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ASTRONOMIE | ASTROPHYSIQUE | RELATIVITÉ RESTREINTE
RELATIVITÉ GÉNÉRALE | COSMOLOGIE | THÉORIE DES CORDES

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2018-02-03 19:55:54 | {oUUID 1.729}
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Nous avons toujours considéré jusqu'à maintenant lors de tous nos développements que les interactions (relations de cause à effet) entre les corps se faisaient instantanément, ainsi que l'observation d'un phénomène avait lieu instantanément après que celui-ci avait eu lieu. Or, deux physiciens (Michelson et Morley) au cours d'une expérience découvrirent quelque chose qui allait changer radicalement toute la physique classique: la vitesse (célérité) de la lumière était invariante (constante) quel que soit le mouvement que l'on avait par rapport à elle!

Cette observation est d'autant plus importante que nous savons que c'est la lumière qui nous permet de percevoir et de ressentir les choses. Il convient également de prendre en considération que les champs électrostatique et magnétique sont, comme nous l'avons vu dans le chapitre de Physique Quantique Des Champs, véhiculés par le vecteur d'interaction qu'est le photon qui se déplace à la vitesse finie de la lumière c. Cette constatation nous permet aussi de supposer que le champ gravitationnel finalement a aussi un vecteur d'interaction (qui serait le "graviton" dont l'existence semble prouvée indirectement) qui se propage à la vitesse de la lumière. Il convient dès lors de prendre en compte cette non-instantanéité et les conséquences que cela entraîne dans les phénomènes observés pour départager finalement ce qui est réellement de ce qui semble être.

Avant de nous attaquer aux calculs, il nous faut définir un petit peu ce qui va être étudié dans ce chapitre (qui ne s'applique de loin pas qu'à la cosmologie mais bon... il me semblait préférable de le mettre dans cette section plutôt que dans celle de Mécanique ou d'Atomistique).

Définition: La "relativité restreinte" est une théorie confinée aux référentiels inertiels isolés (Galiléens), c'est-à-dire à l'étude de référentiels animés d'un mouvement rectiligne uniforme (inertiels). La raison en sera donnée lors de l'énoncé du principe de relativité restreinte (voir plus bas).

La relativité restreinte se base principalement sur trois concepts très importants:

1. Le postulat d'invariance (de la vitesse de la lumière).

2. Le principe cosmologique (voir plus bas).

3. Le principe de relativité restreinte (voir plus bas).

Il convient aussi de prévenir le lecteur que nous allons utiliser ici beaucoup de concepts vus dans les chapitres d'algèbre linéaire, calcul tensoriel, trigonométrie hyperbolique, calcul différentiel et intégral, mécanique analytique, mécanique classique, électrostatique, magnétostatique et électrodynamique. Il est fortement conseillé d'avoir parcouru ces différents sujets au risque de décrocher dans la lecture de ce qui va suivre.

PRINCIPES ET POSTULATS

Les lois physiques expriment des relations entre des grandeurs physiques fondamentales. Si les lois physiques sont invariantes par changement de référentiel Galiléen comme nous l'avons vu dans le chapitre de Mécanique Classique, il n'en est pas forcément de même des grandeurs physiques. Ces dernières peuvent se transformer d'un référentiel Galiléen à un autre selon une loi de transformation simple comme nous l'avons vu au chapitre de Mécanique Classique. Il en est de même en relativité restreinte, mais nous devons maintenant prendre en compte ce que nous avions négligé lors de notre étude des transformations de Galilée: le temps qui s'écoule n'est pas le même pour deux observateurs si la vitesse de la lumière est finie, par contre l'intervalle de temps est lui est conservé (trivial)!

POSTULAT D'INVARIANCE

Des mesures de laboratoire (expérience de Michelson-Morley comme nous en avons déjà fait mention) ont, depuis fort longtemps, montré que la vitesse c mesurée par un référentiel inertiel (en ligne droite et à vitesse constante) est bien constante quelle que soit sa vitesse d'entraînement. Nous devons alors postuler la propriété suivante:

Postulat d'invariance: la vitesse de la lumière (vecteur de transport de l'information) ne peut ni s'ajouter, ni se soustraire, à la vitesse d'entraînement du référentiel dans lequel nous la mesurons (plus clairement cela signifie que quelle que soit la vitesse à laquelle vous vous déplacerez vous mesurerez toujours la vitesse de lumière comme valant c numériquement constante et finie!).

Corollaire: le principe de relativité Galiléen (cf. chapitre de Mécanique Classique) selon ce postulat est complètement pris en défaut et il nous faut alors développer une nouvelle théorie qui prend en compte cette propriété de la lumière.

PRINCIPE COSMOLOGIQUE

Nous supposons que notre position dans l'Univers est typique, non seulement dans l'espace comme l'affirme le modèle standard de l'Univers (cf. chapitre d'Astrophysique), mais aussi dans le temps. Ainsi, un astronome situé dans une galaxie éloignée doit observer les mêmes propriétés générales de l'Univers que nous, qu'il ait vécu un milliard d'années plus tôt, ou qu'il l'observe dans un milliard d'années. 

En fait, il est relativement naturel d'aller plus loin et d'énoncer que: l'Univers présente le même aspect en chacun de ses points, c'est-à-dire qu'il est homogène. Cette homogénéité s'énonce donc sous la forme du "principe cosmologique".

Ce principe ne repose pas sur les observations, si fragmentaires par rapport à la démesure du cosmos qu'elles ne sauraient permettre d'établir sa validité. Il constitue bien un présupposé à toute étude physique de l'Univers. Sa raison d'être tient à son caractère, indispensable à toute cosmologie scientifique, et peut-être à une certaine réaction par rapport à l'ancienne vision géocentrique ou héliocentrique: il est supposé désormais qu'aucun lieu n'est privilégié dans le cosmos!

PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINTE

Rappelons (cf. chapitre de Mécanique Classique) que les transformations Galiléennes nous disent qu'aucun référentiel ne peut être considéré comme un référentiel absolu puisque les relations entre les grandeurs physiques sont identiques dans tous les référentiels Galiléens ("principe de relativité Galiléen"). Le mouvement Galiléen est donc relatif.

Au 20ème siècle les physiciens constatèrent qu'une importante catégorie de phénomènes physiques violait le principe de relativité Galiléen: les phénomènes électromagnétiques.

En appliquant les transformations Galiléennes aux équations de Maxwell, nous obtenons un jeu d'équations différent selon que l'observateur se trouve dans un référentiel fixe ou un référentiel mobile.

Effectivement, nous avons montré dans le chapitre d'Électrodynamique que l'équation de propagation du champ électrique ou magnétique s'écrivait sous la forme unidimensionnelle de l'équation de d'Alembert:

  (49.1)

où représente l'un quelconque des deux champs. Nous parlons alors très rarement de "l'équation de Hertz".

Nous avions aussi vu dans le chapitre de Mécanique Classique qu'un facteur important de la validité d'une théorie était l'invariance de l'expression de ses lois sous une transformation Galiléenne (transformée de Galilée) en posant:

  (49.2)

Nous avons également montré dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que la différentielle totale d'une fonction s'écrivait (exemple à deux variables):

  (49.3)

Soit:

  (49.4)

Ce qui nous amène simplement à écrire:

  (49.5)

Après élimination de f et en utilisant le théorème de Schwarz (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (49.6)

Si nous écrivons de même avec le temps:

  (49.7)

En fin de compte la transformation Galiléenne de l'équation d'onde censée avoir une forme invariante devient:

  (49.8)

La forme de l'équation d'onde a donc été complètement altérée par la transformation. Au fait, nous savons que cela est dans un sens normal. Effectivement, après tout, le champ magnétique, créé par des charges en mouvement disparaît quand nous utilisons un référentiel en mouvement avec les charges (ou inversement).

Pour fixer la situation, suite à cet exemple, nous pouvons émettre au moins trois hypothèses:

H1. Les équations de Maxwell sont fausses. Les équations correctes restent à être découvertes et devront être invariantes sous une transformation Galiléenne.

H2. L'invariance Galiléenne est valide pour la mécanique mais pas pour l'électromagnétisme (c'est la solution historique avant Einstein, un "éther" détermine l'existence d'une sorte de référentiel absolu où les équations de Maxwell ne changent pas).

H3. L'invariance Galiléenne est fausse. Il y a une invariance plus générale, qu'il reste à découvrir, qui préserve la forme des équations de Maxwell. La mécanique classique doit être reformulée telle qu'elle soit invariante sous cette nouvelle transformation.

Albert Einstein n'admettait pas la violation du principe de relativité Galiléenne par l'électromagnétisme. De son point de vue, il fallait au contraire le généraliser à toutes les lois physiques.

Il postula donc que les lois physiques devaient être identiques dans tous les référentiels Galiléens, ce qui implique, implicitement, que du point de vue des lois physiques, il n'est pas possible de distinguer un référentiel Galiléen d'un autre. Ce résultat est plus fréquemment formulé sous la forme qu'aucun référentiel n'est privilégié. Ce principe fut baptisé "principe de relativité". En effet, cette relativité est restreinte aux cas des référentiels Galiléens (dits aussi "référentiels inertiels") exclusivement.

En d'autres termes, les lois physiques doivent rester inchangées après un changement de référentiel. Il nous faut donc déterminer de nouvelles transformations adéquates qui se substitueront aux transformations Galiléennes.

