
ÉLECTROSTATIQUE
| MAGNÉTOSTATIQUE
| ÉLECTRODYNAMIQUE
| ÉLECTROCINÉTIQUE
OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
| OPTIQUE
ONDULATOIRE
L'electrodynamique
est la partie de la physique qui traite de l'action dynamique des
courants électriques (Larousse).
Dernière mise à jour
de ce chapitre:
2017-12-31 17:58:01 | {oUUID 1.774}
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Jusqu'ici nous nous
sommes concentrés sur
l'interaction gravitationnelle et la grandeur caractéristique
de la matière, appelée "masse", qui lui
est associée. Nous
avons évoqué l'interaction électromagnétique,
en analysant des phénomènes
macroscopiques, comme le frottement, la cohésion, l'élasticité,
les forces de contact, etc. Maintenant nous nous penchons sur
les
forces électroniques et la caractéristique de la
matière, appelée
"charge", qui leur est associée. L'interaction électromagnétique
lie la matière, sous toutes ses formes observables. C'est
elle qui fait tenir les électrons au noyau dans l'atome,
qui fait tenir ensemble les atomes dans les molécules,
les molécules dans les objets et
même votre nez à votre visage (eh oui... nous tenons pas à grand-chose..
lol).
La "charge"
produit la "force électrique" ou "force de Coulomb"
et nous commençons seulement à comprendre cette force. La charge
est une notion fondamentale, qui ne peut pas être décrite en termes
de concepts plus simples et plus fondamentaux. Nous la connaissons
par ses effets et malheureusement pas par ce qu'elle est (c'est
idem pour la masse rappelons-le aussi).
L'expérience a montré
aussi que bien que la charge est comme la masse une propriété additive,
elle comporte cependant aussi des valeurs négatives (et
non exclusivement positive comme l'est a priori la masse). Ainsi,
dans le langage
actuel et comme l'expérience le confirme, deux charges identiques
se repoussent et deux charges opposées s'attirent.
Voyons maintenant la force
qui est associée à la charge:
Force électrique
Il a expérimentalement
été établi par Coulomb qu'une particule
témoin subit
une force d'une intensité proportionnelle à sa
charge q,
lorsqu'elle est placée au voisinage d'une ou plusieurs
charges
électriques ,
dans un milieu de permittivité électrique absolue
(permittivité au champ électrique bien sûr...)
donnée
par (sous forme vectorielle et non relativiste):
(35.1)
où est
le vecteur position d'une charge témoin.
En
d'autres termes, deux corps chargés ponctuels s'attirent
ou se repoussent selon une force directement proportionnelle à leur
charge et inversement proportionnelle au carré de
la distance qui les sépare.
Dans
le cas d'un système à deux particules séparées
par une distance r,
nous avons la même relation simplifiée et nous retrouvons
la forme plus commune de la force électrique ou "force
de Coulomb"
telle qu'elle est donnée dans
la plupart des ouvrages (sous forme scalaire et non relativiste):
(35.2)
Remarques:
R1. Fréquemment,
cette dernière relation est définie sous le nom
de "loi
de Coulomb"
dans la plupart des écoles et admise comme non démontrable.
Au fait, il n'en est rien ! Cette relation peut se démontrer
comme nous le verrons lors de l'étude de la physique quantique
des champs (cf. chapitre de Physique Quantique
Des Champs) en utilisant
l'équation
de Klein-Gordon dans le contexte d'un champ de potentiel à symétrie
sphérique (démonstration effectuée par Yukawa).
R2. Pour la
forme relativiste de la loi de Coulomb, le lecteur se reportera
au chapitre
de Relativité Restreinte où il
est démontré que
(forme vectorielle):
(35.3)
La valeur de permittivité électrique dans le vide est quant à elle
donnée expérimentalement par:
(35.4)
et relativement au milieu
considéré, nous définissons une "permittivité électrique
relative"
qui permet plus facilement de déterminer les propriétés
d'un matériau par rapport au champ électrique tel
que nous ayons la "permittivité électrique
absolue":
(35.5)
Il convient d'indiquer que certains auteurs définissent
la permittivé
du vide à partir de la vitesse de la lumière et de
la perméabilité magnétique du vide (cf.
chapitre de Magnétostatique). Dès
lors, la valeur de la permittivité
électrique du vide est bien évidemment exacte par
définition.
Mais cela n'a de sens qu'une fois la théorie de Maxwell
connue et celle-ci
sera
presentée
et
démontrée
que plus
tard dans le chapitre d'Électrodynamique (nous suivons les
démarches
dans l'ordre historique des découvertes scientifiques).
Nous définissons
également le rapport:
(35.6)
appelé "constante
diélectrique".
Le facteur
entre parenthèses dans:
(35.7)
ne dépend que de la distribution
des charges dans
l'espace et de la permittivité électrique absolue du
milieu considéré. Puisque sa valeur varie
d'un endroit à l'autre et dépend du vecteur position de
la charge témoin, il forme un ensemble de vecteurs, dont
la propriété
est celle d'une multitude de lignes de champs électriques
d'où l'utilisation du terme "champ électrique".
