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equation

ASTRONOMIE | ASTROPHYSIQUE | RELATIVITÉ RESTREINTE
RELATIVITÉ GÉNÉRALE
| COSMOLOGIE | THÉORIE DES CORDES

52. THÉORIE DES CORDES

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:23:17 | {oUUID 1.724}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Il faut bien considérer dans le présent chapitre que la théorie des cordes (et in extenso des supercordes) est actuellement spéculative et n'a pas pu être vérifiée (confirmée) ni falsifiée par l'expérience comme le veut la démarche scientifique. Il convient donc de prendre avec prudence les développements qui vont suivre et d'être le plus critique possible !

Il s'agit par ailleurs d'une théorie (nous ne pouvons pas parler de modèle actuellement) d'unification des forces qui n'est pas nouvelle puisqu'elle a bientôt plus de trente ans et qui tente de combler les défauts du modèle standard des particules et aussi de réunir la relativité générale et physique quantique (ce qui n'est pas sans mal puisque cette dernière est dépendante du fond contrairement à la relativité générale). Elle est une des nombreuses théories qui existent en physique moderne et qui tentent en ce début de 21ème siècle cette unification (il en existe une dizaine d'autres plus ou moins connues).

Remarque: Si ce sujet est traité dans la section de cosmologie et non d'atomistique c'est uniquement pour une raison pédagogique. Effectivement, le formalisme de base de la théorie des cordes est beaucoup plus proche de la mécanique relativiste (relativité restreinte et générale) que de celle de la physique quantique ondulatoire ou de la physique quantique des champs. Il nous a semblé donc plus adapté, à ce jour (!), de proposer une continuité dans le formalisme mathématique et son interprétation plutôt qu'une continuité thématique avec une approche relativement différente de celle du formalisme habituel de la physique quantique.

L'avantage indéniable de la théorie des cordes, outre le fait que mathématiquement elle soit assez indigeste mais pas vraiment pire que la relativité générale, est qu'elle permet d'éviter dans un certain ordre... de nombreuses singularités dans les calculs à l'inverse d'autres théories contemporaines qui considèrent les objets comme des points (donc de volume et longueur nuls...).

Cette théorie, bien qu'étant esthétique et remarquable dans le sens qu'elle utilise pour ses fondements des bases de calculs qui ont plus de 200 ans, a pour défaut selon nous de s'imposer par analogies successives, comme nous le verrons, avec les théories relativistes et quantiques actuelles. Même si cela n'est pas dramatique en soi, la théorie peut sembler perdre un peu de son autonomie propre même si au fait il n'en est rien. Il ne faut donc pas être surpris en mal lors du parcours des développements qui vont suivre...

La principale particularité de la théorie des cordes est que son ambition ne s'arrête pas à cette réconciliation, mais qu'elle prétend réussir à unifier les quatre interactions élémentaires connues, on parle de théorie du tout, tout en reposant sur deux hypothèses:

H1. Les briques fondamentales de l'Univers ne seraient pas des particules ponctuelles, mais des sortes de cordelettes vibrantes possédant une tension à la manière d'un élastique. Ce que nous percevons comme des particules de caractéristiques (masse, etc.) distinctes ne seraient que des cordes vibrant différemment. Avec cette hypothèse, les théories des cordes admettent une échelle minimale et permettent d'éviter facilement l'apparition de certaines quantités infinies qui sont inévitables dans les théories quantiques des champs habituelles.

H2. L'Univers contiendrait plus de trois dimensions spatiales. Certaines d'entre elles, repliées sur elles-mêmes, passant inaperçues à nos échelles (par une procédure appelée "réduction dimensionnelle").

Malgré de premiers résultats partiels très prometteurs ainsi qu'une richesse mathématique remarquable la théorie des cordes reste toutefois incomplète. D'une part, une multitude de solutions aux équations de la théorie des cordes existe, ce qui pose un problème de sélection de notre Univers et, d'autre part, même si beaucoup de modèles voisins ont pu être obtenus, aucun d'entre eux ne permet de rendre compte précisément du modèle standard de la physique des particules...

