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DYNAMIQUE DES POPULATIONS | THÉORIE DES JEUX ET DE LA DÉCISION | ÉCONOMÉTRIE
TECHNIQUES DE GESTION | MUSIQUE MATHÉMATIQUE

LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

L'objectif de ce chapitre est d'introduire aux principales techniques mathématiques de production et de gestion, de maintenance et de qualité dont l'utilisation est devenue indispensable aux ingénieurs, gestionnaires et cadres des entreprises modernes. Par ailleurs, c'est un excellent chapitre pour la culture générale du physicien ou du mathématicien... et un acquis pour l'ingénieur!

Beaucoup de techniques ne seront cependant pas présentées ici car ayant déjà été démontrées dans d'autres chapitres du site. Effectivement, les techniques de gestion font un énorme usage des statistiques (dites "statistiques descriptives" dans le domaine), de la théorie de la décision, de la théorie des graphes ainsi que de l'économétrie (en particulier le VAN, le R.O.I, etc.) et des algorithmes d'optimisation et des chapitres entiers y étant déjà consacrés sur ce site il serait redondant d'y revenir.

Diagramme de Pareto

Le diagramme de Pareto, comme nous allons le voir, est un moyen (entre autres) simple pour classer les phénomènes par ordre d'importance. Mais la distribution de Pareto est aussi souvent utilisée en entreprise comme base de simulation stochastique pour des variables aléatoires représentant des investissement chiffrés de projets (à peu près aussi souvent utilisée que la distribution triangulaire, la distribution Bêta ou log-Normale dans l'industrie moderne).

Rappelons alors qu'une variable aléatoire est dite par définition suivre une loi de Pareto si sa fonction de répartition est donnée par (cf. chapitre de Statistiques) :

  (1)

avec  et  (donc ) et pour l'espérance (moyenne) :

  (2)

et l'écart-type:

  (3)

Pour illustrer ce type de représentation, nous supposerons qu'une étude de réorganisation du réseau commercial de l'entreprise LAMBDA conduise le directeur commercial à s'intéresser à la répartition des 55'074 bons de commande (valeur en bas à droite du tableau) reçus pendant une année donnée selon la ville où sont domiciliés les clients (nous avons retenu ici les 200 premières villes du pays imaginaire d'où les 200 lignes réparties en 5 colonnes).

Pour calculer les paramètres de la loi de Pareto, le lecteur devra se raporter au chapite de Génie Industriel car nous n'allons ici avoir qu'une approche qualitative comme le font les gestionnaires, l'analyse quantitative étant réservée majoritairement aux ingénieurs.

Ces données sont reproduites dans le tableau ci-dessous :

où les 200 valeurs n_i (nombre de bons de commande en provenance d'une ville i) ont été classées par valeurs décroissantes et cumulées dans une colonne N_i.

La première ville se caractérise par 8'965 bons de commande (ce qui correspond à 16.28% du total des bons), la seconde par 4'556, ce qui fait que les deux premières villes ont passé 13'520 bons de commande (ce qui correspond à 24.55% des bons), les trois premières villes, ont passé 16'589 bons de commande (ce qui correspond à 30.12%), etc. Une autre façon de décrire ce phénomène consiste à dire : 0.5% des villes (classées par valeur décroissant du critère) ont passé 16.28% des bons, 1% des villes ont passé 24.55% des bons, etc.

Ces calculs, sont partiellement présentés dans le tableau ci-dessous :

traduits graphiquement (selon les traditions d'usage) ci-dessous sous la forme d'un diagramme de Pareto:

  (4)

ou de manière plus pertinente sous la forme d'un diagramme de Lorenz (l'abscisse des numéros des villes est remplacé par le %cumulé de villes comme dans le tableau de données ci-dessus):

  (5)

Cette analyse met en évidence qu'un nombre faible d'éléments est l'origine de la majeure partie du phénomène étudié (par exemple, ici 31% des villes génèrent 80% des bons de commande). Ceci explique qu'elle soit l'une des grandes techniques utilisées dans le domaine de la "gestion de la qualité totale" (Total Quality Management) ETdans l'analyse de l'importance des causes d'un problème de qualité. Elle est également utilisée par les gestionnaires pour structurer l'organisation, en particulier pour différencier les processus en fonction de caractéristique de la demande (suivi différencié de la clientèle selon son importance, par exemple) et lorsqu'elle est utilisée pour définir 3 classes, cette technique prend souvent le nom de "Méthode ABC" (cf. chapitre de Génie Industriel).

La ligne en pointillés de ce graphique correspond elle à ce que nous aurions observé en cas d'équi-répartition du phénomène étudié, c'est-à-dire si chaque ville s'était caractérisée par le même nombre de bons de commande.

De façon générale, plus une courbe de Pareto (ou de Lorenz) se rapproche de la droite d'égalité parfaite et plus la répartition de la masse considérée au sein de la population est égalitaire. En effet, dans ce cas, la masse (des salaires, de la richesse, du revenu, etc.) est peu concentrée sur quelques uns.

Dans un environnement industriel, les points d'amélioration potentiels sont quasi innombrables. On pourrait même améliorer indéfiniment, tout et n'importe quoi. Il ne faut cependant pas perdre de vue que l'amélioration coûte aussi et qu'en contrepartie elle devrait apporter de la valeur ajoutée, ou au moins supprimer des pertes.

INDICE DE GINI

Le phénomène étudié est d'autant moins équitablement réparti que la courbe s'éloigne de la droite d'équi-répartition. Les économistes, gestionnaires ou responsables de départements d'entreprise utilisent parfois (pour leur tableau de bord de performance) un indicateur synthétique pour mesurer ce phénomène et son évolution, "l'indice de Gini" (appelé aussi "coefficient de Gini").

Ce coefficient est défini par le rapport:

  (6)

où les surfaces A et B se rapportent à la figure ci-après.

  (7)

Le coefficient de Gini est donc un nombre réel compris entre zéro et 1. En cas d'égalité parfaite, il est égal à zéro (car A=0). En cas d'inégalité totale il est égal à 1, car B=0. Par conséquent, à mesure que G augmente de 0 à 1, l'inégalité de la répartition augmente.

Sachant que la courbe de Lorenz est  on voit que la surface A+B est égale à la moitié de cette surface. Nous avons donc :

  (8)

Nous pouvons de ce fait écrire:

  (9)

De plus comme:

  (10)

Finalement, nous pouvons écrire que :

  (11)

En utilisant la méthode de calcul d'intégrale des trapèzes (cf. chapitre de Méthodes Numériques) nous avons l'aire B qui est donnée par:

  (12)

où pour rappel h est la longueur des intervalles supposés tous égaux (ce qui est toujours le cas dans le contexte des analyses de Lorenz) et si la configuration du tableau de données est tel que nous ayons le graphique suivant (ce qui est plutôt rare...):

  (13)

Traditionnellement nous trouvons cette dernière relation sous la forme:

  (14)

où n représente le nombre d'unités statistiques (la population). Dans le cas qui nous sert d'exemple depuis le début cela donne:

  (15)

Dans la situation où le graphique est sous la forme (cas qui est nettement le plus fréquent en entreprise!!):

  (16)

La méthode des trapèzes nous amène alors à écrire:

  (17)

Traditionnellement nous trouvons cette dernière relation sous la forme:

  (18)

Dans le cas qui nous sert d'exemple depuis le début cela donne:

  (19)

PERT PROBABILISTE

En restant toujours dans le cadre des statistiques et probabilités relativement aux techniques mathématiques de gestion, il existe une loi empirique en gestion de projet (domaine que nous supposerons connu par la lecteur car trivial) très utilisée dans le cadre des "PERT probabilistes" (Program Evaluation and Review Technic) et incluse dans nombres de logiciels spécialisés afin de faire des prédictions de coûts et de temps (cf. chapitre de Théorie Des Graphes).

Cette loi, appelée "loi bêta" ou encore "loi de Pert" est souvent présentée sous la forme suivante dans les ouvrages et sans démonstration (...) :

  (20)

et donne la durée probable (espérée) d'une tâche élémentaire (non décomposable en sous-tâches) où nous avons qui sont respectivement les durées optimiste, vraisemblable et pessimiste de la tâche . Nous allons démontrer plus bas la provenance de cette relation!

Ses principes sont les suivants :

La durée de chaque tâche du projet est considérée comme aléatoire et la distribution Bêta est systématiquement utilisée; les paramètres de cette loi que nous allons démontrer sont déterminés moyennant une hypothèse de calcul assez forte, à partir des valeurs extrêmes a et b que la durée d'exécution peut prendre, et du mode .

Il suffit donc de poser les trois questions suivantes :

1. Quelle est la durée minimale ?

2. Quelle est la durée maximale ?

3. Quelle est la durée espérée ?

pour obtenir respectivement les paramètres , qui permettent ensuite de calculer la moyenne (espérance) et la variance de cette durée aléatoire.

Ensuite, nous déterminons le chemin critique du projet (par la méthode des potentiels métra supposée connue par le lecteur), en se plaçant en univers certain et en utilisant les durées moyennes (espérées) obtenues avec la loi Bêta, ce qui permet de trouver le(s) chemin(s) critique(s).

Ensuite, nous nous plaçons en univers aléatoire et la durée du projet est considérée comme la somme des durées des tâches du chemin critique précédemment identifié. Nous utilisons alors le théorème de la limite centrale vu dans le chapitre de Statistiques (rappelons que ce théorème établit, sous des conditions généralement respectées, que la variable aléatoire constituée par une somme de n variables aléatoires indépendantes suit approximativement une loi Normale, quelles que soient les lois d'origine, dès que n est assez grand) pour approximer la loi de distribution de probabilités de la durée d'exécution du projet.

L'espérance mathématique (ainsi que la variance) de cette loi Normale se calcule comme la somme des espérances mathématiques (ou des variances) de chaque durée des tâches du chemin critique (cf. chapitre de Statistiques) tel que :

  (21)

et dans le cas particulier où les variables sont linéairement indépendantes, la covariance étant nulle (cf. chapitre de Statistiques) nous avons aussi :

  (22)

Rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Statistiques et Calcul Différentiel Et Intégral que :

et .   (23)

En gestion nous remarquons que souvent, les durées des tâches suivent une loi que nous appelons "loi bêta de première espèce" (cf. chapitre de Statistiques) donnée par:

  (24)

Pour un intervalle [a,b] quelconque dans lequel x est compris nous obtenons la forme plus générale:

  (25)

Vérifions que nous ayons bien :

  (26)

Par le changement de variable :

et   (27)

nous obtenons :

  (28)

Déterminons maintenant l'espérance :

  (29)

Toujours avec le même changement de variable nous obtenons :

  (30)

Or :

  (31)

Donc :

  (32)

Calculons maintenant la variance en utilisant la formule d'Huyghens démontrée dans le chapitre de Statistiques:

  (33)

Calculons d'abord .

  (34)

Toujours par le même changement de variable nous obtenons,

  (35)

Or :

  (36)

Donc :

  (37)

Pour finir :

  (38)

Calculons maintenant pour le "module" de cette loi de distribution. est par définition le maximum global de la fonction :

  (39)

Il suffit pour le calculer de résoudre l'équation :

  (40)

Après dérivation nous obtenons :

  (41)

en divisant par nous avons :

  (42)

c'est-à-dire :

  (43)

Maintenant, le lecteur aura remarqué que la valeur a est la valeur la plus petite et la b la plus grande. Entre deux il y a donc le mode .

En gestion de projets, cela correspond respectivement aux durées optimiste , pessimiste d'une tâche.

Ensuite, nous imposons une hypothèse assez forte :

ou   (44)

Ce qui implique que nous ayons :

  (45)

ainsi que :

  (46)

Et finalement :

  (47)

Ce qui nous donnes sous forme synthétique:

  (48)

Indiquons que exactement les mêmes développements effectués jusqu'ici peuvent sont valables avec la formulation suivante de la loi bêta:

  (49)

cette dernière formulation étant celle disponible dans les logiciels ou tableurs comme MS Excel par exemple en utilisant la fonction LOI.BETA( ) et pour sa réciproque par LOI.BETA.INVERSE( ).

Nous obtenons alors pour l'espérance:

  (50)

et pour la variance:

  (51)

et le mode:

  (52)

Avec:

  (53)

Sinon pour le reste, les résultats (expressions) restent exactement les mêmes!

