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Informatique Théorique

MÉTHODES NUMÉRIQUES | FRACTALES | SYSTÈMES LOGIQUES | CODES CORRECTEURS CRYPTOGRAPHIE | AUTOMATES | INFORMATIQUE QUANTIQUE

63. INFORMATIQUE QUANTIQUE

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:23:40 | {oUUID 1.793}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

L'informatique quantique (nous devrions plutôt parler de "calculation quantique" car nous sommes actuellement très loin d'un système d'entrée/sortie) est un exemple royal de l'utilisation des spécificités des modèles théoriques de la physique quantique pour le traitement et la transmission de l'information.

Toutefois il faut aussi se rappeler que le comportement des transistors gravés sur la puce de votre ordinateur n'a pu être imaginé en 1947 par Bardeen, Brattain et Shockley qu'à partir de leurs connaissances en physique quantique. Donc la totalité de nos appareils électroniques fonctionnant déjà sur la base de semi-conducteurs fonctionnent à l'aide de développements obtenus grâce à la physique quantique.

La grande nouveauté, depuis le début des années 1980, est la possibilité pour les physiciens de manipuler et d'observer des objets quantiques élémentaires individuels: photons, atomes, ions, etc. C'est cette possibilité de manipuler et d'observer des objets quantiques élémentaires qui est à l'origine de l'information quantique, où ces objets quantiques élémentaires permettront de construire physiquement les qubits. Cela dit, aucun concept fondamentalement nouveau n'a été introduit depuis les années 1930, et les pères fondateurs de la physique quantique (Heisenberg, Schrödinger, Dirac, Planck, Einstein,…), s'ils ressuscitaient aujourd'hui, ne seraient pas surpris par l'informatique quantique, même s'ils seraient sûrement éblouis par les prouesses des expérimentateurs qui réalisent aujourd'hui des expériences qualifiées à l'époque de "gedanken experiment" (expérience imaginaire).

Il vaut aussi la peine de signaler que la miniaturisation croissante de l'électronique va trouver ses limites en raison des effets quantiques, qui vont devenir incontournables en dessous du nanomètre. Ainsi, nous estimons que la loi de Moore (hypothèse selon quoi la puissance de calcul des machines double à peu près tous les 18 mois) pourrait ne plus être valable d'ici 2015-2020.

Il est fort à parier que la mode de l'étude de la physique quantique et son application à l'informatique quantique (et l'électronique quantique et la télécommunication quantique) va exploser dans les décennies à venir (surtout vers la fin du 21ème siècle). Ainsi, les écoles d'ingénieurs intégreront presque dans tous les domaines la physique quantique dans les programmes scolaires. Ce que les physiciens étudient depuis bientôt déjà presque 100 ans dans leur cursus.

Avant de passer au côté formel, nous avons jugé cependant intéressant de faire un petit passage vulgarisé car nous avons remarqué que cela aide à comprendre les calculs qui seront faits par la suite.

Dans les années 70 et 80, les premiers ordinateurs quantiques naissent par retournement dans l'esprit de physiciens tels que Richard Feynman, Paul Bénioff, David Deutsch ou Charles Bennett. L'idée de Feynman était qu'au lieu de nous plaindre que la simulation des phénomènes quantiques demande des puissances énormes à nos ordinateurs actuels, que nous utilisions alors la puissance de calcul des phénomènes quantiques pour faire plus rapides que nos ordinateurs actuels.

Longtemps les physiciens ont douté que les calculateurs quantiques utilisables puissent exister, et même que nous puissions en faire quelque chose de viable s'ils existaient. Mais:

- En 1994, Peter Shor, un scientifique d'AT&T montre qu'il est possible de factoriser des grands nombres dans un temps raisonnable à l'aide d'un calculateur quantique. Cette découverte débloque brusquement des crédits.

- En 1996, Lov Grover, invente un algorithme basé sur les calculateurs quantiques permettant de trouver une entrée dans une base de données non triée.

- En 1998, IBM est le premier à présenter un calculateur quantique de 2 qubits (pour "Quantum Bit").

- En 1999, l'équipe d'IBM utilise l'algorithme de Grover pour la recherche quantique rapide sur une base de données (quantum database search ) sur un calculateur de 3 qubits et battent leur record l'année suivante avec un ordinateur de 5 qubits.

- En 2001, IBM crée un calculateur quantique de 7 qubits et factorise le nombre 15... grâce à l'algorithme de Shor (cf. chapitre de Méthodes Numériques). Les ordinateurs à 7 qubits sont bâtis autour de molécules de chloroforme et leur durée de vie utile ne dépasse pas quelques minutes.

- En 2007, la compagnie canadienne D-Wave lors d'une démonstration a présenté un ordinateur quantique à 16 qubits.

La mémoire d'un ordinateur classique est faite donc de bits (cf. chapitre de Systèmes Logiques). Chaque bit porte soit un 1 soit un 0 (mode bipolaire). La machine calcule en manipulant ces bits. Un calculateur quantique travaille sur un jeu de qubits. Un qubit peut porter soit un 1, soit un 0, soit une superposition d'un 1 et d'un 0 (ou, plus exactement, il porte une distribution de phase). Le calculateur quantique calcule en manipulant ces distributions comme nous le verrons dans les détails plus loin.

Interroger un qubit dont la phase n'est pas de 0° ou de 90° ne sert pas à grand-chose: nous obtiendrons la réponse 0 avec une probabilité donnée, et la réponse 1 avec une autre probabilité... et il est possible de construire des générateurs aléatoires bien moins onéreux! En revanche, si nous arrivons à créer un algorithme qui le conduit systématiquement à une phase 0° ou 90°, nous obtiendrons un résultat déterministe. Encore faut-il que celui-ci corresponde à une réponse cherchée.

