la baignoire ou le lavabo. Ce n'est qu'une légende que ce dernier tourne différemment en fonction des hémisphères. Car la vitesse et la masse mises en jeu sont beaucoup trop faibles pour êtres observables dans de tels objets. Au fait, le sens de rotation est dû aux imperfections (aspérités) du siphon. Par contre, si vous allez en équateur, il y a des étudiants qui se font un plaisir de vous montrer que l'effet existe avec une petite expérience mise en place avec une allumette. En se déplaçant de dix mètres, ils vous montreront le sens de rotation du siphon change en fonction de l'hémisphère dans laquelle on se trouve!

THÉORÈMES DE KÖNIG

Nous avons vu jusqu'à maintenant, comment calculer le moment cinétique ou l'énergie cinétique d'un système dynamique par rapport à un unique référentiel (soit galiléen, soit barycentrique)

Les théorèmes de König donnent eux les moments cinétiques et l'énergie cinétique totale d'un système dynamique par rapport à un référentiel galiléen

et barycentrique

PREMIER THÉORÈME DE KÖNIG

Utilisons pour démontrer ce théorème le moment cinétique d'un corps de masse M (l'exemple étant toujours facilement extensible un système dynamique discret ou continu de matière).

Exprimons le moment cinétique d'un élément

du corps solide par rapport à l'origine O du référentiel galiléen

(noté :

par la suite) :

Exprimons le moment cinétique dans

par rapport à son centre de masse G (noté :

) :

Étudions maintenant la valeur que prend chacun des quatre termes de la relation précédente. Nous savons que par la définition du centre de masse que (dans un cadre non relativiste) :

Ce théorème qui se rapporte à un point fixe permet l'application plus aisée du théorème du moment cinétique.

DEUXIÈME THÉORÈME DE KÖNIG

Utilisons pour démontrer ce théorème l'énergie cinétique d'un corps de masse M (l'exemple étant toujours facilement extensible un système dynamique discret ou continu de matière).

Exprimons le moment cinétique d'un élément

du corps solide par rapport à l'origine O du référentiel galiléen

(noté :

par la suite) :

Exprimons l'énergie cinétique dans

par rapport à son centre de masse G (noté :

) :

et comme pour le moment cinétique, de par la définition du centre de masse, nous avons :

MOUVEMENTS OSCILLATOIRES

Le mouvement oscillatoire est le mouvement d'un corps qui va et vient de part et d'autre de sa position d'équilibre. Il existe une quantité incroyable de phénomènes physiques de ce genre. Nous allons traiter dans cette section les grands classiques à partir desquels les développements sur des phénomènes plus complexes s'inspirent.

Nous étudierons dans l'ordre les pendules des plus simples aux plus complexes et utiliserons souvent des résultats antérieurs pour en déterminer de nouveaux.

Nous retreindrons notre étude des mouvements oscillatoires aux pendules. Les autres viendront au fur et à mesure dans leurs chapitres respectifs.

Il existe neufs pendules très connus qui sont les suivants (ordre dans lequel nous les étudierons): pendule de Newton, pendule simple, pendule physique, pendule élastique, pendule conique, pendule de torsion, pendule de Foucault, pendule de Huygens.

PENDULE DE NEWTON

Nous n'allons pas trop nous étendre à décrire le pendule de newton. Une photo suffira:

Si vous lancez une bille, à l'extrémité une seule et unique bille se déplacera. Cela semble logique et cohérent d'après la conservation de la quantité de mouvement qui découle de la conservation de l'énergie comme nous l'avons déjà vu.

Un peu plus curieux, lorsque vous lancez initialement deux billes, ce sont deux billes qui se déplacement à l'autre extrémité!

La démonstration est simple et le fonctionnement se base sur une condition très simple que nous allons déterminer pour le cas particulier de deux billes (c'est toujours le même principe pour un nombre de billes supérieur) :

Soit

les quantités de mouvement des deux billes initiales et

les deux billes se situant à l'autre extrémité. Nous avons donc:

Ensuite après division de la deuxième relation ci-dessus par la première, nous déduisons l'expression des vitesses après le choc:

Hypothèse: supposons maintenant qu'en prenant une seule des billes (

), il y en ait deux qui partent à l'autre extrémité tel que:

Prenons le cas où toutes les billes du pendule de Newton ont la même masse (cas correspondant à celui que l'on trouve dans le commerce). Alors:

Nous voyons que notre hypothèse initiale impossible: si à masses égales, une seule bille est lancée alors, à l'autre extrémité, une seule bille partira.

