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ASTRONOMIE | ASTROPHYSIQUE | RELATIVITÉ RESTREINTE
RELATIVITÉ GÉNÉRALE | COSMOLOGIE | THÉORIE DES CORDES

LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Il faut bien considérer dans le présent chapitre que la théorie des cordes (et in extenso des supercordes) est actuellement spéculative et n'a pas pu être vérifiée (confirmée) ni falsifiée par l'expérience comme le veut la démarche scientifique. Il convient donc de prendre avec prudence les développements qui vont suivre et d'être le plus critique possible !

Il s'agit par ailleurs d'une théorie (nous ne pouvons pas parler de modèle actuellement) d'unification des forces qui n'est pas nouvelle puisqu'elle a bientôt plus de trente ans et qui tente de combler les défauts du modèle standard des particules et aussi de réunir la relativité générale et physique quantique (ce qui n'est pas sans mal puisque cette dernière est dépendante du fond contrairement à la relativité générale). Elle est une des nombreuses théories qui existe en physique moderne et qui tente cette unification (il en existe une dizaine d'autres plus ou moins connues).

L'avantage indéniable de la théorie des cordes, outre le fait que mathématiquement elle soit assez indigeste mais n'est pas vraiment pire que la relativité générale, est qu'elle permet d'éviter dans un certain ordre... de nombreuses singularités dans les calculs des autres théories modernes qui considèrent les objets comme des points (donc de volume et longueur nuls...).

Cette théorie tout en étant esthétique et remarquable dans le sens qu'elle utilise pour ses fondements des bases de calculs qui ont plus de 200 ans mais a pour défaut selon nous de s'imposer par analogies successives, comme nous le verrons, avec les théories relativistes et quantiques actuelles. Même si cela n'est par dramatique en soit, la théorie peut sembler perdre un peu son autonomie propre même si au fait il n'en est rien. Il ne faut alors donc pas être surpris en mal lors du parcours des développements qui vont suivre...

La principale particularité de la théorie des cordes est que son ambition ne s'arrête pas à cette réconciliation, mais qu'elle prétend réussir à unifier les quatre interactions élémentaires connues, on parle de théorie du tout, tout en reposant sur deux hypothèses :

H1. Les briques fondamentales de l'Univers ne seraient pas des particules ponctuelles mais des sortes de cordelettes vibrantes possédant une tension à la manière d'un élastique. Ce que nous percevons comme des particules de caractéristiques (masse, etc.) distinctes ne seraient que des cordes vibrant différemment. Avec cette hypothèse, les théories des cordes admettent une échelle minimale et permettent d'éviter facilement l'apparition de certaines quantités infinies qui sont inévitables dans les théories quantiques de champs habituelles.

H2. L'Univers contiendrait plus de trois dimensions spatiales. Certaines d'entre elles, repliées sur elles-mêmes, passant inaperçues à nos échelles (par une procédure appelée "réduction dimensionnelle").

Malgré de premiers résultats partiels très prometteurs ainsi qu'une richesse mathématique remarquable la théorie des cordes reste toutefois incomplète. D'une part, une multitude de solutions aux équations de la théorie des cordes existe, ce qui pose un problème de sélection de notre Univers et, d'autre part, même si beaucoup de modèles voisins ont pu être obtenus, aucun d'entre eux ne permet de rendre compte précisément du modèle standard de la physique des particules...

Ceci ayant été dit... commençons notre initiation :

ÉQUATION D'ONDE NON RELATIVISTE D'UNE CORDE TRANSVERALE

L'objectif ici va être dans un premier temps de déterminer l'équation d'onde non relativiste d'une corde excitée transversalement à l'aide des calculs que nous avions effectué en mécanique ondulatoire. Une fois ce travail effectué, nous passerons à l'étude des cordes relativistes et nous verrons que leur équation d'onde, au même titre que la version non relativiste, peuvent s'assimiler à l'équation de conservation du courant que nous avions démontré en électrodynamique.

