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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Depuis Chasles et
jusque dans les années
1930, la géométrie projective était souvent
synonyme de "géométrie supérieure".
Elle s'opposait à la géométrie euclidienne: élémentaire...
et analytique. À l'époque
de Monge, de Carnot, de von Staudt, on parlait aussi de "géométrie
de position" ou de "situation". Ces géométries
étudient les figures au point de vue de leurs positions
respectives et des propriétés invariantes qui les
lient dans une transformation géométrique (rotation,
symétrie,
homothétie,etc.) homographique tout particulièrement.
Outre la division harmonique, notion de base, elle fait appel
au
célèbre rapport anharmonique (birapport), à
l'inversion, l'involution, la transformation par polaires réciproques,
la projection stéréographique, la corrélation,
l'homologie, la dualité, les coniques, etc. (voir plus
loin dans ce texte pour les définitions).
La géométrie projective
très abstraite en dehors de quelques généralités
et principes de base exposés ci-dessous. Elle est donc
relativement difficile à appréhender et requiert,
avant de s'y plonger, une bonne connaissance en géométrie élémentaire
voire, dans l'espace, une parfaite maîtrise de l'espace
tridimensionnel, dans le cycle observation-représentation-interprétation.
Ceci nous a amené à introduire certains concepts
qui n'ont normalement pas leur place ici, mais qui nous le
pensons, peuvent
aider grandement l'intéressé à mieux comprendre
cette branche des mathématiques.
Dans un
premier lieu, nous allons étudier les concepts élémentaires de
la perspective en s'attardant particulièrement sur le concept
de présentation
"projective" (il existe d'autres méthodes de perspective
empiriques: cavalière, isométrique, militaire, … mais ces
dernières
n'ont pas de sens mathématique ou réel même si elles représentent
assez convenablement des objets volumiques). Ensuite, nous étudierons
les représentations mathématiques de quelques objets tridimensionnel
dans le cadre d'applications pour enfin passer à l'étude
de la géométrie projective dure. Enfin, nous étudierons
la mathématique utilisé dans la représentation
informatique des formes géométriques (splines,
courbes de bézier, etc...)
Remarque: La "géométrie
descriptive" est
une forme artistique rigoureuse de la géométrie
projective mais non formelle (dans le sens qu'elle ne s'étudie
pas mathématiquement).
PERSPECTIVE
CONIQUE (CENTRALE)
Un des
problèmes de l'étude des volumes tridimensionnels et de leur représentation
est le concept de "perspective".
Effectivement, l'être
humain ne peut voir les 3 dimensions d'un objet, c'est le cerveau
qui interprète les ombres et reflets d'un objet afin que nous
l'interprétions
comme ayant un volume (il existe des illusions d'optique qui vont
dans ce sens…: les trompe l'oeil).
Nous allons
nous intéresser dans les paragraphes qui suivent à la "perspective
conique",
aussi appelée
"perspective centrale" ou encore "linéaire".
Remarque: Dans le domaine de la géométrie
projective nous ne parlons pas de "perspective conique"
mais de "projection conique".
Définition: La "perspective
conique" ou "projection
perspective" est par
construction la représentation
la plus proche de nos perceptions visuelles, elle permet notamment
de voir une sphère
comme un cercle.
Remarque: La perspective conique est celle des peintres de la Renaissance.
C'est aussi celle qui apparaît sur une photo.
La difficulté
de la représentation en perspective est de traduire dans un plan
(celui de la feuille de papier par exemple ou l'écran d'ordinateur)
une construction qui
est définie - de manière assez simple, d'ailleurs - dans l'espace
à l'aide d'outils mathématiques.
Une projection conique de
l'espace usuel à 3 dimensions est donc transformation projective
qui envoie tous les points de cet espace sur un même plan de cet
espace. Elle
nécessite la donnée d'un point O (équivalent à la
position de l'oeil de l'observateur) et d'un plan de projection
appelé "tableau"
ou encore "Vitre de Dürer" (l'équivalent de la
rétine).
Nous
verrons lors des développements théoriques que contrairement aux
projections affines (voir le sous-chapitre suivant), la projection
conique ne conserve pas le barycentre (donc les rapports de longueurs
sur une droite donnée) mais elle conserve l'alignement et le birapport.
