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Site Internet créé le 1er mai 2002

Le présent site Internet a été conçu de façon à ce que les connaissances requises pour le parcourir soient les plus élémentaires possibles. Il n'est donc pas nécessaire d'avoir obtenu un doctorat pour le consulter, il suffit de savoir raisonner, d'avoir l'esprit critique, d'observer et d'avoir du temps...

"La simplicité est le sceau de la vérité et celle-ci resplendit de beauté" 

Person of the Century (Time Magazine cover)


Dernière mise à jour de cette page: 2017-01-31 10:15:03
Version: 3.4 Révision 16 | Avancement: ~99%
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Aucune aventure humaine n'a eu plus d'impact que la science sur nos vies et notre conception du monde et de nous-mêmes. Ses théories, ses conquêtes et ses résultats sont tout autour de nous.

Omniprésente dans l'industrie (aérospatiale, imagerie, cryptographie, transports, chimie,…), ou dans les services (banques, assurances, ressources humaines, projets, logistique, architecture, télécommunications,…), la mathématique appliquée apparaît aussi dans de nombreux autres secteurs: sondages, modélisation des risques, protection des données… Elle intervient dans notre vie quotidienne (télécommunications, transports, médecine, météorologie, musique…) et contribue à la résolution de problématiques actuelles: énergie, santé, environnement, climatologie, optimisation, développement durable… Son grand succès est donc sa fantastique dispersion dans le monde réel et son intégration croissante à toutes les activités humaines. Nous allons donc vers une situation où la mathématique n'aura plus le monopole de la mathématique, mais où des économistes, gestionnaires et marchands feront tous de la mathématique.

À ce titre, ancien étudiant dans le domaine de l'ingénierie, j'ai souvent regretté l'absence d'un ouvrage unique assez complet, détaillé (sans aller dans l'extrême des puristes...) et pédagogique si possible gratuit (!) et portatif (étant personnellement un adepte des liseuses électroniques...) contenant au moins une idée non exhaustive de l'ensemble du programme de mathématique appliquée des écoles d'ingénieurs et présentant une vue d'ensemble de ce qui est utilisé dans la réalité des entreprises avec des démonstrations plus intuitives que rigoureuses mais avec suffisamment de détails afin d'éviter au lecteur des efforts inutiles. Un ouvrage aussi qui ne nécessite pas non plus de devoir s'adapter chaque fois à une nouvelle notation ou au vocabulaire spécifique à l'auteur quand il ne s'agit pas de changer carrément de langue... et où tout un chacun peut proposer des améliorations ou des compléments.

"Autant le public aime à se rendre compte et à s'instruire, autant il a en horreur les traités théoriques qui exigent un travail intellectuel, des efforts et finissent par le fatiguer." Béguet

J'ai été de plus aussi frustré pendant mes études de devoir ingurgiter assez souvent des "formules" ou des "lois" soit disant (et à tort) indémontrables ou trop compliquées selon mes professeurs ou même déçu par des livres d'auteurs renommés (dont les développements sont laissés au soin du lecteur ou comme exercice...). Sur ce site Internet et le PDF associé (ici), prédomine la volonté de ne jamais dérouter le lecteur par des formules creuses du style "il est évident que...", "on démontre facilement que...", "nous laissons le soin au lecteur de vérifier en tant qu'exercice que...", puisque tous les développements y sont présentés en détails. Mais je ne suis pas un puriste des maths! Je n'ai qu'une ambition: expliquer de la manière la plus simple possible.

Bien que je doive admettre que la démonstration de certaines relations présentées dans le cadre des cursus des écoles d'ingénieurs ne puisse se faire faute de temps dans le planning scolaire ou de place dans un livre, je ne peux accepter qu'un professeur ou un auteur dise à son étudiant (respectivement, son lecteur) que certaines lois sont indémontrables (car la plupart du temps c'est faux) ou que telle ou telle démonstration est trop compliquée sans lui donner une référence bibliographique (où l'étudiant puisse trouver l'information nécessaire à satisfaire sa curiosité) ou au moins une démonstration infiniment simplifiée et satisfaisante.

Par ailleurs, j'estime totalement archaïque le fait que certains professeurs continuent de faire prendre des notes de cours de manière massive à leurs étudiants. Il serait beaucoup plus favorable et optimal de distribuer un support de cours contenant tous les détails et ce afin de pouvoir se concentrer sur l'essentiel avec les élèves c'est-à-dire les explications orales, l'interprétation, la compréhension, le raisonnement et la mise en pratique plutôt que la copie de tableau noir à outrance... Bien évidemment donner un support de cours complet fait que certains étudiants brillent par leur absence mais... c'est tant mieux! Ainsi, ceux qui sont passionnés peuvent approfondir les sujets à la maison ou à la bibliothèque universitaire, les médiocres feront ce qu'ils ont à faire et pour le reste (élèves en difficultés mais travailleurs) ils suivront le cours donné par le professeur pour profiter de poser des questions plutôt que de recopier bêtement un tableau noir.

Pour me baser sur un modèle d'apprentissage d'un spécialiste américain (pour rappel, un spécialiste n'est pas un individu qui sait beaucoup d'un domaine donné mais qui connaît bien quelques-unes des erreurs les plurs grossières dans son domaine), dont j'ai oublié le nom..., le présent site Internet (et son PDF associé) propose et impose les propriétés suivantes à son lecteur: découvrir, mémoriser, citer, intégrer, expliquer, reformuler, déduire, choisir, utiliser, décomposer, comparer, interpréter, juger, argumenter, modéliser, élaborer, créer, rechercher, raisonner, développer et ce dans une démarche claire, pédagogique et progressive permettant de développer l'esprit d'analyse et d'ouverture.

Alors, dans mon esprit, ce site Internet (et son PDF associé) doit pouvoir se substituer, gratuitement, à de nombreuses références et lacunes du système, permettant ainsi à tout étudiant curieux de ne pas être frustré pendant de longues années durant son cursus de formation. Sans quoi, la science de l'ingénieur pourrait alors avoir l'aspect rébarbatif d'une science figée, à l'écart de l'évolution scientifique et technique, d'une accumulation hétéroclite de connaissances et surtout de formules qui la font considérer comme un sous-produit insipide des mathématiques et qui amène dans les entreprises à de nombreux faux résultats...

