loadingPage en cours de chargement
    ACCUEIL | TÉLÉCHARGER | QCM | DON | ANNONCES | CHAT | FORUM | LIVRE D'OR | PARTENAIRES | CONTACT | BLOG | A PROPOS
 
  Rechercher
  separation
  Introduction
  Arithmétique
  Algèbre
  Analyse
  Géométrie
  Mécanique
  Électrodynamique
  Atomistique
  Cosmologie
  Chimie
  Informatique Théorique
  Maths. Sociales
  Ingénierie
  separation
  Biographies
  Références
  Liens
  separation
  Humour
  Serveur d'exercices
  separation
  Parrains
3 connectés
News News :: Erreur Erreur :: Statistiques Visiteurs :: ClearType ClearType :: Imprimer Imprimer :: Bookmark and Share

Mécanique

PRINCIPES | MÉCANIQUE ANALYTIQUE | MÉCANIQUE CLASSIQUE
MÉCANIQUE ONDULATOIRE
MÉCANIQUE STATISTIQUE | THERMODYNAMIQUE
MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

30. MÉCANIQUE CLASSIQUE RATIONNELLE (2/2)

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2016-08-28 10:00:52 | {oUUID 1.812}
Version: 3.2 Révision 9 | Rédacteur: Vincent ISOZ  | Avancement: ~80%
viewsvues depuis le 2012-01-01: 11'530

Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

MOUVEMENTS RELATIFS ET FORCES D'INERTIES

Voyons maintenant des développements qui vont nous permettre d'introduire un élément très important et utile en mécanique des fluides (cf. chapitre de Mécanique Statistique) et en météorologie (cf. chapitre de Génie Marin & Météo).

Considérons un référentiel fixe X, Y, Z et un référentiel mobile x, y, z. Ils sont donc en mouvement relatif et nous envisageons une rotation possible du référentiel mobile. Il s'agit d'exprimer, la vitesse, l'accélération d'un point P de l'espace au moyen des coordonnées du référentiel fixe (coordonnées absolues) à partir de celles attachées au référentiel mobile (coordonnées relatives) et du mouvement d'entraînement du référentiel mobile.

Nous définissons dans notre étude:

equation vecteur de position de P par rapport au référentiel mobile

equationvecteur de position de P par rapport au référentiel fixe

equation vecteur de position de O par rapport à l'origine du référentiel fixe

equation vitesse absolue de P par rapport au référentiel fixe (supposé inconnue)

equation accélération absolue de P par rapport au référentiel fixe (supposé inconnue)

equation vitesse relative de P par rapport au référentiel mobile (supposé connue)

equation accélération relative de P par rapport au référentiel mobile (supposé connue)

equation vitesse d'entraînement au point O du mouvement relatif du référentiel mobile par rapport au référentiel fixe (supposé connue)

equation accélération d'entraînement du référentiel mobile (supposé connue)

equation vitesse angulaire du référentiel mobile

equation
Figure: 30.1 - Exemple de référentiel en mouvement et en rotation par rapport à un référentiel fixe

la position du point P est donc donnée par la "relation de composition des positions":

equation   (30.1)

La vitesse absolue se calcule comme suit:

equation   (30.2)

Le dernier terme est la contribution due à la rotation du référentiel mobile. Il s'agit maintenant d'exprimer la valeur de cette contribution en envisageant des rotations d'angle equation autour de chacun des axes, successivement:

 

equation

equation
  (30.3)

Nous obtenons ainsi les vecteurs élémentaires equationfigurant les déplacements des extrémités des vecteurs-unités equation. Nous les introduisons dans l'expression ci-dessous qui devient, après réarrangement des termes:

equation  (30.4)

par définition du produit vectoriel. La vitesse absolue du point P s'exprime donc selon la "loi de composition des vitesses":

equation   (30.5)

nous constatons que dans le cas particulier où le référentiel mobile ne subit qu'une translation equation, nous trouvons l'équation equation caractéristique de la transformation de Galilée et nous disons alors que les référentiels sont en "translations relatives".

Remarque: Si nous nous concentrons uniquement sur les termes de vitesse d'entraînement et de rotation du référentiel mobile nous obtenons alors ce que nous appelons la "formule de Bour".

En procédant de la même façon que pour la recherche de la vitesse absolue il vient, en dérivant la relation précédente:

equation   (30.6)

avec:

equation   (30.7)

Si nous regroupons les termes:

equation   (30.8)

Si nous regroupons les termes:

equation   (30.9)

Si nous regroupons les termes:

equation   (30.10)

et nous avons: 

equation   (30.11)

Donc:

equation   (30.12)

Finalement:

equation   (30.13)

mais (!) rappelons-nous que:

 equation   (30.14)

ainsi:

 equation   (30.15)

L'accélération absolue ou la "loi de composition des accélérations" s'exprime alors comme:

equation   (30.16)

Le terme:

equation   (30.17)

est appelé "accélération de Coriolis" (~1820) et le terme equation est simplement l'expression de l'accélération centripète dans ce cas particulier.

La loi de Newton equationdoit comporter tous les termes contenus dans l'équation générale ci-dessus. Pour un observateur situé dans le système fixe, cette loi s'écrit alors:

equation   (30.18)

où l'on a en premier terme à droite de l'égalité la force d'entraînement, en troisième la force de Coriolis et en dernier la force centripète.

Si le point P est lié rigidement au référentiel mobile, un observateur dans ce système ne perçoit aucun mouvement, par conséquent aucune accélération equation. Nous avons donc affaire à un système de forces en équilibre. Le problème de dynamique est alors ramené à un problème de statique. C'est le "principe d'Alembert".

exempleExemple:

Etant donné que pratiquement toutes nos observations sont faites sur Terre, c'est-à-dire dans un référentiel mobile dans l'Univers, la force de Coriolis peut y être mise en évidence.

L'étude du mouvement d'un corps par rapport à la Terre est l'une des applications les plus intéressantes de l'équation démontrée précédemment. La Terre a une vitesse angulaire (supposée constante!) dont la direction est celle de l'axe de rotation de la Terre. Appelons equation l'accélération de la pesanteur mesurée en un point A à la surface de la Terre si celle-ci ne tournait pas. equation correspond alors à equation.  En tirant l'accélération d'entraînement et relative nous obtenons l'accélération mesurée par un observateur en mouvement avec la Terre:

equation   (30.19)

equation est négligé dans le cas de la rotation de la Terre.

Nous considérons d'abord le cas d'un corps initialement au repos, ou se déplaçant très lentement de sorte que le terme de Coriolis est nul ou négligeable comparé au dernier terme. L'accélération que nous mesurons dans ce cas est appelée "accélération effective" de la pesanteur, et nous la désignons par equation

Par suite:

equation   (30.20)

En supposant que la Terre est une sphère (en fait sa forme s'en écarte légèrement) et qu'il n'y a pas d'anomalies locales, nous pouvons estimer que equation est dirigé vers le centre de la Terre. Le deuxième terme equation étant l'accélération centrifuge elle est dirigée vers l'extérieur.

Puisque equation est la somme de equation et de l'accélération centrifuge, la direction de equation, appelée la "direction verticale", s'écarte en réalité légèrement de la direction radiale; elle est expérimentalement déterminée par un fil à plomb. Les liquides se maintiennent toujours en équilibre avec leur surface perpendiculaire à equation.

L'ordre de grandeur de l'accélération centrifuge est: 

  equation   (30.21)

r est le rayon de la Terre. L'accélération centrifuge décroît de l'équateur aux pôles car le rayon de la Terre n'est pas constant (la Terre est aplatie aux pôles). Cette variation de l'accélération est toujours très petite quand nous la comparons avec la pesanteur equation mais elle explique cependant la plupart des variations observées de la valeur de la pesanteur avec la latitude. 

Le gradient de l'accélération centrifuge a pour effet de déplacer légèrement la direction radiale d'un corps qui tombe en chute libre: le déplacement est vers le Sud dans l'hémisphère Nord et vers le Nord dans l'hémisphère Sud.

Considérons ensuite le terme de Coriolis. Dans le cas de la chute d'un corps, la vitesse equation est dirigée vers le bas. D'autre part, comme equation se trouve le long de l'axe de la Terre , equationest dirigé vers l'Ouest. Le terme de Coriolis equation est donc dirigé vers l'Est; le corps qui tombe sera dévié dans cette direction.

