DYNAMIQUE
DES POPULATIONS | THÉORIE
DES JEUX ET DE LA DÉCISION | ÉCONOMIE
TECHNIQUES DE GESTION | MUSIQUE
MATHÉMATIQUE
68.
MUSIQUE MATHÉMATIQUE (ACOUSTIQUE) |
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DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
La théorie de la musique est l'ensemble des aspects théoriques
d'un système musical particulier. Il existe, non pas une, mais une infinité de
théories musicales, chaque type de musique possédant la sienne.
Tout système musical repose en effet sur un certain nombre d'usages, plus
ou moins contraignants, susceptibles de faire l'objet d'une théorisation,
orale ou écrite.
Une théorie de la musique possède fréquemment
un point de départ religieux, philosophique ou magique
; d'autres fois, un point de départ arithmétique
ou scientifique (acoustique). C'est à cette dernière
que nous nous intéresserons ici évidemment...
Nous allons pour commencer considérer dans
ce chapitre les ondes élastiques
dans un gaz, résultant des variations de pression dans le
gaz. Le son constitue l'exemple le plus important de ce type d'ondes
qui fait partie de notre environnement quotidien.
ONDES SONORES LONGITUDINALES
Dans les milieux élastiques: les gaz et les liquides, des ondes
sonores longitudinales se propagent suivant le mécanisme suivant
(pour les solides il s'agit d'ondes transversales déjà étudiées
dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus): une
couche du milieu se déplace dans le sens de propagation de l'onde
(d'où le nom de longitudinal) et comprime la couche suivante, laquelle
sous l'effet de la pression avance et comprime la couche suivante
et ainsi de suite. Cela fonctionne aussi pour une couche qui recule:
la pression sur la couche suivante diminue ce qui a pour effet
de faire reculer la couche suivante laquelle
diminue à son tour la pression sur la suivante, etc.
La vitesse à laquelle se déplacent ces ondes longitudinales dépend
comme souvent des caractéristiques, du milieu. En général, elle
est plus faible dans les gaz que dans les liquides et plus faible
dans
les liquides que dans les solides. Par exemple dans
l'air, dans
l'eau et pour
les ondes transversales dans l'acier.
En ce qui concerne les fréquences, il n'y a presque pas de limites.
On peut générer des ondes sonores à des fractions de Hz jusqu'à des
centaines de MHz. Par référence à la gamme de fréquences
audibles à l'être humain, nous appelons "infrasons" des
fréquences inférieures à 20 [Hz] et "ultrasons" des
fréquences supérieures à 20 [KHz].
En général, les ondes sont produites par une source
de dimensions limitées et, à partir de cette source,
se propagent dans toutes les directions. Dans des milieux isotropes
le front d'onde d'une
perturbation est sphérique. Nous éviterons d'introduire
des coordonnées
sphériques en nous limitant à traiter des parties
de fronts d'onde suffisamment éloignées de la source
et suffisamment petites devant la distance à la source pour
que nous puissions assimiler le morceau de sphère à une
surface plane. Autrement dit, nous ne traiterons que les ondes
planes longitudinales.
Il existe aussi une autre différence importante entre
les ondes élastiques
longitudinales dans un gaz ou liquide et les ondes élastiques
transversales dans un barreau solide. Les gaz sont très
compressibles, et si des fluctuations de pression s'établissent
dans un gaz, sa densité subira
le même type de fluctuation
que la pression.
Considérons les ondes se propageant à l'intérieur d'un tuyau
ou tube cylindrique (horizontal) de section S. Notons et la
pression et la masse volumique à l'équilibre du gaz. Dans ces conditions
d'équilibre, et sont
les mêmes dans tout le volume gazeux du cylindre, c'est-à-dire
indépendants de x.
Si la pression du gaz est perturbée par exemple à l'une
des deux ouvertures de cylindre creux, un élément
de volume de celui-ci
Sdx sera intuitivement mis en mouvement parce que les
pressions P et P'
sur les deux faces S, S ' de ce petit volume seront
différentes et produiront donc une force résultante.
Remarque: Même si elles ont
une très grande vitesse, dans un
gaz les molécules
subissent des chocs très
fréquents les unes avec les autres. Elles parcourent au
fait moins d'un micron en moyenne (libre parcours moyen), dans
les conditions normales, avant d'en heurter une autre.
