ASTRONOMIE | ASTROPHYSIQUE | RELATIVITÉ RESTREINTE
RELATIVITÉ GÉNÉRALE | COSMOLOGIE | THÉORIE
DES CORDES
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Il faut bien considérer dans le
présent chapitre que la théorie des cordes (et in
extenso des supercordes) est actuellement spéculative
et n'a pas pu être vérifiée (confirmée)
ni falsifiée par l'expérience comme le veut la
démarche
scientifique. Il convient donc de prendre avec prudence les développements
qui vont suivre et d'être le plus critique possible
!
Il s'agit par ailleurs d'une théorie (nous ne pouvons pas
parler de modèle actuellement) d'unification des forces
qui n'est pas nouvelle
puisqu'elle a bientôt plus de trente ans et qui tente de
combler les défauts du modèle standard des particules
et aussi de réunir
la relativité générale et physique quantique
(ce qui n'est pas sans mal puisque cette dernière est dépendante
du fond contrairement
à la relativité générale). Elle est
une des nombreuses théories
qui existent en physique moderne et qui tentent en ce début de
21ème siècle cette unification (il en
existe
une
dizaine
d'autres plus ou moins connues).
Remarque: Si ce sujet est traité dans la section
de cosmologie et non d'atomistique c'est uniquement pour une raison
pédagogique.
Effectivement, le formalisme de base de la théorie des cordes
est beaucoup plus proche de la mécanique relativiste (relativité
restreinte et générale) que de celle de la physique
quantique ondulatoire ou de la physique quantique des champs. Il
nous a
semblé
donc plus adapté, à ce jour (!), de proposer une
continuité
dans le formalisme mathématique et son interprétation
plutôt qu'une continuité thématique avec une
approche relativement différente de celle du formalisme
habituel de la physique quantique.
L'avantage indéniable de la théorie des cordes,
outre le fait que mathématiquement elle soit assez indigeste
mais pas vraiment pire que la relativité générale,
est qu'elle permet d'éviter dans un certain ordre... de
nombreuses singularités
dans les calculs à l'inverse d'autres théories
contemporaines qui considèrent
les objets comme des points (donc de volume et longueur nuls...).
Cette théorie,
bien qu'étant esthétique et remarquable dans le
sens qu'elle utilise pour ses fondements des bases de calculs qui
ont
plus de 200 ans, a pour
défaut selon nous de s'imposer par analogies successives,
comme nous le verrons, avec les théories relativistes et
quantiques actuelles. Même si cela n'est pas dramatique en
soi, la théorie
peut sembler perdre un peu de son autonomie propre même si
au fait il n'en est rien. Il ne faut donc pas être
surpris en mal lors du parcours des développements qui vont
suivre...
La principale particularité de la théorie des cordes
est que son ambition ne s'arrête pas à cette réconciliation,
mais qu'elle prétend réussir à unifier les
quatre interactions élémentaires connues, on parle
de théorie du tout, tout en reposant sur deux hypothèses:
H1. Les briques fondamentales de l'Univers ne seraient pas des
particules ponctuelles, mais des sortes de cordelettes vibrantes
possédant une tension à la manière d'un élastique.
Ce que nous percevons comme des particules de caractéristiques
(masse, etc.) distinctes ne seraient que des cordes vibrant différemment.
Avec cette hypothèse, les théories des cordes admettent
une échelle minimale et permettent d'éviter facilement
l'apparition de certaines quantités infinies
qui sont inévitables dans les théories quantiques
des champs habituelles.
H2. L'Univers contiendrait plus
de trois dimensions spatiales. Certaines d'entre elles, repliées
sur elles-mêmes, passant inaperçues à nos échelles
(par une procédure appelée "réduction dimensionnelle").
Malgré de premiers résultats partiels très
prometteurs ainsi qu'une richesse
mathématique remarquable
la théorie des cordes reste toutefois incomplète.
D'une part, une multitude de solutions aux équations de
la théorie des cordes existe, ce qui pose un problème
de sélection de notre Univers et, d'autre part, même
si beaucoup de modèles voisins ont pu être obtenus,
aucun d'entre eux ne permet de rendre compte précisément
du modèle standard de la physique des particules...
