PRINCIPES
| MÉCANIQUE ANALYTIQUE
| MÉCANIQUE
CLASSIQUE
MÉCANIQUE
ONDULATOIRE | MÉCANIQUE
STATISTIQUE | THERMODYNAMIQUE
MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
30.
MÉCANIQUE
CLASSIQUE/RATIONNELLE (1/2) |
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Avant d'aborder l'étude des corps
solides en mouvement dans le cadre de la mécanique classique
(à
l'opposé de la mécanique relativiste) appelée également
"mécanique rationnelle" ou "mécanique
newtonienne", il peut sembler être
dans l'ordre logique des choses de définir et d'étudier
les propriétés
relativement à leur état
statique.
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Définitions:
D1. Un
phénomène est dit "statique" ou "en équilibre" lorsqu'il
ne subit aucune dynamique (accélération ou in extenso:
force), du moins apparente. Nous pouvons considérer un équilibre
comme un état statique, bien qu'il ne soit qu'apparent
car il peut être
le résultat de deux dynamiques opposées qui se
compensent! Ainsi, les grandeurs qui décrivent un phénomène
statique sont des constantes, les valeurs concrètes de
ces grandeurs sont calculables. La statique est un cas majeur
d'étude du génie mécanique et du génie civil (voir chapitres
du même nom).
De manière
plus technique cette définition est érigée
au rang de principe appelé le "principe
fondamental de la statique" qui énonce que
pour qu'un système soit en équilibre, il faut que
la résultante générale et le moment résultant
des forces extérieures soit équivalent à zéro
par rapport à son centre de masse ou de gravité
(la condition est suffisante pour les problèmes de mécanique
qui traitent des solides indéformables).
D2. La "statique" est
l'étude des conditions d'équilibre d'un point matériel
soumis à des
forces en équilibre.
D3. Toute cause capable
d'accélérer (concept défini plus loin) ou
de déformer
un corps est appelée "force" (concept
introduit rigoureusement par Newton et sur lequel nous reviendrons
en détails plus loin lors de l'énoncé des
trois lois de Newton).
Une observation plus approfondie fait apparaître la force comme
le résultat macroscopique de phénomènes microscopiques
complexes, à savoir des interactions à distance entre particules.
Ces interactions sont au nombre de quatre et je ne désire
nullement en parler maintenant car elles font appel à des outils
mathématiques qui sont hors contexte dans cette section
du site.
Remarque: En
mécanique classique nous ne nous posons naturellement
pas la question d'une transformation du temps. Les changements
envisagés concernent la grandeur "position" et ses dérivées.
En effet, en mécanique classique, nous postulons le "temps
de Newton": le temps s'écoule de
façon
identique d'un référentiel à l'autre.
D4. Si les lignes d'action de toutes les forces agissant sur un
corps sont dans un même plan, le système de forces est dit "système
coplanaire":
Figure: 30.1 - Exemple particulier de système coplanaire
où l'intersection des force se nomme un "noeud
de forces".
Si nous considérons par exemple un ensemble particulier
de forces coplanaires dont les intensités (normes) ont été mesurées à l'aide
d'un dynamomètre
et les angles par rapport à une repère adéquatement
choisi avec un rapporteur. Nous aurons alors un schéma du
type suivant appelé "dyname":
Figure: 30.2 - Exemple particulier de système coplanaire mesuré (dyname)
Pour calculer les composantes de la résultante (et in extenso
de sa norme), il peut être plus aisé de représenter
les trois forces sous la forme suivante (après translation):
Figure: 30.3 - Représentation simplifiée des forces pour traitement
Ensuite, avec de la trigonométrie élémentaire,
connaissant les angles et l'intensité de chacune des trois
forces, il est possible de déterminer leurs composantes
respectives selon X et Y et leur somme algébrique
selon chacun des axes donnera les composantes de la résultante
(aujourd'hui ce type de raisonnement à l'air simple mais il a fallu
quand même attendre la fin du 16ème siècle pour que ces raisonnements
sur la statique des forces émerge).
Figure: 30.4 - Représentation de la résultante des forces d'une pont suspendu
Un petit cas applicatif élémentaire est le portage d'une charge:
Figure: 30.5 - Port de charge coplainaire symétrique
par symétrie chacune des parties gauche/droite du câble est sous
la même tension (force). En appliquant de la trigonométrie élémentaire
(cf. chapitre de Trigonométrie), nous avons:
(30.1)
Soit:
(30.2)
Nous remarquons alors que nous avons tout intérêt à avoir:
(30.3)
(soit un angle supérieur à ~30°) sinon quoi nous aurions:
(30.4)
Comme nous l'avons déjà mentionné, un système
de forces concourantes coplanaires est en équilibre statique,
lorsque la résultante
de toutes les forces est nulle. Graphiquement, l'extrémité de
la dernière force du dyname coïncide avec l'origine
de la première force. Mathématiquement cela peut
s'écrire:
(30.5)
D5. Un système matériel S (ensemble
de points matériels )
est dit "solide indéformable" (rigide),
ou simplement "solide",
si les distances mutuelles des points matériels le constituant
ne varient pas au cours du temps. Ce que notons techniquement sous
la forme suivante:
(30.6)
LOIS DE NEWTON
Les trois lois de Newton
sont à la base de la mécanique classique. Elles sont à posteriori
indémontrables et non formalisables car elles énoncent des observations
et découlent donc de notre expérience quotidienne.
Cependant, les développements
de la physique moderne et qui se basent sur les conséquences
de ces trois lois sont en tel accord avec les conditions théoriques
qu'impose le principe de moindre action et les expériences
y relatives, que leur validité pourrait ne plus être mise en
doute (...)
PREMIÈRE LOI (LOI D'INERTIE)
Définition: Tout corps
ponctuel ou étendu persévère dans sa forme (géométrie) ou son état
de repos ou de mouvement rectiligne uniforme (décrit par le centre
de masse), sauf si des "forces imprimées" le
contraignent d'en changer.
Le corps ponctuel est bien évidement sans dimension. C'est
une création de l'esprit, un modèle, représentant
un objet physique qui n'est animé que d'un mouvement de
translation (pas de rotation sur lui-même puisque sans dimension!).
Nous admettons ici que notre espace physique est
à trois dimensions auquel on adjoint le temps qui n'est
pas ici une dimension spatiale dans le cadre de la mécanique classique
mais un paramètre
immuable et indépendant!
Autrement dit: Tout corps
au repos ou en mouvement rectiligne uniforme est soit imprimé par
un nombre de forces nulles, soit la somme des forces imprimées
est nulle (c'est le principe fondamental de la statique appelé
aussi
"principe
d'inertie").
Corollaire: Lorsque la trajectoire d'un corps n'est pas une droite
ou lorsque la vitesse de ce corps n'est pas constante, on peut
en conclure d'après le Principe d'inertie que les forces
qui s'exercent sur ce corps ne se compensent pas.
Remarque: Nous avons démontré ce corollaire
lors de notre étude du théorème de Noether
dans le chapitre traitant des Principes de la physique.
Après la virgule de la première
phrase du corollaire, jaillit en pleine lumière le mot "force".
Questionnons donc ce mot: le langage courant regorge de significations
différentes:
la force du poignet, la force de l'âme... Aussi, la force peut-elle être
aveugle ou majeure, selon le cas... Quoi qu'il en soit, elle
a le pouvoir de changer le cours (le mouvement) et la forme (géométrie)
des choses. Sans ignorer ce halo qui entoure le mot et qui a
embarrassé plus d'un physicien avant lui, Newton donne à la
force une signification très précise, qui se démarque
de l'idée intuitive
d'un effort physique.
Propriétés:
P1. La force est une grandeur
vectorielle (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).
P2. L'effet d'une force,
ne change pas si nous faisons glisser la force sur sa droite
d'action.
Une force est donc une grandeur
physique qui se manifeste par ses effets:
E1. Effet dynamique: une
force est une cause capable de produire ou de modifier le mouvement
ou la forme (géométrie) d'un corps.
E2. Effet statique: une
force est une cause capable de produire une déformation d'un
corps.
Toute force peut être représentée
par un vecteur dont les quatre propriétés sont:
P1. Direction: droite selon
laquelle l'action s'exerce
P2. Sens: sens selon lequel
l'action s'exerce sur la droite
P3. Point d'application: point où l'action s'exerce sur le corps
P4. Intensité: la valeur
(norme) de la force
Il est possible de ranger
la plupart des forces par familles telles que:
F1. Les "forces
de réaction": chaque corps exerce une force sur
un autre corps qui est en contact avec lui. Par exemple, si
un objet repose sur une table, cette table exerce une force égale
et opposée sur l'objet (afin que ce dernier ne s'enfonce pas
dans la table - ce sont des mécanismes quantiques qui sont à l'origine
de cette force de réaction). Cette force est toujours à la
verticale du point de contact.
F2. Les "forces
de frottement": la force de frottement existe
lorsque deux corps sont en contact. Elle s'oppose toujours
au mouvement. La force de frottement qui s'oppose au mouvement
n'a pas seulement un effet négatif, elle est indispensable
pour assurer aussi le contact entre deux surfaces (par exemple: contact des pneus sur la route, freinage, ...).
F3. Les "forces
de tension" exercées sur un corps: c'est une force
qui tire sur un élément d'un corps comme par exemple, la tension
exercée par un fil, par un ressort (cf.
chapitre de Génie Mécanique).
F4. Les "forces à distance":
ce sont les forces qui agissent par l'intermédiaire de champs
vectoriels comme par exemple le champ électrique, le champ magnétique,
le champ gravitationnel. Ce dernier a comme particularité s'il
est isotrope (nous le démontrerons lors de notre étude de la
statique des forces) de pouvoir se réduire à l'étude du centre
de gravité du corps.
DEUXIÈME LOI (PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE)
Définition: Le changement
de mouvement est proportionnel à la "force
motrice imprimée", et s'effectue suivant la droite
par laquelle cette force est imprimée.
Une force, nous le savons,
est dans le langage de Newton ce qui provoque le "changement
du mouvement" et pas autre chose... Mais, supplément au programme,
les mots "changement du mouvement" de cette loi cachent
une signification mathématique, différente de l'intuition "changement
de vitesse". Pour Newton, nous avons vu qu'un corps au repos était
caractérisé par sa quantité de matière, sa masse. S'inspirant
de certains prédécesseurs, Newton pose qu'un corps en mouvement "transporte
une certaine quantité", appelée sans fioritures: la "quantité de
mouvement". C'est en fait cette quantité qui, sous
le simple mot "mouvement" est
contenue dans l'énoncé de la seconde loi. La quantité d'un mouvement
est la mesure que nous tirons à la fois de sa vitesse (concept
que nous définirons plus loin lors de notre étude de la cinématique)
et de sa quantité de matière, autrement dit, par définition,
le produit de sa masse par sa vitesse.
(30.7)
En utilisant les symboles
mathématiques modernes, la première partie de cette deuxième
loi peut alors se reformuler:
La force est égale à la
variation en fonction du temps de la quantité de mouvement, soit
dans un cadre non relativiste:
(30.8)
Cette relation est donc valable tant que la vitesse est très inférieure
à celle de la lumière comme nous le verrons lors de notre étude
de la mécanique relativiste bien plus tard, car Newton supposa
que la masse ne variait pas (ou ne semblait pas varier...) en
fonction de la
vitesse. Ainsi, la "relation fondamentale
de la dynamique" (R.F.D.) est donnée par:
(30.9)
et peut s'énoncer ainsi: Soit un corps de
masse m constante, l'accélération subie par
un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle
à la résultante des forces qu'il subit, et inversement
proportionnelle à sa masse m.
Rappel: La "masse" est
une mesure pour la quantité de matière contenue dans le
corps (cf. chapitre sur les Principes De
La Mécanique).
La masse est une constante indépendante de l'endroit où elle
se trouve (unité S.I. kilogramme: [kg]). Le "poids",
correspond lui à la force (unité S.I. newton: N)
qu'un objet exerce sur un autre par l'intermédiaire d'un
champ gravitationnel. Il dépend de l'endroit où nous nous
trouvons (voir ci-dessous l'équation de la force gravitationnelle
de Newton).
Nous verrons (démontrerons)
que dans le cadre d'un corps tombant dans un champ gravitationnel à symétrie
sphérique, nous avons:
(30.10)
dans le cadre de notre bonne vieille
Terre, nous avons pour habitude de poser:
(30.11)
Dans le système Eulérien
et en coordonnées cartésiennes, une grandeur donnée d'un
milieu continu aura une distribution en fonction des quatre variables
indépendantes x, y, z, t. Pour de petites variations dx,
dy, dz et dt, la variation totale de s'exprimant
par (cf. chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral):
(30.12)
En suivant une particule
dans son mouvement, nous observons pendant un temps dt des
déplacements dx, dy, dz. Nous pouvons donc exprimer à partir
de l'expression précédente la variation totale de pendant
le temps dt. Nous obtenons ainsi l'expression d'une dérivée
très importante en physique théorique dite "dérivée
particulaire":
(30.13)
En mécanique nous allons
particulièrement travailler avec le champ gravitationnel Newtonien.
Dès lors, la relation reliant la force à l'accélération
prend une forme plus générale. Voyons comment:
Soit la dérivée particulaire
de la vitesse (pour les trois coordonnées spatiales):
(30.14)
Ce qui s'écrit aussi:
(30.15)
Ce qui peut s'écrire aussi sous forme condensée:
(30.16)
La deuxième loi de Newton s'écrit alors sous forme généralisée:
(30.17)
Cette
formulation de la deuxième loi de Newton est de la plus haute
importance en physique. Elle rend compte explicitement
de la force subie par un point matériel dans un champ
vectoriel en fonction de la vitesse et non plus de la position.