Exemple:

Tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction de beta de paramètres :

  (54)

Nous définissons aussi le "risque d'action" par le rapport (dont l'interprétation est laissée aux responsable de projet et au client...) :

  (55)

PROCESSUS SIX SIGMA (LEAN)

Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Statistiques, la loi Normale est une fonction en forme de "cloche" donnée par:

  (56)

dont les écarts-types sont utilisées pour donner l'intervalle de probabilité cumulée de se situer dans ces bornes centré sur la moyenne comme représenté ci-dessous:

  (57)

Ceci étant rappelé, nous avons également présenté dans le chapitre de Génie Industriel les probabilités conjointes dans le cadre de Six Sigma pour une chaîne de processus P connectés en série.

Au fait les processus mentionnés ne sont pas forcément des processus industriels mais peuvent être assimilés sous des hypothèses identiques à des processus quelconques (administratifs, procédures, workflows, etc.).

Nous avions vu que la probabilité conjointe (ou cumulée) est appelée dans Six Sigma "Rolled Troughput Yield" (R.T.Y.) ou "Rendement Global Combiné" (R.G.C.) et est donnée par (cf. chapitre de Probabilités) :

  (58)

Par exemple l'application de la relation précédente donne pour un processus série en 4 étapes dont la fiabilité est de 90% chaque:

  (59)

Nous nous retrouvons donc au final avec une fiabilité de 65.6% soit une probabilité cumulée de défaut pour l'ensemble du processus de 34.4%.

Redonnons le tableau au pire selon Six Sigma, soit le tableau en procédé non centré avec une déviation de la moyenne de  (donc à droite mais on pourrait prendre à gauche et les résultats sont les mêmes) par rapport à la cible et d'écart-type unitaire avec USL et LSL symétriques (ce qui restreint toujours le champ d'application):

où nous avons démontré dans le chapitre de Génie Industriel que les valeurs PPM étaient données par:

  (60)

Ce qui donne pour un niveau de qualité de 3 Sigma:

>evalf((1-1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-(x-1.5)^2/2),x=-infinity..(1*3))))*1E6+evalf((1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-(x-1.5)^2/2),x=-infinity..-(3*(1+1)))))*1E6;

soit une valeur de 66810 c'est-à-dire la valeur de la 6 ligne. Ce qui correspond à ~6.68% en termes de probabilité cumulée de non-qualité (66'810 divisé par 1 million et mis en pourcents) et donc respectivement à une probabilité cumulée de ~93.32% de qualité.

Nous avons le tableau suivant qui peut résumer certaines valeurs importantes du tableau précédent en utilisant la commande Maple:

Qualité%	93.32	99.38	99.98	99.9996
	1	1.33	1.68	2
Jugement	Mauvais	Limite	Bon	Excellent

Sous l'hypothèse que chaque étape d'un processus série suit la même loi avec les mêmes moments et les mêmes déviations par rapport à la cible nous avons alors:

Étapes/Qualité%
1	93.32	99.38	99.98	99.9996
7	61.63	95.73	99.84	99.9976
10	50.08	93.96	99.77	99.9966
20	25.08	88.29	99.54	99.9932
40	6.29	77.94	99.07	99.9864
60	1.58	68.81	98.61	99.9796
80	0.40	60.75	98.16	99.9728
100	0.10	53.64	97.70	99.996
...	...	...	...	...

où chaque ligne représente le Rolled Troughput Yield (RTY) donc calculé avec:

  (61)

où i dont le nombre d'étapes du processus (1,7,10,20,40) et où les probabilités sont données par la première ligne (1). Ainsi, avec un niveau de qualité de et une déviation à la cible de nous avons pour un processus de 20 étapes identiquement distribuées:

  (62)

ce qui est lamentable! Un procédé industriel en 20 étapes d'un produit complet devrait avoir au minimum un niveau de qualité de 4 sigma pour être acceptable en termes de rendement et de qualité

Ainsi, l'objectif du Lean Six Sigma dans une entreprise sera d'augementer le niveau de qualité avec un RTY maximum pour un nombre donné d'étapes d'un processus.

MODÈLE STATISTIQUE DE CONTRÔLE DES SALAIRES

Basée sur les us et coutumes en statistiques, le contrôle statistique des salaires (C.S.S.) peut se  justifier puisque l'outil et le principe de base est appliqué dans tous les domaines de l'économie (finance, médecine, ingénierie, qualité, biologie, projets, logistique, commerce, etc.)

L'idée, fort simple, est d'analyser la distribution statistique des salaires dans une population (nation, entreprise, département, niveau hiérarchique ou autre...) et de considérer tout ce qui est au-delà de 99.9996% de probabilité cumulée comme une anomalie. Au contraire, ce qui est à l'intérieur de l'intervalle sera justifié conformément aux standards d'usage et ne nécessitera dont ni débat, ni explications hasardeuses.

Déjà, une première règle empirique évidente, est que la variable aléatoire des salaires doit être catégorisée si sa distribution statistique est multimodale. Ce qui est fréquent dans certaines entreprises ou institutions. Il convient ensuite de choisir adéquatement les catégories qui seront fréquemment des niveaux hiérarchiques normalisés au sein de l'institution (ressources, responsables d'équipes, responsables de projets, directeurs de projets, direction...).

Une fois ceci fait, il doit rester une distribution statistique unimodale dont la variable aléatoire est strictement positive (les salaires négatifs étant rares...).

Par exemple, pour l''ensemble des salaires bruts annuels fixes en fin de carrière dans le canton de Genève (Suisse) en 2004 (source: Office Cantonal Genevois du personnel), nous avons la variables aléatoire qui suit une loi log-logistique de paramètres:

  (63)

Nous avons ainsi:

Ainsi, si nous nous basons sur les us et coutumes en statistiques de la gestion de portefeuilles et du risque dans les bons instituts financiers, un salaire annuel de plus de 300'000.- CHF à Genève, tous secteurs et hiérarchies confondus, est une anomalie...

Si nous nous basons sur les us et coutumes en statistiques de la gestion du risque et de la qualité dans l'industrie des procédés de fabrication massive, un salaire annuel de plus de 2'030'000.- CHF à Genève, tous secteurs et hiérarchies confondus, est une anomalie...

Si nous nous basons sur les us et coutumes des statistiques les plus pointues en termes de qualité et du contrôle du risque, un salaire de plus de ~13'040'000.- CHF à Genève, tous secteurs et hiérarchies confondus, est une anomalie...

Ainsi, il serait contradictoire que les personnes dirigeantes qui imposent des critères statistiques à leurs collaborateurs en ce qui concerne les services et la production ne les respectent pas eux-mêmes en ce qui concerne leur salaire ou n'impose pas des règles identiques au département des ressources humaines (dont le concept de qualité est souvent inconnu...).

Remarque: Le même raisonnement statistique peut s'appliquer pour la part variable du salaire.

gestion de stockS

L'enjeu de la gestion des stocks et apprivisionnement est important : mettre en place des processus qui opimisent la fonction économique, sous contrainte d'une disponibilité en théorie sans faille. Tel sont les objectifs du gestionnaire de stocks. Cela suppose de disposer d'une visibilité sur ses stocks et de méthodologies appropriées aux différentes situations.

Une production sans stock est quasi inconcevable vu les nombreuses fonctions que remplissent les stocks. En effet, la constitution de stocks est nécessaire s'il y a :

- Non coïncidence dans le temps ou l'espace de la production et de la consommation : le stock est indispensable dans ce cas car il est impossible de produire là et quand la demande se manifeste. Les exemples classiques sont la fabrication de jouets ou la confiserie pour la non coïncidence dans le
temps, et les supermarchés pour la non coïncidence dans l'espace.

- Incertitude sur le niveau de demande ou sur le prix : s'il y a incertitude sur la quantité demandé, on va constituer un stock de sécurité qui permet de faire face à une pointe de demande (en prenant soin d'éviter l'effet "coup de fouet"). S'il y a incertitude sur le prix, on va constituer un stock de spéculation. Par exemple, les compagnies pétrolières achètent plus que nécessaire en étrole brut lorsque le prix de celui-ci est relativement bas sur le marché.

- Risque de problèmes en chaîne : il s'agit ici d'eviter qu'une panne à un poste ne se répercute sur toute la chaîne d'approvisionnement. Un retard d'exécution au poste précédent ou une grève des transports n'arrêtera pas immédiatement l'ensemble du processus de production s'il y a des stocks
tampons.

- Présence de coûts de lancement : dans ce cas, travailler par lots permet une économie d'échelle sur les coûts de lancement de production mais, en revanche, provoque une augmentation des coûts de possession du stock.

Le contrôle du stock et de l'approvisionnement d'une entreprise est donc aussi fondamental dans la vie de celle-ci. Afin de réduire (ou optimiser c'est selon...) un maximum les coûts divers qui tournent autour du stockage, il faut faire encore une fois appel à des connaissances en statistiques mathématiques comme nous allons le voir de suite.

Dans un premier temps, nous allons établir comme déterminer le stock initial nécessaire à une entreprise en sa basant sur des données statistiques et ce à partir de modèles simples ensuite de quoi nous ferons de même aves les modèles de réapprovisionnement dont la démarche d'approche est un peu différente et permet comme pour la première d'arriver à des résultats très satisfaisants à grande échelle.

Les modèles que nous allons construire permettront ainsi :

1. De réguler les aléas des flux de fournitures

2. De permettre la production par lots (réduit les coûts de production)

3. De faire face à des demandes saisionnières

Des stocks supplémentaires pouvant engrenger des "coûts d'intérêt" (capital immobilisé), des "coûts d'obsolence" (les produits deviennent entre temps obsolètes), des "coûts de stockage", des "coûts d'assurances" (protection contre les accidentes pouvant subenvire sur le produits) et de nombreux autres...

Nous distinguons dans le domaine classiquement trois types de stocks:

1. Le "stock minimum", appelé encore "stock tampon" ou "stock d'alarme" ou "point de commande" ou "seuil de réapprovisionnement", correspond à la consommation de l'article durant le délai type d'approvisionnement (laps de temps entre la commande et la livraison). Par exemple, si le délai d'approvisionnement est de 5 jours et que les consommations quotidiennes sont de 100 unités, le stock minimum est de 500 unités.

2. Le "stock de sécurité" qui permet de répondre aux aléas les plus fréquents liés à la consommation et à la livraison.

3. Le "stock d'alerte", appelé encore "stock critique" qui est le niveau de stock pour lequel on déclenche une commande au risque de connaître une rupture. Par construction le stock d'alerte est donc la somme du stock de sécurité et du stock minimum.

STOCKS EN AVENIR INCERTAIN

Commençons notre étude pas le cas le plus simple qui suppose que la consommation est statistiquement régulière et sous contrôle. Il s'ensuit (cf. chapitres de Statistiques et de Génie Industriel) que la consommation périodique suit alors une loi de Gauss.

Prenons un exemple concret puisque la théorie a déjà été étudiée en long et en large dans le chapitre de statistique.

Considérons un article dont la demande quotidienne suite une loi normale de paramètres:

  (64)

Le stock disponible au moment de la commande est de 500 unités et le délai de réapprovisionnement de 5 jours. Nous souhaiterions savoir quelle est la probabilité cumulée d'être au-dessus ou égale à la rupture de stock ainsi que la probabilité cumulée d'être au-dessus de la consommation quotidienne supposée?

Nous avons pour le premier point la consommation moyenne sur 5 jours qui est en utilisant la propriété de stabilité de la loi normale:

  (65)

Nous avons alors:

  (66)

soit en utilisant MS Excel:

=1-LOI.NORMALE(500;450;44.72;1)=13.17%

Et pour la consommation quotidienne il vient simplement:

=1-LOI.NORMALE(500;450;44.72;1)=30.85%

STOCK INITIAL OPTIMAL

Imaginons de suite un scénario afin de développer un modèle (inspirée de l'ouvrage Gestion de la Production de V. Giard). Considérons que l'entreprise MAC est le spécialiste d'un certain produit dont le coût direct de fabrication est de 25 unités numéraires et le prix de vente 60. La vente quotidienne de ce produit est, en semaine, de 2.5 en moyenne et le relevé des demandes pendant trois mois laisse supposer que celle-ci suit une loi de Poisson, c'est-à-dire que nous avons une distribution de probabilités suivante du nombre X de ces produits au cours d'une journée (tronquée à , car la probabilité de ventes supérieurs à 10 sera supposée comme nulle).

