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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Nous avons déjà défini
au début
du chapitre de Géométrie Euclidienne les concepts
de dimensions topologiques, ce qu'étaient un point de dimension
nulle et une courbe de dimension unité. Nous ne reviendrons
pas sur ces dernières
et nous intéresserons
aux formes de dimensions supérieures.
Le but du présent chapitre
est de répertorier avec démonstrations quelques propriétés
mathématiques
remarquables des formes et corps géométriques connus
(surface, volume, centre de masse, moment d'inertie). Effectivement,
il
existe nombre
de formulaires les répertoriant sans démonstrations
mais peu voire pas, d'ouvrages les démontrant toutes (nous
n'en avons jamais vu en tout cas...). La liste ci-dessous est à ce
jour loin d'être
exhaustive (puisqu'il existe une infinité de formes géométriques)
mais elle sera complétée avec le temps.

Les quelques formes que
nous avons souhaité présenter permettent assez facilement de trouver
les propriétés remarquables d'un très grand
nombre de formes non répertoriées sur cette page
par assemblage ou décomposition.
Remarques:
R1. Les relations trigonométriques
remarquables dans les formes géométriques ci-dessous ne sont pas
démontrées dans ce chapitre. Celles-ci se trouvent déjà toutes
dans le chapitre traitant spécifiquement de la Trigonométrie.
R2. Nous entendons par "centre de gravité", le "barycentre"
tel que étudié dans le chapitre de Géométrie
Euclidienne.
SURFACES
CONNUES
Il existe plusieurs définitions du concept de surface dont
une due à Euclide et une autre moderne due à la topologie
(voir chapitre du même nom).
Définitions:
D1. Une "surface plane"
est ce qui a longueur et hauteur.
D2. Une "surface"
est une variété topologique de dimension 2.
Remarque: Nous nous intéresserons dans un premier
temps uniquement aux propriétés (périmètre,
surface, centre de gravité, etc.) de surfaces plongées
dans des géométries
euclidiennes.
POLYGONES
Définition: Un "polygone" est
une figure plane limitée par des segments de droites consécutifs
(autrement dit: par une polyligne fermée).

Figure: 26.1 - Exemple de polygone quelconque
Définition: Un "quadrilatère",
"pentagone", "hexagone",
"heptagone"
sont des polygones à respectivement quatre, cinq, six, sept...
côtés.
Nous distinguons trois grandes familles (mais elles ne sont pas
les seules!) de polygones: les polygones croisés, les polygones
concaves et les polygones convexes (nous retrouverons ces deux
familles
dans
différents
chapitres
du site).
Avant d'aller plus loin nous tenons à préciser au
lecteur qu'il n'existe de relation mathématique permettant
de calculer la surface que pour des polygones simples. Même
si dans la pratique nous ne rencontrons quasiment toujours que
des polygones non simples, nous avons considéré comme
inutile de nous attarder sur la détermination d'une relation
qui permettrait de ramener le calcul de la surface d'un polygone
quelconque à celui de polygones simples.
Définition: Un polygone est dit "polygone
croisé" si
deux au moins de ses côtés
sont sécants, c'est-à-dire si au moins deux de ses côtés se coupent.
C'est le cas du pentagone ABCDE ci-dessous:

Figure: 26.2 - Exemple de polygone croisé
Remarque: "L'enveloppe" d'un polygone
est le polygone obtenu en suivant
le contour extérieur de celui-ci. Par exemple, l'enveloppe du pentagone
précédent est un décagone dont les sommets sont les cinq sommets
du pentagone et les cinq intersections de ses côtés.
Définition: Un polygone est dit "polygone
concave" s'il
n'est pas croisé et
si une ou plusieurs de ses diagonales ne sont pas entièrement à l'intérieur
de la surface délimitée par le polygone.
Par exemple, le pentagone ACDBE ci-dessous est dit concave
car les diagonales BC et CE sont respectivement à l'extérieur
et partiellement à l'extérieur de la surface délimitée
par le polygone.

Figure: 26.3 - Exemple de polygone concave
Définition: Un polygone est dit "polygone
convexe" s'il n'est
pas croisé et
si toutes ses diagonales sont entièrement à l'intérieur de la surface
délimitée
par le polygone. Ainsi, l'hexagone MNOPQR ci-dessous
est dit convexe:

Figure: 26.4 - Exemple de polygone convexe
Relativement aux définitions données précédemment
où les diagonales
étaient mises en évidence, voyons s'il y a une relation
permettant de connaître leur nombre relativement au nombre
d'arêtes du polygone.
Partons pour cela
d'un polygone de n côtés (notons qu'il a aussi n sommets):

Figure: 26.5 - Point de départ pour la démonstration
Nous définissons le total de segments s comme étant égal à la
quantité de
côtés (arêtes) n plus la quantité de diagonales d tel
que:


Figure: 26.6 - Représentation des diagonales
Maintenant, prenons le premier point de notre pentagone. Nous
voyons que nous pouvons joindre tous les points n, sauf le point
considéré (-1) soit la formation de n - 1 segments comme
le montre la figure ci-dessous:
Figure: 26.7 - Exemple des segments partant d'un point
Avec le deuxième point, nous pouvons aussi joindre tous les points n,
sauf le point considéré (-1) et le premier point déjà vu
(-1) soit la formation de n - 2 segments:

Figure: 26.8 - Démarche avec le 2ème point
Avec le troisième, nous pouvons aussi joindre tous les
points n,
sauf le point considéré (-1) et sauf
les deux points déjà vu (-2) soit la formation de n -
3 segments

Figure: 26.9 - Démarche avec le troisième point
Nous continuons avec les autres points: le 4ème qui donne n -
4 segments, le 5ème qui donne n - 5 segments... In extenso,
nous voyons donc que le (n - 2)ème point donne donc n -
(n - 2) segments, etc.
Nous avons donc finalement pour:
(26.1)
En simplifiant nous trouvons donc:

(26.2)
Nous nous retrouvons donc avec deux relations:
et
(26.3)
Dès lors il vient que:
(26.4)
RECTANGLE
Définition: Le "rectangle" est
un cas particulier du quadrilatère dans le sens où ses
côtés L et H (notation
pour Longueur et Hauteur selon figure ci-dessous) sont égaux
deux à
deux et à angle droit (en d'autres termes, L n'est
pas forcément
égal à H).
D'autres définitions
possibles consistent à dire qu'un rectangle est un parallélogramme
disposant d'un angle droit ou un quadrilatère ayant quatre
angles droits.
Remarque: Le rectangle peut être vu comme la composition
de deux (ou plus) triangles rectangles (voir plus loin la définition).
Pour construire un rectangle, il suffirait d'avoir un seul et
unique
triangle rectangle et lui faire subir une double réflexion et une
rotation par rapport à un axe bien choisi (cf.
chapitre de Géométrie Euclidienne).

Figure: 26.10 - Exemple de rectangle
De
par les axiomes d'Euclide (cf. chapitre
de Géométrie Euclidienne),
le périmètre d'un rectangle est donné par:
(26.5)
Et
par définition, sa surface par:
(26.6)
et
la longueur de sa diagonale par (application du théorème de Pythagore):

(26.7)
La
position du centre de gravité du rectangle, si nous posons
le repère
cartésien dans le coin inférieur gauche de la forme,
est trivialement donnée par:
(26.8)
Enfin, indiquons que si nous étions des êtres
vivants dans un espace à deux dimensions, le rectangle serait
ce que nous apercevrions si un parallélépipède
traversait notre univers parallèlement à ses faces.
carré
Définition: Le "carré" est
un cas particulier du rectangle dans le sens où ses quatre côtés
sont égaux tels que
.

Figure: 26.11 - Exemple de carré
De
par les axiomes d'Euclide (cf. chapitre
de Géométrie Euclidienne),
le périmètre du carré est donné
par:
(26.9)
Ainsi, il vient
pour la surface que:
(26.10)
et
pour sa diagonale:
(26.11)
La
position du centre de gravité du carré, si nous posons
le repère
cartésien dans le coin inférieur gauche de la forme,
est trivialement donnée par:
(26.12)
Enfin, indiquons que si nous étions des êtres vivants
dans un espace à deux dimensions, le carré serait
ce que nous apercevrions si un cube
traversait notre univers parallèlement à ses faces.
triangle
Définition: Le "triangle quelconque"
est un polygone à trois côtés et englobe dans les cas particuliers,
les triangles: isocèles, équilatéraux et rectangles.