Nous
retrouverons cette formulation dans le chapitre de Mécanique
Des Milieux Continus dans notre étude des fluides et
plasmas, dans le chapitre d'Électromagnétisme
ainsi que dans celui de Relativité Générale.
TROISIÈME LOI (LOI D'ACTION ET RÉACTION)
Énoncé: la réaction d'un
corps étendu ou ponctuel solide est toujours de sens opposée
et d'intensité et de direction égale à la force imprimée.
Cette troisième loi est
plus connue sous le nom de: "principe
d'action/réaction" et découle de la première
loi de Newton selon le raisonnement mathématique lors
de notre étude du théorème de Noether dans
le chapitre traitant des Principes de la physique.
Ainsi, dans la nature, selon ce principe, il n'y pas de force
isolée, chaque force à son "contraire",
elles agissent par paire.
Nous pouvons également dire
encore que deux corps solides ponctuels ou étendus en
contact exercent l'un sur l'autre toujours des forces opposées
en sens mais égales en intensité et en direction.
CONDITIONS
D'ÉQUILIBRE
Pour qu'un point matériel,
soumis à des forces soit
en équilibre statique, il faut
que la résultante
de ces forces soit nulle. Soit:
(30.18)
La relation précédente, qui définit
donc tout corps à
l'équilibre, ouvre l'étude à de très
nombreux cas pratiques et constitue
à elle seule un immense chapitre d'applications pratiques
que nous appelons la "statique des forces"
et que nous développerons après avoir introduit le
concept de moment de force plus loin.
Cependant cette condition est suffisant uniquement
dans le cas de points matériels. Si nous travaillons avec des objets
étendus dans l'espace alors la condition susmentionnée est nécessaire
mais pas suffisante. Nous verrons effectivement plus loin, lors
de notre étude des "moments de force", qu'il faut rajouter une
condition supplémentaire.
CENTRE
DE MASSE ET MASSE RÉDUITE
Le centre de masse est un cas particulier
du barycentre avec toutes ses propriétés que nous
avons déjà largement
développées dans le chapitre de Géométrie
Euclidienne (donc nous conseillons fortement au lecteur de s'y
référer)
mais rapporté à la
physique.
On peut confondre "centre masse" et "centre
de gravité" (dit également "barycentre")
que si et seulement si la masse du
corps étudié est
homogène.
Pour ceux qui souhaitent un exemple simple mais impressionnant
de l'importance de comprendre la notion de centre de gravité dans
le cadre de l'ingénierie
et
du business, je conseille de chercher sur Internet des vidéos sur
le mot clé "Steadicam". Il s'agit une technique de déplacement
du centre de gravité
avec des caméras pour la stabilisation de l'image qui a révolutionné
la manière de filmer dans l'industrie du cinéma (et pas que!).
Définition: Soit un solide formé de n points
de masse et
repérés par leurs vecteurs de position respectifs. Nous
appelons "centre
de masse" (ou "centre
d'inertie" s'il y a égalité stricte
entre masse grave et masse inerte)
un point G auquel
nous pouvons rattacher toute la masse du système (et
donc son analyse!!) et tel que, l'origine étant arbitrairement
choisie il soit donné par:
(30.19)
Relation à comparer par celle plus générale vue dans le chapitre
de Géométrie Euclidienne:
(21.20)
De façon identique, nous
définissons la masse réduite du système
par la relation:
(30.21)
Si nous considérons le solide
comme continu (vrai seulement à l'échelle macroscopique en première
approximation) alors il vient:
(30.22)
Où les intégrales sont étendues au volume
du solide en entier.
De plus, si le solide est homogène (cas particulier), de masse
volumique ,
alors , dV étant
l'élément de volume. L'équation peut alors
s'écrire (la notation
de la triple intégrale est réduite à une seule par
souci de condensation d'écriture):
(30.23)
Soit en composantes:
(30.24)
Propriétés:
P1. Si le solide possède
un axe de symétrie, alors G est sur cet axe.
P2. Si le solide possède
un plan de symétrie, alors G est sur ce plan.
P3. Si le solide possède
plusieurs axes de symétrie, alors G est à leur
intersection.
Remarque: Le centre de masse G peut
se trouver hors du solide (exemple: un tabouret, un boomerang,
etc.).
Il n'est pas évident de
calculer le centre de masse d'un corps donné relativement
simple. Ce n'est pas que les outils mathématiques à manipuler
soient complexes loin de là (simple intégrale, Pythagore
et quelques multiplications et intégrations par parties)
mais il faut aborder le problème d'une façon élégante
et si nous n'avons pas tout de suite la bonne approche nous nous
casserons très vite les
dents. Nous conseillons donc aux professeurs qui abordent ce
sujet et les exercices y relatifs, de les faire avec les élèves
(donc en classe) mais en laissant ces derniers débattre
de la façon dont le professeur doit attaquer le problème au tableau
noir (cela marche très bien).
THÉORÈME
DU CENTRE DE MASSE
Sous l'action des forces
extérieures ,
agissant en chaque point du solide, chacun de ces points prend
l'accélération correspondant à la force
appliquée .
En utilisant la deuxième loi de Newton pour chaque point et
en sommant les effets nous aurons (dans un cas non relativiste):
(30.25)
en vertu de la position
du centre de masse donnée par la relation:
(30.26)
il vient si le référentiel
est posé sur le centre de masse:
où
(30.27)
soit:
(30.28)
C'est le théorème du centre
de masse, que nous pouvons énoncer ainsi:
Le centre de masse d'un
solide se meut comme un point matériel de masse égale à celle
du solide et auquel serait appliqué la somme des forces extérieures.
Un exemple simple est celui d'un projectile explosif décrivant
en absence de pesanteur une trajectoire courbe. Si le projectile
explose et se fragmente, le centre de masse des éclats continue à décrire
la trajectoire courbe qu'il avait entamée.
Remarque: Dans le cas particulier du solide (ensemble
de points) soumis au champ de la pesanteur, est
le poids du solide et G s'appelle alors " centre
de gravité" (d'où l'origine de cette appellation).
Reprenons l'équation:
(30.29)
donnant la position du centre
de masse. Sa vitesse vaut:
(30.30)
en posant:
(30.31)
où est
la quantité de mouvement du système, il vient:
(30.32)
Cette relation montre que
si la somme des forces extérieures est nulle alors:
(30.33)
Donc la quantité de mouvement
du système entier est conservée et le mouvement du centre de
masse du système est inaltéré. Ceci justifie les remarques faites
lors de l'étude de la conservation de la quantité de mouvement.
Dans l'étude des interactions
entre particules, il est souvent commode d'utiliser un système
de référence lié au centre de masse de l'ensemble
des particules. Ce centre de masse étant au repos dans
ce référentiel, sa vitesse
y est nulle ainsi que la quantité de mouvement totale,
comme le montrent les équations ci-dessus. Cette propriété constitue
le puissant avantage de cette description.
Remarque: En mécanique, l'usage du centre de masse (point
matériel) est
particulièrement aisé car le système de forces est régi
seulement par la loi de Newton. Avec des particules électrisées
(charges), il en va tout autrement. Les effets électromagnétiques
sont dominants lors de leurs accélérations, ce qui induit
des phénomènes
ondulatoires interactifs nettement plus complexes. C'est la raison
pour laquelle nous ne verrons jamais une étude sur ce site
du "centre
de charge" lorsque nous aborderons l'électrostatique dans
le chapitre d'Électrodynamique...
THÉORÈMES
DE GULDIN
Les théorèmes
de Guldin permettent dans certains cas, de simplifier le calcul
du centre de masse de certains corps.
Premier théorème: Soit une plaque plane, homogène,
d'épaisseur
constante e, de masse volumique placée dans
un plan cartésien xOy. Nous avons alors par rapport à l'axe y:
(30.34)
Envisageons une rotation
autour de l'axe x. Le volume décrit par un élément
de surface dS lors de cette rotation vaut:
(30.35)
et, par conséquent,
le volume total décrit par la surface S complète
est:
(30.36)
Ainsi, en procédant
de même pour ,
nous obtenons finalement:
(30.37)
Deuxième théorème: Soit une tige courbe,
homogène, de longueur l,
de section constante, de masse linéique .
Nous avons:
(30.38)
Envisageons une rotation
autour de l'axe x. La surface décrite par un élément
de longueur dl lors de cette rotation vaut:
(30.39)
et, par conséquent,
la surface totale décrite par la tige de longueur L est:
(30.40)
Ainsi, en procédant
de même pour ,
nous obtenons finalement:
(30.41)
CINÉMATIQUE DU MOUVEMENT RECTILIGNE
Un phénomène
est évolutif si, en l'observant, nous constatons un glissement
de la valeur concrète d'une ou plusieurs grandeurs. Ces grandeurs
ne sont pas des constantes mais des variables. Une évolution
implique qu'il y a un début, une infinité d'états
intermédiaires
et une fin. Un "état" est
la description d'un instantané d'un phénomène évolutif
(pas forcément
au sens temporel du terme).
La relation
fonctionnelle entre grandeurs pour un état donné peut être
décrite
par une équation. Pour un phénomène évolutif,
il peut y avoir une infinité d'états que nous pouvons
décrire par autant d'équations.
Sous cette forme, cela n'a pas d'intérêt. Nous cherchons
alors à trouver
une équation unique qui met en relation les différentes
grandeurs vérifiant tous les états que le phénomène évolutif
considéré peut
admettre. Par cette équation, nous pouvons ensuite calculer
n'importe
quel état du phénomène évolutif étudié:
c'est "l'équation
d'état" (notion tirée de la thermodynamique).
La "cinématique" est
donc la partie de la mécanique qui traite des mouvements
sans s'occuper de ses causes (c'est Ampère qui a baptisé ce domaine
ainsi).
POSITION
Définition: La position d'un objet est définie
par son vecteur position dans le cas particulier d'un espace tridimensionnel:
(30.42)
or chaque coordonnée d'un
objet en mouvement peut varier en fonction du temps comme:
(30.43)
Plutôt que cette notation
un peu lourde en parenthèses... les physiciens notent fréquemment
le vecteur position (ou vecteur d'espace) sous la forme d'un
vecteur de 4 dimensions:
- 3 dimensions spatiales
- 1 dimension temporelle
et nous écrivons alors:
(30.44)
et nous appelons alors ce
vecteur un "quadrivecteur d'espace-temps" dont
les composantes sont les coordonnées généralisées du système.
VITESSE
Définition: La "vitesse
scalaire", appelée aussi simplement "vitesse", notée v,
est par définition la
distance parcourue par un objet pendant une certaine quantité de
temps:
(30.45)
Lorsqu'un
corps est en mouvement uniforme rectiligne, c'est-à-dire
qu'il parcourt une distance donnée selon une dimension avec en
un temps toujours égal, le rapport précédent
est constant dans le temps:
(30.46)
La
"vitesse moyenne arithmétique" ou
"vitesse linéaire moyenne" est définie
comme étant le rapport
de la distance parcourue entre un point de départ donné à un
instant et
un point d'arrivée à un
instant :
(30.47)
Remarque: Il faut prendre garde lors de calculs de vitesses
moyennes car il existe plusieurs types de moyennes en mathématique...
(cf.
chapitre de Statistiques)! Par exemple, il est fréquent
d'utiliser la vitesse moyenne harmonique comme nous le montrons
dans le chapitre de Statistiques.
Ceci
représente donc une moyenne (car nous ne nous intéressons
pas de savoir comment le chemin entre et a été parcouru) mais
nullement la vitesse instantanée du véhicule à un
moment donné.
Si
nous désirons connaître la vitesse dite "vitesse
scalaire instantanée" du véhicule
en un point de sa trajectoire il faut faire passer le delta
du
temps à un
différentiel (cf. chapitre de
Calcul Différentiel Et Intégral) tel que:
(30.48)
avec qui
tend vers zéro.
Mathématiquement,
nous notons cela correctement de la façon suivante:
(30.49)
Ainsi,
pendant une différence de temps infiniment petite, la distance
parcourue sera également infiniment petite. Nous aurons donc:
(30.50)
et
finalement:
(30.51)
Si
le corps étudié n'est pas en mouvement rectiligne dans un repère
cartésien à trois dimensions alors sa position sera donnée
par le vecteur et
nous noterons sa vitesse dès lors par:
(30.52)
Remarque: Si toutes les parties d'un corps se déplacent à la même
vitesse et dans la même direction, nous avons alors un "mouvement
de translation". Par contre, dans un "mouvement
de rotation", les vitesses des diverses parties
du corps ne sont pas les mêmes, en module et en direction (nous
le démontrerons
plus loin) et peuvent varier avec le temps.
Attention !
Un mouvement ne peut être décrit que par rapport à un
repère fixe: le mouvement absolu n'existe pas. Galilée
avait déjà compris que: "Le mouvement est
comme rien". Le mouvement n'existe pas en soi, mais relativement à autre
chose.
ACCÉLÉRATION
Définition: "L'accélération
scalaire", appelée aussi simplement "accélération",
notée a,
est par définition,
la variation de la vitesse scalaire pendant une certaine quantité de
temps telle que (nous passons directement à la limite sinon
quoi nous parlons alors "d'accélération
linéaire moyenne"):
(30.53)
ou autrement dit: la vitesse avec laquelle évolue la vitesse.
