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DYNAMIQUE DES POPULATIONS | THÉORIE DES JEUX ET DE LA DÉCISION | ÉCONOMÉTRIE
TECHNIQUES DE GESTION | MUSIQUE MATHÉMATIQUE

LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

L'objectif de ce chapitre est d'introduire aux principales techniques mathématiques de production et de gestion, de maintenance et de qualité dont l'utilisation est devenue indispensable aux ingénieurs, gestionnaires et cadres des entreprises modernes. Par ailleurs, c'est un excellent chapitre pour la culture générale du physicien ou du mathématicien... et un acquis pour l'ingénieur!

Beaucoup de techniques ne seront cependant pas présentées ici car ayant déjà été démontrées dans d'autres chapitres du site. Effectivement, les techniques de gestion font un énorme usage des statistiques (dites "statistiques descriptives" dans le domaine), de la théorie de la décision, de la théorie des graphes ainsi que de l'économétrie (en particulier le VAN, le R.O.I, etc.) et des algorithmes d'optimisation et des chapitres entiers y étant déjà consacrés sur ce site il serait redondant d'y revenir.

Diagramme de Pareto

Le diagramme de Pareto, comme nous allons le voir, est un moyen (entre autres) simple pour classer les phénomènes par ordre d'importance. Mais la distribution de Pareto est aussi souvent utilisée en entreprise comme base de simulation stochastique pour des variables aléatoires représentant des investissement chiffrés de projets (à peu près aussi souvent utilisée que la distribution triangulaire, la distribution Bêta ou log-Normale dans l'industrie moderne).

Rappelons alors qu'une variable aléatoire est dite par définition suivre une loi de Pareto si sa fonction de répartition est donnée par (cf. chapitre de Statistiques) :

  (1)

avec  et  (donc ) et pour l'espérance (moyenne) :

  (2)

et l'écart-type:

  (3)

Pour illustrer ce type de représentation, nous supposerons qu'une étude de réorganisation du réseau commercial de l'entreprise LAMBDA conduise le directeur commercial à s'intéresser à la répartition des 55'074 bons de commande (valeur en bas à droite du tableau) reçus pendant une année donnée selon la ville où sont domiciliés les clients (nous avons retenu ici les 200 premières villes du pays imaginaire d'où les 200 lignes réparties en 5 colonnes).

Pour calculer les paramètres de la loi de Pareto, le lecteur devra se raporter au chapite de Génie Industriel car nous n'allons ici avoir qu'une approche qualitative comme le font les gestionnaires, l'analyse quantitative étant réservée majoritairement aux ingénieurs.

Ces données sont reproduites dans le tableau ci-dessous :

où les 200 valeurs n_i (nombre de bons de commande en provenance d'une ville i) ont été classées par valeurs décroissantes et cumulées dans une colonne N_i.

La première ville se caractérise par 8'965 bons de commande (ce qui correspond à 16.28% du total des bons), la seconde par 4'556, ce qui fait que les deux premières villes ont passé 13'520 bons de commande (ce qui correspond à 24.55% des bons), les trois premières villes, ont passé 16'589 bons de commande (ce qui correspond à 30.12%), etc. Une autre façon de décrire ce phénomène consiste à dire : 0.5% des villes (classées par valeur décroissant du critère) ont passé 16.28% des bons, 1% des villes ont passé 24.55% des bons, etc.

Ces calculs, sont partiellement présentés dans le tableau ci-dessous :

traduits graphiquement (selon les traditions d'usage) ci-dessous sous la forme d'un diagramme de Pareto:

  (4)

ou de manière plus pertinente sous la forme d'un diagramme de Lorenz (l'abscisse des numéros des villes est remplacé par le %cumulé de villes comme dans le tableau de données ci-dessus):

  (5)

Cette analyse met en évidence qu'un nombre faible d'éléments est l'origine de la majeure partie du phénomène étudié (par exemple, ici 31% des villes génèrent 80% des bons de commande). Ceci explique qu'elle soit l'une des grandes techniques utilisées dans le domaine de la "gestion de la qualité totale" (Total Quality Management) ETdans l'analyse de l'importance des causes d'un problème de qualité. Elle est également utilisée par les gestionnaires pour structurer l'organisation, en particulier pour différencier les processus en fonction de caractéristique de la demande (suivi différencié de la clientèle selon son importance, par exemple) et lorsqu'elle est utilisée pour définir 3 classes, cette technique prend souvent le nom de "Méthode ABC" (cf. chapitre de Génie Industriel).

La ligne en pointillés de ce graphique correspond elle à ce que nous aurions observé en cas d'équi-répartition du phénomène étudié, c'est-à-dire si chaque ville s'était caractérisée par le même nombre de bons de commande.

De façon générale, plus une courbe de Pareto (ou de Lorenz) se rapproche de la droite d'égalité parfaite et plus la répartition de la masse considérée au sein de la population est égalitaire. En effet, dans ce cas, la masse (des salaires, de la richesse, du revenu, etc.) est peu concentrée sur quelques uns.

Dans un environnement industriel, les points d'amélioration potentiels sont quasi innombrables. On pourrait même améliorer indéfiniment, tout et n'importe quoi. Il ne faut cependant pas perdre de vue que l'amélioration coûte aussi et qu'en contrepartie elle devrait apporter de la valeur ajoutée, ou au moins supprimer des pertes.

INDICE DE GINI

Le phénomène étudié est d'autant moins équitablement réparti que la courbe s'éloigne de la droite d'équi-répartition. Les économistes, gestionnaires ou responsables de départements d'entreprise utilisent parfois (pour leur tableau de bord de performance) un indicateur synthétique pour mesurer ce phénomène et son évolution, "l'indice de Gini" (appelé aussi "coefficient de Gini").

Ce coefficient est défini par le rapport:

  (6)

où les surfaces A et B se rapportent à la figure ci-après.

  (7)

Le coefficient de Gini est donc un nombre réel compris entre zéro et 1. En cas d'égalité parfaite, il est égal à zéro (car A=0). En cas d'inégalité totale il est égal à 1, car B=0. Par conséquent, à mesure que G augmente de 0 à 1, l'inégalité de la répartition augmente.

Sachant que la courbe de Lorenz est  on voit que la surface A+B est égale à la moitié de cette surface. Nous avons donc :

  (8)

Nous pouvons de ce fait écrire:

  (9)

De plus comme:

  (10)

Finalement, nous pouvons écrire que :

  (11)

En utilisant la méthode de calcul d'intégrale des trapèzes (cf. chapitre de Méthodes Numériques) nous avons l'aire B qui est donnée par:

  (12)

où pour rappel h est la longueur des intervalles supposés tous égaux (ce qui est toujours le cas dans le contexte des analyses de Lorenz) et si la configuration du tableau de données est tel que nous ayons le graphique suivant (ce qui est plutôt rare...):

  (13)

Traditionnellement nous trouvons cette dernière relation sous la forme:

  (14)

où n représente le nombre d'unités statistiques (la population). Dans le cas qui nous sert d'exemple depuis le début cela donne:

  (15)

Dans la situation où le graphique est sous la forme (cas qui est nettement le plus fréquent en entreprise!!):

  (16)

La méthode des trapèzes nous amène alors à écrire:

  (17)

Traditionnellement nous trouvons cette dernière relation sous la forme:

  (18)

Dans le cas qui nous sert d'exemple depuis le début cela donne:

  (19)

PERT PROBABILISTE

En restant toujours dans le cadre des statistiques et probabilités relativement aux techniques mathématiques de gestion, il existe une loi empirique en gestion de projet (domaine que nous supposerons connu par la lecteur car trivial) très utilisée dans le cadre des "PERT probabilistes" (Program Evaluation and Review Technic) et incluse dans nombres de logiciels spécialisés afin de faire des prédictions de coûts et de temps (cf. chapitre de Théorie Des Graphes).

Cette loi, appelée "loi bêta" ou encore "loi de Pert" est souvent présentée sous la forme suivante dans les ouvrages et sans démonstration (...) :

  (20)

et donne la durée probable d'une tâche élémentaire (non décomposable en sous-tâches) où nous avons qui sont respectivement les durées optimistes, vraisemblables et pessimistes de la tâche . Nous allons démontrer plus bas la provenance de cette relation!

