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Ingénierie

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72. GÉNIE CIVIL

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:23:42 | {oUUID 1.795}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Le Génie Civil représente l'ensemble des techniques concernant les constructions civiles et les outils qui y sont associés. Les ingénieurs civils s'occupent eux de la conception, de la réalisation, de l'exploitation et de la réhabilitation d'ouvrages de construction et d'infrastructures urbaines dont ils assurent la gestion afin de répondre aux besoins de la société, tout en assurant la sécurité du public et la protection de l'environnement en théorie. Très variées et intéressantes, leurs réalisations se répartissent principalement dans cinq grands domaines d'intervention: structures, géotechnique, hydraulique, transport, et environnement. Comme à l'habitude sur ce site, nous allons nous concentrer uniquement sur la formalisation mathématique de cas très courants et qui ont une application pratique dans la vie de tous les jours

Signalons qu'en génie civil, il est parfois fait usage du calcul des surfaces minimales. Ceci est déjà traité par un exemple concret dans le chapitre de Mécanique Analytique. En ce qui concerne les efforts des poutres à la chaleur, ceci est déjà traité aussi dans le chapitre de Thermodynamique.

Nous allons nous limiter dans ce chapitre à des calculs démontrables de manière précise et non à des formules expérimentales afin d'avoir une introduction générale aux techniques du génie civil et de se familiariser avec le langage et certaines méthodes de calcul utilisées par les ingénieurs dans ce domaine. Dans la pratique, les ingénieurs en génie civil font usage d'un paquet de normes avec formules incluant des coefficients ou basées sur des tables ou encore des cartes géographiques. Par exemple, en Suisse, les ingénieurs en génie civil se réfèrent aux normes SIA (Société suisse des Ingénieurs et des Architectes) qui contiennent entre autres ces fameuses formules. L'approche théorique est évidemment insuffisante et toute formation dans ce domaine doit être complétée par des travaux pratiques en laboratoire.

Remarque: Il serait prétentieux de prétendre dans le présent chapitre vouloir faire aussi bien et complet que le PDF gratuit de Statique de Nicolet Gaston Raymond qui est inégalable en matière de contenu et de qualité à ce jour (même comparés aux ouvrages payants sur le sujet!). Il est donc fortement recommandé au lecteur de s'y référer s'il veut une information complète sur le génie civil (voir la section de téléchargement du site).

STATIQUE

Le génie civil utilise énormément la statique pour la construction. Nous n'allons donc pas récrire ici tout le chapitre de Mécanique Classique avec le principe fondamental de la statistique et tout ce qui va avec, ni l'analyse statique des poutres déjà effectuée dans le chapitre de Génie Mécanique, mais seulement présenter quelques aspects applicatifs du principe.

Pour commencer ce chapitre, intéressons-nous au moins au plus petit cas non trivial que l'on rencontre dans la pratique. Nous souhaiterions poser contre un mur un objet massif et nous souhaiterions savoir la force que devra supporter ce mur. Nous pouvons représenter cela basiquement par le schéma suivant:

equation
Figure: 72.1 - Objet massif contre un mur

Pour que le mur tienne, il faut (mais n'est pas une condition suffisante, elle est juste nécessaire) que le moment de force de la gravité égalise le moment de force du mur. Nous avons alors:

equation   (72.1)

d'où:

equation   (72.2)

In extenso, il faut que les fondations du mur soient aptes à contrer le moment de force opposé.

POULIES

Dans le cadre de la statique des forces, il y a un exemple industriel qui est fameux et que nous croisons quasiment toutes les semaines en marchant ou en roulant devant des chantiers (grues), des gares (tendeurs), des ports (bateaux) ou en allant dans des salles de fitness ou garages: la poulie! Son origine est encore une idée d'Archimède (paraît-il...) qui l'appliqua pour le déplacement de grosses masses nécessaires dans divers chantiers de son époque. La relation avec le génie civil est donc toute justifiée! Voyons donc cela de plus près (exceptionnellement il y a très peu d'équations).

