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trajectoires d'orbitales kepleriennes

L'observation (outil principal du physicien) semble montrer qu'à première vue, les trajectoires suivies par les corps célestes en orbite autour d'astres est de type côniques (voir géométrie analytique). Sachant cela, nous pouvons afin de faciliter les calculs, anticiper la complexification des calculs et exprimer directement la dynamique d'un point matériel en des coordonnées polaires. 

Comme nous l'avons vu dans la section d'algèbre au chapitre d'analyse vectorielle, la vitesse en coordonnées polaires s'exprime par la relation (nous avons changé la lettre grec de notation de l'angle pour nous adapter à la tradition):

où le premier terme est la composante radiale de la vitesse et le second la composante tangentielle de la vitesse (angulaire).

Pour l'accélération:

où le premier terme est l'accélération radiale, le seconde l'accélération centripète, le troisième l'accélération tangentielle et le quatrième l'accélération de Coriolis.

Maitenant que nous avons les outils nécessaires, attaquons nous au cas des orbites képleriennes dans le cas d'un champ Newtonien.

Nous avons déjà  démontré que:

Cependant, il est peu probable que le corps principal soit un sphère parfait et homogène. Les astrophysiciens ont donc l'habitude de noter le potentiel Newtonien U sous la forme:

où est appelée "constante de gravitation de l'astre" et où  est une fonction représentant les hétérogénéités de l'astre.

S'il est un endroit de l'univers où les lois de la mécanique sont parfaitement vérifiables, c'est bien l'espace, parce que le frottement ou les causes de dissipation y sont extrêmement faibles. Dans le champ d'une seule force dérivant d'un potentiel, le mouvement vérifie la conservation de l'énergie mécanique.

Nous aboutissons ainsi à l'équation dite de l'énergie, dans laquelle désigne "l'énergie spécifique" par unité de masse (kilgramme) envoyé.

 donc

La force de gravitation newtonienne est centrale, donc de moment nul au centre du corps principal. Il en résulte la conservation du moment cinétique, soit:

Le vecteur  est l'unitaire de  ou de appelé "moment cinétique réduit". est la constante des aires telle que:

Nous rappelons que la norme de la vitesse exprimée en coordonnées polaires plane est donné par la relation (n'oubliez pas que les deux vecteurs de la base polaire sont orthogonaux et que l'on peut donc appliquer le théorème de pythagore pour calculer la norme comme il l'a été démontré dans le chapitre d'analyse vectorielle du site):

Ce qui nous permet d'écrire pour :

Plaçons nous dans le plan orbital, en coordonnées polaires. Nous possédons deux intégrales premières dépendant des deux constantes essentielles et .

Soit la relation déjà démontrée et sa norme . Or:

Remplaçons dans l'expression de :

En égalant avec l'expression de  résultant de la conservation de l'énergie, nous avons:

Ce qui nous donne une équation différentielle assez compliquée:

Et là nous nous demandons comment nous pouvons faire pour nous en sortir. Après quelques heures de réflexions… nous nous rendons compte qu'il faut faire une substitution. Après une autre heure de chaos neuronal cela finit par aboutir. Nous décidons de poser (nous en avons tout à fait le droit ), sachant que  est une fonction de :

Dérivons allégrement par rapport à :

Substituons dans l'équation différentielle:

Après simplification nous obtenons :

Nous séparons les variables pour intégrer:

Nous avons deux solutions suivant le signe que nous choisissons. Cependant à la fin de la résolution, nous remarquons que le seul choix physiquement intéressant est le signe négatif. Ainsi:

Nous laissons, par approximation, de côté la constante d'intégration qui impliquerait des très faibles oscillations sur la trajectoire de l'orbite (si vous faites une étude ou un TP sur le sujet, communiquez-moi les graphiques que vous obtenez avec ou sans la constante, cela m'intéresserait).

Ce qui nous permet d'obtenir :

Or, nous voyons que notre choix du signe pour l'intégration se justifie pleinement puisque maintenant, si nous faisons un petit rappel sur les coniques, nous voyons que nous avons:

où est l'excentricité (rapport du petit axe ) et le paramètre focal () d'une ellipse. Ce qui correspond bien aux trajectoires que suivent les astres en orbite.

Dans notre cas, nous avons:

 et

Pour  nous avons une parabole ou si  un hyperbole. Pour  la trajectoire est un ellipse. Donc il y a une forte probabilité pour que les trajectoires des planètes qui gravitent autour de notre soleil soient des ellipses. En effet, si nous examinons l'équation différentielle de tout à l'heure, nous voyons que si nous ne voulons pas avoir de racine négative, l'inégalité suivant doit être vérifiée:

La loi des aires permet de calculer la période orbitale képlérienne . En effet, l'aire de l'ellipse valant et ayant déjà déterminé lors de la définition du moment cinétique la relation:

Il vient naturellement: 

Par ailleurs, l'étude des coniques montre que  et nous avons

Nous avons donc la relation:

prÉcession du pÉrihÈlie

Avant d'étudier la précession des orbites, nous souhaiterions rappeller que le champ gravitationnel et un champ conservatif et central. Ceci implique donc que le moment cinétique (voir mécanique classique du point matériel rigide) est constant et que la trajectoire a lieu dans un plan dont le vecteur normal à la surface conserve toujours la même direction (le vecteur moment cinétique est constant en grandeur et en direction). 

Nous nous attaquerons à l'analyse de la précession du périhélie en prenant en compte les résultats de la théorie de la relativité restreinte (cela permettant d'être plus "fin" dans les résultats obtenus et de pouvoir appliquer ces mêmes résultats aux électrons en orbite autour du noyau de l'atome).

Evidemment, le résultat que nous obtiendrons ne sera pas complet, puisque comme nous le savons, il a fallu attendre le développement de la relativité générale pour donner avec exactitude la précession du périhélie de Mercure. Il n'y avait effectivement que la relativité générale qui pouvait prendre en compte la  déformation de l'espace aux environs de Mercure du aux aplatissements du Soleil à ses pôles (à cause de la force centrifuge).

Pour calculer cet effet de précession, nous allons rechercher l'équivalent d'une formule dite "Formule de Binet" sous forme relativiste. Nous procèdons comme suit :

Le lagrangien relativiste du système (voir la partie relativité restreinte du site):

Avec:

Le moment cinétique  sous forme relativiste et appliqué à notre étude s'écrit:

En prenant la norme, nous avons sans oublier que dans note étude et donc :

et rappelons que nous avons adopté l'écriture . Ce qui nous donne finalement:

Pour établir l'équivalent relativiste de la formule de Binet:

- nous partons du moment cinétique :

- nous recherchons une relation du type  (puisque la trajectoire est une conique):

Effectivement car rappelons qu'en coordonnées polaires la vitesse est donnée par l'expression suivante:

C'est-à-dire que . Cette dernière expression permet d'écrire que:

- nous cherchons ensuite une relation :

Soit:

A partir des équations obtenues précédemment, nous avons successivement:

Rappelons que nous avions défini en relativité restreinte:

Avec les équations précédentes, cela nous donne:

D'autre part:

En introduisant l'avant dernière relation dans cette dernière:

En posant  et comme:

L'avant dernière relation devient avec cette dernière expression:

En égalant cette dernière relation avec celle du lagrangien:

En dérivant cette dernière relation par rapport à :

Effectivement, le lagrangien étant constant au cours du temps (le système est conservatif !), nous avons donc:

et également:

Or, si nous continuons:

En se référant à: 

Nous obtenons donc: 

Ce qui donne finalement après quelques simplifications:

En multipliant cette dernière par :

Dans un potentiel gravitationnel:

L'équation de Binet en relativité restreinte est:

Pour rechercher une solution à cette équation différentielle, nous allons grouper la variable u dans le membre de gauche:

Nous posons :

   et  

L'équation différentielle s'écrit alors:

Nous posons :

En prenant la dérivée seconde:

Nous trouvons alors une simple équation différentielle dont la solution est bien connue:

Les solution sont du type:

Ce qui s'écrit encore puisque  est une constante:

 avec

Pour déterminer les constantes  nous nous placons d'abord dans la situation pours laquelle , où  est minimal et donc par définition maximal.

Nous dérivons par rapport à :

Donc  ce qui fait que la relation:

devient:

Nous posons :

 et

Au premier passage par le périhélie  où , nous avons donc:

Au deuxième passage par le périhélie , nous avons  , nous avons donc également:

La trajectoire est toujours une ellipse mais l'angle qui était nul au départ est devenu .

Soit si nous avons .

Alors:

Ce qui nous donne:

Etant donné que , un développement en série de Taylor:

En se limitant à l'ordre 2:

Conclusion :

Il y a un avancement du périhélie s'effectuant dans le sens de rotation du satellite. Pour un référentiel situé dans le plan de rotation de du satellite, la trajectoire est toujours une ellipse.

Cette avance est de:

par demi-période.

En appliquant exactement le même raisonnement pour la physique quantique corpusculaire (potentiel électrique), nous trouvons :

avec  étant le moment cinétique.