Ceci étant dit... commençons notre
initiation:
ÉQUATION D'ONDE NON RELATIVISTE
D'UNE CORDE TRANSVERSALE
L'objectif ici va être
dans un premier temps de déterminer l'équation d'onde
non relativiste d'une corde excitée transversalement à l'aide
des calculs que nous avions effectués dans le chapitre de
Mécanique
Ondulatoire. Une fois ce travail effectué, nous passerons à l'étude
des cordes relativistes et nous verrons que leur équation
d'onde, au même titre que la version non relativiste,
peut s'assimiler à l'équation de conservation
du courant que nous avions démontrée en électrodynamique.
Nous commençons en
rappelant la forme de l'action que nous avions obtenue dans le
chapitre de Mécanique
Ondulatoire pour une corde non relativiste:
(52.1)
avec donc:
(52.2)
Maintenant, de manière identique
à ce que nous avons fait dans le chapitre de Mécanique
Analytique (ainsi que dans celui de Physique Quantique Des Champs),
nous allons définir
une notation par une analogie aux moments canoniques de la corde:
(52.3)
avec .
Il s'agit simplement des dérivées de la densité
lagrangienne en fonction respectivement du premier et second argument.
De manière plus explicite, nous avons alors directement
en faisant le calcul (cf. chapitre de Mécanique
Ondulatoire):
(52.4)
Ainsi, si nous réécrivons
le variationnel d'action obtenu dans le chapitre de Mécanique
Ondulatoire avec cette notation canonique, nous obtenons:
(52.5)
Faisant usage des mêmes
méthodes que dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire,
notre variationnel s'exprime après simplification à nouveau
sous la forme de trois termes:
(52.6)
Les conditions pour trouver
l'extremum (selon le principe de moindre action) restent les mêmes
que celles vues dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire.
Ainsi, pour le troisième
terme, nous avons bien l'équation d'onde d'une corde excitée
de manière transversale donnée avec la forme canonique
par:
(52.7)
Remarque: Il convient bien évidemment de remarquer
que cette forme d'écriture va considérablement nous
faciliter la tâche!
Il faut bien observer (car
c'est remarquable!) aussi que comme dans le chapitre de Mécanique
Analytique, le moment canonique
tel que défini plus haut, coïncide parfaitement (le
hasard fait bien les choses...) avec la densité de quantité
de mouvement que nous avions obtenue dans le chapitre de Mécanique
Ondulatoire. Effectivement:
(52.8)
Ainsi, par analogie avec
la mécanique analytique (où rappelons-le, la dérivée
du lagrangien par rapport à la vitesse donne la quantité
de mouvement),
joue bien le rôle de la vitesse et ainsi la dérivée
de la densité lagrangienne par celui-ci donne la densité
de quantité de mouvement
!!!
Rappelons aussi un autre
point qui a été vu dans le chapitre de Mécanique
Ondulatoire, l'extremum de l'action ()
nous impose les conditions de Neumann, ce qui nous amène
à écrire .
De plus, il convient aussi
de rappeler pour ce qui va suivre, que pour les conditions de Dirichlet
nous avions aussi .
Remarque: Dans le cadre de la théorie des cordes
relativistes
à plus de 3 dimensions, il est possible de généraliser
le concept de conditions aux limites en considérant les
contraintes dans l'espace comme des hypersurfaces nommées Dp-branes
à p dimensions. Les conditions aux limites de Dirichlet
usuelles correspondent alors à la situation où les
bouts d'une corde sont contraints par une 0-brane. La condition
de Neumann pour une corde libre dans p dimensions correspond
à une corde contrainte sur une D p-brane.
Figure: 52.1 - Illustration des Dp-branes
ÉQUATION
D'ONDE RELATIVISTE D'UNE CORDE TRANSVERSALE
Nous allons maintenant déterminer
l'action d'une corde relativiste. Nous pouvons, pour poser les
bases de notre étude, nous rappeler qu'une particule ponctuelle
trace une ligne dans l'espace-temps (chaque point de la ligne étant
repéré par une coordonnée temporelle et
trois spatiales). Dès lors, par extension, une corde qui
est un élément
bidimensionnel (si nous la considérons sans épaisseur)
trace une surface dans l'espace-temps.
Ainsi, au même titre
que la ligne que trace une particule dans l'espace-temps est appelée
une "ligne d'Univers" (cf. chapitre de Relativité Restreinte),
la surface tracée par une corde sera appelée par
analogie une "surface
d'Univers".