Lorsque
nous parlons de perspective conique, nous utilisons quelques
plans et droites particuliers dans l'espace tridimensionnel
(voir figure plus bas):
- Le
"plan du tableau" ou "vitre
de Dürer", noté T,
est le plan sur lequel nous faisons le dessin (plan de
projection).
- Le
"plan du sol", noté S,
est un plan fixé, perpendiculaire au tableau T.
- Le
"point de vue" (ou
"centre de projection"),
noté O,
est un point hors de T et
de S:
c'est le point où devra se placer l'oeil pour que le dessin
sur le tableau T coïncide
avec l'image réelle.
- Le
"plan de l'horizon",
noté H,
est le plan parallèle au plan du sol S passant
par le point de vue O.
- La
"ligne d'horizon",
notée h,
est l'intersection du plan d'horizon H et
du tableau T.
- La
"ligne de Terre", notée LT,
est l'intersection du plan de sol S et
du tableau T.
- Un plan
ou une droite parallèles au plan du sol S sont
appelés "horizontaux".
- Un
plan ou une droite perpendiculaires au plan du sol S sont
appelés "verticaux".
- Un plan
ou une droite parallèles au tableau T sont
appelés "frontaux".
- Un plan
ou une droite perpendiculaires à T sont
appelés de "bout".
Voici
un schéma qui représente ces différentes notions:
Figure: 23.1 - Définition des plans et droites de la géométrie projective
IMAGES
DE POINTS
Tout
objet volumique (ce qui ne peut être déterminé qu'au touché ou
au niveau de l'abstraction mathématique) composé par un ensemble
de points M,
est à notre cerveau, l'image d'une projection plane m dont
le support est une surface dans l'espace se trouvant entre
l'objet
observé et notre oeil.
En mathématiques, cette surface appelée donc
"tableau" est délimitée
dans sa vue centrale par la ligne d'horizon (là où se situent
les points de fuite) et par un référentiel physique
appelé donc
la ligne
de terre (voir schéma
ci-dessous):
Figure: 23.2 - Exemple visuel de ce qu'est le "tableau" en géométrie projective
La hauteur entre la ligne de Terre et le point de vue est
appelée la "hauteur d'horizon" et
est notée h.
L'objectif à partir de ce schéma est de déterminer mathématiquement
une représentation d'un objet volumique sur une surface (plan
dans un cas simple, quelconque sinon) en connaissant l'équation
de la droite entre le point M et
le point V (point
de vue) afin d'en déterminer les coordonnées d'intersection
entre cette droite et le tableau.
Nous pouvons du schéma ci-dessus tirer les relations suivantes
selon les théorèmes de Thalès (cf. chapitre
de Géométrie Euclidienne)
dans les différents
triangles:
(23.1)
avec .
Si nous posons ,
conformément à ce que nous montre le schéma
ci-dessus, les
coordonnées du point m deviennent:
et
(23.2)
À partir de ces relations, le problème de la représentation
plane d'une forme volumique est complètement résolu,
puisque nous pouvons toujours projeter un point (ou la distance
entre deux points)
sur un tableau à partir des coordonnées de l'original.
Le terme est
communément appelé la "longueur focale" du point de vue
à l'écran et les spécialistes de l'optique le notent habituellement
par la lettre f.
Pour mieux comprendre ce dernier résultat, nous pouvons
nous mettre dans le contexte d'une étude bidimensionnelle
où l'observateur
est à la hauteur de la ligne de Terre (h=0)
et disposé de façon à représenter une personne regardant
le tableau (assimilable à un écran télé,
ordinateur ou tout autre) dans lequel nous posons les axes conventionnels x et
y dans
le plan de l'écran et
Z perpendiculairement
(ainsi, relativement au premier schéma, Y devient
Z et
inversement).
Ainsi, la relation précédente des rapports:
(23.3)
devient avec ce changement d'axes:
(23.4)
et comme h=0 (ce qui est souvent le cas devant des écrans):
(23.5)
Remarque: Cette
relation est une forme particulière de ce
que nous appelons les "transformations
homographiques". Nous reviendrons plus loin sur celles-ci
et démontrerons certaines de leurs propriétés.
Si le tableau
est posé sur l'axe du référentiel (le tableau de projection
est assimilé à l'écran), nous avons alors z'=0 ce
qui nous donne:
(23.6)
et en procédant
de même:
(23.7)
Remarque: Ces deux dernières relations sont celles que nous utilisons
pour faire des animations 3D programmées dans le logiciel
Macromedia Flash 6.0 (par exemple).
