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Mathématiques Sociales

DYNAMIQUE DES POPULATIONS | THÉORIE DES JEUX ET DE LA DÉCISION | ÉCONOMIE
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66. ÉCONOMIE (1/3)

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:23:56 | {oUUID 1.804}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

L'économie, que nous assimilons sur ce site au domaine englobant la "théorie des biens", la "mathématique financière", "l'analyse financière", la "théorie des portefeuilles", a pour objectif de tenter de régler, de modéliser et de déterminer les origines, la dynamique et les optimums des prix de biens d'échanges ou valeurs "d'agents économiques" (acteurs du marché) en compétition rationnelle selon des modèles théoriques statistiques (simplifiés et idéalisés...) de marchés.

La profession étant majoritairement occupée par des anglo-saxons, nous indiquerons quand cela sera nécessaire les termes anglophones d'usage dans le domaine.

CONCEPTS

Un agent (économique) pour vivre va devoir satisfaire deux types de besoins qui peuvent exiger pour leur obtention un ou des échanges:

1. L'ensemble des "besoins primaires" (finis et dénombrables) ou physiologiques equation

2. L'ensemble des "besoins secondaires" (qui ne sont pas vitaux et non nécessairement finis et dénombrables) equation et qui sont subjectivement propres à tout individu (et pas que humain non plus!)

Remarque: Les besoins secondaires sont très difficiles à définir et à mesurer mais si nous raisonnons en des termes ensemblistes, nous pouvons simplement dire qu'est "besoin secondaire" tout ce qui est exclu de l'ensemble des besoins primaires equation.

Définitions:

D1. Nous disons qu'un besoin est un "besoin économique" quand il concerne un "bien rare" dont l'obtention exige un à plusieurs échanges. Ils s'opposent aux "biens libres" qui sont des biens disponibles à tous en abondance, aucun travail (typiquement...) n'étant supposé nécessaire pour en bénéficier.

La quantité importante de biens nous oblige à les classifier de la manière suivante:

C1. "Biens matériels" qui ont une réalité physique, palpable et qui peuvent être stockés.

C2. "Biens intermédiaires" ou "services" dont la production et la consommation sont simultanés.

C3. "Biens virtuels" qui n'ont qu'une existence mathématique et souvent limitée dans le temps.

D2. Un "marché" est un système constitué par la rencontre entre une offre et une demande qui porte sur un bien donné.

In extenso nous sommes amenés à énoncer les postulats suivants:

P1. Le marché est assimilé à un système isolé et isotrope

P2. Tout agent actif est rationnel et en compétition

P3. Tout agent respecte les règles du marché

D3. La "microéconomie" est la branche de l'économie qui analyse le comportement économique au niveau d'entités individuelles telles qu'un consommateur ou une entreprise. Les consommateurs sont considérés comme des offreurs de travail et demandeurs de produits finis. Les firmes sont, quant à elles, des demandeuses de travail et des offreuses de produits.

D4. La "macroéconomie" est l'approche théorique qui étudie l'économie à travers les relations existant entre les grands agrégats économiques: le revenu, l'investissement, la consommation, le taux de chômage, l'inflation, etc.

MICROÉCONOMIE

Définition: La "valeur d'échange" d'un produit précise pour chaque bien la quantité des autres biens qui lui est équivalente. Usuellement, nous considérons que le "prix" (ou "monnaie") P est la forme monétaire de la valeur d'échange (nous reviendrons sur le concept de la monnaie plus tard).

Remarque: Le "prix" est un paramètre auquel s'intéresse l'économie. Tout bien matériel ou ressource humaine ainsi qu'une monnaie donnée ont un prix dont il faut déterminer la valeur (relative) soit de manière empirique soit avec des modèles mathématiques statistiques plus ou moins complexes.

Il existe différents types de prix dont voici un échantillon dans l'ordre d'un processus économique classique (les définitions sont propres à ce site!):

D1. Le "prix de fabrication" equation d'un bien au temps t est déterminé par la somme des charges directes (mais pas forcément constantes...!) equation de fabrication au même temps t (salaires, matières premières, machines, licences, brevets,...):

equation   (66.1)

D2. Le "prix d'usine" equation d'un bien au temps t est la somme du prix de fabrication augmenté des charges indirectes equation au même temps t (taxes, impôts, frais administratifs, frais de stockage, publicitaires, etc.). Afin de pouvoir modéliser un tant soit peu ce prix de manière théorique, nous allons supposer que le marché est à "flux tendu" ou à l'équilibre si vous préférez (nous verrons plus loin qu'il s'agit implicitement de la loi de Say). En d'autres termes, les biens sont fabriqués directement en fonction de la demande, sans stockage et sans intervalle de temps entre la mise sur le marché et la vente (c'est une approximation grossière mais nous y sommes contraints). Dès lors:

equation   (66.2)

D3. Le "prix de vente net" equation d'un bien au temps t (ou vu de l'acheteur: le "prix d'achat net" equation) est le prix d'usine au même temps t augmenté de la "marge sécuritaire" (appelée aussi "bénéfice brut" ou encore "marge bénéficiaire") equation de l'usine tel que:

equation   (66.3)

Remarque: Le bénéfice brut sera investi dans de multiples domaines par le fabricant (recherche et développement, redistribution aux investisseurs, etc.) et le solde doit permettre de se protéger contre les différentes fluctuations directes du marché, c'est-à-dire: les salaires, les taxes, les prix des matières premières, imprévus.

Nous pouvons alors envisager au moins deux cas de figure triviaux:

1. Le bénéfice brut est plus grand que la somme des charges générales et charges non prévues (il y aura donc un bénéfice net)

2. Le bénéfice brut est plus petit que les charges générales (il y aura donc un déficit ou perte nette)

De ce qui a été défini précédemment il découle trivialement que:

D4. Le "bénéfice net" equation est donné par la partie de la marge sécuritaire qui était prévue pour une période et qui finalement n'a pas été utilisée par les charges imprévues equationdurant cette période telle que:

equation   (66.4)

Remarque: Si les ventes sont supérieures aux prévisions et que des quotes-parts de charges générales et imprévues ont été comptées aux clients, nous parlons alors pour ce supplément imprévu de "boni de suractivité" ce qui augmente bien évidemment le bénéfice net prévu. Dans le cas contraire, nous parlons de "coût d'inactivité partielle", ce qui diminue bien évidemment le bénéfice net espéré. Ce sont des notions très importantes dans le cadre de l'estimation de projets en entreprise.

D5. Le "prix d'appel" equation au temps t est le prix d'usine multiplié par un facteur equation sentimental et artistique (mode, ragots, raisons subjectives, etc.) appelé aussi parfois "indice I.G.P." (pour "Indice Gros Pipeau...). Ce facteur peut être quantifié statistiquement à partir de l'unicité du bien, de la durée d'existence de celui-ci, du nombre d'acheteurs potentiels et ceci tant que personne n'intervient de manière à en modifier l'original après sa fabrication. Nous avons dès lors:

equation   (66.5)

D6. Le "prix de vente brut" equation au temps t ou vu de l'acheteur le "prix d'achat brut" equation est le prix d'appel augmenté de la marge bénéficiaire du vendeur (intermédiaire entre l'usine et l'acheteur) plus les frais généraux de vente equation. La marge du vendeur peut-être incluse dans un premier temps dans les charges directes mais les frais généraux ne sont pas déterministes mis à part dans un marché à flux tendu où il n'y en a pas (de frais généraux...) et comme nous avons fait l'hypothèse du marché à flux tendu, nous avons alors:

equation   (66.6)

Remarque: Le prix d'achat brut est aussi parfois appelé "prix catalogue".

D7. Le "prix de revient" equation au temps t est le prix de vente brut (ou d'achat selon le point de vue) diminué des différentes déductions D (étant une valeur négative) possibles ou obligatoires faites par le vendeur tel que:

equation   (66.7)

Les agents du marché d'échange de biens admettent parfois une réduction sur le prix catalogue. Les réductions existent principalement sous deux formes connues:

1. La "remise" R qui est une bonification de prix accordée (valeur négative) soit à un agent demandeur qui achète un bien par fortes quantités N soit à un détaillant auquel est facturé un article de marque au prix de vente imposé par le fabricant (facteur stratégique commercial, promotion). La remise dépend donc du temps t et de la quantité N achetée ou commandée.

2. "L'escompte" ou "ristourne" E qui est une déduction au temps t consentie à l'agent demandeur pour paiement au comptant ou pour règlement anticipé ou encore pour paiement à une époque convenue (nous y reviendrons formellement lors de notre étude de l'intérêt simple en calcul actuariel plus loin).

Dans le cas le plus général qui soit nous parlerons à un temps t donné de "prix d'exercice" equation (ou "prix facturé") auquel le bien peut être acheté ou vendu tel que:

equation   (66.8)

Remarque: L'ensemble des termes de ces expressions prennent généralement leurs valeurs dans equation...

Les facteurs à prendre en compte lors de l'élaboration d'une politique de prix sont synthétisés de manière non exhaustive dans le diagramme suivant:

equation
Figure: 66.1 - Résumé schématique simplifié pour l'élaboration d'une politique de prix

D1. La "propension à consommer" equation est la part du revenu R d'un agent qui est consacrée à la consommation d'un montant C (consommation primaire et secondaire):

equation   (66.9)

D2. La différence entre la dépense de consommation et le revenu est définie comme étant une "épargne" alors que les cotisations et prestations sur les revenus représentent des "transferts sociaux":

equation   (66.10)

D3. "L'élasticité-revenu" est égale au rapport de la variation de la consommation sur la variation du revenu:

equation   (66.11)

La notion d'élasticité-revenu permet de classer les biens de la manière suivante:

1. "Biens inférieurs": qui sont les biens de consommation dont l'élasticité par rapport au revenu est est négative et donc dont la consommation diminue avec l'augmentation du revenu tel que equation (le pain, la farine,...)

2. "Biens supérieurs": qui sont les biens de consommation de luxe dont l'élasticité par rapport au revenu est positive et donc dont la consommation augmente avec une augmentation du revenu tel que equation (la santé, loisirs,...)

3. "Biens normaux": qui sont les biens neutres et dont le coefficient d'élasticité par rapport au revenu est un peu différent de 0 tel que equation.

D4. "L'élasticité-prix" est égale au rapport de la variation de la quantité de demande d'un bien sur la variation de son prix et est donnée par:

equation   (66.12)

Remarque: Une demande est dite "sensible au prix" lorsque le pourcentage de variation de la quantité demandée est supérieur au pourcentage de variation de prix. Dans le cas contraire, nous parlons de demande "rigide au prix".

D5. Un "investissement" I est l'opération réalisée par un agent économique dont l'objectif est d'obtenir des biens de production en échange.

D6. La "transaction" T est l'échange d'une quantité de biens à un prix déterminé entre un "vendeur" et un "acheteur". Elle se conclut sur le marché dont la forme est déterminée par le nombre d'agents économiques qui y interviennent ce qui détermine la "concurrence".

Le tableau ci-dessous présente les différentes formes du marché:

Demandeurs
Offreurs
multitude
quelques-uns
un seul
multitude
concurrence parfaite
oligopole
monopole
quelques-uns
oligopsone
oligopole bilatéral
monopole contrarié
un seul
monopsone
monopsone contrarié
monopole bilatéral
Tableau: 66.1  - Différentes formes du marché de la concurrence

Une autre typologie des marchés peut être effectuée grâce à deux notions: la notion "concurrentielle" et la notion "d'état de la demande" qui se traduisent de la manière suivante:

Demande
Pression concurrentielle
Élevée
Faible
Stable
marché fermé
marché rigide
Instable
marché compétitif
marché ouvert
Tableau: 66.2  - Typologie des marchés

La concurrence est qualifiée de "concurrence pure" (CPP: concurrence pure et parfaite) si elle répond aux cinq hypothèses suivantes:

H1. Atomicité: Acheteurs et vendeurs sont nombreux au point que nul ne peut à lui seul influencer les prix.

