
TRIGONOMÉTRIE
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NON-EUCLIDIENNES
GÉOMÉTRIE
PROJECTIVE | GÉOMÉTRIE
ANALYTIQUE | GÉOMETRIE
DIFFÉRENTIELLE
FORMES GÉOMÉTRIQUES
| THÉORIE DES GRAPHES
22.
GÉOMÉTRIES
NON-EUCLIDIENNES |
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Les
géométries
non-euclidiennes sont toutes les géométries qui satisfont
non nécessairement tous les axiomes
de Hilbert (cf. chapitre de Géométrie
Euclidienne)
mais sans en contredire aucun (contrairement aux anciens axiomes
d'Euclide et en particulier celui sur les parallèles).
Une représentation particulière de ce type de géométrie
consiste à définir
les points comme étant répartis sur la surface d'une
sphère (ce
sont les intersection des diamètres de la sphère
avec la surface), et les lignes, pour généraliser
le concept de droite, (nous disons maintenant "géodésique"),
comme les intersections de la surface de la sphère avec
les plans contenant le centre de la sphère. Deux points
définissent alors de façon unique une ligne
et un point est toujours donné par l'intersection de deux
lignes. Cependant, dans cette géométrie, si nous
nous donnons une ligne AB et
un point P, il n'existe aucune ligne passant par P et
ne coupant pas AB. Ainsi, le cinquième postulat d'Euclide
n'est pas satisfait car en P nous ne pouvons tracer aucune
parallèle à AB.

Figure: 22.1 - Exemple illustré de la violation du 5ème postulat d'Euclide
Remarque: Avant d'aborder ce chapitre, nous recommandons
vivement au lecteur d'avoir lu et si possible compris les chapitres
traitant
du Calcul Tensoriel, de Trigonométrie et de Géométrie Euclidienne
car nous allons utiliser grand nombre de résultats, non nécessairement
triviaux, que nous avons pu y démontrer.
Dans le chapitre de Géométrie
Euclidienne, nous avons étudié un certain nombre
de théorèmes
relatifs aux plans. Insistons maintenant sur le fait que le "plan"
et une figure bidimensionnelle dont la courbure est nulle et plongée
dans un espace à 3 dimensions
(donc le plan peut dès lors s'orienter).
Ceci précisé, il convient peut-être de définir
plus rigoureusement ce qu'est le concept intuitif de "courbure".
Définition: Une figure est dite "courbe" s'il
existe au moins en un point se situant sur la ou les droites,
surfaces,
volumes,
... la
délimitant une tangente non confondue au délimiteur
et donc tangente en un seul point.
C'est Gauss qui en 1824 avait formulé la possibilité qu'il
existe des géométries alternatives à celles
d'Euclide. Nous distinguons les géométries à "courbure
négative", comme celle du russe Nicolaï Lobatchevski
(1829) et Bolyai (1832) (somme des angles d'un triangle inférieure à 180°,
nombre infini de parallèles possibles à une droite
par un point), des géométries à "courbure
positive" comme celle de Riemann (1867) (somme des
angles d'un triangle supérieure à 180°,
parallèles se rejoignant aux pôles).
Nous allons
voir dans ce chapitre différentes géométries
non-euclidiennes dont les plus connues sont les "géométries
Riemanniennes"
(à courbure constante)
et les "géométries de
Lobatchevski" (de
type hyperbolique donc à courbure
non-constante).
Remarque: La géométrie
communément appelée
"géométrie de Riemann" est un espace sphérique
à trois dimensions, espace fini et cependant sans bornes,
à courbure régulière, alternative au postulat
Euclidien des parallèles.
L'intérêt de
l'étude de ces géométries est que nous ne
pouvons déterminer si
l'Univers dans lequel nous vivons est fait d'un type de géométrie
plutôt que d'un autre car étant donné notre
taille (physique), plongés
que nous sommes dans quelque géométrie que ce soit à faible
courbure, toute surface de l'espace nous semble localement euclidienne
(deux
droites parallèles ne se coupent pas). Cependant, la relativité
générale, qui fait usage à outrance du calcul
tensoriel (généralisation
de n'importe quelle géométrie) montre qu'il existe
des zones de l'espace où la géométrie est très
fortement courbée et donc localement
non-euclidienne et seulement l'étude de ce genre de géométries
nous permet de tirer des théories expliquant des observations
qui ne sont pas exploitables uniquement avec l'intuition humaine.
