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TRIGONOMÉTRIE | GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE | GÉOMÉTRIES NON-EUCLIDIENNES | GÉOMÉTRIE PROJECTIVE | GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE | GÉOMETRIE DIFFÉRENTIELLE | FORMES GÉOMÉTRIQUES | THÉORIE DES GRAPHES

LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Comme nous l'avons déjà en géométrie non-euclidienne, la géométrie différentielle est la branche de la géométrie qui vise à étudier les propriétés locales (au voisinage d'un point) et intrinsèques des courbes et des surfaces non-euclidiennes (comme une généralisation des surfaces euclidiennes!).

La géométrie différentielle tient son nom du fait qu'elle est née de la possibilité d'une interprétation cinématique que le calcul infinitésimal apporte à l'étude des courbes. Les points que nous aborderons ici serviront aussi bien dans l'étude de la mécanique classique que de l'analyse complexe appliquée à de nombreux domaines de l'étude des champs.

Définition: Nous assimilerons "l'espace physique" à  et le supposerons muni d'un repère  et nous noterons B la base

Soient un ensemble  et une fonction  telle que :

  (25.1)

Choisissons  et posons  que nous noterons par abus de langage  nous pouvons alors énoncer la définition suivante : le couple (f , I) où f est une fonction continue est appelé "arc paramétré".  est appelée le "support" de (f , I) et  est une "origine" de (f , I).

Avant de continuer, rappelons qu'en géométrie différentielle, "l'abscisse curviligne" est une sorte de variante algébrique de la longueur d'un arc (c'est donc l'analogue, sur une courbe, de l'abscissse sur une droite orientée).

Considérons maintenant l'abscisse curviligne (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

  (25.2)

nous savons que dans un espace euclidien canonique dans  l'abscisse curviligne s'écrit alors :

  (25.3)

avec  et comme nous avons , il reste :

  (25.4)

Dans le système cartésien :

  (25.5)

il vient donc que :

  (25.6)

Nous pouvons bien évidemment écrire (par multiplication des deux côtés de l'égalité) :

  (25.7)

Voyons une application avec une hélice (les exemples sont jolis en géométrie différentielle et valent donc la peine d'être vus...) qui est un exemple typique de courbe gauche :

Soit  et la fonction :

  (25.8)  

avec  et les coordonnées paramétriques :

  (25.9)

Nous avons alors avec Maple en prenant r et h comme étant égaux à l'unité:

>spacecurve([cos(t),sin(t),t,t=-4*Pi..4*Pi,numpoints=1000]);

  (25.10)

La fonction f est un arc paramétré dont le support est appelé une "hélice", r en est le rayon et h le pas. En prenant  comme origine, l'abscisse curviligne de cette hélice (un morceau) est donné par :

  (25.11)

Donc :

    (25.12)

et alors:

  (25.13)

ISOCLINES

Voyons maintenant un point très important en mathématique mais en plus dans l'ingénierie médicale, astrophysique, météorologie (parmi encore beaucoup d'autres domaines) que sont les isoclines.

Avant d'aborder le sujet sous forme mathématique, nous proposons au lecteur d'ouvrir Matlab et d'y écrire:

EDU» [xx,yy,z]=peaks;
EDU» figure(1);mesh(xx,yy,z);title('peak')

  (25.14)

ensuite pour des raisons esthétiques, d'écrire:

EDU» figure(2);surf(xx,yy,z);title('surf')

  (25.15)

Ensuite nous aimerions que Matlab nous trace quelques courbes de niveau (les points où la valeur de la fonctions f(x,y) est constante), appelées par les matheux des "isoclines" ou "courbes d'iso-niveau". Il faut alors écrire:

EDU» figure(3);contour3(xx,yy,z);title('contour 3D')

  (25.16)

Nous allons ensuite lui demander de les projet sur le plan X,Y.