Nous commençons en rappelant la forme de l'action que nous avions obtenue dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire pour une corde non-relativiste :

  (52.1)

avec donc :

  (52.2)

Maintenant, de manière identique à ce que nous avons fait dans le chapitre de Mécanique Analytique (ainsi que dans celui de Physique Quantique Des Champs), nous allons définir une notation par une analogie aux moments canoniques de la corde :

  (52.3)

avec . Il s'agit simplement des dérivées de la densité lagrangienne en fonction respectivement du premier et second argument. De manière plus explicite, nous avons alors directement en faisant le calcul (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire):

  (52.4)

Ainsi, si nous récrivons le variationnel d'action obtenu dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire avec cette notation canonique, nous obtenons :

  (52.5)

Faisant usage des mêmes méthodes que dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire, notre variationnel s'exprime après simplification à nouveau sous la forme de trois termes :

  (52.6)

Les conditions pour trouver l'extremum (selon le principe de moindre action) restent les mêmes que celles vues dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire. Ainsi, pour le troisième terme, nous avons bien l'équation d'onde d'une corde excitée de manière transversale donnée avec la forme canonique par :

  (52.7)

Il faut bien observer (car c'est remarquable!) aussi que comme dans le chapitre Mécanique Analytique, le moment canonique tel que défini plus haut, coïncide parfaitement (le hasard fait bien les choses...) avec la densité de quantité de moment que nous avions obtenue dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire. Effectivement:

  (52.8)

Ainsi, par analogie avec la mécanique analytique (où rappelons-le, la dérivée du lagrangien par rapport à la vitesse donne la quantité de mouvement), joue bien le rôle de la vitesse et ainsi la dérivée de la densité lagrangienne par celui-ci donne la densité de quantité de mouvement !!!

Rappelons aussi un autre point qui a été vu dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire, l'extremum de l'action () nous impose les conditions de Neumann, ce qui nous amène à écrire .

De plus, il convient aussi de rappeler pour ce qui va suivre, que pour les conditions de Dirichlet nous avions aussi .

ÉQUATION D'ONDE RELATIVISTE D'UNE CORDE TRANSVERSALE

Nous allons maintenant déterminer l'action d'une corde relativiste. Nous pouvons, pour poser les bases de notre étude, nous rappeler qu'une particule ponctuelle trace une ligne dans l'espace-temps (chaque point de la ligne étant repéré par une coordonnée temporelle et trois spatiales). Dès lors, par extension, une corde qui est un élément bidimensionnel (si nous la considérons sans épaisseur) trace une surface dans l'espace-temps.

Ainsi, au même titre que la ligne que trace une particule dans l'espace-temps est appelée une "ligne d'Univers" (cf. chapitre de Relativité Restreinte), la surface tracée par une corde sera appelée par analogie une "surface d'Univers".

Une corde fermée dans l'espace-temps de Minkowski trace, par exemple, un tube, alors qu'une corde ouverte tracera une bande :

  (52.10)

Sur la figure ci-dessus, à deux dimensions spatiales et une temporelle, la corde est immobile dans notre espace courant. Elle se meut que dans l'espace-temps (car le temps s'écoule sur l'axe vertical) mais pas dans l'espace dans l'exemple-ci-dessus (il faudrait une composante spatiale supplémentaire pour voir un tel mouvement).

Lors de notre démonstration de l'équation du mouvement dans le chapitre de Relativité Générale, nous avons reparamétré la ligne d'Univers de la particule à l'aide d'un paramètre qui était le temps propre de la particule t. Effectivement il suffit de se rappeler des équations paramétriques qui représentent des courbes. Par exemple avec Maple:

> with(plots):
> spacecurve([cos(t),sin(t),t],t=0..4*Pi,axes=boxed);

  (52.11)

et la même procédure est valable pour une ligne en quatre dimensions (espace+temps).

Nous étions ainsi arrivés à construire l'expression de l'action S de celle-ci avant d'y appliquer le principe variationnel.

Nous allons faire de même pour une corde relativiste à la différence que nous allons reparamétrer les surfaces engendrées par les cordes cette fois-ci. Les contraintes que nous nous imposerons sont que les paramètres choisis devront aussi (en faisant référence au cas de la particule) être des invariants relativistes.

Comme nous l'avons donc vu en relativité générale, une ligne d'Univers peut être reparamétrée naturellement en utilisant seulement un paramètre (abscisse curviligne). Une surface dans l'espace est cependant un objet bidimensionnel, ainsi nous supposerons qu'il requiert par extension deux paramètres (un de plus) pour être décrit complètement.