Dans le cas des référentiels non Galiléens les référentiels ne sont plus indiscernables. Effectivement, imaginons une personne se trouvant dans un train se déplaçant à une certaine vitesse constante et une autre personne sur la terre ferme. Chacun pourra alors dire que c'est l'autre qui est en mouvement (relatif) et ce indistinctement. Par contre, si le train se met à accélérer, bien que les deux individus puissent dire que c'est l'autre qui accélère, seul celui qui est dans le train ressentira l'effet de cette accélération... ainsi les référentiels ne sont plus indistinguables.

Einstein abolit ainsi aussi l'idée qu'il existe un point de référence absolu qui ne bouge pas et par rapport auquel on peut définir un temps absolu, une longueur absolue ou une masse absolue. On peut cependant définir un point de référence privilégié pour tout objet dans l'univers. Celui-ci est le référentiel se déplaçant à la même vitesse et dans la même direction que l'objet en question. Le temps mesuré dans ce référentiel privilégié est minimal et est appelé le "temps propre". Similairement, la dimension de l'objet y est maximale, c'est sa "dimension propre" ou "distance propre", et sa masse y est minimale, c'est sa "masse au repos" (nous ferons les développements mathématiques correspondants plus loin).

TRANSFORMATIONS DE LORENTZ

Pour que soit possible l'invariance de c (postulat d'invariance), nous devons admettre que le temps ne s'écoule pas de la même manière pour l'observateur immobile O que pour l'observateur O' dans un référentiel en translation uniforme en x (soit: un référentiel inertiel) à vitesse relative (le terme "relative" est important!) v (attention ! la vitesse relative entre les référentiels est souvent notée u dans la littérature).

Pour étudier le comportement des lois physiques, nous devons alors nous munir de deux horloges qui donnent t et t' (le référentiel qui contient son horloge/instrument de mesure est appelé "référentiel propre").

Mettons en place l'expérience imaginaire suivante:

Lorsque les observateurs O et O' sont superposés, nous posons t=0 et t'=0 et nous émettons un flash lumineux dans la direction d'un point A repéré par et :

Figure: 49.1 - Configuration pour l'étude des effets relativistes

Il est évident que lorsque le flash arrivera en A, l'observateur O mesurera un temps t et O' un temps t'.

L'observateur O conclut dès lors: 

  (49.9)

L'observateur O' lui, conclut:

  (49.10)

Étant donné que le déplacement de O' ne se fait que selon l'axe OX, nous avons pour les deux observateurs:

  (49.11)

De plus, si la trajectoire du rayon lumineux se confond dans Ox, nous avons:

  (49.12)

Ce qui nous donne dès lors et d'où:

  et      (49.13)

Ces deux relations sont donc égales (nulles) en tout x, x', t, t' entre les deux observateurs. Ce sont les premiers "invariants relativistes" (valeurs égales quel que soit le référentiel) que nous retrouvons sous une forme plus généralisée lorsque qu'appliquée à tout l'espace:

  (49.14)

Il convient maintenant de se rappeler, que dans le modèle classique (relativité Galiléenne), nous aurions écrit que la position du point A pour l'observateur O à partir des informations données par O' serait  et réciproquement (cf. chapitre de Mécanique Classique) tel que:

    (49.15)

Dans le modèle relativiste, nous devons par contre admettre que le temps t qui est en relation avec x n'est pas le même que t' qui est en relation avec x', principe de relativité oblige (sinon quoi il serait donc impossible d'expliquer l'invariance de la vitesse de la lumière) !

Nous sommes alors amenés à poser la relation précédente sous la forme suivante:

  (49.16)

où  serait une valeur numérique à déterminer.  Car pour expliquer la constance de la vitesse de la lumière c'est que l'espace doit s'ajuster en permanence en fonction de notre vitesse v. Ce qui est révolutionnaire comme nous l'avons déjà mentionné!

De plus, si , nous devons aussi pouvoir exprimer t' comme fonction de t et de x sous une forme similaire: 

  (49.18)

Résumons la forme du problème:

  (49.19)

à déterminer . Et ensuite:

  (49.20)

à déterminer: a, b.

Nous cherchons alors à déterminer la relation permettant de connaître les valeurs des coefficients , a et b qui satisfont simultanément:

   et      (49.21)

Compte tenu de ce qui précède et en se rappelant que y' = y et z' = z, la dernière relation devient :

  (49.22)

Distribuons: 

  (49.23)

Pour satisfaire la relation: 

  (49.24)

Il faut que:

     (1)

     (2)

   (3)
  (49.25)

Il est facile de résoudre (2): 

  (49.26)

Nous introduisons alors ce résultat dans (1) et (3) et nous arrivons à:

     (1')

     (2')
  (49.27)

Si nous divisons (1') par (2'), nous obtenons: 

  (49.28)

et en introduisant ce dernier résultat dans la relation _:

  _(49.29)

nous obtenons le résultat remarquable suivant:

  (49.30)

que nous notons souvent:

  (49.31)

et que nous appelons "facteur de Michelson-Morley" avec:

  (49.32)

En introduisant également: 

  (49.33)

dans:

  (49.34)

nous obtenons:

  (49.35)

Posons maintenant (afin d'être conforme aux notations d'usage):

  (49.36)

avec donc le paramètre sans dimensions et toujours inférieur ou égal à l'unité:

  (49.37)

QUADRIVECTEUR DÉPLACEMENT

Nous en tirons les relations de "transformation de Lorentz" pour passer des valeurs mesurées par O' à celles mesurées par O et inversement:

  (49.38)

qui ont par ailleurs comme propriété d'être covariantes (se traduisent par des relations ayant même structure lors d'un changement de référentiel Galiléen). Nous remarquons à travers ces relations que le concept de "temps" y est donc quelque chose d'individuel relatif au déplacement que nous avons avons par rapport aux autres (il s'agit du "temps propre"). Raison pour laquelle il n'est pas possible de définir un "temps commun" entre deux personnes en mouvement relatif qui ne connaissent pas leur vitesse respective l'une par rapport à l'autre (et encore nous ne prenons pas ici en compte la gravité qui déforme l'espace-temps... nous verrons cela dans le chapitre de Relativité Générale).

Nous pouvons aussi écrire les dernières relations sous la forme (le lecteur remarquera que cette fois les unités de tous les termes à gauche de l'égalité sont identiques - il s'agit à chaque fois d'une distance!):

  (49.39)

Bien évidemment la différence est que la quatrième dimension constituant la partie temporelle de "l'espace-temps" semble contrairement aux coordonnées spatiales d'usage avoir une direction particulière privilégiée: la "flèche du temps" (on ne peut pas revenir à un instant temporel donné dans la réalité alors que cela est possible quand on parcourt une distance purement spatiale). Cette direction du temps est imposée par le deuxième principe de la thermodynamique comme quoi l'entropie ne peut faire qu'augmenter (cf. chapitre de Thermodynamique). Si cela n'était pas le cas alors tous les temps existeraient déjà et on pourrait parcourir le temps comme un distance et le futur serait déjà écrit et on pourrait revenir dans le passé. Cependant la thermodynamique ne donne pas un direction particulière au temps... donc si notre temps à la direction qu'il a.... c'est parce que notre Univers était organisé à sa création (donc qu'il avait une faible entropie).

Nous pouvons alors mettre les transformations de Lorentz des coordonnées et du temps sous la forme matricielle (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) traditionnelle suivante qui définit la "matrice de Lorentz" ou de "matrice de Lorentz-Poincaré":

  (49.40)

et réciproquement:

  (49.41)

ce qui donne:

  (49.42)

sous forme indicielle cela est plus fréquemment noté:

  (49.43)

ce qui sous forme tensorielle s'écrit:

ou   (49.44)

Il s'agit de la forme traditionnelle chez les physiciens de l'expression de changement de référentiel localement inertiel par une transformation de Lorentz.

Remarque: Nous retrouvons le tenseur (la matrice) de transformation de Lorentz dans certains ouvrages sous la forme condensée   voire parfois  ou encore .

Le vecteur:

  (49.45)

est appelé le "quadrivecteur d'espace-temps" ou encore "quadrivecteur déplacement".

Remarquons que puisque:

  (49.46)

la transformation par la matrice conserve donc la norme. En termes géométriques il s'agit donc d'une "isométrie".

INVARIANCE DE L'ÉQUATION D'ONDE

Maintenant que nous avons déterminé les transformations de Lorentz, nous pouvons contrôler si l'équation d'onde est invariante relativement à ces dernières (rappelons que nous avons démontré plus haut qu'elle n'était pas invariante sous une transformation Galiléenne).

Partant de la transformation de Lorentz écrite en clair:

  (49.47)

nous calculons les dérivées partielles par rapport à x et t (l'expression après la deuxième égalité ayant été démontrée plus haut dans ce chapitre):

  (49.48)

Ces relations peuvent aussi s'écrire:

  (49.49)

Au carré:

  (49.50)

Dans les équations de Maxwell, ou plutôt dans l'équation de propagation du champ électrique ou magnétique dans le vide, nous avons montré (cf. chapitre d'Électrodynamique) que l'opérateur suivant apparaissait:

  (49.51)

En y substituant les expressions différentielles précédentes:

  (49.52)

Nous avons donc bien:

  (49.53)

qui montre qu'une transformation de Lorentz laisse invariant cet opérateur (Jackpot!). Nous avons donc obtenu ce que nous cherchions (l'équation d'onde mais dans l'autre référentiel)!

