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DYNAMIQUE DES POPULATIONS | THÉORIE
DES JEUX ET DE LA DÉCISION | ÉCONOMÉTRIE
TECHNIQUES DE GESTION | MUSIQUE MATHÉMATIQUE
Dernière
mise-à-jour de ce chapitre:
23.07.2010 22:46
Version: 2.2 Revision 9
LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
L'objectif de ce chapitre est d'introduire
aux principales techniques mathématiques de production
et de gestion, de maintenance et de qualité dont
l'utilisation est devenue indispensable aux ingénieurs,
gestionnaires et cadres des entreprises modernes. Par ailleurs,
c'est un excellent
chapitre
pour la culture générale du physicien ou du mathématicien...
et un acquis pour l'ingénieur!
Beaucoup de techniques ne seront cependant pas présentées
ici car ayant déjà été démontrées
dans d'autres chapitres du site. Effectivement, les techniques
de gestion font un
énorme usage des statistiques (dites "statistiques
descriptives" dans le domaine), de la théorie
de la décision, de la théorie des graphes ainsi
que de l'économétrie (en particulier le VAN, le
R.O.I, etc.) et des algorithmes d'optimisation et des chapitres
entiers
y étant déjà consacrés sur ce site
il serait redondant d'y revenir.
Remarque: Nous
parlons souvent de 3M (Méthodes Mathématiques de Management)
pour décrire
l'ensemble des outils mathématiques appliqués à la
gestion (il existe d'ailleurs un cursus de formation d'une vingtaine
de journées). Une terme anglophone courant
et qui devient à la
mode en Europe pour décrire ce domaine d'application est
aussi le "decisioneering" faisant
référence au fait que ce sont des outils d'aide à la
décision pour les ingénieurs.
Diagramme
de Pareto
Le diagramme de Pareto, comme nous allons le voir, est un moyen
(entre autres) simple pour classer les phénomènes
par ordre d'importance. Mais la distribution de Pareto est aussi
souvent utilisée en entreprise comme base de simulation
stochastique pour des variables aléatoires représentant
des investissement chiffrés de projets (à peu près
aussi souvent utilisée que la distribution triangulaire,
la distribution Bêta ou log-Normale dans l'industrie moderne).
Rappelons alors qu'une variable
aléatoire
est dite par définition suivre une loi de Pareto si
sa fonction de répartition est donnée par (cf.
chapitre de Statistiques) :
(1)
avec et (donc )
et pour l'espérance (moyenne) :
(2)
et l'écart-type:
(3)
Pour illustrer ce type de
représentation, nous supposerons qu'une étude de
réorganisation
du réseau commercial de l'entreprise LAMBDA conduise le
directeur commercial à s'intéresser à la
répartition
des 55'074 bons de commande (valeur en bas à droite du tableau)
reçus
pendant une année donnée selon la ville où sont
domiciliés
les clients (nous avons retenu ici les 200 premières villes
du pays imaginaire d'où les 200 lignes réparties
en 5 colonnes).
Pour calculer les paramètres de la loi de Pareto, le lecteur
devra se raporter au chapite de Génie Industriel car nous
n'allons ici avoir qu'une approche qualitative comme le font les
gestionnaires,
l'analyse quantitative étant réservée majoritairement
aux ingénieurs.
Ces données
sont reproduites dans le tableau ci-dessous :
ni |
Ni |
ni |
Ni |
ni |
Ni |
ni |
Ni |
ni |
Ni |
8965 |
8965 |
240 |
40027 |
125 |
46378 |
88 |
50916 |
55 |
53752 |
4556 |
13520 |
236 |
40263 |
123 |
46862 |
87 |
51003 |
54 |
53806 |
3069 |
16589 |
224 |
40487 |
123 |
46985 |
87 |
51090 |
54 |
53860 |
2336 |
18925 |
223 |
40710 |
123 |
47108 |
86 |
51176 |
54 |
53914 |
1872 |
20796 |
220 |
40930 |
122 |
47229 |
85 |
51261 |
54 |
53968 |
1595 |
22391 |
215 |
41145 |
121 |
47350 |
85 |
51346 |
51 |
54018 |
1326 |
23718 |
213 |
41357 |
118 |
47468 |
84 |
51430 |
50 |
54068 |
1184 |
24902 |
212 |
41570 |
118 |
47586 |
84 |
51514 |
49 |
54116 |
1085 |
25987 |
202 |
41772 |
118 |
47705 |
82 |
51597 |
48 |
54164 |
934 |
26921 |
201 |
41972 |
117 |
47821 |
81 |
51678 |
47 |
54211 |
843 |
27764 |
200 |
42172 |
115 |
47936 |
79 |
51757 |
44 |
54255 |
747 |
28510 |
191 |
42363 |
114 |
48050 |
79 |
51835 |
43 |
54298 |
722 |
29232 |
190 |
42553 |
112 |
48162 |
78 |
51913 |
43 |
54340 |
710 |
29943 |
188 |
42741 |
112 |
48274 |
78 |
51990 |
42 |
54382 |
647 |
30589 |
185 |
42926 |
108 |
48383 |
77 |
52067 |
41 |
54423 |
631 |
31221 |
179 |
43105 |
108 |
48490 |
76 |
52144 |
40 |
54463 |
607 |
31828 |
173 |
43278 |
107 |
48597 |
74 |
52218 |
40 |
54503 |
539 |
32367 |
170 |
43448 |
106 |
48703 |
72 |
52290 |
38 |
54542 |
502 |
32868 |
161 |
43609 |
105 |
48808 |
72 |
52362 |
38 |
54580 |
462 |
33330 |
160 |
43769 |
102 |
48910 |
72 |
52434 |
37 |
54617 |
459 |
33790 |
158 |
43927 |
102 |
49012 |
71 |
52505 |
37 |
54654 |
422 |
34212 |
153 |
44080 |
102 |
49114 |
71 |
52576 |
36 |
54690 |
372 |
34584 |
153 |
44233 |
101 |
49215 |
70 |
52647 |
36 |
54726 |
362 |
34945 |
149 |
44382 |
100 |
49315 |
70 |
52716 |
35 |
54760 |
355 |
35300 |
149 |
44531 |
100 |
49415 |
67 |
52784 |
33 |
54793 |
347 |
35647 |
148 |
44679 |
99 |
49514 |
66 |
52851 |
32 |
54825 |
342 |
35989 |
147 |
44826 |
98 |
49612 |
66 |
52918 |
31 |
54856 |
338 |
36327 |
147 |
44972 |
98 |
49710 |
65 |
52983 |
28 |
54884 |
329 |
36656 |
147 |
45119 |
97 |
49807 |
64 |
53047 |
25 |
54909 |
314 |
36970 |
146 |
45265 |
96 |
49904 |
64 |
53110 |
21 |
54931 |
314 |
37283 |
146 |
45411 |
96 |
50000 |
64 |
53174 |
21 |
54951 |
310 |
37593 |
142 |
45553 |
96 |
50095 |
62 |
53236 |
20 |
54972 |
310 |
37903 |
140 |
45693 |
96 |
50190 |
60 |
53296 |
19 |
54991 |
301 |
38203 |
137 |
45829 |
93 |
50284 |
60 |
53356 |
19 |
55010 |
284 |
38755 |
137 |
45966 |
92 |
50376 |
58 |
53414 |
15 |
55025 |
268 |
38755 |
135 |
46101 |
92 |
50468 |
57 |
53471 |
13 |
55038 |
267 |
39022 |
131 |
46232 |
92 |
50559 |
57 |
53539 |
11 |
55049 |
265 |
39287 |
128 |
46360 |
91 |
50650 |
56 |
53585 |
11 |
55060 |
251 |
39538 |
127 |
46487 |
90 |
50740 |
56 |
53641 |
8 |
55068 |
249 |
39787 |
126 |
46613 |
88 |
50828 |
56 |
53697 |
6 |
55074 |
Tableau: 1
- Dataset pour analyse de Pareto
où les 200 valeurs
ni (nombre de bons de commande en
provenance d'une ville i) ont
été classées par valeurs décroissantes
et cumulées dans une colonne Ni.
La première ville se caractérise par 8'965 bons
de commande (ce qui correspond à 16.28% du total des bons),
la seconde par 4'556, ce qui fait que les deux premières
villes ont passé 13'520 bons de commande (ce qui correspond
à 24.55% des bons), les trois premières villes, ont
passé 16'589 bons de commande (ce qui correspond à
30.12%), etc. Une autre façon de décrire ce phénomène
consiste à dire : 0.5% des villes (classées par
valeur décroissant du critère) ont passé 16.28%
des bons, 1% des villes ont passé 24.55% des bons, etc.
Ces calculs, sont partiellement
présentés dans le tableau ci-dessous :
i% |
Ni% |
i% |
Ni% |
i% |
Ni% |
i% |
Ni% |
i% |
Ni% |
0.5 |
16.28 |
20.5 |
72.68 |
40.5 |
84.86 |
60.6 |
92.45 |
80.5 |
97.6 |
1 |
24.55 |
21 |
73.11 |
41 |
85.09 |
61 |
92.61 |
81 |
97.7 |
1.5 |
30.12 |
21.5 |
73.51 |
41.5 |
85.32 |
61.5 |
92.77 |
81.5 |
97.8 |
2 |
34.36 |
22 |
73.92 |
42 |
85.54 |
62 |
92.92 |
82 |
97.89 |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
19 |
71.33 |
39 |
84.18 |
59 |
91.97 |
79 |
97.3 |
99 |
99.7 |
19.5 |
71.79 |
39.5 |
84.41 |
59.5 |
92.13 |
79.5 |
97.4 |
99.5 |
99. 99 |
20 |
72.24 |
40 |
84.64 |
60 |
92.29 |
80 |
97.5 |
100 |
100 |
Tableau: 2
- Données cumulées et normalisées pour analyse de Pareto
traduits graphiquement (selon les traditions d'usage) ci-dessous
sous la forme d'un diagramme de Pareto:

(4)
ou de manière plus pertinente sous la forme
d'un diagramme de Lorenz (l'abscisse des numéros des villes
est remplacé
par le %cumulé de villes comme dans le tableau de données
ci-dessus):

(5)
Cette analyse met en évidence qu'un nombre faible d'éléments
est l'origine de la majeure partie du phénomène étudié (par
exemple, ici 31% des villes génèrent 80% des bons
de commande). Ceci explique qu'elle soit l'une des grandes techniques
utilisées dans le domaine de la "gestion
de la qualité totale" (Total Quality Management)
ETdans l'analyse de l'importance des causes d'un problème
de qualité. Elle est également utilisée par
les gestionnaires pour structurer l'organisation, en particulier
pour différencier les processus en fonction de caractéristique
de la demande (suivi différencié de la clientèle
selon son importance, par exemple) et lorsqu'elle est utilisée
pour définir 3 classes, cette technique prend souvent le
nom de "Méthode ABC" (cf.
chapitre de Génie Industriel).
La ligne en pointillés
de ce graphique correspond elle à ce que nous aurions observé
en cas d'équi-répartition du phénomène
étudié, c'est-à-dire si chaque ville s'était
caractérisée par le même nombre de bons de
commande.
De façon générale, plus une courbe de Pareto
(ou de Lorenz) se rapproche de la droite d'égalité parfaite
et plus la répartition de la masse considérée
au sein de la population est égalitaire. En effet, dans
ce cas, la masse (des salaires, de la richesse, du revenu, etc.)
est peu concentrée sur quelques uns.
Remarque: La présentation de cette analyse a été
faite en classant les observations par valeurs décroissantes
mais nous aurions pu tout aussi bien partir d'un classement par
valeurs croissantes et, dans ce dernier cas, la courbe obtenue
aurait
été symétrique, le centre de symétrie étant
le point de coordonnées (0.5,0.5).
Dans un environnement industriel,
les points d'amélioration potentiels sont quasi innombrables.
On pourrait même améliorer indéfiniment, tout
et n'importe quoi. Il ne faut cependant pas perdre de vue que l'amélioration
coûte aussi et qu'en contrepartie elle devrait apporter de
la valeur ajoutée, ou au moins supprimer des pertes.
INDICE DE GINI
Le phénomène étudié est d'autant moins équitablement
réparti que la courbe s'éloigne de la droite d'équi-répartition.
Les économistes, gestionnaires ou responsables de départements
d'entreprise utilisent parfois (pour leur tableau de bord de performance)
un indicateur synthétique
pour mesurer ce phénomène et son évolution, "l'indice
de Gini" (appelé aussi "coefficient
de Gini").
Ce coefficient est défini par le rapport:
(6)
où les surfaces A et B se rapportent à la figure
ci-après.

(7)
Le coefficient de Gini est donc un nombre réel compris entre
zéro et 1. En cas d'égalité parfaite, il est égal à zéro (car A=0).
En cas d'inégalité totale il est égal à 1, car B=0. Par
conséquent, à mesure que G augmente de 0 à 1, l'inégalité de
la répartition augmente.
Sachant que la courbe de Lorenz est on
voit que la surface A+B est égale à la moitié de
cette surface. Nous avons donc :
(8)
Nous pouvons de ce fait écrire:
(9)
De plus comme:
(10)
Finalement, nous pouvons écrire que :
(11)
En utilisant la méthode de calcul d'intégrale des trapèzes (cf.
chapitre de Méthodes Numériques) nous avons l'aire B qui
est donnée par:
(12)
où pour rappel h est la longueur des intervalles supposés
tous égaux (ce qui est toujours le cas dans le contexte des analyses
de Lorenz) et si la configuration du tableau de données est tel
que nous ayons le graphique suivant (ce qui est plutôt rare...):

(13)
Traditionnellement nous trouvons cette dernière relation sous
la forme:
(14)
où n représente le nombre d'unités statistiques (la population).
Dans le cas qui nous sert d'exemple depuis le début cela donne:
(15)
Dans la situation où le graphique est sous la forme (cas qui
est nettement le plus fréquent en entreprise!!):

(16)
La méthode des trapèzes nous amène alors à écrire:
(17)
Traditionnellement nous trouvons cette dernière relation sous
la forme:
(18)
Dans le cas qui nous sert d'exemple depuis le début cela donne:
(19)
PERT
PROBABILISTE
En restant toujours dans
le cadre des statistiques et probabilités relativement
aux techniques mathématiques de gestion, il existe une
loi empirique en gestion de projet (domaine que nous supposerons
connu par la
lecteur car trivial) très utilisée dans le cadre
des
"PERT probabilistes" (Program Evaluation
and Review Technic) et incluse dans nombres de logiciels spécialisés
afin de faire des prédictions de coûts et de temps
(cf. chapitre de Théorie Des Graphes).
Cette loi, appelée
"loi bêta" ou encore "loi
de Pert" est souvent présentée
sous la forme suivante dans les ouvrages et sans démonstration
(...) :
(20)
et donne la durée probable (espérée)
d'une tâche élémentaire (non décomposable
en sous-tâches)
où nous
avons
qui sont respectivement les durées optimiste, vraisemblable
et pessimiste de la tâche .
Nous allons démontrer plus bas la provenance de cette relation!
Remarque: Cette approche classique date de 1962 et est due à
C.E. Clark.
Ses principes sont
les suivants : La durée de chaque
tâche du projet est considérée comme aléatoire
et la distribution Bêta est systématiquement utilisée;
les paramètres de cette loi que nous allons démontrer
sont déterminés moyennant une hypothèse de
calcul assez forte, à partir des valeurs extrêmes a
et b que la durée d'exécution peut prendre,
et du mode .
Il suffit donc de poser les trois questions suivantes :
1. Quelle
est la durée minimale ?
2. Quelle est la durée
maximale ?
3. Quelle est la durée
espérée ?
pour obtenir
respectivement les paramètres ,
qui permettent ensuite de calculer la moyenne (espérance)
et la variance de
cette durée aléatoire.