Ses principes sont les suivants :

La durée de chaque tâche du projet est considérée comme aléatoire et la distribution Bêta est systématiquement utilisée; les paramètres de cette loi que nous allons démontrer sont déterminés moyennant une hypothèse de calcul assez forte, à partir des valeurs extrêmes a et b que la durée d'exécution peut prendre, et du mode .

Il suffit donc de poser les trois questions suivantes :

1. Quelle est la durée minimale ?

2. Quelle est la durée maximale ?

3. Quelle est la durée la plus probable ?

pour obtenir respectivement les paramètres , qui permettent ensuite de calculer la moyenne et la variance de cette durée aléatoire.

Ensuite, nous déterminons le chemin critique du projet (par la méthode des potentiels métra supposée connue par le lecteur), en se plaçant en univers certain et en utilisant les durées moyennes obtenues avec la loi Bêta, ce qui permet de trouver le(s) chemin(s) critique(s).

Ensuite, nous nous plaçons en univers aléatoire et la durée du projet est considérée comme la somme des durées des tâches du chemin critique précédemment identifié. Nous utilisons alors le théorème de la limite centrale vu dans le chapitre de Statistiques (rappelons que ce théorème établit, sous des conditions généralement respectées, que la variable aléatoire constituée par une somme de n variables aléatoires indépendantes suit approximativement une loi Normale, quelles que soient les lois d'origine, dès que n est assez grand) pour approximer la loi de distribution de probabilités de la durée d'exécution du projet.

L'espérance mathématique (ainsi que la variance) de cette loi Normale se calcule comme la somme des espérances mathématiques (ou des variances) de chaque durée des tâches du chemin critique (cf. chapitre de Statistiques) tel que :

  (21)

et dans le cas particulier où les variables sont linéairement indépendantes, la covariance étant nulle (cf. chapitre de Statistiques) nous avons aussi :

  (22)

Rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Statistiques et Calcul Différentiel Et Intégral que :

et .   (23)

En gestion nous remarquons que souvent, les durées des tâches suivent une loi que nous appelons "loi bêta de première espèce" (cf. chapitre de Statistiques) donnée par:

  (24)

Pour un intervalle [a,b] quelconque dans lequel x est compris nous obtenons la forme plus générale:

  (25)

Vérifions que nous ayons bien :

  (26)

Par le changement de variable :

et   (27)

nous obtenons :

  (28)

Déterminons maintenant l'espérance :

  (29)

Toujours avec le même changement de variable nous obtenons :

  (30)

Or :

  (31)

Donc :

  (32)

Calculons maintenant la variance en utilisant la formule d'Huyghens démontrée dans le chapitre de Statistiques:

  (33)

Calculons d'abord .

  (34)

Toujours par le même changement de variable nous obtenons,

  (35)

Or :

  (36)

Donc :

  (37)

Pour finir :

  (38)

Calculons maintenant pour le "module" de cette loi de distribution. est par définition le maximum global de la fonction :

  (39)

Il suffit pour le calculer de résoudre l'équation :

  (40)

Après dérivation nous obtenons :

  (41)

en divisant par nous avons :

  (42)

c'est-à-dire :

  (43)

Maintenant, le lecteur aura remarqué que la valeur a est la valeur la plus petite et la b la plus grande. Entre deux il y a donc le mode . En gestion de projets, cela correspond respectivement aux durées optimiste , pessimiste et attendu d'une tâche.

Ensuite, nous imposons une hypothèse assez forte :

ou   (44)

Ce qui implique que nous ayons :

  (45)

ainsi que :

  (46)

Et finalement :

  (47)

Indiquons que exactement les mêmes développements effectués jusqu'ici peuvent sont valables avec la formulation suivante de la loi bêta:

  (48)

cette dernière formulation étant celle disponible dans les logiciels ou tableurs comme MS Excel par exemple en utilisant la fonction LOI.BETA( ) et pour sa réciproque par LOI.BETA.INVERSE( ).

Nous obtenons alors pour l'espérance:

  (49)

et pour la variance:

  (50)

et le mode:

  (51)

Avec:

  (52)

Sinon pour le reste, les résultats (expressions) restent exactement les mêmes!

Exemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction de Pert de paramètres :

  (53)

Nous définissons aussi le "risque d'action" par le rapport (dont l'interprétation est laissée aux responsable de projet et au client...) :

  (54)

PROCESSUS SIX SIGMA (LEAN)

Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Statistiques, la loi Normale est une fonction en forme de "cloche" donnée par:

  (55)

dont les écarts-types sont utilisées pour donner l'intervalle de probabilité cumulée de se situer dans ces bornes centré sur la moyenne comme représenté ci-dessous:

  (56)

Ceci étant rappelé, nous avons également présenté dans le chapitre de Génie Industriel les probabilités conjointes dans le cadre de Six Sigma pour une chaîne de processus P connectés en série.

Au fait les processus mentionnés ne sont pas forcément des processus industriels mais peuvent être assimilés sous des hypothèses identiques à des processus quelconques (administratifs, procédures, workflows, etc.).

Nous avions vu que la probabilité conjointe (ou cumulée) est appelée dans Six Sigma "Rolled Troughput Yield" (R.T.Y.) ou "Rendement Global Combiné" (R.G.C.) et est donnée par (cf. chapitre de Probabilités) :

  (57)

Par exemple l'application de la relation précédente donne pour un processus série en 4 étapes dont la fiabilité est de 90% chaque:

  (58)

Nous nous retrouvons donc au final avec une fiabilité de 65.6% soit une probabilité cumulée de défaut pour l'ensemble du processus de 34.4%.

Redonnons le tableau au pire selon Six Sigma, soit le tableau en procédé non centré avec une déviation de la moyenne de  (donc à droite mais on pourrait prendre à gauche et les résultats sont les mêmes) par rapport à la cible et d'écart-type unitaire avec USL et LSL symétriques (ce qui restreint toujours le champ d'application):

où nous avons démontré dans le chapitre de Génie Industriel que les valeurs PPM étaient données par:

  (59)

Ce qui donne pour un niveau de qualité de 3 Sigma:

>evalf((1-1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-(x-1.5)^2/2),x=-infinity..(1*3))))*1E6+evalf((1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-(x-1.5)^2/2),x=-infinity..-(3*(1+1)))))*1E6;

soit une valeur de 66810 c'est-à-dire la valeur de la 6 ligne. Ce qui correspond à ~6.68% en termes de probabilité cumulée de non-qualité (66'810 divisé par 1 million et mis en pourcents) et donc respectivement à une probabilité cumulée de ~93.32% de qualité.

Nous avons le tableau suivant qui peut résumer certaines valeurs importantes du tableau précédent en utilisant la commande Maple:

Qualité%	93.32	99.38	99.98	99.9996
	1	1.33	1.68	2
Jugement	Mauvais	Limite	Bon	Excelent

Sous l'hypothèse que chaque étape d'un processus série suit la même loi avec les mêmes moments et les mêmes déviations par rapport à la cible nous avons alors:

Étapes/Qualité%
1	93.32	99.38	99.98	99.9996
7	61.63	95.73	99.84	99.9976
10	50.08	93.96	99.77	99.9966
20	25.08	88.29	99.54	99.9932
40	6.29	77.94	99.07	99.9864
60	1.58	68.81	98.61	99.9796
80	0.40	60.75	98.16	99.9728
100	0.10	53.64	97.70	99.996
...	...	...	...	...

où chaque ligne représente le Rolled Troughput Yield donc calculé avec:

  (60)

où i dont le nombre d'étapes du processus (1,7,10,20,40) et où les probabilités sont données par la première ligne (1). Ainsi, avec un niveau de qualité de et une déviation à la cible de nous avons pour un processus de 20 étapes identiquement distribuées:

  (61)

Ainsi, l'objectif du Lean Six Sigma dans une entreprise sera d'augement le niveau de qualité avec d'avoir un RTY maximum pour un nombre donné d'étapes d'un processus.

gestion de stockS

L'enjeu de la gestion des stocks et apprivisionnement est important : mettre en place des processus qui opimisent la fonction économique, sous contrainte d'une disponibilité en théorie sans faille. Tel sont les objectifs du gestionnaire de stocks. Cela suppose de disposer d'une visibilité sur ses stocks et de méthodologies appropriées aux différentes situations.