Nous avons alors le tableau suivant qui montre que la quantité la plus souvent vendue à un agent économique est de 2 et le calcul de l'espérance nous donne pour ce tableau :

Nous supposerons que le stock est à flux tendu. En d'autres termes, d'un jour à l'autre, aucune unité n'est reportée pour les ventes du lendemain car il n'est plus censé y en avoir. La question dès lors est de savoir, le tableau ci-dessus étant donné, combien de produits mettre en fabrication (ou commander) chaque jour pour maximiser le bénéfice et minimiser les pertes.

Dès lors, dans l'optique retenue de minimisation de coût de possession associé aux invendus est de 25, tandis que le coût de rupture est égal au manque à gagner consécutif à la vente ratée, c'est-à-dire la marge 60 soustrait des 25 soit 35 unités numéraires.

Une gestion rationnelle doit permettre de calculer le stock initial S (autrement dit le nombre de produits à commander ou à fabriquer pour la journée) qui minimise l'indicateur de coût de gestion C(S) défini comme étant la somme du coût de possession associé au stock moyen des invendus , et du coût de rupture associé au stock moyen de ventes ratées :

  (67)

Du point de vue mathématique cela revient à chercher un extremum de la fonction de coût de gestion tel que pour la valeur optimale de l'approvisionnement initial le coût est inférieur ou supérieur à . En d'autres termes (c'est trivial)

ou   (68)

A partir de maintenant la question est de savoir comment procéder pour déterminer . Au fait l'idée est subtile mais simple tant qu'elle est bien exposée et réfléchie.

Reprenons la distribution de probabilités de la loi de demande quotidienne et supposons que nous voulions calculer les ruptures moyennes (donc l'espérance) et associées au stock initiaux respectifs par rapport à la distribution donnée.

L'idée est d'alors d'écrire la distribution de densité de probabilité par rapport à la quantité manquante de stock et non plus vendue :

Il ressort du tableaux précédent que le fait de faire passer le stock initial S de 4 à 5, diminue la rupture moyenne en la faisant passer de 0.1708 à 0.0620. Mais de ce résultat nous ne pouvons rien faire pour l'instant car à notre niveau actuel du développement, cela signifierait qu'en prenant un stock initial de 10, nous aurions une rupture moyenne nulle (... ce qui n'avance pas à grande chose...) et que si nous prenons aucun stock initial, nous aurions une rupture de stock totale...

Mais cependant, nous pouvons tirer un résultat intermédiaire intéressant. Effectivement regardons la manière dont varie la différence de la rupture moyenne (résultat facilement généralisable - nous pouvons faire la démonstration sur demande au besoin):

  (69)

Autrement dit (soyez bien attentif!!!), la diminution de rupture moyenne occasionnée en augmentant d'une unité un stock préalablement dimensionné à , est égale à la probabilité cumulée que la demande soit strictement supérieure à celle du stock initial .

En d'autres termes, au cas où cela ne serait pas clair, le fait d'augmenter le stock initial diminue certes la rupture moyenne mais impose en contrepartie que il y a moins d'acheteurs qui risquent de satisfaire l'offre et les seuls qui le peuvent sont ceux qui correspondant à la probabilité cumulée .

Finalement, nous pouvons écrire :

  (70)

Le tableau ci-dessous représente la diminution de rupture moyenne que nous obtenons en accroissant d'une unité le stock (et respectivement la probabilité de clients capables de consommer le stock...) :

Maintenant regardons les invendus . Leur espérance est bien évidemment donnée par (servez-vous des tableaux au besoin pour comprendre) :

  (71)

Ce que nous pouvons écrire :

  (72)

d'où :

  (73)

qui est donc le stock moyen possédé calculé sur la base du stock résiduel de fin de période. C'est donc un résultat remarquable qui va nous permettre de déterminer seulement à partir de .

Cette dernière relation peut également s'écrire :

  (74)

où le terme de gauche représente la demande moyenne satisfaite et le terme de droite l'offre moyenne utilisée. Cette relation est donc une relation particulière d'équilibre entre une offre et une demande.

Nous pouvons par ailleurs vérifier cela à partir des tables ci-dessous en mettant un exemple particulier en évidence :

x	4 - x	(4 - x)P(X)
0	4	0.3284
1	3	0.6156
2	2	0.5130
3	1	0.2138
4	0	-
5	-	-
6	-	-
7	-	-
8	-	-
9	-	-
10	-	-

Tableau: 10  - Espérance des invendus

Finalement nous pouvons écrire une expression de , fonction de la seule rupture moyenne :

  (75)

ou :

  (76)

Il s'ensuit que :

  (77)

Ce qui donne avec les résultats obtenus plus haut :

  (78)

Dans ces conditions, les relations :

  (79)

Deviennent :

  (80)

d'où :

  (81)

d'où est optimal si :

  (82)

Dans notre exemple numérique, nous avons :

  (83)

avec :

  (84)

d'où le stock optimal initial journalier appelé aussi "stock minimum":

  (85)

ce qui n'est ni 2 ni 2.5 !!!

modèle de wilson (réaprovisionnement)

Il existe plusieurs modèles d'optimisation de gestion de stocks (Statistique, Wilson, ABC, 20/80...). Parmi ceux-ci, nous avons souhaité nous arrêter sur le "modèle de Wilson" qui est le plus connu (mais pas forcément le plus réaliste...).

Le but est de déterminer la stratégie qu'il faut adopter pour que le total périodique (annuel, mensuel, hebdomadaire, journalier, ...) des commandes ou fabrications de pièces minimise le total des coûts d'acquisition et de possession de stocks pour l'entreprise. Nous parlons aussi des fois de "gestion à flux tendu".

L'existence de stocks au sein de l'entreprise amène le gestionnaire à se poser la question du niveau optimal de ces derniers, en évitant deux éceuils principaux :

1. Le "sur-stockage", source de coûts pour l'entreprise (coût du stockage physique, manutention, locaux et surfaces utilisés, coûts annexes, assurances gardiennage, coût des capitaux immobilisés)

2. Le "sous-stockage" qui risque d'aboutir à des ruptures de stocks préjudiciables à l'activité de production ou à l'activité commerciale de l'entreprise (arrêt de la production, perte de ventes, perte de clientèle,...).

Ainsi, les différents modèles de gestion des stocks ont pour objectif de minimiser le coût de gestion dans ce système de contraintes en déterminant la fréquence de réapprovisionnement et la quantité associée.

Voyons d'abord une approche purement qualitative. Pour chaque référence, les quantités en stock évoluent dans le temps par exemple sous une forme:

  (86)

En simplifiant nous obtenons un graphique dit "en dents de scie":

  (87)

Pour éviter la rupture de stock, il faut bien évidemment faire en sorte que l'entrée d'une commande se fasse, au plus tard, lorsque la quantité en stock devient nulle:

  (88)

Si nous considérons une consommation constante d'une quantité N par unité de temps (jour, mois, année,...) et que nous connaissons à l'avance le délai d'approvisionnement (en jour, mois, année...) alors si le tout est mis à des unités équivalentes (journalières par exemple) nous avons le niveau critique qui est donné par:

  (89)

qui est aussi assimilé à le terminologie justifiée de "point de commande" puisqu'il s'agit de la quantité que nous avons en stock à partir de laquelle il faut lancer une nouvelle commande d'approvisionnement:

  (90)

Ainsi, si la consommation est de 10 unités par jour et que le délai d'approvisionnement est de 15 jours, le niveau critique est alors de 150 unités.

Pour éviter les aléas (grève, transports, variation de consommation, remplacements,...) nous envisageons un stock de sécurité :

  (91)

Nous avons alors pour le niveau critique:

  (92)

Voyons maintenant l'influence du nombre de livraisons sur le coût de stockage (puisque plus le taux de détention est gros plus les coûts de stockage sont élevés). Supposons pour cela que le marché consomme 100 unités par mois et ce de manière régulière. Dans le cas d'un seul approvisionnement annuel, la consommation est représentée par le graphique ci-dessous (aucun stock de sécurité afin de simplifier l'exemple) :

  (93)

où nous voyons immédiatement que le stock moyen est de 600. Ce stock moyen est obtenu par simple moyenne arithmétique ou simplement en utilisant la définition de la moyenne intégrale de la fonction de consommation:

  (94)

Et si nous divisons la gestion en deux approvisionnements nous avons alors:

  (95)

soit un stock moyen deux fois inférieur et dès lors un coût de stockage moyen deux fois moindre. Mais bien évidemment il faut y associer le coût d'approvisionnement. C'est à ce niveau de complexité qu'intervient justement la formalisation mathématique de Wilson.

Chaque commande d'achat ou ordre de fabrication coûte donc à l'entreprise. Le "coût de lancement" ou "coût de passation" des commandes ou lancements de fabrications représente tous les frais liés (administratifs, réglages machines, préparation, communications,...) au fait de passer une commande (ou une fabrication) et est supposé être proportionnel à la quantité. Ces coûts sont déterminés à l'aide de la comptabilité analytique.

Ainsi, le coût d'une commande est obtenu en divisant le coût total de fonctionnement du service achat par une grandeur significative et pertinente, par exemple le nombre de commandes passées (ou ordres de fabrications) annuellement par exemple. Le coût d'un lancement en fabrication lui sera obtenu en divisant le coût total de fonctionnement du service ordonnancement, auquel, il faut, ajouter les coûts de réglage des machines et des préséries, par le nombre de lancements de fabrication.

Ces valeurs dépendent essentiellement de l'entreprise, de ses choix en matière de comptabilité analytique. Il est difficile de définir une fourchette de valeur standard. Bon nombre d'entreprises ne savent pas à combien leur revient une commande ou un lancement de fabrication (et bon nombre ne savant tout simplement pas faire une analyse...).

Le coût de possession du stock est constitué des charges liées au stockage physique mais également de la non rémunération des capitaux immobilisés dans le stock (voire du coût des capitaux empruntés pour financer le stock). Pour cette dernière raison, ce coût est considéré comme étant proportionnel à la valeur du stock moyen et à la durée de détention de ce stock.

Le taux de possession annuel t% est le coût de possession ramené à une unité monétaire de matériel stocké. Il est obtenu en divisant le coût total des frais annuel de possession par le stock moyen anneul.

Ces frais couvrent l'intérêt du capital immobilisé, les coûts de magasinage (loyer et entretien des locaux, assurances, frais de personnel et de manutention, gardiennage..), les détériorations du matériel, les risques d'obsolescence.

Ce taux oscille habituellement entre 15 et 35% de la valeur marchande stockées dans les entreprises, suivant le type des articles et la qualité de leur gestion des stocks.

Wilson a établi une relation basée sur un modèle mathématique simplificateur dans lequel nous considèrons que la demande est stable sans tenir compte des évolutions de prix, des risques de rupture et des variations dans le temps des coûts de commande et de lancement (nous sommes alors en "avenir certain").

Les hypothèses très simplificatirces de ce modèle sont les suivantes:

H1. La demande périodique est connue et certaine (déterministe)

H2. Les quantités commandées sont constantes à chaque période

H3. La pénurie, les ruptures de stock ont lieu en fin de période

H4. Le délai de production est constant et l'approvisionnement supposé instantané

H5. Les coûts (stocks, articles, passation,...) sont invariables dans le temps

H7. Le coût de possession est proportionnel à la valeur

H8. L'horizon de planification est infini

Nous noterons :

- N la quantité correspondante à une demande ou respectivement à des pièces consommées par période

- Q la quantité d'approvisionements ou de pièces lancées en fabrication en une seule fois pendant ce même temps (taille des lots), toujours égal ou inférieur à N

-  le prix unitaire d'achat de la pièce (supposé constant)

-  le stock de sécurité envisagé pour cette pièce (supposé constant) pour répondre aux aléas

- t le taux de coût de possession en % (supposé constant) et parfois appelé "taux de détention"

-  le coût d'approvisionnement/acquisition par commande ou de lancement de fabrication

Nous définissons de par la même occasion, le "coût unitaire de stockage" calculé sur la base du prix untaire d'achat d'une pièce:

  (96)

Propositions:

P1. Le rapport (sans dimensions):

  (97)

donne "l'inertie des stocks" ou qui peut être vu de manière plus explicite comme étant le "nombre périodique de lancements" (ou la cadence de réapprovisionnement) pour satisfaire la demande.