Considérons la situation suivante appelée "poulie simple fixe" avec une masse de 10 [Kg] (soit une force de 100 [N] avec la gravité terrestre arrondie à la dizaine la plus proche) accrochée une corde glissée dans la gouttière d'une poulie:

equation
Figure: 72.2 - Poulie simple fixe(source: Wikipédia)

Une poulie simple fixe n'a l'avantage mécanique que de pouvoir exercer la force dans une direction différente à celle du déplacement, la force qui doit être appliquée est la même que celle qui est requise pour déplacer l'objet sans la poulie!

Le point d'ancrage de la poulie doit lui supporter la force nécessaire au déplacement de l'objet plus la force de traction, soit environ deux fois cette force au pire. Sinon le charge totale que doit supporter le point d'ancrage est fonction de "l'angle de tire" du cordage (compris entre 90° et 180°) bien évidemment:

equation
Figure: 72.3 - Angle de tire à 180°

Pour un angle de 180° le coefficient de charge est de 200%. Une charge de 10 [Kg] sur le cordage représente une charge de 20 [Kg] sur la poulie.

equation
Figure: 72.4 - Angle de tire à 90°

Pour un angle de 90°, le coefficient de charge est de 140%. Une charge de 10 [Kg] représente une charge de 14 [Kg] sur la poulie.

Considérons maintenant une situation où nous fixons une extrémité de la corde au support et de tirer avec l'autre extrémité, pour déplacer à la fois la poulie et la charge de 10 [Kg]. Cette configuration est appelée "poulie simple mobile" ou "poulie inversée" (la légende veut dit que c'est ce système qu'Archimède utilisa pour tirer un bateau):

equation
Figure: 72.5 - Poulie simple mobile (source: Wikipédia)

Au fait dans ce système (mis en place à la verticale ou à l'horizontale peu importe!) c'est comme s'il y avait deux individus qui se partageaient l'effort du déplacement: le mur et la partie libre de la corde (celle qui est tirée).

La poulie simple mobile permet donc de réduire la force nécessaire au déplacement de moitié (le point d'ancrage supportant l'autre moitié) et en rajoutant ainsi des poulies mobiles, nous continuons à diviser l'action à exercer! C'est bête mais il fallait y penser!

Ce système par contre nécessite un déplacement de l'extrémité de corde tirée du double de la distance du déplacement de la charge et ce indépendamment du rayon de la poulie.

Indiquons aussi que plus la poulie à un rayon grand, plus le moment de force le sera aussi! Donc dans le cas de très lourdes charges nous privilégieront de grands rayons pour les poulies si le système qui tire ne peut fournir qu'une faible force.

Une configuration plus réaliste (car nous allons rarement nous placer au-dessus du point d'ancrage pour tirer la corde et en plus le système précédent est peu stable mécaniquement parlant...) de la poulie libre présentée ci-dessus est la suivante:

equation
Figure: 72.6 - Poulie simple fixe et mobile mixte (source: Wikipédia)

Évidemment, quand nous représentons des systèmes comme ceux-ci dans les cas scolaires, nous négligeons de manière simplificatrice la masse des poulies elles-mêmes qu'il faudrait en toute rigueur prendre en compte!

Quand nous utilisons des systèmes de plusieurs poulies qui travaillent ensemble, nous disons que nous avons une configuration de "poulies composées". La configuration de ce type la plus commune est le "palan": les poulies sont distribuées en deux groupes (ou moufle), l'un fixe, l'autre mobile:

equation
Figure: 72.7 - Système de poulies combinées fixes et mobiles (source: Wikipédia)

Dans chaque groupe nous installons un nombre arbitraire de poulies qui démultiplient donc d'un même facteur la charge initiale. La charge est bien évidemment unie au groupe mobile.