H2. Homogénéité (postulat d'homogénéité): Les produits échangés sont identiques et substituables les uns aux autres. Ils permettent de satisfaire un même besoin.

H3. Libre entrée: Il n'existe aucune entrave à l'entrée et à la sortie de nouveaux agents.

H4. Libre déplacement: Les agents économiques peuvent se déplacer librement.

H5. Information parfaite: Tout le monde connaît en même temps et gratuitement toutes les quantités offertes et demandées par tous les agents aux prix différents.

Ces hypothèses étant données, revenons-en à nos définitions car nous n'avions pas terminé...

D7.  Les "soldes intermédiaires de gestion" (S.I.G.) sont des parties du résultat global d'une période d'activité de marché qui sont significatives pour l'analyste financier. Il en existe de multiples dont les définitions découlent d'opérations algébriques élémentaires sur les concepts définis précédemment:

- La "marge commerciale" qui est la différence entre le produit des ventes de marchandises et le coût d'achat des marchandises vendues (la marge commerciale est spécifique aux activités de négoce, c'est-à-dire aux entreprises ayant une activité de distribution).

- La "production de l'exercice" qui est la somme des productions vendues, stockées et immobilisées (la production de l'exercice est spécifique aux activités de production, c'est-à-dire aux entreprises ayant une activité industrielle).

- La "marge brute" qui est la différence entre le produit retiré de la vente de l'exercice et les achats consommés de matières premières

- Le "chiffre d'affaires" qui est la somme des produits des ventes de marchandises et des ventes de biens et de services.

- La "valeur ajoutée" (V.A.) qui est définie comme la différence entre la production de l'exercice et la consommation intermédiaire par les agents (le gestionnaire la considère comme la richesse créée résultant de l'activité réelle de l'entreprise et la V.A. est comme nous l'avons vu d'importance nationale aussi car elle constitue un agrégat).

- "L'excédent brut d'exploitation", ou E.B.E., est le résultat de l'activité courante de l'entreprise et est défini comme étant:

equation   (66.13)

- Le "résultat d'exploitation" (R.E.) est l'enrichissement (ou l'appauvrissement) net généré par l'exploitation. Il prend en compte l'ensemble des produits et charges d'exploitation, notamment les amortissements, provisions, reprises et transferts de charges:

equation   (66.14)

COÛT MOYEN ET MARGINAL

Introduisons ce sujet directement par un exemple:

Supposons qu'un cuisinier du dimanche (et économiste) invite ses amis à sa table et se propose de leur faire une salade de tomates. Il évalue le travail qu'il aura à faire et il chiffre ce travail en valeur monétaire. Il considère qu'une minute de son temps passée à la préparation de la salade correspond à une dépense de 1.-

Donc les données sont:

- Acheter des tomates à 1.- l'unité

- Préparer la salade en 15 minutes donc 15.-

Si chacun de ses amis est rassasié avec une seule tomate, préparer son dîner pour 5 amis (lui ne mangeant pas) lui coûtera au total:

CT = 5.- + 15.- = 20.-   (66.15)

où contrairement aux calculs de la physique au sens large, l'homogénéisation des unités passe au second plan...

Mathématiquement, la "fonction de coût total" sera de la forme suivante si nous notons q le nombre d'amis (dans la pratique, il s'agit souvent d'une fonction polynômiale strictement croissante):

equation   (66.16)

Le "coût moyen" ou "fonction de coût moyen" pour chaque invité est de 20.- divisé par 5 soit 4.-. Ce qui correspond à:

equation   (66.17)

qui n'est donc pas une fonction nécessairement croissante.

Remarque: Selon les ouvrages (et auteurs), le coût moyen est noté avec un m minuscule ou M majuscule et le coût marginal aussi.

S'il en invite un sixième, le coût total sera de 21.-. En effet le temps de préparation restera, du moins nous le supposerons..., constant. Dans ce cas, le coût marginal du sixième invité est de:

(21.-)-(20.-)=1.-   (66.18)

alors que le coût moyen pour l'ensemble des invités est alors de:

21.-/6=3.5.-   (66.19)

Nous remarquons donc dans cette situation que le coût moyen baisse indéfiniment tant que le nombre d'invités augmente.

Cet exemple permet d'illustrer les rendements d'échelle et montre que nous avons souvent intérêt à augmenter la production pour réduire le coût moyen de production (mais cela ne signifie pas pour autant que notre cuisinier du dimanche va apprécier le raisonnement lorsqu'il va arriver à sa limite physique...).

De plus, il ne s'agit cependant pas d'une règle générale! En effet, si le saladier de notre économiste ne peut contenir que 6 tomates, le 7ème invité va l'obliger à préparer un deuxième saladier. Dans ce cas, la variation du marginal sera supérieure au coût moyen préalable.

Il faut aussi savoir que dans la réalité la fonction de coût total est rarement une fonction continue (car il faut acheter des machines ou engager du personnel par palier de quantités) et de plus c'est le marché qui dicte les quantités à une usine et pas l'inverse.

Définition: Mathématiquement, le "coût marginal" est défini par la variation de la fonction coût total equation, par rapport à la quantité produite q:

equation   (66.20)

ou si la quantité est dérivable (de toute façon en économie, même si la quantité n'est pas continue on en fait abstraction...):

equation   (66.21)

Le coût marginal correspond ainsi au coût de la production d'une unité supplémentaire. En pratique, on s'intéresse plutôt au coût d'une série supplémentaire.

De plus, le lecteur remarquera que comme le coût total est une fonction strictement croissante, le coût marginal est aussi une fonction strictement croissante.

Remarque: Si le coût marginal augmente quand la quantité augmente, nous disons que les rendements sont décroissants. À l'opposé, ceux-ci sont croissants si le coût marginal est décroissant lorsque la quantité augmente. En effet, dans l'industrie notamment, on lance plutôt une série supplémentaire qu'une unité supplémentaire.

Démontrons maintenant que si le coût moyen passe par un extremum, le coût marginal lui est égal en ce point. Nous appelons cette situation particulière un "optimum technique".

Rappelons au préalable que si une fonction continue et dérivable f(x) a un minimum (ou un maximum), sa dérivée en ce point s'annule (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral).

Appliquons cela au coût moyen equation. Mais rappelons au préalable que (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (66.22)

Nous avons donc si la dérivée du coût moyen est nulle:

equation   (66.23)

Il s'agit donc de la dérivée du rapport de deux fonctions. Donc:

equation   (66.24)

D'où nous déduisons:

equation   (66.25)

Soit:

equation   (66.26)

Ce qui nous dit déjà que dans cette situation, le coût marginal est égal au coût moyen (nous retrouvons la définition de chacun des coûts respectivement à gauche et droite de l'égalité).

En d'autres termes, là où le coût moyen atteint un optimum (minimum dans le cas qui nous intéresse), alors le coût marginal égale le coût moyen.

exempleExemple:

Une usine a calculé que le coût de production de q unités d'un produit peut être modélisé par la fonction suivante dans les limites des rendements des machines et de la main d'oeuvre dont elle dispose:

equation   (66.27)

Calculons le coût, le coût moyen et le coût marginal de la production de 1'000, 2'000 et 3'000 unités pour l'exemple. Nous avons alors les informations suivantes:

equation   (66.28)

Nous avons alors:

Quantité
Coût Total
Coût moyen
Coût marginal
1'000
5'600
5.60
4.00
2'000
10'600
5.30
6.00
3'000
17'600
5.87
8.00
Tableau: 66.3 - Différents coûts

Et pour que le coût moyen soit le plus faible possible, il faut que le coût marginal soit égal au coût moyen:

equation   (66.29)

Nous en déduisons:

equation   (66.30)

En injectant cette valeur dans la fonction de coût total, nous en déduisons que le coût moyen minimum s'élève à 5.22.

Les économistes d'entreprises définissent ensuite une fonction de prix indépendante de la fonction de coût et en déduisent des recettes. Mais de mon expérience personnelle (qui n'attend que d'être éclairée), c'est n'importe quoi! D'abord parce que la fonction de prix est obligatoirement dépendante du coût, deuxièmement parce qu'en tant que consultant je n'ai jamais (j'insiste sur le "jamais") vu un économiste d'entreprise faire les calculs susmentionnés tellement la réalité est plus complexe.

Dans la réalité, on fait des simulations de Monte-Carlo (je le sais puisque j'interviens pour des grandes multinationales) qui permettent non seulement de travailler en avenir incertain et sur des étendues de quantités, mais qui peuvent aussi prendre en compte des fonctions non continues! Pour plus d'informations sur la modélisation de Monte-Carlo, le lecteur pourra se référer au chapitre de Méthodes Numériques.

MACROÉCONOMIE

Définition: Les "agrégats" sont des grandeurs synthétiques élaborées par les nations pour leur comptabilité nationale et qui mesurent le résultat de l'ensemble de leur économie. Les principaux agrégats sont définis par:

D1. Le "produit intérieur brut" (P.I.B.) qui a pour rôle de mesurer la production nationale (considérée comme isolée), c'est-à-dire de l'ensemble des valeurs des biens et services produits au cours d'une période donnée (le terme "Brut" indique que la valeur du P.I.B n'est pas déduite des différentes taxes existantes sur les productions).

D2. Le "revenu national" (R.N.) qui a pour rôle de mesurer l'ensemble des revenus perçus par les agents économiques.

D3. La "consommation" (C) qui a pour rôle de représenter la valeur des biens et services utilisés pour la satisfaction directe des besoins.

D4. La "formation brute de capital fixe" (F.B.C.F.) qui a pour rôle de représenter les investissements.

D5. La "valeur ajoutée" (V.A.J.) d'une entreprise qui a pour rôle de représenter la différence entre la valeur des biens et services produits par celle-ci avec la valeur des biens et services utilisés pour produire ces mêmes biens et services.

D6. Le "produit national brut" (P.N.B.) qui a pour rôle de mesurer la production nationale (comme le P.I.B.) et de prendre en compte les revenus du reste du monde. En d'autres termes, le P.N.B est le P.I.B. auquel nous sommons les capitaux en provenance de l'extérieur et auquel on soustrait les capitaux versés à l'extérieur.

Remarque: Inutile de parler du concept d'inflation qui ne veut rien dire et dont nous ne retrouvons de définition mathématique rigoureuse nulle part! À ce jour ce terme et le chiffre qui lui est associé ne veulent rien dire.

MODÈLE DE COBB-DOUGLAS

En 1928, Charles Cobb et Paul Douglas ont publié une étude dans laquelle apparaissait une modélisation de la croissance de l'économie américaine entre 1899 et 1922. Ils y avaient adopté une vue simplifiée de l'économie selon laquelle la quantité produite n'est fonction que de la quantité de travail réalisé et du montant des capitaux investis.

Malgré que beaucoup d'autres facteurs affectent les performances économiques, leur modèle s'est avéré remarquablement précis. La fonction qu'ils ont employé pour modéliser la production était de la forme:

equation   (66.31)

P est la production totale (la valeur monétaire de tous les biens produits en un an), L la quantité de travail (le nombre total d'heures de travail prestées en un an) et K la quantité de capital investi (la valeur monétaire de toutes les machines, équipements et bâtiments).

Bien que ce modèle ait été appliqué en premier lieu à l'économie, on le retrouve dans de nombreux articles scientifiques de biologie ou de ressources humaines. Il nous a semblé pertinent de montrer en détail (puisque c'est le but du  site) d'où vient cette étrange fonction car le démarche est relativement géniale.