Le contrôle du stock et approvisionnement d'une entreprise est donc aussi fondamental dans la vie de celle-ci. Afin de réduire (ou optimiser c'est selon) un maximum les coûts divers qui tournent autour du stockage, il faut faire encore une fois appel à des connaissances en statistiques mathématiques comme nous allons le voir de suite.

Dans un premier temps, nous allons établir comme déterminer le stock initial nécessaire à une entreprise en sa basant sur des données statistiques et ce à partir de modèles simples ensuite de quoi nous ferons de même aves les modèles de réapprovisionnement dont la démarche d'approche est un peu différente et permet comme pour la première d'arriver à des résultats très satisfaisants à grande échelle.

Les modèles que nous allons construire permettront ainsi :

1. De réguler les aléas des flux de fournitures

2. De permettre la production par lots (réduit les coûts de production)

3. De faire face à des demandes saisionnières

Des stocks supplémentaires pouvant engrenger des "coûts d'intérêt" (capital immobilisé), des "coûts d'obsolence" (les produits deviennent entre temps obsolètes), des "coûts de stockage", des "coûts d'assurances" (protection contre les accidentes pouvant subenvire sur le produits) et de nombreux autres...

Nous distinguons dans le domaine classiquement trois types de stocks:

1. Le "stock minimum", appelé encore "stock tampon" ou "stock d'alarme" ou "point de commande" ou "seuil de réapprovisionnement", correspond à la consommation de l'article durant le délai type d'approvisionnement (laps de temps entre la commande et la livraison). Par exemple, si le délai d'approvisionnement est de 5 jours et que les consommations quotidiennes sont de 100 unités, le stock minimum est de 500 unités.

2. Le "stock de sécurité" qui permet de répondre aux aléas les plus fréquents liés à la consommation et à la livraison.

3. Le "stock d'alerte", appelé encore "stock critique" qui est le niveau de stock pour lequel on déclenche une commande au risque de connaître une rupture. Par construction le stock d'alerte est donc la somme du stock de sécurité et du stock minimum.

STOCKS EN AVENIR INCERTAIN

Commençons notre étude pas le cas le plus simple qui suppose que la consommation est statistiquement régulière et sous contrôle. Il s'ensuit (cf. chapitres de Statistiques et de Génie Industriel) que la consommation périodique suit alors une loi de Gauss.

Prenons un exemple concret puisque la théorie a déjà été étudiée en long et en large dans le chapitre de statistique.

Considérons un article dont la demande quotidienne suite une loi normale de paramètres:

  (62)

Le stock disponible au moment de la commande est de 500 unités et le délai de réapprovisionnement de 5 jours. Nous souhaiterions savoir quelle est la probabilité cumulée d'être au-dessus ou égale à la rupture de stock ainsi que la probabilité cumulée d'être au-dessus de la consommation quotidienne supposée?

Nous avons pour le premier point la consommation moyenne sur 5 jours qui est en utilisant la propriété de stabilité de la loi normale:

  (63)

Nous avons alors:

  (64)

soit en utilisant MS Excel:

=1-LOI.NORMALE(500;450;44.72;1)=13.17%

Et pour la consommation quotidienne il vient simplement:

=1-LOI.NORMALE(500;450;44.72;1)=30.85%

STOCK INITIAL OPTIMAL

Imaginons de suite un scénario afin de développer un modèle (inspirée de l'ouvrage Gestion de la Production de V. Giard). Considérons que l'entreprise MAC est le spécialiste d'un certain produit dont le coût direct de fabrication est de 25 unités numéraires et le prix de vente 60. La vente quotidienne de ce produit est, en semaine, de 2.5 en moyenne et le relevé des demandes pendant trois mois laisse supposer que celle-ci suit une loi de Poisson, c'est-à-dire que nous avons une distribution de probabilités suivante du nombre X de ces produits au cours d'une journée (tronquée à , car la probabilité de ventes supérieurs à 10 sera supposée comme nulle).

Nous avons alors le tableau suivant qui montre que la quantité la plus souvent vendue à un agent économique est de 2 et le calcul de l'espérance nous donne pour ce tableau :

Nous supposerons que le stock est à flux tendu. En d'autres termes, d'un jour à l'autre, aucune unité n'est reportée pour les ventes du lendemain car il n'est plus censé y en avoir. La question dès lors est de savoir, le tableau ci-dessus étant donné, combien de produits mettre en fabrication (ou commander) chaque jour pour maximiser le bénéfice et minimiser les pertes.

Dès lors, dans l'optique retenue de minimisation de coût de possession associé aux invendus est de 25, tandis que le coût de rupture est égal au manque à gagner consécutif à la vente ratée, c'est-à-dire la marge 60 soustrait des 25 soit 35 unités numéraires.

Une gestion rationnelle doit permettre de calculer le stock initial S (autrement dit le nombre de produits à commander ou à fabriquer pour la journée) qui minimise l'indicateur de coût de gestion C(S) défini comme étant la somme du coût de possession associé au stock moyen des invendus , et du coût de rupture associé au stock moyen de ventes ratées :

  (65)

Du point de vue mathématique cela revient à chercher un extremum de la fonction de coût de gestion tel que pour la valeur optimale de l'approvisionnement initial le coût est inférieur ou supérieur à . En d'autres termes (c'est trivial)

ou   (66)

A partir de maintenant la question est de savoir comment procéder pour déterminer . Au fait l'idée est subtile mais simple tant qu'elle est bien exposée et réfléchie.

Reprenons la distribution de probabilités de la loi de demande quotidienne et supposons que nous voulions calculer les ruptures moyennes (donc l'espérance) et associées au stock initiaux respectifs par rapport à la distribution donnée.

L'idée est d'alors d'écrire la distribution de densité de probabilité par rapport à la quantité manquante de stock et non plus vendue :

Il ressort du tableaux précédent que le fait de faire passer le stock initial S de 4 à 5, diminue la rupture moyenne en la faisant passer de 0.1708 à 0.0620. Mais de ce résultat nous ne pouvons rien faire pour l'instant car à notre niveau actuel du développement, cela signifierait qu'en prenant un stock initial de 10, nous aurions une rupture moyenne nulle (... ce qui n'avance pas à grande chose...) et que si nous prenons aucun stock initial, nous aurions une rupture de stock totale...

Mais cependant, nous pouvons tirer un résultat intermédiaire intéressant. Effectivement regardons la manière dont varie la différence de la rupture moyenne (résultat facilement généralisable - nous pouvons faire la démonstration sur demande au besoin):

  (67)

Autrement dit (soyez bien attentif!!!), la diminution de rupture moyenne occasionnée en augmentant d'une unité un stock préalablement dimensionné à , est égale à la probabilité cumulée que la demande soit strictement supérieure à celle du stock initial .

En d'autres termes, au cas où cela ne serait pas clair, le fait d'augmenter le stock initial diminue certes la rupture moyenne mais impose en contrepartie que il y a moins d'acheteurs qui risquent de satisfaire l'offre et les seuls qui le peuvent sont ceux qui correspondant à la probabilité cumulée .

Finalement, nous pouvons écrire :

  (68)

Le tableau ci-dessous représente la diminution de rupture moyenne que nous obtenons en accroissant d'une unité le stock (et respectivement la probabilité de clients capables de consommer le stock...) :

Maintenant regardons les invendus . Leur espérance est bien évidemment donnée par (servez-vous des tableaux au besoin pour comprendre) :

  (69)

Ce que nous pouvons écrire :

  (70)

d'où :

  (71)

qui est donc le stock moyen possédé calculé sur la base du stock résiduel de fin de période. C'est donc un résultat remarquable qui va nous permettre de déterminer seulement à partir de .

Cette dernière relation peut également s'écrire :

  (72)

où le terme de gauche représente la demande moyenne satisfaite et le terme de droite l'offre moyenne utilisée. Cette relation est donc une relation particulière d'équilibre entre une offre et une demande.

