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Mécanique

PRINCIPES | MÉCANIQUE ANALYTIQUE | MÉCANIQUE CLASSIQUE
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MÉCANIQUE STATISTIQUE | THERMODYNAMIQUE
MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

30. MÉCANIQUE CLASSIQUE/RATIONNELLE (1/2)

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2014-04-06 20:44:19 | {oUUID 1.811}
Version: 3.1 Révision 11 | Rédacteur: Vincent ISOZ  | Avancement: ~80%
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Avant d'aborder l'étude des corps solides en mouvement dans le cadre de la mécanique classique (à l'opposé de la mécanique relativiste) appelée également "mécanique rationnelle" ou "mécanique newtonienne", il peut sembler être dans l'ordre logique des choses de définir et d'étudier les propriétés relativement à leur état statique.

Définitions:

D1. Un phénomène est dit "statique" ou "en équilibre" lorsqu'il ne subit aucune dynamique (accélération ou in extenso: force), du moins apparente. Nous pouvons considérer un équilibre comme un état statique, bien qu'il ne soit qu'apparent car il peut être le résultat de deux dynamiques opposées qui se compensent! Ainsi, les grandeurs qui décrivent un phénomène statique sont des constantes, les valeurs concrètes de ces grandeurs sont calculables. La statique est un cas majeur d'étude du génie mécanique et du génie civil (voir chapitres du même nom).

De manière plus technique cette définition est érigée au rang de principe appelé le "principe fondamental de la statique" qui énonce que pour qu'un système soit en équilibre, il faut que la résultante générale et le moment résultant des forces extérieures soit équivalent à zéro par rapport à son centre de masse ou de gravité (la condition est suffisante pour les problèmes de mécanique qui traitent des solides indéformables).

D2. La "statique" est l'étude des conditions d'équilibre d'un point matériel soumis à des forces en équilibre.

D3. Toute cause capable d'accélérer (concept défini plus loin) ou de déformer un corps est appelée "force" (concept introduit rigoureusement par Newton et sur lequel nous reviendrons en détails plus loin lors de l'énoncé des trois lois de Newton).

Une observation plus approfondie fait apparaître la force comme le résultat macroscopique de phénomènes microscopiques complexes, à savoir des interactions à distance entre particules. Ces interactions sont au nombre de quatre et je ne désire nullement en parler maintenant car elles font appel à des outils mathématiques qui sont hors contexte dans cette section du site.

Remarque: En mécanique classique nous ne nous posons naturellement pas la question d'une transformation du temps. Les changements envisagés concernent la grandeur "position" et ses dérivées. En effet, en mécanique classique, nous postulons le "temps de Newton": le temps s'écoule de façon identique d'un référentiel à l'autre.

D4. Si les lignes d'action de toutes les forces agissant sur un corps sont dans un même plan, le système de forces est dit "système coplanaire":

equation
Figure: 30.1 - Exemple particulier de système coplanaire

où l'intersection des force se nomme un "noeud de forces".

Si nous considérons par exemple un ensemble particulier de forces coplanaires dont les intensités (normes) ont été mesurées à l'aide d'un dynamomètre et les angles par rapport à une repère adéquatement choisi avec un rapporteur. Nous aurons alors un schéma du type suivant appelé "dyname":

equation
Figure: 30.2 - Exemple particulier de système coplanaire mesuré

Pour calculer les composantes de la résultante (et in extenso de sa norme), il peut être plus aisé de représenter les trois forces sous la forme suivante (après translation):

equation
Figure: 30.3 - Représentation simplifiée des forces pour traitement

Ensuite, avec de la trigonométrie élémentaire, connaissant les angles et l'intensité de chacune des trois forces, il est possible de déterminer leurs composantes respectives selon X et Y et leur somme algébrique selon chacun des axes donnera les composantes de la résultante (aujourd'hui ce type de raisonnement à l'air simple mais il a fallu quand même attendre la fin du 16ème siècle pour que ces raisonnements sur la statique des forces émerge).


Figure: 30.4 - Représentation de la résultante des forces d'une pont suspendu

Un petit cas applicatif élémentaire est le portage d'une charge:


Figure: 30.5 - Port de charge coplainaire symétrique

par symétrie chacune des parties gauche/droite du câble est sous la même tension (force). En appliquant de la trigonométrie élémentaire (cf. chapitre de Trigonométrie), nous avons:

equation   (30.1)

Soit:

equation   (30.2)

Nous remarquons alors que nous avons tout intérêt à avoir:

equation   (30.3)

(soit un angle supérieur à ~30°) sinon quoi nous aurions:

equation   (30.4)

Comme nous l'avons déjà mentionné, un système de forces concourantes coplanaires est en équilibre statique, lorsque la résultante de toutes les forces est nulle. Graphiquement, l'extrémité de la dernière force du dyname coïncide avec l'origine de la première force. Mathématiquement cela peut s'écrire:

equation   (30.5)

D5. Un système matériel S (ensemble de points matériels equation) est dit "solide indéformable" (rigide), ou simplement "solide", si les distances mutuelles des points matériels le constituant ne varient pas au cours du temps. Ce que notons techniquement sous la forme suivante:

equation   (30.6)

LOIS DE NEWTON

Les trois lois de Newton sont à la base de la mécanique classique. Elles sont à posteriori indémontrables et non formalisables car elles énoncent des observations et découlent donc de notre expérience quotidienne.

Cependant, les développements de la physique moderne et qui se basent sur les conséquences de ces trois lois sont en tel accord avec les conditions théoriques qu'impose le principe de moindre action et les expériences y relatives, que leur validité pourrait ne plus être mise en doute (...)

PREMIÈRE LOI (LOI D'INERTIE)

Définition: Tout corps ponctuel ou étendu persévère dans sa forme (géométrie) ou son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme (décrit par le centre de masse), sauf si des "forces imprimées" le contraignent d'en changer.

Le corpos ponctuel est bien évidement sans dimension. C'est une création de l'esprit, un modèle, représentant un objet physique qui n'est animé que d'un mouvement de translation (pas de rotation sur lui-même). Nous admettons ici que notre espace physique est à trois dimensions auquel on adjoint le temps qui n'est pas ici une dimension mais un paramètre immuable et indépendant!

Autrement dit: Tout corps au repos ou en mouvement rectiligne uniforme est soit imprimé par un nombre de forces nulles, soit la somme des forces imprimées est nulle (c'est le principe fondamental de la statique appelé aussi "principe d'inertie").

Corollaire: Lorsque la trajectoire d'un corps n'est pas une droite ou lorsque la vitesse de ce corps n'est pas constante, on peut en conclure d'après le Principe d'inertie que les forces qui s'exercent sur ce corps ne se compensent pas.

Remarque: Nous avons démontré ce corollaire lors de notre étude du théorème de Noether dans le chapitre traitant des Principes de la physique.

Après la virgule de la première phrase du corollaire, jaillit en pleine lumière le mot "force". Questionnons donc ce mot: le langage courant regorge de significations différentes: la force du poignet, la force de l'âme... Aussi, la force peut-elle être aveugle ou majeure, selon le cas... Quoi qu'il en soit, elle a le pouvoir de changer le cours (le mouvement) et la forme (géométrie) des choses. Sans ignorer ce halo qui entoure le mot et qui a embarrassé plus d'un physicien avant lui, Newton donne à la force une signification très précise, qui se démarque de l'idée intuitive d'un effort physique.

Propriétés:

P1. La force est une grandeur vectorielle (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

P2. L'effet d'une force, ne change pas si nous faisons glisser la force sur sa droite d'action.

Une force est donc une grandeur physique qui se manifeste par ses effets:

E1. Effet dynamique: une force est une cause capable de produire ou de modifier le mouvement ou la forme (géométrie) d'un corps.

E2. Effet statique: une force est une cause capable de produire une déformation d'un corps.

Toute force peut être représentée par un vecteur dont les quatre propriétés sont:

P1. Direction: droite selon laquelle l'action s'exerce

P2. Sens: sens selon lequel l'action s'exerce sur la droite

P3. Point d'application: point où l'action s'exerce sur le corps

P4. Intensité: la valeur (norme) de la force

Il est possible de ranger la plupart des forces par familles telles que:

F1. Les "forces de réaction": chaque corps exerce une force sur un autre corps qui est en contact avec lui. Par exemple, si un objet repose sur une table, cette table exerce une force égale et opposée sur l'objet (afin que ce dernier ne s'enfonce pas dans la table - ce sont des mécanismes quantiques qui sont à l'origine de cette force de réaction). Cette force est toujours à la verticale du point de contact.

F2. Les "forces de frottement": la force de frottement existe lorsque deux corps sont en contact. Elle s'oppose toujours au mouvement. La force de frottement qui s'oppose au mouvement n'a pas seulement un effet négatif, elle est indispensable pour assurer aussi le contact entre deux surfaces (par exemple: contact des pneus sur la route, freinage, ...).

F3. Les "forces de tension" exercées sur un corps: c'est une force qui tire sur un élément d'un corps comme par exemple, la tension exercée par un fil, par un ressort (cf. chapitre de Génie Mécanique).

F4. Les "forces à distance": ce sont les forces qui agissent par l'intermédiaire de champs vectoriels comme par exemple le champ électrique, le champ magnétique, le champ gravitationnel. Ce dernier a comme particularité s'il est isotrope (nous le démontrerons lors de notre étude de la statique des forces) de pouvoir se réduire à l'étude du centre de gravité du corps.

DEUXIÈME LOI (PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE)

Définition: Le changement de mouvement est proportionnel à la "force motrice imprimée", et s'effectue suivant la droite par laquelle cette force est imprimée.

Une force, nous le savons, est dans le langage de Newton ce qui provoque le "changement du mouvement" et pas autre chose... Mais, supplément au programme, les mots "changement du mouvement" de cette loi cachent une signification mathématique, différente de l'intuition "changement de vitesse". Pour Newton, nous avons vu qu'un corps au repos était caractérisé par sa quantité de matière, sa masse. S'inspirant de certains prédécesseurs, Newton pose qu'un corps en mouvement "transporte une certaine quantité", appelée sans fioritures: la "quantité de mouvement". C'est en fait cette quantité qui, sous le simple mot "mouvement" est contenue dans l'énoncé de la seconde loi. La quantité d'un mouvement est la mesure que nous tirons à la fois de sa vitesse (concept que nous définirons plus loin lors de notre étude de la cinématique) et de sa quantité de matière, autrement dit, par définition, le produit de sa masse par sa vitesse.

equation   (30.7)

En utilisant les symboles mathématiques modernes, la première partie de cette deuxième loi peut alors se reformuler:

La force est égale à la variation en fonction du temps de la quantité de mouvement, soit dans un cadre non relativiste:

equation   (30.8)

Cette relation est donc valable tant que la vitesse est très inférieure à celle de la lumière comme nous le verrons lors de notre étude de la mécanique relativiste bien plus tard, car Newton supposa que la masse ne variait pas (ou ne semblait pas varier...) en fonction de la vitesse. Ainsi, la "relation fondamentale de la dynamique" (R.F.D.) est donnée par:

equation   (30.9)

et peut s'énoncer ainsi: Soit un corps de masse m constante, l'accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m.

Rappel: La "masse" est une mesure pour la quantité de matière contenue dans le corps (cf. chapitre sur les Principes De La Mécanique). La masse est une constante indépendante de l'endroit où elle se trouve (unité S.I. kilogramme: [kg]). Le "poids", correspond lui à la force (unité S.I. newton: N) qu'un objet exerce sur un autre par l'intermédiaire d'un champ gravitationnel. Il dépend de l'endroit où nous nous trouvons (voir ci-dessous l'équation de la force gravitationnelle de Newton).

Nous verrons (démontrerons) que dans le cadre d'un corps tombant dans un champ gravitationnel à symétrie sphérique, nous avons:

equation   (30.10)

dans le cadre de notre bonne vieille Terre, nous avons pour habitude de poser: 

equation   (30.11)

Dans le système Eulérien et en coordonnées cartésiennes, une grandeur donnée equation d'un milieu continu aura une distribution en fonction des quatre variables indépendantes x, y, z, t. Pour de petites variations dx, dy, dz et dt, la variation totale de equation s'exprimant par (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (30.12)

En suivant une particule dans son mouvement, nous observons pendant un temps dt des déplacements dx, dy, dz. Nous pouvons donc exprimer à partir de l'expression précédente la variation totale de equation pendant le temps dt. Nous obtenons ainsi l'expression d'une dérivée très importante en physique théorique dite "dérivée particulaire":

equation   (30.13)

En mécanique nous allons particulièrement travailler avec le champ gravitationnel Newtonien. Dès lors, la relation reliant la force à l'accélération prend une forme plus générale. Voyons comment:

Soit la dérivée particulaire de la vitesse (pour les trois coordonnées spatiales):

equation   (30.14)

Ce qui s'écrit aussi:

equation   (30.15)

Ce qui peut s'écrire aussi sous forme condensée:

equation   (30.16)

La deuxième loi de Newton s'écrit alors sous forme généralisée:

equation   (30.17)

Cette formulation de la deuxième loi de Newton est de la plus haute importance en physique. Elle rend compte  explicitement de la force subie par un point matériel dans un champ vectoriel en fonction de la vitesse et non plus de la position. Nous retrouverons cette formulation dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus dans notre étude des fluides et plasmas, dans le chapitre d'Électromagnétisme ainsi que dans celui de Relativité Générale.