Nous voyons sur les deux dernières relations un terme identique:
(23.8)
ce terme correspond à la "profondeur" de la perspective.
Dans certains ouvrages, cette profondeur est notée (simple
mise en facteur):
(23.9)
Si nous considérons deux points (
ou )
visibles de la surface d'un volume vu par un observateur et leur
distance respective ou
,
ces grandeurs se conservent si les deux points se confondent dans
le plan du tableau car nous avons alors:
P=1
(23.10)
puisque .
Il est intéressant d'étudier quelle doit être la valeur de
la focale pour afin
d'avoir ou
.
Ainsi, si nous prenons la limite:
(23.11)
en appliquant la règle de l'Hospital (dérivée au numérateur
et dénominateur) et en se rappelant que z est
fixé, alors:
(23.12)
De ce résultat, nous pouvons conclure la chose suivante:
Pour que toute distance réelle entre deux points non confondus
dans le tableau mais se trouvant dans un même plan aient une distance
de projection égale, il faut que les équations
des deux droites qui déterminent leur intersection avec
le tableau soient parallèles.
Ce qui implique, puisque l'observateur est un point convergent,
qu'il faut éloigner l'observateur à une distance infinie
du plan pour conserver les grandeurs ainsi projetées sur
le tableau: c'est la "projection parallèle orthogonale" aussi
parfois appelée "projection parallèle
orthographique".
Un très bon exemple pour visualiser ces résultats est de
programmer en pseudo-3D sur un ordinateur.
Exemple:
Il existe de nombreuses manières de faire de la 3D avec
l'informatique. Les plus connues techniquement parlant sont avec
OpenGL ou DirectX
ou du C++ mais ne sont pas très faciles à aborder...
nous allons donc voir comment faire tourner une pseudo-sphère
dans l'espace projectif avec Macromedia Flash 6.0 dans le but de montrer
comment
s'appliquent les différents éléments théoriques
présentés plus
haut mais aussi de montrer que ce ne sont pas les seuls outils
disponibles.
PS: Je regrette d'avoir fait l'exemple avec un logiciel peu accessible
à tous. Si j'ai du temps je referai l'exemple avec un logiciel
comme Microsoft Office PowerPoint.
Pour cela, ouvrez le logiciel Macromedia Flash 6.0 et enregistrez
la nouvelle animation sous le nom Cercle.fla:
Figure: 23.3 - Interface de Macromedia Flash 6.0
Avec l'outil Cercle dans la barre de dessin, dessinez
un cercle de dimension respectable dans la zone d'animation:
Figure: 23.4 - Dessin d'un cercle
Ensuite après avoir sélectionné votre cercle, avec l'outil Remplissage choisissez
un Dégradé Radial:
Figure: 23.5 - Palette de couleurs pour remplissage du cercle
Faites un clic-droit sur le cercle et choisissez l'option Convert
to Symbol et saisissez les informations telles que présentées
ci-dessous:
Figure: 23.6 - Boîte de dialogue de converstion d'objet en symbole
Renommez le calque où se trouve votre movie clip avec le nom 3d
clip:
Figure: 23.7 - Renommage du calque d'animation
Faites un double-clic sur votre cercle pour entrer dans votre
Movie Clip.
Sélectionnez-y à nouveau le cercle, faites un clic-droit
dessus et sélectionnez Convert to Symbol:
Figure: 23.8 - Définition des plans et droites de la géométrie
projective
Ensuite, dans les propriétés du cercle saisissez-y le nom Point:
Figure: 23.9 - Double conversion en symbole
Maintenant, dans le Movie Clip nommé Cercle, nous allons
insérer trois frames: la première pour définir les fonctions mathématiques
recalculant les différentes variables, la deuxième qui appelle
les fonctions, la troisième qui permet de relancer en boucle et
indéfiniment la deuxième.
Afin de faire les choses au propre, nous allons créer un deuxième
calque (en renommant celui qui contient notre cercle en Cercle)
que nous appellerons Code:
Figure: 23.10 - Selon l'usage on fait un calque de code
Faisons un clic-droit sur la troisième image du calque
contenant notre cercle:
Figure: 23.11 - Préparation d'une animation de base sur 3 images
et choisissons l'option Insert Frame et pour le calque Code faites
presque de même, mais en choisissant l'option Insert Key Frame.