Avant de nous
attaquer de manière formelle et abstraite à certaines
géométries
non-euclidiennes nous allons d'abord faire une introduction pragmatique
et particulière de certains concepts qui ne nous sont
pas totalement
étrangers car déjà traités dans d'autres
chapitres de manière
théorique. Une fois cette introduction faite, qui nous
sera très
utile pédagogiquement parlant, nous aborderons les concepts
vus plus rigoureusement.
GÉODÉSIQUE ET ÉQUATION MÉTRIQUE
Revenons donc sur les concepts de géodésique et courbure dont
nous avons souvent fait mention dans le chapitre de Calcul Tensoriel
(le fait de ne pas avoir lu ce chapitre ne pose aucun problème
normalement à la compréhension de ce qui va suivre).
Considérons la surface bidimensionnelle d'une sphère
de rayon R.
Étant donnés deux points B et C diamétralement
opposés,
nous cherchons la plus courte distance s mesurée
sur la sphère
entre B et C. La courbe obtenue est comme nous le
savons une "géodésique", notion qui généralise
donc, pour une surface arbitraire, la notion de droite du plan.

Figure: 22.2 - Illustration du problème pour la recherche de la géodésique
Remarque: Nous supposerons comme intuitif que la longueur
d'une courbe de l'espace tridimensionnel euclidien est toujours
supérieure
ou égale à la longueur de toute projection plane
de cette courbe. La courbe géodésique est donc
nécessairement
une courbe plane.
Le rayon entre l'axe Oz et l'un des points B ou C est
trivialement donné par un peu de trigonométrie élémentaire:
(22.1)
Et donc la moitié du périmètre du cercle à hauteur de B et C sera
donné par:
(22.2)
Et nous avons démontré dans le chapitre de Trigonométrie
que le périmètre d'un cercle en fonction de l'angle
d'ouverture de ce dernier étant donnée par:
(22.3)
Il vient donc automatiquement:
(22.4)
Comme sur
l'intervalle alors (il
y a égalité en et ).
Les géodésiques de la sphère sont donc les arcs de grands cercles,
trajets empruntés par les avions pour les vols intercontinentaux,
et correspondent aux lignes obtenues entre la surface de la sphère
et un plan passant par le centre de celle-ci.
Les propriétés géométriques des figures
tracées sur la
surface d'une sphère ne sont donc plus celles de la
géométrie
euclidienne. Ainsi, le plus court chemin d'un point B à un
point C, sur la surface sphérique, est constitué par
un arc de grand cercle passant par les points B et C.
Les arcs de grand cercle jouent le même rôle
pour la sphère que les droites dans le plan. Ce sont
les "géodésiques" de
la sphère.
Considérons maintenant deux surfaces bidimensionnelles: la surface
de la sphère et celle du cylindre. Etant donnés deux points B et C,
nous traçons la courbe géodésique entre ces points:

Figure: 22.3 - Représentation plan de la surface latérale d'un cylindre
Le cylindre peut être découpé parallèlement à son axe et déplié à plat.
La géodésique apparaît ainsi comme une droite du plan. Nous disons
alors que le cylindre est "intrinsèquement plat" (même
si sa topologie diffère de celle du plan, il faut en particulier
ici éviter que la coupure ne traverse la géodésique). Ce n'est évidemment
intuitivement pas le cas de la surface de la sphère.