Nous prendrons pour un couple d'astre la distance moyenne pour calculer le moment cinétique et dans le cas de l'atome nous prendrons (voir le chapitre du site traitant de la physique quantique corpusculaire et relativiste):

avec la masse réduite valant:

Si les positions du périhélie (et donc de l'aphélie) du barycentre Terre-Lune étaient constantes dans le temps, la durée des différentes saisons serait, elle aussi constante. Mais l'orbite du barycentre Terre-Lune tourne lui aussi dans son plan dans le sens direct à raison d'environ 12'' par an (soit une révolution en environ 100'000 ans). La précession des équinoxes s'effectue dans le sens contraire (sens rétrograde) à raison d'environ 50'' par an (soit une révolution en environ 26'000 ans). La combinaison de ces deux mouvements permet de calculer la période du passage du périhélie de la Terre par la direction de l'équinoxe de printemps, cette période d'environ 21'000 ans est appelée précession climatique. En effet, tous les 10'500 ans (demi-période de la précession climatique) l'aphélie par de l'été à l'hiver. Or même si la distance Terre-Soleil n'est pas le facteur prédominant dans la nature des saisons, la combinaison du passe de la Terre à l'aphélie en hiver donne des hivers plus rudes. La distance Terre-Soleil dépend également de la variation de l'excentricité de l'orbite terrestre (due aux planètes extérieures et intérieures). Ainsi, les périodes glacières sont corrélées avec les minima de l'excentricité de l'orbite terrestre.

Les travaux de l'institut de mécanique céleste (France), depuis les années 1970, ont permis de confirmer définitivement les prédictions théoriques comme quoi la l'excentricité de l'orbite terrestre subit de larges variations formées de nombreux termes périodiques dont les plus importants ont des périodes voisines de 100'00 ans, et pour l'un d'eux, une période de 400'000 ans. Ces résultats confirment les variations climatiques de la Terre au cours de l'ère quaternaire. Les paléoclimatologies montrent en effet la corrélation entre les variations des éléments de l'orbite terrestre et les grandes glaciations du quaternaire.

Dans le cas de l'atome d'hydrogène (voir la section de physique quantique corpusculaire traitant du modèle relativiste de Sommerfeld) avec , et la constante  de structure fine égale approximativement à , nous obtenons pour la précession du périhélie de l'orbite donnée:

l'effet Doppler

L'effet Doppler des ondes électromagnétiques doit être discuté indépendamment de l'effet Doppler acoustique. Premièrement parce que les ondes électromagnétiques ne consistent pas en un mouvement de matière et que par conséquent la vitesse de la source par rapport au milieu n'entre pas dans la discussion, ensuite parce que leur vitesse de propagation est (la vitesse de la lumière) et reste la même pour tous les observateurs indépendamment de leurs mouvements relatifs. L'effet Doppler pour les ondes électromagnétiques se calcule donc nécessairement au moyen du principe de relativité.

Pour un observateur dans un repère d'inertie , une onde électromagnétique plane et harmonique peut être décrite par une fonction de la forme multipliée par un facteur d'amplitude approprié. Pour un observateur attaché à un autre repère  d'inertie, les coordonnées et doivent être remplacées par et , obtenues par la transformation de Lorentz (voir le chapitre de "mécanique relativiste "), et celui-ci écrira par conséquent pour sa description la fonction où et ne sont pas nécessairement les mêmes que pour l'autre observateur. Par ailleurs, le principe de relativité demande que l'expression reste invariante quand nous passons d'un observateur d'inertie à un autre. 

Nous aurons alors: 

En utilisant les relations de transformation de Lorentz réciproque, nous avons:

Par suite:

Si l'on tient compte que dans le cas d'ondes électromagnétiques, nous pouvons écrire chacune de ces équations sous la forme:

Le rapport:

donne le décalage spectral noté pour un mouvement de l'observateur par rapport à la source suivant la direction de propagation. Si le mouvement relatif des deux observateurs n'a pas lieu suivant la direction de propagation, la projection de la quantité de mouvement de l'onde lumineuse sur l'axe de mouvement relatif des observateurs sur un analyse purement énergétique donne:

Il peut être pratique de s'attarder un moment sur la compréhension mathématique du développement effectué ci-dessus. Effectivement, lorsque nous étudierons la relativité générale, nous reviendrons sur le calcul de l'effet Doppler sous une forme mathématique beaucoup plus générale pour s'habituer à la manipulation du calcul tensoriel. Donc si vous avez compris ce qu'il y a ci-dessus, cela vous aidera à comprendre ce qu'il y aura en relativité générale.

équation de Drake

L'équation de Drake a été développée par Frank Drake en 1961 dans le but de définir quelle serait le nombre de planètes dans notre galaxie uniquement avec lesquelles le Terrien pourrait prendre contacte en fonction de facteurs déterminants:

Cette équation s'écrit:

Les termes de cette formule (car s'en est une!) se définissent ainsi:

 représente le nombre d'étoiles dans une seule et unique galaxie

 est le nombre d'étoiles qui auraient une planète en orbite

 est le nombre de planètes par étoile qui remplissent les conditions au développement de la vie

 est la fraction de planètes dont la vie s'est effectivement développée (compris entre 0 et 1)

 est la fraction de celles ou une vie "intelligente" s'est développée (compris entre 0 et 1)

 est la fraction  qui a mis en oeuvre des moyens de communication radio (compris entre 0 et 1)

est la fraction de temps pendant laquelle les civilisation  vivront (compris entre 0 et 1)

ÉTOILES

Avant d'aborder la formalisme mathématique relatif à la dynamique des étoiles, nous avons souhaité suite à une demande des lecteurs, écrire une introduction vulgarisée afin de compléter la culture générale relatif à ce domaine.

Les étoiles sont donc des corps célestes gazeux dont la masse va de 0.05 masses solaires à 100 masses solaires. La luminosité d’une étoile (sa puissance) va de 10^-6 à 10⁶ fois celle du soleil ; grossièrement, lorsque la masse double, la luminosité décuple. Bien que la plupart des étoiles visibles à l’oeil nu dans notre ciel sont des géantes bleues de 10⁴ à 10⁵ fois plus lumineuse que le soleil, les 90% des étoiles qui peuplent notre galaxie sont moins lumineuses que le soleil.

Les astronomes ont mis plance une méthode de classification des étoiles basée sur la position dans leur spectre, des raies spectrales d'absorption. Autrefois classées de A à Q, l'évolution de la spectrométrie a permis leur regroupement et leur réorganisation. Les classes sont aujourd'hui définies par les lettres OBAFGKM, et chacune est divisée en 10 sous-classes, notées de 0 à 9. La classification spectrale (tirée d'un spectre continu dont il ne résulte seulement certaines raies du spectre après le passage de la lumière dans un milieu donné) peut être croisée avec les classes de luminosité dont nous tirons la température à la surface de l'étoile (nous démontrerons comment obtenir mathématiquement cette information):

La grande courbe au centre indique l'évolution d'une étoile de même masse que le soleil. Après un passage sur la séquence principale, elle devient une géante rouge, éventuellement une nébuleuse planétaire (éjection du combustible de l'étoile à de grandes distances), puis elle termine sa vie sous la forme d'une naine blanche. Par comparaison nous avons indiqué l'évolution d'étoiles 10 ou 30 fois plus massives que le Soleil : elles quittent la séquence principale pour devenir des supergéantes puis elle finissent en supernovae qui ne peuvent être représentées sur ce diagramme !

Une étoile est dans un premier temps en équilibre hydrostatique. Les forces gravitationnelles dues à sa masse sont compensées par les forces de pression interne due à la température élevée entretenue par des réactions thermonucléaires à basse densité et à la pression de dégénérescence des électrons à densité élevée. Une étoile passe 90% de sa vie à fusionner de l’hydrogène en hélium qui s’accumule en son centre. Durant cette phase, elle évolue dans ce que nous appelons "la séquence principale" du diagramme de Hertzprung-Russel représenté ci-dessous. Ce diagramme met en relation la température de surface (abscisse logarithmique présenté en ordre opposé) à la luminosité (ordonnée logarithmique) de populations d’étoiles. La séquence principale apparaît comme une diagonale. La température de surface et la luminosité étant directement fonction de la masse:

Chacune des étoiles du ciel trouve sa place sur le diagramme introduit par Hertzsprung et Russell (diagramme H-R ci-dessous) dont les diverses régions permettent d'en repérer le stade d'évolution. Il est alors possible d'y tracer une courbe représentative de l'évolution d'une étoile donnée à partir de la connaissance de son état au moment de l'observation.

Ainsi les étoiles massives évoluent plus vite que les étoiles de faible masse, mais ce résultat est déduit d'autres considérations que celles permettant de construire le diagramme. Le diagramme sert notamment à évaluer l'âge moyen d'un amas d'étoiles à partir de celui de ses composants. De même, il permet de caractériser les étoiles variables et leurs composantes telles les géantes rouges qui deviennent instables et pulsantes en viellissant. Cette famille d'objets instables définit une bande d'instabilité sur le diagramme. Ce diagramme traduit la classification spectrale des étoiles ou leur température de sur face en fonction de leur magnitude absolue ou de leur luminosité.

Ce diagramme, sur lequel toutes les étoiles trouvent leur place dès que nous connaissons leurs caractéristiques, fut développé indépendamment en Europe par Ejnar Hertzsprung et aux Etats-Unis par Henry Norris Russell. L’axe horizontal indique la classification spectrale en partant, à gauche, des étoiles les plus chaudes, les bleues, pour atteindre les moins chaudes, les rouges, à droite. Les étoiles se positionnent en groupes spécifiques sur le diagramme : celles qui évoluent sur leur séquence principale se situent sur une courbe incurvée qui commence en haut, à gauche, et se termine en bas, à droite. C’est sur cette courbe que se regroupent les étoiles stables qui brûlent leur hydrogène et, parmi elles, le Soleil qui se positionne au centre du diagramme. Les géantes et les supergéantes apparaissent dans la partie supérieure droite, tandis que les naines blanches se regroupent dans la partie inférieure gauche. Au fur et à mesure qu’elle évolue, chaque étoile décrit une courbe particulière : elle commence par suivre la trajectoire de Hayashi jusqu’à ce qu’elle atteigne sa séquence principale sur laquelle elle évolue tant que son noyau brûle de l’hydrogène. Lorsque commence la combustion de l’hélium, elle remonte vers le haut où se concentrent les géantes rouges et y reste jusqu’à ce que la fusion nucléaire s’arrête : elle s’effondre alors sur elle-même pour rejoindre les naines blanches ou dans le cas d'une certaine valeur de masses solaire, les étoiles à neutrons, Trou Noirs ou encore, si sa masse est très élevée, explose en supernovae.