Par contre, si nous lançons deux billes dans un pendule de Newton composé de masses identiques nous avons après simplification des équations:

Il suffit de procéder à des raisonnements identiques pour 3, 4, 5, ... billes.

PENDULE SIMPLE

Soit, T la période de temps nécessaire pour qu'un pendule simple (voir figure ci-dessous) parcoure un cycle complet et que l'on peut écrire:

qui est donc l'inverse de la "fréquence propre" du système en l'absence de frottement.

Si l'angle est petit, nous pouvons remplacer avec l'aide de la série de Taylor et sans erreur trop grave, par le premier terme de son développement en série:

Donc la période de balancement est indépendante de l'amplitude ce qui explique pourquoi le nombre de balancements par minute d'un pendule simple est constant, quelle que soit l'ardeur que nous mettions à le faire balancer...

où est la position du centre de masse de l'objet et P le nombre éventuels de maillons que l'on aurait pris pour la longueur L de la chaîne et P étant le pas de la chaîne.

PENDULE PHYSIQUE

Nous appelons "pendule physique" un solide quelconque pouvant osciller librement dans la pesanteur, autour d'un axe A, avec une petite amplitude (

où M est le moment de rappel et

le moment d'inertie du pendule par rapport à son axe d'appui A.

En faisant une analyse des forces sur notre pendule nous obtenons une autre relation pour M:

pour

et où d est la distance de l'axe d'appui du pendule à son centre de masse. Le terme négatif apparaît ici pour exprimer le fait que la période diminue avec le temps. Comme l'angle est petit, nous avons remplacé et sans erreur trop grave par le premier terme de son développement en série de Taylor:

Nous avons vu dans les mouvements harmoniques oscillants que nous obtenions la position angulaire d'une masse par la relation:

En exprimant le moment d'inertie

au moyen du théorème de Steiner en déduisons que:

Soit x la position de l'axe de rotation A mesurée par rapport à une origine quelconque et a la position du centre de gravité par rapport à la même origine nous avons:

comme la racine nous gêne nous élevons le tout au carré, ce qui nous donne finalement

Comme nous connaissons x et T, cette relation nous permettrait à partir du tracer un graphique permettant de déterminer la position de G et k.

En dérivant

par rapport à x et en annulant les dérivées, nous trouvons la position des minima :

PENDULE ÉLASTIQUE

Étudions maintenant les oscillations propres d'un solide suspendu à un ressort élastique tel qu'il oscille. Après l'écart du solide de la position d'équilibre, il accomplira des oscillations harmoniques dans le sens vertical, si le ressort élastique subit des déformations proportionnelles à l'allongement du ressort.

Nous aurons souvent dans ce site à faire avec de petits mouvements autour d'une position d'équilibre. Ce type de mouvement caractéristique de ce que nous appelons un "oscillateur harmonique" est très fréquent. Il se généralise à toutes sortes de situations physiques, telles que les circuits RLC (cf. chapitre de Génie Électrique), le modèle quantique corpusculaire et ondulatoire de l'atome, les résonateurs à quartz ou toute autre structure vibrante faiblement autour de son point d'équilibre.

Nous savons que la force de rappel d'un ressort est proportionnelle et opposée à la déformation telle que (voir le chapitre de Génie Civil pour la démonstration):

Nous prendrons la démarche très simple qui consiste à essayer une solution, en l'occurrence:

Pour trouver A et B, il faut spécifier les conditions initiales. Prenons par exemple:

Calculons maintenant le travail (énergie) nécessaire pour déformer l'oscillateur harmonique. Nous avons :

Ainsi, l'énergie potentielle élastique dans un ressort de constante k, ayant subi une déformation x est donc donnée par :

Pour une description plus réaliste, une meilleure modélisation, nous allons supposer que l'oscillateur est soumis à une force supplémentaire représentant les frottements. Il arrive souvent que l'approximation par laquelle la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, et opposée à la vitesse, soit une bonne approximation. Ce n'est pas la seule possible, et ce n'est pas toujours la meilleure. Nous parlerons des forces de frottement plus tard.