Un calculateur quantique pourrait être implémenté à partir de toute particule pouvant avoir deux états. Il peut être construit à partir de photons, ou à partir de n'importe quelle particule ou atome comportant un spin.

Comme nous le savons, un ordinateur classique ayant trois bits de mémoire peut stocker uniquement des nombres de trois chiffres composés de uns ou de zéros digitaux (cf. chapitre de Systèmes Logiques) pour un total de 8 états qu'il doit traiter à part. À un moment donné, il pourrait contenir les bits 101.

Un ordinateur quantique ayant trois qubits peut en fait stocker 16 valeurs, assemblées deux par deux pour former 8 (23) nombres complexes. Il pourrait, par exemple, contenir ceci (nous démontrerons bien sûr d'où vient cela un peu plus loin!) à un instant donné:

État

Amplitude

Probabilité

 

a+ib

(a2 + b2)

000

0.37+i0.04

0.14

001

0.11+i0.18

0.04

010

0.09+i0.31

0.10

011

0.03+i0.30

0.18

100

0.35+i0.43

0.31

101

0.40+i0.01

0.16

110

0.09+i0.12

0.02

111

0.15+i0.16

0.05

Tableau: 63.1  - Exemple de valeurs de qubits

La première colonne montre tous les états possibles pour trois bits. Un ordinateur classique peut donc seulement porter un de ces états à la fois. Un ordinateur quantique, lui, peut être dans une superposition de ces 8 états à la fois. La deuxième colonne montre l'amplitude pour chacun des 8 états. Ces 8 nombres complexes sont un instantané du contenu d'un ordinateur quantique à un moment donné. Durant le calcul, ces trois nombres changeront et interagiront les uns avec les autres. En ce sens, un ordinateur quantique à trois qubits a bien plus de mémoire qu'un ordinateur classique à trois bits.

Cependant, il n'est pas possible de voir directement ces trois nombres. Quand l'algorithme est fini, une seule mesure est accomplie. La mesure retourne une simple chaîne (string) de 3 bits et efface les 8 nombres quantiques. De plus, le report de calculs intermédiaire doit utiliser l'intrication quantique ce qui est loin d'être simple.

La troisième colonne donne la probabilité pour chacune des chaînes possibles. Dans cet exemple, il y a 14% de chance que la chaîne retournée soit 000, 4% que ce soit 001 et ainsi de suite. Chaque nombre complexe est nommé "amplitude" et chaque probabilité une "amplitude carrée". La somme des huit probabilités est égale à un.

Typiquement, un algorithme d'un ordinateur quantique initialisera tous les nombres complexes à des valeurs égales, donc tous les états auront les mêmes probabilités. La liste des nombres complexes peut être imaginée comme un vecteur à 8 éléments. À chaque étape de l'algorithme, le vecteur est modifié par son produit avec une matrice. La matrice provient de la physique de la machine et sera toujours inversible, et s'assurera que la somme des probabilités continue à être égale à un.

Il faut d'abord réaliser un calcul conduisant à un état non superposé. En effet, si on interroge un qubit qui se trouve dans une superposition d'états, la réponse sera aléatoire et ne nous apprendra pas grand-chose. Il faut donc trouver un algorithme donnant une réponse unique pour tous les chemins de calcul possibles. C'est un problème semblable à celui des énigmes où l'on doit obtenir une réponse toujours vraie en la posant à une série d'intermédiaires dont on sait que certains mentent toujours et d'autres jamais. La question est donc de trouver un calcul parvenant à cet invariant, par exemple dans le cas du cassage d'un code la clé de chiffrage que l'on cherche à déterminer.

Un autre problème ensuite est de le mesurer: la lecture d'un seul bit d'un état quantique détruit la totalité de cet état. Il faudra donc refaire le calcul autant de fois que la réponse souhaitée comporte de bits, mais le temps correspondant sera juste proportionnel à ce nombre de bits et non exponentiellement plus grand, ce qui est justement le but recherché.

Commençons par comprendre les concepts sous-jacents à la théorique quantique de l'informatique quantique avec une étude de la polarisation du photon.

POLARISATION DU PHOTON

Depuis Einstein, nous savons que la lumière est composée de photons, ou particules de lumière et celle-ci a un aspect dual onde-particule (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire). Si nous réduisons l'intensité lumineuse d'un faisceau de photons, nous devrions pouvoir étudier la polarisation des photons individuels, que nous savons parfaitement détecter à l'aide de photomultiplicateurs. Supposons que l'expérience détecte N photons. Lorsque equation, nous devons retrouver les résultats de l'optique ondulatoire (voir chapitre du même nom).

Effectuons par exemple l'expérience suivante:

equation
Figure: 63.1 - Expérience imaginaire pour la mesure de la polarisation

Une lame biréfringente sépare un faisceau lumineux dont la polarisation fait un angle equation avec Ox en un faisceau polarisé suivant Ox et un faisceau polarisé suivant Oy, les intensités étant respectivement equation et equation (selon la démonstration de la loi de Malus faite dans le chapitre d'Optique Ondulatoire).

Réduisons l'intensité de telle sorte que les photons arrivent un à un, et plaçons deux photodétecteurs equation derrière la lame. L'expérience montre que equation ne cliquent jamais simultanément (sauf cas de "dark count" où un compteur se déclenche spontanément): un photon arrive entier soit sur equation, soit sur equation, un photon ne se divise donc pas. D'autre part, l'expérience montre que la probabilité equation de détection d'un photon par equation est de equation. Ainsi, si l'expérience détecte N photons, nous aurons donc equation photons détectés par equation:

equation   (63.1)

où le equation tient compte des fluctuations statistiques. Comme l'intensité lumineuse est proportionnelle au nombre de photons, nous retrouvons bien la loi de Malus à la limite equation.

