
ASTRONOMIE | ASTROPHYSIQUE | RELATIVITÉ RESTREINTE
RELATIVITÉ GÉNÉRALE | COSMOLOGIE | THÉORIE
DES CORDES
49.
RELATIVITÉ RESTREINTE |
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Nous
avons toujours considéré jusqu'à maintenant
lors de tous nos développements que les interactions (relations
de cause à effet) entre les corps se faisaient instantanément,
ainsi que l'observation d'un phénomène avait lieu
instantanément après
que celui-ci avait eu lieu. Or, deux physiciens (Michelson et Morley)
au cours d'une expérience découvrirent quelque
chose qui allait changer radicalement toute la physique classique:
la vitesse (célérité)
de la lumière était invariante (constante) quel que
soit le mouvement que l'on avait par rapport à elle!
Cette observation
est d'autant plus importante que nous savons que c'est la lumière
qui nous permet de percevoir et de ressentir les choses. Il
convient
également de prendre en considération que les champs électrostatique
et magnétique sont, comme nous l'avons vu dans le chapitre
de Physique Quantique Des Champs, véhiculés par
le vecteur d'interaction qu'est le photon qui se déplace à la
vitesse finie de la lumière c.
Cette constatation
nous permet aussi de supposer que le champ gravitationnel finalement
a aussi un vecteur d'interaction (qui serait le "graviton"
dont l'existence semble prouvée indirectement) qui se propage à
la vitesse de la lumière. Il convient dès lors de
prendre en compte cette non-instantanéité et les
conséquences que cela entraîne
dans les phénomènes observés pour départager
finalement ce qui est réellement
de ce qui semble être.
Avant de nous
attaquer aux calculs, il nous faut définir un petit peu
ce qui va être étudié dans ce chapitre (qui ne s'applique
de loin pas qu'à la cosmologie mais bon... il me semblait
préférable
de le mettre dans cette section plutôt que dans celle de
Mécanique ou d'Atomistique).
Définition: La "relativité restreinte"
est une théorie confinée aux référentiels
inertiels isolés
(Galiléens),
c'est-à-dire à l'étude de référentiels animés
d'un mouvement rectiligne uniforme (inertiels). La raison en sera
donnée
lors de l'énoncé du principe de relativité restreinte
(voir plus bas).
Remarques:
R1. Restreindre
l'étude à des référentiels inertiels
n'empêche bien évidemment
pas qu'à l'intérieur de ceux-ci les corps peuvent être
animés
d'une vitesse uniforme ou non!
R2. La relativité générale a pour rôle de prendre en compte des
référentiels non inertiels et dans n'importe quel système de coordonnées
en faisant usage de la puissance du calcul tensoriel pour être applicable
dans n'importe quel type d'espace (autre que plat donc !).
La relativité
restreinte se base principalement sur trois concepts très importants:
1. Le postulat
d'invariance (de la vitesse de la lumière).
2. Le principe
cosmologique (voir plus bas).
3. Le principe
de relativité restreinte (voir plus bas).
Il convient
aussi de prévenir le lecteur que nous allons utiliser
ici beaucoup de concepts vus dans les chapitres d'algèbre
linéaire,
calcul tensoriel, trigonométrie hyperbolique, calcul différentiel
et intégral, mécanique analytique, mécanique
classique, électrostatique, magnétostatique et électrodynamique.
Il est fortement conseillé d'avoir parcouru ces différents
sujets au risque de décrocher dans la lecture de ce
qui va suivre.
PRINCIPES ET POSTULATS
Les lois physiques expriment
des relations entre des grandeurs physiques fondamentales. Si les
lois physiques sont invariantes par changement de référentiel
Galiléen
comme nous l'avons vu dans le chapitre de Mécanique
Classique, il n'en est pas forcément
de même des grandeurs physiques. Ces dernières peuvent
se transformer d'un référentiel Galiléen à un
autre selon une loi de transformation simple comme nous l'avons
vu au chapitre de Mécanique Classique.
Il en est de même en relativité restreinte, mais nous
devons maintenant prendre en compte ce que nous avions négligé lors
de notre étude des transformations de Galilée:
le temps qui s'écoule n'est
pas le même pour deux observateurs si la vitesse de la lumière
est finie, par contre l'intervalle de temps est lui est conservé (trivial)!
POSTULAT D'INVARIANCE
Des mesures
de laboratoire (expérience de Michelson-Morley comme nous
en avons déjà fait mention) ont, depuis fort longtemps, montré que
la vitesse
c
mesurée par un référentiel inertiel (en ligne
droite et à
vitesse constante) est bien constante quelle que soit sa vitesse
d'entraînement.
Nous devons alors postuler la propriété suivante:
Postulat
d'invariance: la vitesse
de la lumière (vecteur de transport de l'information) ne
peut ni s'ajouter, ni se soustraire, à la vitesse d'entraînement
du référentiel
dans lequel nous la mesurons (plus clairement cela signifie que
quelle que soit la vitesse à laquelle vous vous déplacerez
vous mesurerez toujours la vitesse de lumière comme valant c
numériquement constante et finie!).
Corollaire: le principe de relativité Galiléen
(cf.
chapitre de Mécanique
Classique) selon ce postulat est complètement
pris en défaut
et il nous faut alors développer une nouvelle théorie
qui prend en compte cette propriété de la lumière.
Remarque: Il est important de noter que nous considérons
que la lumière est, dans le cadre actuel de la relativité restreinte,
le messager de l'information d'un corps sur un autre!!!
PRINCIPE COSMOLOGIQUE
Nous supposons que notre
position dans l'Univers est typique, non seulement dans l'espace
comme l'affirme le modèle standard de l'Univers (cf.
chapitre d'Astrophysique), mais aussi dans le temps.
Ainsi, un astronome situé dans une galaxie
éloignée doit observer les mêmes propriétés générales de l'Univers
que nous, qu'il ait vécu un milliard d'années plus tôt, ou qu'il
l'observe dans un milliard d'années.
En
fait, il est relativement naturel d'aller plus loin et d'énoncer
que: l'Univers présente le même aspect en chacun de ses
points, c'est-à-dire qu'il est homogène. Cette homogénéité s'énonce
donc sous la forme du "principe
cosmologique".
Ce
principe ne repose pas sur les observations, si fragmentaires par
rapport à la démesure du cosmos qu'elles ne sauraient
permettre d'établir sa validité. Il constitue bien
un présupposé à toute étude
physique de l'Univers. Sa raison d'être tient à son caractère,
indispensable
à toute cosmologie scientifique, et peut-être à une
certaine réaction
par rapport à l'ancienne vision géocentrique ou
héliocentrique: il est supposé désormais
qu'aucun lieu n'est privilégié
dans le cosmos!
PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINTE
Rappelons (cf. chapitre de Mécanique
Classique)
que les transformations Galiléennes nous disent qu'aucun
référentiel
ne peut être considéré comme un référentiel
absolu puisque les relations entre les grandeurs physiques sont
identiques dans
tous les référentiels
Galiléens ("principe de relativité Galiléen").
Le mouvement Galiléen est donc relatif.
Au 20ème siècle les physiciens
constatèrent qu'une importante catégorie de phénomènes
physiques violait le principe de relativité Galiléen:
les phénomènes
électromagnétiques.
En appliquant les transformations
Galiléennes aux équations de Maxwell, nous obtenons
un jeu d'équations
différent selon que l'observateur se trouve dans un référentiel
fixe ou un référentiel mobile.
Effectivement, nous avons
montré dans le chapitre d'Électrodynamique que l'équation
de propagation du champ électrique ou magnétique
s'écrivait
sous la forme unidimensionnelle de l'équation de d'Alembert:
(49.1)
où
représente l'un quelconque des deux champs. Nous parlons
alors très rarement de "l'équation
de Hertz".
Nous avions aussi vu dans le chapitre de Mécanique
Classique qu'un facteur important de la validité d'une théorie
était l'invariance de l'expression de ses lois sous une
transformation Galiléenne (transformée de Galilée)
en posant:
(49.2)
Nous avons également
montré dans le chapitre de Calcul Différentiel Et
Intégral que la différentielle totale d'une fonction
s'écrivait (exemple à deux variables):
(49.3)
Soit:
(49.4)
Ce qui nous amène
simplement à écrire:
(49.5)
Après élimination
de f et en utilisant le théorème de Schwarz (cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):
(49.6)
Si nous écrivons de
même avec le temps:
(49.7)
En fin de compte la transformation
Galiléenne de l'équation d'onde censée avoir
une forme invariante devient:
(49.8)
La forme de l'équation
d'onde a donc été complètement altérée
par la transformation. Au fait, nous savons que cela est dans
un
sens normal. Effectivement, après tout, le champ magnétique,
créé par des charges en mouvement disparaît
quand nous utilisons un référentiel en mouvement
avec les charges (ou inversement).
Pour fixer la situation,
suite à cet exemple, nous pouvons émettre au moins trois
hypothèses:
H1. Les équations
de Maxwell sont fausses. Les équations correctes restent
à être découvertes et devront être invariantes
sous une transformation Galiléenne.
H2. L'invariance Galiléenne
est valide pour la mécanique mais pas pour l'électromagnétisme
(c'est la solution historique avant Einstein, un "éther"
détermine l'existence d'une sorte de référentiel
absolu où les équations de Maxwell ne changent pas).
H3. L'invariance Galiléenne
est fausse. Il y a une invariance plus générale,
qu'il reste à découvrir, qui préserve la
forme des
équations de Maxwell. La mécanique classique doit
être reformulée telle qu'elle soit invariante sous
cette nouvelle transformation.
Remarque: Il s'avère que les deux premières
hypothèses
sont exclues par les faits expérimentaux. De plus, les équations
de Maxwell intégrant la vitesse de la lumière elles
sont implicitement relativistes.
Albert Einstein n'admettait
pas la violation du principe de relativité Galiléenne
par l'électromagnétisme.
De son point de vue, il fallait au contraire le généraliser à toutes
les lois physiques.
Il postula donc que les lois physiques devaient être identiques
dans tous les référentiels Galiléens, ce
qui implique, implicitement, que du point de vue des lois physiques,
il n'est pas possible de
distinguer un référentiel Galiléen d'un autre.
Ce résultat
est plus fréquemment formulé sous la forme qu'aucun
référentiel
n'est privilégié. Ce principe fut baptisé "principe
de relativité". En effet, cette relativité est
restreinte aux cas des référentiels Galiléens
(dits aussi "référentiels
inertiels") exclusivement.
En d'autres termes, les lois
physiques doivent rester inchangées après un changement
de référentiel.
Il nous faut donc déterminer de nouvelles transformations
adéquates qui se substitueront aux transformations Galiléennes.
Dans le cas des référentiels non Galiléens
les référentiels ne sont plus indiscernables. Effectivement,
imaginons une personne se trouvant dans un train se déplaçant
à une certaine vitesse constante et une autre personne sur
la terre ferme. Chacun pourra alors dire que c'est l'autre qui
est en mouvement
(relatif) et ce indistinctement. Par contre, si le train se met
à accélérer, bien que les deux individus puissent
dire que c'est l'autre qui accélère, seul celui
qui est dans le train ressentira l'effet de cette accélération...
ainsi les référentiels ne sont plus indistinguables.
Einstein abolit ainsi aussi l'idée qu'il existe un point
de référence absolu qui ne bouge pas et par rapport
auquel on peut définir un temps absolu, une longueur absolue
ou une masse absolue. On peut cependant définir un point
de référence privilégié pour tout
objet dans l'univers. Celui-ci est le référentiel
se déplaçant
à la même vitesse et dans la même direction
que l'objet en question. Le temps mesuré dans ce référentiel
privilégié est minimal et est appelé le "temps
propre". Similairement, la dimension de l'objet y
est maximale, c'est sa "dimension
propre" ou "distance propre",
et sa masse y est minimale, c'est sa "masse
au repos" (nous ferons les développements mathématiques
correspondants plus loin).
TRANSFORMATIONS DE LORENTZ
Pour
que soit possible l'invariance de c
(postulat d'invariance), nous devons admettre que le
temps ne s'écoule pas de la même manière pour l'observateur
immobile
O que pour l'observateur O'
dans un référentiel en translation uniforme en x (soit:
un référentiel inertiel) à vitesse relative
(le terme
"relative" est important!) v (attention ! la vitesse
relative entre les référentiels est souvent notée
u dans la littérature).
Remarque: Un cas particulier de disposition des référentiels
dans laquelle les axes d'espaces sont parallèles amène à ce
que nous appelons les: "transformations
de Lorentz pures" ou encore "transformations
de Lorentz spéciales" et le déplacement
relatif selon un axe particulier est souvent appelé un: "boost".
Pour étudier
le comportement des lois physiques, nous devons alors nous munir
de deux horloges qui donnent t et t'
(le référentiel qui contient son horloge/instrument
de mesure est appelé "référentiel
propre").
Mettons en place
l'expérience imaginaire suivante:
Lorsque les
observateurs O et O'
sont superposés, nous posons t=0 et t'=0 et nous émettons
un flash lumineux dans la direction d'un point A repéré par
et :