À nouveau,
si le corps n'est pas en mouvement uniforme rectiligne nous
aurons:
(30.54)
Si
le corps est en mouvement rectiligne et uniforme (nous pouvons
toujours généraliser à un mouvement non rectiligne) nous avons
alors:
(30.55)
La
constante est à déterminer en fonction des conditions
initiales. Si la position initiale au temps zéro
est nulle la constante sera nulle. Dans le cas contraire nous écrivons:
(30.56)
ce
qui nous donne la distance parcourue par un corps pendant un
laps de temps donné.
Si
le corps est en mouvement rectiligne et accélère constamment
nous avons alors:
(30.57)
La
constante est à déterminer en fonction des conditions
initiales. Si la vitesse initiale parcourue au temps zéro
est nulle la constante sera nulle. Dans le cas contraire nous écrivons:
(30.58)
Nous
voyons plus fréquemment cette relation sous la forme:
ou encore majoritarement sous laf orme:
(30.59)
mais
nous avons:
(30.60)
si
nous intégrons cette relation, nous obtenons:
(30.61)
que
nous retrouvons dans les écoles le plus fréquemment sous la
forme:
(30.62)
Cette
relation donne la position d'un mobile en mouvement rectiligne
et uniformément accéléré (dans
la majorité des problèmes en physique on considère
l'accélération
constante ou en un point précis). De cette dernière,
nous déduisons une très quantité de
relations qui sont très
intéressantes en physique aussi bien en considérant
des cas idéaux que des cas réels. Effectivement,
en la réarrangeant (alèbre élémentaire),
il est possible d'obtenir l'accélération lorsque
le temps pour atteindre une vitesse donnée est connu.
On peut aussi calculer la distance qu'il faut à un mobile
(toujours en mouvement rectiligne) ayant une accélération
donnée pour atteindre une certaine vitesse.
Le premier cas que nous
considérons comme le plus connu, est la vitesse de chute à accélération
constante d'un corps dans un milieu exempt de tout frottement
(cas traité plus loin lors de notre étude de la
tribologie).
Comme nous l'avons déjà démontré précédemment,
nous avons lorsque la vitesse initiale est nulle:
et
(30.63)
Les deux relations combinées
donnent (conformément à la tradition d'usage dans les écoles,
nous avons remplacé le x par un h pour
indiquer que la position est souvent assimilée dans la pratique
à une hauteur):
(30.64)
Nous
pouvons tirer de cette relation la vitesse de libération
d'un astre (relation pratique quand nous étudierons
le chapitre d'Astrophysique et intéressante pour comparaison
lorsque nous
étudierons la relativité générale):
Supposons que vous savez
déjà que deux corps s'attirent mutuellement avec une accélération
selon le modèle classique de Newton (que nous démontrerons plus
loin):
(30.65)
Mis dans la relation de
chute d'un corps ,
nous obtenons:
(30.66)
à la surface du corps attracteur
principal nous avons donc la "vitesse
de libération":
(30.67)
Nous
pouvons répondre à partir de cette relation,
à la question de savoir pourquoi certaines planètes
du système
solaire ont une atmosphère et d'autres pas
(bon normalement il faut prendre en compte l'agitation moléculaire...)
comme nous le verrons dans le chapitre d'Astronomie.
Ce qui est aussi intéressant
dans cette relation c'est que nous pouvons calculer quel doit être
le rayon R d'un corps de masse m pour que sa vitesse
de libération soit égale à celle de la lumière
(allusion aux Trous Noirs).
Nous avons dès lors:
(30.68)
Nous verrons dans le chapitre de Relativité
Générale qu'après de relativement longs calculs
dans un champ gravitationnel isotrope (métrique de Schwarzschild)
nous retomberons sur cette relation.
PLAN OSCULATEUR
Les vecteurs vitesse et
accélération liés à un
point P en mouvement forment, à chaque instant t un
plan appelé "plan osculateur" de
la trajectoire (généralement curviligne sinon quoi
le plan se réduit à une droite).
Il est souvent utile de
décomposer le vecteur accélération dans le plan osculateur suivant
respectivement la tangente et la normale à la trajectoire:
(30.69)
où le premier terme du membre
de droite est un vecteur parallèle à la vitesse et le deuxième
un vecteur perpendiculaire à la vitesse et situé du côté concave
de la trajectoire.
Exprimons ces deux vecteurs
(un exemple plus général est donné dans le chapitre de Géométrie
Différentielle):
Nous pouvons écrire que:
(30.70)
où ds est
un élément courbe (l'abscisse curviligne) de la trajectoire et un
vecteur unité tangent à la trajectoire lié au point P.
L'accélération s'écrit alors:
(30.71)
Le premier terme à droite
de l'égalité est l'accélération tangentielle
quant au second terme, même si la vitesse est constante ce dernier
apparaît dans
l'expression de l'accélération pour exprimer le
changement de direction de la vitesse.
Décomposons le vecteur dans
la base orthonormée euclidienne générée
par la famille de vecteurs :
(30.72)
Ensuite, en dérivant par
rapport au temps:
(30.73)
En comparant avec l'expression
initiale du vecteur ,
nous voyons que les termes entre crochets ci-dessus
sont les composantes d'un nouveau vecteur unité perpendiculaire
au vecteur ,
donc perpendiculaire à la trajectoire et dirigé vers le centre
de courbure.
De plus par la définition
du radian, nous avons:
(30.74)
où R est
le rayon de courbure de la trajectoire.
L'expression devient
alors:
(30.75)
et le second terme de l'expression
générale de l'accélération devient alors:
(30.76)
Nous avons donc finalement (relation démontrée avec une autre
approche dans le chapitre de Géométrie Différentielle):
(30.77)
où "l'accélération
tangentielle" donnée par:
(30.78)
est un terme qui exprime
la modification de l'intensité de la vitesse sur la trajectoire
du point P et où "l'accélération
normale":
(30.79)
est un terme qui exprime
le changement de direction du point P sans que nécessairement
ce dernier change donc de vitesse! Communément cette dernière
relation est assimilée à la "force
centrifuge" (centrifuge signifiant: qui fuit le centre")!!
Remarque: La force centrifuge est
considérée en physique comme une force fictive car
au fait il ne s'agit pas d'une force qui tend à nous éloigner
d'un centre de rotation mais c'est juste qu'il y a une force qui
n'est plus
suffisante (la force de frottement dans le cadre d'un manège
ou gravitationnelle pour des planètes) pour nous empêcher
de suivre une trajectoire en ligne droite par simple inertie. Raison
pour laquelle lorsque nous sommes éjectés d'un manège
nous partons tangentiellement à sa rotation et non pas perpendiculairement à
celle-ci.
Nous constatons
immédiatement
que si le
mouvement est forcément rectiligne, accéléré ou
non, tandis que si la
trajectoire est nécessairement incurvée.
PRINCIPE
DE RELATIVITÉ GALILÉEN
Définition: Il est impossible pour un
observateur animé d'un mouvement
uniforme de savoir s'il se meut par rapport à son environnement
ou bien à l'inverse si l'environnement se déplace
par rapport à lui
(nous ne pouvons pas distinguer le repos et le mouvement
à vitesse et direction constantes). Dès
lors, il ne peut exister de référentiel
absolu (ou privilégié) qui puisse être
considéré comme fixe vis-à-vis de tous les
autres repères
galiléens ce qui signifie clairement que tous les
repères
galiléens doivent jouir du même statut en mécanique
puisqu'ils ne peuvent être distingués les uns des
autres. Ce principe est nommé le "principe
de relativité galiléen".
Ce
principe, (à ne pas confondre avec le principe de relativité restreinte
car les hypothèses de départ diffèrent un tant soit peu...)
découle directement de l'étude de ce que nous nommons la "transformation
de Galilée".
Définition: Une "transformation
de Galilée" est
une suite d'opérations mathématiques sur une
loi physique qui permet de déterminer les propriétés
d'une ou plusieurs "observables" (vitesse,
force quantité de mouvement, etc.) lorsque nous passons
lors de l'étude d'un phénomène physique d'un
référentiel à un
autre référentiel: l'un supposé au repos,
et l'autre en mouvement uniforme.
La
question à l'origine historique était de répondre
s'il est plus légitime d'étudier un phénomène
dans un référentiel
ou dans un autre. Plus exactement, nous souhaitons déterminer
si la forme des lois physiques gardent les mêmes formes algébrique
quelque soient les référentiels dans lequel
nous les étudions.
Voyons
cela d'un peu plus près:
Soient
deux référentiels en mouvements l'un par rapport à l'autre à une
vitesse constante .
Pour un certain référentiel cartésien au
repos (ou supposé tel) nous allons poser le deuxième
référentiel de
façon à ce qu'il soit aligné avec l'axe des afin
de simplifier les calculs avec :
Figure: 30.6 - Exemple de référentiel en mouvement par rapport à un autre
Nous
allons également mettre dans le deuxième référentiel en mouvement,
un point matériel de
coordonnées .
Remarque: Nous supposerons connu le concept de "quantité de
mouvement" p défini plus loin avec rigueur. Rappelons
donc dès lors que la quantité de mouvement du point P animé
d'une vitesse v (norme) dans est
alors donnée par:
(30.80)
Nous
avons alors en appliquant les relations classiques de la
cinématique:
(30.81)
d'où et
donc (nous supposons connu le concept de "force" défini
plus loin avec rigueur):
(30.82)
Le
résultat obtenu est donc fort intéressant puisque la deuxième
loi de Newton garde exactement la même forme, et la même
valeur dans les deux référentiels. Le fait que nous nous
déplacions ou pas à vitesse constante ou pas n'a donc aucune
influence sur notre vision du monde qui reste exactement
la même.
Conséquence: Puisque
les forces sont identiques, aucune expérience de mécanique
ne peut déterminer si un référentiel galiléen
est le repère absolu (autrement dit deux observateurs,
dans deux référentiels galiléens différents,
ne peuvent à l'aide d'une expérience
de mécanique déterminer lequel se meut par rapport à l'autre).
Donc, en mécanique
classique, il n'existe pas de référentiel
galiléen absolu!
Toutefois
notons bien que ce résultat est obtenu en supposant que:
(30.83)
c'est-à-dire
que nous imposons que la vitesse relative est uniforme (constante)
et la masse constante et surtout, que .
Mais
au fait, cette transformation est fondamentalement fausse
comme nous le verrons plus en détail lors de notre étude
de la relativité restreinte (cf. chapitre
de Relativité Restreinte). Effectivement, soit
un objet se déplaçant le long de l'axe avec une vitesse v mesurée
dans le repère primé:
(30.84)
quel
sera alors sa vitesse w dans
le repère non primé? Si la transformation de Galilée est
fondamentalement vraie, il suffit de remplacer dans la relation
précédente x' et t' par
leurs expressions en fonction de t :
ou
(30.85)
soit
(loi d'addition des vitesses):
(30.86)
Seul
petit hic... une expérience simple impliquant des
rayons de lumière fut réalisée au début
du siècle, et montra que cette
loi était fausse. Cette expérience dite de "expérience
Michelson-Morley" bouleversa à tout jamais notre
vision du monde... et amena Albert Einstein à développer
la théorie de la relativité restreinte en imposant
que la vitesse de la lumière quel que soit le référentiel
est toujours constante (cf. chapitre
de Relativité Restreinte):
(30.87)
Remarque: Si nous mesurons les vitesses et autres grandeurs
vectorielles, nous trouvons que les résultats de mesures
des composantes x', y', z', t'
ne sont pas identiques à celle obtenues sur x, y, z,
t. Elles varient avec le système d'axe.
Connaissant ces valeurs dans un repère, nous pouvons passer
aux valeurs dans l'autre repère: il s'agit de la "covariance"
(co-variance: variance avec les coordonnées), ici pour
les expressions vectorielles.
Les lois sont des relations
entre des observables, relations déduites d'observations
nombreuses.
La recherche des lois est régie par ce que nous pourrions
appeler un "principe
de simplicité": lois en nombre le plus petit possible,
expressions les plus simples possibles entre grandeurs en nombre minimal.
Mais la caractéristique
d'une bonne loi est la covariance lors d'un changement
de repère. Cette invariance lors d'un changement
de repère, cette invariance de la forme (de l'expression
littérale) de la loi va permettre d'objectiver
au maximum et, en principe totalement, la physique.
La physique (dans le sens
de la théorie qui décrit la réalité)
ne sera plus liée à l'observateur ni à son
espace-temps galiléen associé. Bien sûr cette
covariance sera recherchée pour les transformations de
référentiels en mouvement les uns par rapport aux
autres.
Un contre-exemple simple
cependant: la force entre deux charges électriques immobiles
dans un référentiel ne fait appel dans ce référentiel
qu'à la seule théorie de l'électrostatique.
Si ce même système est observé d'un
référentiel en mouvement par rapport au premier,
il faudra décrire l'ensemble à l'aide
de la théorie de l'électromagnétisme.
Par construction même
la mécanique classique se trouve être covariante
par transformation de Galilée (changement de repères
galiléens): le postulat de la dynamique (force) prend
en effet la même forme dans les différents référentiels
galiléens comme nous venons de le voir.
MOMENT
CINÉTIQUE
Définition: Le "moment
cinétique"
ou "moment angulaire" par
rapport à un point O d'une particule de masse m se
déplaçant à la vitesse en est
défini par:
(30.88)
avec étant
la quantité de mouvement (voir la définition plus
loin) donnée
par:
(30.89)
Par sa définition, le moment
cinétique est un vecteur perpendiculaire au plan contenant
les vecteurs et et
si la particule se déplace dans un plan, la direction
de est
constante mais pas nécessairement de même sens.