Figure: 26.12 - Exemple de triangle quelconque avec cercle inscrit et médianes
De
par les axiomes d'Euclide (cf. chapitre de
Géométrie Euclidienne),
le périmètre d'un triangle quelconque est donné par:
(26.13)
Le triangle quelconque est
toujours décomposable en deux triangles rectangles. Ainsi,
celui de la figure ci-dessus peut se décomposer en deux
triangles rectangles:

Figure: 26.13 - Triangle quelconque décomposé en deux triangles rectangles
de base respective et (définis
par la projection orthogonale du sommet opposé au segment a)
tels que:
(26.14)
La surface de chacun de ces deux triangles rectangles
est comme nous l'avons déjà implicitement dit dans notre étude
du rectangle, la moitié de la surface d'un rectangle de
même longueur
et même hauteur. Ainsi:
(26.15)
Ainsi, la somme de ces surfaces, nous
donne la surface du triangle quelconque:
(26.16)
Nous pouvons dire à partir de cette dernière relation,
que la surface de tout triangle quelconque est assimilable à la
moitié de
la surface d'un rectangle de longueur et
hauteur .
Remarque: Quelle que soit la base a, b, c et
la hauteur respective  ,
le raisonnement précédent reste bien évidemment
totalement juste.
Ceci dit... c'est bien joli mais il y a de très nombreux
cas pratiques où l'on ne
connaît pas la hauteur mais seulement la longueur des trois
côtés.
Alors que fait-on? Eh bien on va utiliser le théorème
du cosinus (Théorème d'Al-Kashi) démontré dans
le chapitre de Trigonométrie
qui nous donne pour rappel pour un triangle quelconque du type:

Figure: 72.14 - Rappel de la construction pour la démonstration du théorème
du
cosinus
La relation suivante:
(26.17)
et aussi la relation qui en découle dans le triangle y relatif
pour la surface:
(26.18)
Il vient alors:
(26.19)
Soit au final:
(26.20)
Relation qui est couramment appelée "formule
de Héron".
La détermination du centre
de gravité (ou barycentre) G (cf.
chapitre de Géométrie Euclidienne) est un
peu moins intuitive que dans le cas du rectangle...
Nous pouvons
bien sûr
nous servir d'un repère et des outils du calcul vectoriel
pour très
facilement déterminer ce dernier. Nous allons donc démontrer
que le centre de gravité d'un triangle quelconque se situe à l'intersection
de toutes les médianes:
Démonstration:
Soit un
triangle ABC. Nous appelons A' le
milieu du segment BC, B' celui
de AC et
C' celui
de AB:

Figure: 26.15 - Point de départ pour la détermination du centre de gravité
Nous
allons démontrer que le seul point G vérifiant
(cf. le chapitre de Géométrie Euclidienne):
(26.21)
est le
point de concours des trois médianes du triangle ABC. Cette démonstration s'effectuera en deux étapes, en
deux propositions. Au terme, nous pourrons conclure par le théorème.
Propositions:
P1. Si
ABC est un triangle
alors il existe un et un seul centre de gravité G tel
que 
P2. Les
trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection
est ce point G.
Démonstrations:
DM1. Soit G un
point du plan tel que .
Nous pouvons alors écrire que:
(26.22)
d'où:
(26.23)
Cette
relation vectorielle garantit que le point G est unique
et que nous pouvons même le placer!
C.Q.F.D. DM2. Pour démontrer
que les trois médianes sont concourantes, nous allons prouver que G appartient à chacune
des trois médianes.
Au
point P1., nous avons démontré que G vérifie l'égalité:
(26.24)
Comme
A' est
le milieu du côté BC,
nous pouvons alors écrire que:
(26.25)
Il vient alors que:
(26.26)
Les vecteurs
et
sont
donc colinéaires! Donc les points A, G, A' sont
alignés. Autrement écrit, le point G fait
partie de la médiane AA' du
triangle ABC. Nous pouvons même dire qu'il se trouve aux
deux tiers du segment AA' à
partir du sommet A.
Ce que
nous venons de montrer avec la médiane AA' est
bien évidemment aussi vrai pour les deux autres médianes. Ainsi:
(26.27)
En résumé,
le point G fait
donc partie des trois médianes AA', BB'
et CC'. Ces trois
droites sont donc concourantes et le point G en
est le point d'intersection. Ce résultat nous sera utile
plus tard lors de notre étude des polyèdres.
C.Q.F.D.
Enfin, indiquons que si nous étions des êtres
vivants dans un espace à deux dimensions, le triangle serait
ce que nous apercevrions si des formes géométriques
composées
d'au moins trois faces jointes traverseraient notre univers par
un des sommets.
Nous arrêterons là cette analogie avec un espace
à deux dimensions généralisable à chaque forme géométrique que
nous allons présenter par la suite (cercle et sphère, ellipse et
ellipsoïde, etc.). L'idée était surtout de soumettre la conception
que les volumes que nous
connaissons
dans
notre quotidien peuvent
aussi être vus comme des formes à 4 dimensions traversant notre
espace de 3 dimensions.
TRIANGLE
ISOCèLE
Définition: Un "triangle
isocèle" est
un cas particulier du triangle quelconque, dans le sens où il
a deux côtés égaux (isométriques).

Figure: 26.16 - Exemple de triangle isocèle
Le périmètre d'un tel
triangle reste:
(26.28)
mais
comme il a deux côtés égaux, alors nous pouvons
toujours le simplifier sous la forme suivante:
(26.29)
La
surface comme nous l'avons démontré dans le cas général reste:
(26.30)
Et
le centre de gravité reste, comme nous l'avons démontré dans le
cas général, à la position:
(26.31)
Propriété
remarquable d'un triangle isocèle: la
médiatrice et la médiane h du
troisième
côté non égal aux deux autres sont confondues (cf.
chapitre de Géométrie Euclidienne).
triangle équilatéral
Définition: Un "triangle équilatéral"
est un cas particulier du triangle, dans le sens où il a trois
côtés
égaux:

Figure: 26.17 - Exemple de triangle équilatéral
Le périmètre d'un tel
triangle reste:
(26.32)
mais
comme il a trois côtés tel
que :
(26.33)
La
surface comme nous l'avons démontré dans le cas général reste:
(26.34)
Et
le centre de gravité reste comme nous l'avons démontré dans le cas
général, à la position:
(26.35)
Une propriété
remarquable d'un triangle équilatéral est que ces
médiatrices
et médianes sont confondues (cf.
chapitre de Géométrie Euclidienne)!
Voyons maintenant le petit "théorème
de Viviani" utilisé régulièrement
à des fins de représentation graphique dans le domaine du génie
des
matériaux
(mélanges), ou des statistiques (plans de mélange ou encore distribution
de 3 fréquences de données dont la somme est toujours égale).
Considérons la figure suivante:

Figure: 26.18 - Figure illustrative du théorème de Viviani
Si nous plaçons un point dans un triangle équilatéral
et que de ce point nous traçons une ligne en direction de chacun
des côtés,
de telle sorte que les lignes soient perpendiculaires à chaque
côté. Peu importe où nous plaçons le
point, la somme des distances perpendiculaires entre le point et
les côtés
est égale à la hauteur du triangle.
Pour la démonstration, notons les
distances de M aux côtés, l la longueur d'un côté et
h la hauteur. Nous avons alors:
(26.36)
et nous avons bien:
(26.37)
triangle rectangle
Définition: Un "triangle
rectangle" est
un cas particulier du triangle, dans le sens que sur un de ses
trois
angles, il y en a un qui est droit.

Figure: 26.19 - Exemple de triangle rectangle
Le périmètre d'un tel
triangle reste:
(26.38)
La
surface comme nous l'avons démontré dans le cas général reste (surface
de la moitié d'un rectangle de même base et de même hauteur):
(26.39)
Et
le centre de gravité reste comme nous l'avons démontré dans le cas
général, à la position:
(26.40)
Propriété
remarquable d'un triangle rectangle: le
triangle rectangle a ceci de particulier, que nous pouvons directement
lui appliquer le théorème de Pythagore (cf.
chapitre de Géométrie
Euclidienne).
TRAPÈZE
Définition: Un "trapèze",
est un quadrilatère
(non croisé) ayant deux côtés (au moins) parallèles.