Ceci étant dit... commençons notre initiation:

ÉQUATION D'ONDE NON RELATIVISTE D'UNE CORDE TRANSVERSALE

L'objectif ici va être dans un premier temps de déterminer l'équation d'onde non relativiste d'une corde excitée transversalement à l'aide des calculs que nous avions effectués dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire. Une fois ce travail effectué, nous passerons à l'étude des cordes relativistes et nous verrons que leur équation d'onde, au même titre que la version non relativiste, peut s'assimiler à l'équation de conservation du courant que nous avions démontrée en électrodynamique.

Nous commençons en rappelant la forme de l'action que nous avions obtenue dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire pour une corde non relativiste:

equation   (52.1)

avec donc:

equation   (52.2)

Maintenant, de manière identique à ce que nous avons fait dans le chapitre de Mécanique Analytique (ainsi que dans celui de Physique Quantique Des Champs), nous allons définir une notation par une analogie aux moments canoniques de la corde:

equation   (52.3)

avec equation. Il s'agit simplement des dérivées de la densité lagrangienne en fonction respectivement du premier et second argument. De manière plus explicite, nous avons alors directement en faisant le calcul (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire):

equation   (52.4)

Ainsi, si nous réécrivons le variationnel d'action obtenu dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire avec cette notation canonique, nous obtenons:

equation   (52.5)

Faisant usage des mêmes méthodes que dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire, notre variationnel s'exprime après simplification à nouveau sous la forme de trois termes:

equation   (52.6)

Les conditions pour trouver l'extremum (selon le principe de moindre action) restent les mêmes que celles vues dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire. Ainsi, pour le troisième terme, nous avons bien l'équation d'onde d'une corde excitée de manière transversale donnée avec la forme canonique par:

equation   (52.7)

Remarque: Il convient bien évidemment de remarquer que cette forme d'écriture va considérablement nous faciliter la tâche!

Il faut bien observer (car c'est remarquable!) aussi que comme dans le chapitre de Mécanique Analytique, le moment canonique equation tel que défini plus haut, coïncide parfaitement (le hasard fait bien les choses...) avec la densité de quantité de mouvement que nous avions obtenue dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire. Effectivement:

equation   (52.8)

Ainsi, par analogie avec la mécanique analytique (où rappelons-le, la dérivée du lagrangien par rapport à la vitesse donne la quantité de mouvement), equation joue bien le rôle de la vitesse et ainsi la dérivée de la densité lagrangienne par celui-ci donne la densité de quantité de mouvement equation !!!

Rappelons aussi un autre point qui a été vu dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire, l'extremum de l'action (equation) nous impose les conditions de Neumann, ce qui nous amène à écrire equation.

De plus, il convient aussi de rappeler pour ce qui va suivre, que pour les conditions de Dirichlet nous avions aussi equation.

Remarque: Dans le cadre de la théorie des cordes relativistes à plus de 3 dimensions, il est possible de généraliser le concept de conditions aux limites en considérant les contraintes dans l'espace comme des hypersurfaces nommées Dp-branes à p dimensions. Les conditions aux limites de Dirichlet usuelles correspondent alors à la situation où les bouts d'une corde sont contraints par une 0-brane. La condition de Neumann pour une corde libre dans p dimensions correspond à une corde contrainte sur une Dp-brane.

equation
Figure: 52.1 - Illustration des Dp-branes

ÉQUATION D'ONDE RELATIVISTE D'UNE CORDE TRANSVERSALE

Nous allons maintenant déterminer l'action d'une corde relativiste. Nous pouvons, pour poser les bases de notre étude, nous rappeler qu'une particule ponctuelle trace une ligne dans l'espace-temps (chaque point de la ligne étant repéré par une coordonnée temporelle et trois spatiales). Dès lors, par extension, une corde qui est un élément bidimensionnel (si nous la considérons sans épaisseur) trace une surface dans l'espace-temps.

Ainsi, au même titre que la ligne que trace une particule dans l'espace-temps est appelée une "ligne d'Univers" (cf. chapitre de Relativité Restreinte), la surface tracée par une corde sera appelée par analogie une "surface d'Univers".