L'ensemble de ces vecteurs porte donc le nom de "champ électrique"
,
au point ,
dans la distribution de charges :
(35.8)
Les ingénieurs utilisent souvent une autre
notation qui permet de caractériser uniquement la géométrie du
champ et ce indépendamment du milieu et introduisent le concept
de "champ de déplacement":

nous retrouverons ce vecteur dans le chapitre d'Électrodynamique
lors de notre synthèse des équations de Maxwell.
La force
Coulombienne, agissant sur la charge témoin q,
s'écrit alors de façon conventionnelle:
(35.9)
POTENTIEL ÉLECTRIQUE
Soient
deux points A
et B dans
une région de l'espace où il existe un champ électrique et
soit un chemin reliant
ces deux points. Alors, dans le cas particulier où la source
d'un champ est
une sphère ou un corps ponctuel et que nous posons une
charge
à son voisinage, nous avons pour le travail effectué par
la force pour déplacer la charge du point A
au point B:
(35.10)
Par ailleurs, ce travail est comme nous le verrons plus loin,
assimilable à l'énergie potentielle. Nous définissons
ainsi la "différence de potentiel" ou
simplement le "potentiel"
par la relation:
(35.11)
et donc:
(35.12)
Remarques:
R1. Le potentiel est souvent appelé "tension"
par les électriciens, électrotechniciens ou autres ingénieurs.
Parfois par abus de la langue anglophone le terme "voltage" est
ensuite utilisé par référence à l'unité de mesure du potentiel
qui est le "Volt" noté [V].
R2. La différence de potentiel peut aussi bien se faire
entre deux bornes chargées de manières opposées
(+,-) qu'entre deux bornes (+,neutre) ou encore (-,neutre). Ces
deux derniers cas représentent
typiquement la configuration utilisée par les trains, trams,
l'orage et presque tous
les
appareils électroménagers.
Démontrons
maintenant dans le cadre le plus général qui soit que le champ
vectoriel stationnaire
dérive
d'un champ de potentiel:
Soit
une charge Q
repérée par rapport à un référentiel
par le vecteur
. Alors en chaque point de l'espace, il existe un champ
tel que:
(35.13) développons
cette expression:
(35.14) Si
est un champ de potentiel
stationnaire alors, il doit exister un potentiel
de ce champ qui satisfasse:
; ;
(35.15)
Regardons
si le potentiel
existe pour un champ de Coulomb. Nous
devons alors avoir pour le champ en x:
(35.16) d'où:
(35.17)
et
si nous effectuons le même développement pour chaque composante,
nous obtenons également le même résultat. Donc
le potentiel électrique est un champ scalaire et non vectoriel
(le champ électrique est donc lui un champ vectoriel)!
Le pontentiel
est appelé dans le cas d'un champ de Coulomb "potentiel
coulombien" et est par convention choisi tel que:
(35.18)
Comme nous pouvons le constater par l'expression de antéprécédente, C est
une constante arbitraire, qui impose dans le cas d'absence
de charges que:
(35.19) Ce
qui nous donne finalement:
(35.20)
Ce qui donne pour toutes les composantes:
(35.21)
que nous notons plus brièvement:
(35.22)
Remarque: Les mêmes développements et résultats
(et ceux qui vont suivre) sont applicables en ce qui concerne le
champ de
potentiel
gravitationnel. Cependant, il est rare qu'ils soient effectués
dans la littérature ou les écoles car l'être humain
ne contrôle pas
le champ gravitationnel avec une facilité et une intensité équivalente
à celle du champ électrique...
Il s'ensuit donc que:
(35.23)
et donc par exemple pour un potentiel ponctuel à
symétrie sphérique (cas que nous retrouvons dans de nombreux autres
chapitres), il vient alors:
(35.24)
Indépendance
du chemin
Démontrons maintenant
que la différence de potentiel entre deux points A
et B ne
dépend pas du chemin parcouru
tel que nous l'avons fait pour le champ de potentiel gravitationnel
dans le chapitre de Mécanique Classique.
Soit
un chemin reliant deux points A et B et
un champ et
faisons en sorte d'exprimer le champ en x, y et z par
rapport à une seule variable t (qui
n'a rien avoir avec le temps...) qui rendrait compte de sa
variation lors d'un déplacement quelconque entre ces deux
points:
(35.25)
avec donc A qui correspondrait à la valeur
du
paramétrage et B à la valeur .
Or, nous savons que (cf. chapitre
de Calcul Différentiel
et Intégral et Calcul Vectoriel):
(35.26)
Il vient alors:
(35.27)
Dès lors:
(35.28)
Cette
dernière expression montre bien que U est indépendant
du chemin quelle
que soit la manière dont nous paramétrons celui-ci.
Le champ
de Coulomb est donc un "champ conservatif".
En effet, si nous considérons un chemin
fermé et
soient A et B deux points confondus
du chemin alors la différence de potentiel
sera nulle.
Signalons que parfois nous disons aussi que le champ
gradient du potentiel est conservatif.
ÉQUIPOTENTIELLES
ET LIGNES DE CHAMP
Nous pouvons maintenant à partir de ce que nous avons établi,
définir les "équipotentielles"
et les "lignes de champ".
Soit
un champ de Coulomb défini par rapport à un référentiel. Alors à chaque
point (x,y,z) de l'espace, nous
pouvons associer un vecteur champ électrique ainsi
qu'un potentiel électrique.