Ceux qui ne voient la mathématique appliquée que comme un outil (ce qu'elle est aussi), ou comme l'ennemi des croyances religieuses, ou encore comme un domaine scolaire rébarbatif, sont légion. Il est cependant peut-être utile de rappeler que, comme le disait Galilée, "le livre de la Nature est écrit dans le langage des mathématiques" (sans vouloir faire de scientisme!). C'est dans cet esprit que ce site Internet (et son PDF associé) aborde la mathématique appliquée pour les étudiants en sciences de la Nature, de la Terre et de la Vie, ainsi que pour tous ceux qui exercent une profession liée à ces diverses matières y compris la philosophie ou pour toute personne curieuse de s'informer de l'implication des sciences dans la vie quotidienne.

Le choix de traiter l'ingénierie ici comme une branche de la mathématique appliquée provient certainement du fait que l'ensemble des domaines de la physique (anciennement dénommée "philosophie naturelle") et la mathématique sont à ce jour tellement peu discernables que la médaille de Fields (la plus haute récompense de nos jours dans le domaine de la mathématique) a été décernée en 1990 au physicien Edward Witten, qui a utilisé des idées physiques pour redémontrer un théorème mathématique. Cette tendance n'est certainement pas fortuite, car nous pouvons observer que toute science, dès qu'elle cherche à atteindre une compréhension plus détaillée du sujet qu'elle étudie, voit finalement toujours sa course aboutir dans la mathématiques pure (la voie absolue par excellence...). Ainsi, pouvons-nous présager dans un futur lointain, la convergence de toutes les sciences (pures, exactes ou sociales) vers la mathématique pour la modélisation (lire à titre d'exemple le document PDF "L'explosion des mathématiques" disponible dans la rubrique Téléchargement du site).

Il peut parfois nous paraître difficile (à cause d'une crainte aussi obscure et irrationnelle que non justifiée des sciences pures chez une importante fraction de nos contemporains) de transmettre le sentiment de beauté mathématique de la nature, de son harmonie la plus profonde et de la mécanique parfaitement huilée de l'Univers, à ceux qui ne connaissent que les rudiments du calcul formel. Le physicien R. Feynman a parlé un jour de "deux cultures": les gens qui ont, et ceux qui n'ont pas eu une compréhension suffisante des mathématiques pour apprécier la structure scientifique de la nature. Il est bien dommage qu'il y faille cependant des mathématiques et que celles-ci aient aussi mauvaise réputation. Pour l'anecdote, on prétend qu'un roi ayant demandé à Euclide de lui enseigner la géométrie se plaignit de sa difficulté. Euclide répondit: "il n'y a pas de voie royale". Les physiciens et mathématiciens ne peuvent se convertir à un autre langage. Si vous voulez apprendre à connaître la nature, à l'apprécier à sa juste valeur, vous devez comprendre son langage. Elle ne se révèle que sous cette forme et nous ne pouvons être prétentieux au point de lui demander de changer.

Au même titre, aucune discussion intellectuelle ne vous permettra de communiquer à un sourd ce que vous ressentez vraiment en écoutant de la musique. De même, toutes les discussions du monde resteront impuissantes à transmettre une compréhension intime de la nature à ceux de "l'autre culture". Les philosophes et théologiens peuvent essayer de vous donner des idées qualitatives sur l'Univers. Le fait que la méthode scientifique (au sens plein du terme) ne puisse convaincre le monde entier de sa justesse et de sa pureté, trouve peut-être sa cause dans l'horizon limité de certaines gens qui sont amenés à s'imaginer que l'homme ou qu'un autre concept intuitif, sentimental ou arbitraire est le centre de l'Univers (principe anthropocentrique).

Certes, dans le but de partager ce savoir mathématique, il est paradoxal de vouloir augmenter, avec notre travail, la liste déjà longue des ouvrages disponibles dans les bibliothèques, dans le commerce et sur l'Internet. Néanmoins, il faut être en mesure de présenter une argumentation solide qui justifie la création d'un tel site Internet (et son PDF associé) en comparaison à des ouvrages comme ceux de Feynman, Landau ou de Bourbaki. Voici donc les quelques arguments qui paraissent cependant susceptibles d'être présentés:

  1. Le grand plaisir que je prends à cette entreprise ("garder la main" et progresser).
  2. La passion du partage gratuit et sans frontières de la connaissance (et en français...).
  3. Le caractère évolutif et pratique d'un site Internet libre (outils de recherche efficaces).
  4. Le contenu évolutif en fonction de la demande!!!
  5. La présentation rigoureuse avec des démonstrations simplifiées de beaucoup de concepts.
  6. La présentation du plus grand nombre d'outils mathématiques utilisés dans les entreprises.
  7. La possibilité pour les étudiants et professeurs de réutiliser le contenu par copier/coller.
  8. Une notation constante et fixe, dans tout l'ouvrage, pour les opérateurs mathématiques, un langage clair et rigoureux sur tous les sujets abordés (critère des 3.C.: clair, complet et concis).
  9. Rassembler le maximum d'informations sur les sciences pures et exactes en un seul ouvrage électronique (portatif), homogène et rigoureux.
  10. Dégager, de toutes les pseudo-vérités, les seules vérités qui se démontrent.
  11. Tirer bénéfice de l'évolution des méthodes pédagogiques scolaires qui utilisent l'Internet pour chercher la solution à des problèmes de mathématiques.
  12. L'amélioration spectaculaire des logiciels automatiques de traduction et de la puissance des ordinateurs qui feront de ce site Internet (et son PDF associé), je le souhaite, une référence dans les domaines des sciences dures.

Et aussi... je considère que les résultats de la recherche individuelle sont la propriété de l'humanité et qu'ils doivent être mis à la disposition de tous ceux qui explorent où que ce soit les phénomènes de la nature. De cette façon le travail de chacun profite à tous, et c'est pour toute l'humanité que s'amassent nos connaissances ce qui est dans la tendance que permet l'Internet.