Nous pouvons par ailleurs vérifier cela à partir des tables ci-dessous en mettant un exemple particulier en évidence :

x	4 - x	(4 - x)P(X)
0	4	0.3284
1	3	0.6156
2	2	0.5130
3	1	0.2138
4	0	-
5	-	-
6	-	-
7	-	-
8	-	-
9	-	-
10	-	-

Tableau: 9  - Espérance des invendus

Finalement nous pouvons écrire une expression de , fonction de la seule rupture moyenne :

  (73)

ou :

  (74)

Il s'ensuit que :

  (75)

Ce qui donne avec les résultats obtenus plus haut :

  (76)

Dans ces conditions, les relations :

  (77)

Deviennent :

  (78)

d'où :

  (79)

d'où est optimal si :

  (80)

Dans notre exemple numérique, nous avons :

  (81)

avec :

  (82)

d'où le stock optimal initial journalier appelé aussi "stock minimum":

  (83)

ce qui n'est ni 2 ni 2.5 !!!

modèle de wilson (réaprovisionnement)

Il existe plusieurs modèles d'optimisation de gestion de stocks (Statistique, Wilson, ABC, 20/80...). Parmi ceux-ci, nous avons souhaité nous arrêter sur le "modèle de Wilson" qui est le seul qui ait un intérêt mathématique, qui est et non intuitif et dont les hypothèses de départ sont les plus générales et simples (et qui est surtout le plus connu...).

Le but est de déterminer la stratégie qu'il faut adopter pour que le total périodique (annuel, mensuel, hebdomadaire, journalier, ...) des commandes ou fabrications de pièces minimise le total des coûts d'acquisition et de possession de stocks pour l'entreprise. Nous parlons aussi des fois de "gestion à flux tendu".

L'existence de stocks au sein de l'entreprise amène le gestionnaire à se poser la question du niveau optimal de ces derniers, en évitant deux éceuils principaux :

1. Le "sur-stockage", source de coûts pour l'entreprise (coût du stockage physique, manutention, locaux et surfaces utilisés, coûts annexes, assurances gardiennage, coût des capitaux immobilisés)

2. Le "sous-stockage" qui risque d'aboutir à des ruptures de stocks préjudiciables à l'activité de production ou à l'activité commerciale de l'entreprise (arrêt de la production, perte de ventes, perte de clientèle,...).

Les modèles de gestion des stocks ont pour objectif de minimiser le coût de gestion dans ce système de contraintes.

Chaque commande d'achat ou ordre de fabrication coûte à l'entreprise. Le "coût de lancement" ou "coût de passation" des commandes ou lancements de fabrications représente tous les frais liés (administratifs, réglages machines, préparation, communications,...) au fait de passer une commande (ou une fabrication) et est supposé être proportionnel à la quantité. Ces coûts sont déterminés à l'aide de la comptabilité analytique.

Ainsi, le coût d'une commande est obtenu en divisant le coût total de fonctionnement du service achat par une grandeur significative et pertinente, par exemple le nombre de commandes passées (ou ordres de fabrications) annuellement par exemple. Le coût d'un lancement en fabrication lui sera obtenu en divisant le coût total de fonctionnement du service ordonnancement, auquel, il faut, ajouter les coûts de réglage des machines et des préséries, par le nombre de lancements de fabrication.

Ces valeurs dépendent essentiellement de l'entreprise, de ses choix en matière de comptabilité analytique. Il est difficile de définir une fourchette de valeur standard. Bon nombre d'entreprises ne savent pas à combien leur revient une commande ou un lancement de fabrication (et bon nombre ne savant tout simplement pas faire une analyse...).

Le coût de possession du stock est constitué des charges liées au stockage physique mais également de la non rémunération des capitaux immobilisés dans le stock (voire du coût des capitaux empruntés pour financer le stock). Pour cette dernière raison, ce coût est considéré comme étant proportionnel à la valeur du stock moyen et à la durée de détention de ce stock.

Le taux de possession annuel t% est le coût de possession ramené à une unité monétaire de matériel stocké. Il est obtenu en divisant le coût total des frais annuel de possession par le stock moyen anneul.

Ces frais couvrent:

- L'intérêt du capital immobilisé

- Les coûts de magasinage (loyer et entretien des locaux, assurances, frais de personnel et de manutention, gardiennage..)

- Les détériorations du matériel

- Les risques d'obsolescence.

Ce taux oscille habituellement entre 15 et 35% de la valeur marchande stockées dans les entreprises, suivant le type des articles et la qualité de leur gestion des stocks.

Wilson a établi une relation basée sur un modèle mathématique simplificateur dans lequel nous considèrons que la demande est stable sans tenir compte des évolutions de prix, des risques de rupture et des variations dans le temps des coûts de commande et de lancement (nous sommes alors en "avenir certain").

Les hypothèses très simplificatirces de ce modèle sont les suivantes:

H1. La demande périodique est connue et certaine (déterministe)

H2. Les quantités commandées sont constantes à chaque période

H3. La pénurie, les ruptures de stock on lieu en fin de période

H4. Le délai de production est constant et l'approvisionnement supposé instantané

H5. Les coûts sont invariables dans le temps

H6. L'horizon de planification est infini

Nous noterons :

- N la quantité correspondante à une demande ou respectivement à des pièces consommées par période

- Q le quantité d'approvisionements ou de pièces lancées en fabrication en une seule fois pendant ce même temps (taille des lots)

-  le prix unitaire d'achat de la pièce (supposé constant)

-  le stock de sécurité envisagé pour cette pièce (supposé constant) pour répondre aux aléas.

- t le taux de coût possession en % (supposé constant)

-  le coût d'approvisionnement/acquisition par commande ou de lancement de fabrication

Nous définissons de par la même occasion, le "coût unitaire de stockage" calculé sur la base du prix untaire d'achat d'une pièce:

  (84)

Propositions:

P1. Le rapport (sans dimensions):

  (85)

donne "l'inertie des stocks" ou qui peut être vu de manière plus explicite comme étant le "nombre périodique de lancements" pour satisfaire la demande.

P2. Le "coût d'inertie" ou respectivement le "coût d'acquisition", ou encore "coût de lancement" est donc donné par :

  (86)

Ce dernier est donc supposé proportionnel à la consommation! Ce qui est important ceci dit est de remarquer que le coût de lancement est inversement proportionnel à la quantité Q et donc qu'il tend vers zéro lorsque Q tend vers l'infini. Ceci dit, normalement on aura dans la majorité des cas théoriques:

  (87)

P3. Le stock moyen dans l'entreprise dans l'hypothèse d'une consommation (décroissance linéaire du stock) et d'un niveau de sécurité constants dans le temps est trivialement:

  (88)

Le "coût périodique de possession", appelé encore"coût de possession" ou "coût de gestion", est alors :

  (89)

Il s'agit donc de la fonction d'une droite (dont l'ordonnée à l'origine est non-nulle si le stock de sécurité est non nul) si nous considérons que uniquement Q y est variable. Il est important de remarquer que ce coût est ne prend pas en compte les concepts de remise de volume faite par les commercieux...

Ces propositions nous amènent donc au calcul du "coût total d'approvisionnement" :

  (90)

qui est la "courbe des coûts cumulés" du type :

  (91)

Trouver la quantité économique , c'est trouver la valeur de Q pour laquelle le coût total est minimal, c'est-à-dire la valeur  pour laquelle la dérivée du coût total par rapport à la quantité est nulle:

  (92)

D'où la relation de Wilson (après un calcul élémentaire) pour le "lot/quantité économique optimal" :

  (93)

bien évidemment une fois connue la quantité économique, il devient facile de calculer le coût de gestion minimal en injectal dans la relation obtenue plus haut:

  (94)

Si nous reportons sur un graphique les fonctions:

- coût de lancement en fonction des quantités

- coût de possession en fonction des quantités

- coûts totaux en fonctions des quantités

La quantité économique se trouve à l'intersection des deux courbes, lancement et possession, ou au point d'inflexion de la courbe cumulée. Dans la pratique toutefois, il est possible de commander exactement la quantité économique, on choisira une taille de lot répondant aux diverses contraintes et comprise dans la "zone économique" :

  (95)

Il existe un autre type de cas de figure qu'il faut étudier. Si l'on commande en quantités plus importantes en bénéficiant ainsi d'une remise, on augmente certes les coûtes de possession mais on réduit théoriquement le nombre de commandes annuelles.

L'obectif pour le gestionnaire est bien sûr de vérifier mathématiquement que la remise consentie par son fournisseur n'entraîne pas de coûts induits supérieurs à la remise (ce serait une preuve d'incompétence du gestionnaire !).