Ensuite, nous déterminons
le chemin critique du projet (par la méthode des potentiels
métra supposée connue par le lecteur), en se plaçant
en univers certain et en utilisant les durées moyennes
(espérées) obtenues avec la loi Bêta, ce
qui permet de trouver le(s) chemin(s) critique(s).
Ensuite, nous nous plaçons
en univers aléatoire et la durée du projet est considérée
comme la somme des durées des tâches du chemin critique
précédemment identifié. Nous utilisons alors
le théorème de la limite centrale vu dans le chapitre
de Statistiques (rappelons que ce théorème établit,
sous des conditions généralement
respectées, que la variable aléatoire constituée
par une somme de n variables aléatoires indépendantes
suit approximativement une loi Normale, quelles que soient les
lois
d'origine, dès que n est assez grand) pour approximer
la loi de distribution de probabilités de la durée
d'exécution du projet.
L'espérance mathématique
(ainsi que la variance) de cette loi Normale se calcule comme la
somme des espérances mathématiques (ou des variances)
de chaque durée des tâches du chemin critique (cf.
chapitre de Statistiques) tel que :
(21)
et dans le cas particulier
où les variables sont linéairement indépendantes,
la covariance étant nulle (cf. chapitre
de Statistiques)
nous avons aussi :
(22)
Rappelons que nous avons
vu dans le chapitre de Statistiques et Calcul Différentiel
Et Intégral que :
et .
(23)
En gestion nous remarquons que souvent, les durées des tâches
suivent une loi que nous appelons "loi
bêta
de première
espèce" (cf. chapitre de Statistiques)
donnée par:
(24)
Pour un intervalle [a,b] quelconque dans lequel x
est compris nous obtenons la forme plus générale:
(25)
Vérifions que nous
ayons bien :
(26)
Par le changement de variable
:
et
(27)
nous obtenons :
(28)
Déterminons maintenant
l'espérance :
(29)
Toujours avec le même
changement de variable nous obtenons :
(30)
Or :
(31)
Donc :
(32)
Calculons maintenant la variance
en utilisant la formule d'Huyghens démontrée dans
le chapitre de Statistiques:
(33)
Calculons d'abord .
(34)
Toujours par le même
changement de variable nous obtenons,
(35)
Or :
(36)
Donc :
(37)
Pour finir :
(38)
Calculons maintenant pour
le "module"
de cette loi de distribution.
est par définition le maximum global de la fonction :
(39)
Il suffit pour le calculer
de résoudre l'équation :
(40)
Après dérivation
nous obtenons :
(41)
en divisant par
nous avons :
(42)
c'est-à-dire :
(43)
Maintenant, le lecteur aura
remarqué que la valeur a est la valeur la plus petite
et la b la plus grande. Entre deux il y a donc le mode .
En gestion de projets, cela correspond respectivement aux durées
optimiste ,
pessimiste d'une
tâche.
Ensuite, nous imposons une
hypothèse assez forte :
ou
(44)
Ce qui implique que nous
ayons :
(45)
ainsi que :
(46)
Et finalement :
(47)
Ce qui nous donnes sous forme synthétique:
(48)
Remarque: Les deux dernières expressions de la
variance et de l'espérance sont celles que vous pouvez trouver
dans n'importe quel livre de gestion de projets
(sans démonstration
bien sûr...) comme par exemple le fameux PMBOK. Malheureusement
il y a une erreur dans cet ouvrage de référence
de gestion de projets à ma connaissance. Effectivement
la valeur modale y est imposée par le chef de projet
alors qu'en toute rigueur elle doit être calculée
avec la première des trois relations ci-dessus à partir
de la durée pessimiste et de la durée optimiste de la tâche!!!
Indiquons que exactement les mêmes développements effectués jusqu'ici
peuvent sont valables avec la formulation suivante de la loi bêta:
(49)
cette dernière formulation étant celle disponible dans les logiciels
ou tableurs comme MS Excel par exemple en utilisant la fonction
LOI.BETA( ) et pour sa réciproque par LOI.BETA.INVERSE( ).
Nous obtenons alors pour l'espérance:
(50)
et pour la variance:
(51)
et le mode:
(52)
Avec:
(53)
Sinon pour le reste, les résultats (expressions) restent exactement
les mêmes!
Exemple:
Tracé de la fonction de distribution et répartition
pour la fonction de beta de paramètres :
 
(54)
Nous définissons aussi
le "risque d'action" par le rapport (dont l'interprétation
est laissée aux responsable de projet et au client...) :
(55)
PROCESSUS SIX SIGMA (LEAN)
Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Statistiques, la loi
Normale est une fonction en forme de "cloche" donnée
par:
(56)
dont les écarts-types sont utilisées pour donner
l'intervalle de probabilité
cumulée de se situer dans ces bornes centré sur la moyenne
comme représenté ci-dessous: 
(57)
Ceci étant rappelé, nous avons également
présenté dans le chapitre de Génie Industriel
les probabilités conjointes dans le cadre de Six Sigma
pour une chaîne de processus P connectés
en série.
Au fait les processus mentionnés ne sont
pas forcément
des processus industriels mais peuvent être assimilés
sous des hypothèses
identiques à des processus quelconques (administratifs,
procédures,
workflows, etc.).
Nous avions vu que la probabilité conjointe
(ou cumulée)
est appelée dans Six Sigma "Rolled
Troughput Yield" (R.T.Y.) ou "Rendement
Global Combiné" (R.G.C.) et est donnée
par (cf. chapitre de Probabilités) :
(58)
Par exemple l'application de la relation précédente
donne pour un processus série en 4 étapes dont la fiabilité est
de 90% chaque:

(59)
Nous nous retrouvons donc au final avec une fiabilité
de 65.6% soit une probabilité cumulée de défaut
pour l'ensemble du processus de 34.4%.
Remarque: Le lecteur attentif aura
remarque que le système série est toujours moins fiable que sa
composant la moins fiable!! Redonnons
le tableau au pire selon Six Sigma, soit le tableau en procédé non centré avec
une déviation de la moyenne de (donc à droite
mais on pourrait prendre à gauche et les résultats sont
les mêmes) par rapport à la cible et d'écart-type unitaire
avec USL et LSL symétriques (ce qui restreint toujours
le champ d'application):
Cp |
Cpk |
Défauts (PPM) |
Niveau de qualité Sigma |
Critère |
0.5 |
0 |
501350 |
1.5 |
Mauvais |
0.6 |
0.1 |
382572 |
1.8 |
|
0.7 |
0.2 |
27412 |
2.1 |
|
0.8 |
0.3 |
184108 |
2.4 |
|
0.9 |
0.4 |
115083 |
2.7 |
|
1 |
0.5 |
66810 |
3 |
|
1.1 |
0.6 |
35931 |
3.3 |
|
1.2 |
0.7 |
17865 |
3.6 |
|
1.3 |
0.8 |
8198 |
3.9 |
Limite |
1.4 |
0.9 |
3467 |
4.2 |
|
1.5 |
1 |
1350 |
4.5 |
|
1.6 |
1.1 |
483 |
4.8 |
|
1.7 |
1.2 |
159 |
5.1 |
|
1.8 |
1.3 |
48 |
5.4 |
|
1.9 |
1.4 |
13 |
5.7 |
|
2 |
1.5 |
3.4 |
6 |
Excellent |
Tableau: 3
- Défauts et niveau de qualité Sigma en procédé décentré
où nous avons démontré dans le chapitre de Génie
Industriel que les valeurs PPM étaient données par:
(60)
Ce qui donne pour un niveau de qualité de 3 Sigma:
>evalf((1-1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-(x-1.5)^2/2),x=-infinity..(1*3))))*1E6+evalf((1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-(x-1.5)^2/2),x=-infinity..-(3*(1+1)))))*1E6;
soit une valeur de 66810 c'est-à-dire
la valeur de la 6 ligne. Ce qui correspond à ~6.68% en
termes de probabilité cumulée de non-qualité (66'810
divisé par 1 million et mis en pourcents) et donc respectivement à une
probabilité cumulée
de ~93.32% de qualité.
Nous avons le tableau suivant qui peut résumer
certaines valeurs importantes du tableau précédent en utilisant
la commande Maple:
|

|
|

|

|
Qualité% |
93.32 |
99.38 |
99.98 |
99.9996 |

|
1 |
1.33 |
1.68 |
2 |
Jugement |
Mauvais |
Limite |
Bon |
Excellent |
Tableau: 4
- Valeurs importantes de maîtrise du procédé
Sous l'hypothèse que chaque étape d'un processus série suit
la même loi avec les mêmes moments et les mêmes déviations par rapport à la cible
nous avons alors:
Étapes/Qualité% |