Il en résulte un déplacement de la section S d'une quantité et
de la section S' d'une quantité différente nécessairement
différente car l'équilibre de pression n'aura pas eu le temps de
se faire.
Ainsi, l'élément de volume au début a une
largeur dx mais
après la variation de pression, il aura une largeur si les
variations de pression sont petites en première approximation:
(68.1)
Cependant, en raison de la variation du volume, il y a également à présent
une variation de densité due à la compressibilité du
gaz. La masse contenue dans le volume non perturbé est initialement:
(68.2)
Si est
la masse volumique du gaz perturbé, la masse du volume perturbé vaut
au final:
(68.3)
La conservation de la matière demande que ces deux masses soient égales,
c'est-à-dire que:
(68.4)
ou:
(68.5)
En résolvant en nous
obtenons:
(68.6)
Comme nous considérons les variations de pression petites par
rapport à la pression ambiante, est
petit, nous pouvons remplacer:
(68.7)
par son développement limité de Taylor (cf.
chapitres de Suites Et Séries):
(68.8)
Soit:
(68.9)
En admettant maintenant que la pression est uniquement reliée à la
masse volumique (pour faire simple) nous pouvons écrire:
(68.10)
En utilisant la forme générale du développement de Taylor (cf.
chapitre de Suites et Séries):
(68.11)
Nous avons alors:
(68.12)
La quantité:
(68.13)
plus souvent notée:
(68.14) est appelée "coefficient de
compressibilité" ou
plus techniquement "coefficient de compressibilité isotherme".
Rappelons maintenant que nous avons démontré
dans le chapitre de Génie Météo à partir de la loi de Laplace lors
de notre étude du modèle atmosphérique adiabatique que:
(68.15)
où pour rappel, est
le "coefficient
de Laplace", appelé aussi "coefficient
adiabatique" défini par:
(33.16)
Alors nous obtenons (relation que nous utiliserons plus loin):
(68.17)
Le coefficient de compressibilité isotherme s'écrira bien évidemment
dans le cas général:
(68.18)
Au passage, remarquons qu'en passant de la masse volumique au
volume, il vient:
(68.19)
souvent notée dans
le domaine de la Thermodynamique.
Revenons aux deux relations:
et
(68.20) (68.21)
et injectons les dans le développement de Taylor fait plus
haut. Nous avons alors:
(68.22)
Cette expression relie la pression en tout point du gaz à la
déformation au même point.
Nous avons ensuite besoin de l'équation du mouvement de l'élément
de volume. La masse de l'élément est et
son accélération .
Nous avons naturellement en termes de force (le signe moins indiquant
que la force qui varie la pression s'oppose à la pression initiale
dans le cylindre):
(68.23)
soit:
(68.24)
Dans ce problème, il y a deux champs, le champ des déplacements et
le champ des pressions P. Nous pouvons les combiner de la
manière suivante en prenant:
(68.25)
et en dérivant par rapport à x et en nous rappelant que est
indépendante de la position dans le gaz. Nous avons alors:
(68.26)
Ce que nous pouvons combiner avec:
(68.27)
Nous retrouvons donc au final une équation d'onde
de la forme (rappel) d'une équation de Poisson (plus particulièrement
il s'agit d'une équation de d'Alembert):
(68.28)
Nous obtenons donc une relation similaire à ce que nous avons
obtenu dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire pour les
ondes mécaniques ou dans le chapitre d'Électrodynamique
dans l'équation
de propagation des ondes. Nous en concluons que le déplacement
dû à une perturbation de pression dans un gaz se propage à la vitesse:
(68.29)
où pour rappel la constante des gaz parfaits vaut .
La relation:
(68.30)
est parfois appelée "relation de Newton-Laplace".
Si nous considérons l'air comme un gaz parfait diatomique
alors (cf. chapitre de Thermodynamique)
nous avons ...
de masse molaire (moyenne
pondérée des masses molaires de et )
il vient à une température de 300 [K]:
(68.31)
Ce qui est en parfait accord avec l'expérience! Par contre,
lorsque l'on dit qu'un avion vole à Mach 2 (le Mach est
le rapport entre la vitesse d'un avion et celle du son), on ne
connaît pas
vraiment la vitesse du son (ni de l'avion) ni la température.