Nous avons donc 25 [N] au bout de la corde. Le lecteur peut donc chercher à s'amuser à trouver les 4 points d'accroches dans l'illustration précédente et les deux poulies qui divisent chacune par deux la force nécessaire... Si jamais voici la même configuration mais représentée sous une formé "dépliée":

equation
Figure: 72.8 - Système déplié de poulies combinées fixes et mobiles (source: Wikipédia)

Nous voyons déjà que la grosse poulie supérieure ne sert à rien excepté à changer la direction de la force de tirage. Au fait, les deux poulies qui servent à diviser chacune la force par deux sont les deux inférieures, le reste n'étant là que par commodité pour le mouvement de la corde.

Rappelons au lecteur qu'en réalité il faudrait prendre en compte les frottements de la corde sur la poulie (science de la tribologie) et que nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Classique que la force (tension) réelle d'une extrémité par rapport à l'autre était donnée par:

equation   (30.3)

et donc que la force (tension) réelle utile pour soulever un poids était donnée par:

equation   (30.4)

Donc la force (tension) fourni pour soulever l'objet étant T2, la force (tension réelle) soulevant le poids étant T1, la différence donne la force (tension) faisant tourner la poulie par l'intermédiaire du frottement. Nous avons alors:

equation   (30.5)

Le moment de force de la poulie de rayon R est alors:

equation   (30.6)

Voyons une application connue des poulies dans certaines gares ferroviaires:

equation
Figure: 72.9 - Système réel de poulies combinées fixes et mobiles

Il s'agit d'un palan pour tendre les câbles électriques avec un contrepoids non visible sur la photographie (en bas à droite) qui assure une certaine force donc une certaine tension. L'avantage de ce système est qu'il permet de rajouter des poids au fur et à mesure que le câble se détend et ceux-ci sont alors quatre fois plus élevés au niveau du câble électrique grâce aux deux poulies mobiles (à gauche). Les poulies à droite ne sont là que par commodité pour le mouvement de la corde et la direction de tirage en ce qui concerne la poulie à l'extrémité droite.

Dans le cas d'un levage horizontal ou vertical, il est facile de déterminer le rapport de démultiplication D. Effectivement, si nous considérons F la force nécessaire pour soulever l'objet d'une hauteur h en tirant la corde sur une longueur d et equation la force de gravitation sur la masse tirée, nous avons alors en négligeant les frottements et le poids des poulies mobiles:

equation   (72.7)

Enfin, remarquons qu'il est possible de jouer avec le rayon de la poulie de déviation pour diminuer la force à fournir tout en gardant constant le moment de force (nous parlons alors de "palan différentiel") mais au final l'énergie dépensée restera toujours la même pour soulever un objet à une même hauteur (et il faudra tirer la corde encore plus pour soulever la charge à la même hauteur).

SPIRALE DE CORNU

La clothoïde est une courbe transcendante plane dont la courbure est proportionnelle à l'abscisse curviligne. Elle est également appelée "spirale de Cornu", en référence à Alfred Cornu, le physicien français qui l'a inventée. Plus rarement, elle peut apparaître sous le nom de radioïde aux arcs, spirale d'Euler ou spirale de Fresnel.

Cette forme est également adaptée aux fins de courbes dans les tracés des chemins de fer parce qu'un véhicule suivant ce tracé à une vitesse constante subit une accélération angulaire constante, ce qui réduit à la fois les efforts sur les rails et l'inconfort des passagers dans les voitures.

Enfin, les sabots montés sur les pylônes de téléphériques, et qui supportent le câble porteur, adoptent cette forme. De fait, il est possible de faire circuler la cabine à sa vitesse maximale sur le pylône, sans incommoder les passagers.

De même cette courbe est utilisée pour les boucles verticales ou loopings dans les montagnes russes pour le confort des passagers, afin que l'accélération verticale subie soit continue

equation equation
Figure: 72.10 - Quelques photos de spirales de Cornu routières

Lorsqu'un véhicule aborde une courbe circulaire,, il va subir une forme equation perpendiculaire à sa direction (force centrifuge) donc de norme (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (72.8)

dès le début de son entrée dans la courbe. Cet effet est problématique car pour une voiture de poids moyen sur une autoroute, la force centrifuge peut égaler la force de pesanteur (lorsque sa vitesse est dans les valeurs légales!).

