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PROJECTIVE | GÉOMÉTRIE
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DIFFÉRENTIELLE
FORMES GÉOMÉTRIQUES
| THÉORIE DES GRAPHES
25.
GÉOMÉTRIE
DIFFÉRENTIELLE |
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Comme
nous l'avons déjà mentionné dans le chapitre de Géométrie
Non-Euclidienne, la géométrie différentielle
est la branche de la géométrie qui
vise
à étudier les propriétés locales (au
voisinage d'un point) et intrinsèques
des courbes et des surfaces non-euclidiennes (comme une généralisation
des surfaces euclidiennes!).
La géométrie
différentielle
tient son nom au fait qu'elle est née de la possibilité d'une
interprétation
cinématique que le calcul infinitésimal apporte à l'étude
des courbes. Les points que nous aborderons ici serviront aussi
bien dans l'étude de la mécanique classique que de
l'analyse complexe appliquée à de nombreux domaines
de l'étude des champs.
Remarque: Avant de nous attaquer à la
manière très
formelle et abstraite d'aborder la géométrie différentielle
avec les outils de la topologie (méthode habituelle aux
mathématiciens)
nous avons choisi dans un premier temps de présenter les
éléments essentiels de manière simple et agréable
tel que cela se fait dans les écoles d'ingénieurs.
Les puristes nous excuseront donc au cas où en attendant
mieux...
COURBES PARAMÉTRÉES
Définition: Nous assimilerons "l'espace
physique" à et
le supposerons muni d'un repère et
nous noterons B la
base 
Soient
un ensemble et
une fonction telle
que:
(25.1)
Remarques:
R1. Si f est continue, alors
est
une courbe de l'espace appelée "courbe
d'un seul tenant".
R2. Une parabole, une sinusoïde sont des
courbes appelées "courbes planes".
Une ellipse, un cercle sont appelés des "courbes
planes fermées". Pour ces exemples, tous les
points des courbes considérées sont situés
dans un même plan. Inversement,
une courbe est appelée "courbe
gauche"
(gauchir = dévier, tordre) s'il n'en est pas ainsi.
Choisissons et
posons que
nous noterons par abus de langage nous
pouvons alors énoncer la définition suivante: le couple (f
, I) où f est une fonction continue
est appelé "arc paramétré".
est
appelée le "support" de (f
, I) et est
une "origine" de (f
, I).
Avant de continuer, rappelons qu'en géométrie différentielle,
"l'abscisse
curviligne" est une sorte de variante algébrique
de la longueur d'un arc (c'est donc l'analogue, sur une courbe, de
l'abscisse sur
une droite orientée).
Considérons
maintenant l'abscisse curviligne (cf.
chapitre de Calcul Tensoriel):
(25.2)
nous savons
que dans un espace euclidien canonique (dans ) l'abscisse
curviligne s'écrit alors:
(25.3)
avec et
comme nous avons ,
il reste:
(25.4)
Dans le
système cartésien:
(25.5)
il vient
donc que:
(25.6)
qui
est donc l'élément différentiel linéaire
d'un espace euclidien (le plus court chemin ou encore la "géodésique" ou
encore "
l'abscisse curviligne différentielle") que nous avons
déjà rencontré à maintes reprises dans
différents chapitres du site.
Ce n'est donc rien de nouveau ni de surprenant!
Si nous nous restreignons au plan, l'abscisse curviligne différentielle
d'une courbe plane s'écrit alors:
(25.7)
Nous savons déjà comment utiliser cette dernière équation
(nous en avons fait usage dans le chapitre de Mécanique
Analytique). Mais comme un rappel n'est jamais mauvais, faisons
des exemples avec une droite, une parabole et un demi-cercle (le
choix n'est pas innocent...).