TROISIÈME LOI (LOI D'ACTION ET RÉACTION)

Énoncé: la réaction d'un corps étendu ou ponctuel solide est toujours de sens opposée et d'intensité et de direction égale à la force imprimée. 

Cette troisième loi est plus connue sous le nom de: "principe d'action/réaction" et découle de la première loi de Newton selon le raisonnement mathématique lors de notre étude du théorème de Noether dans le chapitre traitant des Principes de la physique.

Ainsi, dans la nature, selon ce principe, il n'y pas de force isolée, chaque force à son "contraire", elles agissent par paire.

Nous pouvons également dire encore que deux corps solides ponctuels ou étendus en contact exercent l'un sur l'autre toujours des forces opposées en sens mais égales en intensité et en direction.

CONDITIONS D'ÉQUILIBRE

Pour qu'un point matériel, soumis à des forces equation soit en équilibre statique, il faut que la résultante de ces forces soit nulle. Soit:

equation   (30.18)

La relation précédente, qui définit donc tout corps à l'équilibre, ouvre l'étude à de très nombreux cas pratiques et constitue à elle seule un immense chapitre d'applications pratiques que nous appelons la "statique des forces" et que nous développerons après avoir introduit le concept de moment de force plus loin.

Cependant cette condition est suffisant uniquement dans le cas de points matériels. Si nous travaillons avec des objets étendus dans l'espace alors la condition susmentionnée est nécessaire mais pas suffisante. Nous verrons effectivement plus loin, lors de notre étude des "moments de force", qu'il faut rajouter une condition supplémentaire.

CENTRE DE MASSE ET MASSE RÉDUITE

Le centre de masse est un cas particulier du barycentre avec toutes ses propriétés que nous avons déjà largement développées dans le chapitre de Géométrie Euclidienne (donc nous conseillons fortement au lecteur de s'y référer) mais rapporté à la physique.

On peut confondre "centre masse" et "centre de gravité" (dit également "barycentre") que si et seulement si la masse du corps étudié est homogène.

Définition: Soit un solide formé de n points de masse equation et repérés par leurs vecteurs de position equation respectifs. Nous appelons "centre de masse" (ou "centre d'inertie" s'il y a égalité stricte entre masse grave et masse inerte) un point G auquel nous pouvons rattacher toute la masse du système (et donc son analyse!!) et tel que, l'origine étant arbitrairement choisie il soit donné par:

equation   (30.19)

Relation à comparer par celle plus générale vue dans le chapitre de Géométrie Euclidienne:

equation   (21.20)

De façon identique, nous définissons la masse réduite du système par la relation:

equation   (30.21)

Si nous considérons le solide comme continu (vrai seulement à l'échelle macroscopique en première approximation) alors il vient:

equation   (30.22)

Où les intégrales sont étendues au volume du solide en entier.

De plus, si le solide est homogène (cas particulier), de masse volumique equation, alors equation, dV étant l'élément de volume. L'équation peut alors s'écrire (la notation de la triple intégrale est réduite à une seule par souci de condensation d'écriture):

equation   (30.23)

Soit en composantes:

equation   (30.24)

Propriétés:

P1. Si le solide possède un axe de symétrie, alors G est sur cet axe.

P2. Si le solide possède un plan de symétrie, alors G est sur ce plan.

P3. Si le solide possède plusieurs axes de symétrie, alors G est à leur intersection.

Remarque: Le centre de masse G peut se trouver hors du solide (exemple: un tabouret, un boomerang, etc.).

Il n'est pas évident de calculer le centre de masse d'un corps donné relativement simple. Ce n'est pas que les outils mathématiques à manipuler soient complexes loin de là (simple intégrale, Pythagore et quelques multiplications et intégrations par parties) mais il faut aborder le problème d'une façon élégante et si nous n'avons pas tout de suite la bonne approche nous nous casserons très vite les dents. Nous conseillons donc aux professeurs qui abordent ce sujet et les exercices y relatifs, de les faire avec les élèves (donc en classe) mais en laissant ces derniers débattre de la façon dont le professeur doit attaquer le problème au tableau noir (cela marche très bien).

THÉORÈME DU CENTRE DE MASSE

Sous l'action des forces extérieures equation, agissant en chaque point du solide, chacun de ces points prend l'accélération correspondant à la force appliquée equation. En utilisant la deuxième loi de Newton pour chaque point et en sommant les effets nous aurons (dans un cas non relativiste):

equation   (30.25)

en vertu de la position du centre de masse donnée par la relation:

 equation    (30.26)

il vient si le référentiel est posé sur le centre de masse:

equation où equation   (30.27)

soit:

equation   (30.28)

C'est le théorème du centre de masse, que nous pouvons énoncer ainsi:

Le centre de masse d'un solide se meut comme un point matériel de masse égale à celle du solide et auquel serait appliqué la somme des forces extérieures. Un exemple simple est celui d'un projectile explosif décrivant en absence de pesanteur une trajectoire courbe. Si le projectile explose et se fragmente, le centre de masse des éclats continue à décrire la trajectoire courbe qu'il avait entamée.

Remarque: Dans le cas particulier du solide (ensemble de points) soumis au champ de la pesanteur, equation est le poids du solide et G s'appelle alors "centre de gravité" (d'où l'origine de cette appellation).

Reprenons l'équation:

equation    (30.29)

donnant la position du centre de masse. Sa vitesse vaut:

equation   (30.30)

en posant: 

equation   (30.31)

equation est la quantité de mouvement du système, il vient:

equation   (30.32)

Cette relation montre que si la somme des forces extérieures est nulle alors:

equation   (30.33)

Donc la quantité de mouvement du système entier est conservée et le mouvement du centre de masse du système est inaltéré. Ceci justifie les remarques faites lors de l'étude de la conservation de la quantité de mouvement.

Dans l'étude des interactions entre particules, il est souvent commode d'utiliser un système de référence lié au centre de masse de l'ensemble des particules. Ce centre de masse étant au repos dans ce référentiel, sa vitesse y est nulle ainsi que la quantité de mouvement totale, comme le montrent les équations ci-dessus. Cette propriété constitue le puissant avantage de cette description.

Remarque: En mécanique, l'usage du centre de masse (point matériel) est particulièrement aisé car le système de forces est régi seulement par la loi de Newton. Avec des particules électrisées (charges), il en va tout autrement. Les effets électromagnétiques sont dominants lors de leurs accélérations, ce qui induit des phénomènes ondulatoires interactifs nettement plus complexes. C'est la raison pour laquelle nous ne verrons jamais une étude sur ce site du "centre de charge" lorsque nous aborderons l'électrostatique dans le chapitre d'Électrodynamique...

THÉORÈMES DE GULDIN

Les théorèmes de Guldin permettent dans certains cas, de simplifier le calcul du centre de masse de certains corps.

Premier théorème: Soit une plaque plane, homogène, d'épaisseur constante e, de masse volumique equation placée dans un plan cartésien xOy. Nous avons alors par rapport à l'axe y:

equation   (30.34)

equation

Envisageons une rotation autour de l'axe x. Le volume décrit par un élément de surface dS lors de cette rotation vaut:

equation   (30.35)

et, par conséquent, le volume total décrit par la surface S complète est:

equation   (30.36)

Ainsi, en procédant de même pour equation , nous obtenons finalement:

equation   (30.37)

Deuxième théorème: Soit une tige courbe, homogène, de longueur l, de section constante, de masse linéique equation. Nous avons:

equation   (30.38)

equation

Envisageons une rotation autour de l'axe x. La surface décrite par un élément de longueur dl lors de cette rotation vaut:

equation   (30.39)

et, par conséquent, la surface totale décrite par la tige de longueur L est:

equation   (30.40)

Ainsi, en procédant de même pour equation , nous obtenons finalement:

equation   (30.41)

CINÉMATIQUE DU MOUVEMENT RECTILIGNE

Un phénomène est évolutif si, en l'observant, nous constatons un glissement de la valeur concrète d'une ou plusieurs grandeurs. Ces grandeurs ne sont pas des constantes mais des variables. Une évolution implique qu'il y a un début, une infinité d'états intermédiaires et une fin. Un "état" est la description d'un instantané d'un phénomène évolutif (pas forcément au sens temporel du terme).

La relation fonctionnelle entre grandeurs pour un état donné peut être décrite par une équation. Pour un phénomène évolutif, il peut y avoir une infinité d'états que nous pouvons décrire par autant d'équations. Sous cette forme, cela n'a pas d'intérêt. Nous cherchons alors à trouver une équation unique qui met en relation les différentes grandeurs vérifiant tous les états que le phénomène évolutif considéré peut admettre. Par cette équation, nous pouvons ensuite calculer n'importe quel état du phénomène évolutif étudié: c'est "l'équation d'état" (notion tirée de la thermodynamique).

La "cinématique" est donc la partie de la mécanique qui traite des mouvements sans s'occuper de ses causes (c'est Ampère qui a baptisé ce domaine ainsi).

POSITION

Définition: La position d'un objet est définie par son vecteur position dans le cas particulier d'un espace tridimensionnel:

  equation   (30.42)

or chaque coordonnée d'un objet en mouvement peut varier en fonction du temps comme:

equation   (30.43)

Plutôt que cette notation un peu lourde en parenthèses... les physiciens notent fréquemment le vecteur position (ou vecteur d'espace) sous la forme d'un vecteur de 4 dimensions:

- 3 dimensions spatiales

- 1 dimension temporelle

et nous écrivons alors: 

equation    (30.44)

et nous appelons alors ce vecteur un "quadrivecteur d'espace-temps" dont les composantes sont les coordonnées généralisées du système.

VITESSE

Définition: La "vitesse scalaire", appelée aussi simplement "vitesse", notée v, est par définition la distance parcourue par un objet pendant une certaine quantité de temps:

equation   (30.45)

Lorsqu'un corps est en mouvement uniforme rectiligne, c'est-à-dire qu'il parcourt une distance donnée selon une dimension equation avec equation en un temps toujours égal, le rapport précédent est constant dans le temps:

equation   (30.46)

La "vitesse moyenne arithmétique" ou "vitesse linéaire moyenne" est définie comme étant le rapport de la distance parcourue entre un point de départ donné equation à un instant equation et un point d'arrivée equation à un instant equation:

equation   (30.47)

Remarque: Il faut prendre garde lors de calculs de vitesses moyennes car il existe plusieurs types de moyennes en mathématique... (cf. chapitre de Statistiques)! Par exemple, il est fréquent d'utiliser la vitesse moyenne harmonique comme nous le montrons dans le chapitre de Statistiques.

Ceci représente donc une moyenne (car nous ne nous intéressons pas de savoir comment le chemin entre equation et equation a été parcouru)  mais nullement la vitesse instantanée du véhicule à un moment donné. 

Si nous désirons connaître la vitesse dite "vitesse scalaire instantanée" du véhicule en un point de sa trajectoire il faut faire passer le delta du temps equation à un différentiel (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) tel que:

equation    (30.48)

avec equation qui tend vers zéro.

Mathématiquement, nous notons cela correctement de la façon suivante:

 equation   (30.49)

Ainsi, pendant une différence de temps infiniment petite, la distance parcourue sera également infiniment petite. Nous aurons donc:

equation   (30.50)

et finalement:

equation   (30.51)

Si le corps étudié n'est pas en mouvement rectiligne dans un repère cartésien à trois dimensions alors sa position sera donnée par le vecteur equation et nous noterons sa vitesse dès lors par:

equation   (30.52)

Remarque: Si toutes les parties d'un corps se déplacent à la même vitesse et dans la même direction, nous avons alors un "mouvement de translation". Par contre, dans un "mouvement de rotation", les vitesses des diverses parties du corps ne sont pas les mêmes, en module et en direction (nous le démontrerons plus loin) et peuvent varier avec le temps.

Attention ! Un mouvement ne peut être décrit que par rapport à un repère fixe: le mouvement absolu n'existe pas. Galilée avait déjà compris que: "Le mouvement est comme rien". Le mouvement n'existe pas en soi, mais relativement à autre chose.

ACCÉLÉRATION

Définition: "L'accélération scalaire", appelée aussi simplement "accélération", notée a, est par définition, la variation de la vitesse scalaire pendant une certaine quantité de temps telle que (nous passons directement à la limite sinon quoi nous parlons alors "d'accélération linéaire moyenne"):

equation   (30.53)

ou autrement dit: la vitesse avec laquelle évolue la vitesse.

À nouveau, si le corps n'est pas en mouvement uniforme rectiligne nous aurons:

equation   (30.54)

Si le corps est en mouvement rectiligne et uniforme (nous pouvons toujours généraliser à un mouvement non rectiligne) nous avons alors:

equation   (30.55)

La constante est à déterminer en fonction des conditions initiales. Si la position initiale au temps zéro est nulle la constante sera nulle. Dans le cas contraire nous écrivons:

equation   (30.56)

ce qui nous donne la distance parcourue par un corps pendant un laps de temps donné.