Figure: 49.1 - Configuration pour l'étude des effets relativistes
Il est évident
que lorsque le flash arrivera en A, l'observateur O
mesurera un temps t et O'
un temps t'.
L'observateur
O conclut dès lors:
(49.9)
L'observateur
O'
lui, conclut:
(49.10)
Étant donné
que le déplacement de O'
ne se fait que selon l'axe OX, nous avons pour les deux
observateurs:
(49.11)
De plus, si la trajectoire
du rayon lumineux se confond dans Ox, nous avons:
(49.12)
Ce qui nous donne dès
lors
et d'où:
et
(49.13)
Ces deux relations sont donc
égales (nulles) en tout x, x', t, t'
entre les deux observateurs. Ce sont les premiers "invariants
relativistes" (valeurs égales quel que soit le référentiel)
que nous retrouvons sous une forme plus généralisée
lorsque qu'appliquée à tout l'espace:
(49.14)
Il convient
maintenant de se rappeler, que dans le modèle classique
(relativité
Galiléenne), nous aurions écrit que la position du
point A
pour l'observateur O à partir des informations données
par
O'
serait et
réciproquement (cf. chapitre de Mécanique
Classique) tel que:
(49.15)
Dans le modèle
relativiste, nous devons par contre admettre que le temps t
qui est en relation avec x n'est pas le même que t' qui
est en relation avec x', principe de relativité oblige
(sinon quoi il serait donc impossible d'expliquer l'invariance
de la vitesse de
la lumière) !
Nous sommes
alors amenés à poser la relation précédente sous la forme suivante:
(49.16)
où serait
une valeur numérique à déterminer. Car
pour expliquer la constance de la vitesse de la lumière
c'est que l'espace doit s'ajuster en permanence en fonction de
notre
vitesse v. Ce qui est révolutionnaire comme nous l'avons
déjà mentionné!
Remarque: Un lecteur nous a demandé pourquoi
nous ne pourrions pas
écrire la dernière relation sous la forme simplifiée
suivante (en utilisant la relation x = ct obtenue
plus haut) si le point A se trouvait sur l'axe X:
(49.17)
La seule raison tient au fait que plus tard nous
allons introduire une écriture vectorielle (matricielle)
de ce résultat faisant apparaître le concept de quadrivecteur
et que c'est sous la première
forme d'écriture (celle faisant explicitement référence
au temps) que nous pouvons clairement faire apparaître
le concept d'espace-temps.
De plus, si
,
nous devons aussi pouvoir exprimer t'
comme fonction de t et de x
sous une forme similaire:
(49.18)
Résumons la
forme du problème:
(49.19)
à déterminer .
Et ensuite:
(49.20)
à déterminer: a, b.
Nous cherchons alors à déterminer la relation permettant
de connaître
les valeurs des coefficients ,
a et b qui satisfont simultanément:
et
(49.21)
Compte tenu de ce qui précède et en se rappelant
que y'
= y et z'
= z,
la dernière
relation devient :
(49.22)
Distribuons:
(49.23)
Pour satisfaire
la relation:
(49.24)
Il faut que:
(1)
(2)
(3)
(49.25)
Il est facile
de résoudre (2):
(49.26)
Nous introduisons
alors ce résultat dans (1) et (3) et nous arrivons à:
(1')
(2')
(49.27)
Si nous divisons
(1') par (2'), nous obtenons:
(49.28)
et en introduisant
ce dernier résultat dans la relation :
(49.29)
nous
obtenons le résultat remarquable suivant:
(49.30)
que nous notons
souvent:
(49.31)
et que nous
appelons "facteur de Michelson-Morley"
avec:
(49.32)
En introduisant
également:
(49.33)
dans:
(49.34)
nous obtenons:
(49.35)
Posons maintenant (afin d'être
conforme aux notations d'usage):
(49.36)
avec donc le paramètre sans dimensions et toujours inférieur
ou égal à l'unité:
(49.37)
QUADRIVECTEUR
DÉPLACEMENT
Nous en tirons
les relations de "transformation de
Lorentz"
pour passer des valeurs mesurées par O' à celles
mesurées par O et inversement:
(49.38)
qui ont par
ailleurs comme propriété d'être covariantes
(se traduisent par des relations ayant même structure
lors d'un changement de référentiel Galiléen).
Nous remarquons à travers ces relations que le concept de "temps"
y est donc quelque chose d'individuel relatif au déplacement que
nous avons avons par rapport aux autres (il s'agit du "temps
propre").
Raison pour laquelle il n'est pas possible de définir un "temps
commun" entre deux personnes en mouvement relatif qui ne connaissent
pas leur vitesse respective l'une par rapport à l'autre (et encore
nous ne prenons pas ici en compte la gravité qui déforme l'espace-temps...
nous verrons cela dans le chapitre de Relativité
Générale).
Remarque: Si v est beaucoup plus petit que c,
nous retrouvons la transformation de Galilée.
Nous pouvons aussi écrire
les dernières relations sous la forme (le lecteur remarquera
que cette fois les unités de tous les termes à gauche de
l'égalité sont
identiques - il s'agit à chaque fois d'une distance!):
(49.39)
Bien évidemment la différence est que la quatrième
dimension constituant la partie temporelle de "l'espace-temps"
semble contrairement aux
coordonnées spatiales d'usage avoir une direction particulière
privilégiée: la "flèche
du temps" (on ne peut pas revenir à un
instant temporel donné dans
la réalité alors
que cela est possible quand on parcourt une distance purement spatiale).
Cette direction du temps est imposée par le deuxième
principe de la thermodynamique comme quoi l'entropie ne peut faire
qu'augmenter (cf.
chapitre de Thermodynamique). Si cela n'était pas
le cas alors tous les temps existeraient déjà et
on pourrait parcourir le temps comme un distance et le futur serait
déjà
écrit et on pourrait revenir dans le passé. Cependant
la thermodynamique ne donne pas un direction particulière
au temps... donc si notre temps à la direction qu'il a....
c'est parce que notre Univers
était organisé à sa création (donc
qu'il avait une faible entropie).
Nous pouvons alors mettre
les transformations de Lorentz des coordonnées et du
temps sous la forme matricielle (cf. chapitre d'Algèbre
Linéaire)
traditionnelle suivante qui définit la "matrice
de Lorentz" ou de "matrice
de Lorentz-Poincaré":
(49.40)
et réciproquement:
(49.41)
ce qui donne:
(49.42)
sous forme indicielle cela
est plus fréquemment noté:
(49.43)
ce qui sous forme tensorielle
s'écrit:
ou
(49.44)
Il s'agit de la forme traditionnelle chez les physiciens de l'expression
de changement de référentiel localement inertiel par une transformation
de Lorentz.
Remarque: Nous retrouvons le tenseur (la matrice) de transformation
de Lorentz dans certains ouvrages sous la forme condensée  voire
parfois  ou
encore 
.
Le vecteur:
(49.45)
est appelé le "quadrivecteur
d'espace-temps" ou encore "quadrivecteur
déplacement".
Remarquons que puisque:
(49.46)
la transformation
par la matrice
conserve donc la norme. En termes géométriques il
s'agit donc d'une "isométrie".
INVARIANCE
DE L'ÉQUATION D'ONDE
Maintenant que nous avons
déterminé les transformations de Lorentz, nous pouvons
contrôler si l'équation d'onde est invariante relativement
à ces dernières (rappelons que nous avons démontré
plus haut qu'elle n'était pas invariante sous une
transformation Galiléenne).
Partant de la transformation
de Lorentz écrite en clair:
(49.47)
nous calculons les dérivées
partielles par rapport à x et t (l'expression
après la deuxième égalité ayant été démontrée plus haut dans ce
chapitre):
(49.48)
Ces relations peuvent aussi
s'écrire:
(49.49)
Au carré:
(49.50)
Dans les équations
de Maxwell, ou plutôt dans l'équation de propagation
du champ électrique ou magnétique dans le vide,
nous avons montré (cf. chapitre
d'Électrodynamique) que
l'opérateur suivant apparaissait:
(49.51)
En y substituant les expressions
différentielles précédentes:
(49.52)
Nous avons donc bien:
(49.53)
qui montre qu'une transformation
de Lorentz laisse invariant cet opérateur (Jackpot!).
Nous avons donc obtenu ce que nous cherchions (l'équation
d'onde mais dans l'autre référentiel)!
Le lecteur remarquera aussi que cela ne fonctionne que si et seulement
si la vitesse de propagation des ondes se fait à la vitesse
de la lumière.
interprétation
hypergéometrique
Revenons maintenant à
nos transformations de Lorentz. Rappelons que nous nous sommes restreints
au cas particulier où les axes d'espaces étaient parallèles
(ce qui nous avait amené à définir le terme
"transformations de Lorentz pures"). Cette configuration spéciale
a une propriété géométrique intéressante
dont parfois de nombreux ouvrages font usage.
Voyons de quoi il s'agit:
Nous avons vu dans le cadre
des transformations de Lorentz des longueurs que nous avions une
transformation spéciale (boost) selon un axe, à savoir
l'axe OX,
requérant dans ce cas pour les autres composantes :
(49.54)
Cela nous permet tout à fait de réduire la matrice
de transformation (matrice que
nous avions obtenue plus haut) à une matrice
de composantes A, B, C et D telle
que:
(49.55)
Nous remarquons que les composantes A, B, C, D respectent
par construction les expressions suivantes:
(49.56)
La première relation
peut être mise en relation avec la relation remarquable
de la trigonométrie hyperbolique (cf.
chapitre de Trigonométrie):
(49.57)
Et donc:
et
(49.58)
la deuxième qu'il
existe tel que:
et
(49.59)
Remarque: Le choix du signe "-" pour C et B est
utile car comme nous avons toujours 
(de même pour 
qui est strictement positif) cela nous imposera à la fin
des calculs d'avoir  .
Dès lors, comme 
et 
la seule manière pour que C (ainsi que B)
puisse
être négatif c'est de mettre un "-".
La troisième donne
alors la relation d'addition remarquable:
(49.60)
et donc la différence
que nous noterons plus simplement est
nulle.
Ce qui valide les relations:
(49.61)
La matrice se présente donc comme suit:
(49.62)
Finalement, les transformations
de Lorentz spéciales de vitesse v suivant l'axe OX
peuvent aussi s'écrire:
(49.63)
ce qui nous amène
à écrire:
et (49.64)
La quantité
(sans dimensions) est appelée "rapidité"
par ceux qui l'utilisent en physique des hautes énergies.
L'intérêt de travailler avec des angles est
de rendre la combinaison de 2 boosts plus aisée.
Nous nous arrêterons ici en ce qui concerne l'étude
géométrique de la relativité restreinte
trouvant que cela a de moins en moins d'intérêt
de procéder
ainsi (bien que ce soit fort sympathique).
QUADRIVECTEUR
VITESSE
Nous pouvons de même
déterminer les transformations de Lorentz des vitesses.
Considérons
une particule en mouvement dans le référentiel inertiel
O' telle qu'au temps t', ses coordonnées soient
x', y', z'.