Je ne cache pas, que ma contribution se limite en grande partie à ce jour à celle d'un collectionneur qui glane ses informations dans les ouvrages des maîtres ou dans les publications ou pages Internet d'anonymes et qui complète et argumente les développements en les améliorant quand ceci est encore possible. Quant à ceux qui voudraient m'accuser de plagiat, ils devraient réfléchir au fait que les théorèmes présentés dans la plupart des ouvrages payants et disponibles dans le commerce ont été découverts et rédigés par leurs illustres prédécesseurs et que leur propre apport personnel a aussi constitué, comme le mien, à mettre toutes ces informations sous une forme claire et moderne quelques centaines d'années plus tard. De plus, il peut être vu comme douteux que l'on fasse payer l'accès à une culture qui est certainement la seule véritablement valable et juste dans ce bas monde et sur lequel il n'y a ni brevet, ni droit à la propriété intellectuelle.

Ce site Internet (et son PDF associé) reflète aussi mes propres limites intellectuelles. Bien que je m'efforce d'étudier autant de domaines scientifiques et mathématiques que possible, il est impossible bien évidemment de tous les maîtriser. Le site Internet (et son PDF associé) indique clairement mes propres intérêts et expériences en tant que consultant, mais aussi mes points forts et mes points faibles. Je suis responsable du choix des entrées, ainsi que, bien sûr, des éventuelles erreurs, imprécisions, moult raccourcis éhontés et autres imperfections.

Après avoir tenté un ordre de présentation rigoureux (linéaire) du sujet, j'ai décidé d'arranger ce site (et son PDF associé) dans un ordre plus pédagogique (thématique) et toujours avec des exemples d'applications concrets. Il est à mon avis très difficile de parler d'un si vaste sujet dans un ordre purement mathématique en une seule vie, c'est-à-dire lorsque les notions sont introduites une à une, à partir de celles déjà connues (où chaque théorie, opérateur, outil, etc. n'apparaîtrait pas avant sa définition). Un tel plan nécessiterait de couper le site (et son PDF associé), en morceaux qui ne sont plus thématiques. J'ai donc pris la décision de présenter les choses par ordre logique et non par ordre de nécessité. Le lecteur se heurtera donc, comme le rédacteur s'y est heurté, à l'extrême complexité du sujet.

Les conséquences de ce choix sont les suivantes:

  1. Il faudra parfois admettre provisoirement certaines choses, quitte à les comprendre plus tard.
  2. Il sera probablement nécessaire pour le lecteur de parcourir au moins deux fois l'ensemble de l'ouvrage. Lors de la première lecture, on appréhende l'essentiel et lors de la deuxième lecture, on comprend les détails (je félicite celui qui comprendrait toutes les subtilités du premier coup).
  3. Il faut accepter le fait que certains sujets se répètent et qu'il y ait de nombreuses références croisées ainsi que remarques complémentaires.

Certains savent que pour chaque théorème et modèle mathématique, il existe quasiment toujours plusieurs méthodes de démonstration. J'ai toujours tenté de choisir celle qui me semblait la plus simple (par exemple en relativité il y a la présentation algébrique et matricielle et idem en physique quantique). L'objectif étant d'arriver de toute façon au même résultat.

Ce site (et son PDF associé) étant encore en cours de finalisation, il manque forcément des vérifications de convergences, de continuité et autres... (ce qui fera grimper au plafond les mathématiciens...) ! J'ai cependant évité (ou, dans le cas contraire, je le signale) les approximations habituelles de la physique et l'utilisation de l'analyse dimensionnelle, en y ayant recours le moins possible. J'essaie également d'éviter autant que possible des sujets dont les outils mathématiques n'ont pas au préalable été présentés et démontrés avec rigueur dans le corps de l'ouvrage.

Enfin, cet exposé, perfectible, n'est pas une référence absolue et contient des erreurs. Toute remarque est donc la bienvenue. Je m'appliquerai, dans la mesure du possible, à corriger les faiblesses signalées et à apporter les modifications nécessaires au plus vite.

En revanche, alors que la mathématique est exacte et indiscutable, la physique théorique (ses modèles), reste interprétable dans le vocabulaire commun (mais pas dans le vocabulaire mathématique) et ses conclusions toutes relatives. Je ne peux que conseiller, lorsque vous parcourrez ce site (ou son PDF associé), de lire par vous-même et de ne pas subir d'influences extérieures. Il faut avoir l'esprit très (très) critique, ne rien prendre pour acquis et tout remettre en cause sans hésitation. Par ailleurs, le mot d'ordre du bon scientifique doit être: "Doute, doute, doute..., doute encore, et vérifie toujours.". Nous tenons aussi à rappeler que "rien de ce que l'on peut voir, entendre, sentir, toucher ou goûter, n'est ce qu'il a l'air d'être", ne vous fiez dès lors pas à votre expérience quotidienne pour tirer des conclusions trop hâtives, soyez critique, cartésien, rationnel et rigoureux dans vos développements, raisonnements et conclusions!

Je tiens à préciser à ceux qui tenteraient de trouver par eux-mêmes les résultats de certains développements présents sur ce site (ou de son PDF associé), de ne pas s'inquiéter s'ils n'y arrivent pas ou s'ils doutent d'eux à cause du temps passé à la résolution d'une équation ou problème: certaines théories qui nous semblent évidentes ou simples aujourd'hui, ont mis parfois plusieurs semaines, plusieurs mois, voire plusieurs années, pour être élaborées par des mathématiciens ou physiciens de renom!

J'ai également tenté de faire en sorte que ce site (et son PDF associé) soit agréable à l'oeil et à parcourir. Les concepteurs web professionnels voudront cependant bien excuser la mauvaise qualité du code HTML / PHP (qu'ils ne verront pas en partie...) / Javascript / CSS et l'abus de l'utilisation du biseautage et estampage de Photoshop ainsi que le choix d'une interface optimisée pour une résolution de 1024 x 768 et supérieure, mais le temps me manque pour épurer le code et réaliser des finitions graphiques correctes (de plus, je privilégie plutôt la qualité du contenu que le contenant).