Une corde fermée dans
l'espace-temps de Minkowski trace, par exemple, un tube, alors qu'une
corde ouverte tracera une bande:
Figure: 52.2 - Surface d'Univers générée par une corde ouverte/respectivement fermée
Sur la figure ci-dessus,
à deux dimensions spatiales et une temporelle, la corde
est immobile dans notre espace courant. Elle ne se meut que dans
l'espace-temps
(car le temps s'écoule sur l'axe vertical) mais pas dans
l'espace dans l'exemple ci-dessus (il faudrait une composante spatiale
supplémentaire
pour voir un tel mouvement).
Remarques:
R1. Attention! Rappelez-vous
bien que le schéma ci-dessous est dans trois dimensions
alors que l'espace-temps compte lui quatre dimensions.
R2. Rappelez-vous également que le vecteur temps de la base
orthogonale est toujours perpendiculaire à toutes les autres
composantes spatiales (cette remarque sera utile lors de notre démonstration
de l'action de Nambu-Goto).
Lors de notre démonstration
de l'équation du mouvement dans le chapitre de Relativité Générale,
nous avons reparamétré la ligne d'Univers de la
particule
à l'aide d'un paramètre qui
était le temps propre de la particule t. Effectivement,
il suffit de se rappeler des équations paramétriques
qui représentent
des courbes. Par exemple avec Maple 4.00b:
> with(plots):
>
spacecurve([cos(t),sin(t),t],t=0..4*Pi,axes=boxed);
Figure: 52.3 - Rappel élémentaire illustré de la paramétrisation d'une courbe
et la même procédure est valable pour une ligne en
quatre dimensions (espace + temps).
Nous étions
ainsi arrivés à construire
l'expression de l'action S de celle-ci avant d'y appliquer
le principe variationnel.
Nous allons faire de même
pour une corde relativiste à la différence que nous
allons reparamétrer les surfaces engendrées par les
cordes cette fois-ci. Les contraintes que nous nous imposerons sont
que les paramètres choisis devront aussi (en faisant référence
au cas de la particule) être des invariants relativistes.
Comme nous l'avons donc vu dans le chapitre de Relativité Générale,
une ligne d'Univers peut
être reparamétrée naturellement en utilisant
seulement un paramètre
(abscisse curviligne). Une surface dans l'espace
étant cependant un objet bidimensionnel, nous supposerons
qu'il requiert par extension
deux paramètres (un
de plus)
pour être décrit complètement.
Effectivement,
nous devinons, qu'un des deux paramètres sera le temps
propre (pour faire évoluer la surface dans le temps),
le second paramètre
permettra de
donner une "épaisseur" à ce qui ne serait
qu'une ligne d'Univers s'il n'existait pas. Il suffirait dans
un espace à trois dimensions
que ce deuxième paramètre ait pour
générer une surface les dimensions d'une
longueur mais dans l'espace-temps à quatre dimensions
il faut que second paramètre ait les unités d'une
surface.
Étant donnée une surface
paramétrée, nous pouvons dessiner sur celle-ci les
isolignes des paramètres
(les lignes où les deux paramètres sont constants
sur toute la surface). Ces isolignes couvrent la surface comme
une grille
(voir figure un peu plus bas).
L'équation paramétrique
d'un volume requiert dans l'espace trois paramètres comme
nous l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Analytique.
Ainsi, si une surface paramétrée peut dans l'espace
euclidien être représentée par un vecteur
du type:
(52.9)
lors d'une reparamétrisation
et en faisant usage de la notation tensorielle de l'espace-temps
de Minkowski telle que vue dans le chapitre de Relativité Générale,
nous aurons (en nous restreignant pour l'instant aux cas particuliers
de deux dimensions spatiales et une temporelle):
(52.10)
Ainsi, la surface est l'image
des paramètres .
Alternativement, nous pouvons voir les composantes
comme les coordonnées de temps et d'espace de la surface,
au moins localement!
Nous voulons maintenant calculer
la surface d'un élément de n'importe quel type d'espace
au même titre que nous l'avions fait pour l'abscisse curviligne
de n'importe quelle ligne d'Univers dans le chapitre de Relativité Générale.