Ainsi nous considérons une force de friction de la forme (ne pas confondre avec la notation du moment cinétique qui n'a absolument aucun rapport):

Pour se conformer à une notation usuelle dans le cadre de l'oscillateur, nous notons:

Nous verrons qu'il correspond à un amortissement faible. En effet, nous pouvons écrire avec des racines carrées réelles:

En utilisant les propriétés complexes des exponentielles et en particulier la "formule d'Euler" (cf. chapitre sur les Nombres) :

PENDULE CONIQUE

Le pendule conique consiste à prendre une masse m considérée comme ponctuelle et suspendue en A d'un fil

fixé en O.

La masse étant écartée d'un angle

de la verticale, l'objectif de ce pendue est fréquemment (car c'est le cas le plus simple) de déterminer la dépendance entre l'angle et la vitesse si l'on considère que les trajectoires sont circulaires.

La masse m se déplace autour de la verticale OC, en décrivant un cercle de rayon:

L'angle

est donc d'autant plus grand que la vitesse angulaire

est élevée, ce que confirme l'expérience. Pour cette raison, le pendule conique fut longtemps utilisé comme régulateur de vitesse sur les machines à vapeur (il ferme l'arrivée de vapeur quand la vitesse dépasse une limite fixée à l'avance et l'ouvre quand elle tombe au-dessous de cette valeur).

PENDULE DE TORSION

Le pendule de torsion est un système qui fut utilisé par Coulomb pour mesure de la charge électrique élémentaire et par Cavendish pour la mesure de la constante gravitationnelle G.

Le pendule de torsions consiste en un solide rigide suspendu à fil de torsion vertical. Lors des oscillations le fil exerce un moment de rappel que l'on supposera proportionnel à l'angle de torsion

où k est la "constante de torsion" de ce fil particulier (cf. chapitre de Génie Mécanique).

Par analogie avec le pendule physique où nous avions une équation différentielle identique à un facteur près, il vient:

PENDULE DE FOUCAULT

Le pendule de Foucault est une expérience formidable pour rendre compte de la rotation de la Terre. Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour analyser le comportement du pendule de Foucault. Nous avons choisi de présenter la plus simple qui ne nécessite que peu de pages de calcul.

D'abord un petit texte explicatif peut s'avérer pertinent tellement cette expérience est importante.

L'expérience de Foucault a pour but de démontrer que la Terre tourne sur elle-même. Vous lancez un balancier (ne bille de plomb au bout d'un fil). Il a un mouvement de va-et-vient régulier dans la même direction. Si vous l'emportez dans une voiture et que vous ne tournez pas trop brusquement, le pendule se moque des virages : il continue à battre dans la même direction. C'est qu'un pendule reste toujours dans le même plan, malgré les mouvements de son support.

C'est pourquoi le physicien français Léon Foucault eut l'idée d'attacher un lourd balancier de 67 mètres de long sous le dôme du Panthéon, en présence de Napoléon III et de quelques savants. A chacune de ses allées et venues, le pendule venait écorner un tas de sable où il laissait une marque. Or, la trace n'était jamais à la même place: il y avait 3 à 4 millimètres d'écart entre un balancement et le suivant, 16 secondes plus tard. Le pendule restait dans le même plan, mais le Panthéon, Paris, la Terre tournaient!

Nous considérons que c'est la vue d'un référentiel géocentrique (la Terre) vu en coupe selon un plan qui contient l'axe de rotation.

La taille du pendule est bien évidemment exagérée sur la figure. Il oscille cependant quand même dans un plan méridien, entre A et B (un observateur terrestre voit la droite AB tourner par rapport au sol terrestre selon le cercle vert, vu en perspective, dans le sens rétrograde).

La vitesse de A (

) , sur ce cercle, est due au fait que, dans le référentiel géocentrique, le point M, à la verticale du point de suspension, et le point du sol Terrestre coïncidant avec A à un instant donné, n'ont pas la même vitesse dans le référentiel géocentrique: le point M étant plus éloigné de l'axe de rotation Terrestre: la distance MM' étant plus grande que B (de même la vitesse de B étant supérieure à la vitesse de M).

La différence de ces vitesses se calcule aisément en supposant que la rotation terrestre est uniforme en raisonnant sur une période d'une journée (sidérale)

La période du pendule du Panthéon (aller et retour) est de 16.5 secondes, l'amplitude maximale de 6 mètres et le temps d'amortissement de 6 heures. Nous pouvons ainsi observer un déplacement de plusieurs millimètres par aller et retour du pendule.