Figure: 49.2 - Configuration pour l'étude du quadrivecteur vitesse
Dès lors, les composantes
de la vitesse v' sont:
(49.65)
Quelles sont alors les composantes
de sa vitesse dans O (rappelons que O' s'éloigne
à vitesse v!) ?
À nouveau, nous écrivons:
(49.66)
Nous pouvons différencier
les équations de transformation des composantes que nous
avons obtenues avant et ainsi pouvons écrire:
(49.67)
Dès lors, nous avons:
(49.68)
et de même:
(49.69)
et:
(49.70)
Et comme la vitesse constante
du référentiel O' est donnée par ,
nous avons alors:
(49.71)
et inversement:
(49.72)
Dans la limite de la mécanique
classique, où la vitesse de la lumière était
supposée instantanée et donc ,
nous retrouvons:
(49.73)
qui sont les transformations
de Galilée telles que nous les avons vues dans le chapitre
de Mécanique
Classique.
Comme nous pouvons le voir,
les transformations des vitesses ne suivent pas trop la forme de
la matrice de Lorentz que nous avions déterminée
plus haut pour les coordonnées. Les physiciens, n'aimant
pas ce qui est inhomogène, ont cherché à avoir
les mêmes transformations pour les deux.
Ainsi, reprenons les relations
de transformation des vitesses et réécrivons les
telles que ci-dessous:
(49.74)
Ces relations peuvent s'écrire
différemment si nous calculons:
(49.75)
Soit en simplifiant un peu:
(49.76)
Posons:
(49.77)
et:
(49.78)
et:
(49.79)
où cette dernière égalité suppose par souci de simplification
que la vitesse d'entraînement et donc que l'étude d'une seule composante
suffit et qui est celle colinéaire à l'axe de déplacement.
Avec cette notation et simplification il nous sera aisé de
déterminer
la composante temporelle, en effet la relation:
(49.80)
s'écrit:
(49.81)
Le lecteur remarquera que nous avons donc trois lambdas: un lié
à la vitesse d'entraînement, le deuxième lié à lla norme du vecteur
de la particule dans le référentiel O et
le troisième relatif à
la norme du vecteur dans le référentiel O'.
Mais en réalité suite à notre simplification faite plus haut nous
savons que cela que dans le référentiel O'
la particule est à l'origine en Y ' et en Z '.
En procédant de même
pour chacune des composantes spatiales, nous aurons au final:
(49.82)
et nous avons atteint ici
notre objectif d'homogénéisation qui nous permet
d'écrire
si nous posons:

le système suivant:
(49.83)
ce qui sous forme tensorielle
s'écrit parfois:
ou
(49.84)
Le vecteur:
(49.85)
est quant à lui appelé
le "quadrivecteur vitesse".
QUADRIVECTEUR
COURANT
Nous avons défini
naturellement lors de notre introduction du tenseur du champ électromagnétique
(cf. chapitre d'Électrodynamique)
le quadrivecteur courant:
(49.86)
que nous pouvons écrire:
(49.87)
Dès lors, en considérant
comme la densité de charge dans le référentiel
propre se déplaçant à la vitesse v par
rapport au référentiel O' et du fait de
la contraction des longueurs dans la direction de la vitesse,
le
volume occupé
par une charge donnée sera multiplié par le facteur
de sorte que:
(49.88)
qui n'est autre que le
"quadrivecteur courant" où
nous retrouvons le quadrivecteur vitesse déterminé
précédemment.
QUADRIVECTEUR
ACCÉLÉRATION
Ayant obtenu
précédemment un quadrivecteur vitesse transformable
à l'aide de la matrice de Lorentz cherchons aussi l'équivalent
pour l'accélération.
Le quadrivecteur accélération
s'exprime naturellement comme la dérivée par rapport
au temps propre de la quadri-vitesse u tel
que (attention! dans la notation qui suit l'apostrophe
n'indique plus le référentiel O' mais
le référentiel O
et inversement... désolé pour la potentielle
confusion):
(49.89)
Rappelons que le temps propre d'une particule
est le temps mesuré dans le repère
de cette particule, c'est-à-dire dans le repère où elle
est immobile. Le temps propre dans la
littérature spécialisée
est souvent noté .
Remarque: Attention!! Si le lecteur a compris les développements
jusqu'à maintenant, l'accélération que nous
cherchons à calculer est celle d'un objet accéléré
dans un des référentiels en mouvement relatif uniforme
par rapport à un autre (ce ne sont donc pas les référentiels
qui sont en mouvement accéléré ici!!).
Il faudra d'abord que le lecteur admette (nous le
démontrons cependant un peu plus loin) que:
(49.90)
Dès lors, nous avons:
(49.91)
Si nous introduisons l'accélération
ordinaire
nous voyons que:
(49.92)
alors:
(49.93)
En utilisant la relation (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel):
(49.94)
nous trouvons que le quadrivecteur accélération
peut être écrit:
(49.95)
Le
vecteur:
(49.96)
est
appelé "quadrivecteur accélération"
et se transforme donc aussi à l'aide de la matrice de Lorentz.
Nous voyons que si
et
cette dernière relation se simplifie en:
(49.97)
Nous retrouvons
donc l'accélération classique.
En utilisant
la métrique de Minkowski (voir sa définition plus
loin), notée ,
calculons la norme du quadrivecteur accélération:
(49.98)
Remarque:Il faut bien comprendre que quand nous écrivons