Le lecteur remarquera aussi que cela ne fonctionne que si et seulement si la vitesse de propagation des ondes se fait à la vitesse de la lumière.

interprétation hypergéometrique

Revenons maintenant à nos transformations de Lorentz. Rappelons que nous nous sommes restreints au cas particulier où les axes d'espaces étaient parallèles (ce qui nous avait amené à définir le terme "transformations de Lorentz pures"). Cette configuration spéciale a une propriété géométrique intéressante dont parfois de nombreux ouvrages font usage.

Voyons de quoi il s'agit:

Nous avons vu dans le cadre des transformations de Lorentz des longueurs que nous avions une transformation spéciale (boost) selon un axe, à savoir l'axe OX, requérant dans ce cas pour les autres composantes :

  (49.54)

Cela nous permet tout à fait de réduire la matrice de transformation (matrice que nous avions obtenue plus haut) à une matrice de composantes A, B, C et D telle que:

  (49.55)

Nous remarquons que les composantes A, B, C, D respectent par construction les expressions suivantes:

  (49.56)

La première relation peut être mise en relation avec la relation remarquable de la trigonométrie hyperbolique (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (49.57)

Et donc:

et   (49.58)

la deuxième qu'il existe tel que:

et   (49.59)

Remarque: Le choix du signe "-" pour C et B est utile car comme nous avons toujours (de même pour qui est strictement positif) cela nous imposera à la fin des calculs d'avoir . Dès lors, comme et la seule manière pour que C (ainsi que B) puisse être négatif c'est de mettre un "-".

La troisième donne alors la relation d'addition remarquable:

  (49.60)

et donc la différence que nous noterons plus simplement est nulle. Ce qui valide les relations:

  (49.61)

La matrice se présente donc comme suit:

  (49.62)

Finalement, les transformations de Lorentz spéciales de vitesse v suivant l'axe OX peuvent aussi s'écrire:

  (49.63)

ce qui nous amène à écrire:

et   (49.64)

La quantité (sans dimensions) est appelée "rapidité" par ceux qui l'utilisent en physique des hautes énergies. L'intérêt de travailler avec des angles est de rendre la combinaison de 2 boosts plus aisée.

Nous nous arrêterons ici en ce qui concerne l'étude géométrique de la relativité restreinte trouvant que cela a de moins en moins d'intérêt de procéder ainsi (bien que ce soit fort sympathique).

QUADRIVECTEUR VITESSE

Nous pouvons de même déterminer les transformations de Lorentz des vitesses. Considérons une particule en mouvement dans le référentiel inertiel O' telle qu'au temps t', ses coordonnées soient x', y', z'.

Figure: 49.2 - Configuration pour l'étude du quadrivecteur vitesse

Dès lors, les composantes de la vitesse v' sont:

  (49.65)

Quelles sont alors les composantes de sa vitesse dans O (rappelons que O' s'éloigne à vitesse v!) ?

À nouveau, nous écrivons:

  (49.66)

Nous pouvons différencier les équations de transformation des composantes que nous avons obtenues avant et ainsi pouvons écrire:

  (49.67)

Dès lors, nous avons:

  (49.68)

et de même:

  (49.69)

et:

  (49.70)

Et comme la vitesse constante du référentiel O' est donnée par , nous avons alors:

  (49.71)

et inversement:

  (49.72)

Dans la limite de la mécanique classique, où la vitesse de la lumière était supposée instantanée et donc , nous retrouvons:

  (49.73)

qui sont les transformations de Galilée telles que nous les avons vues dans le chapitre de Mécanique Classique.

Comme nous pouvons le voir, les transformations des vitesses ne suivent pas trop la forme de la matrice de Lorentz que nous avions déterminée plus haut pour les coordonnées. Les physiciens, n'aimant pas ce qui est inhomogène, ont cherché à avoir les mêmes transformations pour les deux.

Ainsi, reprenons les relations de transformation des vitesses et réécrivons les telles que ci-dessous:

  (49.74)

Ces relations peuvent s'écrire différemment si nous calculons:

  (49.75)

Soit en simplifiant un peu:

  (49.76)

Posons:

  (49.77)

et:

  (49.78)

et:

  (49.79)

où cette dernière égalité suppose par souci de simplification que la vitesse d'entraînement et donc que l'étude d'une seule composante suffit et qui est celle colinéaire à l'axe de déplacement.

Avec cette notation et simplification il nous sera aisé de déterminer la composante temporelle, en effet la relation:

  (49.80)

s'écrit:

  (49.81)

Le lecteur remarquera que nous avons donc trois lambdas: un lié à la vitesse d'entraînement, le deuxième lié à lla norme du vecteur de la particule dans le référentiel O et le troisième relatif à la norme du vecteur dans le référentiel O'. Mais en réalité suite à notre simplification faite plus haut nous savons que cela que dans le référentiel O' la particule est à l'origine en Y ' et en Z '.

En procédant de même pour chacune des composantes spatiales, nous aurons au final:

  (49.82)

et nous avons atteint ici notre objectif d'homogénéisation qui nous permet d'écrire si nous posons:

le système suivant:

  (49.83)

ce qui sous forme tensorielle s'écrit parfois:

ou   (49.84)

Le vecteur:

  (49.85)

est quant à lui appelé le "quadrivecteur vitesse".

QUADRIVECTEUR COURANT

Nous avons défini naturellement lors de notre introduction du tenseur du champ électromagnétique (cf. chapitre d'Électrodynamique) le quadrivecteur courant:

  (49.86)

que nous pouvons écrire:

  (49.87)

Dès lors, en considérant comme la densité de charge dans le référentiel propre se déplaçant à la vitesse v par rapport au référentiel O' et du fait de la contraction des longueurs dans la direction de la vitesse, le volume occupé par une charge donnée sera multiplié par le facteur de sorte que:

  (49.88)

qui n'est autre que le "quadrivecteur courant" où nous retrouvons le quadrivecteur vitesse déterminé précédemment.

QUADRIVECTEUR ACCÉLÉRATION

Ayant obtenu précédemment un quadrivecteur vitesse transformable à l'aide de la matrice de Lorentz cherchons aussi l'équivalent pour l'accélération.

Le quadrivecteur accélération s'exprime naturellement comme la dérivée par rapport au temps propre de la quadri-vitesse u tel que (attention! dans la notation qui suit l'apostrophe n'indique plus le référentiel O' mais le référentiel O et inversement... désolé pour la potentielle confusion):

  (49.89)

Rappelons que le temps propre d'une particule est le temps mesuré dans le repère de cette particule, c'est-à-dire dans le repère où elle est immobile. Le temps propre dans la littérature spécialisée est souvent noté.

Il faudra d'abord que le lecteur admette (nous le démontrons cependant un peu plus loin) que:

  (49.90)

Dès lors, nous avons:

  (49.91)

Si nous introduisons l'accélération ordinaire nous voyons que:

  (49.92)

alors:

  (49.93)

En utilisant la relation (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

  (49.94)

nous trouvons que le quadrivecteur accélération peut être écrit:

  (49.95)

Le vecteur:

  (49.96)

est appelé "quadrivecteur accélération" et se transforme donc aussi à l'aide de la matrice de Lorentz.

Nous voyons que si et cette dernière relation se simplifie en:

  (49.97)

Nous retrouvons donc l'accélération classique.

En utilisant la métrique de Minkowski (voir sa définition plus loin), notée , calculons la norme du quadrivecteur accélération:

  (49.98)

Remarque:Il faut bien comprendre que quand nous écrivons il s'agit dans ce cas implicitement de la somme des carrés des composantes du calcul entre parenthèses.

Et comme:

  (49.99)

nous rassemblons cela:

  (49.100)

Maintenant, nous développons la somme de la grosse parenthèse qui devient dès lors:

  (49.101)

Nous simplifions:

  (49.102)

d'où:

  (49.103)

Or, nous avons la relation:

  (49.104)

et la propriété du produit vectoriel:

  (49.105)

Ce qui nous donne finalement:

  (49.106)

Imaginons maintenant un objet avec un mouvement relatif uniformément accéléré (accélération constante) dans notre propre référentiel. Si nous supposons notre référentiel fixe, nous avons . Dès lors:

  (49.107)

In extenso, si le mouvement accéléré ne se fait que le long d'une seule composante:

  (49.108)

Or, nous avons aussi:

  (49.109)

Donc finalement, nous pouvons écrire:

  (49.110)

Ce qui après intégration donne:

  (49.111)

Nous voyons que la vitesse u n'atteint jamais c alors que la force est toujours la même!

Nous avons donc:

  (49.112)

ce qui nous donne:

  (49.113)

Après réarrangement, nous écrivons cela:

  (49.114)

Nous sommes bien loin de la relation du mouvement uniformément accéléré que nous avions en mécanique classique. Cependant, pour t proche de zéro, nous retrouvons la relation de la mécanique classique en prenant le développement de Taylor au deuxième ordre de la racine (cf. chapitre Suites Et Séries):

  (49.115)

Cependant, ceci ne nous donne pas les relations de transformations de composantes de l'accélération sous une forme simple. Voyons donc comment les obtenir.