Une corde fermée dans l'espace-temps de Minkowski trace, par exemple, un tube, alors qu'une corde ouverte tracera une bande:

equation
Figure: 52.2 - Surface d'Univers générée par une corde ouverte/respectivement fermée

Sur la figure ci-dessus, à deux dimensions spatiales et une temporelle, la corde est immobile dans notre espace courant. Elle ne se meut que dans l'espace-temps (car le temps s'écoule sur l'axe vertical) mais pas dans l'espace dans l'exemple ci-dessus (il faudrait une composante spatiale supplémentaire pour voir un tel mouvement).

Remarques:

R1. Attention! Rappelez-vous bien que le schéma ci-dessous est dans trois dimensions alors que l'espace-temps compte lui quatre dimensions.

R2. Rappelez-vous également que le vecteur temps de la base orthogonale est toujours perpendiculaire à toutes les autres composantes spatiales (cette remarque sera utile lors de notre démonstration de l'action de Nambu-Goto).

Lors de notre démonstration de l'équation du mouvement dans le chapitre de Relativité Générale, nous avons reparamétré la ligne d'Univers de la particule à l'aide d'un paramètre qui était le temps propre de la particule t. Effectivement, il suffit de se rappeler des équations paramétriques qui représentent des courbes. Par exemple avec Maple 4.00b:

> with(plots):
> spacecurve([cos(t),sin(t),t],t=0..4*Pi,axes=boxed);

equation
Figure: 52.3 - Rappel élémentaire illustré de la paramétrisation d'une courbe

et la même procédure est valable pour une ligne en quatre dimensions (espace + temps).

Nous étions ainsi arrivés à construire l'expression de l'action S de celle-ci avant d'y appliquer le principe variationnel.

Nous allons faire de même pour une corde relativiste à la différence que nous allons reparamétrer les surfaces engendrées par les cordes cette fois-ci. Les contraintes que nous nous imposerons sont que les paramètres choisis devront aussi (en faisant référence au cas de la particule) être des invariants relativistes.

Comme nous l'avons donc vu dans le chapitre de Relativité Générale, une ligne d'Univers peut être reparamétrée naturellement en utilisant seulement un paramètre (abscisse curviligne). Une surface dans l'espace étant cependant un objet bidimensionnel, nous supposerons qu'il requiert par extension deux paramètres equation (un de plus) pour être décrit complètement.

Effectivement, nous devinons, qu'un des deux paramètres sera le temps propre (pour faire évoluer la surface dans le temps), le second paramètre permettra de donner une "épaisseur" à ce qui ne serait qu'une ligne d'Univers s'il n'existait pas. Il suffirait dans un espace à trois dimensions que ce deuxième paramètre ait pour générer une surface les dimensions d'une longueur mais dans l'espace-temps à quatre dimensions il faut que second paramètre ait les unités d'une surface.

Étant donnée une surface paramétrée, nous pouvons dessiner sur celle-ci les isolignes des paramètres equation (les lignes où les deux paramètres sont constants sur toute la surface). Ces isolignes couvrent la surface comme une grille (voir figure un peu plus bas).

L'équation paramétrique d'un volume requiert dans l'espace trois paramètres comme nous l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Analytique. Ainsi, si une surface paramétrée peut dans l'espace euclidien être représentée par un vecteur du type:

equation   (52.9)

lors d'une reparamétrisation et en faisant usage de la notation tensorielle de l'espace-temps de Minkowski telle que vue dans le chapitre de Relativité Générale, nous aurons (en nous restreignant pour l'instant aux cas particuliers de deux dimensions spatiales et une temporelle):

equation   (52.10)

Ainsi, la surface est l'image des paramètres equation. Alternativement, nous pouvons voir les composantes equation comme les coordonnées de temps et d'espace de la surface, au moins localement!

Nous voulons maintenant calculer la surface d'un élément de n'importe quel type d'espace au même titre que nous l'avions fait pour l'abscisse curviligne de n'importe quelle ligne d'Univers dans le chapitre de Relativité Générale. Se pose alors la question de la forme de l'élément différentiel de surface ??? Faut-il prendre la multiplication du différentiel des deux paramètres choisis précédemment pour un carré, un rectangle, un cercle ou autre ?