Un cas particulier mais important en mécanique et astronomie
du calcul du moment cinétique est le mouvement circulaire
(plan) de rayon r.
Dans cette situation, le "rayon-vecteur" est
alors toujours perpendiculaire à la direction du vecteur-vitesse et
donc:
(30.90)
Nous voyons apparaître ici
la définition du "vecteur rotation" également
noté parfois (à tort) .
Pour un mouvement plan mais
non circulaire (comme une conique par exemple!), nous introduisons
les composantes normale et tangentielle de la vitesse:
(30.91)
pour obtenir (de par les
propriétés du produit vectoriel):
(30.92)
et sous forme scalaire:
(30.93)
où r est dès lors
appelé le "rayon de courbure" de
la trajectoire.
Etudions maintenant la dérivée du moment
cinétique:
(30.94)
Dans le membre de droite,
nous avons de par la définition du produit vectoriel:
(30.95)
et d'autre part:
(30.96)
Ce qui nous donne finalement:
(30.97)
La
dérivée par rapport au temps du moment cinétique
d'un mobile ponctuel est donc égale à ce que nous définissons
par le "moment
de force" sur
lequel nous reviendrons plus loin et qui a comme unités
celle de l'énergie et est un vecteur perpendiculaire
au plan formé par et (par
construction du produit vectoriel!).
Remarques:
R1. Cette dernière relation
fait que nous appelons parfois le moment cinétique aussi "moment
de la quantité de mouvement".
R2.
Il faut bien sûr prendre garde au fait que (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel) .
Ce qui est fortement impressionnant dans ce résultat (variation
instantanée du moment cinétique), est que tout corps
ayant un moment cinétique non nul et soumis à aucun
moment de force, conserve l'orientation et la norme de dans
l'espace et le temps.
Ce résultat va nous permetre d'étudier
la dynamique du gyroscope et de tous les autres corps ayant des
propriétés
similaires (comme la Terre qui tourne sur elle-même et qui
pointe sur l'étoile polaire ce qui est un facteu important
de l'origine des saisons!). Nous étudierons
plus loin le gyroscope et ses propriétés, car son
comportement est fascinant et les résultats théoriques
en découlant
trouvent des applications en astrophysique, physique atomique et
même en philosphie. Effectivement, la conservation de l'orientation
du vecteur moment cinétique amène à considérer
que même
si l'espace était totalement vide de son contenu dans l'ensemble
de l'Univers et contenait
un objet
ayant un
moment cinétique, l'espace vide a toutefois
une propriété qui
permet à l'objet en question de savoir où il doit
s'orienter... Ce qui est assez déroutant! Donc l'espace
vide ce n'est pas rien sinon par rapport à quoi tourne l'objet
dans le vide? Il tourne par rapport à l'espace lui-même!
Nous avons également:
(30.98)
où l'intégrale s'appelle "l'impulsion
de rotation" et la relation précédente
porte quelquefois le nom de "théorème
du moment cinétique" (nous
verrons une généralisation de ce théorème
lors de la démonstration du théorème de
König). Il s'énonce ainsi:
L'impulsion de rotation
fournie par un moment de force entre les instants et est égale à la
variation du moment cinétique durant cet intervalle de temps.
En dynamique du solide ce
théorème joue un rôle fondamental, analogue à l'équation
de Newton en
dynamique du point.
L'utilisation du moment
cinétique permet de montrer facilement la loi des aires
(deuxième
loi de Kepler), qui joue un rôle important dans la compréhension
du mouvement des planètes (cf. chapitre
d'Astronomie) ou encore de montrer que dans un système
Terre-Lune isolé, le moment cinétique total devant être
conservé,
si la Terre ralentit sa rotation et la Lune la garde constante,
cela oblige la Lune à augmenter sa distance par rapport à la
Terre.
Voyons cela:
Imaginons
une particule en mouvement sous l'action d'une force constamment
parallèle à .
Nous dirons que cette force est une "force
centrale" si sa direction passe constamment par un
même point fixe, appelé le "centre
de force". La grandeur de la force ne peut donc plus
dépendre que de la distance au centre de la force (dans le cas
d'un champ de force).
Dès lors:
(30.99)
Donc le
moment cinétique par rapport au centre de force est constant
si la force est centrale. La
réciproque est aussi vraie: si le moment cinétique est constant,
sa dérivée par rapport au temps est nulle et la direction de
la force est toujours colinéaire à donc
la force est centrale.
Par exemple, dans le cadre
du mouvement d'une planète autour du Soleil ou d'un électron
autour du noyau de l'atome (dans le cadre du modèle de Bohr)
le moment de cette force par rapport au centre est évidemment
nul puisque qu'aucun élément extérieur n'agit sur le système,
c'est-à-dire
en se basant sur le schéma
ci-dessous:
Figure: 30.7 - Illustration du moment cinétique
nous avons alors:
(30.100)
donc:
(30.101)
D'autre part, l'élément
de surface décrit
par le mouvement du rayon vaut
(selon la figure ci-dessus et la propriété du produit vectoriel):
(30.102)
donc:
(30.103)
En utilisant la relation nous
obtenons:
(30.104)
Conséquences:
1. La vitesse aréolaire
est constante, c'est-à-dire que les aires balayées en des temps égaux
sont égales. C'est la loi des aires de Kepler (cf.
chapitre d'Astronomie)!
2.
Le plan est
fixe car .
Donc la trajectoire, d'une planète dans un cadre idéal
par exemple, est plane.
Nous reviendrons bien évidemment sur cette relation dans le chapitre
d'Astronomie pour l'écrire sous une forme un peu plus traditionnelle.
MOMENT
DE FORCE
Nous venons de voir
que le "moment de force" se définissait par la relation
(variation temporelle du moment cinétique):
(30.105)
où est
donc le moment de la force par
rapport au point d'origine du vecteur .
Il est important de remarquer que le moment de force a les
unités
d'une énergie et est donc perpendiculaire à et par
construction!
Il faut aussi remarquer qu'augmenter le rayon d'application en
diminuant ainsi la force pour garder un moment de force constant
dans un système
mécanique
permet certes de diminuer l'effort (la force) mais au final pas
l'énergie
dépensée puisque la distance parcourue est alors
plus grande.
Si nous exprimons le module
de ,
de par la définition du produit vectoriel, nous obtenons:
(30.106)
Il apparaît une grandeur:
(30.107)
qui est par définition le "bras
de levier" de la force et
dont l'emplacement est donné par l'axe de rotation du
corps due au moment de force résultant (attention à
ne pas confondre ce b avec la notation du moment cinétique!).
Attention! Le principe des bras de levier est donc un fantastique
démultiplicateur de force
mais en aucun cas il démultiplie le travail!
Exemples:
Figure: 30.8 - Exemple de quelques bras de levier de tous les jours
Le cas d'application des changements de roues d'hiver/d'été est
très connu par les automobilistes puisqu'il est recommandé par
la majeure partie des fabricants d'appliquer un couple de 120 [Nm]
pour le serrage des boulons.
Pour qu'un corps étendu,
soumis à des forces soit
en équilibre total, il ne faut ainsi pas que uniquement
la résultante
de ces forces soit nulle (pas de translation) mais que la résultante
des moments soit nulle aussi (pas de rotation). Soit:
et
(30.108)
Soit plus explicitement:
(30.109)
Lorsque les composantes d'un système satisfaisant aux deux
relations ci-dessus sont connues, nous parlons alors de système "isostatique".
Par définition, un "couple"
est défini comme un ensemble de deux forces de grandeur égale
mais de direction opposée, agissant suivant deux droites
parallèles
sur un même corps étendu. La résultante des forces
bien évidemment
nulle, indique que le couple ne produit aucun effet de translation.
Mais la somme des moments étant non nulle, le corps subit
une rotation telle que:
(30.110)
Signalons encore la composition de moments de force avec le cas
ultra-classique suivant:
Figure: 30.9 - Moments de force élémentaires
pour lequel il est assez évient que le moment de force
résultant
a pour composante de force la somme des deux forces élémentaires:
(30.111)
Pour le calcul de la distance résultante, nous allons utiliser
le théorème du centre de masse qui comme nous l'avons
vu plus haut et dans le chapitre de Géométrie Euclidienne est dans
le cas général:
(21.112)
et donc cans la situdation ici présente se réduit
à:
(21.113)
Nous avons donc au final le moment résultant qui
est:
(21.114)
Ainsi, la résultante de moments de forces
est la simple somme des moments de force élémentaires.
Figure: 30.10 - Moment de force résultant
Maintenant
que nous avons convenablement défini ce qu'était
une force et un moment de force, nous pouvons de suite aborder
l'étude
de la statique des forces:
STATIQUE
DES FORCES
La statique
des forces est un domaine difficile à généraliser.
La plupart des ouvrages se servent de nombreux exemples (comme
les systèmes de poulies, les leviers, les équilibres,
les frottements, etc.) afin d'amener le lecteur à assimiler la
méthode
d'analyse qu'il faut pour résoudre les problèmes relatifs à ce
domaine de la mécanique classique. Loin d'être contre
cette méthode,
nous n'avons pas souhaité nous restreindre ou nous étendre
(suivant les points de vue) à des exemples particuliers, mais
avons préféré proposer une méthode
d'analyse qui fonctionnerait à coup
sûr.
Définitions:
D1. La "statique
des forces" est le domaine de la physique qui étudie
l'effet de la résultante de forces (ou moments de force) constantes
au cours du temps, appliquées sur un corps ponctuel ou étendu.
D2. Quand la
somme vectorielle de toutes les forces et moments de force est
nulle, il n'y a aucun mouvement. Nous parlons alors d'un "équilibre
statique" (mais les forces existent tout de même à l'intérieur
du système) tel que les forces et moments de forces se compensent
mutuellement:
ou/et
(30.115)
Remarque: Les relations précédentes, nous montrent bien que ce
n'est pas parce qu'un système est à l'équilibre statique qu'il
n'est soumis à aucune force (la somme vectorielle des forces
peut s'annuler mais les forces sont non nulles).
Corollaires:
C1. Lors de
l'analyse d'un système de statique des forces, il faut toujours
(!!!) travailler avec les composantes vectorielles des forces
et moments de forces (de par la première loi de Newton).
C2. Il faut
donc s'imposer un repère par rapport auquel seront exprimées
toutes les composantes de forces:
- Dans le cas
d'un corps ponctuel sur lequel sont appliquées des forces,
il faut assimiler l'origine du repère à la position du point.
- Si les lignes
de prolongement de toutes les forces sur un corps étendu
sont toutes concurrentes en un point donné, le système
peut être considéré comme
un corps ponctuel ramené à ce point.
- Si le
corps est étendu et plongé dans un champ de forces
(gravitationnel, électrostatique,
magnétique...) isotrope, coplanaire et constant dans le
temps, l'ensemble des forces imprimées peut se rapporter
au centre de gravité.
Démonstration:
Nous avons vu lors de l'étude du calcul vectoriel
(cf.
chapitre de Calcul Vectoriel) que la somme des vecteurs
d'un même ensemble, mis bout à bout (au niveau de la représentation
imagée) ou additionnés algébriquement constitue ce que
nous appelons la "résultante" du
système de forces ou de moments de force:
ou/et
(30.116)
Il
est clair qu'un point matériel est donc par définition à l'état
statique si la résultante des forces concurrentes est nulle.
Ainsi, un corps ponctuel est au repos (vitesse constante nulle)
si
la grandeur est
nulle (voir les lois de Newton plus loin).
Cette
condition ne suffit cependant pas pour un corps étendu
(non ponctuel): celui-ci peut ne pas se déplacer (pas
de mouvement par translation), mais tourner sur lui-même par
application de forces en dehors de son centre de gravité (les
forces sont alors des moments de forces agissant sur des points
du corps
en question).
Imaginons
maintenant un ensemble de forces ,
chacune d'elles appliquée en un point de vecteur-position d'un
mobile étendu et toutes parallèles à une direction commune
donnée, repérée par un vecteur unitaire .
La résultante de ces forces est alors:
(30.117)
Remarque: La norme de la résultante
est donc:
(30.118)
De
manière analogue, la somme vectorielle des moments parallèles
s'écrit:
(30.119)
Recherchons
maintenant, la position d'un point fictif C,
appelé le "centre des forces" tel
que le moment de la résultante appliquée
au point C soit égal
au moment total .
En d'autres termes, doit être la solution de l'équation vectorielle:
(30.120)
S'il
est possible de trouver un tel point C,
nous ne devons donc plus, en principe, calculer le moment individuel
de chaque force et en faire la somme vectorielle. Il suffit
plutôt, de déterminer la résultante et
d'évaluer son moment résultant appliqué au point fictif C.
En
combinant les relations précédentes, nous avons:
(30.121)
À son
tour, le vecteur peut être
substitué tel que:
(30.122)
d'où nous
tirons finalement:
(30.123)
comme (deuxième
loi de Newton) supposons maintenant (cas particulier)
que nous
pouvons alors écrire ce résultat très important:
(30.124)
C.Q.F.D.
C3.
De par la troisième loi de Newton, tout corps solide rigide
en équilibre stable, en contact avec un ensemble de corps solides
rigides en équilibre stable eux aussi, subissent tous une force égale
identique en chaque point de contact (identiquement répartie)
mais opposée par ces derniers (assimilable et passant par leur
centre de gravité lorsque c'est un champ de vecteurs isotrope
et constant qui est à l'origine du contact). Ainsi:
- les
repères des forces d'action/réaction doivent être placés sur
les différents points de contact lorsque ce sont une quantité dénombrable
de forces qui en sont à l'origine.