Définition: Nous définissons les "lignes
de champ" comme étant une
famille de courbes pour lesquelles le vecteur est
tangent et constant en chaque point et les "équipotentielles"
comme étant des lignes pour lesquelles le potentiel U(x,y,z)
est aussi constant.
Dans ce
cas, et c'est ce que nous allons démontrer, toutes les lignes de
champ sont perpendiculaires à toutes les équipotentielles.
Démonstration:
Utilisons
la propriété suivante de conservation du champ de
Coulomb pour la démonstration:
(35.29)
Comme nous sommes en présence
d'un champ électrique, celui-ci dérive donc d'un potentiel comme
nous le savons. Ceci implique que si le champ n'est pas nul le potentiel
ne l'est également pas. Donc, dans l'intégrale curviligne:
(35.30)
un des termes
est nul ! Ce n'est pas le champ électrique puisqu'on
est présence d'un, ce qui discrédite le potentiel U et
comme la charge se déplace n'est
pas nul non plus. Écrivons alors l'intégrale curviligne d'une autre
manière:
(35.31)
d'où:
(35.32)
nous
pouvons donc conclure que les équipotentielles sont bien perpendiculaires
aux lignes de champ électrique et inversement. C'est ce qu'il
fallait démontrer.
Voici
des exemples de lignes de niveaux comprenant lignes de champ et
lignes de potentiel obtenus à l'aide de Maple 4.00b (nous
montrerons lors de notre étude des équations différentielles
comment obtenir les fonctions mathématiques des lignes de
champ):
 
Figure: 35.1 - À gauche: une seule charge - À droite: deux charges de
même signe
 
Figure: 35.2 - À gauche: deux charges de signes opposés - À droite:
quatre
charges
de
même
signe
Remarque: Mises à part les charges opposées,
nous rappelons que les mêmes résultats sont applicables
pour les masses avec le champ gravitationnel.
Deux applications
de ces résultats sont très importantes (pour lesquelles
nous nous limiterons
à l'étude des propriétés les plus importantes):
1. La détermination
des lignes de champ et des lignes équipotentielles pour
un fil rectiligne infini tel que nous pouvons en approximation
en
considérer
dans les circuits électriques ou les lignes hautes tensions
aériennes
(afin de déterminer l'influence des champs des fils
avec leur environnement - cette étude fait partie du
domaine de l'électrodynamique
de l'ingénieur
que nous appelons la CEM pour "Compatibilité Électromagnétique").
Les résultats pourront aussi être utilisés pour déterminer
la "tension
de pas" pour certains systèmes rectilignes qui
détermine
pour une distance donnée, le potentiel par mètre
pour lequel un mammifère
peut être tué par électrochoc à proximité d'un tel
fil. Une extension (sur laquelle je ne souhaite pas trop m'attarder
bien
que le sujet
soit passionnant mais très chaud) est aussi l'influence
d'un tel type de potentiel sur le fonctionnement du cerveau humain
dans
le
cas de l'usage des téléphones portables (antennes émettrices
d'un potentiel) ou d'habitations proches de lignes hautes tensions....
Remarque: Nous déterminerons dans le chapitre de Magnétostatique
la loi de Biot et Savart qui donne le champ magnétique
pour un tel fil parcouru par une intensité de courant donnée.
2. La détermination
des lignes de champ et équipotentielles du dipôle électrique
a une énorme importance en chimie. Nous verrons également
quelle est la dynamique de celui-ci lorsqu'il est plongé dans
un champ électrique uniforme
et l'énergie d'interaction entre dipôles (comme c'est souvent
le cas en chimie).
FIL RECTILIGNE
INFINI
Soit:
(35.33)
Nous
avons:
(35.34)
en faisant usage du concept de densité
linéique de charges telle que nous l'avons définie
dans le chapitre Principes de la section
de Mécanique, nous avons:
(35.35)
Considérons une ligne infinie
de section négligeable, et portant une charge linéique
continue .
Le but est donc de calculer le champ électrique et le
potentiel en tout point M de l'espace extérieur à cette
ligne afin de connaître
les influences des charges de cette ligne sur son environnement
en ne considérant que l'influence du champ électrique
(si les charges étaient en mouvement il faudrait également
prendre en compte l'influence du champ magnétique, ce
que nous ferons dans le chapitre de Magnétostatique).
Pour cela, la méthode
consiste
à découper la ligne en de petits éléments
de ligne dl,
chacun de ces éléments portant une charge dq.
Le champ créé par la charge en P au
point M situé à distance x et
de projection orthogonale H sur la ligne
est:
(35.36)
L'astuce consiste maintenant à
prendre le symétrique P'
de P par rapport à H (la
projection orthogonale de M sur le fil):

Figure: 35.3 - Configuration de l'analyse du fil rectiligne infini
pour lequel nous
avons identiquement:
(35.37)
Le champ total est donc:
(35.38)
Or, nous avons:
(35.39)
Donc:
(35.40)
Comme nous pouvons nous en douter,
cette dernière relation montre bien que le champ est orthogonal
à la ligne (au fil...).
La norme de
est:
(35.41)
Cette relation comporte
3 variables dépendantes r,dl,x.