Au fait, nous allons reporter notre choix sur un parallélogramme ! Ce choix peut sembler complètement arbitraire pour l'instant mais comme nous allons le voir quelques lignes plus loin, ce choix coïncide pour des raisons mathématiques à ce que nous appelons la "métrique induite" de la surface elle-même (résultat assez remarquable!).

Ainsi, notons equation et equation les côtés du parallélogramme. Ils sont l'image par equation des couples equation et respectivement equation:

equation
Figure: 52.4 - Configuration pour l'étude d'un élément de surface élémentaire

Ainsi, nous pouvons écrire:

equation   (52.11)

et donc:

equation   (52.12)

Maintenant calculons la surface dA (nous ne prendrons pas la lettre S pour éviter la confusion avec l'action dans ce chapitre) du parallélogramme (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (52.13)

en utilisant le produit scalaire, cela peut se réécrire:

equation   (52.14)

en utilisant, les relations établies précédemment cela peut s'écrire:

equation   (52.15)

cette dernière relation est la forme générale d'un élément de surface d'une nappe paramétrée. La surface totale étant évidemment donnée par:

equation   (52.16)

Au même titre que dans le cadre de l'étude principe de moindre action (cf. chapitre de Mécanique Analytique) nous avions cherché le chemin optimum pour une particule parcourant une ligne d'Univers, pour une corde, nous aurons à optimiser la surface A en minimisant la fonction equation.

Cette dernière forme est cependant un peu lourde et ne fait rien ressortir de particulier ou de similaire à quelque forme déjà connue dans un autre domaine de la physique. Nous allons voir cependant qu'en creusant un peu il est cependant possible d'obtenir quelque chose de pas mal du tout.

Considérons maintenant un vecteur equation et sa longueur (norme) au carré donnée par son produit scalaire:

equation   (52.17)

Attention à l'avenir de ne pas "voir" le s comme étant élevé au carré dans le ds (comme c'est le cas en relativité restreinte et générale) mais rappelez-vous bien qu'il s'agit du ds en entier qui est mis au carré (la notation peut amener à confusion...).

Le vecteur equation peut être exprimé sous forme de termes de dérivées partielles de equation, tel que nous obtenions sa différentielle totale exacte (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (52.18)

Ainsi, la longueur au carré de equation peut s'exprimer sous la forme tensorielle:

equation   (52.19)

ce que nous noterons par convention à l'avenir:

equation   (52.20)

La quantité equation est appelée la "métrique induite de la surface paramétrée" (car contient un produit scalaire ce qui en toute généralité fait appel à une métrique... d'où le terme "induite") et il s'agit donc d'une matrice de dimensions equation. Il est évident que le choix de cette dénomination provient de la ressemblance avec la métrique habituelle telle que nous l'avons définie lors de notre étude du calcul tensoriel et de son utilisation en relativité restreinte et générale.

La matrice equation a donc par construction et définition la forme:

equation   (52.21)

Revenons maintenant à notre expression de la surface engendrée par la corde:

equation   (52.22)

et calculons rapidement le déterminant (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) de la matrice equation:

equation   (52.23)

et donc quoi ? Eh ben voilà:

equation   (52.24)

Ainsi, le choix du parallélogramme comme surface élémentaire s'explique mieux ici!

Maintenant, nous allons adopter les écritures traditionnelles de la théorie des cordes relativement à l'expression de la surface. Ainsi, au même titre que les coordonnées d'espace-temps sont décrites en relativité restreinte par le quadrivecteur temps-espace:

equation   (52.25)

nous décrirons les surfaces d'Univers par (nous passons maintenant à l'écriture faisant usage des 4 dimensions de l'espace-temps):

equation   (52.26)

Cette notation nous évitera à l'avenir d'avoir à confondre, si la théorie nous y amène, les coordonnées d'espace-temps equation traditionnelles avec la fonction image de la surface d'Univers equation et ce d'autant plus que les physiciens étant un peu flemmards abrègent parfois cette dernière equation... d'où le choix de la majuscule.

Il est donc beaucoup plus convenable et sage de changer de notation...

À partir de maintenant, nous appellerons "coordonnées de corde" la surface d'Univers décrite par equation.