-
les repères des forces d'action/réaction doivent être
placés
au centre de masse ou de gravité si les forces à l'origine
du contact (in extenso: de l'accélération) sont à l'origine
d'un champ vectoriel gravifique, respectivement électrostatique/magnétique.
BALISTIQUE
Le
mouvement parabolique est le mouvement d'un mobile animé,
dans le champ de la pesanteur, d'une vitesse de translation non
parallèle à l'accélération de la
pesanteur (en
toute généralité il s'agit donc d'un mouvement
curviligne). Par exemple
un projectile possédant au départ une vitesse inclinée
d'un angle par
rapport à l'horizontale.
Figure: 30.11 - Exemple de trajectoires balistique
En l'absence de pesanteur
et de frottement le mobile P suivrait la ligne de visée indéfiniment.
L'action de la pesanteur est de le redescendre, au temps t,
de la valeur connue .
Nous posons la projection
sur les axes:
(30.125)
combinaison d'un déplacement
régulier selon x et d'un mouvement de chute avec vitesse
initiale selon y.
Ce qui correspond aux équations suivantes:
et
(30.126)
en éliminant le temps entre
ces deux équations nous obtenons la trajectoire (équation
d'une parabole):
(30.127)
qui avait déjà été obtenue par Galilée au début du 17ème siècle.
Nous calculons ainsi la
portée du
projectile en posant dans
l'équation ci-dessus et nous obtenons facilement:
(30.128)
la solution n'a
aucun intérêt.
La hauteur maximale peut être
calculée en annulant la dérivée de l'équation
de la trajectoire. Ainsi nous obtenons facilement:
(30.129)
Nous remarquons pour la
portée maximale que pour une vitesse initiale donnée et
un objectif à
atteindre nous avons deux cas typiques dans la pratique:
1. Nous nous sommes donné une portée maximale inaccessible
car il n'est pas possible que .
2. Une seule valeur donne
la portée maximale possible pour une vitesse initiale
donnée.
La courbe enveloppant toutes
les paraboles, tracée pour une vitesse donnée
dans toutes les directions possibles, est encore une parabole,
appelée "parabole de sûreté".
Sa rotation autour de l'axe y engendre un paraboloïde qui circonscrit
(contient) la région de l'espace seule accessible aux projectiles.
Figure: 30.12 - Illustration de quelques paraboles de sûreté
Ainsi, il n'est pas trop
difficile de trouver l'équation de cette parabole de sûreté:
Le tir à la verticale nous
est connu et est donné par
(30.130)
La portée maximale est quant à elle
donnée par:
(30.131)
Donc quand tel
que:
(30.132)
qui
est l'équation de la parabole de sûreté.
CINÉMATIQUE DE ROTATION
Les mouvement circulaires, appelés aussi "mouvements
de rotation", décrivent
donc la rotation d'un objet autour d'un axe (ou d'un point pour
faire plus simple). L'usage veut qu'on le définisse par
les données
suivantes:
- la direction de l'axe
du plan de rotation dans l'espace
- le sens de rotation sur le cercle de rayon constant autour
de cet axe
- la vitesse de rotation v
tout ceci se résume avec la figure suivante:
Figure: 30.13 - Illustration de quelques paraboles de sûreté
où nous avons utilisé la relation démontrée
dans le chapitre de Trigonométrie (c'est même logique par
définition si l'angle est mesuré en radians):
(30.133)
Nous résumons ces trois
indications par la donnée d'un vecteur "vitesse
angulaire" instantanée:
(30.134)
Le sens de rotation est
dit positif lorsque, le pouce dressé dans la direction
du vecteur unitaire ,
nous saisissons l'axe de la main droite et que l'on voit tourner
l'objet dans le sens des quatre autres doigts.
La norme de la vitesse angulaire
instantanée, représente l'angle parcouru par unité de
temps, par l'objet qui se déplace dans le plan perpendiculaire
au vecteur unitaire :
(30.135)
Bien évidemment, il va de soit que la vitesse angulaire
est donnée en radians par seconde et non en tours par minute ou
en degrés par seconde. Il faut donc prendre garde à toujours faire
la conversion qu'il convient!
Remarques:
R1 Dans le cas général du mouvement circulaire,
la vitesse angulaire de l'objet étudié varie au
cours du temps: .
R2. Lorsque la direction de l'axe change, les composantes du vecteur
unitaire sont
également des fonctions du temps. C'est le cas d'une roue de moto
dans un virage.
Si dt est le temps
nécessaire à ce mouvement, la vitesse curviligne
du point est donc bien:
(30.136)
nous retrouvons alors le résultat déjà donné plus haut.
Faisons maintenant de même que lorsque notre étude du mouvemement
retiligne uniforme et déterminons la position angulaire en fonction
du temps. Nous avons alors:
(30.137) Il vient alors:
(30.138)
et si ,
nous avons alors:
(30.139)
à comparer avec la relation équivalente entre position
et vitesse obtenue lors de notre étude de la cinématique rectiligne.
Maintenant, considérons la définition de "l'accélération
angulaire" (dont la notation traditionnelle est un peu malheureuse...):
(30.140)
Nous avons alors:
(30.141)
et donc:
(30.142)
et si ,
nous avons alors:
(30.143)
Ce que nous pouvons noter:
(30.144)
Il vient alors:
(30.145)
soit:
(30.146)
et si ,
nous avons alors:
(30.147)
à comparer avec la relation équivalente entre position, vitesse
et accélération obtenue lors de notre étude de la cinématique
rectiligne.
Intéressons-nous maintenant à l'aspect vectoriel du mouvement
circulaire qui sera extrêmement important un peu plus loin et aussi
dans de nombreux autres chapitres. Ainsi, donnons nous
un repère
euclidien orthonormé tel
que:
Figure: 30.14 - Exemple de mouvement circulaire autour d'un axe
Nous voyons bien sur cette
figure que:
(30.148)
Donc finalement nous avons:
(30.149)
Nous voyons alors que nous
avons affaire à un produit vectoriel tel que:
(30.150)
Nous avons donc:
(30.151)
que
nous écrivons également:
(30.152)
L'accélération du mouvement
circulaire est formée dans le cas général, de deux termes, le
premier étant "l'accélération tangentielle" exprimant
toujours la variation de la vitesse sur la trajectoire et le
deuxième l'accélération perpendiculaire le long du rayon appelée également "accélération
centripète" (centripète signifiant: "qui tend à rapprocher
du centre").
Remarque: Si nous exprimons le mouvement circulaire du point P
à partir d'un système d'axes situés dans le plan de la trajectoire,
pour simplifier, alors, la position du point P est donnée
par:
(30.153)
Ce qui montre que le mouvement
circulaire peut être considéré comme la superposition
de deux mouvements sinusoïdaux déphasés de .
Mais si nous écrivons
(30.154)
ce qui est tout à fait envisageable
pour une trajectoire imparfaitement circulaire et que nous regardons
les différentes caractéristiques paramétriques:
(30.155)
en faisant varier le déphasage et
le rapport nous
obtenons des courbes que nous appelons des "figures
de Lissajous":
Figure: 30.15 - Quelques figures de Lissajous
Le lecteur retrouvera des applications pratiques très importantes
de la cinématique du mouvement circulaire pour l'industrie
relativement à la
mécanique
dans le chapitre de Génie Mécanique (section Ingénierie).
TRAVAIL
ET ÉNERGIE
Si un point de masse m subit
un déplacement élémentaire sous
l'effet d'une force ,
cette force effectue un travail élémentaire valant par définition:
(30.156)
Si cette masse m est
déplacée d'un endroit A à un endroit B, le travail
total est:
(30.157)
Pour les unités, nous avons:
où J est le première lettre
de "Joules".
De la définition ci-dessous nous pouvons rapidement
déduire le travail d'un moment de force (ou autrement dit:
le travail d'une force dans un mouvement de rotation) puisque sur
un élément
infinitésimal de déplacement, nous avons:
(30.158)
Donc dans le cas d'un mouvement circulaire le travail
d'un moment de force sera:
(30.159)
Remarques:
R1. Si W est positif
le travail est dit "travail moteur".
Dans le cas contraire il est dit "travail
résistant" (exemple: le freinage).
R2. Si la force est
constante en grandeur et en direction (cas de la pesanteur au
voisinage de la surface terrestre), l'intégrale du calcul de W prend
une forme plus simple:
(30.160)
Ce résultat montre que le travail ne dépend alors que des positions
initiale et finale et pas du chemin parcouru. Le travail de la pesanteur
est un cas particulier de ce type.
ÉNERGIE
CINÉTIQUE
La loi de Newton est
applicable le long du chemin A-B. En l'utilisant
dans l'expression du travail il vient:
(30.161)
et, en développant le produit
scalaire au moyen des composantes, nous aurons:
(30.162)
Lorsqu'un corps se déplace
sous l'action d'une force résultante quelconque,
le travail de cette force d'accélération sur un chemin quelconque A, B est égal à la
variation d'énergie cinétique du corps:
Par définition, la relation:
(30.163)
est appelée "l'énergie
cinétique" et elle se mesure en "Joules" (ou
d'autres unités dérivées exotiques dont les physiciens théoriciens
abusent parfois un petit peu trop...) et est toujours positive
en mécanique ou n'importe quel autre domaine de la physique.
L'équation:
(30.164)
porte quelquefois le nom
de "théorème de l'énergie cinétique".
Remarque que nous avons dans le cas d'un mouvement rectiligne,
pour un mobile qui parcourt une disance distance d parcourue
étant soumis à une certaine force, nous avons (en omettant bien
évidemment la variation d'énergie potentielle et la perte d'énergie
par frottement):
(30.165)
que nous appelons "force
travaillante".
MOMENT D'INERTIE
Pour un solide rigide tournant
autour d'un axe à la vitesse angulaire ,
l'énergie
cinétique élémentaire d'un point quelconque
de masse dm,
situé hors de l'axe, vaut:
(30.166)
puisque et sont
perpendiculaires. L'énergie cinétique totale
est alors:
(30.167)
Nous avons pris l'habitude
en physique de noter cette dernière relation:
(30.168)
où par définition, le "moment
d'inertie" est:
(30.169)
Exemples:
E1. Calculons la vitesse finale d'une boule chutant sur
un plan incliné de frottement non nul (elle va donc tourner)
dans un champ de potentiel gravifique.
La réponse du néophyte en physique sera souvent
obtenue en ne considérant
que l'énergie cinétique mais pas la vitesse de rotation
de la boule. Or, nous devons prendre celle-ci en compte via son
moment d'inertie.
Nous avons donc l'énergie cinétique totale étant
l'énergie cinétique
de translation du centre de masse plus l'énergie de rotation
autour de ce même centre de masse:
(30.170)
en égalant cette valeur à l'énergie potentielle
gravifique (voir plus loin) et en supposant une vitesse initiale
nulle de la chute, nous avons:
(30.171)
Soit la vitesse acquise au bas du plan (frottement de roulement
non-compris...):
(30.172)
et nous avons démontré dans le chapitre sur les Formes Géométriques
que le moment d'inertie d'une boule pleine était:
(30.173)
Il vient alors:
(30.174)
Nous voyons dans le cas particulier de la boule, que la vitesse
finale de chute est (sans frottements de l'air ni de roulement)
indépendante
de sa masse et de son rayon (qu'elle soit creuse ou pleine)
ce qui est relativement contre intuitif.
E2. Un deuxième exemple fameux est le calcul de l'énergie cinétique
de rotation d'une planète parfaitement sphérique de masse homogène
et de période de rotation constante. Nous avons alors:
(30.175)
Remarque: Dans un solide, la répartition de la
matière
autour d'un axe sera évidemment différente selon
l'axe choisi. Le moment d'inertie correspondant sera aussi différent.
Il est donc indispensable de préciser
l'axe par rapport auquel nous souhaitons déterminer ce moment
d'inertie. Nous observons dans la pratique que les ingénieurs
placent souvent l'axe de façon à ce qu'il passe par le centre de
masse. Dans les tables, nous trouvons fréquemment les expressions
des moments d'inerties de formes courantes (selon un axe donné)
telles que le cylindre, le cône,
la sphère, la barre, le tube (cf. chapitre
sur les Formes Géométriques).
Nous avons vu lors de notre étude
du moment cinétique que:
(30.176)
et
le moment d'inertie étant donné par:
(30.177)
Nous
avons donc:
(30.178)
d'où:
(30.179)
Nous
obtenons finalement:
(30.180)
c'est
l'expression donnant le moment cinétique d'un corps tournant
sur lui-même (sur un de ses axes possibles de rotation).
Etant
donné que nous avons démontré lors de notre étude du moment
cinétique que:
(30.181)
il
vient alors dans l'hypothèse que la masse et la géométrie
du solide restent constantes... que le moment de force est
alors:
(30.182)
et bien évidemment, si
nous étudions un système dans lequel le moment cinétique
est conservatif, il va de soi que:
(30.183)
Cette
conservation du moment cinétique trouve une application
dans une multitude d'expériences telle que celle connue
qui consiste à se
faire tourner sur une chaise et à écarter les mains
ou les jambes ce qui fera diminuer la vitesse de rotation (et
inversement).