Rappelons d'abord que nous avions obtenu pour la vitesse:

  (49.116)

Il vient en les différenciant:

  (49.117)

et donc:

  (49.118)

Rappelons maintenant que nous avions démontré que:

  (49.119)

en différenciant il vient:

  (49.120)

d'où finalement:

  (49.121)

et pour les composantes y, z:

  (49.122)

et donc:

  (49.123)

Donc finalement:

  (49.124)

Rappelons que ces relations s'appliquent lorsque les mouvements des référentiels sont de translation uniforme!

ADDITION RELATIVISTE DES VITESSES

Comme la vitesse de la lumière est une vitesse supposée indépassable, nous en venons maintenant à nous demander quelle sera alors finalement la vitesse d'un objet lancé à une vitesse proche de celle de la lumière (par exemple...) à partir d'un référentiel se déplaçant lui aussi à une vitesse proche de la lumière (pourquoi pas non plus...). 

Il nous faut alors trouver une relation qui donne la vitesse réelle V à partir de la vitesse de lancement  et de la vitesse du référentiel .

Nous savons que pour l'objet lancé: 

  (49.125)

Comme celui qui est intéressé ne connaît pas la vitesse réelle V, il se doit d'utiliser les transformations de Lorentz. Ainsi, compte tenu de l'expression de t' que nous avons vue plus haut il vient:

et compte tenu de l'expression de x', avons également: 

  (49.127)

d'où:

  (49.128)

Nous savons que  d'où finalement la "loi de compositions des vitesses relativistes":

  (49.129)

qui est donc la vitesse d'un corps en mouvement dans le référentiel en mouvement par rapport au référentiel au repos (ou autrement dit: vu par le référentiel au repos).

Et réciproquement vu de l'autre référentiel en mouvement, nous avons en faisant les mêmes développements (avec inversion des signes et des vitesses bien sûr):

  (49.130)

qui est donc la vitesse d'un corps en mouvement dans le référentiel au repos par rapport au référentiel en mouvement (ou autrement dit: vu par le référentiel en mouvement).

VARIATION RELATIVISTE DES LONGUEURS

Considérons maintenant que la longueur d'un objet est donnée par la distance entre ses deux extrémités A et B. Considérons cet objet AB immobile dans le référentiel O' en translation uniforme et orienté selon l'axe O'X'.

Figure: 49.3 - Configuration pour l'étude de la variation relativiste des longueurs

Sa longueur est donc la distance entre ses deux extrémités:

  (49.131)

Pour l'observateur O, l'objet est en mouvement. Les positions de A et B devraient donc être mesurées simultanément:   

  (49.132)

Il vient donc en utilisant la relation démontrée au début de ce chapitre:

  (49.133)

la différence suivante:

  (49.134)

d'où le résultat remarquable:

  (49.135)

que nous retrouvons aussi fréquemment dans la littérature sous la forme suivante:

  (49.136)

Ainsi, la longueur d'une règle observée dans un référentiel mobile par rapport au référentiel propre de la règle est inférieure à sa longueur propre (que l'on peut assimiler en toute généralité à une "distance propre"). En d'autres termes, la longueur d'un objet en déplacement mesuré par le référentiel immobile sera plus courte que sa grandeur réelle. Ce phénomène porte le nom de "contraction des longueurs".

VARIATION RELATIVISTE DU TEMPS

Un événement est un phénomène qui se produit en un endroit donné et à un instant donné. L'origine du temps étant difficile à préciser, nous préférerons souvent définir la notion d'intervalle de temps comme le temps qui s'écoule entre deux événements comme il est fréquemment d'usage.

Considérons maintenant deux événements A et B consécutifs qui se produisent au même endroit x' (!) dans le référentiel en translation uniforme:

Figure: 49.4 - Configuration pour l'étude de la variation relativiste du temps

Pour l'observateur O', l'intervalle de temps est simplement:

  (49.137)

Pour mesurer cet intervalle, l'observateur O dans le référentiel fixe, doit aussi imposer que x' est commun aux deux événements. Alors en utilisant la relation démontrée au début de ce chapitre:

  (49.138)

nous obtenons:

  (49.139)

d'où le résultat remarquable ci-dessous: 

  (49.140)

ce qui se note sous forme condensée traditionnelle:

  (49.141)

Nous en déduisons aussi en prenant un élément infinitésimal:

  (49.142)

Donc l'observateur O (immobile) mesure un intervalle de temps d'autant plus grand que le référentiel dans lequel se déroule le phénomène se déplace rapidement. Le temps dans le référentiel fixe (donc le "temps propre" du référentiel fixe!) semble comme dilaté par rapport à celui en vigueur dans le référentiel mobile (dont par rapport au "temps propre du référentiel mobile!).

Voyons un exemple d'application sympathique et (cependant) simplifié à l'extrême:

En 1971, une vérification expérimentale directe de la dilatation du temps fut effectuée. Deux avions à bord desquels avaient été placée une horloge atomique au césium pendant leurs vols commerciaux réguliers (l'un vers l'Est, l'autre vers l'Ouest) comparèrent leur horloge à une troisième horloge atomique restée au sol. Cette expérimentation devenue célèbre par le temps est appelée "expérience de Hafele-Keating".

L'avion volant vers l'Est perdit 59 [ns] alors que l'avion volant vers l'Ouest gagna 279 [ns] (la Terre tourne sur elle-même en un jour, d'Ouest en Est). Il fut donc mesuré une différence totale de:

  (49.143)

entre les deux horloges cette différence est nettement supérieure à celle qu'implique la relativité restreinte.

Analysons l'expérience en considérant que tous les référentiels sont inertiels (ce qui élimine donc la relativité générale).

Considérons pour l'étude trois repères inertiels, un situé au pôle Nord, un sur Terre (ailleurs qu'au pôle nord dans l'idée!) et un dans un avion. Les intervalles de temps  et  respectivement (que nous noterons de manière abrégée  pour la suite), sont reliés entre eux par la relation démontrée précédemment (donc le pôle nord est pris comme le référentiel au repos dans cette expérience et donc la référence du temps propre!):

  (49.144)

où nous avons donc:

  (49.145)

Les repères sur Terre et dans l'avion ont donc des vitesses relatives  et  par rapport au pôle nord. Les temps en avion et sur Terre sont donc reliés par:

  (49.146)

Nous allons réécrire cette relation:

  (49.147)

Nous allons accepter l'approximation suivante:

  (49.148)

où nous avons supposé au dénominateur que:

  (49.149)

Pour les racines dont la valeur est de toute façon proche de 1 (puisque c est beaucoup plus grand que les vitesses relatives considérées), nous pouvons faire un développement de Taylor au deuxième ordre lorsque x tend vers zéro:

  (49.150)

Nous pouvons alors écrire:

  (49.151)

Grâce à ces approximations successives, nous pouvons facilement écrire la différence entre les deux horloges qui est alors de:

  (49.152)

Selon les hypothèses initiales, la vitesse de croisière des deux avions par rapport au sol est constante et sera notée v. La vitesse de chaque avion (non relativiste selon les approximations précédentes!) est alors:

  (49.153)

suivant que l'avion va vers l'Est et:

  (49.154)

suivant que l'avion va respectivement vers l'Ouest. Alors:

  (49.155)

Nous allons considérer que (c'est assez grossier...):

  (49.156)

Donc il reste:

  (49.157)

Nous voyons bien évidemment qu'avec les approximations effectuées, nous perdons l'asymétrie de la dilatation du temps entre l'Est et l'Ouest. Celui que cela dérange peut appliquer alors directement les valeurs numériques à la relation antéprécédente.

Le résultat précédant des approximations successives permet déjà de voir de manière formelle et rapide que le signe sera en accord avec le résultat expérimental.

Pour une application pratique, nous prendrons la vitesse constante des avions commerciaux de l'époque qui valait:

  (49.158)

et le voyage total des avions dura 41 heures selon la mesure au sol soit:

  (49.159)

et un point de la surface Terrestre va à la vitesse:

  (49.160)

où le rayon de la Terre étant de 6'371 kilomètres (cela suppose que les avions sont sur le rayon de l'équateur!). Nous avons donc en application numérique:

  (49.161)

ce qui mène à un résultat très proche de la mesure qui fut effectuée.

Et en utilisant directement la version non approximée:

  (49.162)

où nous avons pris cette fois-ci la vitesse de rotation de la terre à la latitude conforme à l'expérience faite en 1971:

  (49.163)

Donc nous voyons que le résultat n'est dès lors plus très conforme à l'expérience! Effectivement, il faut maintenant prendre en compte dans ce cas non approximé l'accélération du temps dû à la gravité. Nous allons devoir utiliser la relation de l'effet Einstein démontrée dans le chapitre de Relativité Générale:

  (49.164)

qui exprime donc que le temps au sol s'écoule moins rapidement que le temps à l'altitude h.

D'après le compte-rendu de l'expérience, les avions ont volé à 10'000 [m] d'altitude. Ce qui donne (l'accélération g n'est pas la même au sol qu'à l'altitude pour rappel!) une accélération du temps:

  (49.165)

Or, nous voyons que les deux avions étant tous deux à la même hauteur, nous avons toujours:

  (49.166)

Donc, soit il y a d'autres effets, de l'ordre de la Relativité Générale, qui devraient être pris en compte pour expliquer les 67 [ns] de différence par rapport à l'expérience, soit il s'agit d'un problème de précision des appareils de l'époque.