La norme du champ total en un point est donc la somme des normes
sur l'ensemble de la longueur du fil puisque tous les vecteurs
ont même direction.
Pour effectuer ce calcul,
nous allons effectuer un changement de variable, et mettre r,dl,x en
fonction de l'angle
entre la ligne et le vecteur .
Dans le triangle rectangle HMP:
(35.42)
si nous prenons l'origine
des z en H.
Nous avons aussi:
(35.43)
et:

(35.44)
d'où:
(35.45)
L'intégration est
facile, mais il faut faire attention aux bornes. Nous devons
intégrer
sur une moitié de ligne, donc entre 0
et :
(35.46)
et alors:
(35.47)
Le potentiel se déduit aisément
en prenant la primitive de E puisque:
(35.48)
Nous avons alors:
(35.49)
La constante est indéterminée
puisque lorsque r tend vers l'infini, U tendant
vers zéro conduit à une constante infinie.
Cette indétermination est due essentiellement à l'approximation
de la ligne infinie.
DIPÔLE
ÉLECTRIQUE RIGIDE
Une disposition des charges très
intéressante
est celle constituant un "dipôle" électrique
appelé rigoureusement "dipôle
électrique rigide" ou "dipôle
électrostatique".
Elle consiste en deux charges égales
et opposées
+q,-q séparées par une très
petite distance. Nous allons chercher à déterminer
le potentiel et le champ
électrique en un point M de l'environnement
du dipôle.
Pour déterminer cela, considérons
une charge
quelconque en un point
et un point M très éloigné de .
Prenons un repère quelconque centré en O:

Figure: 35.4 - Champ électrique en un point M très éloigné du dipôle
Le potentiel créé au
point M par la charge
s'écrit:
(35.50)
Dans le triangle ,
la distance
peut être écrite selon le théorème du
cosinus:
(35.51)
Le potentiel devient:
(35.52)
ou encore:
(35.53)
À très grande distance,
r devient très supérieur à ,
la quantité:
(35.54)
tend alors vers zéro. Nous
pouvons donc effectuer un développement de Maclaurin
(cf. chapitre sur les Suites Et Séries) de
au voisinage de
.
Pour ne pas alourdir le calcul, nous nous limiterons
à l'ordre deux en r:
(35.55)
donc:
(35.56)
En ne gardant que les termes
du second ordre en r:
(35.57)
Le potentiel devient:
(35.58)
Nous avons gardé dans l'expression
du potentiel trois termes. Le terme
est le potentiel créé par une charge qui se trouverait
en O.
Autrement dit, à l'ordre zéro, le potentiel créé
par une charge située en un point proche de O est
identique au potentiel créé par
une charge qui se trouverait en O.
Les termes
sont des termes correctifs, à l'ordre un et à l'ordre
deux respectivement. Nous remarquons que ces deux termes varient
en ,
donc décroissants plus vite que le premier. Ces deux termes
sont donc plus efficaces à plus petite distance.
Nous voyons que les termes font intervenir la quantité .
Cette quantité est ce que nous définissons comme étant
le "moment dipolaire" du dipôle
électrostatique:
(35.59)
Remarque: Le moment dipolaire est exprimé en Coulomb
par mètre, mais par mesure de commodité (...) il
est exprimé
en Debye [D] par certains ingénieurs.
Le potentiel créé à
grande distance par une distribution discrète de charges
s'obtient en sommant toutes les contributions individuelles:
(35.60)
Ce qui peut aussi s'écrire:
(35.61)
Par définition, est
le terme unipolaire ou monopolaire,
le terme dipolaire,
quadripolaire. Si la distribution de charge est au total nulle,
comme c'est le cas d'un atome ou d'une molécule non ionisée,
seuls subsistent les contributions multipolaires.
Revenons au cas particulier du dipôle:
Le terme
monopolaire y est nul, puisque la somme des charges est nulle.
Si nous négligeons les termes d'ordre supérieur au
premier, il reste la contribution dipolaire. Les angles et du
dipôle sont complémentaires, donc .
Mais, comme ,
le produit est
constant.
Les deux charges du dipôle sont à une distance constante
l'une de l'autre et à équidistance de l'origine O.
Nous poserons que .
Le potentiel se réduit alors à:
(35.62)
où a est simplement
la distance constante entre les deux charges.
Il est d'usage dans le cas de l'étude du dipôle électrique d'écrire
la relation précédente sous la forme:
(35.63)
où est
la définition de moment dipolaire et:
(35.64)
Rappelons maintenant que nous avons démontré au
début de ce chapitre que:
(35.65)
et comme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel,
le gradient en coordonnées sphériques
nous amène à écrire:
(35.66)
d'où:
(35.67)
Pour déterminer l'équation
des équipotentielles, rappelons que ces lignes (ou "surfaces"
dans l'espace) s'obtiennent par la contrainte:
(35.68)
d'où:
(35.69)
avec:
(35.70)
Le champ électrique doit être
par définition tangent aux lignes de champ, donc parallèle
au déplacement élémentaire.