Cependant, nous notons deux problèmes:

1. Pouvons-nous prévoir, pour un photon donné, s'il va déclencher equation ou equation ? La réponse de la théorie quantique est NON, énoncé qui a profondément choqué Einstein (Dieu ne joue pas aux dés!). Certains physiciens (dont Einstein) ont été tentés de supposer que la théorie quantique était incomplète, et qu'il y avait des "variables cachées" dont la connaissance permettrait de prévoir le sort individuel de chaque photon. Moyennant des hypothèses très raisonnables sur lesquelles nous reviendrons, nous savons aujourd'hui que de telles variables cachées sont exclues. Les probabilités de la théorie quantique sont, nous le savons (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire), intrinsèques! Elles ne sont pas liées à une connaissance imparfaite de la situation physique, comme c'est le cas par exemple dans le jeu de pile ou face.

2. Si nous recombinons les deux faisceaux de la première lame biréfringente, en utilisant une seconde lame symétrique à la première:

equation
Figure: 63.2 - Expérience imaginaire recombinant les deux faisceaux

et si nous cherchons la probabilité qu'un photon traverse l'analyseur, un photon peut choisir le trajet x avec une probabilité equation, il a ensuite une probabilité equation de traverser l'analyseur soit une probabilité totale equation. S'il choisit le trajet y, il aura une probabilité equation de traverser l'analyseur. La probabilité totale s'obtient donc en additionnant les probabilités des deux trajets possibles:

equation   (63.2)

Ce résultat est FAUX! En effet, l'optique classique nous apprend que l'intensité est equation (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) et le résultat correct, confirmé par l'expérience est:

equation   (63.3)

Ce qui n'est pas du tout la même chose!

En fait, pour retrouver les résultats de l'optique ondulatoire, il faut se rappeler que la probabilité en physique quantique s'obtient par la norme au carré de l'amplitude de probabilité (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire). Ainsi:

equation   (63.4)

et nous devons additionner les amplitudes pour des trajets indiscernables et en utilisant les relations trigonométriques de base, nous obtenons:

equation   (63.5)

ce qui redonne bien:

equation   (63.6)

Supposons que nous ayons un moyen de savoir si le photon emprunte le trajet x ou le trajet y (impossible dans notre cas, mais des expériences analogiques répondant à la question "Quel trajet?" ont été réalisées avec des atomes). Nous pourrions alors diviser les photons en deux classes, ceux qui ont choisi le trajet x et ceux qui ont choisi le trajet y.

Pour les photons ayant choisi le trajet x, nous pourrions bloquer le trajet y par un cache sans rien changer, et inversement pour les photons ayant choisi le trajet y nous pourrions bloquer le trajet x. Bien évidemment, le résultat ne peut être alors que equation. Si nous arrivons à discriminer entre les trajets, le résultat n'est plus le même, les trajets ne sont plus indiscernables. Dans les conditions expérimentales où il est impossible en principe de distinguer entre les trajets, nous pouvons dire au choix:

1. Soit que le photon emprunte les deux trajets à la fois (...)

2. Soit que cela n'a pas de sens de poser la question "Quel trajet?", puisque les conditions expérimentales ne permettent pas d'y répondre.

Il faut noter que si l'expérience permet de décider entre les deux trajets, le résultat est equation, même si nous décidons de ne pas les observer. Il suffit que les conditions expérimentales permettent, en principe, de distinguer entre les deux trajets.

QUBIT

Nous pouvons utiliser la polarisation des photons pour transmettre de l'information, par exemple par une fibre optique. Nous décidons tout à fait arbitrairement, d'attribuer la valeur 1 du bit à un photon polarisé suivant Ox et la valeur 0 à un photon polarisé suivant Oy.

Pour étudier la théorie, il est devenu traditionnel de se représenter que les deux personnes qui échangent de l'information sont appelées conventionnellement Alice (A) et Bob (B). Alice envoie par exemple à Bob la suite de photons polarisés suivante:

yyxyxyyyx...   (63.7)

Bob analyse la polarisation de ces photons à l'aide d'une lame biréfringente et en déduit le message d'Alice:

001010001...   (63.8)

Ce n'est évidemment pas une façon très efficace d'échanger des messages, mais c'est à la base de la cryptographie quantique (cf. chapitre de Cryptographie). Cependant, la question intéressante est maintenant: quelle est la valeur du bit que nous pouvons attribuer par exemple à un photon polarisé à 45° ? Suivant les résultats précédents, un photon polarisé à 45° est une superposition linéaire d'un photon polarisé suivant Ox et d'un photon polarisé suivant Oy. Un qubit est donc une entité beaucoup plus riche qu'un bit ordinaire, qui ne peut prendre en logique stricte que les valeurs 0 et 1.

En un certain sens, un qubit peut prendre toutes les valeurs intermédiaires entre 0 et 1 et contiendrait donc une quantité infinie d'information ! Cependant, cet énoncé optimiste est immédiatement démenti lorsque nous nous rendons compte que la mesure du qubit ne peut donner que le résultat 0 ou 1, quelle que soit la base choisie. Malgré tout, nous pouvons nous poser la question de cette "information cachée" dans la superposition linéaire et nous verrons que nous pouvons l'exploiter sous certaines conditions.