Or, nous avons aussi le résultat suivant (cf.
chapitre de Mécanique
des Milieux Continus):
(68.32)
Or, nous avons démontré dans le chapitre de Génie
Mécanique que
le coefficient de Poisson respectait:
(68.33)
En prenant l'approximation que pour un gaz ... nous
avons alors:
(68.34)
et donc:
(68.35)
La vitesse du son est alors donnée par le même type d'expression
pour les fluides ou les solides! Ainsi, la propagation d'une déformation
longitudinale dans un solide est donnée par:
(68.36)
et la déformation transversale (cf.
chapitre de Mécanique Des Milieux Continus):
(68.37)
Nous avons aussi:
(68.38)
En divisant ces deux égalités membre à membre, nous obtenons:
(68.39)
Soit après simplification:
(68.40)
Pour l'usage en laboratoire, ce modèle d'onde sonore est
plus pratique que le précédent, car nous mesurons
plus facilement des variations de pression dans un liquide ou un
gaz, que des déplacements
de molécules. Il est intéressant de savoir alors
que toutes les analyses que nous avons faits avec l'équation
d'onde des cordes (cf. chapitre de Mécanique
Ondulatoire) ou des ondes (cf. chapitre
d'Électrodynamique)
peut alors s'appliquer aussi à l'équation ci-dessus
(aspect énergétique, solutions particulières, diminution de l'amplitude
en fonction de la distance à la source, etc.).
Le mouvement des ondes dans les gaz est un processus adiabatique
(cf. chapitre de Thermodynamique)
donc il n'y a aucun échange d'énergie
sous forme de chaleur par élément de volume du gaz.
PUISSANCE TRANSPORTÉE PAR UNE ONDE SONORE
Nous avons vu plus haut que:
(68.41)
Notons les variations de densité dues à l'onde sonore par:
(68.42)
Nous ne ferons le calcul de la puissance transportée que
pour le cas des ondes sinusoïdales. Dans ce cas sera
de la forme:
(68.43)
Comme est
connu, nous pouvons calculer la pression correspondante en utilisant:
(68.44)
En introduisant les variations de pression dues à l'onde sonore:
(68.45)
et en utilisant:
(68.46)
Il vient:
(68.47)
Nous avons alors:
(68.48)
Pour calculer la puissance transportée par une onde sonore, nous
allons calculer le travail effectué, pendant une période, sur une
surface S située sur un plan perpendiculaire à l'axe des x et
de coordonnées x.
La force exercée sur cette surface sera:
(68.49)
Le travail effectué quand cette surface se déplace de sera:
(68.50)
Comme nous faisons un calcul pour les déplacements d'une
couche dont la position d'équilibre x ne varie pas, seule
la variable t varie:
(68.51)
En remplaçant nous obtenons:
(68.52)
Le travail exercé pendant une période:
(68.53)
sera:
(68.54)
Nous avons déjà démontré l'expression de ce type d'intégrale
dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral:
(68.55)
d'où:
(68.56)
En remplaçant il vient:
(68.57)
Pour calculer la puissance, il faut diviser ce travail par le
temps dans lequel il a été effectué:
(68.58)
et pour calculer la puissance transmise par unité de surface,
il faut diviser par la surface:
(68.59)
Si nous remplaçons k par:
(68.60)
Nous obtenons:
(68.61)
Avant de continuer, signalons qu'il existe plusieurs façons
de mesurer l'amplitude d'un son, et par extension, d'un signal
quelconque de nature ondulatoire:
- l'amplitude moyenne (la valeur moyenne arithmétique du signal
positif)
- l'amplitude efficace (amplitude continue équivalente en puissance)
- l'amplitude crête (maximale positive)
- l'amplitude crête à crête (l'écart maximal d'amplitude positive
et négative)

Figure: 68.1 - Types d'amplitudes
Dans la pratique, l'amplitude moyenne présente peu d'intérêt
et n'est pas utilisée. En revanche, la valeur efficace ou
RMS, pour Root Mean Square en anglais, soit la racine carrée de
la valeur quadratique moyenne
du signal est universellement adoptée pour mesurer la valeur
des tensions alternatives, dans le cadre général
autant qu'en acoustique. Un amplificateur qui est donné pour
10 watts RMS fera 14 watts en crête et 28 watts en crête à crête
(aussi noté cc). Les mesures
de puissance crête à crête sont assez souvent appelées "watts
musicaux" par les vendeurs de matériel audiovisuel,
car les chiffres sont plus flatteurs.