Au fait, nous verrons une étude détaillée de cette expérience dans le chapitre de Relativité Générale et nous verrons que les valeurs théoriques sont alors en très très bon accord avec les résultats expérimentaux.

PARADOXE DES JUMEAUX

Nous pouvons déjà considérer le fameux paradoxe des jumeaux dans le cas de la relativité restreinte pour montrer que le paradox des jumeaux ne s'applique pas qu'aux systèmes non inertiels. Il s'agit d'un approche grossière (sachat que la manière rigoureuse sera abordée dans le chapitre de Relativité Générale).

Considérons une fusée décollant au temps t nul de la Terre et accélérant à 20 fois l'accélération de la gravité terrestre g jusqu'à une vitesse de croisière 90% de celle de la lumière c. Supposons que la fusée continue à cette vitesse pendant une année terrestre et décélère avec la même intensité pour reprendre son voyage vers la Terre et accélère à nouveau pour lors de son approche vers le Terre décélérer encore une fois pour avoir au final une vitesse nulle.

  (49.167)

Ainsi, le temps propre passé pour un terrien resté sur Terre est au total de:

  (49.168)

Pour le voyageur dans la fusée, le temps propre pendant les phases d'accélération sera donné grossièrement par:

  (49.169)

Soit en intégrant (en utilisant la primitive usuelle démontrée dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) pour une des phases d'accélération de la fusée cela donne:

  (49.170)

Et le temps propre pour la partie en vitesse de croisière constante:

  (49.171)

Et donc le temps propre total dans la fusée est alors:

  (49.172)

Donc comparé à la personne restée sur Terre, celle qui était dans la fusée à vieilli environ deux fois moins!!! Il s'agit d'un paradoxe (plutôt un "sophisme" en réalité) car on ne peut appliquer avec exactitude la relativité restreinte à des référentiels non inertiels. Il n'empêche que même avec la Relativité Générale, il y a une différence de temps!

VARIATION RELATIVISTE DE LA MASSE

Bon d'abord attention le titre est abusif par tradition! Nous verrons un peu plus loin pourquoi.

En attendant, imaginons une collision frontale entre deux objets identiques (1), (2) ayant dans le référentiel des vitesses égales mais opposées. Nous supposerons que cette collision est élastique, c'est-à-dire que l'énergie cinétique et la quantité de mouvement sont conservées.

Avant le choc, les composantes des vitesses des objets (1) et (2) sont:

  (49.173)

comme indiqué ci-dessous:

Figure: 49.5 - Configuration pour l'étude de la variation relativiste de la masse

Après le choc, nous avons:

  (49.174)

Nous allons maintenant faire la transformation de Lorentz suivante :

- Nous nous donnons un autre référentiel R et supposons que les référentiels et R sont en translation uniforme de vitesse selon l'axe OX dans le sens positif (c'est-à-dire dans la même direction et à la même vitesse horizontale que la particule 1).

- Pour notre particule 1 sa trajectoire est devenue telle qu'elle ne présente pas de vitesse selon l'axe OX.

Allons-y! Plaçons-nous dans un référentiel R qui se déplace par rapport à avec la vitesse suivant OX, les composantes des vitesses dans ce référentiel sont avant choc:

  (49.175)

et après le choc:

  (49.176)

Nous avons donc trivialement dans le référentiel R:

  (49.177)

mais en appliquant la loi de composition des vitesses démontrée plus haut:

  (49.178)

pour les composantes de l'axe horizontal nous avons toujours dans le référentiel R:

  (49.179)

et pour le mouvement vertical, nous avons vu plus haut que:

  (49.180)

Ainsi, il vient:

  (49.181)

En passant de à R, la composante suivant y de la quantité de mouvement totale doit rester nulle (comme c'était le cas dans initialement). Or:

  (49.182)

Pour sortir de cette impasse, il faut admettre que les masses respectives des objets (1) et (2) ne peuvent être identiques dans R. Alors cela nous amène à imposer:

  (49.183)

ce qui entraîne:

  (49.184)

Dans R, le carré de la norme des vitesses des deux objets donne:

  (49.185)

La dernière relation peut s'écrire:

  (49.186)

de sorte qu'après réarrangement et factorisation:

  (49.187)

Soit:

  (49.188)

où nous avons posé:

  (49.189)

Nous trouvons ainsi:

  (49.190)

Nous poserons maintenant:

  (49.191)

où est évidemment la masse au repos de l'un ou l'autre des objets identiques (1) et (2).

Le raisonnement que nous venons de faire sur un exemple simple montre que l'inertie (et non la masse!) d'un objet semble dépendre de sa vitesse v dans un référentiel donné. Au fait, pour être plus exact, c'est le facteur de Michelson-Morley qui varie et non pas la masse en elle-même car celle-ci est un invariant relativiste!

D'une façon générale, étant la "masse au repos":

  (49.192)

Puisque la masse est donc fonction de v (en apparence), certains physiciens notent la masse au repos comme une fonction, c'est-à-dire: m(0). Mais il est plutôt d'usage de la noter afin de ne pas avoir trop de parenthèses dans les développements...

Ainsi, le facteur de Michelson-Morley tend vers l'infini lorsque la vitesse tend vers la vitesse c de la lumière dans le vide. C'est une raison supplémentaire pour affirmer que c est la limite supérieure assignée à la vitesse de tout objet matériel, ce qui est conforme à la fois à l'expérience et aux conséquences déjà formulées de la transformation de Lorentz.

Il en découle déjà un constat important: il y a donc deux types de particules, celles qui ont une masse et n'iront jamais à la vitesse de la lumière (car il faut alors une énergie infinie pour les y amener), et celles qui ont une masse nulle et qui vont donc obligatoirement à la vitesse de la lumière.

Les forces d'interactions sont à courte portée à cause justement de l'incertitude. Plus la distance est grande entre des particules qui intergissent, plus le temps sera long et donc plus l'énergie sera faible. Mais dans le cas où la particule message de l'interaction n'a pas de masse, la force est à longue portée

ÉQUIVALENCE MASSE-ÉNERGIE

Sous l'action d'une force F, la vitesse d'une masse m augmente ou diminue sur chaque portion de la trajectoire. Le travail de la composante  peut s'interpréter alors en énergie cinétique _.. 

Dans la théorie relativiste, la masse varie avec la vitesse, donc:

  (49.193)

L'intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (49.194)

nous donne:

    (49.195)

Le gain d'énergie cinétique d'une particule peut donc être considéré comme gain de sa masse. Puisque  est la masse au repos, la quantité  est appelée "énergie au repos" de la particule.

Nous avons donc:

  (49.196)

où  représente donc l'énergie de mouvement (l'énergie cinétique). 

La somme:

  (49.197)

représente donc l'énergie totale E de la particule en absence du champ de potentiel. Ce qui nous amène à écrire:

    (49.198)

Finalement nous aurions aussi pu obtenir le même résultat autrement:

LAGRANGIEN RELATIVISTE

Les développements suivants vont nous permettre dans l'étude de l'électrodynamique (si ce chapitre n'a pas encore été lu), de déterminer l'expression du tenseur du champ électromagnétique ainsi qu'en physique quantique relativiste de déterminer l'équation de Klein-Gordon avec champ magnétique. Il faut donc bien lire ce qui va suivre.

En relativité, nous voulons donc que les équations du mouvement aient la même forme dans tous les référentiels inertiels. Pour cela, il faut que l'action S (cf. chapitre de Mécanique Analytique) soit donc invariante par rapport aux transformations de Lorentz. Guidés par ce principe, essayons d'obtenir l'action d'une particule libre. Supposons que l'action soit dans le référentiel O':

  (49.199)

Et rappelons que:

  (49.200)

Dans le référentiel O, nous avons alors "l'action invariante de Lorentz":

  (49.201)

Donc selon notre hypothèse initiale, nous avons pour le lagrangien relativiste (en l'absence du champ de potentiel donc... puisque le système est "libre"):

  (49.202)

Dans l'approximation non-relativiste , nous avons selon le développement de Maclaurin:

  (49.203)

Nous retrouvons donc le lagrangien habituel d'un système libre en mouvement mais plus une constante qui n'affecte cependant pas les équations du mouvement que nous obtenons en mécanique classique mais qui nous sera absolument nécessaire en électrodynamique.

Rappelons maintenant que le moment généralisé (cf. chapitre de Mécanique Analytique) est défini par:

  (49.204)

Nous allons voir maintenant que cette définition n'est pas fortuite. Effectivement:

  (49.205)

L'hamiltonien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) vaut:

  (49.206)

ce qui donne:

  (49.207)

L'hamiltonien est dans ce cas égal à l'énergie totale de la particule. Son expression nous conduit à changer quelque peu notre hypothèse initiale et finalement à écrire au lieu de m dans l'expression de l'action S.

Ainsi, nous avons finalement:

  (49.208)

et:

  (49.209)

Dans l'approximation non relativiste , devient avec un développement de Maclaurin (cf. chapitre sur les Suites Et Séries):

  (49.210)

Nous reconnaissons l'énergie cinétique usuelle, plus une constante: l'énergie au repos. Ce qui correspond bien aux calculs que nous avions faits avant où nous avons obtenu:

  (49.211)

QUANTITÉ DE MOUVEMENT RELATIVISTE

L'énergie totale E et la quantité de mouvement  d'une particule peuvent donc prendre n'importe quelle valeur positive (si la vitesse tend vers la valeur limite c, la masse s'adapte pour que le produit  ne soit pas borné).