Effectivement, nous devinons, qu'un des deux paramètres sera le temps propre (pour faire évoluer la surface dans le temps), le second paramètre permettra de donner une "épaisseur" à ce qui ne serait qu'une ligne d'Univers s'il n'existait pas. Il suffirait dans un espace à trois dimensions que ce deuxième paramètre ait les dimensions d'une longueur pour générer une surface mais dans l'espace-temps à quatre dimensions il faut que second paramètre ait les unités d'une surface.

Etant donné une surface paramétrée, nous pouvons dessiner sur celle-ci les isolignes des paramètres (les lignes ou les deux paramètres sont constants sur toute la surface). Ces isolignes couvrent la surface comme une grille (voir figure un peu plus bas).

L'équation paramétrique d'un volume requiert dans l'espace trois paramètres comme nous l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Analytique. Ainsi, si une surface paramétrée peut dans l'espace euclidien être représentée par un vecteur du type :

  (52.12)

lors d'une reparamétrisation et en faisant usage de la notation tensorielle de l'espace-temps de Minkowski tel que vu dans le chapitre de Relativité Générale, nous aurons (en nous restreignent pour l'instant aux cas particulier de deux dimensions spatiales et une temporelle) :

  (52.13)

Ainsi, la surface est l'image des paramètres . Alternativement, nous pouvons voir les composantes comme les coordonnées de temps et d'espace de la surface, au moins localement!

Nous voulons maintenant calculer la surface d'un élément de n'importe quel-type d'espace au même type que nous l'avions fait pour l'abscisse curviligne de n'importe quelle ligne d'Univers dans le chapitre de Relativité Générale. Se pose alors la question de la forme de l'élément différentiel de surface ??? Faut-il prendre la multiplication du différentiel des deux paramètres choisis précédemment pour un carré, un rectangle, un cercle ou autre ?

Au fait, nous allons reporter notre choix sur un parallélogramme ! Ce choix peut sembler complètement arbitraire pour l'instant mais comme nous allons le voir quelques lignes plus loin, ce choix coïncide pour des raisons mathématiques à ce que nous appelons la "métrique induite" de la surface elle-même (résultat assez remarquable!).

Ainsi, notons et les côtés du parallélogramme. Ils sont l'image par des couples et respectivement :

  (52.14)

Ainsi, nous pouvons écrire :

  (52.15)

et donc :

  (52.16)

Maintenant calculons la surface dA (nous ne prendrons pas la lettre S pour éviter la confusion avec l'action dans ce chapitre) du parallélogramme (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

  (52.17)

en utilisant le produit scalaire, cela peut se récrire :

  (52.18)

en utilisant, les relations établies précédemment cela peut s'écrire :

  (52.19)

cette dernière relation est forme générale d'un élément de surface d'une nappe paramétrée. La surface totale étant évidemment donnée par :

  (52.20)

Au même titre que dans le cadre du principe de moindre action nous avons cherché l'optimum du chemin optimum pour une particule parcourant une ligne d'Univers, pour une corde, nous aurons à optimiser la surface A en minimisant la fonction .

Cette dernière forme est cependant un peu lourde et ne faire ressortir de particulier ou de choses similaires à quelque forme déjà connue dans un autre domaine de la physique. Nous allons voir qu'en creusant un peu il est possible d'obtenir quelque chose de pas mal du tout.

Considérons maintenant un vecteur et sa longueur (norme) au carré donnée par son produit scalaire :

  (52.21)

Attention à l'avenir de ne pas "voir" le s comme étant au carré dans le ds (comme c'est le cas en relativité restreinte et générale) mais rappelez-vous bien qu'il s'agit du ds en entier qui est mis au carré (la notation peut amener à confusion...).

Le vecteur peut être exprimé sous forme de termes de dérivées partielles de , tel que nous obtenions sa différentielle totale exacte (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

  (52.22)

Ainsi, la longueur au carré de peut s'exprimer sous la forme tensorielle :

  (52.23)

ce que nous noterons par convention à l'avenir :

  (52.24)

La quantité est appelée la "métrique induite de la surface paramétrée" (car contient un produit scalaire ce qui en toute généralité fait appel à une métrique... d'où le terme "induite") et il s'agit donc d'une matrice de dimensions . Il est évident que le choix de cette dénomination provient de la ressemblance avec la métrique habituelle telle que nous l'avons définie lors de notre étude du calcul tensoriel et de son utilisation en relativité restreinte et générale.