Vous devriez alors obtenir le visuel suivant:
Figure: 23.12 - Résultat à obtenir
Ensuite en sélectionnant la première image du calque Code activez
l'affichage des Actions pour y insérer le code suivant:
Faites de même avec la deuxième image du calque Code, mais
en mettant:
et enfin de même avec la troisième image, mais en y mettant:
Nous obtenons alors le résultat suivant:
Figure: 23.13 - Animation Flash 6.0 du résultat intermédiaire
Nous allons maintenant faire intervenir l'axe Z en fixant Y (et
en faisant donc bouger Z). Bien évidemment, nous ne verrons
rien se passer en ce qui concerne Z tant que nous
ne définissons pas la projection homographique et parce
qu'un ordinateur est incapable de montrer basiquement le concept
de profondeur... Le code s'écrit alors:
Le calcul de Zpos va nous permettre plus loin de calculer
la profondeur du mouvement de l'objet selon l'axe Z. Et
c'est là qu'interviendra la projection homographique.
Nous obtenons alors une pseudo-sphère qui tourne autour
d'un axe dans un plan perpendiculaire à l'écran. Raison
pour laquelle nous voyons la pseudo-sphère faire des allers-retours
gauche/droite (le concept d'éloignement n'est pas encore
présent
faute de présence d'un facteur profondeur):
Figure: 23.14 - Animation Flash 6.0 du résultat intermédiaire
Maintenant nous allons utiliser les relations:
(23.13)
démontrées plus haut. Si nous cherchons à représenter la profondeur
de tout point du tableau de projection c'est le rapport de distance
entre deux des points de ce tableau qui vont nous intéresser pour
déterminer le changement d'échelle:
(23.14)
Il faudra donc appliquer ce résultat comme définissant l'échelle
du tableau de projection.
Nous avons alors le code suivant où la profondeur P joue
sur la hauteur et la largeur de la surface d'animation de l'instance Point de
notre pseudo-sphère:
Ce qui nous donne:
Figure: 23.15 - Animation Flash 6.0 du résultat intermédiaire
et bien évidemment cela fonctionne quelle que soit l'équation
paramétrique
de la trajectoire! Nous pouvons ensuite copier cette instance d'animation,
changer la hauteur, l'angle de départ pour avoir les 4 sommets
d'un cube qui tourne dans l'espace.
C'est la prochaine étape:
Effectivement, changeons notre code comme indiqué ci-dessous
pour avoir quatre pseudo-sphères tournant autour d'un axe Z imaginaire
sortant de l'écran (nous utilisons les matrices de rotation
démontrées
dans le chapitre de Géométrie Euclidienne):
Ce qui nous donne en charme... quatre pseudo-sphères tournant autour
d'un centre commun:
Figure: 23.16 - Animation Flash 6.0 intermédiaire
Maintenant, nous inversons Y et Z à nouveau et
appliquons la projection homographique:
Et nous obtenons:
Figure: 23.17 - Animation Flash 6.0 intermédiaire
Pour la suite, nous allons générer 8 pseudo-sphère
et au lieu de les faire tourner toujours autour du même axe, nous
allons les faire tourner autour des 3 axes X, Y ou Z en
utilisant les variables XAngle, YAngle ou ZAngle et
les matrices de rotation autour de chacun de ces axes respectifs:
Et voici le résultat final:
Figure: 23.18 - Animation Flash 6.0 finale
Comme le Flash est quasiment mort entre temps...
un internaute
a refait l'exemple ci-dessus avec du WebGL dont voici le
code:
Ce qui donne:
IMAGES
DE DROITES
Déterminons à partir des résultats précédents, l'image d'une droite
parallèle
à la ligne de terre (donc à l'axe
x)
du tableau XY. Dans ce cas, nous avons:
(23.15)
où a et b sont des constantes et pour toute valeur
de h. Ce qui nous donne d'après les relations obtenues
plus haut:
(23.16)
Donc toute droite parallèle à la ligne de Terre devient en perspective
une droite se trouvant à une hauteur y' dans
le plan parallèle à XY de
notre écran (on pouvait le deviner intuitivement…).