Afin de rendre compte de la possibilité des superpositions linéaires, il est naturel d'introduire pour la description mathématique de la polarisation un espace vectoriel complexe (cause: phaseurs) à deux dimensions correspondant au plan de polarisation comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Optique Ondulatoire. Nous noterons cet espace vectoriel equation (nous reprenons la notation des espaces de Hilbert) et l'appellerons "l'espace de Hilbert des états de polarisation".

Nous pouvons très bien décomposer le vecteur correspondant aux polarisations linéaires Ox et Oy en deux vecteurs kets equation et equation tel que tout état de polarisation (qu'il soit linéaire, circulaire ou autre) pourra se décomposer suivant cette base:

equation   (63.9)

Ainsi, une polarisation linéaire sera décrite par des coefficients equation réels, mais la description d'une polarisation circulaire ou elliptique exigera bien évidemment de faire appel à des coefficients complexes!

Les amplitudes de probabilité vont correspondre à un produit scalaire sur cet espace. Soit deux vecteurs correspondant donc à deux polarisations différentes:

equation   (63.10)

Le produit scalaire hermitique (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) sera donc:

equation   (63.11)

Maintenant, un état de polarisation linéaire (cf. chapitre d'optique Ondulatoire) suivant equation sera donné logiquement par (si nous nous restreignons au cas linéaire donc!):

equation   (63.12)

equation sont des vecteurs de norme unité. Ce qui est conforme à la représentation mentale:

equation
Figure: 63.3 - Rappel du principe de décomposition du champ

où l'amplitude du champ est normalisée à l'unité.

L'amplitude de probabilité pour qu'un photon polarisé suivant equation traverse un analyseur orienté suivant equation pourra maintenant s'écrire:

equation   (63.13)

et la probabilité de traverser l'analyseur sera toujours donnée par la norme au carré de cette amplitude comme nous l'avons démontré plus haut:

equation   (63.14)

De façon générale, nous définirons des amplitudes de probabilité, où equation sont des états de polarisation:

equation   (63.15)

et la probabilité correspondante sera:

equation   (63.16)

Nous sommes maintenant prêts à aborder la question cruciale de la mesure dans le cadre de cette expérience quantique. Reprenons l'ensemble polariseur/analyseur, en supposant que l'analyseur soit orienté suivant Ox. Si le polariseur est aussi orienté suivant Ox, un photon sortant du polariseur traverse l'analyseur avec une probabilité de 100%; si le polariseur est orienté suivant Oy, la probabilité est nulle. L'analyseur effectue un test (de la polarisation), et le résultat du test est 1 ou 0. Le test permet donc de connaître l'état de polarisation du photon.

Mais ceci n'est pas le cas général!

Supposons que le polariseur soit orienté suivant la direction générale equation ou la direction orthogonale equation (il y a une rotation de equation) . Nous avons alors en utilisant les propriétés du cercle trigonométrique:

equation   (63.17)

et donc si le polariseur prépare par exemple le photon dans l'état equation et que l'analyseur est orienté suivant Ox, la probabilité de réussite du test sera toujours equation quel que soit le type de polarisation!! Rappelons que dans cet exemple, après le passage dans l'analyseur, l'état de polarisation du photon n'est plus equation, mais equation. La mesure modifie donc l'état de polarisation.

Remarque: Bien sûr, une autre manière de voir que les deux vecteurs plus hauts sont orthogonaux est d'effectuer un produit scalaire et de constater que celui-ci est nul.

Nous constatons une différence de principe entre la mesure en physique classique et la mesure en physique quantique. En physique classique, la quantité physique à mesurer préexiste à la mesure: si un radar mesure la vitesse de votre voiture à 180 Km/h sur l'autoroute, cette vitesse préexistait à sa mesure par le gendarme. Au contraire, dans la mesure de polarisation d'un photon equation par un analyseur orienté suivant Ox, le fait que le test donne une polarisation suivant Ox ne permet pas de conclure que le photon testé avait au préalable sa polarisation suivant Ox.

Donc nous avons un dispositif préparant le système quantique dans l'état equation et un second capable de le "préparer" dans l'état equation que nous utiliserons comme analyseur. Après le test, le système quantique sera donc dans l'état equation, ce qui veut dire du point de vue mathématique que nous réalisons une projection orthogonale sur equation.

Soit equation ce projecteur, alors la projection orthogonale vectorielle (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) est donnée par:

equation   (63.18)

ce qui consiste (pour rappel) en un simple produit scalaire (projection orthogonale scalaire) multiplié par le vecteur equation. Ceci se voit aisément en plaçant judicieusement les parenthèses:

equation   (63.19)

et donc:

equation   (63.20)

La projection du vecteur d'état est appelée, comme nous l'avons déjà vu (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire), dans l'interprétation de Copenhague de la physique quantique "réduction du vecteur d'état", ou, pour des raisons historiques, "réduction du paquet d'ondes". Cette réduction du vecteur d'état est une fiction commode de l'interprétation de Copenhague, qui évite d'avoir à se poser des questions sur le processus de mesure...

Le lecteur habitué à l'algèbre linéaire (voir chapitre du même nom) remarquera trivialement que nous pouvons manipuler la convention de notation du projecteur comme une matrice (application linéaire) telle que dans deux cas particuliers simples (ceux qui nous intéressent!):

equation   (63.21)

Un lecteur nous ayant demandé de préciser la démarche, voyons comme nous arrivons à cet aspect matriciel de la projection orthogonale avec un exemple particulier de deux vecteurs dans un espace réel à deux dimensions. Considérons:

equation   (63.22)

et donc (la démarche est la même pour y):

equation   (63.23)

Remarque: L'écriture matricielle du projecteur orthogonal est souvent présentée en tant qu'une définition d'un outil mathématique appelé "produit extérieur".

