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Ingénierie

73. GÉNIE AÉROSPATIAL

Dernière mise-à-jour de ce chapitre: 27.04.2012 16:13
Version: 2.2 Revision 2 | Rédacteur: Vincent Isoz | Avancement: ~20%

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Dans ce chapitre, nous allons voir quelques cas pratiques mathématiques utiles et simples de ce que nous avons étudié dans les chapitres de Mécanique Classique et d'Astronomie dans le cadre du Génie Aérospatial qui est donc la discipline scientifique qui rassemble les techniques de l'aéronautique (déplacement dans l'atmosphère, utilisant des avions ou des hélicoptère par exemple) et celles de l'astronautique (déplacements spatiaux, c'est-à-dire trajets hors atmosphère et interplanétaires, en utilisant des navettes spatiales ainsi que des fusées).

Le lecteur découvrira certainement qu'il s'agit au fait que d'exemples que nous trouvons souvent dans les livres scolaires en tant qu'exercices.

ÉQUATION FONDAMENTALE DE LA PROPULSION

Un lanceur spatial a pour mission de placer une charge en orbite, pour cela il doit fonctionner dans l'atmosphère et le vide. Les principes utilisés sont ceux de l'action et de la réaction de Newton, et de la conservation de la quantité de mouvement : grossièrement nous pouvons affirmer qu'une fusée accélère en éjectant des gaz à grande vitesse (le ballon baudruche qui se dégonfle donne une bonne idée du phénomène). Après une étude mécanique simple, nous pouvons obtenir l'équation fondamentale de la propulsion.

En considérant les différentes parties mobiles et indépendantes de la fusée (en fait la structure principale séparément des gaz éjectés), nous pouvons affirmer à l'aide du principe d'action et réaction (cf. chapitre de Mécanique classique) pour un système donné, la somme des forces extérieures est:

(73.1)

Ainsi, en prenant le système fusée et gaz ensembles, nous avons:

(73.2)

Soit que:

(73.3)

Le principe de la propulsion s'énonce alors grâce à la conservation de la quantité de mouvement, que nous avons établie.

Considérons une fusée de masse m et de vitesse , la vitesse d'éjection des gaz étant . Au temps t, nous avons:

(73.4)

au temps t+dt nous avons:

(73.5)

mais le dm est une perte de masse donc il faut changer son signe sinon la relation précédente ne correspond pas à l'interprétation de la réalité. Ainsi:

d'après le principe de conservation de la quantité de mouvement:

(73.1)

d'où après simplification:

(73.2)

d'où:

(73.3)

ce qui par intégration donne "l'équation fondamentale de la propulsion" pour une fusée hors champ de gravité et dans le vide à vitesse d'éjection constante des gaz...:

equation (73.4)

Nous en déduisons donc qu'un lanceur accélère d'autant plus que la vitesse des gaz est grande, que la poussée dépend de la quantité de gaz fournis et de leur vitesse, et le rapport des masses initiale et finale doit être maximum pour favoriser la propulsion, c'est-à-dire que la structure du système est voulue négligeable (la masse finale est alors minimale).

Cependant, dans un champ gravitationnel, il faut ajouter le terme qui freine la fusée et qui donnera donc l'expression:

(73.5)

si nous supposons la gravité g comme constante pendant la phase d'accélération principale. Cette dernière relation serait parfois appelée "formule de Tsiolkovski".

Exemple:

La fusée Saturne 5 a une poussée totale d'environ et, au départ, une masse totale de 3'038 tonnes. Le premier étage consomme 2'000 tonnes de carburant en comburant en 150 [s] (seulement le premier étage!). La vitesse d'éjection des gaz est de .

Si nous négligeons le poids propre de la cellule du premier étage, la vitesse en fin de combustion, calculée à partir de la dernière relation, donne:

(73.6)

soit environ 55% d'erreur par rapport à la vraie valeur de (ce qui est normal avec toutes les hypothèses simplificatrices que nous avons faites...).

La valeur théorique de l'altitude atteinte, même si son expression est très simple à déterminer, est tellement fausse que cela ne vaut pas la peine d'en faire mention.

Les navettes ne vont donc pas à la vitesse de libération avec qu'un seul étage de propulsion et même... elles n'ont souvent comme seul objectif d'aller seulement à la vitesse de mise en orbite basse... La navette n'est pas libérée de l'attraction terrestre, loin de là!

ORBITE GÉOSTATIONNAIRE

L'orbite géostationnaire est une orbite située à 35'786 km d'altitude au-dessus de l'équateur de la Terre, dans le plan équatorial et d'une excentricité orbitale nulle. C'est un cas particulier de l'orbite géosynchrone (dans le cas contraire la période orbitale correspond toujours à la durée de la révolution de la Terre mais l'orbite s'écarte également au Nord et au Sud de l'équateur en décrivant un analemme dans le ciel lorsqu'il est observé depuis un point fixe de la surface de la Terre).

Cette caractéristique est particulièrement importante pour les satellites de télécommunications ou de diffusion de télévision. La position du satellite semblant immobile, un équipement de réception muni d'une antenne fixe pointant dans la direction du satellite géostationnaire suffira pour capter ses émissions. Cette orbite est également utilisée pour l'observation de la Terre depuis une position fixe dans l'espace comme c'est le cas pour les satellites météorologiques géostationnaires.

Les satellites géostationnaires sont donc nécessairement situés à la verticale ou au zénith d'un point de l'équateur ou, en d'autres termes, situés dans le plan équatorial de la Terre.

Pour calculer la position de l'orbite géostationnaire, nous allons d'abord utiliser la seconde loi de Newton (cf. chapitre de Mécanique Classique):

(73.7)

et nous avions démontré dans le chapitre de Mécanique Classique que lorsque le mouvement est circulaire, nous avons:

(73.8)

Et nous allons utiliser la loi de la gravitation présentée dans le chapitre de Mécanique Classique (et démontrée dans le chapitre de Relativité Générale):

(73.9)

Nous allons utiliser ces relations avec la masse de la Terre , la masse du satellite, le rayon de la Terre à l'équateur en moyenne, h la hauteur du satellite par rapport au sol et v la vitesse du satellite.

Sur l'orbite géostationnaire, il y a donc équilibre entre les forces de gravitation et la force centrifuge du satellite et la force d'attraction gravitationnelle de la planète. Nous pouvons donc écrire:

(73.10)

En adoptant les notations citées précédemment cela donne donc:

equation (73.11)

Nous voyons que la masse du satellite se simplifie. Donc l'orbite géostationnaire en est indépendante! Il est important aussi de noter que puisque la vitesse v est après simplification indépendante la masse du satellite pour une orbite circulaire, alors un astronaute à l'intérieur de celui-ci aura la même vitesse et sera donc en apesanteur à l'intérieur de celui-ci (il en va de même pour tous les objets proches à l'intérieur ou à l'extérieur du satellite).

La vitesse pour une trajectoire circulaire est le rapport de la circonférence du cercle sur la période de temps nécessaire pour le parcourir en entier. Nous avons donc:

(73.12)