Pour toute droite parallèle à l'axe Z de
l'écran (donc dans sa "profondeur"), nous avons:
(23.17)
où a et b sont des constantes et pour toute valeur
de h. Ce qui nous donne:
(23.18)
Les droites d'équation:
(23.19)
passent toutes par le point lorsque qui
est le "point de fuite principal" et
par le point lorsque tel
que représenté sur la projection ci-dessous faite dans Adobe
Photoshop (les lignes horizontales ont été rajoutées pour donner
l'effet de perspective):
Figure: 23.19 - Exemple d'un point de fuite unique
À
partir de la figure ci-dessus, nous pouvons définir le concept "d'angle
de fuite" donné par la figure ci-dessous:
Figure: 23.20 - Exemple d'angle de fuite
Une
représentation géométrique autre peut aider à mieux comprendre
le résultat. Rappelons donc que le point de fuite d'une droite D est
le point d'intersection F du
plan du tableau T avec
la droite parallèle à D passant
par O.
Deux droites parallèles D et
D' ont
donc le même point de fuite. Représenté comme ci-dessous:
Figure: 23.21 - Autre représentation des points de fuite
Si
nous notons A le
point d'intersection de D avec
T,
le dessin en perspective de D est
la droite ,
intersection de T avec
le plan contenant O et
D. Puisque
deux droites parallèles ont le même point de fuite F,
elles sont donc représentées par deux droites sécantes en F.
Pour
toute droite quelconque se situant dans le plan XZ de
l'écran (donc dans sa "profondeur"), nous avons:
et
pour
(23.20)
ce qui nous donne:
(23.21)
De cette dernière équation, nous déduisons:
(23.22)
en portant z dans
l'expression de x:
(23.23)
nous remplaçons x et
z dans
l'équation de la droite ,
et calculs et simplifications faits, nous trouvons:
(23.24)
Examinons le cas particulier de droites passant par les sommets
opposés d'un carrelage, c'est-à-dire inclinées à donc
avec un coefficient directeur (une pente) de .
L'image de ces droites est alors donnée par:
(23.25)
Si
,
nous avons selon la relation ci-dessus:
(23.26)
cela
signifiant que toute projection de droites de coefficient
directeur
se
situant dans le plan XY pour
constitue
des points de fuite secondaires situés sur la ligne d'horizon à
une distance égale de part et d'autre du point de fuite principal
tel que représenté ci-dessous (dans le contexte d'un cours sur
Adobe Photoshop, nous y avons rajouté un cube dans cette perspective):
Figure: 23.22 - Exemple de point de fuite secondaire
Nous voyons bien
dans la figure ci-dessus la symétrie par rapport à l'axe vertical
et les deux points de fuites qui sont l'origine du carrelage.
Considérons
maintenant des droites parallèles à l'axe Y de
l'écran et leur équation de projection si et
:
(23.27)
Ces
droites images restent donc des droites parallèles à l'axe y.
Autrement dit, les droites images restent parallèles aux
droites
"objet" tel que représenté ci-dessous (pour
différentes
positions du point d'observation):
Figure: 23.23 - Différentes perspective en fonction des valeurs des constantes
Prenons pour exemple de ce dernier
résultat, des segments de même hauteur H dont
le pied est sur le plan horizontal:
(23.28)
La hauteur du segment image se déduit
par:
(23.29)
Considérons maintenant ,
c'est-à-dire des colonnes verticales de même hauteur H alignées
sur la droite .
Calculons les coordonnées des sommets images:
(23.30)
C'est l'équation d'une droite et remarquons
que toutes ces droites joignant les sommets passent par le point
de coordonnées qui
n'est d'autre que le point de fuite principal P.
Une
représentation géométrique peut à nouveau aider à la compréhension
des résultats précédents. Soit la figure suivante:
Figure: 23.24 - Représentation géométrique du cas particulier présenté plus haut
La
ligne de fuite du plan P est
la droite d'intersection h' du
plan P',
parallèle à P et
passant par O,
avec le plan du tableau. Elle contient par conséquent
les points de fuite de toutes les droites contenues
dans P comme
nous l'avons déjà démontré.
Le
point de fuite principal du plan P est
le projeté orthogonal F' du
point O sur
la droite h'.
C'est le point de fuite des droites de P parallèles
à ,
donc orthogonales à h'.
Il
résulte de ces définitions que deux plans parallèles ont les mêmes
éléments de référence.
À
partir de l'exposé précédent, nous avons une
nouvelle méthode pour
présenter un objet en rotation dans un espace tridimensionnel.