Dans le cas de la surface cylindrique, nous pouvons définir les
coordonnées cartésiennes du plan et permettant
d'écrire la longueur s de la courbe (droite) BC sous
la forme du théorème de Pythagore:
(22.5)
La métrique du plan est euclidienne et sous forme infinitésimale
nous obtenons "l'équation
métrique euclidienne":
(22.6)
Sur le cylindre, le changement de variable donne:
(22.7)
Ou sous forme locale:
(22.8)
La surface du cylindre peut ainsi être représentée
par des coordonnées
cartésiennes analogues à celles du plan, la métrique
de la surface du cylindre étant euclidienne sous forme infinitésimale
et sous forme globale.
Remarque: La
relation précédente correspond à ce que nous avions
obtenu dans le chapitre de Calcul Tensoriel pour l'équation métrique
en coordonnées polaires.
Nous pouvons nous intéresser maintenant au problème d'écrire l'analogue
du théorème de Pythagore pour une surface sphérique. L'impossibilité de
découper la sphère et de l'aplatir pour épouser un plan suggère
des difficultés...
C'est la raison pour laquelle l'équation de la métrique
ne peut s'écrire sous forme générale comme
le théorème de Pythagore. Effectivement,
nous avons vu dans le chapitre de Calcul Tensoriel que celle-ci était
donnée pour une surface sphérique par:
(22.9)
Cependant, localement (c'est-à-dire dans une région
de petite dimension devant le rayon de la sphère), les propriétés
de la sphère
peuvent être décrites par des coordonnées cartésiennes
d'un plan tangent à sa surface (c'est la propriété essentielle
des espaces de Riemann!) tel que l'équation métrique
soit localement euclidienne:
(22.10)
En posant:
(22.11)
il
vient alors:
(22.12)
Avec:
(22.13)
Alors que sont
les "coordonnées de Gauss", sont
les "coordonnées de Riemann"
du plan localement tangent. Ainsi, nous reamrquons que l'espace
Euclidien est un cas particulier des coordonnées de Gauss pour
lequel nous avons:
(22.14)
et donc le tenseur métrique est une matrice identité
(les éléments de la diagonale sont égal à 1 le reste étant nul).
ESPACES DE RIEMANN
Pour mieux
comprendre ce qu'est un espace de Riemann, nous allons de suite
passer par un petit exemple d'une surface à deux dimensions (exemple
très classique):
Considérons
une sphère de rayon R,
de surface S,
située dans l'espace ordinaire à trois dimensions. Les coordonnées
cartésiennes x, y,
z d'un
point M de
la surface S peuvent
s'exprimer, par exemple, en fonction des coordonnées
sphériques .
La sphère est entièrement décrite pour un rayon donné et et
.
Trois
tels paramètres, permettant de déterminer un
point sur la surface d'une sphère, sont nous le savons
(cf.
chapitre de Calcul Tensoriel) des coordonnées
curvilignes sur la surface ou
également dites "coordonnées
de Gauss" (Gauss étant
un des premiers mathématiciens à s'intéresser
à l'étude des corps plongés dans les espaces
non-euclidiens). D'autres paramètres quelconques u,
v, w peuvent
évidemment être choisis comme coordonnées curvilignes
sur la surface.
L'élément
linéaire de la surface ,
carré de la distance entre deux points infiniment voisins M,
M ',
s'écrit en fonction des coordonnées sphériques, comme nous
l'avons démontré dans le chapitre de Calcul Tensoriel:
(22.15)
Nous obtenons ainsi une expression de l'élément
linéaire en fonction des trois seules coordonnées de Gauss .
Nous pourrions bien sûr imposer une étude locale (plan
tangent) afin que l'élément linéaire ne soit plus
fonction que de comme
nous l'avons vu plus haut:
(22.16)
Écrire à l'aide des trois paramètres,
la surface de la sphère (considérée comme
un espace à deux dimensions)
constitue un exemple d'espace de Riemann à deux dimensions.
Dont l'élément linéaire est
de la forme générale bien connue (cf.
le chapitre de Calcul Tensoriel):
(22.17)
où les sont
les composantes contravariantes du vecteur par
rapport au repère naturel .
Remarque: L'étude des figures sur des surfaces
Riemanniennes fait partie de la géométrie différentielle à laquelle
nous consacrons un chapitre entier dans cette section.