Figure: 26.20 - Exemple de trapèze
Le calcul du périmètre du trapèze es une évidence:
(26.41)
Sa surface se calcule à l'aide de la décomposition:
(26.42)
Lorsque les
deux côtés ont même longueur (ou, sont de même
longueur), nous obtenons les cas particuliers du carré,
du rectangle, du losange, du parallélogramme (ici, ordre
du plus précis au plus général, nous pourrions
mettre le losange en n° 2).
Aussi un usage
courant consiste à ne retenir qu'une définition plus
restrictive, afin de ne pas prendre en compte ces figures particulières.
Nous ajoutons dans ce cas que les longueurs des deux côtés
parallèles ne sont pas égales (cela permet aux élèves
des petites classes d'éviter les confusions résultant
de l'existence de deux noms pour le même objet, par exemple
losange et trapèze).
Remarque: Il existe un cas particulier de trapèze,
le "trapèze
isocèle", dont les deux côtés
non parallèles sont de même longueur. (nous pouvons
ajouter: Comme ses deux côtés ne sont pas parallèles,
il ne s'agit pas d'un parallélogramme).
PARALLÉLOGRAMME
Définition: Le "parallélogramme" est
un cas particulier du quadrilatère
et très important (dans le cadre de l'analyse des formes
en physique), où les
côtés sont parallèles deux à deux
et les angles opposés égaux:

Figure: 26.21 - Exemple de parallélogramme
Le losange étant un cas particulier du parallélogramme.
Le périmètre du parallélogramme
est bien évidemment donné par:
(26.43)
Pour la surface, comme il s'agit d'un cas particulier
du trapèze, il vient immédiatement:
(26.44)
Au vu de la figure ci-dessus, il est évident
que si on coupe le parallélogramme en deux comme ci-dessous,
on voit qu'il s'agit deux fois du même triangle:

Figure: 26.22 - Parallélogramme en deux triangles semblables
Et il vient alors immédiatement la propriété suivante
très utile en physique lors de l'analyse de la statique des forces
ou encore des phaseurs dans l'études des superpositions d'ondes:
Remarque: Tous les parallélogrammes sont donc dans la famille
des trapèzes.
LOSANGE
Définition: Le "losange" est
un cas particulier du parallélogramme dans le sens où ses quatre
côtés sont égaux.

Figure: 26.23 - Exemple de losange
Le calcul du périmètre et de la surface du losange
découlent immédiatement de ceux du trapèze.
CERCLE
Il existe plusieurs définitions possibles du cercle. Voyons-en
au moins deux.
Définitions:
D1. Un "cercle" est
un cas particulier d'un polygone avec une infinité de côtés.
D2. Un "cercle" est une
courbe plane dont tous les points sont à égale distance d'un
point fixe appelé "centre".

Figure: 26.24 - Exemple de cercle
Nous
démontrons dans la section d'Informatique Théorique
(cf. chapitre de Méthodes Numériques),
que le périmètre
d'un cercle de rayon R et
donc de diamètre est
donné par:
(26.45)
La
relation de surface peut être obtenue de deux manières:
1.
Par recherche de la primitive du périmètre P ce
qui nous donne:
(26.46)
2.
La seconde méthode est plus esthétique et fait appel à l'équation
paramétrique du cercle, trivialement donnée par les projections
orthogonales des coordonnées cartésiennes:
(26.47)
Nous
savons que l'aire décrite par une fonction f(x) est
donnée par:
(26.48)
Il
nous suffit alors de substituer dans cette intégrale les variables
paramétrées:
(26.49)
Ainsi:
(26.50)
Les
bornes d'intégration étant bien évidemment nous
avons:
(26.51)
Nous
avons donc aussi par cette méthode:
(26.52)
La longueur l
d'une tranche d'angle d'ouverture d'un
cercle de rayon R est bien évidemment donnée par:
(26.53)
et la surface d'une
tranche d'angle d'ouverture d'un
cercle de rayon R de manière identique par:
(26.54)
Cherchons maintenant à déterminer la surface d'une tranche d'un disque :
Soit
connue la relation de calcul de la surface d'un triangle. Nous
avons selon la figure ci-dessous (la démonstration tient seulement dans
le résultat lui-même):

Figure: 26.25 - Calcul de la surface Sd d'une tranche d'un disque
Remarque: Par définition du cercle, il est évident que le centre
de gravité du cercle se confond avec le centre de celui-ci.
ELLIPSE
Définition: Une "ellipse" est
une courbe fermée dont chaque point est tel que la somme
de ses distances à
deux points fixes appelés "foyers" est
constante (comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Algèbre
Ensembliste et de Géométrie Analytique, l'ellipse peut aussi être
vue comme une transformation affine du cercle).

Figure: 26.26 - Exemple d'ellipse
Introduisons pour commencer un petit texte relativement
au calcul du périmètre de l'ellipse:
Soit l'équation paramétrique
en coordonnées cartésiennes d'une ellipse:
(26.55)
La distance entre le centre de l'ellipse et son périmètre
est alors donnée par le théorème de Pythagore:
(26.56)
Un élément d'arc est alors donné par:
(26.57)
Le périmètre de l'ellipse est alors donné par l'intégrale:
(26.58)
et là ça commence à se corser...
Ce genre d'intégrale n'est pas facilement calculable à l'aide
des primitives connues, intégration par parties, changements
de variable ou autre. Il s'agit de ce que nous appelons une "intégrale
elliptique du second ordre en J"
pour (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):
(26.59)
De longs développements que nous présenterons dans
quelques années dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral
donnent pour le périmètre après un calcul en série limitée:
(26.60)
La relation
de surface de l'ellipse peut être obtenue de manière très similaire
à celle du cercle et les calculs sont curieusement beaucoup plus
simples que ceux du périmètre. Rappelons que l'équation paramétrique
l'ellipse est:
(26.61)
Nous
savons que l'aire décrite par une fonction f(x) est
donnée par:
(26.62)
Il nous
suffit alors de substituer dans cette intégrale les variables paramétrées:
(26.63)
Ainsi:
(26.64)
Les bornes d'intégration étant bien évidemment nous
avons:
(26.65)
Remarque: Il faut faire attention dans ce genre de calculs à
l'ordre des bornes d'intégration. Effectivement, si nous avions
pris les bornes allant de  (au
lieu de  )
il faut imaginer que la fonction intégrée parcoure
le périmètre dans
le sens négatif de l'axe des abscisses. Donc, l'intégrale
serait alors forcément négative.
Nous
avons donc aussi par cette méthode:
(26.66)
Remarques:
R1.
Nous
supposons comme évident que le centre de gravité de l'ellipse se
confond avec le centre de celle-ci.
R2. Nous renvoyons le lecteur à l'étude des coniques (cf.
chapitre de Géométrie Analytique) pour le
calcul de la surface d'une ellipse
à partir de son "paramètre d'ellipse" et de son "excentricité"
(tout y est démontré).
VOLUMES
CONNUS
Il existe plusieurs définitions du concept de volume (surface
qui limite un corps). Une définition
due à Euclide et une autre due au domaine de la topologie
(voir le chapitre du même nom).
Définitions:
D1. Un "volume" est
ce qui a longueur, largeur et hauteur.
D2. Un "volume"
est une variété topologique de dimension 3.
Les surfaces qui limitent un corps peuvent être planes ou courbes:

Figure: 26.27 - Exemples de volumes délimités par une surface
À gauche, le corps est limité uniquement
par des surfaces planes, au milieu par une et une seule unique
surface
courbe, et à droite par une surface courbe et deux surfaces
planes.
Remarque: Nous nous intéresserons dans un premier temps uniquement
aux propriétés (surface, volume, centre de gravité,
moment d'inertie...) de volumes plongés dans des géométries
euclidiennes.
POLYÈDRES
L'étude des polyèdres (particulièrement les
polyèdres platoniciens)
est très
importante en physique (pour la cristallographie par exemple) et
en mathématiques
car elle permet d'avoir une application sympathique des groupes
finis (cf.
chapitre d'Algèbre Ensembliste). Il convient donc
de porter une lecture relativement attentive à ce qui va suivre.
Par ailleurs, l'étude des polyèdres est aussi un moyen très pédagogique
et esthétique pour voir la mise en oeuvre de plusieurs théorèmes
géométriques, de trigonométrie et d'algèbre vectoriel.
Précisons avant toute chose que les différents polyèdres ne seront
délibérément pas présentés sur un pied d'égalité. Ainsi, nous nous
concentrerons sur certaines propriétés pour certains et pas pour
d'autres.
Définitions:
D1. Un "polyèdre" est
un solide dont la frontière est
formée de plans ou de portions de plan. Les portions
de plan, qui comprennent ainsi entre elles le polyèdre,
sont les faces; chaque face, étant limité par intersections
(les arêtes) avec les faces voisines, est un polygone. Les
côtés
de ce polygone sont les arêtes du
polyèdre. Nous appelons "sommet" d'un polyèdre
tout sommet d'une quelconque de ses faces.