Lorsque la masse d’hélium d'une étoile devient suffisante, l’augmentation de pression induit une augmentation de la température amorçant ainsi la fusion de l’hélium ("flash de l’hélium") en carbone, oxygène et néon créant un second front de combustion à l’intérieur du premier. Pour une étoile de masse solaire, les réactions s’arrêtent à ce stade. L’étoile grossit et se refroidit en surface. Elle devient une géante rouge 10⁴ fois plus lumineuse qu’auparavant. Elle passe par des phases d’instabilité et finit par expulser progressivement ses couches externes en formant une "nébuleuse planétaire". Son noyau, dont la densité est de plusieurs tonnes par centimètre cube, se refroidit lentement : c’est la naine blanche (nous aborderons ce processus sous forme mathématique plus loin). L’équilibre y est maintenu par la pression de dégénérescence des électrons.

Pour une étoile plus massive, la température interne devient assez importante pour que le carbone et l’oxygène puissent fusionner en silicium. A son tour, si il est en masse suffisante, le silicium fusionnera en fer. Les fronts de combustion se développent dans un schéma dit "en pelures d’oignon". Le fer est le nucléotide le plus stable : il se trouve au fond de la vallée de stabilité (voir section de physique atomique). Il ne peut ni fusionner, ni fissionner. Lorsque la densité atteint une valeur critique (cela correspond à une masse totale de l’étoile de plus de 8 masses solaires), la pression de dégénérescence des électrons n’arrive plus à maintenir l’équilibre contre la gravitation. En un dixième de seconde, le noyau de fer s’effondre. Les autres couches du coeur se précipitent vers le noyau effondré sous forme d’une onde dont le maximum de vitesse correspond au rayon sonique.

La densité du noyau devient alors énorme. Il se produit des réactions inverse où les protons capturent les électrons en formant des neutrons et libérant un flot de neutrinos. Lorsque le noyau de l'étoile atteint la densité nucléaire de , la compaction s’arrête brutalement (rayon d’environ 10km !). Les couches externes du noyau rebondissent par un choc superélastique et entrent en expansion. Lorsque cette onde de choc réfléchie rejoint le rayon sonique, la température monte tellement haut que la chiffrer n’a plus de sens. La matière subit une photodésintégration complète (tous les nucléotides sont désagrégés en gaz de nucléons). Finalement par un mécanisme pas clairement établis, toutes les couches externes de l’étoile sont éjectées dans l’espace : c’est une "supernovae de type II".

Le noyau effondré, presque entièrement constitué de neutrons, sera en rotation rapide si l'étoile initiale avait un moment cinétique non nul (conservation du moment cinétique oblige). Le champ magnétique est également conservé et dépasse de loin tout ce qui sera jamais réalisable en laboratoire. Cela provoque un rayonnement synchrotron qui donne l’illusion que l’étoile clignote, c’est pourquoi nous appelons ces jeunes "étoiles à neutron" des "pulsars".

Les étoiles très massives (plus de 50 masses solaires), la masse totale du coeur qui s’effondre pourrait dépasser 3 masses solaires. Dans ce cas, la gravité devient telle que sa masse s’effondre au delà des dernières forces répulsives et se compacte en une singularité. La courbure de l’espace devient telle qu’aucune matière, rayonnement ou information ne peut plus s’échapper au delà d’un volume appelé horizon ou sphère de Schwarzschild . C’est un "Trou noir". Tout ce qui y tombe perd son identité. Un trou noir ne présente plus que trois propriétés : sa masse, son moment cinétique et sa charge électrique. Nous disons qu’un trou noir n’a pas de chevelure. De plus, une telle singularité devrait toujours être cachée par un horizon, être habillée.

TEMPÉRATURE INTERNE DES ETOILES

Les étoiles sont supposées être des amas sphériques d'hydrogène gazeux où les interactions entre molécules sont régies par l'attraction gravitationnelle.

Une étoile n'a pas de paroi qui la délimite, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de forces extérieures donc (voir théorème de viriel):

En utilisant le théorème de viriel:

Nous avons pour un masse sphérique gazeuse:

 et

Pour le calcul de l'énergie potentielle nous nous reportons au chapitre de mécanique classique du site. Donc:

où rappelons-le, est la constante de Boltzmann.

Ce qui nous donne:

Avec pour une étoile donnée N étant le rapport de la masse totale de l'étoile sur la masse moyenne d'une molécule.

Pour le Soleil, il vient:

C'est la température centrale du Soleil. Les mesures optiques mesurées depuis la Terre ne donnent que la température en surface (chromosphère), soit 6'000 °K. La température interne calculée est donc environ 1'600 fois plus élevée qu'à la surface. Des méthodes indépendantes basées sur les réactions nucléaires au centre du Soleil (mesure du flux de neutrinos solaires) donnent le même ordre de grandeur, mais les valeurs précises diffèrent d'un facteur 2 à 3.

TEMPERATURE EXTERNE DES ETOILES

Nous avons démontré dans le chapitre de thermodynamique que la loi de Stefan-Boltzmann, permet de calculer la température d’un corps chauffé à partir de son émittance ou de son énergie interne en termes de densité tel que :

avec :

étant la constante de Stefan-Boltzmann.

Prenons une exemple intéressant qui nous concerne directement :

L'émittance moyenne (dit aussi "émittance moyenne bolométrique") reçu par la Terre hors atmosphère appelé "constante solaire" est directement mesurable en orbite et vaut .

Connaissant la distance moyenne au soleil comme étant d'environ  (Unité Astronomique), nous pouvons calculer la surface de la sphère à  et donc la puissance solaire . Ainsi :

 et

Supposant connu le rayon du soleil comme valant , nous pouvons calculer sa surface  puis l'émittance radiative solaire . Ainsi :

 et

Remarque : la surface rayonnante d’une étoile est appelée "photosphère".

A l’aide de la loi de Stephan-Boltzmann, nous pouvons maintenant calculer la température thermodynamique de la photosphère :

LUMINOSITÉ DES ÉTOILES

La "luminosité bolométrique" intrinsèque d'une étoile correspond à sa puissance totale rayonnée dans tout le spectre électromagnétique dans la direction de l'observateur exprimée de façon relative à la puissance totale rayonnée par le Soleil. En supposant toutes les étoiles sphérique et isotropes, nous pouvons l'exprimer en unités solaires :

La puissance rayonnée se calcule elle, en multipliant bien évidemment l'émittance radiative  (loi de Stefan-Boltzman) par la surface de l'étoile :

La luminosité bolométrique intrinsèque d'une étoile est donc proportionnelle au carré de son rayon et à la quatrième puissance de sa température de surface. En prenant le soleil comme référence, les constantes s'annulent. Nous pouvons alors écrire :

avec  et  d'où

En astrophysique, nous utilisons également une échelle logarithmique pour exprimer la luminosité d'une étoile : la magnitude absolue . Cette unité a une origine empirique qui sera expliquée plus bas.

ÉCLAT D'UNE ÉTOILE

L'éclat  d'une étoile est sa "luminosité apparente". L'éclat d'une étoile correspond à la densité de rayonnement reçu par l'observateur c'est-à-dire au flux et vaut le rapport entre la puissance de l'étoile et la surface de la sphère dont le rayon est égal à la distance  qui sépare l'observateur de l'étoile :

L'éclat diminue ainsi avec le carré de la distance. En astrophysique, nous utilisons également une autre échelle où la luminosité apparente est donnée par une autre grandeur d'origine empirique : la magnitude apparente, qui sera expliquée de suite ci-dessous.

MAGNITUDE APPARENTE

Ptolémée en 137 après J.-C. avait défini une échelle de six grandeurs pour exprimer l'éclat des étoiles, la première pour les plus brillantes et la sixième pour les étoiles tout juste visibles à l'œil nu (6 grandeurs et donc 5 écarts).

Au cours du 19^ème siècle, avec l'arrivée de nouvelles techniques d'observations photométriques (photographiques puis photoélectriques), l'échelle de grandeurs a été remplacée par celle de magnitude apparente qui a été définie de telle sorte à ce que cette nouvelle échelle soit proche de l'ancienne. La définition est la suivante :

- l'échelle est logarithmique en base 10 (par commodité des grandeurs manipulées)

- il y a 5 écarts de magnitude correspondant à un rapport de luminosité apparent de 1 pour 100 (1:100)

- l'échelle est inverse (une magnitude élevée correspond à un faible éclat).

A l'aide de ces définitions, nous pouvons construire une règle liant de façon relative les éclats de deux étoiles à leur magnitude apparente .

Pour une étoile 2, cent fois plus "brillante" ou "éclatante" qu'une étoile 1, l'étoile 1 est 5 unités de magnitude au-dessus de l'étoile 2 (n'oublions par que l'échelle est inverse). Donc :

 correspond à

Nous pouvons alors poser les relations :

 et 

Par application de la règle de trois, nous construisons :

En simplifiant, nous trouvons la "loi de Pogson" qui exprime la relation entre magnitudes visuelles et éclats de deux étoiles :

Ainsi définie, l'échelle de magnitudes visuelles n'est que relative. La référence est photométrique est similaire à l'éclat de Véga .