Exemples:
E1. Considérons l'équation générale
d'une droite dans le plan (ce n'est pas une courbe plane pour rappel
mais une droite plane):
(25.8)
Il vient alors immédiatement:
(25.9)
Dès lors:
(25.10)
E2. Considérons l'équation générale
d'une parabole dans le plan:
(25.11)
Il vient alors immédiatement:
(25.12)
Dès lors:
(25.13)
E3. Considérons le réarrangement de l'équation
générale
d'un cercle de rayon R dans
le plan (cf. chapitre de Géométrie
Analytique):
(25.14)
Il vient alors immédiatement:
(25.15) Dès lors:
(25.16)
Remarquons qu'en faisant une approximation de Maclaurin (lorsque x vaut
donc zéro, ce qui correspond à l'étude du pôle du
cercle), nous avons (cf. chapitre de Suites Et Séries):
(25.17)
Suite à la demande d'un lecteur voici les détails
du développement du résultat précédent. Rappelons
d'abord la série de Taylor (cf. chapitre Suites
Et Séries):
(25.18)
Si nous posons , nous obtenons la série de Maclaurin:
(25.19)
Donc il vient en procédant en deux étapes:

(25.20)
En prenant :
(25.21)
Il vient alors immédiatement:
(25.22)
Dès lors:
(25.23)
Nous voyons alors que l'abscisse curviligne du cercle dans le plan devient
celle d'une parabole lorsque nous faisons un développement en série
de Maclaurin de l'équation du cercle au pôle.
Nous pourrions faire de même avec une hyperbole ou une ellipse et nous
retrouver avec la même forme d'abscisse curviligne différentielle,
généralement notée
par tradition:
(25.24)
où kx est appelé "paramètre
de la parabole osculatrice".
Ces exemples étant clos, continuons un peu avec la théorie.
Nous pouvons bien évidemment réécrire notre abscisse
curviligne différentielle en divisant par dt des
deux côtés
de l'égalité tel que:
(25.25)
Exemple:
Voyons
une application de l'abscisse curviligne différentielle paramétrée
avec une hélice
(les exemples sont jolis en géométrie
différentielle et valent donc la peine d'être vus...) qui
est un exemple typique de courbe gauche:
Soient
et
la fonction:
(25.26)
avec et
les coordonnées paramétriques:
(25.27)
Nous avons alors avec Maple 4.00b en prenant r et h comme
étant égaux à l'unité:
>with(plots): >spacecurve([cos(t),sin(t),t,t=-4*Pi..4*Pi,numpoints=1000]);

Figure: 25.1 - Représentation paramétrique d'une hélice avec Maple 4.00b
La fonction f est
un arc paramétré dont le support est appelé une "hélice",
r en est le rayon et h le
pas. En prenant comme
origine, l'abscisse curviligne de cette hélice (un morceau)
est donnée par:
(25.28)
Donc:
(25.29)
et
alors:
(25.30)
ISOCLINES
Voyons maintenant un point très important en mathématiques
mais en plus dans l'ingénierie médicale, astrophysique, météorologie
(parmi encore beaucoup d'autres domaines) que sont les isoclines.
Avant d'aborder le sujet sous forme mathématique, nous
proposons au lecteur d'ouvrir Matlab 5.0.0.473
(nous avons déjà fait
à peu près le même exemple
avec Maple 4.00b dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle)
et d'y écrire:
EDU» [xx,yy,z]=peaks;
EDU» figure(1);mesh(xx,yy,z);title('peaks')

Figure: 25.2 - Tracé initial dans Matlab 5.0.0.473
ensuite pour des raisons esthétiques, d'écrire:
EDU» figure(2);surf(xx,yy,z);title('surf')

Figure: 25.3 - Amélioration du gradient de couleurs dans Matlab 5.0.0.473
Ensuite nous aimerions que Matlab nous trace quelques courbes
de niveau (les points où la valeur de la fonction f(x,y)
est constante), appelées par les matheux des "isoclines" ou "courbes
d'iso-niveau". Il faut alors écrire:
EDU» figure(3);contour3(xx,yy,z);title('contour')

Figure: 17.4 - Affichage des isoclines de la fonction dans Matlab 5.0.0.473
Nous allons ensuite lui demander de les projeter sur le plan X,Y.
Ce qui donne:
EDU» figure(3);contour(xx,yy,z);title('contour')

Figure: 25.5 - Projection des isoclines sur un plan dans Matlab 5.0.0.473
Et ce sont ces courbes qui vont nous intéresser. Nous souhaiterions
déterminer les équations dans le plan de celles-ci sous forme explicite.