La matrice à donc par construction et définition la forme :

  (52.25)

Revenons maintenant à notre expression de la surface engendrée par la corde :

  (52.26)

et calculons rapidement le déterminant (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) de la matrice :

  (52.27)

et donc quoi ? Eh ben voilà :

  (52.28)

Ainsi, le choix du parallélogramme comme surface élémentaire s'explique mieux ici!

Maintenant, nous allons adopter les écritures traditionnelles de la théorie des cordes relativement à l'expression de la surface. Ainsi, au même titre que les coordonnées d'espace-temps sont décrites en relativité restreinte par le quadrivecteur temps-espace:

  (52.29)

nous décrirons les surfaces d'Univers par (nous passons maintenant à l'écriture faisant usage des 4 dimensions de l'espace-temps):

  (52.30)

Cette notation nous évitera à l'avenir d'avoir à confondre, si la théorie nous y amène, les coordonnes d'espace-temps traditionnelles avec la fonction image de la surface d'Univers et ce d'autant plus que les physiciens étant un peu flemmard abrègent parfois cette dernière ... d'où le choix de la majuscule.

Il est donc beaucoup plus convenable et sage de changer de notation...

A partir de maintenant, nous appellerons "coordonnées de corde" la surface d'Univers décrite par .

Ce petit changement de notation ne change évidemment pas l'interprétation de la fonction image. Etant donnée un couple associant élément de temps propre dans l'ensemble et élément de surface des pré-images, ce point est projeté sur un élément de surface de l'espace-temps de la corde de coordonnées:

  (52.31)

ACTION DE NAMBU-GOTO

Dans le cas d'une surface d'univers les paramètres sont donc par convention et , où comme en relativité restreinte et général le temps propre peut être compris dans l'intervalle:

  (52.32)

et le deuxième paramètre par contre ne peut être que positif puisqu'il s'agit d'une surface:

  (52.33)

et les coordonnées de cette surface qui correspondent à l'espace des paramètres sont donc:

  (52.34)

Où encore une fois pour rappel, le paramètre est considéré comme la variable décrivant l'écoulement du temps (il en faut bien une!), et la variable décrivant l'extension dans l'espace d'une corde (i.e. la condition correspond à la longueur finie de cette corde).

Les paramètres décrivent ainsi une surface de l'espace des pré-images :

  (52.35)

Les extrémités de la corde ont une valeur constante. Cependant, comme le temps s'écoule et que les extrémités de la corde sur la surface d'Univers se meuvent il faut noter une condition essentielle de la surface d'Univers concernant les deux bouts d'une corde ouverte :

  (52.36)

Remarque: Cette condition se fait sur la composante car elle correspond à la composante du quadrivecteur d'espace-temps qui n'est d'autre, en unités naturelles, que t (le temps propre). Dès lors, le temps s'écoule et n'est jamais constant d'où le fait d'imposer cette dérivée comme différente de zéro.

Et en utilisant les conventions habituelles en physique pour la notation des dérivées par rapport au temps ou composante spatiale, nous convenons d'adopter aussi maintenant les écritures suivantes :

  (52.37)

où puisque:

  (52.38)

alors:

  (52.39)

La surface s'écrit donc:

  (52.40)

Cependant, il y a un problème ici ! Effectivement, regardons si le radicante (terme sous la racine) a une réalité physique tangible...

Pour cela, il faut d'abord considérer la partie gauche de la figure ci-dessous qui représente la surface (nappe) décrite par une corde ouverte :

  (52.41)

En chaque point P de cette nappe (supposée dérivable en tout point) il existe une infinité de tangentes, toutes dans le même plan, que nous noterons pour l'exemple et qui forment donc une surface tangente au point P.

Maintenant, comme l'espace dans lequel la nappe de la corde est plongée dans une base orthonormale spatiale et temporelle, les vecteurs tangents peuvent alors aussi à leur tour être décomposés dans une base orthogonale spatiale et temporelle locale bidimensionnelle au point P tel que les vecteurs de cette base soient deux vecteurs:

  (52.42)

tous les autres vecteurs tangents s'exprimant comme combinaison linéaire de ceux-ci.