Une
autre expérience curieuse (mais mathématiquement correcte)
consiste à se poser sur un plateau tournant avec une roue en
rotation tenue à l'horizontale (le moment cinétique vertical est donc
nul) et de mettre celle-ci ensuite à la verticale. Comme le
moment cinétique vertical doit rester nul, pour contrecarrer
cela, le plateau sur lequel est posé l'expérimentateur se mettra à tourner
dans le sens inverse de rotation de la roue.
Les déplacements de
masses importantes à la surface de la Terre (icebergs,
crues des fleuves, plaques tectoniques, etc.) provoquent des
variations du moment d'inertie de la Terre. Il s'ensuit des fluctuations
de la vitesse angulaire donc une imperfection de l'étalon
astronomique de temps (quelques millièmes par jour).
Revenons maintenant aux méthodes
de calcul des moments d'inertie. L'énergie cinétique
d'un corps étant la somme de l'énergie cinétique
de chaque élément de ce corps, nous avons:
(30.184)
Dans le cadre d'un corps
solide rigide en rotation autour d'un axe, nous avons:
(30.185)
Ainsi, pour un corps composé d'un
ensemble de corps de géométrie différentes,
le moment d'inertie total est la somme des moments d'inertie
par rapport à l'axe de rotation tel que:
(30.186)
Lorsque nous calculons le
moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe donné,
il peut être intéressant de savoir qu'elle est la
distance à l'axe où nous pouvons placer fictivement
toute la masse de ce corps pour avoir le même moment d'inertie.
Par définition, cette distance notée k et
appelée le "rayon de giration" est
trivialement donnée par:
(30.187)
où est
le moment d'inertie connu du corps de masse M par rapport à un
axe .
Par
définition, le "moment d'inertie
polaire" (ou également "moment
d'inertie quadratique") est le moment d'inertie défini
par rapport à un point (le pôle) et non plus par
rapport à un axe et noté:
(30.188)
Cette grandeur n'intervient
en fait que pour les rotations libres et n'a d'intérêt,
pour les rotations autour d'un axe fixe, que parce qu'elle facilite
quelquefois le calcul des moments d'inertie axiaux en vertu de
la relation suivante (en coordonnées cartésiennes):
(30.189)
Démonstration:
Lemme 1: Le moment d'inertie
par rapport à un plan xOy est donné trivialement
par:
(30.190)
Lemme 2: Le moment d'inertie
par rapport à un axe est donné par:
(30.191)
En sommant ces relations,
nous en déduisons:
(30.192)
Le moment d'inertie polaire
est alors donnée par:
(30.193)
En comparant avec le lemme
2 il vient:
(30.194)
C.Q.F.D.
Si le corps en question à une
symétrie sphérique, il vient de suite puisque que:
(30.195)
Un exemple est donné avec
la boule (sphère pleine) dans le chapitre traitant des
Formes Géométriques dans la section de géométrie.
Supposons
maintenant connaître le moment d'inertie d'un
corps solide rigide quelconque par rapport à un axe (cet
axe n'étant pas nécessairement uniquement assimilé à l'axe z commun)
passant par le centre de masse G. Calculons ensuite le
moment d'inertie ,
par rapport à un autre axe z ', parallèle à z et
distant de a , et faisons apparaître la liaison
existant entre ces deux moments d'inertie différents:
Dans un référentiel
cartésien, nous avons pour tout point (x,y):
et
(30.196)
Nous avons alors:
(30.197)
Le terme:
(30.198)
est nul car si le moment
d'inertie est calculé par rapport au centre de masse G comme
nous l'avons imposé dès le début, alors:
(30.199)
En définitive, nous
obtenons finalement le "théorème d'Huygens-Steiner":
(30.200)
Comme nous le verrons dans
le chapitre des Formes Géométriques dans la section
de géométrie du site, il devient alors facile de
pouvoir calculer le moment d'inertie d'un triangle équilatéral
en connaissant celui d'une plaque carrée et en déplaçant
l'axe d'inertie au point où se situe le centre de gravité du
triangle (soit au tiers de la médiane située entre
le centre du rectangle et un des sommets du rectangle).
Comme
il existe autant de moments d'inertie que d'axes de rotation
et que ces derniers sont souvent dans les cas d'études assimilés
aux axes principaux d'inertie (axe assimilés aux axes
de révolutions ou aux plans de symétrie - voir
plus loin), il peut être utile d'introduire un être
mathématique utile dans le cadre de représentation
des moments d'inertie qui n'est autre que la "matrice
d'inertie" ou appelé encore (formulation plus moderne) "tenseur
d'inertie".
La démarche pour
déterminer rigoureusement l'expression de ce tenseur est
la suivante: soit un
point donné d'un solide dont nous cherchons à calculer
le moment d'inertie et l'axe
d'origine O et de vecteur unité par
rapport auquel nous souhaitons calculer le moment d'inertie.
Tout point du
solide peut être projeté (projection orthogonale)
sur un point à partir
de la connaissance de l'angle entre et tel
que:
(30.201)
Dès lors:
(30.202)
D'après les propriétés
du produit mixte (cf. chapitre de Calcul
Vectoriel) et du produit scalaire:
et
(30.203)
nous avons:
(30.204)
et donc:
(30.205)
Comme est
un vecteur de direction constante quel que soit le point d'intégration,
nous pouvons le sortir de l'intégrale tel que:
(30.206)
Nous pouvons vérifier
que si nous remplaçons par ,
nous obtiendrons un résultat de
par la propriété de linéarité du
produit vectoriel (cf. le chapitre de Calcul
Vectoriel). Ainsi, l'application qui à associe est
donc une application linéaire qui peut être représentée,
dans une base B donnée, par une matrice:
(30.207)
La matrice est
le donc "tenseur d'inertie" du système par rapport au
point O, dans la base B.
Le moment d'inertie d'un
système par rapport à un axe quelconque
de vecteur unitaire est
donné par:
(30.208)
Le problème est donc
maintenant de pouvoir calculer les éléments du
tenseur ,
pour une base B donnée. Soit un repère tel
que .
Nous posons:
et
(30.209)
En utilisant le fait qu'un
produit vectoriel puisse être représenté par une
matrice antisymétrique (vérifiez c'est facile):
(30.210)
nous avons:
(30.211)
et donc:
(30.212)
Dans l'expression ci-dessus
de la matrice d'inertie, nous reconnaissons les éléments
diagonaux: il s'agit tout simplement des moments d'inertie du
système par rapport aux différents axes de la
base. Nous appelons "produit d'inertie" les éléments
non-diagonaux de la matrice et nous les notons:
(30.213)
Nous avons donc:
(30.214)
Si O est assimilé au
centre de masse du solide considéré, nous notons
simplement:
(30.215)
Nous
pouvons également généraliser le théorème
d'Huygens en faisant usage de ce tenseur de symétrie.
Pour ce faire, appelons (x', y', z')
les coordonnées d'un point A quelconque dans R'
et (x, y, z) ses
coordonnées dans R. Nous appelons (a,b,c)
les coordonnées de l'origine O' de R' dans R:
(30.216)
puisque:
(30.217)
Nous avons alors:
(30.218)
Or, si O' coïncide
avec le centre de masse G, alors selon la définition
du centre de masse:
(30.219)
Nous en déduisons
alors:
(30.220)
et de même:
,
(30.221)
avec:
(30.222)
Nous retombons sur le théorème
d'Huyghens classique puisque n'est
autre que la distance au carré entre l'axe Oz et Gz et
de même pour qui
est la distance au carré entre Ox et Gx et qui
est la distance entre Oy et Gy.
Si nous nous intéressons
maintenant aux produits d'inertie, il vient:
(30.223)
d'où, si O'
coïncide avec G:
(30.224)
En résumé,
le théorème d'Huygens généralisé,
s'écrit:
(30.225)
Le tenseur d'inertie étant
réel et symétrique, nous avons vu dans le chapitre
d'Algèbre Linéaire (théorème spectral)
qu'il est toujours possible de trouver trois directions perpendiculaires
de vecteurs telles
que le tenseur (matrice) symétrique soit diagonalisable:
(30.226)
Le trièdre formée
par les vecteurs est
appelé "trièdre principal
d'inertie" et ses axes sont appelés "axes
principaux d'inertie". Dans ce repère prend
le nom de "tenseur principal d'inertie".
Si de plus O est assimilé à G,
nous parlons de "tenseur central d'inertie".
En fait, pour trouver les
moments d'inertie relativement aux axes principaux il n'est pratiquement
jamais nécessaire de diagonaliser le tenseur d'inertie,
car il suffit souvent de se laisser guider par la symétrie
du système. Nous allons voir avec les théorèmes
suivants que s'il existe des axes ou des plans de symétrie
pour la distribution de masse, les axes d'inertie sont faciles à trouver.
De plus, le système est en général suffisamment
simple (ou décomposable en éléments suffisamment
simples...) pour que ces axes soient évidents.
Premier théorème: Si le système possède
un plan de symétrie matérielle (in extenso:
si A symétrique de A' par rapport au plan)
alors tout axe perpendiculaire à ce plan est axe principal
d'inertie.
Démonstration:
Choisissons un repère xOy dans le plan par rapport
auquel le système a une distribution
de masse symétrique et un axe Oz perpendiculaire à ce
plan. Pour calculer ou ,
groupons les points par deux, symétriques par rapport à
xOy. c'est-à-dire tels que .
Nous aurons alors:
(30.227)
et de même:
(30.228)
c'est-à-dire, puis
(symétrie matérielle!):
(30.229)
que toutes les contributions de paires de points symétriques
sont nulles, ce qui implique: ,
c'est-à-dire que l'axe des z est direction principale
d'inertie.
C.Q.F.D.
Deuxième théorème: Choisissons comme axe
Oz l'axe de symétrie. De même que ci-dessus,
nous avons:
(30.230)
Démonstration:
Effectivement, car si nous groupons les points par paire A'
et A' symétriques par rapport à Oz,
nous avons:
(30.231)
mais
donc toujours:
(30.232)
et de même:
(30.233)
C.Q.F.D.
Remarque: Lorsque nous avons déterminé deux
axes principaux d'inertie grâce aux symétries précédentes,
le troisième est tout simplement celui qu'il faut pour
compléter
un trièdre orthogonal.
Troisième théorème: Si un système
admet un axe de révolution pour sa distribution de masse,
alors tout trièdre orthogonal incluant l'axe de révolution,
est trièdre principal d'inertie. Le système matériel
est alors dit "système cylindrique"
et dans le trièdre principal d'inertie son tenseur prend
la forme (en supposant que l'axe de révolution est le 3ème
axe du trièdre):
(30.234)
Démonstration:
Si Oz est un axe de révolution,
tout plan comprenant Oz est plan de symétrie et
toute droite perpendiculaire à Oz est donc axe
principal d'inertie (premier théorème). De plus,
toutes ces droites perpendiculaires à Oz sont équivalentes.
C.Q.F.D.
Définition: Si la matrice d'inertie en O d'un
système matériel est du type:
(30.235)
nous disons alors que le système est un "système
sphérique" (ou un "système
à symétrie sphérique").
Remarque: Le choix systématique d'un trièdre
principal d'inertie permet de ramener le tenseur d'inertie de 6 à 3
composantes, calculées une fois pour toute. Cependant,
ce choix implique l'utilisation d'une base qui sera le plus
souvent
en mouvement par rapport au référentiel utilisé,
ce qui pourra poser des problèmes de dérivations
par rapport au temps des vecteurs de la base. Nous pouvons alors,
si
c'est plus facile, obtenir les composantes du tenseur de symétrie
dans une base quelconque à l'aide d'une matrice de passage
entre la base principale et le base utilisée pour le calcul
du trièdre principal d'inertie.
Lorsque les moments d'inertie
d'un solide sont connus dans les directions des axes principaux
d'inertie,
nous pouvons facilement déterminer le moment d'inertie J
par rapport à n'importe quel autre axe passant par le centre
de gravité en utilisant que ce nous nommons un "ellipsoïde
d'inertie" (à ne pas confondre avec le moment
d'inertie d'une ellipsoïde - démontré dans
le chapitre traitant des Formes Géométriques).
Démonstration:
Soient trois axes, centrés
sur G, parallèles aux axes principaux. Dans leurs
directions, portons des longueurs proportionnelles à:
Figure: 30.16 - Illustraiton de l'ellipsoïde d'inertie
Dans cet espace des phases
des moments d'inertie, tout point désigne
un moment d'inertie J tel que:
(30.236)
Pour déterminer J
en fonction des ,
sans devoir calculer x, y, z, nous
identifions les cosinus directeurs (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel) de l'axe de rotation à ceux
de la droite .
Ainsi, nous avons:
(30.237)
Soit:
(30.238)
Nous pouvons maintenant
calculer les conditions de normalisation de cette relation. Ainsi,
si et ,
nous avons:
(30.239)
Respectivement nous aurons:
(30.240)
Puisque:
et
(30.241)
Ce qui nous amène à écrire:
(30.242)
Par substitution, nous obtenons:
(30.243)
Donc finalement:
(30.244)
Ainsi, en connaissant les moments d'inertie d'un corps par rapport
à ses axes principaux
nous pouvons connaître son moment d'inertie par rapport à
n'importe quel axe ayant un angle
par rapport aux axes principaux.
C.Q.F.D.
GYROSCOPE
Un solide
(de révolution pour simplifier...), pouvant s'orienter librement
autour d'un point fixe et tournant rapidement sur lui-même forme
par définition un "gyroscope".