D'abord, si nous avons une fonction de deux variables P(L,K), la dérivée partielle equation indique le taux de variation de la production par rapport à la quantité de main d'oeuvre seule. C'est ce que les économistes appellent la "production marginale par rapport au travail" ou la "productivité marginale du travail". De même la dérivée partielle equation indique le taux de variation de la production par rapport au capital et est appelée la "productivité marginale du capital".

En ces termes, les hypothèses de Cobb et Douglas (à confronter aux mesures historiques et à adapter à ces mêmes mesures au cas par cas) s'énoncent comme suit:

H1. Sans travail L ou sans capital K pas de production

H2. La productivité marginale du travail est proportionnelle à la quantité produite P par unité de travail L

H3. La productivité marginale du capital est proportionnelle à la quantité produite P par unité de capital K

Vu que la production par unité de travail est le rapport P/L, l'hypothèse 2 s'écrit:

equation   (66.32)

pour une certaine constante equation. Au cas où le capital investi K est constant ( equation), l'équation aux dérivées partielles devient une équation différentielle ordinaire:

equation   (66.33)

Ce qui nous donne:

equation   (66.34)

Et donc la résolution de cette équation différentielle donne:

equation   (66.35)

D'où:

equation   (66.36)

car comme nous avons fixé K il va de soi que la constante dépend de equation.

En procédant de même pour l'hypothèse 3:

equation   (66.37)

Il vient:

equation   (66.38)

Donc nous avons au final:

equation   (66.39)

et en identifiant terme à terme, nous avons immédiatement:

equation   (66.40)

Observons ce qu'implique cette dernière relation si le capital et le travail sont tous les deux multipliés par un facteur m:

equation   (66.41)

Si nous imposons:

equation   (66.42)

alors la production est elle aussi multipliée par le même facteur m. Et nous nous retrouvons dans une hypothèse de proportionnalité de la production ce qui semblait cohérent à Cobb et Douglas. Dès lors:

equation   (66.43)

Les données économiques exploitées par Cobb et Douglas sont celles de la table ci-dessous publiées par le gouvernement des États-Unis d'Amérique:

Année

P

L

K

1899

100

100

100

1900

101

105

107

1901

112

110

114

1902

122

117

122

1903

124

122

131

1904

122

121

138

1905

143

125

149

1906

152

134

163

1907

151

140

176

1908

126

123

185

1909

155

143

198

1910

159

147

208

1911

153

148

216

1912

177

155

226

1913

184

156

236

1914

169

152

244

1915

189

156

236

1916

225

183

298

1917

227

198

335

1918

223

201

366

1919

218

196

387

1920

231

194

407

1921

179

146

417

1922

240

161

431

Tableau: 66.4 - Données U.S. en % utilisées par Cobb et Douglas

Ils prirent délibérément l'année 1899 comme base, c'est-à-dire qu'ils attribuèrent le niveau 100 à chacun des facteurs et exprimèrent les valeurs des autres années en pourcentage de cette année-là.

Pour déterminer les coefficients de Cobb-Douglas, il s'agit de faire une régression linéaire par la méthode des moindres carrés (cf. chapitre de Méthodes Numériques). Si nous prenons le logarithme:

equation   (66.44)

et après réarrangement, toujours en utilisant les propriétés des logarithmes (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle):

equation   (66.45)

En posant:

equation   (66.46)

Nous nous retrouvons simplement avec une fonction affine:

equation   (66.47)

Il suffit alors d'adapter le tableau, de l'injecter dans un tableur ou logiciel de statistique, pour obtenir (cf. chapitre de Méthodes Numériques):

equation   (66.48)

Donc:

equation   (66.49)

En testant par rapport aux données du tableau il vient:

equation   (66.50)

Donc nous voyons que la modèle est... un modèle... avec une certaine marge d'erreur.

MODÈLE MONÉTAIRE

Pour construire un modèle monétaire nous ferons l'hypothèse que "l'utilité monnaie" peut être définie a priori par trois propriétés: 

P1. Unité de compte

P2. Moyen de paiement (intermédiaire d'échange)

P3. Réserve de valeur

Cette démarche de description est cependant insuffisante pour l'analyse mathématique: il faut un système explicatif complet, car, ici, nous ne faisons que constater, sans rien de plus. Il faut donc établir le lien entre la monnaie et la théorie de la valeur.

Mise à part la représentation valeur que représente la monnaie, celle-ci dérive son utilité des biens qu'elle permet d'obtenir dans l'échange. C'est ce que nous nommons "l'utilité dérivée".

Notons l'offre de monnaie disponible d'un marché equation. Elle dépend donc de la quantité totale existante de monnaie equation moins les "encaisses" e conservées par les agents économiques (qui ont échangé des biens contre de la monnaie). Nous pouvons alors écrire la relation suivante nommée "offre de monnaie selon Walras":

equation   (66.51)

Cette encaisse est aussi celle des ménages d'une certaine manière et est une demande réelle de biens, qui peut s'exprimer nécessairement sous forme monétaire.

Remarque: Si les gens savaient réellement comment le processus de création monétaire moderne fonctionne (celui utilisé depuis que la majorité des États à travers le monde autorisent les banques à créer de "l'argent dette" - c'est-à-dire de créer de l'argent à partir d'une promesse de remboursement de dette) le système ne tiendrait pas longtemps. Par ailleurs, le système contemporain est en réalité relativement fragile et vicieux (il va probablement droit vers le mur).

Des agents de vente, à l'occasion de la vente de leurs biens, désirent a priori encaisser une certaine somme de monnaie contre la vente de ces biens, somme notée equation et appelée "encaisse de monnaie désirée". 

Nous exprimons cette encaisse de monnaie désirée en "numéraire" et pour ce, nous introduisons alors un prix de la monnaie en numéraire. L'encaisse désirée s'écrit alors par rapport à la totalité des encaisses du marché. Le numéraire sert lui à exprimer les prix relatifs pour l'équilibre général. Il y a une encaisse désirée de la part des agents pour la réalisation de l'équilibre général. Ce sont en fait des biens réels sous forme monétaire:

equation   (66.52)

equation est le "prix de la monnaie en numéraire" (facteur variable au cours du temps et qui amène dans un marché qui n'est pas à flux tendu à faire de la spéculation). Dans un marché à flux tendu, equation sera toujours supposé égal à l'unité. Nous pouvons alors écrire pour différents numéraires:

equation   (66.53)

Remarque: Dans un marché isotrope à monnaie unique cette relation n'aurait pas besoin d'être écrite.

L'encaisse désirée peut alors s'exprimer en utilisant la relation:

equation   (66.54)

Revenons, à equation mais cette fois-ci vu du côté des entreprises. Elles ont besoin de monnaie pour effectuer les paiements et fonctionner (salaires, investissements, etc.) et l'encaisse désirée de l'ensemble de ces entreprises est nécessairement dans un cas idéal égale à l'ensemble de la monnaie disponible sur le marché tel que: 

equation   (66.55)

puisque les entreprises vendent des biens sur les encaisses des agents (moins les marges) du marché économique.

Hypothèse: La dernière relation suppose que le prix de vente des marchandises tend à être égal à leur prix de revient

Remarque: Cette relation signifie aussi que toute l'offre est satisfaite uniquement par la demande des agents et que l'encaisse précédemment citée n'est constituée que de biens hors entreprises.

Cela correspond également à une certaine quantité de biens puisqu'il s'agit de proposer des biens pour se procurer de la monnaie (vu des entreprises). Nous pouvons donc écrire:

equation   (66.56)

Mais comme les biens du marché (en possession des agents économiques) doivent également être renouvelés les entreprises ont finalement comme quantité de monnaie totale potentielle disponible sur le marché:

equation   (66.57)

La somme entre crochets correspond donc à l'ensemble de la monnaie disponible sur le marché sous forme de biens des ménages et des encaisses potentielles sous la restriction de biens ayant un prix de la monnaie en numéraire equation global identique. C'est restrictif comme modèle mais suffisant dans le cadre de la détermination du prix d'un type de bien.

Nous notons alors par définition:

equation   (66.58)

où:

equation   (66.59)

Nous avons donc in extenso:

equation   (66.60)

La première relation encadrée exprime la "théorie quantitative de la monnaie selon Walras".

Passons à l'examen du modèle qui est fondé sur l'association des trois éléments (dont certains ont déjà été énoncés plus haut) suivants:

- La "loi de Say": Il ne peut y avoir de déséquilibre durable sur les marchés et la loi de l'offre et de la demande réalise une régulation spontanée et automatique de l'activité économique

- La C.P.P.: La concurrence est pure et parfaite (voir tableau plus haut)

- La "loi de Walras": La valeur totale des offres étant identique à la valeur totale des demandes, si l'équilibre entre offre et demande est réalisé sur n-1 marchés alors il est réalisé sur le n-nième marché.

Ainsi, l'objectif de Walras est de répondre à la question de savoir s'il existe un système de prix qui assure l'équilibre entre l'offre et la demande sur tous les marchés. Cette question est importante, car de sa réponse dépend la capacité du marché à assurer l'allocation des ressources de façon efficace.

Au vu de ce qui précède, le lecteur aura remarqué que le modèle de Walras considère que la monnaie est neutre en ce sens que la quantité totale de monnaie en circulation n'exerce d'influence ni sur les prix relatifs des produits les uns par rapport aux autres, ni sur le niveau de l'offre et de la demande de produits. La monnaie n'est pas souhaitée pour elle-même...

Remarque: La "parité" est le terme utilisé pour chercher l'équivalence des cours monétaires étrangers de différents marchés. Cette parité est dépendante (entre autres) du temps et il est important de considérer les variations de celle-ci dans le cadre du marché des biens où la monnaie n'est pas unique et le payement non immédiat.

Nous allons maintenant mettre en évidence l'interdépendance des marchés selon Walras:

Nous supposons une économie composée de n marchés où nous avons la demande de biens notée equation, et l'offre notée equation et où nous avons, enfin, les prix equation (exprimés par rapport à un autre bien) sur la marché i

Selon la loi de Say, nous avons (équilibre entre l'offre et la demande sur tous les marchés):

equation   (66.61)

L'objectif de cette loi est de montrer l'interdépendance des marchés. Pour cela, il faut faire appel à la demande excédentaire notée equation (différence entre l'offre et la demande). Nous avons alors (toujours de par la loi de Say):

equation   (66.62)

Conclusion: S'il y a un déséquilibre sur un marché i, cela implique qu'il y aura un autre déséquilibre de même ampleur sur l'ensemble des autres marchés. C'est une première manière de mettre en évidence l'équilibre des marchés par l'intermédiaire de l'équilibre entre l'offre et la demande.

Remarque: Les variations des prix des monnaies en numéraire n'affectent pas l'équilibre réel. Si tous ces prix relatifs varient dans la même proportion, l'équilibre n'est pas modifié (et donc les demandes excédentaires ne devraient n'y augmenter ni diminuer).

Avant de continuer, rappelons qu'une fonction f est homogène de degré r si en multipliant tous ses termes par un même facteur k, nous obtenons:

equation   (66.63)

De cette définition il s'ensuit la propriété intuitive que dans un marché où la demande est supposée proportionnelle au prix..., les fonctions de demande sont homogènes de degré 1 telles que:

equation   (66.64)

Avec ce que nous avons dit tout à l'heure, nous devrions dès lors avoir une équivalence telle que:

equation   (66.65)

Démonstration:

Si tous les prix augmentent de equation et qu'il y a un (nous pouvons généraliser à n) nouveau bien sur le marché dont le prix augmente de la même valeur et dont la loi de l'offre et de la demande est également proportionnelle au prix, alors:

equation   (66.66)

equationC.Q.F.D.

L'équilibre n'est donc pas affecté par la variation des prix monétaires (vous comprenez maintenant que les salaires sont un prix numéraire de la valeur monnétaire du travail qui augmente(rait) lui aussi proportionnellement aux prix des biens du marché).