Donc finalement, pour en revenir à nos moutons, nous avons:

equation   (63.24)

et idem pour l'autre composante.

Comme:

equation   (63.25)

Nous avons alors:

equation   (63.26)

Nous remarquerons que l'opérateur identité peut être écrit comme la somme des deux projecteurs equation:

equation   (63.27)

relation dite "relation de fermeture", qui se généralise à une base orthonormée d'un espace de Hilbert equation de dimension N:

equation   (63.28)

Par ailleurs, les projecteurs equation commutent (vérification triviale):

equation   (63.29)

Ainsi, les tests equation sont compatibles (quel que soit le sens de la mesure le résultat en est indépendant). En revanche, les projecteurs equation:

equation   (63.30)

qui satisfont (vérification triviale) à:

equation   (63.31)

ainsi qu'à (vérification triviale):

equation   (63.32)

ne commutent pas avec equation:

equation   (63.33)

et donc les tests equation sont incompatibles.

Pour des développements ultérieurs, il sera utile de remarquer que la connaissance des probabilités de réussite d'un test T permet de définir une valeur moyenne (espérance):

equation   (63.34)

En analogie avec le contexte, nous pouvons lire cela ainsi: l'espérance du test est égale à la valeur représentative du photon orienté selon Ox (correspondant à la valeur 1 arbitrairement) multipliée par la probabilité de passer l'analyseur orienté aussi selon Ox (donc test concluant à 100%) sommée à la valeur représentative du photon orienté selon Oy (correspondant à la valeur 0 arbitrairement) multiplié par la probabilité de passage l'analyseur toujours orienté selon Ox (donc 0% des photons Oy passeront le test Ox).

Par exemple, si le test T est représenté par la procédure equation et que nous l'appliquons à un état equation (contenant comme nous l'avons vu plus haut les valeurs représentatives du photon polarisé en linéaire ou autre...) alors le test correspond à un produit scalaire:

equation   (63.35)

et comme nous l'avons vu dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire, nous savons qu'au fait:

equation   (63.36)

est la valeur moyenne d'un opérateur M dans l'état equation. Ainsi, au test T auquel est associée une procédure equation, nous pouvons associer le projecteur equation dont la valeur moyenne dans l'état equation donne la probabilité de réussite du test.

La généralisation de cette observation permet de construire les propriétés physiques d'un système quantique. Donnons un exemple en revenant au cas de la polarisation. Supposons que nous construisions (de manière tout à fait arbitraire) une propriété equation d'un photon de la façon suivante:

equation vaut +1 si le photon est polarisé suivant Ox

equation vaut -1 si le photon est polarisé selon Oy.

Nous pouvons associer à la propriété physique equation l'opérateur hermitique:

equation   (63.37)

qui vérifie bien (trivial) la relation entre opérateur, valeur propre et vecteur:

equation   (63.38)

La valeur moyenne (espérance) de M étant alors (par définition):

equation   (63.39)

Supposons le photon dans l'état de polarisation linéaire equation, alors la valeur moyenne equation dans l'état equation est (trivial):

equation   (63.40)

Avant de voir, comment nous pouvons construire un tel opérateur M avec un autre objet que le photon et ce avec les mêmes propriétés, introduisons un outil mathématique généralisant les conditions et la configuration d'une onde polarisée quelconque:

SPHÈRE DE BLOCH

La sphère de Bloch est comme nous allons le voir une représentation géométrique des états des qubits comme points de la surface d'une sphère.

Un certain nombre d'opérations élémentaires faites en informatique quantique peuvent sous le choix d'un projecteur adéquat être réalisées avec cette sphère.

Nous allons montrer qu'un état d'un qubit arbitraire (vecteur dans le plan complexe) peut être écrit:

equation   (63.41)

equation et equation, equation définissent un point sur la sphère tridimensionnelle de Bloch et où nous avons les deux vecteurs de base:

equation   (63.42)

pour lesquels parfois la définition est inversée (mais peu importe tant que cela forme une base orthogonale!).

Les qubits représentés par des valeurs arbitraires de equation (invariance de jauge globale selon U(1)) sont tous représentés par le même point sur la sphère de Bloch parce que nous allons montrer que le facteur n'a pas d'effet observable et que nous pourrons alors écrire sans perdre en généralité:

equation   (63.43)

ce qui est représenté comme nous le justifierons plus loin par la figure ci-dessous:

equation
Figure: 63.4 - Sphère de Bloch

La sphère de Bloch est une généralisation de la représentation d'un nombre complexe z avec equation comme un point du cercle dans le plan (de Gauss) comme nous l'avons vu lors de notre étude des nombres complexes dans le chapitre traitant des Nombres.

Nous avions vu également dans ce même chapitre qu'un nombre complexe pouvait être représenté par une exponentielle complexe telle que:

equation   (63.44)

et si le cercle était unitaire:

equation   (63.45)

Notons que la contrainte equation élimine un degré de liberté.

Nous allons maintenant noter la décomposition d'un état de polarisation sous la forme:

equation   (63.46)

et celle-ci sous une forme plus traditionnelle en informatique quantique (logique vu les bases...):

equation   (63.47)

equation (eh oui! on est plus dans le cas simple d'une onde polarisée linéairement maintenant...!) sans oublier la condition de normalisation:

equation   (63.48)

Nous pouvons donc écrire le qubit sous la forme:

equation   (63.49)

Remarque: Attention il est très important d'avoir lu la partie traitant de la polarisation de la lumière dans le chapitre d'Optique Ondulatoire pour comprendre que cela ne tombe pas du ciel! À la différence, que nous ne travaillons pas ici avec des phaseurs car la solution de l'équation d'évolution de Schrödinger comporte des exponentielles complexes comme nous l'avons vu dans le cadre de la résolution de celle-ci pour un mode propre d'une particule libre.