P2. Le "coût d'inertie" ou respectivement le "coût d'acquisition", ou encore "coût de lancement" est donc donné pour une période par :

  (98)

Ce dernier est donc supposé proportionnel à la consommation! Ce qui est important ceci dit est de remarquer que le coût de lancement est inversement proportionnel à la quantité Q et donc qu'il tend vers zéro lorsque Q tend vers l'infini. Ceci dit, normalement on aura dans la majorité des cas théoriques:

  (99)

P3. Le stock moyen dans l'entreprise dans l'hypothèse d'une consommation (décroissance linéaire du stock) et d'un niveau de sécurité constants dans le temps est trivialement pour une période:

  (100)

Le "coût périodique de possession", appelé encore"coût de possession" ou "coût de gestion" ou "coût de stockage" ou "coût de détention"..., est alors :

  (101)

Il s'agit donc de la fonction d'une droite (dont l'ordonnée à l'origine est non-nulle si le stock de sécurité est non nul) si nous considérons que uniquement Q y est variable. Il est important de remarquer que ce coût est ne prend pas en compte les concepts de remise de volume faite par les commercieux...

Ces propositions nous amènent donc à l'équation du "coût total d'approvisionnement", appelé aussi "coût total de stockage" que nous allons chercher à minimiser:

  (102)

et qui donne une "courbe des coûts cumulés" du type :

  (103)

Trouver la quantité économique , c'est trouver la valeur de Q pour laquelle le coût total est minimal, c'est-à-dire la valeur  pour laquelle la dérivée du coût total par rapport à la quantité est nulle:

  (104)

D'où la "relation de Wilson" (après un calcul élémentaire), appelée aussi simplement "formule de Wilson", pour le "lot/quantité économique optimal" :

  (105)

Bien évidemment une fois connue la quantité économique, il devient facile de calculer le coût de gestion minimal par période en injectal dans la relation obtenue plus haut:

  (106)

ainsi que la cadence optimale de réaprovisionnement puisque donnée par le rapport :

  (107)

Si nous reportons sur un graphique les fonctions:

- coût de lancement en fonction des quantités

- coût de possession en fonction des quantités

- coûts totaux en fonctions des quantités

alors la quantité économique se trouve à l'intersection des deux courbes, lancement et possession, ou au point d'inflexion de la courbe cumulée. Dans la pratique toutefois, il est possible de commander exactement la quantité économique, on choisira une taille de lot répondant aux diverses contraintes et comprise dans la "zone économique" :

  (108)

Evidemment dans certaines entreprises un objectif est plutôt d'essayer de diminuer le coût de stockage afin d'atteindre l'équivalent de la demande comme quantité économique. Nous avons alors avec un peu d'algèbre élémentaire:

  (109)

soit au final le coût de stockage optimal si la quantité d'approvisionnement Q est imposée:

  (110)

Il existe un autre type de cas de figure qu'il faut étudier. Si l'on commande en quantités plus importantes en bénéficiant ainsi d'une remise, on augmente certes les coûts de possession mais on réduit théoriquement le nombre de commandes annuelles.

L'obectif pour le gestionnaire est bien sûr de vérifier mathématiquement que la remise consentie par son fournisseur n'entraîne pas de coûts induits supérieurs à la remise (ce serait une preuve d'incompétence du gestionnaire!).

Pour ce faire, il faut ramener tous les coûts à une pièce tel que le coût total unitaire s'écrive:

  (111)

cette relation est importante car elle détermine la valeur de la remise pour que cette dernière soit intéressante.

Pour connaître le seuil de remise R pour une quantité donné, on remplace dans la relation précédente, Q par la quantité visée Q' et  par , R étant la remise.

Nous résolvons alors l'équation et nous obtenons:

  (112)

Nous déterminerons donc la valeur limite de R sous laquelle la remise ne compense pas les coûts internes.

Dans la pratique nous ne pouvons commander exactement la quantité optimale , notamment du fait des unités d'achats imposées par les fournisseurs (quantités minimales, conditionnements, etc.). Il est donc plus judicieux de s'intéresser à la "zone économique", constituée par la partie inférieure (le ventre) de la courbe des coûts totaux.

Du fait des hypothèses simplificatrices, le modèle de Wilson ne peut fournir au mieux qu'un ordre de grandeur si consommation et/ou prix sont sujets à variations (puisqu'elle est extrêmement dépendante des deux paramètres subjectifs : coûts de stockages et lancement).

Le recours aux lancements de fabrication économiques est "anti-flexible" par essence. Ce genre de politique amène fréquemment des circonstances importantes, risque de gonfler le stock de produits finis, reportant les coûts et pertes en aval du processus.

Cependant, le modèle de Wilson à ceci d'intéressant qu'il peut s'appliquer également assez bien à des ressources humaines.

Exemple:

L'entreprise MAC utilise un article X330 pour lequel la consommation prévisionnelle de l'année N devrait être de 4'000 articles. Les données sont les suivantes :

- Le coût unitaire de l'article X330 est de (peu importe le numéraire)

- Le coût de passation/lancement d'une commande est de

- Le taux de possession du stock est de

Le fournisseur de cet article, pour inciter ses clients à augmenter l'importance de leurs commandes propose à l'entreprise les conditions suivantes :

C1. Quantités commandées inférieures à 2'000 unités : prix unitaire

C2. Quantités commandées comprises entre 2'000 et 3'500 unités : remise de 2%.

C3. Quantités commandées supérieures à 3'500 unités : remise de 3 %.

Travail à faire : Dire quelle solution l'entreprise doit adopter.

Le prix varie donc en fonction de la quantité tel que étant donnée une quantité choisie, la remise s'applique d'une façon équivalent à tous les articles (nous parlons alors de "remise uniforme")..

D'après l'énoncé et en fonction de Q la quantité d'approvisionnement, nous savons que :

1. Si

2. Si

3. Si

En fonction de la relation de Wilson du lot économique, nous allons calculer la quantité économique pour le prix le plus avantageux à savoir  :

  (113)

Mais pour avoir droit avoir droit à il faut commander au minimum 3'500 articles il y a donc contradiction et cette solution est donc hors zone. Des calculs identiques (que nous laissons le soin de faire avec la calculatrice quand même...) montrent que seulement le lot économique de correspond à la contrainte .

BIENS D'ÉQUIPEMENT

Les installations, les biens d'équipement subissent une dépréciation progressive due à l'usure ou à l'obsolescence. Cette baisse de valeur, enregistrée comme un charge en comptabilité, est appelée "amortissement comptable". Il ne faut pas confondre l'amortissement financier vue en économétrie, qui correspond au remboursement d'une dette et l'amortissement comptable qui est une diminution de valeur des moyens de production.

Certains types de biens ont une perte de valeur assez uniforme dans le temps contrairement à d'autres qui se déprécient plus rapidement les premières années. Nous allons présenter ici quelques unes des méthodes comptables utilisées en pratique qui décrivent l'un ou l'autre de ces phénomènes.

AMORTISSEMENT LINÉAIRE

Définition: Nous parlons d'un "amortissement linéaire" d'un bien lorsque sa valeur d'immobilisation (amortissement) est diminuée d'un montant périodique (annuel dans la comptabilité) constant durant sa durée de vie:

Ainsi, si nous notons le montant du k-ème amortissement et la valeur initiale du bien d'équipement et sa valeur finale souhaitée (qui dans la plupart des cas sera nulle), nous avons :

  (114)

Il est possible d'obtenir la valeur d'amortissement en utilisant la fonction AMORLIN( ) de MS Excel.

Le taux d'amortissement équivalent constant basé sur la valeur d'achat et résiduelle est alors donnée évidemment par:

  (115)

A remarquer que ce taux constant et la valeur finale est parfois imposée par la législation dans certains pays (comme c'est le cas en Suisse par exemple) jusqu'à une valeur résiduelle nulle ou non nulle elle aussi définie par la législation!

AMORTISSEMENT ARITHMÉTIQUE DÉGRESSIF

Définition: Lorsque la valeur d'immobilisation (amortissement) d'un bien décroît inversement à l'ordre des périodes (années en comptabilité) nous parlons alors "d'amortissement arithmétique dégressif" (donc pas de taux d'amortissement imposé par l'État possible!).

Par exemple, un bien d'une durée de vie de 4 ans, sera amortissable de 4/10 la première année, 3/10 la seconde, 2/10 la troisième et 1/10 la dernière. La base commune "10" (dans cet exemple) étant la somme arithmétique 1+2+3+4 afin que la totalité des fractions soit égale à l'unité. Il s'agit d'une règle purement fiscale américaine " Sum-of-Years Digits" (SYD).

Soit le k-ème amortissement et la valeur initiale du bien d'équipement et sa valeur finale souhaitée (qui dans la plupart des cas sera nulle) nous avons alors:

  (116)

ce qui peut s'écrire :

  (117)

et comme nous l'avons démontré dans le chapitre des Suites Et Séries :

  (118)

ce qui nous amène à écrire :

  (119)

Il est possible d'obtenir l'amortissement à une période k en utilisant la fonction SYD( ) de MS Excel.

AMORTISSEMENT GÉOMÉTRIQUE DÉGRESSIF

Définition: Lorsque la valeur d'immobilisation d'un bien décroît selon un taux d'amortissement constant basé sur la valeur résiduelle de la période précédente (donc en quelque sorte comme un intérêt composé à taux négatif), nous parlons alors "d'amortissement géométrique dégressif simple".

Ainsi, la valeur du bien après n années est défini par :

  (120)

avec donc :

  (121)

Remarque: Nous constatons que t% étant comprise dans l'intervalle entre [0,1[ la limite de quand n tend vers l'infini n'est jamais nulle. Ainsi, la valeur résiduelle ne le sera jamais non plus !

Sachant que par définition de cet amortissement que nous obtenons :

  (122)

En injectant l'expression du taux dans la relation précédente, nous obtenons :

  (123)

Nous remarquons donc que les valeurs d'amortissement ne nécessitent pas de connaître le taux de manière explicite. Il suffit de connaître la valeur finale et initiale. C'est justement pour cela que la fonction DB( ) de MS Excel ne demande pas le taux d'amortissement.

A remarquer que ce taux constant et la valeur finale est parfois imposée par la législation dans certains pays (comme c'est le cas en Suisse par exemple) jusqu'à une valeur résiduelle nulle ou non nulle elle aussi définie par la législation!

CHOIX D'INVESTISSEMENTS

Par définition, un investissement est l'acquisition ou le développement d'un bien (quelque soit sa forme, matérielle ou non) par une entreprise, une collectivité ou un individu. Un investissement implique dans le cadre économique simple :

1. Une dépense immédiate, payable en une ou plusieurs fois

2. Des entrées futures, appelées "cash flows"

3. Une valeur résiduelle

Il existe plusieurs critères et techniques pour les choix d'investissements, que nous présenterons ci-après, qui permettent d'opter pour un investissement A ou B : celui de la "valeur actuelle nette" (VAN), celui du "taux interne de rentabilité" (TRI) ou encore celui de "délai de récupération".

VALEUR ACTUELLE NETTE

Comme nous l'avons spécifié plus haut, un investissement implique trois points. Ce qui intéresse bien évidemment l'investisseur, c'est qu'en valeur actuelle, l'investissement rapporte plus que ce qui est dépensé.

Voyons une situation type : une entreprise souhaite acquérir une nouvelle machine valant 6'000.-, ce qui devrait permettre d'abaisser les coûts de production de 1'000.- durant 5 ans. Nous estimons que dans 5 ans, la valeur résiduelle de cette machine sera de 3'000.-. Doit-on acheter cette machine si cet investissement peut être financé par un emprunt à 10% ?

Quelles informations avons-nous ici ?