Remarque: Le sens de la rotation est celui des aiguilles d'une montre, pour un observateur placé au dessus du pendule, dans l'hémisphère Nord ; et dans le sens contraire du sens de rotation des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Sud.

Aux pôles (où l'angle est de 90° et le sinus unitaire), la période du pendule égale celle de la Terre et est donc de 24h. A l'équateur (où l'angle est de 0° et le sinus nul), la période de rotation du plan d'oscillation est infinie : le plan d'oscillation est fixe par rapport à la Terre. A Paris (où l'angle est de 48°52' et le sinus 0.75), la période de rotation est de 31 heures et 57 minutes.

Le plan d'oscillation du pendule est en réalité fixe et c'est la rotation de la Terre sur elle-même qui donne lieu à une rotation apparente. Mais finalement... que est le système de référence ?

En effet, tout mouvement est relatif. Si la Terre est en rotation, elle l'est par rapport à quelque chose. Nous ne pouvons pas parler d'un mouvement sans définir un cadre de référence. La question qui se pose donc est de savoir par rapport à quel système de référence le plan d'oscillation du pendule est fixe.

La première idée qui vient à l'esprit consiste à dire que le plan du pendule est fixe par rapport au Soleil. Mais, si Foucault avait réussi à construire un pendule capable d'osciller suffisamment longtemps, disons pendant un mois, il se serait aperçu que le plan d'oscillation dérivait également par rapport à la position du Soleil. Notre étoile ne fait donc pas partie du système de référence en question.

Peut-être faut-il alors considérer les étoiles proches du Soleil ? Mais là aussi, si l'expérience pouvait durer suffisamment longtemps, elle montrerait que le plan des oscillations se déplace nettement par rapport aux étoiles après quelques années. Quel objet choisir dans ce cas ? Le centre galactique, la galaxie d'Andromède, le Groupe Local, le superamas local ? Chacun de ces objets donnerait l'illusion d'être fixe par rapport au plan des oscillations, mais finirait, après un temps de plus en plus long, par révéler une dérive.

Finalement, en dernier recours, nous pouvons considérer les objets les plus lointains, les galaxies ou quasars situés à des milliards d'années-lumière. Avec ce système de référence, et si l'expérience de Foucault était réalisable, le plan des oscillations serait enfin fixe et il n'y aurait plus de dérive. Ce n'est donc qu'en considérant les objets les plus lointains, en fait l'Univers observable dans son ensemble, que nous pouvons obtenir un cadre par rapport auquel le plan des oscillations se stabilise.

Le pendule de Foucault se moque donc de la présence de la Terre, du Soleil ou de la Galaxie. Son mouvement lui est directement dicté par l'Univers dans son ensemble. Cette expérience met en évidence une sorte de lien mystérieux entre chaque point et l'Univers tout entier. Jusqu'à nouvel ordre, la nature de ce lien reste inconnue.

Une conclusion similaire fut tirée par le physicien autrichien Ernst Mach à la fin du XIXe siècle (nous retrouverons le "principe de Mach" dans le chapitre de Relativité Restreinte).

D'après la physique de Newton, le produit de la masse d'un corps par son accélération est égal à la force qui s'exerce sur lui. Par conséquent, pour une force donnée, plus un objet est massif, plus son accélération est faible. De ce point de vue, la masse est donc une mesure de l'inertie du corps, c'est-à-dire de sa faculté à résister à une force.

Supposons maintenant que toute la matière de l'Univers disparaisse, excepté pour ce corps. Ce dernier est alors complètement isolé et plus aucune force ne s'exerce sur lui. Cela signifie, d'après la physique de Newton, que le produit de sa masse par son accélération est égal à zéro. Or l'accélération ne peut pas être nulle. En effet, comme toute la matière de l'Univers a disparu, il n'y a plus de système de référence par rapport auquel on pourrait définir la vitesse ou l'accélération. Cette dernière est donc indéfinie et non pas nulle. D'un point de vue mathématique, il ne reste qu'une seule possibilité, que la masse du corps soit nulle.