Pous se faire une idée des magnitudes visuelle voici quelques exemples : Soleil –26.5, Pleine Lune –15, Vénus au maximum –4.8, Sirius la plus brillante des étoiles –1.5 (type spectral A1 et distante de 8.6 années lumière), limite de la perception à l'œil nu 6, limite de perception à travers un télescope amateur de 15 cm à ce jour (2003) 13, limite de perception du télescope spatial Hubble 30.

Il faut préciser que la magnitude apparente visuelle ne correspond pas exactement à la magnitude apparente réelle, bolométrique, car l'œil n'a pas la même sensibilité pour toutes les longueurs d'onde. Les étoiles bleues ou rouge nous paraissent moins lumineuses à l'œil qu'elle ne le sont en réalité car une partie du rayonnement se trouve dans les ultraviolets, respectivement dans l'infrarouge.

Il convient donc de préciser qu'il s'agit d'une magnitude apparente visuelle ou bolométrique. En général, les astrophysicien utilisent les grandeurs bolométriques dans leurs communiqués.

LA MAGNITUDE ABSOLUE

La magnitude absolue (ne pas confondre avec la notation de l'émittance) d'une étoile est une grandeur logarithmique aussi, qui exprime cette fois la luminosité . C'est la grandeur présentée en ordonnée du diagramme de Hertzprung-Russel. L'échelle de cette grandeur est basée sur la magnitude visuelle.

La magnitude apparent et la magnitude absolue sont liées par la distance qui nous sépare de l'étoile. A luminosité intrinsèque constante, la luminosité apparent décroît donc évidemment avec le carré de la distance comme nous l'avons déjà vu. Afin d'établir une relation, nous avons dû choisir une distance de référence par une nouvelle définition :

La magnitude absolue d'une étoile est égale à sa magnitude apparente si elle est à une distance de 10 parsecs ().

Soit une étoile placée à une distance quelconque . Son éclat  est fonction de la distance et de son éclat  si elle était située à  selon :

Par application de la règle de trois, nous construisons :

en reprenant la loi de Pogson et en assimilant  à la magnitude apparente  de l'étoile à la distance  quelconque,  à la magnitude apparente de l'étoile à , soit par définition sa magnitude absolue  ainsi que  son éclat à  et  sont éclat à la distance quelconque, nous trouvons :

qui peut bien sûr aussi s'écrire :

En partant de cette définition, la magnitude absolue du Soleil est de 4.7. Sa magnitude apparente vue depuis la Terre est de –26.5. Elle est de 4.7 à  donc faiblement visible à l'œil nu.

La loi de Pogson exprime de même la relation entre magnitudes absolues  et luminosité  de deux étoiles :

Ainsi, Déneb étant 300'000 fois plus lumineux que le Soleil, la magnitude absolue est de –9.

En reprenant la loi de Pogson, la magnitude absolue peut s'écrire relativement à la luminosité bolométrique du Soleil :

Avec  et   , la magnitude absolue bolométrique se calcule ainsi à partir de sa luminosité bolométrique :

En reprenant l'expression de la luminosité bolométrique :

La magnitude absolue bolométrique d'une étoile est directement fonction de sa température et de son rayon :

Remarque :

La distance d'étoiles proches a pu être déterminée grâce au satellite Hipparcos. Par mesure du parallaxe (mesure de la position de l'étoile à six mois d'intervalles et pas application des règles trigonométriques élémentaires). Mais, au delà de quelque dizaines de parsec, la mesure de la distance d'étoiles par parallaxe devient très imprécise. En étudiant le spectre de l'étoile, nous pouvons déterminer sa classe spectrale, sa température de surface et la placer dans le diagramme de Hertzprung-Russel. Il est donc possible d'estimer sa magnitude absolue et de calculer approximativement sa distance.

Cet artifice de mesure est fondamental pour la cosmologie. C'est ainsi que l'on détermine la distance des galaxies proches en mesurant la période de certaines étoiles variables (nous y consacrons un petit chapitre ci-dessous).

La distance des galaxies lointaines se calcule en mesurant la magnitude apparente de supernovae qui s'y produisent fortuitement. En effet, la magnitude absolue des supernovae du type Ia (nous les reconnaissons par l'absence de rayes d'hydrogène et par la décroissance de leur luminosité) sont bien calibrées car l'énergie dégagée par ces explosions stellaires est relativement constante.

ÉTOILES VARIABLES

Les étoiles de la séquence principale du diagramme de Hertzprung-Russel sont des objets très stables. La force de gravitation, qui tend à contracter l'astre, est exactement compensée par les forces de pression interne, qui tendent à le dilater. C'est au moment où l'étoile devient une géante rouge que parfois l'équilibre est rompu. Commence alors une phase d'instabilité qui se traduit par de fortes variations de la luminosité de l'étoile.

La rupture de l'équilibre est provoquée par un phénomène complexe qui met en jeu des variations de transparence des couches d'hélium près de la surface de l'étoile. A partir de là, l'astre se met à connaître une succession de dilatations et de contractions contrôlées par les forces qui assuraient auparavant l'équilibre. Lorsque la force de pression l'emporte, le volume de l'astre augmente. Mais la gravité freine le mouvement et finit par provoquer la contraction. Le volume de l'étoile passe alors sous sa valeur moyenne, jusqu'à ce que la pression interne s'oppose à la contraction et réussit à provoquer une nouvelle dilatation.

Ce ne sont pas les changements de taille qui provoquent les variations de luminosité, mais ceux de la température. Effectivement, comme nous l'avons vu précédemment, la luminosité d'un étoile varie avec la quatrième puissance de la température, alors qu'elle ne varie qu'avec le carré du rayon. Lorsque le volume de l'étoile est cependant plus faible qu'en moyenne, sa température est légèrement plus forte et la luminosité maximale. Dans le cas contraire, la température est légèrement plus basse qu'en moyenne et la luminosité minimale. L'éclat de l'étoile change donc de façon périodique, d'où le nom d'étoile variable.

Il existe dans le diagramme de Hertzprung-Russel une "bande d'instabilité" qui traverse ce diagramme presque verticalement dans laquelle se produit justement les phénomènes thermiques en question.

Les deux principaux types de variables pulsantes sont les céphéides et les étoiles RR Lyrae. Ces astres jouent un rôle central en astrophysique. Les céphéides sont des étoiles de quelque masses solaires. Elles sont dans la phase de combustion de l'hélium après avoir atteint le stade de géante rouge. Les étoiles de masse solaire arrivées à ce stade deviennent des RR-Lyrae. Leur luminosité varie avec une période comprise entre un jour et plusieurs semaines. La propriété remarquable des céphéides est l'existence d'une relation entre leur luminosité moyenne et la période de leurs oscillations. Par exemple, leur luminosité moyenne est de 1000 fois celle du Soleil pour une période de quelques jours et de 10000 fois cette valeur pour une période de plusieurs semaines. C'est cette relation qui fait des céphéides l'un des outils de base de l'astrophysique.

Si nous connaissons cette relation pour une étoile variable, il est relativement aisé, par la détermination de sa période d'en tirer la magnitude absolue . En mesurant alors sa magnitude apparente  nous pouvons ensuite calculer sa distance  en parsec à l'aide de la relation (démontrée précédemment):

La figure ci-dessous représente la courbe période-luminosité des Céphéides.

L'étalonnage de cette courbe ne peut se faire que par des mesures de parallaxe sur des Céphéides proches. Il n'en existe malheureusement pas d'assez rapprochées pour qu'il soit possible d'utiliser la parallaxe annuelle. Il faut avoir recours à la parallaxe secondaire qui est basée sur le mouvement du Soleil dans la galaxie.

Exemple :

Nous repèrons une Céphéides grâce à son type de classe spectrale. Sa période est de 50 jours et sa magnitude apparente  . La figure précédente donne, pour cette étoile, une magnitude absolue .

En appliquant ensuite la formule donnée précédemment, nous trouvons :

Cette céphéide est donc éloignée de .

Grâce aux propriétés des Céphéides, nous disposons d'un instrument de mesure qui porte jusqu'à quelques dizaines de millions d'années-lumière. Il est donc applicable au delà de notre Voie lactée jusqu'aux galaxies proches comme les membres du groupe local. Au-delà, il devient difficile de détecter des Céphéides aux caractéristiques connues.

Il existe encore une certainte quantité d'étoiles variables différentes (variables à éclipses, des variables explosives, variables binaires,...) dont nous peuvons trouver un source abondante d'information sur l'Internet.

Il existe d'autres méthodes plus connues de mesure des distantes que celle des céphéides :

PARALLAXE TRIGONOMÉTRIQUE

La méthode de parallaxe trigonométrique est très simple (mais délicate à mettre en œuvre à la surface de notre planète pour les étoiles très distantes). Tout astronome amateur constate la fuite de l'étoile qu'il observe dans son oculaire. Ce mouvement se nomme "mouvement diurne". Il est dû à la rotation de la Terre sur elle même. L'étoile est également animée d'un mouvement elliptique beaucoup mois facilement détectable : le "mouvement parallactique".

Il est dû, comme le suggère le schéma ci-contre, à la rotation de la Terre autour du Soleil. Nous mesurons dont l'angle :

si l'angle est faible (ce qui est très fréquemment le cas étant donné la distance des étoiles), nous pouvons prendre le premier terme du développement de Taylor de la fonction tangente :

Ce qui nous permet d'écrire :

où est la distance du Soleil à l'étoile et a celle de la Terre au Soleil comme représenté ci-dessous :

LIMITE DE CHANDRASEKHAR

Nous avons déjà déterminé dans le chapitre de mécanique classique le rayon de Schwarzschild (sous sa forme classique) qui exprime le rayon critique d'un corps pour que la vitesse de libération à sa surface soit égale à la vitesse de la lumière. Nous avions obtenu la relation ci-dessous qui exprimait typiquement le rayon que devrait avoir un astre donné pour avoir une vitesse de libération égale à celle de la lumière :

Dans ce cas particulier l'astre est ce que nous avions appellé un "Trou Noir". Cependant, avant le trou noir, une étoile passe comme nous en avons parlé par plusieurs étapes intermédiaires par lesquelles elle peut d'ailleurs se stabiliser. Ainsi, vous avez du souvent lire dans la littérature que pour une naine blanche s'effondre en étoile à neutrons, que sa masse devait être supérieur à 1.4 masses solaire. C'est ce que nous allons démontrer maintenant.