Si le corps est en mouvement rectiligne et accélère constamment nous avons alors:

equation   (30.57)

La constante est à déterminer en fonction des conditions initiales. Si la vitesse initiale parcourue au temps zéro est nulle la constante sera nulle. Dans le cas contraire nous écrivons:

equation   (30.58)

Nous voyons plus fréquemment cette relation sous la forme:

equation

ou encore majoritarement sous laf orme:

equation   (30.59)

mais nous avons:

equation   (30.60)

si nous intégrons cette relation, nous obtenons:

equation   (30.61)

que nous retrouvons dans les écoles le plus fréquemment sous la forme:

equation   (30.62)

Cette relation donne la position d'un mobile en mouvement rectiligne et uniformément accéléré (dans la majorité des problèmes en physique on considère l'accélération constante ou en un point précis). De cette dernière, nous déduisons une très quantité de relations qui sont très intéressantes en physique aussi bien en considérant des cas idéaux que des cas réels. Effectivement, en la réarrangeant (alèbre élémentaire), il est possible d'obtenir l'accélération lorsque le temps pour atteindre une vitesse donnée est connu. On peut aussi calculer la distance qu'il faut à un mobile (toujours en mouvement rectiligne) ayant une accélération donnée pour atteindre une certaine vitesse.

Le premier cas que nous considérons comme le plus connu, est la vitesse de chute à accélération constante d'un corps dans un milieu exempt de tout frottement (cas traité plus loin lors de notre étude de la tribologie).

Comme nous l'avons déjà démontré précédemment, nous avons lorsque la vitesse initiale est nulle:

equation et equation   (30.63)

Les deux relations combinées donnent (conformément à la tradition d'usage dans les écoles, nous avons remplacé le x par un h pour indiquer que la position est souvent assimilée dans la pratique à une hauteur):

equation   (30.64)

Nous pouvons tirer de cette relation la vitesse de libération d'un astre (relation pratique quand nous étudierons le chapitre d'Astrophysique et intéressante pour comparaison lorsque nous étudierons la relativité générale):

Supposons que vous savez déjà que deux corps s'attirent mutuellement avec une accélération selon le modèle classique de Newton (que nous démontrerons plus loin):

equation   (30.65)

Mis dans la relation de chute d'un corps equation, nous obtenons:

equation   (30.66)

à la surface du corps attracteur principal nous avons donc la "vitesse de libération":

equation   (30.67)

Nous pouvons répondre à partir de cette relation, à la question de savoir pourquoi certaines planètes du système solaire ont une atmosphère et d'autres pas (bon normalement il faut prendre en compte l'agitation moléculaire...) comme nous le verrons dans le chapitre d'Astronomie.

Ce qui est aussi intéressant dans cette relation c'est que nous pouvons calculer quel doit être le rayon R d'un corps de masse m pour que sa vitesse de libération soit égale à celle de la lumière (allusion aux Trous Noirs).

Nous avons dès lors: 

equation   (30.68)

Nous verrons dans le chapitre de Relativité Générale qu'après de relativement longs calculs dans un champ gravitationnel isotrope (métrique de Schwarzschild) nous retomberons sur cette relation.

PLAN OSCULATEUR

Les vecteurs vitesse equation et accélération equation liés à un point P en mouvement forment, à chaque instant t un plan appelé "plan osculateur" de la trajectoire (généralement curviligne sinon quoi le plan se réduit à une droite).

Il est souvent utile de décomposer le vecteur accélération dans le plan osculateur suivant respectivement la tangente et la normale à la trajectoire:

equation   (30.69)

où le premier terme du membre de droite est un vecteur parallèle à la vitesse et le deuxième un vecteur perpendiculaire à la vitesse et situé du côté concave de la trajectoire.

Exprimons ces deux vecteurs (un exemple plus général est donné dans le chapitre de Géométrie Différentielle):

Nous pouvons écrire que:

equation   (30.70)

ds est un élément courbe (l'abscisse curviligne) de la trajectoire et equation un vecteur unité tangent à la trajectoire lié au point P.

L'accélération s'écrit alors: 

equation   (30.71)

Le premier terme à droite de l'égalité est l'accélération tangentielle quant au second terme, même si la vitesse est constante ce dernier apparaît dans l'expression de l'accélération pour exprimer le changement de direction de la vitesse.

Décomposons le vecteur equationdans la base orthonormée euclidienne equationgénérée par la famille de vecteurs equation:

equation   (30.72)

Ensuite, en dérivant par rapport au temps:

equation   (30.73)

En comparant avec l'expression initiale du vecteur equation, nous voyons  que les termes entre crochets ci-dessus sont les composantes d'un nouveau vecteur unité equation perpendiculaire au vecteur equation, donc perpendiculaire à la trajectoire et dirigé vers le centre de courbure.

De plus par la définition du radian, nous avons: 

equation   (30.74)

R est le rayon de courbure de la trajectoire. 

L'expression equation devient alors:

equation   (30.75)

et le second terme de l'expression générale de l'accélération devient alors:

equation   (30.76)

Nous avons donc finalement (relation démontrée avec une autre approche dans le chapitre de Géométrie Différentielle):

equation   (30.77)

où "l'accélération tangentielle" donnée par: 

equation   (30.78)

est un terme qui exprime la modification de l'intensité de la vitesse sur la trajectoire du point P et où "l'accélération normale":

equation   (30.79)

est un terme qui exprime le changement de direction du point P sans que nécessairement ce dernier change donc de vitesse! Communément cette dernière relation est assimilée à la "force centrifuge" (centrifuge signifiant: qui fuit le centre")!!

Remarque: La force centrifuge est considérée en physique comme une force fictive car au fait il ne s'agit pas d'une force qui tend à nous éloigner d'un centre de rotation mais c'est juste qu'il y a une force qui n'est plus suffisante (la force de frottement dans le cadre d'un manège ou gravitationnelle pour des planètes) pour nous empêcher de suivre une trajectoire en ligne droite par simple inertie. Raison pour laquelle lorsque nous sommes éjectés d'un manège nous partons tangentiellement à sa rotation et non pas perpendiculairement à celle-ci.

Nous constatons immédiatement que si equation le mouvement est forcément rectiligne, accéléré ou non, tandis que si equation la trajectoire est nécessairement incurvée.

PRINCIPE DE RELATIVITÉ GALILÉEN

Définition: Il est impossible pour un observateur animé d'un mouvement uniforme de savoir s'il se meut par rapport à son environnement ou bien à l'inverse si l'environnement se déplace par rapport à lui (nous ne pouvons pas distinguer le repos et le mouvement à vitesse et direction constantes). Dès lors, il ne peut exister de référentiel absolu (ou privilégié) qui puisse être considéré comme fixe vis-à-vis de tous les autres repères galiléens ce qui signifie clairement que tous les repères galiléens doivent jouir du même statut en mécanique puisqu'ils ne peuvent être distingués les uns des autres. Ce principe est nommé le "principe de relativité galiléen".

Ce principe, (à ne pas confondre avec le principe de relativité restreinte car les hypothèses de départ diffèrent un tant soit peu...) découle directement de l'étude de ce que nous nommons la "transformation de Galilée".

Définition: Une "transformation de Galilée" est une suite d'opérations mathématiques sur une loi physique qui permet de déterminer les propriétés d'une ou plusieurs "observables" (vitesse, force quantité de mouvement, etc.) lorsque nous passons lors de l'étude d'un phénomène physique d'un référentiel à un autre référentiel: l'un supposé au repos, et l'autre en mouvement uniforme.

La question à l'origine historique était de répondre s'il est plus légitime d'étudier un phénomène dans un référentiel ou dans un autre. Plus exactement, nous souhaitons déterminer si la forme des lois physiques gardent les mêmes formes algébrique quelque soient les référentiels dans lequel nous les étudions.

Voyons cela d'un peu plus près:

Soient deux référentiels en mouvements l'un par rapport à l'autre à une vitesse constante equation. Pour un certain référentiel cartésien equation au repos (ou supposé tel) nous allons poser le deuxième référentiel equationde façon à ce qu'il soit aligné avec l'axe des equation afin de simplifier les calculs avec equation:

equation
Figure: 30.6 - Exemple de référentiel en mouvement par rapport à un autre

Nous allons également mettre dans le deuxième référentiel en mouvement, un point matériel equation de coordonnées equation.

Remarque: Nous supposerons connu le concept de "quantité de mouvement" p défini plus loin avec rigueur.  Rappelons donc dès lors que la quantité de mouvement du point P animé d'une vitesse v (norme) dans equation est alors donnée par:

equation   (30.80)

Nous avons alors en appliquant les relations classiques de la cinématique:

equation
  (30.81)

d'où equation et donc (nous supposons connu le concept de "force" défini plus loin avec rigueur):

equation   (30.82)

Le résultat obtenu est donc fort intéressant puisque la deuxième loi de Newton garde exactement la même forme, et la même valeur dans les deux référentiels. Le fait que nous nous déplacions ou pas à vitesse constante ou pas n'a donc aucune influence sur notre vision du monde qui reste exactement la même.

Conséquence: Puisque les forces sont identiques, aucune expérience de mécanique ne peut déterminer si un référentiel galiléen est le repère absolu (autrement dit deux observateurs, dans deux référentiels galiléens différents, ne peuvent à l'aide d'une expérience de mécanique déterminer lequel se meut par rapport à l'autre).

Donc, en mécanique classique, il n'existe pas de référentiel galiléen absolu!

Toutefois notons bien que ce résultat est obtenu en supposant que:

equation   (30.83)

c'est-à-dire que nous imposons que la vitesse relative est uniforme (constante) et la masse constante et surtout, que equation.

Mais au fait, cette transformation est fondamentalement fausse comme nous le verrons plus en détail lors de notre étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte). Effectivement, soit un objet se déplaçant le long de l'axe avec une vitesse v mesurée dans le repère primé:

equation   (30.84)

quel sera alors sa vitesse w dans le repère non primé? Si la transformation de Galilée est fondamentalement vraie, il suffit de remplacer dans la relation précédente x' et  t' par leurs expressions en fonction de t :

equation ou equation   (30.85)

soit (loi d'addition des vitesses):

equation  (30.86)

Seul petit hic... une expérience simple impliquant des rayons de lumière fut réalisée au début du siècle, et montra que cette loi était fausse. Cette expérience dite de "expérience Michelson-Morley" bouleversa à tout jamais notre vision du monde... et amena Albert Einstein à développer la théorie de la relativité restreinte en imposant que la vitesse de la lumière quel que soit le référentiel est toujours constante (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

equation   (30.87)

Remarque: Si nous mesurons les vitesses et autres grandeurs vectorielles, nous trouvons que les résultats de mesures des composantes x', y', z', t' ne sont pas identiques à celle obtenues sur x, y, z, t. Elles varient avec le système d'axe. Connaissant ces valeurs dans un repère, nous pouvons passer aux valeurs dans l'autre repère: il s'agit de la "covariance" (co-variance: variance avec les coordonnées), ici pour les expressions vectorielles.

Les lois sont des relations entre des observables, relations déduites d'observations nombreuses.
La recherche des lois est régie par ce que nous pourrions appeler un "principe de simplicité": lois en nombre le plus petit possible, expressions les plus simples possibles entre grandeurs en nombre minimal.

Mais la caractéristique d'une bonne loi est la covariance lors d'un changement de repère. Cette invariance lors d'un changement de repère, cette invariance de la forme (de l'expression littérale) de la loi va permettre d'objectiver au maximum et, en principe totalement, la physique.

La physique (dans le sens de la théorie qui décrit la réalité) ne sera plus liée à l'observateur ni à son espace-temps galiléen associé. Bien sûr cette covariance sera recherchée pour les transformations de référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres.

Un contre-exemple simple cependant: la force entre deux charges électriques immobiles dans un référentiel ne fait appel dans ce référentiel qu'à la seule théorie de l'électrostatique. Si ce même système est observé d'un référentiel en mouvement par rapport au premier, il faudra décrire l'ensemble à l'aide de la théorie de l'électromagnétisme.

Par construction même la mécanique classique se trouve être covariante par transformation de Galilée (changement de repères galiléens): le postulat de la dynamique (force) prend en effet la même forme dans les différents référentiels galiléens comme nous venons de le voir.

MOMENT CINÉTIQUE

Définition: Le "moment cinétique" ou "moment angulaire" equation par rapport à un point O d'une particule de masse m se déplaçant à la vitesse equation en equation est défini par:

equation   (30.88)

avec equation étant la quantité de mouvement (voir la définition plus loin) donnée par:

equation   (30.89)

Par sa définition, le moment cinétique est un vecteur perpendiculaire au plan contenant les vecteurs equation et equation et si la particule se déplace dans un plan, la direction de equation est constante mais pas nécessairement de même sens.

Un cas particulier mais important en mécanique et astronomie du calcul du moment cinétique est le mouvement circulaire (plan) de rayon r. Dans cette situation, le "rayon-vecteur" equation est alors toujours perpendiculaire à la direction du vecteur-vitesse equation et donc:

equation   (30.90)

Nous voyons apparaître ici la définition du "vecteur rotation" equation également noté parfois (à tort) equation.

Pour un mouvement plan mais non circulaire (comme une conique par exemple!), nous introduisons les composantes normale et tangentielle de la vitesse:

equation   (30.91)

pour obtenir (de par les propriétés du produit vectoriel):

equation   (30.92)

et sous forme scalaire:

equation   (30.93)

r est dès lors appelé le "rayon de courbure" de la trajectoire.