|
|

|

|
1 |
93.32 |
99.38 |
99.98 |
99.9996 |
7 |
61.63 |
95.73 |
99.84 |
99.9976
|
10 |
50.08 |
93.96 |
99.77 |
99.9966 |
20 |
25.08 |
88.29 |
99.54 |
99.9932 |
40 |
6.29 |
77.94 |
99.07 |
99.9864 |
60 |
1.58 |
68.81 |
98.61 |
99.9796 |
80 |
0.40 |
60.75 |
98.16 |
99.9728 |
100 |
0.10 |
53.64 |
97.70 |
99.996 |
... |
... |
... |
... |
... |
Tableau: 5
- Niveau de qualité d'un processus/procédé ayant un nombre fini d'étapes
où chaque ligne représente le Rolled
Troughput Yield (RTY) donc calculé avec:
(61)
où i dont le nombre d'étapes
du processus (1,7,10,20,40) et où les probabilités
sont données
par la première ligne (1). Ainsi, avec un niveau de qualité
de et
une déviation à la cible de nous
avons pour un processus de 20 étapes identiquement distribuées:
(62)
ce qui est lamentable! Un procédé industriel en 20 étapes d'un
produit complet devrait avoir au minimum un niveau de qualité
de 4 sigma
pour
être acceptable en termes de rendement et de qualité
Ainsi, l'objectif du Lean Six Sigma dans une entreprise sera
d'augementer le niveau de qualité avec un RTY maximum
pour un nombre donné d'étapes d'un processus.
MODÈLE STATISTIQUE DE CONTRÔLE DES SALAIRES
Basée sur les us et coutumes en statistiques, le contrôle statistique
des salaires (C.S.S.) peut se justifier
puisque l'outil et le principe de base est appliqué dans tous
les domaines de l'économie (finance, médecine, ingénierie, qualité,
biologie, projets, logistique, commerce, etc.)
L'idée, fort simple, est d'analyser la distribution statistique
des salaires dans une population (nation, entreprise, département,
niveau hiérarchique ou autre...) et de considérer tout ce qui
est au-delà de 99.9996% de probabilité cumulée comme une anomalie.
Au contraire, ce qui est à l'intérieur de l'intervalle sera justifié conformément
aux standards d'usage et ne nécessitera dont ni débat, ni explications
hasardeuses.
Déjà, une première règle empirique évidente, est que la variable
aléatoire des salaires doit être catégorisée si sa distribution
statistique est multimodale. Ce qui est fréquent dans certaines
entreprises ou institutions. Il convient ensuite de choisir adéquatement
les catégories qui seront fréquemment des niveaux hiérarchiques
normalisés au sein de l'institution (ressources, responsables
d'équipes, responsables de projets, directeurs de projets, direction...).
Une fois ceci fait, il doit rester une distribution statistique
unimodale dont la variable aléatoire est strictement positive
(les salaires négatifs étant rares...).
Par exemple, pour l''ensemble des salaires bruts annuels fixes
en fin de carrière dans le canton de Genève (Suisse) en 2004
(source: Office Cantonal Genevois du personnel), nous avons la
variables aléatoire qui suit une loi log-logistique de paramètres:
(63)
Nous avons ainsi:
Probabilité cumulée
(ou centile) |
Valeur |
99% |
300'000 |
99.9% |
535'000 |
99.99% |
930'000 |
99.999% |
1'600'000 |
99.9996% |
2'030'000 |
99.9999% |
2'850'000 |
99.99999% |
5'000'000 |
99.999999% |
8'800'000 |
99.9999998% |
13'040'000 |
Tableau: 6 - Centile de la répartition des salaires avec valeur correspondante
Ainsi, si nous nous basons sur les us et coutumes en statistiques
de la gestion de portefeuilles et du risque dans les bons instituts
financiers, un salaire annuel de plus de 300'000.- CHF à Genève,
tous secteurs et hiérarchies confondus, est une anomalie...
Si nous nous basons sur les us et coutumes en statistiques
de la gestion du risque et de la qualité dans l'industrie des
procédés de fabrication massive, un salaire annuel de plus de
2'030'000.- CHF à Genève, tous secteurs et hiérarchies confondus,
est une anomalie...
Si nous nous basons sur les us et coutumes des statistiques
les plus pointues en termes de qualité et du contrôle du risque,
un salaire de plus de ~13'040'000.- CHF à Genève, tous secteurs
et hiérarchies confondus, est une anomalie...
Ainsi, il serait contradictoire que les personnes dirigeantes
qui imposent des critères statistiques à leurs collaborateurs
en ce qui concerne les services et la production ne les respectent
pas eux-mêmes en ce qui concerne leur salaire ou n'impose pas
des règles identiques au département des ressources humaines
(dont le concept de qualité est souvent inconnu...).
Remarque: Le même raisonnement statistique peut s'appliquer
pour la part variable du salaire.
gestion
de stockS
L'enjeu de la gestion des
stocks et apprivisionnement est important : mettre en place des
processus qui opimisent la fonction économique, sous
contrainte d'une disponibilité en théorie sans faille.
Tel sont les objectifs du gestionnaire de stocks. Cela suppose
de
disposer
d'une visibilité
sur ses stocks et de méthodologies appropriées aux
différentes situations.
Une production sans stock est quasi inconcevable vu les nombreuses
fonctions que remplissent les stocks. En effet, la constitution
de stocks est nécessaire
s'il y a :
- Non coïncidence dans le temps ou l'espace de la
production et de la consommation : le stock est
indispensable dans ce cas car il est impossible de
produire là et quand la demande se manifeste. Les exemples classiques sont
la fabrication de jouets ou la confiserie pour la non coïncidence
dans le
temps, et les supermarchés pour la non coïncidence
dans l'espace.
- Incertitude sur le niveau de demande ou sur le prix : s'il
y a incertitude sur la quantité demandé,
on va constituer un stock de sécurité qui permet
de faire face à une pointe de demande (en prenant soin
d'éviter l'effet "coup de fouet"). S'il y a incertitude sur le
prix, on va constituer un stock de
spéculation.
Par exemple, les compagnies pétrolières
achètent plus que nécessaire en étrole
brut lorsque le prix de celui-ci est relativement
bas sur le marché.
- Risque de problèmes en chaîne : il s'agit
ici d'eviter qu'une panne à un poste ne
se répercute sur toute la chaîne d'approvisionnement. Un retard d'exécution
au poste précédent
ou une grève des transports n'arrêtera pas immédiatement
l'ensemble du processus de production
s'il y a des stocks
tampons.
- Présence de coûts de lancement : dans ce cas,
travailler par lots permet une économie
d'échelle sur les coûts
de lancement de production mais, en revanche,
provoque une augmentation des coûts de possession du stock. Le contrôle du stock
et de l'approvisionnement d'une entreprise est donc aussi fondamental
dans la vie de celle-ci. Afin de réduire (ou optimiser
c'est selon...) un maximum les coûts divers qui tournent
autour du stockage, il faut faire encore une fois appel à des
connaissances en statistiques mathématiques comme nous
allons le voir de suite.
Remarque: L'application de type type d'outils ne s'adressent
pas vraiment aux P.M.E. de moins de 50 employés produisant
de petites pièces de manière irrégulière
mais plutôt à des
multinationales produisant en énorme quantité
ou en faible quantité des objets de consommation de taille
non négligeable et de manière régulière. Par ailleurs
comme auteur de ces pages je me suis renseigné dans de
nombreuses entreprises et je n'ai trouvé
encore aucun logisticien utilisant dans la pratique les modèles
mathématiques
qui vont être présentés ci-après.
Dans un premier temps, nous
allons établir comme déterminer le stock initial nécessaire
à une entreprise en sa basant sur des données statistiques
et ce à partir de modèles simples ensuite de quoi
nous ferons de même aves les modèles de réapprovisionnement
dont la démarche d'approche est un peu différente
et permet comme pour la première d'arriver à des résultats
très satisfaisants à grande échelle.
Les modèles que nous
allons construire permettront ainsi :
1. De réguler les
aléas des flux de fournitures
2. De permettre la production
par lots (réduit les coûts de production)
3. De faire face à
des demandes saisionnières
Des stocks supplémentaires
pouvant engrenger des "coûts d'intérêt"
(capital immobilisé), des "coûts
d'obsolence"
(les produits deviennent entre temps obsolètes), des "coûts
de stockage", des "coûts
d'assurances" (protection
contre les accidentes pouvant subenvire sur le produits) et de
nombreux
autres...
Nous distinguons dans le domaine classiquement trois types de
stocks:
1. Le "stock minimum",
appelé encore "stock
tampon" ou "stock d'alarme" ou
"point de commande" ou "seuil
de réapprovisionnement", correspond à la
consommation de l'article durant le délai type
d'approvisionnement (laps de temps entre la commande et la livraison).
Par exemple, si le délai d'approvisionnement est de 5 jours
et que les consommations quotidiennes sont de 100 unités,
le stock minimum est de 500 unités.
2. Le "stock de sécurité" qui permet de répondre aux aléas les
plus fréquents liés à la consommation et à la livraison.
3. Le "stock d'alerte",
appelé encore "stock
critique" qui est
le niveau de stock pour lequel on déclenche une commande
au risque de connaître une rupture. Par construction le stock
d'alerte est donc la somme du stock de sécurité et du stock minimum.
STOCKS EN AVENIR INCERTAIN
Commençons notre étude pas le cas le plus simple qui suppose que
la consommation est statistiquement régulière et sous contrôle.
Il s'ensuit (cf. chapitres de Statistiques
et de Génie Industriel)
que la consommation périodique suit alors une loi de Gauss.
Prenons un exemple concret puisque la théorie a déjà été étudiée
en long et en large dans le chapitre de statistique.
Considérons un article dont la demande quotidienne suite
une loi normale de paramètres:
(64)
Le stock disponible au moment de la commande est de 500 unités
et le délai de réapprovisionnement de 5 jours. Nous
souhaiterions savoir quelle est la probabilité cumulée
d'être au-dessus ou égale à la rupture de stock
ainsi que la probabilité cumulée d'être au-dessus
de la consommation quotidienne supposée?
Nous avons pour le premier point la consommation moyenne sur 5
jours qui est en utilisant la propriété de stabilité de
la loi normale:
(65)
Nous avons alors:
(66)
soit en utilisant MS Excel:
=1-LOI.NORMALE(500;450;44.72;1)=13.17%
Et pour la consommation quotidienne il vient simplement:
=1-LOI.NORMALE(500;450;44.72;1)=30.85%
STOCK
INITIAL OPTIMAL
Imaginons de suite un scénario
afin de développer un modèle (inspirée de
l'ouvrage Gestion de la Production de V. Giard). Considérons
que l'entreprise MAC est le spécialiste d'un certain produit
dont le coût
direct de fabrication est de 25 unités numéraires
et le prix de vente 60. La vente quotidienne de ce produit est,
en semaine, de 2.5 en moyenne et le relevé des demandes
pendant trois mois laisse supposer que celle-ci suit une loi de
Poisson,
c'est-à-dire que nous avons une distribution de probabilités
suivante du nombre X de ces produits au cours d'une journée (tronquée à
,
car la probabilité de ventes supérieurs à 10
sera supposée comme nulle).
Nous avons alors le tableau
suivant qui montre que la quantité la plus souvent vendue
à un agent économique est de 2 et le calcul de l'espérance
nous donne pour ce tableau
:
| x |
P(X) |
| 0 |
0.0821 |
| 1 |
0.2052 |
| 2 |
0.2565 |
| 3 |
0.2138 |
| 4 |
0.1336 |
| 5 |
0.0668 |
| 6 |
0.0278 |
| 7 |
0.0099 |
| 8 |
0.0031 |
| 9 |
0.0009 |
| 10 |
0.0003 |
Tableau: 7
- Probabilités cumulées des ventes
Nous supposerons que le stock
est à flux tendu. En d'autres termes, d'un jour à
l'autre, aucune unité n'est reportée pour les ventes
du lendemain car il n'est plus censé y en avoir. La question
dès lors est de savoir, le tableau ci-dessus étant
donné, combien de produits mettre en fabrication (ou commander)
chaque jour pour maximiser le bénéfice et minimiser
les pertes.
Dès lors, dans l'optique
retenue de minimisation de coût de possession
associé aux invendus est de 25, tandis que le coût
de rupture
est égal au manque à gagner consécutif à
la vente ratée, c'est-à-dire la marge 60 soustrait
des 25 soit 35 unités numéraires.
Une gestion rationnelle doit
permettre de calculer le stock initial S (autrement
dit le nombre de produits à commander ou à
fabriquer pour la journée) qui minimise l'indicateur de
coût
de gestion C(S)
défini comme étant la somme du coût de possession
associé au stock moyen des invendus ,
et du coût de rupture associé au stock moyen de
ventes ratées
:
(67)
Du point de vue mathématique
cela revient à chercher un extremum de la fonction de coût
de gestion tel que pour la valeur optimale
de l'approvisionnement initial le coût
est inférieur ou supérieur à .
En d'autres termes (c'est trivial)
ou
(68)
A partir de maintenant la
question est de savoir comment procéder pour déterminer
.
Au fait l'idée est subtile mais simple tant qu'elle est bien
exposée et réfléchie.
Reprenons la distribution
de probabilités de la loi de demande quotidienne et supposons
que nous voulions calculer les ruptures moyennes (donc l'espérance)
et associées
au stock initiaux respectifs par rapport à la distribution
donnée.
L'idée est d'alors
d'écrire la distribution de densité de probabilité
par rapport à la quantité manquante de stock et non
plus vendue :
| x |
P(X) |
x-
4 |
(x-
4)P(X) |
x-
5 |
(x-
5)P(X) |
| 0 |
0.0821 |
- |
- |
- |
- |
| 1 |
0.2052 |
- |
- |
- |
- |
| 2 |
0.2565 |
- |
- |
- |
- |
| 3 |
0.2138 |
- |
- |
- |
- |
| 4 |
0.1336 |
- |
- |
- |
- |
| 5 |
0.0668 |
1 |
0.0668 |
- |
- |
| 6 |
0.0278 |
2 |
0.0556 |
1 |
0.0278 |
| 7 |
0.0099 |
3 |
0.0297 |
2 |
0.0198 |
| 8 |
0.0031 |
4 |
0.0124 |
3 |
0.0093 |
| 9 |
0.0009 |
5 |
0.0045 |
4 |
0.0036 |
| 10 |
0.0003 |
6 |
0.0018 |
5 |
0.0015 |
| 
|
1 |
- |

|
- |

|
Tableau: 8
- Distribution de densité de probabilité par rapport à la
quantité manquante
Il ressort du tableaux précédent
que le fait de faire passer le stock initial S de
4 à 5, diminue la rupture moyenne en la faisant passer
de 0.1708 à 0.0620. Mais de ce résultat nous ne
pouvons rien faire pour l'instant car à notre niveau actuel
du développement,
cela signifierait qu'en prenant un stock initial de 10, nous aurions
une rupture moyenne nulle (... ce qui n'avance pas à grande
chose...) et que si nous prenons aucun stock initial, nous aurions
une rupture de stock totale...
Mais cependant, nous pouvons
tirer un résultat intermédiaire intéressant.
Effectivement regardons la manière dont varie la différence
de la rupture moyenne (résultat facilement généralisable
- nous pouvons faire la démonstration sur demande au
besoin):
(69)
Autrement dit (soyez bien
attentif!!!), la diminution de rupture moyenne occasionnée
en augmentant d'une unité un stock préalablement dimensionné
à ,
est égale à la probabilité cumulée que
la demande soit strictement supérieure à celle du
stock initial .
En d'autres termes, au cas
où cela ne serait pas clair, le fait d'augmenter le stock
initial diminue certes la rupture moyenne mais impose en contrepartie
que il y a moins d'acheteurs qui risquent de satisfaire l'offre
et les seuls qui le peuvent sont ceux qui correspondant à
la probabilité cumulée .
Finalement, nous pouvons
écrire :
(70)
Le tableau ci-dessous représente
la diminution de rupture moyenne que nous obtenons en accroissant
d'une unité le stock (et respectivement la probabilité
de clients capables de consommer le stock...) :
| x |
P(X) |
Ir (x)-Ir (x +
1) |
| 0 |
0.0821 |
0.9179 |
| 1 |
0.2052 |
0.7127 |
| 2 |
0.2565 |
0.4562 |
| 3 |
0.2138 |
0.2424 |
| 4 |
0.1336 |
0.1088 |
| 5 |
0.0668 |
0.0420 |
| 6 |
0.0278 |
0.0142 |
| 7 |
0.0099 |
0.0043 |
| 8 |
0.0031 |
0.0012 |
| 9 |
0.0009 |
0.0003 |
| 10 |
0.0003 |
0 |
Tableau: 9
- Rupture moyenne en accroissant
d'une unité le stock
Maintenant regardons les
invendus .
Leur espérance est bien évidemment donnée par
(servez-vous des tableaux au besoin pour comprendre) :
(71)
Ce que nous pouvons écrire
:
(72)
d'où :
(73)
qui est donc le stock moyen
possédé calculé sur la base du stock résiduel
de fin de période. C'est donc un résultat remarquable
qui va nous permettre de déterminer
seulement à partir de .
Cette dernière relation
peut également s'écrire :
(74)
où le terme de gauche
représente la demande moyenne satisfaite et le terme de droite
l'offre moyenne utilisée. Cette relation est donc une relation
particulière d'équilibre entre une offre et une demande.
Nous pouvons par ailleurs
vérifier cela à partir des tables ci-dessous en mettant
un exemple particulier en évidence :