Dans l'expression de E , nous pouvons remplacer la vitesse  par une fonction de :

  (49.212)

introduit dans:

    (49.213)

nous avons:

  (49.214)

d'où (nous reviendrons sur cette relation de la plus haute importance lors de notre démonstration de la relation d'Einstein):

  (49.215)

Nous n'avons pas gardé la partie négative de l'égalité précédente car elle n'a aucun sens en physique classique. Cependant, lorsque nous étudierons la physique quantique relativiste, il s'avérera indispensable de la préserver sinon quoi nous arriverons à des absurdités.

Cependant, nous pouvons bien évidemment écrire cette dernière relation aussi sous la forme:

  (49.216)

ou encore (beurk!):

  (49.217)

En d'autres termes, l'énergie totale d'une particule en mouvement est égale à son énergie de masse additionnée par son énergie cinétique (rien de fondamentalement nouveau).

Cette relation présente deux cas limites où nous pouvons réduire la formule:

C1. Pour une particule au repos (p=0), nous pouvons réduire l'expression à (en omettant l'énergie négative...pour l'instant).

C2. Nous pouvons appliquer l'équation à une particule sans masse de manière à éliminer le premier terme, ce qui nous donne alors .Un photon, par exemple, a une masse nulle au repos mais il n'est jamais au repos... Par définition, c'est un quantum d'énergie, son énergie cinétique n'est donc jamais nulle et il a donc une masse correspondant à son énergie cinétique. Ainsi, une particule de masse nulle au repos se déplace à la vitesse de la lumière, quel que soit le référentiel choisi! À l'inverse, une particule ayant une masse au repos non-nulle ne pourra jamais atteindre la vitesse de la lumière dans aucun référentiel.

Cherchons maintenant les relations entre p et p' ainsi qu'entre E et E', pour qu'il soit possible à O' d'écrire:

  (49.218)

Nous commençons alors à nous débarrasser de la racine carrée:

  (49.219)

Si O écrit: 

  (49.220)

O' doit pouvoir écrire:

  (49.221)

Nous avons donc: 

  (49.222)

Si nous comparons: 

, ,  et   (49.223)

nous obtenons des expressions semblables à celles utilisées pour les transformations de Lorentz des composantes spatiales et temporelles. Nous pouvons alors écrire, par similitude, que les transformations pour la quantité de mouvement et l'énergie sont dès lors données par:

  (49.224)

À nouveau, si nous prenons:

     (49.225)

toujours avec .

Nous avons dès lors en exprimant toutes les relations précédentes de transformation dans les mêmes unités en se souvenant que :

  (49.226)

Nous pouvons alors définir une matrice telle que:

  (49.227)

où nous retrouvons la "matrice de Lorentz" ou "tenseur symétrique de Lorentz" .

Le vecteur:

  (49.228)

est quant à lui, appelé le "quadrivecteur d'énergie-impulsion" ou plus simplement "quadrivecteur impulsion". Son utilité est que sa valeur est conservée, lors d'une réaction nucléaire. Si nous additionnons ces vecteurs sur toutes les particules (sans oublier les photons) avant et après la réaction, nous trouvons les mêmes sommes pour les 4 composantes.

Revenons sur le relation suivante qui est central dans certains domaines de la physique quantique:

  (49.231)

Soit:

  (49.232)

Ce qui peut s'écrire sous forme vectorielle (forme très courante):

  (49.233)

Cette dernière relation nous sera très utile dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste pour calculer l'énergie de photons virtuels d'échange.

Pour les photons, puisque la masse est nulle, nous avons:

  (49.234)

RELATION D'EINSTEIN

Suivant le principe de relativité, nous souhaitons que la relation entre la quantité de mouvement et l'énergie d'une onde électromagnétique s'écrive de la même manière pour deux observateurs d'inertie en translation l'un par rapport à l'autre:

Si O écrit:

  (49.235)

alors O' doit pouvoir écrire:

  (49.236)

Reprenons la première relation ci-dessus et mettons-la au carré sans oublier que le photon à une masse nulle . Alors:

  (49.237)

et comme :

  (49.238)

Étant donnée connue la relation de Planck (définie en thermodynamique):

nous  sommes amenés à écrire la fameuse "relation d'Einstein" que nous retrouverons très souvent en physique quantique ainsi qu'en thermodynamique:

  (49.239)

FORCE RELATIVISTE

Suivant le principe de la relativité, nous voulons que la relation entre la force et la quantité de mouvement s'écrive de la même manière par deux observateurs d'inertie en translation l'un par rapport à l'autre:

Ainsi, si O écrit:

  (49.240)

O' doit pouvoir écrire:

  (49.241)

La relation entre  est assez compliquée dans le cas général. Nous nous limiterons ici au cas particulier où un corps est momentanément immobile dans O' et où donc l'observateur O' ne tiendra compte que de la force  qu'il applique. Il l'appellera par ailleurs "force propre", car il n'a pas à se préoccuper d'autres forces (comme une force centrifuge, par exemple).

Il faut substituer p' et t' par p et t dans:

  (49.242)

Puisque:

  (49.243)

nous aurons:

  (49.244)

Nous avons par ailleurs vu que:

  (49.245)

Il reste donc:

  (49.246)

La composante de la force est donc invariante dans la direction du déplacement.

Pour les directions y, z perpendiculaires au déplacement:

 et   (49.247)

En résumé:

  (49.248)

Cependant, pour passer d'un référentiel à un autre, il vaut mieux utiliser le "quadrivecteur force" défini comme la dérivée du quadrivecteur impulsion par rapport au temps propre:

  (49.249)

Effectivement, rappelons que:

  (49.250)

ÉLÉCTRODYNAMIQUE RELATIVISTE

Avec un spectromètre de masse, nous établissons que le rapport m/q de la masse m d'une particule par sa charge électrique q varie de la même manière que la masse m lorsque la vitesse v de la particule varie:

  (49.251)

Ainsi, il vient que:

  (49.252)

La charge d'une particule est donc indépendante de sa vitesse comme nous l'avons démontré dans la section d'électromagnétisme (cf. chapitre d'Électrodynamique) lors de la détermination de l'équation de conservation de la charge.

Considérons maintenant deux charges q et Q immobiles dans le référentiel O' en translation à vitesse v par rapport à O :

Figure: 49.6 - Configuration pour l'étude des transformations des champs électrique et magnétique

Nous allons nous restreindre au cas où la vitesse est parallèle à l'axe OX:

    (49.253)

et nous notons le vecteur à l'horizontale pour économiser un peu de papier...

La charge Q est placée en O' et elle est donc immobile pour O' . L'observateur O' conclut qu'une force électrostatique:

    (49.254)

agit donc sur la charge témoin q placée en .

  (49.255)

L'observateur O voit également un champ électrostatique  en , mais il voit aussi que Q est en mouvement selon l'axe OX. Il en déduit donc l'existence d'un champ magnétique  en  orienté dans le plan YZ:

  (49.256)

Il mesure donc la force (cf. chapitre de Magnétostatique) de Lorentz (supposée connue): 

  (49.257)

Mais:

  (49.258)

Donc:

  (49.259)

Nous avons vu maintenant:

  (49.260)

La comparaison des expressions ci-dessus donne les transformations relativistes du champ électrique:

  (49.261)

Comme pour la transformation de Lorentz des composantes spatiales et temporelles, nous avons obtenu les transformations inverses en échangeant les champs et en considérant que O' voit O reculer (nous remplaçons donc v par -v).

Les relations ci-dessus, parfois nommées "équations de Joules-Bernoulli du champ électrique" mettent bien en évidence que si par exemple le champ électrique dans un des référentiels est nul mais le champ magnétique ne l'est pas, alors un champ électrique existe du point de vue de l'autre référentiel!!! C'est donc une victoire absolue de la relativité par rapport à la mécanique classique!!

Pour obtenir les transformations relativistes du champ magnétique, nous procédons comme ci-dessous:

  (49.262)

Après quelques petites manipulations d'algèbre très élémentaire, nous obtenons:

  (49.263)

Nous faisons identiquement:

  (49.264)

Après encore une fois quelques petites manipulations d'algèbre très élémentaire, nous obtenons:

  (49.265)

et ainsi de suite. Nous obtenons finalement:

  (49.266)

Les relations ci-dessus, parfois nommées "équations de Joules-Bernoulli du champ magnétique" mettent bien en évidence que si par exemple le champ magnétique dans un des référentiels est nul mais le champ électrique ne l'est pas, alors un champ magnétique existe du point de vue de l'autre référentiel!!! C'est donc encore une fois une victoire absolue de la relativité par rapport à la mécanique classique!!

Étudions maintenant le comportement du champ électromagnétique d'une charge en mouvement:

Soient deux référentiels parallèles O et O', en translation à vitesse constante v selon l'axe XX' :

Figure: 49.7 - Configuration pour l'étude de transformations électrodynamiques

où une charge immobile Q est placée en O'. 