(35.71)
Puisque ,
nous avons:
(35.72)
Donc finalement il ne reste plus que:
(35.73)
Qui est donc une équation différentielle
qui s'intègre facilement:
(35.74)
Ce qui équivaut à écrire:
(35.75)
Le tracé des lignes de champ
et des équipotentielles donne alors en coordonnées
sphériques (ne pas oublier que la composante verticale
est nulle par symétrie):

Figure: 35.5 - Tracé des lignes de champ d'un dipôle électrique
Bien que dans un dipôle électrique
les deux charges soient égales et opposées, donnant
une charge résultante nulle, le fait qu'elles soient légèrement
déplacées est suffisant pour produire un champ électrique
non identiquement nul. Dans les atomes, le centre de masse des électrons
coïncide avec le noyau, et par conséquent le moment
électrique dipolaire moyen de l'atome est nul. Mais si un
champ extérieur est appliqué, le mouvement des électrons
est distordu et le centre de masse des électrons est déplacé
d'une distance x par rapport au noyau. L'atome est alors polarisé et devient
un dipôle électrique de moment p.
Ce moment étant proportionnel au champ extérieur .
Voilà un code Maple 17.00 pour s'amuser:
>V:=1/sqrt((x-1)^2+y^2+z^2)-2/sqrt((x+1)^2+y^2+z^2):
>with(LinearAlgebra); with(VectorCalculus); with(plots);
>with(plottools);
>Efield := Gradient(-V, [x, y, z]);
>fieldplot3d([Efield[1], Efield[2], Efield[3]],x =-1.5..1.5,
y =-1.5..1.5, z =-1.5..1.5);
>NormEfield := Normalize(Efield,2);
>p1:=sphere([1, 0, 0],0.75,color=red);
>p2:=sphere([-1, 0, 0],1.5,color=blue);
>p3:=fieldplot3d(NormEfield,x=-4.5..4.5,y=-4.5..4.5,z =-4.5..4.5,color=black);
>display([p1,
p2, p3], scaling = constrained);
Ce qui donne dans un premier temps (évidemment les dimensions sont
fictives):

Figure: 35.6 - Lignes de champ électrique pour deux charges de signes opposés
>z:= 0;
>plot3d(V,x =-1.5..1.5, y=-1.5..1.5, style=patchcontour,contours=200);

Figure: 35.7 - Profil du potentiel et lignes équpotentielles du dipôle
>p4:=implicitplot({seq(V = (1/10)*b,b=-10..10)},x=-5..5,y=-4..4);
>p5 := fieldplot([NormEfield[1], NormEfield[2]], x = -5 .. 5, y
= -4 .. 4); display([p4, p5], scaling = constrained);

Figure: 35.8 - Profil 2D du potentiel et du champ électormagnétique
du
dipôle
Remarque: Les molécules par ailleurs peuvent avoir un moment
électrique permanent. De telles molécules sont dites
" molécules polaires". Par exemple,
dans la molécule HCl l'électron de l'atome
d'hydrogène passe plus de temps à se déplacer
autour de l'atome de chlore qu'autour de l'atome d'hydrogène.
Aussi, le centre des charges négatives ne coïncide-t-il
pas avec le centre des charges positives et la molécule
possède
un moment dipolaire. Par contre, dans la molécule  ,
tous les atomes sont alignés, et le moment électrique
dipolaire résultant est nul par raison de symétrie.
Quand un dipôle électrique
est placé dans un champ électrique, une force s'exerce
sur chacune des charges du dipôle. La force résultante
est:
(35.76)
Considérons le cas particulier
où le champ électrique est dirigé le long
de l'axe des X et où le dipôle
est orienté parallèlement à
ce champ. Si nous considérons seulement les grandeurs:
(35.77)
avec a étant la distance entre les deux charges, et par conséquent:
(35.78)
Ce résultat montre qu'un dipôle
électrique orienté parallèlement au champ
tend
à se déplacer dans la direction dans laquelle le
champ s'accroît (selon le gradient de celui-ci). Nous remarquons
que si le champ électrique est uniforme, la force résultante
sur le dipôle est nulle.
L'énergie potentielle du dipôle
est:
(35.79)
Si nous utilisons la relation:
(35.80)
pour décrire le champ électrique
uniforme et si
est l'angle entre le dipôle et le champ électrique,
le dernier facteur
est juste la composante
du champ
parallèle à .
Donc:
(35.81)
ou
(35.82)
L'énergie potentielle est minimale
pour ,
ce qui montre que le dipôle est en équilibre quand
il est orienté parallèlement au champ.
Ces configurations d'un dipôle
placé dans un champ électrique ont des applications
très importantes. Par exemple, le champ électrique
d'un ion en solution polarise les molécules du solvant
qui entoure les ions et elles s'orientent comme sur la figure
ci-dessous:

Figure: 35.9 - Exemple de ce qui se passe dans une solution avec un ion
Dans un solvant à molécules
polaires tel que l'eau, les ions d'un électrolyte en solution
s'entourent d'un certain nombre de ces molécules en raison
de l'interaction charge-dipôle. Ce phénomène
est appelé la "solvation" de l'ion, précisément
"hydratation" si le solvant est de l'eau.
Ces molécules orientées
deviennent plus ou moins solidaires de l'ion, augmentant sa masse
effective et diminuant sa charge effective, qui est partiellement
masquée par les molécules. L'effet net est que la
mobilité de l'ion dans un champ extérieur est réduite.