Ainsi, l'accélération passe brutalement de 0 à equation aussi, les ingénieurs relèvent les courbes pour améliorer l'adhérence, mais il est aussi possible d'essayer de trouver des courbes pour lesquelles l'accélération sera plus progressive. Par exemple si la courbure C donnée par (cf. chapitre de Géométrie Différentielle):

equation   (72.9)

est proportionnelle au trajet s (abscisse curviligne) parcouru dans la courbe, nous aurons au début de la courbe equation donc l'accélération sera nulle

Ce que nous cherchons est alors des courbes telles que:

equation   (72.10)

Pour cela, rappelons que nous pouvons aussi écrire naturellement pour un cercle, la courbure sous la forme:

equation   (72.11)

Effectivement, si nous tournons d'un angle equation alors nous nous déplaçons d'une longueur equation (cf. chapitre de Trigonométrie).

Nous avons donc la relation:

equation   (72.12)

Soit:

equation   (72.13)

d'où:

equation   (72.14)

De plus rappelons que l'équation paramétrique du cercle est:

equation   (72.15)

Nous avons donc:

equation   (72.16)

Soit:

equation   (72.17)

Nous pouvons donc maintenant écrire:

equation   (72.18)

Soit:

equation   (72.19)

avec un petit changement de variables:

equation   (72.20)

il vient:

equation   (72.21)

en prenant equation (nous pouvons toujours faire une translation par la suite).

Les deux intégrales s'appellent des "intégrales de Fresnel" et ne sont pas calculables directement. Nous pouvons cependant les exprimer sous forme de développement de Taylor (cf. chapitre Suites Et Séries) sous la forme:

equation   (72.22)

Le plot de l'intégrale de Fresnel donne dans Maple 4.00b:

>plot([FresnelC(t),FresnelS(t),t=-5..5]);

equation
Figure: 72.11 - Plot de l'intégrale de Fresnel sous Maple 4.00b

En zoomant sur la partie qui nous intéresse:

equation
Figure: 72.12 - Zoom sur l'origine de l'intégrale de Fresnel

La même chose à une constante près en utilisant la série de Taylor présentée antérieurement:

equation
Figure: 72.13 - Développement en série de Taylor équivalant

Les bureaux d'ingénieurs utilisent des logiciels spéciaux intégrant des spirales des clothoïdes dans des environnements 2D ou 3D sur la base de relevés topographiques fait par des géomaticiens.

CÂBLES SUSPENDUS

Galilée, fut sans doute le premier à s'intéresser à la chaînette qu'il prit pour un arc de parabole. Jean Bernoulli, Huygens et Leibniz trouvèrent (indépendamment) en réponse au défi lancé par Jakob Bernoulli, sa véritable nature en 1691: engendrée par un cosinus hyperbolique.

equation
Figure: 72.14 - Câbles suspendus des lignes HT (source: chronomaths)

equation
Figure: 72.15 - Câble suspendu pour gazoduc par-dessus une rivière

CÂBLE SUSPENDU LIBRE (CHAÎNETTE)

Considérons (source: ChronoMath) pour l'étude un câble homogène libre, flexible, attaché en deux points A et B. Dans sa position d'équilibre, le câble pend dans un plan vertical et semble prendre une forme parabolique. En fait, pas vraiment...

equation
Figure: 72.16 - Configuration pour l'étude des câbles suspendus

Créons dans ce plan un repère orthonormé equation, où O désigne le point le plus bas du câble et notons equation le champ de pesanteur à son endroit.