1. La dépense immédiate

2. La valeur finale ou résiduelle du bien d'équipement après 5 ans

3. Les cash-flow de chaque année (qui sont constant sur toute la période dans cet exemple)

4. Le taux d'intérêt (taux géométrique moyen du marché) de l'emprunt correspondant

Quelles informations, ou questions intéressantes, financièrement parlant, pouvons nous nous poser par rapport aux données ci-dessus ? :

1. Quel serait le capital initial qui au taux du marché nous permettrait de retirer 1'000.- par année pendant 5 ans (jusqu'à ce qu'on solde le compte) ? :

  (124)

ce qui s'écrit si (nous retrouvons la relation de la rente certaine postnumerando vue dans le chapitre d'Économétrie) :

  (125)

Dans notre exemple cette somme (après un petit calcul) revient à environ 3790.-.

En d'autres termes, il nous suffirait de mettre en épargne 3'790.- pendant les mêmes 5 ans, pour en retirer 1'000.- par année jusqu'à solder le compte. Donc pour l'instant, un investissement de 3'790 pour économiser (gagner) 1'000.- par année semble beaucoup plus favorable qu'en dépenser 6'000.- (...) pour le même retour, sur la même durée.

Déjà là, nous pouvons dire que l'achat de la machine est défavorable.

Mais il ne faut pas oublier aussi un deuxième facteur... la valeur résiduelle de notre machine !!!

2. Quelle serait le capital initial qui au taux du marché nous rapporterait une valeur équivalente à la valeur résiduelle de notre machine (c'est une valeur immobilisée au même titre qu'une épargne, donc nous pouvons nous intéresser à ce qu'il adviendrait si cette somme provenait d'une épargne) ?

  (126)

Dans notre exemple, cette somme revient environ à 1'862.-

En d'autres termes, il nous suffirait de mettre en épargne 1'862.- pendant les mêmes 5 ans, pour obtenir une somme égale à la valeur résiduelle de notre machine.

Et alors ?

La somme :

  (127)

représente le retour sur la base d'une épargne initiale pour obtenir, par rapport aux informations de valeur résiduelle et de cash-flow, la somme finale équivalent à l'achat de notre machine. Or, dans cet exemple, cette somme nous donne environ 5'653.-.

Ce résultat est important car il est à comparer avec l'investissement que nous voulions faire initialement. Deux options s'offrent donc à nous :

1. Acheter la machine à 6'000.- avec les cash-flow et le valeurs résiduelle que nous connaissons

2. Epargner 5'653.- pendant la même période, avec les mêmes cash-flow pour nous retrouver avec une épargne finale qui devrait équivalente à celle à la valeur résiduelle de notre machine.

Or, que pouvons nous conclure dans notre exemple ? Eh, bien simplement que dans un cas défavorable :

  (128)

En d'autres termes, pour le financier (ou chef de projet), le calcul intéressant à faire est le suivant :

  (129)

qui :

1. Lorsqu'il est négatif correspond à un investissement qu'il vaut mieux éviter

2. Lorsqu'il est nul est un investissement indécidable

3. Lorsqu'il est positif est un bon investissement

Dans certains cas scolaires et livres de gestion de projets, la relation du VAN ci-dessus est simplifiée car nous supposons qu'un seul investissement... est fait en début de projet. Ainsi, nous avons:

  (130)

Enfin, précison que le rapport:

  (131)

est souvent appelé "coefficient d'actualisation" de la n-période.

Ainsi, le VAN est utilisé comme critère décisionnel dans les grandes entreprises pour chiffrer l'apport spécifique d'un projet au résultat financier de l'entreprise, en tenant compte du coût du capital utilisé via le taux d'actualisation.

Donc dans le cas d'un choix entre plusieurs investissement, nous choisirons celui dont la VAN est la plus grande. Si les cash-flow sont non déterministes il faudra alors calculer l'espérance et la variance du VAN. Les spécialistes abrègent souvent le calcul de l'espérance du VAN par l'abréviation VANe pour "valeur actuelle nette espérée" ou plus fréquemment en anglaiS "expected net present value" (eN.P.V.).

Si nous considérons en avenir certain avec un investissement initial unique de 10'000.- avec un taux d'actualisation constant de 10% et un cash flow parfaitement périodique de 3'250.-, 3'750.-, 4'250.-, 4'750.- nous avons la représentation tabulaire traditionnelle:

où dans le tableau ci-dessus F.N.T. signifie "Fond Net de Trésorerie", F.N.T.A. "Fond Net de Trésorerie Actualisé", C.A. "Coefficient d'Actualisation" et C.F.A. "Cash-Flow Actualisé".

Ainsi dans ce tableau, l'investissement rapport 2'150.- de plus qu'une opération de placement à 10% après 4 ans

TAUX DE RENTABILITÉ INTERNE

Définition (technique): Le "taux de rentabilité interne" (TRI), appelé aussi parfois "taux limite de rentabilité" est le taux d'actualisation t% pour lequel la valeur actualisée des rentrées nettes de fonds résultant d'un projet d'investissement est égale à la valeur actualisée des décaissements requis pour réaliser cet investissement.

En d'autres termes, cela revient à se demander quel est le taux moyen géométrique du marché pour lequel la V.A.N. du projet est nulle. Soit à satisfaire la relation :

  (132)

qui ne peut que se calculer rapidement avec des outils informatiques (l'outil Cible dans MS Excel par exemple).

Donc entre deux investissement, nous choisissons dans les entreprises celui dont le TRI est le plus élevé et satisfait aux contraintes internes.

Ce type de calcul s'applique donc sur le retour sur projets contre investissements sur le marché et non pas au retour sur projets contre exploitation. Ainsi, il s'agit d'un outil calculatoire d'aide à la décision purement financier et non industriel ou commercial.

DÉLAI DE RÉCUPÉRATION ET D'AMORTISSEMENT

Le "délai de récupération" ou "pay back" (en anglais) est un autre indicateur pour l'aide à la décision dans le cadre des choix d'investissements de projets et plus simple à l'utilisation (et à la compréhensions) que le VAN.

Cet indicateur a pour simple et seul objectif de montrer quand, dans le temps, l'investissement sera remboursé. En d'autres termes, il indique le nombre de périodes nécessaires pour que la somme des cash-flows couvre l'investissement initial. C'est une information très simple à déterminer qui revient à chercher le plus petit entier p tel que :

  (133)

ou encore :

  (134)

En d'autres c'est le moment d'un projet lorsque les cash-flow équilibrent l'investissement inital.

Définition: Le "délai d'amortissement" est le nombre de périodes nécessaire tel que :

  (135)

ou encore :

  (136)

THÉORIES DES FILES D'ATTENTES M/M/...

Les théories des files d'attentes sont des outils extrêmement puissant et vastes (une présentation complète nécessite au bas mot 300 pages A4) permettant de prendre en compte et de modéliser les goulots d'étranglement dans les processus des entreprises soit au niveau de la logistique, des centrales téléphoniques, des requêtes SQL sur les serveurs, des caisses de grands magasins ou encore dans les toilettes des grands stades sportifs (...) en fonction des hypothèses et contraintes de départ.

Ces théories permettent se révèlent notamment utile pour justifier des investissement, des embauches ou des achats d'équipements. De façon plus générale, elle est une partie intégrante des techniques mathématiques de gestion lorsqu'il est nécessaire de rechercher un optimum économique entre des coûts d'attente et des coûts de service d'un système.

La problématique type dans les entreprises peut s'exprimer ainsi:

- Quel est le nombre optimal de stations/terminaux à mettre en service permettant de traiter la demande tout en évitant une file d'attente trop importante et le départ de certains clients?

- Quels est le temps d'attente moyen d'un client devant la stations/terminal?

- Quel est le nombre moyen de clients en attente dans la file?

Ces questions permettent d'exprimer des objectifs en matière de qualité et de niveau de service:

1. Un temps d'attente moyen à ne pas dépasser

2. Une probabilité d'attente maximale

3. Un temps d'attente acceptable

Ces théories font donc appel à des méthodes statistiques et algébriques que nous avons étudiées dans les chapitres de Statistiques et de Théorie Des Graphes. Elles n'en sont alors que plus passionnante.

Pour présenter le sujet, plutôt que de faire une généralisation abstraite, nous avons choisi de développer la théorie autour d'un exemple concret et classique qui est le télétrafic. Une généralisation à tout autre cas d'étude se faisant ensuite relativement facilement par analogies.

Considérons donc une central téléphonique regroupant les lignes d'un ensemble d'immeubles d'une ville et ne possédant pas autant de lignes allant vers le réseau que de lignes allant vers les différents particuliers qu'il dessert.

Nous pouvons donc légitiment nous demander de combien de lignes nous avons besoin pour desservir tous ces abonnés.

Pour dimensionner son réseau, un opérateur va devoir calculer le nombre de ressources à mettre en oeuvre pour qu'avec une probabilité extrêmement proche de 1, un usager qui décroche son téléphone puisse disposer d'un circuit. Pour cela, il va falloir développer quelques relations de probabilité de blocage. Ces relations vont demander une modélisation statistique des instants de début et de fin d'appels ainsi que des durées de ces appels. Les paragraphes qui suivent vont donc introduire les lois de probabilités utilisées pour ces dimensionnements.

Enfin, avant de commencer, nous souhaitons mettre à disposition le tableau récapitulatif ci-dessous des notations les plus importantes que le lecteur découvrira au fur et à mesure de sa lecture et auquel il pourra se reporter en cas de confusion:

MODÉLISATION DES durées d'ARRIVÉES M/M/...

Considérons des appels qui débuteraient de manière aléatoire. Prenons ensuite un intervalle de temps t et divisons cet intervalle en n sous intervalles de durée t/n.

Nous choisissons n suffisamment grand pour que les hypothèses suivants soient respectées :

H1. Une seule arrivée d'appel peut survenir dans un intervalle t/n

H2. Les instants d'arrivée d'appels sont indépendants les uns des autres (le taux d'arrivée n'est pas influencé par le nombre d'appels provenant de la population). Ce qui présuppose une population infinie.

H3. La probabilité qu'un appel arrive dans un sous intervalle donné est proportionnelle à la durée du sous intervalle.

Nous écrivons alors la probabilité de un appel  dans un sous intervalle (1) de la manière suivante :

  (137)

où le 1 en indice du p représente donc l'analyse sur 1 appel, le 1 entre parenthèses le fait que l'analyse se fait sur 1 sous-intervalle et enfin le terme  représente le coefficient de proportionnalité entre la probabilité et la durée t/n du sous-intervalle.

L'hypothèse de départ consistant à considérer comme nulle la probabilité d'avoir plusieurs appels dans un sous intervalle s'écrit alors :

  (138)

La probabilité de n'avoir aucun appel durant un sous intervalle de temps t/n s'écrit donc :

  (139)

En développant, nous obtenons :

  (140)

et en utilisant la propriété énoncée juste au-dessus :

  (141)

La probabilité d'avoir k arrivées d'appels durant n intervalles de temps s'obtient alors en considérant le nombre de manière de choisir k intervalles parmi n... (puisqu'il ne peut y avoir plus d'un appel par intervalle)

Pour chacune de ces solutions, nous aurons alors forcément k intervalles avec une arrivée d'appel et n-k intervalles avec aucune arrivée d'appel. Nous avons vu dans le chapitre de statistique que la loi qui permettait d'obtenir la probabilité de choisir un certain arrangement d'issues binaires parmi un nombre total d'issues était la loi de Bernoulli donnée par :

  (142)

Il vient donc dans notre cas de figure que la probabilité d'une des solutions sera :

  (143)

La probabilité globale s'obtient en sommant les probabilités de tous les cas ce qui nous donne la loi binomiale (cf. chapitre de Statistiques) :

  (144)

Ou encore, en remplaçant les probabilités par leurs valeurs en fonction de  :

  (145)

La limite de la probabilité  lorsque n tend vers l'infini va être égale à la probabilité d'avoir k arrivées d'appel durant un intervalle de temps t. Nous notons  cette probabilité :

  (146)

En reprenant alors les différents termes de l'expression de  et en faisant tendre n vers l'infini, il vient :

  (147)

En utilisant les développements de Taylor (cf. chapitres de Suites Et Séries) :

  (148)

Soit en prenant que le premier terme, c'est-à-dire en considérant x très petit  :

  (149)

Donc :

  (150)

et pour la dernière partie :

  (151)

d'où après regroupement :

  (152)

Cette relation est donc extrêmement importante car elle représente la probabilité d'observer k arrivées d'appels dans un intervalle de durée t (ou le nombre de clients qui se trouve devant une caisse dans un intervalle de durée t) et il s'agit donc d'une distribution de Poisson (cf. chapitre de Statistiques). Dans la pratique, il faut donc s'assurer avant d'utiliser les relations qui vont suivre que cette distribution soit bien respectée (avec un test du khi-deux typiquement).