De même, lorsqu'un gaz ou un liquide, dont les molécules
sont des dipôles permanents est placé dans un champ
électrique, les molécules à la suite des couples
dus au champ électrique, tendent à s'aligner avec
leurs dipôles parallèles. Nous disons alors que la
substance a été "polarisée".
Il peut donc être intéressant
de déterminer le champ électrique vectoriel produit
par un dipôle plutôt que le potentiel. Le champ électrostatique
créé en un point M par le
doublet s'obtient en effectuant la somme vectorielle des champs
créés
en ce point par des charges positive P et
négative
N, d'où:
(35.83)
La distribution des charges étant
invariante par rotation autour de l'axe Oz du
doublet, la topographie est indépendante de l'angle azimutal
des coordonnées sphériques. Nous pouvons la représenter
dans un plan méridien quelconque passant par l'axe NP.
Le champ
est donc donné par:
(35.84)
Ayant:
(35.85)
vectoriellement, nous avons:
(35.86)
Le produit scalaire étant la
multiplication des composantes une à une, nous avons:
(35.87)
d'où:
(35.88)
Finalement:
(35.89)
Donc par un développement limité
en série de Maclaurin comme nous l'avons fait au début:
(35.90)
soit en introduisant :
(35.91)
Il peut être pertinent aussi
de calculer l'énergie d'interaction entre deux dipôles
électriques. Si nous appelons
le moment dipolaire, nous pouvons écrire:
(35.92)
Si nous désignons par
le moment du second dipôle et si nous utilisons la relation:
(35.93)
nous trouvons que l'énergie
d'interaction entre les deux dipôles est:
(35.94)
Nous pouvons tirer plusieurs conclusions
importantes de ce résultat. L'énergie d'interaction
est symétrique par rapport aux deux dipôles, car la
permutation de
et
la laisse inchangée. C'est un résultat prévu.
L'interaction entre deux dipôles n'est pas centrale car elle
dépend des angles que le vecteur de position ou le vecteur
unitaire
fait avec
et .
Un atome, une molécule ou un
ion, dont le moment dipolaire est nul à l'état fondamental,
acquièrent un moment dipolaire sous l'action du champ électrique
appliqué comme nous l'avons vu puisque les charges de
signes opposées sont sollicitées dans des sens
opposés.
Les barycentres des charges positives et négatives ne coïncidant
plus, il apparaît un "moment dipolaire
induit". Dans une approximation
expérimentale linéaire valable pour des champs excitateurs
faibles, ce moment dipolaire induit est proportionnel au champ
appliqué
,
ce que nous traduisons par (il s'agit au fait d'une approximation
de la relation de Langevin-Debye que nous démontrerons plus
tard):
(35.95)
La quantité ,
dont la dimension physique est celle d'un volume, est la "polarisabilité"
de l'édifice. L'interaction électrostatique dipôle-dipôle
a été introduite par J.D. Van der Waals en 1873,
dans le cas des molécules, afin d'interpréter les écarts
réels par rapport aux gaz parfaits.
Les forces de Van der Waals sont répulsives
lorsque la distance entre les molécules est très
faible car elles s'opposent à l'interpénétration
des nuages électroniques, ce que nous exprimons en introduisant
leur volume (covolume).
En revanche, elles sont attractives
lorsque cette distance est suffisante. Nous attribuons cette attraction
à trois types d'interaction mettant en cause des dipôles
rigides ou induits:
1. Les forces entre molécules
polaires (dipôles rigides), dites de W. Keesom.
2. Les forces entre une molécule
polaire (dipôle rigide), et une molécule polarisable
(dipôle induit) dites de Debye.
3. Les forces moyennes entre les dipôles
induits instantanés qui apparaissent même lorsque les
molécules ne sont pas polaires, dites de F. London.
Dans ces trois cas, l'énergie
électrostatique est négative (attraction) et varie
comme .
Pour le montrer, calculons l'énergie d'interaction entre
deux dipôles rigides, de moments dipolaires
et :
(35.96)
avec:
(35.97)
et:
(35.98)
Par conséquent:
(35.99)
d'où:
(35.100)
Ainsi, la dépendance radiale
de la force est en .
Cette décroissance très rapide de la force de Van
der Waals avec la distance permet d'expliquer sa très
courte portée et par conséquent son influence
lorsque le milieu est suffisamment dense.
Remarque: L'interaction entre molécules polaires,
de type Keesom, est rendue très importante par la présence
de l'atome d'hydrogène, car ce dernier, en raison de sa
petite taille, interagit aussi avec les atomes des autres molécules.
C'est elle qui est à l'origine de la "liaison
hydrogène".
FLUX
DU CHAMP ÉLECTRIQUE
Soit
un
champ vectoriel et S une
surface appelée "surface de
Gauss" dans l'espace.
Si nous divisons cette surface en un nombre N de
petites surfaces dS chacune
traversée par un champ et
ayant un vecteur unitaire perpendiculaire
(cas particulier) à leur surface, nous pouvons alors former
la somme:
(35.101)
Lorsque
N tend
vers l'infini et tous les dS vers
zéro, nous obtenons
pour cette somme:
(35.102)
La
valeur de cette intégrale donne donc le flux du
champ à travers
la surface
S délimitée
par un domaine et
où:
(35.103)
Dans
le cas du champ électrostatique, nous écrivons:
(35.104)
Cette
expression définit le "flux électrique".