Ce qui donne:

EDU» figure(3);contour3(xx,yy,z);title('contour 3D')

  (25.17)

Et ce sont ces courbes qui vont nous intéresser. Nous souhaiterions déterminer les équations dans le plan de celles-ci sous forme explicite. Mais avant cela amusons nous avec Matlab en écrivant encore:

EDU» figure(4);pcolor(xx,yy,z);title('gradient')

  (25.18)

mais nous pouvons faire encore mieux en enlevant la grille avec la commande:

EDU» shading interp

  (25.19)

Ensuite, sans fermer le graphique ci-dessous créé par Matlab rajoutez maintenant la ligne:

EDU» hold on
EDU» contour(xx,yy,z,'k')

  (25.20)

Considérons pour déterminer l'équation des isoclines la fonction  de  et que nous imposerons -différentiable.

La relation:

  (25.21)

définit une courbe  plane appelée "isocline". C'est une courbe telle que lorsque x varie, y ne varie donc pas n'importe comment mais précisément de telle sorte que f reste constante.

Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que la différentielle de f, pour des variations infinitésimales quelconques de x et y, est:

  (25.22)

Maintenant, si nous voulons que quand x varie de dx, la valeur de la fonction f ne change pas, il faut que dy ne soit pas n'importe quoi mais tel que la variation df soit nulle. Autrement dit:

  (25.23)

le long de . Mais cette équation ne sert à rien en tant que tel mais elle nous fixe le rapport de la dérivée de l'isocline dans la plan tel que:

  (25.24)

ce qui nous donne la pente de la tangente à  et donc après par intégration, la fonction recherchée elle-même!

Il va de soit que le vecteur tangent à la courbe  est donc un vecteur parallèle à celui ayant pour composantes:

  (25.25)

que nous noterons:

  (25.26)

De plus rappelons que le gradient est donné par (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

  (25.27)

Nous remarquerons que ces deux derniers vecteurs sont perpendiculaires (résultat qui nous sera utile dans le chapitre d'Analyse Complexe). Effectivement:

  (25.28)

En d'autres termes, le vecteur  définit les lignes orthogonales à la courbe  .

Exemple:

Prenons l'équation d'une parabole particulière dans :

  (25.29)

Nous avons donc les isoclines qui sont données par:

  (25.30)

d'où leur équation dans le plan:

  (25.31)

Soit des cercles dans le plan dont le rayon est égal à la racine carrée de la constante choisie correspondante à la hauteur z de la fonction f !

Calculons maintenant la pente de la tangente à :

  (25.32)

ce qui est conforme à la simple dérivée de:

  (25.33)

Nous avons aussi:

  (25.34)

Nous voyons qu'en  ce vecteur est vaut:

  (25.35)

ce qui est bien conforme au vecteur tangent que nous avons au cercle en ce point de l'axe des abscisses.

TRIEDRE DE FRENET

Le repère de Frenet est un outil d'étude du comportement local des courbes. Plus exactement, il s'agit d'un repère local associé à un point décrivant une courbe . Son mode de construction est différent selon si l'espace ambiant est de dimension 2 (courbe plane) ou 3 (courbe gauche).

Le repère de Frenet, et les formules de Frenet (donnant les dérivées des vecteurs de ce repère), permettent de mener de façon systématique des calculs de courbure, de torsion pour les courbes gauches et d'introduire des concepts géométriques intéressants associés aux courbes.

Considérons pour commencer une courbe avec son abscisse curviligne s(t) et  son origine. Nous notons par définition:

  (25.36)

la tangente à la courbe  de paramètre t au voisinage d'un point M par rapport à un repère posé en O avec ds qui se calcule comme nous l'avons montré précédement.

Il est intéressant de remarquer que si t s'interprète comme le temps, alors nous avons une vitesse:

  (25.37)

et donc le vecteur est dirigé dans le sens du mouvement.

De plus, par construction et définition de l'abscisse curviligne nous avons toujours :

  (25.38)

et donc le vecteur tangent au point M est unitaire (et non nul!).

Maintenant, sans savoir exactement à quoi cela va nous servir pour l'instant, intéressons nous au vecteur:

  (25.39)

Sachant trivialement de ce qui précède que :

  (25.40)

Alors nous avons :

  (25.41)

donc déjà n'est à priori pas unitaire et lui est perpendiculaire (résultat qui va nous servir plusieurs fois par la suite donc il faut s'en rappeler)!

Posons maintenant:

  (25.42)

Etant donné le résultat précédent,  est le vecteur perpendiculaire unitaire à  en M (nous disons que ce couple de vecteur est "orthonormal direct") et C est par définition la "courbure".