Figure: 26.28 - Exemple de polyèdre
D2. Un "polygone régulier" est
un polygone dont les côtés, et tous les angles sont égaux (cette
définition nous sera utile pour les polyèdres réguliers).
Parallélépipède
Définition: Le "parallélépipède" est
un volume à six faces parallèles deux à deux (donc il n'est pas
un polyèdre régulier!).

Figure: 26.29 - Exemple de parallélépipède
Son
volume est simplement donné par la définition même du volume...:
(26.67)
Quant à sa surface, il
s'agit simplement de la somme des surfaces des rectangles sans
rien de particulier.
Calculons maintenant
le moment d'inertie d'une plaque (parallélépipède)
d'épaisseur e et de surface transversale S
dont l'axe de rotation est y:

Figure: 26.30 - Recherche du moment d'inertie d'une plaque
Un élément de volume
du rectangle (en gris) est donné par:
(26.68)
et:
(26.69)
et occupons-nous maintenant
du moment d'inertie de ce rectangle par rapport à l'axe z
(perpendiculaire à x et à y donc)
et disposons les axes de façon à avoir:
Figure: 26.31 - Recherche du moment d'inertie de la plaque selon un autre axe
Nous avons:
(26.70)
où r est donc dans le plan de x et y.
Avec:
(26.71)
d'où:
(26.72)
Soit le moment d'inertie d'une plaque
rectangulaire:
(26.73)
si la plaque est carrée
de côté L:
(26.74)
Nous allons montrer qu'il est dès
lors possible de calculer le moment d'inertie du triangle équilatéral
et rectangle.
Le moment d'inertie toujours par rapport
au même axe, mais pour la moitié du carré, est
donné par:
(26.75)
Si le centre de gravité est
posé sur le tiers de la médiane partant du centre
de gravité du carré et que nous faisons usage
du théorème
de Steiner (cf. chapitre de Mécanique Classique), il vient:
(26.76)
qui est donc le moment d'inertie d'un
triangle équilatéral.
En procédant exactement
de même pour un triangle rectangle de côtés a,
b dont l'axe de rotation passe par le centre de gravité G,
il vient:
(26.77)
PYRAMIDE
Définition: La "pyramide" est
un polyèdre
qui a pour base un polygone et pour faces latérales des triangles
réunis en un point appelé "sommet".
La pyramide n'est donc pas dans le cas général un polyèdre régulier!

Figure: 26.32 - Exemple de pyramide
Considérons une surface
S(t) de la section de la pyramide avec le plan d'équation
,
alors le volume V cherché est égal à:
(26.78)
Nous parlons d'équation
de plan alors qu'il n'y a pas de repères défini pour
l'instant. Au fait, dans l'intégrale, t varie entre
0 et h. Cela sous-entend que nous prenons un repère
centré en H (le pied de la hauteur de la pyramide),
d'axe de la droite
(la hauteur de la pyramide) orientée de O vers H
(du pied de la hauteur vers le sommet). Les deux autres axes sont
choisis quelconques dans le plan de la base de la pyramide.
Il nous faut préciser
maintenant ce que vaut S(t) en fonction de t:
Soit S l'aire de
la base de la pyramide. La section de la pyramide par le plan
d'équation
se déduit par l'homothétie de centre O et
de rapport t/h. Donc, l'intégrale s'écrit:
(26.79)
Le fait d'avoir pris le carré
de t/h provient de ce que chaque terme intérieur
de S est le produit de deux termes (selon le calcul de
la surface d'un triangle) chacun de rapport d'homothétie t/h.
Ainsi, nous avons:
(26.80)
PRISME
DROIT
Définition: Le "prisme
droit" est
un polyèdre dont les bases sont deux polygones égaux à côtés
parallèles (elles ont la même surface!),
les faces latérales étant des parallélogrammes.
Donc, le prisme droit n'est pas un polyèdre régulier!
Les deux faces parallèles et de même forme sont appelées
les bases du prisme droit.

Figure: 26.33 - Exemple de prisme droit
Pour calculer le volume V
d'un prisme droit, nous devons tout simplement multiplier l'aire
de sa base B par sa hauteur h:
(26.81)
Sa base est un polygone, c'est-à-dire qu'elle peut être
un triangle, un quadrilatère, ou un pentagone... Il faut donc
savoir calculer ces aires pour calculer le volume du prisme droit.
POLYÈDRES RÉGULIERS
Définitions:
D1. Un "polyèdre
régulier"
est constitué de
faces toutes identiques et régulières.
D2. Un "polyèdre convexe" est tel que chaque point
d'un segment de droite qui joint deux points quelconques appartient
au polyèdre.
Les polyèdres réguliers sont au nombre de neufs,
dont cinq sont convexes et étaient connus de Platon. Nous
appelons parfois polyèdres réguliers uniquement les
solides de Platon et ce sont ceux-ci qui vont nous intéresser
ici.
Démontrons d'abord qu'il n'existe que cinq polyèdres
réguliers convexes
qui sont donc appelés "les cinq
solides platoniciens" (les
autres colonnes
du tableau ci-dessous seront démontrées et expliquées un
peu plus loin):
Nom (m,n) |
Image |
S |
A |
F |
F - A + S |
Tétraèdre (3,3) |

|
4 |
6 |
4 |
2 |
Hexaèdre ou cube (4,3) |

|
8 |
12 |
6 |
2 |
Octaèdre (3,4) |

|
6 |
12 |
8 |
2 |
Dodécaèdre (5,3) |

|
20 |
30 |
12 |
2 |
Icosaèdre (3,5) |

|
12 |
30 |
20 |
2 |
Tableau: 26.1
- Cinq polyèdres réguliers
Démonstration:
Soient m le nombre de côtés de chaque
face d'un polyèdre régulier, n le nombre d'arêtes
qui se rencontrent en chaque sommet. Nous avons alors que chaque
angle
d'une face quelconque est donné par:
(26.82)
Attention, c'est l'angle qui
définit donc l'angle d'une face et non pas !
Ce qui découle de la figure suivante:

Figure: 26.34 - Angles entre les arêtes d'un polyèdre régulier
où nous avons:
(26.83)
et:
(26.84)
Mais la somme des n angles groupés autour d'un
sommet est plus petite que les n angles qui coupent un plan
en parties égales
(nous supposerons cela intuitif par découpage)! Chacun d'eux
est donc inférieur à:
(26.85)
donc:
(26.86)
d'où:
(26.87)
Les nombres m et n sont tous deux au moins égaux à 3
(le plus petit polygone étant le triangle). Il en résulte
que les seuls cas possibles sont:
(26.88)
C.Q.F.D.
Notons maintenant F le nombre de faces, A le nombre
d'arêtes et S le nombre de sommets. Alors, rappelons que
nous avons démontré dans le chapitre de Théorie
Des Graphes la "formule
d'Euler" (ou "théorème de Descartes-Euler")
telle que:
(26.89)
et celle-ci est bien évidemment valable aussi pour l'aplatissement
d'un polyèdre dans le plan (et donc in extenso d'un polyèdre).
Remarque: La représentation sous forme d'un graphe
de l'aplatissement d'un polyèdre est appelée "diagramme
de Schlegel".