Se pose alors la question de la forme de l'élément
différentiel de surface ??? Faut-il prendre la multiplication
du différentiel des deux paramètres choisis
précédemment
pour un carré, un rectangle, un cercle ou autre ?
Au fait,
nous allons reporter notre choix sur un parallélogramme
! Ce choix peut sembler complètement arbitraire pour l'instant
mais comme nous allons le voir quelques lignes plus loin, ce
choix
coïncide pour des raisons mathématiques à ce
que nous appelons la "métrique induite" de
la surface elle-même
(résultat assez remarquable!).
Ainsi, notons
et
les côtés du parallélogramme. Ils sont l'image
par
des couples
et respectivement :
Figure: 52.4 - Configuration pour l'étude d'un élément de surface élémentaire
Ainsi, nous pouvons écrire:
(52.11)
et donc:
(52.12)
Maintenant
calculons la surface dA (nous ne prendrons pas la lettre S pour éviter
la confusion avec l'action dans ce chapitre) du parallélogramme
(cf. chapitre de Calcul Vectoriel):
(52.13)
en utilisant le produit scalaire,
cela peut se réécrire:
(52.14)
en utilisant, les relations
établies précédemment cela peut s'écrire:
(52.15)
cette dernière relation
est la forme générale d'un élément
de surface d'une nappe paramétrée. La surface totale étant
évidemment donnée par:
(52.16)
Au même titre que dans
le cadre de l'étude principe de moindre action (cf.
chapitre de Mécanique Analytique) nous avions cherché
le chemin optimum pour une particule parcourant une ligne
d'Univers, pour une corde, nous aurons à optimiser la surface
A en minimisant la fonction .
Cette dernière forme
est cependant un peu lourde et ne fait rien ressortir de particulier
ou de similaire à quelque forme déjà
connue dans un autre domaine de la physique. Nous allons voir cependant
qu'en creusant un peu il est cependant possible d'obtenir quelque
chose de pas
mal
du tout.
Considérons maintenant
un vecteur et
sa longueur (norme) au carré donnée par son produit
scalaire:
(52.17)
Attention à l'avenir de ne pas "voir" le s comme
étant élevé au carré dans le ds (comme
c'est le cas en relativité restreinte et générale)
mais rappelez-vous bien qu'il
s'agit du ds en entier qui est mis au carré (la
notation peut amener à confusion...).
Le vecteur peut être exprimé sous forme de termes de dérivées
partielles de ,
tel que nous obtenions sa différentielle totale exacte
(cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):
(52.18)
Ainsi, la longueur au carré
de
peut s'exprimer sous la forme tensorielle:
(52.19)
ce que nous noterons par
convention à l'avenir:
(52.20)
La quantité
est appelée la "métrique induite
de la surface paramétrée" (car contient un
produit scalaire ce qui en toute généralité fait appel à une métrique...
d'où le terme "induite") et il s'agit donc d'une matrice de dimensions .
Il est évident que le
choix de cette dénomination
provient de la ressemblance avec la métrique habituelle
telle que nous l'avons définie lors de notre étude
du calcul tensoriel et de son utilisation en relativité restreinte
et générale.
La matrice
a donc par construction et définition la forme:
(52.21)
Revenons maintenant à
notre expression de la surface engendrée par la corde:
(52.22)
et calculons rapidement le
déterminant (cf. chapitre d'Algèbre
Linéaire)
de la matrice
:
(52.23)
et donc quoi ? Eh ben voilà:
(52.24)
Ainsi, le choix du parallélogramme
comme surface élémentaire s'explique mieux ici!
Maintenant, nous allons adopter
les écritures traditionnelles de la théorie des cordes
relativement à l'expression de la surface. Ainsi, au même
titre que les coordonnées d'espace-temps sont décrites
en relativité restreinte par le quadrivecteur temps-espace:
(52.25)
nous décrirons les surfaces d'Univers par (nous passons
maintenant
à l'écriture faisant usage des 4 dimensions de
l'espace-temps):
(52.26)
Cette notation nous évitera
à l'avenir d'avoir à confondre, si la théorie
nous y amène, les coordonnées d'espace-temps
traditionnelles avec la fonction image de la surface d'Univers
et ce d'autant plus que les physiciens étant un peu flemmards
abrègent parfois cette dernière ...
d'où
le choix de la majuscule.
Il est donc beaucoup plus convenable et sage de changer de notation...