Cependant un problème subsiste dans notre décomposition (...) : les unités des vecteurs de la base orthogonale locale au point P ont des unités qui diffèrent. Pour cela, rajoutons un facteur de dimensionnement à la composante spatiale (cela est arbitraire car la conclusion sera identique quelque soit la composante sur laquelle vous mettez le facteur de dimensionnement) :

  (52.43)

ce facteur de dimensionnement peut aussi être utilisé pour obtenir tous les vecteurs tangents tel que :

  (52.44)

Effectivement, si , alors pour nous obtenons le vecteur et pour le vecteur . Et pour toutes les valeurs intermédiaires, nous obtenons tous les vecteurs tangents comme indiqué sur la partie gauche de la figure précédente.

Maintenons, rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte qu'il existait selon l'abscisse curviligne:

  (52.45)

des lignes d'Univers de type lumière (), espace () ou temps () si nous considérions les quadrivecteurs .

Il doit en être de même par analogie pour les vecteurs tangents à la surface et donc données par:

  (52.46)

Ainsi :

  (52.47)

ce qui correspond à une équation du deuxième degré en , doit pour avoir des valeurs négatives (surface d'Univers de type temps) ou positives (surface d'Univers de type espace) avoir au moins deux racines (voir partie droite de la figure précédente). Cela nous ramène à la condition que le discriminant soit strictement positif (cf. chapitre de Calcul Algèbrique) :

  (52.48)

Soit :

  (52.49)

sous forme condensée cela nous ramène à écrire :

  (52.50)

La surface doit donc alors s'écrire en fin de compte :

  (52.51)

si nous voulons que le radicante ait un sens physique.

Rappelons maintenant que l'action S d'une particule ponctuelle est proportionnelle à sa ligne d'Univers. Ainsi par analogie, l'action S d'une corde sera proportionnelle à la surface d'Univers :

  (52.52)

ce qui donne :

  (52.53)

Ce qui nous amène très fréquemment dans la littérature à trouver l'action d'une corde sous la forme suivante :

  (52.54)

Relation à comparer avec le lagrangien d'une particule libre (cf. chapitre de Mécanique Analytique) et la densité lagrangienne d'un champ (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs) :

et   (52.55)

La fonctionnelle S a pour unités celles d'une surface. Cela parce que les ont une unité de longueur et dans la racine chacun est à la puissance quatrième et que les unités s'annulent entre l'intérieure de la racine et les différentielles en dehors.

Maintenant, par définition même de l'action, les unités que nous devons obtenir doivent correspondre à celle d'une énergie multiplié par le temps, des joules J ou en utilisant le système international, des . Pour l'instant, nous avons :

  (52.56)

Pour obtenir pour l'action les unités que nous voulons, il nous faut alors multiplier l'expression de la surface A par une quantité ayant pour unités des . Pour choisir ces quantités, nous allons nous inspirer de notre étude la mécanique ondulatoire. Quand nous avions travaillé avec des cordes (non relativistes) nous avions vu que les propriétés à prendre en comptent étaient la tension et la vitesse de l'onde de propagation de la corde. Nous allons donc faire l'essai de prendre le rapport tension/vitesse suivant :

  (52.57)

où apparaît donc la "tension de la corde au repos" et la vitesse de la lumière.

Ainsi, "l'action de Nambu-Goto" s'écrit maintenant :

  (52.58)

Maintenant, au même titre que nous avions défini plus haut la métrique induite d'une surface purement spatiale,

Dès lors :

  (52.59)

ce que nous pouvons aussi écrire sous forme matricielle :

  (52.60)

en utilisant le déterminant de cette matrice :

  (52.61)

nous pouvons alors récrire l'action d'une corde relativiste sous la forme finale condensée suivante :

  (52.62)

qui n'est d'autre que "l'action de Nambu-Goto condensée" d'une corde relativiste.

Nous allons maintenant obtenir l'équation du mouvement en faisant varier l'action. Nous allons pour cela nous inspirer exactement des méthodes vues lors de la détermination au début de chapitre de l'équation d'onde non-relativiste d'une corde.