Cette pseudo-démonstration (soyons objectifs...) implique donc que le n + 1ème marché est totalement déterminé par les n autres.

Ici, les relations sont fondées sur des équations. Walras distingue cependant deux procédures pour assurer l'équilibre entre offre et demande:

1. Une méthode algébrique théorique. Mais... nous ne pouvons pas déterminer les besoins des individus à l'avance afin de savoir quand il y aura demande et se préparer à construire l'offre. Ce système ne fonctionne que si et seulement si les agents économiques sont raisonnables et s'accordent pour attendre

2. Une méthode empirique qui recherche la solution par des opérations d'essais/erreurs: il y a la présence d'une sorte de secrétaire de marché, le "commissaire-priseur". Ce dernier annonce des prix pour chaque type de bien qui pourrait exister: les agents économiques réagissent à ce prix, ils offrent et ils demandent en fonction du prix. Pour le bien i, il y a equation, nous avons alors equation. Nous comparons l'offre et la demande. En cas d'égalité, le prix est un prix d'équilibre. En cas de différence, le commissaire-priseur recommence la procédure et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il y ait équilibre. C'est en gros cette procédure qui est utilisée dans les marchés boursiers et que l'on appelle souvent la "main invisible des marchés"!!!

Cependant, les équations nous montrent que nous avons besoin du prix de la monnaie en numéraire pour mesurer l'offre et la demande et il convient de se rappeler que nous avons considéré la monnaie comme une marchandise en quantité donnée fixe car le système est à l'équilibre entre offre et demande. Mais justement, les agents ne peuvent pas indéfiniment se répartir la quantité totale de monnaie si leur nombre augmente. Dès lors, pour que la demande soit possible, si elle a lieu, il faut être prêt à en injecter (ou à en disposer) sur le marché (sinon celui-ci devient immobile ce qui n'est peut-être pas favorable à long terme...). Il faut bien sûr aussi être prêt à en retirer et c'est là aussi qu'intervient une instance tel que l'État en intervenant dans l'économie pour réguler cette quantité de toutes les manières possibles (par l'intermédiaire des impôts par exemple) puisqu'elle agit directement sur les biens disponibles et déjà immobiles (achetés).

Ainsi, selon le modèle de Walras, la quantité de monnaie disponible sur le marché est donc seulement fonction du nombre d'agents économiques. Mais dès lors faut-il mettre en place un nouveau modèle pour un cadre plus général de demande de monnaie?

Au fait, cela n'est pas nécessaire. Nous savons que s'il y a équilibre général pour n biens, il y a équilibre général pour n + 1 biens (et par récurrence pour n-1 aussi) ; le dernier marché n'étant autre que celui de la monnaie. Le modèle de Walras explique dès lors pourquoi à un certain niveau de quantité de monnaie correspond un certain niveau des valeurs numéraires des biens et ce même de la monnaie.

THÉORIE DE L'OFFRE ET DE LA DEMANDE

C'est le deuxième des cinq modèles cités plus haut. Il nécessitera nécessairement (et cela est prévu!) une révision car fortement incomplet. Les idées présentées ci-dessous sont à ce jour à prendre avec des pincettes.

Dans notre société humaine où il existe une monnaie d'échange (de référence) et des biens persiste un problème qui consiste en la détermination de la valeur monétaire d'un bien. Pour déterminer celle-ci, il faut pouvoir connaître l'évolution de l'offre et de la demande. C'est ce à quoi nous allons nous attarder ici en commençant par des modèles simplistes et en complexifiant ceux-ci de manière croissante:

THÉORIE DE LA PRÉFÉRENCE

Avant de se lancer dans un modèle élaboré de l'offre et de la demande, il est nécessaire de cerner ce qui motive les agents économiques dans leurs choix de consommation et de modéliser leurs comportements sous le principe fondamental de rationalité.

L'agent économique sera perçu comme un individu unique disposant d'un dont il cherche à tirer le maximum de satisfaction. Ses goûts sont subjectifs même s'ils dépendent de certaines caractéristiques objectives comme l'âge ou le niveau de culture. Le niveau de satisfaction sera défini à partir d'une fonction d'utilité dont nous verrons les principes de base et la maximisation sous contrainte.

Plusieurs principes fondent l'utilité des biens et conduisent à la notion "d'utilité marginale", concept central dans la théorie de la préférence de l'agent économique. D'après Aristote, à l'origine du concept de valeur-utilité, l'utilité des biens dérive de la satisfaction des besoins. Condillac énonce que: "la valeur des choses est fondée sur l'usage que nous pouvons en faire". Cette idée d'une valeur fondée sur l'utilité, fondamentale chez les économistes marginalistes, s'oppose au courant théorique de la valeur-travail fondée sur la quantité de travail, directe et indirecte, incorporée dans la fabrication du bien (Adam Smith, Karl Marx).

Il faut cependant, de préférence, considérer une hypothèse importante dans ce modèle :

Hypothèse: Il existe une certaine satiété des besoins, mais elle n'est jamais totale.

Ainsi, pour un bien donné l'utilité marginale de la dernière unité consommée est donc plus faible que celle des unités précédentes mais non nulle et toujours positive c'est le "principe de l'utilité marginale décroissante" relative à l'unité supplémentaire consommée.

Ainsi, dans le cadre de la consommation multiple equation d'un bien unique d'utilité nominale donnée, l'utilité totale equation (somme des utilités marginales equation ) serait une courbe du type:

equation
Figure: 66.2 - Utilité asymptotique

et donc l'utilité marginale est du type:

equation
Figure: 66.3 - Utilité marginale décroissante correspondante

Ainsi, confronté à un prix donné pour chaque bien, l'agent économique compare ce prix avec les utilités marginales qu'il retire successivement de leur consommation. Il en achète tant que leur utilité dépasse le prix (surplus lié à cet achat) et cesse d'en acheter dès que l'utilité marginale tombe en dessous du prix du bien. Son intérêt est alors d'acheter d'autres produits pour lesquels il existe un surplus positif (utilité marginale de ces produits supérieure à leur prix).

Cet exemple, relatif à un bien, doit être élargi maintenant à un panier de biens pour déterminer l'utilité globale de ce panier.

Considérons pour cela un agent i dans une économie disposant de equation biens. Il peut donc en acheter au maximum I. Un panier de consommation possible correspond donc au vecteur de biens equation: equation, où les equation représentent les quantités éventuellement nulles achetées par le consommateur. L'utilité de ce panier s'écrit equation et sera supposée additive selon:

equation   (66.67)

c'est-à-dire la somme des utilités totales relatives aux quantités consommées de chaque bien.

Considérons maintenant un panier à deux biens, nous pouvons sans trop d'erreur émettre l'hypothèse que ces biens peuvent être divisés en fractions equation aussi petites que nous voulons d'autres biens/composants. Ainsi, grossièrement, nous ne travaillons plus dans equation mais dans equation.

Ainsi, soit un panier de equation d'un agent économique, nous supposerons que celui-ci est tel que sa différentielle totale exacte est nulle telle que:

equation   (66.68)

Le rapport:

equation   (66.69)

est défini comme le "taux marginal de substitution" (T.M.S.) entre les deux biens élémentaires i, j: quantité supplémentaire du bien i qu'il faut fournir à l'agent économique pour compenser exactement une diminution d'une unité du bien j.

Le comportement attribué à l'agent économique est de pouvoir classer tous ces paniers de biens possibles (vecteurs) selon une échelle de préférence, sans que celle-ci corresponde nécessairement à une évaluation chiffrée. Cette capacité de classement correspond au concept "d'utilité ordinale" (pouvant être ordonnée donc) et à l'utilisation d'une relation de préférence, notée equation (préféré ou indifférent à) qui vérifie les propriétés suivantes:

- transitivité: equation et equation (cohérence des classements successifs)

- réflexivité: equation

Cette relation, "préordre" au sens mathématique, est utilisée dans la plupart des présentations actuelles de la théorie de la préférence. Ce préordre est complet s'il permet toujours de comparer deux paniers de biens dans l'ensemble des I biens.

Un tel préordre complet permet de définir une relation d'équivalence sur l'ensemble des biens et un ordre strict, ainsi que de représenter les préférences à partir de fonctions d'utilité:

equation   (66.70)

où nous avons dans l'ordre: (1) equation préféré ou indifféranciable à equation (2) equation est strictement préféré à equation (3) equation est indifférent à equation.

Si la fonction U est bien définie par un nombre, elle ne reflète plus une évaluation de l'utilité, mais dès lors seulement la possibilité de comparer l'ordre des utilités, relatives à des paniers de biens quelconques.

La possibilité de hiérarchiser différents paniers de biens de equation permet de définir des surfaces de niveau dont l'utilité est constante, appelées "courbes d'indifférence" ou encore "courbes d'iso-utilité". Les graphiques suivants donnent bien une représentation de ces courbes dans equation (panier de deux biens) et leurs principales propriétés:

Ainsi, deux paniers tels que equation dans equation se traduisent graphiquement par un réseau de courbes, dont chacune est constamment décroissante:

equation
Figure: 66.4 - Exemple de courbe d'iso-utilité (d'indifférence)

Pourquoi n'avons-nous pas des droites ou autres choses? La raison en est relativement simple et le graphique suivant l'explique trivialement. Considérons l'iso-utilité (l'indifférence):

equation
Figure: 66.5 - Contre-exemple d'iso-utilité (d'indifférence)

Ci-dessus, equation domine equation. En effet, le panier de biens equation possède plus de biens equation que le panier equation. Ces deux points ne peuvent donc être sur la même courbe d'indifférence et imposent qu'une courbe d'indifférence doit être décroissante et que c'est la seule condition (donc ce n'est pas nécessairement une droite).

Remarque: Si nous supposons que la satisfaction de l'agent économique augmente avec la taille de son panier de biens, plus une courbe d'iso-utilité est éloignée de l'origine plus elle correspond à une utilité élevée.

Les courbes d'iso-utilité (d'indifférence) ne peuvent se couper (ne peuvent être sécantes). Effectivement, soit les deux courbes d'iso-utilité (d'indifférence) ci-dessous:

equation
Figure: 66.6 - Autre contre-exemple d'iso-utilité (d'indifférence)

Les paniers equation et equation sont situés sur la même courbe d'iso-utilité U1 alors que equation et equation sont, eux, situés sur la même courbe U2. Ainsi, nous pouvons écrire que equation et equation.

D'après la transitivité des préférences, nous devrions alors avoir equation. Or ces deux paniers ne sont pas équivalents puisque equation et equation ne sont pas situés sur la même courbe. Deux courbes d'indifférence ne peuvent donc pas se couper.

Nous sommes donc conscients qu'il existe des relations particulières entre les biens qui vont modifier nos attitudes de consommation. C'est le cas notamment des biens complémentaires et des biens de substitutions:

Définitions:

D1. Deux biens sont dits "biens complémentaires" si la possession de l'un et de l'autre procure une satisfaction supérieure à la somme des satisfactions des deux biens s'ils étaient pris isolément (super-additivité). Ainsi, il y a complémentarité entre des skis et un forfait sur des remontées mécaniques, entre une voiture et de l'essence. Cela peut être interprété par la courbe d'indifférence suivante:

equation
Figure: 66.7 - Principe de représentation de biens complémentaires

Effectivement, pour le couple (voiture, essence) chaque courbe a respectivement un minimum sous lequel nous ne pouvons pas descendre afin que le couple conserve son intérêt de consommation en tant que tel (il ne vaut pas la peine d'acheter une voiture si l'essence tend vers zéro).