Pour ce faire, il faut ramener tous les coûts à une pièce tel que:

  (96)

cette relation est importante car elle détermine la valeur de la remise pour que cette dernière soit intéressante.

Pour connaître le seuil de remise R pour une quantité donné, on remplace dans la relation précédente, Q par la quantité visée Q' et  par , R étant la remise.

Nous résolvons alors l'équation et nous obtenons:

  (97)

Nous déterminerons donc la valeur limite de R sous laquelle la remise ne compense pas les coûts internes.

Dans la pratique nous ne pouvons commander exactement la quantité optimale , notamment du fait des unités d'achats imposées par les fournisseurs (quantités minimales, conditionnements, etc.). Il est donc plus judicieux de s'intéresser à la "zone économique", constituée par la partie inférieure (le ventre) de la courbe des coûts totaux.

Du fait des hypothèses simplificatrices, le modèle de Wilson ne peut fournir au mieux qu'un ordre de grandeur si consommation et/ou prix sont sujets à variations (puisqu'elle est extrêmement dépendante des deux paramètres subjectifs : coûts de stockages et lancement).

Le recours aux lancements de fabrication économiques est "anti-flexible" par essence. Ce genre de politique amène fréquemment des circonstances importantes, risque de gonfler le stock de produits finis, reportant les coûts et pertes en aval du processus.

Cependant, le modèle de Wilson à ceci d'intéressant qu'il peut s'appliquer également assez bien à des ressources humaines.

Exemple:

L'entreprise MAC utilise un article X330 pour lequel la consommation prévisionnelle de l'année N devrait être de 4'000 articles. Les données sont les suivantes :

- Le coût unitaire de l'article X330 est de (peu importe le numéraire)

- Le coût de passation/lancement d'une commande est de

- Le taux de possession du stock est de

Le fournisseur de cet article, pour inciter ses clients à augmenter l'importance de leurs commandes propose à l'entreprise les conditions suivantes :

C1. Quantités commandées inférieures à 2'000 unités : prix unitaire

C2. Quantités commandées comprises entre 2'000 et 3'500 unités : remise de 2%.

C3. Quantités commandés supérieures à 3'500 unités : remise de 3 %.

Travail à faire : Dire quelle solution l'entreprise doit adopter.

Le prix varie donc en fonction de la quantité tel que étant donnée une quantité choisie, la remise s'applique d'une façon équivalent à tous les articles (nous parlons alors de "remise uniforme")..

D'après l'énoncé et en fonction de Q la quantité d'approvisionnement, nous savons que :

1. Si

2. Si

3. Si

En fonction de la relation de Wilson du lot économique, nous allons calculer la quantité économqieu pour le prix le plus avantageux à savoir  :

  (98)

Mais pour avoir droit avoir droit à il faut commander au minimum 3'500 articles il y a donc contradiction et cette solution est donc hors zone. Des calculs identiques (que nous laissons le soin de faire avec la calculatrice quand même...) montrent que seulement le lot économique de correspond à la contrainte .

BIENS D'ÉQUIPEMENT

Les installations, les biens d'équipement subissent une dépréciation progressive due à l'usure ou à l'obsolescence. Cette baisse de valeur, enregistrée comme un charge en comptabilité, est appelée "amortissement comptable". Il ne faut pas confondre l'amortissement financier vue en économétrie, qui correspond au remboursement d'une dette et l'amortissement comptable qui est une diminution de valeur des moyens de production.

Certains types de biens ont une perte de valeur assez uniforme dans le temps contrairement à d'autres qui se déprécient plus rapidement les premières années. Nous allons présenter ici quelques unes des méthodes comptables utilisées en pratique qui décrivent l'un ou l'autre de ces phénomènes.

AMORTISSEMENT LINÉAIRE

Définition: Nous parlons d'un "amortissement linéaire" d'un bien lorsque sa valeur d'immobilisation (amortissement) est diminuée d'un montant périodique (annuel dans la comptabilité) constant durant sa durée de vie:

Ainsi, si nous notons le montant du k-ème amortissement et la valeur initiale du bien d'équipement et sa valeur finale souhaitée (qui dans la plupart des cas sera nulle), nous avons :

  (99)

Il est possible d'obtenir la valeur d'amortissement en utilisant la fonction AMORLIN( ) de MS Excel.

Le taux d'amortissement équivalent constant basé sur la valeur d'achat et résiduelle est alors donnée évidemment par:

  (100)

A remarquer que ce taux constant et la valeur finale est parfois imposée par la législation dans certains pays (comme c'est le cas en Suisse par exemple) jusqu'à une valeur résiduelle nulle ou non nulle elle aussi définie par la législation!

AMORTISSEMENT ARITHMÉTIQUE DÉGRESSIF

Définition: Lorsque la valeur d'immobilisation (amortissement) d'un bien décroît inversement à l'ordre des périodes (années en comptabilité) nous parlons alors "d'amortissement arithmétique dégressif" (donc pas de taux d'amortissement imposé par l'État possible!).

Par exemple, un bien d'une durée de vie de 4 ans, sera amortissable de 4/10 la première année, 3/10 la seconde, 2/10 la troisième et 1/10 la dernière. La base commune "10" (dans cet exemple) étant la somme arithmétique 1+2+3+4 afin que la totalité des fractions soit égale à l'unité. Il s'agit d'une règle purement fiscale américaine " Sum-of-Years Digits" (SYD).

Soit le k-ème amortissement et la valeur initiale du bien d'équipement et sa valeur finale souhaitée (qui dans la plupart des cas sera nulle) nous avons alors:

  (101)

ce qui peut s'écrire :

  (102)

et comme nous l'avons démontré dans le chapitre des Suites Et Séries :

  (103)

ce qui nous amène à écrire :

  (104)

Il est possible d'obtenir l'amortissement à une période k en utilisant la fonction SYD( ) de MS Excel.

AMORTISSEMENT GÉOMÉTRIQUE DÉGRESSIF

Définition: Lorsque la valeur d'immobilisation d'un bien décroît selon un taux d'amortissement constant basé sur la valeur résiduelle de la période précédente (donc en quelque sorte comme un intérêt composé à taux négatif), nous parlons alors "d'amortissement géométrique dégressif simple".

Ainsi, la valeur du bien après n années est défini par :

  (105)

avec donc :

  (106)

Remarque: Nous constatons que t% étant comprise dans l'intervalle entre [0,1[ la limite de quand n tend vers l'infini n'est jamais nulle. Ainsi, la valeur résiduelle ne le sera jamais non plus !

Sachant que par définition de cet amortissement que nous obtenons :

  (107)

En injectant l'expression du taux dans la relation précédente, nous obtenons :

  (108)

Nous remarquons donc que les valeurs d'amortissement ne nécessitent pas de connaître le taux de manière explicite. Il suffit de connaître la valeur finale et initiale. C'est justement pour cela que la fonction DB( ) de MS Excel ne demande pas le taux d'amortissement.

A remarquer que ce taux constant et la valeur finale est parfois imposée par la législation dans certains pays (comme c'est le cas en Suisse par exemple) jusqu'à une valeur résiduelle nulle ou non nulle elle aussi définie par la législation!

CHOIX D'INVESTISSEMENTS

Par définition, un investissement est l'acquisition ou le développement d'un bien (quelque soit sa forme, matérielle ou non) par une entreprise, une collectivité ou un individu. Un investissement implique dans le cadre économique simple :

1. Une dépense immédiate, payable en une ou plusieurs fois

2. Des entrées futures, appelées "cash flows"

3. Une valeur résiduelle

Il existe plusieurs critères et techniques pour les choix d'investissements, que nous présenterons ci-après, qui permettent d'opter pour un investissement A ou B : celui de la "valeur actuelle nette" (VAN), celui du "taux interne de rentabilité" (TRI) ou encore celui de "délai de récupération".

VALEUR ACTUELLE NETTE

Comme nous l'avons spécifié plus haut, un investissement implique trois points. Ce qui intéresse bien évidemment l'investisseur, c'est qu'en valeur actuelle, l'investissement rapporte plus que ce qui est dépensé.

Voyons une situation type : une entreprise souhaite acquérir une nouvelle machine valant 6'000.-, ce qui devrait permettre d'abaisser les coûts de production de 1'000.- durant 5 ans. Nous estimons que dans 5 ans, la valeur résiduelle de cette machine sera de 3'000.-. Doit-on acheter cette machine si cet investissement peut être financé par un emprunt à 10% ?

