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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
La "géométrie
analytique"
est la branche de la géométrie qui s'occupe de l'étude
des formes géométriques et de leurs propriétés
en utilisant les outils avancés
du calcul algébrique tels que l'analyse fonctionnelle, le
calcul vectoriel ou l'algèbre linéaire. Sa frontière
se situe au niveau des outils utilisés et a pour origine
les travaux de René Descartes au début du 17ème siècle. La "géométrie
vectorielle"
est donc un sous-famille de la géométrie analytique
et nous en ferons aussi bien usage dans le présent chapite
que dans celui de Géométrie Différentielle.
Remarque: Lorsque nous faisons usage pour ces mêmes études du calcul
différentiel et intégral, alors nous faisons de la "géométrie
différentielle" (voir chapitre du même nom).
La géométrie analytique est
un très vaste domaine (comme tout le reste) alors... nous
n'aborderons ici que les éléments absolument indispensables à l'étude
de la physique (et en particulier l'astronomie et la physique quantique
corpusculaire) et de l'ingénierie (génie spatial).
Ces éléments
sont par ailleurs souvent étudiés dans les
petites classes et sont (cités
dans l'ordre): les coniques, les équations
de la droite, du plan, de la sphère, etc... leurs intersections,
leurs plans tangents et encore bien d'autres.
CONIQUES
Il nous a été
très difficile de choisir s'il fallait mettre l'étude
des coniques dans la section d'algèbre ou de géométrie. Nous avons
finalement décidé de mettre cette étude
dans le présent chapitre (donc de géométrie...)
qui permet de supposer que le lecteur ayant fait une lecture
linéaire du site
a déjà parcouru tous les chapitres présentant
les outils mathématiques nécessaires à l'étude
des coniques. Nous espérons que notre choix s'avérera
le meilleur pour le lecteur.
Remarque: L'étude des coniques nous sera très
utile dans le chapitre d'Astronomie (par ailleurs c'est à Kepler
que l'on doit de nombreux résultants de l'étude des coniques) ainsi
que dans le chapitre d'Optique Géométrique.
Il convient donc de s'y attarder dans les détails.
APPROCHE ALGÉBRIQUE
Soit
un
repère orthonormé du plan. Les courbes algébriques les
plus simples que l'on trouve après les droites dont les équations
sont sous forme générale (rappel):
(24.1)
sont les
courbes du deuxième degré, appelées "coniques
analytiques", à savoir
par extension :
(24.2)
avec non
tous nuls. Les courbes de second degré correspondantes
sont appelées "coniques"
(appelées également "quadriques"
de par la présence d'un terme quadratique). La conique sera
dite "conique propre" si c'est
une ellipse, une parabole
ou une hyperbole comme nous allons le voir plus loin.
Cette dernière
relation peut aussi s'écrire sous forme matricielle (écriture
très
importante dans la pratique des méthodes numériques
comme nous le verrons dans le chaptire du même nom ainsi
que dans la classification des équations différentielles comme
nous le verrons dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):
(24.3)
écriture dont il existe plusieurs variantes... Par exemple, la fonction:
(24.4)
donne pour différentes valeurs de g les tracés
suivants:

Figure: 24.1 - Coniques avec b = 0.5, 1.5 et 1 et plusieurs valeurs de g
Notre
première tâche va consister à obtenir, par translation et
rotation du repère dans lequel cette relation est exprimée,
une équation
réduite beaucoup plus simple en éliminant le terme
en xy . En effet, choisissons un nouveau repère se déduisant
de l'ancien par une rotation d'angle .
Soit x' et y' les nouvelles
coordonnées des points. Nous avons (cf.
chapitre de Géométrique
Euclidienne):
(24.5)
D'où:
(24.6)
L'équation
devient:
(24.7)
Nous
cherchons donc à ce que les termes en x'y' regroupés
soient tels que:
(24.8)
Puisque
(cf. chapitre de Trigonométrie):
et
(24.9)
par substitution,
nous obtenons:
(24.10)
Pour avoir
que les termes en x'y' se simplifient, il suffit donc de
choisir l'angle de rotation
tel que:
(24.11)
Nous considérerons
alors désormais l'équation:
(24.12)
1. Si
nous posons et
.
Quitte à diviser par ,
nous pouvons nous ramener à une équation du type:
(24.13)
où:
- Si ,
nous nous retrouvons avec une équation décrivant
la figure d'une
"parabole" d'axe parallèle
à OX.
- Si ,
il s'agit d'un cas dégénéré
2. Si
nous posons et
le
cas se traite comme précédemment.
3. Si
et
,
nous pouvons supprimer les termes et
de
la façon suivante:
(24.14)
et par un
simple changement de repère via des translations, nous arrivons
donc à
une équation du type:
(24.15)
- Si
,
alors la relation précédente se réduit à un
point dans si
et
sont
de même signe, et à une droite si et
sont
de signe contraire.
- Si
posons:
(24.16)
où signifie:
1 multiplié par le signe de x et divisons
le tout par tel
que:
(24.17)
Posons:
(24.18)
Nous obtenons:
(24.19)
Nous avons
donc plusieurs situations possibles:
(24.20)
Deux
termes ci-dessus sont impossibles dans ,
c'est pourquoi nous les avons barrés (la somme de deux
nombres positifs ne peut être négative et inversement).
Il y a
plusieurs cas de figures intéressants:
- Pour:
ou
(24.21)
et nous
avons un cercle de rayon unité. Le lecteur peut s'amuser
à tester cela avec la commande Maple 4.00b suivante:
>with(plots):
>a:=4;b:=4;
>implicitplot(x^2/a^2+y^2/b^2 = 1,x=-10..10,y=-10..10);
- Pour:
,
(24.22)
et nous
avons une ellipse (qui contient donc le cas particulier qu'est
le cercle) de demi-axes respectivement a et b (pour
la représentation graphique voir plus bas ou sinon le chapitre
de Formes Géométriques).
Le lecteur peut s'amuser à tester cela avec la commande
Maple 4.00b suivante:
>with(plots):
>a:=4;b:=8;
>implicitplot(x^2/a^2+y^2/b^2 = 1,x=-10..10,y=-10..10);
- Pour:
(24.23)
et ,
nous avons des hyperboles dont l'axe de symétrie est
soit parallèle
à OX soit
à OY (pour
la représentation graphique voir plus bas). Nous disons
que l'hyperbole est "équilatère" lorsque a = b.
Le lecteur peut s'amuer à tester cela avec la commande
Maple 4.00b suivante:
>with(plots):
>a:=4;b:=4;
>implicitplot(x^2/a^2-y^2/b^2 = 1,x=-10..10,y=-10..10);
Le terme
"conique" provient du fait
que l'une des premières définitions des conques consistait en l'intersection
d'un cône et d'un plan.
En effet,
soit l'équation d'un cône ayant un angle de au
sommet (voir géométrie spatiale)
l'équation d'un plan de vecteur normal (nous utilisons les cosinus
directeurs):
(24.24)
Posons:
(24.25)
Explications:
nous avons ainsi un vecteur normal dans le plan ZOY et
un plan qui n'est jamais en intersection avec l'axe OX.
Si le cosinus directeur ,
nous avons un plan vertical translaté de h sur
l'axe des Y. Si
,
nous avons un plan horizontal translaté de h sur
l'axe des Z.
Soit
la matrice de rotation dans l'espace par rapport à l'axe OZ
(cf. chapitre de Géométrie
Euclidienne):
(24.26)
avec:
(24.27)
Nous avons
donc pour expression de rotation du plan:
(24.28)
Après
simplification:
(24.29)
Donc après
rotation, nous avons un plan vertical translaté de h selon
l'axe des Y.
Identiquement,
pour le cône, une rotation correspond selon l'axe des Z (donc il
ne se passe pas grand-chose):
(24.30)
Après
développement et simplification:
(24.31)
Equation
qui donne un cône horizontal si et
un cône vertical si .
Ainsi,
nous avons le système général:
(24.32)
Nous voyons alors
que pour:
- nous
obtenons une intersection entre le plan et le cône donnant une
ellipse
- nous
obtenons une parabole
- nous
obtenons une hyperbole
Voici
à peu près ce que cela donne visuellement parlant...:
  
Figure: 24.2 - Différentes intersections entre un cône et un plan
Nous donnons
également à la courbe d'équation le
nom d'hyperbole car, par changement de variable:
(24.33)
Ce qui
nous ramène à:
(24.34)
ce qui
comme nous l'avons vu précédemment, est bien l'équation d'une hyperbole.
Pour ceux qui ont Maple 4.00b ou ultérieur voici les commandes
pour s'amuser à faire une parabole:
>restart: with(plots):
>c:=sqrt(x^2+y^2):
>p:=y+3:
>Y:=solve(c=p,y);
>intsect:=subs(y=Y,c);
>intsect := (x +(1/6*x-3/2))
>
P1:=plot3d(c,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=red,numpoints=2000
,view=[-5..5,-5..5,0..5],style=wireframe): >
P2:=plot3d(p,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=yellow,numpoints=2000
,view=[-5..5,-5..5,0..5],style=patchnogrid):
>display(P1,P2,scaling=constrained, orientation=[-10,75]);
ce qui donne:

Figure: 24.3 - Plot Maple 4.00b de l'obtention d'une parabole par l'intersection d'un
cône et d'un plan
ou pour l'obtention d'une hyperbole:
>restart: with(plots):
>c:=sqrt(x^2+y^2):
>p:=4*y+5:
>Y:=solve(c=p,y);
>intsect:=subs(y=Y[1],c); >
P1:=plot3d(c,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=red,numpoints=2000
,view=[-5..5,-5..5,0..5],style=wireframe):
>P2:=plot3d(p,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=yellow,numpoints=2000
,view=[-5..5,-5..5,0..5],style=patchnogrid):
>P3:=spacecurve([x,Y[1],intsect],x=-5..5,color=black,thickness=3):
P3:=spacecurve([x,Y[1],intsect],x=-5..5,color=black,thickness=3):
>display(P1,P2,P3,scaling=constrained);
ce qui donne:

Figure: 24.4 - Plot Maple 4.00b de l'obtention d'une hyperbole par l'intersection d'un
cône et d'un plan
ou pour l'obtention d'une ellipse:
>restart: with(plots):
>c:=sqrt(x^2+y^2):
>p:=y/3+3:
>Y:=solve(c=p,y);
>E1:=subs(y=Y[1],c); E2:=subs(y=Y[2],c);
>P1:=plot3d(c,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=red,numpoints=2000,
view=[-5..5,-5..5,0..5],style=wireframe):
>P2:=plot3d(p,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=yellow,numpoints=2000,
view=[-5..5,-5..5,0..5],style=patchnogrid):
>P3:=spacecurve({[x,Y[1],E1],[x,Y[2],E2]},x=-5..5,color=black,thickness=3,numpoints=2000):
>display(P1,P2,P3,scaling=constrained);
ce qui donne:

Figure: 24.5 - Plot Maple 4.00b de l'obtention d'une ellipse par l'intersection d'un
cône et d'un plan
ou enfin pour l'obtention d'une cercle:
>restart: with(plots):
>c:=sqrt(x^2+y^2):
>p:=3:
>Y:=solve(c=p,y);
>circ1:=subs(y=Y[1],c); circ2:=subs(y=Y[2],c);
>P1:=plot3d(c,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=red,numpoints=2000,
view=[-5..5,-5..5,0..5],style=wireframe):
>P2:=plot3d(p,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=yellow,numpoints=2000,
view=[-5..5,-5..5,0..5],style=patchnogrid):
>P3:=spacecurve({[x,Y[1],circ1],[x,Y[2],circ2]},
x=-5..5,color=black,thickness=3,numpoints=2000):
>display(P1,P2,P3);
ce qui donne:

Figure: 24.6 - Plot Maple 4.00b de l'obtention d'un cercle par l'intersection d'un
cône et d'un plan
Cependant,
les coniques ont aussi une définition géométrique: APPROCHE GÉOMÉTRIQUE Soit F un
point du plan, D une
droite ne contenant pas F (mais à une distance non nulle
quelconque de celui-ci) et
e un
réel strictement positif. Nous nous intéressons à l'ensemble
des points M défini par:
(24.35)
F s'appelant le "foyer",
D la
"directrice de la conique"
et e "l'excentricité":

Figure: 24.7 - Définitions du foyer, de la directrice conique
et de l'excentricité
Nous nous arrangerons par la suite pour avoir toujours F comme
origine du repère des coniques, de façon D aura
pour par définition pour équation:
(24.36)
avec et
nous notons donc d(M, D) la
distance entre le point M et D.
Alors:
(24.37)
Nous nous
retrouvons bien avec l'équation d'une conique puisque cette
dernière relation est un cas particulier de:
(24.38)
Nous pouvons
considérer
maintenant plusieurs cas particuliers:
1. Cas
où :
L'équation:
(24.39)
se réduit alors trivialement à:
(24.40)
Il s'agit
d'une parabole d'axe orthogonal à D,
dont le sommet est
le milieu du segment ,
où K est
la projection de F sur
D (voir la figure plus bas)
Si nous récrivons la dernière relation sous la forme:
(24.41)
et redéfinissons l'origine relativement à par
une translation de h/2,
le foyer générateur de la parabole sera donc en et
la dernière équation se réduit alors à:
(24.42)
où h
est appelé "paramètre
de la parabole" et relativement à ,
le foyer sera donné par les coordonnées
et la directrice par l'équation .
Comme le montre la figure ci-dessous, la distance de la directrice
à est
donc imposée par les conditions du modèle:

Figure: 24.8 - Représentation des paramètres des coniques pour la parabole
2. Cas
où :
Il s'agit
d'une ellipse. Effectivement ce n'est pas évident à voir
mais en réarrangeant les termes de l'équation:
(24.43)
nous avons (ceci indépendamment du fait que ou
non):
(24.44)
Le dernier
terme se retrouvant en effet comme suit après développement:
(24.45)
Posons
que:
(24.46)
est
l'origine de l'ellipse en X (donc les x et y doivent
maintenant être pris par rapport à cette nouvelle
origine!!!). L'équation
précédente
se simplifie et devient (ceci toujours indépendamment du
fait que ou
non):
(24.47)
Donc si ,
les dénominateurs sont tous deux positifs et nous retrouvons
bien l'équation réduite d'une ellipse puisque .
Remarque: Il est à noter que
cette définition
ne peut inclure le cercle parmi les ellipses sinon quoi il y a une
singularité car les dénominateurs seraient nuls (l'excentricité
étant nulle pour le cercle).
Pour connaître
le demi-grand axe de l'ellipse il suffit de poser .
Ainsi, il nous reste:
(24.48)
d'où le
demi-grand axe valant:
(24.49)
de la
même manière, nous obtenons le demi-petit axe:
(24.50)
en posant
étant le "paramètre de
l'ellipse" ou "paramètre
focal de l'ellipse",
nous obtenons:
(24.51)
dont la première relation sera très utile dans le chapitre d'Astronomie
et de Relativité Générale.
Il est d'usage de noter la distance du centre de
l'ellipse au point F par la lettre c tel que:
(24.52)
Nous avons donc:
(24.53)
Il existe donc deux foyers à l'ellipse à une distance équivalente
mais opposée du centre .
Nous définissons
dès lors l'excentricité d'une ellipse par le rapport:
(24.54)
Le lecteur aura aussi remarqué que nous avons pour x =
0 dans:
(24.55)
l'ordonnée qui est donc donnée par
le produit eh et
que celui-ci peut être exprimé par les paramètres
de l'ellipse sous la forme (même si cela peut paraître
bizarre au nivau des unités c'est implicitement
correct):
(24.56)
Nous pouvons alors
aussi démontrer une relation que nous retrouvons couramment
dans les formulaires:
(24.57)
C'est-à-dire:
(24.58)
L'égalité est
donc démontrée et cela nous amène à pouvoir écrire
l'excentricité uniquement à partir des paramètres classiques de
l'ellipse:
(24.59) Nous pouvons résumer les résultats obtenus par la
figure ci-dessous:

Figure: 24.9 - Représentation des paramètres des coniques pour une ellipse
Nous pouvons aussi déterminer où se trouvent les
directrices
D de l'ellipse par rapport à la bordure de celle-ci
en utilisant la définition
de l'excentricité lorsque
.
Nous avons alors:
(24.60)
donc le facteur de a est compris entre 0 et l'infini
ce qui signifie que les directrices
se trouveront (du
moins dans le cas ici présent où l'excentricité est
positive et strictement plus petite que l'unité) toujours
à l'extérieur
de la bordure de l'ellipse et au plus proche tangentes à la
bordure (mais
dans tous les cas elles se trouverontà l'extérieur
de l'ellipse).
Une représentation
paramétrique utile et évidente de l'ellipse est:
(24.61)
Effectivement si nous considérons
l'équation cartésienne de l'ellipse démontrée
précédemment:
(24.62)
et en posant
et alors
nous obtenons:
(24.63)
Si
nous nous souvenons du cercle trigonométrique, cette équation
admet les solutions et .
Il vient alors:
(24.64)
Voilà...
Cependant,
il existe une autre forme d'équation de l'ellipse, bien plus importante,
que l'on retrouve aussi bien en physique classique, astrophysique
et physique quantique corpusculaire.
Rappelons
que:
(24.65)
En coordonnées
polaires, cela donne:
(24.66)
Donc:
ou
(24.67)
après
mise en évidence:
ou
(24.68)
Nous obtenons
deux équations différentes, mais il s'agit en fait
de la même courbe qui décrit le rayon de l'ellipse depuis un de
ses deux foyers.
Nous remarquerons en effet que:
(24.69)
Etant
donné que est
défini comme le paramètre de la conique, l'équation polaire de l'ellipse
s'écrit:
(24.70)
Remarquons les trois valeurs particulières:
(24.71)
Le péricentre est plus connu sous le nom de "périgée"
en astronomie et de même que l'apocentre qui est plus connu sous
le nom "d'apogée"
(toujours dans le domaine de l'astronomie).
Dans le
cas général, D peut
faire un angle quelconque avec l'axe des angles polaires, et l'équation
générale est alors:
(24.72)
3. Cas
où :
Il s'agit
d'une hyperbole (même raisonnement que l'ellipse en commençant
par considérer n'importe quelle valeur que ou
non):
(24.73)
Nous posons donc à nouveau
que:
(24.74)
est l'origine
de l'hyperbole. L'équation précédente se simplifie
et devient (donc jusque là, nous nous retrouvons avec exactement
la même expression que pour l'ellipse):
(24.75)
Mais comme le
dénominateur du deuxième terme sera négatif et donc nous nous retrouvons
bien avec l'équation réduit d'une hyperbole.
Nous
avons pour demi-grand axe et demi-petit axe (raisonnement identique à l'ellipse):
(24.76)
et:
(24.77)
et la figure correspondante:

Figure: 24.10 - Représentation des paramètres des coniques pour une
hyperbole
où nous avons représenté les deux asymptotes en utilisant
une technique simple de passage à la limite:
(24.78)
Si l'hyperbole est équilatère, il est
alors évident
que les deux asymptotes sont perpendiculairs puisque leur pente
est alors respectivement de +1 et de -1. Dans le cas équilatère,
nous avons aussi l'excentricité qui est immédiatement donnée par:
(24.79)
Nous pouvons aussi déterminer où se trouve les directrices D des
hyperboles par rapport à leur bordure en utilisant la définition
de l'excentricité lorsque en
procédant exactement de même que pour l'ellipse. Nous
avons alors:
(24.80)
donc le facteur de a est compris entre 0 et tends vers
1 quand e est très grand ce qui signifie que les
directrices se trouveront (du moins dans le cas ici présent
où l'excentricité est
positive et strictement plus petite que l'unité) soit tangentesà l'hyperbole
soit au plus proche de l'axe des ordonnées
(mais dans tous les cas elles se trouveront donc entre les deux
hyperboles).
PARAMÉTRISATIONS
Pour certaines
des formes présentées ci-dessous, il est possible
de choisir un autre système de coordonnées que les
coordonnées cartésiennes tel
que par exemple les coordonnées cylindriques ou sphériques
qui sont dans certains cas beaucoup plus simples à mettre en place.
Nous tacherons dans la mesure du possible de présenter
les plus importantes.
ÉQUATION
DU PLAN
Soit un
plan P dont
nous connaissons un vecteur normal
et unitaire mais
pas l'équation et un
point de P.
Pour
qu'un point M de
coordonnées (x, y, z) appartienne
au plan P il
faut et il suffit que les vecteurs et
soient
orthogonaux. Donc soit le point donné par le vecteur étant
de coordonnées:
(24.81)
Si est
perpendiculaire à alors
le produit scalaire doit être nul tel que:
(24.82)
Ce qui
s'écrit aussi:
(24.83)
tel que
nous obtenions l'équation cartésienne générale du plan:
(24.84)
Cette
équation où qui
vérifie que les coordonnées d'un point quelconque
du plan P appartienne
à ce plan est donc appelée "équation
cartésienne du plan P".
Si nous
écrivons l'équation avec les cosinus directeurs de (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel), nous avons dès lors aussi:
(24.85)
Remarque: Pour obtenir un cube dans l'espace, il suffit d'avoir
six plans délimités par des conditions telles que 
Il est relativement aisé de passé au cas par cas de l'équation
cartésienne du plan à l'équation paramétrique du plan. Nous pouvons
(avec les précautions d'usage...) reprendre l'équation:
(24.86)
et la réécrire sous la forme suivante:
(24.87)
et dès lors, l'équation paramétrique du plan dans
l'espace de dimension 3, s'écrira:
(24.88)
Exemple:
Avec Maple 4.00b:
>a:=3:b:=-2:c:=1:d:=5:
>plot3d([x,y,(-d-b*y+a*x)/c],x=-2..2,y=-2..2,
orientation=[-87,81],style=PATCH,
axes=NORMAL);
Figure: 24.11 - Représentation paramétrique d'un plan avec Maple 4.00b
ÉQUATION
D'UNE DROITE
Comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Analyse
Fonctionnelle, une droite dans le plan peut être décrite
par la fonction:
(24.89)
et nous y avions aussi démontré comme déterminer l'équation de
la médiatrice de deux points dans le plan (nous avions fait mention
par ailleurs que la démonstration était plus de l'ordre de la Géométrie
Analytique que de l'Analyse Fonctionnelle).
L'équation cartésienne
généralisée de la droite est alors simplement donnée
par:
(24.90)
Effectivement, en simplifiant
nous retrouvons "l'équation cartésienne
réduite":
(24.91)
Définition: Nous appelons
"vecteur directeur" d'une
droite D , tout vecteur non nul de même direction que la
droite.
Montrons maintenant les deux petits théorèmes sympathiques
suivants:
T1. Si une droite a pour équation
alors le vecteur:
(24.92)
est
directeur de cette droite.
T2. Si une droite a pour équation
alors le vecteur:
(24.93)
est
directeur de cette droite.
Démonstrations:
DM1. Soient
et A, B deux points de cette droite
pris tels que .
Comme A, B sont deux points de D alors
est un vecteur directeur de D alors:
(24.94)
Un petit corollaire intéressant au passage qui a une application
en physique!:
Si une droite D1 a un vecteur directeur
valant:
(24.95)
et une autre droite D2 un vecteur directeur
valant:
(24.96)
alors leur produit scalaire (cf. chapitre
de Calcul Vectoriel)
est nul, ce qui montre que deux droites dont la multiplication
des pentes (deuxième coordonnée du vecteur directeur) vaut -1
sont perpendiculaires!
DM2. Soit
donc
alors le vecteur est
un vecteur directeur de D ainsi que tout vecteur .
Ainsi, il existe une infinité de manières de définir
la même droite,
puisque la droite est composée d'une infinité de
points (qui peuvent tous servir de point d'ancrage) et qu'il existe
une infinité de
multiples du vecteur directeur.
C.Q.F.D.
Souvent, nous recherchons
la distance entre une droite et un point externe à celle-ci.
Ainsi, considérons la figure suivante:

Figure: 24.12 - Représentation de la recherche de la distance d'un point à une droite
avec H la
projection orthogonale de A sur la droite d,
P un point arbitraire de d et
un vecteur orthogonal (normal) à d.
Nous avons (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel):
(24.97)
car
ou .
Ainsi:
(24.98)
où représente
la distance (nous ne pouvons noter la distance avec la lettre d comme
nous l'avons fait au début de ce chapitre, sinon il y aurait
confusion avec le d choisi
pour représenter la droite dans le présent développement).
Nous obtenons donc la relation:
(24.99)
Considérons maintenant le
point
et la droite .
Choisissons un point
ainsi qu'un vecteur ,
normal à
(rappelons que
est vecteur directeur):
Ainsi, en appliquant la relation précédente
nous avons:
(24.100)
et donc:
(24.101)
Si nous
considérons maintenant deux plans non parallèles
de l'espace, leur intersection est une droite. Soient deux plans
d'équations respectives:
(24.102)
et D leur
droite d'intersection.
Un point
de
l'espace appartient à la droite D si
et seulement si le point M satisfait
le système d'équations:
(24.103)
Remarque: Alors que dans le plan une droite est caractérisée
par une équation du type 
( cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle),
dans l'espace, une seule équation de la forme  caractérise
un plan. Pour caractériser une droite en dehors des plans
des axes, il est nécessaire (équation paramétrique
mise à part) d'avoir
deux
équations.
Il est relativement trivial (mais nous
allons quand même le démontrer) que l'équation paramétrique
d'une droite est un système d'équations du type:
(24.104)
Ainsi, chaque composante croit
linéairement par rapport à la même variable
à une constante et un facteur près. Ceci
s'écrit aussi sous forme vectorielle (plus traditionnelle):
(24.105)
Le vecteur est
appelé "vecteur directeur".
Démonstration: Nous avons donc le système d'équations
(deux équations à trois inconnues, ainsi une inconnue
sera indéterminée):
(24.106)
Éliminons une des variables
(commençons arbitrairement par z):
(24.107)
où d'où:
(24.108)
donc (c'est un peu bête
à écrire mais bon...):
(24.109)
De manière similaire
avec y tel nous
avons:
(24.110)
d'où:
(24.111)
Finalement nous avons:
(24.112)
Le vecteur directeur et le
vecteur d'ordonnée sont donc des constantes. Ce qui nous
permet d'écrire
de manière plus générale:
(24.113)
C.Q.F.D.
Remarques:
R1. L'équation
d'une droite est presque ce qu'il y a de plus important en synthèse
d'images 3D car à partir de ces dernières nous pouvons construire
des polygones et assembler ces derniers pour construire des formes
tridimensionnelles plus complexes.
R2. Pour savoir si une droite est perpendiculaire à un plan il
faut déterminer au moins deux droites sécantes dans
ce même plan
et effectuer le produit vectoriel de leur vecteur directeur et
ensuite calculer le produit scalaire entre le résultat
du produit vectoriel et la première droite dont nous cherchons
l'orthogonalité. Effectivement,
une seule droite du plan ne permet pas de déterminer l'orientation
de ce dernier; il en faut au moins deux.
ÉQUATION
D'UN CÔNE
Considérons un cône de révolution de sommet
O avec un cercle de centre (0,0,h) (où h est un nombre réel positif ) et de rayon R :