Au lieu de faire tourner l'objet autour de différents
axes, nous pouvons imaginer à l'aide des équations ci-dessus
faire tourner l'observateur autour de l'objet (c'est un point
de vue…).
Nous
n'avons considéré ici que la perspective projective sur un plan.
Au fait, pour travailler sur des méthodes de projection quelconques
(sphère sur plan, plan sur sphère, sphère sur sphère, n'importe
quoi sur n'importe quoi) il suffit d'étendre l'analyse que nous
avons faite ci-dessus dans un système de coordonnées adapté au
système
étudié (coordonnées polaires, cylindriques, sphérique, …).
C'est probablement ainsi que procèdent les logiciels de simulation
3D pour projeter une image sur une surface réfléchissante et semi-transparente
tel qu'un verre ondulé.
Remarque: Des résultats que nous avons obtenus ci-dessus,
nous pouvons tirer une conclusion intéressante et intuitive: Pour
que l'observateur d'une photo ou d'un tableau voie l'image telle
qu'elle était à l'origine,
celui-ci doit se placer à des coordonnées déterminées du tableau
(de la photo ou du tableau).
Un logiciel comme Adobe Illustrator propose depuis le début des
années 2010 un outil pour créer des perpsectives à un point de
fuite, à deux points de fuite et à trois points de fuite:
Figure: 23.25 - Perspectives à 1, 2 et 3 points de fuite générées par Illustrator
PERSPECTIVES
AFFINES
Même si
la meilleure méthode de la représentation en perspective
est la méthode la perspective conique, nous ne pouvons
nous permettre systématiquement de faire de grosses quantités
de calcul pour représenter
un volume. Ainsi, il est possible de définir des techniques
de perspectives qui découlent d'une approximation des résultats
mathématiques obtenus
précédemment pour arriver à deux techniques (il en
existe un plus grand nombre mais ces deux perspectives sont de
loin les plus utilisées)
que l'on retrouve quotidiennement sur de nombreux supports papiers
techniques ou artistiques. Ces deux techniques sont respectivement
la "perspective cavalière" et la "perspective
isométrique" qui font partie de la famille des "perspectives
affines" dites également "projections affines".
Définition: Une "projection
affine" de l'espace usuel à 3
dimensions est une transformation affine qui envoie tous
les points de cet
espace sur un même
plan de cet espace. Si le point M(x, y, z) n'est
pas sur le plan de projection, lui et son image m(x', y', z') forment
une droite dont la direction est constante: nous l'appelons "direction
de projection". La perspective qui en découle
est appelée familièrement
"perspective parallèle" ou
encore "perspective cylindrique".
Comme toutes les transformations affines de l'espace, une projection
affine
conserve:
- Le parallélisme entre les droites
- Le barycentre, donc toutes les proportions existantes sur une droite
donnée
Seuls les longueurs et les angles situés dans un plan parallèle
au plan de projection sont conservés.
Sans trop
nous attarder sur ces deux techniques, nous les présentons brièvement
car elles doivent faire partie de la culture générale du physicien.
PERSPECTIVE
CAVALIÈRE
Prenons
une vue (par exemple la vue de face), et nommons les axes x (horizontale)
et y (verticale).
L'axe z étant
l'axe perpendiculaire à la vue.
Dans la
perspective cavalière, nous traçons l'axe z avec
un certain angle par rapport à l'axe x (par
exemple
ou ),
et l'on y reporte les distances en les multipliant par un coefficient
inférieur à 1 en appliquant les règles trigonométriques de base
tel que:
Figure: 23.26 - Exemple de perspective cavalière
C'est
en mathématiques, par exemple, que la perspective cavalière
est fréquemment
choisie pour représenter sur le tableau des classes d'écoles
les figures géométriques tridimensionnelles dans
une base orthonormée
canonique de direction E.
Si la direction de projection
n'est pas orthogonale au plan de projection, alors la perspective
cavalière transforme une sphère en ellipse. Cette distorsion de
la sphère rend la perspective cavalière tout à fait impropre à une
utilisation en dessin d'art. Cet inconvénient n'est par contre
pas rédhibitoire dans une utilisation en dessin industriel.
PROJECTION
ORTHOGONALE
Si la direction de projection est orthogonale au plan de projection, alors
la perspective transforme une sphère en cercle. C'est donc un type
de perspective utilisable en dessin comme alternative à la perspective
conique (avec laquelle elle va d'ailleurs coïncider quand l'oeil
de l'observateur est placé infiniment loin du tableau).