D2. Deux biens sont dits "biens substituables" si nous pouvons remplacer facilement l'un par l'autre, par exemple en cas de pénurie ou de hausses de prix. Le thé et le café sont des substituts car, à défaut de l'un, nous nous reportons souvent sur l'autre. Cela est encore plus vrai pour deux marques d'une même boisson (Pepsi et Coca). La crise de la vache folle est également un bon révélateur de la substituabilité des produits carnés, avec un report de consommation sur les volailles et l'agneau. Cela peut être interprété par la courbe d'indifférence suivante:

equation
Figure: 66.8 - Principe de représentation de biens substituables

Effectivement, l'intersection avec les axes respectifs indique (exprime) justement la substitution totale possible d'un bien par l'autre dans le panier.

Voyons maintenant un exemple d'application:

Soit à calculer le T.M.S. le long de la courbe d'indifférence equation (il s'agit donc d'une fonction hyperbolique). Nous avons montré que le T.M.S était donné par:

equation   (66.71)

Ainsi, pour les trois points A, B, C de coordonnées respectives:

equation   (66.72)

nous trouvons les valeurs T.M.S. respectives:

equation   (66.73)

Ces valeurs expriment des équivalences entre les biens 2 et 1 pour des variations marginales des quantités de ces biens. Ainsi au point A, pour conserver le niveau d'utilité de 100, le consommateur est prêt à abandonner du bien 2 pour augmenter sa consommation de bien 1 dans un rapport de 4 à 1. Au point B l'équivalence entre les deux biens est dans un rapport de 1 à1, etc.

Remarque: Le concept de courbes d'indifférences a été développé par Vilfredo Pareto et d'autres dans la première partie du 20ème siècle. Le recours à ce concept a permis à l'analyse économique d'utiliser le concept de préférences dans la détermination des choix plutôt que le concept d'utilité qui a le problème de ne pas pouvoir être mesuré de façon objective.

MODÈLE CONTRARIÉ A PERTE NETTE

Considérons maintenant, et ce indépendamment de la théorie de la préférence, un modèle à monopole contrarié et à information parfaite pour un besoin primaire. Notons D(t) la demande sur le marché et O(t) l'offre. Nous supposons alors une variation de la demande en fonction du temps proportionnelle à la demande (en absence d'offre):

equation   (66.74)

et en l'absence de demande:

equation   (66.75)

Les offreurs et les demandeurs sont en interaction. Pour quantifier la contribution entre groupes, nous considérons l'offre en assumant que sa valeur ou intensité est fonction de probabilité de rencontre entre le demandeur et le produit et qu'elle sera proportionnelle au produit du pourcentage equation de l'offre de la demande.

Les effets de la découverte du produit n'ont pas les mêmes effets sur les deux groupes offreurs/demandeurs. Premièrement, bien sûr, chaque offre acquise par un demandeur est un gain net pour le deuxième et sera supposée comme un perte d'épargne nette pour le premier. Ainsi, si l'effet des interactions est accepté comme étant proportionnel à equation les signes d'influence d'interaction différeront selon:

equation   (66.76)

Avant d'aller plus loin, cherchons les valeurs pour lesquelles les dérivées s'annulent (ce qui nous donnera au fait le point d'équilibre entre l'offre et la demande):

equation   (66.77)

D'où:

equation   (66.78)

Sinon, nous avons aussi comme possible solution:

equation   (66.79)

Maintenant, normalisons les équations en écrivant (ainsi elles sont sans dimension):

equation   (66.80)

avec cette normalisation, le modèle s'écrit:

equation   (66.81)

En réarrangent les coefficients, le système s'écrit finalement (hors de la solution d'inexistence):

equation   (66.82)

pour lequel les dérivées s'annulent aux points (1,1), qui sera à nouveau l'équilibre de Say.

Le tracé discret de ce système d'équations (dans lequel nous reconnaissons un terme logistique comme vu dans le chapitre de Dynamique des Populations), donne avec equation et les conditions initiales equation:

equation
Figure: 66.9 - Cycles d'offre et demande

Nous retrouvons comme le marché réel semble nous le montrer, des cycles d'offre/demande (certains produits démodés reviennent à la mode) dont il faut déterminer par des statistiques, les conditions initiales afin d'en connaître la possible période. Nous remarquons que l'offre a toujours un peu de retard sur la demande dans ce modèle. Malheureusement ce modèle n'a pas de facteur d'amortissement ou multiplicatif d'où un potentiel d'amélioration possible.

Si nous représentons l'offre et la demande non pas respectivement en fonction du temps mais en fonction de l'un et de l'autre, nous obtenons:

equation
Figure: 66.10 - Représentation dans l'espace des phases des cycles offre/demande

Nous voyons ainsi (dans cette représentation de l'espace des phases) que pour des conditions initiales fixes, le système est périodique et a un point d'équilibre en:

equation   (66.83)

Ce qui correspond aux points où:

equation   (66.84)

Finalement, nous avons deux couples de points d'équilibre (c'est trivial en regardant le système d'équation):

equation et equation   (66.85)

La question qui va se poser est le sens de rotation (représentation) du plan des phases. Ainsi, en représentant les directions à l'aide d'un champ de vecteurs, nous obtenons la représentation:

equation
Figure: 66.11 - Sens de rotation de l'espace des phases de l'offre/demande

Pour savoir dans quelle direction nous nous dirigeons dans l'espace des phases à un moment donné, il suffit de connaître la dérivée dy/dx (ou réciproquement dx/dy). Ainsi nous avons:

equation   (66.86)

Ceci dit, nous voyons bien sur le diagramme des phases dans sa forme de champ de vecteurs qu'il arrive un moment dans le cycle de ce modèle que l'offre soit très élevée pour une faible demande. Donc le modèle mathématique (théorique) explique bien ce qui peut être a priori contre-intuitif pour l'être humain.

Cependant, nous pouvons (devons) nous poser la question de ce qu'il se passe après une petite perturbation autour des points d'équilibres (ce qui est de la plus haute importance en économie).

Nous avons donc le système de Lotka-Volterra à l'équilibre:

equation   (66.87)

En y mettant une perturbation infiniment petite, celui-ci s'écrit:

equation   (66.88)

En négligeant les termes quadratiques, nous obtenons:

equation   (66.89)

En nous concentrant d'abord sur l'étude proche du point d'extinction (0,0) nous pouvons négliger les termes xy mais l'expression resterait ence encore trop compliquée. Alors, toujours en nous considérant proche du point d'extinction (0,0), nous considérons un peu abusivement mais astucieusement (sinon nous ne pourrions toujours pas résoudre le problème analytiquement) les approximations suivantes:

equation   (64.90)

Donc:

equation   (66.91)

Ce qui nous montre pour le système à l'équilibre, proche du point d'inexistence, l'offre diminue exponentiellement alors que la demande augmente elle exponentiellement. Ceci a un sens économique: quand il y a peu d'offre (respectivement de demande), la demande croît alors qu'au fur et à mesure que la demande augmente, l'offre croît et se concentre de plus en plus sur la demande (ahhh la nature...).

Remarque: Dans la littérature nous retrouvons tantôt le signe "-" en haut ou en bas dans le système d'équations précédent. En réalité, la position du signe "-" n'a aucune importance car il s'agit juste du choix de départ dans la dynamique du système.

Proche du point d'équilibre (1,1), nous aurons (hop! nous changeons la position du signe exprès afin d'insister sur le fait que ce n'est qu'un choix de départ!!!):

equation   (66.92)

Pour résoudre ce système, différentions l'équation:

equation   (66.93)

et en y injectant dy/dt:

equation   (66.94)

Nous obtenons donc une petite équation différentielle du deuxième ordre (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Dont la solution-type est:

equation   (66.95)

En injectant cette solution dans l'équation différentielle, nous obtenons après simplification des exponentielles une simple équation du deuxième degré (cf. chapitre de Calcul Algébrique):

equation   (66.96)

Dont la solution est triviale:

equation   (66.97)

Ainsi, la solution générale de l'équation différentielle est la combinaison linéaire des deux solutions tel que:

equation   (66.98)

Mais nous avons donc:

equation   (66.99)

Dès lors, connaissant x(t) nous obtenons facilement:

equation   (66.100)

Utilisons maintenant la relation d'Euler (cf. chapitre sur les Nombres):

equation   (66.101)

Ainsi, nous avons:

equation   (66.102)

et comme (cf. chapitre de Trigonométrie) equation, nous avons alors:

equation   (66.103)

et de manière similaire, nous obtenons:

equation   (64.104)

soit:

equation   (64.105)

Ainsi, autour du point d'équilibre (1,1), les perturbations suffisamment petites pour valider la linéarisation (annulation des termes quadratiques) oscillent comme des ellipses (ou cercles) dont les axes sont définis par les deux équations précédentes.

Nous pouvons obtenir les graphes ci-dessus avec Maple 4.00b (car il s'agit d'un joli exemple d'application du logiciel):

>restart: with(plots): with(DEtools):
>rate_eqn1:= diff(h(t),t)=(0.1)*h-(0.005)*h*(1/60)*u; rate_eqn2:=diff(u(t),t)=(0.00004)*h*u-(0.04)*u;vars:= [h(t), u(t)];
> init1:=[h(0)=2000,u(0)=600]; init2:=[h(0)=2000,u(0)=1200]; init3:=[h(0)=2000, u(0)=3000];domain := 0 .. 320;
> L:= DEplot({rate_eqn1, rate_eqn2}, vars, domain,{init1 }, stepsize=0.5, scene=[t, u], arrows=NONE):
H:= DEplot({rate_eqn1, rate_eqn2}, vars, domain,{init1 }, stepsize=0.5, scene=[t, h], arrows=NONE):

>DEplot({rate_eqn1, rate_eqn2}, vars, t= 0 .. 160, {init1, init2, init3}, stepsize=0.5, scene=[h,u], title='Demande vs. 60 * Offre pour t = 0 .. 160', arrows=slim);

Ce modèle est cependant imparfait car il prend en compte seulement un monopole contrarié à perte nette et à information parfaite. Le fait de considérer la population constante n'est pas trop gênante mais en toute rigueur nous devrions rajouter un terme logistique dans les équations initiales. Il y a encore du travail donc...

CAPITALISATION ET ACTUARIAT

Définition: La "capitalisation" est le domaine de la mathématique financière qui permet de calculer des valeurs futures à partir de valeurs présentes, alors que le "calcul actuariel" permet de déterminer quelle somme doit être prêtée pour obtenir un montant fixé à l'avance.

Dans une dynamique de marché, des acteurs peuvent prêter ou emprunter un capital en contrepartie de quoi ils perçoivent ou respectivement versent un intérêt périodique. Cet intérêt se justifie par la prise de risque que prend le créditeur (celui qui prête le capital) relativement au non-remboursement de la totalité ou d'une part du capital initial que doit rembourser le débiteur (celui qui doit rembourser le capital emprunté). D'une autre manière, vu au niveau du marché économique, les emprunts permettent à certains agents économiques de mettre en place des biens en pariant sur le fait que soit ceux-ci créeront l'offre soit que l'offre viendra d'elle-même mais en souhaitant devancer la concurrence.

Remarque: Lorsqu'un crédit est contracté avec un agent économique non solvable les financiers parlent de prêt "NINJA" pour "no income, no job and no assets" (qui signifie en français que le débiteur n'a ni revenu, ni travail, ni biens matériels).

Lorsqu'un capital est prêté (ou emprunté, c'est selon le point de vue...) dans le but d'accroître une dynamique de marché (la quantité de biens en circulation sur une durée donnée) nous parlons alors "d'actif financier", ceci pour faire comprendre que le capital participe à l'activité de l'économie.

Définitions:

D1. Nous appelons "rendement d'un actif financier prêté" le rapport relatif de progression donné par:

equation   (66.106)

D2. Nous appelons "rendement arithmétique d'un investissement" le rapport relatif:

equation   (66.107)

equation est la valeur initiale de l'investissement et equation sa valeur finale.