Appelons equation la tension (force) au point O faisant échec à la tension en M de sorte que la portion de câble [OM] de longueur L, soumise à son poids linéique equation au point G, soit en équilibre au sens statique:

equation   (72.23)

Remarque: Le produit equation de la masse linéaire avec la force gravitationnelle est aussi très souvent noté w comme nous l'avons fait dans le chapitre de Génie Mécanique pour représenter la charge linéique.

Projetons sur les axes de coordonnées en notant equation l'angle equation.

Nous avons alors les décompositions suivantes:

equation   (72.24)

Nous pouvons alors écrire le système:

equation   (72.25)

Soit après simplification:

equation   (72.26)

Soit:

equation   (72.27)

En calculant le rapport:

equation   (72.28)

Pour obtenir une équation différentielle différentions... (là c'est subtil...):

equation   (72.29)

dL est donc l'abscisse curviligne du câble (souvent notée ds dans la littérature conformément à ce qui se fait en géométrie différentielle).

Ensuite:

equation   (72.30)

Mais la tangente c'est aussi la dérivée de la fonction décrivant la chaînette. Donc:

equation   (72.31)

Il vient alors:

equation   (72.32)

Suite à l'intervention d'un lecteur, nous allons proposer deux manières de résoudre cette équation différentielle. La première est celle d'origine et elle est un peu compliquée et la deuxième (disponible beaucoup plus bas) est celle proposée par un lecteur qui est peut-être plus élégante et simple.

Première approche:

Posons equation et cherchons la primitive du membre de gauche dans un premier temps (celle du membre droite étant évidente). Les calculs faits dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral dans la détermination des primitives usuelles nous donnent:

equation   (72.33)

Nous avons donc:

equation   (72.34)

en passant à l'exponentielle:

equation   (72.35)

en remarquant que dans notre problème en equation nous avons bien equation.

Pour trouver y' nous utilisons une astuce: Nous savons que la fonction est symétrique. Donc si nous remplaçons x par -x la tangente change aussi de signe et passe de y' a -y':

equation   (72.36)

En soustrayant:

equation et equation   (72.37)

il vient:

equation   (72.38)

Donc après intégration:

equation   (72.39)

où l'expression après la première égalité est appelée "courbe caténaire". Il vient au final:

equation   (72.40)

où les constante seront déterminées par les conditions initiales.

Nous voyons bien avec Maple 4.00b la différence entre une parabole et la chaînette:

> plot([x^2,cosh(x)],x=-4...4);

equation
Figure: 72.17 - Plot entre une chaînette et parabole avec Maple 4.00b

Considérons maintenant deux points dans le plan equation, equation et déterminons l'équation de la chaînette de longueur L ayant ces deux points comme extrémités.

Nous avons les deux équations:

equation   (72.41)

Nous obtenons une troisième équation à l'aide de la longueur L qui est connue. En effet  (cf. chapitre de Mécanique Analytique):

equation   (72.42)

où nous avons toujours:

equation   (72.43)

Ainsi, nous obtenons un système non linéaire de trois équations à trois inconnues (equation):

equation   (72.44)

Déterminons à titre d'exemple la chaînette de longueur 38 cm passant par les pointsequation, equation.

Il faut alors résoudre le système suivant:

equation   (72.45)

Voici les commandes Maple 4.00b qui nous permettent d'obtenir le résultat.

>e1:=0=k*cosh(-9/k+c1)+c2;
>e2:=10=k*cosh(9/k+c1)+c2;
>e3:=38=k*(sinh(9/k+c1)-sinh(-9/k+c1));
>fsolve({e1,e2,e3},{k,c1,c2},{k=0..infinity});

Maple donne:

k = 4.073758798, c1 = .2694982504, c2 = -14.46356329

Graphiquement nous avons alors:

equation
Figure: 72.18 - Tracé d'une petite chaînette avec Maple 4.00b

Deuxième approche:

Pour cette deuxième approche de résolution de l'équation différentielle, nous allons garder la notation proposée par le lecteur qui nous a contacté. Nous repartons de l'équation différentielle:

equation   (72.46)

Nous faisons le changement de variable:

equation   (72.47)