Figure: 24.13 - Représentation d'un cône
Une représentation paramétrique du cercle à la hauteur
h est:
(24.114)
où t appartient à l'intervalle .
Par extension, une représentation paramétrique de
ce cône est :
(24.115)
En d'autres termes, le cercle se propage linéaire selon tous les
directions.
Exemple:
Avec Maple 4.00b:
>r:=1:h:=4:
>plot3d([k*r*cos(t),k*r*sin(t),k*h],k=0..10,t=0..2*Pi,orientation=[50,60],style=PATCH,
axes=NORMAL);
Figure: 24.14 - Représentation paramétrique d'un cône avec Maple 4.00b
On peut en déduire une équation cartésienne
de ce cône:
(24.116)
en posant :
(24.117)
c'est
l'équation cartésienne d'un cône dans l'espace que nous retrouverons
en relativité restreinte lors de notre étude des cônes
de lumière.
ÉQUATION
D'UNE SPHÈRE
Considérons
le repère orthonormé ,
soit S la
sphère de centre et
de rayon r :

Figure: 24.15 - Représentation d'une sphère
appartient
à la sphère S de
centre et
de rayon r si
et seulement si:
(24.118)
c'est-à-dire en appliquant Pythagore
:
(24.119)
D'où "l'équation
cartésienne de la sphère" dans le repère :
(24.120)
Il existe une autre manière
de décrire la sphère en utilisant l'équation
paramétrique. Effectivement, nous avons vu dans le
chapitre de Calcul Vectoriel que le passage des coordonnées
cartésiennes
aux coordonnées sphériques est donné par
les coordonnées curvilignes:
(24.121)
Ainsi, nous avons bien:
(24.122)
Donc l'équation paramétrique de la sphère est bien:

Nous retrouvons donc bien
l'équation cartésienne d'une sphère à
une constante de translation près.
Exemple:
Avec Maple 4.00b une sphère de rayon unité:
>plot3d([sin(theta)*cos(phi),sin(theta)*sin(phi),cos(theta)],theta=0..Pi,phi=-Pi..Pi,
scaling=CONSTRAINED,orientation=[50,60],style=PATCH,axes=NORMAL);
Figure: 24.16 - Représentation paramétrique d'une sphère avec Maple 4.00b
ÉQUATION
D'UN ELLIPSOÏDE
Nous avons vu lors de notre
étude des coniques que l'équation d'une ellipse dans
le plan était donnée par:
(24.123)
avec a, b étant
les deux axes de l'ellipse (le petit et le grand).
Ainsi, sans démonstration
rigoureuse, nous pouvons vérifier à la main ou à
l'aide des ordinateurs que l'équation cartésienne:
(24.124)
est un ellipsoïde:

Figure: 24.17 - Représentation d'un ellipsoïde
Cependant, il existe une
autre manière de décrire l'ellipsoïde en utilisant
les coordonnées curvilignes:
(24.125)
Donc l'équation paramétrique de l'ellipsoïde sera:
(24.126)
Nous pouvons constater qu'il s'agit simplement de
l'équation paramétrique de la sphère mais avec des rayons différents
suivant les axes du repère choisi.
Exemple:
Avec Maple 4.00b:
>a:=100:b:=2:c:=20:
>plot3d([a*cos(theta)*cos(lambda),b*cos(theta)*sin(lambda),c*sin(theta)],lambda=0..Pi,
theta=-Pi..Pi,orientation=[50,60],style=PATCH,axes=NORMAL);
Figure: 24.18 - Représentation paramétrique d'un ellipsoïde avec Maple 4.00b
Nous avons donc:
(24.127)
d'où:

(24.128)
Finalement:
(24.129)
ÉQUATION
D'UN CYLINDRE
Il va sans dire que l'équation
paramétrique d'un cylindre de rayon r est donnée
par:
(24.130)
Soit:
(24.131)
Nous voyons bien que les composantes
x, y satisfont l'équation cartésienne d'un
cercle puisque:
(24.132)
Exemple:
Avec Maple 4.00b un cylindre de rayon unité:
>plot3d([cos(phi),sin(phi),z],phi=-Pi..Pi,z=0..2,orientation=[50,60],style=PATCH,
axes=NORMAL);
Figure: 24.19 - Représentation paramétrique d'un cylindre avec Maple 4.00b
Au même titre l'équation
paramétrique d'un cylindre à base elliptique est donnée
par:
(24.133)
qui vérifie aussi l'équation
paramétrique d'une ellipse dans le plan:
(24.134)
SURFACES
DE RÉVOLUTION
De manière
plus générale de nombreuses surfaces (dont certaines que nous avons
vues précédemment) peuvent être décrites par révolution d'une forme
primaire de dimension inférieure et ensuite par rotation.
Définition: Une "surface
de révolution" est une surface obtenue en faisant
tourner une courbe plane (par exemple )
autour de l'axe OZ. Ainsi, nous passons alors d'un plan
de
a un repère de ,
l'axe OX engendre dès lors un plan devenu YOZ.
Prenons trois exemples classiques
(parmi l'infini):
Exemples:
E1. Soit la parabole particulière d'équation qui
tourne autour de l'axe OZ:
(24.135)
avec pour rappel:

Nous avons bien évidemment
(en coupant le paraboloïde par un plan ce qui donne un cercle
de rayon r)
la relation:
(24.136)
dite "équation
cylindrique". Or, nous avons aussi par simple application
de Pythagore dans le cercle en question:
(24.137)
d'où:
(24.138)
Nous en déduisons "l'équation
cartésienne du paraboloïde de révolution":
(24.139)
Nous construisons l'équation paramétrique du paraboloïde
exactement de la même manière que le cône, mais à la
différence que l'évolution
selon l'axe OZ ne se fera non pas linéairement
par rapport au
paramétrage k mais
au carré de ce dernier. Ainsi, nous aurons:
(24.140)
Ce qui donnera avec Maple 4.00b:
>p:=1:h:=1:
>plot3d([k*1/(2*p)*cos(t),k*1/(2*p)*sin(t),k^2*h],k=0..10,t=0..2*Pi,orientation=[50,60]
,style=PATCH,axes=NORMAL);
Figure: 24.20 - Représentation paramétrique d'un paraboloïde avec Maple 4.00b
E2. Soit la droite de pente unité:
(24.141)
que nous faisons tourner
autour de Oz. Nous avons:
(24.142)
ce
qui nous donne:
(24.143)
Définition: Toute
surface engendrée par une droite est une "surface
réglée".
Prenons l'exemple important
(cheminée de centrale nucléaire, engrenages, etc.)
qu'est l'hyperboloïde à une nappe d'équation:
(24.144)
Pour simplifier l'exemple
prenons .
Nous avons donc:
(24.145)
ce qui s'écrit aussi
comme le produit de l'équation de deux droites tel que:
(24.146)
Ainsi, ces deux droites (de
pentes opposées) appartiennent à la nappe et tout
point appartenant à une de ces deux droites y est contenu.
Les figures ci-dessous montrent bien qu'au fait, tout point appartient
à ces deux droites.

Figure: 24.21 - Construction d'une surface de révolution avec des droites
On pourrait ceci dit très
bien décrire par des cercles tels que:
(24.147)
où .
Figure: 24.22 - Construction d'une surface de révolution avec des cercles
E3.Nous savons que pour générer un
cercle dans le plan XOY, une équation paramétrique
possible est:
(24.148)
Pour décaler ce cercle vers la droite (dans la direction
des x positifs), nous n'aurons qu'à ajouter une constante
strictement positive au terme x:
(24.149)
Dans l'espace, si nous décidons de dessiner un cercle sur
la plan XOZ, nous aurons alors:
(24.150)
Qu'il est d'usage de noter sous la forme suivante lorsqu'il s'agit
de l'étude du tore:
(24.151)
Si nous voulons générer un tore, il faudra faire
tourner ce cercle autour de l'axe Z en lui faisant suivre à lui-même
un cercle suivant le plan XOY. Nous avons alors "l'équation
paramétrique du tore de révolution":
(24.152)
Ce qui donne avec Maple 4.00b:
>r:=1:R:=4:
>plot3d([(R+r*cos(phi))*cos(theta),(R+r*cos(phi))*sin(theta),
1*sin(phi)],
theta=-Pi..Pi,phi=-Pi..Pi,scaling=CONSTRAINED,orientation=[50,60],
style=PATCH,axes=NORMAL);
Figure: 24.23 - Représentation paramétrique d'un tore avec Maple 4.00b
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