Il est clair alors que l'observateur O mesure  partout et qu'au point P du plan X 'Y ', en  il mesure le champ électrostatique (cf. chapitre Électrostatique):

  (49.267)

Si l'observateur O est informé des valeurs de et de , il peut les introduire dans les transformées relativistes donnant le champ électrique  qu'il observe:

  (49.268)

Pour écrire une expression du champ au point P, l'observateur O doit déterminer, à un instant t de son temps local, les composantes du vecteur qui sépare le point P de la charge Q (en sommant les vecteurs positions de ces deux derniers points matériels).

Les coordonnées du point P et de la charge Q qu'il voit dans le plan XYZ sont données par les transformations de Lorentz habituelles:

 et   (49.269)

Il en déduit donc facilement, par sommation les distances x, y.

Une autre méthode, plus simple, est qu'étant donné que la composante x est une longueur, elle subit donc les transformations de Lorentz et:

  (49.270)

Car rappelons-le:

 et   (49.271)

La transformée relativiste du champ électrique donne alors:

  (49.272)

et:

  (49.273)

Écrit sous forme vectorielle:

  (49.274)

Il nous faut encore déterminer comment exprimer r' en fonction de r :

  (49.275)

car (théorème de Pythagore):

  (49.276)

L'écriture se simplifie si nous utilisons l'angle formé par le vecteur champ électrique et l'axe OX. Nous notons alors   dans O' et  dans O les angles donnés par:

  et   (49.277)

avec  à cause de la dilatation des longueurs selon l'axe OX.

Nous éliminons y avec:

  (49.278)

Ainsi, le champ électrique  que voit O est donné par:

  (49.279)

Le facteur contenant  montre que le champ électrique  d'une charge en mouvement n'a plus la symétrie sphérique. Il dépend de la direction du vecteur .

À distance égales, le champ électrique est plus intense dans la direction verticale à celle du déplacement ()  que dans la direction du déplacement de la charge ().

Si v=0, nous retrouvons par ailleurs l'expression classique et connue: 

  (49.280)

Pour trouver maintenant l'expression du champ magnétique , nous introduisons:

 et

 et  
  (49.281)

dans:

  (49.282)

Nous obtenons dès lors:

  (49.283)

qui sont les composantes de:

  (49.284)

Pour connaître  en fonction de , nous substituons l'expression obtenue pour

  (49.285)

Dans le cas où la vitesse est faible, le terme relativiste tend vers 1 et le champ d'une charge Q se déplaçant à la vitesse v devient:

  (49.286)

car comme nous l'avons dans le chapitre d'Électrodynamique:

Il est intéressant de se rappeler qu'une particule chargée en mouvement sera vue dans le référentiel de la particule comme n'émettant aucun champ électromagnétique (il y aura juste un champ électrostatique). Ce qui n'est pas le cas pour un référentiel au repos. Il y a donc ici une sorte de contradiction contre-intuitive flagrante.

Mais cela pose alors un autre problème, dans un référentiel en mouvement accéléré, une particule chargée émet normalement un rayonnement d'accélération, ce rayonnement en mécanique quantique doit s'accompagner forcément de l'émission d'un quanta, qui lui existe ou n'existe pas (un moyen terme n'existe pas). L'existence même des photons serait donc purement relative. Et pourtant c'est le cas! Certaines particules n'ont qu'une existence relative. La réponse compliquée, c'est donc de savoir ce que sont devenus les photons.

Mais là, nous touchons à la limite de ce que nous maîtrisons parfaitement dans la physique de la fin du 20ème siècle, car nous parlons de référentiels accélérés (ce qui implique d'être en relativité générale et non restreinte) et de théorie quantique des champs. Le cadre rigoureux pour traiter ça (qui engloberait une gravitation quantique) n'existe pas encore. Mais un premier pas a été franchi avec le développement de la théorie quantique des champs en espace courbe.

TRANSFORMATION DU TENSEUR DE CHAMP

Nous avons vu et démontré dans le chapitre d'Électrodynamique que l'ensemble du champ électromagnétique se résumait au tenseur du même nom. Il serait alors bon de regarder comment se transforme ce tenseur et s'il le fait correctement relativement aux résultats obtenus plus haut.

Considérons la transformation (où le tenseur du champ électromagnétique est en unités naturelles!!!):

  (49.288)

avec le tenseur du champ électromagnétique en composantes contravariantes dans la métrique de Minkowski :

  (49.289)

et aussi par construction:

  (49.290)

Prenons, par exemple, la vitesse parallèle à l'axe OX, alors nous avons démontré plus haut que:

  (49.291)

Soit, donc:

  (49.292)

où comme nous pouvons le voir, il est souvent d'usage dans le domaine de la relativité restreinte et de l'électrodynamique de numéroter les composantes des matrices/tenseurs à partir de 0 (au lieu de 1 pour tous les autres chapitres du site).

Nous calculons les transformées (se rappeler que le tenseur du champ électromagnétique est antisymétrique!):

  (49.293)

Nous en déduisons donc, pour le champ électrique (ce qui correspond parfaitement à ce que nous avions obtenu plus haut):

  (49.294)

Nous faisons un second calcul pour la composante perpendiculaire:

  (49.295)

d'où:

  (49.296)

ce qui correspond à nouveau parfaitement à ce que nous avions obtenu plus haut (en unités naturelles, ne pas oublier que nous avons alors ) !

La vérification se fait de même pour le champ magnétique:

  (49.297)

et:

  (49.298)

ce qui donne (en unités naturelles, ne pas oublier que nous avons alors ) ! :

  (49.299)

etc.

ESPACE-TEMPS DE MINKOWSKI

Nous avons démontré plus haut que:

  (49.300)

Écrivons cela sous la forme:

  (49.301)

Multiplions les deux membres par :

    (49.302)

ce qui nous donne:

  (49.303)

Si , l'équation s'annule:

  (49.304)

Ce résultat traduit, que les dimensions d'espace et de temps sont comme arrêtées dans le référentiel relativiste, car la vitesse relative de l'objet est égale à celle de la lumière!

Imaginons maintenant qu'un faisceau lumineux soit émis à l'instant et se propage depuis l'origine du référentiel. Nous savons que dans l'espace-temps (application du théorème de Pythagore dans l'espace euclidien à trois dimensions) la distance parcourue par le photon lumineux est:

  (49.305)

En changeant t de membre et en portant le tout au carré pour supprimer la racine, nous obtenons:

  (49.306)

Considérons maintenant deux événements de coordonnées  et  et pour éviter la confusion changeons de lettre . Nous pouvons dès lors écrire l'intervalle spatio-temporel tel quel:

  (49.307)

En passant à la limite, nous obtenons la forme quadratique:

    (49.308)

qui a la même forme et même valeur quel que soit le référentiel considéré. L'intervalle infinitésimal d'espace-temps entre deux événements infiniment voisins est donc un invariant relativiste que nous appelons souvent "abscisse curviligne d'espace-temps"; c'est l'intervalle d'espace-temps ou, comme le disait simplement Einstein, le "carré de la distance".... Le fait que cette grandeur puisse être positive, négative (!) ou nulle est lié au caractère absolu de la vitesse de la lumière (nous y reviendrons juste après).

Nous pouvons aussi maintenant nous intéresser au caractère relativiste de cette métrique. Si elle est invariante, c'est qu'elle doit aussi l'être par les transformations de Lorentz. Nous disons alors que "la métrique est invariante par transformation de Lorentz". Une telle transformation peut être trouvée en s'inspirant de celle utilisée pour le tenseur du champ électromagnétique (voir plus haut). Le lecteur vérifiera sans peine en s'inspirant de l'exemple détaillé du champ électromagnétique que pour le tenseur métrique, nous avons la relation:

  (49.309)

L'abscisse curviligne peut s'exprimer aussi par la norme du quadrivecteur déplacement que nous avions défini plus haut comme étant . Effectivement, la norme (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) s'écrit en descendant les indices à l'aide de la "métrique de Minkowski" ou "métrique pseudo-riemannienne":

  (49.310)

avec par définition (nous reviendrons là-dessus dans les détails au début de notre étude de la relativité générale) la "matrice de Minkowski":

  (49.311)

où comme d'habitude sur ce site nous faisons l'abus de notation (déjà mentioné dans le chapitre de Calcul Tensoriel) de ne pas mettre entre crochets (puisqu'un tenseur et sa forme matricielle sont normalement deux choses distinctes en toute rigueur).

Si nous mettons les deux relations suivantes en correspondance:

 et   (49.312)

nous avons alors  lorsque que les deux événements sont reliés à la vitesse de la lumière. 

De plus, si nous posons  nous pouvons alors écrire:

  (49.313)

Ceci n'est rien d'autre que l'équation d'un cône (cf. chapitre de Géométrique Analytique) d'axe d'ordonnée ... le fameux "cône d'Univers" (auquel nous consacrons une étude plus loin). Tout événement est donc par extension dans ce cône et l'évolution de tout système peut donc y être décrit (par sa position spatiale et temporelle), par ce que nous appelons sa "ligne d'Univers". La ligne d'Univers d'une particule est donc la séquence d'événements qu'elle déroule durant sa vie.

QUADRIVECTEURS

Nous venons de définir ce qu'était la métrique de Minkowski, nous pouvons maintenant définir correctement le concept de quadrivecteur que nous avons déjà abordé sans toutefois toujours savoir ce que l'on faisait.