Ce raisonnement montre que la masse et l'inertie d'un corps ne sont pas vraiment des propriétés de l'objet lui-même, mais plutôt le résultat d'une interaction avec le reste de l'Univers. Tout comme le pendule de Foucault, le principe de Mach nous montre qu'il doit exister une sorte de connexion entre les propriétés locales d'un corps et les propriétés globales de l'Univers. Comme dans le cas précédent, la nature de cette connexion mystérieuse reste à déterminer.

PENDULE DE HUYGENS

Nous cherchons à construire un pendule dont la période soit indépendante de l'amplitude. Pour cela nous disposons deux lamelles de forme cycloïdale à des positions symétriques et déterminées telles que représentées sur la figure ci-dessous:

Le choix de la cycloïde est du au fait qu'il s'agit d'une courbe "brachistochrone" (voir la définition plus bas) et depuis les travaux de Huygens en 1659, nous savons aussi qu'il s'agit d'une courbe "tautochrone" (les balanciers dans les montres modernes ont par tradition cette forme). C'est-à-dire que les corps qui tombent dans une cycloïde renversée arrivent au point le plus bas dans le même temps, de quelque hauteur qu'ils commencent à tomber.

Donc contrairement à une idée reçue, le chemin le plus rapide pour un corps en mouvement non horizontal tombant sur un support solide n'est pas la ligne droite.

En effet, l'un des problèmes les plus connus de l'histoire des mathématiques est le problème du brachistochrone qui consiste donc à trouver la courbe le long de laquelle une particule glisserait d'un point à un autre en un minimum de temps en étant soumis à un champ uniforme de pesanteur. Ce problème a été posé par Jean Bernoulli en 1696 comme un challenge pour les mathématiciens de son époque (et s'en fut un !!!). La solution fut trouvée par Jean Bernoulli lui-même ainsi que par son frère Jacques Bernoulli, Newton, Leibniz et le marquis de l'Hospital. Le problème brachistochrone est important dans le développement des mathématiques et s'avère être une des applications principales de la méthode du calcul des variations.

Nous considérons dans le champ de la pesanteur deux points a et b et un point matériel m se déplaçant sans frottement sur une courbe d'extrémités a et b. Déterminer la courbe, appelée brachistochrone, pour laquelle le temps de parcours est minimal lorsque le point m part du point avec une vitesse nulle.

A l'abscisse x sur le graphe, l'énergie potentielle perdue est

, équivalente à l'énergie cinétique acquise par le point matériel depuis le départ telle que:

La vitesse v est mesurée le long de la courbe si bien que nous devons réécrire l'expression en composantes horizontales et verticales:

Nous allons poser que s représente l'abscisse curviligne et ds l'accroissement de cette distance le long de la courbe. dx et dy représentent les composantes horizontales et verticales de ds.

- dx et dy sont données par le théorème de Pythagore exactement de la même façon que nous l'avions fait dans notre cadre d'étude du formalisme lagrangien.

Nous nous retrouvons avec une fonction similaire à celle que nous avions lors de notre étude d'un cas pratique du formalisme lagrangien.

Il s'agit maintenant de trouver le minimum atteint par t parmi toutes les fonctions y(x) satisfaisant:

Le problème fondamental dit du "calcul des variations" consiste à chercher, parmi les fonctions

continûment dérivables sur un intervalle donné [a,b] et pour lesquelles les fonctions f(a) et f(b) sont des valeurs données, celles qui rendent maximum ou minimum l'intégrale précédente.

Pour appliquer cette méthode, nous partons de l'équation d'Euler-Lagrange (cf. chapitre de Mécanique Analytique) :

Identiquement à ce que nous avons vu dans notre exemple dans le cadre de notre étude du formalisme lagrangien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) nous avons dans notre cas:

En remplaçant dans l'équation différentielle d'Euler-Lagrange, nous trouvons:

Il faut donc résoudre cette équation différentielle pour trouver la fonction qui donne le chemin le plus rapide.

Il existe une fonction paramétrique qui satisfait cette équation différentielle (dont je ne possède pas la démonstration formelle mais uniquement avec Maple...). C'est l'équation paramétrique de la cycloïde justement ! Donnée par:

Donc le temps requis pour aller du haut au bas de la cycloïde que décrit le pendule de Huygens est :

L'énoncé en 1696 du problème brachistochrone peut être considéré comme l'authentique acte de naissance du calcul des variations, car c'est ce problème qui suscite la recherche de méthodes générales progressivement élaborées au cours d'une véritable compétition.