La projection orthogonale la plus simple à exprimer est évidemment
celle qui envoie l'espace sur un plan parallèle au tableau
(il s'agit de la "projection orthogonale
parallèle"), de cote constante
égale à a.
Autrement dit, tel que:
(23.31)
On obtient alors trivialement les coordonnées dans un repère
orthonormé
2D propre à ce plan où et
:
Bien que ce soit la méthode la plus utilisée dans le monde industriel,
elle a cependant un inconvénient:
l'effet réel
de la profondeur, est entièrement
perdu.
Pour y remédier il existe deux solutions équivalentes
(généralisables
aux autres perspectives): l'une consiste à tourner l'objet par
isométrie
de l'espace et l'autre à changer le tableau.
Un cas particulier de la
projection orthogonale est la "perspective
isométrique".
Elle est très utilisée en dessin industriel, elle projette orthogonalement
les points de l'espace sur le plan isotrope, d'équation:
(23.32)
La
direction de projection est donc la normale à ce plan, de vecteur
directeur .
Le perspective
isométrique consiste à placer les axes x,
y, z à
(soit
120°) les uns des autres et y reporter les distances telles
quelles (d'où
son nom).
Figure: 23.28 - Exemple de perspective isométrique
À titre
de comparaison, nous avons représenté selon les deux perspectives
présentées précédemment un cube avec un cercle inscrit dans le
carré
de chaque face:
Figure: 23.29 - Perspective cavalière (gauche) et isométrique (droite)
COORDONNÉES HOMOGÈNES
En mathématiques, les coordonnées homogènes,
introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs
possibles dans l'espace projectif comme les coordonnées
cartésiennes le font dans l'espace euclidien. Les coordonnées
homogènes sont largement utilisées en infographie
et plus particulièrement pour la représentation de
scènes en trois dimensions (3D) car elles sont adaptées à la
géométrie projective et elles permettent de caractériser
les transformations de l'espace sous une forme algorithmique optimale.
La notation sous forme matricielle est plus particulièrement
employée dans les bibliothèques de programmation
graphique 3D telles que OpenGL et Direct3D.
Nous avons vu lors de notre étude des transformations dans le
plan et l'espace (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) que parmi
la translation, l'homothétie, la rotation ou la réflexion que la
translation ne pouvait être représentée sous forme matricielle
sans passer par une astuce qui a consistait à ajouter une dimension
supplémentaire factice au vecteur des coordonnées ainsi qu'à la
matrice associée à la transformation.
Ainsi, nous avions vu que la translation dans pouvait
s'écrire sous forme matricielle:
(23.33)
Ainsi, toujours dans ,
une homothétie de facteur k qui s'écrivait:
(23.34)
devient en coordonnées homogènes:
(23.35)
Ainsi, toujours dans ,
une rotation d'angle de
facteur k qui s'écrivait:
(23.36)
devient:
(23.37)
Ainsi, toujours dans ,
la réflexion qui s'écrivait selon l'axe X:
(23.38)
devient:
(23.39)
Les mathématiciens disent alors que nous nous plaçons dans l'espace
projectif .
In extenso, nous pouvons faire de même avec un point P de qui
sera alors dans représenté par
un vecteur de coordonnées:
(23.40)
Ainsi, nous avons dans l'espace les matrices de transformations
suivantes pour les translations:
(23.41)
pour les rotations (voir le chapitre de Géométrie
Euclidienne pour la démonstration) avec les angles d'Euler:
(23.42)
sans oublier que les matrices de rotations sont non commutatives
au-delà de deux dimensions!
Et pour les homothéties:
(23.43)
Nous avons démontré plus haut que dans le cas de la perspective
conique, que nous avions les transformations homographiques suivantes:
(23.44)
où sont
les projections du point réel sur
le tableau avec une distance focale .
Ce qui est traditionnellement noté en posant et :
(23.45)
où nous voyons donc que si la distance focale f est infinie,
l'objet se confond avec le plan XY ou que si l'objet est
infiniment loin...
Posons .
Nous avons alors:
(23.46)
Nous utilisons alors la matrice suivante pour la projection conique:
(23.47)
et ensuite nous normalisons les coordonnées par le rapport z/f.