Enfin, j'ai choisi d'écrire cet exposé à la première personne du pluriel ("nous"). Effectivement, la mathématique-physique n'est pas une science qui s'est faite ou évoluera grâce à un travail individuel mais à l'aide d'une collaboration intensive entre personnes reliées par la même passion et le même désir du Savoir. Ainsi, en faisant usage du "nous", il est rendu hommage aux hommes de science disparus, aux contemporains et aux futurs chercheurs pour le travail qu'ils effectueront dans le but de s'approcher de la vérité et de la sagesse.

MÉTHODES

La science est l'ensemble des efforts systématiques (observations scrupuleuses et hypothèses vraisemblables jusqu'à preuve du contraire) pour acquérir des connaissances sur notre environnement, pour les organiser et les synthétiser en lois et théories vérifiables et ayant pour principal objectif d'expliquer le "comment" des choses (et non pas le pourquoi!) souvent par une démarche à trois étapes:

- De quoi est-ce que nous disposons?

- Par où va-t-on passer?

- Quel est notre objectif?

Les scientifiques doivent soumettre leurs idées et résultats à la vérification et la reproduction indépendante de leurs pairs. Ils doivent abandonner ou modifier leurs conclusions lorsque confrontées à des évidences plus complètes ou différentes. La crédibilité de la science s'appuie sur ce mécanisme d'autocorrection. L'histoire de la science montre que ce système fonctionne depuis très longtemps et ce même très bien par rapport à tous les autres. Dans chaque domaine, les progrès ont été spectaculaires. Toutefois, le système a parfois des ratés qu'il faut corriger avant que les petites dérives ne s'accumulent.

Le bémol est que les scientifiques sont des êtres humaines. Ils ont les défauts de tous les êtres humaines et, en particulier, la vanité, l'orgueil et la fatuité. De nos jours, il arrive que plusieurs personnes travaillant sur un même sujet depuis un certain temps développent une foi commune et croient qu'ils détiennent la vérité. Le chef de file de cette foi devient le Pape et distille des grands-messes. Le Pape qui se prend au jeu, prend sa mitre et son bâton de pèlerin pour évangéliser ses collègues hérétiques. Jusque-là, cela prête à sourire. Mais, comme dans les vraies religions, ils ont parfois la fâcheuse tendance de vouloir s'étendre au détriment de ceux qui ne croient pas. Certaines de ces "Eglises" n'hésitent pas à se comporter comme l'Inquisition. Ceux qui osent émettre une opinion différente se font incendier à chaque occasion, lors des congrès, voire sur leur lieu de travail. Certains jeunes chercheurs, en mal d'inspiration, préfèrent se convertir à cette religion dominante, pour devenir plus rapidement des dignitaires religieux à peu de frais, plutôt que des chercheurs innovants, voire iconoclastes. Le grand Pape écrit sa Bible pour diffuser sa pensée, l'impose à lire aux étudiants et aux nouveaux venus. Il formate ainsi la pensée des jeunes générations et assure son trône. C'est une attitude moyenâgeuse qui peut bloquer le progrès. Certains Papes vont jusqu'à croire que le fait d'être pris pour le pape dans un domaine leur donne automatiquement le même trône dans tous les autres domaines...

Cet avertissement, et les rappels qui vont suivre, doivent servir le scientifique à se remettre en question en faisant un bon usage de ce que nous pouvons considérer aujourd'hui comme les bonnes méthodes de travail (nous parlerons des principes de la méthode de Descartes plus loin) pour résoudre des problèmes ou développer des modèles théoriques.

Dans ce but, voici un tableau récapitulatif qui propose les différentes étapes que le scientifique devrait suivre lors de ses travaux en mathématique ou physique théorique (pour les définitions, voir juste après):

MATHÉMATIQUE PHYSIQUE

1. Poser "l'hypothèse", la "conjecture" la "propriété" à démontrer de manière formelle ou en langage commun (les hypothèses étant notées H1., H2., ... les conjectures CJ1., CJ2.,... et les propriétés P1., P2., ...).

1. Poser correctement et de manière détaillée le ou les "problèmes" à résoudre de manière formelle ou en langage commun (les problèmes étant notés P1., P2., ...).

2. Définir les "axiomes" (sous-entendu non-démontrables, indépendants et non-contradictoires) qui vont donner les points de départ et établir des restrictions aux développements (les axiomes étant notés A1., A2, ...). 

Remarque: Parfois par abus, "propriétés", "conditions" et "axiomes" sont confondus alors que le concept d'axiome est beaucoup plus précis et profond.

Dans la même idée, le mathématicien définit le vocabulaire spécialisé relié à des opérateurs mathématiques qui seront notés par D1., D2., D3., ...

2. Définir (ou énoncer) les "postulats" ou "principes" ou encore les "hypothèses" et "suppositions" (supposés non démontrables...) qui vont donner les points de départ et établir des restrictions aux développements (habituellement, les postulats et principes sont notés P1., P2., ... et les hypothèses H1., H2., ... en essayant d'éviter pour les postulats et principes, une confusion possible avec l'énoncé du ou des problèmes qui sont notés de la même manière).

Remarque: Il ne faut pas cependant oublier que la validité d'un modèle ne dépend pas du réalisme de ses hypothèses mais bien de la conformité de ses implications avec la réalité.

3. Les axiomes posés, tirer directement des "lemmes" ou des "propriétés" dont la validité en découle directement et qui préparent au développement du théorème censé valider l'hypothèse ou la conjecture de départ (les lemmes étant notés L1., L2., ... et les propriétés P1., P2.,...).

3. Une fois le "modèle théorique" développé vérifier les équations dimensionnelles pour déceler une éventuelle erreur dans les développements (ces vérifications étant notées VA1., VA2., ...).

4. Une fois le ou les "théorèmes" (notés T1., T2., ...) démontrés en tirer des "corollaires" (notés C1., C2., ...) et encore des propriétés (notées P1., P2., P3.,...) ou démontrer la réciproque.