Etudions maintenant la dérivée du moment cinétique:

equation   (30.94)

Dans le membre de droite, nous avons de par la définition du produit vectoriel:

equation   (30.95)

et d'autre part:

equation   (30.96)

Ce qui nous donne finalement:

equation   (30.97)

La dérivée par rapport au temps du moment cinétique d'un mobile ponctuel est donc égale à ce que nous définissons par le "moment de force" equation sur lequel nous reviendrons plus loin et qui a comme unités celle de l'énergie et est un vecteur perpendiculaire au plan formé par equation et equation(par construction du produit vectoriel!).

Remarques:

R1. Cette dernière relation fait que nous appelons parfois le moment cinétique aussi "moment de la quantité de mouvement".

R2. Il faut bien sûr prendre garde au fait que (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) equation.

Ce qui est fortement impressionnant dans ce résultat (variation instantanée du moment cinétique), est que tout corps ayant un moment cinétique non nul et soumis à aucun moment de force, conserve l'orientation et la norme de equation dans l'espace et le temps.

Ce résultat va nous permetre d'étudier la dynamique du gyroscope et de tous les autres corps ayant des propriétés similaires (comme la Terre qui tourne sur elle-même et qui pointe sur l'étoile polaire ce qui est un facteu important de l'origine des saisons!). Nous étudierons plus loin le gyroscope et ses propriétés, car son comportement est fascinant et les résultats théoriques en découlant trouvent des applications en astrophysique, physique atomique et même en philosphie. Effectivement, la conservation de l'orientation du vecteur moment cinétique amène à considérer que même si l'espace était totalement vide de son contenu dans l'ensemble de l'Univers et contenait un objet ayant un moment cinétique, l'espace vide a toutefois une propriété qui permet à l'objet en question de savoir où il doit s'orienter... Ce qui est assez déroutant! Donc l'espace vide ce n'est pas rien sinon par rapport à quoi tourne l'objet dans le vide? Il tourne par rapport à l'espace lui-même!

Nous avons également:

 equation   (30.98)

où l'intégrale s'appelle "l'impulsion de rotation" et la relation précédente porte quelquefois le nom de "théorème du moment cinétique" (nous verrons une généralisation de ce théorème lors de la démonstration du théorème de König). Il s'énonce ainsi:

L'impulsion de rotation fournie par un moment de force entre les instants equation et equation est égale à la variation du moment cinétique durant cet intervalle de temps.

En dynamique du solide ce théorème joue un rôle fondamental, analogue à l'équation de Newtonequation en dynamique du point.

L'utilisation du moment cinétique permet de montrer facilement la loi des aires (deuxième loi de Kepler), qui joue un rôle important dans la compréhension du mouvement des planètes (cf. chapitre d'Astronomie) ou encore de montrer que dans un système Terre-Lune isolé, le moment cinétique total devant être conservé, si la Terre ralentit sa rotation et la Lune la garde constante, cela oblige la Lune à augmenter sa distance par rapport à la Terre.

Voyons cela:

Imaginons une particule en mouvement sous l'action d'une force equation constamment parallèle à equation. Nous dirons que cette force est une "force centrale" si sa direction passe constamment par un même point fixe, appelé le "centre de force". La grandeur de la force ne peut donc plus dépendre que de la distance au centre de la force (dans le cas d'un champ de force).

Dès lors:

equation   (30.99)

Donc le moment cinétique par rapport au centre de force est constant si la force est centrale. La réciproque est aussi vraie: si le moment cinétique est constant, sa dérivée par rapport au temps est nulle et la direction de la force est toujours colinéaire à equation donc la force est centrale.

Par exemple, dans le cadre du mouvement d'une planète autour du Soleil ou d'un électron autour du noyau de l'atome (dans le cadre du modèle de Bohr) le moment de cette force par rapport au centre est évidemment nul puisque qu'aucun élément extérieur n'agit sur le système, c'est-à-dire en se basant sur le schéma ci-dessous:

equation
Figure: 30.7 - Illustration du moment cinétique

nous avons alors:

equation   (30.100)

donc:

  equation   (30.101)

D'autre part, l'élément de surface equation décrit par le mouvement du rayon equation vaut (selon la figure ci-dessus et la propriété du produit vectoriel):

equation    (30.102)

donc:

  equation   (30.103)

En utilisant la relation equation nous obtenons:

equation   (30.104)

Conséquences:

1. La vitesse aréolaire est constante, c'est-à-dire que les aires balayées en des temps égaux sont égales. C'est la loi des aires de Kepler (cf. chapitre d'Astronomie)!

2. Le plan equation est fixe car equation. Donc la trajectoire, d'une planète dans un cadre idéal par exemple, est plane.

Nous reviendrons bien évidemment sur cette relation dans le chapitre d'Astronomie pour l'écrire sous une forme un peu plus traditionnelle.

MOMENT DE FORCE

Nous venons de voir que le "moment de force" se définissait par la relation (variation temporelle du moment cinétique):

equation   (30.105)

equation est donc le moment de la force equation par rapport au point d'origine du vecteur equation. Il est important de remarquer que le moment de force a les unités d'une énergie et est donc perpendiculaire à equation et equation par construction!

Il faut aussi remarquer qu'augmenter le rayon d'application en diminuant ainsi la force pour garder un moment de force constant dans un système mécanique permet certes de diminuer l'effort (la force) mais au final pas l'énergie dépensée puisque la distance parcourue est alors plus grande.

Si nous exprimons le module de equation, de par la définition du produit vectoriel, nous obtenons:

equation   (30.106)

Il apparaît une grandeur:

equation   (30.107)

qui est par définition le "bras de levier" de la force equation et dont l'emplacement est donné par l'axe de rotation du corps due au moment de force résultant (attention à ne pas confondre ce b avec la notation du moment cinétique!).

Attention! Le principe des bras de levier est donc un fantastique démultiplicateur de force mais en aucun cas il démultiplie le travail!

exempleExemples:

equation

equation
Figure: 30.8 - Exemple de quelques bras de levier de tous les jours

Le cas d'application des changements de roues d'hiver/d'été est très connu par les automobilistes puisqu'il est recommandé par la majeure partie des fabricants d'appliquer un couple de 120 [Nm] pour le serrage des boulons.

Pour qu'un corps étendu, soumis à des forces equation soit en équilibre total, il ne faut ainsi pas que uniquement la résultante de ces forces soit nulle (pas de translation) mais que la résultante des moments soit nulle aussi (pas de rotation). Soit:

equation et  equation   (30.108)

Soit plus explicitement:

equation   (30.109)

Lorsque les composantes d'un système satisfaisant aux deux relations ci-dessus sont connues, nous parlons alors de système "isostatique".

Par définition, un "couple" est défini comme un ensemble de deux forces de grandeur égale mais de direction opposée, agissant suivant deux droites parallèles sur un même corps étendu. La résultante des forces bien évidemment nulle, indique que le couple ne produit aucun effet de translation. Mais la somme des moments étant non nulle, le corps subit une rotation telle que:

equation   (30.110)

Signalons encore la composition de moments de force avec le cas ultra-classique suivant:

equation
Figure: 30.9 - Moments de force élémentaires

pour lequel il est assez évient que le moment de force résultant a pour composante de force la somme des deux forces élémentaires:

equation   (30.111)

Pour le calcul de la distance résultante, nous allons utiliser le théorème du centre de masse qui comme nous l'avons vu plus haut et dans le chapitre de Géométrie Euclidienne est dans le cas général:

equation   (21.112)

et donc cans la situdation ici présente se réduit à:

equation   (21.113)

Nous avons donc au final le moment résultant qui est:

equation   (21.114)

Ainsi, la résultante de moments de forces est la simple somme des moments de force élémentaires.

equation
Figure: 30.10 - Moment de force résultant

Maintenant que nous avons convenablement défini ce qu'était une force et un moment de force, nous pouvons de suite aborder l'étude de la statique des forces:

STATIQUE DES FORCES

La statique des forces est un domaine difficile à généraliser. La plupart des ouvrages se servent de nombreux exemples (comme les systèmes de poulies, les leviers, les équilibres, les frottements, etc.) afin d'amener le lecteur à assimiler la méthode d'analyse qu'il faut pour résoudre les problèmes relatifs à ce domaine de la mécanique classique. Loin d'être contre cette méthode, nous n'avons pas souhaité nous restreindre ou nous étendre (suivant les points de vue) à des exemples particuliers, mais avons préféré proposer une méthode d'analyse qui fonctionnerait à coup sûr.

Définitions:

D1. La "statique des forces" est le domaine de la physique qui étudie l'effet de la résultante de forces (ou moments de force) constantes au cours du temps, appliquées sur un corps ponctuel ou étendu.

D2. Quand la somme vectorielle de toutes les forces et moments de force est nulle, il n'y a aucun mouvement.  Nous parlons alors d'un "équilibre statique" (mais les forces existent tout de même à l'intérieur du système) tel que les forces et moments de forces se compensent mutuellement:

equation ou/et equation   (30.115)

Remarque: Les relations précédentes, nous montrent bien que ce n'est pas parce qu'un système est à l'équilibre statique qu'il n'est soumis à aucune force (la somme vectorielle des forces peut s'annuler mais les forces sont non nulles).

Corollaires: 

C1. Lors de l'analyse d'un système de statique des forces, il faut toujours (!!!) travailler avec les composantes vectorielles des forces et moments de forces (de par la première loi de Newton). 

C2. Il faut donc s'imposer un repère par rapport auquel seront exprimées toutes les composantes de forces:

- Dans le cas d'un corps ponctuel sur lequel sont appliquées des forces, il faut assimiler l'origine du repère à la position du point.

- Si les lignes de prolongement de toutes les forces sur un corps étendu sont toutes concurrentes en un point donné, le système peut être considéré comme un corps ponctuel ramené à ce point.

- Si le corps est étendu et plongé dans un champ de forces (gravitationnel, électrostatique, magnétique...) isotrope, coplanaire et constant dans le temps, l'ensemble des forces imprimées peut se rapporter au centre de gravité.

Démonstration:

Nous avons vu lors de l'étude du calcul vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) que la somme des vecteurs d'un même ensemble, mis bout à bout (au niveau de la représentation imagée) ou additionnés  algébriquement constitue ce que nous appelons la "résultante" du système de forces ou de moments de force:

equation ou/et  equation   (30.116)

Il est clair qu'un point matériel est donc par définition à l'état statique si la résultante des forces concurrentes est nulle. Ainsi, un corps ponctuel est au repos (vitesse constante nulle) si la grandeur equation est nulle (voir les lois de Newton plus loin).

Cette condition ne suffit cependant pas pour un corps étendu (non ponctuel): celui-ci peut ne pas se déplacer (pas de mouvement par translation), mais tourner sur lui-même par application de forces en dehors de son centre de gravité (les forces sont alors des moments de forces agissant sur des points du corps en question).

Imaginons maintenant un ensemble de forces equation, chacune d'elles appliquée en un point de vecteur-position equation d'un mobile étendu et toutes parallèles à une direction commune donnée, repérée par un vecteur unitaire equation. La résultante de ces forces est alors:

equation   (30.117)

Remarque: La norme de la résultante est donc:

equation   (30.118)

De manière analogue, la somme vectorielle des moments parallèles s'écrit:

equation   (30.119)

Recherchons maintenant, la position equation d'un point fictif C, appelé le "centre des forces" tel que le moment de la résultante equation appliquée au point C soit égal au moment total equation. En d'autres termes, equation doit être la solution de l'équation vectorielle:

equation   (30.120)

S'il est possible de trouver un tel point C, nous ne devons donc plus, en principe, calculer le moment individuel de chaque force et en faire la somme vectorielle. Il suffit plutôt, de déterminer la résultante equation et d'évaluer son moment résultant appliqué au point fictif C.

En combinant les relations précédentes, nous avons:

equation   (30.121)

À son tour, le vecteur equation peut être substitué tel que:

equation   (30.122)

d'où nous tirons finalement:

equation   (30.123)

comme equation (deuxième loi de Newton) supposons maintenant (cas particulier) que equation nous pouvons alors écrire ce résultat très important:

equation   (30.124)

equationC.Q.F.D.

C3. De par la troisième loi de Newton, tout corps solide rigide en équilibre stable, en contact avec un ensemble de corps solides rigides en équilibre stable eux aussi, subissent tous une force égale identique en chaque point de contact (identiquement répartie) mais opposée par ces derniers (assimilable et passant par leur centre de gravité lorsque c'est un champ de vecteurs isotrope et constant qui est à l'origine du contact). Ainsi:

-  les repères des forces d'action/réaction doivent être placés sur les différents points de contact lorsque ce sont une quantité dénombrable de forces qui en sont à l'origine.

- les repères des forces d'action/réaction doivent être placés au centre de masse ou de gravité si les forces à l'origine du contact (in extenso: de l'accélération) sont à l'origine d'un champ vectoriel gravifique, respectivement électrostatique/magnétique. 

BALISTIQUE

Le mouvement parabolique est le mouvement d'un mobile animé, dans le champ de la pesanteur, d'une vitesse de translation equation non parallèle à l'accélération de la pesanteur equation (en toute généralité il s'agit donc d'un mouvement curviligne). Par  exemple un projectile possédant au départ une vitesse equation inclinée d'un angle equation par rapport à l'horizontale.

equation
Figure: 30.11 - Exemple de trajectoires balistique

En l'absence de pesanteur et de frottement le mobile P suivrait la ligne de visée indéfiniment. L'action de la pesanteur est de le redescendre, au temps t, de la valeur connue equation.