| x |
4 - x |
(4 - x)P(X) |
| 0 |
4 |
0.3284 |
| 1 |
3 |
0.6156 |
| 2 |
2 |
0.5130 |
| 3 |
1 |
0.2138 |
| 4 |
0 |
- |
| 5 |
- |
- |
| 6 |
- |
- |
| 7 |
- |
- |
| 8 |
- |
- |
| 9 |
- |
- |
| 10 |
- |
- |
| |
|
 |
Tableau: 10
- Espérance des invendus
Finalement nous pouvons écrire
une expression de ,
fonction de la seule rupture moyenne :
(75)
ou :
(76)
Il s'ensuit que :
(77)
Ce qui donne avec les résultats
obtenus plus haut :
(78)
Dans ces conditions, les relations
:
(79)
Deviennent :
(80)
d'où :
(81)
d'où
est optimal si :
(82)
Dans notre exemple numérique,
nous avons :
(83)
avec :
(84)
d'où le stock optimal initial journalier appelé aussi "stock
minimum":
(85)
ce qui n'est ni 2 ni 2.5 !!!
modèle
de wilson (réaprovisionnement)
Il
existe plusieurs modèles d'optimisation de gestion de stocks
(Statistique, Wilson, ABC, 20/80...). Parmi ceux-ci, nous avons
souhaité nous
arrêter sur le "modèle
de Wilson" qui est
le plus connu (mais pas forcément le plus réaliste...).
Remarque: Ce modèle appelé également
"modèle du lot économique",
permet de déterminer la fréquence et la quantité
optimale de réapprovisionnement
pour un magasin, une usine... Elle est couramment
employée
par les services logistiques de grandes structures. Elle a en
fait été introduite
dès 1913...
Le
but est de déterminer la stratégie qu'il faut
adopter pour que le total périodique (annuel, mensuel, hebdomadaire,
journalier, ...) des commandes
ou fabrications de pièces minimise le total des coûts
d'acquisition et de possession de stocks pour l'entreprise. Nous
parlons
aussi des fois de "gestion à flux
tendu".
L'existence
de stocks au sein de l'entreprise amène le gestionnaire à se poser
la question du niveau optimal de ces derniers, en évitant deux éceuils
principaux :
1.
Le "sur-stockage", source
de coûts pour l'entreprise (coût
du stockage physique, manutention, locaux et surfaces utilisés,
coûts
annexes, assurances gardiennage, coût des capitaux immobilisés)
2.
Le "sous-stockage" qui risque
d'aboutir à des ruptures
de stocks préjudiciables à l'activité de production ou à l'activité
commerciale de l'entreprise (arrêt de la production, perte de ventes,
perte de clientèle,...).
Ainsi, les différents
modèles de gestion des stocks ont pour objectif de minimiser
le coût de gestion dans ce système de contraintes en déterminant
la fréquence de réapprovisionnement et la quantité associée.
Voyons d'abord une approche purement qualitative. Pour chaque
référence, les quantités en stock évoluent
dans le temps par exemple sous une forme:
(86)
En simplifiant nous obtenons un graphique dit "en dents de scie":
(87)
Pour éviter la rupture de stock, il faut bien évidemment faire
en sorte que l'entrée d'une commande se fasse, au plus tard, lorsque
la quantité en stock devient nulle:
(88)
Si nous considérons une consommation
constante d'une quantité N par unité de
temps (jour, mois, année,...) et que nous connaissons à l'avance
le délai d'approvisionnement
(en jour, mois, année...) alors si le tout est mis à des
unités
équivalentes (journalières par exemple) nous avons
le niveau critique qui est donné par:
(89)
qui est aussi assimilé à le terminologie
justifiée
de "point de commande" puisqu'il
s'agit de la quantité que
nous avons en stock à partir de laquelle il faut lancer
une nouvelle commande d'approvisionnement:
(90)
Ainsi, si la consommation est de 10 unités
par jour et que le délai d'approvisionnement est de
15 jours, le niveau critique est alors de 150 unités. Pour éviter les aléas (grève, transports, variation
de consommation, remplacements,...) nous envisageons un stock
de sécurité :
(91)
Nous avons alors pour le niveau critique:
(92)
Voyons maintenant l'influence du nombre de livraisons sur
le coût de stockage (puisque plus le taux de détention
est gros plus les coûts de stockage sont élevés). Supposons
pour cela que le marché
consomme 100 unités par mois et ce de manière
régulière.
Dans le cas d'un seul approvisionnement annuel, la consommation
est
représentée
par le graphique ci-dessous (aucun stock de sécurité afin
de simplifier l'exemple) :
(93)
où nous voyons immédiatement que le stock moyen est de 600.
Ce stock moyen est obtenu par simple moyenne arithmétique ou
simplement en utilisant la définition de la moyenne intégrale
de la fonction de consommation:
(94)
Et si nous divisons la gestion en deux approvisionnements
nous avons alors:
(95)
soit un stock moyen deux fois inférieur et dès lors un coût
de stockage moyen deux fois moindre. Mais bien évidemment il
faut y associer le coût d'approvisionnement. C'est à ce niveau
de complexité qu'intervient justement la formalisation mathématique
de Wilson.
Chaque
commande d'achat ou ordre de fabrication coûte donc à l'entreprise.
Le "coût de lancement" ou "coût
de passation" des
commandes ou lancements de fabrications représente tous
les frais liés
(administratifs, réglages machines, préparation,
communications,...) au fait de passer une commande (ou une fabrication)
et est supposé être
proportionnel à la quantité. Ces coûts sont déterminés à l'aide
de la comptabilité analytique.
Ainsi, le
coût d'une commande est obtenu en divisant
le coût
total de fonctionnement du service achat par une grandeur significative
et pertinente, par exemple le nombre de commandes passées
(ou ordres de fabrications) annuellement par exemple. Le
coût d'un lancement en fabrication lui sera obtenu en divisant
le coût
total de fonctionnement du service ordonnancement, auquel, il
faut,
ajouter les coûts de réglage des machines et des préséries,
par le nombre de lancements de fabrication.
Ces
valeurs dépendent essentiellement de l'entreprise, de ses choix
en matière de comptabilité analytique. Il est difficile de définir
une fourchette de valeur standard. Bon nombre d'entreprises ne
savent
pas à combien leur revient une commande ou un lancement de fabrication
(et bon nombre ne savant tout simplement pas faire une analyse...).
Le
coût de possession du stock est constitué des charges liées au stockage
physique mais également de la non rémunération des capitaux immobilisés
dans le stock (voire du coût des capitaux empruntés pour financer
le stock). Pour cette dernière raison, ce coût est considéré comme
étant proportionnel à la valeur du stock moyen et à la durée de
détention de ce stock.
Le
taux de possession annuel t% est
le coût de possession ramené à une unité monétaire
de matériel stocké.
Il est obtenu en divisant le coût total des frais annuel de possession
par le stock moyen anneul.
Ces
frais couvrent l'intérêt du capital immobilisé, les
coûts de magasinage (loyer et entretien des locaux, assurances,
frais de personnel et de manutention, gardiennage..), les détériorations
du matériel, les risques d'obsolescence.
Ce
taux oscille habituellement entre 15 et 35% de la valeur marchande
stockées dans les entreprises, suivant le type des articles et
la qualité de
leur gestion des stocks.
Wilson
a établi une relation basée sur un modèle mathématique simplificateur
dans lequel nous considèrons que la demande est stable sans tenir
compte des évolutions de prix, des risques de rupture et des
variations dans le temps des coûts de commande et de lancement
(nous sommes alors en "avenir certain").
Les
hypothèses très simplificatirces de ce modèle sont les suivantes:
H1.
La demande périodique est connue et certaine
(déterministe)
H2.
Les quantités commandées sont constantes à chaque période
H3.
La pénurie, les ruptures de stock ont lieu en fin de période
H4.
Le délai de production est constant et l'approvisionnement
supposé
instantané
H5.
Les coûts (stocks, articles, passation,...) sont invariables dans
le temps
H7. Le coût de possession est proportionnel à la
valeur
H8.
L'horizon de planification est infini
Remarques:
R1. Nous supposerons que la gestion du stock
s'effectue sur une période temporelle donnée.
R2. D'après ces hypothèses nous concluons qu'il
y aura le même niveau de commande à lancer chaque
fois, que le coût total de pénurie est nul.
Nous noterons :
- N la quantité correspondante à une
demande ou respectivement
à des pièces
consommées par période
- Q la
quantité d'approvisionements ou de pièces lancées
en fabrication en une seule fois pendant ce même temps (taille
des lots), toujours égal ou inférieur à N
- le
prix unitaire d'achat de la pièce (supposé constant)
- le
stock de sécurité envisagé pour cette pièce
(supposé constant) pour répondre aux aléas
- t le
taux de coût de possession en % (supposé constant)
et parfois appelé "taux de détention"
- le
coût d'approvisionnement/acquisition par commande ou de lancement
de fabrication
Nous définissons de par la même
occasion, le "coût unitaire de
stockage" calculé sur la base du prix untaire d'achat
d'une pièce:
(96)
Propositions:
P1.
Le rapport (sans dimensions):
(97)
donne "l'inertie des stocks" ou
qui peut être vu de manière plus explicite comme étant
le "nombre
périodique de lancements" (ou la cadence de
réapprovisionnement) pour
satisfaire la demande.
P2.
Le "coût d'inertie" ou respectivement
le "coût
d'acquisition", ou encore "coût
de lancement" est
donc donné pour une période par
:
(98)
Ce
dernier est donc supposé proportionnel à la consommation!
Ce qui est important ceci dit est de remarquer que le coût
de lancement est inversement proportionnel à la quantité Q et
donc qu'il tend vers zéro lorsque Q tend vers l'infini.
Ceci dit, normalement on aura dans la majorité des cas théoriques:
(99)
P3.
Le stock moyen dans l'entreprise dans l'hypothèse d'une
consommation (décroissance linéaire
du stock) et d'un niveau de sécurité constants
dans le temps est trivialement pour une période:
(100)
Le
"coût périodique de possession",
appelé encore"coût
de possession" ou "coût
de gestion" ou "coût de
stockage" ou "coût
de détention"...,
est alors :
(101)
Il s'agit donc de la fonction d'une droite (dont l'ordonnée à
l'origine est non-nulle si le stock de sécurité est
non nul) si nous considérons
que uniquement Q y est variable. Il est important de remarquer
que ce coût est ne prend pas en compte les concepts de remise
de volume faite par les commercieux...
Ces
propositions nous amènent donc à l'équation du "coût
total d'approvisionnement", appelé aussi "coût
total de stockage" que nous allons chercher à minimiser:
(102)
et qui donne une "courbe des coûts
cumulés" du
type :

(103)
Trouver
la quantité économique ,
c'est trouver la valeur de Q pour laquelle le coût total est minimal, c'est-à-dire
la valeur pour
laquelle la dérivée du coût total par rapport à la quantité est
nulle:
(104)
D'où la "relation de Wilson"
(après un calcul élémentaire), appelée aussi
simplement "formule de Wilson", pour le "lot/quantité économique
optimal"
:
(105)
Bien évidemment une fois connue la quantité économique,
il devient facile de calculer le coût de gestion minimal
par période en injectal dans
la relation obtenue plus haut:
(106)
ainsi que la cadence optimale de réaprovisionnement puisque
donnée par le rapport :
(107)
Si
nous reportons sur un graphique les fonctions:
-
coût de lancement en fonction des quantités
-
coût de possession en fonction des quantités
-
coûts totaux en fonctions des quantités
alors la
quantité économique se trouve à l'intersection des
deux courbes, lancement et possession, ou au point d'inflexion
de la courbe cumulée.
Dans la pratique toutefois, il est possible de commander exactement
la quantité économique, on choisira une taille de
lot répondant
aux diverses contraintes et comprise dans la "zone économique"
:

(108)
Evidemment dans certaines entreprises un objectif est plutôt
d'essayer de diminuer le coût de stockage afin d'atteindre
l'équivalent de la demande comme quantité économique.
Nous avons alors avec un peu d'algèbre élémentaire:
(109)
soit au final le coût de stockage optimal si la quantité
d'approvisionnement Q est imposée:
(110)
Il
existe un autre type de cas de figure qu'il faut étudier.
Si l'on commande en quantités plus importantes en bénéficiant
ainsi d'une remise, on augmente certes les coûts de possession
mais on réduit
théoriquement le nombre de commandes annuelles.
L'obectif
pour le gestionnaire est bien sûr
de vérifier mathématiquement que la remise consentie
par son fournisseur n'entraîne pas de coûts induits supérieurs à
la remise (ce serait une preuve d'incompétence du gestionnaire!).
Pour
ce faire, il faut ramener tous les coûts à une pièce tel
que le coût total unitaire s'écrive:
(111)
cette
relation est importante car elle détermine la valeur de la remise
pour que cette dernière soit intéressante.
Pour
connaître le seuil de remise R
pour une quantité donné, on remplace dans la relation précédente,
Q
par la quantité visée Q' et
par
,
R
étant la remise.
Nous
résolvons alors l'équation et nous obtenons:
(112)
Nous déterminerons donc la valeur limite de R
sous laquelle la remise ne compense pas les coûts internes.
Dans
la pratique nous ne pouvons commander exactement la quantité optimale
,
notamment du fait des unités d'achats imposées par les fournisseurs
(quantités minimales, conditionnements, etc.). Il est donc plus
judicieux de s'intéresser à la "zone économique",
constituée
par la partie inférieure (le ventre) de la courbe des coûts totaux.
Du
fait des hypothèses simplificatrices, le modèle de Wilson ne peut
fournir au mieux qu'un ordre de grandeur si consommation et/ou prix
sont sujets à variations (puisqu'elle est extrêmement dépendante
des deux paramètres subjectifs : coûts de stockages
et lancement).
Le
recours aux lancements de fabrication économiques est "anti-flexible"
par essence. Ce genre de politique amène fréquemment des circonstances
importantes, risque de gonfler le stock de produits finis, reportant
les coûts et pertes en aval du processus.
Cependant,
le modèle de Wilson à ceci d'intéressant qu'il peut s'appliquer
également assez bien à des ressources humaines.
Exemple:
L'entreprise MAC utilise un article
X330 pour lequel la consommation prévisionnelle de l'année
N devrait être de 4'000 articles.
Les données sont les
suivantes :
- Le coût unitaire de l'article
X330 est de
(peu importe le numéraire)
- Le coût de passation/lancement d'une
commande est de 
- Le taux de possession du stock est
de
Le fournisseur de cet article, pour
inciter ses clients à augmenter l'importance de leurs commandes
propose à l'entreprise les conditions suivantes :
C1. Quantités commandées
inférieures à 2'000 unités : prix unitaire
C2. Quantités commandées
comprises entre 2'000 et 3'500 unités : remise de 2%.
C3. Quantités commandées
supérieures à 3'500 unités : remise de 3 %.
Travail à faire : Dire quelle
solution l'entreprise doit adopter.
Le prix varie donc en fonction de la
quantité tel que étant donnée une quantité
choisie, la remise s'applique d'une façon équivalent
à tous les articles (nous parlons alors de "remise
uniforme")..
D'après l'énoncé
et en fonction de Q la quantité d'approvisionnement,
nous savons que :
1. Si 
2. Si 
3. Si 
En fonction de la relation de Wilson
du lot économique, nous allons calculer la quantité économique
pour le prix le plus avantageux à savoir :
(113)
Mais pour avoir droit avoir
droit à
il faut commander au minimum 3'500 articles il y a donc contradiction
et cette solution est donc hors zone. Des calculs identiques (que
nous laissons le soin de faire avec la calculatrice quand même...)
montrent que seulement le lot économique
de
correspond à la contrainte .
BIENS
D'ÉQUIPEMENT
Les installations,
les biens d'équipement subissent une dépréciation
progressive due à l'usure ou à l'obsolescence. Cette
baisse de valeur, enregistrée comme un charge en comptabilité,
est appelée "amortissement comptable". Il ne faut pas confondre
l'amortissement financier vue en économétrie, qui
correspond au remboursement d'une dette et l'amortissement comptable
qui est une diminution de valeur des moyens de production.
Certains types
de biens ont une perte de valeur assez uniforme dans le temps contrairement
à d'autres qui se déprécient plus rapidement
les premières années. Nous allons présenter
ici quelques unes des méthodes comptables utilisées
en pratique qui décrivent l'un ou l'autre de ces phénomènes.
AMORTISSEMENT
LINÉAIRE
Définition: Nous parlons d'un "amortissement
linéaire" d'un
bien lorsque sa valeur d'immobilisation (amortissement) est diminuée
d'un montant périodique
(annuel dans la comptabilité) constant durant sa durée
de vie:
Ainsi, si nous
notons
le montant du k-ème amortissement et
la valeur initiale du bien d'équipement et
sa valeur finale souhaitée (qui dans la plupart des cas
sera nulle), nous avons :
(114)
Il est possible d'obtenir la valeur d'amortissement en utilisant
la fonction AMORLIN( ) de MS Excel.
Le taux d'amortissement équivalent constant basé sur
la valeur d'achat et résiduelle est alors donnée évidemment
par:
(115)
A remarquer que ce taux constant et la valeur finale est parfois
imposée par
la législation
dans certains pays (comme c'est le cas en Suisse par exemple) jusqu'à
une valeur résiduelle nulle ou non nulle elle aussi définie
par la législation!
AMORTISSEMENT
ARITHMÉTIQUE DÉGRESSIF
Définition: Lorsque la valeur d'immobilisation
(amortissement) d'un bien décroît
inversement à l'ordre des périodes (années
en comptabilité) nous parlons alors "d'amortissement
arithmétique
dégressif" (donc pas de taux d'amortissement imposé par
l'État possible!).
Par exemple,
un bien d'une durée de vie de 4 ans, sera amortissable de
4/10 la première année, 3/10 la seconde, 2/10 la
troisième
et 1/10 la dernière. La base commune "10" (dans cet exemple)
étant la somme arithmétique 1+2+3+4 afin que la totalité
des fractions soit égale à l'unité. Il s'agit
d'une règle purement fiscale américaine " Sum-of-Years
Digits" (SYD).
Remarque: Il ne faut pas confondre
"l'amortissement arithmétique dégressif" avec "l'amortissement
dégressif" qui consiste à appliquer un coefficient
multiplicateur (édicté par le fisc) au pourcentage
d'amortissement linéaire correspondant et que nous ne traîterons
pas sur ce site (sauf demande explicite d'un internaute). Il ne
peut être
utilisé que
pour des biens neufs et ne concerne pas tous les types d'immobilisation.
Ce
taux d'amortissement dégressif s'applique chaque année
sur la valeur comptable résiduelle du bien.
Soit le k-ème
amortissement et
la valeur initiale du bien d'équipement et
sa valeur finale souhaitée (qui dans la plupart des cas
sera nulle) nous avons alors:
(116)
ce qui peut
s'écrire :
(117)
et comme nous
l'avons démontré dans le chapitre des Suites Et Séries
:
(118)
ce qui nous
amène à écrire :
(119)
Il est possible d'obtenir l'amortissement à une période k en
utilisant la fonction SYD( ) de MS Excel.
AMORTISSEMENT
GÉOMÉTRIQUE DÉGRESSIF
Définition: Lorsque la valeur d'immobilisation
d'un bien décroît
selon un taux d'amortissement constant basé sur la valeur
résiduelle
de la période précédente (donc en quelque
sorte comme un intérêt
composé à taux négatif), nous parlons alors "d'amortissement
géométrique dégressif simple".
Ainsi, la valeur
du bien après n années est défini par
:
(120)
avec donc :
(121)
Remarque: Nous constatons que t% étant
comprise dans l'intervalle entre [0,1[ la limite de 
quand n tend vers l'infini n'est jamais nulle. Ainsi, la
valeur résiduelle ne le sera jamais non plus !
Sachant que
par définition de cet amortissement que
nous obtenons :
(122)
En injectant
l'expression du taux dans la relation précédente,
nous obtenons :
(123)
Nous remarquons donc que les valeurs d'amortissement
ne nécessitent pas de connaître le taux de manière
explicite. Il suffit de connaître la valeur finale et initiale.
C'est justement pour cela que la fonction DB( ) de MS Excel ne
demande pas le taux
d'amortissement.
A remarquer que ce taux constant et la valeur finale
est parfois imposée par la législation dans certains
pays (comme c'est le cas en Suisse par exemple) jusqu'à une
valeur résiduelle
nulle ou non nulle elle aussi définie par la législation!
Remarque: L'amortissement géométrique dégressif
convient particulièrement aux biens ayant une très
forte dépréciation les premières années.
CHOIX
D'INVESTISSEMENTS
Par définition, un investissement
est l'acquisition
ou le développement d'un bien (quelque soit sa forme, matérielle
ou non) par une entreprise, une collectivité ou un individu.
Un investissement implique dans
le
cadre économique
simple :
1. Une dépense immédiate,
payable en une ou plusieurs fois
2. Des entrées futures,
appelées "cash flows"
3. Une valeur résiduelle
Il existe plusieurs critères
et techniques pour les choix d'investissements, que nous présenterons
ci-après,
qui permettent d'opter
pour un investissement A ou B : celui de la
"valeur actuelle nette" (VAN),
celui du "taux
interne de rentabilité"
(TRI) ou encore celui de "délai
de récupération".
Remarque: Il ne faut pas oublier aussi que les techniques
de décisions
(cf. chapitre de Théorie Des Jeux)
ont une énorme importance lorsque les sommes considérées
atteignent des valeurs non négligeables.
VALEUR ACTUELLE
NETTE
Comme nous l'avons spécifié
plus haut, un investissement implique trois points.
Ce qui intéresse bien évidemment l'investisseur,
c'est
qu'en valeur actuelle, l'investissement rapporte plus que ce qui
est dépensé.
Voyons une situation type :
une entreprise souhaite acquérir une nouvelle machine valant
6'000.-, ce qui devrait permettre d'abaisser les coûts de
production de 1'000.- durant 5 ans. Nous estimons que dans 5
ans,
la valeur résiduelle de cette machine sera de 3'000.-. Doit-on
acheter cette machine si cet investissement peut être financé
par un emprunt à 10% ?
Quelles informations avons-nous
ici ?
1. La dépense immédiate