Nous allons introduire le sujet sur l'étude de l'influence du principe d'incertitude sur la taille d'un système atomique (il en limite la dimension minimale). Cet exemple est fort puissant car il montre que le principe d'incertitude ne régit pas seulement le processus de la mesure mais aussi le comportement global des systèmes quantiques.

Le premier exemple que nous pouvons donner est celui de l'atome d'hydrogène, non que nous attendions un résultat nouveau de cette méthode d'analyse, mais plutôt parce que nous pouvons exposer l'usage du principe d'incertitude et insister sur sa signification.

Nous admettons que le proton, dont la masse l'emporte de beaucoup sur celle de l'électron, peut être considérée comme fixe. L'énergie de l'électron s'écrit :

En physique classique, un système dont l'énergie est donnée par la relation précédente ne possède pas de minimum : si nous faisons tendre vers zéro en conservant la forme circulaire de l'orbite, il est facile de voir que tend vers . En revanche, en physique quantique, cette limite n'a pas de sens : le principe d'incertitude s'y oppose.

Dans ce cas, la recherche du minimum  de  prend un sens, car une contrainte apparaît qui maintient ce minimum à une valeur finie. Elle se détermine en physique quantique (voir le modèle de Bohr de l'atome dans le chapitre de physique quantique corpusculaire) et impose:

 ou

Cependant, cette relation mis à part, si le rayon  de l'atome devient trop faible sous des contraintes extérieures (attention! nous nous affranchissons des orbites quantifiées du modèle de Bohr de l'atome qui impose une contrainte à ) la quantité de mouvement de l'électron ne peut être inférieure à l'incertitude  qu'impose le principe d'incertitude de Heisenberg, dès lors que est de l'ordre du rayon  de l'atome. La forme même de la relation précédente limite la portée de la méthode : nous ne pouvons espérer déterminer mieux qu'un ordre de grandeur du minimum de .

Afin d'évaluer le minimum de l'énergie totale, que nous interprètons comme l'état fondamental de l'atome d'hydrogène, nous calculons le minimum de  en éliminant de l'expression:

 par

Nous obtenons :

Le rayon  de l'atome dans l'état fondamental est la valeur de  qui donne à  sa valeur minimale:

si bien que:

qui est l'expression bien connue du rayon de Bohr vue en physique quantique corpusculaire lors de l'étude du modèle de Bohr de l'atome. L'énergie  de l'état fondamental est donc maintenant facilement calculable.

Le but de cet exemple est de montrer qu'avec le principe d'incertitude de Heisenberg nous pouvons par un raisonnement très simple retrouver l'état fondamental d'un système. C'est exactement de cette façon que nous allons procéder pour déterminer les conditions qui font qu'un astre se retrouve dans son état fondamental.

Attaquons maintenant à l'étude d'une étoile. Schématiquement celle-ci se compose d'un mélange de deux gaz: celui que est formé de noyaux d'une part, le gaz électronique de l'autre.

Au cours de la vie de l'étoile, de nombreux processus de fusion ont eu lieu. Ils ont accru à chaque fois la taille et la masse des noyaux; FE (le fer) qui est abondant à la fin de la vie d'une étoile, contient en moyenne 56 nucléons (voir la partie physique atomique du site).

Ces noyaux sont de nature chimique ou isotopique variée. Comme ils sont peu nombreux en comparaison des électrons, leur pression est celle d'un gaz classique chargé, neutralisé par la présence des électrons: elle peut être ignorée, et ce d'autant plus que la température est nulle.

La charge électronique seule ne permettrait pas aux électrons de résister à l'effondrement d'une étoile puisque la matière stellaire est neutre. A très basse température, quand le carburant est épuisé, la seule pression que le gaz électronique puisse opposer à la pression hydrostatique due à la pesanteur est d'origine quantique.

En première approximation, les électrons exercent donc l'un sur l'autre une répulsion apparente qui n'est pas d'origine coulombienne (principe d'exclusion de Pauli). En première approximation, ils obéissent à une relation analogue à celle de l'électron atomique et qui s'écrit dans le cas minimal (ou maximal de pression) :

où est la distance moyenne qui sépare deux électrons voisins.

A température , l'équilibre est atteint quand l'énergie (la matière de l'astre) totale du système est minimale.

Que se passe-t-il si nous essaions d'évaluer la variation du rayon  de la Naine Blanche en fonction de sa masse ?

L'énergie potentielle gravifique d'une étoile est donnée en bonne approximation par (voir chapitre de mécanique classique) :

 étant approximativement donnée par:

où est la masse du proton et le nombre de nucléons que contient l'étoile: la contribution des électrons à la masse de l'astre est négligeable et il n'y pas lieu de distinguer entre la masse du neutron et celle du proton, presque identiques.

La seconde contribution à l'énergie est essentiellement celle du gaz électronique dégénéré (la dégénérescence correspond à l'existence de plusieurs états ayant la même énergie), d'origine cinétique. Nous pourrions être tenté d'écrire simplement:

Cette manière de faire conduit à une impasse. Si nous exigons que la somme  atteigne une valeur minimale, nous aboutissons à une valeur du rayon de l'étoile tellement faible que, par application de la relation  la vitesse moyenne des électrons dépasserait celle de la lumière!

Pour éviter cette contradiction, nous devons recourir à la mécanique relativiste qui nous a montré que, dans ce cas (voir chapite de mécanique relativiste), nous pouvons exprimer l'énergie cinétique comme:

si la valeur numérique de l'énergie cinétique l'emporte considérablement sur l'énergie de repos nous avons :

nous avons donc:

La distance moyenne entre électrons s'évalue en supposant que l'étoile est homogène, approximation suffisante dès lors que nous cherchons l'ordre de grandeur d'une moyenne. Nous simplifions encore la géométrie en admettant que chaque électron est entouré d'un domaine sphérique de rayon dans lequel il n'y a pas d'autre électron de même spin et où nous ne pouvons compter qu'un électron de spin opposé. Dès lors:

Il reste à évaluer le minimum de la somme:

compte tenu de la condition . Il vient encore:

puis

que nous évrivons finalement:

Face à ce résultat, nous sommes confrontés à une situation inattendue :

Si le facteur  est positif, alors l'énergie totale de la naine blanche l'est aussi, ce qui signifie que le système n'est pas lié: l'étoile est totalement instable (elle n'a pas atteint son seuil d'énergie minimal). Elle ne peut réduire son énergie qu'en augmentant sans limite son rayon .

Nous voyons que la facteur est négatif si :

Si la Naine Blanche dépasse cette masse alors nous ne pouvons plus traiter le problème avec les équations précédentes. Elle satisfait alors aux équations régissant un astre composé de neutrons uniquement (étoile à neutrons) et ceci constitue alors un autre problème que nous n'aborderons pas ici pour l'instant.

La masse (approximative) de la fameuse "limite de Chandrasekhar" est donc donnée par :

Elle constitue la masse au-delà de laquelle une naine blanche s'effondre en étoile à neutrons.

Conventionnellement, les astrophysiciens associent cette valeur limite à un facteur multiplicateur de la masse du Soleil . Nous avons effectivement (numériquement) .

MODÈLE COSMOLOGIQUE NEWTONIEN

Un modèle cosmologique est une représentation mathématique de l'Univers qui cherche à expliquer les raisons de son aspect actuel, et à décrire son évolution au cours du temps.

Le modèle Newtonien s'applique dans le cadre des hypothèses de la mécanique de Newton (action instantanée). La résultats que nous allons étudier ici ont été découvert avant le développement de la Relativité Générale mais publié après! Mais ce modèle présente l'avantage de la simplicité tout en étant capable de mettre en évidence et de discuter de la dynamique de l'Univers et de se préparer à l'étude des modèles d'Univers faisant usage des résultats de la Relativité Générale. Ses inconvénients, outre le fait qu'il ne correspond pas tout à fait avec les résultats expérimentaux, est de n'être plus valable dans des conditions extrêmes donc de ne pas être extrapolable à l'instant du Big-Bang.

Avant de commencer, nous devons définir le "principe cosmologique" formé des deux assertions suivantes; en gros, il assure que nous ne sommes pas des observateurs privilégiés, et que ce que nous observons est bien représentatif de l'ensemble de l'Univers:

- L'espace est homogène, c'est à dire qu'il présente les mêmes propriétés dans toutes ses régions. Ceci doit s'entendre à très grande échelle, au-delà du millier de Mpc (Mégaparsecs). Il est clair qu'à petite échelle existent des inhomogénéités, nous par exemple.

- L'espace est isotrope, c'est à dire qu'il n'existe pas de direction particulière de l'espace, comme une direction d'aplatissement, ou un mouvement d'ensemble à l'échelle Universelle par exemple.

Nous allons poser quelques autres hypothèses de travail :

H1. Nous admettons que l'Univers est un milieu gazeux dont les particules sont des galaxies .

H2. Ce milieu gazeux est un fluide non visqueux.

H3. Ce milieu est homogène (ses propriétés sont les mêmes partout) et isotrope (ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions). Ces propriétés sont le résultat d' observations.