Ajouter un facteur de phase globale ne devrait avoir aucune influence sur les coefficients equation car:

equation   (63.50)

et similairement pour equation. Ainsi, nous sommes libres de multiplier notre qubit polarisé et normalisé:

equation   (63.51)

par la phase globale equation ce qui donne:

equation   (63.52)

En plus, nous avons toujours la condition de normalisation equation à respecter (imposer).

En revenant aux coordonnées cartésiennes, nous avons:

equation   (63.53)

et la contrainte de normalisation donne alors:

equation   (63.54)

Ce qui est l'équation d'une sphère unitaire dans l'espace equation avec les coordonnées cartésiennes equation. D'où l'origine quantique de la sphère de Bloch!

Nous savons (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) que les coordonnées cartésiennes sont reliées aux coordonnées sphériques par les relations:

equation   (63.55)

donc en renommant equation et en se rappelant que equation, nous pouvons écrire:

equation   (63.56)

Nous n'avons maintenant plus que deux paramètres utiles à connaître pour définir notre point sur la sphère unité (et ce toujours à l'arbitraire de phase près).

Le lecteur remarquera que contrairement au qubit polarisé linéairement, le cas général ci-dessus rajoute un terme complexe et qu'inversement en enlevant ce terme supplémentaire, nous retombons sur la relation de l'onde polarisée linéairement vue en début de chapitre. Cependant, à noter (pour la culture générale), que si nous ajoutons le même terme complexe au premier terme, nous avons alors aussi la représentation suivante très courante de l'onde polarisée linéairement et dont l'écriture se nomme "vecteur de Jones":

equation   (63.57)

Mais nous n'en avons pas encore terminé!

Revenons donc à (nous enlevons l'apostrophe pour l'état de polarisation):

equation   (63.58)

et remarquons que:

equation   (63.59)

et:

equation   (63.60)

en n'oubliant pas que equation et que dans ce cas le facteur exponentiel devant equation est un changement de phase global sans influence.

Tout cela suggère que equation est suffisant pour décrire n'importe quel état de polarisation et donc tous les points de la sphère de Bloch.

Par ailleurs, nous pouvons voir que dans le système equation le point de coordonnées equation est le point opposé à celui de coordonnées equation:

equation   (63.61)

Nous avons par ailleurs (c'est immédiat):

equation   (63.62)

et donc des points opposés sur la sphère de Bloch correspondent à des qubits (états de polarisation) orthogonaux!

Ainsi, nous pouvons considérer seulement l'hémisphère supérieur de la sphère de Bloch puisque les points opposés ne différent que d'un facteur de phase -1 et sont donc équivalents dans la représentation de la sphère de Bloch.

Ainsi, la relation:

equation   (63.63)

est suffisante pour décrire toute la sphère de Bloch dans un espace complexe de dimension 2.

Par construction, chaque point donné par la relation précédente de dimension 2 contient une double représentation d'une rotation dans l'espace réel de dimension 3.

Nous avons vu par ailleurs dans le chapitre de calcul spinoriel qu'une rotation pouvait s'écrire sous la forme:

equation   (63.64)

avec pour rappel les matrices de Pauli:

equation   (63.65)

Soit avec l'écriture habituelle (traditionnelle) du domaine de l'informatique quantique:

equation   (63.66)

Soit après simplification de la dernière matrice:

equation   (63.67)

Maintenant considérons la rotation de notre vecteur d'état de polarisation (dû à un projecteur):

equation   (63.68)

Pour obtenir un coefficient de equation réel (afin d'avoir une observable dans la projection d'un axe), nous multiplions par un facteur de phase equation donnant:

equation   (63.69)

donc pour obtenir une rotation autour de l'axe z il suffit de changer equation.

Donc si nous revenons sur:

equation   (63.70)

il peut être montré de la même manière que dans un cadre général un opérateur qubit unitaire peut être écrit sous la forme observable:

equation   (63.71)

Il faut choisir ensuite les angles et l'axe de rotation pour définir complètement l'opérateur.

QUBIT DE POLARISATION

Nous allons revenir ici sur le cas de la polarisation du photon mais ce coup-ci, nous allons pouvoir généraliser grâce à la formulation de la sphère de Bloch à n'importe quel type de polarisation.

Imaginons pour cela un polariseur qui ne laisse passer que des photons polarisés verticalement suivis d'un photodétecteur, qui fait 'clic' si un photon est détecté et rien sinon. Ce dispositif nous permet de détecter les photons polarisés verticalement.

Traduisons ceci dans le langage de la mécanique quantique:

Les états du système sont donc les états de polarisation d'un photon. Les mesures de l'observable auront aussi pour valeur ses états de polarisation.

Les mesures possibles sont:

equation   (63.72)

Nous noterons les états correspondants equation. Dans notre configuration, il est alors évident que le couple equation représente les valeurs propres et equationles vecteurs propres d'un opérateur (que nous ne connaissons pas) et que nous noterons donc equation.