L'unité de mesure de l'amplitude dépend de la grandeur physique
mesurée:
- Pour une corde vibrante, c'est une distance.
- Pour une onde sonore, c'est la pression de l'air, ou des mouvements
du diaphragme
- Pour le rayonnement électromagnétique, l'amplitude correspond
au champ électrique.
- Pour un signal électrique, cela correspond à la valeur
maximale.
Pour les régimes sinusoïdaux (ou plus généralement
périodiques!),
il est facile de démontrer
que quel que soit le domaine de la physique la valeur efficace
(racine carrée de la moyenne du carré du signal)
est la valeur de crête
divisée
par la racine carrée
de deux:
(68.62)
Dons en valeur efficace (il s'agit uniquement d'un choix arbitraire
et rien d'autre il faut juste savoir de quoi on parle par la suite!!),
la relation antéprécédente s'écrit:
(68.63)
Comme nous avons l'amplitude de la pression qui est égale à:
(68.64)
et sa valeur efficace par:
(68.65)
Finalement, nous avons pour la puissance (que nous représenterons
par la suite par un P majuscule stylisé afin de ne pas confondre
avec la pression):
(68.66)
MESURE DE L'INTENSITÉ DU SON
Pour caractériser le son, on a inventé une unité de
mesure: le "Bel" et
son sous-multiple le "décibel" qui
vaut 1/10 de Bel. Cette intensité acoustique, assimilée à la "sonie"
ou "force sonore", a été définie à partir
de la pression sonore efficace (le donné plus
haut) et de la pression sonore d'une onde (à une fréquence
précise!) à la
limite du seuil auditif d'une petite élite de l'humanité (environ
10%).
Cette pression efficace de référence vaut:
(68.67)
L'intensité sonore d'une onde dont la pression acoustique
efficace est vaut
par définition et par convention:
(68.68)
et est souvent notée simplement S dans la littérature
spécialisée pour signaler qu'il s'agit de la "sensation
physiologique" de l'oreille humaine. Comment est-on
arrivé à cette relation? Eh bien en constatant sur
un panel d'individus que la sensation physiologique de l'oreille
n'était pas linéaire
mais que les variations absolues de la sensation sont proportionnelles
aux variations relatives de pression telles que:
(68.69)
Soit après intégration:
(68.70)
où par convention la sensibilité minimale
est posée
comme étant nulle et pour des raisons historiques on prend
les logarithmes décimaux au lieu des népériens. Il
vient alors:
(68.71)
Dans certaines sources, nous trouvons la définition du Bel à partir
d'une intensité de référence de (à 1
[KHz]):
(68.72)
Il vient alors (la définition est équivalente puisqu'il s'agit
d'un rapport et que la puissance est directement proportionnelle
au carré de la pression comme nous l'avons démontré plus haut):
(68.73)
En réalité, le Bel est rarement utilisé et
on lui préfère le
décibel (la plupart des êtres humains peuvent à ce
jour déceler
une différence d'intensité entre deux sons dont l'intensité diffère
de 1 [dB]):
(68.74)
Le décibel est donc par construction un dixième
de Bel... d'où son nom...
La raison de ce choix logarithmique est que la sensation auditive
est aussi logarithmique: on a la même impression d'augmentation
du son quand celui-ci passe de 1 à 10 que quand il passe de 10 à 100.
Pour donner une idée de la valeur d'un décibel,
voici un tableau de valeurs typiques (pour une fréquence
et une pression de référence
donnée):
Décibels |
Source |
160 |
Dommages au tympan |
140 |
Seuil de la douleur |
120 |
Seuil de la gêne |
100 |
Atelier de machines lourdes |
85 |
Automobile |
75 |
Usine moyenne |
60 |
Conversation normale |
40 |
Bruit des spectateurs au
cinéma |
20 |
Studio de radiodiffusion |
10 |
Chambre anéchoïque |
0 |
Seuil de l'audition |
Tableau: 68.1 - Amplitudes relatives typiques de différentes sources sonores
Comme nous l'avons déjà dit la pression efficace sonore minimum
qui provoque une sensation auditive est de:
(68.75)
c'est-à-dire environ fois
plus petite que la pression atmosphérique. Il faut tout
de même
que la fréquence de cette onde se situe autour de 3 [KHz],
là où la
sensibilité est maximum.