Considérons à présent une surface quelconque de
coordonnées
.
Les coordonnées cartésiennes x, y, z de
l'espace ordinaire où se trouve plongée cette surface s'écrivent
de manière générale avec les coordonnées
de Gauss:
(22.18)
Remarquons par ailleurs que l'équation métrique
sous forme tensorielle:
(22.19)
peut s'écrire sous forme développée de la
manière
suivante (cette relation est démontrée avec
une approche géométrique
dans le chapitre de Géométrie Différentielle):
(22.20)
avec:
(22.21)
Remarques:
R1. L'expression donnée ci-dessus de l'élément
linéaire s'appelle "forme quadratique
fondamentale" de
la surface considérée. Les coefficients E, F, G sont
des fonctions des coordonnées curvilignes. De manière
générale cette
surface, considérée comme un espace à deux dimensions, constituera
un exemple d'espace de Riemann, pour des coordonnées curvilignes
arbitraires.
R2. Les différents espaces de Riemann constituent ce que
nous appelons sous une forme générale (parce qu'il
n'y pas que des espaces de type Riemannien à courbure constante)
une "variété"
munie d'une métrique Riemannienne. Une variété peut être
définie
(non formellement), par exemple, par un ensemble de points situés
dans un espace préexistant. De manière générale
une surface donne l'idée d'une variété à deux
dimensions. La sphère et le tore
sont des variétés à deux dimensions sans frontière.
Un cylindre de révolution, un paraboloïde hyperbolique,
sont des variétés à
deux dimensions ouvertes, avec frontières à l'infini. Mais
nous pouvons aussi envisager des variétés abstraites.
C'est le cas par exemple d'un espace de configuration. Il s'agit
alors d'un espace
de points à n dimensions représenté par
un ensemble
(ou
noté )
de coordonnées généralisées (voir
l'introduction au formalisme lagrangien dans la section de mécanique
analytique), ces dernières pouvant
avoir des valeurs comprises dans un domaine fini ou non.
Nous pouvons maintenant mieux définir
ce qu'est un espace de Riemann.
Définition: Un "espace
de Riemann"
est une variété à laquelle nous avons attaché une métrique. Cela
signifie que, dans chaque partie de la variété, représentée analytiquement
au moyen d'un système de coordonnées ,
nous nous sommes donné une forme différentielle quadratique:
(22.22)
qui constitue la métrique de l'espace.
Les coefficients ne
sont pas entièrement arbitraires et doivent vérifier, nous l'avons
démontré dans le chapitre de Calcul Tensoriel, les conditions
suivantes:
C1.
Les composantes sont symétriques .
C2. Le déterminant de la matrice est
différent de zéro.
C3. La forme différentielle de l'élément
linéaire,
et par conséquent le concept de distance défini par
les ,
est invariante vis-à-vis de tout changement de
coordonnées.
C4. Toutes les dérivées partielles d'ordre deux
des existent
et sont continues donc de classe .
Un espace de Riemann est donc un espace de points,
chacun étant repéré par un système
de n coordonnées
,
doté d'une métrique quelconque telle que la forme
différentielle de l'élément linéaire
vérifiant les conditions
précédentes.
Cette métrique est dite dès lors "métrique
Riemannienne".
Remarques:
R1. Si la métrique est définie positive, c'est-à-dire
si pour tout vecteur non
nul, nous disons que l'espace est "proprement
Riemannien".
Dans ce cas, le déterminant de la matrice est
strictement positif et toutes les valeurs propres de la matrice
sont
strictement positives.
R2. Par définition, nous disons qu'une métrique
d'un espace est euclidienne lorsque tout tenseur fondamental de
cet espace peut être ramené, par un changement approprié de
coordonnées,
à une forme telle que (cf. chapitre
de Calcul Tensoriel) la base
orthonormée canonique: .
R3. La définition des espaces Riemanniens montre que l'espace
euclidien est un cas très particulier de ces espaces. Il
n'existe donc qu'un seul espace euclidien alors que nous pouvons
créer une
infinité d'espaces Riemanniens.
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