2. La valeur finale ou résiduelle
du bien d'équipement après 5 ans 
3. Les cash-flow de chaque
année
(qui sont constant sur toute la période dans cet exemple)
4. Le taux d'intérêt
(taux géométrique moyen du marché)
de l'emprunt correspondant 
Quelles informations, ou
questions intéressantes, financièrement parlant, pouvons
nous nous poser par rapport aux données ci-dessus ? :
1. Quel serait le capital
initial qui au taux du marché nous permettrait de retirer
1'000.- par année pendant 5 ans (jusqu'à ce qu'on
solde le compte) ? :
(124)
ce qui s'écrit si
(nous retrouvons la relation de la rente certaine postnumerando
vue dans le chapitre d'Économétrie) :
(125)
Dans notre exemple cette
somme (après un petit calcul) revient à environ
3790.-.
En d'autres termes, il nous
suffirait de mettre en épargne 3'790.- pendant les mêmes
5 ans, pour en retirer 1'000.- par année jusqu'à solder
le compte. Donc pour l'instant, un investissement de 3'790 pour
économiser (gagner) 1'000.- par année semble beaucoup
plus favorable qu'en dépenser 6'000.- (...) pour le même
retour, sur la même durée.
Déjà là, nous pouvons dire que l'achat de
la machine est défavorable.
Mais il ne faut pas oublier
aussi un deuxième facteur... la valeur résiduelle de
notre machine !!!
2. Quelle serait le capital
initial qui au taux du marché nous rapporterait une valeur
équivalente à la valeur résiduelle de notre
machine (c'est une valeur immobilisée au même
titre qu'une épargne, donc nous pouvons nous intéresser à
ce qu'il adviendrait si cette somme provenait d'une épargne)
?
(126)
Dans notre exemple, cette
somme revient environ à 1'862.-
En d'autres termes, il nous suffirait de mettre en épargne
1'862.- pendant les mêmes 5 ans, pour obtenir une somme égale
à la valeur résiduelle de notre machine.
Et alors ?
La somme :
(127)
représente le retour sur la base d'une épargne initiale
pour obtenir, par rapport aux informations de valeur résiduelle
et de cash-flow, la somme finale équivalent à l'achat
de notre machine. Or, dans cet exemple, cette somme nous donne environ
5'653.-.
Ce résultat est important car il est à comparer
avec l'investissement que nous voulions faire initialement. Deux
options
s'offrent donc à nous :
1. Acheter la machine à
6'000.- avec les cash-flow et le valeurs résiduelle que nous
connaissons
2. Epargner 5'653.- pendant
la même période, avec les mêmes cash-flow pour
nous retrouver avec une épargne finale qui devrait équivalente
à celle à la valeur résiduelle de notre machine.
Or, que pouvons nous conclure
dans notre exemple ? Eh, bien simplement que dans un cas défavorable :
(128)
En d'autres termes, pour
le financier (ou chef de projet), le calcul intéressant à faire
est le suivant :
(129)
qui :
1. Lorsqu'il est négatif correspond à un investissement
qu'il vaut mieux éviter
2. Lorsqu'il est nul est un investissement indécidable
3. Lorsqu'il est positif est un bon investissement
Dans certains cas scolaires et livres de gestion de projets, la
relation du VAN ci-dessus est simplifiée car nous supposons
qu'un seul investissement... est fait en début de projet.
Ainsi, nous avons:
(130)
Enfin, précison que le rapport:
(131)
est souvent appelé "coefficient
d'actualisation"
de la n-période.
Ainsi, le VAN est utilisé comme critère décisionnel dans les grandes
entreprises pour chiffrer l'apport spécifique d'un projet au résultat
financier de l'entreprise, en tenant compte du coût du capital
utilisé via le taux d'actualisation.
Donc dans le cas d'un choix entre plusieurs investissement, nous
choisirons celui dont la VAN est la plus grande. Si les cash-flow
sont non déterministes il faudra alors calculer l'espérance
et la variance du VAN. Les spécialistes abrègent
souvent le calcul de l'espérance du VAN par l'abréviation
VANe pour "valeur actuelle nette espérée"
ou plus fréquemment en anglaiS "expected
net present value" (eN.P.V.).
Remarque: Le VAN est aussi souvent appelé "quasi-rente
actualisée" ou encore en anglais "net
present value" (N.P.V.). Nous trouvons également
souvent la dénomination "méthode
des cash-flows actualisés".
Si nous considérons en avenir certain avec un investissement
initial unique de 10'000.- avec un taux d'actualisation constant
de 10%
et un cash flow parfaitement périodique de 3'250.-, 3'750.-,
4'250.-, 4'750.- nous avons la représentation tabulaire traditionnelle:
|
Année |
Action |
Cash-Flow |
C.A. |
C.F.A. |
0
|
Investissement |
-10'000 |
1 |
-10'000 |
|
1 |
Entrée |
3'250 |
0.909 |
2'955 |
|
2 |
Entrée |
3'750 |
0.826 |
3'099 |
|
3 |
Entrée |
4'250 |
0.751 |
3'193 |
|
4 |
Entrée |
4'750 |
0.683 |
3'244 |
|
SOMME |
F.N.T: |
5'500 |
F.N.T.A: |
2'149 |
Tableau: 11
- Actualisation détaillée sous forme comptable
où dans le tableau ci-dessus F.N.T. signifie "Fond Net de
Trésorerie", F.N.T.A. "Fond Net de Trésorerie Actualisé",
C.A. "Coefficient d'Actualisation" et C.F.A. "Cash-Flow
Actualisé".
Ainsi dans ce tableau, l'investissement rapport 2'150.- de plus
qu'une opération de placement à 10% après 4 ans
TAUX DE RENTABILITÉ
INTERNE
Définition (technique): Le "taux
de rentabilité interne" (TRI), appelé aussi
parfois
"taux limite de rentabilité" est
le taux d'actualisation t% pour lequel la valeur actualisée
des rentrées
nettes de fonds résultant
d'un projet d'investissement est égale à la valeur
actualisée des décaissements requis pour réaliser
cet investissement.
En d'autres termes, cela revient à se demander quel est
le taux moyen géométrique du marché pour lequel
la V.A.N. du projet est nulle. Soit à satisfaire la relation
:
(132)
qui ne peut que se calculer rapidement avec des outils informatiques
(l'outil Cible dans MS Excel par exemple).
Donc entre deux investissement,
nous choisissons dans les entreprises celui dont le TRI est le
plus élevé et
satisfait aux contraintes internes.
Ce type de calcul s'applique donc sur le retour sur projets contre
investissements sur le marché et non pas au retour sur projets
contre exploitation. Ainsi, il s'agit d'un outil calculatoire d'aide
à la décision purement financier et non industriel
ou commercial.
DÉLAI
DE RÉCUPÉRATION ET D'AMORTISSEMENT
Le "délai de récupération"
ou "pay back" (en anglais)
est un autre indicateur pour l'aide à la décision
dans le cadre des choix d'investissements de projets et plus simple
à l'utilisation (et à la compréhensions) que
le VAN.
Cet indicateur a pour simple et seul objectif de montrer quand,
dans le temps, l'investissement sera remboursé. En d'autres
termes, il indique le nombre de périodes nécessaires
pour que la somme des cash-flows couvre l'investissement initial.
C'est une information très simple à déterminer
qui revient à chercher le plus petit entier p tel
que :
(133)
ou encore :
(134)
En d'autres c'est le moment d'un projet lorsque les cash-flow
équilibrent l'investissement inital.
Définition: Le "délai d'amortissement" est
le nombre de périodes
nécessaire tel que :
(135)
ou encore :
(136)
THÉORIES DES FILES D'ATTENTES M/M/...
Les théories des files d'attentes sont des outils extrêmement
puissant et vastes (une présentation complète nécessite
au bas mot 300 pages A4) permettant de prendre en compte et de
modéliser
les goulots d'étranglement
dans les processus des entreprises soit au niveau de la logistique,
des centrales téléphoniques, des requêtes SQL sur
les serveurs, des caisses de grands magasins ou encore dans les
toilettes des grands
stades sportifs
(...) en fonction des hypothèses et contraintes de départ.
Système |
Clients |
Service |
Comptoir-réception |
Personnes |
Réceptionniste |
Atelier de réparation |
Machines |
Technicien |
Garages |
Camion |
Mécanicien |
Hôpital |
Patients |
Infirmier |
Ordinateur |
Tâches |
Processeurs, disques, rubans |
Aéroport |
Appareils |
Piste d'envoi |
Réseau routier |
Véhicules |
Feux de circulation |
Atelier de fabrication |
Tâches |
Machines/Ouvriers |
Téléphone |
Appel |
Échangeur |
Transport en commun |
Voyageur |
Autobus/Métro |
Buanderie |
Ligne |
Laveuse/Sécheuse |
... |
... |
... |
Tableau: 12 - Exemples de files d'attentes typiques
Ces théories
permettent
se révèlent
notamment utile pour justifier des investissement, des embauches
ou des achats
d'équipements. De façon plus générale,
elle est une partie intégrante
des techniques mathématiques
de gestion lorsqu'il est nécessaire de rechercher un optimum économique
entre des coûts d'attente et des coûts de service d'un
système.
La problématique type dans les entreprises peut s'exprimer ainsi:
- Quel est le nombre optimal de stations/terminaux à mettre en
service permettant de traiter la demande tout en évitant une file
d'attente trop importante et le départ de certains clients?
- Quels est le temps d'attente moyen d'un client devant la
stations/terminal?
- Quel est le nombre moyen de clients en attente dans la file?
Ces questions permettent d'exprimer des objectifs en matière
de qualité et de niveau de service:
1. Un temps d'attente moyen à ne pas dépasser
2. Une probabilité d'attente maximale
3. Un temps d'attente acceptable
Ces théories font donc appel à des méthodes statistiques
et algébriques
que nous avons étudiées dans les chapitres de Statistiques
et de Théorie Des Graphes. Elles n'en sont alors que plus
passionnante.
Pour présenter le sujet, plutôt que de faire une généralisation
abstraite, nous avons choisi de développer la théorie autour d'un
exemple concret et classique qui est le télétrafic. Une généralisation
à tout autre cas d'étude se faisant ensuite relativement facilement
par analogies.
Considérons donc une central téléphonique
regroupant les lignes d'un ensemble d'immeubles d'une ville et
ne possédant pas autant
de lignes allant vers le réseau que de lignes allant vers
les différents
particuliers qu'il dessert.
Nous pouvons donc légitiment nous demander de combien de lignes
nous avons besoin pour desservir tous ces abonnés.
Pour dimensionner son réseau, un opérateur va devoir calculer
le nombre de ressources à mettre en oeuvre pour qu'avec une probabilité
extrêmement proche de 1, un usager qui décroche son téléphone puisse
disposer d'un circuit. Pour cela, il va falloir développer quelques
relations de probabilité de blocage. Ces relations vont demander
une modélisation statistique des instants de début et de fin d'appels
ainsi que des durées de ces appels. Les paragraphes qui suivent
vont donc introduire les lois de probabilités utilisées pour ces
dimensionnements.
Enfin, avant de commencer, nous souhaitons mettre à disposition
le tableau récapitulatif ci-dessous des notations les plus importantes
que le lecteur découvrira au fur et à mesure de sa lecture et auquel
il pourra se reporter en cas de confusion:
Variables |
Information |
Unité |