Il est très intéressant de calculer à quelle amplitude efficace
de déplacement cela correspond. Nous utilisons alors la relation
démontrée plus haut:
(68.76)
Donc pour le cas limite et à 1 [KHz], aux conditions
normales de température et de pression, nous aurons un déplacement
de (valeurs prises dans les tables de la commission romande de
mathématique):
(68.77)
et la valeur crête sera donc de:
(68.78)
Cette valeur est inférieure au rayon des atomes selon le modèle
de Dalton. La nature nous a doté d'un organe d'une sensibilité exquise!
Il est facile de calculer à quelle valeur de puissance
par unité de
surface correspond une onde sonore à la limite de l'audition.
En utilisant la relation démontrée plus haut, nous
obtenons:
(68.79)
Comme la surface de la section du canal auditif fait moins d'un ,
la puissance qui arrive au tympan est inférieure à .
ONDES SPHÉRIQUES
Dans la réalité les ondes sonores sont générées
par des sources d'étendue finie. À des distances plus faibles
ou comparables à l'étendue
de la source, la forme du front d'onde qui s'éloigne de
la source peut être très compliquée (imaginez le
front d'onde d'un tonnerre provoqué par un éclair
tarabiscoté). Mais, loin de la source, elle
est vue comme un objet ponctuel et le front d'onde devient de plus
en plus sphérique à mesure que l'on s'éloigne
de la source.
Si nous regardons un petit morceau de la sphère, la petite
surface sphérique sera très peu incurvée et
nous pourrons l'assimiler à une
surface plane sans faire trop d'erreur. Nous retrouverons les ondes
planes... mais
pas tout à fait!
La différence est que l'énergie transportée
par l'onde sonore est distribuée dans une surface qui s'agrandit
comme (où R est
la distance à la source). Donc la puissance par unité de
surface doit diminuer comme (exactement
selon le même développement mathématique que
celui pour les ondes électromagnétiques
vues dans le chapitre d'Électrodynamique) et comme la puissance
par unité de
surface est proportionnelle à ou à cela
implique que dans une onde sphérique, aussi bien le déplacement ,
que la pression sonore ,
doivent diminuer comme 1/R.
Dans le cas des ondes sinusoïdales, il faudra modifier l'équation
d'onde:
(68.80)
en ajoutant un coefficient 1/R. Si nous appelons r la
distance entre la source et la position d'observation, et que, à la
place de mesurer la position avec x nous le faisons avec r:
(68.81)
et de même pour la pression sonore:
(68.82)
EFFET DOPPLER
Dans ce qui a été étudié jusqu'ici, la source S et l'observateur O de
l'onde ont toujours été considérés comme immobiles l'un par rapport à l'autre.
L'effet Doppler explique les variations de fréquences de l'onde
observée lorsque S et O sont en mouvement relatif.
SOURCE FIXE-OBSERVATEUR EN MOUVEMENT
Considérons donc le premier cas où la source est fixe et l'observateur
en mouvement rectiligne et uniforme:

Figure: 68.2 - Schéma de principe d'une source fixe et d'un observateur en approche
Soient:
(68.83)
la fréquence de la source S et la
vitesse de propagation de l'onde dans le milieu, supposé immobile.
Si O reste immobile, il voit arriver les fronts d'onde à la
vitesse et
il n'y a pas grand-chose à dire. Si O se dirige vers S à vitesse ,
il reçoit les fronts d'onde à la vitesse:
(68.84)
et franchit les distances en
des temps égaux:
(68.85)
Pendant chaque intervalle il
perçoit un cycle complet de l'onde. Il en déduit que est
la période d'une
onde de fréquence :
(68.86)
Donc au final:
(68.87)
Le son devient donc plus aigu lorsqu'on approche une source. Si O s'éloigne de S à vitesse ,
il reçoit les fronts d'onde à la vitesse:
(68.88)
et les mêmes développements nous amènent alors à:
(68.89)
La limite de validité de cette relation étant pour .
Le son devient donc plus grave lorsqu'on s'éloigne d'une source.
Remarque: Si la vitesse de l'observateur
est orientée de manière
quelconque, par rapport à la ligne  ,
seule la composante radiale est à prendre en compte.
SOURCE EN MOUVEMENT-OBSERVATEUR FIXE
Il n'est pas forcément intuitif de voir que le système n'est pas
symétrique. Mais en prenant un cas particulier on se rend vite
compte que ça ne l'est effectivement pas. En effet, si le récepteur
fuit l'émetteur à une vitesse supérieure à ,
il ne recevra jamais d'onde, alors que si l'émetteur fuit un récepteur
immobile, celui-ci recevra toujours une onde. On ne peut pas inverser
le rôle de l'émetteur et du récepteur.