À partir de maintenant, nous
appellerons "coordonnées de corde" la
surface d'Univers décrite
par .
Ce petit changement de notation ne change évidemment pas
l'interprétation de la fonction image. Étant donnée
un couple associant
élément de temps propre dans l'ensemble et élément
de surface des pré-images, ce point est projeté sur
un élément de surface de l'espace-temps de la corde
de coordonnées:
(52.27)
ACTION DE NAMBU-GOTO
Dans le cas d'une surface
d'Univers les paramètres sont donc par convention et ,
où comme en relativité restreinte et générale
le temps propre peut être compris dans l'intervalle:
(52.28)
le deuxième paramètre par contre ne pouvant être
que positif puisqu'il s'agit d'une surface:
(52.29)
et
les coordonnées de cette surface qui correspondent à
l'espace des paramètres étant donc:
(52.30)
Où encore une fois pour rappel, le paramètre est
considéré comme la variable décrivant
l'écoulement du temps (il en faut bien une!), et
la variable décrivant l'extension dans l'espace d'une corde
(c.-à-d. la condition impliquant
la longueur finie de cette corde).
Les paramètres
décrivent ainsi une surface de l'espace des pré-images:
Figure: 52.5 - Paramétrisation d'une surface de l'espace-temps
Les extrémités
de la corde ont une valeur constante.
Cependant, comme le temps s'écoule et que les extrémités
de la corde sur la surface d'Univers se meuvent il faut noter une
condition essentielle de la surface d'Univers concernant les deux
bouts d'une corde ouverte:
(52.31)
Remarque: Cette condition se fait sur la composante
car elle correspond à la composante
du quadrivecteur d'espace-temps qui n'est autre, en unités
naturelles, que t (le temps propre). Dès lors, le
temps s'écoule et n'est jamais constant d'où le
fait d'imposer cette dérivée comme différente
de zéro.
Et en utilisant les conventions habituelles en physique pour la
notation des dérivées par rapport au temps ou composante
spatiale, nous convenons d'adopter aussi maintenant les écritures
suivantes:
(52.32)
où puisque:
(52.33)
alors:
(52.34)
La surface s'écrit
donc:
(52.35)
Cependant, il y a un problème
ici ! Effectivement, regardons si le radicande (terme sous la racine)
a une réalité physique tangible...
Pour cela, il faut d'abord
considérer la partie gauche de la figure ci-dessous qui représente
la surface (nappe) décrite par une corde ouverte:
Figure: 52.6 - Configuration pour l'étude du radicande
En chaque point P
de cette nappe (supposée dérivable en tout point)
il existe une infinité de tangentes, toutes dans le même
plan, que nous noterons pour l'exemple
et qui forment donc une surface tangente au point P.
Maintenant, comme l'espace
dans lequel la nappe de la corde est plongée se déroule
dans une base orthonormale spatiale et temporelle, les vecteurs
tangents
peuvent alors à leur tour être décomposés
dans une base orthogonale spatiale et temporelle
locale bidimensionnelle
au point P tel que les vecteurs de cette base soient deux
vecteurs:
(52.36)
tous les autres vecteurs
tangents s'exprimant comme combinaison linéaire de ceux-ci.
Cependant un problème
subsiste dans notre décomposition (...): les unités
des vecteurs de la base orthogonale locale au point P ont
des unités qui diffèrent. Pour cela, rajoutons
un facteur de dimensionnement à la composante spatiale
(cela est arbitraire car la conclusion sera identique quelle
que soit la
composante sur laquelle vous mettez le facteur de dimensionnement):
(52.37)
ce facteur de dimensionnement
peut aussi être utilisé pour obtenir tous les vecteurs
tangents tel que:
(52.38)
Effectivement, si ,
alors pour
nous obtenons le vecteur
et pour
le vecteur .
Et pour toutes les valeurs intermédiaires, nous obtenons
tous les vecteurs tangents comme indiqué sur la partie
gauche de la figure précédente.
Maintenons, rappelons que
nous avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte
qu'il existait selon l'abscisse curviligne:
(52.39)
des lignes d'Univers
de type lumière (), espace
() ou
temps ()
si nous considérions les quadrivecteurs .