Il suit de cette dernière définition que si un investissement a rapporté 5% la première année et a porté une perte nette de 2% la deuxième année, le "RSI (Retour Sur Investissement) arithmétique moyen" est alors de:

equation   (66.108)

Or il est faux d'utiliser la moyenne arithmétique pour ce type de situation car la somme finale obtenue après les deux années est mathématiquement de:

equation   (66.109)

ce qui donne alors en reprenant l'exemple précédent:

equation   (66.110)

Donc le rendement moyen réel est par définition le "RSI géométrique" tel que:

equation   (66.111)

c'est-à-dire qu'il s'agit simplement d'une moyenne géométrique (cf. chapitre de Statistiques). Il vient alors:

equation   (66.112)

ce qui est bien évidemment nettement différent du RSI arithmétique moyen obtenu plus haut!

Remarque: Nous disons d'un actif qu'il a un "rendement sans risques" si la valeur future de celui-ci est parfaitement connue.

Soit un actif equation qui peut valoir le rendement (optimiste) futur equation avec une probabilitéequation et la valeur (pessimiste) equation avec une probabilité equation ou d'autres valeurs equation avec la probabilité equation alors l'espérance mathématique du rendement est donnée par:

equation   (66.113)

Que la somme monétaire soit du type actif ou non, les types de rendements applicables sont identiques et variés. Il en existe cependant de grands classiques qui ne sont pas stochastiques et connus. Pour leur étude, définissons certaines variables:

- equation représente le capital initial ou plus techniquement la "valeur actuelle" (V.A.) ou "present value" (P.V.) en anglais.

- equation représente le capital final ou "valeur capitalisée" (V.C.) ou "futur value" (F.V.) en anglais après n périodes temporelles.

- equation représente le taux appelé plus techniquement "taux effectif"

- equation représente "l'intérêt" produit au bout de n périodes (horizon) par la valeur actuelle

Rajoutons encore comme complément la relation:

equation   (66.114)

appelée "facteur de capitalisation".

Définition: Nous définissons "l'intérêt" comme la rémunération d'un capital (somme d'argent) prêté ou investi pendant un certain temps. L'intérêt peut être payé en une fois ou périodiquement si la durée du prêt ou de l'investissement dure longtemps. L'intérêt peut être payable d'avance (praenumerando) ou à la fin de la période (postnumerando). L'intérêt est fonction de la durée du prêt (ou investissement), du capital emprunté (ou prêté) que nous appelons "principal" ainsi que du "taux" d'intérêt pratiqué. La période sur laquelle l'intérêt porte est en général l'année, mais elle peut être plus courte: semestre, trimestre, mois ou jour.

Remarque: Dans un texte, le taux d'intérêt est exprimé normalement en % mais dans les calculs financiers, il est d'usage de calculer sous forme décimale.

INTERVALLE DE DATES

Pour déterminer le montant d'un intérêt sur un prêt (ou investissement...), il est d'abord indispensable de connaître la durée de ce dernier ou les dates définissant les périodes de paiement d'une obligation (échéancier).

Le calcul des dates et des durées est donc la première étape en mathématiques actuarielles. Si certains logiciels utilisent dans le calcul de la durée l'année civile (365 jours selon le calendrier Grégorien), d'autres se basent sur l'année commerciale (360 jours), ce qui était le cas de la plupart des établissements bancaires (c'est tout à leur avantage financièrement parlant de faire le choix de cette dernière...) avant l'arrivée du calendrier target pour la zone Euro.

Remarques:

R1. Sur les marchés financiers, il existe une seule convention en matière de détermination d'un intervalle de dates pour calculer une durée: le premier jour (date de départ) est inclus dans la période. Le dernier jour (date de fin ou date d'échéance) est exclu de la période. Ainsi une période allant du 15 au 25 juin comporte 10 jours.

R2. Dans le cadre de ce site, qui se veut avoir une approche la plus rigoureuse possible des sujets traités, nous ne nous attarderons pas sur les aberrantes méthodes 30/360 allemande, européenne ou encore américaine (autant faire chaque pays de la planète alors... et se reporter à Microsoft Excel...) pour nous concentrer sur la méthode des 365 jours (système de la base exacte) qui est, et reste, le système le plus naturel de comptage à utiliser puisqu'il tient compte des mois de 28, 29, 30 ou 31 jours.

R3. Signalons qu'en ce qui concerne les carnets d'épargne, les banques se basent sur un système de "quinzaines" (moitiés d'un mois), et estiment qu'il y a donc 24 quinzaines par année.

Il nous faut dès lors dans le système de la base exacte connaître comment calculer le nombre de jours entre deux dates equation donné par le calcul equation chacune de ces dates étant encryptée sous forme normalisée aaaa-mm-jj (année-mois-jour) ou sous forme populaire j.m.a (jour.mois.année).

Définitions:

D1. Le calendrier Grégorien a été défini tel qu'il ait 12 mois.

D2. Les mois de:

equation   (66.115)

sont des mois de 31 jours et les mois de:

equation   (66.116)

de 30 jours.

D3. Le mois de février est un cas particulier permettant de corriger le fait que l'année civile de 365 jours, ne corresponde pas tout à fait à la période orbitale de la Terre autour du Soleil qui est d'environ 365.25... jours. Ainsi, toutes les années qui sont multiples de 4 ou de 400 sont des années bissextiles (le mois de février a 29 jours au lieu de 28) mais les années qui sont divisibles par 100 ne sont pas bissextiles.

exempleExemples:

E1. 1992, 1996, 2004, 2008 sont bissextiles.

E2. Les années 1900, 2100, 2200, 2300 ne sont par contre pas bissextiles (car divisibles par 100)

E3. Les années 1600, 2000, 2400, 2800 sont bissextiles car bien que divisibles par 100, elles sont multiples de 400.

Ces définitions et exemples étant donnés, soit une date sous la forme donnée précédemment. Le nombre de jours depuis l'an 1 est:

equation   (66.117)

E[x] est la partie entière de x. Cette relation se déduit logiquement de la manière suivante pour les dates où equation (soit uniquement pour les deux premiers mois de l'année incluant la problématique du mois de février):

1. Nous avons 365(a-1) car soit a donné, le nombre de jours civils depuis l'an 1 est 365 fois le nombre d'années a diminué d'une unité puisque l'année en cours n'est pas terminée.

2. Même remarque pour les mois avec 31(m-1): en considérant des mois de 31 jours, le mois en cours n'étant pas pris en compte (d'où 31(m-1)). La correction pour les mois de 28 ou 30 jours intervient sous le cas où equation que nous allons voir un peu plus bas.

3. Logiquement, nous ajoutons j (qui contient toute l'information quant à savoir si l'année a est bissextile ou non) à la somme des deux termes précédents.

4. Les termes equation donnent quant à eux le nombre de 29 février entre l'année 1 et a en prenant en compte les années bissextiles qui ont lieu tous les multiples de 4 et 400 ans excepté les années qui sont multiples de 100.

Si equation, nous devons utiliser la relation suivante:

equation   (66.118)

Cette relation se déduit toujours de la même manière que la précédente à la différence que certains termes au numérateur ne sont pas diminués d'une unité car ayant equation, il faut, pour ces termes, prendre en compte l'année en cours dans le calcul.

Le dernier terme E(0.42M+2+0.5) est ici pour corriger le fait que tous les mois n'ont pas 31 jours. Pour l'obtenir, nous construisons le tableau suivant (la troisième colonne donne le décalage en jours par rapport au cas où les mois auraient tous 31 jours):

Mois

N° Mois n

Décalage d

mars

3

3

avril

4

4

mai

5

4

juin

6

5

juillet

7

5

aout

8

5

septembre

9

6

octobre

10

6

novembre

11

7

décembre

12

7

Tableau: 66.5  - Décalage mensuel en jours

Une régression linéaire simple donne:

equation   (66.119)

En prenant la valeur entière et en vérifiant bien que la fonction choisie est correcte, nous obtenons finalement bien (en prenant une précision de deux décimales):

E(0.42M+2+0.5)

Mois

N° Mois n

Décalage d

d(n)

E(d(n))

mars

3

3

3.26

3

avril

4

4

3.68

4

mai

5

4

4.1

4

juin

6

5

4.52

5

juillet

7

5

4.94

5

aout

8

5

5.36

5

septembre

9

6

5.78

6

octobre

10

6

6.2

6

novembre

11

7

6.62

7

décembre

12

7

7.04

7

Tableau: 66.6  - Comparaison entre la fonction de régression et l'objectif

ÉQUIVALENCES DE TAUX

Intéressons-nous maintenant brièvement au calcul des taux avant de s'attaquer directement aux calculs des différents et nombreux types d'intérêts.

Définition: Le "taux proportionnel" fait apporter à un même capital, durant la même période, le même "intérêt simple" (voir la définition de l'intérêt simple plus bas) et est donc donné par la relation:

equation   (66.120)

Si le taux proportionnel est calculé sur la base d'une année, nous parlons alors de "taux de rendement annualisé"; s'il est calculé sur la base d'un mois, nous parlons alors de "taux de rendement mensualisé".

exempleExemple:

Calculer le taux mensuel equation proportionnel (soit: le taux de rendement mensualisé) à un taux annuel t% de 12%:

equation   (66.121)

Définition: Le "taux équivalent" fait apporter à un même capital, durant la même période, le même "intérêt composé" (voir la définition de l'intérêt composé plus bas) et est donc donné par la relation:

equation   (66.122)

et inversement:

equation   (66.123)

exempleExemple:

Taux t% mensuel équivalent à un taux equation annuel de 12% (résultat tronqué au dix-millième):

equation   (66.124)

la procédure inverse consisterait donc à calculer le taux annualisé et nous voyons alors qu'un taux mensuel de 1% annualisé vaudrait plus que 12%.

INTÉRÊT SIMPLE

Définition: "L'intérêt simple" est défini par la relation (voir plus haut pour la définition des notations):

equation   (66.125)

qui implique une capitalisation (valeur finale):

equation   (66.126)

Il s'agit simplement de l'intérêt qui est calculé à chaque période sur la seule base du capital prêté ou emprunté à l'origine.

Remarques:

R1. Il est très facile à partir de la connaissance de trois des quatre paramètres de la relation précédente de retrouver la quatrième. S'agissant d'une simple équation du premier degré, nous ne nous attarderons pas sur ce genre d'exercice de style d'algèbre élémentaire.

R2. Une particularité de l'intérêt simple est d'être proportionnel à la durée du placement. Si l'intérêt par exemple sur une année est de 12%, le "taux équivalent" d'un placement identique pendant 12 mois sera de 1% par mois. Cette propriété n'est pas vraie pour l'intérêt composé comme nous le verrons de suite après.

R3. Pour les carnets d'épargne, nous avons déjà fait mention que les instituts financiers utilisent la quinzaine comme période temporelle (soit 24 périodes dans l'année composée de mois de 30 jours). Donc pour calculer l'intérêt annuel, lors de chaque quinzaine, ils prennent le solde le plus faible sur le compte au cours de la quinzaine et calculent l'intérêt simple sur un taux rapporté à 24 quinzaines par année et reporteront le résultat obtenu lors de la clôture annuelle du compte à la fin de l'année (ils sont pas fous...)

Par ailleurs, si plusieurs placements à intérêt simple sont effectués simultanément pour des durées et à des taux différents, nous pouvons être amenés à calculer le taux moyen T de l'ensemble de ces placements.

Si nous notons equation le placement numéro t, equation le taux d'intérêt du placement numéro t, equation la durée du placement numéro t et k le nombre de placements, nous obtenons la moyenne arithmétique pondérée (cf. chapitre de Statistiques) comme suit:

equation   (66.127)

exempleExemple:

Nous cherchons le taux annuel moyen des trois placements suivants {1'000.-;90 jours;3%} {2'000.-;120 jours;4%} {3'000.-;170 jours;5%}. Nous avons alors:

equation   (66.128)

ESCOMPTE

Toujours relativement à l'intérêt simple, nous pouvons revenir sur une notion dont nous avions parlé au début de ce chapitre: l'escompte. Cette notion est aussi bien utilisée dans le commerce traditionnel que dans les marchés financières pour les bons du trésor (voir plus loin).