Remarque: Une ligne brachistochrone d'une surface est une courbe sur laquelle doit glisser sans frottement un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme de sorte que le temps de parcours soit minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés. Autrement dit, ce sont les lignes les plus courtes en temps, alors que les géodésiques (cf. chapitre de Relativité Restreinte) sont les lignes les plus courtes en distance.

TRIBOLOGIE

Définition: La "tribologie" est la science des frottements (notion très intuitive à tout un chacun car nous pouvons ressentir ses effets dans la vie quotidienne) qui interviennent lorsque deux surfaces en contact sont mises en mouvement l'une par rapport à l'autre, produisant une force qui s'oppose au mouvement.

La plupart de ces phénomènes relatifs aux frottements peuvent se comprendre en première approximation sur la base des lois phénoménologiques du frottement énoncées dès le 18ème siècle par Amontons et Coulomb (mais déjà mises en évidence par Léonard de Vinci 200 ans auparavant), à partir de la notion de coefficient de frottement.

1. Le "frottement statique" est celui qui oppose une résistance lorsqu'un objet posé sur un plan est à la limite du glissement pas alors qu'on lui impose une force de traction

(tangentielle au plan). Cette opposition à la force de traction est par ailleurs expérimentalement proportionnelle au poids

de l'objet.

Mais intervient une valeur limite de la force tangentielle de traction à partir de laquelle l'objet commence à glisser. C'est ce que nous notons:

où

est donc la force limite de traction permettant de faire bouger l'objet initialement statique,

est le "coefficient de frottement statique" sans dimensions et exprime la proportionnalité de la force limite de frottement avec le poids

de l'objet.

Remarque: Dans la pratique, il est infiniment facile de déterminer ce coefficient avec un simple dynamomètre pour connaître la force limite et une balance pour connaître le poids de l'objet étudié.

Nous observons expérimentalement que contrairement à l'intuition, la force limite de traction est en première approximation indépendante de la surface de contact entre l'objet et le sol (dans les limites des cas physiques courants évidemment car plus la surface est petite, plus la pression est grande et alors la surface de contact peut devenir plastique aux hautes pressions).

Autrement dit, si un kilo de sucre est posé sur une table. Pour déplacer cet objet, de poids

(la masse multipliée par la constante de gravité), il faut exercer une force

parallèlement à la surface de la table. Mais l'expérience montre que cet objet ne déplacera pas tant que la force

est inférieure à une force minimale

. Et Amontons et Coulomb ont montré que cette force minimale est directement proportionnelle via un coefficient de frottement statique au poids.

Nous pouvons détailler l'approche de la relation précédente en s'imaginant deux surfaces présentant des rugosités en dents de scie d'un angle

et imbriquées:

Si nous appliquons une force normale correspondant au poids

et une force horizontale

nous avons à cause des dents de scie dans le cas limite la situation suivante:

nous voyons alors bien que la pièce mobile commencera à bouger que quand il y aura début de glissement soit lorsque:

Pour simpliste qu'elle soit, cette approche permet de lier le frottement (statique) aux caractéristiques de la rugosité. De plus les valeurs expérimentales typiques des coefficients de frottement statique, de l'ordre de 0.3, correspondent à des pentes de la rugosité de surface de l'ordre de 15-20 degrés, ce qui est tout à fait compatible avec les caractéristiques typiques que l'on peut mesurer pour les rugosités de surfaces!

Cet argument repose cependant sur une hypothèse implicite : l'emboitement parfait entre les rugosités des deux surfaces. Nous parlons dans ce cas de "surfaces commensurables". Ce n'est bien sûr pas le cas en général dans la nature : même à l'échelle atomique, deux surfaces idéales, présentent des légères différences de distance interatomique qui empêchent l'emboîtement. Une légère disparité suffit à rendre très irrégulière la répartition des points de contact entre les deux surfaces contrairement au cas commensurable. Nous parlons alors de "surfaces incommensurables".

Autrement dit, nous aboutissons très vite à la conclusion que le frottement entre deux surfaces commensurables en tout point est non-nul, tandis qu'il s'annule exactement si ces deux surfaces sont en tout point incommensurables.