Dans le cas classique, il y a donc dissymétrie dans le décalage
fréquentiel selon que l'émetteur ou le récepteur est en mouvement.
Considérons dons la situation suivante:

Figure: 68.3 - Schéma de principe d'un observateur fixe et d'une source
en
approche
Soient:
(68.90)
la fréquence de la source S en mouvement rectiligne et
uniforme et la
vitesse de propagation de l'onde dans le milieu et O l'observateur
supposé immobile.
Si la source se déplace à vitesse ,
elle parcourt une distance:
(68.91)
entre chaque cycle. La longueur d'onde vue par l'observateur
varie donc de:
(68.92)
Pour l'observateur, elle diminue telle que:
(68.93)
Nous avons alors:
(68.94)
Donc après simplification:
(68.95)
La limite de validité de cette relation étant pour .
Il vient donc:
(68.96)
Le son devient donc plus aigu lorsque la source s'approche (donc
même sensation que lorsque c'est l'observateur qui s'approche).
De même, lorsque la source s'éloigne de l'observateur, nous avons
immédiatement:
(68.97)
Le son devient donc plus grave lorsque la source s'éloigne (donc
même sensation que lorsque c'est l'observateur qui s'éloigne).
Remarque: Dans le cas d'ondes électromagnétiques, la vitesse de
l'onde est la vitesse de la lumière qui ne dépend pas du référentiel.
Nous devons alors traiter le problème dans le cadre de la relativité restreinte
et on s'attend alors à trouver un effet parfaitement symétrique
puisqu'on ne peut pas distinguer entre vitesse de l'émetteur et
vitesse du récepteur, seule comptant la vitesse relative entre
les deux (voir les développements dans le chapitre de Relativité Restreinte).
OBSERVATEUR ET SOURCE EN MOUVEMENT
Si les deux (source et observateur) sont en mouvement rectiligne
sur une droite commune, les deux effets s'ajoutent. Nous avons
alors lorsqu'ils
se rapprochent:
(68.98)
Et s'ils s'éloignent:
(68.99)
ONDES DE CHOC
Les ondes de choc se produisent dans un gaz pour des perturbations
très intenses. Par exemple, l'onde du choc du Concorde (bang supersonique)
fait au niveau du sol une surpression d'environ 100 [Pa].
Le son est très fort, de l'ordre de 140 [dB], mais la surpression
n'est que d'un millième de la pression atmosphérique! Les ondes à la
sortie des armes à feu ont des surpressions de l'ordre de quelques .
Nous avons démontré que la vitesse des ondes dans un gaz dépendait
de la température mais si nous prenons en compte que les ondes
sonores produisent des variations de pression, celles-ci produisent
donc elles-mêmes des variations de température (cf.
chapitre de Thermodynamique). Donc, une augmentation de
pression augmente la température ce qui augmente la vitesse. Pour
le cas d'une sinusoïde,
les sommets de pression se retrouvent à voyager plus vite que les
creux... La sinusoïde se déforme, la pente entre les sommets et
les creux de devant augmente ce qui a tendance à créer un front
d'onde abrupt entre la partie chaude, derrière le front d'onde
et la partie froide juste devant. C'est ce que l'on appelle "onde
de choc". Cette onde de choc se propage à la vitesse
qui correspond à sa
température et qui est supérieure à celle du son normal.
À mesure que le front d'onde se propage, son amplitude diminue
et à la fin, l'onde de choc devient une onde sonore normale. Ce
qui est remarquable est que les ondes de choc, aussi bien celles
qui sont en surpression (plus chaudes et plus rapides) que celles
qui sont en dépression
(plus froides et plus lentes) fusionnent avec les ondes qu'elles
rattrapent ou qui les rattrapent. En effet, une onde normale qui
se fait rattraper par une onde de choc se retrouve à voyager dans
une zone chaude dont la vitesse est celle de l'onde qui l'a rattrapée.
GAMMES
MUSICALES
Lorsque nous faisons vibrer une corde de guitare, de violon ou
autre instrument à cordes dont les extrémités sont fixes (onde
stationnaire), nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique
Ondulatoire que nous sommes dans des conditions dites de Dirichlet.