Il s'ensuit par analogie avec la forme générale de la loi de Poissons que le  paramètre  est le taux moyen d'arrivée (taux moyen d'apparition) d'appels par unité de temps ( ou en anglais "Poisson arrivals see time average": PASTA...). Typiquement il s'agira d'un nombre moyen d'appels par secondes (voir les estimateurs de la loi de Poissons dans le chapitre de Statistiques).

Ainsi, nous avons pour espérance et variance (cf. chapitre de Statistiques) du nombre d'appels:

  (153)

Exemple:

Une TPE souhaitant mettre en place une hotline estime qu'au début elle recevra par journée de 8 heures, 4 appels téléphoniques (soit une probabilité de 1 chance sur 2 d'avoir un appel par heure et donc un taux moyen de 0.5 appels par heure). Alors la probabilité qu'elle reçoive exactement 4 appels (k) par jour et au moins 4 appels (k) par jour selon le modèle théorique de la théorie des files d'attentes est de:

  (154)

où nous avons utilisé la fonction POISSON( ) intégrée dans MS Excel.

Maintenant, introduisons la variable aléatoire  représentant le temps séparant deux arrivées d'appel. Nous introduisons pour cela la probabilité A(t) qui est la probabilité que le temps  soit inférieur ou égal à une valeur t :

  (155)

Nous avons donc :

  (156)

Or,  représente la probabilité qu'il n'y ait aucune arrivée d'appels durant un temps t. Cette probabilité a justement été établie plus haut :

  (157)

Nous en déduisons donc :

  (158)

Nous pouvons aussi introduit la densité de probabilité de la variable aléatoire. Nous obtenons ainsi:

  (159)

La densité de probabilité permet donc de calculer la durée moyenne entre deux arrivées d'appel :

  (160)

En intégrant par partie, il vient :

  (161)

Nous obtenons ainsi, que pour un taux d'arrivé d'appels de  appels par secondes, le temps moyen entre appel est égal à  (résultat relativement logique mais encore fallait-il le démontrer rigoureusement). Effectivement, si nous avons qui vaut 2 appels par heures, le temps moyen d'arrivée est bien de 0.5 heures (1/2) entre appels

Supposons maintenant qu'aucun appel ne soit arrivé jusqu'à un temps  et que nous souhaitons calculer la probabilité qu'un appel arrive durant une durée t après le temps .

Nous devons donc calculer la probabilité d'avoir une durée entre deux appels inférieure à  tout en étant supérieure à .

Cette probabilité s'écrit . En utilisant la formule de Bayes (cf. chapitre de Probabilités) :

  (162)

mais avec les notations idoines il vient :

  (163)

Cette probabilité peut encore s'écrire :

  (164)

En reprenant les expressions des différentes probabilités :

  (165)

Nous voyons donc que la probabilité d'apparition d'un  appel durant un temps t après une durée  pendant laquelle aucun n'est arrivé est la même que la probabilité d'apparition d'un appel pendant une durée t, indépendamment de ce qui a pu arriver avant. Nous considérons donc que le phénomène (la loi exponentielle) est sans mémoire.

MODÉLISATION DES DURÉES DE SERVICE M/M/...

Pour étudier les lois de probabilité qui modélisent les durées des appels (sous-entendu: en service une fois la fin de la file d'attente atteinte), nous procédons comme précédemment.

Nous considérons donc un intervalle de temps de durée t que nous décomposons en n sous intervalles de durée t/n. Nous choisissons n de sorte que les hypothèses suivantes restent justifiées :

H1. La probabilité qu'un appel se termine durant un sous intervalle est proportionnelle à la durée du sous intervalle.

Nous noterons :

  (166)

cette probabilité, expression dans laquelle  représente le coefficient de proportionnalité.

H2. La probabilité qu'un appel se termine durant un sous intervalle est indépendant du sous intervalle considéré.

Nous introduisons alors la variable aléatoire  représentant la durée d'un appel et la probabilité H(t) que la durée d'un appel soit inférieure ou égale à t :

  (167)

La probabilité qu'un appel ayant débuté à t = 0 ne se termine pas avant t s'écrit alors :

  (168)

cette probabilité est égale à la probabilité que l'appel ne se termine dans aucun des n sous intervalles de durée t/n :

  (169)

En faisant tendre n vers l'infini, nous obtenons :

  (170)

Nous obtenons donc l'expression de la probabilité qu'un appel ait une durée inférieure ou égale à t :

  (171)

Nous pouvons en déduire la densité de probabilité associée, notée h(t) :

  (172)

qui correspond donc à une loi exponentielle (le temps qu'un client emploie pour être servi à une caisse - durée de service - ou pour que son appel soit traité une fois en fin de file d'attente suit donc une loi exponentielle!). Dans la pratique, il faut donc s'assurer avant d'utiliser les relations qui vont suivre que cette distribution soit bien respectée (avec un test du khi-deux typiquement).

De la même manière que dans les paragraphes précédents, la durée moyenne d'appel (laps de temps moyen entre deux fins d'appels en service) s'obtient en calculant (toujours la même intégration par parties que plus haut) :

  (173)

En conclusion, nous avons  appels qui cessent par secondes et nous avons une durée moyenne d'appel en service égale à:

  (174)

Effectivement, si nous avons par exemple 2 appels en service qui cessent par heure, cela nous donne une durée moyenne de 0.5 heure (1/2) de service par appel.

Le rapport:

  (175)

représente donc le nombre d'appels qui apparaissent dans la file d'attente sur le nombre d'appels en service qui se terminent pendant un intervalle de temps (temps de service moyen), ce qui représente en fait tout simplement le trafic (ou autrement dit: l'intensité de trafic) ou d'un autre point de vue l'utilisation moyenne du service dont l'unité est le "Erlang" (nous rappelerons cette définition plusieurs fois par la suite...).

Exemple:

Dans un magasin, on compte 240 clients par heure et il faut 28 secondes en moyenne pour traiter un client (temps de service moyen). Sachant que la durée de service suit une loi exponentielle et la distribution des arrivées une loi de Poisson, quelle est l'intensité du trafic et le taux d'occupation des caisses si le magasin en a que deux?

Le trafic est donc donné par le rapport du nombre de clients par heure divisé par le nombre de clients traités par heure. Comme il faut 28 secondes pour en traiter un et qu'il y a 3'600 secondes dans une heure, nous avons l'intensité de trafic suivante:

  (176)

La charge moyenne (ou taux d'occupation) par caisse, sachant qu'il y en a deux, est donc de:

  (177)

C'est cette dernière valeur qui sera prise au final comme valeur du trafic A par station pour les calculs ultérieurs.

Les probabilités d'apparition d'appels et de fin d'appels qui ont été développées dans les paragraphes précédents permettent de modéliser le processus complet d'apparition et de fin d'appels.

NOTATION DE KENDALL

Une notation a été développée par Kendall pour représenter les files d'attentes suite aux développements intensifs (et nombreux) des modèles mathématiques les concernant. La forme réduite de cette notation est:

A/B/C

où A représente le processus d'arrivée des clients dans le système, B représente la distribution des services des clients du système et C le nombre de serveurs du système.

Par exemple, la notation M/M/1 signifie que les clients arrivent au système selon une loi de Poisson (modélisée par une chaîne de Markov), que le temps de traitement est du type exponentiel (modélisée par une chaîne de Markov aussi) et le système constitué d'un seul serveur selon le principe du premier arrivé premier servi dans une file d'attente à population infinie et régime permanent. Ce qui correspond respectivement aux trois relations suivantes que nous avons démontrées plus haut pour la probabilité d'arrivée de k appels dans un temps donné:

  (178)

la probabilité que le temps de traitement (temps de service) soit égale à une certaine valeur :

  (179)

et la probabilité d'avoir k clients (communications) :

  (180)

La lettre M est utilisée pour indiquer que les processus employés sont du type markovien (sous-entendu exponentielle.

En général, nous utilisons la notation:

A/B/C/d:e

d représente le nombre maximum de clients pouvant être présents simultanément dans le système. Ce nombre entier varie entre 1 et l'infini. Quand la capacité mémoire de la file est considérée comme illimitée, ce paramètre est souvent omis.

e représente la discipline de service. Par exemple:

-  FIFO pour premier arrivé, premier servi (First In-First Out appelé aussi FCFS pour First Come-First Serve). Tous les modèles théoriques que nous allons développer ci-dessous seront de type FIFO!

- LIFO pour dernier arrivé premier servi (Last In-First Out appelé aussi LCFS pour Last Come-First Serve)

- SJF pour servir le travail le plus court d'abord (Shortest Job First)

- SRO pour servir en ordre aléatoire (Service in Randon Order)

et encore d'autres...

Ce dernier paramètre est omis si la discipline est FIFO. Ainsi, M/M/1 s'écrirait sans rien omettre:

MODÉLISATION DES ARRIVÉES ET DÉPARTS M/M/1

A chaque instant un certain nombre d'appels vont apparaître et d'autres vont se terminer. Nous pouvons donc modéliser l'état où l'on se trouve à un instant donné comme une chaîne d'états.

Chaque état représente le nombre d'appels en cours. Nous concevons donc bien que si, à un instant donné, il y a k appels nous pouvons passer que dans deux états adjacents selon nos hypothèse : k-1 et k+1.

Nous reconnaissons alors une chaîne de Markov (cf. chapitre de Probabilités). La probabilité de passer d'un état i à un état j pendant un temps dt sera donc notée :

  (181)

Nous introduisons alors les probabilités de transition d'état suivantes :

- Etant dans l'état k, la probabilité  pour passer à l'état k + 1 durant un intervalle de temps dt sera notée

- Etant dans l'état k, la probabilité  pour passer à l'état k-1 durant un intervalle de temps dt sera notée

- Etant dans l'état k + 1, la probabilité  pour passer à l'état k durant un intervalle de temps dt sera notée

- Etant dans l'état k - 1, la probabilité  pour passer à l'état k durant un intervalle de temps dt sera notée

  (182)

Les grandeurs  et  sont des taux d'arrivée (apparition) et de départ (fin) d'appels du même type que ceux utilisés lors des paragraphes précédents. La seule différence tient au fait que ces taux ont en indice l'état où se trouve le système.

Nous pouvons alors introduire la probabilité d'état, c'est-à-dire la probabilité d'être dans un état k à un instant t. Notons pour cela  cette probabilité (à rapprocher de la notation  utilisée pour les chaînes de Markov à temps discret dans le chapitre de Probabilités).

La variation de cette probabilité durant un intervalle de temps dt est alors égale à la probabilité de rejoindre cet état en venant d'un état k-1 ou d'un état k+1 moins la probabilité de quitter cet état pour aller vers un état k-1 ou vers un état k+1.

Ce qui s'écrit :

  (183)

En supposant le système stable, c'est-à-dire en supposant qu'il se stabilise sur des probabilités d'état fixes lorsque le temps tend vers l'infini, nous pouvons écrire que :

  (184)

Nous pouvons alors noter  d'où finalement :

  (185)

Nous aurions pu introduire cette dernière relation d'une autre manière : Elle exprime simplement le fait que la probabilité de partir d'un état est égale à celle pour y arriver (c'est peut-être plus simple ainsi).

Cette relation est vérifiée pour tout  avec les conditions mathématiques suivantes (car sinon ces termes n'ont aucun sens mathématique) :

  (186)

et la condition logique réelle suivante (des appels non encore existants ne peuvent finir...) :

  (187)

En écrivant le système d'équation précédent, nous trouvons :

  (188)

Nous trouvons alors assez facilement la forme générale :

  (189)

Le système se trouvant obligatoirement dans un des états nous avons la relation suivante qui doit obligatoirement être respectée:

  (190)

En remplaçant avec la relation antéprécédente :

  (191)

Ce qui donne aussi :

  (192)

et donc :

  (193)

Si nous considérons maintenant un système avec une seule ligne et de capacité infinie (régime permanent), les grandeurs (taux d'arrivée des appels) et  (taux de départ des appels) auront des valeurs identiques pour tout k. C'est-à-dire que nous considérons que le taux d'arrivée ainsi que les taux de départ sont constant quelque soit la position dans laquelle on se trouve dans la file d'attente. Nous avons alors la dernière relation qui se simplifie:

  (194)

En utilisant le résultat démontré dans le chapitre sur les Suites Et Séries (série de Gauss) nous avons sous des conditions précises nécessaires de convergence (A doit être strictement plus petit que 1):

  (195)

Puisque k représente le nombre d'appels, cette dernière relation donne la probabilité d'avoir 0 appels (clients) pour un traffic permament donné A sur la ligne.