Pour un corps tombant dans un plan parallèle et tangent à la surface de la Terre, nous avons:

equation
Figure: 30.2 - Illustration de l'effet de la force de Coriolis avec un projectile

C'est exactement ce phénomène que l'on observe dans le cas des cyclones (nous y reviendrons plus en détail dans notre étude de la météorologie dans le chapitre de Génie Météo). Une zone atmosphérique dépressionnaire (de faible pression relative) donnerait des courants atmosphériques (vents) convergents vers la dépression si la Terre ne tournait pas autour de son axe.

equationequation
Figure: 30.3 - Génération des cyclones de par la force de Coriolis

La force de Coriolis due à la rotation de la Terre dévie donc les vents Nord-Sud en direction de l'Ouest et les vents Sud-Nord vers l'Est pour un observateur se situant au Pôle Nord. Nous observons dès lors la formation de cyclones tournants dans le sens contraire des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord et inversement dans l'hémisphère Sud (à cause de la direction du vecteur equation dans cette partie de l'hémisphère).

Comme second exemple, considérons les oscillations d'un pendule. Pour des oscillations de faible amplitude, nous pouvons supposer que le mouvement du pendule se fait selon une trajectoire horizontale. Si l'on fait osciller le pendule initialement dans la direction Nord-Sud, la force de Coriolis va dévier le mouvement du pendule vers la droite pour un observateur situé au Pôle Nord. En d'autres termes, le pendule tourne dans le sens des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord et dans le sens contraire dans l'hémisphère Sud. Cet effet observable est nul à l'équateur (parallélisme parfait entre equation et equation) et maximale aux Pôles.

Cet effet fut démontré de façon spectaculaire par le physicien français Jean Léon Foucault, quand en 1851 il suspendit un pendule de 67 mètres de long à l'intérieur du Dôme des Invalides. A chaque oscillation, le pendule faisait tomber du sable sur un cercle, ce qui démontrait expérimentalement que son plan d'oscillation est de equation par heure. L'expérience de Foucault est une preuve frappante de la rotation de la Terre. Même si la Terre était toujours couverte de nuages, cette expérience aurait montré aux physiciens que la Terre tournait.

Comme troisième exemple parlons des tourbillons que l'on peut observer dans la baignoire ou le lavabo. Ce n'est qu'une légende que ce dernier tourne différemment en fonction des hémisphères. Car la vitesse et la masse mises en jeu sont beaucoup trop faibles pour être observables dans de tels objets. Au fait, le sens de rotation est dû aux imperfections (aspérités) du siphon. Par contre, si vous allez en équateur, il y a des étudiants qui se font un plaisir de vous montrer que l'effet existe avec une petite expérience mise en place avec une allumette. En se déplaçant de dix mètres, ils vous montreront que le sens de rotation du siphon change en fonction de l'hémisphère dans lequel on se trouve!

THÉORÈMES DE KÖNIG

Nous avons vu jusqu'à maintenant, comment calculer le moment cinétique ou l'énergie cinétique d'un système dynamique par rapport à un unique référentiel (soit galiléen, soit barycentrique)

Les théorèmes de König donnent eux les moments cinétiques et l'énergie cinétique totale d'un système dynamique par rapport à un référentiel galiléen equation et barycentrique equation

PREMIER THÉORÈME DE KÖNIG

Utilisons pour démontrer ce théorème le moment cinétique d'un corps de masse M (l'exemple étant toujours facilement extensible à un système dynamique discret ou continu de matière).

Exprimons le moment cinétique d'un élément equation du corps solide par rapport à l'origine O du référentiel galiléen equation (noté: equation par la suite):

equation   (30.22)

Exprimons le moment cinétique dans equation par rapport à son centre de masse G (noté: equation):

equation   (30.23)

Le référentiel equation étant en translation par rapport à equation, nous avons:

equation   (30.24)

Sans oublier que:

equation   (30.25)

que nous insérons dans l'expression du moment cinétique:

equation   (30.26)

De par la propriété du produit vectoriel, nous avons:

equation   (30.27)

Étudions maintenant la valeur que prend chacun des quatre termes de la relation précédente. Nous savons par la définition du centre de masse que (dans un cadre non relativiste):

equation   (30.28)

d'où:

equation   (30.29)

et également:

equation   (30.30)

Finalement, il vient:

equation
  (30.31)

Donc finalement:

equation   (30.32)

Ce théorème qui se rapporte à un point fixe permet l'application plus aisée du théorème du moment cinétique.

DEUXIÈME THÉORÈME DE KÖNIG

Utilisons pour démontrer ce théorème l'énergie cinétique d'un corps de masse M (l'exemple étant toujours facilement extensible à un système dynamique discret ou continu de matière).

Exprimons l'énergie cinétique d'un élément equation du corps solide par rapport à l'origine O du référentiel galiléen equation (noté: equation par la suite):

equation   (30.33)

Exprimons l'énergie cinétique dans equation par rapport à son centre de masse G (noté: equation):

equation   (30.34)

Avec de même que précédemment:

equation   (30.35)

Il vient dès lors:

equation   (30.36)

et donc:

equation
  (30.37)

et comme pour le moment cinétique, de par la définition du centre de masse, nous avons:

equation   (30.38)

d'où le deuxième théorème de König:

 equation   (30.39)

MOUVEMENTS OSCILLANTS

Le mouvement oscillatoire est le mouvement d'un corps qui va et vient de part et d'autre de sa position d'équilibre. Il existe une quantité incroyable de phénomènes physiques de ce genre. Nous allons traiter dans cette section les grands classiques à partir desquels les développements sur des phénomènes plus complexes s'inspirent.

Nous étudierons dans l'ordre les pendules des plus simples aux plus complexes et utiliserons souvent des résultats antérieurs pour en déterminer de nouveaux.

Nous retreindrons notre étude des mouvements oscillatoires aux pendules. Les autres viendront au fur et à mesure dans leurs chapitres respectifs.

Il existe neufs pendules très connus qui sont les suivants (ordre dans lequel nous les étudierons): pendule de Newton, pendule simple, pendule physique, pendule élastique, pendule conique, pendule de torsion, pendule de Foucault, pendule de Huygens.

PENDULE DE NEWTON

Nous n'allons pas trop nous étendre à décrire le pendule de Newton. Une photo suffira:

equation
Figure: 30.4 - Pendule de Newton

Le principe de fonctionnement est le suivant:

Si vous lancez une bille, à l'extrémité une seule et unique bille se déplacera. Cela semble logique et cohérent d'après la conservation de la quantité de mouvement qui découle de la conservation de l'énergie comme nous l'avons déjà vu.

Un peu plus curieux, lorsque vous lancez initialement deux billes, ce sont deux billes qui se déplacent à l'autre extrémité!

La démonstration est simple et le fonctionnement se base sur une condition très simple que nous allons déterminer pour le cas particulier de deux billes (c'est toujours le même principe pour un nombre de billes supérieur):

Soient equation les quantités de mouvement des deux billes initiales et equation celles des deux billes se situant à l'autre extrémité. Nous avons donc:

equation   (30.40)

Nous avons pour l'énergie cinétique:

equation   (30.41)

après regroupement et simplification de chacune des deux relations précédentes:

equation   (30.42)

De la deuxième relation ci-dessus nous avons:

equation   (30.43)

En divisant par la première il reste:

equation   (30.44)

Nous en tirons:

equation   (30.45)

Injectons la première de ces deux relations dans:

equation   (30.46)

Nous avons alors:

equation   (30.47)

Ce qui nous donne en réarrangeant:

equation   (30.48)

Au final en procédant de même pour l'autre vitesse finale, nous déduisons l'expression des deux vitesses après le choc élastique:

equation   (30.49)

Hypothèse: Supposons maintenant qu'en prenant une seule des billes avec equation, il y en ait deux qui partent à l'autre extrémité tel que:

equation   (30.50)

et dans cette dernière situation considérons le cas où toutes les billes du pendule de Newton ont la même masse (cas correspondant à celui que l'on trouve dans le commerce). Alors:

equation   (30.51)

Nous voyons que notre hypothèse initiale est fausse: si à masses égales, une seule bille est lancée alors, à l'autre extrémité, une seule bille partira de par la conservation de la quantité de mouvement (hypothèse des "chocs élastiques")!

Par contre, si nous lançons deux billes dans un pendule de Newton composé de masses identiques nous avons après simplification des équations:

equation   (30.52)

deux billes qui partent à l'autre extrémité.

Il suffit de procéder à des raisonnements identiques pour 3, 4, 5, ... billes.

equationC.Q.F.D.

PENDULE SIMPLE

En physique, le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l'extrémité d'un fil sans masse, inextensible et oscillant sous l'effet de la pesanteur. Il s'agit du modèle de "pendule pesant" le plus simple. Il est parfois appelé "pendule de gravité idéal".