Ainsi, nous récrivons l'action de Nambu-Goto en définissant une densité lagrangienne tel que :

  (52.63)

où est donc définie par :

  (52.64)

Nous allons maintenant appliquer le principe variationnel sur l'action afin d'en tirer l'équation de mouvement d'une corde. Le développement et l'approximation sont parfaitement similaires à celles vue en mécanique ondulatoire pour la corde non relativiste. Rappelons que nous avions obtenu comme densité lagrangienne et comme expression de l'action :

et   (52.65)

et que l'application du principe variationnel nous avait donné :

  (52.66)

Or, ce que nous n'avions pas vu en mécanique ondulatoire, c'est que cette dernière relation pouvait facilement s'écrire aussi à partir de la densité lagrangienne :

  (52.67)

Dès lors, pour la corde relativiste, nous avons une forme identique en appliquant des développements en tout points similaires (et ce même si la densité lagrangienne à une forme différente) :

  (52.68)

et comme nous l'avons faite au début de ce chapitre pour les cordes non relativistes, nous allons introduire les moments canoniques (densités d'impulsion/quantité de mouvement si vous préférez) de la corde en optant pour la notation :

  (52.69)

où dans les détails, nous obtenons très facilement (c'est une simple dérivée mais si vous le souhaitez en nous contactant, nous pouvons vous le détailler) les moments longitudinaux et transverses :

  (52.70)

en faisant usage de cette notation, nous pouvons alors écrire :

  (52.71)

Faisant usage des mêmes méthodes que celles vue dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire, notre variationnel s'exprime après simplification à nouveau sous la forme de trois termes :

  (52.72)

Les conditions pour trouver l'extremum (selon le principe de moindre action) restent les mêmes qu'en mécanique ondulatoire. Ainsi, pour le troisième terme, nous avons bien l'équation d'onde d'une corde excitée de manière transversale donnée avec la forme canonique donnée par :

  (52.73)

Il s'agit de l'équation du mouvement (ou onde) d'une corde ouverte ou même fermé (car finalement dans les développements précédents à aucun moments nous n'avions contraints les termes à êtres ouverts ou fermés).

Cette équation est horriblement difficile à résoudre mais le choix d'une paramétrisation adéquate peut néanmoins simplifier la tâche

LAGRANGIEN D'UNE CORDE

Rappelons que nous avons:

  (52.74)

et qu'avec ce choix, nous avons donc:

  (52.75)

Maintenant, utilisons ce que nous avons vu dans le chapitre de Géométrie Différentielle avec le trièdre de Frenet:

  (52.76)

où  est donc la tangente à la surface d'Univers à un instant t au voisinage d'un point donné. Nous avions par ailleurs montré dans ce même chapitre que par définition:

  (52.77)

Or, nous pouvons écrire:

  (52.78)

où il ne faut pas oublier que est prix à un temps t fixé. Comme les lignes de la surface d'Univers de constante t décrivent  la corde, alors  est tangent à la corde.

Et comme:

  (52.79)

Alors  est colinéaire à  et donc aussi tangent à la corde (information que nous n'avions pas quelques lignes plus haut!). Ces petites constations étant faites, revenons à:

  (52.80)

cela devient déjà un peu plus intéressant!

Considérons maintenant le schéma suivant:

  (52.81)

où  est un vecteur quelconque et  un vecteur unitaire (sans dimensions) et , la projection orthogonale de  sur . Nous avons alors (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

  (52.82)

Or, si nous recherchons le vecteur  il faudra multiplier le tout par :

  (52.83)

enfin, si nous recherchons l'expression du vecteur  il vient immédiatement:

  (52.84)

Dès lors, par analogie, nous pouvons écrire:

  (52.85)

où  est donc perpendiculaire à  et a comme unités celle d'une vitesse. Par construction,  est donc la vitesse transversale à la corde à un instant t donné puisque  est tangent à celle-ci. Nous noterons alors:

  (52.86)

Mettons maintenant, pour des besoins ultérieurs, la norme au carré de cette dernière relation (attention on fait le traitement des composantes des vecteurs directement en généralisant à la notation vectorielle!):

  (52.87)

et si nous revenons maintenant à:

  (52.88)

La lagrangien associé est alors directement (ne pas confondre avec la densité lagrangienne!):

  (52.89)

puisque:

  (52.90)

Le lagrangien de la relation antéprécédente est considéré par les spécialistes de la théorie de cordes comme la généralisation naturelle du lagrangien de la particule libre obtenu dans le chapitre de Relativité Restreinte:

  (52.91)