Nous posons la projection sur les axes:

equation   (30.125)

combinaison d'un déplacement régulier selon x et d'un mouvement de chute avec vitesse initiale equation selon y. Ce qui correspond aux équations suivantes:

equation et equation   (30.126)

en éliminant le temps entre ces deux équations nous obtenons la trajectoire (équation d'une parabole):

equation   (30.127)

qui avait déjà été obtenue par Galilée au début du 17ème siècle.

Nous calculons ainsi la portée equation du projectile en posant equation dans l'équation ci-dessus et nous obtenons facilement:

equation   (30.128)

la solution equation n'a aucun intérêt.

La hauteur maximale equation peut être calculée en annulant la dérivée de l'équation de la trajectoire. Ainsi nous obtenons facilement:

equation   (30.129)

Nous remarquons pour la portée maximale que pour une vitesse initiale donnée et un objectif equationà atteindre nous avons deux cas typiques dans la pratique:

1. Nous nous sommes donné une portée maximale equation inaccessible car il n'est pas possible que equation .

2. Une seule valeur equation donne la portée maximale possible pour une vitesse initiale donnée.

La courbe enveloppant toutes les paraboles, tracée pour une vitesse equation donnée dans toutes les directions possibles, est encore une parabole, appelée "parabole de sûreté". Sa rotation autour de l'axe y engendre un paraboloïde qui circonscrit (contient) la région de l'espace seule accessible aux projectiles.

equation
Figure: 30.12 - Illustration de quelques paraboles de sûreté

Ainsi, il n'est pas trop difficile de trouver l'équation de cette parabole de sûreté:

Le tir à la verticale equation nous est connu et est donné par

equation   (30.130)

La portée maximale est quant à elle donnée par:

equation   (30.131)

Donc quandequation tel que:

equation   (30.132)

qui est l'équation de la parabole de sûreté.

CINÉMATIQUE DE ROTATION

Les mouvement circulaires, appelés aussi "mouvements de rotation", décrivent donc la rotation d'un objet autour d'un axe (ou d'un point pour faire plus simple). L'usage veut qu'on le définisse par les données suivantes:

- la direction de l'axe du plan de rotation dans l'espace

- le sens de rotation sur le cercle de rayon constant autour de cet axe

- la vitesse de rotation v

tout ceci se résume avec la figure suivante:

equation
Figure: 30.13 - Illustration de quelques paraboles de sûreté

où nous avons utilisé la relation démontrée dans le chapitre de Trigonométrie (c'est même logique par définition si l'angle est mesuré en radians):

equation   (30.133)

Nous résumons ces trois indications par la donnée d'un vecteur "vitesse angulaire" instantanée:

equation   (30.134)

Le sens de rotation est dit positif lorsque, le pouce dressé dans la direction du vecteur unitaire equation, nous saisissons l'axe de la main droite et que l'on voit tourner l'objet dans le sens des quatre autres doigts.

La norme de la vitesse angulaire instantanée, représente l'angle parcouru par unité de temps, par l'objet qui se déplace dans le plan perpendiculaire au vecteur unitaire equation:

equation   (30.135)

Bien évidemment, il va de soit que la vitesse angulaire est donnée en radians par seconde et non en tours par minute ou en degrés par seconde. Il faut donc prendre garde à toujours faire la conversion qu'il convient!

Remarques:

R1 Dans le cas général du mouvement circulaire, la vitesse angulaire de l'objet étudié varie au cours du temps: equation.

R2. Lorsque la direction de l'axe change, les composantes du vecteur unitaire equation sont également des fonctions du temps. C'est le cas d'une roue de moto dans un virage.

Si dt est le temps nécessaire à ce mouvement, la vitesse curviligne du point est donc bien:

equation   (30.136)

nous retrouvons alors le résultat déjà donné plus haut.

Faisons maintenant de même que lorsque notre étude du mouvemement retiligne uniforme et déterminons la position angulaire en fonction du temps. Nous avons alors:

equation   (30.137)

Il vient alors:

equation   (30.138)

et si equation, nous avons alors:

equation   (30.139)

à comparer avec la relation équivalente entre position et vitesse obtenue lors de notre étude de la cinématique rectiligne.

Maintenant, considérons la définition de "l'accélération angulaire" (dont la notation traditionnelle est un peu malheureuse...):

equation   (30.140)

Nous avons alors:

equation   (30.141)

et donc:

equation   (30.142)

et si equation, nous avons alors:

equation   (30.143)

Ce que nous pouvons noter:

equation   (30.144)

Il vient alors:

equation   (30.145)

soit:

equation   (30.146)

et si equation, nous avons alors:

equation   (30.147)

à comparer avec la relation équivalente entre position, vitesse et accélération obtenue lors de notre étude de la cinématique rectiligne.

Intéressons-nous maintenant à l'aspect vectoriel du mouvement circulaire qui sera extrêmement important un peu plus loin et aussi dans de nombreux autres chapitres. Ainsi, donnons nous un repère euclidien orthonormé tel que:

equation
Figure: 30.14 - Exemple de mouvement circulaire autour d'un axe

Nous voyons bien sur cette figure que: 

equation   (30.148)

Donc finalement nous avons:

equation   (30.149)

Nous voyons alors que nous avons affaire à un produit vectoriel tel que:

equation   (30.150)

Nous avons donc: 

equation   (30.151)

que nous écrivons également:

equation   (30.152)

L'accélération du mouvement circulaire est formée dans le cas général, de deux termes, le premier étant "l'accélération tangentielle" exprimant toujours la variation de la vitesse sur la trajectoire et le deuxième l'accélération perpendiculaire le long du rayon appelée également "accélération centripète" (centripète signifiant: "qui tend à rapprocher du centre").

Remarque: Si nous exprimons le mouvement circulaire du point P  à partir d'un système d'axes situés dans le plan de la trajectoire, pour simplifier, alors, la position du point P est donnée par:

equation   (30.153)

Ce qui montre que le mouvement circulaire peut être considéré comme la superposition de deux mouvements sinusoïdaux déphasés de equation. Mais si nous écrivons

equation   (30.154)

ce qui est tout à fait envisageable pour une trajectoire imparfaitement circulaire et que nous regardons les différentes caractéristiques paramétriques:

equation   (30.155)

en faisant varier le déphasage equation et le rapport equation nous obtenons des courbes que nous appelons des "figures de Lissajous":

equation
Figure: 30.15 - Quelques figures de Lissajous

Le lecteur retrouvera des applications pratiques très importantes de la cinématique du mouvement circulaire pour l'industrie relativement à la mécanique dans le chapitre de Génie Mécanique (section Ingénierie).

TRAVAIL ET ÉNERGIE

Si un point de masse m subit un déplacement élémentaire equation sous l'effet d'une force equation, cette force effectue un travail élémentaire valant par définition:

equation   (30.156)

Si cette masse m est déplacée d'un endroit A à un endroit B, le travail total est:

equation   (30.157)

Pour les unités, nous avons:

equation

J est le première lettre de "Joules".

De la définition ci-dessous nous pouvons rapidement déduire le travail d'un moment de force (ou autrement dit: le travail d'une force dans un mouvement de rotation) puisque sur un élément infinitésimal de déplacement, nous avons:

equation   (30.158)

Donc dans le cas d'un mouvement circulaire le travail d'un moment de force sera:

equation   (30.159)

Remarques:

R1. Si W est positif le travail est dit "travail moteur". Dans le cas contraire il est dit "travail résistant" (exemple: le freinage).

R2. Si la force equation est constante en grandeur et en direction (cas de la pesanteur au voisinage de la surface terrestre), l'intégrale du calcul de W prend une forme plus simple:

equation   (30.160)

Ce résultat montre que le travail ne dépend alors que des positions initiale et finale et pas du chemin parcouru. Le travail de la pesanteur est un cas particulier de ce type.

ÉNERGIE CINÉTIQUE

La loi de Newton equation est applicable le long du chemin A-B. En l'utilisant dans l'expression du travail il vient:

equation   (30.161)

et, en développant le produit scalaire au moyen des composantes, nous aurons:

equation
  (30.162)

Lorsqu'un corps se déplace sous l'action d'une force résultante equation quelconque, le travail de cette force d'accélération sur un chemin quelconque A, B est égal à la variation d'énergie cinétique du corps:

Par définition, la relation:

equation   (30.163)

est appelée "l'énergie cinétique" et elle se mesure en "Joules" (ou d'autres unités dérivées exotiques dont les physiciens théoriciens abusent parfois un petit peu trop...) et est toujours positive en mécanique ou n'importe quel autre domaine de la physique.

L'équation:

equation   (30.164)

porte quelquefois le nom de "théorème de l'énergie cinétique".

Remarque que nous avons dans le cas d'un mouvement rectiligne, pour un mobile qui parcourt une disance distance d parcourue étant soumis à une certaine force, nous avons (en omettant bien évidemment la variation d'énergie potentielle et la perte d'énergie par frottement):

equation   (30.165)

que nous appelons "force travaillante".

MOMENT D'INERTIE

Pour un solide rigide tournant autour d'un axe à la vitesse angulaire equation, l'énergie cinétique élémentaire d'un point quelconque de masse dm, situé hors de l'axe, vaut:

equation   (30.166)

puisque equation et equation sont perpendiculaires. L'énergie cinétique totale est alors:

equation   (30.167)

Nous avons pris l'habitude en physique de noter cette dernière relation:

equation   (30.168)

où par définition, le "moment d'inertie" est:

equation   (30.169)

exempleExemples:

E1. Calculons la vitesse finale d'une boule chutant sur un plan incliné de frottement non nul (elle va donc tourner) dans un champ de potentiel gravifique.

La réponse du néophyte en physique sera souvent obtenue en ne considérant que l'énergie cinétique mais pas la vitesse de rotation de la boule. Or, nous devons prendre celle-ci en compte via son moment d'inertie.

Nous avons donc l'énergie cinétique totale étant l'énergie cinétique de translation du centre de masse plus l'énergie de rotation autour de ce même centre de masse:

equation   (30.170)

en égalant cette valeur à l'énergie potentielle gravifique (voir plus loin) et en supposant une vitesse initiale nulle de la chute, nous avons:

equation   (30.171)

Soit la vitesse acquise au bas du plan (frottement de roulement non-compris...):

equation   (30.172)

et nous avons démontré dans le chapitre sur les Formes Géométriques que le moment d'inertie d'une boule pleine était:

equation   (30.173)

Il vient alors:

equation   (30.174)

Nous voyons dans le cas particulier de la boule, que la vitesse finale de chute est (sans frottements de l'air ni de roulement) indépendante de sa masse et de son rayon  (qu'elle soit creuse ou pleine) ce qui est relativement contre intuitif.

E2. Un deuxième exemple fameux est le calcul de l'énergie cinétique de rotation d'une planète parfaitement sphérique de masse homogène et de période de rotation constante. Nous avons alors:

equation   (30.175)

Remarque: Dans un solide, la répartition de la matière autour d'un axe sera évidemment différente selon l'axe choisi. Le moment d'inertie correspondant sera aussi différent. Il est donc indispensable de préciser l'axe par rapport auquel nous souhaitons déterminer ce moment d'inertie. Nous observons dans la pratique que les ingénieurs placent souvent l'axe de façon à ce qu'il passe par le centre de masse. Dans les tables, nous trouvons fréquemment les expressions des moments d'inerties de formes courantes (selon un axe donné) telles que le cylindre, le cône, la sphère, la barre, le tube (cf. chapitre sur les Formes Géométriques).

Nous avons vu lors de notre étude du moment cinétique que:

equation   (30.176)

et le moment d'inertie étant donné par:

equation   (30.177)

Nous avons donc:

equation   (30.178)

d'où:

equation   (30.179)

Nous obtenons finalement:

equation   (30.180)

c'est l'expression donnant le moment cinétique d'un corps tournant sur lui-même (sur un de ses axes possibles de rotation).

Etant donné que nous avons démontré lors de notre étude du moment cinétique que:

equation   (30.181)

il vient alors dans l'hypothèse que la masse et la géométrie du solide restent constantes... que le moment de force est alors:

equation   (30.182)

et bien évidemment, si nous étudions un système dans lequel le moment cinétique est conservatif, il va de soi que:

equation   (30.183)

Cette conservation du moment cinétique trouve une application dans une multitude d'expériences telle que celle connue qui consiste à se faire tourner sur une chaise et à écarter les mains ou les jambes ce qui fera diminuer la vitesse de rotation (et inversement).

Une autre expérience curieuse (mais mathématiquement correcte) consiste à se poser sur un plateau tournant avec une roue en rotation  tenue à l'horizontale (le moment cinétique vertical est donc nul) et de mettre celle-ci ensuite à la verticale. Comme le moment cinétique vertical doit rester nul, pour contrecarrer cela, le plateau sur lequel est posé l'expérimentateur se mettra à tourner dans le sens inverse de rotation de la roue.

Les déplacements de masses importantes à la surface de la Terre (icebergs, crues des fleuves, plaques tectoniques, etc.) provoquent des variations du moment d'inertie de la Terre. Il s'ensuit des fluctuations de la vitesse angulaire donc une imperfection de l'étalon astronomique de temps (quelques millièmes par jour).