Soit, T la période de temps nécessaire pour qu'un pendule simple (voir figure ci-dessous) parcoure un cycle complet et que l'on peut écrire:

equation   (30.53)

qui est donc l'inverse de la "fréquence propre" du système en l'absence de frottement.

equation
Figure: 30.5 - Pendule simple

Soit L la longueur du pendule, et soit:

equation   (30.54)

sa vitesse angulaire. La vitesse de la masse est alors:

equation   (30.55)

La somme de l'énergie cinétique du pendule et de son énergie potentielle de pesanteur, mesurée à partir du point de suspension du pendule (afin que quand equation l'énergie potentielle soit nulle), vaut dans le cas sans frottement et si le pendule n'est pas forcé:

equation   (30.56)

Donc l'énergie totale étant constante, sa dérivée par rapport au temps est nulle. Nous avons alors:

equation   (30.57)

Nous divisons alors par equation ce qui exclut la solution où le pendule est à l'arrêt. Nous avons alors:

equation   (30.58)

et du point de vue des unités, il est d'usage de noter cela sous la forme de l'équation différentielle non linéaire du second ordre suivante:

equation   (30.59)

avec donc:

equation   (30.60)

Qui a une interprétation physique dans le sens où lorsque equation, nous avons:

equation   (30.61)

C'est pour cela que c'est considéré comme la pulsation initiale.

Remarque: Si la pulsation initiale dépend du temps, le problème se ramène à ce qu'il est d'usage d'appelée le "pendule adiabatique".

Pour de petites oscillations, nous savons que par développement de Taylor du sinus (cf. chapitre de Suites Et Séries), l'équation différentielle peut s'écrire:

equation   (30.62)

Dont une solution triviale est:

equation   (30.63)

Et nous en déduisons aussi la fréquence et donc la période d'oscillation:

equation   (30.64)

Donc la période de balancement est indépendante de l'amplitude ce qui explique pourquoi le nombre de balancements par minute d'un pendule simple est constant, quelle que soit l'ardeur que nous mettions à le faire balancer... Nous parlons alors "d'isochronisme".

Si:

equation   (30.65)

equation est la position du centre de masse de l'objet et N le nombre de maillons éventuels que l'on aurait pris pour la longueur  L de la chaîne et  P étant le pas de la chaîne.

Ce qui nous donne finalement:

equation   (30.66)

Remarquez que notre équation différentielle peut aussi se raméner à un système d'équations différentielle du premier ordre (transformation utile pour de nombreux logiciels informatiques comme Maple et MATLAB par exemple):

equation   (30.67)

PENDULE PHYSIQUE

Nous appelons "pendule physique" un solide quelconque pouvant osciller librement dans la pesanteur, autour d'un axe A, avec une petite amplitude (equation).

Son mouvement est déterminé par l'équation suivante:

equation   (30.68)

est le moment de rappel et equation le moment d'inertie du pendule par rapport à son axe d'appui A.

En faisant une analyse des forces sur notre pendule nous obtenons une autre relation pour M:

equation   (30.69)

pour equation et où d est la distance de l'axe d'appui du pendule à son centre de masse. Le terme négatif apparaît ici pour exprimer le fait que la période diminue avec le temps. Comme l'angle equation est petit, nous avons remplacé equation et sans erreur trop grave par le premier terme de son développement en série de Taylor:

equation   (30.70)

Donc le moment de rappel peut s'écrire:

equation   (30.71)

d'où l'équation différentielle du mouvement:

equation   (30.72)

Nous avons vu dans les mouvements harmoniques oscillants que nous obtenions la position angulaire d'une masse par la relation:

equation   (30.73)

ce qui nous permet d'écrire:

equation
  (30.74)

et par simplification nous obtenons:

equation   (30.75)

d'où:

equation   (30.76)

En exprimant le moment d'inertie equation au moyen du théorème de Steiner en déduisons que:

equation   (30.77)

et en introduisant encore le rayon de giration k:

equation   (30.78)

d'où:

equation   (30.79)

Soit x la position de l'axe de rotation A mesurée par rapport à une origine quelconque et a la position du centre de gravité par rapport à la même origine nous avons:

equation   (30.80)

tel que représenté ci-dessous:

equation
Figure: 30.6 - Pendule physique dit "pendule d'inertie"

d'où:

equation   (30.81)

ce qui nous donne aussi pour la période:

equation   (30.82)

comme la racine nous gêne nous élevons le tout au carré, ce qui nous donne finalement

equation   (30.83)

Comme nous connaissons x et T, cette relation nous permettrait à partir du tracé d'un graphique de déterminer la position de G et k.

Ainsi, en portant sur un graphique equation en fonction de x:

equation
Figure: 30.7 - Illustration de l'asymptote vertical pour la détermination du centre d'inertie

La courbe obtenue présente une asymptote verticale (equation) pour equation et deux minima.

En dérivant equation par rapport à x et en annulant les dérivées, nous trouvons la position des minima:

equation   (30.84)

PENDULE ÉLASTIQUE

Étudions maintenant les oscillations propres d'un solide suspendu à un ressort élastique tel qu'il oscille. Après l'écart du solide de la position d'équilibre, il accomplira des oscillations harmoniques dans le sens vertical, si le ressort élastique subit des déformations proportionnelles à l'allongement du ressort.

Nous aurons souvent dans ce site à faire avec de petits mouvements autour d'une position d'équilibre. Ce type de mouvement caractéristique de ce que nous appelons un "oscillateur harmonique" est très fréquent. Il se généralise à toutes sortes de situations physiques, telles que les circuits RLC (cf. chapitre de Génie Électrique), le modèle quantique corpusculaire et ondulatoire de l'atome, les résonateurs à quartz ou toute autre structure vibrante faiblement autour de son point d'équilibre.

Nous savons que la force de rappel d'un ressort est proportionnelle et opposée à la déformation telle que (voir le chapitre de Génie Civil pour la démonstration):

equation   (30.85)

L'équation différentielle de l'oscillateur harmonique peut donc s'écrire:

equation   (30.86)

Nous prendrons la démarche très simple qui consiste à essayer une solution, en l'occurrence:

equation   (30.87)

C'est une solution, car en effet:

equation   (30.88)

pour autant que nous prenions la fréquence propre:

equation   (30.89)

Nous avons aussi le "mode propre": 

equation   (30.90)

comme solution.

Une solution générale est donc:

equation   (30.91)

Pour trouver A et B, il faut spécifier les conditions initiales. Prenons par exemple:

equation   (30.92)

à equation.

Nous avons alors:

equation   (30.93)

Calculons maintenant le travail (énergie) nécessaire pour déformer l'oscillateur harmonique. Nous avons:

equation   (30.94)

Ainsi, l'énergie potentielle élastique dans un ressort de constante k, ayant subi une déformation x est donc donnée par:

equation   (30.95)

Pour une description plus réaliste, une meilleure modélisation, nous allons supposer que l'oscillateur est soumis à une force supplémentaire représentant les frottements. Il arrive souvent que l'approximation par laquelle la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, et opposée à la vitesse, soit une bonne approximation. Ce n'est pas la seule possible, et ce n'est pas toujours la meilleure. Nous parlerons des forces de frottement plus tard.

Ainsi nous considérons une force de friction de la forme (ne pas confondre avec la notation du moment cinétique qui n'a absolument aucun rapport):

equation   (30.96)

Pour notre système de coordonnées:

equation   (30.97)

La deuxième loi de Newton impose:

equation   (30.98)

Pour se conformer à une notation usuelle dans le cadre de l'oscillateur, nous notons:

equation   (30.99)

d'où l'équation différentielle:

equation   (30.100)

Nous prenons la fonction d'essai:

equation   (30.101)

En substituant, nous trouvons:

equation   (30.102)

Comme nous cherchons des solutions non nulles (equation) il faut que:

equation   (30.103)

d'où:

equation   (30.104)

et la solution générale est:

equation   (30.105)

où deux constantes sont déterminées par les conditions initiales.

Nous verrons qu'il correspond à un amortissement faible. En effet, nous pouvons écrire avec des racines carrées réelles:

equation   (30.106)

et la solution générale peut alors s'écrire:

equation   (30.107)

En utilisant les propriétés complexes des exponentielles et en particulier la "formule d'Euler" (cf. chapitre sur les Nombres):

equation
  (30.108)

Choisissons equation et rappelons que equation (cf. chapitre de Trigonométrie). Ainsi:

equation   (30.109)

et comme nous avons aussi equation. Alors:

equation   (30.110)

posons equation et comme la fonction trigonométrique est périodique à equation avec equation alors:

equation   (30.111)

L'allure générale de la equation normalisée à l'unité est la suivante:

equation
Figure: 30.8 - Illustration de l'amortissement de l'amplitude d'une pendule élastique

Quand equation nous disons qu'il y a "amortissement critique", quand equation, qu'il y a "amortissement sur-critique".

Le rapport:

equation   (30.112)

est quant à lui appelé "facteur de qualité".

PENDULE CONIQUE

Le pendule conique consiste à prendre une masse m considérée comme ponctuelle et suspendue en A d'un fil equation fixé en O.