Rappelons que l'escompte est une remise accordée à un acheteur par un vendeur dans le but de l'inciter à payer rapidement avant n unités (périodes) de temps (c'est donc le nombre d'unités n qui importe!). Un acheteur devrait en principe profiter de cet escompte (qui peut donc être vu comme un crédit). Dans le cas contraire, c'est comme si l'acheteur empruntait implicitement à une banque pendant une durée donnée (les n unités).

Historiquement, l'escompte est la retenue que fait un banquier sur une promesse de versement que possède une commercant (promesse signée par un acheteur pour une certaine échéance), que le banquier verse avant l'échéance (donc comme une avance).

Voyons cela:

Notons equation la valeur actuelle escompte compris (déduit), equation le montant sans escompte appelé "valeur nominale", n la durée rapportée à l'échelle de temps du taux d'escompte, t% le taux d'escompte et i l'intérêt implicite simple en cas de renonciation à l'escompte.

Nous avons maintenant les relations triviales suivantes:

equation   (66.129)

Et rien nous empêche d'écrire que le montant sans escompte peut être obtenu par un intérêt simple de la forme:

equation   (66.130)

à partir de la valeur avec escompte. L'intérêt implicite simple sur la valeur actuelle étant alors trivialement:

equation   (66.131)

Dès lors, il vient par substitution:

equation   (66.132)

Nous remarquons alors qu'il suffit de connaître le taux d'escompte accordé t% (souvent donné en annuel...) ainsi que la durée de renonciation n pour déterminer le taux équivalent simple du crédit accordé.

Si le taux t% communiqué dès le départ n'est pas le taux correspondant à l'ensemble de la durée n (comme c'est le cas ci-dessus) mais le taux sur l'unité temporelle correspondante, nous avons alors la relation suivante:

equation   (66.133)

exempleExemple:

Calculons le taux implicite simple i relatif à un escompte de 1% à 10 jours ou net à 30 jours:

equation  (66.134)

Ainsi, cet escompte s'il n'est pas pris en considération, peut être vu comme un crédit à 0.0505% par jour pendant 20 jours sur la somme avec escompte! Ce qui correspond sur un mois de 30 jours à un taux d'intérêt simple de 1.515%.

Cette méthode de calcul est appelée "escompte commercial" car les calculs se font sur la base de la valeur nominale et non de la valeur actuelle.

Cependant, historiquement, les calculs étaient plutôt du type suivant:

exempleExemple:

Le 19 mars, un banquier escompte de t%=6% (annuel) un contrat d'acheteur à un commercant de 240'000.- payable le 31 mai (il y a donc 73 jours calendaires entre les deux dates). La valeur de l'escompte est alors (sur une base annuelle de 360 jours):

equation   (66.135)

Donc la valeur actuelle du contrat sera de 237'080. Le taux implicite journalier simple sera alors donné par:

equation   (66.136)

Soit:

equation   (66.137)

INTÉRÊT COMPOSÉ

Définition: "L'intérêt composé" est donné par la relation:  

equation   (66.138)

et implique que la valeur finale est donnée par:

equation   (66.139)

Nous disons donc que le taux d'intérêt est "composé" lorsqu'à la fin de chaque période l'intérêt est ajouté au capital pour le calcul de la prochaine période. Cette relation implique bien évidemment qu'il n'y a ni retrait ni dépôt pendant toutes les périodes.

Nous avons par ailleurs les relations triviales (cf. section d'Algèbre):

equation   (66.140)

où la première relation donne donc la valeur initiale si la valeur final est connue et qu'il n'y a ni retrait ni dépôt pendant toutes les périodes.

Remarque: Les relations équivalentes dans la version française de Microsoft Excel 11.8346 pour trouver equation sont respectivement (fonctions en français) VC(), VA(), NPM(), Taux() l'abréviation NPM signifiant "nombre payements mensuels".

Dans le cadre des intérêts cumulés (composés), deux notions importantes sont donc la "valeur actuelle" et la "valeur finale" acquise d'un capital.

En répondant à la question: "Quel capital obtenons-nous au bout d'un certain temps en plaçant aujourd'hui une somme X sur un carnet d'épargne?", nous faisons une recherche de valeur finale ou acquise d'un capital. Nous parlons alors "d'opération de capitalisation".

Par contre, si nous nous demandons: "Quel capital devons-nous placer aujourd'hui sur un carnet d'épargne pour obtenir au bout d'un certain temps un capital X ?", nous faisons une recherche de valeur actuelle d'un capital. Nous parlons alors "d'opération d'escompte" (c'est le propre du "calcul actuariel").

Définition: Nous appelons equation le "facteur de capitalisation" et equation le "facteur d'escompte" définis par les relations:

equation   (66.141)

ce qui nous amène par ailleurs à avoir:

equation   (66.142)

Partant de de la relation de capitalisation composée vue plus haut (mais donc avec la notation condensée):

equation   (66.143)

Le capital initial equation peut être exprimé avec le facteur d'escompte:

equation   (66.144)

Cela rend alors très simple le calcul d'actualisation ou de capitalisation puisqu'il s'agit de multiplier le capital final ou initial par le facteur d'escompte ou de capitalisation élevé à la puissance n. Ainsi, nous parlons de calculer la "valeur capitalisée" ou "valeur présente" ("future value" en anglais) lorsque nous investissons un certain montant pendant un certain temps à un taux donné et nous parlons de "valeur actualisée" lors nous calculons qu'elle doit être la valeur initiale à investir pour avoir un certain montant après un temps donné à un taux donné.

Rappelons maintenant la relation que nous avons obtenue lors de notre présentation initiale des taux équivalents:

equation   (66.145)

Souvent afin de se simplifier le calcul, la personne qui cherche le taux équivalent va se contenter de poser (normaliser) equation. Ce qui l'amène à écrire:

equation et equation   (66.146)

Vient alors une petite astuce du financier qui fait intervenir dans ses démarches de ventes les concepts de "taux effectif" (déjà vu!) et "taux nominal". Le taux nominal étant toujours inférieur au taux effectif, il permet à l'émetteur de l'emprunt d'afficher un taux inférieur à ce qu'il est réellement (pratique qui au demeurant est interdite par voie législative dans certains pays!).

exempleExemple:

Imaginons que les conditions d'un prêt soient les suivantes: intérêt annuel de equation (taux nominal écrit en petit dans le contrat ou dans la publicité) payable par tranches mensuelle de equation. Un individu attentif se rend compte que payer 1% tous les mois dans un système d'intérêts composés ne donne pas un intérêt annuel de 12% mais de:

equation...   (66.147).

qui est le taux effectif t% !

Remarque: Attention! Il ne faut jamais oublier que le taux nominal inclut le taux d'inflation. Donc le "taux réel" est égal en réalité à:

equation

Maintenant, si plusieurs placements sont effectués simultanément pour des durées et à des taux différents, nous pouvons être amenés à calculer le taux moyen T de l'ensemble de ces placements.

Si nous notons equation le placement numéro t, equation le facteur de capitalisation du placement numéro t, equation la durée du placement numéro t, k le nombre de placements et finalement T le taux moyen de l'ensemble des placements nous pouvons à l'aide du calcul formel jusqu'au quatrième degré (voir chapitre de Calcul Algébrique) ou au-delà avec l'analyse numérique (prendre le solveur de Microsoft Excel par exemple), résoudre l'équation:

equation   (66.148)

Si nous faisons un changement de variables equation nous avons alors à résoudre l'équation de equation inconnues en x (tous les autres termes étant normalement connus dans l'énoncé du problème):

equation   (66.149)

INTÉRÊT CONTINU

Rappelons que l'intérêt composé est défini en utilisant le taux effectif:

equation   (66.150)

Avec le taux nominal, nous écrivons alors:

equation   (66.151)

Nous pouvons maintenant nous demander ce qu'il adviendrait du taux effectif t% si l'intérêt était versé non pas mensuellement, ni quotidiennement, mais en continu, d'une manière instantanée (ou quasi-instantanée). Nous écrivons alors (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle):

equation   (66.152)

Ainsi, en cas de capitalisation continue, la fonction de capitalisation s'écrit finalement:

equation   (66.153)

Et comme:

equation   (66.154)

Nous avons alors (relation relativement importante en finance des marchés):

equation   (66.155)

Attention avec cette approximation! Dans la pratique nous pouvons utiliser cette aproximation pour des grandes sommes d'argent que si le taux est relativement faible (moins de 10%) et que le nombre de période d'investissement ne dépassent pas la dizaine...

Une propriété utile et très utilisée en trading de l'intérêt continu est qu'il est "consistant dans le temps". Pour voir de quoi il s'agit, considérons les trois valeurs suivantes d'un capital de portefeuille placé quelconque:

Capital

Valeur

Taux de rentabilité (simple)

Taux de rentabilité (continu)

equation

10.00.-

-

-

equation

14.00.-

= (14-10)/10 = 40%

equation

equation

9.00.-

= (9-14)/14 = -35.71%

equation

Somme:
  = 4.29% =-10.54%
Comparaison:
  = (9-10)/10 = 10% equation
Tableau: 66.7 - Comparaison de taux exact et approximé continu

Donc comme nous pouvons le voir, contrairement au taux de rentabilité simple, le taux de rentabilité continu est consistant en temps car nous pouvons sommer les différents taux pour avoir la variation totale. Ce résultat provient simplement de la propriété suivante:

equation Tableau: 66.8

INTÉRÊT PROGRESSIF (RENTES)

Définition: Une "rente" ou "annuité" est une suite de paiements versés périodiquement à intervalles de temps réguliers et durant une période fixée d'avance à intérêt composé (typique des deuxième ou troisième piliers en Suisse).

Il suffit alors d'appliquer la relation (voir plus haut la démonstration) equation à chaque terme de rente versé si nous souhaitons connaître la valeur actuelle de cette rente.

Par contre, si nous souhaitons obtenir la valeur finale d'une rente, nous appliquerons à chaque terme la relation (voir plus haut la démonstration):

equation   (66.156)

Définition: Si la rente est payable en fin de période, elle est dite "rente postnumerando". Par contre, si elle est payable en début de période, elle est dite "rente praenumerando".

Remarques:

R1. Les rentes qui sont toujours payées sont appelées "rentes certaines" et lorsque la durée est fixée d'avance, nous parlons de "rentes temporaires".

R2. Les rentes versées sur la base de la durée de vie d'un individu sont appelées "rentes viagères".

Puisque les termes sont souvent supposés constants, nous avons pour habitude de baser les calculs sur la valeur d'une unité monétaire. Ainsi, nous notons (les notations adoptées sont celles que nous trouvons dans la littérature car bien que peu pratiques, elles sont originales et jolies à regarder...):

- equation la valeur actuelle d'une rente d'une unité monétaire payable postnumerando (à terme échu) pendant une durée de n périodes

- equation la valeur actuelle d'une rente d'une unité monétaire payable praenumerando (d'avance) pendant une durée de n périodes

- equation la valeur finale d'une rente d'une unité monétaire payable postnumerando pendant une durée de n périodes

- equation la valeur finale d'une rente d'une unité monétaire payable praenumerando pendant une durée de n périodes

Les relations qui déterminent ces valeurs font usage des propriétés des séries géométriques et de leur somme partielle (cf. chapitre de Suites Et Séries).

RENTES POSTNUMERANDO

À terme constant, pour calculer la valeur finale d'une rente à échéance/postnumerando, nous pouvons donc travailler uniquement sur le facteur de capitalisation en multipliant au final par le montant de la rente.

exempleExemple:

Nous souhaitons calculer la valeur finale d'une rente postnumerando de 3'500.- versée durant 10 périodes et calculée au taux d'intérêt périodique de 6%.