H4. C'est un Univers en expansion et homothétique.

H5. Sa masse volumique est uniquement fonction du temps.

H6. Nous acceptons la dynamique newtonienne pour construire le modèle.

H7. Il y a conservation de la masse (et donc de l'énergie- nous rejetons la suggestion de Hoyle d'une création continue).

H8. L'origine du temps est assimilée à l'origine de création de l'Univers

Sous l'hypothèse du principe cosmologique, la distance d'un point origine  à un point  quelconque de l'Univers peut varier en fonction du temps sous la forme :

où  est le "facteur d'échelle".

En écrivant cette relation, nous considérons que les points  et  sont sur un plan à courbure nulle. Effectivement, si nous imaginons deux points sur une surface courbe cercle (par exemple la surface d'une sphère) voyons ce qui ce passe:

La distance entre deux points du cercle (in extenso de l'espace sphérique) est donné par:

Nous voyons très bien dans cette relation que si le rayon (de l'Univers sphérique) change d'un facteur , alors la variation de distance entre les deux points n'est  pas proportionnelle à ce facteur !! Ce qui n'est pas le cas dans un plan à courbure nulle.

Conséquence: notre modèle Newtonien n'est valable que dans un Univers plat alors que la relativité générale peut prendre en compte n'importe quelle type de courbure !

Nous voyons tout de suite que la relation:

est indépendante de l'origine choisie, en effet, si nous l'appliquons à deux points  quelconques, nous avons :

Soit par différence:

Remarques :

R1. Au temps  il est évident que la relation précédente s'écrit :

et nous impose . Cette remarque est importante et nous y reviendrons plusieurs fois pendant les développements qui vont suivre.

R2. La loi s'applique donc à un segment   quelconque dans l'Univers c'est pourquoi l'Univers ne comporte pas de centre géométrique et que nous pouvons nous donner une image suggestive pour se donner une idée de l'expansion de la "trame" de l'Univers : soit un ballon mi-gonflé sur la surface de laquelle nous traçons deux repères (par exemple : deux croix tracées à l'encre). En le gonflant davantage, nous constaterons que ces deux croix s'écartent l'une de l'autre et donc la distance qui les séparent s'accroître. C'est ce que nous constatons avec les galaxies (hors mis, leur mouvement  propre, il y a en plus un mouvement dû à l'expansion de l'Univers).

Dérivons par rapport au temps l'équation:

Le premier membre donne alors la vitesse des particules (ou de tout autre objet) au point :

Soit en éliminant :

Nous posons pour simplifier l'écriture :

Nous avons donc :

Cette relation est connue sous le nom de "loi de Hubble".

Avant d'aller plus loin, il convient de s'arrêter sur cette équation pour l'instant présent :

Cette équation dit que les objets de l'Univers s'éloignent avec une vitesse proportionnelle à leur éloignement dans tous les points de l'Univers sans référentiel privilégié (aucune galaxie ne semble être fixe !). La constante  étant bien sûr identifiable à la constante de Hubble telle qu'elle est mesurée actuellement et valant environ  .

Ainsi, une estimation actuelle de l'âge de l'Univers pourrait être interprétée comme l'inverse de la constante de Hubble ce qui nous donnerait :

soit environ 13 milliards d'années.

Rappel : 1 parsec vaut

Inversement, nous pouvons nous amuser à calculer la distance à partir de laquelle nous pouvons atteindre la vitesse de la lumière soit environ 13 milliards d'années-lumière. Telle est la distance de "l'horizon cosmologique". C'est-à-dire la distance à partir de laquelle le redshift des galaxies devient infini. C'est donc là que se situe le Big Bang, à environ 13 ou 15 milliards d'années d'ici.

Considérons maintenant une sphère de matière de rayon  de masse  en expansion à la vitesse  dans un Univers déjà existant mais vide, et contenant une boule de matière de masse , qui, selon le principe cosmologique, est de densité  constante (isotropie). Nous pouvons appliquer à ce système la conservation de l'énergie mécanique car ce système est isolé (c'est d'ailleurs le seul "vrai" système isolé). Nous obtenons l'équation :

où  est une constante. En divisant par  chaque membre et en remplaçant  par son expression en fonction de la densité, nous obtenons :

Or la loi de Hubble nous donne :

et :

Nous obtenons:

que nous simplifions en:

Or,  sont des constantes. Nous introduisons une nouvelle constante  définie par (afin de simplifier les écritures) :

Nous obtenons donc l'équation :

Remarque :

Einstein rajouta à cette équation pour des raisons de conviction personnelles et quasi religieuses une fameuse constante cosmologique qui lui permettait de rendre statique le facteur d'échelle de l'Univers. Nous (les auteurs du site) rejetons cette constante arbitraire, même si dans la physique contemporaine elle est revenue à la mode (sa valeur a été cependant définie mathématiquement plutôt que religieusement) car elle permettrait d'expliquer la provenance de la matière sombre, les lois actuelle de notre Univers, la période inflationniste de notre Univers ainsi que sa géométrie. Ainsi, l'équation de Friedmann avec cette constante, qui est un total artifice de travail, moderne s'écrit :

avec :

C'est Andreï Sakharov qui a défini la valeur de cette constante cosmologique qui s'apparenterait soit disant à l'énergie quantique du vide (fonction des champs de Higgs).

Information : deux idées guident les chercheurs de ce début de 21^ème siècle : en physique quantique les équations du champ associées aux particules élémentaires servent à définir la théorie du Big Bang. La célèbre équation d'équivalence d'Einstein nous dit que l'énergie crée un champ gravitationnel comme l'électron en mouvement provoque un champ électromagnétique. Il découle de ces deux observations qu'en mesurant le champ gravitationnel nous avons un moyen de déterminer l'énergie du vide. Le champ gravitationnel ne concerne plus la matière mais bien la densité d'énergie du vide. Or la constante cosmologique est directement proportionnelle à la constante de la gravitation, . Sa mesure est un jeu très dangereux car de sa valeur dépend plusieurs lois fondamentales de physique et des propriétés non négligeables quant à la dynamique de notre Univers. Le débat reste donc complètement ouvert et si nous (les auteurs du site) trouvons une démonstration valable et rigoureuse de cette constante, nous mettrons à disposition du lecteur les conséquence de cette constante sur les modèles que nous allons voir ci-après.

Revenons en cependant à notre équation de Friedmann sans constante. En sachant que :

Nous obtenons :

qui se réarrange avec :

en :

L'exposant du terme de gauche impose que le terme de droite soit positif ou nul tel que :

Rappelons que les conditions initiales nous imposent qu'au temps  nous ayons :

 et

Effectivement :

Il vient alors :

Ce terme devrait être accessible à l'observation, hélas   est très mal connu et  encore plus. Autrement dit, compte tenu du signe "-" dans l'expression de , nous ne connaissons aujourd'hui même pas le signe de cette constante.

Cependant, il peut-être important de noter qu'il existe une valeur  critique qui annule  telle que :

Pour  (valeur actuelles) nous trouvons . A titre de comparaison, un atome d'hydrogène pèse , la densité critique correspondrait donc à 3 atomes d'hydrogène par mètre cube.

Les physiciens ont défini une constante notée par la lettre grecque  et donnée par :

Il est intéressant de travailler avec cette constante car dans le cas où :

- :

Nous avons :

ce qui en remplaçant dans l'équation de Friedmann donne :  (un Univers plat comme nous le verrons dans notre étude du modèle relativiste).

- :

En effectuant le même raisonnement, et toujours en inégalités, nous avons alors: (un Univers à courbure positive (fermé) comme nous le verrons dans notre étude du modèle relativiste).

- :

En effectuant le même raisonnement, mais en inégalités, nous avons alors:  (un Univers à courbure négative (fermé) comme nous le verrons dans notre étude du modèle relativiste).

Remarque : toutes les mesures qui ont pu être faites jusqu'à présent n'ont pas permis de mettre en évidence une courbure de l'univers. Les mesures du rayonnement fossile par le ballon Boomerang et le satellite COBE tendent cependant à accréditer l'hypothèse d'un univers plat relativement aux simulations numériques :

Revenons à l'équation :

Nous pouvons écrire :

En adoptant la notation :

Remarque : les mesures actuelles donnent

D'où :

Il convient maintenant pour nous de considérer trois situation:

Remarque: nous ne pouvons poser car dans nos hypothèses initiales se trouvait le principe de conservation de l'énergie.

MODÈLE DE FRIEDMANN-LEMAITRE

Le modèle de Friedmann-Lemaître consiste à supposer que . Autrement dit, nous sommes dans un Univers dont la densité est dite "critique" ou également "plat" (comme nous le verrons avec le modèle relativiste).

Nous avons alors l'équation :

En disposant les termes de manière adéquate :

et en intégrant, il vient :

Qui se simplifie en (nous élevons au carré d'où la suppression du double signe ±):

Nous avons donc dans ce modèle la relation :

à laquelle il nous faut rajouter une constante pour avoir la condition  qui reste satisfaite :

Ce qui nous donne sur un tracé (nous avons représenté une échelle arbitraire du temps sur l'axe vertical) une fonction à l'allure suivante (ne pas se fier aux valeurs indiquées elles sont arbitraires) :

Nous avons mise la zone où  en évidence pour bien rappeler que cette partie de la solution est à rejeter.

Nous avons donc un modèle d'Univers dont le facteur d'échelle croit de façon exponentielle et et ce indéfiniment.

Remarque : plus  est grand, plus la croissance du facteur d'échelle est grand (sous-entendu que la pente est bien évidemment plus grande).