Mais avant cela amusons-nous avec Matlab en écrivant encore:
EDU» figure(4);pcolor(xx,yy,z);title('gradient')

Figure: 25.6 - Représentation plane des isoclines avec gradients colorés
dans Matlab 5.0.0.473
mais nous pouvons faire encore mieux en enlevant la grille avec
la commande:
EDU» shading interp

Figure: 25.7 - En retirant la grille...
Ensuite, sans fermer le graphique ci-dessus créé par
Matlab 5.0.0.473 rajoutez maintenant la ligne:
EDU» hold on
EDU» contour(xx,yy,z,'k')

Figure: 25.8 - Association isoclines projetées avec gradients de couleurs
Considérons pour déterminer l'équation des isoclines la fonction de et
que nous imposerons -différentiable.
La relation:
(25.31)
définit une courbe plane
appelée "isocline". C'est une courbe telle que, lorsque x varie, y ne
varie donc pas n'importe comment mais précisément de telle sorte
que f reste
constante.
Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral
que la différentielle de f, pour des variations infinitésimales
quelconques de x et y, est:
(25.32)
Maintenant, si nous voulons que quand x varie de dx,
la valeur de la fonction f ne change pas, il faut que dy ne
soit pas n'importe quoi mais tel que la variation df soit
nulle. Autrement dit:
(25.33)
le long de .
Mais cette équation ne sert à rien en tant que telle,
mais elle nous fixe le rapport de la dérivée de l'isocline
dans le plan tel que:
(25.34)
ce qui nous donne la pente de la tangente à et
donc après par intégration, la fonction recherchée elle-même!
Il va de soi que le vecteur tangent à la courbe est
donc un vecteur parallèle à celui ayant pour composantes
(par correspondance avec la relation précédente):
(25.35)
que nous noterons:
(25.36)
De plus rappelons que le gradient est donné par (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel):
(25.37)
Nous remarquerons que ces deux derniers vecteurs sont perpendiculaires
(résultat qui nous sera utile dans le chapitre d'Analyse Complexe).
Effectivement:
(25.38)
En d'autres termes, le vecteur définit
les lignes orthogonales à la courbe .
Exemple:
Prenons l'équation d'une parabole particulière dans :
(25.39)
Nous avons donc les isoclines qui sont données par:
(25.40)
d'où leur équation dans le plan:
(25.41)
Soient des cercles dans le plan dont le rayon est égal à la
racine carrée de la constante choisie correspondante à la
hauteur z de
la fonction f !
Calculons maintenant la pente de la tangente à :
(25.42)
ce qui est conforme à la simple dérivée de:
(25.43)
Nous avons aussi:
(25.44)
Nous voyons qu'en ce
vecteur est vaut:
(25.45)
ce qui est bien conforme au vecteur tangent que nous avons au
cercle en ce point de l'axe des abscisses.
TRIEDRE
DE FRENET
Le repère de Frenet est
un outil d'étude du comportement local des courbes. Plus
exactement, il s'agit d'un repère local associé à un
point
décrivant
une courbe .
Son mode de construction est différent selon
que l'espace ambiant est de dimension 2 (courbe plane) ou 3 (courbe
gauche).
Le repère de Frenet, et les formules de Frenet (donnant
les dérivées des vecteurs de ce repère), permettent
de mener de façon systématique des calculs de courbure,
de torsion pour les courbes gauches et d'introduire des concepts
géométriques intéressants associés aux
courbes.
Considérons pour commencer une
courbe avec
son abscisse curviligne s(t) et son
origine. Nous notons par
définition:
(25.46)
la tangente à la
courbe
de
paramètre t au voisinage d'un point M par
rapport à
un repère posé en O avec ds qui
se calcule comme nous l'avons montré précédemment.
Il est intéressant de remarquer que si t s'interprète
comme le temps, alors nous avons une vitesse:
(25.47)
et donc le vecteur est
dirigé dans le sens du mouvement.
De plus, par construction et définition de l'abscisse curviligne,
nous avons toujours:
(25.48)
et
donc le vecteur tangent au
point M est
unitaire (et non nul!).