Quelles informations avons-nous ici ?

1. La dépense immédiate

2. La valeur finale ou résiduelle du bien d'équipement après 5 ans

3. Les cash-flow de chaque année (qui sont constant sur toute la période dans cet exemple)

4. Le taux d'intérêt (taux géométrique moyen du marché) de l'emprunt correspondant

Quelles informations, ou questions intéressantes, financièrement parlant, pouvons nous nous poser par rapport aux données ci-dessus ? :

1. Quel serait le capital initial qui au taux du marché nous permettrait de retirer 1'000.- par année pendant 5 ans (jusqu'à ce qu'on solde le compte) ? :

  (109)

ce qui s'écrit si (nous retrouvons la relation de la rente certaine postnumerando vue dans le chapitre d'Économétrie) :

  (110)

Dans notre exemple cette somme (après un petit calcul) revient à environ 3790.-.

En d'autres termes, il nous suffirait de mettre en épargne 3'790.- pendant les mêmes 5 ans, pour en retirer 1'000.- par année jusqu'à solder le compte. Donc pour l'instant, un investissement de 3'790 pour économiser (gagner) 1'000.- par année semble beaucoup plus favorable qu'en dépenser 6'000.- (...) pour le même retour, sur la même durée.

Déjà là, nous pouvons dire que l'achat de la machine est défavorable.

Mais il ne faut pas oublier aussi un deuxième facteur... la valeur résiduelle de notre machine !!!

2. Quelle serait le capital initial qui au taux du marché nous rapporterait une valeur équivalente à la valeur résiduelle de notre machine (c'est une valeur immobilisée au même titre qu'une épargne, donc nous pouvons nous intéresser à ce qu'il adviendrait si cette somme provenait d'une épargne) ?

  (111)

Dans notre exemple, cette somme revient environ à 1'862.-

En d'autres termes, il nous suffirait de mettre en épargne 1'862.- pendant les mêmes 5 ans, pour obtenir une somme égale à la valeur résiduelle de notre machine.

Et alors ?

La somme :

  (112)

représente le retour sur la base d'une épargne initiale pour obtenir, par rapport aux informations de valeur résiduelle et de cash-flow, la somme finale équivalent à l'achat de notre machine. Or, dans cet exemple, cette somme nous donne environ 5'653.-.

Ce résultat est important car il est à comparer avec l'investissement que nous voulions faire initialement. Deux options s'offrent donc à nous :

1. Acheter la machine à 6'000.- avec les cash-flow et le valeurs résiduelle que nous connaissons

2. Epargner 5'653.- pendant la même période, avec les mêmes cash-flow pour nous retrouver avec une épargne finale qui devrait équivalente à celle à la valeur résiduelle de notre machine.

Or, que pouvons nous conclure dans notre exemple ? Eh, bien simplement que dans un cas défavorable :

  (113)

En d'autres termes, pour le financier (ou chef de projet), le calcul intéressant à faire est le suivant :

  (114)

qui :

1. Lorsqu'il est négatif correspond à un investissement qu'il vaut mieux éviter

2. Lorsqu'il est nul est un investissement indécidable

3. Lorsqu'il est positif est un bon investissement

Dans certains cas scolaires et livres de gestion de projets, la relation du VAN ci-dessus est simplifiée car nous supposons qu'un seul investissement... est fait en début de projet. Ainsi, nous avons:

  (115)

Enfin, précison que le rapport:

  (116)

est souvent appelé "coefficient d'actualisation" de la n-période.

Ainsi, le VAN est utilisé comme critère décisionnel dans les grandes entreprises pour chiffrer l'apport spécifique d'un projet au résultat financier de l'entreprise, en tenant compte du coût du capital utilisé via le taux d'actualisation.

Donc dans le cas d'un choix entre plusieurs investissement, nous choisirons celui dont la VAN est la plus grande. Si les cash-flow sont non déterministes il faudra alors calculer l'espérance et la variance du VAN. Les spécialistes abrègent souvent le calcul de l'espérance du VAN par l'abréviation VANe pour "valeur actuelle nette espérée" ou plus fréquemment en anglaiS "expected net present value" (eN.P.V.).

Si nous considérons en avenir certain avec un investissement initial unique de 10'000.- avec un taux d'actualisation constant de 10% et un cash flow parfaitement périodique de 3'250.-, 3'750.-, 4'250.-, 4'750.- nous avons la représentation tabulaire traditionnelle:

où dans le tableau ci-dessus F.N.T. signifie "Fond Net de Trésorerie", F.N.T.A. "Fond Net de Trésorerie Actualisé", C.A. "Coefficient d'Actualisation" et C.F.A. "Cash-Flow Actualisé".

Ainsi dans ce tableau, l'investissement rapport 2'150.- de plus qu'une opération de placement à 10% après 4 ans

TAUX DE RENTABILITÉ INTERNE

Définition (technique): Le "taux de rentabilité interne" (TRI), appelé aussi parfois "taux limite de rentabilité" est le taux d'actualisation t% pour lequel la valeur actualisée des rentrées nettes de fonds résultant d'un projet d'investissement est égale à la valeur actualisée des décaissements requis pour réaliser cet investissement.

En d'autres termes, cela revient à se demander quel est le taux moyen géométrique du marché pour lequel la V.A.N. du projet est nulle. Soit à satisfaire la relation :

  (117)

qui ne peut que se calculer rapidement avec des outils informatiques (l'outil Cible dans MS Excel par exemple).

Donc entre deux investissement, nous choisissons dans les entreprises celui dont le TRI est le plus élevé et satisfait aux contraintes internes.

Ce type de calcul s'applique donc sur le retour sur projets contre investissements sur le marché et non pas au retour sur projets contre exploitation. Ainsi, il s'agit d'un outil calculatoire d'aide à la décision purement financier et non industriel ou commercial.

DÉLAI DE RÉCUPÉRATION ET D'AMORTISSEMENT

Le "délai de récupération" ou "pay back" (en anglais) est un autre indicateur pour l'aide à la décision dans le cadre des choix d'investissements de projets et plus simple à l'utilisation (et à la compréhensions) que le VAN.

Cet indicateur a pour simple et seul objectif de montrer quand, dans le temps, l'investissement sera remboursé. En d'autres termes, il indique le nombre de périodes nécessaires pour que la somme des cash-flows couvre l'investissement initial. C'est une information très simple à déterminer qui revient à chercher le plus petit entier p tel que :

  (118)

ou encore :

  (119)

En d'autres c'est le moment d'un projet lorsque les cash-flow équilibrent l'investissement inital.

Définition: Le "délai d'amortissement" est le nombre de périodes nécessaire tel que :

  (120)

ou encore :

  (121)

THÉORIE DES FILES D'ATTENTES

La théorie des files d'attentes est un outil extrêmement puissant permettant de prendre en compte et de modéliser les goulots d'étranglement dans les processus des entreprises soit au niveau de la logistique ou des centrales téléphoniques ou encore dans les caisses de grands magasins ou encore dans les toilettes des grands stades sportifs (...). Elle est donc une partie intégrante des techniques mathématiques de gestion.

Elle fait donc appel à des méthodes statistiques et algébriques que nous avons étudiées dans les chapitres de statistiques et de théorie des graphes. Elle n'en est alors que plus passionnante.

Pour présenter le sujet, plutôt que de faire une généralisation abstraite, nous avons choisi de développer la théorie autour d'un exemple concret et classique qui est le télétrafic. Une généralisation à tout autre cas d'étude se faisant ensuite relativement facilement par analogies.

Considérons donc un central téléphonique regroupant les lignes d'un ensemble d'immeubles d'une ville et ne possédant pas autant de lignes allant vers le réseau que de lignes allant vers les différents particuliers qu'il dessert.

Nous pouvons donc légitiment nous demander de combien de lignes nous avons besoin pour desservir tous ces abonnés.

Pour dimensionner son réseau, un opérateur va devoir calculer le nombre de ressources à mettre en oeuvre pour qu'avec une probabilité extrêmement proche de 1, un usager qui décroche son téléphone puisse disposer d'un circuit. Pour cela, il va falloir développer quelques relations de probabilité de blocage. Ces relations vont demander une modélisation statistique des instants de début et de fin d'appels ainsi que des durées de ces appels. Les paragraphes qui suivent vont donc introduire les lois de probabilités utilisées pour ces dimensionnements.