MODÈLE HYPERBOLIQUE

Dans ce modèle, nous considérons . Donc l'équation à traiter reste :

Ce qui s'écrit aussi :

Rappelons que nous avions supposé  pour  que  si nous effectuons le changement de variable , nous obtenons l'intégrale suivante :

Nous recherchons donc une primitive de :

et nous discuterons du signe ± après avoir trouvé la primitive.

Nous effectuons encore un changement de variable en posant  donc  ce qui nous donne la primitive suivante à calculer :

en refaisant un changement de variable :

d'où à une constante multiplicative près :

nous avons :

Dans le chapitre de calcul différentiel et intégral nous avons vu que cette forme de primitive se résout par la relation (nous rajoutons la constante d'intégration à la fin car nous faisons de la physique et il faut satisfaire des conditions initiales auxquelles nous ne nous intéressions pas nécessairement en mathématique) :

avec :

d'où :

Il nous faut encore calculer :

Enfin :

en remettant en place tous les changements de variables et en introduisant à nouveau la constante multiplicative, nous avons dans le cas où :

Entre les deux bornes d'intégration nous avons donc (la constante d'intégration s'annule et nous reprenons le ± qui se trouvait initialement dans l'intégrale) :

Rappel : la théorie nous impose

Si nous traçons cette fonction pour une valeur  fixe. Nous avons le tracé suivant dans Maple (nous ne considérerons que le cas avec le signe "-" ci-dessous pour l'instant car le signe "+" nous donnerait un tracé dans les différentiels de temps négatifs : ) :

Remarque : le temps est toujours représenté sur l'axe vertical ainsi que pour tous les diagrammes suivants (il vous faut tourner un peu la tête si habituellement vous mettez le temps sur l'axe des abscisses…).

Nous voyons que plus la constante  est petite, plus l'Univers arrive rapidement à un valeur finale. De plus pour une valeur de  fixée, certaines valeurs de  sont interdites (c'est à cause de la condition d'intégration).

En fixant un valeur de , nous obtenons la représentation bi-dimensionnelle suivante :

Remarque: si nous effectuons un zoom au niveau , nous avons :

Nous voyons que le critère  est parfaitement et naturellement respecté sans introduction d'une quelconque constante. Il suffit par ailleurs de remplacer par 1 dans l'équation que nous avons obtenue pour voir que nous trouvons .

Remarque : comme nous l'avons déjà précisé, toutes les valeurs de  inférieures à 1 sont à rejeter !

Analysons l'avant-dernier tracé en rappelant que :

Une condition limite (condition d'intégration) pour que le terme de droite de l'égalité soit positif est que :

 ou

Donc, si  est plus petit que , nous ne somme plus dans un domaine valable (réel) du modèle.

Il faut donc que :

 ou

Cette limite a été présentée par une ligne verticale bleue sur l'avant-dernier diagramme. Nous y avons également représenté par une ligne horizontale verte la limite temporelle temps  correspondante .

Au fait, au-delà de cette limite temporelle, ce que ne sait pas l'ordinateur qui a tracé notre fonction qu'il devrait basculer sur la fonction d'échelle avec le signe "+". Ainsi, lorsque nous exécutons le tracé des deux fonctions avec les bornes adéquations :

nous obtenons alors (le temps est représenté sur l'axe vertical) :

Nous voyons que alors que pour  l'Univers entre dans un phase de contraction que nous appelons communément "Big Crunch". Après cette phase de rétraction, il est possible soit que l'Univers disparaisse totalement, soit qu'il entre à nouveau dans un phase dynamique cyclique (mathématique les deux possibilités sont possibles).

MODÈLE SPHÉRIQUE

Dans ce modèle, nous considérons . Donc l'équation a traiter peut s'écrire :

Ce qui s'écrit aussi :

Rappelons que nous avions supposé  pour  que  si nous effectuons le changement de variable , nous obtenons l'intégrale suivante :

Nous recherchons donc une primitive de :

et nous discuterons du signe ± après avoir trouvé la primitive.

Nous effectuons encore un changement de variable en posant  donc  ce qui nous donne la primitive suivante à calculer:

en refaisant un changement de variable :

d'où à une constante multiplicative près :

nous avons :

Dans le chapitre de calcul différentiel et intégral nous avons vu que cette forme de primitive se résout par la relation (nous rajoutons la constante d'intégration à la fin car nous faisons de la physique et il faut satisfaire des conditions initiales auxquelles nous ne nous intéressions pas nécessairement en mathématique) :

avec :

d'où :

Il nous faut encore calculer :

Enfin :

en remettant en place tous les changements de variables et en introduisant à nouveau la constante multiplicative, nous avons dans le cas où :

Entre les deux bornes d'intégration nous avons donc (la constante d'intégration s'annule) :

Nous devons évidemment avoir (nous reprenons le ± qui se trouvait initialement dans l'intégrale) :

Si nous traçons cette fonction pour une valeur  fixe. Nous avons le tracé suivant dans Maple (nous ne considérerons que le cas avec le signe "-" car celui avec le signe "+" n'a pas de sens physique même translaté) :

Nous voyons que plus la constante  est petite, plus l'Univers arrive rapidement croit indéfiniment rapidement. De plus pour une valeur de  fixée, certaines valeurs de  sont interdites (il s'agit au toujours fait de la condition d'intégration).

En fixant un valeur de  selon donne la représentation bi-dimensionnelle suivante :

Nous voyons à nouveau que le critère  est naturellement parfaitement respecté. Toutes les valeurs de  inférieures à 1 sont à rejeter !

Nous avons donc ce modèle sphérique un Univers qui croit indéfiniment de façon exponentielle (comme le modèle plat de Friedmann-Lemaître) car étant donné que , il n'y a plus de condition limite d'intégration (contrairement au modèle hyperbolique précédent).

UNIVERS OBSERVABLE

Nous avons déterminé plus haute une estimation actuelle de l'âge de l'Univers comme pouvant être interprétée comme l'inverse de la constante de Hubble ce qui nous a donné :

soit environ 13 milliards d'années.

Cependant il est difficile de s'imaginer ce que cela représente. A ce titre, nous avons trouvé sur Internet une magnifique série d'illustrations (si l'auteur reconnaît ses créations qu'il se manifeste afin que nous puissions en donner la source) que nous vous proposons :

1. L'univers jusqu'à 13 milliards d'années lumière (l'Univers visible) :

Cette carte essaye de montrer l'ensemble de l'Univers visible. Les galaxies dans l'univers ont tendance à se rassembler en vastes feuilles et superamas de galaxies, entourant de grands vides, ce qui confère à l'univers une apparence cellulaire. Parce que la lumière dans l'univers ne voyage qu'à une vitesse finie, nous voyons les objets sur le bord de l'univers quand celui-ci était très jeune, il y a 13 milliards d'années.

Quelques chiffres (estimations) :

- Nombre de superamas de l'univers visible = 270'000
- Nombre de groupes de galaxies de l'univers visible = 500 millions
- Nombre de grandes galaxies de l'univers visible = 10 milliards
- Nombre de galaxies naines de l'univers visible = 100 milliards
- Nombre d'étoiles de l'univers visible = 2'000 milliards de milliards

2. L'univers jusqu'à 1 milliard d'années lumière (les superamas voisins) :

Quelques chiffres (estimations) :

Les Galaxies et les amas de galaxies ne sont pas distribués régulièrement dans l'Univers. Au lieu de cela, ils sont rassemblés en de larges amas, feuillets et murs de galaxies séparés par de larges vides dans lesquels peu de galaxies semblent se trouver. La carte ci-dessus montre un certain nombre de ces superamas, y compris celui de la Vierge - un superamas plutot petit dont notre galaxie fait partie. La carte entière représente à peu près 7% du damètre de l'Univers visible. Les galaxies sont trop petites pour apparaitre individuellement sur cette carte, chaque point y représente un groupe de galaxies.

Quelques chiffres (estimations) :

- Nombre de superamas jusqu'à 1 milliard d'années lumière = 80
- Nombre de groupes galactiques jusqu'à 1 milliard d'années lumière = 160'000
- Nombre de grande galaxies jusqu'à 1 milliard d'années lumière = 3 millions
- Nombre de galaxies naines jusqu'à 1 milliard d'années lumière = 30 millions
- Nombre d'étoiles jusqu'à 1 milliard d'années lumière = 500 millions de milliards

3. L'univers jusqu'à 100 millions d'années lumière (le superamas de la Vierge) :

Notre galaxie n'est qu'une parmi des milliers d'autres qui se trouvent à moins de 100 millions d'années lumière. La carte ci-dessus montre comment les galaxies tendent à s'amasser par groupes, le plus important des amas proches étant l'amas de la Vierge (Virgo), une concentration de plusieurs centaines de galaxies qui domine les groupes de galaxies environnants. Collectivement, l'ensemble de ces groupes est connu sous le nom de Superamas de la Vierge. Le second amas le plus riche de ce volume est l'amas du Fourneau (Fornax), mais il est bien moins riche que celui de la Vierge. Seules les galaxies brillantes sont dessinées ici, notre galaxie est le point tout au centre.

Quelques chiffres (estimations) :

- Nombre de groupes de galaxies jusqu'à 100 millions d'années lumière = 160
- Nombre de grandes galaxies jusqu'à 100 millions d'années lumière = 2'500
- Nombre de galaxies naines jusqu'à 100 millions d'années lumière = 25'000
- Nombre d'étoiles jusqu'à 100 millions d'années lumière = 500'000 milliards

4. L'univers à moins de 5 millions d'années lumière (le groupe local de galaxies) :

La Voie Lactée est une des trois grandes galaxies du groupe appelé Groupe Local qui contient aussi plusieurs dizaines de galaxies naines. La plupart de ces galaxies sont portées sur cette carte, mais il faut noter que beaucoup de ces galaxies naines sont très peu brillantes, et qu'il y en a donc certainement d'autres à découvrir.