Maintenant, sans savoir exactement à quoi cela va nous
servir pour l'instant, intéressons-nous au vecteur:
(25.49)
Sachant trivialement de ce qui précède que:
(25.50)
Alors, nous avons:
(25.51)
donc déjà n'est
a priori pas unitaire et lui
est perpendiculaire (résultat qui va nous servir plusieurs
fois par la suite donc il faudra s'en souvenir)!
Posons maintenant:
(25.52)
Étant
donné le résultat précédent, est
le vecteur perpendiculaire, appelé "vecteur
de courbure" unitaire, à en M (nous
disons que ce couple de vecteur est "orthonormal direct")
et C est par définition la "courbure".
Nous pouvons également aborder la courbure C d'une façon
plus géométrique plutôt que par une définition tombée
du ciel:
Nous savons à ce point de notre discours qu'en un point d'une
courbe (dérivable au moins une fois en tout point...), il existe
un vecteur tangent non nul qui est .
En tout point voisin M (d'abscisse curviligne s),
le vecteur tangent peut s'écrire en approximation:
(25.53)
si la courbe se trouve localement dans un même plan (car nous étudions
ici la courbure et non la torsion de la courbe)!
Deux normales en M et M0 se coupant
donc en un point Ω, la figure suivante:

Figure: 25.9 - Décomposition du vecteur tangent de la trajectoire courbe
montre qu'au premier ordre en ds, le point M peut être
considéré localement comme déduit du point M0 par
une rotation de centre Ω.
Le cercle ainsi défini, de rayon:
(25.54)
est celui qui tangente le mieux la courbe localement au point M0.
Son rayon se déduit de la figure (deux triangles semblables à la
limite):
(25.55)
d'où, puisque est
unitaire, la définition et la valeur de la courbure:
(25.56)
et voilà!
Il est possible d'interpréter le concept de
courbure comme la vitesse de rotation de la base de Frenet par
rapport à une
direction fixe.
Le couple de vecteurs ( , )
est appelé "repère de Frenet"
et ses vecteurs de base les "vecteurs
de Frenet".
Le repère de Frenet est un repère mobile puisque
les éléments de ce repère changent selon le
point considéré. En physique, il ne faut pas confondre
cette notion avec celle de référentiel: puisque
les vecteurs de Frenet se déplacent avec le point!
Remarque: La définition de C telle que
ci-dessus est vraie dans le cadre d'un choix d'une courbure
positive. C'est un point de vue pris en mécanique
mais non nécessaire en mathématiques.
Si
,
alors comme vu précédemment:
(25.57)
où
R est
appelé le "rayon de courbure".
Quant
à la relation:
(25.58)
elle
est appelée "1ère
formule de Frenet" et montre que et sont
colinéaires et donc leur produit vectoriel est nul (résultat
utilisé
plus loin).
Ces relations se justifient par l'analogie avec la mécanique.
Effectivement, nous avons démontré plus haut que:
(25.59)
Calculons maintenant l'accélération:
(25.60)
nous retrouvons alors le résultat obtenu dans le chapitre
de Mécanique Classique lors de notre étude du plan
osculateur.
Pour
donner une interprétation géométrique plus
exacte de la courbure, nous définissons d'abord par le
centre du "cercle osculateur" (se
trouvant dans le plan osculateur) ou "cercle
de courbure" de
rayon R qui tangente
le mieux localement tel
que dans le repère de Frenet:
(25.61)
Pour préciser géométriquement ce qu'est le
cercle osculateur, prenez une courbe, et un point M sur
cette courbe. Tracez ensuite la normale
au point de cette courbe localement plane et prenez un point sur
la normale. Alors, le cercle de centre O passant par le
point M est tangent à la
courbe. Mais tous les cercles tangents à la courbe ne sont
pas tangents de la même façon! En effet, si est
loin de M, le cercle va se situer plutôt à l'extérieur
de la courbe (cercle bleu dans la figure ci-dessous). Si est
proche de M, le cercle va se situer plutôt à l'intérieur
de la courbe (cercle rose dans la figure ci-dessous). Le rayon
limite entre être "à l'intérieur de la
courbe" et être "à l'extérieur de
la courbe" est par convention le "rayon de courbure" que
nous avons défini plus haut. Le cercle correspondant à ce
rayon est alors le fameux "cercle osculateur".