Nous avions obtenu après de nombreux calculs, le résultat suivant:
(68.100)
Soit:
(68.101)
donc la fréquence (qui est un des facteurs de la sensation de
la "hauteur"
d'un son chez l'être humain) est bien inversement proportionnelle à la
longueur L d'une corde fixée aux extrémités (comme l'aurait
déduit Pythagore bien avant que la théorie soit établie).
La relation précédente le met en évidence; plus la partie
vibrante est longue (plus n est petit), plus le son sera
bas (basse fréquence) et plus elle sera courte (n grand),
plus le son sera aigu (haute fréquence).
Rappelons que pour ,
nous parlons de "fréquence fondamentale" et pour de "fréquence
harmonique". Ainsi, est
la première harmonique, la
deuxième harmonique, etc.
Définitions:
D1. Nous disons que deux fréquences (ou deux ondes périodiques)
sont "à l'unisson" l'une
de l'autre si le rapport de leurs fréquences est égal à l'unité:
(68.102)
D2. Nous disons que deux fréquences (ou deux ondes périodiques)
sont "à l'octave" l'une
de l'autre si le rapport de leurs fréquences est égal à deux:
(68.103)
Remarquons que la première harmonique correspond à l'octave de
la fondamentale:

Ainsi, certaines chanteuses sont capables de jouer sur 8 octaves
(c'est-à-dire un rapport de fréquences de 16). Ainsi, dans le cas
d'un instrument à cordes avec conditions de Dirichlet cela équivaut
bien évidemment à pincer la corde en son milieu (pour les guitares
cela correspond à appuyer la corde sur la frette de la 12ème case
par rapport à la fréquence de la corde à vide pour avoir une octave).
D3. Nous disons que deux fréquences (ou deux ondes périodiques)
sont "à la
quinte" l'une
de l'autre si le rapport de leurs fréquences est égal à 3/2:
(68.104)
Hormis l'octave, cet intervalle est le plus simple de tous, et
depuis toujours, dans la musique occidentale, il a été considéré comme
l'intervalle consonant par excellence, donc le plus remarquable à l'oreille.
Pour cette raison, la quinte a joué un rôle essentiel dans l'établissement
des gammes musicales, la gamme de Pythagore (gamme pythagoricienne) étant
même exclusivement construite sur cet intervalle particulier.
Nous remarquons que nous arrivons à mettre au plus un nombre entier
de 2 quintes dans une octave (au-delà nous dépassons la valeur
d'une octave).
D4. Nous disons que deux fréquences (ou deux ondes périodiques) sont "à la
quarte" l'un de l'autre si le rapport de leurs fréquences
est égal à 4/3:
(68.105)
D5. Le rapport des fréquences de
deux sons (ou deux ondes périodiques) éloignés l'un de l'autre
d'un "ton" peut être de
9/8. Il s'agit alors du "ton majeur":
(68.106)
D6. Le "ton mineur" a pour rapport de fréquences
10/9.
Lorsqu'un instrument à cordes a ses vibrations à vides qui sont
dans un rapport de fréquences correspondant à la quinte, nous disons
que l'instrument est "accordé de quinte en quinte".
Remarque: L'octave, la quinte, la
quarte et le ton sont appelés
en musique des "intervalles".
Évidemment, si nous souhaitons faire de la musique, il faut choisir
un repère. Comme la gamme de fréquences est infinie, il a été choisi
une fréquence à laquelle l'oreille humaine actuelle est la plus
sensible: 440 [Hz] que l'on appelle le "la" et
qui est noté (A)
chez les Anglo-saxons.
Au solfège, les étudiants occidentaux apprennent la suite empirique
suivante de 7 notes et dont l'origine écrite est purement mnémotechnique (on
retrouve cette suite sur les accordeurs électroniques avec le système
Anglo-saxon qui utilise certaines lettres de l'alphabet):
do (C) - ré (D) – mi (E) -
fa (F) - sol (G) - la (A) - si (B) – do (C)

où les lignes de la symbolique solfégique ci-dessus représentent
une quinte dans la gamme pythagoricienne. Entre le premier do et
le deuxième do, nous avons donc un intervalle d'une
octave. Par ailleurs, ce nombre de notes à l'intérieur
de l'intervalle d'octave est souvent insuffisant pour faire de
la bonne musique
et des artistes ont ajouté d'autres notes par altération
des fréquences
de ces 7 notes, en les diésant (multiplication de la fréquence
par 25/24) ou en les bémolisant (multiplication par 1-25/24).