4. Chercher les cas limites (dont les "singularités" font partie) du modèle pour en vérifier la validité intuitive (ces contrôles aux limites étant notés CL1., CL2., ...).

5. Tester la force (robustesse) ou l'utilité de sa ou ses conjectures ou hypothèses en démontrant la réciproque du théorème ou en la comparant avec des exemples à d'autres théories mathématiques pour voir si l'ensemble forme un tout cohérent (les exemples étant notés E1., E2., ...).

5. Tester expérimentalement le modèle théorique et la soumettre à la comparaison par des équipes scientifiques indépendantes. Le nouveau modèle doit permettre d'obtenir de consolider des éléments connus mais surtout d'en prédire de nouveaux. Le modèle doit être falsifiable (une proposition ne peut être jugée scientifique que si elle peut être réfutée). Si le modèle est validé par la communauté alors il peut prendre le nom de "théorie".

6. D'éventuelles remarques peuvent être indiquées dans un ordre structuré et notées hiérarchiquement R1., R2., ...

6. D'éventuelles remarques peuvent être indiquées dans un ordre structuré et notées hiérarchiquement R1., R2., ...

Procéder comme dans le tableau ci-dessus est une base de travail possible pour travailler en mathématique et physique. Évidemment, procéder de façon propre et traditionnelle comme ci-dessus prend un petit plus de temps qu'en faisant un peu n'importe quoi, n'importe comment (c'est pour cela que la plupart des professeurs ne suivent pas ces règles, le temps leur manque cruellement pour couvrir tout le programme scolaire).

Signalons aussi une forme amusante scientifique des 8 commandements:

  1. Les phénomènes tu observeras
    Et jamais mesure tu ne falsifieras
    (attention à l'erreur de confirmation: étudier que des phénomènes qui valident ses convictions)
  2. Des hypothèses tu formuleras
    Que par l'expérimentation tu testeras
  3. L'expérience précisément tu décriras
    Car ton collègue la reproduira
    (attention au piège de la discipline narrative: coller les faits aux résultats désirés)
  4. Fort de tes résultats
    Une théorie tu bâtiras
  5. De parcimonie tu useras
    Et l'hypothèse la plus simple tu retiendras
  6. Jamais vérité définitive ne sera (humilité épistémique)
    Et toujours tu chercheras
  7. D'une thèse non réfutable tu t'abstiendras
    Car hors de la science elle restera
  8. Tout échec sera pris comme une réussite
    Car la science doit confirmer mais aussi infirmer
Remarques:

R1. Attention, il est très facile de faire des nouvelles théories physiques en alignant des mots. Cela s'appelle de la "philosophie" et les grecs ont pensé aux atomes en suivant cette méthode. Cela peut donc mener avec beaucoup de chance à une vraie théorie. Par contre il est bien plus difficile de faire une "théorie prédictive", c'est-à-dire avec des équations qui permettent de prédire le résultat d'une expérience.

R2. Toutefois ce qui sépare la mathématique de la physique est que, en mathématique, l'hypothèse est toujours vraie. Le discours mathématique n'est pas une démonstration d'une vérité extérieure à chercher, mais vise uniquement la cohérence. Ce qui doit être juste est le raisonnement.

Signalons que lorsque ces règles ne sont pas respectées, nous parlons de "fraude scientifique" (ce qui amène souvent à être licencié de son poste mais malheureusement on ne retire pas encore les diplômes quand cela arrive). En général, la fraude scientifique à proprement parler se présente sous trois grandes formes: le plagiat, la fabrication de données et l'altération de résultats défavorables à l'hypothèse avancée, l'omission d'exposition claire des hypothèses de travail et de données récoltées. À ces fraudes s'ajoutent des comportements qui posent problèmes concernant la qualité des travaux ou plus particulièrement à l'éthique, comme ceux visant à augmenter en apparence la production (et par voie de fait la renommée du scientifique) en soumettant par exemple plusieurs fois la même publication en l'ayant un peu modifiée, les défauts de mentions de conflit d'intérêts, les expériences dangereuses, la non conservation des données primaires, etc.

MÉTHODE DE DESCARTES

Présentons maintenant les quatre principes de la méthode de Descartes qui, rappelons-le, est considéré comme le premier scientifique de l'histoire de par sa méthode d'analyse:

P1. Ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse évidemment être telle. C'est-à-dire, d'éviter soigneusement la précipitation et de ne comprendre rien de plus en mes jugements que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n'eusse aucune occasion de le mettre en doute.

P2. De diviser chacune des difficultés que j'examinerais, en autant de parcelles qu'il se pourrait (observations scrupuleuses et hypothèses vraisemblables jusqu'à preuve du contraire), et qu'il serait requis pour les mieux résoudre.

P3. De conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu comme par degrés jusqu'à la connaissance des plus composés, et supposant même de l'ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres.

P4. Faire partout des dénombrements si entiers et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre.

SERMENT D'ARCHIMÈDE

Sur le modèle du serment d'Hippocrate, un groupe d'étudiants de l'École Polytechnique Fédérale de Lausanne (E.P.F.L.) a élaboré en 1990 un serment d'Archimède exprimant les responsabilités et les devoirs de l'ingénieur et du technicien. Il a été repris sous diverses versions par d'autres écoles d'ingénieurs européennes et pourrait servir d'inspiration de base comme serment pour les chercheurs en science (il manque cependant quelques points comme, dans la médecine, d'être radié de l'ordre des scientifiques en cas de tromperie grave).