La masse étant écartée d'un angle equation de la verticale, l'objectif de ce pendule est fréquemment (car c'est le cas le plus simple) de déterminer la dépendance entre l'angle et la vitesse si l'on considère que les trajectoires sont circulaires.

equation
Figure: 30.9 - Illustration du pendule conique

La masse m se déplace autour de la verticale OC, en décrivant un cercle de rayon:

equation   (30.113)

Les forces suivantes agissent sur la masse m:

equation   (30.114)

D'après la figure, nous voyons que:

equation   (30.115)

ou, comme:

equation   (30.116)

alors:

equation   (30.117)

L'angle equation est donc d'autant plus grand que la vitesse angulaire equation est élevée, ce que confirme l'expérience. Pour cette raison, le pendule conique fut longtemps utilisé comme régulateur de vitesse sur les machines à vapeur (il ferme l'arrivée de vapeur quand la vitesse dépasse une limite fixée à l'avance et l'ouvre quand elle tombe au-dessous de cette valeur).

Nous avons aussi:

equation   (30.118)

d'où après simplification:

equation   (30.119)

PENDULE DE TORSION

Le pendule de torsion est un système qui fut utilisé par Coulomb pour la mesure de la charge électrique élémentaire et par Cavendish pour la mesure de la constante gravitationnelle G.

Le pendule de torsion consiste en un solide rigide suspendu à fil de torsion vertical. Lors des oscillations le fil exerce un moment de rappel que l'on supposera proportionnel à l'angle de torsion equation:

equation   (30.120)

k est la "constante de torsion" de ce fil particulier (cf. chapitre de Génie Mécanique).

Nous avons donc:

equation   (30.121)

soit l'équation différentielle:

equation   (30.122)

Par analogie avec le pendule physique où nous avions une équation différentielle identique à un facteur près, il vient:

equation   (30.123)

PENDULE DE FOUCAULT

Le pendule de Foucault est une expérience formidable pour rendre compte de la rotation de la Terre. Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour analyser le comportement du pendule de Foucault. Nous avons choisi de présenter la plus simple qui ne nécessite que peu de pages de calcul.

D'abord un petit texte explicatif peut s'avérer pertinent tellement cette expérience est importante.

L'expérience de Foucault a pour but de démontrer que la Terre tourne sur elle-même. Vous lancez un balancier (une bille de plomb au bout d'un fil). Il a un mouvement de va-et-vient régulier dans la même direction. Si vous l'emportez dans une voiture et que vous ne tournez pas trop brusquement, le pendule se moque des virages: il continue à battre dans la même direction. C'est qu'un pendule reste toujours dans le même plan, malgré les mouvements de son support.

C'est pourquoi le physicien français Léon Foucault eut l'idée d'attacher un lourd balancier de 67 mètres de long sous le dôme du Panthéon, en présence de Napoléon III et de quelques savants. A chacune de ses allées et venues, le pendule venait écorner un tas de sable où il laissait une marque. Or, la trace n'était jamais à la même place: il y avait 3 à 4 millimètres d'écart entre un balancement et le suivant, 16 secondes plus tard. Le pendule restait dans le même plan, mais le Panthéon, Paris, la Terre tournaient!

Soit la figure ci-dessous:

equation
Figure: 30.10 - Illustration élémentaire du pendule de Foucault

Nous considérons que c'est la vue d'un référentiel géocentrique (la Terre) vu en coupe selon un plan qui contient l'axe de rotation.

La taille du pendule est bien évidemment exagérée sur la figure. Il oscille cependant quand même dans un plan méridien, entre A et B (un observateur terrestre voit la droite AB tourner par rapport au sol terrestre selon le cercle vert, vu en perspective, dans le sens rétrograde).

Soit T la période de rotation de A (ou B). La vitesse de A (equation) , sur ce cercle, est due au fait que, dans le référentiel géocentrique, le point M, à la verticale du point de suspension, et le point du sol terrestre coïncidant avec A à un instant donné, n'ont pas la même vitesse dans le référentiel géocentrique: le point  M étant plus éloigné de l'axe de rotation terrestre il va plus vite que A (de même la vitesse de B étant supérieure à la vitesse de M).

La différence de ces vitesses se calcule aisément en supposant que la rotation terrestre est uniforme en raisonnant sur une période d'une journée (sidérale) equation.

Nous savons que:

equation   (30.124)

De ceci il découle facilement que:

equation   (30.125)

étant donné que dans le triangle AHM:

equation   (30.126)

alors:

equation   (30.127)

Or, equation n'est autre que:

equation   (30.128)

Donc:

equation   (30.129)

Nous avons donc obtenu l'expression de la période du pendule de Foucault.

exempleExemple:

La période du pendule du Panthéon (aller et retour) est de 16.5 secondes, l'amplitude maximale de 6 mètres et le temps d'amortissement de 6 heures. Nous pouvons ainsi observer un déplacement de plusieurs millimètres par aller et retour du pendule.

Remarque: Le sens de la rotation est celui des aiguilles d'une montre, pour un observateur placé au-dessus du pendule, dans l'hémisphère Nord ; et dans le sens contraire du sens de rotation des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Sud.

Aux pôles (où l'angle est de 90° et le sinus unitaire), la période du pendule égale celle de la Terre et est donc de 24h. A l'équateur (où l'angle est de 0° et le sinus nul), la période de rotation du plan d'oscillation est infinie: le plan d'oscillation est fixe par rapport à la Terre. A Paris (où l'angle est de 48°52' et le sinus 0.75), la période de rotation est de 31 heures et 57 minutes.

Cependant, l'importance du pendule de Foucault est autre...

Le plan d'oscillation du pendule est en réalité fixe et c'est la rotation de la Terre sur elle-même qui donne lieu à une rotation apparente. Mais finalement... quel est le système de référence ?

En effet, tout mouvement est relatif. Si la Terre est en rotation, elle l'est par rapport à quelque chose. Nous ne pouvons pas parler d'un mouvement sans définir un cadre de référence. La question qui se pose donc est de savoir par rapport à quel système de référence le plan d'oscillation du pendule est fixe.

La première idée qui vient à l'esprit consiste à dire que le plan du pendule est fixe par rapport au Soleil. Mais, si Foucault avait réussi à construire un pendule capable d'osciller suffisamment longtemps, disons pendant un mois, il se serait aperçu que le plan d'oscillation dérivait également par rapport à la position du Soleil. Notre étoile ne fait donc pas partie du système de référence en question.

Peut-être faut-il alors considérer les étoiles proches du Soleil ? Mais là aussi, si l'expérience pouvait durer suffisamment longtemps, elle montrerait que le plan des oscillations se déplace nettement par rapport aux étoiles après quelques années. Quel objet choisir dans ce cas ? Le centre galactique, la galaxie d'Andromède, le Groupe Local, le superamas local ? Chacun de ces objets donnerait l'illusion d'être fixe par rapport au plan des oscillations, mais finirait, après un temps de plus en plus long, par révéler une dérive.

Finalement, en dernier recours, nous pouvons considérer les objets les plus lointains, les galaxies ou quasars situés à des milliards d'années-lumière. Avec ce système de référence, et si l'expérience de Foucault était réalisable, le plan des oscillations serait enfin fixe et il n'y aurait plus de dérive. Ce n'est donc qu'en considérant les objets les plus lointains, en fait l'Univers observable dans son ensemble, que nous pouvons obtenir un cadre par rapport auquel le plan des oscillations se stabilise.

Le pendule de Foucault se moque donc de la présence de la Terre, du Soleil ou de la Galaxie. Son mouvement lui est directement dicté par l'Univers dans son ensemble. Cette expérience met en évidence une sorte de lien mystérieux entre chaque point et l'Univers tout entier. Jusqu'à nouvel ordre, la nature de ce lien reste inconnue.

Une conclusion similaire fut tirée par le physicien autrichien Ernst Mach à la fin du XIXe siècle (nous retrouverons le "principe de Mach" dans le chapitre de Relativité Restreinte).

D'après la physique de Newton, le produit de la masse d'un corps par son accélération est égal à la force qui s'exerce sur lui. Par conséquent, pour une force donnée, plus un objet est massif, plus son accélération est faible. De ce point de vue, la masse est donc une mesure de l'inertie du corps, c'est-à-dire de sa faculté à résister à une force.

Supposons maintenant que toute la matière de l'Univers disparaisse, excepté pour ce corps. Ce dernier est alors complètement isolé et plus aucune force ne s'exerce sur lui. Cela signifie, d'après la physique de Newton, que le produit de sa masse par son accélération est égal à zéro. Or l'accélération ne peut pas être nulle. En effet, comme toute la matière de l'Univers a disparu, il n'y a plus de système de référence par rapport auquel on pourrait définir la vitesse ou l'accélération. Cette dernière est donc indéfinie et non pas nulle. D'un point de vue mathématique, il ne reste qu'une seule possibilité, que la masse du corps soit nulle.