Figure: 26.35 - Exemples de diagrammes de Schlegel
Dans le cas des polyèdres réguliers, chaque face possède m arêtes
de sorte que est
l'ensemble des arêtes des faces et comme chaque arête rencontre
exactement deux faces, nous avons l'égalité (prendre un exemple
pour s'en convaincre au cas où!):
(26.90)
et comme n est le nombre des arêtes qui se rencontrent
en chaque sommet, et que chaque arête relie deux sommets, nous
avons également:
(26.91)
Soit:
(26.92)
En injectant dans la formule d'Euler, nous avons alors:
(26.93)
et nous retrouvons l'inégalité du théorème
précédent. Reprenons
notre calcul:
(26.94)
d'où nous tirons:
(26.95)
Nous pouvons maintenant entreprendre la classification des polyèdres
réguliers.
Le tétraèdre :
(26.96)
L'octaèdre :
(26.97)
L'hexaèdre ou
cube:
(26.98)
L'icosaèdre :
(26.99)
Le dodécaèdre :
(26.100)
ce qui termine notre classification.
Démontrons
maintenant que tout polyèdre composé seulement de pentagones et d'hexagones a
exactement et obligatoirement douze pentagones (et il n'y a donc aucune contrainte
sur le nombre d'hexagones). C'est n'est pas très intuitif et
pourtant!
Cette démonstration va nous expliquer par exemple pourquoi
le ballon de football et la molécule de fullerène
ont douze pentagones:

Figure: 26.36 - Polyèdres connus composés de 12 pentagones
Pour la démonstration, nous partons de la formule d'Euler:
(26.101)
Soit M, le nombre de pentagones et N le nombre d'hexagones,
nous avons alors le nombre de faces qui est:
(26.102)
De plus, chaque sommet est partagé par trois polygones dans le
cas du ballon et du fullerène. Donc, le nombre de sommets est:
(26.103)
Chaque arête est partagée par deux polygones. Donc, le nombre
d'arêtes est:
(26.104)
Alors en injectant la formule d'Euler:
(26.105)
Par conséquent, pour satisfaire:
(26.106)
M, le nombre de pentagones, doit obligatoirement valoir
12.
TÉTRAÈDRE RÉGULIER
Nous avons montré que pour le tétraèdre et
il est relativement aisé de deviner qu'un tel polyèdre est formé de
3 triangles équilatéraux identiques comme le montre la figure ci-dessous:

Figure: 26.37 - Exemple de tétraèdre régulier
Pour cela, commençons par étudier le triangle équilatéral suivant:

Figure: 26.38 - Triangle équilatéral de départ pour le calcul du volume
Dans ce triangle équilatéral, a est le côté, h la
hauteur. Les médiatrices sont h, h', h''
des côtés respectifs BC, AB, AC.
h et h' se coupent en un point P (barycentre).
Par construction du triangle équilatéral, nous avons (il
suffit d'appliquer Pythagore pour le démontrer).
Nous avons par ailleurs démontré lors de notre étude
du triangle, que le barycentre de celui-ci se situe toujours à 2/3
de la hauteur de la médiane. Comme médianes et médiatrices
sont confondues dans le cas du triangle équilatéral,
nous avons alors .
Maintenant, nous tirons une droite passant par le point P et
perpendiculaire au plan dans lequel se trouve le triangle. Soit D un
point sur cette droite, comme nous
aurons bien sûr (il
suffit d'appliquer Pythagore à nouveau!).
Il ne nous reste donc plus qu'à nous arranger pour que et
nous aurons le tétraèdre régulier que nous voulions. Nous calculons
alors:
(26.107)
et donc:
(26.108)
donc:
(26.109)

Figure: 26.39 - Synthèse de toutes les variables
La médiatrice de BD passant par M coupe H en
un point O, qui n'est rien d'autre que le centre de la sphère
circonscrite au tétraèdre. En effet, par construction,
nous avons et
la médiatrice nous donne .
Thalès nous donne également:
(26.110)
et pour les développements qui suivront nous poserons .
Calculons maintenant la surface totale. Elle sera nécessairement
donnée par la surface d'une seule face multipliée
par le nombre de faces, et comme nous avons démontré comment
calculer la surface d'un triangle plus haut il vient immédiatement:
(26.111)
Pour le volume, c'est tout aussi simple puisque nous avons démontré plus
haut quel était celui d'une pyramide. Il vient alors immédiatement:
(26.112)
HEXAÈDRE RÉGULIER (CUBE)
Le cube est le polyèdre régulier qui nous est le plus familier,
il compte 6 faces et sa construction ne nécessite probablement
pas d'être présentée.
Figure: 26.40 - Exemple d'hexaèdre régulier (cube)
Puisque tous les côtés sont de longueur a, la surface
est simplement donnée par la multiplication de la surface
des 6 faces. Ainsi:
(26.113)
et le volume:
(26.114)
OCTAÈDRE RÉGULIER
Nous avons montré que pour l'octaèdre et
il est relativement aisé de deviner que l'octaèdre
régulier est
formé (par définition) de 8 triangles équilatéraux
identiques.
Pour construire, et montrer qu'il est possible de construire,
un tel polyèdre, nous posons comme précédemment
que son côté vaut a.

Figure: 26.41 - Exemple d'octaèdre régulier
Ensuite, nous notons O le point d'intersection des deux
diagonales. Nous avons alors:
(26.115)
et:
(26.116)
Sur la droite perpendiculaire au plan qui contient notre carré,
et passant par O, nous ajoutons deux sommets E, F à une
distance que nous calculons comme suit:
(26.117)
d'où nous tirons:
(26.118)
Donc:
(26.119)
Notre polyèdre est bien formé par huit triangles équilatéraux
tous identiques. Chaque sommet compte quatre arêtes et quatre faces,
ce qui nous permet d'affirmer qu'il est bien régulier et
termine ainsi notre construction.
La surface de l'octaèdre régulier est:
(26.120)
avec h étant la hauteur du triangle équilatéral
de côté a que
nous avons déjà calculée plus haut. Pour le volume,
c'est encore basé sur celui de la pyramide. Ainsi:
(26.121)
Et nous supposerons qu'il est évident pour le lecteur que notre
octaèdre est inscrit dans une sphère de rayon R dont le
centre est le point O. Pour R, nous avons:
(26.122)
Montrons déjà maintenant que nous pouvons construire l'icosaèdre
régulier à partir de l'octaèdre et que ce premier
existe et est bien constructible.
Pour cela, nous allons d'abord considérer un repérage vectoriel
des points suivants de l'octaèdre avec l'origine O placée
au barycentre:

Figure: 26.42 - Exemple d'octaèdre
Nous avons alors:
(26.123)
Une fois ceci posé, considérons la figure suivante:

Figure: 26.43 - Recherche de la position du triangle équilatéral
Sur la figure ci-dessus, A' est un point qui part de A et
qui arrive en B, et soit B' un point qui part de C et
qui arrive en B, et pour finir E' un point qui part
de B et arrive en E. Ces trois points partent en
même temps et avancent à la même vitesse. Si nous suivons ces trois
points, qui forment un triangle A'B'E', nous
sentons bien intuitivement qu'il existe un lieu tel que A'B'E'
soit un triangle équilatéral.
Déterminons ce lieu:
(26.124)
et donc:
(26.125)
et nous voulons:
(26.126)
Alors:
(26.127)
Soit:
(26.128)
Ce qui se simplifie en:
(26.129)
et comme ,
nous obtenons pour la résolution de ce polynôme du deuxième degré (cf.
chapitre de Calcul Algébrique) la seule solution
acceptable:
(26.130)
le lecteur aura peut-être remarqué qu'il s'agit de l'inverse du
nombre d'or.
Selon la figure ci-dessous, si nous posons alors
nous retrouvons à nouveau la même valeur pour (soit
le lecteur le vérifiera lui-même, soit nous sur demande nous pouvons
faire le détail des calculs) et idem pour tous les autres points:

Figure: 26.44 - Construction de l'icosaèdre régulier
Notre nouveau polyèdre comporte donc une face par face de l'octaèdre
et une face par arête de l'octaèdre. Nous avons ainsi vingt faces
composées de triangles équilatéraux identiques. De plus, cinq arêtes
et cinq faces se rencontrent en chaque sommet. Nous obtenons alors
un icosaèdre régulier.
Nous avons pour les coordonnées de chaque sommet (il faut
bien observer que les sommets sont opposés par paires en
une composante sur la figure):
(26.131)
ICOSAÈDRE RÉGULIER
Nous avons vu précédemment comment construire l'icosaèdre régulier.
Il existe donc bien.