Signalons qu'il existe une dizaine de manières de découper
l'octave solfégique et qui sont presque toutes encore utilisée
au début du 21ème siècle (elles sont toutes complétement empiriques
donc nous n'entrerons pas dans les détails):
- La "gamme naturelle" (appelée aussi "gamme harmonique")
- La "gamme tempérée"
- La "gamme pythagoricienne"
- La "gamme chromatique"
- La "gamme de Zarlino" (appelée aussi "gamme des physiciens")
etc.
La méthode et l'ordre d'apprentissage susmentionné est une aberration
mathématique (mais on est plus à ça près en musique... qui est
un art empirique).
OSCILLATEUR HARMONIQUE
Considérons le système mécanique de la figure ci-dessous constitué d'un
ressort de constante k, d'une masse m et d'un amortisseur
visqueux de constante c. Ce système est souvent assimilé à la
mécanique d'un haut-parleur (ou d'un micro) où l'air
sert d'amortisseur visqueux et le champ magnétique de l'aimant
excitateur de force d'application ou encore d'un amortisseur de
voiture:

Figure: 68.4 - Schéma de principe de l'oscillateur harmonique
Nous avons démontré dans le chapitre de Génie Mécanique que pour
un ressort de type hélicoïdal nous avions:
(68.107)
et c'est l'expression de la force avec laquelle le
ressort s'opposera à une force extérieure de compression ou de
traction. À l'équilibre, nous avons forcément la somme des forces
qui est nulle:
(68.108)
soit:
(68.109)
Nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Des Milieux
Continus que la loi de Stokes dans le cadre d'un cylindre était
donnée par:
(68.110)
Nous supposerons que notre amortisseur visqueux est basé sur une
loi du même type où la force de résistance est proportionnelle à la
vitesse. À l'équilibre, nous avons forcément la somme des forces
qui est nulle:
(68.111)
soit:
(68.112)
Nous allons simplifier cette expression:
(68.113)
Nous nous retrouvons donc avec une équation différentielle exactement
identique à celle d'un circuit RLC série en régime constant (cf.
chapitre de Génie Électrique):
(68.114)
Nous avons donc de la même manière, la viscosité critique:
(68.115)
au lieu de la résistance critique du circuit RLC:
(68.116)
qui va déterminer si le système est en régime critique:
(68.117)
en régime apériodique (hypercritique):
(68.118)
ou pseudo-périodique (oscillations amorties) avec:
(68.119)
Dans le cas des voitures ou haut-parleurs, il est souvent intéressant
de s'arranger pour être en mode pseudo-périodique. Nous retrouvons
alors exactement les mêmes résultats que le circuit RLC avec oscillations
amorties puisque l'équation différentielle est la même.
Les spécialistes de l'acoustique ou de la mécanique s'arrangent
alors pour s'approprier le concept de "facteur d'amortissement" du
circuit RLC:
(68.120)
qui s'écrira dans le cas présent par identification des termes:
(68.121)
Avec la pulsation propre:
(68.122)
qui s'écrit dans le cas présent:
(68.123)
L'oscillateur amorti perd de l'énergie au cours du temps. Calculons
cette perte. Nous avons (cf. chapitres de
Mécanique Classique et Génie Mécanique):
(68.124)
d'où:
(68.125)
Or, selon l'équation du mouvement:
(68.126)
Il vient alors:
(68.127)
La perte d'énergie (ou puissance dissipée) est proportionnelle
au carré de la vitesse instantanée.
Nous avons démontré dans le chapitre de Génie Électrique pour
le circuit RLC qu'en régime d'oscillations amorties, nous avions:
(68.128)
Ce qui devient ici:
(68.129)
Dès lors:
(68.130)
L'OSCILLATEUR FORCÉ
Considérons toujours le même l'oscillateur mais excité cette fois-ci
par une force harmonique (donc en régime forcé) tel que:
(68.131)
Encore une fois, il s'agit exactement du même type d'équation
différentielle que pour l'oscillateur RLC en régime forcé étudié dans
le chapitre de Génie Électrique pour lequel nous avions:
(68.132)
Il s'ensuit les mêmes résultats et conclusions que le lecteur
pourra trouver dans le chapitre de Génie Électrique.
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