Ce raisonnement montre que la masse et l'inertie d'un corps ne sont pas vraiment des propriétés de l'objet lui-même, mais plutôt le résultat d'une interaction avec le reste de l'Univers. Tout comme le pendule de Foucault, le principe de Mach nous montre qu'il doit exister une sorte de connexion entre les propriétés locales d'un corps et les propriétés globales de l'Univers. Comme dans le cas précédent, la nature de cette connexion mystérieuse reste à déterminer.

PENDULE DE HUYGENS

Nous cherchons à construire un pendule dont la période soit indépendante de l'amplitude (et non pas juste en approximation comme nous l'avons vu plus haut!), ce qu'il est d'usage d'appeler "l'isochronisme rigoureux". Pour cela nous disposons deux lamelles de forme cycloïdale à des positions symétriques et déterminées telles que représentées sur la figure ci-dessous:

equation
Figure: 30.11 - Principe du pendule de Huyghens

Le choix de la cycloïde (appelée aussi "orthocycloïde") est dû au fait qu'il s'agit d'une courbe "brachistochrone" (voir la définition plus bas) et depuis les travaux de Huygens en 1659, nous savons aussi qu'il s'agit d'une courbe "tautochrone" (les balanciers dans les montres modernes ont par tradition cette forme). C'est-à-dire que les corps qui tombent dans une cycloïde renversée arrivent au point le plus bas dans le même temps, de quelque hauteur qu'ils commencent à tomber.

Donc contrairement à une idée reçue, le chemin le plus rapide pour un corps en mouvement non horizontal tombant sur un support solide n'est pas la ligne droite.

En effet, l'un des problèmes les plus connus de l'histoire des mathématiques est le problème du brachistochrone qui consiste donc à trouver la courbe le long de laquelle une particule glisserait d'un point à un autre en un minimum de temps en étant soumis à un champ uniforme de pesanteur. Ce problème a été posé par Jean Bernoulli en 1696 comme un challenge pour les mathématiciens de son époque (et s'en fut un !!!). La solution fut trouvée par Jean Bernoulli lui-même ainsi que par son frère Jacques Bernoulli, Newton, Leibniz et le marquis de l'Hospital. Le problème brachistochrone est important dans le développement des mathématiques et s'avère être une des applications principales de la méthode du calcul des variations.

Nous considérons dans le champ de la pesanteur deux points a et  b et un point matériel m se déplaçant sans frottement sur une courbe d'extrémités a et b. Déterminer la courbe, appelée brachistochrone, pour laquelle le temps de parcours est minimal lorsque le point m part du point  a avec une vitesse nulle.

Considérons le schéma ci-dessous:

equation
Figure: 30.12 - Chemin quelconque pour attaquer le problème sans biais

A l'abscisse x sur le graphe, l'énergie potentielle perdue est equation, équivalente à l'énergie cinétique acquise par le point matériel depuis le départ telle que:

equation   (30.130)

D'où sans trop de surprises:

equation   (30.131)

La vitesse v est mesurée le long de la courbe si bien que nous devons réécrire l'expression en composantes horizontales et verticales:

Nous allons poser que s représente l'abscisse curviligne et ds l'accroissement de cette distance le long de la courbe. dx et dy représentent les composantes horizontale et verticale de ds.

Ainsi:

- ds/dt représente la vitesse le long de la courbe

- dx/dt représente la composante x de la vitesse

- dx et dy sont données par le théorème de Pythagore exactement de la même façon que nous l'avions fait dans le cadre de notre étude du formalisme lagrangien.

equation   (30.132)

En insérant l'équation obtenue d'après les principes de la dynamique:

equation   (30.133)

Une simple intégration nous donne alors l'expression de t à minimiser:

equation   (30.134)

Nous nous retrouvons avec une fonction similaire à celle que nous avions lors de notre étude d'un cas pratique du formalisme lagrangien.

Il s'agit maintenant de trouver le minimum atteint par t parmi toutes les fonctions y(x) satisfaisant:

equation   (30.135)

Le problème fondamental dit du "calcul des variations" consiste à chercher, parmi les fonctions equation continûment dérivables sur un intervalle donné [a,b] et pour lesquelles les fonctions f(a) et f(b) sont des valeurs données, celles qui rendent maximum ou minimum l'intégrale précédente.

Pour appliquer cette méthode, nous partons de l'équation d'Euler-Lagrange (cf. chapitre de Mécanique Analytique):

equation   (30.136)

qui donne les extremums de l'intégrale.

Identiquement à un exemple que nous avons vu le cadre de notre étude du formalisme lagrangien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) nous posons dans notre cas:

equation   (30.137)

Donc:

equation   (30.138)

Nous souhaitons injecter des deux dernières relations dans l'équation d'Euler-Lagrange:

equation   (30.139)

mais nous anticipons relativement facilement que la dérivée par rapport à x va nous donner un monstre indigeste à simplifier (j'ai essayé... mais j'ai l'excuse de ne pas être doué pour les maths).

Nous allons alors utiliser l'identité de Beltrami démontrée dans le chapitre de Mécanique Analytique qui s'écrit avec la notation choisie ci-dessus:

equation   (30.140)

ce que nous avons le droit de faire puisque la condition de Beltrami est ici satisfaite:

equation   (30.141)

Ce qui nous donne:

equation   (30.142)

Soit après réarrangement:

equation   (30.143)

donc au final:

equation   (30.144)

ou autrement écrit:

equation   (30.145)

où la constante n'est autre que -D, l'altitude minimale atteinte par le point mobile. Plus explicitement:

equation   (30.146)

Il faut donc résoudre cette équation différentielle pour trouver la fonction qui donne le chemin le plus rapide. Mettons-la sous la forme:

equation   (30.147)

et rappelons que nous avons:

equation   (30.148)

Nous avons alors (cf. chapitre de Trigonométrie):

equation   (30.149)

D'où:

equation   (30.150)

Remarquons que nous avons (toujours en utilisant des relations trigonométriques remarquables):

equation   (30.151)

Donc:

equation   (30.152)

Ce qui est facile à intégrer (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (30.153)

Nous avons donc à ce point (pour rappel):

equation   (30.154)

Posons pour simplifier l'écriture equation, nous avons alors:

equation   (30.155)

Rappelons maintenant que nous avons la condition initiale:

equation   (30.156)

et comme K est non nul, cela impose que:

equation   (30.157)

et donc que:

equation   (30.158)

Dès lors, nous devons avoir:

equation   (30.159)

et nous en déduisons immédiatement que:

equation   (30.160)

Dès lors:

equation   (30.161)

Pour clore, faisons le changement de variable traditionnel:

equation   (30.162)

Il vient alors:

equation   (30.163)

Donc au final:

equation   (30.164)

Comme le signe du coefficient a de x n'a que pour effet une translation sur l'axe des X, il est d'usage de représenter cette paire d'équations sous la forme:

equation   (30.165)

En posant equation nous avons dans Maple 4.00b:

>plot([theta-sin(theta),1-cos(theta),theta=0..6*Pi]);

equation
Figure: 30.13 - Tracé de la cycloïde avec Maple 4.00b

Donc à comparer par rapport aux réponses intuitives de la courbe la plus rapide que donnent souvent les humaines par intuition (en rouge la courbe brachistochrone):

equation
Figure: 30.14 - Comparaions de la brachistochrone avec les autres chemins intuitifs (source: Wikipédia)

Soit les dérivées:

equation   (30.166)

Ainsi:

equation   (30.167)

La conservation de l'énergie:

equation   (30.168)

s'écrit donc:

equation   (30.169)

d'où:

equation   (30.170)

Donc le temps requis pour aller du haut au bas de la cycloïde que décrit le pendule de Huygens est:

equation   (30.171)

Cette durée ne dépend donc que de paramètres fixes.

L'énoncé en 1696 du problème brachistochrone peut être considéré comme l'authentique acte de naissance du calcul des variations, car c'est ce problème qui suscita la recherche de méthodes générales progressivement élaborées au cours d'une véritable compétition.

Remarque: Une ligne brachistochrone d'une surface est une courbe sur laquelle doit glisser sans frottement un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme de sorte que le temps de parcours soit minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés. Autrement dit, ce sont les lignes les plus courtes en temps, alors que les géodésiques (cf. chapitre de Relativité Restreinte) sont les lignes les plus courtes en distance.

PENDULE DOUBLE

Le problème du pendule double est un exemple classique d'application du formalisme lagrangien et de la théorie du chaos et donc in extenso un joli exemple scolaire de physique non linéaire.

Voici comme ce dernier est souvent représenté (les coordonnées x et y  sont positives sur les deux axes représentés ci-dessous!):

equation
Figure: 30.15 - Illustration du pendule double

La position de la masse equation sera donnée par les coordonnées equation et celle de la masse equation - solidaire de equation et donc non indépendante - sera donnée par les coordonnées equation.