Figure: 26.45 - Représentation de l'icosaèdre régulier
Connaissant les coordonnées des différents sommets,
calculons maintenant la surface et le volume de l'icosaèdre
régulier.
Le calcul de la surface est simple puisqu'il s'agit de 20 triangles équilatéraux.
Nous avons doc:
(26.132)
donc:
(26.133)
Donc:
(26.134)
Donc:
(26.135)
Le calcul du volume est lui un peu plus subtil...
L'icosaèdre est construit autour du pentagone et de la section
d'or comme nous avons pu nous en apercevoir lors de notre étude
de l'octaèdre.
Si jamais le lecteur n'est pas convaincu voici une figure supplémentaire
où nous voyons bien que chaque arête de l'icosaèdre est
une arête
d'un pentagone (AFECB, LGHJK, DAJKC, DEGHA, BJILC, FELIH...):

Figure: 26.46 - Pentagones dans l'icosaèdre régulier
Utilisant la méthode des pyramides, nous avons 20 triangles équilatéraux
qui servent de base à une pyramide dont la hauteur va jusqu'à l'origine O de
l'icosaèdre (ou l'origine confondue de la sphère
inscrite ou circonscrite).
Prenons pour exemple la base ABD avec l'intersection des
médiatrices se trouvant au point M comme représenté ci-dessous.

Figure: 26.47 - Représentation d'une des pyramides de l'icosaèdre régulier
Comme nous le savons, le volume de chaque pyramide est:
(26.136)
La surface b est dans notre situation celle du triangle équilatéral ADB et
la hauteur h est le segment OM.
Si nous notons a le côté de triangle, alors la surface
est donnée par:
(26.137)
Pour trouver h, nous savons par construction du point M que
les triangles OMA, OMB, OMD sont des triangles
rectangles.
Travaillons arbitrairement avec le triangle OMD. D'abord,
déterminons la longueur DM. Nous avons démontré lors
de notre étude des médiatrices de longueur H du
triangle équilatéral
(cf. chapitre de Géométrique
Euclidienne) que DM vaut alors:
(26.138)
Or:
(26.139)
Donc finalement:
(26.140)
Pour trouver h nous devons trouver la longueur en
termes de longueur des arêtes a de l'icosaèdre. Pour
cela, nous devons reconnaître une des propriétés
géométriques élémentaires
de l'icosaèdre.
Avant d'aller plus loin, montrons une propriété du
pentagone ci-dessous avec ses diagonales d et ses cotés c:

Figure: 26.48 - Parallélogramme dans un pentagone
BSEA est un parallélogramme. Effectivement,
la diagonale BD est
parallèle au côté AE (par exemple, parce que
tous deux sont perpendiculaires à l'axe de symétrie passant
par OC). Comme S est
sur BD, cela prouve que BS et AE sont parallèles.
Nous montrons de la même manière que AB et SE sont
parallèles.
Nous en déduisons que:
(26.141)
et de même pour CS:
(26.142)
Continuons..., nous avons l'égalité .
Comme de plus CD et BE sont parallèles, les triangles SCD et ABE sont
semblables. Par conséquent, les rapports de distances entre leurs
côtés sont conservés (Thalès):
(26.143)
d'où la relation:
(26.144)
Après quelques remaniements:
(26.145)
Si désigne
maintenant le rapport d/c, la relation précédente
devient:
(26.146)
et étant
strictement positif, nous avons déjà vu lors de notre étude de
l'octaèdre que l'unique racine positive est le nombre d'or:
(26.147)
Nous venons donc de montrer qu'une diagonale d'un pentagone est égale
au nombre d'or multiplié par la longueur d'une arête de ce même
pentagone.
Ainsi, nous avons dans les pentagones AFECB et LGHJK de
notre icosaèdre:
(26.148)
Remarquons également le rectangle FBGK dont le
barycentre est confondu avec celui de l'icosaèdre. Par ailleurs, FK et BG représentent
par construction le diamètre de la sphère circonscrite à l'icosaèdre
et donc en
est le rayon r que nous allons chercher.
Nous avons:
(26.149)
Donc:
(26.150)
d'où:
(26.151)
Maintenant, nous pouvons calculer h :
(26.152)
Or:
(26.153)
puisque le nombre d'or est racine de l'équation .
Soit:
(26.154)
Donc finalement:
(26.155)
et:
(26.156)
Ainsi, le volume d'une pyramide de l'icosaèdre est:
(26.157)
Comme il y a 20 pyramides:
(26.158)
DODÉCAÈDRE RÉGULIER
Faute d'avoir trouvé dans la littérature une manière
esthétique
et simple de faisabilité de construction du dodécaèdre,
nous nous en passerons pour l'instant (il est possible de vivre
sans...).
Remarquons simplement que le dodécaèdre est composé de
12 pentagones réguliers et son volume est assimilable à celui
d'un parallélépipède sur
lequel nous avons posé sur chacune des faces une sorte de
petit toit ce qui au final va donner les pentagones:

Figure: 26.49 - Dodécaèdre régulier
Pour notre étude du dodécaèdre, nous nous intéresserons uniquement à déterminer
sa surface et son volume.
Pour cela, considérons dans un premier temps le pentagone régulier
ci-dessous:

Figure: 26.50 - Pentagone régulier pour la recherche du volume du dodécaèdre régulier
Nous allons d'abord devoir déterminer la longueur de h et
de b.
Rappelons d'abord que nous avons lors de notre étude l'icosaèdre
déjà démontré que la diagonale d'un pentagone est reliée à la longueur
de ses côtés par la relation:
(26.159)
où est
donc le nombre d'or. Il nous reste alors à déterminer h.
Il est d'abord évident que et
que:
(26.160)
Or, deux informations nous manquent ici: l'angle et c.
Commençons par déterminer combien vaut le cosinus sans utiliser
la calculatrice (vous comprendrez pourquoi...).
Nous avons d'abord selon la relation (cf.
chapitre de Trigonométrie) :
(26.161)
Ce qui s'écrit aussi:
(26.162)
Mais cela s'écrit également en utilisant toujours la même relation
trigonométrique remarquable:
(26.163)
Soit après simplification:
(26.164)
En faisant un changement de variable et en réarrangeant les différents
termes:
(26.165)
Nous avons -1 et 1/2 qui sont deux racines évidentes et nous
obtenons donc (cf. chapitre de Calcul Algébrique):
(26.166)
Nous n'avons plus qu'à résoudre une simple équation du deuxième
degré dont la solution est triviale en appliquant les méthodes
vues dans le chapitre de Calcul Algébrique, et nous obtenons:
(26.167)
Soit en ne prenant que la seule solution admissible, nous avons
alors:
(26.168)
nous retrouvons donc nombre d'or là aussi! et ceci nous
amène
directement à écrire que:
(26.169)
Il nous reste à déterminer c. Nous avons:
(26.170)
et comme nous
avons:
(26.171)
et donc:
(26.172)
d'où:
(26.173)
Nous avons donc pour le calcul de la surface du pentagone, une
surface composée de 12 pentagones dont chacun est composé d'un
triangle de base a et de hauteur h.
(26.174)
Pour calculer le volume, nous allons faire usage de l'astuce
mentionnée
au début. C'est-à-dire de découper dans un premier
temps le dodécaèdre
en un parallélépipède de côté:
(26.175)
puisque le côté du parallélépipède est une diagonale du pentagone
de côté s et de 6 petits toits (qui sont bien visibles sur
la figure du dodécaèdre donnée précédemment).
Chaque petit toit selon deux vues différentes aura les longueurs
suivantes (où nous retrouvons bien évidemment pour certaines arêtes
celles des pentagones s ou encore les diagonales c de
ceux-ci):

Figure: 26.51 - Autres éléments de volume du dodécaèdre régulier
Pour chaque petit toit, nous traitons à part les extrémités
en les séparant et en les réunissant. Finalement,
nous avons deux morceaux à traiter: la partie majeure du toit visible à gauche
sur la figure ci-dessous et la partie secondaire du toit à droite
sur la figure qui n'est autre que la réunion des extrémités
du toit:

Figure: 26.52 - Décomposition
Il nous faut donc déterminer x et l et h
puisque c et s nous sont déjà connus.
D'abord, nous voyons trivialement que:
(26.176)
Du théorème de Pythagore, nous avons alors:
(26.177)
En combinant ces deux relations, nous avons:
(26.178)
Il vient alors:
(26.179)
Donc:
(26.180)
Nous pouvons maintenant calculer le volume de
l'ensemble des 6 petits toits:
(26.181)
Donc, le volume total du dodécaèdre est finalement
le volume des 6 petits toits sommé au volume du parallélépipède
central:
(26.182)
CORPS
DE RÉVOLUTIONS
Définition: Un "corps de révolution"
est un volume que nous obtenons en faisant tourner une
courbe 2D autour d'un axe.
Il existe donc
autant de corps de révolution que de type de courbe fermée
ou non que nous pouvons faire tourner autour d'un axe.
Voyons avant d'aller plus loin la méthode générale
permettant de déterminer l'aire d'un corps de révolution.
C'est-à-dire la
surface du corps engendrée par la rotation d'une courbe
de longueur finie autour d'un axe:

Figure: 26.53 - Exemple de construction d'un corps de révolution
Pour cela, nous remarquons que lorsque la courbe est donnée
par une équation nous
remarquons par Pythagore (voir figure ci-dessous) que l'élément
de longueur dl vérifie (relation que nous avons déjà rencontrée
dans d'autres chapitres du site):
(26.183)
donc:
(26.184)

Ainsi, l'élément de surface engendré par
la rotation de l'élément
de longueur dl est donné par:
(26.185)
L'aire de la surface de révolution engendrée par une fonction continûment
différentiable est donc donnée par la relation:
(26.186)
cylindre
Définition: Un "cylindre" est
une surface engendrée par une droite qui se déplace parallèlement à
une direction fixe en rencontrant une courbe plane fixe, dont le
plan coupe la direction donnée.

Figure: 26.54 - Exemple de cylindre
Le volume d'un cylindre de
révolution de rayon et
de hauteur égale à h
se calcule par la méthode des disques en sachant que la
surface d'un cercle (disque) vaut :
(26.187)
La surface d'un cylindre étant
simplement la somme de la surface des deux disques de base et du
sommet et de la surface du rectangle plié de hauteur h et
de longueur :
(26.188)
Calculons maintenant le moment d'inertie
d'un cylindre plein par rapport à son axe de symétrie
vertical (axe de révolution):

Figure: 26.55 - Recherche d'un des moments d'inertie du cylindre plein
Nous avons:
(26.189)
Donc:
(26.190)
Soit maintenant G
le centre de gravité du cylindre,
coïncide avec l'axe de révolution du cylindre. Les
axes
et
jouent des rôles identiques. Les moments d'inertie
et par
rapport à ces axes sont donc égaux et s'écrivent:
(26.191)
d'où:
(26.192)
d'où:
(26.193)
La première intégrale
est en fait le moment d'inertie du cylindre par rapport à
l'axe
et nous savons qu'elle vaut:
(26.194)
La deuxième intégrale
se calcule facilement en découpant le cylindre en tranches
d'épaisseur dz perpendiculaires à l'axe .
La masse de la tranche élémentaire est
soit:
(26.195)
Le moment d'inertie d'un cylindre par
rapport à un axe perpendiculaire à son axe de révolution
s'écrit donc:
(26.196)
Calculons maintenant le
moment d'inertie d'un tube ou d'un cylindre creux d'épaisseur
non nulle (toujours donné dans les formulaires techniques): le moment d'inertie d'un tube par rapport à son axe
de révolution est
un grand classique du traitement du moment d'inertie du cylindre.
Ainsi, considérons un tube de rayon extérieur
et de rayon intérieur .
Comme (cf. chapitre de Mécanique Classique):
(26.197)
Il vient dès lors que le moment
d'inertie d'un tube peut être vu comme le moment d'inertie
du cylindre de rayon égal au rayon externe du tube diminué
du moment d'inertie du cylindre de rayon égal au rayon interne
du tube. Ainsi:
(26.198)
et si ,
il vient dès lors la relation classique disponible dans nombre
de formulaires de physique:
(26.199)
cône
Définition: Un "cône" est
une surface engendrée par une droite mobile, passant par un point
fixe et s'appuyant sur une courbe fixe; solide déterminé par cette
surface.
Le volume
d'un cône de révolution de rayon à la base r et
de hauteur égale à h se
calcule également par la méthode des disques.
La droite passant
par les points
(extrémité de la base du cône) et
(sommet du cône) est:
(26.200)
La rotation
de cette droite par rapport à l'axe des y donne
le volume du cône:
(26.201)
Figure: 26.56 - Exemple de cône
Pour calculer la surface latérale d'un cône, nous allons paramétrer
la droite qui part du sommet du cône de (0,0) à (r, h) ce
qui est donc une paramétrisation différente que celle pour le volume
(cela permet de simplifier un peu les calculs). Nous avons alors:
(26.202)
et donc:
(26.203)
Donc, la surface totale du cône (base + surface latérale)
est alors:
(26.204)
Calculons maintenant le moment d'inertie d'un
cône par rapport à son axe de révolution:
Pour ce calcul, nous allons utiliser
la valeur du moment d'inertie du cylindre
et considérer le cône comme un empilement de cylindres
infinitésimaux.
Donc:
(26.205)
SPHÈRE
Définition: La "sphère" est
le volume engendré par la rotation d'un disque (ou cercle) de rayon
r autour de son centre de gravité.

Figure: 26.57 - Exemple de sphère
Nous pouvons voir une sphère
de rayon R,
comme une surface qui est formée par la rotation d'un demi-cercle
autour de son grand axe. La fonction décrivant un demi-cercle étant:
(26.206)
La sphère peut donc être disséquée
comme une somme de disques d'épaisseur .
Les demi-disques étant perpendiculaires à l'axe des abscisses
et de largueur
à
la position (voir
figure ci-dessous).

Figure: 26.58 - Calcul du volume de la sphère par décomposition en disques
Nous avons ainsi:
(26.207)
Le volume d'un disque (cylindre) étant
donné par (en passant à la limite):
(26.208)
et le rayon étant
donné par la fonction:
(26.209)
nous avons alors:
(26.210)
En intégrant entre ,
nous avons alors le volume de la sphère:
(26.211)
Nous pouvons également prendre les
bornes entre cela
revenant au même à un facteur 2 près:
(26.212)
Après simplification, nous obtenons
pour le volume:
(26.213)
L'expression de la surface étant donnée
par dérivant par rapport
à l'élément engendrant la surface, nous obtenons
ainsi (c'est un peu limite comme raisonnement mais bon...):
(26.214)
Il existe
une autre manière d'aborder ces calculs un peu plus rigoureusement.
Effectivement, dans le chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral
nous avons introduit le concept de Jacobien qui permet de changer
les variables d'intégration en fonction du système
de coordonnées
sur lequel nous travaillons (pour la définition détaillée des
termes le lecteur doit se reporter au chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral):
(26.215)
et nous
avons démontré que le jacobien en coordonnées sphériques
est:
(26.216)
Donc au même titre que dxdydz est un élément différentiel
de volume, nous pouvons convertir cet élément en coordonnées sphériques
et faire in extenso apparaître un élément différentiel de volume
de la sphère de rayon r. Il suffit ensuite d'intégrer
correctement pour avoir le volume de toute la sphère.
Dès lors,
nous avons:
(26.217)
et pour
la surface (pour laquelle le rayon est constant):
(26.218)
Au besoin, on peut trouver l'élément de surface
de manière géométrique
plutôt que de passer par le jacobien car ce dernier n'est
pas très
pédagogique dans les petites classes...
Alors en se rappelant que dans le chapitre de Trigonométrie,
nous avons démontré que la longueur d'un arc de cercle
est donnée par:
(26.219)
Alors, il devient très aisé de compléter
la figure suivante:

Figure: 26.59 - Représentation d'un élément de surface en coordonnées sphériques
et nous voyons alors immédiatement que:
(26.220)
ce qui est quand même plus sympa...
Calculons maintenant le moment
d'inertie d'une boule pleine homogène de masse M et
de masse volumique .
Pour cela, la boule présentant une symétrie maximale,
il est plus commode de calculer d'abord le moment d'inertie
polaire
(cf. chapitre de Mécanique Classique),
puis de déterminer
le moment d'inertie axial à partir de ce premier:
(26.221)
Comme
sont égaux par symétrie de la boule, il vient:
(26.222)
TORE
Définition: Un "tore" est
la surface engendrée par la rotation d'un cercle c de
rayon r
autour d'une droite située dans son plan, mais ne passant
pas par son centre.
Soit
l'équation d'un demi-cercle de centre (0,c):
(26.223)
Afin
d'écrire y sous
la forme d'une fonction de x,
isolons y dans
cette équation:
(26.224)
Le
cercle est alors constitué des graphes des deux fonctions
suivantes:
-
Demi-cercle supérieur:
(26.225)
-
Demi-cercle inférieur:
(26.226)
Le
volume demandé est la différence entre les volumes engendrés par
la rotation des surfaces (surfaces définies par l'aire comprise
entre la fonction du cercle concerné et l'axe des abscisses compris
entre )
dans l'espace autour de l'axe des abscisses.
En
appliquant la relation d'intégration des corps de révolution:
(26.227)
Calculons
cette dernière intégrale par la substitution classique
donc:
(26.228)
si
:
(26.229)
si
:
(26.230)
donc:
(26.231)
Linéarisons
cette expression en utilisant à nouveau les relations trigonométriques
(formule de Carnot):
(26.232)
Donc,
le volume d'un tore de "rayon mineur"
r et
de "rayon majeur" c est
donné par:
(26.233)
Adapté
à la figure ci-dessous (prise de la littérature):
(26.234)
et
la surface (par dérivation de l'élément génération de surface):
(26.235)

Le
moment d'inertie du tore relativement à son axe de révolution se
calcule de la manière suivante:
Soit le volume du tore (démontré
précédemment) noté:
(26.236)
La densité volumique
du tore est donnée par (masse sur volume):
(26.237)
En coordonnées cylindriques,
nous avons:
(26.238)
d'où:
(26.239)
Le moment d'inertie est alors donné
par:
(26.240)
Posons
, dès lors:
1. Les bornes d'intégration
deviennent dès lors -a, +a puisque nous ramenons tous les points d'intégration à
l'origine en posant
2. Trivialement, puisque
nous avons donc
Ce qui nous donne:
(26.241)
Comme nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégrale
que l'intégrale avec deux bornes symétriques d'une fonction impaire
(produit d'une fonction paire et impaire) est nulle,
les intégrales de:
(26.242)
sont nulles.
Nous avons donc à calculer:
(26.243)
Posons maintenant
et donc .
Il vient donc:
(26.244)
Or, comme:
(26.245)
Donc:

(26.246)
Soit (cf.
chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral):

(26.247)
Donc finalement:
(26.248)
ELLIPSOÏDE
Définitions:
D1. Un "ellipsoïde"
est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois
dimensions. Il fait donc partie des quadriques (cf.
chapitre de Géométrie Analytique) 
Figure: 26.60 - Exemple d'ellipsoïde
D2. Un "ellipsoïde
de révolution" est
un solide engendré par la révolution d'une ellipse
autour de l'un de ses axes.
Pour
calculer le volume délimité par l'ellipsoïde, prenons l'équation
que nous avons déterminée lors de notre étude des coniques (cf.
chapitre de Géométrie Analytique):
(26.249)
Remarque: Dans le cas où seuls deux paramètres
aux dénominateurs sont égaux,
l'ellipsoïde peut être engendré par la rotation
d'une ellipse autour d'un de ses axes. Il s'agit alors de l'ellipsoïde
de révolution définie juste précédemment et parfois appelé "sphéroïde".
La
section par un plan parallèle au plan Oyz et
se trouvant à la distance x de
ce dernier, donne l'ellipse:
(26.250)
ou:
(26.251)
avec
pour demi-axes:
(26.252)
Mais
comme nous l'avons démontré, la surface d'une ellipse vaut .
Par conséquent:
(26.253)
Le
volume de l'ellipsoïde est alors égal à:
(26.254)
Donc:
(26.255)
et
si ,
nous retrouvons l'expression du volume d'une sphère:
(26.256)
Remarque: Le calcul du moment d'inertie d'un ellipsoïde
est très important en astrophysique puisqu'un grand nombre
d'étoiles ou de planètes en rotation sur elles-mêmes
de par leur déformation à l'équateur à
cause de la force centrifuge se voient déformées
en première approximation en un tel volume.
Pour un ellipsoïde,
définissons C comme étant le moment d'inertie
le long de l'axe c, A le moment d'inertie le long
de l'axe a et B le moment d'inertie le long de l'axe
b.
Pour commencer, considérons
le moment d'inertie le long de l'axe c que nous assimilerons
à l'axe z. Dès lors, en coordonnées
cartésiennes, nous avons:
(26.257)
En faisant la substitution
suivante, nous sous-entendons que l'intégrale précédente
est une normalisation d'un ellipsoïde:
(26.258)
ce qui nous donne pour notre
intégrale (nous transformons donc ainsi le volume V
de l'ellipsoïde en le volume V' d'une sphère):
(26.259)
Nous pouvons maintenant passer des coordonnées cartésiennes
aux coordonnées
sphériques (cf. chapitre de Calcul
Vectoriel) sans oublier
d'utiliser le Jacobien (cf. chapitre de Calcul
Différentiel
Et Intégral) que nous avions démontré comme
valant en coordonnées sphériques:
(26.260)
Donc (nous utilisons les
primitives usuelles démontrées dans le chapitre de
Calcul Différentiel Et Intégral):
(26.261)
en y insérant pour
l'ellipsoïde:
(26.262)
nous obtenons alors:
(26.263)
et par symétrie, nous
avons les résultats triviaux suivants:
(26.264)
La matrice d'inertie (cf.
chapitre de Mécanique Classique) est alors:
(26.265)
PARABOLOÏDE
Définition: Un "paraboloïde" est
un solide engendré par la révolution d'une parabole autour de
son foyer:

Figure: 26.61 - Exemple de paraboloïde
La méthode de calcul du volume
du paraboloïde à base elliptique est exactement la
même
que celle pour la pyramide à la différence que l'équation
d'une parabole est du type
et que nous avons aussi .
Dès lors, nous avons évidemment .
Le carré de la fonction nous amène à écrire:
(26.266)
et idem pour .
Dès lors:
(26.267)
TONNEAU À SECTION CIRCULAIRE
Maintenant regardons pour le plaisir un volume très connu
par les viticulteurs (et pas seulement!):

Figure: 26.62 - Exemple de tonneau à section circulaire
Considérons que la courbe latérale du tonneau est une parabole
d'équation:
(26.268)
Posons:
et
(26.269)
étant donné la manière dont nous avons disposé les axes x, y il
est relativement aisé de déterminer les coefficients du polynôme.
Déterminer le coefficient c est le plus simple:
(26.270)
Nous avons aussi:
(26.271)
De même que:
(26.272)
Ainsi, nous avons:
(26.273)
Le rayon d'une section horizontale d'ordonnée x est et
sa surface est donc:
(26.274)
ou:
(26.275)
Développons:
(26.276)
Le volume de liquide pour une hauteur h sera donc:
(26.277)
Pour calculer la surface intérieure du tonneau, nous considérons
la courbe extérieure donnée par un arc de parabole comme représenté ci-dessous:

Figure: 26.63 - Tranche verticale du tonneau
Pour calculer l'aire latérale de ce tonneau, nous devons
d'abord déterminer l'expression de la parabole ci-dessus.
En regardant la figure, nous obtenons:
(26.278)
qui est un système de trois équations en les inconnues .
Après résolution, nous obtenons:
(26.279)
La surface latérale du tonneau incluant la surface des deux disques aux
extrémités est alors donnée par:
(26.280)
En faisant le changement de variable nous
obtenons:
(26.281)
Cette dernière intégrale peut être calculée en utilisant
les relations suivantes (dont
la deuxième a été démontrée dans le chapitre
de Calcul Différentiel Et Intégral):
(26.282)
où pour rappel:
(26.283)
Nous n'irons pas plus loin, car la formule obtenue serait énorme
et sans grand intérêt.
Voici néanmoins une application numérique. Supposons:
(26.284)
Nous calculons:
(26.285)
Donc:
(26.286)
la première des intégrales vaut:
(26.287)
La deuxième vaut:
(26.288)
Et finalement:
(26.289)

- Formulaire Technique Gieck, K. + R. Gieck, ISBN10: 3920379187
(656 pages) - Imprimé en
1997
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