« Considérant la vie d'Archimède de Syracuse qui illustra dès l'Antiquité le potentiel ambivalent de la technique, considérant la responsabilité croissante des ingénieurs et des scientifiques à l'égard des hommes et de la nature, considérant l'importance des problèmes éthiques que soulèvent la technique et ses applications, aujourd'hui, je prends les engagements suivants et m'efforcerai de tendre vers l'idéal qu'ils représentent:

  • Je pratiquerai ma profession pour le bien des personnes, dans le respect des Droits de l'Homme et de l'environnement.
  • Je reconnaîtrai, m'étant informé au mieux, la responsabilité de mes actes et ne m'en déchargerai en aucun cas sur autrui.
  • Je comprends que mon travail peut avoir des impacts considérables sur la société et l'économie et ce bien au delà de ma compréhension.
  • Je m'appliquerai à parfaire mes compétences professionnelles.
  • Dans le choix et la réalisation de mes projets, je resterai attentif à leur contexte et à leurs conséquences, notamment des points de vue technique, économique, social, écologique…
  • Je porterai une attention particulière aux projets pouvant avoir des fins militaires.
  • Je contribuerai, dans la mesure de mes moyens, à promouvoir des rapports équitables entre les hommes et à soutenir le développement des pays économiquement faibles.
  • Je transmettrai, avec rigueur et honnêteté, à des interlocuteurs choisis avec discernement, toute information importante, si elle représente un acquis pour la société ou si sa rétention constitue un danger pour autrui. Dans ce dernier cas, je veillerai à ce que l'information débouche sur des dispositions concrètes.
  • Je ne me laisserai pas dominer par la défense de mes intérêts ou ceux de ma profession.
  • Je m'efforcerai, dans la mesure de mes moyens, d'amener mon entreprise à prendre en compte les préoccupations du présent Serment.
  • Je pratiquerai ma profession en toute honnêteté intellectuelle, avec conscience et dignité.

Je le promets solennellement, librement et sur mon honneur. »

VOCABULAIRE

La physique-mathématique, comme tout domaine de spécialisation, a son vocabulaire propre. Afin que le lecteur ne soit pas perdu dans la compréhension de certains textes qu'il pourra lire sur ce site (et son PDF associé), nous avons choisi d'exposer ici les quelques termes, abréviations et définitions fondamentaux à connaître.

Ainsi, le mathématicien aime bien terminer ses démonstrations (quand il pense qu'elles sont justes) par l'abréviation "C.Q.F.D" qui signifie "Ce Qu'il Fallait Démontrer" ou encore dans les hautes écoles par souci d'esthétisme et de traditions certains professeurs (et mêmes élèves) notent cela en latin "Q.E.D" qui signifie "Quod Erat Demonstrandum" (cela en jette...).

Et lors de définitions (elles sont nombreuses en mathématique et physique...) le scientifique fait souvent usage des terminologies suivantes:

- ... il suffit que ...

- ... si et seulement si ...

- ... nécessaire et suffisant ...

- ... signifie que ...

Les quatre ne sont pas équivalentes (identiques au sens strict). Car "il suffit que" correspond à une condition suffisante, mais pas à une condition nécessaire.

SUR LES SCIENCES

Il est important que nous définissions rigoureusement les différents types de sciences auxquelles l'être humain fait souvent référence. Effectivement, il semble qu'au 21ème siècle un abus de langage malsain s'instaure et qu'il ne devienne plus possible pour la population de distinguer la "qualité intrinsèque" d'une science d'une autre.

Remarque: Etymologiquement le mot "science" vient du latin "scienta" (connaissance) dont la racine est le verbe "scire" qui veut dire "savoir".

Cet abus de langage vient probablement du fait que les sciences pures et exactes perdent leurs illusions d'universalité et d'objectivité, dans le sens où elles s'auto-corrigent. Ceci ayant pour conséquence que certaines sciences sont reléguées au second plan et tentent d'en emprunter les méthodes, les principes et les origines pour créer une confusion. Il faut ainsi être très prudent au sujet des prétentions de scientificité en sciences humaines, et cela vaut également (ou surtout) pour les courants dominants en économie, en sociologie et en psychologie. Tout simplement, les problèmes traités par les sciences humaines sont extrêmement complexes, peu reproductibles, et les arguments empiriques étayant leurs théories sont souvent assez faibles.

En soi, la science cependant ne produit pas de vérité absolue. Par principe, une théorie scientifique est valable tant qu'elle permet de prédire des résultats mesurables et reproductibles. Mais les problèmes d'interprétation de ces résultats font partie de la philosophie naturelle.

Étant donné la diversité des phénomènes à étudier, au cours des siècles s'est constitué un nombre grandissant de disciplines comme la chimie, la biologie, la thermodynamique, etc. Toutes ces disciplines a priori hétéroclites ont pour socle commun la physique, pour langage la mathématique et comme principe élémentaire la méthode scientifique.

Ainsi, un petit rafraîchissement de mémoire peut être utile:

Définitions:

D1. Nous définissons par "science pure", tout ensemble de connaissances fondées sur un raisonnement rigoureux valable quel que soit le facteur (arbitraire) élémentaire choisi (nous disons alors "indépendant de la réalité sensible") et restreint au minimum nécessaire. Il n'y a que la mathématique (appelée souvent "reine des sciences") qui peut être classifiée dans cette catégorie.

D2. Nous définissons par "science exacte" ou "science dure", tout ensemble de connaissances fondées sur l'étude d'une observation, observation qui aura été transcrite sous forme symbolique (physique théorique par exemple). Principalement, le but des sciences exactes est non d'expliquer le "pourquoi" mais le "comment".

Attention! Il n'y a aucun doute que les sciences exactes jouissent pour l'instant d'un prestige énorme, y compris parmi leur détracteurs, à cause de leurs succès théoriques et pratiques. Il est certain que certains scientifiques abusent parfois de ce prestige en exhibant un sentiment de supériorité non nécessairement justifié. De plus, il arrive assez souvent que des scientifiques exposent, dans la littérature de vulgarisation, des idées fort spéculatives comme si elles étaient bien étables, ou extrapolent leurs résultats en dehors du contexte où ils ont été vérifiés (et encore... à condition qu'elles aient été vérifiées un jour...).

Remarque: Les deux définitions précédentes sont souvent incluses dans la définition de "sciences déductives" ou encore de "sciences phénoménologiques".

D3. Nous définissons par "science de l'ingénieur", tout ensemble de connaissances théoriques ou pratiques appliquées aux besoins de la société humaine tels que: l'électronique, la chimie, l'informatique, les télécommunications, la robotique, l'aérospatiale, biotechnologies...