Le mieux est de réduire l'étude du système en passant par les coordonnées généralisées equation via les transformations:

equation   (30.172)

et:

equation   (30.173)

Donc en coordonnées cartésiennes et en utilisant la notation traditionnelle du formalisme lagrangien, l'énergie cinétique est alors:

equation   (30.174)

et comme:

equation   (30.175)

et:

equation   (30.176)

Nous avons alors:

equation   (30.177)

Pour l'énergie potentielle nous avons (le signe est négatif car les masses sont en-dessous du point 0):

equation   (30.178)

Le lagrangien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) vaut donc:

equation   (30.179)

Nous utilisons maintenant l'équation d'Euler-Lagrange avec les coordonnées généralisées choisies:

equation   (30.180)

Nous avons alors pour equation:

equation   (30.181)

Donc nous avons au final pour le lagrangien avec la coordonnée généralisée equation:

equation   (30.182)

Nous avons de même pour equation:

equation   (30.183)

Donc nous avons au final pour le lagrangien avec la coordonnée généralisée equation:

equation   (30.184)

Ce qui nous donne au final le système d'équations différentielles suivant:

equation   (30.185)

Avec Maple 4.00b cela donne pour la représentation des coordonnées de equation  dans le temps:

> with(plots):
> with(plottools):
> Eq1:=(m1+m2)*l1^2*diff(diff(theta1(t),t),t)+m2*l1*l2*cos(theta1(t)-theta2(t))*diff(diff(theta2(t),t),t)
+m2*l1*l2*sin(theta1(t)-theta2(t))*diff(theta2(t),t)^2+(m1+m2)*g*l1*sin(theta1(t))=0;
> Eq2:=m2*l1*l2*cos(theta1(t)-theta2(t))*diff(diff(theta1(t),t),t)+m2*l2^2*diff(diff(theta2(t),t),t)
-m2*l1*l2*sin(theta1(t)-theta2(t))*diff(theta1(t),t)^2+m2*g*l2*sin(theta2(t))=0;
> m1:=2;m2:=3;l1:=6;l2:=4;g:=9.81;
> ff:=dsolve({Eq1,Eq2,theta1(0)=0.5,D(theta1)(0)=4,theta2(0)=1,D(theta2)(0)=
-2},{theta1(t),theta2(t)},type=numeric,output=listprocedure);
> Theta1:=subs(ff,theta1(t));Theta2:=subs(ff,theta2(t));
> X1:=t->l1*sin(Theta1(t));
> Y1:=t->l1*cos(Theta1(t));
> X2:=t->l1*sin(Theta1(t))+l2*sin(Theta2(t));
> Y2:=t->l1*cos(Theta1(t))+l2*cos(Theta2(t));
> plot([Y2,X2,0..100],numpoints=100);

equation
Figure: 30.16 - Tracé avec Maple 4.00b des coordonnées d'une des masses

TRIBOLOGIE

Définition: La "tribologie" est la science des frottements (notion très intuitive à tout un chacun car nous pouvons ressentir ses effets dans la vie quotidienne) qui interviennent lorsque deux surfaces en contact sont mises en mouvement l'une par rapport à l'autre, produisant une force qui s'oppose au mouvement. Ce domaine se propose d'étudier non seulement les conditions de frottement entre les corps mais également les divers phénomènes et aspects physiques et techniques dans le déplacement relatif des surfaces extérieurs des coprs.

La plupart de ces phénomènes relatifs aux frottements peuvent se comprendre en première approximation sur la base des lois phénoménologiques du frottement énoncées dès le 18ème siècle par Amontons et Coulomb (mais déjà mises en évidence par Léonard de Vinci 200 ans auparavant), à partir de la notion de coefficient de frottement.

L'analyse tribologique d'un système introduit 4 éléments composants fondamentaux: le corps en étude (il s'agit le plus souvent d'un solide), le corps de base sur lequel agit directement le corps étudié (il peut s'agit d'un solide, liquide ou gaz), le corps intermédiaire placé entre les deux corps précédents et enfin le milieu ambiant.

Ceux-ci observèrent déjà deux types de frottements a priori distincts:

1. Le "frottement statique" est celui qui oppose une résistance lorsqu'un objet posé sur un plan est à la limite du glissement alors qu'on lui impose une force de traction equation (tangentielle au plan). Cette opposition à la force de traction est par ailleurs expérimentalement proportionnelle au poids equation de l'objet.

Mais intervient une valeur limite de la force tangentielle de traction à partir de laquelle l'objet commence à glisser. C'est ce que nous notons:

equation   (30.186)

equation est donc la force limite de traction permettant de faire bouger l'objet initialement statique, equation est le "coefficient de frottement statique" sans dimensions et exprime la proportionnalité de la force limite de frottement avec le poids equation de l'objet ou de sa forme normale au plan d'application. Raison pour laquelle cette dernière relation est aussi souvent notée:

equation   (30.187)

Remarque: Dans la pratique, il est infiniment facile de déterminer ce coefficient avec un simple dynamomètre pour connaître la force limite et une balance pour connaître le poids de l'objet étudié.

Nous observons expérimentalement que contrairement à l'intuition, la force limite de traction est en première approximation indépendante de la surface de contact entre l'objet et le sol (dans les limites des cas physiques courants évidemment car plus la surface est petite, plus la pression est grande et alors la surface de contact peut devenir plastique aux hautes pressions).

Autrement dit, si un kilo de sucre est posé sur une table. Pour déplacer cet objet, de poids equation (la masse multipliée par la constante de gravité), il faut exercer une force equation parallèlement à la surface de la table. Mais l'expérience montre que cet objet ne se déplacera pas tant que la force equation est inférieure à une force minimale equation. Et Amontons et Coulomb ont montré que cette force minimale est directement proportionnelle via un coefficient de frottement statique au poids.

Nous pouvons détailler l'approche de la relation précédente en s'imaginant deux surfaces présentant des rugosités en dents de scie d'un angle equation et imbriquées:

equation
Figure: 30.17 - Zoom sur la surface de contact

Si nous appliquons une force normale correspondante au poids equation et une force horizontale equation nous avons à cause des dents de scie dans le cas limite la situation suivante:

equation
Figure: 30.18 - Simplification du problème avec les vecteurs

nous voyons alors bien que la pièce mobile ne commencera à bouger que quand il y aura début de glissement soit lorsque:

equation   (30.188)

Pour simpliste qu'elle soit, cette approche permet de lier le frottement (statique) aux caractéristiques de la rugosité. De plus les valeurs expérimentales typiques des coefficients de frottement statique, de l'ordre de 0.3, correspondent à des pentes de la rugosité de surface de l'ordre de 15-20 degrés, ce qui est tout à fait compatible avec les caractéristiques typiques que l'on peut mesurer pour les rugosités de surfaces!

Cet argument repose cependant sur une hypothèse implicite: l'emboitement parfait entre les rugosités des deux surfaces. Nous parlons dans ce cas de "surfaces commensurables". Ce n'est bien sûr pas le cas en général dans la nature: même à l'échelle atomique, deux surfaces idéales, présentent des légères différences de distance interatomique qui empêchent l'emboîtement. Une légère disparité suffit à rendre très irrégulière la répartition des points de contact entre les deux surfaces contrairement au cas commensurable. Nous parlons alors de "surfaces incommensurables".

Autrement dit, nous aboutissons très vite à la conclusion que le frottement entre deux surfaces incommensurables en tout point est non-nul, tandis qu'il s'annule exactement si ces deux surfaces sont en tout point commensurables.

2. Le "frottement dynamique" est celui qui oppose une résistance lorsqu'un objet posé sur un plan est déjà en glissement. Cette opposition à la traction est par ailleurs expérimentalement proportionnelle encore une fois au poids de l'objet tel que:

equation   (30.189)

mais avec le "coefficient de frottement dynamique" (qui existe en plusieurs sous-familles: coefficient de roulement, de glissement, ....) qui est en général beaucoup plus petit que le coefficient de frottement statique:

equation   (30.190)

Donc le frottement n'est pas le même au départ de notre objet que lors de son glissement. Cela correspond très bien à notre expérience quotidienne du frottement (lors de déplacements de meubles dans nos habitations par exemples).

A nouveau, nous remarquons expérimentalement que contrairement à l'intuition, la  force de traction est indépendante de la surface de contact entre l'objet et le sol.

Ainsi, que l'on pose le kilo de sucre bien à plat ou sur la tranche, la force de frottement est la même (si la qualité de surface est la même de tous les côtés du paquet de sucre)!

Un autre fait étonnant concerne la valeur typique de ces coefficients de frottement, qui s'écarte assez peu de equation, pour des surfaces très différentes les unes des autres. La technologie permet toutefois de concevoir des surfaces avec des coefficients de frottement soit bien plus petits (equation) soit plus grand (equation).