Quelques chiffres (estimations) :

- Nombre de grandes galaxies à moins de 5 millions d'années lumière = 3
- Nombre de galaxies naines à moins de 5 millions d'années lumière = 36
- Nombre d'étoiles à moins de 5 millions d'années lumière = 700 milliards

5. L'univers jusqu'à 500'000 Années Lumière (les galaxies satellites) :

La Voie Lactée est entourée par plusieurs galaxies naines, qui contiennent chacune quelques dizaines de millions d'étoiles, ce qui est insignifiant comparé à la population de la Voie Lactée elle-même. La carte ci-dessus montre l'ensemble des galaxies naines les plus proches, elles sont liées gravitationnellement à la Voie Lactée, et gravitent autour d'elle en quelques milliards d'années.

Quelques chiffres (estimations) :

- Nombre de grandes galaxies jusqu'à 500'000 années lumière = 1
- Nombre de galaxies naines jusqu'à 500'000 années lumière = 9
- Nombre d'étoiles jusqu'à 500'000 années lumière = 200 milliards

6. L'Univers jusqu'à 50'000 Années lumière (la Voie Lactée) :

Cette carte montre la Voie Lactée dans son ensemble - une galaxie spirale d'au moins deux cent milliards d'étoiles. Notre Soleil est profondément enfoui dans le Bras d'Orion à environ 26 000 années lumière du centre. Vers le centre de la Galaxie, les étoiles sont beaucoup plus proches les unes des autres qu'à la périphérie où nous vivons. Notez également la présence de petits amas globulaires bien en dehors du plan galactique, et la présence d'une galaxie naine voisine - dite du Sagittaire - qui est en train d'être lentement avalée par notre propre Galaxie.

Quelques chiffres (estimations) :

- Nombre d'étoiles jusqu'à 50 000 années lumière = 200 milliards

7. L' Univers jusqu'à '5000 Années lumière (le Bras d'Orion) :

Ceci est une carte de notre coin de la Voie Lactée. Le Soleil est situé dans le Bras d'Orion - un bras assez petit comparé au Bras du Sagittaire, qui se situe plus près du centre galactique. La carte montre plusieurs étoiles visibles à l'oeil nu, situées loin dans le bras d'Orion. Le groupe d'étoiles le plus marquant est composé des étoiles principales de la constellation d'Orion - de laquelle le bras spiral tire son nom. Toutes ces étoiles sont des géantes et supergéantes lumineuses, des milliers de fois plus lumineuses que le Soleil. L'étoile la plus brillante de la carte est Rho Cassiopeia - à 4'000 années lumière de nous, c'est juste une étoile à peine visible à l'oeil nu, mais en realité c'est une supergéante 100'000 fois plus lumineuse que le Soleil.

Quelques chiffres (estimations) :

- Nombre d'étoiles jusqu'à 5'000 années lumière = 300 millions

8. L'univers jusqu'à 250 Années lumière (le voisinage du Soleil) :

Cette carte indique les 1500 étoiles les plus lumineuses situées à moins de 250 années lumière. Toutes ces étoiles sont bien plus lumineuses que le Soleil, et la plupart sont visibles à l'oeil nu. Environ un tiers des étoiles visibles à l'oeil nu sont situées à moins de 250 années lumière, même si cette zone ne représente qu'une toute petite partie de notre galaxie.

Quelques chiffres (estimations) :

- Nombre d'étoiles jusqu'à 250 années lumière = 250'000

9. L'univers jusqu'à 12.5 Années Lumière (les étoiles les plus proches) :

Cette carte montre toutes les étoiles jusqu'à une distance de 12.5 années lumière de notre Soleil. La plupart de ces étoiles sont des naines rouges - des étoiles avec une masse du dizième de celle du Soleil et une luminosité cent fois moins grande. Environ quatre vingt pour cent des étoiles de l'univers sont des naines rouges, et l'étoile la plus proche - Proxima du Centaure- en est un exemple typique.

Cette carte montre toutes les étoiles connues situées à moins de 20 années lumière. On y trouve un total de 77 systèmes contenant 110 étoiles.

Les distances entre les étoiles sont énormes. La distance du Soleil à Proxima Centauri est de 4.22 années lumière, soit quarante trillions de kilomètres. Marcher sur cette distance prendrait un milliard d'années. Même les sondes spatiales les plus rapides mettraient soixante mille ans pour faire le voyage. Il y a actuellement quatre sondes qui quittent le système solaire - Pioneer 10 et 11, et Voyager 1 et 2 mais nous perdrons vraisemblablement le contact avec elles d'ici une vingtaine d'annéees. Le schéma ci-dessous essaye de montrer ces distances en élargissant le champ depuis le système solaire intérieur jusqu'à Alpha du Centaure.

RAYONNEMENT FOSSILE

L'existence et les propriétés du rayonnement cosmique découvert par Penzias et Wilson s'expliquent essentiellement par les deux phénomènes physiques que nous allons maintenant décrire dans leurs grandes lignes.

L'expansion de l'Univers a pour conséquence son refroidissement graduel. A partir des valeurs fantastiquement élevées qui ont dû régner aussitôt après le Big Bang qui a engendré l'Univers, sa température a progressivement décrû. Lorsqu'elle atteint environ se produit le premier des deux phénomènes cruciaux qui nous intéressent ici : la rayonnement, qui jusque-là était en équilibre thermique avec les particules matérielles, cesse pratiquement d'interagir avec elles et en devient indépendant. Dans le "modèle standard" d'évolution de l'Univers, nous calculons que ce moment crucial se situe ans après le Big Bang.

Nous pouvons comprendre qualitativement les raisons physiques de ce phénomène. Un peu avant, lorsque par exemple la température était de , l'Univers contenait essentiellement des photons, des électrons et des noyaux atomiques "nus" (principalement des protons, et, dans une moindre proportion, des particules , noyaux d'hélium 4). La température était trop élevée pour que les électrons et les noyaux puissent former des atomes, autrement que de manière transitoire et labile. L'interaction entre les photons et les particules chargées (surtout les électrons, les plus légères d'entre elles) est suffisamment intense, et la densité de ces dernière était alors suffisamment forte, pour que les photons soient sans arrêt diffusés, émis et absorbés. Malgré son expansion, l'Univers était était alors à chaque instant en équilibre; sa température était constamment bien définie, bien que décroissant au cours du temps, l'énergie des photons, c'est-à-dire la pulsation du rayonnement, était donc distribuée suivant la loi de Planck correspondant à cette température .

La diminution de la température a ensuite permis la formation d'atomes à partir des électrons et des noyaux. Ce processus a entraîné une chute rapide de la section efficace moyenne d'interaction entre les photons et les particules matérielles (principalement à cause de la disparition des électrons libres), de sorte que l'Univers est devenu transparent aux photons. Une évaluation quantitative des caractéristiques du phénomène situe ce découplage au moment où la température est descendue à .

Au moment du découplage, la densité volumique d'énergie du rayonnement est distribuée dans le spectre des pulsations selon la loi de Planck (voir chapitre de thermodynamique) :

où nous admettrons que est la température ( environ – température de ionisation des atomes les plus simples) à ce moment-là. Cette distribution va ensuite évoluer sous l'influence de l'expansion de l'Univers.

Considérons les photons situées, à cet instant dans le volume , et dont la pulsation est à près. Leur nombre est donc égal à :

Comme il n'y a plus d'absorption ni d'émission de photons à cette température (c'est un hypothèse mais comme les mesures expérimentales semblent confirmer ce modèle à défaut de mieux…), ce nombre va rester constant. Mais à cause de l'expansion de l'Univers, ces photons en nombre constant vont occuper un volume plus grand, et acquérir une longueur d'onde plus grande (selon l'expansion de la structure même de l'espace du à la valeur positive de la constante de Hubble) c'est-à-dire une pulsation plut petite (l'équivalent de l'effet Doppler). Pour préciser, examinons la situation à un instant ultérieur. Toutes les longueurs de l'Univers ont été multipliées entre, entre et , par le même facteur d'échelle selon la loi de Hubble : l'arête du volume cubique choisi est ainsi devenue :

et la longueur d'onde des photons considérés :

de sorte que leur pulsation vaut à l'instant :

Donc, l'énergie contenue à cet instant dans le volume et dans la bande de pulsations , que nous écrirons est donne par :

La densité volumique d'énergie à l'instant , pour la bande de pulsation , s'écrit donc :

Il s'ensuite que la distribution spectrale de l'énergie est encore à l'instant celle du corps noir :

où la température correspondante est telle que :

Ainsi, après son découplage d'avec la matière, la rayonnement cosmique évolue en conservant la distribution d'un corps noir dont la température décroît régulièrement, dans la même proportion que s'accroissent les distances au cours de l'expansion de l'Univers (depuis le moment du découplage, le facteur d'échelle est très voisin de 1000 puisque pour passer de aux actuels il y a un facteur 1000…). Cette valeur de 1000 nous permet à partir du modèle de Friedmann-Lemaître que nous avons démontré en partie ci-dessus de facilement calculer à quel moment de l'âge de l'Univers ce découplage a eu lieu. C'est ainsi que nous trouvons une valeur d'a peu près années.

C'est en se fondant sur ce raisonnement que divers auteurs furent amenés à prédire l'existence dans l'Univers actuel, d'un rayonnement fossile de quelques kelvins. La découverte de Penzias et Wilson, qui confirme parfaitement le plus solide en faveur du "modèle cosmologique standard", qui reconstitue l'histoire de l'Univers à partir de la "grande explosion" initiale.