Figure: 25.10 - Représentation du cercle osculateur
Dans
le cas particulier où est
un vecteur constant:
(25.62)
et
donc ce
qui implique que R n'est
plus défini. Nous disons quelquefois dans ce cas que le
rayon de courbure de est
infini (une droite présente alors une courbure nulle en
tout point).
Étudions
maintenant le vecteur perpendiculaire au plan osculateur défini
par:
(25.63)
Nous
pouvons déjà dire, étant donné que et
sont
unitaires que l'est
aussi (ce qui va nous servir plus loin)!
Démontrons
que est
orthogonal à :
(25.64)
où nous avons pris le cas particulier (mais
de toute manière en généralité et sont
colinéaires comme nous l'avons démontré donc le produit
vectoriel entre ces deux vecteurs est toujours nul).
C.Q.F.D. Démontrons maintenant que est
colinéaire à :
De la même manière que nous avons démontré plus haut que est
perpendiculaire à ,
nous démontrons que est
perpendiculaire à !
Nous avons donc:
(25.65)
Et étant donné que est
aussi perpendiculaire
à (démonstration
précédente) il est donc colinéaire à .
C.Q.F.D.
Posons
maintenant:
(25.66)
Cette
relation constitue la "2ème formule
de Frenet"
où par
définition, est
le "vecteur binormal" de au
point M et en
est la "torsion" et R'
le "rayon
de torsion".
Nous
pouvons maintenant établir la "3ème formule
de Frenet":
(25.67)
d'où
nous tirons:
(25.68)
Or
de par les propriétés du produit vectoriel:
(25.69)
d'où
la 3ème formule de Frenet:
(25.70)
Nous
appelons "trièdre de Frenet" associé à au
point M,
le repère naturel orthonormal de l'espace :

Figure: 25.11 - Représentation du trièdre de Frenet
où, en mécanique, le vecteur est
colinéaire à la vitesse et l'accélération tangentielle et est
colinéaire à l'accélération normale.
Remarque: Le rayon de courbure R est donc dans
le plan osculateur (plan formé par le vecteur tangent et
normal à la
courbe) qui est le meilleur plan dans lequel est contenue la
courbe.
Du coup, le rayon de courbure donne en un point (localement) le
meilleur ("le plus vrai") rayon de la courbe. La
torsion nous donne par contre la tendance qu'a la courbe à sortir
du plan osculateur (in extenso si la courbe est contenue dans
un plan, la torsion est nulle).
Exemple:
E1. Cherchons
le rayon et le centre de courbure en tout M à
notre hélice définie plus haut comme exemple pratique.
Rappelons que sa fonction paramétrique
est donnée par:
(25.71)
et
que:
(25.72)
Nous
avons dès lors:
(25.73)
Au passage, vous remarquerez que nous avons bien:
(25.74)
Ainsi,
la courbure (l'inverse du rayon de courbure) est donnée
par:
(25.75)
Donc,
le rayon de courbure vaut:
(25.76)
Ce qui est conforme à l'intuition puisque, lorsque le pas h de
l'hélice est nul, le rayon de courbure vaut r et
lorsque le pas h tend vers l'infini le rayon de courbure
tend vers l'infini aussi et la courbure vers zéro. Cet exemple
est un cas fameux d'ingénierie appliquée aux cheminées
d'évacuation
de fumées qui sont entourées d'une hélice
d'Archimède et dont l'objectif
est de faire monter les flux d'air vers le haut (la difficulté
étant de déterminer le rayon R de la plaque
de métal à couper
qui suivra le mieux la courbure voulue... du moins localement en
connaissant le rayon de la cheminée et la hauteur h du
pas de la spirale):
Figure: 25.12 - Principe de base d'une cheminée industrielle avec spirale
(source:
Frank Morgan, Riemmanian Geometry)
ou sa version réelle:
Figure: 25.13 - Cheminée industrielle d'évacuation avec spirale
Mais dans ce cas d'ingénierie, la hauteur h doit être obtenue par une rotation complète. Dès lors le rayon de courbure
s'écrit:
(25.77)
Bref pour en revenir à notre exemple et le finir,
il vient par la première formule de Frenet le vecteur
normal suivant:
(25.78)
et dont tous les points (extrémités du vecteur)
sont confondus
avec l'axe Z de
notre hélice quel que soit h! La coordonnée
de la composante z de ce vecteur est nulle étant
donné que
la normale est prise par rapport à un point M de
la courbe déjà à une hauteur h implicite.