Ces deux lois, sont appelées "lois de Coulomb", traditionnellement écrites:

equation   (30.191)

et avec l'écriture suivante dans nombre d'ouvrages scolaires contemporains:

equation   (30.192)

FN est la force normale à l'appui, P la pression et A la surface de contact.

L'origine naïve du frottement entre deux solides est donc dû au fait que:

- Tout solide n'est jamais lisse mais possède des aspérités qui rendent la surface de contact rugueuse (les aspérités s'imbriquent partiellement ou non et provoquent plus ou moins de frottement).

- Les impuretés entre les deux surfaces de contact sont souvent plus importantes au niveau des sources de frottement que les imbrications des aspérités de surface.

- Le frottement est faiblement dépendant de la surface car la rugosité à l'échelle atomique est telle que seulement un très faible pourcentage de la surface totale des deux objets sont réellement en contact (surface de contact réelle est donc beaucoup plus petite que la surface de contact apparente) ce qui explique que la force de traction tangentielle soit proportionnelle au poids car cela force la surface de contact réelle à augmenter.

La complexité sous-jacente du frottement est donc extrême. L'origine du frottement fait dans la réalité intervenir une multitude d'ingrédients, couvrant un spectre très large de phénomènes physiques: rugosité des surfaces, élasticité, plasticité, adhésion, lubrification, thermique, usure, chimie des surfaces, humidité, etc.

Nous allons ici faire une analyse scolaire des quelques frottements courants dans les cas d'études simples de la physique cinétique (du mouvement). Il faut bien prendre garde que ces modèles sont simplifiés à l'extrême afin de montrer seulement la démarche intellectuelle.

Remarque: Lorsque deux métaux (purs - et propres...) de nature identique sont en contact via un surface lisse dans un milieu favorable (au mieux le vide) dès lors nous pouvons parfois observer une "soudure à froid" (dans le vide c'est systématique... et pas juste "parfois"...) qui est un cas de frottement extrême car il devient parfois quasi impossible (voir impossible tout court!) de déplacer alors l'un des éléments par rapport à l'autre (cela dépend aussi de la pression initiale appliquée pour mettre en fusion à froid les deux objets de même nature). La soudure à froid a été reconnue comme un phénomène général de physique des matériaux dans les années 1940. La raison de ce comportement inattendu vient de ce que lorsque les atomes en contact sont tous de même nature, ils n'ont aucun moyen de "savoir" qu'ils sont présents dans des pièces de métaux différentes. Lorsqu'il y a d'autres atomes, dans les oxydes et les graisses et d'autres sortes de contaminants de surface, les atomes "savent" qu'ils n'appartiennent pas au même objet (il y a des colles industrielles qui utilisent ce principe pour des réparations ou affistolages d'urgence...).

 

FROTTEMENT EXPONENTIEL

Il est d'usage de désigner par "frottement exponentiel" le frottement généré par des courroies non-crantées (cas très important dans la pratique) sur un support fixe!

Pour étudier ce cas de frottement considérons la figure ci-dessous où equation est l'angle d'enroulement de la courroie autour de la poulie où on néglige l'épaisseur et la masse de la courroie par rapport aux autres éléments et où on se place à la limite du glissement et en mouvement uniforme.

equation
Figure: 30.19 - Schéma macro du contact poulie/courroie

De par l'existence de frottement il y a évidemment un différentiel de tension dT sur un point de contact mais cela étant dû uniquement au frottement puisque nous soupposons la rotatin uniforme. Voyons cela de plus près isolant une portion et en appliquant le principe fondamental de la statique (avec subtilité...):

equation
Figure: 30.20 - Zoome sur un élément différentiel de la courroie

Nous avons alors:

equation   (30.193)

Soit après simplification:

equation   (30.194)

et comme l'angle est très petit, nous avons:

equation   (30.195)

et pour le sinus nous utiliserons le développement de MacLaurin (cf. chapitre Suites Et Séries) pour les petits angles:

equation   (30.196)

Nous avons alors:

equation   (30.197)

En négligeant la multiplication d'éléments infinitésimaux et en simplifiant il reste:

equation   (30.198)

où la première équation nous est déjà connu puisqu'elle correspondant au frottement statistique horizonal habituel déjà vu plus haut. Nous pouvons maintenant combiner ces deux relations pour obtenir:

equation   (30.199)

En intégrant il vient alors:

equation   (30.200)

Nous avons alors:

equation   (30.201)

et au final:

equation   (30.202)

ce qui est très important! Par exemple dans la pratique avec une tension de 500 [N] en tirant, cela ne produit une tension réelle de l'autre côté du support circulaire fixe que de 250 [N] parce que le frottement est exponentiel. Raison pour laquelle il vaut mieux utiliser des poulies que des supports circulaires fixes!

Évidemment à cause de la friction on aura:

equation   (30.203)

ce qui implique évidemment que:

equation   (30.204)

et donc:

equation   (30.205)

Pour la suite, le lecteur se reportera au chapitre de Génie Civil où les poulies cylindriques sont présentées plus en détail.

FROTTEMENT VISQUEUX HORIZONTAL

Nous avons donc vu qu'en première approximation, la force de frottement dans le cas de glissement est proportionnelle au poids d'un corps par un coefficient de frottement dont la valeur dépend de la nature et de l'état des surfaces de contact mais indépendant de l'aire de contact. Cependant nous n'avons pas dit que l'expérience montre que dans des cas réels typiques la force de frottement est aussi indépendante de la vitesse communiquée au corps.

En lubrifiant par un fluide visqueux les surfaces en contact, la force de frottement est réduite et dépend de la vitesse (c'est typiquement le cas des pneus de voiture qui sont visqueux).

Remarque: Pour rappel, le terme "visqueux" ne signifie pas forcément que ça coule et que ça bave. Cela signifie que la loi de comportement dépend de la vitesse de déformation (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus).

Considérons alors un mobile en contact avec un sol plan via un fluide ou matériau visqueux. Nous savons qu'il y aura frottement et supposons que celui-ci soit proportionnel à la vitesse:

equation   (30.206)

k est le "coefficient de frottement visqueux".

Nous avons alors en appliquant la première loi de Newton:

equation   (30.207)

Dès lors il vient:

equation   (30.208)

En intégrant il vient:

equation   (30.209)

Soit:

equation   (30.210)

En prenant l'exponentielle:

equation   (30.211)

Ainsi, la vitesse décroit exponentiellement d'une vitesse initiale jusqu'à une valeur nulle asymptotique sous l'hypothèse de proportionnalité du frottement avec la vitesse.

C'est une relation très souvent utilisée dans les animations faites par ordinateur représentant des objets qui semblent s'arrêter de manière naturelle. Il faut simplement bien choisir la valeur de k.

Nous observons une chose intéressante c'est qu'un corps mobile lourd décélère moins vite à cause des forces de frottement qu'un corps mobile léger!

Montrons comment nous calculons la puissance perdue par frottement. Nous savons que:

equation   (30.212)

si la variation de la force est négligeable par rapport à la variation de vitesse nous avons alors:

equation   (30.213)

et donc dans le cas du frottement (en valeur absolue):

equation   (30.214)

Ainsi, la puissance dissipée lors d'un mouvement est proportionnelle à la vitesse en cas de frottement coulombien et proportionnelle au carré de la vitesse en cas de frottement visqueux.

FROTTEMENT VISQUEUX VERTICAL

Soit un solide indéformable chutant à la verticale dans un champ de gravité. Nous assumons que la force de la résistance de l'air est proportionnelle à la vitesse (comportement visqueux aux faibles vitesses):

equation   (30.215)

et utilisant le principe fondamental de la dynamique:

equation   (30.216)

Soit autrement écrit (plus traditionnel):

equation   (30.217)

La solution de cette équation différentielle linéaire du 1er ordre est (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (30.218)

que nous pouvons détailler si besoin (sur demande).

En posant qu'à l'instant nul nous avions une vitesse initiale donnée il vient:

equation   (30.219)

Ainsi:

equation   (30.220)

Ainsi, nous voyons que lorsque le temps tend vers l'infini (suffisamment grand quoi...) alors la vitesse tend vers:

equation   (30.221)

donc k peut être déterminé expérimentalement!

C'est une relation très souvent utilisée dans les animations faites par ordinateur représentant des objets qui semblent freiner jusqu'à une vitesse constante de manière naturelle.

FROTTEMENT VISQUEUX DE STOKES VERTICAL

C'est typiquement le cas du parachutiste effectuant une chute libre. Nous avons vu dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus que la force visqueuse de Stokes était donnée par (comportement visqueux aux vitesses moyennes et élevées):

equation   (30.222)

lorsque la vitesse est subsonique (modeste en d'autres termes...).