Outre leur usage ludique... car ils permettent d'avoir des configurations
considérées comme pédagogiquement exceptionnelles...
les gyroscopes constituent une part importante des systèmes
de navigation par inertie (avant l'apparition des GPS...) dans
l'aviation,
l'aérospatiale, la marine (stabilisation des bateaux), le
cinéma/télévision
(stabilisation des caméras), l'armement (fusées balistiques)
et encore bien d'autres. Les instruments de guidage par inertie
de
ces systèmes
sont constitués de gyroscopes et d'accéléromètres,
qui calculent à tout
instant la vitesse exacte et la direction de l'appareil en mouvement
(en fonction du mouvement du gyroscope une variation de tension
électrique est provoquée). Les signaux recueillis sont communiqués à un
ordinateur qui les enregistre et qui corrige alors les aberrations éventuelles
de la trajectoire.
Les planètes constituent un autre exemple fameux de gyroscopes.
L'exemple le plus connu étant notre Terre qui tournant relativement
vite autour d'elle-même et étant très massive son moment cinétique
fait que son pôle Nord est toujours (à l'échelle du temps d'un
humain ...) orientée vers l'étoile Polaire quelle que soit sa position
sur son orbite.
La figure suivante est un exemple de gyroscope connu dans les
laboratoires des écoles et appelé "gyroscope
symétrique pesant". Il s'agit bien évidemment d'un
cas particulier et simplifié mais qui permet de comprendre
le principe de base du gyroscope:
Figure: 30.17 - Exemple de gyroscope symétrique pesant
Se composant
d'un moteur électrique dont le rotor, le volant principal,
forme la masse principale en rotation angulaire rapide (un gyroscope
d'une fusée V2 tourne à plus de 10'000 tours minute). Le stator
du moteur est fixé à une tige sur laquelle est positionné un
contrepoids à l'opposé.
L'ensemble est posé sur un pied de support à l'extrémité duquel
se trouve un cardan monté sur un roulement horizontal qui
autorise les orientations du gyroscope presque sans limitations
dans toutes
les directions.
Dans
ce schéma nous avons qui
est la vitesse angulaire instantanée du disque amovible de rayon R, est
la vitesse de précession du gyroscope (rotation autour du pied
de support), est
la force de la masse m complémentaire attachée au contrepoids
et qui déséquilibre le gyroscope, r est la distance du cardan
du gyroscope au contrepoids et finalement a est l'angle d'inclinaison
que prend l'axe du gyroscope lorsqu'on le déséquilibre en attachant
le poids supplémentaire au contrepoids.
Pour
débuter l'étude théorique de ce système, rappelons que avons démontré plus
haut que le moment cinétique pour un solide ayant un moment d'inertie J s'exprime
par la relation suivante:
(30.245)
et nous avons vu que tout solide en rotation autour d'un axe
quelconque a aussi un moment cinétique qu'il est alors d'usage
de noter conformément avec ce que nous avons vu plus haut:
(30.246)
Nous avons aussi démontré plus haut que le rotor, comme toute
masse en rotation rapide, produit alors un moment de force donné par:
(30.247)
qui est vectoriellement colinéaire à et
passe donc par son axe de symétrie. Comme nous le savons déjà,
c'est cette dernière relation qui met le mieux en évidence que
le gyroscope maintient toujours une direction identique dans l'espace
même lorsque nous déplaçons son support.
En d'autres termes un gyroscope libre animé d'une grande vitesse
de rotation a pour propriété fondamentale de conserver son axe
de rotation selon une orientation fixe par rapport à l'espace absolu.
C'est ce que nous appelons la "première
loi gyroscopique" ou "loi
de fixité".
Typiquement le "gyroscope
de Foucault" représenté ci-dessous,
excellent exemple pratique de la loi de fixité, garde son orientation
quelle que soit la manière dont nous manipulons le socle sur lequel
il est posé:
Figure: 30.18 - Gyroscope de Foucault
Si nous posons le gyroscope de Foucault toute une journée sur
une table avec un moteur qui maintient la rotation du disque massif
central constante, nous observons alors la rotation de la Terre
car le gyroscope tourne alors très lentement sur lui-même en 24
heures!
Pour revenir à nos considérations mathématiques... intéressons-nous
maintenant au moment de force du contrepoids qui déséquilibre
notre gyroscope symétrique alors que le disque est en rotation
et qui génère une rotation générale du gyroscope comme le permet
de constater l'expérience. Nous avons alors pour le moment de force
faisant tourner le gyroscope autour de son axe (tige de soutien):
(30.248)
Puisque le gyroscope ne précesse pas lorsque le système est équilibré c'est
que le moment de force du poids supplémentaire qui déséquilibre
le gyroscope génère un moment cinétique selon la relation démontrée
plus haut tel que:
(30.249)
Ce qui schématiquement peut être représenté de la manière suivante
(il s'agit de notre gyroscope vu d'en haut):
Figure: 30.19 - Gyroscope symétrique pesant vu de haut
Nous avons alors dès que le gyroscope se met à tourner (dans
un mouvement circulaire):
(30.250)
En prenant l'approximation de Taylor (cf.
chapitre de Suites Et Séries) au premier ordre de la tangente pour les petits angles:
(30.251)
Faisons l'hypothèse, pour simplifier l'étude du problème, que
la variation du moment cinétique total par rapport à l'axe de rotation
du gyroscope (la tige de soutien donc!) peut être assimilée au
moment cinétique du rotor seuil si ce dernier tourne suffisamment
vite et que sa masse est suffisamment grande. C'est-à-dire que:
(30.252)
nous avons alors:
(30.253)
et dès lors puisque de par cette approximation tout le moment
de force est assigné à la variation du moment cinétique du rotor
seul:
(30.254)
Il vient enfin:
(30.255)
Donc
lorsque le gyroscope symétrique pesant est équilibré (lorsque M est
nul au numérateur de la fraction), son moment cinétique garde donc
une orientation fixe quelle que soit la valeur du dénominateur
puisque sera
alors toujours nul.
Le mouvement
de rotation résultant d'un déséquilibrage du gyroscope est donc
dit "mouvement de précession" lorsqu'il
est provoqué volontairement, et "dérive" lorsqu'il
est dû à un élément perturbateur.
Indiquons
pour finir les gyroscopes ludiques pour petits enfants comme la
toupie ci-dessous:
Figure: 30.20 - Gyroscope (toupie) ludique...
que pouvons grossièrement représenter
ainsi (vue de côté et
vue du dessus) pour en faire une analyse mathématique (faites l'essai
avec vos enfants pour voir si cela les intéresse autant
que le jouet...):
Figure: 30.21 - Illustration technique de la toupie
où nous faisons l'hypothèse que l'extrémité de l'axe de la toupie
est posée sur le sol sans possibilité de glissement et que celle-ci
a une vitesse angulaire constante
et suffisamment grande pour ne pas avoir son inclinaison qui
varie dans le temps.
En utilisant la même technique que pour le gyroscope symétrique
pesant nous avons (bon nous aurions pu utiliser plus simplement
la relation vue
dans le chapitre de Trigonométrie...):
(30.256)
Nous avons aussi pour le moment de force:
(30.257)
Par contre le moment cinétique change! Effectivement, nous avons
donc dans ce cas particulier:
(30.258)
il s'ensuit que sous les mêmes hypothèses que le gyroscope pesant
que:
(30.259)
d'où sous forme vectorielle:
(30.260)
et nous savons que cette dernière relation (démonstration faite
plus haut) peut être complétée en écrivant:
(30.261)
Il vient alors:
(30.262)
Soit:
(30.263)
Nous voyons que la différence avec le gyroscope symétrique pesant
est que la vitesse de précession est alors indépendante de l'angle.
Remarques:
R1. Un cycliste roulant en ligne droite est stabilisé (loi de
fixité oblige!) par le moment cinétique de ses roues qui est perpendiculaire
au sens de roulement.
R2. Sans probablement s'en rendre compte, on se penche en bicyclette
dans un virage pour produire une précession dans les roues et tourner
plus facilement. Effectivement le mouvement de précession fait
pivoter la roue de la bicyclette dans la direction où on se penche
sans qu'on ait besoin de tourner le guidon.
ÉNERGIE
POTENTIELLE GRAVIFIQUE
Si le travail de la force entre
les points A et B ne dépend pas du chemin suivi,
nous disons que cette force dérive d'une énergie potentielle ou
bien que le champ de force est un "champ
conservatif" (contre-exemple: dans un mouvement avec
frottement le travail dépend nécessairement de la voie choisie).
Cette indépendance par rapport au chemin suivi implique que:
Soient deux points A et B de l'espace. Il y
a plusieurs chemins possibles pour joindre ces deux points. Si
nous
en choisissons deux au hasard nous avons:
Sur
le 1er chemin:
Sur
le 2ème chemin: |
|
(30.264)
Si le champ est conservatif
nous avons:
(30.265)
ou encore que le travail
total sur un chemin fermé (aller et retour) est nul. Nous notons
cela (cf. chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral):
(30.266)
Le travail en jeu est donc
une fonction du lieu seul ()
c'est-à-dire dépendant uniquement du point de départ
et du point d'arrivée. En effet, si le travail dépendait
du chemin, il serait possible de choisir la voie la plus généreuse
quand le système
fournit du travail et la voie la plus économique quand
nous le ramenons à l'état initial. Ce serait donc un mouvement
perpétuel
et le principe de conservation de l'énergie l'interdit
(cf.
chapitre de Thermodynamique).
Attachons alors à chaque
point du
champ de force une valeur de la fonction (un
nombre réel) correspondant au travail effectué par le champ de
force lorsque le mobile passe d'un point P à 0, 0 étant
un point de référence choisi arbitrairement. Donc par définition:
avec
(30.267)
En généralisant cette définition, nous dirons que le travail effectué par
une force conservative lorsque le mobile passe de A à B est égal à la
diminution d'énergie potentielle entre A et B:
(30.268)
Par définition est
l'énergie potentielle et se mesure en Joules.
L'équation précédente s'utilise
très souvent sous forme différentielle soit:
(30.269)
Il existe aussi rappelons-le une relation entre l'énergie
et le gradient de la force donnée qui découle simplement
de la définition du travail:
(30.270)
Application: Travail de
la pesanteur et énergie potentielle gravifique au voisinage de
la surface de la Terre. C'est donc un cas particulier où la force
est constante...
Figure: 30.22 - Exemple avec la force gravifique
Soit un point de masse m se déplaçant selon une trajectoire
quelconque AB. Le poids effectue
le travail:
(30.271)
En exprimant les différents
vecteurs en composantes:
, ,
(30.272)
et en calculant le produit
scalaire au moyen de ces composantes nous obtenons:
(30.273)
La différence représente
la différence d'altitude entre les points A et B.
Nous constatons bien que le travail ne dépend pas du chemin
suivi mais seulement des points de départ et d'arrivée.
Si, en sens inverse, nous voulons faire passer le point de masse
de B à A,
le travail, fourni alors par un agent extérieur vaut:
(30.274)
ce qui montre bien que le
travail total sur un chemin fermé est nul:
(30.275)
En comparant les relations:
et
(30.276)
et en identifiant, nous
obtenons ainsi:
(30.277)
qui est l'énergie potentielle
gravifique, z étant l'altitude de la masse m.
Nous notons plus simplement la plupart du temps cette relation
sous la forme:
(30.278)
Remarque: Le choix de zéro de l'énergie potentielle est souvent
arbitraire; nous le fixons par commodité. Seules les différences
d'énergie potentielle sont généralement intéressantes comme nous
allons le voir de suite.
La relation précédente est au fait une expression
utile à proximité de la surface terrestre. A distance
où R est le rayon de la terre, la force de gravitation faiblit et l'approximation
n'est plus valable (si
aussi, d'ailleurs...).
Pour déterminer la
relation correcte, considérons deux masses .
La première est supposée au repos et fixe la deuxième
est amenée de l'infini à une distance donnée
de (le
même raisonnement est applicable pour le champ électrique).
Le travail dW de la force gravitationnelle en un point
quelconque étant donc:
(30.279)
et l'énergie potentielle
du système:
(30.280)
Alors:
(30.281)
d'où simplement après intégration (l'énergie
potentielle en un point):
(30.282)
Voyons si cela est cohérent
avec ...
A hauteur nulle de la surface
terrestre, ,
nous avons:
(30.283)
où le choix du signe "-" dépend uniquement du référentiel choisi
qui est dans le cas présent conforme à ce qui est d'usage de prendre
dans les écoles.
Nous élevons l'objet
de :
(30.284)
Nous utilisons l'approximation
grossière:
(30.285)
valable quand d'où:
(30.286)
Comme à la surface
de la terre nous avons l'habitude de poser en laboratoire ,
nous obtenons bien finalement:
(30.287)
et nous voyons
qu'il s'agit effectivement d'une grossière approximation.
Remarque: Nous pourrions appliquer le même développement
dans l'étude de la force de Coulomb et du champ électrique
mais jusqu'à maintenant nous n'avons jamais mis de laboratoire à
la surface d'une charge... (sic!).
ÉNERGIE POTENTIELLE D'UNE SPHÈRE DE MATIÈRE
Nous
allons calculer ici l'énergie potentielle d'une sphère
de matière.
Cet exercice de style va nous être très utile en astrophysique
pour déterminer la température interne des étoiles
et dans le chapitre de Cosmologie pour le départ du
modèle
de Friedmann.
L'expression
d'une énergie potentielle d'un système de deux masses mises
en présence est donnée par:
(30.288)
Soit une sphère de masse M, de densité massique et
de rayon r et entourée d'un anneau
sphérique de rayon intérieur r, de même
densité massique et
d'épaisseur dr.