MODÉLISATION DES ARRIVÉES

Considérons des appels qui débuteraient de manière aléatoire. Prenons ensuite un intervalle de temps t et divisons cet intervalle en n sous intervalles de durée t/n.

Nous choisissons n suffisamment grand pour que les hypothèses suivants soient respectées :

H1. Une seule arrivée d'appel peut survenir dans un intervalle t/n

H2. Les instants d'arrivée d'appels sont indépendants les uns des autres (...)

H3. La probabilité qu'un appel arrive dans un sous intervalle donné est proportionnelle à la durée du sous intervalle.

Nous écrivons alors la probabilité de un appel  dans un sous intervalle (1) de la manière suivante :

  (122)

où le 1 en indice du p représente donc l'analyse sur 1 appel, le 1 entre parenthèses le fait que l'analyse se fait sur 1 sous-intervalle et enfin le terme  représente le coefficient de proportionnalité entre la probabilité et la durée t/n du sous-intervalle.

L'hypothèse de départ consistant à considérer comme nulle la probabilité d'avoir plusieurs appels dans un sous intervalle s'écrit alors :

  (123)

La probabilité de n'avoir aucun appel durant un sous intervalle de temps t/n s'écrit donc :

  (124)

En développant, nous obtenons :

  (125)

et en utilisant la propriété énoncée juste au-dessus :

  (126)

La probabilité d'avoir k arrivées d'appels durant n intervalles de temps s'obtient alors en considérant le nombre de manière de choisir k intervalles parmi n... (puisqu'il ne peut y avoir plus d'un appel par intervalle)

Pour chacune de ces solutions, nous aurons alors forcément k intervalles avec une arrivée d'appel et n-k intervalles avec aucune arrivée d'appel. Nous avons vu dans le chapitre de statistique que la loi qui permettait d'obtenir la probabilité de choisir un certain arrangement d'issues binaires parmi un nombre total d'issues était la loi de Bernoulli donnée par :

  (127)

Il vient donc dans notre cas de figure que la probabilité d'une des solutions sera :

  (128)

La probabilité globale s'obtient en sommant les probabilités de tous les cas ce qui nous donne la loi binomiale (cf. chapitre de Statistiques) :

  (129)

Ou encore, en remplaçant les probabilités par leurs valeurs en fonction de  :

  (130)

La limite de la probabilité  lorsque n tend vers l'infini va être égale à la probabilité d'avoir k arrivées d'appel durant un intervalle de temps t. Nous notons  cette probabilité :

  (131)

En reprenant alors les différents termes de l'expression de  et en faisant tendre n vers l'infini, il vient :

  (132)

En utilisant les développements de Taylor (cf. chapitres de Suites Et Séries) :

  (133)

Soit en prenant que le premier terme, c'est-à-dire en considérant x très petit  :

  (134)

Donc :

  (135)

et pour la dernière partie :

  (136)

d'où après regroupement :

  (137)

Cette relation est donc extrêmement importante car elle représente la probabilité d'observer k arrivées d'appels dans un intervalle de durée t (ou le nombre de clients qui se trouve devant une caisse dans un intervalle de durée t) et il s'agit donc d'une distribution de Poisson (cf. chapitre de Statistiques).

Il s'ensuit par analogie avec la forme générale de la loi de Poissons que le  paramètre  est le taux moyen d'arrivée (taux moyen d'apparition) d'appels par unité de temps. Typiquement il s'agira d'un nombre moyen d'appels par secondes (voir les estimateurs de la loi de Poissons dans le chapitre de Statistiques).

Ainsi, nous avons pour espérance et variance (cf. chapitre de Statistiques):

  (138)

Exemple:

Une TPE souhaitant mettre en place une hotline estime qu'au début elle recevra par journée de 8 heures, 4 appels téléphoniques (soit une probabilité de 1 chance sur 2 d'avoir un appel par heure et donc un taux moyen de 0.5 par heure). Alors la probabilité qu'elle reçoive exactement 4 appels (k) par jour et au moins 4 appels (k) par jour selon le modèle théorique de la théorie des files d'attentes est de:

  (139)

où nous avons utilisé la fonction POISSON( ) intégrée dans MS Excel.

Maintenant, introduisons la variable aléatoire  représentant le temps séparant deux arrivées d'appel.

Nous introduisons pour cela la probabilité A(t) qui est la probabilité que le temps  soit inférieur ou égal à une valeur t :

  (140)

Nous avons donc :

  (141)

Or,  représente la probabilité qu'il n'y ait aucune arrivée d'appels durant un temps t. Cette probabilité a justement été établie plus haut :

  (142)

Nous en déduisons donc :

  (143)

Nous pouvons aussi introduit la densité de probabilité de la variable aléatoire. Nous obtenons ainsi :

  (144)

La densité de probabilité permet donc de calculer la durée moyenne entre deux arrivées d'appel :

  (145)

En intégrant par partie, il vient :

  (146)

Nous obtenons ainsi, que pour un taux d'arrivé d'appels de  appels par secondes, le temps moyen entre appel est égal à  (résultat relativement logique mais encore fallait-il le démontrer rigoureusement).

Supposons maintenant qu'aucun appel ne soit arrivé jusqu'à un temps  et que nous souhaitons calculer la probabilité qu'un appel arrive durant une durée t après le temps .

Nous devons donc calculer la probabilité d'avoir une durée entre deux appels inférieure à  tout en étant supérieure à .

Cette probabilité s'écrit . En utilisant la formule de Bayes (cf. chapitre de Probabilités) :

  (147)

mais avec les notations idoines il vient :

  (148)

Cette probabilité peut encore s'écrire :

  (149)

En reprenant les expressions des différentes probabilités :

  (150)

Nous voyons donc que la probabilité d'apparition d'un  appel durant un temps t après une durée  pendant laquelle aucun n'est arrivé est la même que la probabilité d'apparition d'un appel pendant une durée t, indépendamment de ce qui a pu arriver avant. Nous considérons donc que le phénomène (la loi exponentielle) est sans mémoire.

MODÉLISATION DES DURÉES

Pour étudier les lois de probabilité qui modélisent les durées des appels, nous procédons comme précédemment.

Nous considérons donc un intervalle de temps de durée t que nous décomposons en n sous intervalles de durée t/n. Nous choisissons n de sorte que les hypothèses suivantes restent justifiées :

H1. La probabilité qu'un appel se termine durant un sous intervalle est proportionnelle à la durée du sous intervalle.

Nous noterons :

  (151)

cette probabilité, expression dans laquelle  représente le coefficient de proportionnalité.

H2. La probabilité qu'un appel se termine durant un sous intervalle est indépendant du sous intervalle considéré.

Nous introduisons alors la variable aléatoire  représentant la durée d'un appel.. Nous introduisons alors la probabilité H(t) que la durée d'un appel soit inférieure ou égale à t :

  (152)

La probabilité qu'un appel ayant débuté à t = 0 ne se termine pas avant t s'écrit alors :

  (153)

cette probabilité est égale à la probabilité que l'appel ne se termine dans aucun des n sous intervalles de durée t/n :

  (154)

En faisant tendre n vers l'infini, nous obtenons :

  (155)

Nous obtenons donc l'expression de la probabilité qu'un appel ait une durée inférieure ou égale à t :

  (156)

Nous pouvons en déduire la densité de probabilité associée, notée h(t) :

  (157)

qui correspond donc à une loi exponentielle (le temps qu'un client emploie pour être
servi à une caisse ou pour que son appel soit traité suit donc une loi exponentielle).

De la même manière que dans les paragraphes précédents, la durée moyenne d'appel (laps de temps moyen entre deux fins d'appels) s'obtient en calculant (toujours la même intégration par parties que plus haut) :

  (158)

En conclusion, nous avons  appels qui cessent par secondes et nous avons une durée moyenne d'appel égale à .

Les probabilités d'apparition d'appels et de fin d'appels qui ont été développées dans les paragraphes précédents permettent de modéliser le processus complet d'apparition et de fin d'appels.