|
Flux d'arrivée de clients dans
la file d'attente (communication), appelé également "taux
moyen d'arrivée des appels", ou encore "fréquence
moyenne d'arrivées".
L'inverse donne
le temps moyen entre arrivées (appels) dans la file d'attente. |

|

|
Flux de départ de clients (communication)
correspondant au taux de traitement. L'inverse donne
le temps moyen d'attente pendant le service (donc une fois
arrivé en fin de file d'attente) appelé aussi "temps
moyen de service". |

|
A ou  |
Taux d'utilisation du service
(par unité de serveur). Assimilé au concept de trafic (un
peu abusivement) ou de charge. Est égal au rapport et
doit être strictement inférieur à 1 pour éviter l'engorgement. |
- |
C |
Nombre de clients au total
dans le système |
- |

|
Nombre de clients en attente
dans la queue |
- |

|
Nombre de clients en service
(traitement) |
- |
T |
Temps d'attente dans le système |
[s] |

|
Temps d'attente dans la queue |
[s] |

|
Probabilité d'avoir k clients
dans le système |
- |
Tableau: 13 - Notations conventionnelles des files d'attentes
MODÉLISATION DES durées d'ARRIVÉES M/M/...
Considérons des appels qui débuteraient de manière aléatoire.
Prenons ensuite un intervalle de temps t et divisons cet
intervalle en n sous intervalles de durée t/n.
Nous choisissons n suffisamment grand pour que les hypothèses
suivants soient respectées :
H1. Une seule arrivée d'appel peut survenir dans un intervalle
t/n
H2. Les instants d'arrivée d'appels sont indépendants
les uns des autres (le taux d'arrivée n'est pas influencé par
le nombre d'appels provenant de la population). Ce qui présuppose
une population infinie.
H3. La probabilité qu'un appel arrive dans un sous intervalle
donné est proportionnelle à la durée du sous intervalle.
Nous écrivons alors la probabilité de un appel dans
un sous intervalle (1) de la manière suivante :
(137)
où le 1 en indice du p représente donc l'analyse sur 1
appel, le 1 entre parenthèses le fait que l'analyse se fait sur
1 sous-intervalle et enfin le terme représente
le coefficient de proportionnalité entre la probabilité et la durée
t/n du sous-intervalle.
L'hypothèse de départ consistant à considérer comme nulle la probabilité
d'avoir plusieurs appels dans un sous intervalle s'écrit alors :
(138)
La probabilité de n'avoir aucun appel durant un sous intervalle
de temps t/n s'écrit donc :
(139)
En développant, nous obtenons :
(140)
et en utilisant la propriété énoncée juste au-dessus :
(141)
La probabilité d'avoir k arrivées d'appels durant n
intervalles de temps s'obtient alors en considérant le nombre de
manière de choisir k intervalles parmi n... (puisqu'il
ne peut y avoir plus d'un appel par intervalle)
Pour chacune de ces solutions, nous aurons alors forcément k
intervalles avec une arrivée d'appel et n-k intervalles
avec aucune arrivée d'appel. Nous avons vu dans le chapitre de statistique
que la loi qui permettait d'obtenir la probabilité de choisir un
certain arrangement d'issues binaires parmi un nombre total d'issues
était la loi de Bernoulli donnée par :
(142)
Il vient donc dans notre cas de figure que la probabilité d'une
des solutions sera :
(143)
La probabilité globale s'obtient en sommant les probabilités
de tous les cas ce qui nous donne la loi binomiale (cf.
chapitre de Statistiques) :
(144)
Ou encore, en remplaçant les probabilités par leurs valeurs en
fonction de :
(145)
La limite de la probabilité lorsque
n tend vers l'infini va être égale à la probabilité d'avoir
k arrivées d'appel durant un intervalle de temps t.
Nous notons cette
probabilité :
(146)
En reprenant alors les différents termes de l'expression de et
en faisant tendre n vers l'infini, il vient :
(147)
En utilisant les développements de Taylor (cf.
chapitres de Suites Et Séries) :
(148)
Soit en prenant que le premier terme, c'est-à-dire en considérant
x très petit :
(149)
Donc :
(150)
et pour la dernière partie :
(151)
d'où après regroupement :
(152)
Cette relation est donc extrêmement importante car elle représente
la probabilité
d'observer k arrivées d'appels dans un intervalle
de durée
t (ou le nombre de clients qui se trouve devant une caisse
dans un intervalle de durée t) et il s'agit donc
d'une distribution de Poisson (cf.
chapitre de Statistiques). Dans la pratique, il faut donc
s'assurer avant d'utiliser les relations qui vont suivre que cette
distribution soit bien respectée (avec un test du khi-deux typiquement).
Il s'ensuit par analogie avec
la forme générale de la loi de Poissons que le paramètre est
le taux moyen d'arrivée (taux moyen d'apparition) d'appels
par unité
de temps ( ou en anglais "Poisson arrivals
see time average": PASTA...).
Typiquement il s'agira d'un nombre moyen d'appels par secondes
(voir les estimateurs
de la loi de Poissons dans le chapitre
de Statistiques).
Ainsi, nous avons pour espérance et variance (cf.
chapitre de Statistiques) du nombre d'appels:
(153)
Exemple:
Une TPE souhaitant mettre en place une hotline estime qu'au
début elle recevra par journée de 8 heures, 4 appels
téléphoniques (soit une probabilité de 1 chance
sur 2 d'avoir un appel par heure et donc un taux moyen de
0.5 appels par heure). Alors la probabilité qu'elle
reçoive exactement 4 appels (k) par jour et au
moins 4 appels (k) par jour selon le modèle théorique
de la théorie
des files d'attentes est de:
(154)
où nous avons utilisé la fonction POISSON( ) intégrée dans MS
Excel.
Maintenant, introduisons la variable aléatoire représentant
le temps séparant deux arrivées d'appel. Nous introduisons
pour cela la probabilité A(t)
qui est la probabilité que le temps soit
inférieur ou égal à une valeur t :
(155)
Nous avons donc :
(156)
Or, représente
la probabilité qu'il n'y ait aucune arrivée d'appels durant un temps
t. Cette probabilité a justement été établie plus haut :
(157)
Nous en déduisons donc :
(158)
Nous pouvons aussi introduit la densité de probabilité de
la variable aléatoire .
Nous obtenons ainsi:
(159)
Remarque: Rappelons
que dans le chapitre de Statistiques nous avons souvent fait la
démarche inverse. C'est-à-dire compte tenu
d'une densité de probabilité a(t) nous
cherchions la fonction de répartition A(t) via
une intégration
dans le domaine de définition de la variable aléatoire.
La densité de probabilité permet donc de calculer la durée moyenne
entre deux arrivées d'appel :
(160)
En intégrant par partie, il vient :
(161)
Nous obtenons ainsi, que pour un taux d'arrivé d'appels
de appels
par secondes, le temps moyen entre appel est égal à (résultat
relativement logique mais encore fallait-il le démontrer
rigoureusement). Effectivement, si nous avons qui
vaut 2 appels par heures, le temps moyen d'arrivée est bien
de 0.5 heures (1/2) entre appels
Supposons maintenant qu'aucun appel ne soit arrivé jusqu'à un
temps et
que nous souhaitons calculer la probabilité qu'un appel arrive durant
une durée t après le temps .
Nous devons donc calculer la probabilité d'avoir une durée entre
deux appels inférieure à tout
en étant supérieure à .
Cette probabilité s'écrit .
En utilisant la formule de Bayes (cf. chapitre
de Probabilités) :
(162)
mais avec les notations idoines il vient :
(163)
Cette probabilité peut encore s'écrire :
(164)
En reprenant les expressions des différentes probabilités :
(165)
Nous voyons donc que la probabilité d'apparition d'un appel
durant un temps t après une durée pendant
laquelle aucun n'est arrivé est la même que la probabilité d'apparition
d'un appel pendant une durée t, indépendamment de ce qui
a pu arriver avant. Nous considérons donc que le phénomène (la loi
exponentielle) est sans mémoire.
MODÉLISATION DES DURÉES DE SERVICE M/M/...
Pour étudier les lois de probabilité qui modélisent
les durées
des appels (sous-entendu: en service une fois la fin de la file
d'attente atteinte), nous procédons
comme précédemment.
Nous considérons donc un intervalle de temps de durée t
que nous décomposons en n sous intervalles de durée t/n.
Nous choisissons n de sorte que les hypothèses suivantes
restent justifiées :
H1. La probabilité qu'un appel se termine durant un sous intervalle
est proportionnelle à la durée du sous intervalle.
Nous noterons :
(166)
cette probabilité, expression dans laquelle représente
le coefficient de proportionnalité.
H2. La probabilité qu'un appel se termine durant un sous intervalle
est indépendant du sous intervalle considéré.
Nous introduisons alors la variable aléatoire représentant
la durée d'un appel et la probabilité H(t)
que la durée d'un appel soit inférieure ou égale à t :
(167)
La probabilité qu'un appel ayant débuté à t = 0 ne se termine
pas avant t s'écrit alors :
(168)
cette probabilité est égale à la probabilité que l'appel ne se
termine dans aucun des n sous intervalles de durée t/n
:
(169)
En faisant tendre n vers l'infini, nous obtenons :
(170)
Nous obtenons donc l'expression de la probabilité qu'un appel
ait une durée inférieure ou égale à t :
(171)
Nous pouvons en déduire la densité de probabilité associée, notée
h(t) :
(172)
qui correspond donc à une loi exponentielle (le temps
qu'un client emploie pour être servi à une
caisse - durée de service - ou pour que son appel soit traité une
fois en fin de file d'attente suit donc une loi exponentielle!).
Dans la pratique, il faut donc s'assurer avant d'utiliser les relations
qui vont suivre que cette
distribution soit bien respectée (avec un test du khi-deux
typiquement).
De la même manière que dans les paragraphes précédents,
la durée
moyenne d'appel (laps de temps moyen entre deux fins d'appels en
service) s'obtient en calculant (toujours la même intégration
par parties que plus haut) :
(173)
En conclusion, nous avons appels
qui cessent par secondes et nous avons une durée moyenne
d'appel en service égale à:
(174)
Effectivement, si nous avons par exemple 2 appels en service
qui cessent par heure, cela nous donne une durée moyenne
de 0.5 heure (1/2) de service par appel.
Le rapport:
(175)
représente donc le nombre d'appels qui apparaissent dans
la file d'attente sur le nombre d'appels en service qui se terminent
pendant un intervalle de temps (temps de service moyen), ce qui
représente
en fait tout simplement le trafic (ou autrement dit: l'intensité de
trafic) ou d'un autre point de vue l'utilisation moyenne du service
dont l'unité est le "Erlang"
(nous rappelerons cette définition plusieurs fois par la suite...).
Exemple:
Dans un magasin, on compte 240 clients par heure et il faut 28
secondes en moyenne pour traiter un client (temps de service moyen).
Sachant que la durée de service suit une loi exponentielle et la
distribution des arrivées une loi de Poisson, quelle est l'intensité du
trafic et le taux d'occupation des caisses si le magasin en a que
deux?
Le trafic est donc donné par le rapport du nombre de clients
par heure divisé par le nombre de clients traités par heure. Comme
il faut 28 secondes pour en traiter un et qu'il y a 3'600 secondes
dans une heure, nous avons l'intensité de trafic suivante:
(176)
La charge moyenne (ou taux d'occupation) par caisse, sachant
qu'il y en a deux, est donc de:
(177)
C'est cette dernière valeur qui sera prise au final comme valeur
du trafic A par station pour les calculs ultérieurs.
Les probabilités d'apparition d'appels et de fin d'appels qui
ont été développées dans les paragraphes précédents permettent de
modéliser le processus complet d'apparition et de fin d'appels.
NOTATION DE KENDALL
Une notation a été développée par Kendall pour représenter les
files d'attentes suite aux développements intensifs (et nombreux)
des modèles
mathématiques les concernant. La forme réduite de cette notation
est:
A/B/C
où A représente le processus d'arrivée des clients dans
le système, B représente la distribution des services des
clients du système et C le nombre de serveurs du système.
Par exemple, la notation M/M/1 signifie que les
clients arrivent au système selon une loi de Poisson (modélisée
par une chaîne de Markov), que le temps de traitement est du type
exponentiel (modélisée par une chaîne de Markov aussi) et le système
constitué d'un seul serveur selon le principe du premier arrivé premier
servi dans une file d'attente à population infinie et régime permanent.
Ce qui correspond respectivement aux trois relations suivantes
que nous avons démontrées plus haut pour la probabilité d'arrivée
de k appels dans un temps donné:
(178)
la probabilité que le temps de traitement (temps de service)
soit égale à une certaine valeur :
(179)
et la probabilité d'avoir k clients (communications) :
(180)
La lettre M est utilisée pour indiquer que les processus
employés sont du type markovien (sous-entendu exponentielle.
En général, nous utilisons la notation:
A/B/C/d:e
d représente le nombre maximum de clients pouvant être
présents simultanément dans le système. Ce nombre entier varie
entre 1 et l'infini. Quand la capacité mémoire de la file est considérée
comme illimitée, ce paramètre est souvent omis.
e représente la discipline de service. Par exemple:
- FIFO pour premier arrivé, premier servi (First In-First
Out appelé aussi FCFS pour First Come-First Serve). Tous les modèles
théoriques que nous allons développer ci-dessous seront de type
FIFO!
- LIFO pour dernier arrivé premier servi (Last In-First Out appelé aussi
LCFS pour Last Come-First Serve)
- SJF pour servir le travail le plus court d'abord (Shortest
Job First)
- SRO pour servir en ordre aléatoire (Service in Randon Order)
et encore d'autres...
Ce dernier paramètre est omis si la discipline est FIFO. Ainsi, M/M/1
s'écrirait sans rien omettre:

MODÉLISATION DES ARRIVÉES ET DÉPARTS M/M/1
A chaque instant un certain nombre d'appels vont apparaître et
d'autres vont se terminer. Nous pouvons donc modéliser l'état où
l'on se trouve à un instant donné comme une chaîne d'états.
Chaque état représente le nombre d'appels
en cours. Nous concevons donc bien que si, à un instant donné,
il y a k
appels nous pouvons passer que dans deux états adjacents
selon nos hypothèse : k-1 et k+1.
Nous reconnaissons alors une chaîne de Markov (cf.
chapitre de Probabilités). La probabilité de
passer d'un
état i à un état j pendant un temps dt sera
donc notée :
(181)
Nous introduisons alors les probabilités de transition d'état
suivantes :
- Etant dans l'état k, la probabilité pour
passer à l'état k + 1 durant un intervalle de temps dt
sera notée 
- Etant dans l'état k, la probabilité pour
passer à l'état k-1 durant un intervalle de temps dt
sera notée 
- Etant dans l'état k + 1, la probabilité pour
passer à l'état k durant un intervalle de temps dt
sera notée 
- Etant dans l'état k - 1, la probabilité pour
passer à l'état k durant un intervalle de temps dt
sera notée 

(182)
Les grandeurs et
sont
des taux d'arrivée (apparition) et de départ (fin) d'appels du même
type que ceux utilisés lors des paragraphes précédents. La seule
différence tient au fait que ces taux ont en indice l'état où se
trouve le système.
Nous pouvons alors introduire la probabilité d'état,
c'est-à-dire
la probabilité d'être dans un état k à un
instant t.
Notons pour cela cette
probabilité (à rapprocher de la notation utilisée
pour les chaînes de Markov à temps discret dans le chapitre de
Probabilités).
La variation de cette probabilité durant un intervalle
de temps
dt est alors égale à la probabilité de rejoindre
cet état
en venant d'un état k-1 ou d'un état k+1
moins la probabilité
de quitter cet état pour aller vers un état k-1
ou vers un
état k+1.
Ce qui s'écrit :
(183)
En supposant le système stable, c'est-à-dire en supposant qu'il
se stabilise sur des probabilités d'état fixes lorsque le temps
tend vers l'infini, nous pouvons écrire que :
(184)
Nous pouvons alors noter d'où
finalement :
(185)
Nous aurions pu introduire cette dernière relation d'une autre
manière : Elle exprime simplement le fait que la probabilité de
partir d'un état est égale à celle pour y arriver (c'est peut-être
plus simple ainsi).
Cette relation est vérifiée pour tout avec
les conditions mathématiques suivantes (car sinon ces termes
n'ont aucun sens mathématique) :
(186)
et la condition logique réelle suivante (des appels non encore
existants ne peuvent finir...) :
(187)
Remarque: Insistons
sur le fait que la stabilité des probabilités
signifie qu'il y a une probabilité égale de quitter l'état que
de le rejoindre.
En écrivant le système d'équation précédent, nous trouvons :
(188)
Nous trouvons alors assez facilement la forme générale :
(189)
Le système se trouvant obligatoirement dans un des états
nous avons la relation suivante qui doit obligatoirement
être respectée:
(190)
En remplaçant avec la relation antéprécédente :
(191)
Ce qui donne aussi :
(192)
et donc :
(193)
Si nous considérons maintenant un système
avec une seule ligne et de capacité infinie (régime permanent),
les grandeurs (taux
d'arrivée des appels) et (taux de
départ des appels) auront des valeurs identiques pour tout k.
C'est-à-dire que nous considérons que le taux d'arrivée
ainsi que les taux de départ sont constant quelque soit
la position dans laquelle on se trouve dans la file d'attente.
Nous avons alors
la dernière relation qui se simplifie:
(194)
En utilisant le résultat démontré dans
le chapitre sur les Suites Et Séries (série de Gauss)
nous avons sous des conditions précises nécessaires
de convergence (A doit être strictement plus petit que 1):
(195)
Puisque k représente le nombre d'appels,
cette dernière relation donne la probabilité d'avoir
0 appels (clients) pour un traffic permament donné A
sur la ligne.
En utilisant:
(196)
Nous avons alors en toute généralité pour
ce type de système la
probabilité
d'avoir k appels en régime permanent qui est donné par:
(197)
Il en vient que l'espérance du nombre de communications (clients)
dans le système (dans la queue + en service) est alors par définition
de l'espérance:
(198)
puisque représente
la probabilité pour qu'il y ait à tout instant k appels
dans le système (file d'attente + en service). Or, nous avons vu
dans le chapitre sur les Suites et Séries que:
(199)
et si q est strictement inférieur à 1 et que n tend
vers l'infini, nous avons immédiatement:
(200)
Si nous dérivons cette dernière relation:
(201)
et en multipliant par q il vient alors:
(202)
Il vient alors au final pour l'espérance du nombre de clients
dans le système:
(203)
Si nous souhaitons connaître l'espérance du nombre de clients
en attente dans la queue uniquement, il faut bien comprendre qu'à chaque
instant nous avons donc une probabilité qu'il
y ait k clients dans le système mais comme 1 parmi ceux-ci
est alors toujours en service (donc hors de la queue d'attente)
il reste que nous en avons toujours k-1 réellement en attente.
Donc:
(204)
Connaissant le nombre de communications (ou de clients) que nous
avons sur l'unique ligne dans tout le système, nous avons alors
l'espérance du temps d'attente (temps d'attente moyen), notée E(T) qui
sera donnée par le rapport de l'espérance du nombre de communications
(clients) en régime permanent sur la ligne E(C) par le taux
d'arrivée des appels.
(205)
Ce résultat, appelé "relation de Little" (ce dernier
ayant démontré rigoureusement que la relation est valable pour
n'importe quel type de file d'attente), est intuitive dans le cas
présent. Effectivement, prenons un appel type au hasard. Quand
il arrive dans le système, il va se trouver statistiquement face à E(C) entrain
d'attendre. Quand il quittera le système, il y aura été un temps
moyen E(T) . Donc pendant ce temps moyen, appels
seront arrivés derrière lui dans le système. En régime permanent,
le nombre d'appels laissés derrière lors du départ doit égaliser
le nombre arrivés. D'où l'égalité dont
on déduit alors immédiatement la relation de Little.
Nous avons alors pour l'espérance du temps d'attente dans le
système:
(206)
Pour déterminer le temps d'attente dans la queue seule il suffit
de soustraire le temps de traitement/service de par la propriété de
linéarité de la moyenne (durée d'appel moyenne en service):
(207)
Pour résumer, car il y a beaucoup de paramètres et résultats,
nous avons donc pour une file d'attente de type M/M/1 (selon la
notation de Kendall):
Information
|
M/M/1 |
Probabilité système vide |

|
Probabilité d'attente |
A |
Nombre moyen de clients dans
le système |

|
Nombre moyen de clients en
attente |

|
Nombre moyen de clients en
service |
A
|
Temps moyen de séjour dans
le système |

|
Temps moyen d'attente dans
la queue |

|
Condition d'atteinte de l'équilibre |

|
Probabilité d'avoir k clients |

|
Tableau: 14 - Résumé des relations importantes d'une file M/M/1
Il faudrait pour chaque type possible de file d'attente faire
les démonstrations détaillées des relations correspondantes ce
qui est long et laborieux (c'est un métier/spécialisation à part
entière).
Exemple:
Supposons que l'on dispose d'une machine à commande numérique
traitant des pièces une à la fois. Supposons que (nombre
de pièces arrivant en moyenne par heure) et que (nombre
de pièces sortant en moyenne par heure). Nous avons alors:
(208)
ce qui correspond au trafic ou taux d'occupation de la machine.
Donc il y a 20% de probabilité pour que le système soit vide et
80% de probabilité pour qu'il y ait une attente.
(209)
Ce qui correspond donc au nombre moyen de pièces dans le système
(machine + en attente).
(210)
Ce qui correspond donc au nombre moyen de pièces en attente en
dehors de la machine.
(211)
Ce qui correspond à un temps moyen de séjour de 30 minutes dans
le système.
(212)
Ce qui correspond à une attente moyenne de 24 minutes dans la
file d'attente.
Et la probabilité qu'il y a ait 5 pièces dans le système (exécution
+ attente):
(213)
PROBABILITÉ DE MISE EN ATTENTE M/M/k/k (FORMULE D'ERLANG
B)
Nous allons nous intéresser ici à un système disposant
de N
canaux de communication (chaque canal censé supporter un
débit de
un appel avec réponse immédiate). Si les N canaux
sont occupés, les appels qui arrivent sont considérés
comme perdus (absence de tonalité
par exemple). Nous parlons alors de blocage ou ruine du système.
Il s'agit donc d'une file d'attente limitée de type M/M/k/k
selon la notation de Kendall, appelée également "système
à perte".
Nous allons chercher à estimer cette probabilité de blocage
en fonction du nombre de canaux disponibles et du trafic.
Compte tenu de ce qui a été énoncé sur
le caractère sans mémoire
du processus d'arrivée d'appels, nous pouvons considérer
que la probabilité :
(214)
d'avoir k appels à l'état k est indépendante
de l'état
du système tel que :
(215)
Ainsi, à chaque état k du système la loi
de probabilité
de type Poisson est valable. La différence de traitement
c'est que plutôt que de considérer des états, nous
allons considérer qu'un
canal de communication peut-être considéré comme
un état propre.
Pour la probabilité de fin d'appel, nous avons par contre :
(216)
Effectivement, cette probabilité traduit juste que si k
appels sont en cours chacun a une probabilité de
se terminer, d'où la somme qui donne .
Nous avons alors:
(217)
Ainsi, en injectant ces relations dans :
(218)
il vient :
(219)
En introduisant alors (qui doit être strictement
inférieure à 1 si nous voulons que les développements suivants
convergent vers une valeur finie: chaîne de Markov ergodique) :
(220)
qui représente pour rappel le nombre d'appels qui apparaissent
sur le nombre d'appels qui se terminent pendant un intervalle de
temps
(temps de service moyen),
ce qui représente en fait tout simplement le trafic (ou
autrement dit: l'intensité
de trafic), il vient alors :
(221)
ou encore en introduisant le 1 dans la sommation :
(222)
Puisque k représente le nombre d'appels, cette
dernière relation donne la probabilité d'avoir 0
appels (clients) pour un traffic permament donné A dans
le système.
En reportant dans l'expression suivante de (probabilité
d'être dans l'état k donc...) obtenue plus
haut:
(223)
il vient:
(224)
et en considérant le caractère sans mémoire
nous avons la relation:
(225)
Il vient :
(226)
où les k peuvent malheureusement porter à confusion.
Il convient de faire un peu le ménage. Au numérateur,
le k fait
référence au nombre de canaux (serveurs, lignes,
opérateurs ou terminaux) et au dénominateur le N aussi.
Il convient donc de récrire cela de manière plus
convenable:
(227)
qui donne donc la probabilité de mise en attente (et donc
de saturation/blocage) d'un système
disposant de N
canaux à capacité finie selon le principe du premier/arrivé premier
servi (FIFO: First In/First Out) et pour un trafic A (exprimé donc
en "Erlang") et dans lequel les communications sont perdues
si mises en attente.
Cette relation est parfois notée dans les ouvrages spécialisés
sous la forme:
(228)
Cette relation est très importante en théorie des files d'attentes
et porte le nom de "formule d'Erlang-B".