Il doit en être de même par analogie pour les vecteurs
tangents à la surface et donc données par:
(52.40)
Ainsi:
(52.41)
ce qui correspond à
une équation du deuxième degré en ,
doit pour avoir des valeurs négatives (surface d'Univers
de type temps) ou positives (surface d'Univers de type espace)
avoir au moins deux racines (voir partie droite de la
figure précédente).
Cela nous ramène à la condition que le discriminant
soit strictement positif (cf. chapitre
de Calcul Algébrique):
(52.42)
Soit:
(52.43)
sous forme condensée
cela nous ramène à écrire:
(52.44)
La surface doit donc alors
s'écrire en fin de compte:
(52.45)
si nous voulons que le radicande ait un sens physique.
Rappelons maintenant que
l'action S d'une particule ponctuelle est proportionnelle à sa
ligne d'Univers. Ainsi par analogie, l'action S d'une corde
sera proportionnelle à la surface d'Univers:
(52.46)
ce qui donne:
(52.47)
Ce qui nous
amène très fréquemment dans la littérature
à trouver l'action d'une corde sous la forme suivante:
(52.48)
Relation
à comparer avec le lagrangien d'une particule libre (cf.
chapitre de Mécanique Analytique) et la densité lagrangienne
d'un champ (cf. chapitre de Physique Quantique
Des Champs):
et
(52.49)
La fonctionnelle S
a pour unités celles d'une surface. Cela parce que les
ont une unité de longueur et dans la racine chacun est à
la puissance quatrième et que les unités
s'annulent entre l'intérieure de la racine et les différentielles
en dehors.
Maintenant, par définition
même de l'action, les unités que nous devons obtenir
doivent correspondre à celle d'une énergie multipliée
par le temps, des joules J ou en utilisant le système
international, des .
Pour l'instant, nous avons:
(52.50)
Pour obtenir pour l'action
les unités que nous voulons, il nous faut alors multiplier
l'expression de la surface A par une quantité ayant
pour unités des .
Pour choisir ces quantités, nous allons nous inspirer
de notre étude de la mécanique ondulatoire. Quand
nous avions travaillé avec des cordes (non relativistes)
nous avions vu que les propriétés à prendre
en compte étaient la tension et la vitesse de l'onde
de propagation de la corde. Nous allons donc faire l'essai de
prendre le rapport
tension/vitesse suivant:
(52.51)
où apparaîssent
donc la "tension de la corde au repos" et
la vitesse de la lumière.
Remarque: Cela est similaire à la physique du point
où
dans l'action nous retrouvons la masse au repos (équivalente
de la tension au repos de la corde) et la vitesse de la lumière
(cf. chapitre de Relativité Restreinte).
Ainsi, "l'action
de Nambu-Goto"
s'écrit
maintenant:
(52.52)
Remarque: Nous démontrerons pourquoi nous avons
posé
un facteur "-" plus loin. Cependant, une petite analogie avec l'action
d'une particule ponctuelle, pour laquelle nous avons aussi un
signe
"-" (cf. chapitre de Relativité Restreinte),
peut facilement déjà se faire.
Définisson pour la suite:
(52.53)
ce que nous pouvons aussi écrire
sous forme matricielle:
(52.54)
Et en utilisant le déterminant
de cette matrice il vient:
(52.55)
Donc nous pouvons alors réécrire
l'action d'une corde relativiste sous la forme finale condensée
suivante:
(52.56)
qui n'est autre que "l'action
de Nambu-Goto condensée" d'une corde relativiste.
Nous allons maintenant obtenir
l'équation du mouvement en faisant varier l'action. Nous
allons pour cela nous inspirer exactement des méthodes
vues lors de la détermination en début de ce chapitre
de l'équation
d'onde non-relativiste d'une corde.