L'équation différentielle est la même qu'avant dans le cas de la présence du champ de gravitation à la différence que la vitesse est cette fois-ci au carré:

equation   (30.223)

Soit:

equation   (30.224)

mais nous n'allons pas chercher à la résoudre, seulement à déterminer la valeur limite de la vitesse et justement vitesse limite est atteinte lorsque celle-ci.... ne varie plus (ben oui forcément...). Donc à ce moment:

equation   (30.225)

et l'équation différentielle devient:

equation   (30.226)

Ainsi, il est possible de changer sa vitesse de chute limite en fonction de son facteur de forme, et de sa surface d'exposition apparente et de sa masse (dans le cas d'étude ci-dessus nous négligeons la force d'Archimède qui s'applique sur la parachutiste et qui freine aussi sa chute).

exempleExemple:

Considérons une sphère de rayon R, de masse volumique equation lâchée sans vitesse dans un liquide de masse volumique equation, de viscosité equation (voir la classification des viscosités dans la norme ISO 3448). La sphère est soumise à son propre poids, à une force de frottement visqueux et à la poussée d'Archimède.

Nous avons donc globalement selon la première loi de Newton:

equation   (30.227)

où les deux derniers termes (force visqueuse de Stokes aux faibles vitesses et force d'Archimède) ont été démontrés dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus.

En réarrangeant, nous avons:

equation   (30.228)

et encore:

equation   (30.229)

Il nous reste donc:

equation   (30.230)

Nous posons:

equation   (30.231)

qui sera assimilée à une constante de temps. Nous avons alors:

equation   (30.232)

Or lorsque la vitesse de chute deviendra constante, nous aurons:

equation   (30.233)

ce qui donne:

equation   (30.234)

Résolvons ceci dit l'équation différentielle en commençant par celle sans second membre (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

equation   (30.235)

Nous avons alors vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que la solution homogène était alors donnée par:

equation   (30.236)

Nous pouvons ajouter la solution particulière qui est logiquement lorsque t tend vers l'infini:

equation   (30.237)

Nous avons alors:

equation   (30.238)

Il nous reste à déterminer C qui s'obtient lors t tend vers 0 car nous avons alors:

equation   (30.239)

Donc:

equation   (30.240)

Nous avons alors:

equation   (30.241)

FROTTEMENT VISQUEUX DE STOKES HORIZONTAL

C'est une première approximation où l'on s'intéresse par exemple à la distance d'arrêt sans freinage d'un mobile sans prendre en compte le coefficient de frottement avec le sol mais seulement avec l'air ambiant (vitesse subsonique toujours...).

Nous avons alors selon la première loi de Newton:

equation   (30.242)

Supposons que nous souhaitions savoir en quel temps T le mobile qui avait une vitesse initiale equation aura décéléré à une vitesse donnée equation.

Nous avons alors:

equation   (30.243)

Donc:

equation   (30.244)

où nous observons déjà un premier problème avec ce modèle c'est que à l'arrêt, la vitesse finale étant nulle, il faudra un temps infini pour y arriver... mais continuons, nous reviendrons plus loin sur ce constat.

La loi d'évolution de la vitesse se détermine de façon analogue puisque:

equation   (30.245)

Alors:

equation   (30.246)

Notons la constante de temps:

equation   (30.247)

Alors:

equation   (30.248)

soit:

equation   (30.249)

La distance parcourue à l'instant t en ne laissant le mobile ralentir que par les forces de frottement est donc:

equation   (30.250)

Le résultat est joli mais on se rend bien compte que ce n'est pas vraiment juste car à un temps infini, la voiture aura parcouru une distance infinie ce qui est manifestement irréaliste. Cela provient du modèle qui est trop simpliste donc améliorons-le.

L'idéal, objectivement parlant, serait de prendre en compte le frottement visqueux pneu/sol plus le frottement de l'air. Nous aurions alors:

equation   (30.251)

mais le problème avec cette équation différentielle, c'est qu'elle va nous amener à une singularité si nous continuons les calculs. Elle n'est donc pas exploitable...

Nous essayons alors avec la forme suivante:

equation   (30.252)

qui exprime donc qu'il y a une force de frottement proportionnelle au poids du véhicule ce qui est simplement la forme suivante de la deuxième loi de Coulomb:

equation   (30.253)

et le deuxième terme étant le frottement visqueux de Stokes dont nous avons sorti le terme de masse compris dans la densité se trouvant implicitement dans la constante k de equation.

Nous avons alors en simplifiant les termes de masse:

equation   (30.254)

Donc on voit déjà que dans ce modèle nous allons perdre l'effet de la masse qui a normalement pour implication de rallonger le trajet d'arrêt (dans la réalité!). Mais continuons quand même...

Nous avons donc à intégrer:

equation   (30.255)

Nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que:

equation   (30.256)

Donc en posant:

equation   (30.257)

Soit:

equation   (30.258)

Un peu réarrangé cela donne:

equation   (30.259)

Donc on tombe maintenant déjà sur un temps fini... ce qui est plus rassurant comme résultat.

Cherchons maintenant la distance d'arrêt. Nous avons en utilisant le fait que:

equation   (30.260)

la possibilité d'écrire:

equation   (30.261)

Soit:

equation   (30.262)

Ce qui nous amène à:

equation   (30.263)

Ce qui donne déjà:

equation   (30.264)

Nous avons donc:

equation   (30.265)

Soit:

equation   (30.266)

Nous avons donc notre résultat final. Meilleur que le précédent mais indépendant de la masse... mais en attendant c'est mieux que rien...

Remarque: Avec un freinage sec l'essieu avant d'une petite voiture (Mercedes Classe A) a une force de freinage typiquement de l'ordre de 2.8 [kN].

FACTEUR D'ÉCHAUFFEMENT

Le frottement de glissement intervenant entre deux corps se traduit par une perte d'énergie mécanique transformée presque entièrement en énergie calorifique Q (cf. chapitre de Thermodynamique). Le problème de la transformation de l'énergie de frottement en énergie calorifique est toujours très complexe et impose une étude fouillée.

Pour simplifier, supposons que la composante de forrtement reste constante, appliquée au centre de gravité de la surface de frottement, et la vitesse du crops soit rectiligne et constante. Le travail produit par la force de frottement, pour un déplacement fini vaut alors:

equation   (30.267)

En admettant ce travail mécanique entièrement transformé en énergie calorifique, la quantité de chaleur produite doit s'évacuer hors des surfaces de frottement. C'est un problème fondamental dans les mécanismes à fort dégagement de cahleur comme par exemple les freins, les embrayages, les transmissions à engrenages et vis sans fin, les paliers lisses. La puissance calorifique dégagée se calcul alors par:

equation   (30.268)

Il suffit de diviser ce résultat par la surface totale de contact pour avoir la puissance calorifique par unité de surface. Ensuite, dans le cas particulier du frottement coulombien dynamique, nous avons cette dernière relation qui s'écrit:

equation   (30.269)

La puissance calorifique est proportionnelle au coefficient de frottement et au produit de la pression moyenne P par la vitesse de glissement v et la surface de contact A. Cette méthode de contrôle de l'échauffement est bien évidemment une première approche grossière car le coefficient de frottement, la pression et la vitesse de glissement ne sont qu'une partie des facteurs influençant la température de fonctionnement d'un mécanisme.

En Savoir Plus

- Physique Générale (Mécanique+Thermodynamique), Marcelo Alonso + Edward J. Finn, Éditions InterÉditions U, ISBN10 volume I: 2729601376 (538 pages) - Imprimé en 1997

- Physique Générale, F. Rothen, Éditions Presses polytechniques et universitaires romandes, ISBN10: 2880743966 (862 pages) - Imprimé en 1999

- Physique, E. Hecht, Éditions DeBoeck-Université, ISBN10: 2744500186 (1328 pages) - Imprimé en 1999

- Statics and dynamics (12ème Édition), Éditions Pearson Education, R. C. Hibbeler, ISBN-10: 0138149291 (1403 pages) - Imprimé en 2010

- Physics (9ème Édition), Éditions John Wiley & Sons, John D. Cutnell + Kenneth W. Johnson, ISBN13: 9780470879528 (1086 pages) - Imprimé en 2012

- Advanced Dynamics: Rigid Body, Multibody, and Aerospace Applications, Éditions John Wiley & Sons, Inc, Reza N. Jazar, ISBN13: 9780470398357 (1344 pages) - Imprimé en 2011


Haut de page

MECANIQE CLASSIQUE 1/1MECANIQUE ONDULATOIRE


Like7   Dislike0
71.79% sur 100%
Notée par 39 visiteur(s)
12345
Commentaires: [0] 
 
 


W3C - HTMLW3C - CSS Firefox
Ce travail est dans le domaine public
2002-2017 Sciences.ch

Haut de page