Il vient alors:

equation   (72.48)

Puis:

equation   (72.49)

L'intégration donne conformément à la primitive usuelle démontrée dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral:

equation   (72.50)

Et la condition:

equation   (72.51)

en equation (point le plus bas de la chaînette) impose que la constante d'intégration est nulle et donc que les points d'accroche sont par symétrie situés à même hauteur. Nous avons alors:

equation   (72.52)

Soit:

equation   (72.53)

à comparer avec la méthode précédente où nous avions obtenu:

equation   (72.54)

La constante d'intégration est déterminée par les points d'attache de la corde distants de D où nous avons equation en equation et en equation (donc les extrémités sont sur la même horizontale). Nous avons alors:

equation   (72.55)

C'est sous cette dernière forme que l'équation de la chaînette a été obtenue indépendamment par Leibniz, Huyghens et Bernoulli à la fin du 17ème siècle.

On peut alors maintenant facilement calculer la déviation maximale (le "flèche" comme disent les ingénieurs en génie civil que nous noterons f comme dans le chapitre de Génie Mécanique) par rapport à l'horizontale passant par les points d'attache:

equation   (72.56)

Enfin il peut être intéressant de calcul la longueur du câble à l'équilibre. Pour cela, rappelons que nous avons démontré plus haut que:

equation   (72.57)

Dans le cas où les attaches sont à même hauteur, la chaînette est symétrique et nous avons alors:

equation   (72.58)

Reste à déterminer la constante! Si D est nul alors L doit être nul. La constante vaut alors zéro et il reste:

equation   (72.59)

Dans le cas des lignes de chemin de fer électrifiées, nous pallions à la flèche rédhibitoire par un câble porteur principal de la caténaire: le câble supérieur (ci-dessous à droite) subit une flèche acceptée, ce qui diminue les tensions entre les pylônes. La caténaire reste ainsi bien linéaire grâce aux accroches auxiliaires multiples à un câble auxiliaire.

equation
Figure: 72.19 - Chaînette des Chemins de Fer (source: Chronomaths)

Sinon signalons que nous retrouvons aussi les chaînettes dans tous les endroits de la vie de tous les jours où un câble est suspendu entre deux points sur une même horizontale.

exempleExemple:

Considérons un câble suspendu avec les données suivantes:

equation   (72.60)

Nous avons puisque la charge linéique du câble est constante (en reprenant la notation du chapitre de Génie Mécanique au passage):

equation   (72.61)

et donc:

equation   (72.62)

Ainsi la flèche du câble est 6 mètres en-dessous de l'horizontale des deux accroches.

CÂBLE SUSPENDU PORTEUR (PONT SUSPENDU)

Considérons le pont suspendu suivant portant une charge linéique constante, donc la flèche h est imposée par l'architecte, ainsi que la distance D entre les 2 piliers:

equation
Figure: 72.20 - Pont suspendu (source: ISBN 0-13-814929-1)

La subtilité de cas d'étude réside dans le fait que la charge linéique n'est plus dans le câble lui-même mais dans la travée du pont qui est de masse linéique bien supérieur. Nous ne pouvons plus alors utiliser les analyses faites plus haut. Le développement fait pour le câble suspendu normal reste valide jusqu'à la relation:

equation   (72.63)

Maintenant, il faut se rappeler que nous avons aussi:

equation   (72.64)

en réarrangeant et en dérivant encore par dx:

equation   (72.65)

Sur le pont cependant chaque portion dL du câble est négligeable devant la portion dx du pont. Ceci marque toute la différence entre le pont suspendu et la simple chaînette tel que nous devons remplacer dL par dx (c'est assez subtile avec cette démarche mais il y a plusieurs approches possible à ce développement). Nous avons alors la relation précédente qui devient:

equation   (72.66)

Soit après réarrangement:

equation   (72.67)

En intégrant une première fois il vient alors:

equation   (72.68)

et une deuxième et dernière fois:

equation   (72.69)