il s'agit dans ce cas implicitement de la somme des carrés
des composantes du calcul entre parenthèses.
Et comme:
(49.99)
nous rassemblons cela:
(49.100)
Maintenant, nous développons la somme
de la grosse parenthèse qui devient dès lors:
(49.101)
Nous simplifions:
(49.102)
d'où:
(49.103)
Or, nous avons la relation:
(49.104)
et la propriété du produit vectoriel:
(49.105)
Ce qui nous donne finalement:
(49.106)
Imaginons maintenant un objet avec un mouvement
relatif uniformément accéléré
(accélération constante) dans notre propre référentiel.
Si nous supposons notre référentiel fixe, nous avons
.
Dès lors:
(49.107)
In extenso, si le mouvement accéléré
ne se fait que le long d'une seule composante:
(49.108)
Or, nous avons aussi:
(49.109)
Donc finalement, nous pouvons écrire:
(49.110)
Ce qui après intégration donne:
(49.111)
Nous voyons que la vitesse u n'atteint jamais c alors
que la force est toujours la même!
Nous avons donc:
(49.112)
ce qui nous donne:
(49.113)
Après réarrangement, nous écrivons
cela:
(49.114)
Nous sommes bien loin de la relation du mouvement
uniformément accéléré que nous avions
en mécanique classique. Cependant, pour t proche
de zéro, nous retrouvons la relation de la mécanique
classique en prenant le développement de Taylor au deuxième
ordre de la racine (cf. chapitre Suites
Et Séries):
(49.115)
Cependant,
ceci ne nous donne pas les relations de transformations de composantes
de l'accélération sous une forme simple. Voyons donc
comment les obtenir.
Rappelons d'abord
que nous avions obtenu pour la vitesse:
(49.116)
Il vient en les différenciant:
(49.117)
et donc:
(49.118)
Rappelons maintenant que nous avions démontré
que:
(49.119)
en différenciant il vient:
(49.120)
d'où finalement:
(49.121)
et pour les composantes y, z:
(49.122)
et donc:
(49.123)
Donc finalement:
(49.124)
Rappelons que ces relations s'appliquent lorsque les
mouvements des référentiels sont de translation uniforme!
ADDITION RELATIVISTE DES VITESSES
Comme la vitesse
de la lumière est une vitesse supposée indépassable,
nous en venons maintenant à nous demander quelle sera alors finalement
la vitesse d'un objet lancé à une vitesse proche de celle
de la lumière
(par exemple...) à partir d'un référentiel se déplaçant
lui aussi
à une vitesse proche de la lumière (pourquoi pas non plus...).
Il nous faut
alors trouver une relation qui donne la vitesse réelle V
à partir de la vitesse de lancement et
de la vitesse du référentiel .
Nous savons
que pour l'objet lancé:
(49.125)
Comme celui
qui est intéressé ne connaît pas la vitesse réelle V,
il se doit d'utiliser les transformations de Lorentz. Ainsi, compte
tenu de l'expression de t' que nous avons vue plus haut
il vient:
(49.126)
et compte tenu de l'expression de x', avons
également:
(49.127)
d'où:
(49.128)
Nous
savons que d'où
finalement la "loi de compositions des
vitesses relativistes":
(49.129)
qui est donc la vitesse d'un
corps en mouvement dans le référentiel en mouvement
par rapport au référentiel au repos (ou autrement
dit: vu par le référentiel au repos).
Et réciproquement
vu de l'autre référentiel en mouvement, nous avons
en faisant les mêmes développements (avec inversion
des signes et des vitesses bien sûr):
(49.130)
qui est donc la vitesse d'un
corps en mouvement dans le référentiel au repos par
rapport au référentiel en mouvement (ou autrement
dit: vu par le référentiel en mouvement).
VARIATION RELATIVISTE DES LONGUEURS
Considérons maintenant que la
longueur d'un objet est donnée par la distance entre ses
deux extrémités
A et B. Considérons
cet objet AB immobile dans le référentiel O'
en translation uniforme et orienté
selon l'axe O'X'.

Figure: 49.3 - Configuration pour l'étude de la variation relativiste des longueurs
Sa longueur est donc la distance entre ses deux extrémités:
(49.131)
Pour l'observateur O,
l'objet est en mouvement. Les positions de A et B
devraient donc être mesurées simultanément:
(49.132)
Il vient donc
en utilisant la relation démontrée au début de ce chapitre:
(49.133)
la différence suivante:
(49.134)
d'où le résultat remarquable:
(49.135)
que nous retrouvons aussi fréquemment dans la littérature sous
la forme suivante:
(49.136)
Ainsi,
la longueur d'une règle observée dans un référentiel
mobile par rapport au référentiel propre de la règle
est inférieure à sa longueur
propre (que l'on peut assimiler en toute généralité à une "distance
propre"). En d'autres termes, la longueur d'un objet
en déplacement mesuré par le référentiel
immobile sera plus courte que sa grandeur réelle. Ce phénomène
porte le nom de "contraction
des longueurs".
VARIATION RELATIVISTE DU TEMPS
Un événement est un phénomène
qui se produit en un endroit donné et à un instant donné.
L'origine du temps étant difficile à préciser, nous
préférerons souvent définir
la notion d'intervalle de temps comme le temps qui s'écoule
entre deux événements comme il est fréquemment
d'usage.
Considérons maintenant deux
événements A et B consécutifs
qui se produisent au même endroit x' (!) dans le référentiel
en translation uniforme:

Figure: 49.4 - Configuration pour l'étude de la variation relativiste du temps
Pour l'observateur O',
l'intervalle de temps est simplement:
(49.137)
Pour mesurer cet intervalle,
l'observateur O dans le référentiel fixe,
doit aussi imposer que x' est commun aux deux événements.
Alors en utilisant la relation démontrée au début
de ce chapitre:
(49.138)
nous obtenons:
(49.139)
d'où le résultat remarquable
ci-dessous:
(49.140)
ce qui se note sous forme condensée traditionnelle:
(49.141)
Nous en déduisons aussi en prenant un élément
infinitésimal:
(49.142)
Donc l'observateur O (immobile) mesure un intervalle de
temps d'autant plus grand que le référentiel
dans lequel se déroule le phénomène se déplace
rapidement. Le temps dans le référentiel fixe
(donc le "temps propre" du
référentiel fixe!) semble comme dilaté par
rapport à celui
en vigueur dans le référentiel mobile (dont par
rapport au "temps propre du référentiel mobile!).