Nous pouvons également aborder la courbure C d'une façon plus géométrique plutôt que par une définition tombée du ciel:

Nous savons à ce point de notre discours qu'en un point  d'une courbe (dérivable au moins une fois en tout point...), il existe un vecteur tangent non nul qui est .

En tout point voisin M (d'abscisse curviligne s), le vecteur tangent peut s'écrire en approximation :

  (25.43)

si la courbe se trouve localement dans un même plan (car nous étudions ici la courbure et non la torsion de la courbe)!

Deux normales en M et M₀ se coupant donc en un point Ω, la figure suivante:

  (25.44)

montre qu'au premier ordre en ds, le point M peut être considéré localement comme déduit du point M₀ par une rotation de centre Ω.

Le cercle ainsi défini, de rayon:

  (25.45)

est celui qui tangente le mieux la courbe localement au point M₀. Son rayon se déduit de la figure (deux triangles semblables à la limite) :

  (25.46)

d'où, puisque  est unitaire, la définition et la valeur de la courbure :

  (25.47)

et voilà!

Il est possible d'interpréter le concept de courbure comme la vitesse de rotation de la base de Frenet par rapport à une direction fixe.

Le couple de vecteurs (, ) est appelé "repère de Frenet" et ses vecteurs de base les "vecteurs de Frenet".

Le repère de Frenet est un repère mobile puisque les éléments de ce repère changent selon le point considéré. En physique, il ne faut pas confondre cette notion avec celle de référentiel : puisque les vecteurs de Frenet se déplacent avec le point!

Si , alors comme vu précédement:

  (25.48)

où R est appelé le "rayon de courbure".

Quant à la relation :

  (25.49)

elle est appelé "1ère formule de Frenet" et montre que et sont colinéaires et donc leur produit vectoriel est nul (résultat utilisé plus loin).

Ces relations se jusitifient par l'analogie avec la mécanique. Effectivement, nous avons démontré plus haut que:

  (25.50)

Calculons maintenant l'accélération:

  (25.51)

nous retrouvons alors le résultat obtenu dans le chapitre de Mécanique Classique lors de notre étude du plan osculateur.

Pour donner une interprétation géométrique plus exacte de la courbure nous définissons d'abord par  le centre du "cercle osculateur" (se trouvant dans le plan osculateur) ou "cercle de courbure" de rayon R qui tangente le mieux  localement  tel que dans le repère de Frenet:

  (25.52)

Pour préciser géométriquement ce qu'est le cercle osculateur, prenez une courbe, et un point M sur cette courbe. Tracez ensuite la normale au point de cette courbe localement plane et prenez un point sur la normale. Alors, le cercle de centre O passant par le point M est tangent à la courbe. Mais tous les cercles tangents à la courbe ne sont pas tangents de la même façon! En effet, si est proche de M, le cercle va se situer plutôt à l'extérieur de la courbe (cercle bleu dans la figure ci-dessous). Si est proche de M, le cercle va se situer plutôt à l'intérieur de la courbe (cercle rose dans la figure ci-dessous). Le rayon limite entre être "à l'intérieur de la courbe" et être "à l'extérieur de la courbe" est par convention le "rayon de courbure" que nous avons défini plus haut. Le cercle correspondant à ce rayon est alors le fameux "cercle osculateur".

  (25.53)

Dans le cas particulier où  est un vecteur constant :

  (25.54)

et donc  ce qui implique que R n'est plus défini. Nous disons quelque fois dans ce cas que le rayon de courbure à  est infini (une droite présente alors une courbure nulle en tout point).

Etudions maintenant le vecteur perpendiculaire au plan osculateur défini par:

  (25.55)

Nous pouvons déjà dire, étant donné que  et  sont unitaires que  l'est aussi (ce qui va nous servir plus loin)!

Démontrons que  est orthogonal à :

  (25.56)

où nous avons pris le cas particulier (mais de toute manière en généralité et sont colinéaires comme nous l'avons démontré donc le produit vectoriel entre ces deux vecteurs est toujours nul).

C.Q.F.D.

Démontrons maintenant que   est colinéaire à :

De la même manière que nous avons démontré plus haut que est perpendiculaire à , nous démontrons que est perpendiculaire à !