En utilisant:

  (196)

Nous avons alors en toute généralité pour ce type de système la probabilité d'avoir k appels en régime permanent qui est donné par:

  (197)

Il en vient que l'espérance du nombre de communications (clients) dans le système (dans la queue + en service) est alors par définition de l'espérance:

  (198)

puisque  représente la probabilité pour qu'il y ait à tout instant k appels dans le système (file d'attente + en service). Or, nous avons vu dans le chapitre sur les Suites et Séries que:

  (199)

et si q est strictement inférieur à 1 et que n tend vers l'infini, nous avons immédiatement:

  (200)

Si nous dérivons cette dernière relation:

  (201)

et en multipliant par q il vient alors:

  (202)

Il vient alors au final pour l'espérance du nombre de clients dans le système:

  (203)

Si nous souhaitons connaître l'espérance du nombre de clients en attente dans la queue uniquement, il faut bien comprendre qu'à chaque instant nous avons donc une probabilité  qu'il y ait k clients dans le système mais comme 1 parmi ceux-ci est alors toujours en service (donc hors de la queue d'attente) il reste que nous en avons toujours k-1 réellement en attente. Donc:

  (204)

Connaissant le nombre de communications (ou de clients) que nous avons sur l'unique ligne dans tout le système, nous avons alors l'espérance du temps d'attente (temps d'attente moyen), notée E(T) qui sera donnée par le rapport de l'espérance du nombre de communications (clients) en régime permanent sur la ligne E(C) par le taux d'arrivée des appels.

  (205)

Ce résultat, appelé "relation de Little" (ce dernier ayant démontré rigoureusement que la relation est valable pour n'importe quel type de file d'attente), est intuitive dans le cas présent. Effectivement, prenons un appel type au hasard. Quand il arrive dans le système, il va se trouver statistiquement face à E(C) entrain d'attendre. Quand il quittera le système, il y aura été un temps moyen  E(T) . Donc pendant ce temps moyen,  appels seront arrivés derrière lui dans le système. En régime permanent, le nombre d'appels laissés derrière lors du départ doit égaliser le nombre arrivés. D'où l'égalité  dont on déduit alors immédiatement la relation de Little.

Nous avons alors pour l'espérance du temps d'attente dans le système:

  (206)

Pour déterminer le temps d'attente dans la queue seule il suffit de soustraire le temps de traitement/service de par la propriété de linéarité de la moyenne (durée d'appel moyenne en service):

  (207)

Pour résumer, car il y a beaucoup de paramètres et résultats, nous avons donc pour une file d'attente de type M/M/1 (selon la notation de Kendall):

Il faudrait pour chaque type possible de file d'attente faire les démonstrations détaillées des relations correspondantes ce qui est long et laborieux (c'est un métier/spécialisation à part entière).

Exemple:

Supposons que l'on dispose d'une machine à commande numérique traitant des pièces une à la fois. Supposons que  (nombre de pièces arrivant en moyenne par heure) et que  (nombre de pièces sortant en moyenne par heure). Nous avons alors:

  (208)

ce qui correspond au trafic ou taux d'occupation de la machine. Donc il y a 20% de probabilité pour que le système soit vide et 80% de probabilité pour qu'il y ait une attente.

  (209)

Ce qui correspond donc au nombre moyen de pièces dans le système (machine + en attente).

  (210)

Ce qui correspond donc au nombre moyen de pièces en attente en dehors de la machine.

  (211)

Ce qui correspond à un temps moyen de séjour de 30 minutes dans le système.

  (212)

Ce qui correspond à une attente moyenne de 24 minutes dans la file d'attente.

Et la probabilité qu'il y a ait 5 pièces dans le système (exécution + attente):

  (213)

PROBABILITÉ DE MISE EN ATTENTE M/M/k/k (FORMULE D'ERLANG B)

Nous allons nous intéresser ici à un système disposant de N canaux de communication (chaque canal censé supporter un débit de un appel avec réponse immédiate). Si les N canaux sont occupés, les appels qui arrivent sont considérés comme perdus (absence de tonalité par exemple). Nous parlons alors de blocage ou ruine du système. Il s'agit donc d'une file d'attente limitée de type M/M/k/k selon la notation de Kendall, appelée également "système à perte".

Nous allons chercher à estimer cette probabilité de blocage en fonction du nombre de canaux disponibles et du trafic.

Compte tenu de ce qui a été énoncé sur le caractère sans mémoire du processus d'arrivée d'appels, nous pouvons considérer que la probabilité :

   (214)

d'avoir k appels à l'état k est indépendante de l'état du système tel que :

  (215)

Ainsi, à chaque état k du système la loi de probabilité de type Poisson est valable. La différence de traitement c'est que plutôt que de considérer des états, nous allons considérer qu'un canal de communication peut-être considéré comme un état propre.

Pour la probabilité de fin d'appel, nous avons par contre :

  (216)

Effectivement, cette probabilité traduit juste que si k appels sont en cours chacun a une probabilité  de se terminer, d'où la somme qui donne . Nous avons alors:

  (217)

Ainsi, en injectant ces relations dans :

  (218)

il vient :

  (219)

En introduisant alors (qui doit être strictement inférieure à 1 si nous voulons que les développements suivants convergent vers une valeur finie: chaîne de Markov ergodique) :

  (220)

qui représente pour rappel le nombre d'appels qui apparaissent sur le nombre d'appels qui se terminent pendant un intervalle de temps (temps de service moyen), ce qui représente en fait tout simplement le trafic (ou autrement dit: l'intensité de trafic), il vient alors :

  (221)

ou encore en introduisant le 1 dans la sommation :

  (222)

Puisque k représente le nombre d'appels, cette dernière relation donne la probabilité d'avoir 0 appels (clients) pour un traffic permament donné A dans le système.

En reportant dans l'expression suivante de (probabilité d'être dans l'état k donc...) obtenue plus haut:

  (223)

il vient:

  (224)

et en considérant le caractère sans mémoire nous avons la relation:

  (225)

Il vient :

  (226)

où les k peuvent malheureusement porter à confusion. Il convient de faire un peu le ménage. Au numérateur, le k fait référence au nombre de canaux (serveurs, lignes, opérateurs ou terminaux) et au dénominateur le N aussi. Il convient donc de récrire cela de manière plus convenable:

  (227)

qui donne donc la probabilité de mise en attente (et donc de saturation/blocage) d'un système disposant de N canaux à capacité finie selon le principe du premier/arrivé premier servi (FIFO: First In/First Out) et pour un trafic A (exprimé donc en "Erlang") et dans lequel les communications sont perdues si mises en attente.

Cette relation est parfois notée dans les ouvrages spécialisés sous la forme:

  (228)

Cette relation est très importante en théorie des files d'attentes et porte le nom de "formule d'Erlang-B".

  (229)

Elle est à la base du dimensionnement des réseaux à commutation de cericuits. En effert, le problème de dimensionnement d'un commutateur de circuits est le suivant: Etant donné le trafic en nombre de communications par unité de temps A en Erlang, trouver le nombre d'unités de service k tel que la probabilité qu'un appel arrive dans un système devenu bloquant soitn inférieur à une certaine valeur.

La probabilité obtenue représente alors la qualité de service offerte par le réseau du point de vue de l'usage. Quant au trafic A, il est estimé en fonction du nombre de postes téléphoniques existants et/ou à venir sur la base d'une activité moyenne par poste et par application (téléphone, télécopieur, terminal, serveur informatique, etc.).

Exemple:

E1. Quelle est la probabilité de saturation d'une hotline (dont la durée de service suit une loi exponentielle et la distribution des arrivées suit une loi de Poisson) sachant que le trafic A de la ligne est estimé à 2 Erlang (1 appel par heure pour 1 appel traité par ½ heure - donc rapport de 2 sur 1) pour une seule ligne téléphonique (N=1) en utilisant le modèle d'Erlang-B?:

  (230)

E2. Dans une entreprise, on a dénombré aux heures de pointes 200 appels d'une durée
moyenne de 6 minutes à l'heure (temps de service moyen). Quelle est la probabilité de saturation avec 20 opérateurs (sachant que la durée de service suit une loi exponentielle et la distribution des arrivées une loi de Poisson)?

La plus grosse difficulté ici est de calculer le trafic! Il y a donc 200 appels par heures avec 10 appels traités seulement par heure (puisque 6 minutes par appel dans une heure de 60 minutes fait 10 appels). Le trafic A est donc de 200/10 soit 20 Erlang. En appliquant alors la relation précédente, nous avons:

  (231)

Dans l'industrie on admet un taux de saturation de 0.01%. En jouant avec un tableur comme MS Excel et l'outil Valeur cible, nous trouvons rapidement que N doit alors être égal à 30.

PROBABILITÉ DE MISE EN ATTENTE M/M/k/∞ (FORMULE D'ERLANG C)

Considérons maintenant un système pour lequel les appels peuvent être mis en d'attente avant d'être servis lorsque les k serveurs sont bloqués. Il s'agit donc d'une file d'attente à capacité illimitée de type M/M/k/∞ selon la notation de Kendall.

Avec ce système, nous avons toujours :

  (232)

mais pour la probabilité de fin d'appel l'analyse devient plus subtile. D'abord il y a la probabilité que les appels qui se trouvent sur les canaux N disponibles cessent et qui est donnée par :

  (233)

Mais dès que le nombre d'appels est plus grand que le nombre de canaux de communication disponible, la probabilité que cessent les appels est :

  (234)

Ce qui exprime que quelque soit le nombre d'appels, N ont la probabilité d'être mis en attente dès que k (le nombre d'appels) est supérieur ou égal à N.

Ainsi, pour résumer :

  (235)

En utilisant :

  (236)

Nous obtenons par décomposition du terme produit :

  (237)

D'où finalement :

  (238)

En utilisant l'expression de :

  (239)

Nous pouvons décomposer la sommation :

  (240)

et décomposer le deuxième produit :

  (241)

Sous l'hypothèse que :

  (242)

La somme :

  (243)

peut être simplifiée. Effectivement, en posant :

  (244)

il vient :

  (245)

et comme nous l'avons montré lors de notre étude la fonction Zeta (cf. chapitre de Suites Et Séries) cette somme peut s'écrire sous la forme :

  (246)

Donc :

  (247)

Donc finalement :

  (248)

Puisque k représente le nombre d'appels, cette dernière relation donne la probabilité d'avoir 0 appels (clients) pour un traffic permament donné A dans le système.

Nous avons donc pour :

  (249)

La probabilité cumulée de mise en file d'attente se note C(N, A) est elle est égale à :

  (250)

en procédant exactement comme dans les paragraphes précédents, nous avons finalement :

  (251)

qui donne donc la probabilité de mise en attente (et donc de saturation/blocage - c'est-à-dire que tous les serveurs sont bloqués) dès l'arrive dans un système disposant de N canaux à capacité infinie selon le principe du premier/arrivé premier servi (FIFO: First In/First Out) et pour un trafic A (exprimé donc en "Erlang") et dans lequel les communications peuvent être mises en attente (à l'opposé du modèle Erlang-B). Cette dernière relation est appelée "formule d'Erlang C". Traditionnellement on note :

  (252)

le "W" venant de l'anglais "Wait" (attendre).

Le modèle proposé ci-dessus est bien évidemment critiquable car en réalité la capacité de la file d'attente est finie et certains clients abandonnent lorsque l'attente est trop longue.

Exemple:

Si nous prenons un taux d'arrivé de 1 appel par minute et une durée moyenne de service de 5 minutes, nous avons alors:

  (253)

Si nous prenons un nombre N de 7 serveurs, nous avons:

  (254)

Donc 32.41% de probabilité cumulée d'être mis en attente. Ce qui un peu beaucoup... (un règle empirique consiste à chercher le nombre N de serveurs afin que cette dernière valeur descende en-dessous des 20%).