Ce petit changement de notation ne change évidemment pas l'interprétation de la fonction image. Étant donnée un couple equation associant élément de temps propre dans l'ensemble et élément de surface des pré-images, ce point est projeté sur un élément de surface de l'espace-temps de la corde de coordonnées:

equation   (52.27)

ACTION DE NAMBU-GOTO

Dans le cas d'une surface d'Univers les paramètres sont donc par convention equation et equation, où comme en relativité restreinte et générale le temps propre peut être compris dans l'intervalle:

equation   (52.28)

le deuxième paramètre par contre ne pouvant être que positif puisqu'il s'agit d'une surface:

equation   (52.29)

et les coordonnées de cette surface qui correspondent à l'espace des paramètres étant donc:

equation   (52.30)

Où encore une fois pour rappel, le paramètre equation est considéré comme la variable décrivant l'écoulement du temps (il en faut bien une!), et equation la variable décrivant l'extension dans l'espace d'une corde (c.-à-d. la condition equation impliquant la longueur finie de cette corde).

Les paramètres equation décrivent ainsi une surface de l'espace des pré-images:

equation
Figure: 52.5 - Paramétrisation d'une surface de l'espace-temps

Les extrémités de la corde ont une valeur equationconstante. Cependant, comme le temps s'écoule et que les extrémités de la corde sur la surface d'Univers se meuvent il faut noter une condition essentielle de la surface d'Univers concernant les deux bouts d'une corde ouverte:

equation   (52.31)

Remarque: Cette condition se fait sur la composante equation car elle correspond à la composante equation du quadrivecteur d'espace-temps qui n'est autre, en unités naturelles, que t (le temps propre). Dès lors, le temps s'écoule et n'est jamais constant d'où le fait d'imposer cette dérivée comme différente de zéro.

Et en utilisant les conventions habituelles en physique pour la notation des dérivées par rapport au temps ou composante spatiale, nous convenons d'adopter aussi maintenant les écritures suivantes:

equation   (52.32)

où puisque:

equation   (52.33)

alors:

equation   (52.34)

La surface s'écrit donc:

equation   (52.35)

Cependant, il y a un problème ici ! Effectivement, regardons si le radicande (terme sous la racine) a une réalité physique tangible...

Pour cela, il faut d'abord considérer la partie gauche de la figure ci-dessous qui représente la surface (nappe) décrite par une corde ouverte:

equation
Figure: 52.6 - Configuration pour l'étude du radicande

En chaque point P de cette nappe (supposée dérivable en tout point) il existe une infinité de tangentes, toutes dans le même plan, que nous noterons pour l'exemple equation et qui forment donc une surface tangente au point P.

Maintenant, comme l'espace dans lequel la nappe de la corde est plongée se déroule dans une base orthonormale spatiale et temporelle, les vecteurs tangents equation peuvent alors à leur tour être décomposés dans une base orthogonale spatiale et temporelle locale bidimensionnelle au point P tel que les vecteurs de cette base soient deux vecteurs:

equation   (52.36)

tous les autres vecteurs tangents s'exprimant comme combinaison linéaire de ceux-ci.

Cependant un problème subsiste dans notre décomposition (...): les unités des vecteurs de la base orthogonale locale au point P ont des unités qui diffèrent. Pour cela, rajoutons un facteur de dimensionnement à la composante spatiale (cela est arbitraire car la conclusion sera identique quelle que soit la composante sur laquelle vous mettez le facteur de dimensionnement):

equation   (52.37)

ce facteur de dimensionnement peut aussi être utilisé pour obtenir tous les vecteurs tangents tel que:

equation   (52.38)

Effectivement, si equation, alors pour equation nous obtenons le vecteur equation et pour equation le vecteur equation. Et pour toutes les valeurs intermédiaires, nous obtenons tous les vecteurs tangents comme indiqué sur la partie gauche de la figure précédente.

Maintenons, rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte qu'il existait selon l'abscisse curviligne:

equation   (52.39)

des lignes d'Univers de type lumière (equation), espace (equation) ou temps (equation) si nous considérions les quadrivecteurs equation.