Ainsi, nous réécrivons
l'action de Nambu-Goto en définissant une densité
lagrangienne
telle que:
(52.57)
où
est donc définie par:
(52.58)
Nous allons maintenant appliquer
le principe variationnel sur l'action afin d'en tirer l'équation
de mouvement d'une corde. Le développement et l'approximation
sont parfaitement similaires à ceux vus dans le chapitre
de Mécanique
Ondulatoire pour la corde non relativiste. Rappelons que nous
avions
obtenu comme densité lagrangienne et comme expression de
l'action:
et
(52.59)
et que l'application du principe
variationnel nous avait donné:
(52.60)
Or, ce que nous n'avions
pas vu dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire, c'est
que cette dernière
relation pouvait facilement s'écrire aussi à partir
de la densité lagrangienne:
(52.61)
Dès lors, pour la
corde relativiste, nous avons une forme identique en appliquant
des développements en tous points similaires (et ce même
si la densité lagrangienne a une forme différente):
(52.62)
et comme nous l'avons fait
au début de ce chapitre pour les cordes non relativistes,
nous allons introduire les moments canoniques (densités
d'impulsion/quantité
de mouvement si vous préférez) de la corde en optant
pour la notation:
où dans les détails,
nous obtenons très facilement (c'est une simple dérivée
mais si vous le souhaitez en nous contactant, nous pouvons
vous
le détailler) les moments longitudinaux et transverses:
(52.63)
en faisant usage de cette
notation, nous pouvons alors écrire:
(52.64)
Faisant usage des mêmes
méthodes que celles vues dans le chapitre de Mécanique
Ondulatoire, notre variationnel s'exprime après simplification à nouveau
sous la forme de trois termes:
(52.65)
Les conditions pour trouver
l'extremum (selon le principe de moindre action) restent les mêmes
qu'en mécanique ondulatoire. Ainsi, pour le troisième
terme, nous avons bien l'équation d'onde d'une corde excitée
de manière transversale donnée avec la forme canonique
par:
(52.66)
Il s'agit de l'équation
du mouvement (ou onde) d'une corde ouverte ou même fermée
(car finalement dans les développements précédents
à aucun moment nous n'avions contraints les termes à
être ouverts ou fermés).
Cette équation est
horriblement difficile à résoudre mais le choix
d'une paramétrisation
adéquate peut néanmoins simplifier la tâche.
LAGRANGIEN D'UNE CORDE
Rappelons que nous avons:
(52.67)
et qu'avec ce choix, nous avons donc:
(52.68)
Maintenant, utilisons ce que nous avons vu dans le chapitre de
Géométrie Différentielle avec le trièdre de Frenet:
(52.69)
où est
donc la tangente à la surface d'Univers à un instant t au
voisinage d'un point donné. Nous avions par ailleurs montré dans
ce même chapitre que par définition:
(52.70)
Or, nous pouvons écrire:
(52.71)
où il ne faut pas oublier que est
pris à un temps t fixé. Comme les lignes de
la surface d'Univers de constante t décrivent la
corde, alors est
tangent à la corde.
Et comme:
(52.72)
Alors est
colinéaire à et
donc aussi tangent à la corde (information que nous n'avions pas
quelques lignes plus haut!). Ces petites constatations étant
faites, revenons à:
(52.73)
cela devient déjà un peu plus intéressant!
Considérons maintenant le schéma suivant:
Figure: 52.7 - Rappel illustré du produit scalaire
où est
un vecteur quelconque et un
vecteur unitaire (sans dimensions) et ,
la projection orthogonale de sur .
Nous avons alors (cf. chapitre de Calcul
Vectoriel):
(52.74)
Or, si nous recherchons le vecteur il
faudra multiplier le tout par :
(52.75)
enfin, si nous recherchons l'expression du vecteur il
vient immédiatement:
(52.76)
Dès lors, par analogie, nous pouvons écrire:
(52.77)
où est
donc perpendiculaire à et
a comme unité celle d'une vitesse. Par construction, est
donc la vitesse transversale à la corde à un instant t donné puisque est
tangent à celle-ci. Nous noterons alors:
(52.78)
Mettons maintenant, pour des besoins ultérieurs, la norme au
carré de cette dernière relation (attention on fait le traitement
des composantes des vecteurs directement en généralisant à la notation
vectorielle!):
(52.79)
et si nous revenons maintenant à:
(52.80)
Le lagrangien associé est alors directement (ne pas confondre
avec la densité lagrangienne!):
(52.81)
puisque:
(52.82)
Le lagrangien de la relation antéprécédente
est considéré par
les spécialistes de la théorie des cordes comme la
généralisation
naturelle du lagrangien de la particule libre obtenu dans le chapitre
de Relativité Restreinte:
(52.83)
La suite viendra...
- A first course in String Theory, B.
Zwiebach, Éditions Cambridge Press
ISBN10: 052183143 (558 pages) - Imprimé en
2004
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