2. Le "frottement dynamique" est celui qui oppose une résistance lorsqu'un objet posé sur un plan est déjà en glissement. Cette opposition à la traction est par ailleurs expérimentalement proportionnelle encore une fois au poids de l'objet tel que:

mais avec le "coefficient de frottement dynamique" (qui existe en plusieurs sous-familles: coefficient de roulement, de glissement, ....) qui est en général beaucoup plus petit que le coefficient de frottement statique:

Donc le frottement n'est pas le même au départ de notre objet que lors de son glissement. Cela correspond très bien à notre expérience quotidienne du frottement (lors de déplacements de meubles dans nos habitations par exemples).

A nouveau, nous remarquons expérimentalement que contrairement à l'intuition, la force de traction est indépendante de la surface de contact entre l'objet et le sol.

Ainsi, que l'on pose le kilo de sucre bien à plat ou sur la tranche, la force de frottement est la même (si la qualité de surface est la même de tous les côtés du paquet de sucre)!

Un autre fait étonnant concerne la valeur typique de ces coefficients de frottement, qui s'écarte assez peu de

, pour des surfaces très différentes les unes des autres. La technologie permet toutefois de concevoir des surfaces avec des coefficients de frottement soit bien plus petits (

) soit plus grand (

- Tout solide n'est jamais lisse mais possède des aspérités qui rendent la surface de contact rugueuse (les aspérités s'imbriquent partiellement ou non et provoquent plus ou moins de frottement).

- Les impuretés entre les deux surfaces de contact sont souvent plus importantes au niveau des sources de frottement que les imbrications des aspérités de surface.

- Le frottement est faiblement dépendant de la surface car la rugosité à l'échelle atomique est telle que seulement un très faible pourcentage de la surface totale des deux objets sont réellement en contacts (surface de contact réelle est donc beaucoup plus petite que la surface de contacta apparente) ce qui explique que la force de traction tangentielle soit proportionnelle au poids car cela force la surface de contact réelle à augmenter.

La complexité sous-jacente du frottement est donc extrême. L'origine du frottement fait dans la réalité intervenir une multitude d'ingrédients, couvrant un spectre très large de phénomènes physiques : rugosité des surfaces, élasticité, plasticité, adhésion, lubrification, thermique, usure, chimie des surfaces, humidité, etc.

Nous allons ici faire une analyse scolaire des quelques frottements courants dans les cas d'études simples de la physique cinétique (du mouvement). Il faut bien prendre garde que ces modèles sont simplifiés à l'extrême afin de montrer seulement la démarche intellectuelle.

FROTTEMENT VISQUEUX HORIZONTAL

Nous avons donc vu qu'en première approximation, la force de frottement dans le cas de glissement est proportionnelle au poids d'un corps par un coefficient de frottement dont la valeur dépend de la nature et de l'état des surfaces de contact mais indépendant de l'aire de contact. Cependant nous n'avons pas dit que l'expérience montre que dans des cas réels typiques la force de frottement est aussi indépendante de la vitesse communiquée au corps.

En lubrifiant par un fluide visqueux les surfaces en contact, la force de frottement est réduite et dépend de la vitesse (c'est typiquement le cas des pneus de voiture qui sont visqueux).

Remarque: Pour rappel, le terme "visqueux" ne signifie par forcément que ça coule et que ça bave. Cela signifie que la loi de comportement dépend de la vitesse de déformation (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus).

Considérons alors un mobile en contact avec un sol plan via un fluide ou matériau visqueux. Nous savons qu'il y aura frottement et supposons que celui-ci soit proportionnel à la vitesse:

Ainsi, la vitesse décroit exponentiellement de vitesse initiale jusqu'à une valeur nulle asymptotique sous l'hypothèse de proportionnalité du frottement avec la vitesse.

C'est une relation très souvent utilisée dans les animations faites par ordinateur représentant des objets qui semblent s'arrêter de manière naturelle. Il faut simplement bien choisir la valeur de k.

Nous observons une chose intéressante c'est qu'un corps mobile lourd décélère moins vite à cause des forces de frottement qu'un corps mobile léger!

Montrons comment nous calculons la puissance perdue par frottement. Nous savons que:

si la variation de la force est négligeable par rapport à la variation de vitesse nous avons alors:

Ainsi, la puissance dissipée lors d'un mouvement est proportionnelle à la vitesse en cas de frottement coulombien et proportionnelle au carré de la vitesse en cas de frottement visqueux.