ASSURANCES

L'assurance est une opération pour laquelle une personne (l'assureur) groupe en mutualité d'autres personnes (les assurés) afin de les mettre en situation de s'indemniser mutuellement des pertes éventuelles (les sinistres) auxquelles les expose la réalisation de certains risques, au moyen des sommes (primes ou cotisations) versées par chaque assuré à une masse commune gérée par l'assureur.

Le dénominateur commun de la majorité des lois défini le contrat d'assurance comme un contrat en vertu duquel, moyennant le paiement d'une prime fixe ou variable, une partie, l'assureur, s'engage envers une autre partie, le preneur d'assurance, à fournir une prestation stipulée dans le contrat au cas où surviendrait un événement incertain que selon le cas, l'assuré ou le bénéficiaire, a intérêt à ne pas voir se réaliser.

Evidemment, l'opération d'assurance a pour effet le transfert (total ou partiel) des conséquences financières du risque subi par l'assuré vers une société d'assurance. Dès lors, à la souscription du contrat, l'assureur et l'assuré conviennent:

- D'un événement ou d'une liste d'événements, repris dans la police d'assurance, et garantis par l'assureur.

- D'une prime payée par l'assuré à l'assureur.

Les dépenses prises en charge par l'assureur peuvent correspondra:

- Soit à des indemnités à verser à des tiers, au titre de la responsabilité (civile, professionnelle ou autre) de l'assuré.

- Soit à la répartition des dommages subis par ce dernier.

Les hypothèses d'usage de l'assurance sont les suivantes:

H1. D'un point de vue juridique, un contrat d'assurance est un "contrat aléatoire" valide uniquement pour couvrir des risques ayant une composante aléatoire

H2. La "règle du jeu" du risque doit être stable dans un laps de temps considéré comme long (au moins quelques années)

H3. La perte maximale possible ne doit pas être trop importante par rapport à la marge de solvabilité de l'assureur

H4. La prime moyenne du risque doit être identifiable et quantifiable selon des variables statistiques explicatives bien choisies afin éventuellement de permettre un segmentation de la gestion des risques.

H5. Les risques doivent être indépendants (et s'ils sont identiques distribués en termes de probabilités et de pondération c'est mieux...) et démontrable comme étant tels significativement en utilisant les outils statistiques.

H6. Il doit exister un marché dans le sens que l'offre et la demande d'assurance doivent arriver à un prix d'équilibre (en quelque sorte l'équivalent de l'absence d'opportunité d'arbitrage en finance).

H7. L'espérance mathématique est considérée comme le prix de la prime pure juste à faire payer aux assureurs.

Définitions:

D1. La "prime pure" est dans le domaine de l'assurance choisie comme étant l'espérance mathématique de la charge, elle correspond à la prime minimale que peut demander un assureur pour ne pas, statistiquement, faire ruine de façon certaine.

D2. Le "chargement de sécurité" est le montant qui vient s'ajouter à la prime pure en permettant à l'assureur de pouvoir résister à la volatilité des remboursements.

D3. Le "chargement de frais de gestion" est le montant qui vient s'ajouter aux deux précédents et est lié fonctionnement de leur société, de la gestion des contrats, du recouvrement des primes, du placement des actifs (prime technique de base), des taxes...

D4. Le "chargement des frais commerciaux" vient s'ajouter aux trois précédents et es lié à l'acquisition des contrats (commissions des intermédiaires, frais des réseaux commerciaux, publicité) afin d'obtenir.

D5. Au final, l'ensemble des coûts se retrouve dans la "prime commerciale" qu'est celle communiquée au client.

Nous pouvons déjà en conclure que dans le cas d'un système d'assurance étatique obligatoire ou facultatif, les frais de gestion et commerciaux seront toujours inférieurs, sous l'hypothèse d'une méthode managériale égale, à un système privé.

CALCUL DE PRIME

L'assureur ne connaît donc pas exactement le montant des sinistres qui va survenir. En tarifant les contrats au niveau de la prime pure (et en supposant une distribution des pertes symétriques), l'assureur perd de l'argent une année sur deux. En l'absence de fonds propres, cette situation conduirait immédiatement à la faillite.

Pour se protéger, l'assureur ajoute donc à sa prime un chargement de sécurité. De nombreuses méthodes permettant de le déterminer sont possibles, aucune n'ayant à ce jour supplanté largement les autres :

- Chargement proportionnel à la prime pure. Le coefficient de proportionnalité reflète l'idée que l'assureur de la volatilité du risque.

- Chargement dépendant de l'écart type des pertes. Cette méthode est une légère formalisation de la précédente. Elle pose problème car elle introduira un chargement de sécurité qui dépendra des cas de gains (perte réelle inférieure à la prime pure)

- Chargement dépendant d'un certain quantile des pertes (par exemple le troisième quartile). Un tel chargement permet de garantir que la prime sera suffisante dans un nombre de cas déterminé à l'avance, mais ne donne aucune information sur les cas de pertes techniques.

Considérons le cas où la population serait hétérogène, in extenso deux classes de risque coexistent dans la population de poids respectifs  avec bien évidemment:

  (255)

Considérons une assurance maladie avec deux catégories  d'assurée (jeunes en bonne santé A /seniors à risque B).

Pour simplifier l'exemple à l'extrême, imaginons que l'assureur sait, à l'aide de ses statistiques internes, qu'un individu du groupe A va coûter à l'assurance un somme définie par une loi de distribution statistique que nous noterons dans le cadre de ce chapitre:

  (256)

Soit à tout coût x est associée une certaine probabilité cumulée donnée par la fonction . De même pour le groupe B:

  (257)

Si nous prenons alors au hasard un individu dans le portefeuille, si  désigne le groupe (notation traditionnelle en assurance), l'assureur devrait donc réclamer en primes pures pour le groupe A:

  (258)

soit l'espérance de la fonction . Idem pour le groupe B:

  (259)

Et pour un voyageur pris au hasard dans les deux groupes:

  (260)

Ce dernier cas étant appelé "mécanisme de solidarité". Ainsi, les bons risques paient pour les mauvais risques...

La variance de la prime pure sera elle donnée par la relation démontrée dans le chapitre de Statistiques (variance de deux séries statistiques):

  (261)

où nous voyons que le terme:

  (262)

au numérateur correspond à l'homogénéité des deux groupes. Et donc que l'hétérogénéité fait accroître la variabilité de la prime pure dans le mécanisme de solidarité.

Imaginons maintenant le cas où :

  (263)

et une assurance privée (1) qui pratique le mécanisme de solidarité et une autre assurance (2) qui ne le pratique pas. Dans le cas présent nous devons distinguer deux situations d'un point de vue économique:

Si tous les assurés sont rationnels (sous-entendus un peu... égoïstes) alors:

- Les jeunes en bonne santé représentant le groupe A vont aller chez l'assurance privée (2) qui a segmenté les risques et permet donc aux jeunes de payer moins cher.

- Les seniors en moins bonne santé représentant le groupe B vont allez chez l'assurance privée (1) qui n'a pas segmenté les risques mais qui par idéologie a appliqué le principe de solidarité.

La conclusion est que l'assurance privée (1) va rapidement faire faillite car:

- Les bons risques ne compensent plus le rabais de solidarité par égoïsme

- Nous sommes sur un marché concurrentiel où les assurances ne sont pas idéologiques...

Ce constant s'appelle le "problème d'antisélection" ou de "sélection inverse" basée sur l'approche G. Akerlof, prix Nobel d'économie en 2001.

La conclusion est que la privatisation des assurances basées sur un principe étatique (législation) de solidarité ne peut pas fonctionner sans engendrer des coûts supplémentaires aux primes pures à cause d'une antisélection périodique qui engendre un flux constant d'assurés d'une assurance à une autre et donc engendre des coûts administratifs et informatiques phénoménaux! Donc en tout point la suppression de la concurrence reste meilleure en terme de solidarité mais par contre pas en termes d'emplois pour les salariés des assurances (qui se trouveraient alors en grande majorité au chômage...).

Ainsi, la suppression de la concurrence pour des services d'assurances qui ont toutes des prestations de qualité équivalentse (comme c'est le cas pour l'assurance maladie en Suisse par exemple...) élimine le principe d'antisélection, applique de manière concrète le mécanisme de solidarité voulu par l'état et enfin diminue les coûts administratifs dus aux va et vient des assurés et des développements d'outils informatiques de gestion maison coûtant des millions à chaque assurance et qui engendrent des coûts qui au final sont répercutés sur le prix de la prime commerciale!

A ceci, il faut rajouter que pour diminuer la volatilité globale (écart-type global), une assurance devrait en théorie segmenter les risques à l'infini ce qui en fait un système non viable pour certains domaines particules de l'assurance.

Mais il faut se rappeler que cette conclusion n'est valable que les prestations des assurances sont identiques (ou quasi-similaires) sur un marché donné!

Signalons également un souci récurrent dans le domaine des assurances, appelé "aléa moral", qui se base sur le constat que les personnes qui s'assurent ont tendance à être mois prudentes que les personnes qui ne s'assurent pas. En d'autres termes, l'assurance génère du risque.

PRISE EN COMPTE DE L'EXPERIENCE

Pour l'instant, pour déterminer une prime d'assurance, nous avons noté qu'il était possible d'intégrer des variables exogènes (sexe, âge, enfants, puissance du véhicule, nationalité, environnement, etc.).

Mais un point important à ne pas négliger est l'expérience sinistre d'un assuré. Voyons en un exemple concret.

Supposons que le nombre de sinistres sur un an, pour un assuré donné, suive une loi de Poisson (loi des événements rares) donnée pour rappel par (cf. chapitre de Statistiques):

  (264)

ce qui se note dans le domaine des assurances:

  (265)

Supposons que  la population des assurés est séparée en trois classes de risques suivant chacune une distribution de Poisson tel que:

  (266)

En d'autres termes, il y a 70% de la population totale qui suit une loi de Poissons d'espérance 1 (classe de bons risques), 20% qui suit une loi de Poissons d'espérance 2 (classe de risque moyenne), et 10% qui suit une loi de Poisson d'espérance 3 (classe de mauvais risques).

Evidemment l'espérance globale d'un individu du portefeuille est alors de:

  (267)

Supposons que les coûts d'un incident soient fixes et de type indemnitaires de 1'000.-. Nous pouvons alors nous demander quelle devrait être la prime pour un assuré, sachant que la première année, il a eu 2 sinistres. Ce qui revient à se demander, quelle est le nombre d'accidents qu'il risque d'avoir la deuxième année.

Si nous notons  le nombre d'accidents de la première année, et  le nombre d'accidents à posteriori connaissant  nous nous retrouvons donc avec un problème de probabilité conditionnelle (une démarche bayesienne autrement dit...) conforme à ce que nous avons étudié dans le chapitre de Probabilités:

  (268)

Mais nous ne pouvons pas calculer le numérateur car nous ne connaissons pas quelle sera la valeur de  à l'avance. Nous allons donc calculer l'espérance conditionnelle espérée afin de contourner ce problème:

  (269)

Nous avons d'abord:

  (270)

Ce dernier calcul étant noté dans le domaine de l'assurance:

  (271)

Si nous considérons les deux variables aléatoires comme indépendantes:

  (272)

Il vient alors immédiatement que:

  (273)

Nous retombons donc sur une valeur connue correspondant à la prime pure:

  (274)

identique au calcul de:

  (275)

Donc les variables aléatoires  sont confondues avec celle de la classe de risque!

Ce système n'est alors bien évidemment pas conforme au bonus-malus. Nous devons alors considérer que les deux variables aléatoires ne sont pas indépendantes (au fait c'est la définition même du bonus-malus!).

Ainsi, si les deux variables aléatoires ne sont pas indépendantes, nous avons:

  (276)

Et alors:

  (277)

A comparer avec la prime pure sans bonus malus de 1.4!

Ce qui est délicat avec cette méthode c'est lorsque l'on cumule les années... dès lors cette approche bayésienne devient pénible. Effectivement, imaginons que nous souhaiterions déterminer la prime pure de la troisième année sachant que la deuxième année, l'assuré a eu 1 accident. Nous avons alors l'espérance conditionnelle:

  (278)

que nous laissons le soin au lecteur de développer...