De
par la 3ème formule de Frenet avec le vecteur
binormal:
(25.79)
et le rayon de torsion
donné par la relation:
(25.80)
nous avons donc:
(25.81)
Et comme nous avons obtenu les trois relations suivantes:
(25.82)
Nous en déduisons le rayon de torsion:
(25.83)
E2. Déterminons maintenant le cas important
de l'expression explicite du rayon de courbure en coordonnées
cartésiennes (résultat
utilisé dans le chapitre de Génie Civil et utile
dans de nombreux autres domaines de la physique). Considérons pour
cela la figure suivante:
Figure: 25.14 - Illustration de l'approche du rayon de courbure en 1D
Nous avons donc le rayon de courbure qui est donné
intuitivement par la relation suivante si nous ne faisons pas usage
de l'analyse vectorielle:
(25.84)
Nous avons aussi:
(25.85)
et comme:
(25.86)
il vient alors:
(25.87)
et donc:
(25.88)
Nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Intégral
Et Différentiel la dérivée suivante:
(25.89)
Nous avons alors immédiatement par les dérivées composées:
(25.90)
Ceci étant fait nous avons aussi besoin de dx/ds.
Or, nous avons démontré avec différentes approches dans le chapitre
de Mécanique Analytique et Formes Géométriques (entre autres) en
utilisant simplement Pythagore que:
(25.91)
En regroupant le tout nous avons finalement:
(25.92)
Il vient donc alors le rayon de courbure du cercle
localement osculateur d'une fonction cartésienne dans le plan (en
prenant la valeur absolue de la dérivée seconde pour éviter d'avoir
un
rayon négatif...):
(25.93)
NAPPES
PARAMÉTRÉES
Soient :
avec
(25.94)
Appelons .
Si g est
continue, alors est
une surface de l'espace "surface
d'un seul tenant".
Par définition,
dans ce qui suit, le couple où
g est
une fonction supposée continue sera appelé "nappe
paramétrée",
et le
"support" de la nappe paramétrée. Nous disons encore
que
et
sont
des paramétrages de .
Remarquons que pour une surface (par
exemple un disque), il existe plusieurs nappes paramétrées associées
(par exemple les coordonnées cartésiennes, polaires, sphériques).
Soit maintenant et:
(25.95)
tels
que
Nous pouvons définir :
(25.96)
Si nous supposons h continue,
il est clair que est
un arc paramétré. Appelons son
support, nous avons et
nous disons que est
une "courbe tracée" ou "courbe
inscrite" sur définie
par les "coordonnées
de Gauss" u et v
(déjà rencontrées dans le chapitre
sur les Géométries
Non-Euclidiennes).
Remarque: Nous supposerons toujours désormais que 
Soit .
Intéressons-nous aux deux courbes tracées sur définies
par les arcs paramétrés suivants:
avec
avec
(25.97)
et
sont
les deux fonctions dites "fonctions
partielles" de g en
.
Les supports de et sont appelés "courbes-coordonnées"
de en
relativement
au paramétrage .
Nous les notons respectivement et
.
Nous appelons aussi "1ère
courbe-coordonnée" et "2ème
courbe-coordonnée".
Il est bien sûr relativement évident (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral)
que:
(25.98)
est tangent à en
et
que est
tangent à en
.