Il doit en être de même par analogie pour les vecteurs tangents à la surface et donc données par:

equation   (52.40)

Ainsi:

equation   (52.41)

ce qui correspond à une équation du deuxième degré en equation, doit pour avoir des valeurs négatives (surface d'Univers de type temps) ou positives (surface d'Univers de type espace) avoir au moins deux racines (voir partie droite de la figure précédente). Cela nous ramène à la condition que le discriminant soit strictement positif (cf. chapitre de Calcul Algébrique):

equation   (52.42)

Soit:

equation   (52.43)

sous forme condensée cela nous ramène à écrire:

equation   (52.44)

La surface doit donc alors s'écrire en fin de compte:

equation   (52.45)

si nous voulons que le radicande ait un sens physique.

Rappelons maintenant que l'action S d'une particule ponctuelle est proportionnelle à sa ligne d'Univers. Ainsi par analogie, l'action S d'une corde sera proportionnelle à la surface d'Univers:

equation   (52.46)

ce qui donne:

equation   (52.47)

Ce qui nous amène très fréquemment dans la littérature à trouver l'action d'une corde sous la forme suivante:

equation   (52.48)

Relation à comparer avec le lagrangien d'une particule libre (cf. chapitre de Mécanique Analytique) et la densité lagrangienne d'un champ (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs):

equation et equation   (52.49)

La fonctionnelle S a pour unités celles d'une surface. Cela parce que lesequation ont une unité de longueur et dans la racine chacun est à la puissance quatrième et que les unités equation s'annulent entre l'intérieure de la racine et les différentielles en dehors.

Maintenant, par définition même de l'action, les unités que nous devons obtenir doivent correspondre à celle d'une énergie multipliée par le temps, des joules J ou en utilisant le système international, des equation. Pour l'instant, nous avons:

equation   (52.50)

Pour obtenir pour l'action les unités que nous voulons, il nous faut alors multiplier l'expression de la surface A par une quantité ayant pour unités des equation. Pour choisir ces quantités, nous allons nous inspirer de notre étude de la mécanique ondulatoire. Quand nous avions travaillé avec des cordes (non relativistes) nous avions vu que les propriétés à prendre en compte étaient la tension et la vitesse de l'onde de propagation de la corde. Nous allons donc faire l'essai de prendre le rapport tension/vitesse suivant:

equation   (52.51)

où apparaîssent donc la "tension de la corde au repos" et la vitesse de la lumière.

Remarque: Cela est similaire à la physique du point où dans l'action nous retrouvons la masse au repos (équivalente de la tension au repos de la corde) et la vitesse de la lumière (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

Ainsi, "l'action de Nambu-Goto" s'écrit maintenant:

equation   (52.52)

Remarque: Nous démontrerons pourquoi nous avons posé un facteur "-" plus loin. Cependant, une petite analogie avec l'action d'une particule ponctuelle, pour laquelle nous avons aussi un signe "-" (cf. chapitre de Relativité Restreinte), peut facilement déjà se faire.

Définisson pour la suite:

equation   (52.53)

ce que nous pouvons aussi écrire sous forme matricielle:

equation   (52.54)

Et en utilisant le déterminant de cette matrice il vient:

equation   (52.55)

Donc nous pouvons alors réécrire l'action d'une corde relativiste sous la forme finale condensée suivante:

equation   (52.56)

qui n'est autre que "l'action de Nambu-Goto condensée" d'une corde relativiste.

Nous allons maintenant obtenir l'équation du mouvement en faisant varier l'action. Nous allons pour cela nous inspirer exactement des méthodes vues lors de la détermination en début de ce chapitre de l'équation d'onde non-relativiste d'une corde.

Ainsi, nous réécrivons l'action de Nambu-Goto en définissant une densité lagrangienne equation telle que:

equation   (52.57)

equation est donc définie par:

equation   (52.58)

Nous allons maintenant appliquer le principe variationnel sur l'action afin d'en tirer l'équation de mouvement d'une corde. Le développement et l'approximation sont parfaitement similaires à ceux vus dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire pour la corde non relativiste. Rappelons que nous avions obtenu comme densité lagrangienne et comme expression de l'action:

equation et equation   (52.59)

et que l'application du principe variationnel nous avait donné:

equation   (52.60)

Or, ce que nous n'avions pas vu dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire, c'est que cette dernière relation pouvait facilement s'écrire aussi à partir de la densité lagrangienne:

equation   (52.61)