FROTTEMENT VISQUEUX VERTICAL

Soit un solide indéformable chutant à la verticale dans un champ de gravité. Nous assumons que la forme de la résistance de l'air est proportionnelle à la vitesse (comportement visqueux aux faibles vitesses):

La solution de cette équation différentielle linéaire du 1er ordre est (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

En posant qu'à l'instant nul nous avions une vitesse initiale donnée il vient:

Ainsi, nous voyons que lorsque le temps tend vers l'infini (suffisamment grand quoi...) alors la vitesse tend vers:

C'est une relation très souvent utilisée dans les animations faites par ordinateur représentant des objets qui semblent freiner jusqu'à une vitesse constante de manière naturelle.

FROTTEMENT VISQUEUX DE STOKES VERTICAL

C'est typiquement le cas du parachutiste effectuant une chute libre. Nous avons vu dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus que la force visqueuse de Stokes était donnée par (comportement visqueux aux vitesses moyennes et élevées):

L'équation différentielle est la même qu'avant dans le cas de la présence du champ de gravitation à la différence que la vitesse est cette fois-ci au carré:

mais nous n'allons pas chercher à la résoudre, seulement à déterminer la valeur limite de la vitesse et justement vitesse limite est atteinte lorsque celle-ci.... ne varie plus (ben oui forcément...). Donc à ce moment:

Ainsi, il est possible de changer sa vitesse de chute limite en fonction de son facteur de forme, et de sa surface d'exposition apparente et de sa masse (dans le cas d'étude ci-dessus nous négligeons la force d'Archimède qui s'applique sur la parachutiste et qui freine aussi sa chute).

Considérons une sphère de rayon R, de masse volumique

lâchée sans vitesse dans un liquide de masse volumique

, de viscosité

. La sphère est soumise à son propre poids, à une force de frottement visqueux et à la poussée d'Archimède.

où les deux derniers termes (force visqueuse de Stokes aux faibles vitesses et force d'Archimède) ont été démontrés dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus.

Résolvons ceci dit l'équation différentielle en commençant par celle sans second membre (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

Nous avons alors vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que la solution homogène était alors donnée par:

Nous pouvons ajouter la solution particulière qui est logiquement lorsque t tend vers l'infini:

Il nous reste à déterminer C qui s'obtient lors t tend vers 0 car nous avons alors:

FROTTEMENT VISQUEUX DE STOKES HORIZONTAL

C'est une première approximation où l'on s'intéresse par exemple à la distance d'arrêt sans freinage d'un mobile sans prendre en compte le coefficient de frottement avec le sol mais seulement avec l'air ambiant (vitesse subsonique toujours...).

Supposons que nous souhaitions savoir en quel temps T le mobile qui avait une vitesse initiale

aura décéléré à une vitesse donnée

où nous observons déjà un premier problème avec ce modèle c'est que à l'arrêt, la vitesse finale étant nulle, il faudra un temps infini pour y arriver... mais continuons, nous reviendrons plus loin sur ce constat.

La distance parcourue à l'instant t en laissant le mobile ralentir que par les forces de frottement donc:

Le résultat est joli mais on se rend bien compte que c'est pas vraiment juste car à un temps infini, la voiture aura parcourue une distance infinie ce qui est manifestement irréaliste. Cela provient du modèle qui est trop simpliste donc améliorons-le.

L'idéal, objectivement parlant, serait de prendre en compte le frottement visqueux pneu/sol plus le frottement de l'air. Nous aurions alors:

mais le problème avec cette équation différentielle, c'est qu'elle va nous amener à une singularité si nous continuons les calculs. Elle n'est donc pas exploitable...

qui exprime donc qu'il y a une force de frottement proportionnelle au poids du véhicule ce qui est simplement la forme suivante de la deuxième loi de Coulomb:

et le deuxième terme étant le frottement visqueux de Stokes dont nous avons sorti le terme de masse compris dans la densité se trouvant implicitement dans la constante k de

Donc on voit déjà que dans ce modèle nous allons perdre l'effet de la masse qui a normalement pour implication de rallonger le trajet d'arrêt (dans la réalité!). Mais continuons quand même...

Nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que:

Donc on tombe maintenant déjà sur un temps fini... ce qui est plus rassurant comme résultat.

Nous avons donc notre résultat final. Meilleur que le précédent mais indépendant de la masse... mais en attendant c'est mieux que rien...