MODÉLISATION DES ARRIVÉES ET DÉPARTS

A chaque instant un certain nombre d'appels vont apparaître et d'autres vont se terminer. Nous pouvons donc modéliser l'état où l'on se trouve à un instant donné comme une chaîne d'états.

Chaque état représente le nombre de communications en cours. Nous concevons donc bien que si, à un instant donné, il y a k communications nous pouvons passer que dans deux états adjacents selon nos hypothèse : k-1 et k+1.

Nous reconnaissons alors une chaîne de Markov (cf. chapitre de Probabilités). La probabilité de passer d'un état i à un état j pendant un temps dt sera dont notée .

Nous introduisons alors les probabilités de transition d'état suivantes :

- Etant dans l'état k, la probabilité  pour passer à l'état k + 1 durant un intervalle de temps dt sera notée

- Etant dans l'état k, la probabilité  pour passer à l'état k-1 durant un intervalle de temps dt sera notée

- Etant dans l'état k + 1, la probabilité  pour passer à l'état k durant un intervalle de temps dt sera notée

- Etant dans l'état k - 1, la probabilité  pour passer à l'état k durant un intervalle de temps dt sera notée

  (159)

Les grandeurs  et  sont des taux d'arrivée (apparition) et de départ (fin) d'appels du même type que ceux utilisés lors des paragraphes précédents. La seule différence tient au fait que ces taux ont en indice l'état où se trouve le système.

Nous pouvons alors introduire la probabilité d'état, c'est-à-dire la probabilité d'être dans un état k à un instant t. Notons pour cela  cette probabilité (à rapprocher de la notation  utilisée pour les chaînes de Markov à temps discret dans le chapitre de Probabilités).

La variation de cette probabilité durant un intervalle de temps dt est alors égale à la probabilité de rejoindre cet état en venant d'un état k-1 ou d'un état k+1 mois la probabilité de quitter cet état pour aller vers un état k-1 ou vers un état k+1.

Ce qui s'écrit :

  (160)

En supposant le système stable, c'est-à-dire en supposant qu'il se stabilise sur des probabilités d'état fixes lorsque le temps tend vers l'infini, nous pouvons écrire que :

  (161)

Nous pouvons alors noter  d'où finalement :

  (162)

Nous aurions pu introduire cette dernière relation d'une autre manière : Elle exprime simplement le fait que la probabilité de partir d'un état est égale à celle pour y arriver (c'est peut-être plus simple ainsi).

Cette relation est vérifiée pour tout  avec les conditions mathématiques suivantes (car sinon ces termes n'ont aucun sens mathématique) :

  (163)

et la condition logique réelle suivante (des appels non encore existants ne peuvent finir...) :

  (164)

En écrivant le système d'équation précédent, nous trouvons :

  (165)

Nous trouvons alors assez facilement la forme générale :

  (166)

Le système se trouvant obligatoirement dans un des états nous avons la relation suivante qui doit obligatoirement être respectée:

  (167)

En remplaçant avec la relation antéprécédente :

  (168)

Ce qui donne aussi :

  (169)

et donc :

  (170)

PROBABILITÉ DE BLOCAGE (FORMULE D'ERLANG B)

Nous allons nous intéresser ici à un système disposant de N canaux de communication (chaque canal censé supporter un débit de un appel avec réponse immédiate). Si les N canaux sont occupés, les appels qui arrivent sont considérés comme perdus (absence de tonalité par exemple). Nous parlons alors de blocage ou ruine du système.

Nous allons chercher à estimer cette probabilité de blocage en fonction du nombre de canaux disponibles et du trafic.

Compte tenu de ce qui a été énoncé sur le caractère sans mémoire du processus d'arrivée d'appels, nous pouvons considérer que la probabilité :

   (171)

d'avoir k appels à l'état k est indépendante de l'état du système tel que :

  (172)

Ainsi, à chaque état k du système la loi de probabilité de type Poisson est valable. La différence de traitement c'est que plutôt que de considérer des états, nous allons considérer qu'un canal de communication peut-être considéré comme un état propre.

Pour la probabilité de fin d'appel, nous avons par contre :

  (173)

Effectivement, cette probabilité traduit juste que si k appels sont en cours chacun a une probabilité  de se terminer, d'où la somme qui donne . Nous avons alors:

  (174)

Ainsi, en injectant ces relations dans :

  (175)

Il vient :

  (176)

En introduisant alors la nouvelle variable :

  (177)

qui représente le nombre d'appels qui apparaissent sur le nombre d'appels qui se terminent pendant un intervalle de temps, ce qui représente en fait tout simplement le trafic, il vient :

  (178)

ou encore en introduisant le 1 dans la sommation :

  (179)

En reportant dans l'expression suivante de :

  (180)

il vient:

  (181)

et en considérant le caractère sans mémoire nous avons la relation:

  (182)

Il vient :

  (183)

où les k peuvent malheureusement porter à confusion. Il convient de faire un peu le ménage. Au numérateur, le k fait référence au nombre de canaux (serveurs, lignes, opérateurs ou terminaux) et au dénominateur le N aussi. Il convient donc de récrire cela de manière plus convenable:

  (184)

qui donne donc la probabilité de blocage (saturation) d'un système disposant de N canaux et pour un trafic A (exprimé donc en "Erlang").

Cette relation est parfois notée dans les ouvrages spécialisés sous la forme:

  (185)

Cette relation est très importante en théorie des files d'attentes et porte le nom de "formule d'Erlang-B".

  (186)

Exemple:

E1. Quelle est la probabilité de saturation d'une hotline sachant que le trafic A de la ligne est estimé à 2 Erlang (1 appel par heure pour 1 appel traité par ½ heure) pour une seule ligne téléphonique (N=1) en utilisant le modèle d'Erlang-B?:

  (187)

E2. Dans une entreprise, on a dénombré aux heures de pointes 200 appels d'une durée
moyenne de 6 minutes à l'heure. Quelle est la probabilité de saturation avec 20 opérateurs?

La plus grosse difficulté ici est de calculer le trafic! Il y a donc 200 appels par heures avec 10 appels traités seulement par heure (puisque 6 minutes par appel dans une heure de 60 minutes fait 10 appels). Le trafic A est donc de 200/10 soit 20 Erlangs. En appliquant alors la relation précédente, nous avons:

  (188)

Dans l'industrie on admet un taux de saturation de 0.01%. En jouant avec un tableur comme MS Excel et l'outil Valeur cible, nous trouvons rapidement que N doit alors être égal à 30.

PROBABILITÉ DE MISE EN ATTENTE (FORMULE D'ERLANG C)

Considérons maintenant un système pour lequel les appels bloqués peuvent être mis en file d'attente avant d'être servis.

Avec ce système, nous avons toujours :

  (189)

mais pour la probabilité de fin d'appel l'analyse devient plus subtile. D'abord il y a la probabilité que les appels qui se trouvent sur les canaux N disponibles cessent et qui est donnée par :

  (190)

Mais dès que le nombre d'appels est plus grand que le nombre de canaux de communication disponible, la probabilité que cessent les appels est :

  (191)

Ce qui exprime que quelque soit le nombre d'appels, N ont la probabilité d'être mis en attente dès que k (le nombre d'appels) est supérieur ou égal à N.

Ainsi, pour résumer :

  (192)

En utilisant :

  (193)

Nous obtenons par décomposition du terme produit :

  (194)

D'où finalement :

  (195)

En utilisant l'expression de :

  (196)

Nous pouvons décomposer la sommation :

  (197)

et décomposer le deuxième produit :

  (198)

Sous l'hypothèse que  La somme :

  (199)

peut être simplifiée. Effectivement, en posant , il vient :

  (200)

et comme nous l'avons montré lors de notre étude la fonction Zeta (cf. chapitre de Suites Et Séries) cette somme peut s'écrire sous la forme :

  (201)

Donc :

  (202)

Donc finalement :

  (203)

Nous avons donc pour :

  (204)

La probabilité de mise en file d'attente se note C(N, A) est elle est égale à :

  (205)

en procédant exactement comme dans les paragraphes précédents, nous avons finalement :

  (206)

qui donne la probabilité qu'un utilisateur ait à attendre avant que son appel soit traité. Cette dernière relation est appelée "formule d'Erlang-C". Traditionnellement on note :

  (207)

le "W" venant de l'anglais "Wait" (attendre).