Revenons maintenant aux méthodes de calcul des moments d'inertie. L'énergie cinétique d'un corps étant la somme de l'énergie cinétique de chaque élément de ce corps, nous avons:

equation   (30.184)

Dans le cadre d'un corps solide rigide en rotation autour d'un axe, nous avons:

equation   (30.185)

Ainsi, pour un corps composé d'un ensemble de corps de géométrie différentes, le moment d'inertie total est la somme des moments d'inertie par rapport à l'axe de rotation tel que:

equation   (30.186)

Lorsque nous calculons le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe equation donné, il peut être intéressant de savoir qu'elle est la distance à l'axe où nous pouvons placer fictivement toute la masse de ce corps pour avoir le même moment d'inertie. Par définition, cette distance notée k et appelée le "rayon de giration" est trivialement donnée par:

equation   (30.187)

equation est le moment d'inertie connu du corps de masse M par rapport à un axe equation.

Par définition, le "moment d'inertie polaire" (ou également "moment d'inertie quadratique") est le moment d'inertie défini par rapport à un point (le pôle) et non plus par rapport à un axe et noté:

equation   (30.188)

Cette grandeur n'intervient en fait que pour les rotations libres et n'a d'intérêt, pour les rotations autour d'un axe fixe, que parce qu'elle facilite quelquefois le calcul des moments d'inertie axiaux en vertu de la relation suivante (en coordonnées cartésiennes):

equation   (30.189)

Démonstration:

Lemme 1: Le moment d'inertie par rapport à un plan xOy est donné trivialement par:

equation   (30.190)

equation

Lemme 2: Le moment d'inertie par rapport à un axe est donné par:

equation   (30.191)

equation

En sommant ces relations, nous en déduisons:

equation   (30.192)

Le moment d'inertie polaire est alors donnée par:

equation   (30.193)

equation

En comparant avec le lemme 2 il vient:

equation   (30.194)

equationC.Q.F.D.

Si le corps en question à une symétrie sphérique, il vient de suite puisque equation que:

equation   (30.195)

Un exemple est donné avec la boule (sphère pleine) dans le chapitre traitant des Formes Géométriques dans la section de géométrie.

Supposons maintenant connaître le moment d'inertie equation d'un corps solide rigide quelconque par rapport à un axe equation (cet axe n'étant pas nécessairement uniquement assimilé à l'axe z commun) passant par le centre de masse G. Calculons ensuite le moment d'inertie equation, par rapport à un autre axe z ', parallèle à z et distant de a , et faisons apparaître la liaison existant entre ces deux moments d'inertie différents:

Dans un référentiel cartésien, nous avons pour tout point (x,y):

equation et equation   (30.196)

Nous avons alors:

equation   (30.197)

Le terme:

equation   (30.198)

est nul car si le moment d'inertie est calculé par rapport au centre de masse G comme nous l'avons imposé dès le début, alors:

equation   (30.199)

En définitive, nous obtenons finalement le "théorème d'Huygens-Steiner":

equation   (30.200)

Comme nous le verrons dans le chapitre des Formes Géométriques dans la section de géométrie du site, il devient alors facile de pouvoir calculer le moment d'inertie d'un triangle équilatéral en connaissant celui d'une plaque carrée et en déplaçant l'axe d'inertie au point où se situe le centre de gravité du triangle (soit au tiers de la médiane située entre le centre du rectangle et un des sommets du rectangle).

Comme il existe autant de moments d'inertie que d'axes de rotation et que ces derniers sont souvent dans les cas d'études assimilés aux axes principaux d'inertie (axe assimilés aux axes de révolutions ou aux plans de symétrie - voir plus loin), il peut être utile d'introduire un être mathématique utile dans le cadre de représentation des moments d'inertie qui n'est autre que la "matrice d'inertie" ou appelé encore (formulation plus moderne) "tenseur d'inertie".

La démarche pour déterminer rigoureusement l'expression de ce tenseur est la suivante: soit equation un point donné d'un solide dont nous cherchons à calculer le moment d'inertie et equation l'axe d'origine O et de vecteur unité equation par rapport auquel nous souhaitons calculer le moment d'inertie. Tout point equation du solide peut être projeté (projection orthogonale) sur un point equation à partir de la connaissance de l'angle equation entre equation et equation tel que:

equation   (30.201)

Dès lors:

equation   (30.202)

D'après les propriétés du produit mixte (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) et du produit scalaire:

equation et equation   (30.203)

nous avons:

equation
  (30.204)

et donc:

equation   (30.205)

Comme equation est un vecteur de direction constante quel que soit le point d'intégration, nous pouvons le sortir de l'intégrale tel que:

equation   (30.206)

Nous pouvons vérifier que si nous remplaçons equation par equation, nous obtiendrons un résultat equation de par la propriété de linéarité du produit vectoriel (cf. le chapitre de Calcul Vectoriel). Ainsi, l'application qui à equation associe equation est donc une application linéaire qui peut être représentée, dans une base B donnée, par une matrice:

equation   (30.207)

La matrice equation est le donc "tenseur d'inertie" du système par rapport au point O, dans la base B.

Le moment d'inertie d'un système par rapport à un axe equation quelconque de vecteur unitaire equation est donné par:

equation   (30.208)

Le problème est donc maintenant de pouvoir calculer les éléments du tenseur equation, pour une base B donnée. Soit un repère equation tel que equation. Nous posons:

equation et equation   (30.209)

En utilisant le fait qu'un produit vectoriel puisse être représenté par une matrice antisymétrique (vérifiez c'est facile):

equation   (30.210)

nous avons:

equation
  (30.211)

et donc:

equation   (30.212)

Dans l'expression ci-dessus de la matrice d'inertie, nous reconnaissons les éléments diagonaux: il s'agit tout simplement des moments d'inertie du système par rapport aux différents axes de la base. Nous appelons "produit d'inertie" les éléments non-diagonaux de la matrice et nous les notons:

equation   (30.213)

Nous avons donc:

equation   (30.214)

Si O est assimilé au centre de masse du solide considéré, nous notons simplement:

equation   (30.215)

Nous pouvons également généraliser le théorème d'Huygens en faisant usage de ce tenseur de symétrie. Pour ce faire, appelons (x', y', z') les coordonnées d'un point A quelconque dans R' et (xyz) ses coordonnées dans R. Nous appelons (a,b,c) les coordonnées de l'origine O' de R' dans R:

equation   (30.216)

puisque:

equation   (30.217)

Nous avons alors:

equation   (30.218)

Or, si O' coïncide avec le centre de masse G, alors selon la définition du centre de masse:

equation   (30.219)

Nous en déduisons alors:

equation   (30.220)

et de même:

equation , equation   (30.221)

avec:

equation   (30.222)

Nous retombons sur le théorème d'Huyghens classique puisque equation n'est autre que la distance au carré entre l'axe Oz et Gz et de même pour equation qui est la distance au carré entre Ox et Gx et equation qui est la distance entre Oy et Gy.

Si nous nous intéressons maintenant aux produits d'inertie, il vient:

equation   (30.223)

d'où, si O' coïncide avec G:

equation   (30.224)

En résumé, le théorème d'Huygens généralisé, s'écrit:

equation   (30.225)

Le tenseur d'inertie étant réel et symétrique, nous avons vu dans le chapitre d'Algèbre Linéaire (théorème spectral) qu'il est toujours possible de trouver trois directions perpendiculaires de vecteurs equation telles que le tenseur (matrice) symétrique soit diagonalisable:

equation   (30.226)

Le trièdre formée par les vecteurs equation est appelé "trièdre principal d'inertie" et ses axes sont appelés "axes principaux d'inertie". Dans ce repère equation prend le nom de "tenseur principal d'inertie". Si de plus O est assimilé à G, nous parlons de "tenseur central d'inertie".

En fait, pour trouver les moments d'inertie relativement aux axes principaux il n'est pratiquement jamais nécessaire de diagonaliser le tenseur d'inertie, car il suffit souvent de se laisser guider par la symétrie du système. Nous allons voir avec les théorèmes suivants que s'il existe des axes ou des plans de symétrie pour la distribution de masse, les axes d'inertie sont faciles à trouver. De plus, le système est en général suffisamment simple (ou décomposable en éléments suffisamment simples...) pour que ces axes soient évidents.

Premier théorème: Si le système possède un plan de symétrie matérielle (in extenso: equation si A symétrique de A' par rapport au plan) alors tout axe perpendiculaire à ce plan est axe principal d'inertie.

Démonstration:

Choisissons un repère xOy dans le plan par rapport auquel le système a une distribution de masse symétrique et un axe Oz perpendiculaire à ce plan. Pour calculer equation ou equation, groupons les points par deux, symétriques par rapport à xOy. c'est-à-dire tels que equation. Nous aurons alors:

equation   (30.227)

et de même:

equation   (30.228)

c'est-à-dire, puis (symétrie matérielle!):

equation   (30.229)

que toutes les contributions de paires de points symétriques sont nulles, ce qui implique: equation, c'est-à-dire que l'axe des z est direction principale d'inertie.

equationC.Q.F.D.

Deuxième théorème: Choisissons comme axe Oz l'axe de symétrie. De même que ci-dessus, nous avons:

equation   (30.230)

Démonstration:

Effectivement, car si nous groupons les points par paire A' et A' symétriques par rapport à Oz, nous avons:

equation   (30.231)

mais equation donc toujours:

equation   (30.232)

et de même:

equation   (30.233)

equationC.Q.F.D.

Remarque: Lorsque nous avons déterminé deux axes principaux d'inertie grâce aux symétries précédentes, le troisième est tout simplement celui qu'il faut pour compléter un trièdre orthogonal.

Troisième théorème: Si un système admet un axe de révolution pour sa distribution de masse, alors tout trièdre orthogonal incluant l'axe de révolution, est trièdre principal d'inertie. Le système matériel est alors dit "système cylindrique" et dans le trièdre principal d'inertie son tenseur prend la forme (en supposant que l'axe de révolution est le 3ème axe du trièdre):

equation   (30.234)

Démonstration:

Si Oz est un axe de révolution, tout plan comprenant Oz est plan de symétrie et toute droite perpendiculaire à Oz est donc axe principal d'inertie (premier théorème). De plus, toutes ces droites perpendiculaires à Oz sont équivalentes.

equationC.Q.F.D.

Définition: Si la matrice d'inertie en O d'un système matériel est du type:

equation   (30.235)

nous disons alors que le système est un "système sphérique" (ou un "système à symétrie sphérique").

Remarque: Le choix systématique d'un trièdre principal d'inertie permet de ramener le tenseur d'inertie de 6 à 3 composantes, calculées une fois pour toute. Cependant, ce choix implique l'utilisation d'une base qui sera le plus souvent en mouvement par rapport au référentiel utilisé, ce qui pourra poser des problèmes de dérivations par rapport au temps des vecteurs de la base. Nous pouvons alors, si c'est plus facile, obtenir les composantes du tenseur de symétrie dans une base quelconque à l'aide d'une matrice de passage entre la base principale et le base utilisée pour le calcul du trièdre principal d'inertie.

Lorsque les moments d'inertie d'un solide sont connus dans les directions des axes principaux d'inertie, nous pouvons facilement déterminer le moment d'inertie J par rapport à n'importe quel autre axe passant par le centre de gravité en utilisant que ce nous nommons un "ellipsoïde d'inertie" (à ne pas confondre avec le moment d'inertie d'une ellipsoïde - démontré dans le chapitre traitant des Formes Géométriques).

Démonstration:

Soient trois axes, centrés sur G, parallèles aux axes principaux. Dans leurs directions, portons des longueurs proportionnelles à:

equation

equation
Figure: 30.16 - Illustraiton de l'ellipsoïde d'inertie

Dans cet espace des phases des moments d'inertie, tout point equation désigne un moment d'inertie J tel que:

equation   (30.236)

Pour déterminer J en fonction des equation, sans devoir calculer x, y, z, nous identifions les cosinus directeurs (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) de l'axe de rotation à ceux de la droite equation.

Ainsi, nous avons:

equation   (30.237)

Soit:

equation   (30.238)

Nous pouvons maintenant calculer les conditions de normalisation de cette relation. Ainsi, si equation et equation, nous avons:

equation   (30.239)

Respectivement nous aurons:

equation   (30.240)

Puisque:

equation et equation   (30.241)

Ce qui nous amène à écrire:

equation   (30.242)

Par substitution, nous obtenons:

equation   (30.243)

Donc finalement:

equation   (30.244)

Ainsi, en connaissant les moments d'inertie d'un corps par rapport à ses axes principauxequation nous pouvons connaître son moment d'inertie par rapport à n'importe quel axe ayant un angle equation par rapport aux axes principaux.

equationC.Q.F.D.

GYROSCOPE

Un solide (de révolution pour simplifier...), pouvant s'orienter librement autour d'un point fixe et tournant rapidement sur lui-même forme par définition un "gyroscope".

Outre leur usage ludique... car ils permettent d'avoir des configurations considérées comme pédagogiquement exceptionnelles... les gyroscopes constituent une part importante des systèmes de navigation par inertie (avant l'apparition des GPS...) dans l'aviation, l'aérospatiale, la marine (stabilisation des bateaux), le cinéma/télévision (stabilisation des caméras), l'armement (fusées balistiques) et encore bien d'autres. Les instruments de guidage par inertie de ces systèmes sont constitués de gyroscopes et d'accéléromètres, qui calculent à tout instant la vitesse exacte et la direction de l'appareil en mouvement (en fonction du mouvement du gyroscope une variation de tension électrique est provoquée). Les signaux recueillis sont communiqués à un ordinateur qui les enregistre et qui corrige alors les aberrations éventuelles de la trajectoire.