Comme nous le savons, equation est une base orthonormée de l'espace des états (de polarisation). C'est la base appelée "base H/V" pour Horizontale/Verticale et qui est notée normalement:

equation   (63.73)

Prenons maintenant plusieurs cas:

1. Soit un photon dans l'état:

equation   (63.74)

Alors:

equation   (63.75)

2. Soit un photon dans l'état mi-vertical/horizontal, c'est-à-dire oblique (ce qui peut être assimilé à la superposition quantique de ses deux polarisations):

equation   (63.76)

où la racine est juste là pour assurer la condition de normalisation equation. Effectivement:

equation   (63.77)

Alors puisqu'il y a superposition (soit la moitié de chaque dans l'onde totale):

equation   (63.78)

3. Prenons maintenant n'importe quelle polarisation (et c'est cela que nous n'avions pas avant!):

equation   (63.79)

qui est bien normé comme nous le savons. Alors:

equation   (63.80)

La somme des deux probabilités donnant bien 1!

Maintenant, imaginons que nous tournions le polariseur de equation. Nous noterons la nouvelle base de ce polariseur equation déterminée par une rotation d'angle equation avec par construction:

equation   (63.81)

où la première base correspond donc à la polarisation diagonale et la seconde est appelée polarisation antidiagonale. Il s'agit donc de la "base D/A" (Diagonale/Antidiagonale). Sous la forme des vecteurs de Jones ces deux dernières relations s'écrivent:

equation   (63.82)

Si nous imaginons que nous avons deux polariseurs qui se suivent. Le premier ayant la base D/A et le deuxième la base H/V, le premier va préparer le photon polarisé de manière générale dans un état (polarisation) particulier qui sera par construction l'état oblique pour la base H/V. Ainsi notre deuxième polariseur n'aura que des situations du type:

equation   (63.83)

Ainsi, cela montre que toute mesure perturbe bien évidemment l'état de polarisation du photon et perturbe donc l'état du système. Ce dernier résultat est utilisé en cryptographie quantique!

Nous remarquerons au passage qu'en utilisant l'opérateur de spin introduit lors de notre étude du chapitre de Physique Quantique Ondulatoire, nous avons:

equation   (63.84)

Qui est de la même forme que la relation suivante (relation liant vecteur propre et valeure propre) obtenue dans le chapitre précédemment mentionné:

equation   (63.85)

Et qui indique donc bien que l'état:

equation   (63.86)

est associé obligatoirement à une particule de spin 1/2. Nous remarquons aussi que cet état est un vecteur propre de l'opérateur equation associé à la valeur propre equation. Effectivement:

equation   (63.87)

Puisque dans le cas présent avec l'opérateur equation, nous avons immédiatement la valeur propre et le vecteur propre associé, sans faire de calculs intermédiaires, il vient que la probabilité de mesurer cette valeur propre (se référer pour rappel au 4ème postulat de la physique quantique ondulatoire qui associe opérature à mesure à travers la valeur propre) est facile à calculer car le vecteur propre est égal au vecteur d'état dans ce cas particulier. Alors:

equation   (63.88)

Si nous prenions un opérateur de spin autre que equation, le vecteur propre ne serait pas égal au vecteur d'état et alors il nous faudrait déterminer les valeurs propres de cet autre opérateur de spin choisi et déterminer les valeurs et vecteurs propres associés (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire). Il y aurait alors pour 2 valeurs propres et donc 2 vecteurs propres et alors deux probabilités.

QUBIT DE SPIN 1/2

Nous allons voir ici comment construire un qubit basé sur une particule possédant un spin de ½.

Lors de l'étude de la sphère de Bloch, nous avons examiné un qubit à un instant déterminé et nous avons vu que dans un espace de Hilbert H, ce qubit est décrit (par choix) par un vecteur unitaire:

equation   (63.89)

décomposé dans une base orthonormée equation.

Considérons l'état initial le plus général et minimal correspondant à une orientation arbitraire d'un spin:

equation   (63.90)

qui correspond comme nous le savons à deux états opposés (et superposés) sur la sphère de Bloch.

Remarquons que nous avons bien une probabilité normalisée de la forme:

equation   (63.91)

Nous avons également vu que la projection selon z par l'opérateur equation de l'état equation est donnée à l'arbitraire de phase par:

equation   (63.92)

Maintenant rappelons notre exemple:

equation   (63.93)

M était donc un opérateur hermitique. Or les matrices de Pauli sont des opérateurs hermitiques simples. De plus, comme nous l'avons démontré dans le chapitre de calcul spinoriel, l'opérateur hermitique equation (assimilé à M) a comme par hasard les mêmes valeurs propres et vecteurs propres correspondant aux deux relations. Mais s'écrit alors de manière traditionnelle comme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Spinoriel:

equation   (63.94)

ou de manière encore plus condensée:

equation   (63.95)

De plus cet opérateur satisfait aussi la relation:

equation   (63.96)

Et quelle est la propriété physique associée à equation? Eh bien il s'agit du spin et nous y reviendrons donc un peu plus bas car cela signifie que nous pouvons utiliser le spin 1/2 comme qubit.

Maintenant introduisons l'évolution du système sur cette projection car celui-ci n'est pas statique (mais ceci dit cela ne changerait rien à ce cas particulier de le considérer comme statique).

Nous avons vu dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire que cette opération consistait dans un cas simple (comme ici) à introduire un terme de phase dépendant du temps du type:

equation   (63.97)

Ainsi:

equation   (63.98)

Ce qui est noté plus sobrement:

equation   (63.99)

Rappelons que l'état d'une particule de spin 1/2 est bidimensionnel et décrit par la matrice d'état (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste):

equation   (63.100)

avec:

equation   (63.101)

Si nous voulons calculer la moyenne (l'espérance) de l'observable (propriété physique) selon chaque axe nous avons alors en utilisant le cinquième postulat dans le cas de l'axe x:

equation   (63.102)

Selon y:

equation   (63.103)

Et selon z:

equation   (63.104)

Nous retrouvons donc bien pour la composante z (car c'est la seule qui nous intéresse ici) le résultat qui était imposé plus haut sous la forme:

equation   (63.105)

à une différence d'angle qui n'est qu'histoire de substitution et d'une amplitude qui permet de mettre en adéquation la particularité de la configuration du système. Nous avons dès lors des relations mathématiques similaires en tout point en ce qui concerne la manipulation des qubits de spins orientés ou des qubits de photons polarisés.