Figure: 25.15 - Représentation d'une nappe paramétrée
MÉTRIQUE
D'UNE SURFACE
Soit:
avec
(25.99)
Notons ,
autrement dit:
(25.100)
Nous avons aussi (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):
(25.101)
et nous avons démontré au
début de ce chapitre que l'abscisse curviligne dans un espace
cartésien (en coordonnées de Riemann)
était donnée par:
(25.102)
Nous avons donc après substitution en coordonnées de Gauss:
(25.103)
Ce qui est équivalent à écrire (attention à ne pas
y lire qu'on a le carré d'un vecteur mais qu'il s'agit du produit
scalaire avec lui-même!):
(25.104)
De manière plus traditionnelle
avec la notation:
(25.105)
Nous obtenons une relation appelée la "première
forme quadratique fondamentale" (nous ne démontrerons
pas la deuxième):
(25.106)
appelée aussi "première
forme différentielle de Gauss". Il est intéressant
d'écrire cette dernière relation sous la forme:
(25.107)
et nous voyons que pour que soit
positif, il faut alors que E ainsi que soient
positifs.
Comme
nous l'avons déjà démontré dans le
chapitre de Calcul Tensoriel, cette expression est indépendante
de la nappe paramétrée car
l'élément de longueur infiniment petit ds est
indépendant du paramétrage de .
Cette forme quadratique est donc un invariant qui représente
la métrique
sur .
Elle est par ailleurs notée sous la forme suivante par tradition:
(25.108)
ou de façon encore plus condensée en utilisant la
notation tensorielle:
(25.109)
RÉGULARITÉ D'UNE SURFACE
Définition: Un point M appartenant à la
surface est
dit (c'est relativement logique...) "point
régulier", si et seulement si:
(25.110)
Une surface est
logiquement dite "surface régulière",
si et seulement si, tous ses points sont réguliers (si le
produit vectoriel est nul alors il y a quelque part un "pli" à 90°).
Remarquons que:
(25.111)
L'angle entre
les deux courbes-coordonnées et à en est
donné par la définition du produit scalaire:
(25.112)
D'où l'expression:
(25.113)
Donc une condition nécessaire et suffisant
pour que les courbes-coordonnées et soient
perpendiculaires à en et
que F soit nul. Dans ce cas particulier, on dit que les
coordonnées curvilignes u, v sur la surface
sont des coordonnées orthogonales.
Exemples:
E1. Considérons le paramétrage du plan cartésien. Nous avons
alors:
(25.114)
d'où:
(25.115)
Dès lors:
(25.116)
Nous retrouvons donc la même abscisse curviligne différentielle
que celle vue dans le chapitre de Calcul Tensoriel et Relativité Générale
avec la métrique diagonale de l'espace plat.
Nous avons aussi:
(25.117)
Donc, la surface est régulière. Nous avons également:
(25.118)
Donc, les deux courbes-coordonnées sont perpendiculaires.
E2. Considérons le paramétrage du cylindre. Nous avons alors
(cf. chapitre de Calcul Vectoriel):
(25.119)
d'où:
(25.120)
Dès lors:
(25.121)
Nous retrouvons donc la même abscisse curviligne différentielle
que celle vue dans le chapitre de Relativité Générale
avec la métrique
diagonale du plan en coordonnées polaires.
Nous avons aussi:
(25.122)
Donc, la surface est régulière tant que r est non nul.
Nous avons également:
(25.123)
Donc, les deux courbes-coordonnées sont perpendiculaires sur
le cylindre.
E3. Considérons le paramétrage la sphère de centre O et
de rayon r. Nous avons alors (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel):
(25.124)
d'où:
(25.125)
Dès lors:
(25.126)
Nous retrouvons donc la même abscisse curviligne différentielle
que celle vue dans le chapitre de Relativité Générale
avec la métrique
diagonale du plan en coordonnées sphériques.
Nous avons aussi:
(25.127)
Donc, la surface est régulière tant que r et
sont
non nuls. Nous avons également:
(25.128)
Donc, les deux courbes-coordonnées sont perpendiculaires sur
la sphère.
E4. Considérons le paramétrage de l'hyperboloïde. Nous avons
alors (cf. chapitre de Géométrie Analytique):
(25.129)
d'où:
(25.130)
Dès lors:
(25.131)
Prenons b comme étant nul. Nous avons alors:
(25.132)
Donc, la surface est régulière tant que a est non nul.
Nous avons également:
(25.133)
Donc, les deux courbes-coordonnées sont perpendiculaires sur
l'hyperboloïde.
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