(229)
Elle est à la base du dimensionnement des réseaux
à commutation de cericuits. En effert, le problème de dimensionnement
d'un commutateur de circuits est le suivant: Etant donné le trafic
en nombre de communications par unité de temps A en
Erlang, trouver le nombre d'unités de service k tel
que la probabilité qu'un appel arrive dans un système devenu bloquant
soitn inférieur à une certaine valeur.
La probabilité obtenue représente
alors la qualité
de service offerte par le réseau du point de vue de l'usage.
Quant au trafic A, il est estimé en fonction du
nombre de postes téléphoniques existants et/ou à venir
sur la base d'une activité
moyenne par poste et par application (téléphone,
télécopieur, terminal,
serveur informatique, etc.).
Exemple:
E1. Quelle
est la probabilité de saturation d'une hotline
(dont la durée de service suit une loi exponentielle et
la distribution des arrivées suit une loi de Poisson) sachant
que le trafic A de
la ligne est estimé à 2
Erlang (1 appel par heure pour 1 appel traité par ½ heure
- donc rapport de 2 sur 1) pour une seule ligne téléphonique
(N=1)
en utilisant le modèle d'Erlang-B?:
(230)
E2. Dans une entreprise, on a dénombré aux heures de
pointes 200 appels d'une durée
moyenne de 6 minutes à l'heure (temps de service moyen).
Quelle est la probabilité
de saturation avec 20 opérateurs (sachant que la durée
de service suit une loi exponentielle et la distribution des arrivées
une loi de Poisson)?
La plus grosse difficulté ici est de calculer le trafic!
Il y a donc 200 appels par heures avec 10 appels traités
seulement par heure (puisque 6 minutes par appel dans une heure
de 60 minutes
fait 10 appels). Le trafic A est donc de 200/10 soit 20
Erlang. En appliquant alors la relation précédente,
nous avons:
(231)
Dans l'industrie on admet un taux de saturation de 0.01%. En jouant
avec un tableur comme MS Excel et l'outil Valeur cible, nous
trouvons rapidement que N doit alors être égal à 30.
PROBABILITÉ DE MISE EN ATTENTE M/M/k/∞ (FORMULE D'ERLANG
C)
Considérons maintenant un système pour lequel les
appels
peuvent être mis en d'attente avant d'être servis lorsque les k
serveurs sont bloqués.
Il s'agit donc d'une file d'attente à capacité illimitée
de type M/M/k/∞ selon
la notation de Kendall.
Avec ce système, nous avons toujours :
(232)
mais pour la probabilité de fin d'appel l'analyse devient plus
subtile. D'abord il y a la probabilité que les appels qui se trouvent
sur les canaux N disponibles cessent et qui est donnée par :
(233)
Mais dès que le nombre d'appels est plus grand que le nombre de
canaux de communication disponible, la probabilité que cessent les
appels est :
(234)
Ce qui exprime que quelque soit le nombre d'appels, N ont
la probabilité d'être mis en attente dès que k (le nombre
d'appels) est supérieur ou égal à N.
Ainsi, pour résumer :
(235)
En utilisant :
(236)
Nous obtenons par décomposition du terme produit :
(237)
D'où finalement :
(238)
En utilisant l'expression de :
(239)
Nous pouvons décomposer la sommation :
(240)
et décomposer le deuxième produit :
(241)
Sous l'hypothèse que :
(242)
La
somme :
(243)
peut être simplifiée. Effectivement, en posant :
(244)
il
vient :
(245)
et comme nous l'avons montré lors de notre étude la fonction
Zeta (cf. chapitre de Suites Et Séries)
cette somme peut s'écrire sous la forme :
(246)
Donc :
(247)
Donc finalement :
(248)
Puisque k représente le nombre d'appels, cette
dernière relation donne la probabilité d'avoir 0
appels (clients) pour un traffic permament donné A dans
le système.
Nous avons donc pour :
(249)
La probabilité cumulée de mise en file d'attente se note C(N,
A) est elle est égale à :
(250)
en procédant exactement comme dans les paragraphes précédents,
nous avons finalement :
(251)
qui donne donc la probabilité de mise en
attente (et donc de saturation/blocage - c'est-à-dire que
tous les serveurs sont bloqués) dès
l'arrive dans un système
disposant de N canaux à capacité infinie selon
le principe du premier/arrivé premier servi (FIFO: First
In/First Out) et pour un trafic A (exprimé donc en "Erlang")
et dans lequel les communications peuvent être mises en
attente (à l'opposé du modèle Erlang-B). Cette
dernière
relation est appelée "formule
d'Erlang C". Traditionnellement on note :
(252)
le "W" venant de l'anglais "Wait" (attendre).
Le modèle proposé ci-dessus est bien évidemment critiquable car
en réalité la capacité de la file d'attente
est finie et certains clients abandonnent lorsque l'attente
est trop longue.
Exemple:
Si nous prenons un taux d'arrivé de 1 appel par minute et une
durée moyenne de service de 5 minutes, nous avons alors:
(253)
Si nous prenons un nombre N de 7 serveurs, nous avons:
(254)
Donc 32.41% de probabilité cumulée d'être mis en attente. Ce
qui un peu beaucoup... (un règle empirique consiste à chercher
le nombre N de serveurs afin que cette dernière valeur descende
en-dessous des 20%).
ASSURANCES
L'assurance est une opération pour laquelle une personne (l'assureur)
groupe en mutualité d'autres personnes (les assurés) afin de les
mettre en situation de s'indemniser mutuellement des pertes éventuelles
(les sinistres) auxquelles les expose la réalisation de certains
risques, au moyen des sommes (primes ou cotisations) versées par
chaque assuré à une masse commune gérée par l'assureur.
Le dénominateur commun de la majorité des lois défini le contrat
d'assurance comme un contrat en vertu duquel, moyennant le paiement
d'une prime fixe ou variable, une partie, l'assureur, s'engage
envers une autre partie, le preneur d'assurance, à fournir une
prestation stipulée dans le contrat au cas où surviendrait un événement
incertain que selon le cas, l'assuré ou le bénéficiaire, a intérêt à ne
pas voir se réaliser.
Evidemment, l'opération d'assurance a pour effet le transfert
(total ou partiel) des conséquences financières du risque subi
par l'assuré vers une société d'assurance. Dès lors, à la souscription
du contrat, l'assureur et l'assuré conviennent:
- D'un événement ou d'une liste d'événements, repris dans la
police d'assurance, et garantis par l'assureur.
- D'une prime payée par l'assuré à l'assureur.
Les dépenses prises en charge par l'assureur peuvent correspondra:
- Soit à des indemnités à verser à des tiers, au titre de la
responsabilité (civile, professionnelle ou autre) de l'assuré.
- Soit à la répartition des dommages subis par ce dernier.
Les hypothèses d'usage de l'assurance sont les suivantes:
H1. D'un point de vue juridique, un contrat d'assurance est un "contrat
aléatoire" valide uniquement pour couvrir des risques ayant
une composante aléatoire
H2. La "règle du jeu" du risque doit être stable dans
un laps de temps considéré comme long (au moins quelques années)
H3. La perte maximale possible ne doit pas être trop importante
par rapport à la marge de solvabilité de l'assureur
H4. La prime moyenne du risque doit être identifiable et quantifiable
selon des variables statistiques explicatives bien choisies afin éventuellement
de permettre un segmentation de la gestion des risques.
H5. Les risques doivent être indépendants (et s'ils sont identiques
distribués en termes de probabilités et de pondération c'est mieux...)
et démontrable comme étant tels significativement en utilisant
les outils statistiques.
H6. Il doit exister un marché dans le sens que l'offre et la
demande d'assurance doivent arriver à un prix d'équilibre (en quelque
sorte l'équivalent de l'absence d'opportunité d'arbitrage en finance).
H7. L'espérance mathématique est considérée comme le prix de
la prime pure juste à faire payer aux assureurs.
Définitions:
D1. La "prime pure" est dans le domaine de l'assurance
choisie comme étant l'espérance mathématique de la charge, elle
correspond à la prime minimale que peut demander un assureur pour
ne pas, statistiquement, faire ruine de façon certaine.
D2. Le "chargement de sécurité" est le montant qui
vient s'ajouter à la prime pure en permettant à l'assureur de pouvoir
résister à la volatilité des remboursements.
D3. Le "chargement de frais de gestion" est le montant
qui vient s'ajouter aux deux précédents et est lié fonctionnement
de leur société, de la gestion des contrats, du recouvrement des
primes, du placement des actifs (prime technique de base), des
taxes...
D4. Le "chargement des frais commerciaux" vient
s'ajouter aux trois précédents et es lié à l'acquisition des contrats
(commissions des intermédiaires,
frais des réseaux commerciaux, publicité) afin d'obtenir.
D5. Au final, l'ensemble des coûts se retrouve dans la "prime
commerciale" qu'est celle communiquée au client.
Nous pouvons déjà en conclure que dans le cas d'un système d'assurance étatique
obligatoire ou facultatif, les frais de gestion et commerciaux
seront toujours inférieurs, sous l'hypothèse d'une méthode managériale égale, à un
système privé.
CALCUL DE PRIME
L'assureur ne connaît donc pas exactement le montant des sinistres
qui va survenir. En tarifant les contrats au niveau de la prime
pure (et en supposant une distribution des pertes symétriques),
l'assureur perd de l'argent une année sur deux. En l'absence de
fonds propres, cette situation conduirait immédiatement à la faillite.
Pour se protéger, l'assureur ajoute donc à sa prime un chargement
de sécurité. De nombreuses méthodes permettant de le déterminer
sont possibles, aucune n'ayant à ce jour supplanté largement les
autres :
- Chargement proportionnel à la prime pure. Le coefficient de
proportionnalité reflète l'idée que l'assureur de la volatilité du
risque.
- Chargement dépendant de l'écart type des pertes. Cette méthode
est une légère formalisation de la précédente. Elle pose problème
car elle introduira un chargement de sécurité qui dépendra des
cas de gains (perte réelle inférieure à la prime pure)
- Chargement dépendant d'un certain quantile des pertes (par
exemple le troisième quartile). Un tel chargement permet de garantir
que la prime sera suffisante dans un nombre de cas déterminé à l'avance,
mais ne donne aucune information sur les cas de pertes techniques.
Considérons le cas où la population serait hétérogène, in extenso
deux classes de
risque coexistent dans la population de poids respectifs avec
bien évidemment:
(255)
Considérons une assurance maladie avec deux catégories d'assurée
(jeunes en bonne santé A /seniors à risque B).
Pour simplifier l'exemple à l'extrême, imaginons que l'assureur
sait, à l'aide de ses statistiques internes, qu'un individu du
groupe A va coûter à l'assurance un somme définie par une
loi de distribution statistique que nous noterons dans le cadre
de ce chapitre:
(256)
Soit à tout coût x est associée une certaine probabilité cumulée
donnée par la fonction .
De même pour le groupe B:
(257)
Si nous prenons alors au hasard un individu dans le portefeuille,
si désigne
le groupe (notation traditionnelle en assurance), l'assureur devrait
donc réclamer en primes pures pour le groupe A:
(258)
soit l'espérance de la fonction .
Idem pour le groupe B:
(259)
Et pour un voyageur pris au hasard dans les deux groupes:
(260)
Ce dernier cas étant appelé "mécanisme de solidarité".
Ainsi, les bons risques paient pour les mauvais risques...
La variance de la prime pure sera elle donnée par la relation
démontrée dans le chapitre de Statistiques (variance de deux séries
statistiques):
(261)
où nous voyons que le terme:
(262)
au numérateur correspond à l'homogénéité des deux groupes. Et
donc que l'hétérogénéité fait accroître la variabilité de la prime
pure dans le mécanisme de solidarité.
Imaginons maintenant le cas où :
(263)
et une assurance privée (1) qui pratique le mécanisme de solidarité et
une autre assurance (2) qui ne le pratique pas. Dans le cas présent
nous devons distinguer deux situations d'un point de vue économique:
Si tous les assurés sont rationnels (sous-entendus un peu... égoïstes)
alors:
- Les jeunes en bonne santé représentant le groupe A vont
aller chez l'assurance privée (2) qui a segmenté les risques et
permet donc aux jeunes de payer moins cher.
- Les seniors en moins bonne santé représentant le groupe B vont
allez chez l'assurance privée (1) qui n'a pas segmenté les risques
mais qui par idéologie a appliqué le principe de solidarité.
La conclusion est que l'assurance privée (1) va rapidement faire
faillite car:
- Les bons risques ne compensent plus le rabais de solidarité par égoïsme
- Nous sommes sur un marché concurrentiel où les assurances ne
sont pas idéologiques...
Ce constant s'appelle le "problème d'antisélection" ou
de "sélection inverse" basée sur l'approche G. Akerlof,
prix Nobel d'économie en 2001.
La conclusion est que la privatisation des assurances basées
sur un principe étatique (législation) de solidarité ne peut pas
fonctionner sans engendrer des coûts supplémentaires aux primes
pures à cause d'une antisélection périodique qui engendre un flux
constant d'assurés d'une assurance à une autre et donc engendre
des coûts administratifs et informatiques phénoménaux! Donc en
tout point la suppression de la concurrence reste meilleure en
terme de solidarité mais par contre pas en termes d'emplois pour
les salariés des assurances (qui se trouveraient alors en grande
majorité au chômage...).
Ainsi, la suppression de la concurrence pour des services d'assurances
qui ont toutes des prestations de qualité équivalentse (comme c'est
le cas pour l'assurance maladie en Suisse par exemple...) élimine
le principe d'antisélection, applique de manière concrète le mécanisme
de solidarité voulu par l'état et enfin diminue les coûts administratifs
dus aux va et vient des assurés et des développements d'outils
informatiques de gestion maison coûtant des millions à chaque assurance
et qui engendrent des coûts qui au final sont répercutés sur le
prix de la prime commerciale!
A ceci, il faut rajouter que pour diminuer la volatilité globale
(écart-type global), une assurance devrait en théorie segmenter
les risques à l'infini ce qui en fait un système non viable pour
certains domaines particules de l'assurance.
Mais il faut se rappeler que cette conclusion n'est valable que
les prestations des assurances sont identiques (ou quasi-similaires)
sur un marché donné!
Signalons également un souci récurrent dans le domaine des assurances,
appelé "aléa moral", qui se base sur le constat que les
personnes qui s'assurent ont tendance à être mois prudentes que
les personnes qui ne s'assurent pas. En d'autres termes, l'assurance
génère du risque.
PRISE EN COMPTE DE L'EXPERIENCE
Pour l'instant, pour déterminer une prime d'assurance, nous avons
noté qu'il était possible d'intégrer des variables exogènes (sexe, âge,
enfants, puissance du véhicule, nationalité, environnement, etc.).
Mais un point important à ne pas négliger est l'expérience sinistre
d'un assuré. Voyons en un exemple concret.
Supposons que le nombre de sinistres sur un an, pour un assuré donné,
suive une loi de Poisson (loi des événements rares) donnée pour
rappel par (cf. chapitre de Statistiques):
(264)
ce qui se note dans le domaine des assurances:
(265)
Supposons que la population des assurés est séparée en
trois classes de risques suivant chacune une distribution de Poisson
tel que:
(266)
En d'autres termes, il y a 70% de la population totale qui suit
une loi de Poissons d'espérance 1 (classe de bons risques), 20%
qui suit une loi de Poissons d'espérance 2 (classe de risque moyenne),
et 10% qui suit une loi de Poisson d'espérance 3 (classe de mauvais
risques).
Evidemment l'espérance globale d'un individu du portefeuille
est alors de:
(267)
Supposons que les coûts d'un incident soient fixes et de type
indemnitaires de 1'000.-. Nous pouvons alors nous demander quelle
devrait être la prime pour un assuré, sachant que la première année,
il a eu 2 sinistres. Ce qui revient à se demander, quelle est le
nombre d'accidents qu'il risque d'avoir la deuxième année.
Si nous notons le
nombre d'accidents de la première année, et le
nombre d'accidents à posteriori connaissant nous
nous retrouvons donc avec un problème de probabilité conditionnelle
(une démarche bayesienne autrement dit...) conforme à ce que nous
avons étudié dans le chapitre de Probabilités:
(268)
Mais nous ne pouvons pas calculer le numérateur car nous ne connaissons
pas quelle sera la valeur de à l'avance.
Nous allons donc calculer l'espérance conditionnelle espérée afin
de contourner ce problème:
(269)
Nous avons d'abord:
(270)
Ce dernier calcul étant noté dans le domaine de l'assurance:
(271)
Si nous considérons les deux variables aléatoires comme indépendantes:
(272)
Il vient alors immédiatement que:
(273)
Nous retombons donc sur une valeur connue correspondant à la
prime pure:
(274)
identique au calcul de:
(275)
Donc les variables aléatoires sont
confondues avec celle de la classe de risque!
Ce système n'est alors bien évidemment pas conforme au bonus-malus.
Nous devons alors considérer que les deux variables aléatoires
ne sont pas indépendantes (au fait c'est la définition même du
bonus-malus!).
Ainsi, si les deux variables aléatoires ne sont pas indépendantes,
nous avons:
(276)
Et alors:
(277)
A comparer avec la prime pure sans bonus malus de 1.4!
Ce qui est délicat avec cette méthode c'est lorsque l'on cumule
les années... dès lors cette approche bayésienne devient pénible.
Effectivement, imaginons que nous souhaiterions déterminer la prime
pure de la troisième année sachant que la deuxième année, l'assuré a
eu 1 accident. Nous avons alors l'espérance conditionnelle:
(278)
que nous laissons le soin au lecteur de développer...
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