La
question inévitable
qui se pose alors est: quelle est sa signification physique
? Le flux d'un fluide est la quantité de fluide (notamment
le volume) qui traverse une surface par seconde; il y alors écoulement
de quelque chose. Quant au flux électrique, du point
de vue classique, rien ne s'écoule, le champ électrique
est déjà établi
et il est statique, mais il traverse la surface.
La valeur du champ électrique
en tout point de l'espace est l'intensité du champ en
ce point, tandis que le flux peut être considéré comme
la quantité de
champ qui traverse la surface S.
Il y a une centaine d'années, les physiciens identifiaient
le flux avec le nombre des lignes de champ traversant la surface.
Mais le
moins que nous puissions dire est que la vision simpliste que
les lignes de champ ont une réalité distincte
et que nous pouvons les compter est trompeuse. Nous verrons
en mécanique
quantique des champs que celle-ci soutient qu'un courant de
photons virtuels est
la nature même des interactions électromagnétiques.
Malgré cela,
les physiciens ne se sont pas pressés d'associer le flux
des photons virtuels du 20ème siècle à l'image
des lignes de champ continues du 19ème siècle.
Quelle que soit sa nature, la notion de flux est puissante et
de grande utilité pratique, aussi
bien en électricité
qu'en magnétisme.
Comme nous
le démontrerons
dans le cadre des équations de Maxwell (cf.
chapitre d'Électrodynamique),
la résolution de cette intégrale est (c'est la "loi
de Gauss"
ou également dit "théorème de Gauss"):
(35.105)
CAPACITÉS
Comme application directe du théorème
de Gauss, très utile en électronique et pour les
ingénieurs,
considérons une grande feuille mince et plane, portant une
charge surfacique homogène
et baignant dans un milieu de permittivité électrique
absolue .
Dans la région proche de son centre, le champ résultant
de tous les champs des charges est normal, uniforme, constant
et
s'éloigne de la feuille. Considérons une surface
de Gauss en forme d'un cylindre limité par les bases
et sa surface tubulaire et
symétrique par rapport à la feuille. Elle enferme
donc une charge .
Il en résulte que:
(35.106)
et comme
et ,
nous trouvons:
(35.107)
Finalement, le champ électrique
d'une grande feuille chargée plane et mince est:
(35.108)
Si nous mettons face à face
deux plaques identiques mais avec des charges opposées, la
somme algébrique donnera bien évidemment:
(35.109)
À l'exception des extrémités,
où l'effet de bord est important, le champ global est partout
la somme vectorielle des champs uniformes produits par les deux
couches minces opposées. Nous appelons un tel système
un "condensateur plan et parallèle".

Figure: 35.10 - Exemple de condensateur plan et parallèle
Le résultat est aussi remarquable,
car il est indépendant de la distance d entre
les plans. Le calcul du potentiel électrique y est
donc simplifié. Soit:
(35.110)
Ainsi, la capacité du condensateur
plan et parallèle vaut donc:
(35.111)
Voyons un deuxième exemple scolaire qu'est le
"condensateur cylindrique":
Les armatures d'un condensateur cylindrique
sont deux cylindres infinis (ou très grands relativement à leur
diamètre) coaxiaux de rayon et .
Il s'agit donc du cas très important du câble coaxial
(dont le diélectrique est souvent du polyéthylène)
que l'on retrouve dans de nombreux laboratoires:

Figure: 35.11 - Exemple de condensateur cylindrique
Par le théorème de Gauss, nous savons que:
(35.112)
Et puisque le champ est colinéaire en tout
point à la surface, il vient immédiatement en connaissant
l'expression de la surface du cylindre (cf.
chapitre Formes Géométriques):
(35.113)
Or:
(35.114)
Et donc,
(35.115)
Calculons aussi la capacité d'un condensateur
sphérique qui correspond en première approximation à certains générateurs
de Van Der Graaf que nous avons dans les labos de quelques écoles,
de musées ou même de centres de recherche:
Un "condensateur
sphérique"
est constitué de deux sphères concentriques de rayon et avec .
Figure: 35.12 - Exemple de condensateur sphérique
Nous avons maintenant
immédiatement:
(35.116)
Et donc puisque le champ est colinéaire en tout
point à la surface il vient immédiatement en connaissant l'expression
de la surface d'une sphère:
(35.117)
Or:
(35.118)
Nous avons alors:
(35.119)
Donc, nous avons alors:
(35.120)
Voilà pour les exemples classiques....
Nous venons donc de voir que la capacité était définie
par:
(35.121)
soit en régime non continu (cf. chapitre
d'Électrocinétique):
(35.122)
Nous avons alors pour la puissance instantanée (cf.
chapitre d'Électrocinétique):
(35.123)
En supposant
un condensateur idéal (qui ne dissipe pas d'énergie
par effet Joule) il vient:
(35.124)
Donc par intégration dans un intervalle de temps donné de
0 à t nous
avons:
(35.125)
Cette énergie est donc toujours positive et est stockée sous
forme électrostatique dans le condensateur.