D4. Nous définissons par "science" tout ensemble de connaissances fondées sur des études ou observations de faits dont l'interprétation n'a pas encore été retranscrite ni vérifiée avec la rigueur mathématique, caractéristique des sciences qui précèdent, mais qui applique des raisonnements comparatifs statistiques. Nous incluons dans cette définition: la médecine (il faut cependant prendre garde au fait que certaines parties de la médecine étudient des phénomènes descriptifs sous forme mathématique tels que les réseaux de neurones ou autres phénomènes associés à des causes physiques connues), la sociologie, la psychologie, l'histoire, la biologie...

Selon le philosophe Karl Popper, une théorie n'est scientifiquement acceptable que si, telle qu'elle est présentée, elle peut être falsifiable, c'est à dire soumise à des tests expérimentaux. La "connaissance scientifique" est ainsi par définition l'ensemble des théories qui ont jusqu'alors résisté à la falsification. La science est donc par nature soumise en permanence à la remise en question.

D5. Nous définissons par "science molle" ou "para-sciences", tout ensemble de connaissances ou de pratiques qui sont actuellement fondées sur des faits invérifiables (non reproductibles scientifiquement) ni par l'expérience, ni par la mathématique. Nous incluons dans cette définition: l'astrologie, la théologie, le paranormal (qui est démoli par la science zététique), la graphologie...

D6. Nous définissons par "sciences phénoménologiques" ou "sciences naturelles", toute science qui n'est pas inclue dans les définitions précédentes (histoire, sociologie, psychologie, zoologie, biologie,...)

D7. Le "scientisme" est une idéologie selon laquelle la science expérimentale est le seul mode de connaissance valable, ou, du moins, supérieur à toutes les autres formes d'interprétation du monde. Dans cette perspective, il n'existe pas de vérités philosophiques, religieuses ou morales supérieures aux théories scientifiques. Seul compte ce qui est scientifiquement démontré.

D8. Le "positivisme" désigne un ensemble de courants qui considère que seules l'analyse et la connaissance des faits réels vérifiés par l'expérience peuvent expliquer les phénomènes du monde sensible. La certitude en est fournie exclusivement par l'expérience scientifique. Il rejette l'introspection, l'intuition et toute approche métaphysique pour expliquer la connaissance des phénomènes.

Ce qui est intéressant dans cette doctrine, c'est que c'est certainement une des seules qui demande aux gens de devoir réfléchir par eux-mêmes et de comprendre l'environnement qui les entoure en remettant continuellement tout en question et sans ne jamais rien accepter comme acquis (...). De plus, les vraies sciences ont ceci d'extraordinaire qu'elles permettent de comprendre au-delà de ce que nous pouvons voir.

Mais enfin, la science, c'est la science, et rien de plus: une certaine mise en ordre, pas trop mal réussie, des choses qui ne conduit plus à la métaphysique comme du temps d'Aristote, mais qui n'a pas le prétention de nous livrer toute la réalité ni même le fond des choses visibles.

TERMINOLOGIE

Le tableau méthodique que nous avons présenté plus haut contient des termes qui peuvent peut-être vous sembler inconnus ou barbares. C'est la raison pour laquelle il nous semble fondamental de présenter les définitions de ces derniers, ainsi que de quelques autres tout aussi importants qui peuvent éviter des confusions malheureuses.

Définitions:

D1. Au-delà de son sens négatif, l'idée de "problème" renvoie à la première étape de la démarche scientifique. Formuler un problème est ainsi essentiel à sa résolution et permet de comprendre correctement ce qui fait problème et de voir ce qui doit être résolu.

Le concept de problème est intimement relié au concept "d'hypothèse" dont nous allons voir la définition ci-dessous.

D2. Une "hypothèse" est toujours, dans le cadre d'une théorie déjà constituée ou sous-jacente, une supposition en attente de confirmation ou d'infirmation qui tente d'expliquer un groupe de faits ou de prévoir l'apparition de faits nouveaux.

Ainsi, une hypothèse peut être à l'origine d'un problème théorique qu'il faudra formellement résoudre.

D3. Le "postulat" en physique correspond fréquemment à un principe (voir définition ci-dessous) dont l'admission est nécessaire pour établir une démonstration (nous sous-entendons que cela est une proposition non-démontrable).

L'équivalent mathématique (mais en plus rigoureux) du postulat est "l'axiome" dont nous verrons la définition plus loin.

D4. Un "principe" (parent proche du "postulat") est donc une proposition admise comme base d'un raisonnement ou une règle générale théorique qui guide la conduite des raisonnements qu'il faudra effectuer. En physique, il s'agit également d'une loi générale régissant un ensemble de phénomènes et vérifiée par l'exactitude de ses conséquences.

Remarque: le mot "principe" est utilisé avec abus dans les petites classes ou écoles d'ingénieurs par les professeurs ne sachant (ce qui est très rare), ou ne voulant (plutôt fréquent), ou ne pouvant faute de temps (quasi exclusivement), pas démontrer une relation.

L'équivalent du postulat ou du principe en mathématiques est "l'axiome" que nous définissons ainsi:

D5. Un "axiome" est une vérité ou proposition évidente par elle-même dont l'admission est nécessaire pour établir une démonstration.

Remarques:

R1. Nous pourrions dire que c'est quelque chose que nous posons comme une vérité pour le discours que nous nous proposons de tenir, comme une règle du jeu, et qu'elle n'a pas forcément par ailleurs une valeur de vérité universelle dans le monde sensible qui nous entoure.

R2. Les axiomes doivent toujours être indépendants (on ne doit pas pouvoir démontrer l'un à partir de l'autre) et non contradictoires (nous disons également parfois qu'ils doivent être "consistants").

D6. Le "corollaire" est un terme malheureusement quasi inexistant en physique (à tort !) et qui est en fait une proposition résultant d'une vérité déjà démontrée. Nous pouvons également dire qu'un corollaire est une conséquence nécessaire et évidente d'un théorème (ou parfois d'un postulat en ce qui concerne la physique).

D7. Un "lemme" constitue une proposition déduite d'un ou de plusieurs postulats ou axiomes et dont la démonstration prépare celle d'un théorème.

Remarque: Le concept de "lemme" est lui aussi (et c'est malheureux) quasi réservé aux mathématiques.