Les versements ont lieu aux dates 1, 2,.. et 10. Le versement equation de la date 1 a pour valeur acquise à la date 10: equation. De même, le versement de la date 2 rapporte des intérêts pendant 8 ans. Sa valeur acquise date 10 est donc: equation etc. Finalement le versement de la date 10 (que nous venons de déposer à la banque) a pour valeur equation. La valeur acquise des 10 versements est donc, en posant equation (nous démontrerons les simplifications juste après):

equation   (66.157)

Dans la version française de Microsoft Excel 14.0.7106, il suffit d'écrire:

=3500*VC(6%;10;-1;0;0)=46'132.80.-

Donc la rente postnumerando est un versement à termes constants et à taux constant durant un nombre de périodes données conduisant à une suite géométrique simple.

Rappelons donc (encore une fois!) que:

equation   (66.158)

Sous la forme de rente postnumerando à termes constants, nous avons alors sous forme générale:

equation   (66.159)

Ce qui s'écrit:

equation   (66.160)

donc:

equation   (66.161)

En fait, nous avons donc une suite géométrique de raison q (cf. chapitre de Suites Et Séries). Dès lors:

equation   (66.162)

et donc:

equation   (66.163)

Finalement:

equation   (66.164)

Nous avons donc pour notre exemple dix périodes (et dix termes donc avec equation):

equation

Ce capital correspond donc à la somme acquise au bout de dix périodes.

La méthode de calcul de la "valeur actuelle d'une rente à l'échéance/postnumerando" fonctionne sur le même principe mais à l'envers selon la relation démontrée plus haut:

equation   (66.165)

Donc si les termes (montants versés) sont constants nous pouvons écrire:

equation   (66.166)

donc:

equation   (66.167)

Or:

equation   (66.168)

alors:

equation   (66.169)

finalement:

equation   (66.170)

Remarque: La valeur equation correspondant donc au montant qu'il faudrait placer sur un carnet d'épargne à t% afin de pouvoir y faire un retrait périodique equation constant durant les n périodes et ainsi solder le compte.

exempleExemple:

Calculons la valeur actuelle d'une rente postnumerando de 3'500.- versée durant 10 ans et calculée au taux d'intérêt de 6%:

equation   (66.171)

Soit dans la version française de Microsoft Excel 14.0.1706:

=3500*VA(6%;10;-1;0)=25'760.30.-

Nous avons également les relations entre les rentes postnumerando actuelle et finale:

equation   (66.172)

Nous avons également les opérations en chaîne suivantes:

equation   (66.173)

Remarque: Il est clair étant donné equation connus que equation et ainsi de suite pour les autres types de rente.

RENTES PRAENUMERANDO

La méthode de calcul de la "valeur actuelle d'une rente à l'avance/praenumerando" fonctionne sur le même principe que la dernière toujours en utilisant la relation equation. mais cette fois les termes de la suite géométrique changent puisque le payement se fait à l'avance:

equation   (66.174)

donc:

equation   (66.175)

Or:

equation   (66.176)

alors:

equation   (66.177)

finalement:

equation   (66.178)

Remarque: Pour le même nombre de périodes et le même taux , nous avons equation car equation.

exempleExemple:

Calculons la valeur actuelle d'une rente praenumerando de 3'500.- versée durant 10 ans et calculée au taux d'intérêt annuel de 6%:

equation   (66.179)

Soit dans la version française de Microsoft Excel 14.0.1706:

=3500*VA(6%;10;-1;0;1)=27'305.92.-

La méthode de calcul de la "valeur finale d'une rente à l'avance/praenumerando" fonctionne sur le même principe que la dernière toujours en utilisant la relation equation. mais cette fois les termes de la suite géométrique changent puisque le payement se fait à l'avance:

equation   (66.180)

donc:

equation   (66.181)

Or:

equation   (66.182)

alors:

equation   (66.183)

finalement en notant equation nous avons:

equation   (66.184)

Remarques:

R1. Avec la même notation nous avons par ailleurs la valeur actuelle de la rente praenumerando qui s'écrit equation

R2. Pour le même nombre de périodes et le même taux, nous avons equation car equation.

exempleExemple:

Calculons la valeur finale d'une rente praenumerando de 3'500.- versée durant 10 ans et calculée au taux d'intérêt de 6%:

equation   (66.185)

Soit dans la version française de Microsoft Excel 14.0.1706:

=3500*VC(6%;10;-1;0;1)=48'900.75.-

ARRONDIS

Pour arrondir un nombre x au multiple de 1/n le plus proche la relation à utiliser est la suivante:

equation   (66.186)

La démonstration est intuitive. Il suffit de s'imaginer l'axe des réels et de couper celui-ci en 1/n petits intervalles. Soit alors un nombre x donné, le nombre de ces intervalles dans x sera donné par:

equation   (66.187)

Enfin pour savoir quel est le nombre strictement inférieur au multiple recherché, nous prenons la valeur entière de la dernière relation et la multiplions par 1/n tel que:

equation   (66.188)

Si cependant, nous souhaitons avoir le nombre arrondi au multiple le plus proche, nous voyons alors qu'il faut rajouter 0.5 tel que:

equation   (66.189)

EMPRUNTS

Les individus et les entreprises recourent souvent à l'emprunt (crédit) comme moyen financier. Nous allons ici définir les principaux types d'emprunts rencontrés dans la pratique ainsi que les relations qui les caractérisent.

Définition: Nous appelons "emprunts indivis", un emprunt ne comportant qu'un seul prêteur, en général, un établissement financier.

Les principaux points concernant les emprunts sont:

- Connaître l'état de la dette à tout moment

- Connaître le montant à rembourser à chaque période

- Connaître l'intérêt dû à chaque période

Définition: Nous appelons "annuités", les paiements effectués dans le cadre de l'apurement d'un emprunt. Une annuité comprend une part de remboursement R appelée aussi "amortissement financier" et une part d'intérêt I selon la relation:

equation

La décomposition de l'annuité en amortissements et intérêts est une notion importante non seulement en finance mais aussi en comptabilité. En effet, la part d'amortissement financier correspond à un remboursement de dette à la différence de l'intérêt qui est une charge financière.

Nous allons étudier ici trois types d'emprunts:

1. Les emprunts remboursables à échéance fixe

2. Les emprunts à remboursements constants

3. Les emprunts à annuité constante (les plus pratiqués)

Remarques:

R1. Nous considérons ici des emprunts périodiques. Le passage d'une période temporelle à une autre et le calcul d'un taux équivalent se fera selon les relations déjà démontrées plus haut.

R2. Des annuités mensuelles constantes sont appelées des "mensualités".

EMPRUNT À ÉCHÉANCE FIXE (IN FINE)

Définition: Nous parlons d'un "emprunt à échéance fixe" ou "emprunt in fine" lorsque chaque année, l'annuité comprend uniquement la part d'intérêt ! La dernière année, l'annuité comprend l'intérêt ainsi que la totalité (!) du remboursement de l'emprunt.

Remarque: Ce modèle d'amortissement est particulièrement utilisé dans les emprunts obligataires, étudiés plus loin.

Les relations suivantes permettent d'établir n'importe quel élément du "tableau d'amortissement".

Ainsi, l'état de la dette (capital emprunté) C en début d'année k est:

equation   (66.190)

Le remboursement (amortissement) equation effectué en fin d'année k est égal à l'amortissement cumulé equation en fin d'année k et celui-ci n'a lieu qu'à la dernière année n tel que:

equation   (66.191)

l'intérêt payé equation sera constant tout au long de la durée du prêt selon un taux equation sur le capital emprunté equation tel que:

equation   (66.192)

L'annuité devient alors:

equation   (66.193)

exempleExemple:

Voyons le tableau d'amortissement d'un emprunt de 1'000.- à 10% l'an remboursé à l'échéance au bout de 4 ans. Le tableau d'amortissement correspondant sera:

Période

État de la dette

Amort.

Amort. Cumulé

Intérêt

Annuité

k

equation

equation

equation

equation

equation

1

1'000

0

0

100

100

2

1'000

0

0

100

100

3

1'000

0

0

100

100

4

1'000

1'000

1'000

100

1'100

Tableau: 66.9  - Emprunt avec amortissement à échéance fixe

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 400.-.

EMPRUNT A AMORTISSEMENT CONSTANT

Définition: Nous parlons d'un "emprunt à amortissement constant", lorsque montant annuel remboursé est constant, c'est-à-dire identique d'année en année (système intuitif).

Les relations suivantes permettent d'établir n'importe quel élément de ce tableau d'amortissement:

equation   (66.194)

exempleExemple:

Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par amortissement constant en 4 ans. Établir le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. Le tableau d'amortissement correspondant sera:

Période

État de la dette

Amort.

Amort. Cumulé

Intérêt

Annuité

k

equation

equation

equation

equation

equation

1

1'000

250

250

100

350

2

750

250

500

75

325

3

500

250

750

50

300

4

250

250

1'000

25

275

Tableau: 66.10  - Emprunt avec amortissement constant

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 250.-. Donc on paie moins qu'avec le système précédent.

EMPRUNT A ANNUITÉ CONSTANTE

C'est le cas le plus fréquent (la définition est dans le titre même). Il est utilisé par la plupart des instituts de petit crédit et de leasing. L'emprunteur connaît d'avance la somme qu'il aura à payer d'année en année. En d'autres termes, c'est comme s'il s'agissait d'un capital C que l'on doit solder en faisant à chaque période un retrait constant A: ce qui consiste à déterminer la valeur actuelle d'une rente postnumerando telle que:

equation   (66.195)

Les relations suivantes permettent alors d'établir n'importe quel élément du tableau d'amortissement:

equation   (66.196)

et puisque equation, alors:

equation   (66.197)

dès lors, lorsque equation, nous avons conformément à ce que nous attendons equation.

Et donc l'amortissement est de:

equation   (66.198)

L'amortissement cumulé est un peu moins évident à trouver avec le bon sens, prenons pour démonstration un amortissement A avec taux t% sur n périodes. Nous avons par définition:

equation   (66.199)

avec k=2 et n=3:

equation   (66.200)

d'où:

equation
  (66.201)

Ainsi, nous avons:

equation   (66.202)

et aussi:

equation   (66.203)

exempleExemple:

Un emprunt de 1'000.- à 10% l'an est remboursé par annuité constante en 4 ans. Établir le tableau d'amortissement et déterminer le coût du crédit. Le tableau d'amortissement correspondant sera:

Période

État de la dette

Amort.

Amort. Cumulé

Intérêt

Annuité

k

equation

equation

equation

equation

equation

1

1'000

215

215

100

315

2

785

237

452

78

315

3

548

261

713

55

315

4

287

287

1'000

29

315

Tableau: 66.11  - Emprunt avec annuité constante

Le coût du crédit représente la somme des intérêts soit 262.-. Ce résultat pourrait s'obtenir par: equation.

Remarque: Les instituts financiers rajoutent différents frais au crédit comme les frais de dossier, les frais d'assurance, les frais de garantie, etc. L'ajout de ces frais a pour effet de faire augmenter le taux de prêt dont la valeur finale réelle (tous frais compris) est appelée "taux effectif global" (TEG). Comme chaque institut financier fait sa petite cuisine ou que chaque pays impose une méthode de calcul particulière (l'obligation de communiquer ce taux et la méthode de calcul associée est spécifiée dans de nombreux pays par la législation pour éviter que les consommateurs ne soient trompés), nous n'avons pas souhaité développer le sujet ici. Cependant, le lecteur intéressé pourra se référer aux exercices d'Économétrie disponibles sur le serveur d'exercices où il pourra trouver un exemple concret mais... particulier!

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THEORIE DE LA DECISIONECONOMIE (2/3)


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