Les planètes constituent un autre exemple fameux de gyroscopes. L'exemple le plus connu étant notre Terre qui tournant relativement vite autour d'elle-même et étant très massive son moment cinétique fait que son pôle Nord est toujours (à l'échelle du temps d'un humain ...) orientée vers l'étoile Polaire quelle que soit sa position sur son orbite.

La figure suivante est un exemple de gyroscope connu dans les laboratoires des écoles et appelé "gyroscope symétrique pesant". Il s'agit bien évidemment d'un cas particulier  et simplifié mais qui permet de comprendre le principe de base du gyroscope:

equation
Figure: 30.17 - Exemple de gyroscope symétrique pesant

Se composant d'un moteur électrique dont le rotor, le volant principal, forme la masse principale en rotation angulaire rapide (un gyroscope d'une fusée V2 tourne à plus de 10'000 tours minute). Le stator du moteur est fixé à une tige sur laquelle est positionné un contrepoids à l'opposé. L'ensemble est posé sur un pied de support à l'extrémité duquel se trouve un cardan monté sur un roulement horizontal qui autorise les orientations du gyroscope presque sans limitations dans toutes les directions.

Dans ce schéma nous avons equation qui est la vitesse angulaire instantanée du disque amovible de rayon R, equation est la vitesse de précession du gyroscope (rotation autour du pied de support), equation est la force de la masse m complémentaire attachée au contrepoids et qui déséquilibre le gyroscope, r est la distance du cardan du gyroscope au contrepoids et finalement a est l'angle d'inclinaison que prend l'axe du gyroscope lorsqu'on le déséquilibre en attachant le poids supplémentaire au contrepoids.

Pour débuter l'étude théorique de ce système, rappelons que avons démontré plus haut que le moment cinétique pour un solide ayant un moment d'inertie J s'exprime par la relation suivante:

equation   (30.245)

et nous avons vu que tout solide en rotation autour d'un axe quelconque a aussi un moment cinétique qu'il est alors d'usage de noter conformément avec ce que nous avons vu plus haut:

equation   (30.246)

Nous avons aussi démontré plus haut que le rotor, comme toute masse en rotation rapide, produit alors un moment de force donné par:

equation   (30.247)

qui est vectoriellement colinéaire à equation et passe donc par son axe de symétrie. Comme nous le savons déjà, c'est cette dernière relation qui met le mieux en évidence que le gyroscope maintient toujours une direction identique dans l'espace même lorsque nous déplaçons son support.

En d'autres termes un gyroscope libre animé d'une grande vitesse de rotation a pour propriété fondamentale de conserver son axe de rotation selon une orientation fixe par rapport à l'espace absolu. C'est ce que nous appelons la "première loi gyroscopique" ou "loi de fixité".

Typiquement le "gyroscope de Foucault" représenté ci-dessous, excellent exemple pratique de la loi de fixité, garde son orientation quelle que soit la manière dont nous manipulons le socle sur lequel il est posé:

equation
Figure: 30.18 - Gyroscope de Foucault

Si nous posons le gyroscope de Foucault toute une journée sur une table avec un moteur qui maintient la rotation du disque massif central constante, nous observons alors la rotation de la Terre car le gyroscope tourne alors très lentement sur lui-même en 24 heures!

Pour revenir à nos considérations mathématiques... intéressons-nous maintenant au moment de force du contrepoids qui déséquilibre notre gyroscope symétrique alors que le disque est en rotation et qui génère une rotation générale du gyroscope comme le permet de constater l'expérience. Nous avons alors pour le moment de force faisant tourner le gyroscope autour de son axe (tige de soutien):

equation   (30.248)

Puisque le gyroscope ne précesse pas lorsque le système est équilibré c'est que le moment de force du poids supplémentaire qui déséquilibre le gyroscope génère un moment cinétique selon la relation démontrée plus haut tel que:

equation   (30.249)

Ce qui schématiquement peut être représenté de la manière suivante (il s'agit de notre gyroscope vu d'en haut):

equation
Figure: 30.19 - Gyroscope symétrique pesant vu de haut

Nous avons alors dès que le gyroscope se met à tourner (dans un mouvement circulaire):

equation   (30.250)

En prenant l'approximation de Taylor (cf. chapitre de Suites Et Séries) au premier ordre de la tangente pour les petits angles:

equation   (30.251)

Faisons l'hypothèse, pour simplifier l'étude du problème, que la variation du moment cinétique total par rapport à l'axe de rotation du gyroscope (la tige de soutien donc!) peut être assimilée au moment cinétique du rotor seuil si ce dernier tourne suffisamment vite et que sa masse est suffisamment grande. C'est-à-dire que:

equation   (30.252)

nous avons alors:

equation   (30.253)

et dès lors puisque de par cette approximation tout le moment de force est assigné à la variation du moment cinétique du rotor seul:

equation   (30.254)

Il vient enfin:

equation   (30.255)

Donc lorsque le gyroscope symétrique pesant est équilibré (lorsque M est nul au numérateur de la fraction), son moment cinétique garde donc une orientation fixe quelle que soit la valeur du dénominateur puisque equation sera alors toujours nul.

Le mouvement de rotation résultant d'un déséquilibrage du gyroscope est donc dit "mouvement de précession" lorsqu'il est provoqué volontairement, et "dérive" lorsqu'il est dû à un élément perturbateur.

Indiquons pour finir les gyroscopes ludiques pour petits enfants comme la toupie ci-dessous:

equation
Figure: 30.20 - Gyroscope (toupie) ludique...

que pouvons grossièrement représenter ainsi (vue de côté et vue du dessus) pour en faire une analyse mathématique (faites l'essai avec vos enfants pour voir si cela les intéresse autant que le jouet...):

equation
Figure: 30.21 - Illustration technique de la toupie

où nous faisons l'hypothèse que l'extrémité de l'axe de la toupie est posée sur le sol sans possibilité de glissement et que celle-ci a une vitesse angulaireequation constante et suffisamment grande pour ne pas avoir son inclinaison equation qui varie dans le temps.

En utilisant la même technique que pour le gyroscope symétrique pesant nous avons (bon nous aurions pu utiliser plus simplement la relation equation vue dans le chapitre de Trigonométrie...):

equation   (30.256)

Nous avons aussi pour le moment de force:

equation   (30.257)

Par contre le moment cinétique change! Effectivement, nous avons donc dans ce cas particulier:

equation   (30.258)

il s'ensuit que sous les mêmes hypothèses que le gyroscope pesant que:

equation   (30.259)

d'où sous forme vectorielle:

equation   (30.260)

et nous savons que cette dernière relation (démonstration faite plus haut) peut être complétée en écrivant:

equation   (30.261)

Il vient alors:

equation   (30.262)

Soit:

equation   (30.263)

Nous voyons que la différence avec le gyroscope symétrique pesant est que la vitesse de précession est alors indépendante de l'angle.

Remarques:

R1. Un cycliste roulant en ligne droite est stabilisé (loi de fixité oblige!) par le moment cinétique de ses roues qui est perpendiculaire au sens de roulement.

R2. Sans probablement s'en rendre compte, on se penche en bicyclette dans un virage pour produire une précession dans les roues et tourner plus facilement. Effectivement le mouvement de précession fait pivoter la roue de la bicyclette dans la direction où on se penche sans qu'on ait besoin de tourner le guidon.

ÉNERGIE POTENTIELLE GRAVIFIQUE

Si le travail de la force equation entre les points A et B ne dépend pas du chemin suivi, nous disons que cette force dérive d'une énergie potentielle ou bien que le champ de force est un "champ conservatif" (contre-exemple: dans un mouvement avec frottement le travail dépend nécessairement de la voie choisie). Cette indépendance par rapport au chemin suivi implique que:

Soient deux points A et B de l'espace. Il y a plusieurs chemins possibles pour joindre ces deux points. Si nous en choisissons deux au hasard nous avons:

Sur le 1er chemin: equation

Sur le 2ème chemin: equation

equation
  (30.264)

Si le champ est conservatif nous avons: 

equation   (30.265)

ou encore que le travail total sur un chemin fermé (aller et retour) est nul. Nous notons cela (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral): 

equation   (30.266)

Le travail en jeu est donc une fonction du lieu seul (equation) c'est-à-dire dépendant uniquement du point de départ et du point d'arrivée. En effet, si le travail dépendait du chemin, il serait possible de choisir la voie la plus généreuse quand le système fournit du travail et la voie la plus économique quand nous le ramenons à l'état initial. Ce serait donc un mouvement perpétuel et le principe de conservation de l'énergie l'interdit (cf. chapitre de Thermodynamique).

Attachons alors à chaque point equation du champ de force une valeur de la fonction equation (un nombre réel) correspondant au travail effectué par le champ de force lorsque le mobile passe d'un point P à 0, 0 étant un point de référence choisi arbitrairement. Donc par définition:

equation avec equation   (30.267)

equation

En généralisant cette définition, nous dirons que le travail effectué par une force conservative lorsque le mobile passe de A à B est égal à la diminution d'énergie potentielle entre A et B:

equation   (30.268)

equation

Par définition equation est l'énergie potentielle et se mesure en Joules.

L'équation précédente s'utilise très souvent sous forme différentielle soit:

equation   (30.269)

Il existe aussi rappelons-le une relation entre l'énergie et le gradient de la force donnée qui découle simplement de la définition du travail:

equation   (30.270)

Application: Travail de la pesanteur et énergie potentielle gravifique au voisinage de la surface de la Terre. C'est donc un cas particulier où la force est constante...

equation
Figure: 30.22 - Exemple avec la force gravifique

Soit un point de masse m se déplaçant selon une trajectoire quelconque AB. Le poids equation effectue le travail:

equation   (30.271)

En exprimant les différents vecteurs en composantes:

 equation, equation, equation   (30.272)

et en calculant le produit scalaire au moyen de ces composantes nous obtenons:

equation   (30.273)

La différence equation représente la différence d'altitude entre les points A et B. Nous constatons bien que le travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement des points de départ et d'arrivée. Si, en sens inverse, nous voulons faire passer le point de masse de B à A, le travail, fourni alors par un agent extérieur vaut:

equation   (30.274)

ce qui montre bien que le travail total sur un chemin fermé est nul: 

equation   (30.275)

En comparant les relations:

equation et equation    (30.276)

et en identifiant, nous obtenons ainsi:

equation   (30.277)

qui est l'énergie potentielle gravifique, z étant l'altitude de la masse m. Nous notons plus simplement la plupart du temps cette relation sous la forme:

equation   (30.278)

Remarque: Le choix de zéro de l'énergie potentielle est souvent arbitraire; nous le fixons par commodité. Seules les différences d'énergie potentielle sont généralement intéressantes comme nous allons le voir de suite.

La relation précédente est au fait une expression utile à proximité de la surface terrestre. A distance equationR est le rayon de la terre, la force de gravitation faiblit et l'approximation n'est plus valable (si equation aussi, d'ailleurs...).

Pour déterminer la relation correcte, considérons deux masses equation. La première est supposée au repos et fixe la deuxième est amenée de l'infini à une distance donnée de equation (le même raisonnement est applicable pour le champ électrique). Le travail dW de la force gravitationnelle en un point quelconque étant donc:

equation   (30.279)

et l'énergie potentielle du système:

equation   (30.280)

Alors:

equation   (30.281)

d'où simplement après intégration (l'énergie potentielle en un point):

equation   (30.282)

Voyons si cela est cohérent avec equation...

A hauteur nulle de la surface terrestre, equation, nous avons:

equation   (30.283)

où le choix du signe "-" dépend uniquement du référentiel choisi qui est dans le cas présent conforme à ce qui est d'usage de prendre dans les écoles.

Nous élevons l'objet de equation:

equation   (30.284)

Nous utilisons l'approximation grossière:

equation   (30.285)

valable quand equation d'où:

equation   (30.286)

Comme à la surface de la terre nous avons l'habitude de poser en laboratoire equation, nous obtenons bien finalement:

equation   (30.287)

et nous voyons qu'il s'agit effectivement d'une grossière approximation.

Remarque: Nous pourrions appliquer le même développement dans l'étude de la force de Coulomb et du champ électrique mais jusqu'à maintenant nous n'avons jamais mis de laboratoire à la surface d'une charge... (sic!).

ÉNERGIE POTENTIELLE D'UNE SPHÈRE DE MATIÈRE

Nous allons calculer ici l'énergie potentielle d'une sphère de matière. Cet exercice de style va nous être très utile en astrophysique pour déterminer la température interne des étoiles et dans le chapitre de Cosmologie pour le départ du modèle de Friedmann.

L'expression d'une énergie potentielle d'un système de deux masses mises en présence est donnée par:

equation   (30.288)

Soit une sphère de masse M, de densité massique equation et de rayon r et entourée d'un anneau sphérique de rayon intérieur r, de même densité massique equationet d'épaisseur dr.