D8. Une "conjecture" constitue une supposition ou opinion fondée sur la vraisemblance d'un résultat mathématique.

Remarque: Beaucoup de conjectures jouent un rôle un peu comparable à des lemmes, car elles sont des passages obligés pour obtenir d'importants résultats.

D9. Par-delà son sens faible de conjecture, une "théorie" ou "théorème" est un ensemble articulé autour d'une hypothèse et étayé par un ensemble de faits ou développements qui lui confèrent un contenu positif et rendent l'hypothèse bien fondée (ou tout au moins plausible dans le cas de la physique théorique)

D10. Une "singularité" est une indétermination d'un calcul qui intervient par l'apparition d'une division par le nombre zéro. Ce terme est aussi bien utilisé en mathématique qu'en physique.

D11. Une "démonstration" constitue un ensemble de procédures mathématiques à suivre pour démontrer le résultat déjà connu ou non d'un théorème.

D12. Si le mot "paradoxe" signifie étymologiquement: contraire à l'opinion commune, ce n'est cependant pas par pur goût de la provocation, mais bel et bien pour des raisons solides. Le "sophisme" quant à lui, est un énoncé volontairement provocateur, une proposition fausse reposant sur un raisonnement apparemment valide. Ainsi parle-t-on du fameux "paradoxe de Zénon", alors qu'il ne s'agit que d'un sophisme. Le paradoxe ne se réduit pas à de la fausseté, mais implique la coexistence de la vérité et de la fausseté, au point qu'on ne parvient plus à discriminer le vrai et le faux. Le paradoxe apparaît alors problème insoluble ou "aporie".

Remarque: Ajoutons que les grands paradoxes, par les interrogations qu'ils ont suscitées, ont fait progresser la science et amené des révolutions conceptuelles de grande ampleur, en mathématique comme en physique théorique (les paradoxes sur les ensembles et sur l'infini en mathématique, ceux à la base de la relativité et de la physique quantique).

SCIENCE ET FOI

Nous verrons qu'en science, une théorie est normalement incomplète, car elle ne peut décrire exhaustivement la complexité du monde réel. Il en est ainsi de toutes les théories, comme celle du Big Bang (cf. chapitre d'Astrophysique) ou de l'évolution des espèces (cf. chapitre de Dynamique Des Populations ou de Théorie Des Jeux) ne serait-ce que parce qu'elles ne sont pas reproductibles dans des conditions identiques.

Il convient de distinguer différents courants scientifiques:

- Le "réalisme" est une doctrine où les théories physiques ont pour objectif de décrire la réalité telle qu'elle est en soi, dans ses composantes inobservables.

- "L'instrumentalisme" est une doctrine où les théories sont des outils servant à prédire des observations mais qui ne décrivent pas la réalité en soi.

- Le "fictionnalisme" est le courant où le contenu référentiel (principes et postulats) des théories est un leurre, utile seulement pour assurer l'articulation linguistique des équations fondamentales.

Même si aujourd'hui les théories scientifiques ont le soutien de beaucoup de spécialistes, les théories alternatives ont des arguments valables et nous ne pouvons totalement les écarter. Pour autant, la création du monde en 7 jours décrite par la Bible ne peut plus être perçue comme un possible, et bien des croyants reconnaissent qu'une lecture littérale est peu compatible avec l'état actuel de nos connaissances et qu'il est plus sage de l'interpréter comme une parabole. Si la science ne fournit jamais de réponse définitive, il n'est plus possible de ne pas en tenir compte.

La foi (qu'elle soit religieuse, superstitieuse, pseudo-scientifique ou autre) a au contraire pour objectif de donner des vérités absolues d'une toute autre nature puisqu'elle relève d'une conviction personnelle invérifiable. En fait, l'une des fonctions des religions est de fournir du sens à des phénomènes qui ne sont pas explicables rationnellement. Les progrès de la connaissance entraînent donc parfois une remise en cause des dogmes religieux par la science.

A contrario, sauf à prétendre imposer sa foi (qui n'est autre qu'une conviction intimement personnelle et subjective) aux autres, il faut se défier de la tentation naturelle de qualifier de fait scientifiquement prouvé les extrapolations des modèles scientifiques au-delà de leur champ d'application.

Le mot "science" est, comme nous l'avons déjà mentionné plus haut, de plus en plus utilisé pour soutenir qu'il existe des preuves scientifiques là où il n'y a que croyance (certaines pages web de ce genre prolifèrent de plus en plus). Selon ses détracteurs c'est le cas, par exemple, du mouvement de scientologie (mais il y en a beaucoup d'autres). Selon ces derniers, nous devrions plutôt parler de "sciences occultes".

Les sciences occultes et sciences traditionnelles existent depuis l'Antiquité; elles consistent en un ensemble de connaissances et de pratiques mystérieuses ayant pour but de pénétrer et dominer les secrets de la nature. Au cours des derniers siècles, elles ont été progressivement exclues du champ de la science. Le philosophe Karl Popper s'est longuement interrogé sur la nature de la démarcation entre science et pseudoscience. Après avoir remarqué qu'il est possible de trouver des observations pour confirmer à peu près n'importe quelle théorie, il propose une méthodologie fondée sur la réfutabilité. Une théorie doit selon lui, pour mériter le qualificatif de "scientifique", pouvoir garantir l'impossibilité de certains événements. Elle devient dès lors réfutable, donc (et alors seulement) apte à intégrer la science. Il suffirait en effet d'observer un de ces événements pour invalider la théorie, et s'orienter par conséquent sur une amélioration de celle-ci.

Enfin, citons Lavoisier: "Le physicien peut aussi, dans le silence de son laboratoire et de son cabinet, exercer des fonctions patriotiques; il peut espérer par ses travaux diminuer la masse des maux qui affligent bonheur et, n'eût-il contribué, par les routes nouvelles qu'il s'est ouvertes, qu'à prolonger de quelques années, de quelques jours, la vie moyenne des hommes, il pourrait aspirer aussi au titre glorieux de bienfaiteur de l'humanité."


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THEORIE DE LA DEMONSTRATION


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