L'énergie
potentielle de l'anneau sphérique de rayon interne r et
d'épaisseur dr se calcule comme suit:
La
masse de la sphère de rayon r et de densité massique est:
(30.289)
La
masse de l'anneau entourant la sphère de rayon r, d'épaisseur dr et
de densité massique est:
(30.290)
En
introduisant les deux dernières expressions dans celle de l'énergie
potentielle:
(30.291)
En
intégrant l'expression précédente entre 0 et R,
cela revient à ajouter successivement une suite d'anneaux d'épaisseur dr pour
obtenir la sphère entière de rayon R et donc l'énergie
potentielle de la sphère entière.
(30.292)
Ce
qui s'écrit encore:
(30.293)
Soit
finalement:
(30.294)
Exactement le même calcul peut être faire
en électrostatique
en remplaçant la constante gravitationnelle par la constante
ad hoc et la masse par la charge. C'est par ailleurs un résultat
que nous réutiliserons dans le modèle de goute liquie du noyau
nucléaire.
CONSERVATION
DE L'ÉNERGIE MÉCANIQUE TOTALE
Comparons maintenant les équations:
(30.295)
puisqu'il s'agit du même
travail.
Ce qui entraîne:
(30.296)
somme des deux formes d'énergie
en chaque point ou encore, les lieux A et B étant
quelconques, en écrivant l'équation sous une forme
générale:
(30.297)
Remarque: Nous nommons souvent l'énergie totale d'un système "l'hamiltonien
du système" comme nous l'avons déjà mentionné
dans le chapitre de Mécanique Analytique.
En l'absence de frottement
s'il s'agit d'énergie mécanique, nous écrivons aussi la variation
tel que:
(30.298)
Une augmentation d'énergie
cinétique entraîne donc une diminution d'énergie potentielle
(et réciproquement) puisque la somme des deux reste constante.
Contre-exemple: S'il y a
frottement, donc dégagement de chaleur, l'énergie mécanique totale
n'est plus constante! (l'énergie mécanique seulement).
Par
ailleurs reprenons la relation:
(30.299)
et donc:
(30.300)
D'autre part, étant
une fonction scalaire dépendant des coordonnées
d'espace, formons sa différentielle totale:
(30.301)
en comparant avec l'équation
précédente et en identifiant terme à terme, nous avons:
(30.302)
d'où l'expression affirmant
que la force dérive d'une énergie potentielle si le travail en
jeu est indépendant du chemin suivi. Si nous exprimons la force en
termes de vecteurs-unités, nous obtenons:
(30.303)
En définitive, l'affirmation
que la force dérive d'une énergie potentielle peut
se résumer ainsi:
(30.304)
Dans le cas de la gravitation:
(30.305)
ce qui s'écrit aussi avec l'opérateur nabla (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel):
(30.306)
Le champ de gravitation
est donc caractérisé par l'ensemble des vecteurs .
CONSERVATION
DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT
Un mobile, lors d'une interaction
avec un autre point matériel, peut transmettre tout ou
partie de son mouvement (énergie cinétique ou/et
potentielle). C'est le cas lors d'un choc, par exemple (ceci
dit le calcul de la
force d'un choc est extrêmement difficile à effectuer
sans de nombreuses simplifications). La grandeur ainsi échangée
est la quantité de mouvement .
Elle vaut par définition (nous l'avons déjà vu
lorsque nous avons parlé de la deuxième loi de Newton):
(30.307)
Évidemment, nous avons:
(30.308)
La quantité:
est parfois appelée "impulsion",
et l'équation précédente porte quelque fois le nom de "théorème
de la quantité de mouvement".
Il s'énonce ainsi: L'impulsion fournie par
une force entre les instants et est égale à la
variation de la quantité de mouvement durant cet intervalle de
temps.
Mais revenons-en à notre
conservation de la quantité de mouvement (et donc de l'énergie
et réciproquement...). L'intérêt de la grandeur
de quantité de
mouvement résulte du fait qu'elle est conservée
dans les interactions (en première approximation..). En effet,
soient deux mobiles en collision, en vertu de l'égalité de
l'action et de la réaction
(3ème loi de Newton) nous avons:
(30.309)
et en utilisant le théorème
de la quantité de mouvement nous pouvons écrire:
(30.310)
En additionnant membre à membre
ces deux équations, nous déduisons:
car
(30.311)
et donc:
(30.312)
La
quantité de mouvement totale est constante, elle se conserve
donc.
LOI
DE NEWTON GENERALISÉE
Revenons maintenant un petit
peu à notre principe de moindre action dont nous avons parlé au
tout début de cette section:
Prenons
le cas d'un objet lancé en l'air et repérons
deux points de sa trajectoire en deux instants quelconques.
Une infinité de
courbes passent entre ces deux points et pourtant la nature
n'en choisit qu'une seule. Qu'est-ce qui distingue cette courbe
- la trajectoire physique - de
toutes les autres? A cette question nous pourrions, très justement,
répondre que cette courbe se distingue des autres par
le fait qu'elle est solution de l'équation différentielle
de la trajectoire ... avec les conditions initiales appropriées.
Mais dans le cas où nous ignorons les conditions initiales
ou lorsque le problème ne peut être ramené à une équation
différentielle,
par quel moyen pouvons-nous alors distinguer la trajectoire
physique de tous les chemins possibles?
Le
principe de moindre action s'exprime dans ce contexte par un
minimum de vitesse pour un minimum de chemin parcouru.
En
fait de vitesse, il convient mieux en mécanique de considérer
la quantité de mouvement car cette dernière grandeur est directement
liée aux propriétés inertielles des corps. Mathématiquement
Maupertuis traduisit le principe de moindre action comme suit.
Si
nous considérons le mouvement d'un corps entre deux points A en et B en ,
pour une énergie totale E donnée,
la trajectoire sélectionnée par la nature est celle pour laquelle
la grandeur suivante
est minimale:
(30.313)
La
trajectoire physique entre deux points A et B aux
instants et est
celle pour laquelle l'action est minimale.
En
sachant que:
(30.314)
nous
obtenons alors:
(30.315)
où T est
l'énergie cinétique du corps.
Nous le
voyons, l'action prend une forme étonnamment simple
et s'exprime directement en fonction de l'énergie cinétique.
Quelques années
plus tard, à partir d'une intuition semblable à celle de Maupertuis,
Euler parvint à un énoncé très similaire de l'action
mais en partant du constat que les corps tendent à adopter
un état
où l'énergie potentielle est minimale. L'action d'Euler
s'exprimait en fonction de l'énergie potentielle au
lieu de l'énergie cinétique.
Qui de Maupertuis ou d'Euler avait tort ou raison?
En
fait, leurs énoncés respectifs de l'action étaient équivalents.
Nous savons que dans un champ conservatif, si nous appelons U l'énergie
potentielle alors l'énergie totale E vaut T + U et
cette énergie est une constante. Nous en tirons que T = E - U et
que donc:
2T = T + E - U
(30.316)
D'où:
(30.317)
Cette
relation est vraie quel que soit le chemin d'énergie totale
initiale E.
Nous en concluons que la valeur de la constante E ne
permet pas de discriminer les différentes trajectoires
et peut donc être éliminée de la formulation de
l'action. L'action de Maupertuis peut alors se réduire à une
nouvelle grandeur notée S:
(30.318)
Cette nouvelle formulation de l'action fut donnée par Lagrange
en 1788. S s'appelle "l'action
lagrangienne" ou "action
hamiltonienne" et la fonction:
(30.319)
porte
le nom de "lagrangien
mécanique". Ainsi
formulé, le principe de moindre action devint l'un des outils
les plus puissants de la mécanique.
Nous avons déjà vu comment
nous exprimons le principe de moindre action mathématiquement.
Dans le cas qui nous intéresse, l'action n'est pas une
fonction de variables analytiques mais de trajectoires!
Considérons le cas très simple d'un corps de masse m se
mouvant sur une seule dimension (que
nous représenterons par un axe Ox) d'un point d'abscisse à l'instant à un
point de coordonnée à l'instant .
Supposons qu'il est soumis à un potentiel U qui ne varie
pas avec le temps c'est-à-dire .
L'action de ce corps sur un chemin C quelconque menant
de à est
alors:
(30.320)
Soit le
chemin physique et l'action
sur ce chemin. Notons par les
valeurs de la position x sur
le chemin physique. Considérons maintenant un chemin C très
proche de tel
que les positions le long de C aient les valeurs que
nous écrirons, pour alléger les écritures .
Calculons l'action pour
ce chemin:
(30.321)
Comme est
infiniment petit, il est possible de développer le potentiel
en développement limité:
(30.322)
Quant au premier terme,
il se ramène à:
(30.323)
Comme nous ne considérons que les variations du premier
ordre, le dernier terme peut être négligé, ce qui
donne pour l'action sur le chemin C:
(30.324)
Posons maintenant que la variation de
l'action entre le chemin physique et C est
nulle:
(30.325)
et ainsi:
(30.326)
Le premier terme dans la dernière intégrale
peut s'intégrer par parties comme suit:
(30.327)
Or, tous les chemins partent
de à l'instant et
arrivent à à l'instant .
Ceci implique qu'en et la
variation est
nulle ce que nous écrivons .
Donc le premier terme de l'intégration par parties est
nul.
La variation de l'action prend alors la forme:
(30.328)
Cette intégrale doit être
nulle pour tous les chemins très proches du chemin physique ,
donc quelle que soit la valeur de .
Pour qu'une telle condition soit remplie il faut que le terme
devant soit
nul, c'est-à-dire:
(30.329)
Or nous connaissons au fait
cette équation: le premier terme n'est rien d'autre que où a est
l'accélération du corps, et le second - l'opposé du
gradient du potentiel - est
l'intensité de la force en un point donné. Celle-ci
se ramène
donc à l'équation (mais lorsque la force est nulle):
(30.330)
qui n'est autre que la deuxième
loi de Newton sous forme généralisée que
nous avions obtenu plus haut sous la forme suivante:
(30.331)
Le principe
de moindre action contient donc implicitement la mécanique
newtonienne. Ainsi, il est possible de reconstruire toute la
mécanique de Newton avec le seul principe
de moindre action!!!
Cet échafaudage de calculs
peut paraître bien compliqué pour aboutir à un résultat
que nous connaissions déjà mais tout l'intérêt
du principe de moindre action réside dans le fait qu'il
permet de tirer des lois fondamentales à partir
de la seule connaissance du lagrangien d'un système.
Les théories les plus récentes
comme la théorie quantique des champs, les théories de jauge
ou la théorie des supercordes ont toutes pour point de départ
l'expression de l'action du système. Les physiciens en dégagent
ensuite des lois fondamentales qui régissent le comportement
des particules élémentaires.
PUISSANCE
Définition: La puissance
est le taux instantané de variation du travail (énergie
sous forme quelconque). Nous avons donc la "puissance
instantanée" donnée par:
(30.332)
Si le travail est fourni
de façon régulière (constante), nous avons
alors la "puissance moyenne":
(30.333)
Avec cette définition, le lecteur pourrait
penser qu'un véhicule qui roule à une vitesse constante
fournit donc une puisse nulle puisque son énergie cinétique
ne varie pas. En réalité
il n'en est rien, car la voiture doit constamment vaincre le frottement
des pneus avec la route (voir plus loin l'étude de la tribologie),
le frottement visqueux avec l'air (cf. chapitre
de Mécanique
Des Milieux Continus), et
la perte d'énergie du aux vibrations et frottements des
ses propres composants comme les essieux, les roulements à bille,
les ressorts, etc. Ainsi,
un véhicule
doit
à chaque seconde fournir l'énergie qu'il a perdu
dans ces différents
frottements. Nous avons alors la "puissance
d'une force":
(30.334)
où nous avons utilisé la définition de l'énergie
(force sur une distance) et où représente
la somme des diverses forces.
Remarques:
R1. L'unité de la puissance est le "Watt"
et se note [W] mais en technique, certains utilisent encore
souvent le "cheval" [ch]
défini
comme suit étant égal à 736 [W] (car
un cheval pouvait à l'époque soulever 75 kilos à 1 mètre en 1 seconde
sous la gravité terrestre).
R2. En exprimant le travail (énergie) à partir de
l'équation ,
où la puissance est donnée en [kW] et
le temps en heures, il apparaît alors l'unité d'énergie
[kWh] (kilowattheure), très utilisée
en pratique.
PUISSANCE
D'UNE MACHINE TOURNANTE
Le travail élémentaire dW effectué par
la force faisant
tourner une solide (un cylindre dans le cas présenté de
suite) autour de son axe d'un angle vaut:
(30.335)
La puissance instantanée
est alors:
(30.336)
Or, comme nous l'avons démontré plus haut (il s'agit en fait plutôt
d'une définition...):
(30.337)
La puissance d'un couple
est alors donnée par:
(30.338)
Il s'agit d'une relation très prisée
par les passionnés
de véhicules à moteur. Effectivement, connaissant
le couple moteur (le moment de force) et le régime moteur
(qu'il faut covertir dans les bonnes unités), nous obtenons
facilement une approximation de la puissance développée
par le moteur. Si nous divisons le résultat par 736, le
lecteur obtiendra la mesure de la puissance en "chevaux".
RENDEMENT
A cause des frottements,
la puissance restituée par une machine appelée
aussi "puissance utile", est toujours
inférieure à la puissance absorbée. Nous
tenons compte de cet effet au moyen du rendement défini
par:
(30.339)
Nous y reviendrons
beaucoup plus en détail lors de notre étude de
la thermodynamique (cf. chapitre de Thermodynamique).
|