Dès lors, pour la corde relativiste, nous avons une forme identique en appliquant des développements en tous points similaires (et ce même si la densité lagrangienne a une forme différente):

equation   (52.62)

et comme nous l'avons fait au début de ce chapitre pour les cordes non relativistes, nous allons introduire les moments canoniques (densités d'impulsion/quantité de mouvement si vous préférez) de la corde en optant pour la notation:

equation

où dans les détails, nous obtenons très facilement (c'est une simple dérivée mais si vous le souhaitez en nous contactant, nous pouvons vous le détailler) les moments longitudinaux et transverses:

equation   (52.63)

equation

en faisant usage de cette notation, nous pouvons alors écrire:

equation   (52.64)

Faisant usage des mêmes méthodes que celles vues dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire, notre variationnel s'exprime après simplification à nouveau sous la forme de trois termes:

equation   (52.65)

Les conditions pour trouver l'extremum (selon le principe de moindre action) restent les mêmes qu'en mécanique ondulatoire. Ainsi, pour le troisième terme, nous avons bien l'équation d'onde d'une corde excitée de manière transversale donnée avec la forme canonique par:

equation   (52.66)

Il s'agit de l'équation du mouvement (ou onde) d'une corde ouverte ou même fermée (car finalement dans les développements précédents à aucun moment nous n'avions contraints les termes à être ouverts ou fermés).

Cette équation est horriblement difficile à résoudre mais le choix d'une paramétrisation adéquate peut néanmoins simplifier la tâche.

LAGRANGIEN D'UNE CORDE

Rappelons que nous avons:

equation   (52.67)

et qu'avec ce choix, nous avons donc:

equation   (52.68)

Maintenant, utilisons ce que nous avons vu dans le chapitre de Géométrie Différentielle avec le trièdre de Frenet:

equation   (52.69)

equation est donc la tangente à la surface d'Univers à un instant t au voisinage d'un point donné. Nous avions par ailleurs montré dans ce même chapitre que par définition:

equation   (52.70)

Or, nous pouvons écrire:

equation   (52.71)

où il ne faut pas oublier queequation est pris à un temps t fixé. Comme les lignes de la surface d'Univers de constante t décrivent  la corde, alors equation est tangent à la corde.

Et comme:

equation   (52.72)

Alors equation est colinéaire à equation et donc aussi tangent à la corde (information que nous n'avions pas quelques lignes plus haut!). Ces petites constatations étant faites, revenons à:

equation   (52.73)

cela devient déjà un peu plus intéressant!

Considérons maintenant le schéma suivant:

equation
Figure: 52.7 - Rappel illustré du produit scalaire

equation est un vecteur quelconque et equation un vecteur unitaire (sans dimensions) et equation, la projection orthogonale de equation sur equation. Nous avons alors (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (52.74)

Or, si nous recherchons le vecteur equation il faudra multiplier le tout par equation:

equation   (52.75)

enfin, si nous recherchons l'expression du vecteur equation il vient immédiatement:

equation   (52.76)

Dès lors, par analogie, nous pouvons écrire:

equation   (52.77)

equation est donc perpendiculaire à equation et a comme unité celle d'une vitesse. Par construction, equation est donc la vitesse transversale à la corde à un instant t donné puisque equation est tangent à celle-ci. Nous noterons alors:

equation   (52.78)

Mettons maintenant, pour des besoins ultérieurs, la norme au carré de cette dernière relation (attention on fait le traitement des composantes des vecteurs directement en généralisant à la notation vectorielle!):

equation
  (52.79)

et si nous revenons maintenant à:

equation   (52.80)

Le lagrangien associé est alors directement (ne pas confondre avec la densité lagrangienne!):

equation   (52.81)

puisque:

equation   (52.82)

Le lagrangien de la relation antéprécédente est considéré par les spécialistes de la théorie des cordes comme la généralisation naturelle du lagrangien de la particule libre obtenu dans le chapitre de Relativité Restreinte:

equation   (52.83)

La suite viendra...

En Savoir Plus

- A first course in String Theory, B. Zwiebach, Éditions Cambridge Press
ISBN10: 052183143 (558 pages) - Imprimé en 2004


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