Définition: Dans un espace à quatre dimensions de type Minkowski, quatre grandeurs (peu importe l'ordre des termes pour cette définition ou que les indices soient des chiffres ou des lettres correspondant aux quatre composantes spatio-temporelles) forment un quadrivecteur covariant si elles se transforment suivant la transformation de Lorentz:

  (49.314)

La pseudo-norme d'un quadrivecteur dans un espace de Minkowski à métrique est alors:

  (49.315)

où nous voyons que le quadrivecteur contravariant multiplié par la métrique redonne le quadrivecteur covariant.

La quantité suivante étant invariante par changement de référentiel Galiléen comme nous l'avons vu presque tout au début de ce chapitre:

  (49.316)

Cette propriété d'invariance par changement de référentiel Galiléen des quadrivecteurs est leur propriété principale. Ainsi, deux observateurs en mouvement relatif uniforme l'un par rapport à l'autre doivent pour comparer les résultats d'une même mesure utiliser la norme des quadrivecteurs. De même, les lois qu'ils cherchent à déterminer pour être les plus générales possible doivent utiliser ces quantités invariantes!

Nous pouvons par ailleurs aussi écrire la norme sous la forme:

  (49.317)

et les quadrivecteurs sous la forme:

  (49.318)

CÔNE D'UNIVERS

La topologie du cône de lumière trouve son origine dans les relations d'antériorité et postériorité des événements relativistes, ce qui permet de faire la distinction entre un événement dans le passé d'un autre ou dans le futur de celui-ci.

Les cônes de lumière ont pour objectif principal dans les ouvrages de vulgarisation de la physique théorique de schématiser l'histoire d'impulsions lumineuses émises en un point de l'espace où peuvent régner certaines conditions. Les points sont représentés dans l'espace par une série d'instantanés à divers instants ,etc. (voir figure ci-dessous), le front d'onde sphérique de la lumière grossissant dans l'espace. Dans l'espace-temps, le même événement (en bas sur la figure) est représenté par un "cône de lumière", dont le sommet est le point d'émission.

Sur une feuille de papier, nous devons supprimer l'une des dimensions spatiales. Les axes spatiaux sont dessinés dans le plan horizontal et l'axe temporel dirigé vers le haut. Les sections du cône aux instants  correspondent aux instantanés de la représentation spatiale: les fronts d'ondes à deux dimensions sont des cercles dont le rayon est celui du front d'onde sphérique à l'instant considéré. Le cône de lumière montre en un seul diagramme l'histoire continue du front d'onde d'un signal lumineux.

Figure: 49.8 - Principe du cône de lumière

Plus rigoureusement, les "instantanés" dont il a été fait mention plus haut sont appelés des "événements ponctuels" et ceux-ci apparaissent instantanés (approximation reposée sur l'optique géométrique) à tout observateur capable de les voir. Une collision entre deux particules ponctuelles fournit un exemple d'événement ponctuel. Il est tout à fait possible qu'un événement instantané non ponctuel apparaisse instantané à un certain observateur mais, à cause de la vitesse de propagation finie de la lumière, non instantané à un autre observateur.

Définitions:

D1. Nous disons par définition que deux événements ponctuels occupent le même point d'espace-temps s'ils apparaissent simultanés à tout observateur capable de les voir. 

D2. L'ensemble M de tous les points de l'espace-temps est appelé "l'espace-temps".

D3. La frontière définie par le cône d'Univers est appelée "horizon cosmologique"

Rappelons que si aucune force n'agit sur une particule ponctuelle, nous la qualifions "d'inertielle" ou de "libre". Nous disons également qu'elle est en "mouvement inertiel".

Étant donné le point p, N(p) est une structure géométrique absolue, indépendante de l'observateur. Sa composante future sera notée ; sa composante passée et elle sera représentée par le cône suivant:

 
Figure: 49.9 - Cône de lumière passé et futur

Effectivement, rappelons que l'équation de Minkowski est invariante puisque:

  (49.319)

Rapporté à trois paramètres (nous enlevons une dimension spatiale) nous avons, si les événements ponctuels sont reliés à la vitesse de la lumière (voir plus haut):

  (49.320)

Ce que nous pouvons aussi écrire sous la forme:

  (49.321)

à comparer avec l'équation d'un cône (cf. chapitre de Géométrie Analytique):

  (49.322)

lorsque nous posons c=1 (ce qui est fréquent en physique théorique comme nous en avons déjà fait mention de nombreuses fois).

Donc l'équation de Minkowski peut donc bien être représentée par un cône.

La ligne d'Univers de tout observateur qui occupe instantanément p et dont la ligne d'Univers passe donc par p lui-même, est contenue à l'intérieur de N(p) défini par un point unique sur sa sphère céleste (celle qui est donc décrite par le vecteur d'information - qu'est le photon - dans toutes les directions de l'espace). Cela veut dire qu'il peut y avoir, in extenso, autant de rayons nuls (foyers des cônes) passant par p que de points sur une sphère.

L'exemple suivant paraîtra plus évident:

Figure: 49.10 - Principe de ligne d'Univers avec cône associé

Comme illustré sur la figure ci-dessus, un événement lumineux au point O de l'espace-temps produit un faisceau de photons, tous dans le cône nul du futur O, (ces photons ont été émis par des atomes dans des états de mouvement variés, dont les lignes d'univers l  et l' passent par O, mais sont entièrement contenues à l'intérieur de ). La ligne d'univers n peut seulement être décrite par une particule se mouvant à la vitesse de la lumière car elle définit la frontière du cône (nous disons alors que la ligne d'Univers est "du genre lumière").

Soit  la ligne d'univers d'un personnage P immobile (d'où la verticalité de sa ligne d'Univers sur la figure ci-dessus) et n celle d'un rayon lumineux ayant pour origine O. Tous deux résident dans l'espace à quatre dimensions et ils se coupent selon un point unique P. Les points O et P se situent sur un rayon nul (d'un cône du futur), n, de .  En P, le personnage P voit un flash soudain dans la direction définie par n, pour lui la direction de l'événement lumineux (décrite uniquement par sa vitesse donc, ainsi une ligne d'univers d'une particule inertielle peut être décrite uniquement par le temps et sa vitesse).

Un atome dont la ligne d'Univers coupe n au point Q, absorbe un photon de l'événement lumineux O et réémet peu de temps après un faisceau de photons. Ceux-ci forment alors à leur tour des rayons nuls dans , mais seuls ceux de direction n atteindront le personnage P et seront vus par lui au point P.

Si P se trouve à l'intérieur de N(O), le cône nul de O, nous dirons que sa ligne d'Univers est de "genre temps". Dans ce cas, O et P sont situés sur la ligne d'Univers d'un observateur ou d'une particule massive. Il existe bien évidemment deux types de déplacements de genre temps:

1. Si P est dans le futur de O (selon un observateur dont la ligne d'univers passe par O et P), nous dirons que P "pointe vers le futur".

2. Dans le cas contraire, nous dirons bien entendu qu'il "pointe vers le passé". 

Si P se situe sur N(O) - soit à la surface du cône - nous dirons alors qu'il est "nul" ou de "genre lumière" et si P n'est ni nul ni de genre temps, alors P se situe à l'extérieur de N(O). Nous disons alors qu'il est de "genre espace":

Figure: 49.11 - Types de lignes d'Univers

Cela se traduit mathématiquement par en se rappelant (voir plus haut) que:

  (49.323)

D1. : la ligne d'Univers est donc de "type lumière" et c'est elle qui décrit la surface du cône par définition (selon ce que nous avons démontré précédemment et quel que soit le choix de la métrique) soit telle que:

  (49.324)

ce qui est le cas d'un photon de lumière (d'où le nom...).

D2. : nous disons alors que la ligne d'Univers est de "type espace" soit telle que:

  (49.325)

Deux événements qui ont lieu simultanément mais à des lieux différents sont donc de type espace.

D3. : nous disons alors que l'intervalle ou la ligne d'Univers sont de "type temps" soit telle que:

  (49.326)

D4. Une "ligne causale" est une ligne de genre lumière ou temps qui est toujours orientée vers le futur.

Revenons à nos équations après ce petit interlude... les équations conduisent donc à faire plusieurs observations. Ainsi, dans l'Univers euclidien à quatre dimensions de Minkowski, les trajectoires des objets dans l'espace-temps sont toujours des droites. Effectivement, l'exemple trivial consiste à considérer que l'objet reste au repos, seul le temps continue alors de s'écouler. Nous avons dès lors:

  (49.327)

en posant  , cela nous nous donne:

  (49.328)

donc:

      (49.329)

et aussi:

  (49.330)

La primitive étant (constante d'intégration nulle):

  (49.331)

qui est bien une droite et représente donc la ligne d'Univers de l'objet considéré dans le cône d'Univers. Nous pouvons aussi observer aussi que dans ce cas, l'évolution du phénomène est purement temporelle quand l'intervalle est positif (ce qui appuie ce que nous avions dit tout à l'heure).

Enfin, indiquons que la théorie de la relativité restreinte, au même titre que celle de la relativité générale, n'impose pas un nombre de dimensions spatiales données pour rester consistante: ce qui est dommage pour les physiciens théoriciens qui souhaiteraient une théorie qui s'impose à elle-même un nombre fini de dimensions pour rester consistante (ce que par contre la théorie des cordes fait avec 25 dimensions... et celle des supercordes avec 11).

- Introducing special relativity, W.S.C Williams, Éditions Taylor&Francis, ISBN10: 0415277620 (249 pages) - Imprimé en 2002

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