Voyons un exemple d'application sympathique et (cependant)
simplifié à l'extrême:
En 1971, une vérification expérimentale directe de la dilatation
du temps fut effectuée. Deux avions à bord desquels avaient été placée
une horloge atomique au césium pendant leurs vols commerciaux réguliers
(l'un vers l'Est, l'autre vers l'Ouest) comparèrent leur horloge à une
troisième horloge atomique restée au sol. Cette expérimentation
devenue célèbre par le temps est appelée "expérience
de Hafele-Keating".
L'avion volant vers l'Est perdit 59 [ns] alors que l'avion
volant vers l'Ouest gagna 279 [ns] (la Terre tourne sur
elle-même en un jour, d'Ouest en Est). Il fut donc mesuré une différence
totale de:
(49.143)
entre les deux horloges cette différence est nettement supérieure à celle
qu'implique la relativité restreinte.
Analysons l'expérience en considérant que tous les référentiels
sont inertiels (ce qui élimine donc la relativité générale).
Remarque: En toute rigueur l'effet de la relativité générale
(ralentissement des horloges en fonction de l'altitude conformément à l'effet
Einstein vu dans le chapitre de Relativité Générale) n'est absolument
pas négligeable puisqu'il est d'une amplitude équivalente à celle
de la relativité restreinte.
Considérons pour l'étude trois repères inertiels,
un situé au
pôle Nord, un sur Terre (ailleurs qu'au pôle nord dans
l'idée!)
et un dans un avion. Les intervalles de temps et respectivement
(que nous noterons de manière abrégée pour
la suite), sont reliés entre eux par la relation démontrée
précédemment (donc le pôle nord est pris comme le
référentiel au repos dans cette expérience et donc la référence
du temps propre!):
(49.144)
où nous avons donc:
(49.145)
Les repères sur Terre et dans l'avion ont donc des vitesses relatives et par
rapport au pôle nord. Les temps en avion et sur Terre sont donc
reliés par:
(49.146)
Nous allons réécrire cette relation:
(49.147)
Nous allons accepter l'approximation suivante:
(49.148)
où nous avons supposé au dénominateur que:
(49.149)
Pour les racines dont la valeur est de toute façon proche de
1 (puisque c est beaucoup plus grand que les vitesses relatives
considérées), nous pouvons faire un développement de Taylor au
deuxième ordre lorsque x tend vers zéro:
(49.150)
Nous pouvons alors écrire:
(49.151)
Grâce à ces approximations successives, nous pouvons facilement écrire
la différence entre les deux horloges qui est alors de:
(49.152)
Selon les hypothèses initiales, la vitesse de croisière des deux
avions par rapport au sol est constante et sera notée v.
La vitesse de chaque avion (non relativiste selon les approximations
précédentes!) est alors:
(49.153)
suivant que l'avion va vers l'Est et:
(49.154)
suivant que l'avion va respectivement vers l'Ouest. Alors:
(49.155)
Nous allons considérer que (c'est assez grossier...):
(49.156)
Donc il reste:
(49.157)
Nous voyons bien évidemment qu'avec les approximations effectuées,
nous perdons l'asymétrie de la dilatation du temps entre l'Est
et l'Ouest. Celui que cela dérange peut appliquer alors directement
les valeurs numériques à la relation antéprécédente.
Le résultat précédant des approximations successives permet déjà de
voir de manière formelle et rapide que le signe sera en accord
avec le résultat expérimental.
Pour une application pratique, nous prendrons la vitesse constante
des avions commerciaux de l'époque qui valait:
(49.158)
et le voyage total des avions dura 41 heures selon la mesure
au sol soit:
(49.159)
et un point de la surface Terrestre va à la vitesse:
(49.160)
où le rayon de la Terre étant de 6'371 kilomètres (cela suppose
que les avions sont sur le rayon de l'équateur!). Nous avons donc
en application numérique:
(49.161)
ce qui mène à un résultat très proche de la mesure qui fut effectuée.
Et en utilisant directement la version non approximée:
(49.162)
où nous avons pris cette fois-ci la vitesse de rotation de la
terre à la latitude conforme à l'expérience faite en 1971:
(49.163)
Donc nous voyons que le résultat n'est dès lors plus très conforme à l'expérience!
Effectivement, il faut maintenant prendre en compte dans ce cas
non approximé l'accélération
du temps dû à la gravité. Nous allons devoir utiliser la
relation de l'effet Einstein démontrée dans le chapitre de Relativité Générale:
(49.164)
qui exprime donc que le temps au sol s'écoule moins rapidement
que le temps à l'altitude h.
D'après le compte-rendu de l'expérience, les avions ont volé à 10'000
[m] d'altitude. Ce qui donne (l'accélération g n'est
pas la même au sol qu'à l'altitude pour rappel!) une accélération
du temps:
(49.165)
Or, nous voyons que les deux avions étant tous deux à la même
hauteur, nous avons toujours:
(49.166)
Donc, soit il y a d'autres effets, de l'ordre de la Relativité Générale,
qui devraient être pris en compte pour expliquer les 67 [ns]
de différence par rapport à l'expérience, soit il s'agit d'un problème
de précision des appareils de l'époque.
Au fait, nous verrons une étude détaillée
de cette expérience
dans le chapitre de Relativité Générale et
nous verrons que les valeurs théoriques sont alors en très
très bon accord avec les résultats
expérimentaux.
PARADOXE DES JUMEAUX
Nous pouvons déjà considérer le fameux paradoxe
des jumeaux dans le cas de la relativité restreinte pour
montrer que le paradox des jumeaux ne s'applique pas qu'aux systèmes
non inertiels. Il s'agit d'un approche grossière (sachat
que la manière
rigoureuse sera abordée dans le
chapitre de Relativité Générale).
Considérons une fusée décollant au temps
t nul de la Terre et accélérant à 20
fois l'accélération de la gravité terrestre
g jusqu'à une
vitesse de croisière 90% de celle de la lumière c.
Supposons que la fusée continue à cette vitesse pendant
une année
terrestre et décélère avec la même intensité pour
reprendre son voyage vers la Terre et accélère à nouveau
pour lors de son approche vers le Terre décélérer
encore une fois pour avoir au final une vitesse nulle.
(49.167)
Ainsi, le temps propre passé pour un terrien resté
sur Terre est au total de:
(49.168)
Pour le voyageur dans la fusée, le temps propre
pendant les phases d'accélération sera donné grossièrement
par:
(49.169)
Soit en intégrant (en utilisant la primitive
usuelle démontrée dans le chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral) pour une des phases d'accélération de la fusée
cela donne:
(49.170)
Et le temps propre pour la partie en vitesse de croisière
constante:
(49.171)
Et donc le temps propre total dans la fusée est alors:
(49.172)
Donc comparé à la personne restée
sur Terre, celle qui était dans la fusée à vieilli
environ deux fois moins!!! Il s'agit d'un paradoxe (plutôt
un "sophisme"
en réalité) car on ne peut appliquer avec exactitude
la relativité restreinte à
des référentiels non inertiels. Il n'empêche
que même avec la Relativité
Générale, il y a une différence de temps!
VARIATION RELATIVISTE DE LA MASSE
Bon d'abord attention le titre est abusif par tradition! Nous
verrons un peu plus loin pourquoi.
En attendant, imaginons une collision frontale entre
deux objets identiques (1), (2) ayant
dans le référentiel
des
vitesses égales mais opposées. Nous supposerons
que cette collision est élastique, c'est-à-dire
que l'énergie cinétique et la quantité de
mouvement sont conservées.
Avant le choc, les composantes
des vitesses des objets (1) et (2) sont:
(49.173)
comme indiqué ci-dessous:
Figure: 49.5 - Configuration pour l'étude de la variation relativiste de la masse
Après le choc, nous
avons:
(49.174)
Nous allons maintenant faire la transformation de Lorentz suivante
:
- Nous nous donnons un autre référentiel R et
supposons que les référentiels et R sont
en translation uniforme de vitesse selon
l'axe OX dans le sens positif (c'est-à-dire dans
la même
direction et à la même vitesse horizontale que la particule
1).
- Pour notre particule 1 sa trajectoire est devenue
telle qu'elle ne présente pas de vitesse selon l'axe OX.
Allons-y! Plaçons-nous dans un référentiel R qui
se déplace
par rapport à
avec la vitesse
suivant OX, les composantes des vitesses dans ce référentiel
sont avant choc:
(49.175)
et après le choc:
(49.176)
Nous avons donc trivialement dans le référentiel R:
(49.177)
mais en appliquant la loi
de composition des vitesses démontrée plus haut:
(49.178)
pour les composantes de
l'axe horizontal
nous avons toujours dans le référentiel R:
(49.179)
et pour le mouvement vertical,
nous avons vu plus haut que:
(49.180)
Ainsi, il vient:
(49.181)
En passant de
à R, la composante suivant y de la quantité
de mouvement totale doit rester nulle (comme c'était le
cas dans initialement). Or:
(49.182)
Pour sortir de cette impasse,
il faut admettre que les masses respectives
des objets (1) et (2) ne peuvent être identiques dans R.
Alors cela nous amène à imposer:
(49.183)
ce qui entraîne:
(49.184)
Dans R, le carré de la norme
des vitesses des deux objets donne:
(49.185)
La dernière relation
peut s'écrire:
(49.186)
de sorte qu'après réarrangement et factorisation:
(49.187)
Soit:
(49.188)
où nous avons posé:
(49.189)
Nous trouvons ainsi:
(49.190)
Nous poserons maintenant:
(49.191)
où
est évidemment la masse au repos de l'un ou l'autre des objets
identiques (1) et (2).
Le raisonnement que nous
venons de faire sur un exemple simple montre que l'inertie (et
non la masse!) d'un objet semble dépendre de sa vitesse v dans
un référentiel
donné. Au fait, pour être plus exact, c'est le facteur
de Michelson-Morley qui varie et non pas la masse en elle-même
car celle-ci est un invariant relativiste!
D'une
façon générale, étant
la "masse au repos":
(49.192)
Puisque la masse est donc fonction de v (en apparence),
certains physiciens notent la masse au repos comme une fonction,
c'est-à-dire: m(0). Mais il est plutôt d'usage
de la noter afin
de ne pas avoir trop de parenthèses dans les développements...
Ainsi, le facteur de
Michelson-Morley
tend vers l'infini lorsque la vitesse tend vers la vitesse c de
la lumière dans le vide. C'est une raison supplémentaire
pour affirmer que c est la limite supérieure assignée
à la vitesse de tout objet matériel, ce qui est conforme
à la fois à l'expérience et aux conséquences
déjà formulées de la transformation de Lorentz.
Il en découle déjà un constat important: il y a donc deux types
de particules, celles qui ont une masse et n'iront jamais à la
vitesse de la lumière (car il faut alors une énergie infinie
pour les y amener), et celles qui ont une masse nulle et qui vont
donc obligatoirement à la
vitesse de la lumière.
Les forces d'interactions sont à courte portée à cause
justement de l'incertitude. Plus la distance est grande entre des
particules qui intergissent, plus le temps sera long et donc plus
l'énergie sera faible. Mais dans le cas où la particule
message de l'interaction n'a pas de masse, la force est à longue
portée
ÉQUIVALENCE MASSE-ÉNERGIE
Sous l'action d'une force
F, la vitesse d'une masse m augmente ou diminue sur
chaque portion de la trajectoire. Le travail de la composante peut
s'interpréter alors en énergie cinétique ..
Dans la théorie relativiste,
la masse varie avec la vitesse, donc:
(49.193)
L'intégration par parties
(cf. chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral):
(49.194)
nous donne:
(49.195)
Le gain d'énergie cinétique
d'une particule peut donc être considéré
comme gain de sa masse. Puisque est
la masse au repos, la quantité est
appelée "énergie au repos" de
la particule.
Nous avons
donc:
(49.196)
où représente
donc l'énergie de mouvement (l'énergie cinétique).
La somme:
(49.197)
représente
donc l'énergie totale E de la particule en absence
du champ de potentiel. Ce
qui nous amène à écrire:
(49.198)
Finalement nous aurions aussi pu obtenir le même
résultat autrement:

LAGRANGIEN
RELATIVISTE
Les développements
suivants vont nous permettre dans l'étude de l'électrodynamique
(si ce chapitre n'a pas encore été lu), de déterminer
l'expression du tenseur du champ électromagnétique
ainsi qu'en physique quantique relativiste de déterminer l'équation
de Klein-Gordon avec champ magnétique. Il faut donc bien lire
ce qui va suivre.
En relativité, nous
voulons donc que les équations du mouvement aient la
même
forme dans tous les référentiels inertiels. Pour
cela, il faut que l'action S (cf.
chapitre de Mécanique
Analytique) soit donc invariante par rapport aux transformations
de Lorentz.
Guidés par ce principe, essayons d'obtenir l'action d'une
particule libre. Supposons que l'action soit dans le référentiel
O':
(49.199)
Remarques:
R1. Le choix du signe moins
deviendra évident lors de notre étude de l'électrodynamique.
R2. La notation
au lieu de L pour le lagrangien permet simplement de mettre
en évidence qu'il s'agit d'un cas d'étude où le
système
est libre. Cette distinction de notation sera utile lors de notre
étude de la relativité générale et
de la détermination du tenseur du champ électromagnétique.
R3. Nous ne sommes pas censés savoir à quel type
de masse nous avons affaire (masse au repos ou inertielle) d'où le
fait que dans l'ignorance, nous travaillerons avec la masse inertielle
m quitte à corriger cette hypothèse plus loin.
Et rappelons que:
(49.200)
Dans le référentiel
O, nous avons alors "l'action
invariante de Lorentz":
(49.201)
Donc selon notre hypothèse
initiale, nous avons pour le lagrangien relativiste (en l'absence
du champ de potentiel donc... puisque le système est "libre"):
(49.202)
Dans l'approximation non-relativiste
,
nous avons selon le développement de Maclaurin:
(49.203)
Nous retrouvons donc le lagrangien
habituel d'un système libre en mouvement mais plus une constante
qui n'affecte cependant pas les équations du mouvement que
nous obtenons en mécanique classique mais qui nous sera
absolument nécessaire en électrodynamique.
Rappelons maintenant que
le moment généralisé (cf.
chapitre de Mécanique
Analytique) est défini par:
(49.204)
Nous allons voir maintenant
que cette définition n'est pas fortuite. Effectivement:
(49.205)
L'hamiltonien (cf.
chapitre de Mécanique Analytique) vaut:
(49.206)
ce qui donne:
(49.207)
L'hamiltonien est dans ce
cas égal à l'énergie totale de la particule.
Son expression nous conduit à changer quelque peu notre
hypothèse
initiale et finalement à écrire
au lieu de m
dans l'expression de l'action S.
Ainsi, nous avons finalement:
(49.208)
et:
(49.209)
Dans l'approximation non
relativiste ,
devient avec un développement de Maclaurin (cf.
chapitre sur les Suites Et Séries):
(49.210)
Nous reconnaissons l'énergie
cinétique usuelle, plus une constante: l'énergie
au repos. Ce qui correspond bien aux calculs que nous avions faits
avant où nous avons obtenu:
(49.211)
QUANTITÉ DE MOUVEMENT RELATIVISTE
L'énergie totale E
et la quantité de mouvement d'une
particule peuvent donc prendre n'importe quelle valeur positive
(si la vitesse tend vers la valeur limite c,
la masse s'adapte pour que le produit ne
soit pas borné).
Dans l'expression de E
, nous pouvons remplacer
la vitesse par
une fonction de :
(49.212)
introduit dans:
(49.213)
nous avons:
(49.214)
d'où
(nous reviendrons sur cette relation de la plus haute importance
lors de notre démonstration de la relation d'Einstein):
(49.215)
Nous
n'avons pas gardé la partie négative de l'égalité précédente car
elle n'a aucun sens en physique classique. Cependant, lorsque
nous
étudierons la physique quantique relativiste, il s'avérera indispensable
de la préserver sinon quoi nous arriverons à des absurdités.
Cependant,
nous pouvons bien évidemment écrire cette dernière
relation aussi sous la forme:
(49.216)
ou encore (beurk!):
(49.217)
En d'autres termes, l'énergie
totale d'une particule en mouvement est égale à son
énergie de masse additionnée par son énergie
cinétique (rien de fondamentalement nouveau).
Cette relation présente
deux cas limites où nous pouvons réduire la formule:
C1. Pour une particule au
repos (p=0), nous pouvons réduire l'expression à
(en omettant l'énergie négative...pour l'instant).
C2. Nous pouvons appliquer l'équation à une particule
sans masse de manière à éliminer le premier
terme, ce qui nous donne alors .Un
photon, par exemple, a une masse nulle au repos mais
il n'est jamais au repos... Par définition, c'est un
quantum d'énergie,
son énergie cinétique n'est donc jamais nulle et
il a donc une masse correspondant à son énergie
cinétique.
Ainsi, une particule de masse nulle au repos se déplace à
la vitesse de la lumière, quel que soit le référentiel
choisi! À l'inverse, une particule ayant une masse au repos
non-nulle
ne pourra jamais atteindre la vitesse de la lumière dans
aucun référentiel.
Remarques:
R1. Comme nous le
démontrerons plus loin (voir la "relation d'Einstein"), à
partir de la définition de la loi de Planck, nous pourrons
écrire .
R2. La masse du photon peut difficilement être non nulle!
Effectivement, la théorie
quantique serait alors fausse dans le cas contraire. Or, elle
n'a jamais été mise
à défaut à ce jour (cf.
chapitre de Physique Quantique Ondulatoire). On aurait également
un léger changement sur la loi des forces électrostatiques
et gravitationnelles selon le potentiel de Yukawa (cf.
chapitre de Physique Quantique Des Champs) et
cela se remarquerait.
Cherchons maintenant les
relations entre p et p'
ainsi qu'entre E et E',
pour qu'il soit possible à O' d'écrire:
(49.218)
Nous commençons alors à nous
débarrasser de la racine carrée:
(49.219)
Si O écrit:
(49.220)
O' doit pouvoir écrire:
(49.221)
Nous avons donc:
(49.222)
Si nous comparons:
,
,
et
(49.223)
nous obtenons des expressions
semblables à celles utilisées pour les transformations
de Lorentz des composantes spatiales et temporelles. Nous pouvons
alors écrire, par similitude, que les transformations pour la quantité
de mouvement et l'énergie sont dès lors données par:
(49.224)
À nouveau, si nous prenons:
(49.225)
toujours avec
.
Nous avons dès lors en exprimant
toutes les relations précédentes de transformation
dans les mêmes
unités en se souvenant que :
(49.226)
Nous pouvons alors définir
une matrice telle que:
(49.227)
où nous retrouvons
la "matrice de Lorentz" ou "tenseur symétrique de Lorentz"
.
Le vecteur:
(49.228)
est quant à
lui, appelé le "quadrivecteur
d'énergie-impulsion" ou plus simplement "quadrivecteur
impulsion".
Son utilité
est que sa valeur est conservée, lors d'une réaction
nucléaire. Si nous additionnons ces vecteurs sur toutes
les particules (sans oublier les photons) avant et après
la réaction,
nous trouvons les mêmes sommes pour les 4 composantes.
Remarques:
R1. La transformation inverse
étant effectuée bien évidemment avec la matrice inverse
que nous avons déjà exposée plus haut.
R2. Nous utilisons en optique
relativiste le quadrivecteur ,
où
est la pulsation de l'onde et
le vecteur d'onde (cf. chapitre de Mécanique
Ondulatoire ou Optique Ondulatoire). Ce quadrivecteur est
l'équivalent
pour une onde électromagnétique du quadrivecteur
pour une particule, multiplié par la constante de Planck .
En effet, la dualité onde-corpuscule (cf.
chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) attribue à une
onde une énergie:
(49.229)
et une quantité de
mouvement dont la norme est:
(49.230)
Revenons sur le relation suivante qui est central dans certains
domaines de la physique quantique:
(49.231)
Soit:
(49.232)
Ce qui peut s'écrire sous forme vectorielle (forme
très courante):
(49.233)
Cette dernière relation nous sera très utile dans
le chapitre de Physique Quantique Relativiste pour calculer l'énergie
de photons virtuels d'échange.
Pour les photons, puisque la masse est nulle, nous
avons:
(49.234)
RELATION
D'EINSTEIN
Suivant le principe de relativité,
nous souhaitons que la relation entre la quantité de mouvement et
l'énergie d'une onde électromagnétique s'écrive de la même manière
pour deux observateurs d'inertie en translation l'un par rapport
à l'autre:
Si O écrit:
(49.235)
alors O'
doit pouvoir écrire:
(49.236)
Reprenons la première relation
ci-dessus et mettons-la au carré sans oublier que le photon à une
masse nulle .
Alors:
(49.237)
et
comme :
(49.238)
Étant donnée connue la relation
de Planck (définie en thermodynamique):
nous sommes amenés
à écrire la fameuse "relation d'Einstein"
que nous retrouverons très souvent en physique quantique ainsi
qu'en thermodynamique:
(49.239)
FORCE RELATIVISTE
Suivant le principe de la
relativité, nous voulons que la relation entre la force et la quantité
de mouvement s'écrive de la même manière
par deux observateurs d'inertie en translation l'un par rapport
à l'autre:
Ainsi, si O écrit:
(49.240)
O'
doit pouvoir écrire:
(49.241)
La relation entre est
assez compliquée dans le cas général. Nous nous limiterons ici au
cas particulier où un corps est momentanément immobile dans O'
et où donc l'observateur O'
ne tiendra compte que de la force qu'il
applique. Il l'appellera par ailleurs "force
propre",
car il n'a pas à se préoccuper d'autres forces (comme une force
centrifuge, par exemple).
Il faut substituer p' et t' par p et t dans:
(49.242)
Puisque:
(49.243)
nous aurons:
(49.244)
Nous avons par ailleurs vu
que:
(49.245)
Il reste donc:
(49.246)
La composante de la force
est donc invariante dans la direction du déplacement.
Pour les directions y,
z perpendiculaires au déplacement:
et
(49.247)
En résumé:
(49.248)
Cependant, pour passer d'un
référentiel à un autre, il vaut mieux utiliser
le "quadrivecteur force"
défini comme la dérivée du quadrivecteur impulsion
par rapport au temps propre:
(49.249)
Effectivement, rappelons
que:
(49.250)
ÉLÉCTRODYNAMIQUE RELATIVISTE
Avec un spectromètre de masse,
nous établissons que le rapport m/q de la masse m
d'une particule par sa charge électrique q varie de la même
manière que la masse m
lorsque la vitesse v
de la particule varie:
(49.251)
Ainsi,
il vient que:
(49.252)
La charge d'une particule
est donc indépendante de sa vitesse comme nous l'avons démontré
dans la section d'électromagnétisme (cf.
chapitre d'Électrodynamique)
lors de la détermination de l'équation de conservation de la charge.
Considérons maintenant deux
charges q et
Q immobiles
dans le référentiel O' en translation à vitesse v
par rapport à O :

Figure: 49.6 - Configuration pour l'étude des transformations des champs électrique
et magnétique
Nous allons nous restreindre
au cas où la vitesse
est parallèle à l'axe OX:
(49.253)
et nous notons le vecteur à l'horizontale pour économiser un peu
de papier...
La charge Q est placée
en O' et elle est donc immobile pour O'
. L'observateur O'
conclut qu'une force électrostatique:
(49.254)
agit donc sur la charge témoin
q placée en .
(49.255)
L'observateur O
voit également un champ électrostatique en
,
mais il voit aussi que Q est en mouvement selon l'axe OX.
Il en déduit donc l'existence d'un champ magnétique en
orienté
dans le plan YZ:
(49.256)
Il mesure donc
la force (cf. chapitre de Magnétostatique)
de Lorentz (supposée
connue):
(49.257)
Mais:
(49.258)
Donc:
(49.259)
Nous avons vu maintenant:

(49.260)
La comparaison des expressions
ci-dessus donne les transformations relativistes du champ électrique:
(49.261)
Comme pour la transformation
de Lorentz des composantes spatiales et temporelles, nous avons
obtenu les transformations inverses en échangeant les champs et
en considérant que O' voit O reculer (nous remplaçons
donc v par -v).
Les relations ci-dessus, parfois nommées "équations
de Joules-Bernoulli du champ électrique" mettent
bien en évidence que si par exemple le champ électrique dans un
des référentiels est nul mais le champ magnétique ne l'est pas,
alors un champ électrique existe du point de vue de l'autre référentiel!!!
C'est donc une victoire absolue de la relativité par rapport à
la mécanique classique!!
Pour obtenir les transformations
relativistes du champ magnétique, nous procédons
comme ci-dessous:
(49.262)
Après quelques petites manipulations
d'algèbre très élémentaire, nous obtenons:
(49.263)
Nous faisons identiquement:
(49.264)
Après encore une fois quelques
petites manipulations d'algèbre très élémentaire, nous obtenons:
(49.265)
et ainsi de suite. Nous obtenons
finalement:
(49.266)
Les relations ci-dessus, parfois nommées "équations
de Joules-Bernoulli du champ magnétique" mettent
bien en évidence que si par exemple le champ magnétique
dans un des référentiels est nul mais le champ
électrique ne l'est pas, alors un champ magnétique
existe du point de vue de l'autre référentiel!!!
C'est donc encore une fois une victoire absolue de la relativité par
rapport à la
mécanique classique!!
Étudions maintenant le comportement
du champ électromagnétique d'une charge en mouvement:
Soient deux référentiels
parallèles O et O',
en translation à vitesse constante v selon l'axe XX'
:

Figure: 49.7 - Configuration pour l'étude de transformations électrodynamiques
où une
charge immobile Q est placée en O'.
Il
est clair alors que l'observateur O mesure partout
et qu'au point P du plan X 'Y ', en il
mesure le champ électrostatique (cf.
chapitre Électrostatique):
(49.267)
Si l'observateur O
est informé des valeurs de et
de ,
il peut les introduire dans les transformées relativistes
donnant le champ électrique qu'il
observe:



(49.268)
Pour écrire une expression
du champ
au point P, l'observateur O doit déterminer, à un
instant t de son temps local, les composantes du vecteur
qui
sépare le point P de la charge Q (en sommant les
vecteurs positions de ces deux derniers points matériels).
Les coordonnées du point P
et de la charge Q qu'il voit dans le plan XYZ
sont données par les transformations de Lorentz habituelles:
et
(49.269)
Il en déduit donc facilement,
par sommation les distances x, y.
Une autre méthode, plus simple,
est qu'étant donné que la composante x est
une longueur, elle subit donc les transformations de Lorentz et:
(49.270)
Car rappelons-le:
et
(49.271)
La transformée relativiste
du champ électrique donne alors:
(49.272)
et:
(49.273)
Écrit sous forme vectorielle:
(49.274)
Il nous faut encore déterminer
comment exprimer r' en
fonction de r :
(49.275)
car (théorème de Pythagore):
(49.276)
L'écriture se simplifie si
nous utilisons l'angle formé par le vecteur champ électrique
et l'axe OX. Nous notons alors dans
O' et dans
O les angles donnés par:
et
(49.277)
avec à
cause de la dilatation des longueurs selon l'axe OX.
Nous éliminons y
avec:
(49.278)
Ainsi, le champ électrique
que
voit O est donné par:
(49.279)
Le facteur contenant montre
que le champ électrique d'une
charge en mouvement n'a plus la symétrie sphérique. Il dépend de
la direction du vecteur .
À distance égales, le champ
électrique est plus intense dans la direction verticale à celle
du déplacement ( )
que dans la direction du déplacement de la charge ( ).
Si v=0, nous retrouvons
par ailleurs l'expression classique et connue:
(49.280)
Remarque: Rappelons que nous avons effectué (et
continuons dans ce sens) ici une étude d'une charge en mouvement
rectiligne uniforme, c'est-à-dire à vitesse constante.
Pour trouver maintenant l'expression
du champ magnétique ,
nous introduisons:
et

et
(49.281)
dans:
(49.282)
Nous obtenons dès lors:
(49.283)
qui sont les composantes
de:
(49.284)
Pour connaître en
fonction de ,
nous substituons l'expression obtenue pour 
(49.285)
Dans le cas où la vitesse est faible, le terme relativiste tend
vers 1 et le champ
d'une charge Q se déplaçant à la vitesse v devient:
(49.286)
car comme nous l'avons dans
le chapitre d'Électrodynamique: 
Remarques:
R1. En chaque endroit, les
lignes du champ sont
contenues dans un plan perpendiculaire à la direction de déplacement
de la charge Q
(produit vectoriel oblige).
R2. Si la charge en mouvement
est vue comme un dQ attaché au point O',
nous pouvons interpréter son déplacement à vitesse v comme
un courant I en un point du référentiel O où se
trouve
O'.
Ainsi:
(49.287)
Cette dernière relation est connue sous le nom de la "loi
de Biot et Savart" et nous la retrouverons au début
de la section traitant de l'électromagnétisme.
Cet état de
fait valide encore le modèle relativiste.
Il est intéressant de se rappeler qu'une particule chargée
en mouvement sera vue dans le référentiel de la particule
comme n'émettant
aucun
champ électromagnétique (il y aura juste un champ électrostatique).
Ce qui n'est pas le cas pour un référentiel au repos.
Il y a donc ici une
sorte
de contradiction
contre-intuitive
flagrante.
Mais cela pose alors un autre problème, dans un référentiel
en mouvement accéléré, une particule chargée émet
normalement un rayonnement d'accélération, ce
rayonnement en mécanique quantique doit s'accompagner forcément
de l'émission d'un quanta, qui lui existe ou n'existe pas
(un moyen terme n'existe pas). L'existence même des photons
serait donc purement relative. Et pourtant c'est le cas! Certaines
particules n'ont qu'une existence relative. La réponse compliquée,
c'est donc de savoir ce que sont devenus les photons.
Mais là, nous touchons à la limite
de ce que nous maîtrisons parfaitement dans la physique de
la fin du 20ème siècle, car nous parlons de référentiels
accélérés
(ce qui implique d'être en relativité générale
et non restreinte) et de théorie quantique des champs. Le
cadre rigoureux pour traiter ça (qui engloberait une gravitation
quantique) n'existe pas encore. Mais un premier pas a été franchi
avec le développement de la théorie quantique des
champs en espace courbe.
TRANSFORMATION
DU TENSEUR DE CHAMP
Nous avons vu et démontré
dans le chapitre d'Électrodynamique que l'ensemble du champ
électromagnétique se résumait au tenseur du
même nom. Il serait alors bon de regarder comment se transforme
ce tenseur et s'il le fait correctement relativement aux résultats
obtenus plus haut.
Considérons la transformation
(où le tenseur du champ électromagnétique est
en unités naturelles!!!):
(49.288)
avec le tenseur du champ électromagnétique en composantes
contravariantes dans la métrique de Minkowski :
(49.289)
et aussi par construction:
(49.290)
Prenons, par exemple, la
vitesse parallèle à l'axe OX, alors nous avons
démontré plus haut que:
(49.291)
Soit, donc:
(49.292)
où comme nous pouvons le voir, il est souvent d'usage dans
le domaine de la relativité restreinte et de l'électrodynamique
de numéroter
les composantes des matrices/tenseurs à partir de 0 (au
lieu de 1 pour tous les autres chapitres du site).
Nous calculons les transformées
(se rappeler que le tenseur du champ électromagnétique
est antisymétrique!):
(49.293)
Nous en déduisons
donc, pour le champ électrique (ce qui correspond parfaitement
à ce que nous avions obtenu plus haut):
(49.294)
Nous faisons un second calcul
pour la composante perpendiculaire:
(49.295)
d'où:
(49.296)
ce qui correspond à
nouveau parfaitement à ce que nous avions obtenu plus haut
(en unités naturelles, ne pas oublier que nous avons alors
)
!
La vérification se
fait de même pour le champ magnétique:
(49.297)
et:
(49.298)
ce qui donne
(en unités naturelles, ne pas oublier que nous avons alors )
! :
(49.299)
etc.
ESPACE-TEMPS DE MINKOWSKI
Nous avons démontré plus
haut que:
(49.300)
Écrivons cela sous
la forme:
(49.301)
Multiplions les deux membres
par :
(49.302)
ce qui nous donne:
(49.303)
Si ,
l'équation s'annule:
(49.304)
Ce résultat traduit, que
les dimensions d'espace et de temps sont comme arrêtées dans le
référentiel relativiste, car la vitesse relative de l'objet est
égale à celle de la lumière!
Imaginons maintenant qu'un
faisceau lumineux soit émis à l'instant
et se propage depuis l'origine du référentiel. Nous
savons que dans l'espace-temps (application du théorème
de Pythagore dans l'espace euclidien à trois dimensions) la distance
parcourue par le photon lumineux est:
(49.305)
En changeant t de
membre et en portant le tout au carré pour supprimer la racine,
nous obtenons:
(49.306)
Remarque: Nous pouvons assimiler cette équation à
la représentation d'un front d'onde sphérique d'une
onde lumineuse se propageant à la vitesse de la lumière
(voir l'équation d'une sphère centrée à
l'origine dans le chapitre de Géométrie Analytique).
Considérons maintenant deux
événements de coordonnées et
et
pour éviter la confusion changeons de lettre .
Nous pouvons dès lors écrire l'intervalle spatio-temporel tel quel:
(49.307)
En passant à la limite, nous
obtenons la forme quadratique:
(49.308)
qui
a la même forme et même valeur quel que soit le référentiel
considéré.
L'intervalle infinitésimal d'espace-temps
entre deux événements infiniment voisins est donc
un invariant relativiste que nous appelons souvent "abscisse
curviligne d'espace-temps"; c'est l'intervalle d'espace-temps
ou, comme le disait simplement Einstein, le "carré de
la distance"....
Le fait que cette grandeur puisse être positive, négative
(!) ou nulle est lié au caractère absolu de la
vitesse de la lumière
(nous y reviendrons juste après).
Nous pouvons aussi maintenant
nous intéresser au caractère relativiste de cette
métrique. Si elle est invariante, c'est qu'elle doit
aussi l'être par les transformations de Lorentz. Nous
disons alors que "la métrique
est invariante par transformation de Lorentz". Une
telle transformation peut
être trouvée en s'inspirant de celle utilisée
pour le tenseur du champ électromagnétique (voir
plus haut). Le lecteur vérifiera sans peine en s'inspirant
de l'exemple détaillé du champ électromagnétique
que pour le tenseur métrique, nous avons la relation:
(49.309)
L'abscisse curviligne
peut s'exprimer aussi par la norme du quadrivecteur déplacement
que nous avions défini plus haut comme étant .
Effectivement, la
norme (cf. chapitre de Calcul Tensoriel)
s'écrit en descendant
les indices à l'aide de la "métrique
de Minkowski"
ou "métrique pseudo-riemannienne":
(49.310)
avec par définition
(nous reviendrons là-dessus dans les détails au début
de notre étude de la relativité générale)
la "matrice de Minkowski":
(49.311)
où comme d'habitude sur ce site nous faisons l'abus de notation (déjà
mentioné dans le chapitre de Calcul Tensoriel) de ne pas mettre entre
crochets (puisqu'un tenseur et sa forme matricielle sont normalement deux choses
distinctes en toute rigueur).
Si nous mettons les deux
relations suivantes en correspondance:
et
(49.312)
nous avons alors
lorsque que les deux événements sont reliés à la vitesse de la lumière.
De plus, si nous posons nous
pouvons alors écrire:
(49.313)
Ceci n'est rien d'autre
que l'équation d'un cône (cf.
chapitre de Géométrique
Analytique) d'axe d'ordonnée ...
le fameux "cône d'Univers" (auquel
nous consacrons une étude plus loin). Tout événement
est donc par extension dans ce cône et l'évolution de
tout système
peut donc y être décrit (par
sa position spatiale et temporelle), par ce que nous appelons
sa "ligne d'Univers".
La ligne d'Univers d'une
particule est donc la séquence d'événements
qu'elle déroule durant sa vie.
QUADRIVECTEURS
Nous venons de définir
ce qu'était la métrique de Minkowski, nous pouvons
maintenant définir correctement le concept de quadrivecteur
que nous avons déjà abordé sans toutefois toujours
savoir ce que l'on faisait.
Définition: Dans
un espace à quatre dimensions de type Minkowski, quatre
grandeurs (peu
importe l'ordre des termes pour cette définition ou
que les indices soient des chiffres ou des lettres correspondant
aux quatre composantes spatio-temporelles) forment un quadrivecteur
covariant si elles se transforment suivant la transformation
de Lorentz:
(49.314)
La pseudo-norme d'un quadrivecteur
dans un espace de Minkowski à métrique
est alors:
(49.315)
où nous voyons que
le
quadrivecteur contravariant multiplié par la
métrique
redonne le quadrivecteur covariant.
La quantité suivante
étant invariante par changement de référentiel
Galiléen comme nous l'avons vu presque tout au début de
ce chapitre:
(49.316)
Cette propriété
d'invariance par changement de référentiel Galiléen
des quadrivecteurs est leur propriété principale.
Ainsi, deux observateurs en mouvement relatif uniforme l'un par
rapport
à l'autre doivent pour comparer les résultats d'une
même mesure utiliser la norme des quadrivecteurs. De même,
les lois qu'ils cherchent à déterminer pour être
les plus générales possible doivent utiliser
ces quantités invariantes!
Nous pouvons par ailleurs aussi écrire la norme sous la forme:
(49.317)
et les quadrivecteurs sous la forme:
(49.318)
CÔNE D'UNIVERS
La topologie du cône
de lumière trouve son origine dans les relations d'antériorité
et postériorité des événements relativistes,
ce qui permet de faire la distinction entre un événement
dans le passé d'un autre ou dans le futur de celui-ci.
Les cônes de lumière ont pour objectif principal dans les
ouvrages de vulgarisation de la physique théorique de schématiser
l'histoire d'impulsions lumineuses émises
en un point de l'espace où peuvent régner certaines
conditions. Les points sont représentés dans l'espace par une série
d'instantanés à divers instants ,etc.
(voir figure ci-dessous), le front d'onde sphérique de la lumière
grossissant dans l'espace. Dans l'espace-temps, le même événement
(en bas sur la figure) est représenté par un "cône
de lumière",
dont le sommet est le point d'émission.
Sur une feuille de papier,
nous devons supprimer l'une des dimensions spatiales. Les axes
spatiaux
sont dessinés dans le plan horizontal et l'axe temporel
dirigé vers
le haut. Les sections du cône aux instants correspondent
aux instantanés de la représentation spatiale: les
fronts d'ondes à deux
dimensions sont des cercles dont le rayon est celui du front d'onde
sphérique à l'instant considéré. Le cône de
lumière montre en un seul
diagramme l'histoire continue du front d'onde d'un signal lumineux.
Figure: 49.8 - Principe du cône de lumière
Plus rigoureusement, les
"instantanés" dont il a été fait mention plus haut sont appelés
des "événements
ponctuels"
et ceux-ci apparaissent instantanés (approximation reposée sur
l'optique géométrique)
à tout observateur capable de les voir. Une collision entre deux
particules ponctuelles fournit un exemple d'événement ponctuel.
Il est tout à fait possible qu'un événement instantané non ponctuel
apparaisse instantané à un certain observateur mais, à cause
de la vitesse de propagation finie de la lumière, non instantané à
un autre observateur.
Définitions:
D1. Nous disons par définition
que deux événements ponctuels occupent le même
point d'espace-temps s'ils apparaissent simultanés à tout
observateur capable de les voir.
D2. L'ensemble M de tous les points de l'espace-temps est appelé "l'espace-temps".
D3. La frontière définie
par le cône d'Univers est appelée "horizon
cosmologique"
Rappelons que si aucune
force n'agit sur une particule ponctuelle, nous la qualifions "d'inertielle"
ou de "libre". Nous disons également qu'elle est en "mouvement
inertiel".
Étant
donné le point p, N(p)
est une structure géométrique absolue, indépendante de l'observateur.
Sa composante future sera notée ;
sa composante passée
et elle sera représentée par le cône suivant:
Figure: 49.9 - Cône de lumière passé et futur
Effectivement, rappelons
que l'équation de Minkowski est invariante puisque:
(49.319)
Rapporté à
trois paramètres (nous enlevons une dimension spatiale)
nous avons, si les événements
ponctuels sont reliés à la vitesse de la lumière
(voir plus haut):
(49.320)
Ce que nous pouvons aussi écrire
sous la forme:
(49.321)
à comparer avec l'équation
d'un cône (cf. chapitre de Géométrie
Analytique):
(49.322)
lorsque nous posons c=1
(ce qui est fréquent en physique théorique comme nous
en avons déjà fait mention de nombreuses fois).
Donc l'équation de
Minkowski peut donc bien être représentée
par un cône.
Remarque:Si nous gardions les trois paramètres
spatiaux et l'intervalle de temps constant, le lecteur remarquera
certainement
que nous tomberions non plus sur l'équation d'un cône
mais sur celle d'une sphère. Il s'agit de la "sphère
céleste" où à un instant
donné, à sa surface, se créent de multiples
cônes de lumière.
La
ligne d'Univers de tout observateur qui occupe instantanément p
et dont la ligne d'Univers
passe donc par p lui-même,
est contenue à l'intérieur de N(p)
défini par un point unique sur sa sphère céleste
(celle qui est donc décrite par le vecteur d'information
- qu'est le photon - dans toutes les directions de l'espace).
Cela veut dire qu'il
peut y avoir, in extenso, autant de rayons nuls (foyers des cônes)
passant par p
que de points sur une sphère.
L'exemple
suivant paraîtra plus évident:

Figure: 49.10 - Principe de ligne d'Univers avec cône associé
Comme
illustré sur la figure ci-dessus, un événement lumineux au point
O de l'espace-temps produit un faisceau de photons, tous
dans le cône nul du futur O,
(ces photons ont été émis par des atomes dans des états de mouvement
variés, dont les lignes d'univers l et l' passent
par O, mais sont entièrement contenues à l'intérieur de ).
La ligne d'univers n peut seulement être décrite par une particule se mouvant à la vitesse
de la lumière car elle définit la frontière du cône (nous disons
alors que la ligne d'Univers est "du genre lumière").
Remarque: La représentation des lignes d'Univers
dans la partie inférieure (cône renversé) vient
du fait qu'un événement peut également
avoir un passé... donc le schéma généralise
l'exemple particulier.
Soit
la
ligne d'univers d'un personnage P immobile (d'où la verticalité
de sa ligne d'Univers sur la figure ci-dessus) et n celle
d'un rayon lumineux ayant pour origine O.
Tous deux résident dans l'espace
à quatre dimensions et ils se coupent selon un point unique P.
Les points O
et P se situent sur un rayon nul (d'un cône du futur), n,
de .
En P, le personnage P voit un flash soudain
dans la direction définie par n, pour lui la direction
de l'événement lumineux (décrite uniquement
par sa vitesse donc, ainsi une ligne d'univers d'une particule
inertielle peut être décrite
uniquement par le temps et sa vitesse).
Un
atome dont la ligne d'Univers coupe n au point Q,
absorbe un photon de l'événement lumineux O
et réémet peu de temps après un faisceau de photons. Ceux-ci forment
alors à leur tour des rayons nuls dans ,
mais seuls ceux de direction n
atteindront le personnage P
et seront vus par lui au point P.
Si
P se trouve à l'intérieur de N(O),
le cône nul de O,
nous dirons que sa ligne d'Univers est de "genre
temps".
Dans ce cas, O
et P sont situés sur la ligne d'Univers d'un observateur
ou d'une particule massive. Il existe bien évidemment deux types
de déplacements de genre temps:
1.
Si P est dans le futur de O
(selon un observateur dont la ligne d'univers passe par O
et P), nous dirons que P "pointe
vers le futur".
2.
Dans le cas contraire, nous dirons bien entendu qu'il "pointe
vers le passé".
Si
P se situe sur N(O) - soit à la surface
du cône - nous dirons alors qu'il est "nul" ou
de "genre
lumière"
et si P n'est
ni nul ni de genre temps, alors P se situe à l'extérieur
de
N(O).
Nous disons alors qu'il est de "genre
espace":

Figure: 49.11 - Types de lignes d'Univers
Cela se traduit
mathématiquement par en se rappelant (voir plus haut) que:
(49.323)
D1. :
la ligne d'Univers est donc de "type lumière" et
c'est elle qui décrit la surface du cône par définition
(selon ce que nous avons démontré précédemment
et quel que soit le choix de la métrique) soit telle que:
(49.324)
ce qui est le cas d'un photon de lumière (d'où le
nom...).
D2. :
nous disons alors que la ligne d'Univers est de "type
espace" soit telle que:
(49.325)
Deux événements qui ont lieu simultanément mais à des lieux
différents sont donc de type espace.
D3. :
nous disons alors que l'intervalle ou la ligne d'Univers sont de "type
temps" soit telle que:
(49.326)

D4. Une "ligne
causale"
est une ligne de genre lumière ou temps qui est toujours
orientée vers le futur.
Revenons
à nos équations après ce petit interlude... les équations
conduisent donc à faire plusieurs observations. Ainsi, dans l'Univers
euclidien à quatre dimensions de Minkowski, les trajectoires
des objets dans l'espace-temps sont toujours des droites. Effectivement,
l'exemple trivial consiste à considérer que l'objet reste
au repos, seul le temps continue alors de s'écouler. Nous
avons dès lors:
(49.327)
en posant ,
cela nous nous donne:
(49.328)
donc:
(49.329)
et aussi:
(49.330)
La primitive étant (constante
d'intégration nulle):
(49.331)
qui
est bien une droite et représente donc la ligne d'Univers de l'objet
considéré dans le cône d'Univers. Nous pouvons aussi observer aussi
que dans ce cas, l'évolution du phénomène est purement temporelle
quand l'intervalle est positif (ce qui appuie ce que nous avions
dit tout à l'heure).
Remarques:
R1. Si la vitesse de la lumière
est infinie, nous retrouvons le cas particulier de l'univers newtonien,
où un phénomène peut instantanément se produire.
Le temps y est absolu et il n'existe pas d'horizon cosmologique
car le cône à une ouverture maximale (angle droit).
R2. Si nous posons que la
vitesse de lumière est égale à l'unité, comme nous l'avons fait,
l'axe des ordonnées du cône est dit "axe
purement temporel".
R3. Il faut comprendre par soi-même que l'Univers a son propre
cône d'Univers (cône... si l'espace est de type Minkowskien
bien sûr...).
Enfin, indiquons que la théorie de la relativité restreinte,
au même titre que celle de la relativité générale,
n'impose pas un nombre de dimensions spatiales données pour
rester consistante: ce qui est dommage pour les physiciens théoriciens
qui souhaiteraient une théorie qui s'impose à elle-même
un nombre fini de dimensions pour rester consistante (ce que par
contre la théorie
des cordes fait avec 25 dimensions... et celle des supercordes
avec 11).

- Introducing special relativity,
W.S.C Williams, Éditions
Taylor&Francis, ISBN10: 0415277620 (249 pages) - Imprimé en
2002
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