Remarque: Des expériences scientifiques
nécessitant d'énormes
énergies utilisent des milliers de condensateurs géants
chargés
sur le long terme pour accélérer des particules ou
faire fonctionner des LASER mégajoules. Cependant on ne
peut pas stocker le surplus d'énergie électrique des certaines
centrales électriques, raison pour laquelle on utilise ce surplus
pour remonter l'eau dans les barrages hydrauliques qui peuvent
utiliser leur bassin comme réserve d'énergie potentielle pour produire
un complément d'électricité au moment d'une pointe de consommation
(transformation inverses).
Dans le cadre d'un régime sinusoïdal, la puissance moyenne
sera nulle. Nous pouvons généraliser ceci en admettant
qu'un condensateur parfait ne dissipe aucune puissance par effet
Joule.
RIGIDITÉ DIÉLECTRIQUE
La "rigidité diélectrique"
d'un milieu isolant représente la valeur maximum du champ
en
que le milieu peut supporter avant le déclenchement d'un
arc électrique (donc d'un court-circuit). Pour un condensateur
utilisé en électronique, si nous dépassons
cette valeur, nous observons la destruction de l'élément.
Cette valeur maximale de la tension appliquée aux bornes,
est appelée "tension de claquage"
du condensateur. Nous pouvons définir la rigidité
du milieu comme étant:
(35.126)
Exemple:
Pour l'air, on trouve dans les tables la valeur:
(35.127)
Lorsque nous parlons de rigidité diélectrique,
nous parlons aussi du diélectrique qui est un isolant ou
une substance qui ne conduit pas l'électricité et
qui est polarisable par un champ électrique. Dans la plupart
des cas, les propriétés du diélectrique
sont dues à la polarisation de la substance. Lorsque
le diélectrique
(dans notre cas, l'air est le diélectrique) est placé
dans un champ électrique, les électrons et les protons
de ses atomes se réorientent et, dans certains cas, à
l'échelle moléculaire, une polarisation est induite
(comme nous l'avons vu lors de notre étude des dipôles).
Cette polarisation engendre une différence de potentiel,
ou tension, entre les deux bornes du diélectrique; celui-ci
emmagasine alors de l'énergie qui devient disponible
lorsque le champ électrique est supprimé. L'efficacité
d'un diélectrique est sa capacité relative à
emmagasiner de l'énergie comparée à celle
du vide. Elle s'exprime par la permittivité électrique relative,
déterminée
par rapport à celle du vide. La force diélectrique
est la capacité d'un diélectrique à résister
aux champs électriques sans perdre ses propriétés
isolantes. Un diélectrique efficace libère une
grande partie de l'énergie qu'il a emmagasinée
lorsque le champ électrique est inversé.
ÉNERGIE
POTENTIELLE ÉLECTROSTATIQUE
Considérons deux charges .
La première est supposée au repos et fixe; la
deuxième
est amenée de l'infini à une distance a de
(le même raisonnement a été appliqué pour
le champ gravitationnel dans le chapitre de Mécanique Classique).
Supposons que les deux charges soient de même signe. Comme
ont tendance à se repousser mutuellement, il faut fournir
une énergie potentielle
pour approcher
(infiniment lentement) de .
Le travail dW fourni par la force électrostatique
en un point quelconque est par définition:
(35.128)
L'énergie potentielle du système
est:
(35.129)
car F est résistant (d'où l'origine
du signe "-").
Donc:
(35.130)
Nous obtenons alors simplement l'énergie
potentielle en un point (donc le x au numérateur
se simplifie avec un des x au dénominateur) au
signe près:
(35.131)
Cette énergie potentielle peut donc être négative ou positive.
Cela n'empêche pas que pour avoir la variation d'énergie
potentielle, il faut intégrer la relation antéprécédente.
Ainsi que la relation:
(35.132)
Remarquons que l'avant-dernière relation peut
aussi se mettre sous la forme:
(35.133)
Remarque: Attention! Quand on fait de la physique, il
faut voir de quelle énergie potentielle on parle. Là est
tout le problème!
Si
vous prenez par exemple l'énergie
potentielle due à la force de gravitation,
elle peut prendre n'importe quelle valeur en fonction du point
de référence. Si la référence est le
niveau de la mer, un point situé sous le niveau de la mer
aura une énergie potentielle négative, par contre
si la référence
est
le centre
de la Terre, il n'y aura
que des énergies potentielles positives. C'est pour cela
que nous écrivons plutôt l'énergie potentielle
sous forme de différence
de hauteur par rapport à une référence en
mécanique.
Pour l'énergie potentielle de l'électron, il faut
savoir avec quoi il interagit. Si c'est avec une charge négative,
le produit des charges est positif et donc l'énergie potentielle
d'interaction sera positive, s'il interagit avec une charge positive,
le produit
des charges est négatif et l'énergie potentielle
d'interaction
électrostatique est négative. Bref,
il faut bien savoir de quoi on parle. Les mots ont leur importance
en physique aussi.
En général, si l'énergie potentielle diminue avec la distance,
la force est répulsive, si elle augmente avec la distance, la force
est attractive.

- Électricité et Magnétisme,
Resnick/Halliday, Éditions ERPI, ISBN-10:
2761300196 (299 pages) - Imprimé en 2003
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