Les constantes sont déterminées par les conditions initiales. L'endroit où nous avons posé le repère impose que y = 0 en x =0 et que dy/dx = 0 en x = 0, nous avons les deux constante qui sont nulles et il reste alors:

equation   (72.70)

Il s'agit donc de l'équation d'une parabole et non plus d'une chaînette! Un petit souci est que nous ne connaissons pas la tension dans le câble. Il faudrait nous en débarrasser. Or du fait que l'architecte impose que la flèche soit h en x = D/2, il vient alors:

equation   (72.71)

et donc:

equation   (72.72)

Encore une fois cela reste une parabole et ce indépendamment du poids porté! Cela étant dû au fait qu'il soit uniforme.

Il nous reste alors à déterminer la longueur du câble. Pour cela nous reprenons la relation déjà rappelée plus haut (démontrée dans le chapitre de Mécanique Analytique ou de Formes Géométriques):

equation   (72.73)

Par symétrie de la fonction du pont suspendu nous pouvons écrire:

equation   (72.74)

Dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral lors de nos démonstrations des primitives usuelles, nous avons démontré que:

equation   (72.75)

Il vient alors:

equation   (72.76)

exempleExemple:

Considérons les caractéristiques du Golden Bridge de San Francisco. Sa flèche h est d'environ 230 mètres et sa portée principale est de 1280 [m]. Nous avons alors:

equation   (72.77)

CÂBLE TRÈS TENDU

Rappelons que dans le cas général nous avions obtenus la relation suivante:

equation   (72.78)

Prenons-en la différentielle:

equation   (72.79)

Soit pour la composante y:

equation   (72.80)

Mais nous avons aussi:

equation   (72.81)

Donc injecté dans la relation précédente cela donne:

equation   (72.82)

Soit:

equation   (72.83)

Et sous l'hypothèse que le câble est très tendu:

equation   (72.84)

Il vient alors:

equation   (72.85)

Après une première intégration il vient:

equation   (72.86)

Avant d'aller plus lois remarquons que la constante est facile à déterminer puisque en x = L/2, la dérivée doit être nulle. Nous avons alors:

equation   (72.87)

Après une deuxième intégration (où la constante d'intégration est nulle):

equation   (72.88)

Nous avons alors pour la déformation de la corde:

equation   (72.89)

Ainsi, au milieu de la corde la flèche est alors de:

equation   (72.90)

Ou respectivement si on connaît la flèche et qu'on cherche à déterminer la tension:

equation   (72.91)

et nous pourrions aussi calculer la longueur de la corde en utilisant la même technique que pour le pont suspendu.

BARRAGES

Considérons le barrage (constitué d'un solide à rigidité infinie et parfaitement étanche...) hauteur z, de longueur L et stockant de l'eau de densité equation ci-dessous:

equation
Figure: 72.21 - Approche simplifiée pour l'étude de pression sur un barrage

Nous avons vu dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus que la pression hydrostatique était donnée par:

equation   (72.92)

mais dans cette situation, nous avons évidemment:

equation   (72.93)

Ainsi lorsque nous nous plaçons à la surface de l'eau en equation:

equation   (72.94)

soit la pression de l'air à la surface du lac de barrage...

Sur un élément de surface dS il s'exerce une force élémentaire:

equation   (72.95)

Or:

equation   (72.96)

Ainsi:

equation   (72.97)

d'où après intégration

equation   (72.98)

Il s'agit donc de la force exercée sur la face immergée. La force sur la face émergée (à gauche sur l'illustration) est simplement donnée en posant equation. Nous avons donc pourla partie due à la pression atmosphérique seule:

equation   (72.99)

et pour la partie due à l'eau seule:

equation   (72.100)

Remarque: En moyenne entre l'état à vide et à plein (selon ce qui se lit sur Internet) la voute d'un barrage de hauteur certaine se déplacerait parfois avec une amplitude de l'ordre de 80 [cm].

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