La question que nous pouvons nous poser sur le spin est comment le préparer dans l'état equation? Au fait nous pouvons le faire avec un champ magnétique en copiant à l'identique l'expérience de Stern-Gerlach qui permet de séparer un faisceau de particules de spin ½ en deux faisceaux distincts.

Puisque nous connaissons maintenant toutes les valeurs propres et vecteurs propres de l'opérateur de spin S, nous pouvons alors déterminer la forme générale de l'opérateur de spin sous une orientation quelconque (!):

equation   (63.106)

Nous avons par ailleurs:

equation   (63.107)

Nous avons equation choisi qui est en plus d'être un vecteur d'état, un vecteur propre de equation avec la valeur propre equation . Donc la probabilité de mesure ce vecteur d'état particulier est égale à 1.

Maintenant, nous savons en utilisant le 5ème postulat que la probabilité de trouver la valeur propre equation (de l'opérateur equation), lors d'une mesure de la propriété S selon l'axe z effectuée au temps t sur le système quantique préparé dans l'état equation, est donnée par le carré du module de la projection de la fonction ou vecteur d'état equation sur le vecteur ou vecteur propre equation associé à la valeur propre equation (et de son opérateur selon cet axe).

Or l'opérateur selon z est:

equation   (63.108)

Pour le même opérateur, nous avons vu dans le chapitre de Calcul Spinoriel qu'il avait comme vecteurs propres:

equation   (63.109)

Prenons le premier vecteur propre orienté donc selon z sur la sphère de Bloch. Nous avons alors:

equation   (63.110)

Et la probabilité selon l'autre vecteur propre donnerait la même expression mais avec un sinus. La somme des deux probabilités nous donnerait alors bien 1!

Nous remarquons donc que les relations sont très similaires entre le photon et le spin dans notre cas d'étude. Ce qui est normal puisque les deux sont des systèmes à deux niveaux, d'où les résultats similaires.

PORTES LOGIQUES QUANTIQUES

Rappellons que nous avons posé plus haut que le construction d'un qubit quantique se faisait sur la base vectorielle:

equation   (63.111)

Donc in extenso, par linéarité (et c'est tout là l'astuce élémentaire!!!), toute transformation qui agit sur ces vecteurs de base, agira donc sur tout qubit du plan complexe.

Considérons le cas particulier pour cette introduction la porte logique qui modifie l'état des 1-qubit, c'est-à-dire des qubit qui sont colinéaires à un des vecteurs de base, en l'état opposé. C'est-à-dire de:

equation   (63.112)

Nous devinons assez vite que la matrice qui satisfait cette relation (attention le lecteur remarquera qu'il ne s'agit pas d'un cas particulier de la matrice de rotation dans le plan vu dans le chapitre de Géométrie Eucidienne!):

equation   (63.113)

et qui s'écrit parfois par les spécialistes:

equation   (63.114)

Et nous voyons que cette porte logique de négation des 1-qubit n'est autre que la première matrice de Pauli. Donc, nous pouvons aussi écrire:

equation   (63.115)

Négation que l'on appelle alors parfois "porte quantique de X-Pauli" ou "porte quantique NOT".

Maintenant cherchons la porte logique faisant la transformation strictement horlogique orthogonale suivante:

equation   (63.116)

Nous devinons assez vite que la matrice qui satisfait cette relation (attention le lecteur remarquera qu'il s'agit cette fois d'un cas particulier de la matrice de rotation dans le plan vu dans le chapitre de Géométrie Eucidienne!):

equation   (63.117)

et qui s'écrit parfois par les spécialistes (de façon un peu malheureuse...):

equation   (63.118)

Et nous voyons que cette porte logique de transformation dans le sens horlogique des 1-qubit fait intervenir la deuxième matrice de Pauli. Donc, nous pouvons aussi écrire:

equation   (63.119)

Négation que l'on appelle alors parfois "porte de Y-Pauli" et qui n'a pas d'équivalent classique.

Maintenant cherchons la porte logique faisant la transformation strictement anti-horlogique orthogonale suivante:

equation   (63.120)

Nous devinons assez vite que la matrice qui satisfait cette relation (attention le lecteur remarquera qu'il ne s'agit pas d'un cas particulier de la matrice de rotation dans le plan vu dans le chapitre de Géométrie Eucidienne!):

equation   (63.121)

et qui s'écrit parfois par les spécialistes (de façon un peu malheureuse...):

equation   (63.122)

Et nous voyons que cette porte logique de transformation dans le sens horlogique des 1-qubit fait intervenir la deuxième matrice de Pauli. Donc, nous pouvons aussi écrire:

equation   (63.123)

Négation que l'on appelle alors parfois "porte de Z-Pauli".

Maintenant revenons sur la transformation suivante que nous avions traité plus haut:

equation   (63.124)

En d'autres termes, il s'agit de la transformation (diagonale pour rappel):

equation   (63.125)

Nous remarquons vite que la matrice correspondante est alors:

equation   (63.126)

qui s'appelle "porte quantique de Hadamard" et correspond donc à une rotation anti-horlogique de equation.

Et nous pouvons continuer ainsi longtemps à créer des portes logiques quantiques empiriques... donc nous nous arrêterons ici.


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