L'énergie potentielle de l'anneau sphérique de rayon interne r et d'épaisseur dr se calcule comme suit:

La masse de la sphère de rayon r et de densité massique equation est:

equation   (30.289)

La masse de l'anneau entourant la sphère de rayon r, d'épaisseur dr et de densité massique equation est:

equation   (30.290)

En introduisant les deux dernières expressions dans celle de l'énergie potentielle:

equation   (30.291)

En intégrant l'expression précédente entre 0 et R, cela revient à ajouter successivement une suite d'anneaux d'épaisseur dr pour obtenir la sphère entière de rayon R et donc l'énergie potentielle de la sphère entière.

equation   (30.292)

Ce qui s'écrit encore:

equation   (30.293)

Soit finalement:

equation   (30.294)

Exactement le même calcul peut être faire en électrostatique en remplaçant la constante gravitationnelle par la constante ad hoc et la masse par la charge. C'est par ailleurs un résultat que nous réutiliserons dans le modèle de goute liquie du noyau nucléaire.

CONSERVATION DE L'ÉNERGIE MÉCANIQUE TOTALE

Comparons maintenant les équations:

equation   (30.295)

puisqu'il s'agit du même travail.

Ce qui entraîne:

equation   (30.296)

somme des deux formes d'énergie en chaque point ou encore, les lieux A et B étant quelconques, en écrivant l'équation sous une forme générale:

equation   (30.297)

Remarque: Nous nommons souvent l'énergie totale d'un système "l'hamiltonien du système" comme nous l'avons déjà mentionné dans le chapitre de Mécanique Analytique.

En l'absence de frottement s'il s'agit d'énergie mécanique, nous écrivons aussi la variation tel que:

equation   (30.298)

Une augmentation d'énergie cinétique entraîne donc une diminution d'énergie potentielle (et réciproquement) puisque la somme des deux reste constante.

Contre-exemple: S'il y a frottement, donc dégagement de chaleur, l'énergie mécanique totale n'est plus constante! (l'énergie mécanique seulement).

Par ailleurs reprenons la relation:

equation   (30.299)

et donc:

equation   (30.300)

D'autre part, equation étant une fonction scalaire dépendant des coordonnées d'espace, formons sa différentielle totale:

equation   (30.301)

en comparant avec l'équation précédente et en identifiant terme à terme, nous avons:

equation   (30.302)

d'où l'expression affirmant que la force dérive d'une énergie potentielle si le travail en jeu est indépendant du chemin suivi. Si nous exprimons la force equation en termes de vecteurs-unités, nous obtenons:

equation   (30.303)

En définitive, l'affirmation que la force dérive d'une énergie potentielle equation peut se résumer ainsi:

equation   (30.304)

Dans le cas de la gravitation:

equation   (30.305)

ce qui s'écrit aussi avec l'opérateur nabla (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (30.306)

Le champ de gravitation est donc caractérisé par l'ensemble des vecteurs equation.

CONSERVATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT

Un mobile, lors d'une interaction avec un autre point matériel, peut transmettre tout ou partie de son mouvement (énergie cinétique ou/et potentielle). C'est le cas lors d'un choc, par exemple (ceci dit le calcul de la force d'un choc est extrêmement difficile à effectuer sans de nombreuses simplifications). La grandeur ainsi échangée est la quantité de mouvement equation. Elle vaut par définition (nous l'avons déjà vu lorsque nous avons parlé de la deuxième loi de Newton):

equation   (30.307)

Évidemment, nous avons: 

equation   (30.308)

La quantité: 

equation 

est parfois appelée "impulsion", et l'équation précédente porte quelque fois le nom de "théorème de la quantité de mouvement".

Il s'énonce ainsi: L'impulsion fournie par une force entre les instants equation et equation est égale à la variation de la quantité de mouvement durant cet intervalle de temps.

Mais revenons-en à notre conservation de la quantité de mouvement (et donc de l'énergie et réciproquement...). L'intérêt de la grandeur de quantité de mouvement résulte du fait qu'elle est conservée dans les interactions (en première approximation..). En effet, soient deux mobiles en collision, en vertu de l'égalité de l'action et de la réaction (3ème loi de Newton) nous avons:

equation   (30.309)

et en utilisant le théorème de la quantité de mouvement nous pouvons écrire:

equation   (30.310)

En additionnant membre à membre ces deux équations, nous déduisons:

equation car equation   (30.311)

et donc:

equation   (30.312)

La quantité de mouvement totale est constante, elle se conserve donc.

LOI DE NEWTON GENERALISÉE

Revenons maintenant un petit peu à notre principe de moindre action dont nous avons parlé au tout début de cette section:

Prenons le cas d'un objet lancé en l'air et repérons deux points de sa trajectoire en deux instants quelconques. Une infinité de courbes passent entre ces deux points et pourtant la nature n'en choisit qu'une seule. Qu'est-ce qui distingue cette courbe - la trajectoire physique - de toutes les autres? A cette question nous pourrions, très justement, répondre que cette courbe se distingue des autres par le fait qu'elle est solution de l'équation différentielle de la trajectoire ... avec les conditions initiales appropriées. Mais dans le cas où nous ignorons les conditions initiales ou lorsque le problème ne peut être ramené à une équation différentielle, par quel moyen pouvons-nous alors distinguer la trajectoire physique de tous les chemins possibles?

Le principe de moindre action s'exprime dans ce contexte par un minimum de vitesse pour un minimum de chemin parcouru.

En fait de vitesse, il convient mieux en mécanique de considérer la quantité de mouvement car cette dernière grandeur est directement liée aux propriétés inertielles des corps. Mathématiquement Maupertuis traduisit le principe de moindre action comme suit.

Si nous considérons le mouvement d'un corps entre deux points A en equation et B en equation, pour une énergie totale E donnée, la trajectoire sélectionnée par la nature est celle pour laquelle la grandeur equation suivante est minimale:

equation   (30.313)

equation

La trajectoire physique entre deux points A et B aux instants equation et equationest celle pour laquelle l'action est minimale.

En sachant que:

equation   (30.314)

nous obtenons alors:

equation    (30.315)

T est l'énergie cinétique du corps.

Nous le voyons, l'action prend une forme étonnamment simple et s'exprime directement en fonction de l'énergie cinétique. Quelques années plus tard, à partir d'une intuition semblable à celle de Maupertuis, Euler parvint à un énoncé très similaire de l'action mais en partant du constat que les corps tendent à adopter un état où l'énergie potentielle est minimale. L'action d'Euler s'exprimait en fonction de l'énergie potentielle au lieu de l'énergie cinétique. Qui de Maupertuis ou d'Euler avait tort ou raison?

En fait, leurs énoncés respectifs de l'action étaient équivalents. Nous savons que dans un champ conservatif, si nous appelons U l'énergie potentielle alors l'énergie totale E vaut T + U et cette énergie est une constante. Nous en tirons que T = E - U et que donc:

2T = T + E - U   (30.316)

D'où:

equation   (30.317)

Cette relation est vraie quel que soit le chemin d'énergie totale initiale E. Nous en concluons que la valeur de la constante E ne permet pas de discriminer les différentes trajectoires et peut donc être éliminée de la formulation de l'action. L'action de Maupertuis peut alors se réduire à une nouvelle grandeur notée S:

equation   (30.318)

Cette nouvelle formulation de l'action fut donnée par Lagrange en 1788. S s'appelle "l'action lagrangienne" ou "action hamiltonienne" et la fonction: 

equation   (30.319)

porte le nom de "lagrangien mécanique". Ainsi formulé, le principe de moindre action devint l'un des outils les plus puissants de la mécanique.

Nous avons déjà vu comment nous exprimons le principe de moindre action mathématiquement. Dans le cas qui nous intéresse, l'action n'est pas une fonction de variables analytiques mais de trajectoires!

Considérons le cas très simple d'un corps de masse m se mouvant sur une seule dimension (que nous représenterons par un axe Ox) d'un point d'abscisse equationà l'instant equation à un point de coordonnée equation à l'instant equation. Supposons qu'il est soumis à un potentiel U qui ne varie pas avec le temps c'est-à-dire equation. L'action de ce corps sur un chemin C quelconque menant de equation à equation est alors:

equation   (30.320)

Soit equation le chemin physique et equation l'action sur ce chemin. Notons par equation les valeurs de la position x sur le chemin physique. Considérons maintenant un chemin C très proche de equation tel que les positions le long de C aient les valeurs equation que nous écrirons, pour alléger les écritures equation.

Calculons l'action pour ce chemin:

equation   (30.321)

Comme equation est infiniment petit, il est possible de développer le potentiel en développement limité:

equation   (30.322)

Quant au premier terme, il se ramène à:

equation   (30.323)

Comme nous ne considérons que les variations du premier ordre, le dernier terme peut être négligé, ce qui donne pour l'action sur le chemin C:

equation   (30.324)

Posons maintenant que la variation equation de l'action entre le chemin physique equation et C est nulle:

equation   (30.325)

et ainsi:

equation   (30.326)

Le premier terme dans la dernière intégrale peut s'intégrer par parties comme suit:

equation   (30.327)

Or, tous les chemins partent de equation à l'instant equation et arrivent à equation à l'instant equation. Ceci implique qu'en equation et equation la variation equation est nulle ce que nous écrivons equation. Donc le premier terme de l'intégration par parties est nul.

La variation de l'action prend alors la forme:

equation   (30.328)

Cette intégrale doit être nulle pour tous les chemins très proches du chemin physique equation, donc quelle que soit la valeur de equation. Pour qu'une telle condition soit remplie il faut que le terme devant equation soit nul, c'est-à-dire:

equation   (30.329)

Or nous connaissons au fait cette équation: le premier terme n'est rien d'autre que equation où a est l'accélération du corps, et le second - l'opposé du gradient du potentiel - est l'intensité de la force en un point donné. Celle-ci se ramène donc à l'équation (mais lorsque la force est nulle):

equation   (30.330)

qui n'est autre que la deuxième loi de Newton sous forme généralisée que nous avions obtenu plus haut sous la forme suivante:

equation   (30.331)

Le principe de moindre action contient donc implicitement la mécanique newtonienne. Ainsi, il est possible de reconstruire toute la mécanique de Newton avec le seul principe de moindre action!!!

Cet échafaudage de calculs peut paraître bien compliqué pour aboutir à un résultat que nous connaissions déjà mais tout l'intérêt du principe de moindre action réside dans le fait qu'il permet de tirer des lois fondamentales à partir de la seule connaissance du lagrangien d'un système.

Les théories les plus récentes comme la théorie quantique des champs, les théories de jauge ou la théorie des supercordes ont toutes pour point de départ l'expression de l'action du système. Les physiciens en dégagent ensuite des lois fondamentales qui régissent le comportement des particules élémentaires.

PUISSANCE

Définition: La puissance est le taux instantané de variation du travail (énergie sous forme quelconque). Nous avons donc la "puissance instantanée" donnée par:

equation   (30.332)

Si le travail est fourni de façon régulière (constante), nous avons alors la "puissance moyenne":

equation   (30.333)

Avec cette définition, le lecteur pourrait penser qu'un véhicule qui roule à une vitesse constante fournit donc une puisse nulle puisque son énergie cinétique ne varie pas. En réalité il n'en est rien, car la voiture doit constamment vaincre le frottement des pneus avec la route (voir plus loin l'étude de la tribologie), le frottement visqueux avec l'air (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus), et la perte d'énergie du aux vibrations et frottements des ses propres composants comme les essieux, les roulements à bille, les ressorts, etc. Ainsi, un véhicule doit à chaque seconde fournir l'énergie qu'il a perdu dans ces différents frottements. Nous avons alors la "puissance d'une force":

equation   (30.334)

où nous avons utilisé la définition de l'énergie (force sur une distance) et où equation représente la somme des diverses forces.

Remarques:

R1. L'unité de la puissance est le "Watt" et se note [W] mais en technique, certains utilisent encore souvent le "cheval" [ch] défini comme suit étant égal à 736 [W] (car un cheval pouvait à l'époque soulever 75 kilos à 1 mètre en 1 seconde sous la gravité terrestre).

R2. En exprimant le travail (énergie) à partir de l'équation equation, où la puissance est donnée en [kW] et le temps en heures, il apparaît alors l'unité d'énergie [kWh] (kilowattheure), très utilisée en pratique.

PUISSANCE D'UNE MACHINE TOURNANTE

Le travail élémentaire dW effectué par la force equation faisant tourner une solide (un cylindre dans le cas présenté de suite) autour de son axe d'un angle equation vaut:

equation   (30.335)

La puissance instantanée est alors:

equation   (30.336)

Or, comme nous l'avons démontré plus haut (il s'agit en fait plutôt d'une définition...):

equation   (30.337)

La puissance d'un couple est alors donnée par:

equation   (30.338)

Il s'agit d'une relation très prisée par les passionnés de véhicules à moteur. Effectivement, connaissant le couple moteur (le moment de force) et le régime moteur (qu'il faut covertir dans les bonnes unités), nous obtenons facilement une approximation de la puissance développée par le moteur. Si nous divisons le résultat par 736, le lecteur obtiendra la mesure de la puissance en "chevaux".

RENDEMENT

A cause des frottements, la puissance restituée par une machine appelée aussi "puissance utile", est toujours inférieure à la puissance absorbée. Nous tenons compte de cet effet au moyen du rendement défini par:

equation   (30.339)

Nous y reviendrons beaucoup plus en détail lors de notre étude de la thermodynamique (cf. chapitre de Thermodynamique).


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MECANIQUE ANALYTIQUEMECANIQUE CLASSIQUE 2/2


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