Nous avons donc:

  (25.57)

Et étant donné que est aussi perpendiculaire à (démonstration précédente) il est donc colinéaire à .

C.Q.F.D.

Posons maintenant :

  (25.58)

Cette relation constitue la "2^ème formule de Frenet" où par définition,  est le "vecteur binormal" de  au point M et  en est la "torsion" et R' le "rayon de torsion".

Nous pouvons maintenant établir la "3^ème formule de Frenet" :

  (25.59)

d'où nous tirons :

  (25.60)

Or de par les propriétés du produit vectoriel :

  (25.61)

d'où la 3^ème formule de Frenet :

  (25.62)

Nous appelons "trièdre de Frenet" associé à  au point M, le repère naturel orthonormal de l'espace :

  (25.63)

où, en mécanique, le vecteur est colinéaire à la vitesse et l'accélération tangentielle et est colinéaire à l'accélération normale.

Cherchons le rayon et le centre de courbure en tout M à notre hélice définie plus haut comme exemple pratique. Rappelons que sa fonction paramétrique est donnée par :

  (25.64)

et que :

  (25.65)

Nous avons dès lors :

  (25.66)

Au passage, vous remarquerez que nous avons bien:

  (25.67)

Ainsi, la courbure (l'inverse du rayon de courbure) est donnée par :

  (25.68)

Donc le rayon de courbure vaut :

  (25.69)

Ce qui est conforme à l'intuition puisque lorsque le pas h de l'hélice est nul, le rayon de courbure vaut r et lorsque le pas h tend vers l'infini le rayon de courbure tend vers l'infini aussi et la courbure vers zéro.

Et il vient par la première formule de Frenet le vecteur normal:

  (25.70)

et dont tous les points (extrémités du vecteur) sont confondus à l'axe Z de notre hélice quelque soit h! La coordonnées de la composante z de ce vecteur est nulle étant donnée que la normale est pris par rapport à un point M de la courbe déjà à une hauteur h implicite.

De par la 3^ème formule de Frenet nous avec le vecteur binormal:

  (25.71)

et le rayon de torsion étant donné par la relation :

  (25.72)

Nous avons donc :

  (25.73)

d'où :

  (25.74)

NAPPES PARAMETRÉES

Soient  :

 avec   (25.75)

Appelons . Si g est continue, alors  est une surface de l'espace "surface d'un seul tenant". Par définition, dans ce qui suit, le couple  où g est une fonction supposée continue sera appelé "nappe paramétrée", et  le "support" de la nappe paramétrée. Nous disons encore que  et  sont des paramétrages de .

Remarquons que pour une surface  (par exemple un disque), il existe plusieurs nappes paramétrées associées (par exemple les coordonnées cartésiennes, polaires, sphériques).

Soit maintenant  et:

  (25.76)  

tels que

Nous pouvons définir  :

  (25.77)

Si nous supposons h continue, il est claire que  est un arc paramétré. Appelons  son support, nous avons  et nous disons que est une "courbe tracée" ou "courbe inscrite" sur .

Remarque: Nous supposerons toujours désormais que

Soit . Intéressons nous aux deux courbes tracées sur définies par les arcs paramétrés suivants :

 avec

 avec
  (25.78)

et  sont les deux fonctions dites "fonctions partielles" de g en .

Les supports de  et  sont appelés "courbes-coordonnées" de  en  relativement au paramétrage . Nous les notons respectivement  et . Nous appelons aussi  "1ère courbe-coordonnée" et  "2ème courbe-coordonnée".

Il est bien sûr évident (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) que :

  (25.79)

est tangent à en  et que  est tangent à  en .

  (25.80)

MÉTRIQUE D'UNE SURFACE

Soit :

 avec   (25.81)

Notons , autrement dit :

  (25.82)

Nous avons aussi (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

  (25.83)

et nous avons démontré au début de ce chapitre que l'abscisse curviligne dans un espace cartésien était donnée par :

  (25.84)

Nous avons donc après substitution :

  (25.85)

Ce qui est équivalent à écrire :

  (25.86)

De manière plus traditionnelle avec la notation :

  (25.87)

Nous obtenons la "première forme quadratique fondamentale":

  (25.88)